Estadística Aplicada a la Administración y la Economía - Leonard J. Kazmier

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Tercera edición

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Leonard J. Kazmier

Incluye 531 problemas resueltos y totalmente expli

Abarca todos los conceptos y métodos de estadística, incluyend* . -" * * - /•, v , . - 17' ."'7-.,-•' -'*"• ^i-

una introducción a la administración de calidad total

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ESTADÍSTICA APLICADAA LA ADMINISTRACIÓN

Y A LA ECONOMÍA

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ESTADÍSTICA APLICADAA LA ADMINISTRACIÓN

Y A LA ECONOMÍATercera edición

Leonard J. KazmierProfesor of Decisión and Information Systems

Arizona State University

Revisión TécnicaALEJANDRO ALEGRÍA HERNÁNDEZ

Maestro en EstadísticaIIMAS, UNAM

Profesor TitularDepartamento de Estadística

Instituto Tecnológico Autónomo de México

McGRAW-HILL

MÉXICO * BUENOS AIRES * CARACAS * GUATEMALA * LISBOA • MADRIDNUEVA YORK * SAN JUAN • SANTAFE DE BOGOTÁ • SANTIAGO • SAO PAULO

AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL • NUEVA DELHISAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONJO

Gerente de producto: Ricardo del Bosque AlayónSupervisor de edición: Noé Islas LópezSupervisor de producción: Zeferino García García

ESTADÍSTICA APLICADA A LA ADMINISTRACIÓN Y A LA ECONOMÍA 3a. ed

Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin autorización escrita del editor.

•

DERECHOS RESERVADOS © 1998, respecto a la tercera edición en españolMcGRAW-HILL INTERAMERICANA EDITORES, S. A. de C. V.Una División de The McGraw-Hül Companies, Inc.

Cedro Núm. 512, Col. AtlampaDelegación Cuauhtémoc06450 México, D. F.

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Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736

ISBN 970-10-1963-6 tercera edición(ISBN 970-10-0399-3 primera edición)(ISBN 970-10-0961-4 segunda edición)

j

Traducido de la tercera edición en inglés deSCHAUM'S OUTLINES BUSINESS Sf ATISTICSCopyright © MCMXCVI, by McGraw-Hill, Inc., U.S.A.

ISBN 970-10-1962-8

3456789012 0876543219

impreso en México Printed in México

Esta obra se terminó deimprimir en Mayo de 1999 enLitográfica IngramexCenteno Núm. 162-1Col. Granjas Esmeralda(Delegación Iztapalapa09810 México, D.F.

Se tiraron 4500 ejemplares

Prefacio

Este libro cubre los métodos básicos de descripción estadística, inferencia, control de procesos y análisis dedecisión que suelen incluirse en cursos introductorios e intermedios.

Los conceptos y métodos estadísticos se presentan en forma clara y concisa, y las explicaciones se hanreducido al mínimo en favor de la exposición de ejemplos concretos. Dado que este libro está específicamentedirigido a quienes se interesan en particular en la aplicación de técnicas estadísticas, se han omitido derivacionesmatemáticas.

Esta edición ha sido completamente puesta al día y entre sus novedades incluye un amplio tratamiento delcontrol estadístico de procesos en el capítulo 20 y una introducción al concepto, aún más general, de la adminis-tración de calidad total (ACT). Todos los resultados en computadora de esta edición se derivaron haciendo uso decomputadoras personales, no de macrocomputadoras. El contenido de esta nueva edición ha mejorado en virtuddel software disponible en la actualidad, gracias al cual fue posible perfeccionar en particular la presentación yexplicación de los métodos de pronóstico en el capítulo 16.

Este volumen sirve de apoyo para la comprensión de libros más complejos; como manual de referencia paraeste propósito, su uso es más sencillo que el de muchos otros libros de texto. Asimismo, su contenido basta paraque se le emplee como libro de enseñanza. Los temas se han agrupado en consonancia con la mayoría de loslibros de texto de estadística aplicada a la administración y la economía.

Agradezco a Minitab, Inc., la autorización para incorporar en este libro resultados de Minitab versión 10 y aDuxbury Press la autorización para emplear resultados de Execustat 3.0. Aunque estos programas de softwareestadístico fueron creados para interfaces de Windows, siempre que nos fue posible usamos versiones con co-mandos para ilustrar la lógica del software. MINITAB es marca registrada de Minitab, Inc. (3081 EnterpriseDrive, State College, Pensilvania 16801-3008, Estados Unidos; Tel. 814-238-3280, fax 814-238-4383).EXECUSTAT es marca registrada de Strategy Plus, Inc., y es distribuido por Duxbury Press, sello de la WadsworthPublishing Company (10 Davis Drive, Belmont, California 94002, Estados Unidos, Tel. 1-800-354-9706). Sibien no se les usó en este libro, también las versiones vigentes de los programas de hoja de cálculo EXCEL(copyright Microsoft, Inc.) y LOTUS 1-2-3 (copyright Lotus Development Corporation) incluyen rutinas deanálisis estadístico.

Finalmente, agradezco al Longman Group UK Ltd., en nombre del ejecutor testamentario del desaparecidoSir Ronald A. Fisher, F.R.S., y al doctor Frank Yates, F.R.S, la autorización para adaptar y reproducir las tablas IIIy IV de su libro Statistical Tablesfor Biológica!, Agricultura!, and Medica! Research, 6a. edición (1974).

LEONARD J, KAZMIER

Al estudiante

Este libro se escribió con la intención de eliminar cualquier clase de palabrería y fijar la atención en losconceptos y técnicas básicos asociados con la aplicación de métodos estadísticos a la administración y la econo-mía. Por lo tanto, puede servirle para dos propósitos diferentes.

Primero, puede servirle como excelente complemento de cursos de estadística aplicada a la economía. Orga-nización de temas y formulaciones se han seleccionado para que correspondan a las de los principales libros detexto de la materia. De igual modo, los resultados en computadora son representativos del tipo de resultados quese obtienen con casi cualquier paquete de software. Puede leer los capítulos de este libro antes o después de loscapítulos equivalentes de su libro de texto, ya sea para adquirir una visión general del tema o para repasar lostemas más importantes. Los numerosos ejemplos y problemas resueltos favorecerán su comprensión del conteni-do y le servirán de modelo para la resolución en casa de problemas de su libro de texto.

Segundo, descubrirá que este volumen es un excelente libro de referencia que podrá seguir utilizando en elfuturo. El desarrollo modular de los temas facilita la búsqueda de procedimientos en un grado mayor al ofrecidopor muchos otros libros de texto, al tiempo que el contenido es más amplio que el de la mayoría de los textosintroductorios. De cualquier forma, este libro también puede ser adoptado como texto de clase.

Contenido

Capítulo 1 ANÁLISIS DE DATOS ECONÓMICOS Y ADMINISTRATIVOS1.1 Definición de estadística aplicada a la administración y la economía . . .1.2 Estadística descriptiva e inferencial1.3 Tipos de aplicaciones en administración y economía1.4 Variables discretas y continuas1.5 Obtención de datos por observación directa contra encuestas1.6 Métodos de muestreo aleatorio1.7 Otros métodos de muestreo1.8 Uso de software de cómputo para la generación de números aleatorios ,

*

-

Capítulo 2 REPRESENTACIONES ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRÁFICAS ..2.1 Distribuciones de frecuencias

y

2.2 Intervalos de clase2.3 Histogramas y polígonos de frecuencias2.4 Curvas de frecuencias2.5 Distribuciones de frecuencias acumuladas2.6 Distribuciones de frecuencias relativas2.7 Distribución de frecuencias del tipo "y menor que"2.8 Diagramas de tallo y hojas2.9 Diagramas de puntos2.10 Diagramas de Pareto2.11 Diagramas de barras y gráficas de lineas2.12 Gráficas de corridas2.13 Diagramas circulares

•

Capítulo 3 DESCRIPCIÓN DE DATOS ECONÓMICOS Y ADMINISTRATIVOS:MEDIDAS DE POSICIÓN3.1 Medidas de posición en conjuntos de datos3.2 Media aritmética3.3 Media ponderada3.4 Mediana3.5 Moda3.6 Relación entre media y mediana3.7 Criterios matemáticos satisfechos por la mediana y la media

é

3.8 Uso de media, mediana y moda3.9 Uso de la media en el control estadístico de procesos3.10 Cuartiles, deciles y percentiles3.11 Resultados en computadora

Capítulo 4 DESCRIPCIÓN DE DATOS ECONÓMICOS Y ADMINISTRATIVOS:MEDIDAS DE VARIABILIDAD4.1 Medidas de variabilidad en conjuntos de datos4.2 Rango

111122234

9991011121314141515161718

393939394040414142424343

515151

CONTENIDO

4.3 Rangos modificados 514.4 Diagramas de caja 524.5 Desviación media absoluta (DMA) 534.6 Varianza y desviación estándar 534.7 Cálculos simplificados de la varianza y la desviación estándar 544.8 Criterio matemático asociado con la varianza y la desviación estándar . 554.9 Uso de la desviación estándar en la descripción de datos 564.10 Uso del rango y la desviación estándar en el control estadístico

de procesos 564.11 Coeficiente de variación 574.12 Coeficiente de asimetría de Pearson 584.13 Resultados en computadora 58

Capítulo 5 PROBABILIDAD 685.1 Definiciones básicas de probabilidad 685.2 Expresión de la probabilidad 695.3 Eventos mutuamente excluyentes y no excluyentes 70

i

5.4 Reglas de la adición 705.5 Eventos independientes, eventos dependientes y probabilidad

condicional 715.6 Reglas de la multiplicación 725.7 Teorema de Bayes 745.8 Tablas de probabilidades conjuntas 755.9 Permutaciones 765.10 Combinaciones 77

Capítulo 6 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLESALEATORIAS DISCRETAS: BINOMIAL,HIPERGEOMÉTRICA Y DE POISSON 946.1 ¿Qué es una variable aleatoria? 946.2 Descripción de una variable aleatoria discreta 946.3 Distribución binomial 966.4 Expresión de la variable binomial por medio de proporciones 976.5 Distribución hipergeométrica 986.6 Distribución de Poisson 996.7 Aproximación de Poisson de probabilidades binomiales 1006.8 Aplicaciones de cómputo 101

Capítulo 7 DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIASCONTINUAS: NORMAL Y EXPONENCIAL 1147.1 Variables aleatorias continuas 1147.2 Distribución normal de probabilidad 1147.3 Puntos percentiles para variables con distribución normal 1177.4 Aproximación normal de probabilidades binomiales 1187.5 Aproximación normal de probabilidades de Poisson 1197.6 Distribución exponencial de probabilidad 1207.7 Aplicaciones de cómputo 121

CONTENIDO

Capítulo 8 DISTRIBUCIONES DE MUESTREO E INTERVALOSDE CONFIANZA PARA LA MEDIA 1338.1 Estimación puntual de un parámetro de la población o del proceso . . . . 1338.2 Concepto de distribución de muestreo 1338.3 Distribución de muestreo de la media 1348.4 Teorema central del límite 1358.5 Determinación de probabilidades para la media muestral 1368.6 Intervalos de confianza para la media con el uso de la distribución

normal 1378.7 Determinación del tamaño de muestra requerido para la estimación

de la media 1388.8 Distribución t e intervalos de confianza para la media 1398.9 Tabla de resumen de la estimación por intervalo de la media

de la población 1408.10 Resultados en computadora 140

Capítulo 9 OTROS INTERVALOS DE CONFIANZA 1509.1 Intervalos de confianza para la diferencia entre dos medias con el uso

de la distribución normal 1509.2 Distribución t e intervalos de confianza para la diferencia entre

dos medias 1519.3 Intervalos de confianza para la proporción de la población 1529.4 Determinación del tamaño de muestra requerido para la estimación

de la proporción . •? 1529.5 Intervalos de confianza para la diferencia entre dos proporciones 1539.6 Distribución ji cuadrada e intervalos de confianza para la varianza

y la desviación estándar 1549.7 Resultados en computadora 155

Capítulo 10 PRUEBAS DE HIPÓTESIS REFERENTES AL VALOR DE LA MEDIADE LA POBLACIÓN 16310.1 Introducción 16310.2 Pasos básicos de la prueba de hipótesis con el método del valor crítico . 16310.3 Prueba de una hipótesis referente a la media usando la distribución

normal 164•

10.4 Errores tipo I y tipo II en pruebas de hipótesis 16710.5 Determinación del tamaño de muestra requerido para probar la media . 16910.6 Prueba de una hipótesis referente a la media usando la distribución t . . . 17010.7 Método del valor P para pruebas de hipótesis referentes a la media

de la población 17110.8 Método de intervalos de confianza para pruebas de hipótesis referentes

a la media 17210.9 Pruebas respecto de la media del proceso en el control estadístico

de procesos 17210.10 Tabla de resumen de la prueba de un valor hipotético de la media 173

