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ESTADO LIBRE ASOCIADO DE PUERTO RICO
Departamento de Educación
Math and Science Partnership for the 21st Century Middle School Teacher
MSP-21
http://bc.inter.edu/msp21
Proyecto sufragado con Fondos Federales del Departamento de Educación bajo el Programa Título II B – Mathematics and Science Partnership de la Ley de Educación Elemental y
Secundaria de 1965, según enmendada por la Ley “No child left behind” LP-107-100.
Este material se distribuye gratituamente. Su venta está estrictamente prohibida.
Primera Edición, 2006 Derechos Proyecto MSP-21 Omar Hernández Rodríguez, MS, Ed D Director Ninguna parte de esta obra puede ser reproducida ni transmitida por ningún medio, electrónico, mecánico, fotocopiado, grabado u otro, excepto con el previo permiso escrito de MSP-21. Esta obra ha sido subvencionada por el proyecto MSP-21 mediante proyectos del Departamento de Educación de Puerto Rico. Contrato OAF081060070. Universidad Interamericana de Puerto Rico Recinto de Bayamón Carretera Dr. John Will Harris # 500 Bayamón, PR 00959 Tel (787) 279-1912 Fax (787) 279-7028 http://bc.inter.edu/msp21
Universidad Interamericana de Puerto Rico Recinto de Bayamón
Math and Science Partnership for the 21st Century Middle School Teacher
MSP 21
GEOMETRÍA
Javier O. Sierra-Padilla
JUNIO DE 2006
Índice
Introducción……………………………………………………………………………...2
Capítulo 1 Conceptos básicos………………………………………………………...3
Sección 1.1 Definiciones básicas…………………………………………….4
Sección 1.2 Círculos…………………………………………………………...9
Sección 1.3 Ángulos………………………………………………………….13
Sección 1.4 Polígonos………………………………………………………..18
Sección 1.5 Triángulos……………………………………………………….24
Sección 1.6 Cuadriláteros……………………………………………………30
Sección 1.7 Rectas y planos en el espacio………………………………..36
Capítulo 2 Sólidos…………………………………………………………………….43
Sección 2.1 Poliedros...………………………………………………………43
Sección 2.2 Prismas…...……………………………………………………..45
Sección 2.3 Pirámides..……………………………………………………...50
Sección 2.4 Conos……………………………………………………………52
Sección 2.5 Cilindros…………………………………………………………57
Sección 2.6 Esferas…………………………………………………………..60
Capítulo 3 Transformaciones………………………………………………………..62
Sección 3.1 Reflexiones……………………………………………………...62
Sección 3.2 Traslaciones…………………………………………………….70
Sección 3.3 Rotaciones………………………………………………………75
Sección 3.4 Dilataciones……………………………………………………..82
Respuestas a ejercicios……………………………………………………………….86
PROLOGO
Los recintos de Bayamón y San Germán de la Universidad Interamericana de Puerto
Rico y las Regiones Educativas de Bayamón y San Germán, desde hace dos años participan
en el proyecto Math and Science Partnership for the 21st Century Middle School Teacher
(MSP21) que tiene como meta mejorar el rendimiento académico de los estudiantes de escuela
intermedia mediante la capacitación integral de los maestros de ciencias y matemáticas.
Al final de los tres años del proyecto se espera que:
1. el 85% de los maestros participantes demuestre dominio de los conceptos incluidos en
los estándares de matemáticas y ciencias establecidos por el Departamento de
Educación de Puerto Rico.
2. el 85% de los maestros participantes integren a su práctica docente experiencias de
aprendizaje activo fundamentadas en la interconexión de las disciplinas.
3. los estudiantes de las escuelas participantes mejoren en al menos un 3% su ejecutoria
en las pruebas estandarizadas de matemáticas y una prueba correspondiente de
ciencias.
Para el logro de los objetivos se diseñó un Programa de Desarrollo Profesional en el cual
los profesores de la Universidad y los maestros debían explorar y redactar actividades
educativas con énfasis en el desarrollo y la búsqueda de conexiones entre las ciencias y las
matemáticas. Además, las actividades debían estar alineadas con los Marcos Curriculares de
Ciencias y Matemáticas del Departamento de Educación de Puerto Rico y, en específico,
atender la integración por los temas y los procesos correspondientes a los estándares de
conservación y cambio, interacciones, geometría y álgebra.
Durante el segundo año del proyecto se ofrecieron conferencias, talleres y simposios que
tenían como tema central la integración de las ciencias y las matemáticas. Para cada uno de
ellos, se le pidió a los profesores y a los maestros que produjeran un trabajo que evidenciara
su reflexión sobre el tema. Las conclusiones de este proceso indican que para lograr la
integración es necesario que los maestros dominen con profundidad su disciplina y que
posteriormente exploren avenidas que lleven a la integración. Parte del resultado de los
trabajos realizados se presenta en la serie de libros INTEGRACIÓN DE LAS CIENCIAS Y LAS
MATEMÁTICAS A NIVEL INTERMEDIO. Los títulos de los libros que componen la serie son:
• Geometría •
• Taller de Genética•
• Calculadoras Gráficas para Maestros de Escuela Intermedia •
• Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia: Conexiones y Tasas de Cambio •
•El Aprendizaje Basado en Problemas y Proyectos: Una Estrategia de Integración •
• Memorias de los Residenciales Académicos 2006 •
•Actividades Integradoras de Ciencias y Matemáticas para Escuela Intermedia•
Los libros Geometría y Taller de Genética de los profesores Javier O. Sierra y Vilma S.
Martínez, respectivamente, tienen como objetivo fortalecer y ampliar los conocimientos de los
maestros. El profesor Sierra define y explica los conceptos geométricos de una manera
formal a diferencia de los autores tradicionales, que lo hacen de una manera intuitiva. Esta
forma de presentar los conceptos geométricos fortalece el pensamiento deductivo que es
fundamental para el desarrollo de un curso de geometría. Por su parte, la profesora Martínez,
presenta actividades experimentales para reforzar los conceptos de genética y sus aplicaciones
a las ciencias forenses.
En el libro Calculadoras Gráficas para Maestros de Escuela Intermedia, sus autores, el
profesor Rafael Canales y el doctor Omar Hernández exploran la integración de la tecnología
para la enseñanza de las ciencias y las matemáticas. Tiene como objetivo enseñar a los
maestros a utilizar la calculadora gráfica y prepararlos en el uso de sensores para la
recolección de datos del ambiente. La información posteriormente es analizada para descubrir
patrones y crear modelos matemáticos.
En el libro Matemáticas para Maestros de Escuela Intermedia: Conexiones y Tasas de
Cambio, el doctor Ángel Cruz nos presenta una guía para un curso de matemáticas integrada.
El doctor Cruz hace un análisis profundo sobre la integración de los conceptos de matemáticas
de escuela intermedia y los conceptos relacionados a los estándares de las interacciones, la
conservación y el cambio. Además, presenta sugerencias metodológicas y ejemplos para el de
las “assessment” actividades integradoras.
En el libro El Aprendizaje Basado en Problemas y Proyectos: Una Estrategia de
Integración, las autoras, las profesoras Carmen Caiseda y Evelyn Dávila, hacen un análisis
profundo sobre el uso de estas metodologías para la integración de las ciencias y las
matemáticas. Discuten aspectos como la planificación, el diseño, el desarrollo y la evaluación
de actividades fundamentadas en la solución de problemas y el desarrollo de proyectos.
Además de ejemplos y sugerencias para implantar estas estrategias en la sala de clases,
incluyen instrumentos de assessment y una guía para el estudiante.
El libro Memorias de los Residenciales Académicos 2006 incluye las transcripciones de
las conferencias y los talleres ofrecidos, y el resultado de los trabajos en comisiones realizados
durante los simposios Retos, controversias y oportunidades de la enseñanza de las ciencias y
las matemáticas realizados durante agosto y septiembre de 2006. Además, recoge las
reflexiones, opiniones y sugerencias de los maestros sobre los temas trascendentales que se
discutieron.
El aporte de los maestros al proyecto se recoge en el documentos: Actividades
Integradoras de Ciencias y Matemáticas para Escuela Intermedia. Desde la perspectiva de su
salón de clases, los maestros desarrollan actividades integradoras para los estudiantes de
escuelas intermedias. Se integran la biología, la ecología, las ciencias terrestres, la electrónica,
la astronomía, la química y las matemáticas. Algunas de estas actividades se validaron con
estudiantes y mostraron que la integración es una estrategia que motiva a los estudiantes,
requisito indispensable para que se de el aprendizaje.
Ha sido un año muy productivo. El trabajo ha sido arduo pero gratificante. Tenemos
asuntos pendientes: es necesario validar todas las actividades con los estudiantes y mostrar la
efectividad de la integración en el dominio de los conceptos matemáticos y científicos.
Finalmente, quiero agradecer a todas las personas que han colaborado en el proyecto
MSP-21. Ha sido un ejercicio intelectual interesante.
Omar Hernández Rodríguez, MS, EdD
Director, Proyecto MSP-21
Introducción
Este documento va dirigido a los maestros de matemáticas y otros
interesados, participantes de la propuesta Math and Science Partnership for the
21st Century Middle School Teacher MSP-21, como parte de un curso de
Geometría de 30 horas de contacto. Este documento tiene como uno de sus
objetivos principales, fortalecer y ampliar los conocimientos de los maestros
participantes en los conceptos de la geometría. Estos conceptos son definidos y
explicados de una manera formal y no de una manera intuitiva, así se tendrá una
buena base para seguir ampliando sus conocimientos en la geometría y poder
pasar a hacer inferencias y utilizar el razonamiento deductivo en un futuro
inmediato.
