SISTEMAS DE CONTROL

ESTABILIDAD RELATIVA

MARCO A. HINOJOSA T. JULIO C. SOTOMAYOR

Estabilidad Relativa La estabilidad relativa es una medida cuantitativa de la

rapidez con que la respuesta transitoria del sistema tiende a cero. Cuanto menor sea el tiempo en estabilizarse la respuesta, el sistema es mas estable relativamente. En un sistema genérico, la estabilidad relativa puede determinarse mediante el tiempo de establecimiento de las raíces dominantes. ; cuanto mas alejados estén los polos del eje imaginariomenor será el tiempo de estabilización y mas estable relativamente es el sistema.

El sistema 2 es más estable relativamente que el sistema 1

Criterio de estabilidad de Nyquist Al diseñar un sistema de control es necesario que sea estable y que

tenga una estabilidad relativa adecuada. En esta sección demostraremos que la traza de Nyquist no solo indica si un sistema es estable sino también el grado de estabilidad de un sistema estable

Un sistema de control de retroalimentación simple como el mostrado en la figura 1, es estable si su Ecuación Característica a Lazo Cerrado, F(s) = 1 + G(s)H(s), no tiene ninguna raíz con parte real positiva.

FIGURA 1

El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado; basado en un teorema de la variable compleja que se fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano complejo. Parte de los fundamentos que dan base al criterio de estabilidad se nombrarán a continuación. Para una trayectoria cerrada y continua en el plano S, que no

pasa por ninguna singularidad, le corresponde una trayectoria cerrada en el plano F(s).

Si el contorno en el plano S (Γs ), encierra igual número de ceros que polos de F(s), el contorno en F(s), (ΓF (s) ), no encerrará el origen.

Si el Γs encierra n polos de F(s), ΓF (s) rodea al origen n-veces en sentido anti horario.

Si el Γs encierra m ceros de F(s), ΓF (s) rodea al origen m-veces en sentido horario

Ejemplo Una función de s, tal como F(s), transforma una trayectoria

cerrada del plano s (Γs ), sobre el plano F(s), en una trayectoria cerrada en el plano F(s) (ΓF (s)). Como se mencionó anteriormente, F(s) corresponderá con la ecuación característica a lazo cerrado, por lo que se tiene que:

Si G(s)H(s)= F(s)=⇒ F(s) sólo tiene un cero en s = - 2 y un polo en s = - 1.

Para este ejemplo, se tomarán dos contornos en el plano s (Γs) y se realizaran las transformaciones de dichos contornos utilizando F(s). Tanto los contornos, como sus correspondientes transformaciones se muestran en las figuras.

El área encerrada está a la derecha del recorrido cuando se mueve en sentido horario, por lo que en el primer caso el Γs encierra un polo y un cero de F(s) y en el segundo caso, el Γs encierra un cero de F(s). Como puede observarse, en el primer caso el ΓF (s), no encierra el origen pues el número de ceros y polos de F(s) encerrados en el Γs son iguales. En el segundo caso, el ΓF (s) encierra al origen una vez, pues existe un cero de F(s) encerrado en el Γs .

Generalizando el Teorema del Mapeo, se tiene que, Si F(s) = para un Γs que encierre Z ceros y P polos de F(s) sin pasar

por encima de ningún cero o polo de F(s), el ΓF (s) encerrará el origen en sentido horario un

número de veces igual a N = Z - P. Dicho teorema se utilizará para tener información respecto a

los ceros y los polos de F(s) encerrados en un Γs específico.

Aplicación al análisis de la estabilidad a lazo cerrado

Para realizar un análisis de la estabilidad a lazo cerrado a partir de la respuesta frecuencial a lazo abierto, utilizando el Teorema del Mapeo, se deben tener las siguientes consideraciones: F(s) será la Ecuación Característica a Lazo Cerrado, es decir, F(s) =

1 + G(s)H(s) El Γs a utilizar será el semiplano derecho del plano S, tal como se

muestra en la figura 8.4 Z = # ceros de lazo cerrado de F(s) en el semiplano derecho del

plano S P = # polos de G(s) H(s) en el semiplano derecho del plano S ⋅ N= Z - P el número de vueltas en sentido horario que ΓF( s ) le da al

origen

De manera que, para que el sistema sea estable, Z debe ser cero, lo que se logra en los siguientes casos: • Si P = 0 entonces N debe ser cero • Si P ≠ 0 entonces N deber ser igual a -P. De allí se desprende que, si se conocen los polos de lazo abierto (P) y los encierros que da al origen el ΓF ( s ) (N), se puede saber si existen ceros con parte real positiva (Z).

