ESTADSTICA APLICADAC.LINDO P. CAPTULO I: DEFINICIONES BSICAS

1.1 La Estadstica.Es un rea de la ciencia, parte de la matemtica que se ocupa de la recoleccin, organizacin, presentacin, anlisis e interpretacin de datos numricos con el fin de tomar decisiones frente a la incertidumbre.

La estadstica como ciencia cumple los aspectos principales del mtodo cientfico, tales como:a) Realizacin de experimentos y observaciones.b) Obtencin de conclusiones o proposiciones objetivas a partir de los resultados de dichos experimentos y observaciones.c) Formulacin de leyes que simplifiquen la descripcin de un gran nmero.d) Experiencia u observaciones.1.2 Divisin o clasificacin de la Estadstica.La estadstica se divide en dos partes: Estadstica Descriptiva y Estadstica Inferencial.1. ESTADSTICA DESCRIPTIVASe encarga de analizar y describir un conjunto de datos de una muestra o una poblacin sin sacar conclusiones de tipo general.

2. ESTADSTICA INFERENCIALParte de la estadstica que infiere leyes de comportamiento para una poblacin, tomando como base una muestra aleatoria seleccionada de dicha poblacin.

1.3 Trminos Principales Utilizados en la Estadstica.En estadstica se usan un conjunto de trminos que conviene precisar el significado de algunos de ellos.

a) Poblacin (N).- Es el conjunto de todos las personas, animales, o cosas, que poseen alguna caracterstica observable comn.La poblacin es el universo de estudio que est integrado por la totalidad de todas las unidades de anlisis.La poblacin se define de acuerdo a la caracterstica, unidad estadstica y extensin del problema objeto de estudio. Ejemplo: Estudiantes de la Facultad de Ingeniera en Informtica y Sistemas de la Universidad Nacional Agraria de la selva matriculados el 2012-1.

Respecto a la caracterstica objeto de estudio se puede distinguir:

a) Poblacin Objeto.- Considerada como el conjunto de elementos que son objeto de estudio. Ejemplo: 1. Conjunto de los alumnos de la U.N.A.S. 2. Conjunto de facturas de la estacin de servicio XX sac.

b) Poblacin Objetivo.- Considerada como el conjunto de observaciones, medidas de la caracterstica que es de inters para el estudio de la poblacin objeto.Ejemplo:1. Conjunto de promedio semestral.2. Nmero de errores.b) Muestra (n).- Es una parte o un subconjunto representativo y adecuado de la poblacin.Se examina una muestra cuando no es posible examinar una poblacin, ya sea por factores econmicos, disponibilidad de personal o tiempo.La muestra debe ser representativa y adecuada.

Es representativa cuando contiene todos los sectores o aspectos de la poblacin en la misma proporcin en que se hallan en la totalidad del universo. La representatividad asegura la calidad de la muestra.

Es adecuada cuando el tamao de la muestra tiene una magnitud suficiente que permita confiar en la estabilidad de las caractersticas presentes en la muestra. La adecuacin asegura la confiabilidad de la muestra.

Ejemplo: Estudio de una muestra aleatoria de 150 estudiantes de la Facultad de Ingeniera en Informtica y Sistemas de la UNAS matriculados el 2012-1

c) Unidad estadstica.- Conocido tambin como unidad de observacin. Es el elemento u objeto indivisible de la poblacin que ser analizado y de los cuales se obtendr los datos.

Ejemplo: 1. Si se quiere investigar la edad de los empleados de la U.N.A.S., la unidad de anlisis sern los empleados.2. Para un auditor que verifica los estados financieros de una empresa en el balance general, cuentas clientes, la unidad estadstica son las facturas por cobrar.d) Variable.- Las variables surgen de los objetivos de toda investigacin.Las variables son caractersticas observables, susceptibles de adoptar distintos valores o ser expresadas en varias categoras.

e) Dato estadstico.- Son los valores recopilados como resultado de las observaciones de una variable, que pueden ser analizados e interpretados.Ejemplo: 1. Si la caracterstica de estudio es la variable X edad de un grupo de 6 estudiantes. El conjunto de datos estadsticos seran los siguientes:X1=19,X2=17 ,X3=20,X4=19,X5=21X6=18

2. Si la caracterstica de estudio es la variable X nmero de errores ubicados en 5 facturas. El conjunto de datos estadsticos seran los siguientes: X1=2,X2=4 ,X3=0,X4=1,X5=2f) Parmetro.- Es un valor obtenido para describir en forma resumida las caractersticas pertinentes o ms importantes de una poblacin. Las ms usadas son:La media poblacional (), La varianza poblacional (), La proporcin poblacional (P).

Ejemplo.- El sueldo promedio de todos los docentes del magisterio de la provincia de Leoncio Prado.

g) Estadgrafo.- Se le conoce tambin como estadstico. Es una medida usada para describir alguna caracterstica de la muestra y sirve como estimador del parmetro. Las ms usadas son:

La media muestral o promedio , La varianza muestral (S ), La proporcin muestra (p).Ejemplo.- El sueldo promedio de 250 docentes del magisterio de la provincia de Leoncio Prado.

h) Indicadores.- Son elementos caractersticos que describen una situacin permitiendo su anlisis. Los indicadores no determinan la realidad, la realidad la determinan el valor del indicador. Son indicadores los llamados ndices, tasas, estadgrafos, medidas de resumen, etc.

1.4 Clasificacin de variables.Existen muchos criterios de clasificacin de variables, y podemos mencionar los siguientes tipos:

1. Segn la naturaleza de la variablea) Variables cualitativas o estadsticas de atributosSon aquellas que expresan una cualidad, caracterstica o atributo, sus datos se expresan mediante una palabra, tienen carcter cualitativo y es no numrico. Ejemplos: Profesin, genero o sexo, lugar de nacimiento, estado civil, religin, actividad econmica, etc.

Las variables cualitativas a su vez se clasifican en:

a.1. Variable cualitativa nominal.Son aquellas variables que establecen la distincin de los elementos en diversas categoras, sin implicar el orden.Ejemplo: Profesin, estado civil, categora ocupacional, nacionalidad, lugar de nacimiento, lugar de procedencia, centro de trabajo, sexo, etc.

a.2. Variable cualitativa ordinal o jerrquica Son aquellas variables que implican orden entre sus categoras.Ejemplo: Rendimiento (excelente, bueno, regular, malo, psimo), responsabilidad ( responsable, medianamente responsable, irresponsable. Existe un orden en su clasificacin que se puede colocar de mejor a peor o viceversa), grado de simpata, rango de agresividad, grado de instruccin, clases sociales, etc.

b) Variable cuantitativaSon aquellas que se expresan por una cantidad, el valor puede resultar de la operacin de medir o contar, es decir es de carcter numrico. Ejemplos: utilidades o ganancias, ingresos (s/), egresos, sueldo, edad, peso, talla, notas, promedios.etc.Las variables cuantitativas a su vez se clasifican en:

b.1. Variable cuantitativa discreta.Se considera variable discreta cuando el valor de esta resulta de la operacin de contar, y su valor est representado slo por nmeros naturales (enteros positivos), como Ejemplos: inquilinos en un departamento, nmero de hijos, nmero de hermanos, nmero de productos defectuosos por lote, nmero de das de inasistencia al trabajo, numero de faltas, nmero de facturas que presentan errores, etc

b.2. Variable cuantitativa continua.Se considera variable continua cuando esta es susceptible de medirse, y se obtiene por comparacin o medicin con una unidad de medida. Estas variables continuas se expresan por cualquier nmero real ya que pueden tener cualquier valor dentro de su rango, como Ejemplos: produccin de caf, sueldo, ventas, ingresos monetarios, talla, peso, etc.

2. Segn el orden de las observaciones2.1. Datos atemporales o no ordinales.Son aquellas variables en las que se prescinde del orden en que se realizan las observaciones.Ejemplo: averiguar las edades de los trabajadores de una empresa, en este caso, cualquiera sea el orden que elijan los trabajadores, la edad no va a cambiar.

2.2. Series de tiempo, cronolgicas o histricas.Son aquellas variables en que la obtencin de los datos se tiene en cuenta el orden cronolgico de la observacin.Ejemplo: poblacin demogrfica en la dcada del 2000 2010.

3. Segn el nmero de variables1. Estadsticas unidimensionales.Son las estadsticas de una sola variable.

2. Estadsticas bidimensionales.Cuando se considera simultneamente dos variables.Ejemplo: nmero de hijos segn el grado de instruccin del padre.Profesores por edad y tiempo de servicio.

3. Estadsticas pluridimensionales.Cuando se considera simultneamente mas de dos variables o aspectos en cada elemento de la poblacin o muestra.Ejemplo: el consumo familiar segn el ingreso y nmero de personas por familia. El nivel de fecundidad segn la edad, nivel educativo de la madre y rea de residencia.

4. Segn la relacin entre variables1. variables dependientes.Es la variable que traduce la consecuencia del efecto de una o varias razones o causas, de otras variables.

2. variables independientes.Son las variables explicativas o predictivas, cuya asociacin, relacin o influencia en la variable dependiente se pretende descubrir en la investigacin. Las causas o antecedentes seran las variables independientes (VI) y el efecto o consecuente es la variable dependiente (VD).Ejemplos: El volumen de ventas (VD) depende de la inversin y la publicidad (VI). El presupuesto familiar (VD) depende de los ingresos (VI).

1.5 Elementos de una variable.La identificacin y definicin de variables es la tarea ms delicada de toda investigacin y trabajo estadstico. Las variables se deducen a partir de los objetivos de un estudio de investigacin. Para la seleccin y denominacin de variables, se recomienda distinguir los siguientes cinco elementos:a) Nombre de la variable.b) Definicin de la variable.c) Un conjunto de categoras o niveles que es definida por el investigador.d) Procedimientos para obtener el dato y categorizar o agrupar las unidades de anlisis.e) Algunas medidas de resumen.

Ejemplo: Veamos la variable: Lugar de nacimientoa) Nombre: Lugar de Nacimientob) Definicin: Es una de los departamentos (provincia o ciudad) del Per donde naci la persona encuestada.c) Categoras: (1) Ancash(2) Cuzco(3) La libertad (4) Limad) Obtencin de las categoras. En qu departamento naci? e) Medidas de resumen: - Distribucin porcentual.- Distribucin de frecuencias.

1.6 La estadstica y su importancia en la investigacin.La comprensin de la Estadstica aumentar la capacidad de anlisis en todo profesional, por lo cual consideraremos lo siguiente: Constituye uno de los idiomas esenciales para comunicarse en el mundo universal de la ciencia y la tecnologa.

Permite comprender con mayor facilidad la bibliografa especializada. La mayora de libros, artculos, estudios e investigaciones especializadas en Psicologa, Salud, Ingeniera Ambiental, Administracin, Nutricin, etc., contienen resultados basados en el anlisis estadstico.

Los mtodos estadsticos se utilizan ampliamente, tanto en el gobierno como en la empresa privada. En muchas circunstancias, los profesionales requieren del conocimiento de la estadstica para tomar decisiones acertadas y evitar ser abrumados por la presentacin de datos estadsticos.

La Estadstica constituyen una parte integral de las actividades investigativas, de las encuestas para recopilar datos y del diseo del plan de anlisis estadstico que se originan en las actividades que desarrollan las instituciones y organizaciones, ayuda a conocer las caractersticas de la poblacin, cuyos resultados orientan a la toma de decisiones.

