MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

1.1 Introduccin Los datos organizados en una distribucin de frecuencias destacan sus caractersticas ms esenciales, como marcas de clases, centro, forma de distribucin (asimtrica, simtrica,) etc. Sin embargo, los indicadores que describen a los datos en forma ms precisa, deben calcularse. Estos indicadores resumen los datos en medidas descriptivas que se refieren a la centralizacin o posicin, a la dispersin o variacin, a la asimetra, y a la curtosis de los datos. Las medidas de posicin reflejan la tendencia central y la localizacin de los datos.

Las medidas de tendencia central, denominados tambin promedios, ubican el centro de los datos, como la media aritmtica, la media geomtrica, la media armnica y la mediana.

Las medidas de localizacin indican el lugar de los datos ms frecuentes (moda) o de los menos frecuentes a partir de los cuantiles.

1.2 Media aritmtica Definicin. La media aritmtica, denominada simplemente media, es la suma de los valores observados de la variable, dividido por el nmero de observaciones.

Para valores de una variable X observados en una muestra, la media aritmtica se denota por .

1.2.1 Clculo de la media aritmtica

1) Media aritmtica de datos no tabulados La media de n valores , de la variable cuantitativa X, observados en una muestra es el nmero:

.EJEMPLO 1.1

Los ingresos semanales en dlares (variable X) de 45 personas son:

638936495664593578

435370576243686226

647252516260716155

596067576761675181

5364764473566263 60

Calcula la media aritmtica de los ingresos semanales.SOLUCION

La suma de los 45 ingresos sin tabular es $2682. Luego,

2) Media aritmtica de datos tabulados2a) Media para datos tabulados de variable discreta Si n valores de una variable estadstica discreta X se clasifican en k valores distintos con frecuencias absolutas respectivas , entonces, su media aritmtica es el nmero:

.

EJEMPLO 1.2Ante la pregunta del nmero de hijos por familia (variable X) una muestra de veinte hogares, marc las siguientes respuestas:

2, 1, 2, 4, 1, 3, 2, 3, 2, 0,

3, 2, 1, 3, 2, 3, 3, 1, 2, 4.

Calcula la media aritmtica de la distribucin del nmero de hijos por familia.

SOLUCION

La distribucin de frecuencias se da en el cuadro 1.1, donde se ha incluido una columna de productos

Cuadro 1-1. Clculo de la media del nmero de hijos por familiaValores de XfrecuenciasProductos

01 0

14 4

2714

3618

42 8

Total 2044

cuyo resultado es:

1.2.2 Propiedades de la media aritmtica1) La suma total de n valores cuya media es es igual a . Para n datos no tabulados y tabulados respectivamente, se tiene:

2) Si cada uno de los n valores es transformado en: , siendo a y b constantes, entonces, la media de los n valores es (verificar!):

Como casos particulares se tiene:

Si , entonces, . Esto es, si los n datos son iguales a una constante, entonces su media es igual a esa constante.

Si , entonces, . Esto es, si a cada dato se suma una constante la media queda sumada por esa constante.

Si , entonces, . Esto es, si a cada dato se multiplica por una constante, la media queda multiplicada por esa constante.

EJEMPLO 1.3Los sueldos del mes de enero de 200 empleados de una empresa tienen una media de $230. Si en el mes de julio, se propone un aumento del 30% a cada sueldo de enero ms una bonificacin de $30 cunto dinero adicional necesitar la empresa para pagar los sueldos de julio?

SOLUCION

Sean X: sueldos de enero, Y: sueldos de julio. Entonces,

EMBED Equation.3

1.3(230) + 30 ( $329

Total de dinero para pagar sueldos de enero ( ( 200(230) ( $46 000

Total de dinero para pagar sueldos de julio ( ( 200(329) ( $65 800

Dinero adicional para pagar sueldos de julio ( $65 800 ( $46 000 ($19 800.

1.3 Moda Definicin. La moda de una serie de datos es el valor , que se define como el dato que ms veces se repite.

La moda no siempre existe y si existe, no siempre es nica.

En matemtica, la moda es el valor de la variable en el que existe un mximo absoluto (o dos o ms mximos relativos iguales).

La moda es una medida promedio que se usa cuando se quiere sealar el valor ms comn de una serie de datos. Por ejemplo, los comerciantes se proveen con productos que estn de moda.

La moda es el promedio menos importante debido a su ambigedad.

EJEMPLO 1.4

La moda de los datos:

a) 7, 9, 7, 8, 7, 4, 7, 13, 7 es igual a 7. Esta serie de datos es unimodal

b) 5, 3, 4, 5, 7, 3, 5, 6, 3 es igual tanto a 3, como a 5. Esta serie de datos es bimodal.

c) 31, 11, 12, 19 no existe. (tambin vale decir que cada uno de los datos es una moda).