Para particularizar la aplicación del criterio a un sistema de control de retroalimentación simple, se propone lo siguiente: Definir F’(s) = F(s) – 1 = G(s)H(s) P’ y Z’ de F’(s) corresponden con los polos y ceros de lazo abierto La transformación sobre el Plano F’(s), se realiza tomando en cuenta que

el Γs no debe pasar por ningún polo o cero de F’(s) El encierro del origen por el ΓF(S) es equivalente a encerrar el punto (-1,0)

por el contorno ΓF’(S) El ΓF’(s) se conoce como el Diagrama de Nyquist. N’ corresponde al número de encierros que le da el ΓF’(s) al punto (-1,0) El valor de Z, ceros de la Ecuación característica a lazo cerrado, se puede

conocer a partir de N’ y de P, pues N’ = Z – P Si P = 0 entonces Z = N’ por lo tanto el ΓF’(s) no debe encerrar al punto (-

1,0) para que el sistema sea estable. En este caso, es suficiente realizar la traza del Nyquist para s = jω y verificar si encierra al (-1,0), lo cual equivale a realizar el diagrama polar de G(jω)H(jω).

Si P ≠ 0 se tiene que el sistema a lazo abierto es inestable, pero a lazo cerrado puede ser estable. En este caso, se hace necesario realizar el Diagrama de Nyquist completo para conocer el valor de N’ y verificar la estabilidad.

Si ΓF’ (S) pasa por (-1,0) entonces los ceros de la Ecuación Característica a Lazo Cerrado se encuentran sobre el eje jω y el sistema a lazo cerrado será críticamente estable.

Ejemplo: Para un sistema cuya función de transferencia a lazo abierto

es G(s)H(s), se desea saber si el sistema es estable o no utilizando el criterio de estabilidad de Nyquist.

El diagrama de Nyquist se hace por tramos, los cuales se muestran en la figura 8.5

Tramo 1 Se representa sustituyendo s = jω en G(s)H(s), equivalente al diagrama polar.

evaluándo para los extremos se tiene: ω → 0 | GH | = K φ = 0º ω → ∞ | GH | = 0 φ = -180º Es bueno resaltar que, el sistema es de tipo “0” y la que

diferencia entre el número de polos y el numero de ceros de la función de transferencia es n-m = 2. En la figura 8.6 se puede apreciar el Diagrama de Nyquist, donde se aprecia la transformación de este tramo.

Tramo 2 Se representa sustituyendo s = σ e^(j θ)en G(s)H(s), lo cual

representa una trayectoria circular definida por los valores de σ y θ

σ → ∞ 90º ≥ θ ≥ - 90º De allí que, el límite de G(s)H(s) cuando σ → ∞ será:

σ → ∞ | GH | → 0 θ = 90º φ = - 180º θ = - 90º

Tramo 3 Se representa sustituyendo s = - jω en G(s)H(s), equivalente

a una trayectoria simétrica, respecto al eje real, a la trayectoria derivada en el tramo uno (figura 8.6).

CONCLUSIÓN: Como P = 0 (el Γs no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N=

0 (el Diagrama de Nyquist no encierra el punto (-1,0)), entonces Z = 0 siendo el sistema estable. Además, también se puede concluir que será estable para cualquier ganancia pues, a pesar que la ganancia aumenta nunca se encerrará al punto (-1,0)

Márgenes de Ganancia y Fase En la figura se muestra las trazas polares de G(jw) para tres

valores diferentes de la ganancia K en lazo abierto. Para un valor grande de la ganancia de K, el sistema es inestable. Conforme la ganancia se decrementa hacia cierto valor de la ganancia, el sistema esta al borde de la inestabilidad y presenta oscilaciones sostenidas. Para un valor pequeño de la ganancia K, el sistema es estable.