Permite hacer inferencias acerca de una poblacin a partir de datos obtenidos de una muestra representativa. Ayuda a poder predecir el comportamiento de los fenmenos en el futuro.

1.7 Etapas del mtodo estadstico.De acuerdo con el orden de aplicaciones de la estadstica a un problema determinado, los mtodos estadsticos se dividen en cuatro etapas:1. Planificacin del estudio.2. Recoleccin de la informacin.3. Presentacin u organizacin de la informacin.4. Anlisis e interpretacin de los resultados.Planificacin del estudioEstudia los detalles concernientes a la recoleccin, clasificacin y anlisis de la informacin. En base a lo cual se definirn caractersticas de la poblacin o se negaran o confirmaran una hiptesis de trabajo.En esta etapa se pueden considerar los siguientes aspectos: Planteamiento del problema. Bsqueda y evaluacin de la informacin existente. Formulacin e hiptesis. Verificacin de la hiptesis. Anlisis e interpretacin de los resultados.Recoleccin de la informacinLos principales puntos que deben considerarse al recoger la informacin son: Los errores que puedan cometerse en la recoleccin de los datos y la manera de controlarlos. Las ventajas y limitaciones de los diversos mtodos empleados en la recoleccin de la informacin. Las condiciones que deben reunir los individuos que se estudian y los procedimientos ms convenientes para su eleccin. El diseo de los formularios que servirn para registrar la informacin que se recoja.Presentacin u organizacin de la informacinSe considera los tres pasos siguientes: Revisin y correccin de la informacin recogida. Presentacin de la informacin mediante cuadros. Presentacin de la informacin mediante grficos.CAPTULO II: RECOLECCION DE DATOSINTRODUCCINLa recoleccin de datos se refiere al uso de una gran diversidad de tcnicas y herramientas que pueden ser utilizadas por el analista para desarrollar los sistemas de informacin, los cuales pueden ser la entrevistas, la encuesta, el cuestionario, la observacin, el diagrama de flujo y el diccionario de datos.Todos estos instrumentos se aplicarn en un momento en particular, con la finalidad de buscar informacin que ser til a una investigacin en comn. En la presente investigacin trata con detalle los pasos que se debe seguir en el proceso de recoleccin de datos, con las tcnicas ya antes nombradas.2.1 Cmo recolectar datos?Una vez que seleccionamos el diseo de investigacin apropiado y la muestra adecuada de acuerdo con nuestro problema de estudio e hiptesis, la siguiente etapa consiste en recolectar los datos pertinentes sobre las variables involucradas en la investigacin.Recolectar los datos implica tres actividades estrechamente vinculadas entre si:a. Seleccionar un instrumento de medicin de los disponibles en el estudio del comportamiento o desarrollar uno (el instrumento de recoleccin de los datos). Este instrumento debe ser vlido y confiable, de lo contrario no podemos basarnos en sus resultados.b. Aplicar ese instrumento de medicin. Es decir, obtener las observaciones y mediciones de las variables que son de inters para nuestro estudio (medir variables).c. Preparar las mediciones obtenidas para que puedan analizarse correctamente (a esta actividad se le llama codificacin de datos).2.2 La recoleccin de Datos.La recoleccin de datos es el momento en el que el investigador entra en contacto con los elementos sometidos a investigacin, con el fin de obtener las respuestas de las variables que se van a estudiar.

Antes de recolectar los datos, es importante analizar los objetivos de la investigacin, precisar las variables e identificar las fuentes de datos, a fin de definir qu datos hay que recolectar y cmo hacer esta tarea.

El trabajo de recoleccin de datos, en general, se puede realizar mediante dos modalidades:a. La tcnica de investigacin documental o bibliogrfica.b. La tcnica de trabajo de campo.Por su parte, el trabajo de campo puede realizarse de dos maneras:i. La observacin y la exploracin en el terreno, que consiste en el contacto directo del investigador con el objeto de estudio.ii. La encuesta y la entrevista, que consiste en acopiar los testimonios orales de las personas.2.3 La informacin Estadstica.La informacin estadstica permite cuantificar y cualificar los aspectos de un problema determinado, en un perodo dado y un lugar concreto.La informacin, sirve para tomar decisiones.Para identificar los datos y la informacin requerida es recomendable tener en cuenta: Los objetivos y la naturaleza de la investigacin, permiten identificar las variables. Conocidas las variables se identifican los datos e informacin que se necesitar. Asegurar la posibilidad de acceso a la fuente de datos. Mejorar progresivamente el conocimiento del problema que se va a estudiar. Tener conocimiento de Estadstica y metodologa de la investigacin.

2.4 Las Fuentes de Datos.Se puede disponer de las siguientes fuentes de datos: Las oficinas de estadstica, se encargan de recolectar, procesar y publicar las estadsticas sociales o nacionales. Archivos o Registros administrativos, estos registros no tienen fines estadsticos, su funcin es de tipo legal y administrativo, pero pueden utilizarse como fuentes de datos estadsticos. Encuestas y Censos, se construyen en un momento determinado, recopilando datos de una parte o de la totalidad de una poblacin. Los elementos o sujetos de una poblacin sometida a estudio, que pueden ser personas, animales, cosas, o instituciones.

2.5 Tcnicas de Recoleccin de Datos.Son procedimientos que se utilizan para recolectar informacin segn la naturaleza del trabajo de investigacin. Puede ser:El cuestionario, la entrevista, el anlisis de contenido, etc.i. La observacin: es la accin de mirar con rigor, en forma sistemtica y profunda, con el inters de descubrir la importancia de aquello que se observa.ii. El cuestionario: es el instrumento constituido por un conjunto de preguntas sistemticamente elaboradas que se formulan al encuestado con el fin de obtener datos de las variables en estudio.iii. La entrevista: es un dialogo entre personas, es una tcnica donde una persona llamada entrevistador, solicita al entrevistado le proporcione algunos datos e informacin. iv. Anlisis de contenido: es la tcnica ms elaborada y que goza de mayor prestigio en el campo de la observacin documental. El fin del anlisis de contenidos consiste en determinar los puntos ms importantes de un documento para observar y reconocer el significado de los mismos en sus elementos, como palabras, frases, etc., y en clasificarlos adecuadamente para su anlisis y explicacin.

CUESTIONARIO Los cuestionarios proporcionan una alternativa muy til para la entrevista; sin embargo, existen ciertas caractersticas que pueden ser apropiada en algunas situaciones e inapropiadas en otra. Al igual que la entrevistas, deben disearse cuidadosamente para una mxima efectividad.Recoleccin de datos mediante cuestionariosPara los analistas los cuestionarios pueden ser la nica forma posible de relacionarse con un gran nmero de personas para conocer varios aspectos del sistema. Cuando se llevan a cabo largos estudios en varios departamentos, se puede distribuir los cuestionarios a todas las personas apropiadas para recabar hechos en relacin al sistema. En mayor parte de los casos, el analista no ver a los que responde; no obstante, tambin esto es una ventaja porque aplican muchas entrevista ayuda a asegurar que el interpelado cuenta con mayor anonimato y puedan darse respuestas ms honesta (y menos respuestas pre hechas o estereotipadas). Tambin las preguntas estandarizadas pueden proporcionar datos ms confiables.Seleccin de formas para cuestionariosEl desarrollo y distribucin de los cuestionarios; por lo tanto, el tiempo invertido en esto debe utilizarse en una forma inteligente. Tambin es importante el formato y contenido de las preguntas en la recopilacin de hechos significativos.Existen dos formas de cuestionarios para recabar datos: cuestionarios abiertos y cerrados, y se aplican dependiendo de si los analistas conocen de antemano todas las posibles respuestas de las preguntas y pueden incluirlas. Con frecuencia se utilizan ambas formas en los estudios de sistemas.Cuestionario AbiertoAl igual que las entrevistas, los cuestionarios pueden ser abiertos y se aplican cuando se quieren conocer los sentimientos, opiniones y experiencias generales; tambin son tiles al explorar el problema bsico, por ejemplo, un analista que utiliza cuestionarios para estudiar los mtodos de verificacin de crdito, es un medio.El formato abierto proporciona una amplia oportunidad para quienes respondan escriba las razones de sus ideas. Algunas personas sin embargo, encuentran ms fcil escoger una de un conjunto de respuestas preparadas que pensar por s mismas.Cuestionario CerradoEl cuestionario cerrado limita las respuestas posibles del interrogado. Por medio de un cuidadoso estilo en la pregunta, el analista puede controlar el marco de referencia. Este formato es el mtodo para obtener informacin sobre los hechos. Tambin fuerza a los individuos para que tomen una posicin y forma su opinin sobre los aspectos importantes.La OBSERVACINOtra tcnica til para el analista en su progreso de investigacin, consiste en observar a las personas cuando efectan su trabajo. Como tcnica de investigacin, la observacin tiene amplia aceptacin cientfica. Los socilogos, siclogos e ingenieros industriales utilizan extensamente sta tcnica con el fin de estudiar a las personas en sus actividades de grupo y como miembros de la organizacin. El propsito de la organizacin es mltiple: permite al analista determinar que se est haciendo, como se est haciendo, quien lo hace, cuando se lleva a cabo, cunto tiempo toma, dnde se hace y por qu se hace."Ver es creer! Observar las operaciones la proporciona el analista hechos que no podra obtener de otra forma.Tipos de ObservacinEl analista de sistemas puede observar de tres maneras bsicas. Primero, puede observar a una persona o actitud sin que el observado se d cuenta y su interaccin por aparte del propio analista. Quiz esta alternativa tenga poca importancia para el anlisis de sistemas, puesto que resulta casi imposible reunir las condiciones necesarias. Segundo, el analista puede observar una operacin sin intervenir para nada, pero estando la persona observada enteramente consciente de la observacin. Por ltimo, puede observar y a la vez estar en contacto con las personas observas. La interaccin puede consistir simplemente en preguntar respecto a una tarea especfica, pedir una explicacin, etc.Preparacin para la observacin1. Determinar y definir aquella que va a observarse.2. Estimular el tiempo necesario de observacin.3. Obtener la autorizacin de la gerencia para llevar a cabo la observacin.4. Explicar a las personas que van a ser observadas lo que se va a hacer y las razones para ello.Conduccin de la observacin1. Familiarizarse con los componentes fsicos del rea inmediata de observacin.2. Mientras se observa, medir el tiempo en forma peridica.3. Anotar lo que se observa lo ms especficamente posible, evitando las generalidades y las descripciones vagas.4. Si se est en contacto con las personas observadas, es necesario abstenerse de hacer comentarios cualitativos o que impliquen un juicio de valores.5. Observar las reglas de cortesa y seguridad.Secuela de la observacin1. Documentar y organizar formalmente las notas, impresionistas, etc.2. Revisar los resultados y conclusiones junto con la persona observada, el supervisar inmediato y posiblemente otro de sistemas.

MODELO DE CUESTIONARIO Estimado empresario:El presente trabajo de investigacin tiene por finalidad, si es aplicable las estrategias de marketing para generar ventajas competitivas empresariales a nivel de las MYPES, es por ello que solicito su gentil colaboracin para resolver el siguiente cuestionario.