El documento divide su contenido en tres capítulos: Conceptos Básico,
Sólidos y Transformaciones. Cada capítulo esta dividido en secciones para
facilitar su entendimiento y cada sección tiene un conjunto de ejercicios con sus
respectivas contestaciones al final del documento. Estos ejercicios deben de ser
realizados según se va avanzando en la lectura de cada sección para asegurar
el entendimiento de los diferentes conceptos presentados.
Para complementar este documento se deben realizar otras actividades
donde el participante aplique sus conocimientos y conceptos según los va
adquiriendo. Estas actividades serán integradas paulatinamente en el curso y
brindará la oportunidad de trabajar con objetos y manipulativos, de tal manera
que la geometría sea vista en un contexto real.
Capítulo 1 Conceptos básicos
1.1 Definiciones básicas
El punto es el concepto más básico de la geometría. Este no puede ser
definido sino que lo entenderemos intuitivamente. Un punto puede ser
entendido como una ubicación o localización específica sin tamaño ni medida.
Podemos hacer una representación gráfica de un punto por medio de una
marca de la forma más mínima.
Los puntos generalmente son identificados por medio de letras
mayúsculas y podemos hacer referencia a ellos por medio de estas letras.
Puntos A, B y C
El espacio es el conjunto de todos los puntos.
un punto B por AB y
diremos que un punto C está entre A y B si AC + CB = AB.
Denotaremos a la distancia desde un punto A hasta
El punto C está “entre” A y B
Geometría 1
El punto medio entre dos puntos A y B es el punto M tal que está entre
A y B y además AM = MB.
El punto M es el punto medio de A y B
Podemos definir un segmento como el conjunto de dos puntos diferentes
en el espacio (figura 1) identificados como los extremos del segmento y los
puntos entre ellos (figura 2). Si los extremos del segmento son los puntos A y B,
podemos referirnos al segmento como el segmento AB, AB o equivalentemente
segmento BA, BA (figura 3).
Figura 1 Figura 2 Figura 3
La medida de un segmento es la distancia que exista entre sus
extremos y decimos que dos segmentos son equivalentes si tienen la misma
medida. Si AB y CD son equivalentes podemos escribir AB ≅ CD .
Si A y B son dos puntos diferentes, el rayo AB, AB es el segmento AB y
además cualquier otro punto C tal que B está entre A y C. En este caso diremos
que el punto A es el extremo del rayo.
Rayo AB
2 Javier O. Sierra Padilla
La recta AB, AB es el rayo AB y además cualquier otro punto C tal que A
está entre B y C. Podemos referirnos a una recta por medio de una letra
minúscula, por lo regular en cursiva.
Recta AB o recta l
Decimos que tres o más puntos son colineales si están contenidos en la
misma recta.
Puntos colineales Puntos no colineales
La distancia de un punto a una recta es la medida del segmento menor
posible tal que los extremos estén en el punto y la recta.
El punto A está a 3 unidades de distancia de la Recta l
Geometría 3
Dos rectas son paralelas si la distancia de cada punto de una a la otra es
siempre la misma. Si las rectas l 1 y l 2 son paralelas escribimos l 1 || l 2.
Rectas paralelas
Un plano es la colección de tres puntos no colineales y las rectas que
pasan por cada dos puntos que estén entre estos tres puntos. Podemos
representar un plano con una figura de 4 lados e identificarla con una letra
mayúscula en cursiva.
Plano M
Decimos que dos o más puntos o rectas son coplanarios si están
contenidos en el mismo plano.
Puntos coplanarios Rectas coplanarias
4 Javier O. Sierra Padilla
Cualquier conjunto de puntos (segmento, recta, plano, etc.) que tenga en
común con un segmento su punto medio decimos que es un bisector del segmento.
CD bisector en M de AB Recta l bisector en M de AB
Plano M bisector de AB
Ejercicios 1.1
1. Sean A, B y C tres puntos tales que AB = 7, AC = 4 y CB = 11. ¿Está el
punto C entre A y B? Dibuje un diagrama que muestre la ubicación de los
puntos A, B y C.
Geometría 5
2. Sean A, B y C tres puntos tales que AB = 6, AC = 3 y CB = 8. ¿Está el punto
C entre A y B? Dibuje un diagrama que muestre la ubicación de los puntos A, B
y C.
3. Sean A, B y C tres puntos tales que AB = 9, AC = 5 y CB = 4. ¿Está el punto
C entre A y B? Dibuje un diagrama que muestre la ubicación de los puntos A, B
y C.
4. Sean A, B y M tres puntos tales que M está entre A y B, AB = 14, AM = 7 y
MB = 7. ¿Es M el punto medio de A y B? Dibuje un diagrama que muestre la
ubicación de los puntos A, B y M.
5. Sean A, B y M tres puntos tales que AB = 10, AM = 8 y MB = 8. ¿Es M el
punto medio de A y B? Dibuje un diagrama que muestre la ubicación de los
puntos A, B y M.
6. ¿Es equivalente decir AB y BA ?
7. ¿Es equivalente decir AB y BA ?
8. Si los puntos A, B y C son colineales, ¿es equivalente decir AB y BC ?
9. Si la distancia de un punto A a la recta l es 3, ¿existe algún punto en la recta l
tal que la distancia del punto A al punto sea igual a 2?
10. ¿Es equivalente decir l1 || l2 y l2 || l 1?
11. Si l1 || l2 y A es un punto de la recta l1 y la distancia de A a la recta l2 es 3,
¿existe un punto de l2 tal que la distancia al punto A es 5? Dibuje un diagrama
que lo explique.
6 Javier O. Sierra Padilla
12. Si los puntos A, B, C y D son coplanarios, ¿entonces AB y CD son
coplanarios? Dibuje un diagrama que lo explique.
13. Si los puntos A, B y C son colineales, ¿entonces estos tres puntos son
coplanarios? Dibuje un diagrama que lo explique.
14. Si CD es un bisector de AB en D y AD = 4, ¿cuánto es DB?
15. Si CD es un bisector de AB en D y AD = 12, ¿cuánto es DB?
1. 2 Círculos Un círculo es la colección de puntos coplanarios que equidistan de un
punto llamado centro del círculo.
Círculo con centro P
A cualquier segmento con extremos en el centro del círculo y en el círculo
le llamamos radio del círculo. A cualquier segmento con extremos en el círculo
le llamamos cuerda del círculo. A la cuerda que pasa por el centro del círculo le
llamamos el diámetro del círculo.
Círculo con radio PQ Círculo con cuerda TQ Círculo con diámetro PQ
Geometría 7
Si d es la medida del diámetro de un círculo y r la de su radio, entonces
el perímetro o circunferencia del círculo es C = dπ y el área del círculo es A
= r2π . Por ejemplo, un círculo con diámetro d = 6 y radio r = 3 (note que r = d/2),
tiene circunferencia C = 6π ≈ 6(3.14) = 18.84 y área A = 32π 3≈ 2(3.14) =
9(3.14) = 28.26
Círculo con circunferencia 18.84 y área 28.26
Si los puntos A y B representan dos puntos de la intersección de dos
círculos, entonces el arco menor AB de un círculo, es el conjunto de los
puntos A, B y los puntos del círculo en el interior del otro círculo. En el caso de
tomar en lugar de los puntos del interior, tomamos los puntos del exterior
tendríamos el arco mayor AB del círculo, igualmente denotado por .
Arco menor AB Arco mayor AB
Si los puntos A y B son los extremos del diámetro de un círculo, entonces
el arco es un semicírculo.
Semicírculo
8 Javier O. Sierra Padilla
Si una recta interseca a un círculo en dos puntos diferentes, decimos que
la recta es secante al círculo. Si la recta interseca al círculo en un sólo punto,
ntonces decimos que la recta es tangente al círculo.
e
Recta secante Recta tangente
un círculo contiene 360o, medio círculo 180o y una
uarta parte de círculo 90o.
Si tomamos 360 radios con extremos en el centro de un círculo e
intersecciones igualmente esparcidas en el círculo, entonces decimos que el
espacio entre cada uno de los rayos corresponde a un grado (1o). De esta
manera podemos decir que
c
Geometría 9
Ejercicios 1.2
. Si el radio de un círculo es r = 4, ¿cuál es su diámetro?
. Si el diámetro de un círculo es d = 3, ¿cuál es su radio?
. ¿Cuál es la circunferencia de un círculo con radio r = 4? ¿Cuál es su área?
ál es la circunferencia de un círculo con diámetro d = 3? ¿Cuál es su
rea?
. ¿Es equivalente
1
2
3
4. ¿Cu
á
5 y ?
o largo del arco mayor correspondiente? Explique
or medio de un diagrama.
d o largo del arco menor correspondiente? Explique
or medio de un diagrama.
. ¿Cuántos grados tiene una octava parte de un círculo?
. ¿Cuántos grados tiene una décima parte de un círculo?
0. ¿Cuántos grados tiene cinco sextas partes de un círculo?
6. Si un círculo tiene circunferencia C = 8 y un arco menor tiene longitud o largo
igual a 3, ¿cuál es la longitud
p
7. Si un círculo tiene circunferencia C = 9 y un arco mayor tiene longitud o largo
igual a 7, ¿cuál es la longitu
p
8
9
1
10 Javier O. Sierra Padilla
1.3 Ángulos
l ángulo
ABC, ∠ABC. Los rayos,
Un ángulo es la unión de dos rayos con un extremo en común, llamado
vértice del ángulo. Si A es un punto de uno de los rayos, C un punto del otro
rayo y l punto B es el v ice, demos referirnos al ángulo como e e ért po
BA y BC son llamados los lados del ángulo.
La medida de un ángulo, m∠ es la cantidad de grados entre 0o y 180º
que hay entre los lados del ángulo cuando es colocado con el vértice en el
centro de un círculo. Esta medida también se le conoce como la medida interior obtiene la
del ángulo y al restar 360º menos la medida interior del ángulo se
medida exterior del ángulo.