T Txn CONTENIDO

Capítulo 11 OTRAS PRUEBAS DE HIPÓTESIS11.1 Prueba de la diferencia entre dos medias usando la distribución normal11,2 Prueba de la diferencia entre medias usando la distribución t11.3 Prueba de la diferencia entre medias con base en observaciones

apareadas11.4 Prueba de una hipótesis referente al valor de la proporción

de la población11.5 Determinación del tamaño de muestra requerido para probar

la proporción11.6 Pruebas respecto de la proporción del proceso en el control estadístico

de procesos11.7 Prueba de la diferencia entre dos proporciones poblacionales

4 11.8 Prueba de un valor hipotético de la varianza usando la distribuciónji cuadrada

11.9 Pruebas respecto de la variabilidad del proceso en el control estadísticode procesos

11.10 Distribución F y prueba de la igualdad de dos varianzas poblacionales .11.11 Otros métodos para la prueba de hipótesis nulas11.12 Resultados en computadora

Capítulo 12 LAPRUEBA JI CUADRADA12.1 Propósito general de la prueba ji cuadrada12.2 Pruebas de bondad de ajuste12.3 Prueba de independencia de dos variables categóricas (prueba

con tabla de contingencias)12.4 Pruebas de hipótesis referentes a proporciones12.5 Resultados en computadora

Capítulo 13 ANÁLISIS DE VARIANZA13.1 Razonamiento básico asociado con la prueba de las diferencias entre

varias medias poblacionales13.2 Diseño completamente aleatorizado de un factor (ANOVA con un

criterio de clasificación)13.3 Análisis de varianza con dos criterios de clasificación (ANOVA

con dos criterios de clasificación)13.4 Diseño aleatorizado en bloques (ANOVA con dos criterios

de clasificación, una observación por celda)13.5 Diseño completamente aleatorizado de dos factores (ANOVA

con dos criterios de clasificación, n observaciones por celda)13.6 Consideraciones adicionales13.7 Aplicaciones de cómputo

Capítulo 14 ANÁLISIS DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN LINEAL14.1 Objetivos y supuestos del análisis de regresión14.2 Diagrama de dispersión

1861861

188

190

191

191192

193

193194195195

206206206

208210213

228

228

229

230

230

231232233

248248248

CONTENIDO ** *XÜÍ

14.3 Método de mínimos cuadrados para el ajuste de una línea de regresión .14.4 Residuales y gráficas de residuales14.5 Error estándar del estimador14.6 Inferencias sobre la pendiente14.7 Intervalos de confianza para la media condicional14.8 Intervalos de predicción para valores individuales de la variable

dependiente<* 14.9 Objetivos y supuestos del análisis de correlación

14.10 Coeficiente de determinación14.11 Coeficiente de correlación14.12 Uso de la covananza para la comprensión del coeficiente de correlación14.13 Prueba de significancia respecto del coeficiente de correlación14.14 Peligros y limitaciones asociados con el análisis de regresión

y correlación14.15 Resultados en computadora

•

Capítulo 15 REGRESIÓNY CORRELACIÓN MÚLTIPLE15.1 Objetivos y supuestos del análisis de regresión lineal múltiple15.2 Conceptos adicionales del análisis de regresión múltiple15.3 Uso de variables indicadoras (ficticias)15.4 Residuales y gráficas de residuales15.5 Análisis de varianza en el análisis de regresión lineal15.6 Objetivos y supuestos del análisis de correlación múltiple15.7 Conceptos adicionales del análisis de correlación múltiple15.8 Peligros y limitaciones asociados con el análisis de regresión

y correlación múltiple15.9 Resultados en computadora

Capítulo 16 ANÁLISIS DE SERIES DE TIEMPO Y PRONÓSTICOSECONÓMICOS16.1 Modelo clásico de series de tiempo16.2 Análisis de tendencias16.3 Análisis de variaciones cíclicas16.4 Medición de variaciones estacionales16.5 Aplicación de ajustes estacionales16.6 Pronósticos basados en factores de tendencia y estacionales16.7 Pronósticos, ciclos e indicadores económicos16.8 Pronósticos basados en promedios móviles16.9 La suavización exponencial como método de pronóstico16.10 Otros métodos de pronóstico con suavización16.11 Resultados en computadora

Capítulo 17 NÚMEROS ÍNDICE PARA DATOS ECONÓMICOSY ADMINISTRATIVOS17.1 Introducción17.2 Elaboración de índices simples17.3 Elaboración de índices agregados de precios

249250250251251

252252253254255255

256256

268268268269270270272272

273273

282282283284284285285286287287288289

304304304304

XIV CONTENIDO

17.4 Relativos eslabonados17.5 Cambio del periodo base17.6 Fusión de dos series de números índice17.7 El índice de precios al consumidor (IPC)17.8 Poder de compra y deflación de los valores de series de tiempo17.9 índice de precios al productor (IPP)17.10 Los promedios de precios bursátiles de Dow Jones17.11 índice de producción industrial

Capítulo 18 ANÁLISIS DE DECISIÓN: TABLAS DE PAGOS Y ÁRBOLESDE DECISIÓN18.1 Estructura de las tablas de pagos18.2 Toma de decisiones con base únicamente en probabilidades18.3 Toma de decisiones con base únicamente en consecuencias económicas18.4 Toma de decisiones con base tanto en probabilidades como en

consecuencias económicas: criterio del pago esperado18.5 Análisis de árboles de decisión18.6 La utilidad esperada como criterio de decisión

Capítulo 19 ANÁLISIS DE DECISIÓN: USO DE INFORMACIÓN MUESTRAL . . .19.1 Valor esperado de la información perfecta (VEIP)19.2 Distribuciones de probabilidad inicial y posterior19.3 Valor de información muestral ya obtenida19.4 Valor esperado de la información muestral (VEIM) antes del muestreo19.5 Ganancia neta esperada del muestreo (GNEM) y tamaño óptimo19.6 Análisis de decisión contra procedimientos clásicos de decisión

Capítulo 20 CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS20.1 Administración de calidad total20.2 Control estadístico de calidad20.3 Tipos de variación en procesos20.4 Gráficas de control _,_20.5 Gráficas de control para la media del proceso: gráficas^20.6 Pruebas estándar para la interpretación de gráficas X20.7 Gráficas de control para la desviación estándar del proceso: gráficas s20.8 Gráficas de control para el rango del proceso: gráficas R20.9 Gráficas de control para la proporción del proceso: gráficas/?

Capítulo 21 ESTADÍSTICA NO PARAMÉTRICA21.1 Escalas de medición21.2 Métodos estadísticos paramétricos contra no paramétricos21.3 Prueba de corridas para aleatoriedad21.4 Una muestra: prueba de los signos21.5 Una muestra: prueba de Wilcoxon

305305305306306306306307

315315316317

319320321

335335336337339342344

352352352353354355356357358359

372372372373373374

CONTENIDO xv

21.6 Dos muestras independientes: prueba de Mann-Whitney21.7 Observaciones apareadas: prueba de los signos21.8 Observaciones apareadas: prueba de Wilcoxon21.9 Varias muestras independientes: prueba de Kruskal-Wallis

Apéndice 1 TABLA DE NÚMEROS ALEATORIOS

Apéndice 2 PROBABILIDADES BINOMIALES

Apéndice 3 VALORES DE e~K

Apéndice 4 PROBABILIDADES DE POISSON

Apéndice 5 PROPORCIONES DE ÁREA PARA LA DISTRIBUCIÓN NORMALESTÁNDAR

Apéndice 6 PROPORCIONES DE ÁREA PARA LA DISTRIBUCIÓN t

Apéndice 7 PROPORCIONES DE ÁREA PARA LA DISTRIBUCIÓN tf

Apéndice 8 VALORES DE F EXCEDIDOS CON PROBABILIDADES DE 5 Y 1 % . . .

Apéndice 9 FACTORES PARA GRÁFICAS DE CONTROL

Apéndice 10 VALORES CRÍTICOS DE T EN LA PRUEBA DE WILCOXON

Apéndice 11 ESTADÍSTICA PARA NEGOCIOS CON EXCEL 5.0

ÍNDICE

374375376376

387

388

391

392

396

397

398

399

402

403

405

411

Capítulo 1

Análisis de datos económicos y administrativos

1.1 DEFINICIÓN DE ESTADÍSTICA APLICADA A LA ADMINISTRACIÓN Y LA ECONOMÍA

La estadística es el conjunto de técnicas que se emplean para la recolección, organización, análisis e inter-pretación de datos. Los datos pueden ser cuantitativos, con valores expresados numéricamente, o cualitativos, encuyo caso se tabulan las características de las observaciones. La estadística sirve en administración y economíapara tornar mejores decisiones a partir de la comprensión de las fuentes de variación y de la detección de patronesy relaciones en datos económicos y administrativos.

1.2 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL

La estadística descriptiva comprende las técnicas que se emplean para resumir y describir datos numéricos.Estos métodos pueden ser gráficos o implicar análisis computacional (véanse capítulos 2, 3 y 4).

EJEMPLO 1. El volumen mensual de ventas de un producto durante el año anterior puede describirse y cobrar significa-do elaborando un diagrama de barras o una gráfica de líneas (tal como se les describe en la sección 2.11). Las ventas relativaspor mes pueden resaltarse calculando un número índice para cada mes, con lo que la desviación respecto de 100 de cualquiermes indicaría la desviación porcentual de ventas de ese mes en comparación con las ventas mensuales promedio durante todoel año.

La estadística inferencial comprende las técnicas con las que, con base únicamente en una muestra sometidaa observación, se toman decisiones sobre una población o proceso estadísticos. Dado que estas decisiones setoman en condiciones de incertidumbre, suponen el uso de conceptos de probabilidad. Mientras que a las carac-terísticas medidas de una muestra se les llama estadísticas muéstrales, a las características medidas de una pobla-ción estadística, o universo, se les \\amaparametros de la población. El procedimiento para la medición de lascaracterísticas de todos los miembros de una población definida se llama censo. Cuando la inferencia estadísticase usa en el control de procesos, al muestreo le interesa en particular el descubrimiento y control de las fuentes devariación en la calidad de la producción. Los capítulos 5 a 7 se ocupan de conceptos de probabilidad, y la mayoríade los capítulos posteriores de la aplicación de esos conceptos a la inferencia estadística. El capítulo 20 se dedicaexclusivamente al control estadístico de procesos.

EJEMPLO 2. Para estimar el voltaje requerido para provocar fallas en un dispositivo eléctrico, una muestra de estosdispositivos puede someterse a voltajes crecientes hasta que falle cada uno de ellos. Con base en estos resultados muéstralespuede estimarse la probabilidad de falla a varios niveles de voltaje de los demás dispositivos de la población muestreada.