1. Conoce Ud. sobre las estrategias de marketing?

a. SI b. NO

2. Usted hace uso de un plan de marketing?

a. Si b. No

3. Usted ha generado ventajas competitivas para su empresa?

a. Si b. No

4. Cmo son las ventajas competitivas empresariales en su empresa?

a. Excelenteb. Bueno c. Regulard. Malo 5. Cmo observa el desempeo de su empresa sin el uso de las estrategias de marketing?

a. Muy bueno b. Bueno c. Regular d. Malo

6. Cmo califica el desempeo de la competencia?

a. Muy buenab. Buena c. Regulard. Mala

7. esta Ud. conforme con las estrategias de marketing que emplea?

a. Si b. No

DATOS DE CONTROL

SEXO: _______________________EDAD: ________________PROCEDENCIA: _____________OCUPACION: __________ESTADO CIVIL: ______________NACIONALIDAD: _______

CAPTULO IIIORGANIZACIN Y PRESENTACION DE DATOS EN TABLAS Y GRFICOS.

3.1 Organizacin y Presentacin de Datos.Luego de recolectar los datos, hay que resumirlos y presentarlos de tal forma, que sea fcil su comprensin, anlisis y utilizacin. Es decir la presentacin de los datos en cuadros y grficos deben ser elaborados de tal manera que hablen por si solos, el investigador debe imaginarse que el que lo va a utilizar no sabe nada de estadstica y que al analizar los cuadros y grficos estadsticos sern fcil de entenderlos.La organizacin y presentacin de los datos estadsticos, supone realizar los siguientes pasos:a) Evaluacin y crtica.- Consiste en inspeccionar la validez y confiabilidad de los datos, para corregir los errores y omisiones de acuerdo a ciertas reglas fijas.b) Codificacin.- Tcnica mediante el cual los datos ya sean numricos o categricos se convierten en un nmero o cdigo que permite la tabulacin electrnica.c) Clasificacin.- Establecer las categoras de las variables.d) Tabulacin de datos.- Es la contabilizacin de los casos en cada una de las categoras de la variable en estudio. La clasificacin puede hacerse en relacin a una sola variable, por ejemplo: segn el ingreso familiar, produccin (t.m), ventas (s/.), ganancias econmicas (s/), estrato social, lugar de nacimiento, profesin, etc. O pueden clasificarse de acuerdo a dos variables, por ejemplo, por sueldo y tiempo de servicio, etc.e) Presentacin de datos.- Una vez hecha la tabulacin se presentan en cuadros, tablas y grficos, esto implica que la informacin estadstica esta organizada para luego analizar e interpretar los resultados.

3.2 Tablas o cuadros de distribucin de frecuenciasSon el resultado de la tabulacin que presenta la distribucin de un conjunto de elementos de acuerdo a las categoras de la variable. En las tablas se observan las repeticiones o frecuencias de cada uno de los valores de la variable en estudio.Las tablas o cuadros de frecuencia presentan las diversas tipos de frecuencias: frecuencia absoluta (fi ni), frecuencia acumulada (Fi), frecuencia relativa (hi), frecuencia relativa acumulada (Hi). Existen tablas unidimensionales y bidimensionales que estudiaremos mas adelante.

3.3 Partes principales de un Cuadro Estadstico.Las partes principales de un cuadro o tabla de distribucin de frecuencias son: a) Nmero o cdigo del cuadro, es el elemento de identificacin para poder ubicarlo dentro de un documento (tesis, monografa, etc)

b) Ttulo, la redaccin del ttulo debe ser breve, clara y completa. Un ttulo debe responder a cuando menos cuatro interrogantes: Qu? : Se refiere a que caracterstica se esta estudiando. Dnde? : Debe indicar el lugar geogrfico o institucin a la que corresponde la investigacin. Cmo? : Cundo? : El tiempo en que se hizo la investigacin.

c) Encabezamiento, est ubicada en la parte superior del cuerpo del cuadro, all se ubican las filas y columnas de un cuadro estadstico, como pueden ser: el nombre de la variable y todas las frecuencias absolutas y relativas.

d) Cuerpo, se refiere a la parte numrica, aqu se presenta la distribucin de los elementos segn la clasificacin en categoras de la variable que se esta investigando.

e) Fuente, aqu se indica la institucin, oficina, publicacin, estudio o fuente de donde se obtuvieron los datos para construir el cuadro de distribucin de frecuencias.

f) Nota de unidad de medida, para expresar en qu unidad est expresada la variable.

g) Elaboracin. Sirve para mencionar al responsable que, utilizando datos originales, se elabor el cuadro estadstico o tabla de distribucin de frecuencias.

PARTES PRINCIPALES DE UN CUADRO DE DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS

CUADRO 01

TTULO

ENCABEZAMIENTO(Aqu se ubica el nombre de la variable y todas las frecuencias)

CUERPO

FUENTE:ELABORACION:

3.4 Construccin de Tablas de Frecuencias3.4.1 Tablas de frecuencia para variables cuantitativas.Son tablas de trabajo estadstico que presentan la distribucin de un conjunto de datos cuando la variable es cuantitativa ya sea discreta o continua.

A. Tablas de frecuencia para variable cuantitativa discretas.Significa que si y solo si puede tomar valores enteros positivos.Ejemplo: El nmero de hijos de los docentes de la Facultad de Ingeniera de Informtica y Sistemas. El nmero de softwares instalados en las computadoras del centro de computo (FIIS).La clasificacin: en este caso se identifican los distintos valores que tiene Xi, primero se ubican el mayor y el menor valor de Xi. . La tabulacin: consiste en determinar la cantidad de veces en que se repite las distintas categoras, es decir, cuantas veces se repite cada valor de la variable (frecuencia absoluta o repeticin).En la construccin de una tabla de frecuencia en ninguno de los casos supone perdida de informacin.Ejemplo: CUADRO 01TTULO

VALORES DE XfiFihiHi

X1f1F1h1H1

X2f2F2h2H2

.....

.....

.....

XKfmFm=nhmHm=1

TOTAL fI =nhi=1

FUENTE: (de donde se obtuvieron los datos)

EJEMPLO PRCTICODada las edades de 15 alumnos de la U.N.A.S., construir la tabla de distribucin de frecuencias.EDAD (X): 20, 25, 23, 18, 18, 25, 20, 18, 20, 23, 20, 19, 18, 19, 20

Solucin:

CUADRO 01

DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE LAS EDADES DE 15 ESTUDIANTES

DE LA U.N.A.S. MATRICULADOS 2012 - I

EDADfiFihiHi

18440.270.27

19260.130.40

205110.330.74

232130.130.87

252150.131.00

TOTAL151.00

FUENTE: OFICINA DE O.B.U.

INTERPRETACION:f3: Existen 5 estudiantes que tienen 20 aos de edad.f2: Existen 2 estudiantes que tienen 19 aos de edad.h3 : El 33% de los estudiantes tienen 20 aos de edad.h2 : El 13% de los estudiantes tienen 19 aos de edad.F3 : Existen 11 estudiantes cuyas edades varan de 18 a 20 aos.H4 : El 87% de los estudiantes tienen edades que varan de 18 a 23 aos.

B. Tabla de frecuencia de variable cuantitativa continuaUna variable cuantitativa continua es aquella que puede tomar cualquier valor comprendido en un intervalo. Es decir puede ser una fraccin decimal.Considerando que la variable continua toma valores racionales se acostumbra presentar los datos utilizando los intervalos de clase en las tablas de frecuencia. Para la construccin de tablas de frecuencias para variables cuantitativas continuas, se realiza tres pasos:

1. RANGO O RECORRIDO, es el recorrido de la variable y se calcula as:R = NMERO MAYOR NMERO MENOR

2. NMERO DE INTERVALOS (m), el nmero de intervalos que tendr la tabla o cuadro de distribucin de frecuencias se calcula utilizando la formula segn STURGES es: m=1+3.32 log(n)El nmero de intervalos puede estar comprendido como mnimo 4 y como mximo 15 intervalos es lo ms recomendables.Adems, el nmero de intervalos se atiende de acuerdo al inters del investigador.

3. AMPLITUD DE CLASE O TAMAO DE INTERVALO (C), es la amplitud de cada intervalo y se calcula C= R / m

CONSTRUCCIN DE CUADROS DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS EN SPSS 15.0

Ejemplo 01:

Los siguientes datos corresponden a una muestra aleatoria de los gastos semanales en dlares de turistas que se alojaron en el hotel Imperial Royal de la ciudad de Tingo Mara en Julio del 2010.

171898181418313292133343133191820

272615382032141417151936333931272617

401425273320171033181225182419302614

25294081123351139372528363710181410

26163683731401710151931383037322934

20262129342837298121620211330192018

PASOS PARA AGRUPAR DATOSFuncin en Excel 2007Del Ejemplo

Tamao de muestra: ( n ) =CONTAR(Seleccionar BD[footnoteRef:1]) [1: BD: base de datos.]

108

Valor Mximo =MAX()40

Valor Mnimo =MIN()8

Rango (R)=Valor Mximo - Valor Mnimo32

Aplicando la regla de STURGES:

N de intervalos (m) =1+3.3*log (n)7.71029

m redondeado =REDONDEAR()8

Amplitud (C ) =R/[m = redondeado]4

El conteo de la base de datos se realiza dentro de los intervalos cerradosPar redondear un nmero decimal a nmero entero

N de intervalos[ Li - Ls ]

1[8 - 11]

2[12 - 15]

3[16 - 19]

4[20 - 23]

5[24 - 27]

6[28 - 31]

7[32 - 35]

8[36 - 40]

N deintervalos[ Li - Ls >

1[ 8 - 12>

2[12 - 16>

3[16 - 20>

4[20 - 24>

5[24 - 28>

6[28 - 32>

7[32 - 36>

8[36 - 40]

Clic en cambiar/clic en valores antiguos y nuevos

Clic en rango

N de intervalos[ Li - Ls ]

1[8 - 11]

2[12 - 15]

3[16 - 19]

4[20 - 23]

5[24 - 27]

6[28 - 31]

7[32 - 35]

8[36 - 40]

Terminado el ltimo intervalo, clic en continuar y aceptar

Luego etiquetar la variable EdadRecod

Hacemos clic en vista de variables

Finalmente obtenemos el resultado del spss 15.

Edad Recodificada

IntervalosFrecuenciaPorcentajePorcentajevlidoPorcentajeacumulado

[8 - 12>1211,111,111,1

[12 - 16>1211,111,122,2

[16 - 20>2018,518,540,7

[20 - 24>109,39,350,0

[24 - 28>1312,012,062,0

[28 - 32>1413,013,075,0

[32 - 36>1211,111,186,1

[36 - 40]1513,913,9100,0

Total108100,0100,0

Para obtener medidas de resumen en el SPSS 15 ingresamos los siguientes datos:

Luego analizar estadsticos descriptivos pasamos la variable Xi (marca de clase) y ok

CONSTRUCCIN DE CUADROS DE FRECUENCIAS PARA DATOS AGRUPADOS En Microsoft Office Excel 2007

N claseso intervalos[ Li - Ls >XifiFihiHiXi*fi

1[8 - 12>1012120.110.111202389.48

2[12 - 16>1412240.110.221681226.81

3[16 - 20>1820440.190.41360746.91

4[20 - 24>2210540.090.5022044.57

5[24 - 28>2613670.120.6233846.38

6[28 - 32>3014810.130.75420485.51

7[32 - 36>3412930.110.864081173.48

8[36 - 40]38151080.141.005702893.52

Total1081.0026049006.67

PARA DETERMINAR LA FRECUENCIA EN EXCEL:FUNCION:=CONTAR.SI (seleccionar base de datos; 0 P (B)P(A / B) satisface los axiomas de probabilidad.1. 0 P(A / B) 12. P(S / B) = 13. P(A1 U A2 / B) = P(A1 / B) + P(A2 / B) si (A1 A2 ) =

Ejemplo:El club UNAS consiste de 120 socios. Del total, son hombres y la mitad son docentes de la Universidad. Adems, 1/3 de las mujeres son no docentes.Se elije al azar un socio del club:a) Calcular la probabilidad de que sea hombre y docenteb) Calcular la probabilidad de que sea hombre, dado que es docente.

