Estadística aplicada aplicada a la ingeniería química semana 03 - 05

ESTADÍSTICA APLICADA A

LA INGENIERÍA QUÍMICA

Ing. Eder Vicuña Galindo

INTRODUCCIÓN A LAS

PROBABILIDADES

DISTRIBUCIONES DE VARIABLES

ALEATORIAS DISCRETAS

DISTRIBUCIÓN NORMAL

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA

DE LA PROBABILIDAD

Objetivos:

Representar los conceptos básicos de probabilidad.

Aplicar propiedades y operaciones de la probabilidady teoría de conjuntos.

Analizar las distribuciones de variables aleatoriasdiscretas y continuas.

Manejar tablas de distribuciones de probabilidad.

Estudiar las aproximaciones de una distribución aotra.

Discernir las aplicaciones según sean los casos.

Técnicas de Conteo

Se llama así a los métodos que se usan para determinar, sinla enumeración directa, del número de resultados posibles oel número de elementos de un conjunto.

Ejemplos:

Número de veces en las que se puede adquirir un

determinado repuesto de n tiendas en m ciudades.

Número de alternativas de escoger una materia prima.

Principios de la Adición y la

Multiplicación

Principio de la Adición:

Si una operación se puede realizar de n maneras

distintas y otra de m maneras diferentes, siendo

ambas mutuamente excluyentes, no pudiéndose

realizar juntas ni en forma sucesiva, entonces el

número total de maneras en que puede realizarse

ambas operaciones es igual a n + m.

Principios de la Adición…

Ejemplos:

Una repuesto de auto se vende en 6 tiendas de la

ciudad A y en 8 tiendas de la ciudad B. ¿En

cuantas tiendas se puede adquirir el repuesto?

14 (maneras)

Para viajar de Lima a Huancayo se tiene dos rutas

por ómnibus, dos por avión y uno por tren. ¿De

cuántas maneras se puede viajar de Lima a

Huancayo?

Principio de la Multiplicación

Si una operación se puede realizar de n pasosdistintos y otro de m pasos diferentes, siendo ambasno excluyentes, pudiéndose realizar juntas o en formasucesiva, entonces el número total de maneras en quepuede realizarse ambas operaciones es igual a nm.

Extensión

Si una operación se puede realizar de n1 pasosdistintos, otra segunda de n2 pasos, una tercera de n3pasos, … etc. Entonces el número total de maneras enque puede realizarse las operaciones es igual a n1n2 n3…nK.

Principio de la Multiplicación …

Ejemplo 1: Para viajar de Tumbes a Lima se cuenta con

tres posibilidades: vía área, terrestre o marítima. Por

problemas en la carretera solo se puede viajar de Lima a

Tacna por vía área o marítima. ¿De cuántas maneras se

puede realizar el viaje de Tumbes a Tacna pasando por

Lima?

Lima

Tumbes Lima Tacna

Lima Tacna

3 2 = 6

Principio de la Multiplicación…

Ejemplo 2: En cierto restaurante se sirve el menú de conlas siguientes opciones: el primer plato consta de unasopa o una entrada, para el segundo plato se puede elegirentre 4 tipos de segundos, de bebida se tienen tres tipos:gaseosa, mate o refresco; y para el postre son tres lasopciones: flan, helado o gelatina. ¿De cuántas manerasun comensal puede elegir su menú?

Primer plato Segundo plato Bebida Postre Total

2 4 3 3 72 maneras

Cuando decidir sobre Principios de la

Adición y la Multiplicación

Adición Multiplicación

Si la actividad a desarrollar o a

ser efectuada tiene alternativas

para ser llevada a cabo, haremos

uso del principio aditivo.

Cuando se trata de una sola

actividad, la cual requiere de una

serie de pasos, entonces haremos

uso del principio multiplicativo

n m

n

m

Permutación

Es un arreglo de todos o parte de un conjunto de

objetos, en un orden definido y sin repetición.

Casos:

Permutación Simple: Cuando se utilizan todos los

elementos n del conjunto.

Pn = n!

P(n, r) n

rP Pn

Permutación…

Ejemplo:

El número total de permutaciones que sepuede obtener con las letras A, B y C será:3! = 32 = 6, éstas son:

ABC

BAC

CAB

ACB

BCA

CBA

Permutación …

Permutación con una selección (r)

Ejemplo: Suponga que hay ocho tipos de computadora

pero solo tres espacios disponibles para exhibirlas en la

tienda de computadoras. ¿De cuantas maneras diferentes

pueden ser arregladas las 8 máquinas en los tres espacios

disponibles?

)!(

!

rn

nP n

r

336876!5

!8

)!38(

!88

3

P

Permutación …

Permutación con repetición

Dados n elementos de los cuales n1 son de la clase 1, n2

son de la clase 2,..., ni son de la clase i hasta nk de laclase k, llamamos permutaciones con repetición de nelementos a los posibles arreglos que podemos formarcon n elementos.

n1 + n2 + --- + nk = n

!...!!

!

21 k

n

nnnn

nP

i

Permutación …

Ejemplo:

Se desea instalar 12 computadoras en línea, cuatro son dela marca A, tres son de la marca B, y cinco son de lamarca C. Si no se hace distinción entre las computadorasde la misma marca; ¿de cuántas maneras se puede realizardicha instalación:

27720

3214321

12...876

5...3213214321

12...321

!5!3!4

!1212

)5,3,4(

P

Combinaciones

Las combinaciones de n objetos tomando o seleccionando

r de ellos a la vez, representan el número de subconjuntos

diferentes de tamaño r que se pueden formar con los n

objetos; en este caso el orden de aparición u

ordenamiento no es importante.

