1. Probabilidad

1.1) Propiedades basicas de la Probabilidad. Probabilidad condicionada.Formula de las Probabilidades Totales. Formula de Bayes.

• Propiedades basicas de la Probabilidad

La Teorıa de la Probabilidad es la parte de la Matematica que trata de explicar aquellosfenomenos en los que interviene el azar: los fenomenos aleatorios son aquellos fenomenosfısicos en los que si repetimos la observacion de alguna caracterıstica de dicho fenomeno, bajolas mismas condiciones (hasta donde sea posible determinar), se pueden obtener diferentesresultados, esto es, el resultado no puede ser predicho con total seguridad, aunque sı se conozcael conjunto de posibles resultados. Un fenomeno determinista es aquel que no es aleatorio.Ejemplos de fenomenos aleatorios serıan:

a) el lanzamiento de una moneda en el que se observa como caracterıstica de interes quelado de la moneda sale,

b) el lanzamiento de un dado en el que se observa como caracterıstica de interes que caradel dado sale,

c) se escoge un individuo al azar de una poblacion de personas adultas y se observa su peso(en Kg),

d) se observa la ausencia o presencia de dioxinas en las hamburguesas de carne elaboradaspor cierta empresa carnica,

e) se observa el numero de microorganismos patogenos en muestras de embutidos envasadosen un supermercado,

f) se determina el porcentaje de calcio en los yogures desnatados de cierta marca.

El conjunto de resultados “mas sencillos”que se pueden observar en un fenomeno aleatorio sedenota por Ω y se llama espacio muestral . En los ejemplos:

a) Ω = cara, cruz b) Ω = 1, 2, 3, 4, 5, 6 c) Ω = (40, 150) (si este es el rango de pesos posible)

d) Ω = ausencia, presencia que se puede identificar con Ω = 0, 1e) Ω = 0, 1, 2, . . . = N ∪ 0f) Ω = [0, 100]

Cada uno de los elementos del conjunto Ω se llama suceso elemental, y suceso(en general) unsubconjunto de Ω cualquiera.

En el ejemplo b), impar y 2, 3, 4, son dos sucesos. En el c), [100, 150) y (40, 60)tambien lo son, por poner algunos ejemplos.

Dado que los sucesos son subconjuntos del espacio muestral Ω, podemos utilizar con ellosel algebra de conjuntos (uniones, intersecciones, complementario,...).

Recordemos algunas notaciones estandar. Si A y B son subconjuntos de Ω (A,B ⊂ Ω)usaremos las notaciones: A ∪B (A union B), A ∩B (A interseccion B), Ac (complementario

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de A), B\A (B menos A), #A (cardinal del suceso A), A y B son disjuntos si A ∩B = ∅ (sedice que son sucesos incompatibles).

Dado un suceso A de un espacio muestral Ω asociado a un fenomeno aleatorio, podemosestar interesados en algun indicador del “grado de confianza”que tenemos en que al realizaruna observacion del fenomeno observemos precisamente un resultado que este en A (diremosentonces que el suceso A “se ha realizado”). Este indicador es, precisamente, la probabilidaddel suceso A, que se escribe P (A), y es el valor al que tiende la frecuencia relativa delsuceso a medida que aumenta el numero de veces que observamos el fenomeno aleatorio. Laspropiedades basicas de la Probabilidad son:

1) 0 ≤ P (A) ≤ 1

2) P (Ω) = 1

3) P (∅) = 0

4) P (A ∪B) = P (A) + P (B) si A y B son disjuntos.

En general, para un numero finito de sucesos,

P (A1 ∪ · · · ∪ An) = P (A1) + · · · + P (An) si A1, . . . , An son disjuntos dos a dos (esdecir, si Ai ∩Aj = ∅ para todo i 6= j).

5) A ⊂ B ⇒ P (B\A) = P (B)− P (A)

6) P (Ac) = 1− P (A)

7) A ⊂ B ⇒ P (A) ≤ P (B)

8) P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)

9) Si Ω es finito y hay simetrıa entre los sucesos elementales, resulta que para todo sucesoA de Ω, la probabilidad del suceso se obtiene ası:

P (A) =#A

#Ω=

casos favorables

casos posibles

Ejercicios:

1. Lanzamos dos veces consecutivas una moneda perfecta (en la que hay simetrıa en las doscaras), de manera independiente. ¿Que probabilidad tenemos de obtener dos valores dife-rentes (una cara y una cruz)?