Geometría 11
m∠ABC = 30º y medida exterior 330º
y
podemos escribir ∠ABC ≅ ∠PQR.
Si los lados de un ángulo coinc y su
medida es cero. Por otro lado, si la medida de un ángulo es 180º, decimos que
es un áng lados on rayos opuest
Si m∠ABC = m∠PQR decimos que son ángulos equivalentes
iden, decimos que es un ángulo nulo
ulo llano y sus s os.
Ángulo nulo Ángulo llano
Los ángulos pueden s egún sus medidas. Si la medida de
un ángulo es menor de 90º, se dice que es un ángulo agudo, si su medida es
mayor a 90º, que es un medida es 90º, que es un ángulo cto.
er clasificados s
ángulo obtuso y su
re
12 Javier O. Sierra Padilla
Ángulo agudo
Ángulo obtuso
El pequeño cuadro en el vértice del ángulo denota que la medida del
ngulo es 90º.
á
Un punto D está en el interior de ∠ABC si m∠ABD + m∠DBC =
m∠ABC.
El punto D está en el interior de ∠ABC
Geometría 13
La bisectriz de un ángulo ABC es el rayo BD tal que el punto D está en
el interior del ángulo y ∠ABD ≅ ∠DBC.
Ángulo ABC con bisectriz BD
gura podemos colocar determinada cantidad de marcas en todos
s ángulos que tengan la misma medida.
rios si la suma de sus medidas es
0o y son suplementarios si es 180º.
En una fi
lo
Un par de ángulos son com ementapl9
∠ABC y ∠DEF complementarios; ∠ABC y ∠GHI suplementarios
Ejerci
1. ¿Es equivalente decir ∠ BC y
cios 1.3
∠CBA? A
14 Javier O. Sierra Padilla
2. ¿Es equivalente decir ∠ABC y ∠CAB?
3. ¿Es equivalente decir ∠ABC y ∠ACB?
4. ¿Cuál es la medida exterior de un ángulo con medida igual a 100º?
. Clasifique los siguientes ángulos entre agudo, obtuso o recto según sus
a. 113º e. 0o
c. 100º g. 180º
h. 75º
. Si e to interior de
5. ¿Cuál es la medida exterior de un ángulo recto?
6
medidas
:
b. 73º f. 90º
d. 80º
7 l punto es un pun D ∠ABC, m∠ABC = 75º y m∠ABD = 40º,
C? Dibuje un diagrama que lo explique.
. S un punto interior de
¿cuál es el valor de m∠DB
8 i el p nto D esu ∠ABC, m∠ABD = 58º y
∠DBC = 113º, ¿cuál es el valor de mm ∠ABC? Dibuje un diagrama que lo
. Si
explique.
9 BD es una bisectriz de ∠ABC y m∠ABC = 82º, ¿cuál es el valor de
∠ABm D?
10. Si BD e una bisecs triz de ∠ABC y m∠ABD = 77º, ¿cuál es el valor de
∠AB
1. Halle la medida de los ángulos complementarios:
m C?
1
Geometría 15
a. m ∠ABC = 38º
b. m ∠ABC = 43º
. Halle la medida de los ángulos suplementarios:
a. m
b. m
c.
d. m ABC = 0º
e. m ∠ABC = 172º
1.4 Polígonos Un polígono
, cada uno en un extremo y además no
son colineales. Cada uno de esto
c. m ∠ABC = 90º
d. m ∠ABC = 0º
e. m ∠ABC = 8º
12
∠ABC = 38º
∠ABC = 143º
m ∠ABC = 90º
∠
es la unión de tres o mas segmentos coplanarios tal que
cada segmento interseca dos segmentos
s segmentos es conocido como un lado del polígono.
16 Javier O. Sierra Padilla
Polígonos
Ejemplos de figuras que no son polígonos
En un polígono podemos coloc
r determinada cantidad de marcas en
ma medida.
a
todos los lados que tengan la mis
equivalentes
Si los segmentos
Polígono con dos pares de lados
AB y CB son lad de pos un olígono con un extremo en
omún (punto B), decimos que este punto es un vértice del polígono y que el
ngulo ∠ABC es un ángulo del polígono, además que los lados
c
AB y CB son á
Geometría 17
lados ado de
n polígono es conocido como vértices consecutivos.
consecutivos. A cualquier par de puntos en los extremos de un l
u
Polígono con ángulos ∠ABC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEA y ∠EAB
si las rectas que los
Decimos que dos lados de un polígono son paralelos
contienen son paralelas. Si AB y ED son lados paralelos de un polígono,
escribimos AB || ED .
Polígono con AB || ED
Número de lados Nombre
Los polígonos pueden ser clasificados según la cantidad de lados:
Nombre Número de lados
18 Javier O. Sierra Padilla
3 triángulo 7 heptágono
4 cuadriláter 8 octágono o
5 pentágono 9 nonágono
6 hexágono 10 decágono
lo Cuadrilátero Octágono
s
el polígono esta completamente en el interior del polígono.
Triángu
Un polígono es convexo si cualquier segmento con extremos en los lado
d
Decimos que un polígono es un si todos sus lados
tienen la misma medida y además todos
Cuadrilátero convexo Cuadrilátero no convexo
polígono regular sus ángulos miden lo mismo.
Algunos polígonos regulares
perímetro de un polígono es la suma de las medidas de sus lados. El
Geometría 19
Polígono con perímetro 19
a.
Ejercicios 1.4
1. Clasifique cada una de las siguientes figuras entre polígono o no polígono:
d.
b. e.
c.
2. Mencione todos los ángulos de los siguientes polígonos:
20 Javier O. Sierra Padilla
a. b.
ígonos según la cantidad de lados:
3. Clasifique los siguientes pol
a. d.
b. e.
c.
4. Clasifique los polígonos anterio
5. Dibuje los siguientes polígonos regulares:
res entre convexos o no convexos.
b. octágono regular
a. heptágono regular
Geometría 21
c. nonágono regular
a.
d. decágono regular
6. Halle el perímetro de los siguientes polígonos:
b.
c.
d.
1.5 Triángulos
22 Javier O. Sierra Padilla
Los triángulos son polígonos con tres lados y tres ángulos. Si los puntos
A, B y C son los vértices de un triángulo podemos referirnos al triángulo como el
triángulo ABC, ∆ABC. Podemos clasificar a los triángulos según la cantidad de
s iguales o según la medida de sus ángulos. Si dos lados un triángulo tienen
la misma medida decimos que es un Si los tres lados del
triángulo tienen la mi un triángulo equilátero. Por otro lado, si los son diferentes, entonces
decimos que es un triángulo escaleno.
lado
triángulo isósceles. sma medida, entonces decimos que es
tres lados del triángulo
Triángulo escaleno Triángulo isósceles Triángulo equilátero
Si los tres ángulos de un triángulo son agudos, decimos que el triangulo
es un triángulo acutángulo, si tiene un ángulo recto, que es un triángulo rectángulo y si tiene un ángulo obtuso, que es un
triángulo obtusángulo.
Triángulo acutángulo Triángulo rectángulo Triángulo obtusángulo
Note que la suma de las medidas de los ángulos de un triángulo siempre
es 180º. Así que por ejemplo, si en ∆ABC, m
∠ABC = 50º y m∠BCA = 45º,
Geometría 23
entonces podemos deducir que m∠BAC = 180º – (50º + 45º) = 180º - 95º =
85º.
Triángulo con m∠BAC = 85º
ABC es un triángulo rectángulo con el
Si ∆ punto B en el vértice del ángulo
recto, entonces los lados AB y BC son catetos del triángulo y el lado AC es la
hipotenusa del a y b son las
edidas de los catetos de un triángulo rectángulo y c es la medida de su
hipoten
triángulo. Según la Regla de tá ras Pi go , si
m
usa, entonces c2 = a2 + b2. Por ejemplo, si los catetos de ∆ABC miden 6
y 8, entonces c2 = 62 + 82 = 36 + 64 = 100, por lo tanto c = 100 = 10.
Triángulo rectángulo con hipotenusa c = 10
Si tenemos un triángulo ABC, al segmento con un extremo en un vértice,
digamos el vértice A y contenido en la bisectriz del
∠BAC tal que el otro
24 Javier O. Sierra Padilla
extremo del segmento está en BC le llamamos bisectriz del triángulo. Note
que un triángulo tiene un máximo de tres bisectrices.
Triángulo ABC con bisectrices AD , BE y CF
n un triángulo, al segmento con extremos en un vértice y el punto medio
del se
E
gmento contiene a los otros dos vértices, se le llama mediana del triángulo. Note que un triángulo tiene un máximo de tres medianas.
Triángulo ABC con medianas AD , BE y CF
de un triángulo a la recta que contiene a los
tros dos vértices B y C, se le llama altura del triángulo y a la medida del
A la distancia de un vértice A
o
Geometría 25
segmento BC se le llama la base correspondiente a esa altura. Note que los
iángulos tienen un máximo de tres alturas. tr
Triángulo ABC con alturas h1, h2 y h3
Si
triángulo es A =
h es una altura de un triángulo y b la base correspondiente, el área del
2hb× . Por ejemplo, si la altura
el área del triángulo es A =
h = 4 y la base b = 7, entonces
247× =
228 = 14.
b
Ejercicios 1.5
. ¿Es equivalente ∆ABC y ∆BCA?
. ¿Es equivalente ∆ABC y ∆CAB?
. ¿Es un triángulo equilátero un triángulo isósceles?
Triángulo altura h = 4, base = 7 y área A = 14
1
2
3
26 Javier O. Sierra Padilla
4. ¿Es un triángulo isósceles un triángulo equilátero?