!)(!

!),(

rnr

n

r

nCrnC n

r

Combinaciones …

Ejemplo: De un grupo de nueve alumnos, cinco de los

cuales son varones, se desea formar un grupo que consta

de tres varones y dos mujeres. ¿De cuántas maneras se

puede formar el grupo?

!24!2

!4

!35!3

!5

= 60

3

5

mujeres varones

2

4

Experimento aleatorio

Es una representación ficticia de un proceso, cuyo

resultado o resultados depende únicamente de fenómenos

aleatorios o leyes del azar. Es representado por .

Características:

a) Se puede repetir indefinidamente, bajo las mismas

condiciones. Aunque con resultados diversos.

b) No se puede predecir el resultado. Solo intuir.

c) La intuición se acerca al pronóstico a medida que se

aumenta el número de repeticiones.

Experimento aleatorio…

Se define un fenómeno aleatorio como aquel en el

que pequeños cambios en sus factores producen

grandes diferencias en su resultado.

En ocasiones el azar es consecuencia de la

ignorancia de un suceso o de la incapacidad para

procesar toda la información que se tiene.

Experimento aleatorio …

Ejemplo:

Lanzamiento de un dado y observar el resultado

obtenido.

Seleccionar un determinado número de piezas de

un lote.

La temperatura suba en un reactor exotérmico.

Espacio Muestral

Se llama espacio muestral al conjunto formado por todos

los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Puede ser un conjunto finito o infinito. Se representa por

la letra griega . Para el ejemplo anterior:

6

5

4

3

2

1Punto de Muestra:

Es un elemento del

espacio muestral;

para el ejemplo

anterior uno puede

ser el valor de 6.

Eventos

Es cualquier subconjunto del espacio muestral.

También llamado suceso. Del ejemplo anterior se

puede plantear los siguientes eventos:

Que el dado muestre el número 4.

Que los resultados del lanzamiento del dado sean

menores a 5.

Que los resultados del lanzamiento generen

resultados entre 1 y 3 inclusive.

Algebra de Eventos

La unión de los eventos A y B ocurre sí, y solo sí,

ocurre A, ocurre B o ambos a la vez (por lo menos

ocurre uno de ellos):

AB

La intersección de los eventos A y B ocurre sí, y solo

sí, ocurren simultáneamente A y B.

A∩B

El complemento del evento A ocurre sí, y solo sí, no

ocurre el evento A.

Ac A’

Diagrama de Árbol

Este es un diagrama que permite manejar de

manera sistemática la determinación del número

de eventos en un espacio muestral finito;

especialmente cuando este proceso de

determinación es tedioso o muy difícil.

Diagrama de Árbol …

Eventos Mutuamente Excluyentes

Dos eventos son mutuamente excluyentes si no

pueden ocurrir o suceder en forma simultánea, esto

es, si y sólo si su intersección es vacía.

A∩B = 0

Evento colectivamente exhaustivo

Un conjunto de eventos E1, E2, ..., En es

colectivamente exhaustivo cuando E1E2....En =

S, donde S es el espacio muestral.

Ejemplo: Sean los eventos A y B mutuamente

excluyentes y colectivamente exhaustivos:

A∩B = 0

AB = S

Definición de Probabilidad

Si un experimento aleatorio tiene n() resultadosigualmente posibles, y n(A) de tales resultados están afavor del evento A, entonces la probabilidad deocurrencia del evento A está dado por:

Ejemplo: De una urna, con cinco bolas blancas y cuatronegras:

a) Se saca una; señale la probabilidad de obtener 1 bolablanca.

b) Se saca 4 de forma consecutiva sin reemplazo;determine la probabilidad de obtener 2 bolas blancas.

)(

)()(

n

AnAp

Probabilidad en Espacios

Muestrales FinitosEs considerado cuando se tiene un finito número deeventos.

Debe satisfacer estas tres condiciones:

La probabilidad P es de aditividad finita.

P es no negativa.

P() ó P(S) = 1.

Ejemplos:

Probabilidades de eventos en el lanzamiento de undado.

Probabilidades de obtener un determinado color ynúmero de artículos de un lote de 100 artículos.


Muestrales Finitos …

Ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de que una familia que tiene tres

hijos, tenga dos niñas y un niño, si se considera

igualmente probable el nacimiento de un niño o niña?

Espacio muestral; Usando "a" para niña y "o" para niño,

el espacio muestral es:

S = {aaa, aao, aoa, aoo, oaa, oao, ooa, ooo}

n(S) = 8; FINITO


Muestrales Finitos …

El evento A en que haya dos niñas y un niño es

A = {aao, aoa, oaa}; n(A) = 3

Obsérvese que siempre 0 < P(A) < 1, puesto que

0 < n(A) < n(S)

375,08

3

)(

)()(

Sn

AnAp

8

1

)(

)()(

Sn

AnAp aao

aao

8

1

)(

)()(

Sn

AnAp aoa

aoa8

1

)(

)()(

Sn

AnAp oaa

ooa

;

;

Axiomas de Probabilidad

La probabilidad de un evento A se define como elnúmero P(A), de modo tal que cumpla con lossiguientes axiomas:

AXIOMA 1: La probabilidad P(A) de cualquierevento no debe ser menor que cero ni mayor queuno: 0 < P(A) < 1

AXIOMA 2: P(S) = 1

Axiomas de Probabilidad …

AXIOMA 3: Si A y B son dos eventos mutuamenteexcluyentes (A∩B = Ø), entonces: P(AB) = P(A) +P(B)

Toda la teoría elemental de la probabilidad estáconstruida sobre las bases de estos tres simplesaxiomas.