Solucin:El espacio muestral S consiste de los 120 socios del club que son clasificados en: Hombre (H), Mujer (M), Docente (D), y No Docente ( ~D)DOCENTE (D)NO DOCENTE(~D)TOTAL

HOMBRE (H)405090

MUJER (M)201030

TOTAL6060120

a) Calcular la probabilidad de que sea hombre y docente.

P(H D) = 40/120

b) Calcular la probabilidad de que sea hombre, dado que es docente.P(H / D) = P (H D) = 40 / 60 = 2/3 Rpta P (D)

XI. REGLAS DE PROBABILIDAD1. PROBABILIDAD DEL PRODUCTOSe utiliza para calcular la probabilidad conjunta o simultanea de dos ms eventos.Si los eventos A y B son dependientes, entonces la ocurrencia conjunta de los eventos es:P(A B) = P(A) . P(B / A)Si los eventos A, B y C son dependientes, entonces la ocurrencia conjunta de los eventos es:P(A B C) = P(A) . P(B / A). P(C / A B)

Si los eventos A y B son independientes, se debe cumplir: P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A).

Luego, la ocurrencia simultanea de los eventos independientes A y B es:P(A B) = P(A) . P(B)La ocurrencia simultanea de los eventos independientes de A, B y C es:P(A B C) = P(A) . P(B). P(C)

Ejemplo: Una empresa, que debe decidir si adquiere un determinado paquete de acciones, solicita un informe a tres asesores financieros para que se pronuncien en forma favorable o desfavorable a la compra. Por experiencias anteriores en operaciones similares, se sabe que los tres asesores tienen actitudes ante el riesgo diferentes e independientes. Esta situacin se refleja en las probabilidades de aconsejar la compra en este tipo de operaciones que son respectivamente 0.8, 0.5 y 0.3. Con esta informacin a priori, calcule:a) La probabilidad de que al menos uno de ellos aconseje la compra.b) La probabilidad de que ninguno de ellos aconseje adquirir el paquete de acciones.

Solucin:a) Sean los 3 asesores A, B y CP(A) = 0.8P(B) = 0.5Y P(C) = 0.3P(A U B U C) = 0.8 x 0.5 x 0.3 = 0.12

b) P(A U B U C)c = 1 - P(A U B U C) P(A U B U C)c = 1 0.12= 0.882. PROBABILIDAD DE LA SUMASe utiliza cuando se desea calcular la probabilidad de que ocurra al menos un evento.Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra A B es:P(AUB) = P(A) + P(B)Si los eventos A, B y C son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra almenos un evento es: P(AUBUC) = P(A) + P(B) + P(C)

Sean A y B dos eventos cualesquiera o no mutuamente excluyentes, definidos en S, entonces:P(AUB) = P(A) + P(B) P(A B)

Si A,B y C son tres eventos cualesquiera de S, entonces:P(AUBUC) =P(A)+P(B)+P(C)P(A B) P(A C) P(B C)+ P(A B C)

XII. TEOREMA DE BAYESEs un mtodo que nos permite calcular la probabilidad de que un evento que ya ocurri sea resultante de alguna causa. Para estudiar este teorema, debemos primero conocer:

PARTICIN DEL ESPACIO MUESTRALEl espacio muestral S puede ser particionado en una serie de eventos mutuamente excluyentes A1 , A2, ......,An . Estos constituyen una particin si cumplen las siguientes condiciones:1. Ai S, Ai S, Ai 2. Ai Aj = , i j 3. A 1 A 2 .......... A n = S

A1

A2

.Ak

PROBABILIDAD TOTALA1 , A2, ......,An una particin cualquiera deun espacio muestral S y sea B un evento subconjunto de S, entonces:B= (B A 1 ) (B A 2 ) (B A 3 ) ........... (B A n )

P(B) = P(B A 1 ) + P (B A 2 ) + P (B A 3 ) +...........+ P (B A n )

A1

A2

.Ak

PROBABILIDAD TOTALSean A1 , A2, ......,A n una particin de S y un evento B cualesquiera distinto del vaco, entonces la probabilidad de un evento Aj dado la ocurrencia del evento B, es dado por:

A1

A2

.Ak

XIII. ALGUNOS PRINCIPIOS DE CONTEO

PERMUTACIN.- Es un arreglo de todos, o parte de, de un conjunto de objetos.

El nmero de permutaciones de n distintos objetos es n!

El nmero de permutaciones de " n " objetos distintos, tomando " r " a la vez, es:nPr = n ! (n - r) !COMBINACIONESEl nmero de combinaciones de " n " objetos distintos, tomando " r " a la vez es:nCr = n ! r ! (n - r) !

EJERCICIOS DE PROBABILIDAD

1. En una bolsa se echan 12 bolitas numeradas correlativamente del 1 al 12. Calcular la probabilidad de obtener un nmero menor que 5 o mltiplo de 5 al sacar una de ellas. A. 1/2 B. 1/3 C. 1/6 D. 1/18 E. 0 2. Calcular la probabilidad de obtener dos ases de un naipe de 52 cartas, sin devolver la primera carta al naipe. A. 1/26 B. 1/352 C. 4/663 D. 1/221 E. 3/674 3. Al lanzar dos dados, cul es la probabilidad de obtener un puntaje menor que 5 mayor que 10? A. 1/72 B. 1/12 C. 1/4 D. 1/6 E. Ninguna de las anteriores 4. Calcular la probabilidad de que al sacar dos fichas de una bolsa, que contiene 3 fichas rojas y 4 blancas, con reposicin, ambas sean fichas rojas. A. 3/4 B. 2/7 C. 6/49 D. 1/7 E. 9/49 5. Si se lanza un dado, calcular la probabilidad de que se obtenga un nmero impar o mltiplo de 3. A. 1/2 B. 2/3 C. 1/3 D. 1/6 E. 5/6 6. Se extraen dos cartas, una tras otra, sin devolucin, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de que ambas cartas sean reyes. A. 1/100 B. 1/5 C. 1/130 D. 23/130 E. 1/20 7. Se lanzan dos dados, cul es la probabilidad de que la suma de los resultados sea menor que 6, si sabemos que dicha suma ha sido mltiplo de 4? A. 1/3 B. 1/4 C. 5/18 D. 3/10 E. Ninguna de las anteriores 8. Determinar la probabilidad de que al lanzar un dado cuatro veces no se obtenga ningn 6. A. 0 B. 1/1296 C. 10/3 D. 2/3 E. 625/1296 9. En un naipe de 40 cartas se toman 3 cartas distintas. Calcular la probabilidad de que sean nmeros distintos. A. 1/64.000 B. 3/40 C. 1/59.280 D. 4/3.705 E. 192/247 10. Se tiene dos urnas con bolas. La primera contiene 2 bolas blancas y 3 bolas negras; mientas que la segunda contiene 4 bolas blancas y una bola negra. Si se elige una urna al azar y se extrae una bola, cul es la probabilidad de que la bola extrada sea blanca? A. 6/5 B. 8/25 C. 2/5 D. 3/5 E. 4/5 11. Cul es la probabilidad de obtener siete puntos en el lanzamiento de dos dados? A. 1/6 B.1/2 C. 7/12 D. 7/36 E. 7/2 12. Al lanzar dos monedas, qu probabilidad hay de obtener una cara y un sello? A. 4 B. 2 C. 1 D. 1/2 E. 1/4 13. Una caja contiene 12 bolas negras y 8 rojas, qu probabilidad hay de no sacar una bola negra? A. 2/5 B. 3/5 C. 2/3 D. 3/2 E. 8 14. Se lanza un dado y sale 4. Qu probabilidad hay de que al lanzarlo nuevamente sume con el primer resultado un nmero menor que 9? A. 1/9 B. 5/6 C. 7/36 D. 4/9 E. 2/3 15. En un curso de 60 alumnos, 1/3 de los alumnos habla ingls, 1/4 habla francs y 1/10 habla los dos idiomas, cul es la probabilidad de que un alumno elegido al azar hable slo un idioma? A. 1/3 B. 1/4 C. 23/60 D. 29/60 E. 7/12 16. Cul de las siguientes expresiones no corresponde a un suceso aleatorio? A. Jugar un juego de azar B. Enfriar agua a 0 C. C. Lanzar una piedra y medir su alcance D. Preguntarle a un desconocido si fuma E. Apostar en una carrera de caballos 17. Qu probabilidad hay de que la lanzar 2 dados se obtenga una suma menor que 6? A. 10 B. 5/6 C. 1/6 D. 5/18 E. 5/36

18. Cul es la probabilidad de ganar el premio de una rifa para la cual se venden 20 listas y cada lista tiene 20 nmeros, si se compran 4 nmeros? A. 1/100 B. 1/10 C. 1/5 D. 1/4 E. Ninguna de las anteriores 19. Cuntos elementos tiene el espacio muestral que se obtiene al lanzar 3 monedas? A. 27 B. 9 C. 8 D. 6 E. 3 20. Al lanzar un dado 2 veces consecutivas, qu probabilidad hay de obtener primero un 3 y luego un nmero par? A. 1/3 B. 1/12 C. 1/9 D. 2/3 E. 4

21. En una ciudad se publican los peridicos A, B y C. Una encuesta reciente de lectores indica lo siguiente: 20% leen A, 16% leen B, 14 % leen C, 8% leen A y B, 5% leen A y C, 4% leen B y C y 2% leen A, B y C. Para un adulto elegido al azar, calcular la probabilidad de que:a) No lea ninguno de los peridicos.b) Lea exactamente uno de los peridicos.

22. Suponga que cada una de dos tiendas comerciales (1 y 2) vende lavadoras de dos marcas (A y B). La probabilidad de que alguien compre una lavadora en la tienda 1 es 3/4 y la probabilidad de que alguien que se sabe que compra una lavadora en la tienda 1 compre la marca A es 1/3. Simultneamente la probabilidad de que alguien que se sabe que compra una lavadora en la tienda 2 compre la marca A es 1/4. Dado que alguien compr una lavadora de la marca A cul es la probabilidad d que haya sido de la tienda 1?

23. Hallar los siguientes espacios muestrales:1. E: lanzar una moneda 3 veces.1. E: lanzar una moneda y un dado a la vez.1. E: medir la vida til (en hrs.) de una marca de disco duro.1. E: determinar la posicin de cada de un dardo que es tirado hacia un blanco circular de 5 cm. de radio.

24. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es de 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los dos premios es 3/4, calcular la probabilidad de ganar:1. slo uno de los dos premios.1. Ninguno de los dos premios.

25. Se lanza un dado y se observa el nmero obtenido. Calcular la probabilidad de obtener: 1. tres puntos.1. Al menos 5 puntos.