5. Dibuje un triángulo recto e isósceles.
6. Dibuje un triángulo obt
usángulo e isósceles.
8. Halle m siguientes triángulos:
7. ¿Un triángulo equilátero es un triángulo acutángulo?
∠ABC en los
a. b.
c.
d.
. Halle la medida del lado x en los siguientes triángulos rectángulos:
9
Geometría 27
a. c.
b. d.
3. Dibuje la bisectriz, la mediana y la altura con extremo en el vértice A del
siguien
10. Dibuje un triángulo equilátero con sus tres bisectrices.
11. Dibuje un triángulo equilátero con sus tres medianas.
12. Dibuje un triángulo equilátero con sus tres alturas.
1
te triángulo:
14. Calcule el área de un triángulo con bas = 10 y altura h = 6.
15. Calcule el área de un triángulo rectángulo con medidas de sus catetos 6 y 8.
1.6 Cuadriláteros
e b
28 Javier O. Sierra Padilla
Si A, B, C y D son los vértices de un cuadrilátero con lados AB , BC , CD
y DA , entonces podemos irnos al cuadrilátero como el cuadrilátero ABCD, refer
□ABCD y decimos que los segmentos AC y BD son las diagonales del
ért uestos, al
igual que los puntos B y D.
cuadrilátero. Además decimos que los vértices A y C son v ices op
Cuadrilátero ABCD con diagonales AC y BD
Un cometa pares de lados consecutivos
congruentes.
es un cuadrilátero con dos
Cometa con AB ≅ AD y BC ≅ CD
Geometría 29
Si d1 y d2 son las medidas de las diagonales de un cometa, entonces el
área del cometa es A = 2
d = 7 y d = 4, entonces el área del cometa es A =
21dd . Por ejemplo, si las diagonales del cometa son
1 2 247× =
228 = 14.
d1 = 7, dCometa con diagonales 2 = 4 y A = 14
Un rombo es un cometa con los cuatro lados congruentes.
Rombo AB ≅ AD ≅ BC ≅ CD
Un trapecio es un cuadrilátero con dos lados paralelos.
Trapecio con AB || CD
30 Javier O. Sierra Padilla
Si h es la distancia entre cualquier punto de la recta que contiene un lado
paralelo de un trapecio a la recta que contiene el otro lado y b1 y b2 son las
dos paralelos, entonces el área del trapecio es A = medidas de los la2
)( 21 bbh + .
A la cantidad h se le llama la y a las cantidades b1 y b2 las
bases del tr io h = 4, las bases b1 = 8
y b2 = 3, entonces el área del trapecio
altura del trapecio apecio. Por ejemplo, si la altura del trapec
A = 2
)38(4 + = 2
)14 = 1(2
44 = 22.
on altura h = 4, bases b1 = 8, b2
es un cuadrilátero con dos pares de lados par
Trapecio c = 3 y área A = 22
Un paralelogramo alelos.
Paralelogramo con AB || CD y AD || BC
Note que en un paralelogramo los lados paralelos tienen la misma
nen a estos
medida. Si le llamamos a una de estas medidas b, base del paralelogramo y la
altura del paralelogramo h, es la distancia entre las rectas que contie
Geometría 31
lados, entonces el área del paralelogramo es A = b × h. Por ejemplo, si la base
el paralelogramo b = 10 y la altura h = 4, entonces el área del paralelogramo
A = 10 × 4 = 40.
d
Paralelogramo con base 4 y área A = 40
ángulo es un paralelogramo con los cuatro ángulos rectos.
b = 10, altura h =
Un rect
Rectángulo con AB || CD y AD || BC
Si b es la base del rectángulo, la altura a, corresponde a la medida de
tro de sus lados y el área del rectángulo es A = b × a. Por ejemplo, si la base
= 6 y la altura a = 4, entonces el área del rectángulo A = 6 × 4 =
4.
o
del rectángulo b
2
ase b = 6, altura a = 4 y área A = 24
os a la base de un rectángulo como el largo del ctángulo y entonces a la altura como el ancho del rectángulo.
Rectángulo con b
En ocasiones nos referim
re
32 Javier O. Sierra Padilla
Un cuadrado es un rectángulo con los cuatro lados congruentes.
Cuadrado con AB ≅ BC ≅ CD ≅ CA
e un cuadrado, entonces el área del uadrado es A = s2. Por ejemplo, si un lado del cuadrado s = 5, entonces el
Si s es la medida de los lados d
cárea del cuadrado A = 52 = 25.
Cuadrado con lado s = 5 y área A = 25
Ejercicios 1.6
lente □ABCD y □ABDC?
rombo un cometa?
5. ¿Es un trapecio un paralelogramo?
1. ¿Es equivalente □ABCD y □ADCB?
2. ¿Es equiva
3. ¿Es un cometa un rombo?
4. ¿Es un
Geometría 33
6. ¿Es un paralelogramo un trapecio?
9. ¿Es un rectángulo un cuadrado?
11. ¿Es un cuadrado un paralelogramo?
12. ¿Es un cuadrado un trapecio?
13. ¿Cuál es el área de un cometa con diagonales = 4 y d2 = 9?
4. ¿Cuál es el área de un rombo con diagonales d1 = 6 y d2 = 3?
a.
7. ¿Es un paralelogramo un rectángulo?
8. ¿Es un rectángulo un paralelogramo?
10. ¿Es un cuadrado un rectángulo?
d1
1
15. Halle el perímetro y el área de los siguientes cuadriláteros:
b.
c. d.
34 Javier O. Sierra Padilla
1.7 Rectas y planos en el espacio
Si dos rectas l1 y l2 en un plano no son paralelas, entonces se intersecan
exactamente en un punto, llamémosle punt puntos A y B están en la
recta l1 y los puntos l que el punto C está entre A y B,
l1 y l2 determinan cuatro
ángulos, estos son ∠ACD,
o C. Si los
D y E en la recta l2 ta
además de estar entre D y E, entonces las rectas
∠DCB, ∠BCE y ∠ECA. Para mayor facilidad
podemos referirnos a estos ángulos como ∠ 1, ∠ 2, ∠ 3 y ∠ 4 respectivamente.
Rectas con ∠ACD, ∠DCB, ∠BCE y ∠ECA
Decimos que ∠ 1 y ∠ 3, al igual que ∠ 2 y ∠ 4 son ángulos opuestos por el vértice. También decimos que ∠ 1 y ∠ 2 son un par lineal, al igual que
∠ 2 y ∠ 3, ∠ 3 y ∠ 4 y que ∠ 4 y ∠ 1. Note que los ángulos opuestos por el
vértice son congruentes y que los ángulos que conforman un par lineal son
suplementarios.
Ángulos congruentes opuestos por el vértice
Geometría 35
Si alguno de estos ángulos es recto, entonces los cuatro ángulos son
rectos y decimos que las rectas l 1 y l 2 son perpendiculares l 1 ⊥ l 2.
Rectas l 1 ⊥ l 2
Una recta que interseca dos rectas coplanarias es una
transversal determina ocho ángulos sobre las dos rectas. Si un lado de un
y los ángulos opuestos por el vértice a los ángulo
. Un ángulo exterior y el
puntos interiores más allá de los de sus lados son
transversal. Una
ángulo contiene los dos puntos de intersección de la transversal, entonces es un
ángulo interior s interiores son
ángulos exteriores ángulo interior que contiene al
menos uno de sus ángulos correspondientes. Un ángulo interior
correspondiente son ángulos alternos interiores. Igualmente, un ángulo
xterior y el opuesto por el vértice a su correspondiente son ángulos alternos
y el opuesto por el vértice a su
e
exteriores.
36 Javier O. Sierra Padilla
Transversal l con ángulos interiores ∠ 3, ∠ 4, ∠ 5 y ∠ 6
En la figura anterior ∠ 1 y ∠ 5 es un ejemplo de ángulos
correspondientes, ∠ 3 y ∠ 5 un ejemplo de ángulos alternos interiores y por otro
lado, ∠ 1 y ∠ 7 es un ejemplo de ángulos alternos exteriores.
Si una recta es transversal a do ctas paralelas, entonces los ángulos
correspondientes son congruent alternos interiores.
Note también, que ángulos alter
s re
es al igual que los ángulos
nos exteriores son congruentes.
Recta l transversal a l 1 || l 2
es perpendicular a un plano M
recta del plano que pase por el punto de intersección y podemos escribir
Una recta l si es perpendicular a toda
l ⊥ M.
Geometría 37
Recta l perpendicular al plano
M
a un plano es
La distancia de un punto la medida del segmento con
extremos en el punto y el plano y
contenido en una recta perpendicular al plano.
El punto A está a 5 unidades de distancia del plano
distancia de una recta a un planodistancia de cualquier otra recta al plano la distancia de cualquier punto de la
recta al plano.
M
La que lo interseque es cero y la
es
38 Javier O. Sierra Padilla
Recta l
anera los planos son paralelos y la distancia entre planos paralelos es la
distanc uno de los planos al otro plano.
a 5 unidades de distancia del plano
M
La distancia entre dos planos que se intersequen es cero, de otra
m
ia de cualquier recta contenida en
Planos
e intersecan su intersección es una recta.
M1 || M2 a 5 unidades de distancia
Cuando dos planos s
Recta l intersección de los planos
Geometría 39
l
cada recta perpendicular a la recta l en el plano M2 es perpendicular a cada
recta del plano M M1 ⊥ M2.
