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ESTABILIDAD Métodos algebraicos para el análisis de estabilidad. 1. Concepto de estabilidad. 2. Criterio de Routh-Hurwitz. Universidad Carlos III de Madrid Señales y Sistemas Dolores Blanco, Ramón Barber, María Malfaz y Miguel Ángel Salichs
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ESTABILIDAD
Mtodos algebraicos para el anlisis de estabilidad.
1. Concepto de estabilidad.2. Criterio de Routh-Hurwitz.
Universidad Carlos III de Madrid Seales y Sistemas
Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichs
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Bibliografa
Ogata, K., "Ingeniera de control moderna", Ed. Prentice-Hall. Captulo 5
Dorf, R.C., "Sistemas modernos de control", Ed. Addison-Wesley. Captulo
Kuo, B.C.,"Sistemas de control automtico", Ed. Prentice Hall. Captulo 6
F. Mata y A. Jimnez, Teora de Sistemas, Seccin de Publicaciones Universidad Politcnica de Madrid Captulo 5
Universidad Carlos III de Madrid Seales y Sistemas
Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichs
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MTODO DE ROUTH-HURWITZ
Tiempo continuo Mtodo de Routh-Hurwitz:
Polinomio caracterstico (denominador de la F.T.)
1
1 1 0( ) . . .n n
n np s a s a s a s a
= + + + +
2
0 1 2
( ) ( )( )
( ) ... nn
Y s N sG s
U s a a s a s a s= =
+ + + +
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MTODO DE ROUTH-HURWITZ
Condiciones necesarias pero no suficientes: Todos los coeficientes ai tienen el mismo signo Ningn coeficiente es nulo.
Tabla de Routh
2 4 61
1 3 5 72
1 2 3
3
1 2 3
21 2
11
01
0
0 0
0 0
n
n n n nn
n n n nn
n
s a a a a
s a a a a
s b b b
s c c c
u us
vs
ws
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Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichs
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TABLA DE ROUTH
2 4 61
1 3 5 72
1
3
2
1
0
n
n n n nn
n n n nn
n
s a a a a
s a a a a
s b
s
s
s
s
1b =
2
1 3
1
n n
n n
n
a a
a a
a
Universidad Carlos III de Madrid Seales y Sistemas
Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichs
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TABLA DE ROUTH
2 4 61
1 3 5 72
1 2 3
3
1 2 3
21 2
11
01
0
0 0
0 0
n
n n n nn
n n n nn
n
s a a a a
s a a a a
s b b b
s c c c
u us
vs
ws
1b =
2
1 3
1
n n
n n
n
a a
a a
a
2b =
4
1 5
1
n n
n n
n
a a
a a
a
Universidad Carlos III de Madrid Seales y Sistemas
Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichs
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TABLA DE ROUTH
2 4 61
1 3 5 72
1 2 3
3
1 2 3
21 2
11
01
0
0 0
0 0
n
n n n nn
n n n nn
n
s a a a a
s a a a a
s b b b
s c c c
u us
vs
ws
1b =
2
1 3
1
n n
n n
n
a a
a a
a
2b =
4
1 5
1
n n
n n
n
a a
a a
a
1c =
1 3
1 2
1
n na a
b b
b
Universidad Carlos III de Madrid Seales y Sistemas
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TABLA DE ROUTH
2 4 61
1 3 5 72
1 2 3
3
1 2 3
21 2
11
01
0
0 0
0 0
n
n n n nn
n n n nn
n
s a a a a
s a a a a
s b b b
s c c c
u us
vs
ws
1b =
2
1 3
1
n n
n n
n
a a
a a
a
2b =
4
1 5
1
n n
n n
n
a a
a a
a
1c =
1 3
1 2
1
n na a
b b
b
2c =
1 5
1 3
1
n na a
b b
b
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ANLISIS DE ESTABILIDAD
2 4 61
1 3 5 72
1 2 3
3
1 2 3
21 2
11
01
0
0 0
0 0
n
n n n nn
n n n nn
n
s a a a a
s a a a a
s b b b
s c c c
u us
vs
ws
El sistema ser estable
si todos los coeficientes de la primera columna son del mismo signo
Universidad Carlos III de Madrid Seales y Sistemas
Dolores Blanco, Ramn Barber, Mara Malfaz y Miguel ngel Salichs
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2401527210
1)(
2345 +++++=
ssssssM
240
6.122
2406.70
08862
240721
152101
0
1
2
3
4
5
s
s
s
s
s
s
2406,122
2406,1220
8,1226,70
886,7024062
24062
240620,6,70
62
726288
881
152240,62
1
1072
1
1
21
21
=
=
=
+=
=
+==
+=
=
==
=
e
d
cc
bb
EJEMPLO
Ejemplo
En la primera columna hay dos cambios de signo, por lo que tenemos dos races en el semiplano derecho: sistema inestable.
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CASOS ESPECIALES
4 3 2
1( )
2 4 8 5M s
s s s s=
+ + + +
4
3
2
1
0
1 4 5
2 8 0
0
s
s
s
s
s
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CASOS ESPECIALES
Aparicin de un cero en primera columna: Sustituir el cero por un numero positivo pequeo y
continuar. Para contabilizar los cambios se hace tender a cero.
Hacer cambio de variable s=1/x y sobre el nuevo polinomio p(x) se vuelve a desarrollar el criterio de Routh
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CASOS ESPECIALES
4 3 2
1( )
2 4 8 5M s
s s s s=
+ + + +
4
3
2
1
0
1 4 5
2 8 0
0 5 0
8 100 0
5
s
s
s
s
s
0108
