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43
Probabilidad

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  • Probabilidad

  • Probabilidad. 2

    Experimento Aleatorio

    EL trmino experimento aleatorio se utiliza en lateora de la probabilidad para referirse a un procesocuyo resultado no es conocido de antemano concerteza.

    Suma de valores en el lanzamiento de 2 dados.

  • Probabilidad. 3

    Ejemplos

    Nmero de piezas defectuosas en unamuestra de 100 piezas.

    Nmero de llamadas a una centralitatelefnica en un da.

    Energa elctrica consumida en Madriddurante un periodo de tiempo.

  • Probabilidad. 4

    Espacio MuestralConjunto formado por todos los posiblesresultados de un experimento aleatorio.

    DISCRETOS: Lanzamiento de un DADO: S = {1,2,3,4,5,6} Piezas defectuosas en una muestra de 100

    S = {0,1,2,...,100} Llamadas a una centralita durante un da

    S = {0,1,2,3,...,}CONTINUOS:

    Energa consumida en Madrid: S={[0, )}

  • Probabilidad. 5

    SucesoCualquier subconjunto del espacio muestral.

    Obtener un nmero par al lanzar un dado

    A = {2,4,6}

    Observar menos de 5 piezas defectuosas enuna muestra de 100: B = {0,1,2,3,4,5}

    Tener ms de 50 llamadas de telfono en unahora : C = {51,52,...,}

    Tener una demanda de energa elctrica entre300 Mwh y 400 Mwh : D =(300,400)

  • Probabilidad. 6

    Operaciones

    Sean A y B dos subconjuntos de S

    UninA B = {x : (x A) o (x B)}

    Interseccin

    A B = {x : (x A) y (x B)}

    Complementario

    = {x : x A}A

  • Probabilidad. 7

    A BA B

    A

  • Probabilidad. 8

    Propiedades

    ==

    ==

    ==

    ==

    BA

    BA

    CABACBA

    CABACBA

    CBACBA

    CBACBA

    ABBA

    ABBA

    SCA,B

    BA

    BA :Morgan de Leyes

    )()()(

    )()()(:vaDistributi

    )()(

    )()(:Asociativa

    :aConmutativ

    muestral espacioun de y sucesos tresDados

  • Probabilidad. 9

    Axiomas de Probabilidad

    U

    K

    n

    i

    n

    i ii

    ji

    n

    APAP

    jiAA

    A,A,A

    P(S)

    P(A)

    11

    21

    )()(

    cuando cumplen que

    , sucesos de secuencia una Para.3

    1.2

    10.1

    :satisfacey SA suceso cada a P(A) valoresasigna

    adprobabilid defuncin una S, muestral espacioun Dado

    = ==

    =

    =

  • Probabilidad. 10

    Problema fundamental Dado un espacio muestral discreto con resultados

    A1, A2, ..., An , el experimento aleatorio quedacaracterizado si asignamos un valor P(Ai) nonegativo a cada resultado Ai que verifique

    P(A1)+P( A2)+ ...+P(An)=1.

    Ejemplo. Se lanza dos veces una moneda.

    {XX,XC,CX,CC}

    Se asigna probabilidad 1/4 a cada uno de los cuatroresultados.

    Es una asignacin correcta?

  • Probabilidad. 11

    Propiedades elementales

    )()1()(

    )()()(

    , sucesos Para.5

    ).()()()(

    ,, racualesquie sucesos dos Para.4

    . entonces Si.3

    ).(1)(.2

    .0)(.1

    211

    1

    1 11

    21

    nn

    n

    i

    n

    ijkji

    n

    jk

    n

    i

    n

    i

    n

    ijjii

    n

    ii

    n

    AAAPAAAP

    AAPAPAP

    S,...,A,AAn

    BAPBPAPBAP

    SBA

    P(B)P(A)BA

    APAP

    P

    ++

    +=

    +=

    =

    =

    += > >

    = = >=

    LL

    U

  • Probabilidad. 12

    Asignacin de probabilidades

    1. Clsica (Laplace): Equiprobabilidad

    2. Frecuencialista (von Mises, 1931)

    3. Subjetiva

  • Probabilidad. 13

    Clsica: sucesos equiprobables

    Sea un experimento con un nmero finito deresultados excluyentes y equiprobables, laprobabilidad del suceso A es

    donde N es el nmero de resultados posiblesdel experimento y N(A) el nmero deresultados favorables al suceso A.