Dos planos M1 y M2 son rp dic lar si s intersecan en una recta pe en u es e
y
1 que la interseque. En este caso podemos escribir
Planos M1 y M2 lares
1. Determine lo siguiente:
perpendicu
Ejercicios 1.7
ángulos opuestos por el vértice
a.
b. ángulos que son un par lineal
2. Halle la medida de
∠1, ∠ 2 y ∠ 3 en la siguiente figura:
40 Javier O. Sierra Padilla
3. Determine lo siguiente:
1, ∠ 2,
a. ángulos interiores c. ángulos alternos exteriores
b. ángulos alternos interiores d. ángulos correspondientes
4. Halle la medida de ∠ ∠3, ∠ 4, ∠5, ∠ 6 y ∠ 7 en la siguiente figura:
guiente figura el plano M15. En la si y al punto A. Si la
distancia de M1 a M2 es 5 y la distancia de es 3, conteste lo siguiente:
contiene a la recta l
M2 a M3
Geometría 41
a. ¿Cuál es la distancia del plano M3?
b. ¿Cuál es la distancia de la recta M ?
c. ¿Cuál es la distancia del punto A al plano M2?
d. ¿Cuál es la distancia de la recta l al plano M3?
Capítulo 2 Sólidos
2.1 Poliedros Un poliedro s en el espacio de tal manera
polígonos.
A los polígonos que componen un poliedro se le llaman caras del poliedro, a los
lados de las caras aristas y a los extremos de los lados vértices del poliedro.
M1 al plano
l al plano 2
e. ¿Cuál es la distancia del punto A al plano M3?
es la unión de varios polígono
que cada lado de cada polígono es compartido por exactamente dos
42 Javier O. Sierra Padilla
Poliedro
iedro es regular si todas sus caras son polígonos
gulares congruentes.
Los poliedros pueden ser clasificados según las características de sus
caras. Por ejemplo, un pol
re
oliedro es la suma de las áreas de cada una
e sus caras. Por ejemplo en un hexaedro, si cada lado en sus caras mide 3,
ntonces cada cara tiene un área de 32 = 9 y como el hexaedro tiene seis caras
ntonces el área de superficie es 6 × 9 = 54.
Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro
El área de superficie de un p
d
e
congruentes, e
Geometría 43
Hexaedro con área de superficie 54
ntas caras, aristas y vértices tiene el siguiente poliedro:
Ejercicios 2.1
1. Indique cua
2. Indique s tienecuantas caras, aristas y vértice el siguiente poliedro:
3. Un tetraedro es un poliedro regular con 4 caras y cada cara es un triángulo
equilátero. Dibuje un tetraedro.
4. Si cada lado en las caras de un hexaedro mide 5, entonces ¿cuál es el área
de superficie del hexaedro?
44 Javier O. Sierra Padilla
uál es el área
7. ¿Cuántas caras tiene u
. Si cada una de las caras de un dodecaedro tiene área 6, entonces ¿cuál es el
rea de superficie del dodecaedro?
Un prisma es un poliedro con dos caras congruentes contenidas en
lanos paralelos y sus otras caras son paralelogramos. Las caras congruentes
contenidos del prisma y las otras caras
5. Si cada lado en las caras de un octaedro mide 4, entonces ¿c
de superficie del octaedro?
6. ¿Cuántas caras tiene un dodecaedro?
n icosaedro?
8
á
2.2 Prismas
p
en los planos paralelos son las bases son las caras laterales.
Prisma
n
risma oblicuo.
La distancia entre los planos que contienen las bases de un prisma es la
altura del prisma. Si las aristas que no están en las bases son perpendiculares
a las bases, entonces el prisma es un prisma recto, de lo contrario es u
p
Geometría 45
Prisma recto con a oblicuo con altura h
prisma es un
ctángulo con largo 6 y ancho 4 y la altura del prisma es 3, entonces el área de
la base B
altura h Prism
Si B es el área de una de las bases de un prisma y h su altura, entonces
el volumen del prisma es V = B × h. Por ejemplo, si la base de un
re
= 6 × 4 = 24 y el volumen del prisma es V = 24 × 3 = 72.
Prisma con volumen V = 72
Los prismas se pueden clasificar según las características de sus bases.
n prisma pentagonal.
Si las bases son triángulos, entonces es un prisma triangular. Si las bases son
rectángulos, entonces es un prisma rectangular. Por otro lado, si las bases
son pentágonos, entonces es u
46 Javier O. Sierra Padilla
Prisma triangular Prisma rectangular Prisma pentagonal
onde las bases son polígonos
regulares. Por ejemplo, si las on triángulos regulares
(triángulos equiláteros), entonces el prisma es un prisma triangular regular.
Un prisma regular es un prisma d
bases del prisma s
Prisma triangular regular
odos sus lados
on paralelogramos y el prisma recibe el nombre de paralelípedo.
Si las bases de un prisma son paralelogramos, entonces t
s
Geometría 47
Paralelípedo
Note que un paralelípedo tiene tres pares de caras congruentes
mplemente que es una caja y podemos notar que todas
sus caras son rectangulares.
contenidas en planos paralelos.
Si un prisma recto es rectangular entonces decimos que el prisma es un
sólido rectangular o si
Sólido rectangular
Si en un sólido rectangular todas sus caras son iguales (cuadrados),
entonces decimos que el prisma es un cubo.
48 Javier O. Sierra Padilla
Cubo
1. Si la base de un prisma es un hexágono, ¿cuántos vértices tiene el prisma?
2. Si la base de un prisma es un octágono, ¿cuántas aristas tiene el prisma?
5. Si la base de un prisma con altura 5 es un rectángulo con largo 3 y ancho 6,
¿cuál es el volumen del prisma?
6. Si la base de un prisma con altura 8 es un triángulo rectángulo con catetos de
medidas 3 y 4, ¿cuál es el volumen del pris
7. Dibuje un prisma
8. Dibuje un prism
9. ¿Cuántas alturas diferentes puede tener un paralelípedo?
10. ¿Es todo prisma rectangular un paralelípedo?
Ejercicios 2.2
3. Si un prisma tiene 8 vértices, ¿cuántas caras tiene el prisma?
4. Si un prisma tiene 10 vértices, ¿cuántas aristas tiene el prisma?
ma?
hexagonal recto.
a hexagonal oblicuo.
2.3 Pirámides
Geometría 49
Una pirámide es un poliedro donde todas sus caras excepto una
comparten un vértice. El vértice que es compartido por las caras usualmente es
llamado el vértice de la pirámide y la cara que no comparte
base de la pirámide.
el vértice es la
Pirámide con vértice A y base □BCDE
Note que todas las caras de una pirámide excepto la base son triángulos.
Las pirámides se pueden clasific
su base es un rectángulo, decimos que es una
irámide rectangular y si su base es un pentágono, que es una pirámide
ar según las características de su base.
Si la base de la pirámide es un triángulo, entonces decimos que es una
pirámide triangular. Si
ppentagonal.
Pirámide triangular Pirámide rectangular Pirámide pentagonal
La distancia del vértice de la pirámide al plano que contiene la base es la
pirámide. Si la base de la pirámide es un polígono regular y todas altura de la
50 Javier O. Sierra Padilla
sus caras (excepto la base) son triángulos isósceles, decimos que es una
pirámide regular. La altura de estos triángulos corresponde también a lo que
llamamos la altura lateral de la pirámide.
Pirámide regular con altura h1 y altura lateral h2
Si B su altura, entonces el
volumen de la pirámide
es el área de la base de una pirámide y h
es V = 3
hB× . Por ejemplo, si la altura
largo 6 y anc
= 6 × 4 = 24 y el volumen de la pirámide es V
h de una
pirámide rectangular es 5 y la base tiene ho 4, entonces el área de
la base es B = 3
524× = 3
120 = 40.
Pirámide con volumen V = 40
Ejercicios 2.3
Geometría 51
ene la pirámide?
2. Si la base de una pirámide es uántas aristas y cuántos
vértices tiene la pirámide?
3. Dibuje una pirámide hexagon
4. Dibuje una pirámide pentag que su vértice.
. Si
2.4 Conos
Si el número de lados de un grande, entonces
podemos apreciar que el polí
1. Si la base de una pirámide es un octágono, ¿cuántas caras ti
un decágono, ¿c
al. Identifique su vértice.
onal regular. Identifi
5 la base B de una pirámide tiene área 36 y su altura h es 4, ¿cuál es el
volumen de la pirámide?
6. Si la base de una pirámide regular es un cuadrado con lados de medida 4 y
su altura h es 9, ¿cuál es el volumen de la pirámide?
polígono regular es
gono parece un círculo.
Dodecágono dentro de un círculo
De igual manera, si la cantidad de lados de la base de una pirámide
regular es grande, entonces la base de la pirámide parece un círculo.
52 Javier O. Sierra Padilla
Pirámide decagonal regular
Esto nos lleva a definir la siguiente figura análoga a una pirámide regular
ero en lugar de que la base sea un polígono regular, sea un círculo.
p
La unión de todos los puntos en el espacio de un círculo, un punto fuera
del círculo y los puntos entre todos estos puntos es un cono. El círculo es la
base del cono y el punto fuera del círculo es el vértice del cono.
Cono con vértice A
A la med ne la base del
o y el vértice del cono es la altura del cono. Si
ida del segmento perpendicular al plano que contie
cono, con extremos en este plan
Geometría 53
este segmento tiene extremo en el centro de la base, decimos que el cono es recto y de otra manera, decimos que el cono es oblicuo. La medida de
cualquier segmento con extremos en el vértice de un cono recto y la base del
cono es la altura lateral del cono.
Cono recto con altura h y altura lateral l
El área de superficie de un cono recto incluye el área de la base y lo
que se conoce como el área lateral del cono. El área lateral de un cono recto
Cono oblicuo
Note que los conceptos de altura y altura lateral de un cono recto son
análogos a los correspondientes en una pirámide regular.