26. Se lanza un dado 2 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener:1. siete puntos.1. Seis puntos slo en la segunda tirada.1. Siete puntos o 6 puntos slo en la segunda tirada.1. Siete puntos y 6 puntos slo en la segunda tirada.27. Un sistema esta formado por dos componentes A y B cuyas probabilidades de fallo son 1/6 y 2/15 respectivamente. Si la probabilidad de que al menos uno de los dos componentes falle es 7/30. Calcular la probabilidad de que:1. ninguno de los dos componentes falle.1. Slo uno de los dos componentes falle.

28. Un club consiste de 150 miembros. Del total, 3/5 son hombres y 2/3 son profesionales. Adems, 1/3 de las mujeres son no profesionales. Se elige al azar un socio del club:1. calcular la probabilidad de que sea hombre y profesional.1. calcular la probabilidad de que sea hombre, dado que es profesional.

29. Si P( B) = 3/15 P(B/A) 1/5 y P(A B) = 1/15 calcular P(AB )

30. Antes de efectuar una encuesta a nivel nacional se seleccionaron 40 personas para probar el cuestionario. Una pregunta acerca de s se debe o no construir una planta industrial, cerca de los pantanos de Villa, requiere una respuesta de s o no.a) Cul es el experimento?b) Cules son los posibles eventos?c) Diez de las 40 personas se declararon a favor de la construccin. Con base en estas respuestas muestrales. Cul es la probabilidad de que una persona especfica est a favor de la construccin?d) Los eventos son por igual probables, mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos?

31. Se va a entrevistar a un grupo selecto de empleados de la UNAS con respecto a una nueva facultad, se efectuaran entrevistas detalladas a cada uno de los empleados seleccionados en la muestra. Los empleados se clasificaron como sigue:

CLASIFICACION EVENTONUMERO DE PERSONASFuncionarios A150Secretarias B 80Profesores C 160Alumnos D402a) Cul es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea un funcionario.b) Cul es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea una secretaria?c) Cul es la probabilidad de que la primera persona seleccionada sea funcionario o una secretaria?

32. El departamento de crdito de una empresa comercial, inform que 30% de sus ventas son en efectivo, 30% se pagan con cheque en el momento de la adquisicin y 40% son a crdito. Se tiene que 20% de las compras en efectivo, 90% en cheques y 60% de las compras a crdito son por ms de $ 50. Pedro acaba de comprar un terno que cuesta $180 Cul es la probabilidad de que haya pagado en efectivo?

33. Una empresa tiene 4 proveedores de materia prima. En la tabla que sigue se muestran las cantidades adquiridas de cada proveedor y el porcentaje de materia prima defectuosa que cada uno proporciona.PROVEEDOR % ADQUIRIDO % DEFECTUOSOA302.50B201.75C253.00D251.00El material empleado esta maana result defectuoso. Cul es la probabilidad de que se haya adquirido de la compaa B?

Los ejercicios del 35 al 39 se basan en lo que sigue: una encuesta de estudiantes de la UNAS, revel lo siguiente en lo que se refiere al genero y Facultad de los estudiantes:MENCIN DE INTERESSEXO RNRZOOTECNIAFIAVARONES 9015070MUJERES 110 50130

34. Cul es la probabilidad de seleccionar una estudiante?

35. Cul es la probabilidad de seleccionar a alguien que estudie en la facultad de RNR, o ZOOTECNIA, o FIA ?

36. Cul es la probabilidad de seleccionar un estudiante de zootecnia, dado que la persona seleccionada es de sexo masculino?

37. Cul es la probabilidad de seleccionar un alumno del FIA, dado que la persona seleccionada es de sexo femenino?

38. Cul es la probabilidad de seleccionar un varn, dado que estudia RNR?

39. Un estudio realizado por la oficina de Turismo de T.M. revel que 60% de los turistas que visitan la ciudad van a la cueva de las pavas, 40% visitan cuevas de las lechuzas, 30% visitan ambos lugares. Cul es la probabilidad de que un turista especfico visite al menos uno de los sitios?40. La probabilidad de que una industria agroindustrial se ubique en T.M. es de 0.7; de que se localice en Aucayac, es de 0.4, y de que se encuentre ya sea en T.M. o en Aucayac. es 0.8 Cul es la probabilidad de que la industria se localice:a) en ambas ciudades?b) en ningunas de las 2 ciudades?

41. La probabilidad de que un vuelo de programacin regular despegue a tiempo es 0.83; la de que llegue a tiempo es 0.82; y la de que despegue y llegue a tiempo es 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avin: a) llegue a tiempo dado que despeg a tiempo.b) Despegue a tiempo dado que lleg a tiempo.

42. Un espacio muestral de 200 adultos se clasifica de acuerdo con su sexo y nivel de educacin:EDUCACINHOMBRE MUJERPrimaria 38 45Secundaria 28 50Bachillerato 22 17Si se selecciona aleatoriamente a una persona de este grupo, encuentre la probabilidad de que:a) Sea hombre dado que tiene secundaria.b) No tenga grado de profesional dado que es mujer.

43. En la ciudad de T.M., Panamericana televisin emite un programa noticiero por la maana, y otro 24 horas, en la noche. El 10% de las familias de esta ciudad sintonizan el programa por la maana, 30% ven el programa por la noche y 7% ven ambos programas. Cul es el porcentaje de las familias que no ven ninguno de estos dos programas informativos?

44. En Tingo Mara, el Hotel Madera Verde clasifica sus clientes en tres categoras: Los clientes que viajan en tours organizados por agencias de viajes. Los clientes independientes, que viajan por su cuenta. Los hombres de negocios.La gerencia desea determinar la relacin entre el tipo de cliente y el tipo de pago. Ha seleccionado 230 clientes de los que hosped durante el mes diciembre del ao pasado y los a clasificado en la siguiente tabla:Tipo de PagoCliente Tarjeta de Crdito Efectivo

Agencia de Viaje6545Independiente3030Hombre de Negocios5010Cul es probabilidad de que si se selecciona un cliente al azar de esta muestra:a. el cliente sea hombre de negocios?b. el cliente sea hombre de negocios y pague al crdito?c. el cliente sea hombre de negocios o pague en efectivo?d. Supongamos que el cliente es independiente. Cul es la probabilidad de que se pague al crdito?e. Los dos eventos: ser un cliente de agencia de viaje y pagar al crdito son independientes? Explquelo.

45. Uno de los propsitos de la auditoria es el de detectar errores de procedimiento o de juicio en el asiento de informacin contable. Suponga que un estudio de contadores esta llevando a cabo una auditoria sobre las practicas contables de una empresa en la cual la afectacin de cuentas (de clientes) la hacen tanto por el Dpto. de ventas a mayoristas como el de ventas a minoristas. Se sabe que el 70% de todas las cuentas son de mayoristas y mas an, se sabe que el 10% de las cuentas de mayoristas y el 20% de las cuentas de minoristas tienen algn tipo de error contable. Si los auditores observan un error en una cuenta de clientes, encuentre la probabilidad de que sea de las de mayoristas.

46. Una empresa, que debe decidir si adquiere un determinado paquete de acciones, solicita un informe a tres asesores financieros para que se pronuncien en forma favorable o desfavorable a la compra. Por experiencias anteriores en operaciones similares, se sabe que los tres asesores tienen actitudes ante el riesgo diferentes e independientes. Esta situacin se refleja en las probabilidades de aconsejar la compra en este tipo de operaciones que son respectivamente 0.8, 0.5 y 0.3. Con esta informacin a priori, calcule:c) La probabilidad de que al menos uno de ellos aconseje la compra.d) La probabilidad de que ninguno de ellos aconseje adquirir el paquete de acciones.(Casas)

47. Segn datos de la SUNAT, el 60% de los contribuyentes obtienen la mayor parte de sus ingresos por rendimientos del trabajo, el 30% por rendimientos del capital mobiliario y el resto por otros rendimientos. Tambin se sabe que la probabilidad de que la declaracin resulte positiva si se han obtenido los mayores ingresos por rendimientos de trabajo es de 0.4 y la de que salga negativa si los mayores ingresos proceden de rendimientos de capital mobiliario es 0.2 .No existe ninguna declaracin que salga positiva si la mayor parte de los ingresos se obtienen por otros rendimientos. Se considera que todas las declaraciones son o bien positivas o bien negativas.a) Calcule la probabilidad de que una declaracin elegida al azar resulte positiva.b) Cul es la probabilidad de que una declaracin elegida al azar resulte positiva y la mayor parte de los ingresos del contribuyente procedan de rendimientos del trabajo?c) Si se est investigando una declaracin que ha resultado negativa, calcule la probabilidad de que los mayores ingresos del contribuyente procedan de rendimientos de capital mobiliario. (Casas)

48. Una empresa multinacional realiza operaciones comerciales en 3 mercados (A, B y C). El 20% de las operaciones de la multinacional corresponden al mercado A, y en los mercados B y C realiza exactamente el mismo nmero de operaciones. El porcentaje de operaciones en las que se producen retrasos en el pago es del 10, 15 y 5 por ciento en los mercados A, B y C respectivamente.a) En qu porcentaje de operaciones de la multinacional no se producen retrasos en el pago?b) Qu porcentaje de las operaciones en las que se ha retrasado el pago han sido realizadas en el mercado B?c) Elegida una operacin al azar, qu probabilidad hay de que no tenga retraso en el pago y corresponda al mercado A o C?d) Entre las operaciones que no han sufrido retraso en el pago, cul es el porcentaje de las que corresponden a los mercados A o C ? (Casas)

49. En cierta facultad el 25% de los estudiantes desaprueban matemticas, el 22% qumica y el 12% ambas. Se selecciona un estudiante al azar.a) Si ha desaprobado qumica, cul es la probabilidad de que desapruebe matemticas?b) Si tiene qumica aprobada, cul es la probabilidad de que tenga tambin la matemtica aprobada?

50. En la facultad de sistemas, el 28% de los estudiantes desaprobaron matemticas, el 12% desaprobaron estadstica y el 8 % desaprobaron las dos asignaturas. Se selecciona un estudiante al azar.a) Si desaprob estadstica, cul es la probabilidad de que desaprobara matemticas?b) Si desaprob matemticas, cul es la probabilidad de que desaprobara estadstica?c) Cul es la probabilidad de que desaprobara matemticas o estadstica? (vila)

51. La probabilidad de que un comerciante venda dentro de un mes un lote de lavadoras es 0.45 y la probabilidad de vender un lote de hornos micro ondas dentro de un mes es 0.35.Hallar la probabilidad de que:a) Venda los dos lotes de artculos dentro de un mes.b) Venda al menos uno de los lotes dentro de un mes.c) Venda ninguno de los lotes dentro de un mes.d) Solamente venda el lote de lavadoras dentro de un mes. (vila)

52. En un lote de 12 artculos hay 4 defectuosos. Si se toma al azar 3 artculos uno tras otro. cul es la probabilidad de que los 3 sean buenos? (vila)

53. En una empresa del total de trabajadores, se tiene que el 50% son profesionales, el 28% tcnicos y el resto personal de servicio; adems se tiene que el 5% de los profesionales, el 8% de los tcnicos y el 12% del personal de servicio son contratados. Suponga que se selecciona un trabajador al azar y resulta ser contratado. Hallar la probabilidad de que el trabajador sea tcnico. (vila)

54. En una empresa textil el 28% de los trabajadores y el 15% de las trabajadoras mujeres tienen sueldos superiores a los 1200 nuevos soles. Adems el 55% de las trabajadoras son mujeres. Si se selecciona al azar un trabajador y gana 1800 nuevos soles, cul es la probabilidad de que el trabajador elegido sea mujer? (vila)