Si el espacio muestral es infinito, debemos reemplazarel axioma 3 por el

AXIOMA 4: Si A1, A2, … son eventos mutuamenteexclusivos, entonces tenemos que P(A1A2…) =P(A1) + P(A2) +…+

Axiomas de Probabilidad…

a) P(A) = 1 - P(A’)

b) P() = 0

c) P(B-A) = P(B) - P(A∩B)

d) Si A B entonces P(A) ≤ P(B)

e) 0 <= P(A) <= 1 para todo suceso A

f) P(AB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

g) P(ABC) = P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C)

Axiomas de Probabilidad…

Ejemplos:

Defina el evento En una planta industrial se va a fabricar un nuevo lote

del producto químico, ¿cuál es la probabilidad de queel rendimiento sea ≥ 80%?

Probabilidad de estudiantes varones en un salón declases. Clasificación por género.

Recipiente con 3 bolitas blancas y 7 rojas. Extraigo 2bolitas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambassean blancas? Considere que las extracciones sehacen:

a) las dos bolitas juntas; b) 1 a 1 sin reposición; c) 1 a1 con reposición

Ejemplos:

Defina el evento En una planta industrial se va a fabricar un nuevo

lote del producto químico, ¿cuál es la probabilidadde que el rendimiento sea ≥ 80%?

Probabilidad de estudiantes varones en un salón declases. Clasificación por género.

Recipiente con 3 bolitas blancas y 7 rojas. Extraigo 2bolitas al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ambassean blancas? Considere que las extracciones se hacen:

a) E1 = las dos bolitas juntas;

b) E2 = 1 a 1 sin reposición;

c) E3 = 1 a 1 con reposición

Ejemplos:

a)

b)

c)

45

3

9

2

10

3

!210!2

!10

!07!0

!7

!23!2

!3

2

10

0

7

2

3

)(

)()( 1

1

n

EnEP

R

BR

R

BB

45

3

9

2

10

3

)(

)()( 2

2

n

EnEP

50

3

10

3

10

3

)(

)()( 3

3

n

EnEP

Ejercicios

¿Cuáles de los siguientes pares de sucesos sonmutuamente excluyentes y complementarios?

a) A: El 65% de las semillas de guisante que han sidoplantadas germinará.

B: El 50% de las semillas de guisante que han sidoplantadas no llegará a germinar.

b) A: José sufre hipotermia.

B: La temperatura de José es de 39 °C.

c) A: El pH de una muestra de superficie de terrenoes igual a 7,0.

B: La muestra de superficie de terreno es alcalina.

Ejercicios …

El índice de contaminación atmosférica elaborado poruna central meteorológica clasifica los días como:extremadamente buenos, buenos, tolerables, malos oextremadamente malos. La experiencia anteriorindica que el 50% de los días se clasifican comoextremadamente buenos, el 22% como buenos, el18% como tolerables, el 8% como malos y el 2%como extremadamente malos. Se emite un pronósticode los días clasificados como malos oextremadamente malos. ¿Cuál es la probabilidad deque un determinado día, elegido aleatoriamente, estéincluido en ese pronóstico?

Ejercicios…

Un determinado análisis químico tiene un alcancemás bien limitado. Generalmente, el 15% de lasmuestras están demasiado concentradas para quepuedan contrastarse sin llevar a cabo una diluciónprevia, el 20% están contaminadas con algún materialobstaculizante que deberá ser eliminado antes dellevar a cabo el análisis. El resto puede ser analizadosin pretratamiento. Supongamos que las muestras noestán en ningún caso concentradas y contaminadas ala vez. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestraseleccionada aleatoriamente pueda ser contrastada sinpretratamiento?

Probabilidad Condicional

Sea B un evento del espacio muestral , con P(B) = 0.

La probabilidad de un evento A suceda una vez que B

haya sucedido, o dicho de otra manera, la probabilidad

condicional de A dado B, que se denota por P(A/B) se

define de la siguiente manera:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

Probabilidad Condicional…

Ejemplo:

La probabilidad de que un vuelo programado

normalmente salga a tiempo es 0,83; la probabilidad de

que llegue a tiempo es 0,82 y la probabilidad de que salga

y llegue a tiempo es 0,78. Encuentre la probabilidad de

que un avión:

a) Llegue a tiempo, dado que salió a tiempo.

b) Salga a tiempo, dado que llegó a tiempo.

Solución:

E1: evento que salga a tiempo;

E2: evento que llegue a tiempo

Probabilidad Condicional…

E1 E2

94,083,0

78,0

)(

)()/(

1

2112

EP

EEPEEP

95,082,0

78,0

)(

)()/(

2

1221

EP

EEPEEP

Propiedades de Probabilidad

Condicional

0 P(A/B) 1

P(/B) = 1

P(B/) = P(B)

P(A/B) = 1 - P(AC/B)

P[(AB)/C] = P(A/C) + P(B/C) - P[(AB)/C]. Si

A y B son mutuamente excluyentes: (AB = Ø);

entonces P[(AB)/C] = P(A/C) + P(B/C)

Eventos Independientes

Dos eventos A y B son independientes si y solo si:

P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B); de otra forma A y B son

dependientes.