2. Lanzamos un dado perfecto. ¿Cual es la probabilidad de obtener un numero par? ¿Y unnumero mayor que 4?

3. Lanzamos dos veces consecutivas un dado perfecto. ¿Cual es la probabilidad de obteneruna suma de puntos de 8 o mas? ¿Y de obtener los mismos puntos con los dos dados? ¿Yde no obtener los mismos puntos?

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4. Supongamos que las hortalizas de cierta explotacion agrıcola tienen residuos de plaguicidascon probabilidad 0.4, tienen residuos de plomo con probabilidad 0.3, y con probabilidad0.25 tienen ambos. ¿Cual es la probabilidad de que una hortaliza cogida al azar de laexplotacion tenga residuos de plaguicidas o de plomo? ¿Y la probabilidad de queno tenga residuos de plaguicidas? ¿Y la probabilidad de que no tenga residuos deplaguicidas o tenga residuos de plomo?

5. En una baraja espanola de 48 cartas, si escogemos una carta “al azar”, ¿cual es la proba-bilidad de sacar un oro o una figura?

• Probabilidad Condicionada

Dados dos sucesos A y B, con P (B) > 0, definimos la probabilidad de A condicionada porB (o condicionada a B) como

P (A/B) =P (A ∩B)

P (B)

Una aplicacion habitual de la anterior definicion consiste en, conocidas P (A/B) y P (B) (>0), obtener la probabilidad de la interseccion mediante

P (A ∩B) = P (A/B)P (B)

Tambien tenemos que si P (B) > 0, P (Ac /B) = 1− P (A/B) .

Ejercicios:

6. En una baraja espanola de 48 cartas, si escogemos dos cartas al azar una detras de otra,¿cual es la probabilidad de sacar dos figuras?

7. ¿Y la probabilidad de que la primera carta sea una figura pero la segunda no?

Todos tenemos una idea intuitiva de lo que la “independencia”de dos sucesos deberıasignificar: la informacion acerca de la ocurrencia de uno de ellos no afecta a la probabilidadde ocurrencia del otro. La definicion es: se dice que dos sucesos A y B son independientessi

P (A ∩B) = P (A)P (B) y, en ese caso,

P (A/B) = P (A) (si P (B) > 0) y P (B/A) = P (B) (si P (A) > 0)

Ejercicio 8. Si lanzamos un dado perfecto y consideramos los sucesos

A = mayor que 2 = 3, 4, 5, 6 y B = “impar” = 1, 3, 5 ,

¿son A y B sucesos independientes? ¿Y son independientes los sucesos A y C, siendo C =1, 2, 3 ?

Ejemplo. En una competicion de tiro con arco, dos de los arqueros, Arc1 y Arc2, apuntana una diana y disparan simultaneamente, una sola vez cada uno de ellos, sin interaccionar enningun sentido. Se sabe por la informacion de competiciones anteriores que Arc1 acierta conprobabilidad 0.75 mientras que Arc2 lo hace con probabilidad 0.9. Nos preguntamos cual esla probabilidad de que la diana haya sido alcanzada.

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El espacio muestral natural asociado a este fenomeno aleatorio es

Ω = (Arc1 acierta, Arc2 acierta), (Arc1 acierta, Arc2 falla),

(Arc1 falla, Arc2 acierta), (Arc1 falla, Arc2 falla) ,

y en el no hay simetrıa, pues la probabilidad de acertar no es la misma para los dos arquerosy, ademas, para cada arquero no es igual de probable acertar que fallar, de manera que nopodemos usar la formula “casos favorables”

“casos posibles” para calcular las probabilidades.Consideramos los sucesos A = Arc1 acierta y B = Arc2 acierta , que podemos asumir

que son independientes por referirse cada uno de ellos a uno de los arqueros, por lo quetenemos que P (A ∩ B) = P (A)P (B) (aquı la independencia viene dada por las condicionesdel fenomeno aleatorio, esto es, la no interaccion en ningun sentido de los arqueros en suslanzamientos).