    ,)(

    )(N

    ANAP =

  • Probabilidad. 14

    Ejemplos (equiprobabilidad)

    Lanzamiento de una moneda. S={C,X}

    Lanzamiento de un dado. S={1,2,3,4,5,6}

    Extraccin de una de las 40 cartas de labaraja, S={1 Oros,2 Oros,...., Rey Bastos}

    2

    1)( =CP

    .2

    1

    6

    3)"(" ==parNmeroP

    .4

    1

    40

    10)( ==BastosP

  • Probabilidad. 15

    Lanzamiento de dos dados

    1 2 3 4 5 61 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

    P(suma 7) = 6/36 = 1/6

    2 Dado

    1er Dado

  • Probabilidad. 16

    Urna: 2 Negras y 3 Blancas

    Se extraen dos bolas al azar, una detrs de otra, sinreposicin.

    P(1 Blanca y 2 Negra) = 6/20 = 3/10

    B1 B2 B3 N1 N2B1 B2,B1 B3,B1 N1,B1 N2,B1B2 B1,B2 B3,B2 N1,B2 N2,B2B3 B1,B3 B2,B3 N1,B3 N2,B3N1 B1,N1 B2,N1 B3,N1 N2,N1N2 B1,N2 B2,N2 B3,N2 N1,N2

    1 Bola

    2 B

    ola

  • Probabilidad. 17

    Urna: 2 Negras y 3 Blancas

    Se extraen dos bolas al azar, una detrs de otra, conreposicin.

    P(1 Blanca y 2 Negra) = 6/25

    B1 B2 B3 N1 N2B1 B1,B1 B2,B1 B3,B1 N1,B1 N2,B1B2 B1,B2 B2,B2 B3,B2 N1,B2 N2,B2B3 B1,B3 B2,B3 B3,B3 N1,B3 N2,B3N1 B1,N1 B2,N1 B3,N1 N1,N1 N2,N1N2 B1,N2 B2,N2 B3,N2 N1,N2 N2,N2

    1 Bola

    2

    B

    o

    l

    a

  • Probabilidad. 18

    SIN REEMPLAZAMIENTO CON REEMPLAZAMIENTO

    Primera extraccin Primera Extraccin1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

    1 (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1)2 (1,2) (3,2) (4,2) (5,2) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2)3 (1,3) (2,3) (4,3) (5,3) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3)4 (1,4) (2,4) (3,4) (5,4) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4)5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

    Nmero = 20 Nmero = 25

    Primera extraccin Primera extraccin1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

    1 1 (1,1)2 (1,2) 2 (1,2) (2,2)3 (1,3) (2,3) 3 (1,3) (2,3) (3,3)4 (1,4) (2,4) (3,4) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4)5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5)

    Nmero = 10 Nmero = 15

    IMPORTA

    EL ORDEN

    NO IMPORTA

    EL ORDEN

    Combinatoria: 5 objetos tomados de dos en dos

  • Probabilidad. 19

    +

    r

    rn

    r

    n

    nrn

    n r

    1

    ORDEN EL

    IMPORTA NO

    )!(

    !

    ORDENEL

    IMPORTAIENTOREEMPLAZAM

    CON

    IENTOREEMPLAZAM

    SIN

    Combinatoria: Nmero posible dereordenaciones de n objetos tomados de r en r

  • Probabilidad. 20

    La primitiva. Se eligen 6 nmeros distintos del 1 al 49,ambos inclusive.

    Probabilidad de acertar los 6.

    Probabilidad de acertar 5.

    Probabilidad de acertar 4.

    Probabilidad de no acertar ninguno.

    Probabilidad de que salga un nmero concreto, porejemplo el nmero 1.

    1 - 6 - 21 - 29 - 33 -43

  • Probabilidad. 21

    1224,049

    6

    6

    49

    5

    48

    1) el Salga(

    44,0816.983.13

    454.096.6

    6

    49

    6

    43

    (Ninguno)00097,0816.983.13

    545.13

    6

    49

    2

    43

    4

    6

    4)(Acertar

    000018,0816.983.13

    258

    6

    49

    1

    43

    5

    6

    5)(Acertar 000000072,0816.983.13

    1

    6

    49

    1 6)Acertar (

    ==

    =

    ==

    ===

    =

    ==

    ===

    =

    P

    PP

    PP

    Primitiva

  • Probabilidad. 22

    En una estacin de metro hay 5 pasajeros esperando a untren con 10 vagones, si cada pasajero elige un vagn al azar,cul es la probabilidad de que todos elijan un vagndiferente?

    3024.010

    678910)()( 5 === N

    ANAP

    De un lote con 100 piezas se toman al azar 10, si todas laspiezas elegidas son buenas se acepta el lote y se rechaza encaso contrario. Cul es la probabilidad de aceptar un lotecon 10 piezas defectuosas?

    330.09199100

    818990

    !100

    !90

    !80

    !90)()(

    !10!80

    !90

    10

    90)(;

    !90!10

    !100

    10

    100

    ====

    =

    ==

    =

    LL

    N

    ANAP

    ANN

  • Probabilidad. 23

    CumpleaosProbabilidad de que en un grupo de r = 25 personashaya al menos dos con el mismo cumpleaos.