P(A∩B) = P(A/B)P(B) = P(B/A)P(A)

P(A∩B) = P(A)P(B) = P(B)P(A)

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(

)()/(

AP

ABPABP

Eventos Independientes …

Ejemplo:

Un mecanismo eléctrico que contiene cuatro interruptores

sólo funciona cuando todos ellos están cerrados. En

sentido probabilístico, los interruptores son

independientes en lo que se refiere al cierre o a la

apertura, y, para cada uno de ellos, la probabilidad de que

no funcione es 0,1. Calcúlese la probabilidad de que no

funcione el mecanismo en conjunto, despreciando todas

las causas que pueden hacer que el mecanismo no

funcione, excepto los propios interruptores.

Eventos Independientes …F: no funcione

S1 suceso de que el interruptor 1 esté cerrado

6561,0)9,0)(9,0)(9,0)(9,0(

)(1)( FPFP

1,0)( 1 SP P(S1) = 1 – P( 1S ) = 0,9

)()( 4321 SSSSPFP

)()()()()( 43214321 SPSPSPSPSSSSP

3439,0561,01)(6561,0)( FPFP

Ejemplo:

Una caja de fusibles contiene 20 unidades, de los cuales

cinco son defectuosos. Si se seleccionan al azar uno

después del otro de la caja sin reemplazar el primero,

¿cuál es la probabilidad de que ambos fusibles estén

defectuosos?

Evento E1: fusible defectuoso en la primera selección

Evento E2: fusible defectuoso en la segunda selección

P(E1∩E2) = P(E2/E1)P(E1)

=20

5

19

4

Probabilidad Conjunta

P(A∩B)

P(E1∩E2) = P(E2/E1)P(E1)

=20

5

19

4

Partición de un evento

Los eventos Ai, i = 1, 2,…K,…, k, forman una partición

del espacio muestral , si son mutuamente excluyentes

(AiAj = Ø, i j) y su unión es .

Ak

A3

A1

A2

Partición de un evento…

iA

jiAA ji ,

kAKAA ......21

Propiedades

Teorema de Probabilidad Total

Si los eventos Ai, i = 1, 2,…K,…, k, forman una

partición del espacio muestral y B es un evento

cualquiera de , entonces:

k

i

ii ABPAPBP1

)/()()(

Ak

A3

A1

A2

B

Ejemplo

En una fábrica de pernos, las máquinas A, B y Cfabrican 25, 35, y 40 por ciento de la produccióntotal respectivamente; produciendo el 5, 4 y 2% depernos defectuosos consecuentemente. Si se escogeun perno al azar,

¿cuál es la probabilidad de que el perno seadefectuoso?;

¿cuál es la probabilidad de que el perno defectuosoprovenga de la máquina A?

Teorema de Bayes

Si los eventos Ai, i = 1, 2,…K,…, k, forman una partición

del espacio muestral y B es un evento cualquiera de ,

entonces:

Demostración

P(AiB) = P(B)P(Ai /B) P(Ai)P(B/Ai)

k

i

ii

iiii

ABPAP

ABPAP

BP

BAPBAP

1

)/()(

)/()(

)()/(

k

i

ii ABPAPBP1

)/()()(

Ejemplo

En una fábrica de pernos, las máquinas A, B y C

fabrican 25, 35, y 40 por ciento de la producción total

respectivamente; produciendo el 5, 4 y 2% de pernos

defectuosos consecuentemente. Si se escoge un perno

al azar,

¿cuál es la probabilidad de que el perno defectuoso

provenga de la máquina A?

035,002,040,004,035,005,025,0)/()()(1

k

i

ii ABPAPBP

36,002,040,004,035,005,025,0

013,0

)/()(

)/()()/(

1

k

i

ii ABPAP

ABPAPBAP

Ejemplo

Si se colocan en un estante en orden aleatorio 4

volúmenes de cierta obra, ¿cuál es la probabilidad de que

el orden sea perfecto? (Ascendente o Descendente).

= P4 = 4! = 24

24

2

1

1 Vol 2 Vol 3 Vol 4 Vol



A

A

A

Ejemplo …

E1 = Volumen 1 ocupe el primer orden;

E2 = Volumen 2 ocupe el segundo orden; una vez que elVolumen 1 ocupó el primer orden

E3 = Volumen 3 ocupe el tercer orden; si el Volumen 2ocupó el segundo orden; una vez que el Volumen 1ocupó el primer orden.

E4 = Volumen 4 ocupe el cuarto orden; si ya el Volumen3 ocupó el tercer orden, cuando el Volumen 2 ocupóel segundo orden; una vez que el Volumen 1 ocupóel primer orden.