55. En una Universidad, el 65% de los estudiantes son del grupo sensacin, y el resto son del grupo armona. En las elecciones para presidente de la federacin de estudiantes se presentan 2 candidatos, Jorge y Walter. Realizadas las elecciones el 75% del grupo sensacin y el 15% del grupo armona votaron por Jorge. El 25% de sensacin y el 85% de armona votaron por Walter. Si se selecciona un votante al azar:a) cul es la probabilidad de que haya votado por Walter?b) Si se sabe que el votante dio su voto a Jorge, cul es la probabilidad que sea del grupo sensacin? (vila)

56. De los archivos de la oficina de personal de una Universidad se obtuvo la siguiente informacin: el 25% de los empleados son profesionales, 55% estn casados, 50% tienen ms de 40 aos, 42% tiene ms de 40 aos y estn casados y solo el 20 % de los empleados no son profesionales, no estn casados y ni tienen ms de 40 aos. Si se selecciona al azar un empleado de esta Universidad.a) Hallar la probabilidad de que sea profesional o esta casado.b) Hallar la probabilidad de que no sea profesional y no este casado.c) Hallar la probabilidad de que sea profesional, este casado y tenga 50 aos. (Gonzles)

57. En una fabrica se tiene 3 maquinas en las que producen las proporciones de 50%, 35% y 15% artculos respectivamente. Se sabe que el 4%, 8% y 6% de artculos defectuosos se producen en las maquina 1,2 y 3. a) cul es la probabilidad de que una maquina seleccionada al azar no produzca artculos defectuosos.b) Si una cierta maquina no produce artculos defectuosos. cul es la probabilidad de que sea de la maquina 1?c) Si una cierta maquina no produce artculos defectuosos. cul es la probabilidad de que sea de la maquina 3? (Gonzles)

58. De la poblacin econmicamente activa el 70 % son comerciantes, el 50% tienen casa propia y el 35% son comerciantes y tienen casa propia.a) Probar que los dos eventos son independientes.(Gonzles)

59. En una universidad privada, el 8% de los profesores nombrados desempean cargos directivos, el 10% pertenecen a alguna comisin, y nicamente el 4% desempean un cargo directivo y adems pertenecen a una comisin.a) Cul es el porcentaje de profesores nombrados que pertenecen a alguna comisin y no ostentan ningn cargo directivo?b) Calcule el porcentaje de profesores nombrados que no desempean ningn cargo ni pertenecen a ninguna comisin.c) Si en la universidad hay 300 profesores titulares, cuntos de ellos ostentan cargos directivos y no pertenecen a ninguna comisin?d) Qu porcentaje de profesores nombrados con cargos directivos pertenecen a alguna comisin? (Casas ejer.2.5)

60. Se conoce la siguiente informacin relativa a los eventos A, B y C:P(AUB) = 0.92P(B/C) = 0.60P(BUC) = 0.76P(A/B) = 0.80P(AB) = 0.48P(AC) = 0.20a) calcule las probabilidades de los eventos B, A, B/A, C, BC, ~AB, ~A/B y ~B/A.(Casas ejer.2.9)

61. Una asociacin de fabricantes de electrodomsticos ha realizado un estudio sobre la calidad de sus productos aplicndoles varios controles diferentes. El 30% de su produccin son lavavajillas, el 40% son lavadoras, y el resto son frigorficos. Pasan todos los controles de calidad el 20% de las lavavajillas, el 40% de las lavadoras y el 20% de los frigorficos.a) Calcule la probabilidad de que un electrodomstico elegido al azar pase todos los controles de calidad.b) Suponiendo que un electrodomstico elegido al azar ha superado todos los controles de calidad, calcule la probabilidad de que sea una lavavajilla, una lavadora o un frigorfico.(Casas ejer.2.12)

62. Una escuela de Postgrado comenz a impartir una maestra en negocios. El primer ao se matricularon 49 personas, 25 de ellas varones. Del total de matriculados, 21 alumnas y 20 alumnos consiguieron terminar sus estudios dicho ao. De cara a la planificacin del ao siguiente, y basndose en la informacin obtenida en el primer ao, calcule:a) Probabilidad que tiene una persona de terminar sus estudios en un ao.b) Probabilidad de que un estudiante elegido al azar sea alumna y apruebe.c) Probabilidad de que apruebe una alumna.d) Probabilidad de que un estudiante elegido al azar est suspenso y sea varn.e) Probabilidad de que suspenda un alumno.(Casas ejer.2.13)

63. Una importante cadena de restaurantes de la costa peruana se plantea formalizar la solicitud de admisin en una asociacin hotelera de prestigio. Para evaluar el nivel de calidad de sus lomos saltados constituye un equipo de expertos que deben calificar como aptos o no aptos las seleccionadas para su inspeccin. Las clases de lomos saltados son:Clase A: Con mas de 300 g. de carne.Clase B: Entre 100 y 300 g de carne.Clase C: Con menos de 100 g de carne.Los porcentajes de lomos saltados preparados de la clase B y C son, respectivamente, 30 y 50%. Tras un mes de trabajo, el equipo presenta un informe en el que se contienen las siguientes conclusiones: Se considera como aptas el 20% de los lomos saltados de clase C, el 30% de las de clase B y el 40% de las de clase A.a) Calcule la probabilidad de calificar como apta un lomo saltado cualquiera.b) Suponiendo que un lomo saltado a sido calificado no apto, obtenga las probabilidades de que sea de cada una de las tres clases A, B y C.

64. Suponga que en un sorteo la probabilidad de ganar el primer premio es de 2/5 y la de ganar el segundo premio es 3/8. Si la probabilidad de ganar al menos uno de los dos premios es 3/4, calcular la probabilidad de ganar:a) slo uno de los dos premios.b) Ninguno de los dos premios.

65. Se lanza un dado y se observa el nmero obtenido. Calcular la probabilidad de obtener: a) tres puntos.b) Al menos 5 puntos.66. Se lanza un dado 2 veces consecutivas. Calcular la probabilidad de obtener:a) siete puntos.b) Seis puntos slo en la segunda tirada.c) Siete puntos o 6 puntos slo en la segunda tirada.d) Siete puntos y 6 puntos slo en la segunda tirada.

67. Un sistema esta formado por dos componentes A y B cuyas probabilidades de fallo son 1/6 y 2/15 respectivamente. Si la probabilidad de que al menos uno de los dos componentes falle es 7/30. Calcular la probabilidad de que:a) ninguno de los dos componentes falle.b) Slo uno de los dos componentes falle.

68. Un club consiste de 150 miembros. Del total, 3/5 son hombres y 2/3 son profesionales. Adems, 1/3 de las mujeres son no profesionales. Se elige al azar un socio del club:a) calcular la probabilidad de que sea hombre y profesional.b) calcular la probabilidad de que sea hombre, dado que es profesional.

69. Si P( B) = 3/15 P(B/A) 1/5 y P(A B) = 1/15 calcular P(AB )

70. En la UNAS el 8% de los profesores nombrados desempean cargos administrativos, el 10% pertenecen a comisiones permanentes y nicamente el 4% desempean cargos administrativos y adems pertenecen a comisiones permanentes.a. Cul es el porcentaje de profesores nombrados que pertenecen a comisiones permanentes y no ostentan ningn cargo administrativo?b. Calcule el porcentaje de profesores nombrados que no desempean ningn cargo administrativo ni pertenecen a comisiones permanentes?c. Si en la UNAS hay 200 profesores nombrados, Cuntos de ellos ostentan cargos administrativos y no pertenecen a ninguna comisin permanente?d. Qu porcentaje de profesores nombrados con cargos directivos pertenecen a alguna comisin permanente?

71. Una asociacin de fabricantes de alimentos ha realizado un estudio sobre la calidad de sus productos aplicndoles varios controles diferentes. El 30% de su produccin son fideos tallarines, el 40% fideos coditos, y el resto cabello de ngel. Pasan todos los controles de calidad el 80% de los tallarines, el 90% de los coditos y 75% de los cabellos de ngel.a. Calcule la probabilidad de que un paquete de fideos elegidos al azar pase todos los controles de calidad.b. Suponiendo que un paquete de fideos elegido al azar ha superado todos los controles de calidad, calcule la probabilidad de que sea fideos tallarines.c. Suponiendo que un paquete de fideos elegido al azar ha superado todos los controles de calidad, calcule la probabilidad de que sea fideos coditos.d. Suponiendo que un paquete de fideos elegido al azar ha superado todos los controles de calidad, calcule la probabilidad de que sea fideos cabello de ngel.

72. La probabilidad de que una persona ahorre en la caja maynas es de 0.6, la probabilidad de que ahorre en la cooperativa tocache es 0.5 y la probabilidad de que ahorre en ambas instituciones financieras es 0.2. Hallar :a. De que ahorre en algunas de las dos instituciones.b. De que ahorre solo en cajas maynas.c. De que ahorre solo en cooperativa tocache.d. De que no ahorre.

73. Suponga que en un proceso de produccin se utilizan las mquinas 1 y 2, que trabajan en forma independiente para producir cierto bien. si la probabilidad de que ambas mquinas fallen es 1/5 y de que falle slo la 2 es 2/15. Calculare la probabilidad de que:a. Falle slo la mquina 1.

74. Una asociacin de fabricantes de alimentos ha realizado un estudio sobre la calidad de sus productos aplicndoles varios controles diferentes. El 30% de su produccin son fideos tallarines, el 40% fideos coditos, y el resto cabello de ngel. Pasan todos los controles de calidad el 80% de los tallarines, el 90% de los coditos y 75% de los cabellos de ngel.a) Calcule la probabilidad de que un paquete de fideos elegidos al azar pase todos los controles de calidad.b) Suponiendo que un paquete de fideos elegido al azar ha superado todos los controles de calidad, calcule la probabilidad de que sea fideos tallarines.c) Suponiendo que un paquete de fideos elegido al azar ha superado todos los controles de calidad, calcule la probabilidad de que sea fideos coditos.d) Suponiendo que un paquete de fideos elegido al azar ha superado todos los controles de calidad, calcule la probabilidad de que sea fideos cabello de ngel.

75. El club UNAS cuenta con 150 miembros. Del total, 3/5 son hombres y 2/3 son profesionales. Adems, 1/3 de las mujeres son no profesionales. Se elige al azar un socio de club:a) Calcular la probabilidad de que sea hombre y profesional.b) Calcular la probabilidad de que sea hombre, dado que es profesional.

76. Suponga que en un proceso de produccin se utilizan las mquinas 1 y 2, que trabajan en forma independiente para producir cierto bien. si la probabilidad de que ambas mquinas fallen es 1/5 y de que falle slo la 2 es 2/15. Calculare la probabilidad de que:a) Falle slo la mquina 1.

77. En un da cualesquiera 4 mquinas M1, M2, M3 y M4 producen un bien de consumo en las siguientes proporciones: M1 produce el doble de M4, M3 produce el triple de M4, mientras que M1 produce la mitad de M2. Las producciones no defectuosas son respectivamente 95%, 95% y 90% para M1, M2 y M3 respectivamente. Si se elige al azar un artculo de la produccin de un da y se encuentra que la probabilidad de que resulta no defectuosa es 0.93a) Cul es el porcentaje de produccin no defectuosa de M4?b) De que mquina es mas probable que provenga un artculo defectuoso?