13 TIPOS DE APLICACIONES EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA

Los métodos de la estadística clásica fueron desarrollados para el análisis de datos muestreados (objetivos),así como para propósitos de inferencia sobre la población de la que se seleccionó la muestra. Esto representa laexclusión explícita de juicios personales sobre los datos y el supuesto implícito de que el muestreo procede deuna población estática (estable). Los métodos del análisis de decisión se concentran en la incorporación al análi-sis estadístico de juicios administrativos (véanse capítulos 18 y 19). Los métodos del control estadístico deprocesos se emplean sobre la premisa de que el producto de un proceso puede no ser estable. Más bien, el procesopuede ser dinámico, con causas atribuibles asociadas con la variación de la calidad del producto en el tiempo

•

(véase capítulo 20).

ANÁLISIS DE DATOS ECONÓMICOS Y ADMINISTRATIVOS [CAP. 1

EJEMPLO 3. Empleando el enfoque clásico de la inferencia estadística, el incierto nivel de ventas de un nuevo productose estimaría con base en estudios de mercado realizados en consonancia con los requerimientos del muestreo científico. En elenfoque de análisis de decisión, los juicios de los administradores se cuantificarían e incorporarían al análisis. El controlestadístico de procesos se centraría en particular en el patrón de ventas en una secuencia de periodos temporales durante lacomercialización de prueba del producto.

1.4 VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

Una variable discreta puede tomar valores observados únicamente en puntos aislados a lo largo de unaescala de valores. En la estadística aplicada a administración y economía, estos datos ocurren usualmente pormedio del proceso de conteos de ahí que por lo general los valores se expresen como números enteros. Unavariable continua puede adoptar un valor en cualquier punto fraccionario a lo largo de un intervalo especificadode valores. Los datos continuos se generan mediante el proceso de medición.

EJEMPLO 4. Son ejemplos de datos discretos el número de personas por hogar, las unidades de un artículo en inventarioy el número de componentes ensamblados descubiertos como defectuosos. Son ejemplos de datos continuos el peso de unembarque, el tiempo transcurrido antes de la primera falla de un aparato y el número promedio de personas por hogar en unacomunidad extensa. Nótese que un número promedio de personas puede ser un valor fraccionario, y ser por lo tanto unavariable continua a pesar de que el número por hogar sea una variable discreta.

1.5 OBTENCIÓN DE DATOS POR OBSERVACIÓN DIRECTA CONTRA ENCUESTAS

Uno de los medios para la obtención de datos es la observación directa. Ésta es la base de las acciones que seemprenden en el control estadístico de procesos, en el cual se evalúan sistemáticamente muestras de producción.Otra forma de observación directa es el experimento estadístico, en el que se ejerce un control deliberado dealgunos o todos los factores que pueden influir en la variable bajo estudio a fin de identificar posibles causas.

.

EJEMPLO 5. Dos métodos de ensamble de un componente podrían compararse haciendo que un grupo de empleadosaplicara uno de los métodos y un segundo grupo el otro. Los miembros del primer grupo deben coincidir estrechamente conlos miembros del segundo en términos de factores como edad y experiencia.

En algunas situaciones no es posible recolectar datos directamente; la información debe obtenerse en fuen-tes individuales. Una encuesta estadística es el proceso de recolección de datos mediante la solicitación de éstosa individuos. Los datos pueden obtenerse con métodos como entrevistas personales, entrevistas telefónicas ocuestionarios por escrito.

EJEMPLO 6. Un analista de un departamento estatal de Seguridad Económica puede verse precisado a determinar losincrementos o decrementos en el nivel de empleo planeados por las empresas de la entidad. Un método estándar para laobtención de esos datos es la realización de una encuesta entre las empresas involucradas.

1.6 MÉTODOS DE MUESTREO ALEATORIO

El muestreo aleatorio es un tipo de muestreo en el que todos los elementos de la población de interés, opoblación objetivo, tienen una oportunidad conocida, usualmente igual, de ser elegidos para su inclusión en lamuestra. Disponer de esta muestra garantiza que sus integrantes sean seleccionados sin sesgos de ninguna espe-cie y ofrece la base estadística para determinar la confianza que puede asociarse con las inferencias (véansecapítulos 8 y 9). A una muestra aleatoria también se le denomina muestraprobabilística o muestra científica. Loscuatro métodos principales de muestreo aleatorio son los métodos de muestreo simple, sistemático, estratificadoy por conglomerados.

Una muestra aleatoria simple es aquella cuyos elementos se seleccionan individualmente de la poblaciónobjetivo entera con base en el azar. Esta selección al azar es semejante a la extracción aleatoria de números en unsorteo. Sin embargo, en el muestreo estadístico suele emplearse una tabla de números aleatorios o un programa

CAP. 1] ANÁLISIS DE DATOS ECONÓMICOS Y ADMINISTRATIVOS

de cómputo generador de números aleatorios para identificar los elementos numerados de la población queserán seleccionados para la muestra.

EJEMPLO 7. El apéndice 1 es una tabla abreviada de números aleatorios. Supongamos que nos interesa tomar unamuestra aleatoria simple de 10 cuentas por cobrar de una población de 90 cuentas de este tipo, numeradas del 01 al 90.Consultaríamos "a ciegas" la tabla de números aleatorios, cerrando literalmente los ojos y señalando un punto de partida.Después leeríamos los dígitos en grupos de dos en cualquier dirección para elegir las cuentas de nuestra muestra. Suponga-mos que empezamos a leer números (en pares) a partir del que se encuentra en la línea 6, columna 1. Los 10 números decuentas para la muestra serían 66, 06, 59, 94, 78, 70, 08, 67, 12 y 65. Pero como sólo hay 90 cuentas, no podemos incluir elnúmero 94. Incluimos entonces en la muestra el número siguiente (11). Sí alguno de los números seleccionados se repitiera,lo incluiremos en la muestra sólo una vez.

Una muestra sistemática es una muestra aleatoria cuyos elementos se seleccionan de la población a unintervalo uniforme en una lista ordenada, como sería el caso de la elección de cada décima cuenta por cobrar parala muestra. La primera de las 10 cuentas por incluir en la muestra se elegiría al azar (consultando quizá una tablade números aleatorios). Una preocupación particular del muestreo sistemático es la existencia de factores perió-dicos, o cíclicos, en el listado de la población que pudiera dar lugar a un error sistemático en los resultadosmuéstrales.

EJEMPLO 8. Si en una comunidad, donde cada decimosegunda casa ocupa una esquina se realizara un estudio paraefectos de una adecuada iluminación pública, una muestra sistemática incluiría un sesgo sistemático si en la encuesta seincluyera cada decimosegundo hogar. En este caso, todos o ninguno de los hogares encuestados se hallaría en una esquina.

i

En el muestreo estratificado los elementos de la población son primeramente clasificados por el investigadoren distintos subgrupos, o estratos, sobre la base de una o más características importantes. Después, de cadaestrato se toma por separado una muestra aleatoria simple o sistemática. Este plan de muestreo puede servir paragarantizar la representación proporcional en la muestra de varios subgrupos de la población. Además, el tamañode muestra requerido para alcanzar un nivel dado de precisión suele ser menor que en el caso del muestreoaleatorio simple, lo que reduce los costos del muestreo.

~

EJEMPLO 9. En un estudio sobre las actitudes de los estudiantes respecto de habitar en e! campus, tendríamos razonespara creer en la posible existencia de diferencias importantes entre estudiantes aún no graduados y graduados y entre estu-diantes de género masculino y femenino. Así, debería considerarse un plan de muestreo estratificado para la toma por sepa-rado de una muestra aleatoria simple de los cuatro estratos: hombres no graduados, mujeres no graduadas, hombres graduadosy mujeres graduadas.

El muestreo por conglomerados es un tipo de muestreo aleatorio en el que los elementos de la poblaciónocurren naturalmente en subgrupos. Así pues, se muestrean aleatoriamente subgrupos, o conglomerados, en-teros.

EJEMPLO 10. Si un analista de un departamento estatal de Seguridad Económica debe estudiar los índices salariales porhora que se pagan en un área metropolitana, sería difícil obtener un listado de todos los receptores de salarios en la poblaciónobjetivo. En cambio, podría obtenerse más fácilmente una lista de las empresas de esa zona. De este modo, el analista podríatomar una muestra aleatoria simple de las empresas identificadas, las cuales representan conglomerados de empleados, yobtener los índices salariales que se pagan a los empleados de estas compañías.

1.7 OTROS MÉTODOS DE MUESTREO

Aunque es posible que una muestra no aleatoria resultara ser representativa de la población, es difícil supo-ner de antemano que carecerá de sesgos o expresar estadísticamente la confianza que podría asociarse con lasinferencias a partir de esa muestra.

Una muestra de juicio es aquella en la que un individuo selecciona los elementos por incluir en la muestra.El grado de representatividad de la población de esta muestra depende así del juicio de tal individuo y no puedeevaluarse estadísticamente.


EJEMPLO 11. En lugar de elegir aleatoriamente las partidas por auditar, un contador las selecciona para una auditoríamuestral con base en el juicio de que es probable que esos tipos particulares de partidas sean representativos de las partidas engeneral. No hay manera de evaluar estadísticamente la probabilidad de sesgo en esa muestra o el grado en que los resultadosmuéstrales se aproximan a la población.

Una muestra por conveniencia incluye las medidas, u observaciones, a las que se tiene acceso más fácilmen-te, tal como su nombre lo sugiere.

EJEMPLO 12. Una oficina de desarrollo comunitario emprende un estudio de la actitud pública frente a una nueva plazacomercial céntrica mediante la realización de una encuesta de opinión en una de las entradas de la plaza. Ciertamente esimprobable que los resultados de la encuesta reflejen la actitud de las personas que no se encuentran en la plaza; de aquellasque, encontrándose en la plaza, decidan no participar en la encuesta, y de aquellas otras que se encuentran en secciones de laplaza no consideradas en el muestreo.

Una muestra aleatoria estricta no suele ser factible en el control estadístico de procesos, ya que sólo esposible inspeccionar con relativa facilidad los artículos o transacciones más a la mano. Para poder advertir cam-bios que estén teniendo lugar en la calidad del producto en proceso, se toman muestras pequeñas a intervalosregulares de tiempo. A este esquema de muestreo se le conoce como método de subgrupos racionales. Estosdatos muéstrales son tratados como si en cada punto temporal se hubieran tomado muestras aleatorias, en elentendido de que hay que estar alertas a cualesquiera razones conocidas de que este esquema de muestreo con-duzca a resultados sesgados.

EJEMPLO 13. Grupos de cuatro paquetes de papas fritas son muestreados y pesados a intervalos regulares de tiempo enun proceso de empacamiento para determinar el cumplimiento de las especificaciones de peso mínimo. Estos subgruposracionales ofrecen la base estadística para determinar si el proceso es estable y está bajo control o si existe una variacióninusual en la secuencia de pesos muéstrales que obligue a la identificación y corrección de una causa atribuible.

1.8 USO DE SOFTWARE DE COMPUTO PARA LA GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

Se puede disponer fácilmente de software de cómputo para generar dígitos aleatoriamente seleccionados encualquier rango específico de valores. El problema 1.10 ilustra el uso de este tipo de software.

Problemas resueltos

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIAL

1.1 Indique cuáles de los siguientes términos u operaciones se refieren a una muestra o muestreo (M) yy

cuáles a una población (P): d) medidas grupales llamadas parámetros b) uso de estadística inferencia!, c)realizar un censo, d) juicio sobre la calidad de un embarque de fruta recién recibido mediante la inspec-ción de varios de los huacales del gran número de ellos incluidos en el embarque.

a) P, b) M, c) P, d) M

TIPOS DE APLICACIONES EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA*

r

1.2 Indique cuáles de los siguientes tipos de información podrían usarse más fácilmente en inferencia esta-dística clásica (IC), análisis de decisión (AD) o control estadístico de procesos (CP): a) juicios adminis-trativos sobre el probable nivel de ventas de un nuevo producto, b) adscripción de cada quincuagésimoautomóvil ensamblado a una exhaustiva evaluación de calidad, c) resultados de una encuesta para una

CAP. 1 ] ANÁLISIS DE DATOS ECONÓMICOS Y ADMINISTRATIVOS

muestra aleatoria simple de personas que compraron un modelo específico de automóvil, d) verificaciónde los saldos de cuentas en un banco para una muestra aleatoria sistemática de cuentas.

fí)AD, 6) CP, c) IC, ¿) IC

VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

1.3 En los siguientes tipos de valores, designe variables discretas (D) y variables continuas (C): a) peso delcontenido de un paquete de cereal, b) diámetro de un cojinete, c) número de artículos defectuosos produ-cidos, d) número de individuos en un área geográfica que reciben beneficios de desempleo, e) númeropromedio de clientes prospectivos contactados por representante de ventas durante el mes anterior, J)monto de ventas en dólares.

a} C, b) C, c] D, d) D, e) C,/) D. (Nota: Aunque los montos monetarios son discretos, cuando son grandes en relacióncon las unidades de cienes discretas por lo general se les trata como datos continuos.)