54 Javier O. Sierra Padilla
con base de radio r l y altura inclinada l es Al = r π . Por lo tanto, el área
superficial de un cono re y base de radio r es
AT = r l
cto con altura inclinada l
π + r2π . Por ejemplo, si la base de un cono rec
= 5, entonces el área de superficie total del cono es
to tiene radio r = 3 y
altura inclinada l
AT = 3 × 5 × π + 32 × π = 15π + 9π = 24π .
Cono recto con área de superficie total AT = 24π
El B es
área de la base del c
s V =
volumen de un cono es muy análogo al de una pirámide. Si
ono y h es la altura del cono, entonces el volumen del cono
3. Por ejemplo, si la base de un cono con altura h = 6, es un círculo hB×e
con radio r = 5, entonces el área de la base es B = 52π = 25π y por lo tanto, el
volumen del cono es V = 3
625 ×π = 3
150π = 50π .
Cono con volumen V = 50π
Ejercicios 2.4
Geometría 55
1. Dibuje un cono recto con altura igual al radio de su base.
. Un plano que pasa por el segmento que representa la altura de un cono recto
con volumen 24
2. Dibuje un cono oblicuo con altura igual al diámetro de su base.
3. ¿Cuál es el volumen de un cono con altura h = 9 y base con radio r = 4?
4. ¿Cuál es el volumen y área de superficie total de un cono recto con altura
h = 6 y base con diámetro d = 16?
5
π , divide el cono en dos secciones
olumen.
idénticas. Dibuje una de
estas secciones y mencione su v
2 y volumen 8
6. Un plano que biseca perpendicularmente al segmento que representa la
altura de un cono recto con radio r = π , divide el cono en dos
ecciones. Dibuje cada una de estas secciones.
s
2.5 Cilindros
56 Javier O. Sierra Padilla
Hemos visto que si la cantidad de lados de un polígono regular es grande,
entonces puede parecer un círculo. De igual manera, si la cantidad de lados de
las bases de un prisma con bases regulares es grande, entonces estas bases
lucirán como círculos.
Prisma con bases undecagonales
ente figura análoga a
Esto nos lleva a definir la sigui un prisma regular
pero en lugar de que las bases sean polígonos regular
La unión de dos círculos congruentes contenidos en planos paralelos, los
untos en el interior de los círculos y de todos los segmentos con extremos en
stos círculos paralelos al segmento con extremos en los centros de los círculos
es, sean círculos.
p
e
es un cilindro. Cada uno de estos círculos y los puntos correspondientes en
sus interiores son bases del cilindro.
Cilindro
Geometría 57
Si el segmento con extremos en los centros de las bases de un cilindro es
las bases, decimos que es un cilindro recto, de otra manera
ecimos que es un cilindro oblicuo.
perpendicular a
d
Cilindro recto Cilindro oblicuo
conoce como el área lateral del cilindro. El área lateral de un cilindro
cto con altura h y con bases de radio r es Al = 2rh
El área de superficie de un cilindro recto incluye el área de las bases y
lo que se
π . Por lo tanto, el área
re
superficial de un cilindro recto con altura h y base de radio r es
AT = 2rhπ + 2r2π . Por ejemplo, si las bases de un cilindro recto con altura
= 6, tienen radio r = 4, entonces el área de superficie total del cilindro es h
AT = 2 × 4 × 6 ×π + 2 × 42 × π = 48π + 32π = 80π .
Cilindro recto con área de superficie total AT = 80π
58 Javier O. Sierra Padilla
El volumen de un ci es muy análogo al de un prisma. Si r es el
radio de una de las a del cilindro, entonces el
volumen del cilindro es V =
lindro bases del cilindro y h es la altur
r2hπ . Por ejemplo, si el
h = 6 es r = 3, entonces el volumen de
radio de una de las bases
de un cilindro con altura l cilindro es
V = 32 × 6 × π = 9 × 6 × π = 54π .
Cilindro con volumen V = 54π
Ejercicios 2.5
1. Dibuje un cilin
2. Dibuje un cilin
3. ¿Cuál es el volumen de un cilindro con altura h = 8 y bases con radio r = 5?
. ¿Cuál es el volumen y área de superficie total de un cilindro recto con altura
cilindro?
de un cilindro recto, ¿cuánto aumenta el
s bases? ¿cuánto aumenta
el área de superficie lateral?
dro recto con altura igual al radio de sus bases.
dro oblicuo con altura igual al diámetro de sus bases.
4
h = 9 y bases con diámetro d = 16?
5. Si se duplica la altura de un cilindro, ¿cuánto aumenta el volumen del
6. Si se duplica el radio de las bases
volumen del cilindro? ¿cuánto aumenta el área de la
Geometría 59
2.6 Esferas
La colección de todos los en el espacio que equidisten a una
distancia determinada de ciert era. El punto del cual
equidistan los puntos de la esfera es el y la distancia a la
cual se encuentran los puntos de radio de la esfera.
Esta definición es análoga a cepción de que el círculo
e limita a
puntos
o punto es una esfcentro de la esfera
la esfera del centro es el
la de un círculo, con la ex
s un plano y la esfera está en el espacio.
Esfera con centro C y radio r
Si un plano pasa por el centro de una esfera, divide la esfera en dos
secciones iguales llamadas semiesferas.
Semiesfera
60 Javier O. Sierra Padilla
El área de superficie de una esfera con radio r es A = 4r2π . Por
ejemplo, si el radio de una esfera es r = 6, entonces su área de superficie es
A = 4 × 6
2 × π = 4 × 36 × π = 144π . Por otro lado, el volumen de una esfera
es V = 3
4 3πr . En el ejemplo anterior, el volumen de la esfera de radio r = 6 es
V = 3)6(4 3π =
3)216(4 π =
3864π = 288π .
Esfera con área de superficie A = 144π y volumen V = 288π
Ejercicios 2.6
1. ¿Qué resulta de la interse
2. ¿Qué resulta de la interse
. ¿Cuál es el volumen y área de superficie de una esfera con radio r = 3?
. ¿Cuál es el radio de la esfera mayor posible circunscrita en un cubo con
lados de medida 8?
6. ¿Cuál es el volumen del sólido rectangular menor posible que contenga dos
esferas de radio r = 4?
cción de un plano y una esfera?
cción de un plano y una semiesfera?
3
4. ¿Cuál es el volumen y área de superficie de una semiesfera con radio r = 6?
5
Geometría 61
Capítulo 3 Transformaciones
Sección 3.1 Reflexiones
Una transformación o proyección de un conjunto de puntos
regla que asigna una nueva ubicación o localización a cada punto del conjunto.
Estas transformaciones pueden ser muy variadas y complejas o ser muy
simples. Por ejemplo, una transformación muy sencilla es la que a cada punto
es una
del conjunto le a la misma figura.
ste tipo de transformación donde cada punto del conjunto es dejado en su
los puntos son asignados a una
ueva ubicación por medio de una misma regla. La naturaleza de esta regla es
la que le da un nombre particular a la transformación. Veremos en esta sección
aquellas que son conocidas como
Sea el punto A un ext ularmente
por el plano M reflexión del
punto A a través del plano plano de reflexión.
signa su localización original, obteniéndose así
E
localización original es conocida como una identidad. En otras
transformaciones ya no tan simples, todos
n
reflexiones.
remo de un segmento bisecado perpendic
, el punto A’ en el otro extremo del segmento es la
M. El plano M es llamado el
Reflexión del punto A a través del plano M
62 Javier O. Sierra Padilla
Es más interesante ver reflexiones de conjuntos de puntos con formas
conocidas.
Es bueno recalcar que los puntos a ser reflejados no tienen que estar
todos a un mismo lado
Reflexión de una pirámide a través del plano M
del plano de reflexión.
r una definición análoga a la de reflexión a través de un
plano,
Reflexión de la recta l a través del plano M
Podemos hace
donde en lugar de utilizar un plano para hacer la reflexión, utilizamos una
recta.
Geometría 63
Sea el punto A un ext ularmente
por la recta l reflexión del
punto A a través de la recta recta de reflexión. Esta
definición es válida en el es fácil de visualizar si todos
los puntos a ser reflejados están en un plano.
remo de un segmento bisecado perpendic
, el punto A’ en el otro extremo del segmento es la
l. La recta l es llamada la
pacio, sin embargo es más
Reflexión de los puntos A, B, C y D a través de la recta l
Note que si todos los flejados están en un plano, entonces
puntos a ser re
las reflexiones de esos puntos también están en el mismo plano.
Reflexión de ∆ABC a través de una recta
64 Javier O. Sierra Padilla
Podemos hacer otra definición análoga a la de reflexión a través de un
plano o recta, donde en lugar de utilizar un plano o recta para hacer la reflexión,
utilizamos un punto.
es llamado el punto de reflexión.
Sea el punto A un extremo de un segmento bisecado por un punto M, el
punto A’ en el otro extremo del segmento es la reflexión del punto A a través del
punto M. El punto M
Reflexión de los puntos A y B a través del punto M
es una transformación tal que
Una isometría si el punto A’ es la
proyección del punto A nto B, entonces AB =
A’B’, o sea la distancia del punto A al punto B es igual a la distancia del punto A’
al pun
y el punto B’ es la proyección del pu
to B’. En otras palabras, una isometría es una transformación donde se
preservan las distancias. Note que todas las reflexiones presentadas hasta el
momento son isometrías. Por ejemplo, en la figura anterior se puede observar
que AB = A’B’.
Isometría con AB = A’B’
Geometría 65
En una isometría al preservarse las distancias entre puntos, también se
puede observar que la medida de ángulo se preserva de igual manera. Por lo
tanto, podemos predecir que la reflexión de un triángulo es otro triángulo, la
proyección de un cubo es otro cubo, etc.
simetría. Para saber si
su proyección. Existen diferentes tipos egún el
tipo de reflexión.