A1 = Orden ascendente de organizar los volúmenes

A24 =Orden descendente de organizar los volúmenes

Ejemplo …

P(E1) = 1/4

3/1)()(

)()(

)(

)()/( 2

1

12

1

1212

EP

EP

EPEP

EP

EEPEEP

2/1)()(

)()(

)(

)()/( 3

2

23

2

2323

EP

EP

EPEP

EP

EEPEEP

1)()(

)()(

)(

)()/( 4

3

34

3

3434

EP

EP

EPEP

EP

EEPEEP

P(A1) = P(E1E2E3E4) = P(E1)P(E2)P(E3)P(E4) = 24

11

2

1

3

1

4

1

P(A2) = 24

1

P(A24) = 24

1

P(E1) = 1/4

3/1)()(

)()(

)(

)()/( 2

1

12

1

1212

EP

EP

EPEP

EP

EEPEEP

2/1)()(

)()(

)(

)()/( 3

2

23

2

2323

EP

EP

EPEP

EP

EEPEEP

1)()(

)()(

)(

)()/( 4

3

34

3

3434

EP

EP

EPEP

EP

EEPEEP

P(A1) = P(E1E2E3E4) = P(E1)P(E2)P(E3)P(E4) = 24

11

2

1

3

1

4

1

P(A2) = 24

1

Ejemplo …

B = Evento de organizar los volúmenes de forma

ascendente o descendente.

12

1

24

1

24

1)( 241 AAPBP

Ejemplo …

Vol 1

Vol 2

Vol 3 Vol 4

Vol 4

Vol 3

Vol 2

1/4

1/3

1/2 1

Variables Aleatorias

Sea el espacio muestral asociado a un experimentoaleatorio , una variable aleatoria es una función que hacecorresponder a cada elemento del espacio muestral unnúmero real.

Las variable aleatorias se denotan por X, en formageneral, y su domino y rango por DX y RX

respectivamente.

De la definición se deduce que el dominio de X es y surango es un subconjunto de los números reales A (A ).

Ejemplo

Una caja contiene cuatro chips de audio y tres de

video, estos chips son idénticos entre sí, a excepción

del código de identificación. Se sacan dos chips en

forma sucesiva sin reemplazo de esta caja. Se define

la variable aleatoria X como el número de chips de

audio extraídos. Halle el dominio y rango de X.

= X1, X2, X3, X4

RX = X1, X2

Variables Aleatorias …Correspondencia

1

2

n

x1

x2

xn

A

• El número de unidades vendidas de un cierto producto.

• El número de productos defectuosos en una línea deproducción.

Clasificación de las variables

aleatorias

Las variables aleatorias se clasifican según su rango en

dos grupos: Variables aleatorias discretas y variables

aleatorias continuas.

Variables Aleatorias Discretas

Se dice que es discreta cuando su rango toma valores

finitos o un número infinito de valores que se pueden

asociar al conjunto de números enteros.

De lo anterior se infiere que el rango de una variable

aleatoria discreta es un conjunto numerable (se puede

contar sus elementos).

Variables Aleatorias

Variables Aleatorias Continuas

Es continua cuando su rango es un conjunto infinito de

valores que se pueden asociar a los puntos de un

segmento de una recta.

De lo anterior, se puede deducir que el rango de una

variable aleatoria continua es un conjunto no

numerable (no se puede contar).

El voltaje de una batería de un automóvil.

La temperatura de un disco duro de una PC en

funcionamiento.

Variables Aleatorias Discretas

Función de Probabilidad o Función de masa o Función deDensidad

Sea X una variable aleatoria discreta con valores x1, x2, x3, …,xn; la probabilidad de que X tome un valor xi, i = 1, 2, …, n,denotada por P(X = xi), se define como

P(X = xi) = f(xi), xi Rx.

f: Función de Distribución o Función de Probabilidad.

El domino de f es el rango de X.

X x1 x2 xn

P(X = xi) = f(xi) f(x1) f(x2) f(xn)

Ejemplo

Una caja contiene cuatro chips de audio y tres de video,

estos chips son idénticos entre sí, a excepción del código

de identificación. Se sacan dos chips en forma sucesiva

sin reemplazo de esta caja.

a) x1: 2 chips de audio extraídos.

21

6

!27!2

!7

!03!3

!3

!24!2

!4

2

7

0

3

2

4

)(

)()( 1

1

n

xnxf

Ejemplo

b) x2: 1 chip de audio y 1 chip de video extraídos.

c) x3: 2 chips de video extraídos

21

12

!27!2

!7

!13!1

!3

!14!1

!4

2

7

1

3

1

4

)(

)()( 2

2

n

xnxf

21

3

!27!2

!7

!23!2

!3

!04!0

!4

2

7

2

3

0

4

)(

)()( 2

3

n

xnxf

Ejemplo

X x1 x2 x3

P(X = xi) = f(xi) f(x1)=6/21 f(x2)=12/21 f(x3)=3/21

Propiedades

f(xi) 0

P(X = xi) = f(xi)

1)(

1

n

i

ixf

Función de Distribución

(Acumulativa)

Sea X una variable aleatoria discreta con función de

probabilidad f ; la función de distribución

acumulativa de X, denotada por F se define como

P(x) = P(X x) = x

n

i

ixf1

)(

Propiedades

F(-) = 0

F() = 1

0 F(x) 1

Si a < b, entonces:

F(a) F(b);

P(a x b) = F(b) - F(a).