1.4 MedianaDefinicin. La mediana o valor mediano de una serie de valores observados es el nmero Me que separa a la serie de datos ordenados en forma creciente (o decreciente) en dos partes de igual nmero de datos.

La mediana es la medida promedio que depende del nmero de datos ordenados y no de los valores de estos datos.

1.4.1 Clculo de la mediana1) Mediana de datos no tabulados Se sigue el mtodo de percentiles, esto es, para determinar la mediana de n valores no tabulados de una variable cuantitativa X :

1) Se ordenan los datos en forma creciente.

2) Luego, se ubica el valor central Me. Si n es impar, la mediana es el dato ordenado del centro. Pero si n es par, la mediana es cualquier nmero situado entre los dos valores ordenados centrales, pero, para evitar la infinidad de valores, se elige como mediana la semisuma de los dos valores ordenados centrales.

EJEMPLO 1.5Calcula la mediana para las siguientes series de datos.

a) 120, 3, 14, 1, 99, 7, 30, 2,000, 16

b) 30, 77, 3, 300, 36, 11, 10,000, 29

SOLUCION

a) La serie ordenada de los nueve datos es:

1, 3, 7, 14, 16, 30, 99, 120, 2,000.

La mediana es el quinto dato ordenado que divide a la serie en dos grupos de cuatro datos cada uno. Esto es, 16.

b) La serie ordenada de los ocho datos es:

3, 11, 29, 30, 36, 77, 300, 10,000.

la mediana en este caso, puede ser cualquier nmero situado entre 30 y 36, ya que este dividir a los datos en dos grupos de 4 datos cada uno. Se puede elegir como mediana la semisuma de los dos valores centrales. Esto es, .

Observar pues, que la mediana no depende de la magnitud de los datos. Depende slo del nmero de ellos.2) Mediana de datos tabulados2a) Si los valores de una variable discreta se tabulan en una distribucin de frecuencias de la forma "dato frecuencia", el clculo de la mediana se hace siguiendo el procedimiento anterior 1) debido a que los datos estn ordenados. Por ejemplo, la mediana para la distribucin del nmero de hijos por familia del ejemplo 1.2 es igual a 2.

1.5 Relacin entre media, mediana y moda1. Si la distribucin de frecuencias es simtrica, entonces, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor (figura 1.1(a)). Esto es,

.

fig. 1.1. (a) fig. 1.1. (b) fig. 1.1. (c)

2. Si la distribucin es asimtrica de cola a la derecha, entonces, la moda es menor que la mediana y esta a su vez es menor que la media (figura 1.1 (b)). Es decir:

.

3. Si la distribucin es asimtrica de cola a la izquierda (figura 1.1(c)), entonces, la relacin es: .

Bibliografa:CRDOVA Z.,M.

Estadstica Descriptiva e Inferencial. Editorial Moshera

EJERCICIOS GRUPO A

1. En la grfica faltan algunos datos. Usa la leyenda y construye la grfica que represente esta informacin:

a. Misin Espacial vendi 400 juegos en octubre y 200 juegos en noviembre.

b. Parragn vendi 100 juegos en enero y 200 juegos en febrero.

c. Conecta los puntos de cada uno de los juegos para completar la grfica lineal.

Responde:

Qu juego tiene el mayor porcentaje de ventas?

Qu mes muestra la mayor diferencia en ventas?

Cul de los dos juegos tiene la mayor demanda en promedio?

A partir de la lnea de tendencia qu nmero de juegos vender Misin Espacial aproximadamente en el mes de diciembre?.

2. La nota media de una examen ha sido 12.4 en 3A, en el que hay 15 estudiantes, y 08 en 3B, que tiene 35 estudiantes. Calcula la nota media de la totalidad de estudiantes de las dos clases.3. En una asignatura, el segundo examen vale el doble que el primero, y el tercero, el triple. Cul es la nota final de un alumno que sac un 10, un 12 y un 08? Si se modifica la evaluacin y estas notas son el 10%, el 40% y el 50% de la nota final, qu porcentaje de la nota anterior ser la nota final?

4.Las siguientes tres preguntas se referirn al siguiente diagrama estadstico, que muestra la produccin anual de una fbrica (en millones de tornillos)

Cuntos millones de tornillos se produjeron desde el ao 1993 hasta el ao 1998?

De acuerdo a los datos, desde 1993 hasta 1998:

Cul es la produccin anual promedio de la fbrica en millones de tornillos?

En que porcentaje (%) aument la produccin del ao 1993 al ao 1995?

5. A los estudiantes de un curso se les pregunta qu carrera estudiarn y se obtienen las siguientes respuestas:

Ingeniera6

Derecho3

Medicina4

Ciencias6

Letras8

Informtica6

Otra o ninguna7

Responde:a) Cul es la moda?

b) Por qu esta distribucin no tiene media ni mediana?

c) Halla el porcentaje correspondiente a cada una de las carreras.