Un conjunto de puntos tiene simetría a través de u existe un
plano tal que al reflejar la figura a través de este plano, se obtiene el mismo
Una característica que tienen ciertas figuras es la
una figura es simétrica hay que efectuar una reflexión y comparar esta figura con
de simetrías que se distinguen s
n plano si
conjunto de puntos.
Cubo simétrico a través de un plano
ía a través de una recta. Esto
nos lleva a la siguiente definición análoga a la de simetría a través de un plano.
Un conjunto de puntos tiene simetría a través de un plano si existe una recta
tal que al r flejar la figura a través de
de puntos.
Un junto de puntos puede tener simetrcon
e esta recta, se obtiene el mismo conjunto
66 Javier O. Sierra Padilla
Triángulo isósceles simétrico a través de una recta
un punLa definición de simetría a través de la de simetría
simetría a través la figura a través de este punto,
emplos muy simples son una esfera
un segmento a través de su punto medio.
to es análoga a
a través de un plano o una recta. Un conjunto de puntos tiene
de un punto si existe un punto tal que al reflejar
se obtiene el mismo conjunto de puntos. Ej
con simetría a través de su centro o
Esfera simétrica a través del centro egmento simétrico a través del punto M
más de un plano,
cta o punto de simetría. Además que algunas simetrías son mejor apreciadas
n un ga ue e el es cio.
jercicios 3.1
spectivamente, entonces ¿cuál es la reflexión de las siguientes figuras?
C S
Es bueno notar que es posible que una figura tenga
re
e plano en lu r q n pa
E
1. Si los puntos A’, B’, C’ y D’ son las proyecciones de los puntos A, B, C y D
re
Geometría 67
a. AB d. ABC∠
.
AB e. ∆ABC b
c. AB f. ABCD □. ¿Es toda identidad una isometría?
. Dibuje la reflexión del siguiente cuadrilátero a través de la recta.
2
3
avés del plano. 4. Dibuje la reflexión de la siguiente figura a tr
5. Dibuje la reflexión del siguiente segmento a través del punto M.
68 Javier O. Sierra Padilla
6. ¿Cuántos planos de simetría tienen las siguientes figuras?
d. Cilindro recto
a. Cubo
b. Segmento e. Prisma rectangular recto
c. f.
7. ¿Cuántas rectas de simetría tienen
a. Segmento
b. Triángulo equilátero e. Círculo
lo f. Hexágono regular
a. Segmento d. Cuadrado
. Indique si las siguientes figuras son simétricas a través de un plano.
a.
Círculo Pirámide triangular regular
las siguientes figuras en el mismo plano?
d. Cuadrado
c. Rectángu
8. ¿Cuántos puntos de simetría tienen las siguientes figuras?
b. Triángulo equilátero e. Círculo
c. Rectángulo f. Hexágono regular
9
c.
Geometría 69
b. d.
10. Indique si las siguientes figuras son simétricas a través de una recta.
a. c.
b. d.
3.2 Traslaciones
conocidas como
traslaciones, necesitamos def
Un vector es un remos es identificado
omo el punto inicial y el otro extremo como el punto final. Para diferenciar entre
e un vector hacemos una flecha en el extremo que sea el punto
Antes de poder presentar las transformaciones
inir lo que son vectores.
segmento onde uno de los dos extd
c
los extremos d
70 Javier O. Sierra Padilla
final. En ocasiones nos referimos a un vector por medio de una letra minúscula,
digamos u y escribimos u .
Vector u
onfundirse la notación para un
vector se utiliza una letra minúscula y
mayúsculas. Tampoco debe confundirse el concepto de segmentos
No debe c vector con la de un rayo. En la
notación de en la de rayo dos letras
equivalentes con el de v ntos sean equivalentes
deben simplemente tener la misma medida, sin embargo para que dos vectores
sean e
ectores. Pa a que dos segmer
quivalentes, deben tener la misma medida y tener la misma dirección.
Vector equivalentes Vectores no equivalentes
Para referirnos a la medida de un vector
u escribimos |u | y note que si A
es el punto inicial de u y B el punto final, entonces AB = |u |.
Vector u con |u | = 5
Ya que tenemos de podemos definir aquellas finido lo que es un vector,
trasformaciones conocidas como traslaciones. La traslación u de un conjunto
de todos los vectores equivalentes a de puntos es el conjunto de puntos finales
u tal que tengan punto inicial en algún punto del conjunto de puntos.
Geometría 71
Traslación u de los puntos A, B y C
Visto de otra manera, la traslación
u de la
figura en la dirección del vector
de una figura es el movimiento
u la cantidad de unidades
medida de
correspondiente a la
u .
Traslación u de una pirámide
Una traslación puede ser vista como la como la reflexión a través de un
plano de la reflexión a través de otro plano paralelo de un conjunto de puntos.
72 Javier O. Sierra Padilla
Traslación de una pirámide
Note que una toda traslación es una isometría.
. Utilice el vector
Ejercicios 3.2
u para crear las traslaciones u de las siguientes figuras.
a.
1
c.
Geometría 73
b. d.
2. Utilice el vector u para crear las traslaciones u de las siguientes figuras.
a. . c
b. d.
3. Indique que figura se obtiene al unir las siguientes figuras con sus
traslaciones u .
Vector u con |u | = 3
a. Segmento horizontal con medida 4
b. Una recta horizontal
d. Un punto
c. Dos rectas verticales a 3 unidades de distancia
74 Javier O. Sierra Padilla
4. Un
6. Trace todas las rectas de simetrías del siguiente polígono.
punto es trasladado hacia la derecha por medio de un vector horizontal de
medida 4, luego es trasladado hacia arriba por medio de un vector vertical de
medida 3, ¿cuál debe ser la medida del vector necesario para trasladarlo a su
lugar original?
5. ¿Cuál debe ser la medida de un vector para que una traslación sea una
identidad?
3.3 R
unto inicial común, es la
on punto inicial en común que contiene
a los vectores.
otaciones
Ya que los vectores parecen rayos gráficamente, podemos hacer una
definición análoga para el ángulo entre dos vectores con un punto inicial en
común. En ángulo entre dos vectores con un p
medida del ángulo que forman los rayos c
Geometría 75
Ángulo entre los vectores u y v
cimos que el vector v está a α
rados del vector u si la cantidad de grados en el sentido contrario al de las
manecillas del reloj es ta el vector v. Si α es un
número negativo, dec grados del vector u si la
α grados desde el
vector u hasta el vector
Sea α un número real y los vectores u y v dos vectores con punto inicial
en común. Si α es un número no negativo, de
g
α grados desde el vector u has
imos que el vector v está a α
cantidad de grados en el sentido de las manecillas del reloj es
v.
Vector v a 30º del vector u ó vector u a -330º del vector v
Según esta definición si un vector v está a α grados de un vector u,
ntonces el vector u está a -α grados del vector v. Además note que si un vector
v está a α grados de un vector también está a α + k360o
grados del vector v, donde ejemplo, si el vector v
está a 60º del vector u os decir que también está a 60º +
(1)360º = 420º del vector = -300º. Estos ejemplos
son con valores k = 1 y k = 2, entonces podemos decir
que el vector v u.
e
u, entonces el vector vk es un número entero. Por
, entonces podem
u ó que está a 60º + (-1)360º
= 2 respectivamente. Si k
está a 60º + (2)360º = 60º + 720º = 780º del vector
76 Javier O. Sierra Padilla
Vector v a 60º, 420º, 780º ó -300º del vector u
rotaciones Sea un punto A el punto fi pendicular y punto
inicial en una recta l és de la recta l
es el punto final del vector perpendicu l que está
a unos α
Veamos ahora otros tipos de transformaciones conocidas como
nal de un vector per
. La rotación α grados del punto A a trav
lar y con punto inicial en la recta
grados del vector con punto final A.
Rotación del punto A 30º a través de la recta l
La rotación α de un conjunto de puntos a través de una recta l es la
rotación α a través de la recta del conjunto. A la
recta l se le conoce como la
l de cada uno de los puntos
recta de rotación.
Geometría 77
Rotación de un cono 30º a través de la recta l
la recta de rotación es
perpendicu tación se puede ver como una rotación
o, el punto es
conocido como el
Si los puntos a ser rotados son coplanarios y
lar a este plano, entonces la ro
a través de un punto en este plano. Este punto de rotación corresponde a la
intersección de la recta de rotación y el plano. En este cas
punto de rotación.
Rotación de un triángulo 90º a través de un punto
o
ó 360o es una identidad. Note o puede ser vista
como una reflexión.
os planos
que se intersecan en la recta de rotación.
rotados sean coplanarios, se puede ver una rotación como dos reflexiones a
través de dos rectas que se intersecan en el punto de rotación. Estas dos rectas
Note que las rotaciones también son isometrías y que una rotación de 0
también que una rotación de 180
Una rotación puede ser vista como dos reflexiones a través de d
En el caso de que los puntos a ser
78 Javier O. Sierra Padilla
son las que corresponden a la intersección de los dos planos de reflexión con el
tán los puntos a ser rotados. plano donde es
como dos reflexiones Rotación de un triángulo
se o tiene nuevamente
misma figura. En este caso decimos que la figura tiene simetría rotacional y
se
onoce como la medida del ángulo de simetría.
Al rotar algunas figuras a través de ciertas rectas b
la
la cantidad positiva mínima de grados necesarios para obtener esta simetría
c
Pirámide triangular regular con ángulo de simetría de 120º
Algunas figuras como por ejemplo
rotación con las cuales se obtienen si (en este caso
emás en u a esfera no
importa cuanto rote a través de una recta que pase por su centro, se obtiene una
la esfera, tienen varias rectas de
metrías rotacionales
cualquier recta que pase por el centro de la esfera). Ad n
Geometría 79
esfera igual. En estos casos decimos que la figura tiene simetría rotacional para
todo ángulo.
de simetría rotacional
s simetrías de figuras en el plano
Esfera con varias rectas
También es interesante observar la
como por ejemplo, la de un rectángulo.