OBTENCIÓN DE DATOS POR OBSERVACIÓN DIRECTA CONTRA ENCUESTAS

1.4 Indique cuáles de los siguientes procedimientos de recolección de datos serían considerados como unexperimento (E) y cuáles como una encuesta (EN): a) un sondeo político de intenciones de voto indivi-duales en elecciones próximas, b) clientes de un centro comercial entrevistados acerca del motivo de quehagan sus compras ahí, c) comparación de dos métodos para la comercialización de una póliza anualmediante la aplicación de cada método en áreas geográficas comparables.

a) EN, b) EN, c) E

1.5 En el área de las mediciones estadísticas, como las representadas por cuestionarios, la confiabilidad serefiere a la consistencia del instrumento de medición y la validez a su precisión. Así, si un cuestionarioofrece resultados similares tras ser contestado por dos grupos equivalentes de informantes, puededescribírsele como confiable. ¿El hecho de que un instrumento sea confiable garantiza por lo tanto quesea válido?

La confiabilidad de un instrumento de medición no garantiza que sea válido para un propósito particular. Uninstrumento confiable es consistente en las mediciones repetidas producidas, pero todas las mediciones podríanincluir un componente de error, o sesgo, común. (Véase el siguiente problema resuelto.)

1.6 Remítase al problema resuelto 1.5. ¿Un instrumento de encuesta no confiable puede tener validez para unpropósito particular?

Un instrumento no confiable no puede ser válido para ningún propósito particular. En ausencia de confiabilidad,no habrá consistencia en los resultados que se obtengan. Una analogía con un tiro de rifle puede ilustrar este concep-to. Orificios de balas estrechamente aglomerados en un blanco serían indicativos de la confiabilidad (consistencia)de los disparos del rifle. En este caso, la validez (precisión) podría mejorar ajustando la mira para que los orificios delas balas coincidan subsecuentemente en el centro del blanco. En cambio, orificios de balas ampliamente dispersosindicarían falta de confiabilidad, condición en la cual ningún ajuste en la mira podría producir un puntaje alto.

MÉTODOS DE MUESTREO ALEATORIO

1.7 Para efectos de inferencia estadística, es de desear una muestra representativa. Sin embargo, los métodosde inferencia estadística sólo requieren la obtención de una muestra aleatoria. ¿Por qué?

Ningún método de muestreo puede garantizar una muestra representativa. Lo más que podemos hacer es evitarsesgos consistentes o sistemáticos mediante el empleo del muestreo aleatorio (probabilístico). Aunque es raro que


una muestra aleatoria sea exactamente representativa de la población objetivo de la que se le obtuvo, el uso de esteprocedimiento garantiza que únicamente factores debidos al azar explicarían las diferencias entre la muestra y lapoblación.

1.8 Una compañía petrolera desea determinar los factores que influyen en la elección de gasolinerías porparte de los consumidores en un área de prueba, motivo por el cual ha obtenido tanto nombres y direccio-nes como la información personal disponible de todos los propietarios de automóviles registrados resi-dentes en esa área. Describa cómo podría obtenerse una muestra de esta lista usando cada uno de loscuatro métodos de muestreo aleatorio mencionados en este capítulo.

Para una muestra aleatoria simple, los nombres enlistados podrían numerarse secuencialmente, y después po-drían seleccionarse los individuos por ser muestreados empleando una tabla de números aleatorios. Para una muestrasistemática, podría contactarse a cada enésima (cada quinta, por ejemplo) persona de la lista, empezando aleatoriamenteentre los primeros cinco nombres. Para una muestra estratificada, podemos clasificar a los propietarios de acuerdocon el tipo de automóvil, el valor del auto, sexo o edad para tomar después una muestra aleatoria simple o sistemáticade cada estrato definido. Para una muestra por conglomerados, podríamos optar por entrevistar a todos los propieta-rios de autos registrados residentes en cuadras aleatoriamente seleccionadas del área de prueba. Dado que la base deeste tipo de muestra por conglomerados sería geográfica, también podríamos llamarla muestra de área.

OTROS MÉTODOS DE MUESTREO•-

1.9 Indique cuáles de los siguientes tipos de muestras ejemplifican mejor o están relacionadas con una mues-tra de juicio (J), una muestra por conveniencia (A) o con el método de subgrupos racionales (R): a)muestras de cinco focos cada una se toman cada 20 minutos en un proceso de producción para determinar

•

su resistencia al alto voltaje, b) una compañía fabricante de bebidas evalúa la respuesta de los consumido-res al sabor de una nueva cerveza sin contenido alcohólico mediante pruebas de preferencia en baresubicados en la misma ciudad en la que se encuentran las oficinas generales, c) un investigador de opiniónal servicio de un candidato político conversa con personas de varias localidades del distrito con base en laapreciación de que tales individuos parecen representativos de los votantes del distrito.

USO DE SOFTWARE DE CÓMPUTO PARA LA GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

1.10 Un analista económico gubernamental desea obtener una muestra aleatoria simple de 30 empresas co-merciales de una lista de 435 de cierta región geográfica. Las empresas son identificadas con númerossecuenciales de identificación del 001 al 435. Use el software de cómputo a su disposición para obtenerlos 30 números de identificación de las empresas por incluir en el estudio.

En la figura 1-1 aparecen los comandos de software de Minitab y los números de identificación resultantes delas 30 empresas para la muestra aleatoria. Si, por azar, cualquiera de estos números hubiera ocurrido más de una vez,habrían tenido que obtenerse números adicionales para sustituir esos duplicados a fin de identificar una muestra de

-

30 compañías diferentes.

MTB > RANDOM 30 DIGITS, PUT IN Cl;SUBC > INTEGERS FROM 1 TO 435.MTB > ÑAME Cl ^SAMPLE'MTB > PRINT Cl

SAMPLE350228288

MTB > STOP

Fig. 1-1 Resultados de Minitab.

234177389

313176320

125116290

24027247

120176102

2519640

40931012

271179

33134

16652

CAP. 1] ANÁLISIS DE DATOS ECONÓMICOS Y ADMINISTRATIVOS

Problemas complementarios

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA E INFERENCIALf

1.11 Indique cuáles de los siguientes términos u operaciones se refieren a una muestra o muestreo (M) y cuáles a unapoblación (P): a) universo, b) medidas grupales llamadas estadísticas, c) aplicación de conceptos de probabilidad, d)inspección de cada artículo ensamblado, e) inspección de cada décimo artículo ensamblado.

Resp. a} P, b) M, c) M, d) P, e) M

TIPOS DE APLICACIONES EN ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA

1.12 Indique cuáles de los siguientes tipos de información podrían usarse más fácilmente en inferencia estadística clásica(IC), análisis de decisión (AD) o control estadístico de procesos (CP): a) respuestas a un cuestionario obtenidas deuna muestra de miembros activos de una organización profesional, b) calificaciones de consumidores sobre un de-partamento de servicios automovilísticos recolectadas mensualmente, c) clasificaciones de analistas de inversión de"compañías nuevas y emergentes", d) datos de salarios y sueldos recolectados de una muestra de empleadores en unárea metropolitana.

Resp. a} IC, b) CP, c) AD, d) IC

VARIABLES DISCRETAS Y CONTINUAS

1.13 En los siguientes tipos de valores, designe variables discretas (D) y variables continuas (C): a) número de unidades deun artículo en existencia, b) razón de activos circulantes contra pasivos circulantes, c) tonelaje total embarcado, d)cantidad embarcada, en unidades, e) volumen de tráfico en una carretera de paga,y) asistencia a la asamblea anual deuna compañía.

Resp. a) D, b) C, c) C, d) D, e) D,J) D

OBTENCIÓN DE DATOS POR OBSERVACIÓN DIRECTA CONTRA ENCUESTAS

1.14 Indique cuáles de los siguentes procedimientos de recolección de datos serían considerados como un experimento(E) y cuáles como una encuesta (EN): a) comparación de los resultados de un nuevo método de capacitación deagentes de boletos de aerolíneas con los del método tradicional, b) evaluación de dos conjuntos diferentes de instruc-ciones de armado de un juguete haciendo que dos grupos comparables de niños lo armen siguiendo las distintasinstrucciones, c) envío a los suscriptores de una revista de evaluación de productos de un cuestionario para la califi-cación de los productos que han adquirido recientemente.

Resp. a) E, b) E, c) EN

MÉTODOS DE MUESTREO ALEATORIO

1.15 Identifique si en los siguientes casos se usa el método de muestreo aleatorio simple (A) o sistemático (S): a) empleode una tabla de números aleatorios para seleccionar una muestra de personas asistentes a un parque de diversiones yb) entrevista de cada centésima persona que asiste a un parque de diversiones, comenzando aleatoriamente por la 55a.persona en entrar al parque.

Resp. a) A, ¿>) S

1.16 En las siguientes situaciones de muestreo de grupos, identifique si se usaría el método de muestreo estratificado (E)o por conglomerados (C): a) estimación de las preferencias de voto de personas de distintas localidades y b) estudiode las actitudes de los consumidores con la sospecha de diferencias importantes según edad y sexo.

Resp. a) C, ¿>) E


OTROS MÉTODOS DE MUESTREO

1.17 Indique cuáles de los siguientes tipos de muestras ejemplifican mejor o están relacionados con una muestra de juicio(J), una muestra accesible (A) o con el método de subgrupos racionales (R): a) un valuador de bienes raíces seleccio-na una muestra de casas vendidas en una localidad, la cual parece representativa de las casas ubicadas ahí, paradeducir una estimación del nivel del valor de las casas en ese rumbo, b) en una planta fabricante de baterías, el ciclode vida de éstas se vigila cada media hora para garantizar que el producto satisfaga las especificaciones, c) en unestablecimiento de comida rápida empleados de la compañía evalúan un nuevo emparedado de pollo en términos desabor y valor percibido.

Resp, a)J, 6)R, c)A

USO DE SOFTWARE DE CÓMPUTO PARA LA GENERACIÓN DE NÚMEROS ALEATORIOS

1.18 Un auditor desea tomar una muestra aleatoria simple de tamaño 50 de 5 250 cuentas por cobrar de una gran empresa.Las cuentas se numeran secuencialmente del 0001 al 5 250. Use el software de cómputo a su disposición para obteneruna lista de los 50 números aleatorios requeridos.

Capítulo 2

Representaciones estadísticas y análisis de gráficas

2.1 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS

Una distribución de frecuencias es una tabla en la cual se agrupan en clases valores posibles de una variabley donde se registra el número de valores observados correspondientes a cada clase. Los datos organizados en unadistribución de frecuencias se llaman datos agrupados. En contraste con ello, en el caso de datos no agrupadosse enlistan todos los valores observados de la variable aleatoria.

EJEMPLO 1. En la tabla 2.1 aparece una distribución de frecuencias de salarios semanales. Obsérvese que las cantidadeshan sido consignadas de acuerdo con el dólar más cercano. Cuando el residuo por redondear es de "exactamente 0.5" (exac-tamente $0.50 en este caso), el procedimiento convencional es redondear al número par más cercano. Así, un salario semanalde $259.50 se redondearía a $260 como parte del proceso de agrupamiento de datos.