F(a) = P(x a)

axxpaF )()(

Valor Esperado de una variable

aleatoria


probabilidad f y rango RX, la media, valor esperado,

esperanza matemática o simplemente esperado de X,

denotada por X o E(X), se define como:

Xi Rx

iiX xfxXE )()(

Ejemplo

En una operación comercial se puede obtener una utilidad

de $1000 o sufrir una pérdida de $500. Si la probabilidad

de una utilidad es de 0.6, demuestre que la utilidad

esperada en dicha operación es de $400.

x1 = utilidad de $ 1000

x2 = pérdida de $ 500

RX = x1, x2

400 $ 0,45000) $ (-0,61000) ($ )( XEX

2

1

)()(i

iiX xfxXE

Propiedades

E(a) = a

E(aX) = aE(X)

E(aX + b) = aE(X) + b

E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)

Varianza de una variable aleatoria


probabilidad f y rango RX, la varianza X, denotada

por 2X o V(X), se define como:

222

22

)()(

)()(

XEXEXV

xfxXV

X

Rx

iXiX

Xi

Propiedades

V(a) = 0

V(aX) = a2V(X)

V(aX + b) = a2V(X)

V(aX + bY) = a2V(X) + b2V(Y)

Distribución Binomial

Mide el número de éxitos en una secuencia de n

experimentos independientes, con una probabilidad p

de ocurrencia del éxito en cada uno de los

experimentos. Por tanto 1 – p de fracaso.

Su función de densidad de probabilidad está dada por:

Función de Distribución Acumulativa:

x

k

knk ppk

npnxB

0

)1(),;(

knk ppk

npnxb

)1(),;(

Características y Propiedades

Características

Los experimentos son idénticos, independientes y deprobabilidad constante.

Propiedades

Esperanza E(x) = np

Varianza Var(x) 2 = np(1 – p)

Acumulativas

Probabilidad (x a) = B(a, n, p)

Probabilidad (x > a) = 1 - B(a, n, p)

Probabilidad (a x b) = B(b, n, p) - B(a-1, n, p)

Características y Propiedades…

Aplicaciones

Estas aplicaciones fundamentalmente se dan(dentro de la ingeniería) en procedimientos decontrol de calidad cuando se analiza piezas oproductos para establecer si son defectuosos obuenos.

Muestreo de aceptación

Gráficos de control

Tabla de Función de Distribución

Ejemplo aplicativoUn representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de

su ramo y por su experiencia anterior sabe que la

probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del

0,4. Obtener:

• El número medio de pedidos por día.

• La varianza.

• La probabilidad de que el número de pedidos que realiza

durante un día esté comprendido entre 2 y 4 inclusive.

0,65

• La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos.

0,66

24,05)( npxE

2,1)4,01(2)1()( 2 pnpxVar

)4.0,5;1()4.0,5;4()42( BBxP

)4.0,5;1(1)2( BxP

Distribución de Poisson

Cuando n es relativamente grande y p pequeña (regla

empírica: np < 5 y p < 0,1), las probabilidades binomiales se

aproximan por medio de la fórmula

donde:

• p(x, ) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el

número promedio de ocurrencia de ellos es .

• = np, media o promedio de éxitos por unidad de tiempo,

área o producto.

• x = variable que nos denota el número de éxitos que se

pronostica que ocurra.

!);(

x

exp

x

Propiedades

Se puede demostrar que P(s) = 1:

Esperanza, E(x) =

Varianza, Var(x) =

Identidad

Acumulativas

Probabilidad (x a) = P(x a) = F(a, )

Probabilidad (x > a) = P(x > a) = 1 - F(a, )

Probabilidad (x a) = P(x a) = 1 - F(a - 1, )

);1();();( xFxFxf

Propiedades…

Esperanza:

ee

ee

eex

xxxpxEx

x

x

...!2!1

1...!2!1

...!2

2!1

10!

)()(

232

2

00

000 !!

),(x

x

x

x

x xe

x

exf

Aplicando la serie de Maclaurin

e

xx

x

0 !

Finalmente:

1),(0

eexfx

Propiedades…

Ejemplo de aplicaciónEn la inspección de hojalata producida por un proceso

electrolítico continuo, se identifican 0,2 imperfecciones

en promedio por minuto. Determine las probabilidades

de identificar:

a) una imperfección en 3 minutos,

0,33

b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos,

0,26

c) a lo más una imperfección en 15 minutos.

0,20

!1

6,0)2,03;1(

6,01

e

xp

)2,05;1(1)2( Pxp

)2,015;1()1( Pxp

Aplicaciones

En el campo del control de calidad de productos

que tengan las características de ser evaluados por

unidad de tiempo, área, pieza o producto. Por

ejemplo líneas de producción, telas, piezas y así.

Específicamente se utiliza en un tipo de gráfico de

control C, para atributos.

Distribución Hipergeométrica

Primera extracción (de la definición clásica deprobabilidad)

Segunda extracción o

dependiendo si en la primera extracción se haya obtenidoo no un elemento defectuoso. Así pues, las extracciones noson independientes y no puede aplicarse la distribuciónbinomial, sino la hipergeométrica.

N

a

1

1

N

a

1N

a

n

N a defectuosos

Función de densidad

Donde:

x: los éxitos (de obtener un elemento defectuoso), x =0, 1, 2,. . ., a

a: número de elementos característicos (defectuosos)en el lote

n: tamaño de la muestra

N: número de elementos en el lote

n

N

xn

aN

x

a

Nanxh ),,;(

Esperanza

npN

an

N

an

n

N

n

N

a

xn

aN

x

aa

n

N

xx

xn

aNxaaa

x

n

N

n

N

xn

aN

x

a

xxxpxE

a

x

a

x

a

x

a

x

1

1

1

11

1...1

1...11

)()(

0

0

0 0

Ejemplo de aplicación

En un laboratorio de química hay 50 puestos dotados con

un mechero Bunsen de los cuales 15 no funcionan

correctamente. Diez estudiantes llegan al laboratorio y se

sientan aleatoriamente cada uno de ellos ante un puesto.