78. El Departamento de Transporte Pblico de la municipalidad de Lima realiz una investigacin a 1000 personas para determinar los diferentes medios de transporte utilizados durante el ao anterior. Los resultados de la investigacin nos indica que:420 personas viajaron en mnibus580 personas viajaron en microbs200 personas viajaron en taxi180 personas viajaron en mnibus y en microbs60 personas viajaron en mnibus y en taxi80 personas viajaron en microbs y en taxi30 personas viajan de las tres formas.Seleccionando al azar una persona de la muestra, seale la probabilidad de que utilice:a) Slo mnibus.b) Slo mnibus y microbs.c) Slo mnibus y taxi.d) Slo taxie) Slo microbs.f) Ninguno de los tres medios.

CAPTULO VIII DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribucin de probabilidad. Esta distribucin especifica su forma y sus parmetros.En muchas tareas o anlisis de aplicacin estadstica, se busca determinar una distribucin de probabilidad o modelo de probabilidad que satisfagan un conjunto de supuestos, para estudiar los resultados observados de un experimento aleatorio.

1. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASMuchos de los acontecimientos cotidianos, pueden ser representados mediante funciones probabilsticas tericas, que son tiles en la toma de decisiones bajo condiciones de incertidumbre que contribuyen al desarrollo de la ciencia. Veamos algunos de ellos: 0. DISTRIBUCIN DE BERNOULLI. Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto evento ocurre o no.

Caractersticas:0. La prueba tiene 1 de 2 resultados mutuamente excluyentes (xito o fracaso).0. Las probabilidades de xito (E) y fracaso (F) se denotan con " p(E)=p " y " p(F)=1-p = q" respectivamente. 0. X: es el nmero de xitos x = 0,1.0. Distribucin de probabilidad de Bernoulli.La variable aleatoria X tiene una distribucin de Bernoulli con parmetro p y denotado por: XBer(p). La distribucin de probabilidad de la variable aleatoria Bernoulli es:CUANTIA:

Donde p es la probabilidad de conseguir un xito y f define una funcin de cuanta con parmetro p.DISTRIBUCION.

Si x tiene una distribucin de probabilidad de bernoulli de parmetros p, entonces la media y la varianza de la variable aleatoria es respectivamente: = p = p q

a)

b)PROBLEMA: Un experimento aleatorio consiste en seleccionar un artculo defectuoso de un lote 1000 artculos que contiene 20 defectuosos. 1. Construir la cuanta y 0. distribucin asociados a dicho experimento. 0. Calcule esperanza matemtica y 0. varianza de la variable de la variable con distribucin de Bernoulli.0. Calcule

Solucin: p= (20/1000)=0.02 Probabilidad de xito. 1-p=q=1-0.02=0.981. CUANTA

0. DISTRIBUCIN

1 0 1 0.98 x F(x)

Si X~Bernoull(x; 0.02), entonces:0. Esperanza matemtica = p=0.020. Varianza = p q=0.02(0.98)=0.0196

0. =F(1.5)-F(0)=1-0.980. DISTRIBUCIN BINOMIAL

Consiste en realizar un experimento aleatorio n pruebas independientes y repetitivas de Bernoull y observar si cierto evento ocurre o no.

Caractersticas:

Una variable aleatoria X cuyos valores posibles son discretos (1, 2, 3, 4,, n) y esta es asociada al nmero de aciertos en n ensayos sigue una distribucin de probabilidad Binomial de importante uso los negocios; si al realizar un determinado experimento se cumple que:

1. La totalidad del experimento se puede describir en funcin de una secuencia de n experimentos idnticos conocidos como ensayos. Experimento que consiste en n pruebas o ensayos Bernoulli idnticos.1. En cada uno de los ensayos, son posibles solamente dos resultados. Nos referimos a uno de ellos como xito (acierto) y al otro como fracaso.1. Las probabilidades de los dos resultados no se modifican de un ensayo al siguiente. La p(xito)= p y p(Fracaso)= (1-p)=q se mantienen constantes a lo largo de todas las pruebas o ensayos.1. Los n ensayos o pruebas son independientes, es decir el resultado de un ensayo no afecta los siguientes o anteriores

CUANTIA:

Permite obtener la probabilidad simple de obtener x aciertos en un total de n ensayosDISTRIBUCION.

Permite obtener la probabilidad acumulada de obtener hasta x aciertos en un total de n ensayos.Donde:p: Probabilidad de xitoq = (1 -p): Probabilidad de fracason : nmero de pruebasx : nmero de xitos en n pruebasSi x es variable aleatoria con distribucin Binomial B(X; n, p) entonces: La esperanza matemtica es =E(X) = np , y la varianza es =V(X) = np(1 p)La variable aleatoria X, nmero de xitos en n ensayos de Bernoull se puede escribir como una suma de n variables aleatorias independientes de Bernoull. Esto es

Siendo de Bernoull con: y Luego:

a)

b) NOTA. Si p=1/2, la distribucin binomial B(n,p) es simtrica. Adems, si p1, la distribucin tiene asimetra negativa (cola a la izquierda), y si p0, la distribucin tiene asimetra positiva (cola a la derecha).

PROBLEMA: Una mquina selladora de bolsas se desajusta durante el proceso de envasado de leche, aunque el operador esta alerta existe una probabilidad de 0.08 que el artculo producido sea defectuoso.1. Cul es la probabilidad que en una muestra de 12 artculos producidos ninguno sea defectuoso?1. Cul es la probabilidad que al menos uno sea defectuoso en un lote de 15?1. Cul es el nmero promedio de artculos defectuosos en un lote de 1000 artculos producidos? y Cul es su desviacin tpica?solucin

i) p (x = 0) = f (0) = b( 0; 12, 0.08 ) = (0.,08)0 (0.92)12 = 0.9212Usando la tabla: b(0; 12 , 0.08) = B (0; 12 ,0.08) = 0.36771. p( X 1 ) = 1 - p(x 1) = 1 - p (x = 0) = 1 - 0.9215Usando tablas: p( X 1) = 1 - p(X 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - B (0; 15 , 0.08) = 0.7137 = np = 1000(0.08) = 80

=

PROBLEMA: La probabilidad que un rayo impacte en un poste o cable de energa elctrica de la red de distribucin de la Regin, en una noche de lluvia tormentosa es 0.15. Encontrar la probabilidad que de 20 noches de lluvia:1. Ocurra exactamente un impacto1. Ocurra a lo sumo de 3 impactos 1. Ocurran de 2 o ms impactossolucin:

x b(x; 20 , 0.15)USO DE LA TABLA1. P(x =1) = f(1) = b(1; 20 , 0.15) = B(1; 20 , 0.15) - B(0; 20 , 0.15)

= 0.1756 - 0.0388 = 0.13681. P(x 3) = B(3; 20 , 0.15) = 0.6477

1. P(x 2)= 1 - P(x < 2) = 1 - P(x 1) = 1 - B(1; 20 , 0.15) = 1 - 0.1756 = 0.8244USO DE LA TABLA1. b (5;15 ,0.40) = 0.1859 Tabla de probabilidades simples1. B(8; 12 , 0.70) = 0.5075 Tabla de probabilidad acumulada Verifique que: B(8; 12 , 0.70) = 1 - B(3; 12 , 0.30) = 1 - 0.4925 = 0.5075 1. b(8; 12 , 0.70)= 0.2312 Tabla de probabilidades simplesVerifique que: b(8; 12 , 0.70) = B(4; 12 , 0.30) = B(4; 12, 0.30)-B(3;12,0.30)= 0.7237 - 0.4925 = 0.23121. Para n=20 p=0.10 Calcular i) P(5 x 9); ii) P:1. P(5 x 9) = =0.009+0.002+0.000=0.0111.

P===B(9; 20 , 0.10) - B(4; 20 , 0.10) = 1- 0.9568 = 0.04321.

===B(8;16,0.20)-B(4;16,0.20)=0.9985-0.7982=0.2003NOTA: Observe que, en general, B(n; n , p) = 1

0. DISTRIBUCIN DE POISSON

Frecuentemente enfrentamos problemas como, llegadas o arribos a un sistema real, por ejemplo: El nmero de automviles a una estacin de servicios en el tiempo de una hora, el nmero de reparaciones que se necesitan en 10 kilmetros de las carreteras, el nmero de personas que llegan a usar el cajero automtico de un banco en una hora de tiempo, etc., en general procesos relacionados con servicios prestados por ciertas dependencias pblicas, casetas de peaje, y el nmero de accidentes efectuados en cierta rea de gran congestin. El modelo Poisson es utilizado para describir estos tipos de procesos y resulta aplicable, siempre y cuando se cumplan las siguientes dos condiciones:1. La probabilidad de ocurrencia de un evento es la misma para cualesquiera de dos intervalos de igual longitud1. La ocurrencia o no ocurrencia del evento en cualquier intervalo es independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo. Los eventos son independientes entre si.Caractersticas:

0. El experimento en que el nmero de xitos ocurre durante una unidad de tiempo rea o volumen.0. La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiempo, rea o volumen es la misma para todas las unidades.0. El nmero de xitos que ocurren en una unidad de tiempo, rea o volumen es independiente del nmero que ocurren en otras unidades.0. El nmero medio de eventos en cada unidad se denota por Lambda ().

Su creador fue el francs Simen Denisse Poisson (1781-1840)

, x = 0, 1, 2,donde: : Nmero medio de xitos de eventos en una unidad dada de tiempo, rea o volumenx : nmero de xitose : base neperiano el cual equivale a 2.71828x : factorial de x

La media y la varianza de la variable aleatoria de la distribucin de Poisson son respectivamente: = y = MODELOExperimento binmico en que la probabilidad de xito es bastante pequea (p0) en tanto que la muestra es grande (n), su parmetro es =np parmetroCUANTA

Donde: : Nmero medio de xitos de eventos en una unidad dada de tiempo, rea o volumenx : nmero de xitose : base neperiano el cual equivale a 2.71828x : factorial de x0. DISTRIBUCIN

Si X es una variable aleatoria con distribucin de Poisson P(x,), entonces la media y la varianza de la variable aleatoria de la distribucin de Poisson son respectivamente: = y = E(X) = V(X) = .USO DE LA TABLA:1. Sea X variable aleatoria con distribucin de Poisson, calcular:

0. f(0; 3) = F(0; 2) = 0.04980. f(6; 2.6) = 0.032 =F(6; 2.6) - F(5; 2.6) = 0.9828 0.9510 = 0.03180. Si =5.4 P(X8) = F(8; 5.4) = 0.90260. Si =6.8 P(X5)=1-P(X5)=1- P(X4) = 1 0.1920 = 0.808

PROBLEMA: El nmero de tornillos producidos por minuto con una mquina automtica es una variable aleatoria que tiene la distribucin de Poisson con = 5.6. Si la mquina aumenta la velocidad se desajusta cuando produce por lo menos 13 tornillos por minuto Cul es la probabilidad de desajuste de la mquina?SOLUCINCuanta: X Poisson (x; 5.6)

P (x 13) = 1 - P (x < 13) = = 1 - 0.9949 = 0.0055

PROBLEMA: Se sabe que el 2% de de la produccin mensual de queso es defectuoso. Se desea obtener una muestra de manera que el mximo nmero de quesos defectuosos sea de 6 con una probabilidad de 0.95 Cul ser el tamao de dicha muestra?

X b (x; n, p), donde p = 0.02 P(x 6) = 0.95

Como p es pequeo se aproxima a Poisson X poisson (x;), donde = np = 0.02 n. Por interpolacin lineal: x3.2=0.02n3.3

60.95540.950.9490

Nota: Para casos en que n es grande y p es muy pequeo se puede utilizar la distribucin de Poisson para aproximar la distribucin binomial.

1. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

0. DISTRIBUCIN NORMAL

Quizs la distribucin de probabilidad ms importante utilizada para describir una variable aleatoria continua es la distribucin de probabilidad normal; es aplicable en gran cantidad de situaciones de problemas prcticos. La distribucin normal es la de mayor importancia en la Estadstica porque:0. Muchas variables aleatorias continuas se distribuyen normalmente o se supone que siguen la ley de probabilidad normal.0. Sirve como una buena aproximacin de muchas distribuciones discretas, como la binomial y la de Poisson.0. Las distribuciones de muchos estadsticos muestrales se aproximan a la distribucin normal.

La distribucin normal, o tambin conocida como distribucin Gaussiana, debido a que su autor fue Karl Gauss durante el siglo XIX. Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable en un gran nmero de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.

Definicin.- Sea X una variable aleatoria continua con media y varianza Entonces la funcin de densidad es

La variable aleatoria X sigue una distribucin normal con parmetros , 2; se denota por : CARACTERSTICAS:0. La curva f (x) es una distribucin unimodal.0. Tiene forma de campana. 0. La forma de la curva f (x) es simtrica con respecto a la media .0. Su media cae en centro de la curva, lo que nos lleva a la conclusin de que su mediana y su moda estn en el mismo punto.0. Adems sus extremos se extienden indefinidamente.0. La curva f(x) tiene dos puntos de inflexin, situados a una distancia de a cada lado de la media .0. Las reas comprendidas bajo la curva normal son: + = 68.3% + 2 = 95.5% + 3 = 99%

DENSIDADSu funcin de densidad de probabilidad, tiene la forma de una campana como la figura siguiente:

La funcin matemtica que nos da la densidad de probabilidad f(x) para este modelo de distribucin es:

Parmetros : media 2: varianzaSi X es una variable aleatoria con distribucin normal (x; ,2), entonces E(x)= y V(x)=2En esta ecuacin:

f(x):funcin de densidad de probabilidad normal:Desviacin estndar de la variable aleatoria2: Varianza de la variable aleatoria:Valor medio o esperanza matemtica de la variable aleatoriae:Base de los logaritmos naturales, e = 2.71828:Nmero Pi , 3.14159x:variable aleatoria que puede varan entre - x

Esta funcin f(x) es muy sensible a los valores de (la desviacin estndar), por cuanto para igual valor de esperanza matemtica , la curva tiende a aplastarse y a ensancharse a medida que aumenta la desviacin estndar, por el contrario, menores valores de tienden a comprimir la curva alrededor del valor de la esperanza matemtica , aumentando el valor de la curva.

DISTRIBUCIN

Esperanza matemtica

Varianza

Afortunadamente cuando utilicemos la distribucin normal para describir una variable aleatoria continua, nunca tendremos que utilizar la funcin de densidad de probabilidades f(x) F(x). En su defecto, utilizaremos una modificacin de la misma, denominada Distribucin Normal Estndar de aplicacin general para cualquier valor de esperanza matemtica y desviacin estndar.

DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR

DENSIDADMediante la transformacin z = (x-)/ se obtiene la distribucin normal estndar cuya densidad de la variable estandarizada es:

El valor esperado y varianza de Z son:E(Z) = 0 V(Z) = 1CARACTERSTICAS1. Si X es una variable aleatoria continua distribuida normalmente con media y varianza , lo denotamos por N(,).1. Aplicando esta notacin a la variable normal estandarizada Z, escribimos N (0,1), esto es, Z es normal con media cero (0) y varianza uno (1).1. La superficie bajo la curva normal estandarizada es igual a 1. por consiguiente, las probabilidades pueden representarse como superficies bajo la curva normal estandarizada entre dos valores distintos.

Si z es una variable con distribucin normal (z; 0, 1), entonces E(z)=0 y V(z)=1

DISTRIBUCIN NORMAL ESTANDAR

1/2F(z)10z

USO DE TABLAS

Si X ~ n(x; 23, 9) calcular: a) P(X > 25) b) c) 1. Solucin

a)

= 1 0.7486 = 0.2514

b)

= = 0.9525-0.0475=0.905 Tambin se cumple:

= 2 1 = 2 (0.9525) 1 = 0.905

c) =0.8413-0.1587=0.6826

Tambin se cumple =2-1= 0.6826 PROBLEMA: La estatura media de escolares varones de 10 14 aos de edad es 123cm con una desviacin tpica de 10.7cm, se sabe que la estatura se distribuye normalmente. Si se selecciona al azar uno de estos nios Cul es la probabilidad que su estatura sea:a) Mayores que 132.34cm?b) Menores de 100cm?0. Solucin

a) = P(Z > 0.87)

= = 1 0.8078 = 0.1922

b) = 0.0158PROBLEMA: Una planta de elaboracin de productos lcteos es abastecida de leche cada 2 das, el consumo en volumen de leche para la produccin tiene una distribucin normal con media de 2000 litros y desviacin tpica 500 litros. (Se entiende el consumo cada dos das). Se trata de hallar la capacidad de su tanque de leche para que sea de solo 0.05, la probabilidad que en un periodo de 2 das, la leche no sea suficiente para satisfacer toda la demanda.Solucin: x el valor de la v.a. X: representa, el volumen de consumo de leche cada dos das.X ~ n(x; 2000, 5002) C : Capacidad del tanqueP(X > C) = 0.05

Capacidad del tanque es de 2822.5 litros.

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

4. DISTRIBUCIN DE BERNOULLIConsiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar si cierto evento ocurre o no.Caractersticas:1. La prueba tiene 1 de 2 resultados mutuamente excluyentes (xito o fracaso).2. Las probabilidades de xito y fracaso se denotan con "p" y "q" respectivamente. 3. Distribucin de probabilidad de Bernoulli.La distribucin de probabilidad de la variable aleatoria Bernoulli es:

La variable aleatoria X tiene una distribucin de Bernoulli con parmetro p y denotado por:X Ber(p)

La media y la varianza de la variable aleatoria de Bernoulli son respectivamente: = p = p q

5. DISTRIBUCIN BINOMIALCaractersticas:1. Experimento consiste en n pruebas o ensayos Bernoulli idnticos.2. Cada prueba o ensayo tiene dos posibles resultados: xito (E) y Fracaso (F)3. La P (Exito)= p y P (Fracaso)= q se mantienen constantes a lo largo de todas las pruebas o ensayos.4. Las n pruebas o ensayos son independientes.5. La variable aleatoria binomial X es el nmero de xitos en n pruebas.La distribucin de probabilidad para una variable aleatoria binomial esta dada por:

Donde:P(X= x): Probabilidad de x xitos en n pruebas.p: Probabilidad de xitoq = (1 -p): Probabilidad de fracason : numero de ensayos o pruebasx : numero de xitos en n pruebas.

Y para el caso de la distribucin de probabilidades acumuladas es:

La media y la varianza de la variable aleatoria binomial son respectivamente: = n p = npq

La variable aleatoria X sigue una distribucin binomial de parmetros n, p y es denotado por: X B(n, p)Ejemplo: Se sabe que el 85% de los estudiantes de un curso aprueben el semestre. Cul es la probabilidad de que 3 o ms de un total de 15 no aprueben?Solucin:P=0.85 probabilidad de xito de que aprueben n = 15pero la pregunta es que no aprueben, entonces P = 0.15P(X 3) = 1 P (X 2)

= 1 - Trabajando con el Excel, fx (funciones) Estadsticas Distribucin binomial Aceptar (y en la hoja argumentos de funcin llenar los datos: Nmero de xitos, ensayos, probabilidad de xito y acumulado, aqu se escribir: verdadero si es acumulada y falso si no es acumulada las probabilidades)

= 1 0.6042= 0.3958 Rpta.

3. DISTRIBUCIN DE POISSONDenominada de esta manera debido a que su creador fue el francs Simen Denisse Poisson (1781-1840).Es utilizado para describir ciertos tipos de procesos que pueden ser los servicios prestados por ciertas dependencias publicas, casetas de peaje, y el nmero de accidentes efectuados en cierta rea de gran congestin.Caractersticas: El experimento en que el nmero de xitos ocurre durante una unidad de tiempo rea o volumen. La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiempo, rea o volumen es la misma para todas las unidades. El nmero de xitos que ocurren en una unidad de tiempo, rea o volumen es independiente del nmero que ocurren en otras unidades. El nmero medio de eventos en cada unidad se denota por Lambda ().

La distribucin de probabilidad para una variable aleatoria de Poisson est dada por:

, x = 0, 1, 2, .........Donde: : Nmero medio de xitos de eventos en una unidad dada de tiempo, rea o volumenx : nmero de xitose : base neperiano el cual equivale a 2.71828x : factorial de x.Y para el caso de la distribucin de probabilidades acumuladas es:

La media y la varianza de la variable aleatoria de la distribucin de Poisson son respectivamente: = y =

Ejemplo: Las estadsticas sobre la aplicacin de normas de seguridad, en una fbrica indican que, en promedio, se presentan 10 accidentes cada trimestre. Determinar la probabilidad de que no haya ms de doce accidentes de trabajo en cada trimestre.Solucin:= 10 accidentes por trimestre.P(X 11) =

Resolviendo el problema con la ayuda del Excel (fx (funciones) Estadsticas Poisson Aceptar (y en la hoja argumentos de funcin llenar los datos: X=11, Media = 10 y en Acumulado: verdadero)

4. DISTRIBUCIN DE POISSON PARA APROXIMAR LA DISTRIBUCIN BINOMIALPara casos en que n es grande y p es muy pequeo se puede utilizar la distribucin de Poisson para aproximar la distribucin binomial.

Ejemplo: Una compaa de seguros considera que solamente alrededor del 0,01% de la poblacin le ocurre cierto tipo de accidente cada ao. La empresa tiene 10000 asegurados contra este tipo de accidente. Cul es la probabilidad de que mximo tres de ellos sufran accidente?Solucin:P = 0.0001n = 10 000 asegurados

P (X 3 ) =

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS 5. DISTRIBUCIN NORMALLa distribucin normal, o tambin conocida como distribucin Gaussiana, debido a que su autor fue Karl Gauss durante el siglo XIX. Tiene algunas propiedades que la hacen aplicable en un gran nmero de situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.Definicin.- Sea X una variable aleatoria continua con media y varianza Entonces la funcin de densidad es

La variable aleatoria X sigue una distribucin normal con parmetros se denota por:

Caractersticas:1. La curva f (x) es una distribucin unimodal.2. Tiene forma de campana. 3. La forma de la curva f (x) es simtrica con respecto a la media .4. Su media cae en centro de la curva, lo que nos lleva a la conclusin de que su mediana y su moda estn en el mismo punto.5. Adems sus extremos se extienden indefinidamente.6. La curva f(x) tiene dos puntos de inflexin, situados a una distancia de a cada lado de la media .7. Las reas comprendidas bajo la curva normal son: + = 68.3% + 2 = 95.5% + 3 = 99%La distribucin normal es la de mayor importancia en la Estadstica por que:1. Muchas variables aleatorias continuas se distribuyen normalmente o se supone que siguen la ley de probabilidad normal.2. Sirve como una buena aproximacin de muchas distribuciones discretas, como la binomial y la de Poisson.

3. Las distribuciones de muchos esta