6. El entrenador de un equipo de baloncesto duda entre seleccionar a Elena o a Mara. Los puntos conseguidos por cada una, en una semana de entrenamiento, fueron estos:

Elena18232224192516

Mara18261828221718

Qu medida central le aconseja usar para elegir a la mejor, justifique su respuesta?

7.En una empresa trabajan treinta empleados y cinco directores. El sueldo medio de la empresa es de 3000 nuevos soles. Cul ser el sueldo medio de los directores si sabemos que el sueldo del resto de los empleados es de 2 000 nuevos soles?

8.Mi nota ser la media de cuatro exmenes. Si en los tres primeros tengo una media de 8,4 Qu nota tengo que obtener en el ltimo examen para aprobar con 14? Analice su respuesta y a continuacin indique cul sera el mnimo de nota que debera tener en promedio en los tres primeros exmenes para tener oportunidad matemtica de sacar 14. 9. En la siguiente muestra estadstica calcula la media, mediana y la moda.

10. Completa esta tabla de frecuencias:

Calcula:

a) La media aritmtica.

b) La mediana y la moda.

11. El nmero de horas que diariamente ven la televisin diez personas seleccionadas es el siguiente:

3, 2, 0, 1, 2, 4, 5, 3, 3, 2.

Halla la media, mediana y moda.

12. Cul es la media, mediana y la moda de esta serie de valores?

2, 3, 4, 5, 7, 8, 7, 8, 2, 8, 6, 6, 2, 3, 5, 4, 4, 2, 2, 8

13. Compara la media, la mediana y la moda de cada una de las siguientes distribuciones y relaciona el resultado con su asimetra:

a) 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8

b) 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 8, 8, 9, 10

c) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9

EJERCICIOS GRUPO B1. Completa la grfica usando la siguiente informacin:

a. Misin espacial vendi 400 juegos en octubre y 200 juegos en noviembre.

b. Parragn vendi 100 juegos en enero y 200 juegos en febrero.

c. Conecta los puntos de cada uno de los juegos para completar la grfica lineal.

Responde despus de haber completado:i.Qu juego tiene el mayor nmero de ventas para cualquier mes?

ii.Qu mes muestra la mayor diferencia en ventas entre los juegos?

iii.Cul de los dos juegos tiene el mayor promedio de unidades vendidas?

Describe la lnea de tendencia para cada juego.

2. Para hallar la nota de una asignatura, el segundo examen vale el doble que el primero, y el tercero, el triple. Cul es la nota final de un alumno que obtuvo un 10, un 12 y un 08? Y si estas notas son el 10%, el 40% y el 50% de la nota final?

3. A los estudiantes de un curso se les pregunta qu carrera estudiarn y se obtienen las siguientes respuestas:

Ingeniera6

Derecho3

Medicina4

Ciencias6

Letras8

Informtica6

Otra o ninguna7

Responde:

a) Cul es la moda?

b) Por qu esta distribucin no tiene media ni mediana?

4. El entrenador de un equipo de baloncesto duda entre seleccionar a Elena o a Mara. Los puntos conseguidos por cada una, en una semana de entrenamiento, fueron estos:

Elena18232224192516

Mara18261828221718

Cul de los dos seleccionar si es la de mejor media?

5. Para hallar mi nota final, debo hallar la media de cuatro exmenes. Si en los tres primeros tengo una media de 12,4 Qu nota tengo que obtener en el ltimo examen para aprobar con 14?

6. Los resultados del ltimo control de matemticas han sido los siguientes:

a) Qu nota media ha obtenido el grupo de alumnos?

b) Cul es la mediana y la moda de las notas obtenidas?

7. Completa esta tabla de frecuencias:

a) Calcula la edad media.

b) Representa esta situacin en un diagrama de bastones.

c) Cul es la mediana y la moda?

8. Haz la tabla de frecuencias absoluta y relativa de la siguiente serie de valores:

7, 6, 6, 6, 6, 5, 4, 4, 3, 3.

Halla:

a) La media aritmtica

b) La mediana y la moda.

9. Las calificaciones obtenidas por los 32 alumnos de una clase de tercero en la materia de Cultura Clsica vienen dadas por la siguiente tabla:

Calcula la media, mediana y moda.

10. Halla la media, la mediana y la moda en las siguientes tablas de frecuencias:

_1321375537.unknown

_1321375539.unknown

_1321375540.unknown

_1321375538.unknown

_1321375536.unknown

_1321375508.unknown

_1321375503.unknown

_1321375494.unknown

_1321375470.unknown

_1321375471.unknown

_1321375469.unknown