• Calcular la probabilidad de que al menos tres

estudiantes hayan elegido mecheros defectuosos.

Pr (x3) = h (x=3, n=10, a=15, N=50)+ h (x=4, n=10, a=15, N=50)+

...+ h (x=10, n=10, a=15, N=50)

Pr (x3) = 1 - H(x=2, n=10, a=15, N=50) 1 – H(2; 10, 15, 50)

Ejemplo de aplicación…

Calcular la probabilidad de que todos escogieron

mecheros defectuosos.

!1050!10

!50

!035!0

!35

!1015!10

!15

10

50

1010

1550

10

15

)50,15,10;10(

h

0000003,050494847464544434241

1514131211109876

Aplicaciones

También se da en el control de calidad,

específicamente para Muestreo de Aceptación; dado

que las examinaciones de las piezas o elementos del

producto implican muchas veces daños o destrucción

del mismo.

Variables Aleatorias Continuas

Función de Distribución para una variable aleatoria

continua viene dada por

En un Rango [a b]: F(x) = P(a X x)

Función de Probabilidad

axdxxfaFa

)()(

bx

bxadttf

ax

xFx

a

si1

si)(

si0

)(

)(')(

)( xFdx

xdFxf

Ejemplos:

Una variable X aleatoria tiene por función de

densidad:

a) Calcular F(x)

b) P(x 1)

c) P(1 < x 2)

x

x

xx

x

xx

x

xf

40

434,0

322,02,0

212,0

102,0

00

)(

Ejemplos…

Para la distribución exponencial:

Hallar la función de distribución

casootroen0

0)(

xexf

x

Esperanza matemática

Se define la esperanza matemática (o simplemente

esperanza) de una variable aleatoria X como su valor

medio. Se denota por E(X) o μ, y se calcula de la

siguiente forma:

Propiedades de la esperanza:

(i) Si C es una constante, E(C) = 0.

(ii) a, b R, E(ax + b) = aE(x) + b

dxxxfxE )()(

Esperanza matemática …

(iii) Si g(x) es una función de x, entonces:

La radiación solar diaria que incide en una zona específica

de Florida en el mes de octubre tiene una función de

densidad de probabilidad dada por

cuyas medidas se expresan en cientos de calorías.

Determine la radiación solar esperada para octubre.

dxxfxgxgE )()()(

punto otrocualquier en 0

62)6)(2(32

3

)(yyy

yf

Función de Distribución Uniforme

La distribución uniforme continua es una distribución deprobabilidad para variables aleatorias continuas, tal quela probabilidad para todo el rango es la misma. Eldominio está definido por dos parámetros, a y b, que sonsus valores mínimo y máximo. La distribución es amenudo escrita en forma abreviada como U(a, b). Lafunción de densidad de probabilidad de la distribuciónuniforme continua es:

ó para0

para1

)(

bxax

bxaabxf

Función de Distribución Uniforme

Esperanza y Varianza

para1

para

para0

)(

bx

bxaab

ax

ax

xF

122

2abba

Ejemplo

Supóngase que la concentración de cierto

contaminante se encuentra distribuida de manera

uniforme en el intervalo de 0 a 20 ppm (partes por

millón). Si se considera tóxica una concentración de

8 o más, ¿cuál es la probabilidad de que al tomarse

una muestra la concentración de ésta sea tóxica?

Calcule la concentración media y su varianza.

Determine la probabilidad de que la concentración

sea exactamente 10.

Función de Distribución Exponencial

La distribución exponencial es una distribución de

probabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya

función de densidad es:

Su función de distribución es:

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con

distribución exponencial son:

caso otrocualquier en 0

01

);(xe

xf

x

modo otro de0

0 para)(

xe

xfx

0 para1

0 para0)(

xe

xxF

x

2

1)(

1

xVxE

Aplicaciones

La distribución exponencial es útil para modelar el

tiempo transcurrido entre sucesos consecutivos

cuando éstos ocurren de manera independiente y a

un frecuencia (tasa) constante.

También en estudios de fiabilidad de sistemas.

En variables que representan tiempo de vida de

componentes con pequeño desgaste.

Ejemplo

La variable x representa el tiempo en horas que una

persona tarda en realizar determinado trabajo y sigue

una distribución exponencial con parámetro = 2

horas.

¿Cuál es el tiempo medio en que se espera realice

dicho trabajo?

¿Cuál es la probabilidad de que lo realice en menos

de 30 minutos?, ¿y en más de 1 hora?

Distribuciones Variables Aleatorias

Continuas

Distribuciones más conocidas: la Uniforme, Exponencial,

Normal, t de student, chi cuadrado y el F de Fisher. La más

importante es la distribución normal: es la que más se asocia a

muchos fenómenos existentes de todo tipo.

chi cuadrado F de Fisher

Distribuciones Variables Aleatorias

Continuas

Esta Función de Distribución Normal se representa

por N (; σ) donde la representación gráfica de su

función de densidad es una curva positiva continua,

simétrica respecto a la media:

-2 - + +2

2 % 14 %

2 % 14 %

34 % 34 %

x

f

Efecto de la media () y la

varianza ()

Distribución Normal

El área encerrada bajo la curva normal N(; σ) siemprees 1.