Tabla 2.1 Distribución de frecuencias de salariossemanales de 100 trabajadores no calificados

Salario semanalNúmero de trabajadores

$240-259260-279280-299300-319320-339340-359

720332511

Total 1 00

2.2 INTERVALOS DE CLASE

En cada una de las clases de una distribución de frecuencias, los límites nominales de clase inferior y supe-rior indican los valores incluidos dentro de la clase. (Véase la primera columna de la tabla 2.1.) A diferencia deello, los límites exactos de clase, o fronteras de clase, son los puntos específicos que sirven para separar clasesadyacentes en una escala de medición de variables continuas. Los límites exactos de clase pueden determinarseidentificando los puntos intermedios entre los límites nominales de clase superior e inferior, respectivamente, declases adyacentes. El intervalo de clase identifica el rango de valores incluidos dentro de una clase y puededeterminarse restando del límite exacto de clase superior de la clase el límite exacto de clase inferior. Cuando noes posible identificar límites exactos, el intervalo de clase puede determinarse restando del límite nominal infe-rior de la clase el límite nominal inferior de la clase adyacente inferior. Finalmente, para ciertos propósitos escomún que los valores de una clase sean representados por el punto medio de clase, el cual puede determinarsesumando la mitad del intervalo de clase al límite exacto inferior de la clase.

EJEMPLO 2. En la tabla 2.2 se presentan los límites exactos de clase y los puntos medios de clase de la distribución defrecuencias de la tabla 2.1.

10 REPRESENTACIONES ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRÁFICAS [CAP. 2

Tabla 2.2 Salarios semanales de 100 trabajadores no calificados

Salario semanal(límites de clase)

Límites exactosde clase*

Punto mediode clase

Número detrabajadores

$240-259260-279280-299300-319320-339340-359

$239.50-259.50259.50-279.50279.50-299.50299.50-319.50319.50-339.50339.50-359.50

$249.50269.50289.50.309.50329.50349.50

72033251104

Total 100

* En general, en los límites exactos de clase sólo se expresa un dígito adicional significativo,en comparación con los límites nominales de clase. Sin embargo, dado que en el caso de lasunidades monetarias la unidad de medida más precisa relativa al "dólar más cercano" sueledefinirse como "el centavo más cercano", conviene expresar dos dígitos adicionales.

EJEMPLO 3. Calculado con los dos métodos, el intervalo de clase de la primera clase de la tabla 2.2 es $259.50 -$239.50 = $20 (resta del límite exacto de clase inferior al límite exacto de clase superior de la clase) $260 - $240 = $20 (restadel límite nominal de clase inferior de la clase al límite nominal de ciase inferior de la clase adyacente superior)

Para efectos de cálculo, por lo general es deseable que todos los intervalos de clase de una distribución defrecuencias dada sean iguales. La siguiente fórmula puede emplearse para determinar el intervalo de clase aproxi-mado oor usar:

Intervalo aproximado

'mayor valor en datos "no agrupados

' menor valor en datos'no agrupados

número de clases deseadas(2.1)

EJEMPLO 4. En referencia a los datos originales no agrupados que se agruparon en la tabla 2.1, supongamos que elsalario observado más alto fue de $358 y el salario observado más bajo de $242. Dado que el objetivo es disponer de seisclases con iguales intervalos de clase,

Intervalo aproximado =358 - 242

-$19.33

Así, el tamaño de clase conveniente más cercano al valor calculado es $20.

En el caso de datos distribuidos en forma notoriamente no uniforme, como los datos del sueldo anual parauna amplia variedad de ocupaciones, pueden ser requeridos intervalos desiguales de clase. En este caso, losintervalos de clase mayores se utilizan para los rangos de valores con relativamente escasas observaciones.

2.3 HISTOGRAMAS Y POLÍGONOS DE FRECUENCIAS

Un histograma es una gráfica de barras de una distribución de frecuencias. Tal como se indica en la figura2-1, se acostumbra colocar los límites exactos de clase en el eje horizontal de la gráfica y los números de obser-vaciones en el eje vertical. Sin embargo, también se usan puntos medios de clase en lugar de límites de clase paraidentificar las clases.

CAP. 2] REPRESENTACIONES ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRÁFICAS 11

O•o<S

'51

40

30es

Oí•Oe

20

\HP

E 10

O239.50 259.50 279.50 299.50 319.50 339.50 359.50

Salarios semanales, en dólares

Fig. 2-1

EJEMPLO 5. En la figura 2-1 se muestra unhistograma de la distribución de frecuencias de los salarios semanales de latabla 2.2.

Un polígono de frecuencias es una gráfica de líneas de una distribución de frecuencias. Tal como se indicaen la figura 2-2, los dos ejes de esta gráfica son similares a los del histograma, salvo que en el eje horizontal sueleidentificarse el punto medio de cada clase. El número de observaciones de cada clase se representa con un puntopor encima del punto medio de la clase, puntos que se unen después con una serie de segmentos lineales paraformar un polígono o "figura de muchos lados".

EJEMPLO 6. En la figura 2-2 se muestra un polígono de frecuencias de la distribución de salarios semanales de la tabla2.2.

u,O

es• I B

es'.0os

•oO

SíE'3

40

30

20

10

O229.50 249.50 269.50 289.50 309.50 329.50 349.50 369.50


Fig. 2-2

2.4 CURVAS DE FRECUENCIAS

Una curva de frecuencias es un polígono de frecuencias suavizado.

EJEMPLO 7. La figura 2-3 es una curva de frecuencias de la distribución de salarios semanales de la tabla 2.2

En términos de asimetría, una curva de frecuencias puede ser: 1) asimétrica negativa: no simétrica con la"cola" a la izquierda; 2) asimétrica positiva: no simétrica con la "cola" a la derecha, o 3) simétrica.

12 REPRESENTACIONES ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRÁFICAS [CAR 2

Sfl

e•otí• MI«'

X)es

CU•OO

OJ

40

30

20

S 10

O229.50 249.50 269.50 289.50 309.50 329.50 349.50 369.50


Fig. 2-3

EJEMPLO 8. El concepto de asimetría de las curvas de frecuencias se ilustra gráficamente en la figura 2-4.

En términos de curtosis, una curva de frecuencias puede ser: 1) platicúrtica: plana, con las observacionesdistribuidas en forma relativamente pareja entre las clases; 2) leptocúrtica: afilada, con las observaciones con-centradas en un estrecho rango de valores, o 3) mesocúrtica: ni plana ni afilada en términos de la distribución delos valores observados.

X X1) Asimétrica negativa 2) Simétrica

Fig. 2-4

3) Asimétrica positiva

EJEMPLO 9. En la figura 2-5 aparecen los diversos tipos de curvas de frecuencias en términos de curtosis.

v \X X

1) Platicurtica 2) Mesocúrtica

Fig. 2-5

3) Liptocúrtica

2.5 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS ACUMULADAS

4

Una distribución de frecuencias acumuladas identifica el número acumulado de observaciones inclui-das bajo el límite exacto superior de cada clase de la distribución. Las frecuencias acumuladas de una clase


pueden determinarse sumando las frecuencias observadas de esa clase a las frecuencias acumuladas de la claseanterior.

EJEMPLO 10. El cálculo de las frecuencias acumuladas se ilustra en la tabla 2.3.

Tabla 2.3 Cálculo de las frecuencias acumuladas de ios datos de salarios semanalesde la tabla 2.2

Salariosemanal

$240-259260-279280-299300-319320-339340-359

Límite exactode clase superior

$259.50279.50299.50319.50339.50359.50

Número de trabajadores

(/)

7203325114

Total 1 00

Frecuencias acumuladas

06)

720+ 7= 2733 + 27 = 6025 + 60 = 851 1 + 85 = 964 + 9 6 = 100

f

La gráfica de una distribución de frecuencias acumuladas se llama ojiva. En el caso de distribuciones acu-muladas del tipo "y menor que", esta gráfica indica las frecuencias acumuladas bajo cada límite exacto de clasede la distribución de frecuencias. Si esa gráfica de líneas se suaviza, se obtiene la curva llamada ojiva.

EJEMPLO 11. En la figura 2-6 se observa una ojiva de la distribución acumulada de la tabla 2.3.

•oes

3U««J

100

80

60

9

g

40

20

O239.50 259.50 279.50 299.50 319.50

Salarios semanales, en dólares339.50 359.50

Fig. 2-6

2.6 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS

Una distribución de frecuencias relativas es aquella cuyo número de observaciones asociadas con cada clasese ha convertido en una frecuencia relativa dividiendo entre el número total de observaciones de toda la distribu-


ción. De este modo, cada frecuencia relativa es una proporción, la cual puede convertirse en un porcentaje mul-tiplicándola por 100.

Una de las ventajas de la elaboración de distribuciones de frecuencias relativas es que su distribución acu-mulada y su ojiva indican la proporción acumulada (o porcentaje) de observaciones hasta los diversos valoresposibles de la variable. Un valorpercentil es el porcentaje acumulado de observaciones hasta un valor designadode una variable. (Véanse problemas 2.14 y 2.16 a 2.20.)

2.7 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DEL TIPO "Y MENOR QUE"

Los límites de clase de las distribuciones de frecuencias obtenidas por computadora suelen ser del tipo "ymenor que". En estos límites, los límites nominales de clase son al mismo tiempo los límites exactos que definenla clase. Los valores agrupados en cualquier clase son iguales a o mayores que el límite de clase inferior y hastael valor del límite de clase superior, sin incluir a éste. Un medio descriptivo para la presentación de estos límitesde clase es:

5 y menor que 8

8 y menor que 11

Además de ser más fácil de aplicar en software de cómputo, este tipo de distribución también suele representar unmodo más "natural" de recolección de datos. Por ejemplo, la edad de las personas se registra por lo general encorrespondencia con su aniversario anterior, no con el próximo. Así, un individuo de 24 años de edad tiene 24como mínimo, pero menos de 25. En los problemas resueltos 2.21 a 2.24 se presentan varias distribuciones defrecuencias del tipo "y menor que", incluidos resultados obtenidos por computadora.

2.8 DIAGRAMAS DE TALLO Y HOJAS

Un diagrama de tallo y hojas es una modalidad relativamente simple de organización y presentación demedidas en un formato de gráfica de barras jerárquicamente ordenado. Se trata de una técnica común en elanálisis exploratorio de datos. Como su nombre lo indica, el análisis exploratorio de datos es un conjunto detécnicas de análisis preliminar de datos para la detección de patrones y relaciones. También las distribucionesde frecuencias y técnicas gráficas asociadas expuestas en las secciones anteriores de este capítulo suelen em-plearse con este propósito. En cambio, el análisis confirmatorio de datos incluye los principales métodos deinferencia estadística contenidos en la mayor parte de este libro, a partir del capítulo 8, dedicado a la estimaciónestadística. El análisis confirmatorio de datos persigue la extracción de conclusiones estadísticas definitivassobre patrones y relaciones presentes en los datos.

Aunque muy semejante a un histograma, un diagrama de tallo y hojas se diferencia de éste en que es másfácil de elaborar y en que muestra los valores reales de los datos, pues los valores específicos no se pierden porefecto de su agrupamiento en clases definidas. No obstante, esta técnica sólo es aplicable y significativa si elprimer dígito de la medición, o quizá los dos primeros, sirve efectivamente de base para la separación de los datosen grupos. En consecuencia, cada grupo es análogo a una clase o categoría en una distribución de frecuencias.Cuando únicamente se usa el primer dígito para agrupar las medidas, la denominación "tallo y hojas" alude alhecho de que el primer dígito es el tallo, mientras que cada una de las medidas con valor a partir de ese primerdígito pasa a ser una hoja en el contexto de esta representación.