    1 2 ... 365 A1 A2 ... Ar

    r

    578.025,1

    365

    )1365(1)-365(365 )(

    ia"coincidenc ninguna haya No "

    ===

    +==

    ) AP(r- P(A) ) AP(

    rAP

    A

    r

    L

  • Probabilidad. 24

    Probabilidad y Frecuencia Relativa

    La probabilidad P(A) de un suceso A es ellmite

    dnde nA es el nmero de veces que haocurrido A al repetir el experimento n vecesen idnticas condiciones.

    n

    nlimAP An

    =)(

  • Probabilidad. 25

    Frecuencia relativa de caras

    0,00

    0,50

    1,00

    0 50 100 150 200

    N de lanzamiento

    N

    d

    e

    C

    a

    r

    a

    s

    /

    N

    d

    e

    L

    a

    n

    z

    a

    m

    i

    e

    n

    t

    o

    s

  • Probabilidad. 26Total sorteos 1.380 (2000 - 104; 2001 - 74)

  • Probabilidad. 27

  • Probabilidad. 28

    Mujeres Hombres(M) (H)

    Fumadores(F)

    No Fumadores(N)

    0,31

    TOTAL

    TOTAL 1,000,51 0,49

    0,30

    0,70

    0,12 0,18

    0,39

    ==

    ===

    22,055,0

    12,0)|(

    40,045,0

    18,0)|(

    30,0)(

    MFP

    HFP

    FP

    Probabilidad Condicionada

  • Probabilidad. 29

    Probabilidad Condicionada

    Definicin. Sea B un suceso con probabilidaddistinta de cero, se define probabilidad delsuceso A dado B a:

    .)(

    )()|(

    BP

    BAPBAP

    =

  • Probabilidad. 30

    Utilidad

    Actualizar probabilidad del suceso A enfuncin de la informacin disponible I

    P(A|I) = P(AI)/P(I) Clculo de la interseccin de sucesos

    P(A B) = P(A|B)P(B) Clculo de probabilidad de un suceso

    )()|()()|(

    ))()(()(

    BPBAPBPBAP

    BABAPAP

    +==

  • Probabilidad. 31

    Ejemplo Urna

    Probabilidad de 1 Blanca y 2 Negra

    Sin reemplazamiento:

    P(B1 N2) = P(B1) P(N2| B1)

    = (3/5)(2/4) = 3/10

    Con reemplazamiento:

    P(B1 N2) = P(B1) P(N2| B1)

    = (3/5)(2/5) = 6/25

  • Probabilidad. 32

    CumpleaosProbabilidad de que en un grupo de r = 25 personashaya al menos dos con el mismo cumpleaos.

    1 2 ... 365 A1 A2 ... Ar

    r

    578.025,1

    365

    1365

    365

    2365

    365

    13651

    )|()|()|()

    "r en iacoincidenc ninguna haya No "

    121213121

    ===

    +==

    =

    ) BP(r)- P(B ) BP(

    r

    AAABPAABPABP P(B) P(B

    B

    rrr

    rrr

    r

    L

    LL

  • Probabilidad. 33

    Ejemplo

    Urna U1 Urna U2

    Se elige una urna al azar y se extrae una bola: P(Blanca) ?

    425.040

    17

    2

    1

    4

    1

    2

    1

    5

    3

    )2()2|()1()1|()(

    ==+=+= UPUBPUPUBPBP

  • Probabilidad. 34

    Ejemplo (cont.)

    Urna U1 Urna U2

    Se toma al azar una bola de U1 y se mete en U2. Se extraeuna bola de U2: P(Blanca) ?

    32.025

    8

    5

    2

    5

    1

    5

    3

    5

    2

    )1()1|()1()1|()(

    ==+=+= NPNBPBPBBPBP

  • Probabilidad. 35

    IndependenciaSi el conocimiento de la ocurrencia de un suceso B cambia

    la probabilidad de que ocurra otro A, se dice que A y B son

    dependientes, en ese caso P(A|B) P(A).

    Cuando el suceso A es independiente de B, la ocurrencia de

    B no cambia la probabilidad de A, es decir P(A|B) = P(A).