Queremos calcular la probabilidad de que la diana haya sido alcanzada, P (A ∪ B) . Usa-remos la formula para la probabilidad de la union, aprovechando que podemos calcular laprobabilidad de la interseccion como producto de probabilidades debido a la independencia:

P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B)︸ ︷︷ ︸=P (A)P (B)

= 0.75 + 0.9− 0.75× 0.9 = 1.65− 0.675 = 0.975

• Formula de las Probabilidades Totales. Formula de Bayes

Introduciremos ahora dos utiles formulas a partir del siguiente ejemplo: en una determina-da zona en la que el 45% de los individuos adultos son hombres se estudia cierta enfermedad.La prevalencia de esta enfermedad en adultos (porcentaje de individuos que la padecen) seconoce disgregada por sexos, y es de un 4% en hombres y un 1% en mujeres. Deseamos calcu-lar la prevalencia global (esto es, sin disgregar) de la enfermedad, o porcentaje de individuosenfermos en la poblacion.

El fenomeno aleatorio que estamos considerando es el de escoger un individuo adulto de lazona al azar. Estamos interesados en calcular la probabilidad de que padezca la enfermedad(la probabilidad multiplicada por 100 nos da la prevalencia). Como conocemos la prevalenciadisgregada por sexos, lo natural sera observar como caracterıstica de interes del individuo doscosas: si esta o no enfermo, y su sexo. Entonces, el espacio muestral (natural) asociado a estefenomeno es:

Ω = hombre enfermo, hombre sano, mujer enferma, mujer sana

Queremos obtener la probabilidad del suceso

E = enfermo = hombre enfermo, mujer enferma ,

pero tenemos el problema de que en Ω no hay simetrıa (ya que la proporcion de los dossexos no es igual, por ejemplo). Entonces no podemos aplicar casos favorables

casos posibles para calcularlay lo tendremos que hacer de otra manera, utilizando las propiedades de la probabilidad.Consideremos ahora tambien los sucesos

H = hombre y M = mujer .

Entonces, podemos escribir los datos que conocemos ası:

P (H) = 0.45, P (M) = 1− 0.45 = 0.55, P (E/H) = 0.04 y P (E/M) = 0.01 .

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Utilizando que Ω = H ∪M , siendo la union disjunta, tenemos que

P (E) = P (E ∩ Ω) = P (E ∩ (H ∪M)︸ ︷︷ ︸=(E∩H)∪(E∩M) disjuntos

) = P (E ∩H) + P (E ∩M)

= P (E/H)P (H) + P (E/M)P (M)

= 0.04× 0.45 + 0.01× 0.55 = 0.0235

Hemos determinado, por tanto, que la prevalencia global de la enfermedad es 2.35% (natural-mente, hemos obtenido un valor entre las dos prevalencias disgregadas por sexos; en realidad,una media ponderada de ambas). La formula que hemos utilizado para calcular P (E), que es

P (E) = P (E/H)P (H) + P (E/M)P (M)

se conoce como Formula de las Probabilidades Totales en general (en este caso tenıamosuna particion de Ω en dos trozos, H y M , pero en general pueden ser mas trozos y se hace demanera analoga, condicionando a todos y cada uno de los trozos).

Si ahora escogemos un individuo adulto de la zona y sabemos que esta enfermo, ¿queprobabilidad tiene de ser mujer? Nos hemos planteado, pues, el calculo de la probabilidadP (M/E) cuando lo que en realidad conocemos es P (E/M) = 0.01 (le queremos “dar la vuelta”a la probabilidad condicionada). Para hacerlo pasaremos por la probabilidad de la interseccion,P (M ∩ E), ası

P (M/E) =P (M ∩ E)

P (E)=

P (E/M)P (M)

P (E)=

0.01× 0.55

0.0235∼= 0.23404

Esta manera de “dar la vuelta” para calcular la probabilidad condicionada,

P (M/E) =P (E/M)P (M)

P (E)=

P (E/M)P (M)

P (E/H)P (H) + P (E/M)P (M)

es lo que se conoce como Formula de Bayes (notemos que en el denominador, para calcularP (E), se utiliza la formula de las probabilidades totales).

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