EJEMPLO 12. En la tabla 2.4 se presenta el puntaje obtenido por 50 estudiantes en un examen de contabilidad financierade 100 puntos. La figura 2-7 es el diagrama de tallo y hojas de ese puntaje. Adviértase que, además del patrón general delpuntaje, también es posible observar el puntaje individual. En la línea correspondiente al tallo de 6, por ejemplo, los dosvalores de 2 de las hojas representan a los dos puntajes de 62 incluidos en la tabla 2.4.


Tabla 2.4 Puntajes obtenidos por 50estudiantes en un examende contabilidad financiera

587485658272768362100

88699166989478826275

65638181867278665984

968880921008477768796

85659071827374639799

Tallo

7

10

Hojas

8 9

2 2 3 3 5 5 5 6 6 9

2 2 3 4 4 5 6 6 7 8 8

0 1 1 2 2 2 3 4 4 5 5 6 7 8 8

0 1 2 4 6 6 7 8 9

O O

Fig. 2-7 Diagrama de tallo y hojas.

2.9 DIAGRAMAS DE PUNTOS

Un diagrama de puntos se asemeja a un histograma en el sentido de que consiste en una representacióngráfica de una distribución de los valores de los datos. Sin embargo, se diferencia de éste en que los valores serepresentan individualmente, en lugar de agruparse en clases. Los diagramas de puntos se aplican preferente-mente a pequeños conjuntos de datos, en cuyo caso no se garantiza el agrupamiento de valores en clases de unadistribución de frecuencias. Son particularmente útiles en la comparación de dos conjuntos de datos diferentes, ode dos subgrupos de un conjunto de datos. El problema resuelto 2.27 incluye un diagrama de puntos que ilustrala comparación gráfica de dos subconjuntos de datos.

2.10 DIAGRAMAS DE PARETO

Un diagrama de Pareto se asemeja a un histograma, excepto que es una gráfica de barras de frecuencias deuna variable cualitativa, no de datos cuantitativos agrupados en clases. Las barras de la gráfica, que puedenrepresentar frecuencias o frecuencias relativas (porcentajes) se organizan en orden descendente de izquierda aderecha. Esta disposición da como resultado la ubicación de las categorías más importantes de datos, según sufrecuencia de ocurrencia, en las posiciones iniciales de la gráfica. Los diagramas de Pareto se usan en el controlde procesos para tabular las causas asociadas con variaciones de causas atribuibles en la calidad del producto delproceso. Es común que solamente unas cuantas categorías de causas se asocien con la mayoría de los problemas


de calidad, de modo que los diagramas de Pareto permiten que tanto equipos de trabajadores como gerentes seconcentren en las áreas más importantes en las que se necesitan acciones correctivas.

EJEMPLO 13. Se encontró que los refrigeradores que no fueron aprobados en la inspección final en una plantaensambladura de aparatos eléctricos durante el último mes tenían defectos debidos a las siguientes causas: ensamble, acabadode laca, fallas eléctricas, abolladuras u otras causas. La figura 2-8, obtenida con Minitab, es el diagrama de Pareto para larepresentación gráfica tanto de las frecuencias como de las frecuencias relativas de cada causa de falla en inspección. Comopuede verse, la gran mayoría de fallas en inspección se deben a defectos en el ensamble y el acabado de laca.

Diagrama de Pareto de: Defectos

200

o01

GO 100

DefectoO

-

. <-."-;. ' - '

•• •• -. -..-

-: •;•- .- - - ,

•• ^ •e . " :-:

:;;- . -1 - _ . . „,

Ensamble

M^V',.;;. ' 1 t

Laca Eléctrico Abolladuras Otros

100

SO

60

40

4»

'e?*-e

oo.

20

O

Conteo

Porcentaje

% acumulado

98

49.0

49.0

60

30.0

79.0

20

10.0

89.0

12

6.0

95.0

10

5.0

100.0

Fig. 2-8

2.11 DIAGRAMAS DE BARRAS Y GRÁFICAS DE LINEAS

Una serie de tiempo es un conjunto de valores observados, tales como datos de producción o ventas, duranteuna serie de periodos temporales secuencialmente ordenados. En el capítulo 16 se describen métodos especiales

•

de análisis de datos de este tipo. Para efectos de representación gráfica, tanto los diagramas de barras como lasgráficas de líneas son de gran utilidad. En un diagrama de barras, una serie de barras representa cantidades deuna serie de tiempo.

EJEMPLO 14. En el diagrama de barras de la figura 2-9 se recoge la información de ganancias netas (en millones dedólares) de un importante banco comercial durante una secuencia de años codificados.

En un diagrama de barras de componentes se marcan subdivisiones en las barras del diagrama. Por ejemplo,cada barra de la figura 2-9 podría subdividirse en distintas partes (tal vez diferenciadas con colores) para indicarla contribución relativa de cada segmento de la empresa a las ganancias netas de cada año. (Véase problemaresuelto 2.29.)

Una gráfica de líneas contiene cantidades de series de tiempo unidas entre sí por segmentos lineales.


170-

160-

150-

140-J2*S

§ 130-"'¡Ü 120-

110-

100-

90-

^

11 1 1

1 11 2

•

•

13

•

1 1 14 5 6

Año

Fig. 2-9 Diagrama de barras.

EJEMPLO 15. Los datos de la figura 2-9 se presentan en forma de gráfica de líneas en la figura 2-10.

.3*Se«eaO

170-

160-

150-

140-

130-

120-

110-

100-

90-I

1

I2

!

3

I

4

I

5I6

Año

Fig. 2-10 Gráfica de líneas,

2.12 GRÁFICAS DE CORRIDAS

Una gráfica de corridas es una gráfica de valores de datos en el orden secuencial temporal en que fueronobservados. Los valores trazados pueden ser valores observados individuales o valores compendiados, como enel caso de una serie de medias muéstrales. Cuando a una gráfica de este tipo se le agregan los límites inferior ysuperior del muestreo de aceptación, se le llama gráfica de control. La determinación de esos límites y el uso delas gráficas de control en el control estadístico de calidad se explican e ilustran en el capítulo 20.


EJEMPLO 16. En la figura 2-11 se muestra una gráfica de corridas de la secuencia de pesos medios de muestras decuatro paquetes de papas fritas tomadas en 15 momentos distintos con el método de muestreo de subgrupos racionales (véasecapítulo 1, ejemplo 13). La secuencia de pesos medios de las muestras fue la siguiente: 14.99, 15.08, 15.05, 14.95, 15.04,14.91, 15.01, 14.84, 14.80, 14.98, 14.96, 15.00, 15.02, 15.07 y 15.02 onzas. La especificación de peso neto promedio porempacar en el proceso es de 15.00 onzas. La determinación de si considerar o no como una desviación significativa a cual-quiera de las desviaciones de estas medias muéstrales respecto de la norma de peso especificada se expondrá ampliamente enel capítulo 20, problemas resueltos 20.13 y 20.14.

15.1-

15.0-

^ " ^•aa»soen

14.9-

14.8-

Muestra!

5

í

10 15

Fig, 2-11 Gráfica de corridas.

2.13 DIAGRAMAS CIRCULARES

Un diagrama circular es una figura en forma de pastel cuyas piezas representan divisiones de una cantidadtotal, como podría serlo la distribución de las ventas en dólares de una compañía.

Un diagrama circular de porcentajes es aquel cuyos valores han sido convertidos a porcentajes para facilitarsu comparación.

EJEMPLO 17. La figura 2-12 es un diagrama circular en el que se describen los ingresos y el porcentaje de ingresostotales de Xerox Corporation durante un año reciente de acuerdo con las categorías actividad principal (que Xerox denomina"zona de importancia decisiva"), mercados en crecimiento, países en desarrollo y nichos de oportunidad.

Ingresos de Xerox Corporation (en miles de millones de dólares)

Principal (10,65.8%)

Nichos (1,5.1%)

En desarrollo (1,5.1%)

Mercados en crecimiento (4,24.0%)

Fig. 2-12 Diagrama circular.


Problemas resueltos

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS, INTERVALOS DE CLASEY MÉTODOS GRÁFICOS CORRESPONDIENTES

2.1 En referencia a la tabla 2.5,

Tabla 2.5 Distribución de frecuencias de tasas de rentamensual por departamento de 200departamentos-estudios

Tasa de renta Número de departamentos

$350-379380-409410-439440^69470-499500-529530-559560-589590-619620-649

38

1013334035301612

Total 200

a) ¿cuáles son los límites nominales inferior y superior de la primera clase?b) ¿cuáles son los límites exactos inferior y superior de la primera clase?c) el intervalo de clase aplicado es igual en todas las clases de la distribución. ¿Cuál es el tamaño de

este intervalo?d) ¿cuál es el punto medio de la primera clase?e) ¿cuáles son los límites exactos inferior y superior de la clase en la que fue tabulado el mayor número

de tasas de renta por departamento?/) supongamos que se reportara una tasa de renta mensual de $439.50. Identifique los límites nomina-

les inferior y superior de la clase en la que sería contabilizada esta observación.

a) $350 y $379b) $340.50 y $379.50. (Nota: Como en el ejemplo 2, en este caso se expresan dos dígitos adicionales en lugar de

uno solo, situación esta última que suele ser más común en los límites exactos de clase en comparación con loslímites nominales de clase.)

c) Si nos atenemos al intervalo de los valores de la primera clase,$379.50 - $349.50 = $30 (resta del límite exacto de clase inferior al límite exacto de clase superior de la clase)$380 - $350 = $30 (resta del límite nominal de clase inferior de la clase al límite nominal de clase inferior de laclase adyacente superior)

rf) $349.50 + 30/2 - $349.50 + $15.00 - $364.50e) $499.50 y $529.50./) $440 y $469. (Nota: $439.50 se redondea primeramente en $440, el dólar más cercano, de acuerdo con la regla

de números pares descrita en la sección 2.1.)

2.2 Elabore un histograma con los datos de la tabla 2.5.

En la figura 2-13 aparece un histograma de los datos de la tabla 2.5.


40

I•OV•o

20

10

O349.50 379.50 409.50 439.50 469.50 499.50 529.50 559.50 589.50 619.50 649.50

Tasa de renta (límites exactos de clase), en dólares

Fig. 2-13

2.3 Elabore un polígono de frecuencias y una curva de frecuencias con los datos de la tabla 2.5.

La figura 2-14 es una representación gráfica del polígono de frecuencias y la curva de frecuencias de los datosde la tabla 2.5.

W)eeo»

IMesD.

4»•o£4*S

40

30

20

10

O

ACOTACIONES

Polígono de frecuencias

Curva de frecuencias

334.50 364.50 394.50 424.50 454.50 484.50 514.50 544.50 574.50 604.50 634.50 664.50

Tasa de renta (puntos medios de clase), en dólares

Fig. 2-14

2.4 Describa la curva de frecuencias de la figura 2-14 desde el punto de vista de su asimetría.

La curva de frecuencias parece corresponder al tipo asimétrico negativo.

2.5 Elabore una distribución de frecuencias acumuladas con los datos de la tabla 2.5.

Véase tabla 2.6.

2.6 Represente gráficamente la distribución de frecuencias acumuladas de la tabla 2.6 por medio de unaojiva.

La ojiva de los datos de la tabla 2.6 aparece en la figura 2-15.


Tabla 2.6 Distribución de frecuencias acumuladas de tasasde rentas de departamentos

Tasade renta

Fronterasde clase

Número dedepartamentos

Frecuencias acumuladas

$350-37938CM09410-439440-469470-499500-529530-559560-589590-619620-649

$349.50-379.50379.50-409.50409.50-439.50439.50-469.50469.50-499.50499.50-529.50529.50-559.50559.50-589.50589.50-619.50619.50-649.50

38

1013334035301612

Total 200

311213467107142172188200

fa200

150

100

50

O349.50 379.50 409.50 439.50 469.50 499.50 529.50 559.50 589.50 619.50 649.50

2.7

Tasa de renta (límites exactos de clase), en dólaresFig. 2-15

En la tabla 2.7 se enlistan los tiempos requeridos para la conclusión de una tarea de ensamble para unamuestra de 30 empleados que presentaron su solicitud de ascenso a un puesto de ensamble de precisión.Supongamos que nos interesa organizar estos datos en cinco clases de igual tamaño. Determine el tamañode intervalo correspondiente.