Rectángulo con simetría rotacional de 180º
. Efectúe una rotación de 90º de las siguientes figuras a través del punto C.
Ejercicios 3.3
1
80 Javier O. Sierra Padilla
a. c.
b. d.
a.
2. Indique cuantas rectas de simetría rotacional tienen las siguientes figuras.
c.
b. d.
3. Indique la medida del ángulo de rotación a través de la recta l de las
siguientes figuras.
Geometría 81
a. c.
b. d.
4. Indique la medida
siguientes figuras.
a.
del ángulo de rotación a través del punto C de las
c.
b. d.
5. Deduzca una fórmula para la medida del ángulo de simetría de un polígono
regular según la cantidad de lados del polígono.
3.4 Dilataciones
82 Javier O. Sierra Padilla
dilataci
dilatación puede ser enor volumen, área o
neralmente no son
Sea k o inicial C y punto
final en A. La es el
punto final del vector con punto inicial C y medida k|
Veamos ahora otros tipos de transformaciones conocidas como
ones. Aunque la palabra dilatación pudiera sugerir que la proyección
será más “grande” (mayor volumen, área o perímetro), la realidad es que una
una figura más “pequeña” (m
perímetro). De esta manera, veremos que las dilataciones ge
isometrías, aunque en casos muy particulares si lo son.
un número real positivo y u un vector con punt
dilatación de k unidades del punto A desde un punto C
u |.
k unidades de un conjuntpunto C es la dilatación de k unidades de
conjunto.
Dilatación de 2 unidades del punto A desde el punto C
La dilatación de o de puntos desde un sde el punto C de cada punto en el
esfera desde su centro Dilatación de 4 unidades de una
Es interesante ver lo que sucede cuando el valor de k es menor a 1. Esta
ilatación hace una proyección de una figura más “pequeña”.
d
Geometría 83
de un cubo desde el punto C Dilatación de 0.5 unidades
También es interesante ver dilataciones en el plano, especialmente desde
puntos que no son parte de la figura.
Note que para el caso en el que el valor de k es igual a 1 se obtiene una
jercicios 3.4
Dilatación de 2 unidades de un triángulo desde el punto C
identidad y que independientemente el valor de k la dilatación de una recta
desde uno de sus puntos o de un rayo desde su punto inicial, también es una
identidad.
E
84 Javier O. Sierra Padilla
1. Dibuje la dilatación de 2 unidades de las siguientes figuras desde el punto C.
a. c.
b. d.
tación de 2 unidades de las siguientes figuras desde el punto C.
a.
2. Dibuje la dila
c.
b. d.
3. Si se hace una dilatación de 3 unidades de un segmento que mide 4
unidades desde uno de sus extremos, ¿cuál es la medida del segmento
resultante de la proyección?
Geometría 85
gmento resultante de la dilatación de 4 unidades
4. ¿Cuál es la medida del se
desde el punto C del siguiente segmento?
uál es la medida del ángulo resultante de la dilatación de 3 unidades
l vértice de un ángulo con medida 30º?
es de un círculo con radio 4 unidades
la circunferencia del círculo resultante de la
dades de una esfera con radio 6 unidades
u centro, ¿cuál es el área de superficie de la esfera resultante de la
hace una dilatación de 3 unida
su vértice ¿cuál es el volumen del cono resultante de la proyección?
Ejercicios 1.1
5. ¿C
desde e
6. Si se hace una dilatación de 3 unidad
desde su centro, ¿cuál es
proyección? ¿cuál es el área?
7. Si se hace una dilatación de 0.5 uni
desde s
proyección? ¿cuál es su volumen?
8. Si se des de u n cono recto de altura 2 y radio 1
desde
Respuestas a ejercicios
86 Javier O. Sierra Padilla
1. No,
2. No,
3. Si,
4. Si,
5. No,
6. No
7. Si
8. Si
9. No
10. Si
11. Si,
Geometría 87
12. Si, 13. Si,
14. 4
15. 12
s 1.2
. Circunferencia: 8
Ejercicio
1. 8
2. 1.5
π , área: 16π
ia: 3
3
4. Circunferenc π , área: 2.25π
. Si 5
6. 5,
7. 2,
8. 45º
9. 36º
cios 1.3
3. No
10. 300º
Ejerci
1. Si
2. No
88 Javier O. Sierra Padilla
4. 260º
5. 270º
6. a) obtuso b) agudo c) obtus
h) agudo
o d) agudo e) agudo f) recto g) obtuso
7. 35º,
8. 171º,
54º
0º d) 90º e) 82º
d) 180º e) 172º
icios 1.4
1. a)
2. a)
9. 41º
10. 1
11. a) 52º b) 47º c)
12. a) 142º b) 37º c) 90º
Ejerc
Si b) Si c) Si d) No e) No
∠ABC, ∠BCD, ∠CDE, ∠DEA, ∠EAB b)∠ABC, ∠BCD, ∠CDE,
∠
uadrilátero d) Octágono e) Pentágono
onvexo d) No convexo e) No convexo
DEF, ∠EFA, ∠ FAB
3. a) Triángulo b) Heptágono c) c
4. a) Convexo b) No convexo c) C
Geometría 89
5. a) b) c) d)
8 b) 32 c) 12 d) 19
ios 1.5
6. a) 1
Ejercic
1. Si
2. Si
3. Si
4. No
5.
6.
. Si o c) 30o d) 45o
7
8. a) 40o b) 50
9. a) 5 b) 15 c) 13 d) 22
10.
11.
90 Javier O. Sierra Padilla
12.
13.
ios 1.6
18
14. 9
15. a) Perímetro: 22, área: 18 b) Perímetro: 20, área: 18 c) Perímetro: 16,
área: 12 d) Perímetro: 16, área: 16
14. 30
15. 24
Ejercic
1. Si
2. No
3. No
4. Si
5. No
6. Si
7. No
8. Si
9. No
10. Si
11. Si
12. Si
13.
Geometría 91
Ejercicios 1.7
1. a) ∠ 1 y ∠ 3; ∠ 2 y ∠ 4 b)
∠ 2 y ∠ 3; ∠ 3 y ∠ 4; ∠ 4 y ∠ 1
2. m∠ 1 = 55º, m∠ 2 = 125º, m∠ 3 = 55º
) ∠ 3, ∠ 4, ∠ 5 y ∠ 6 b) ∠ 1, ∠ 2, ∠ 7 y ∠ 8 c) ∠ 3 y ∠ 6; ∠ 4 y ∠ 5
∠ 8; ∠ 2 y ∠ 7 e) ∠ 1 y
3. a
d) ∠ 1 y ∠ 5; ∠ 2 y ∠ 6; ∠ 3 y ∠ 7; ∠ 4 y ∠ 8
1 = 75º, m∠ 2 = 105º, m4. m∠ ∠ 3 = 75º, m∠ 4 = 75º, m∠ 5 = 105º,
∠ 6 = 75º, m∠ 7 = 125º
5 d) 8 e) 8
m
5. a) 8 b) 5 c)
Ejercicios 2.1 1. caras: 6, aristas: 12, vértices: 8
2. caras: 6, aristas: 11, vértices: 7
3.
4. 150
5. 32 3
6. 12
7. 20
8. 72
rcicios 2.2
. 6
5. 80
6. 96
Eje1. 12
2. 24
3
4. 15
92 Javier O. Sierra Padilla
7.
8.
9. 3
1. 9
3.
10. Si
Ejercicios 2.3
2. aristas:20, vértices 11
4.
Geometría 93
5. 48
6. 48
Ejercicios 2.4
1.
. 2
3. 48π
4. Volumen: 128π , área de superficie total 144π
5. 12π
6. ,
Ejercicios 2.5
1.
94 Javier O. Sierra Padilla
2.
3. 200π
4. Volumen 576π , área de superficie total 372π
5. Aumenta el doble
6. Aumenta 4 veces el volumen original; aumenta 4 veces el área original de las
bases; aumenta el doble del área de superficie lateral
n círculo
Ejercicios 2.6
1. U
2. Un semicírculo
3. Volumen 36π , área de superficie 36π
4. Volumen 144π , área de superficie 72π
1. a)
5. 4
6. 1024
Ejercicios 3.1
'B'A b) 'B'A c) 'B'A d) 'C'B'A∠ e) ∆A’B’C’ f) □A’B’C’D’
2. Si
3.
Geometría 95
4.
5.
6. a) 9 b) 2 c) infinitos d) infinitos e) 5 f) 9
2 b) 3 c) 2 d) 3 e) infinitas f) 6
8. a) 1 b) 0 c) 1 d) 1 e) 1 d) 1
7. a)
o b) Si c) Si d) Si
1. a)
9. a) N
10. a) No b) Si c) Si d) No
Ejercicios 3.2
96 Javier O. Sierra Padilla
b)
c)
d)
2. a)
b) c)
d)
3. a) Segmento horizontal con medida 7 b) Una recta horizontal
c) Tres rectas verticales d) Un punto
Geometría 97
4. 5
5. 0
6.
Ejercicios 3.3
1. a) b) c) d)
2. a) 1 b) 4 c) 5 d) 10
3. a) 90º b) 180º c) 120º d) 90º
4. a) 180º b) 180º c) 180º d) 64º
5. n
360o
, n es el número de lados del polígono regular
Ejercicios 3.4
1. a) b)
98 Javier O. Sierra Padilla
c)
d)
. a) b) c) 2
Geometría 99
100 Javier O. Sierra Padilla
d)
3. 12
4. 12
5. 30º
6. Circunferencia: 24π , área: 144π
7. Área de superficie: 36π , volumen: 36π
8. 18π