Tiene una única moda, que coincide con su media y sumediana.

La distancia entre la línea trazada en la media y elpunto de inflexión de la curva es igual a una desviacióntípica (). Cuanto mayor sea , más aplanada será lacurva de la densidad.

El área bajo la curva comprendida entre los valoressituados aproximadamente a dos desviaciones estándarde la media es igual a 0,95. En concreto, existe un 95%de posibilidades de observar un valor comprendido enel intervalo.

Función Distribución Normal

Función de probabilidad; Función de densidad de

probabilidad.

Función de Distribución de Probabilidad; Función de

Distribución Acumulativa.

50%


Estandarizada

Si X sigue una distribución N(; σ), entonces la

variable sigue una distribución N(0,1).

(El paso de la variable X → N(; σ) a la Z → N(0;1)

se denomina tipificación de la variable X).

XZ

-2 -1 0 1 2

2 % 14 %

2 % 14 %

34 % 34 %

z

f


Estandarizada…

Para un valor cualquiera k, definimos la probabilidad de que la

distribución Z, N(0;1) , sea menor o igual que k como: P(Z ≤

k) = “Área encerrada bajo la curva normal N(0,1) desde −

hasta k” (es decir la parte rayada de la figura siguiente).

0 k z

f

kx

k


Estandarizada…

Si k es positivo y queremos calcular P(Z ≥ k), es

decir el área rayada; p(Z ≥ k) = 1 - P(Z ≤ k):

0 k z

f


Estandarizada…

Probabilidades comprendidas entre dos valores, p(k1 ≤ Z ≤ k2),

es decir el área rayada en la figura:

se calcula restando las áreas:

Esto es, p(Z ≤ k2) − p(Z ≤ k1)

0 k1 k2 z

f

0 k2 z

f

0 k1 z

f

Uso de la Función Distribución

Normal Estandarizada…

Ejemplo:

Un estudio analiza el porcentaje de pureza del oxígeno de cierto

proveedor. Suponga que la media fue 99,61 con una desviación

estándar de 0,08. Suponga que la distribución del porcentaje de

pureza fue aproximadamente normal. ¿Qué valor de pureza

esperaría que excediera exactamente 5% de la población?

¿Población?: Conjunto de recipientes que contiene oxígeno.

¿Elemento de la población?: Recipiente que contiene oxígeno.

¿Variable?: Una característica del oxígeno contenido en el

recipiente que es la PUREZA; de naturaleza aleatoria.

5% de la población: 5% de los datos (pureza de oxígeno en el

recipiente) que es equivalente a 5% de probabilidad, por la

definición clásica de probabilidad.

Tablas de la Distribución Normal

Tablas de la Distribución Normal…



Primer paso: entender el problema, identificando

los datos: = 99,61% y = 0,08%.

Segundo paso: esquematizar

xk = 99,61% x

5%

f(x)



Tercer paso: obtener el valor de k de la tabla de

distribución normal estandarizada:

k 0 z

5%

f(z)

k = -1,645



Cuarto paso: Retornar a la variable x, mediante la

ecuación

Y de aquí: xk = 99,4784% = 99,48%.

Quinto paso: Respuesta: esta pureza de oxígeno

igual a 99,48% es mayor al 5% de los datos.

%08,0

%61,99645,1

kk xx

k

Ejemplos…

La resistencia a la tensión de cierto componente demetal se distribuye normalmente con una media de10000 kg/cm2 y una desviación estándar de 100kg/cm2. Las mediciones se registran a los 50 kg/cm2

más cercanos.

¿Qué proporción de estos componentes excede10150 kg/cm2 de resistencia a la tensión?

Si las especificaciones requieren que todos loscomponentes tengan resistencia a la tensión entre9800 y 10200 kg/cm2 inclusive, ¿qué proporción depiezas esperaría que se descartara?

Ejemplos…

La longitud de un determinado tipo de tornillos ha

de estar comprendida entre 10 y 10,3 mm. Se ha

observado que la longitud de los tornillos que salen

de fábrica se distribuyen normalmente con media

igual a 10,2 mm. De un pedido de 1000 tornillos,

cuántos habrá que desechar debido a su longitud

inadecuada, sabiendo que el 0,3% de ellos tienen

una longitud menor de 10 mm.

Ejemplos…

Una máquina troqueladora produce tapas de latas

cuyos diámetros están normalmente distribuidos,

con una desviación estándar de 0.01 pulgadas. ¿En

qué diámetro “nominal” (promedio) debe ajustarse

la máquina de tal manera que no más del 5% de

las tapas producidas tengan diámetros que

excedan las 3 pulgadas?

Ejemplos…

Ciertos bastoncillos plásticos moldeados por

inyección son cortados automáticamente con

longitudes nominales de 6 pulgadas. Las longitudes

reales están distribuidas normalmente alrededor de la

media de 6 pulgadas y su desviación estándar es de

0.06 pulgadas.

¿Qué proporción de los bastoncillos rebasan los

límites de tolerancia, que son de 5.9 a 6.1 pulgadas?

¿A qué valor es necesario reducir la desviación

estándar si el 99% de los bastoncillos debe estar

entre los límites de tolerancia?

Estadística aplicada aplicada a la ingeniería química semana 03 - 05

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