Intervalo aproximado =

mayor valor en datosno agrupados

menor valor en datosno agrupados

18-9

número de clases deseadas

= 1.80

En este caso, es conveniente redondear el intervalo en 2.0.

Tabla 2.7 Tiempos de ensamble de 30 empleados, en minutos

10161591211

141218151016

15149111712

131114131614

171314111215


2.8 Elabore una distribución de frecuencias de los datos de la tabla 2.7 con un intervalo de clase de 2.0 paratodas las clases y fijando en 9 minutos el límite nominal inferior de la primera clase.

La distribución requerida aparece en la tabla 2.8.

Tabla 2.8 Distribución de frecuenciasde los tiempos de ensamble

Tiempo, en min Número de empleados

9-1011-1213-1415-1617-18

48873

Total 30

2.9 Remítase a la clase con el menor número de empleados de la tabla 2.8 e identifique a) sus límites exactos,b) su intervalo y c) su punto medio.

a) 16.5-18.5, b) 18.5 - 16.5 - 2.0, c) 16.5 + 2.0/2 = 17.5.

2.10 Elabore un histograma con la distribución de frecuencias de la tabla 2.8.

El histograma se presenta en la figura 2-16.

/10

8

8.5 10.5 12.5 14.5 16.5 18.5

Tiempo, en minutos

Fig. 2-16

2.11 Elabore un polígono de frecuencias y una curva de frecuencias con los datos de la tabla 2.8.

El polígono de frecuencias y la tabla de frecuencias aparecen en la figura 2-17.

2.12 Describa la curva de frecuencias de la figura 2-17 en términos de su asimetría.

Esta curva de frecuencias es casi simétrica, aunque con una ligera asimetría positiva.


/10

8

7.5 9.5 11.5 13.5 15.5 17.5 19.5

Tiempo, en minutos

Fig. 2-17

2.13 Elabore una distribución de frecuencias acumuladas con la distribución de frecuencias de tiempos deensamble de la tabla 2.8; emplee límites exactos para identificar cada clase e incluya en la tabla tantoporcentajes acumulados como frecuencias acumuladas.

Véase la tabla 2.9 para la distribución de frecuencias acumuladas.

Tabla 2.9 Distribución de frecuencias acumuladasde los tiempos de ensamble

Tiempo, en min

8.5-10.510.5-12.512.5-14.514.5-16.516.5-18.5

/

48873

fa

412202730

% acumulado

13.340.066.790.0

100.0

2.14 Remítase a la distribución de frecuencias acumuladas de la tabla 2.9.

a) Trace la ojiva de porcentajes de estos datos.¿>) ¿En qué punto percentil se encontraría un tiempo de ensamble de 15 minutos?c) ¿Cuál es el tiempo de ensamble del 20o. percentil de la distribución?

a) La ojiva se presenta en la figura 2-18.b) Tal como se deduce de las líneas punteadas en la sección superior de la figura, el percentil aproximado corres-

pondiente a 15 minutos de tiempo de ensamble es 72.c) Tal como se deduce de las líneas punteadas de la sección inferior de la figura, el tiempo aproximado del 20o.

percentil es 11 minutos.


100 -

80 -

60 -

40 -

8.5 10.5 12.5 14.5

Tiempo, en minutos

Fig. 2-18

16.5 18.5

FORMAS DE CURVAS DE FRECUENCIAS

2.15 Dada la curva de frecuencias d) de la figura 2-19, la cual es simétrica y mesocúrtica, describa las curvasb), c\ d), e) yj) en términos de asimetría y curtosis.

La curva b) es simétrica y leptocúrtica; la curva c\ asimétrica positiva y mesocúrtica; la curva d) asimétricanegativa y mesocúrtica; la curva e), simétrica y platicúrtica, y la curvay) asimétrica positiva y leptocúrtica.

x e}

Fig. 2-19

X

X

X

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS

2.16 Siguiendo las instrucciones de la sección 2.6, determine a) las frecuencias relativas y b) las proporcionesacumuladas de los datos de la tabla 2.10.

Las frecuencias relativas y las proporciones acumuladas de los datos de la tabla 2.10 aparecen en la tabla 2.11.

REPRESENTACIONES ESTADÍSTICAS\

Tabla 2.10 Número promedio de accidentes por millarde horas-hombre en una industria

Número promedio de accidentespor millar de horas-hombre

Númerode empresas

1.5-1.71.8-2.02.1-2.32.4-2.62.7-2.93.0-3.2

31214975

Total 50

Tabla 2.11 Frecuencias relativas y proporciones acumuladasdel número promedio de accidentes

Número promedio de accidentespor millar de horas-hombre

1.5-1.71.8-2.02.1-2.32.4-2.62.7-2.93.0-3.2

Númerode empresas

31214975

Total 50

a) Frecuenciasrelativas

0.060.240.280.180.140.10

Total 100

b) Proporcionesacumuladas

0.060.300.580.760.901.00

2.17 En referencia a la tabla 2.11, elabore a) un histograma de la distribución de frecuencias relativas y b) unaojiva de las proporciones acumuladas.

a) Véase figura 2-20.

30

20«n.2UgEu.

10

o1.45 1.75 2.05 2J5 2.65 2.95 3.25

Número promedio de accidentes

Fig. 2-20

6) Véase figura 2-21.


100 -

1.45

Número promedio de accidentes

Fig. 2-21

2.18 a) En referencia a la tabla 2.11, ¿qué proporción de empresas pertenecen a la categoría de un promediode al menos 3.0 accidentes por cada mil horas-hombre? b) ¿Qué porcentaje de empresas se hallan en o pordebajo de un promedio de 2.0 accidentes por cada mil horas-hombre?

o) 0.10, b) 6% + 24% = 30%

2.19 a) En referencia a la tabla 2.11, ¿cuál es el valor percentil asociado con un promedio de 2.95 (aproxima-damente 3.0) accidentes por cada mil horas-hombre? b) ¿Cuál es el número promedio de accidentes en el58o. percentil?

a) 90o. percentil, b) 2.35.

2.20 Por interpolación gráfica en una ojiva podemos determinar los percentiles aproximados de diversos valo-res de la variable y viceversa. En referencia a la figura 2-21, d) ¿Cuál es el percentil aproximado asociadocon un promedio de 2.5 accidentes? b) ¿Cuál es el número promedio aproximado de accidentes en el 50o.percentil?

d) 65o. percentil. (Ésta es la altura aproximada de la ojiva correspondiente a 2.50 en el eje horizontal.)b) 2.25. (Éste es el punto aproximado en el eje horizontal que corresponde a la altura de 0.50 de la ojiva.)

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DEL TIPO "Y MENOR QUE"

2.21 Identifique los límites exactos de clase de los datos de la tabla 2.12.

Tabla 2.12 Tiempo requerido para procesary preparar pedidos postales

Tiempo, en minNúmero

de pedidos

5 y menor que 88 y menor que 11

11 y menor que 1414 y menor que 1717 y menor que 20

10171262

Total 47

Con base en la tabla 2.12,


Tabla 2.13 Tiempo requerido para procesar y prepararpedidos postales (con límites exactos de clase)

Tiempo,enmin

Límites exactosde clase

Númerode pedidos

5 y menor que 88 y menor que 11

11 y menor que 1414 y menor que 1717 y menor que 20

5.0- 8.08.0-11.0

11.0-14.014.0-17.017.0-20.0

10171262

Total 47

2.22 Elabore un polígono de frecuencias de la distribución de frecuencias de la tabla 2.13

El polígono de frecuencias aparece en la figura 2-22.

18

O•o5 12

O)Ha»E

O3.5 6.5 9.5 12.5 15.5 18.5 21.5

Tiempo requerido (puntos medios), en minutos

Fig. 2-22

2.23 Use software de cómputo para construir una distribución de frecuencias y producir un histograma de losdatos de la tabla 2.7, en la que se enlistan los tiempos en minutos para la realización de una tarea deensamble en una muestra de 30 empleados.

a) Describa el tipo de la distribución de frecuencias encontrada.b) Identifique el punto medio de la primera clase.c) Determine el tamaño del intervalo de clase.d) identifique los límites nominales de clase inferior y superior de la primera clase.é) Determine los límites exactos de clase inferior y superior de la primera clase.

En la figura 2-23 se presenta el histograma obtenido por computadora.

a) Se trata de una distribución de frecuencias del tipo "y menor que". Esto se ilustra en la solución del inciso d),más adelante.

b) 10.c) En referencia a los puntos medios de dos clases adyacentes: 12 - 10^2.d) 9 y menor que 11. (En el caso de los datos reportados, esto incluiría a todos los tiempos reportados de 9 y 10

minutos, pero no a los de 11 minutos.)e) 9.0 y 11.0.

28 REPRESENTACIONES ESTADÍSTICAS Y ANÁLISIS DE GRÁFICAS [CAR 2

Gfl3t3c

u,

8

7-

6-

5-

4-

-1 _

2 -

1 -1

0-

I10

f12

!14

I16

I18

Tiempo

Fig. 2-23 Solución del problema 2.23 obtenida en Minitab.

2.24 Remítase al problema anterior. Realice de nuevo el análisis con la especificación de que el punto mediode la primera clase debe fijarse en 9.0 y se debe emplear un intervalo de clase de 1.0.

a) Describa el tipo de la distribución de frecuencias encontrada.b) Identifique el punto medio de la primera clase.c) Determine el tamaño del intervalo de clase.d) Identifique los límites nominales de clase inferior y superior de la primera clase.e) Determine los límites exactos de clase inferior y superior de la primera clase.

En la figura 2-24 se presenta el histograma obtenido por computadora.

a) Se trata de una distribución de frecuencias del tipo "y menor que".b) 9.c) En referencia a los puntos medios de dos clases adyacentes: 10-9= 1.

1a

i

5

4-

3-

•

i

1 1 1 1 1 1 1 1 1 19 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Tiempo

Fig. 2-24 Solución del problema 2.24 obtenida en Minitab.


d) 8.5 y menor que 9.5. (En el caso de los datos reportados, esto incluiría simplemente a todos los tiempos repor-tados de 9 minutos.)

e) 8.5 y 9.5.

DIAGRAMAS DE TALLO Y HOJAS

2.25 En la tabla 2.14 aparece un listado de las temperaturas más alta y más baja registradas el 15 de mayo de unaño reciente en 40 ciudades estadunidenses seleccionadas. Elabore un diagrama de tallo y hojas de lastemperaturas registradas más altas.

Tabla 2.14 Temperaturas más alta y más baja de 40 ciudades estadunidenses

Albany, N. Y.AnchorageAtlantaAustinBirminghamBostonBuffaloCasperChicagoClevelandColumbia, S.C,Columbus, Oh.DallasDetroitForth WayneGreen BayHonolulúHoustonJacksonvilleKansas City

Más alta

6960768276646358767074718671767584847772

Más baja

3947466642534451454047406843373865675059

Las VegasLos ÁngelesMemphisMiami BeachMilwaukeeCiudad de Nueva YorkPalm SpringsPhoenixPittsburghPortland, Ore.RichmondRoche ster, N. YSt. LouisSan AntonioSan DiegoSan FranciscoSeattleSyracuseTampaWashington D. C.

Más alta

9476788275749394677070627681697867638569

Más baja

6361516748506474445346425869625550435952

El diagrama de tallo y hojas aparece en la figura 2-25.

Tronco Hojas5 86 0 2 3 3 4 7 7 9 9 97 " 0 0 0 1 1 2 4 4 5 5 6 6 6 6 6 6 7 8 88 1 2 2 4 4 5 69 3 4 4

Fig. 2-25 Diagrama de tallo y hojas.