    Como P(A|B) = P(AB)/P(B),

    A y B son independientes P(AB) = P(A) P(B)

  • Probabilidad. 36

    Lanzamiento de dos monedasS = {CC, CX, XC,XX}

    Hiptesis:

    Monedas equilibradas: P(C) = P(X)

    Independientes

    P (CC) = P(C) P(C) = (1/2)(1/2) = 1/4

    P (CX) = P(C) P(X) = (1/2)(1/2) = 1/4

    P (XC) = P(X) P(C) = (1/2)(1/2) = 1/4

    P (XX) = P(X) P(X) = (1/2)(1/2) = 1/4

  • Probabilidad. 37

    Tres sucesos A, B y C son independientes si

    P(A B C) = P(A) P(B) P(C)

    P(A B) = P(A) P(B)

    P(A C) = P(A) P(C)

    P(B C) = P(B) P(C)

    Los sucesos A1 , A2 , ..., An son independientes sicualquier subconjunto Ai1, Ai2, ..., Aik, cumple

    P(Ai1Ai2... Aik) = P(Ai1)P( Ai2)...P(Aik)

    Independencia (3 o ms sucesos)

  • Probabilidad. 38

    Probabilidad Total

    B1 B2 B3B4 B5

    B6B9 B10

    B7 B8

    A

    SBBB

    jiBB

    SB,...,B,BB

    n

    ji

    jn

    ==

    L21

    21

    ,

    :

    Particin.

    [ ][ ]

    )()|()()|()()|()(

    )()()(

    )()()(

    )(

    )()(

    2211

    21

    21

    21

    nn

    n

    n

    n

    BPBAPBPBAPBPBAPAP

    BAPBAPBAP

    BABABAP

    BBBAP

    SAPAP

    LLL

    L

    ++=+++==

    ==

  • Probabilidad. 39

    Teorema de Bayes

    .

    :cualquier para

    entonces ,0con sucesocualquier

    seay 21 para ,0 que tal

    espacio delparticin una Sea

    1

    21

    =

    =

    >=>

    n

    jjj

    iii

    i

    j

    n

    ))P(BP(A|B

    ))P(BP(A|B|A)P(B

    B

    P(A)

    A,...,n,j)P(B

    S,...,B,BB

  • Probabilidad. 40

    Ejemplo (Bayes)M-1

    5 % D

    M-2

    20 % D

    M-3

    10 % D

    ALMACN

    200 p/h 100 p/h 100 p/h

    El porcentaje de piezas defectuosas fabricadas por tresmquinas es 5%, 20% y 10%. La primera fabrica 200 piezaspor hora y las otras dos 100 piezas por hora. Todas las piezas

    fabricadas se llevan a un almacn. Al final del da se tomauna pieza del almacn y es defectuosa, cul es la

    probabilidad de que proceda de M-1?

  • Probabilidad. 41

    1)|()|()|(

    25.025.010.025.020.05.005.0

    25.010.0

    )()|()()|()()|(

    )()|()|(

    50.025.010.025.020.05.005.0

    25.020.0

    )()|()()|()()|(

    )()|()|(

    25.025.010.025.020.05.005.0

    5.005.0

    )()|()()|()()|(

    )()|()|(

    321

    332211

    333

    332211

    222

    332211

    111

    =++

    =++=

    ++=

    =++=

    ++=

    =++=

    ++=

    DMPDMPDMP

    MPMDPMPMDPMPMDP

    MPMDPDMP

    MPMDPMPMDPMPMDP

    MPMDPDMP

    MPMDPMPMDPMPMDP

    MPMDPDMP

  • Probabilidad. 42

    Si una persona es portadora del virus A, un anlisis desangre lo detecta el 99% de las veces. Sin embargo, el testtambin proporciona falsos positivos, indicando lapresencia del virus en el 3% de personas sanas. Si slo 5 decada 1000 personas tienen el virus, cul es la probabilidadde que una persona tenga el virus realmente si el anlisis hadado positivo?

    142.0995.003.0005.099.0

    005.099.0

    )()|()()|(

    )()|(

    )(

    )()|(

    positivo" es anlisis El"SVirus" elTener "

    =+=

    +==

    ==

    VPVSPVPVSP

    VPVSP

    SP

    SVPSVP

    V

  • Probabilidad. 43

    Ejemplo Virus(Aplicado a 1.000.000 personas)

    SANOS ENFERMOS TotalNEGATIVO 965.150 50 965.200POSITIVO 29.850 4.950 34.800

    Total 995.000 5.000 1.000.000

    Entre los 34.800 que han dado positivo, slo4.950 tienen el virus

    P(V|S) = 4.950/34.800 = 0.142

    ProbabilidadExperimento AleatorioEjemplosEspacio MuestralSucesoOperacionesPropiedadesAxiomas de ProbabilidadProblema fundamentalPropiedades elementalesAsignacin de probabilidadesClsica: sucesos equiprobablesEjemplos (equiprobabilidad)Lanzamiento de dos dadosUrna: 2 Negras y 3 BlancasUrna: 2 Negras y 3 BlancasCumpleaosProbabilidad y Frecuencia RelativaProbabilidad CondicionadaUtilidadEjemplo UrnaCumpleaosEjemploEjemplo (cont.)IndependenciaLanzamiento de dos monedasProbabilidad TotalTeorema de BayesEjemplo (Bayes)Ejemplo Virus (Aplicado a 1.000.000 personas)