Margen de Fase.- el margen de fase es la cantidad de atrasos de fase adicional en la frecuencia de cruce de ganancia requerida para llevar el sistema al borde de la inestabilidad. La frecuencia de cruce de ganancia es la frecuencia en la cual |G(jw)|, magnitud de la función de transferencia de lazo abierto es unitaria.

Margen de Ganancia.- el margen de ganancia es el reciproco de la magnitud |G(jw)| en la frecuencia a la cual el ángulo de fase es =180. Si definimos la frecuencia de cruce de fase w1 como la frecuencia a la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto es igual a =180, se produce el margen de ganancia Kg.

En termino de decibeles:

El margen de ganancia expresado en decibeles es positivo si Kg es mayor que la unidad y negativa si Kg es menor que la unidad .

Obtenga los márgenes de fase y de ganancia del sistema de la figura 8-77 para los casos en los

Que K=lO y K=lOO.

RESOLUCION:

Los márgenes de fase y de ganancia se obtienen con facilidad de las trazas de Bode. La figura 8-78(a) contiene las trazas de Bode de la función de transferencia en lazo abierto determinada con K = 10. Los márgenes de fase y de ganancia para K = 10 son

Margen de fase = 21°, Margen de ganancia = 8 dB

Por tanto, la ganancia del sistema se incrementa en 8 dB antes de que ocurra la inestabilidad.

Incrementar la ganancia de K = 10 a K = 100 mueve el eje 0 dB 20 dB hacia abajo, como se aprecia en la figura 8-78(b). Los márgenes de fase y de ganancia son

Margen de fase = -3O”, Margen de ganancia = -12 dB

EJEMPLO

Por tanto, el sistema es estable para K = 10, pero inestable para K = 100.

Observe que uno de los aspectos convenientes del enfoque de las trazas de Bode es la facilidad con la cual se evalúan los efectos de los cambios de ganancia.

Considere que, para obtener un desempeño satisfactorio, debemos incrementar el margen de fase a30°- 60’. Para ello se decrementa la ganancia K. Sin embargo, no es conveniente decrementar K, dado que un valor pequeño de K producirá un error grande para la entrada de la pendiente Esto sugiere que puede ser necesario volver a dar forma a la curva de respuesta en frecuencia en lazo abierto agregando una compensación.

Magnitud del pico de resonancia M, y frecuencia de pico de resonancia wr. Considere el sistema de la figura 8-79. La función de transferencia en lazo cerrado es

en donde ξ y wn son el factor de amortiguamiento relativo y la frecuencia natural no amortiguada, respectivamente. La respuesta en frecuencia en lazo cerrado es

en donde

Según lo obtenido mediante la ecuación (8-6), para 0≤ ξ ≤ 0.707, el valor máximo de M ocurre en la frecuencia wr, en la cual

El ángulo Ɵ se define en la figura 8-80. La frecuencia wr es la frecuencia de resonancia. En la frecuencia de resonancia, el valor de Mes máximo y se obtiene a partir la ecuación (8-7),que se reescribe como

en donde M, se define como la magnitud del pico de resonancia, valor que se relaciona con el amortiguamiento del sistema.

La magnitud del pico de resonancia proporciona un indicio de la estabilidad relativa del sistema. Una magnitud del pico de resonancia grande indica la presencia de un par de polos dominantes en lazo cerrado con un factor de amortiguamiento pequeño, lo cual produce una respuesta transitoria inconveniente. En cambio, una magnitud del pico de resonancia pequeña indica la ausencia de un par de polos dominantes en lazo cerrado con un factor de amortiguamiento relativo pequeño, lo que significa que el sistema está bien amortiguado.

Recuerde que Mr es real solo si 5 < 0.707. Por tanto, no hay una resonancia en lazo cerrado si 5 > 0.707. [El valor de M, es unitario sólo si 5 > 0.707.Véase la ecuación (8-8).] Dado que en un sistema físico es fácil medir los valores de M, y wr, éstos son muy útiles para verificar que los análisis teórico y experimental coincidan. Sin embargo, debe señalarse que, para problemas prácticos de diseño, es más común especificar el margen de fase y el margen de ganancia que la magnitud del pico de resonancia para indicar el grado de amortiguamiento de un sistema.

http://web.usal.es/~sebas/TEORIA/TEMA7-REGULACION.pdf

http://prof.usb.ve/montbrun/PS2320nyquistversionvieja.pdf