2.26 Use software de cómputo para obtener un diagrama de tallo y hojas de los puntajes incluidos en la tabla2.4. Compare sus resultados con el diagrama de tallo y hojas de la figura 2-7.

El diagrama de tallo y hojas aparece en la figura 2-26. Además de valores de tallo y hojas, Minitab incluye entresus resultados una columna adicional con información de frecuencias acumuladas. Los tres primeros números ensentido descendente indican que el primer tronco contiene dos puntajes; que, considerados en conjunto, el primero ysegundo troncos contienen un total de 12 puntajes, y que los tres primeros troncos contienen un total de 24 puntajes.El cuarto número, (15), aparece entre paréntesis, lo que indica que este tronco contiene el puntaje medio del grupotras la ordenación de los 50 puntajes reportados e incluye 15 puntajes reportados. Los números restantes de la colum-na se leen en sentido ascendente. El número que aparece más abajo, 2, indica que ese tronco contiene dos puntajes,mientras que el número inmediatamente superior, 11, indica que el primero y segundo troncos de abajo hacia arribaincluyen un total de 11 puntajes.


Stem-and-leaf of Scores NLeaf Unit = 1.0

- 50

2 5 8912 6 223355566924 7 122344566788

(15) 8 01122234455678811 9 012466789

2 10 00

Fig. 2-26 Resultados en Minitab.

Tabla 2.15 Ritmos cardiacos en estado de reposo de unamuestra de adultos, de 30-35 años de edad

Ritmo cardiaco

82687880626062767474686864768870788074828090647470748472926494807888606890896872

¿Fumador habitual?

(0 = no; 1 = sí)

0000000000000000000011111111111111111111

Género

(0 = F; 1 = M)

0000000000111111111100000000001111111111


DIAGRAMAS DE PUNTOS

2.27 En la tabla 2.15 se presentan los ritmos cardiacos en estado de descanso de una muestra de 40 adultos, lamitad de los cuales no fuman (código 0) en tanto que la otra mitad la componen fumadores regulares(código 1). Use software de cómputo para elaborar un diagrama de puntos que facilite la comparaciónentre el ritmo cardiaco de los no fumadores y de los fumadores de esta muestra. Interprete el diagrama depuntos que obtenga.

En la figura 2-27 se presenta un diagrama de puntos en el que los dos subgrupos de personas aparecen porseparado, aunque con la misma escala a fin de facilitar la comparación. Tal como se desprende de la concentración delas respectivas distribuciones, la muestra de fumadores habituales deja ver que el ritmo cardiaco de éstos es ligera-mente superior al de los no fumadores. Tal como lo indica a su vez la dispersión de cada subconjunto de datos, losfumadores presentan mayor variabilidad en su ritmo cardiaco que los no fumadores. La consideración acerca de siestas diferencias muéstrales pueden interpretarse como indicativas de diferencias reales en la población será tratadaen los capítulos 9 y 11, que se ocupan, respectivamente, de la estimación de la diferencia entre parámetros de lapoblación y de la prueba de diferencias en parámetros de la población.

SMOKERO

SMOKER1

PULSE

63+O

h

70.0-- -4-

77.0

_,__ i

84.0

Fig. 2-27 Resultados en Minitab.

— — i ,

91.0PULSE

98.0

DIAGRAMAS DE BARRAS Y GRÁFICAS DE LINEAS

2.28 La tabla 2.16 incluye algunos de los resultados financieros reportados por una compañía generadora deenergía eléctrica durante seis años consecutivos. Elabore un diagrama de barras verticales en la que sedescriban las utilidades anuales por acción de esta compañía correspondientes a los años codificados.

Tabla 2.16 Utilidades por acción de operaciones, dividendos yutilidades retenidas de una compañía generadorade energía eléctrica

Año

123456

Utilidades

$1.612.172.483.094.024.35

Dividendos

$1.521.721.922.202,603.00

Utilidades retenidas

$0.090.450.560.891.421.35

El diagrama de barras aparece en la figura 2-28.

2.29 Elabore un diagrama de barras de componentes con los datos de la tabla 2.16 en tal forma que indique ladivisión de utilidades por acción entre dividendos (D) y utilidades retenidas (R) en cada año.

f

En la figura 2-29 se presenta un diagrama de barras de componentes de los datos de la tabla 2.16.

2.30 Elabore una gráfica de líneas de las utilidades por acción reportadas en la tabla 2.16.

La gráfica de líneas aparece en la figura 2-30.


GRÁFICAS DE CORRIDAS

2.31 Cuando un proceso de canje de cupones se halla bajo control, un máximo de 3% de las deducciones serealizan incorrectamente, de modo que la proporción máxima aceptable de errores es de 0.03. En relacióncon 20 muestras secuenciales de 100 canjes de cupones cada una, una auditoría revela que el número deerrores encontrados en las muestras de subgrupos racionales es: 2, 2, 3, 6, 1,3, 6,4, 7,2, 5, O, 3, 2,4, 5,3, 8,1 y 4. Convierta en proporciones estos números de errores por muestra de 100 y elabore la gráfica decorridas de las proporciones de los errores observados.

La gráfica de corridas aparece en la figura 2-31, tal como se le obtuvo con el empleo del software de cómputoMinitab.

i£o.

0.08

0.07 -

0.06 -

0.05 -

0.04 -

0.03 -

0.02 -

0.01 -

0.00 -

Muestrai5

I10

I15

I20

Fig. 2-31 Gráfica de corridas.

DIAGRAMAS CIRCULARES

2.32 En la tabla 2.17 aparecen los montos de portafolios de inversiones en varias zonas geográficas de unfondo de inversión de acciones globales. Elabore un diagrama circular de porcentajes con esta informa-ción.

Tabla 2.17 Distribución de inversiones:Fondo de acciones globales(en millones de dólares)

E.U. y América del NorteJapón y Extremo OrienteEuropa continentalInglaterra

$2311588453

Total $526

El diagrama circular se presenta en la figura 2-32.


Distribución de inversiones (en millones de dólares)

América del Norte (231,43.9%)

Extremo Oriente (158,30.0%)

Inglaterra (53,10.1%)

Europa (84,16.0%)

Fig. 2-32 Diagrama circular.

Problemas complementarios

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS, INTERVALOS DE CLASEY MÉTODOS GRÁFICOS CORRESPONDIENTES

2.33 La tabla 2.18 es una distribución de frecuencias del kilometraje por gasolina obtenida con base en una muestra de 25viajes de vehículos de una compañía, a) ¿Cuáles son los límites nominales inferior y superior de la última clase? b)¿Cuáles son los límites exactos inferior y superior de la última clase? c) ¿Qué intervalo de clase se usó? d) ¿Cuál esel punto medio de la última clase? e) Supongamos que el kilometraje por litro de un viaje específico fue de 29.9.Indique los límites inferior y superior de la clase en la que fue incluido este resultado.

Resp. a) 34.0 y 35. 9, b) 33.95 y 35.95, c) 2.0, d) 34.95, e) 28.0 y 29.9

Tabla 2.18 Kilometraje automovilístico de 25 viajesde vehículos empresariales

Kilómetros por litro Número de viajes

24.0-25.926.0-27.928.0-29.930.0-31.932.0-33.934.0-35.9

35

10421

Total 25

2.34 Elabore un histograma con los datos de la tabla 2.18.

2.35 Elabore un polígono de frecuencias y una curva de frecuencias con los datos de la tabla 2.18


236 Describa la curva de frecuencias resultante del problema 2.35 desde el punto de vista de su asimetría.

Resp. Esta curva de frecuencias parece ser del tipo asimétrico positivo.

237 Forme una distribución de frecuencias acumuladas con los datos de la tabla 2.18 y elabore una ojiva para la representación gráfica de esta distribución.

238 En la tabla 2.19 se presentan las cantidades de 40 préstamos personales utilizados para financiar la compra de mue-bles y aparatos eléctricos. Supongamos que nos interesa ordenar estas cantidades en una distribución de frecuenciascon un total de siete clases. Partiendo del supuesto de intervalos de clase iguales, ¿cuál sería el intervalo de clase másconveniente para esta distribución de frecuencias?

Resp. $400

Tabla 2.19 Cantidades de 40 préstamospersonales

$932515452

1900120012782540586

1 6501219

$1000554973660720

1388851329

1423727

$3561 190300

1610152510001 890935592655

$2227954

2112445784870630

3000334

1590

239 Elabore una distribución de frecuencias con los datos de la tabla 2.19 iniciando la primera clase con un límite de claseinferior de $300 y aplicando un intervalo de clase de $400.

2.40 Elabore un histograma de la distribución de frecuencias formada en el problema 2.39.

2.41 Elabore un polígono de frecuencias y una curva de frecuencias de la distribución de frecuencias formada en elproblema 2.39.

2.42 Describa la curva de frecuencias resultante del problema 2.41 en términos de su asimetría.

Resp. Se trata evidentemente de una curva de frecuencias asimétrica positiva.

2.43 Elabore una distribución de frecuencias acumuladas de la distribución de frecuencias formada en el problema 2.39 ytrace una ojiva con estos datos.

FORMAS DE CURVAS DE FRECUENCIAS

2.44 Describa las siguientes curvas en términos de asimetría o curtosis, como corresponda: a) una curva de frecuenciascon una cola a la derecha, b) una curva de frecuencias relativamente afilada, c) una curva de frecuencias relativamen-te plana, d) una curva de frecuencias con cola a la izquierda.

Resp. a) Asimétrica positiva, b) leptocúrtica, c) platicúrtica, d) asimétrica negativa

DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAS RELATIVAS

2.45 Elabore una tabla de frecuencias relativas a partir de la distribución de frecuencias presentada en la tabla 2.20,


Tabla 2.20 Periodo de vida de herramientas cortantesen un proceso industrial

Horas antes de remplazo Número de herramientas

0.0-24.925.0-49.950.0-74.975.0-99.9

100.0-124.9125.0-149.0

24

1230184

Total 70

2.46 Elabore un histograma de la distribución de frecuencias relativas del problema 2.45.

2.47 En referencia a la tabla 2.20, a) ¿Qué porcentaje de herramientas cortantes duró al menos 125 horas? b) ¿Quéporcentaje de herramientas cortantes tuvo un periodo de vida de al menos 100 horas?

Resp. a) 6%, b) 31%

2.48 Elabore una tabla de proporciones acumuladas con la distribución de frecuencias de la tabla 2.20.

2.49 En referencia a la tabla resultante del problema 2.48, a) ¿Qué periodo de vida de las herramientas se asocia con el26o. percentil de la distribución? b) ¿Cuál percentil se asocia con un periodo de vida de herramientas de aproximada-mente 100 horas?

Resp. á) 74.95 hr, = 75 hr, b) 69o. percentil

2.50 Elabore una ojiva con las proporciones acumuladas determinadas en el problema 2.48.

2.51 Remítase a la ojiva elaborada en el problema 2.50 y determine los siguientes valores, aproximadamente, por mediode interpolación gráfica: a) el periodo de vida de las herramientas en el 50o. percentil de la distribución, b) elpercentil asociado con un periodo de vida de herramientas de 60 horas.

Resp. a) Aproximadamente 89 hr, b) aproximadamente el 16o. percentil

DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DEL TIPO "Y MENOR QUE

2.52 En referencia a la distribución de frecuencias de la tabla 2.21, determine a) el límite nominal inferior de la primeraclase, ¿?) el límite nominal superior de la primera clase, c) el límite exacto inferior de la primera clase, d) el límiteexacto superior de la primera clase, e) el punto medio de la primera clase.

Resp. a) 18, b) 20, c) 18.0, d) 20.0, e) 19.0

Tabla 2.21 Edades de una muestra de candidatosa un programa de capacitación

Edad

1 8 y menor que 2020 y menor que 2222 y menor que 2424 y menor que 2626 y menor que 2828 y menor que 3030 y menor que 32

Número de candidatos

518106542

Total 50

Estadística Aplicada a la Administración y la Economía - Leonard J. Kazmier

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