Estadística Descriptiva. Medidas de dispersion

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

Medidas de Posición, Dispersión y Forma


Cuando disponemos de una distribución de frecuencias asociada a cierta variable estadística, ésta puede resumirse por unas medidas que dan una idea general de cómo es la distribución sin tener que tratar todos los datos con frecuencias absolutas o relativas. Dichas medidas se pueden dividir en:

Medidas de posición; estas medidas dan una idea de en qué valores se distribuye la variable estadística: medias aritmética, geométrica y armónica, mediana, moda y cuantiles.

Medidas de dispersión; estas medidas tratan de medir el grado de esparcimiento de la variable estadística en torno a una medida de posición, indicándonos lo representativa que es ésta. A mayor dispersión, menor representatividad de la medida de posición y viceversa. Veremos como ejemplos, entre otros, la varianza, el recorrido y el coeficiente de variación de Pearson.

Medidas de forma; se distinguen principalmente dos medidas que estudian la simetría de una distribución (coeficiente de asimetría de Fisher) y el grado de semejanza de la misma a la distribución campaniforme de Gauss o también llamada normal (coeficiente de curtosis de Fisher).


Medidas de Dispersión


Las medidas de dispersión nos informan sobre el grado de separación o dispersión de los datos. Existen medidas de dispersión absoluta y medidas de dispersión relativa.

Las medidas de dispersión absoluta dependen de las unidades de medida de la variable. Las medidas de dispersión relativa carecen de unidades de medida y normalmente vienen definidas por cociente.

Medidas de Dispersión Absolutas.

a) Reocorrido o Rango


1max mini i rR x x x x

b) Intervalos intercuantílicos:- Intervalo intercuartílico:- Intervalo semiintercuartílico:- Intervalo intercuartílico relativo:- Intervalo 10-90 por 100:- Intervalo 7-93 por 100:

13 QQI

3 12

Q Q

3 1Q QMe

19 DD

93 7P P


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c) Desviación Absoluta respecto a la Media Aritmética (da)

d) Varianza (var(x))

e) Desviación Típica (s)

Medidas de Dispersión Relativa.

f) Coeficiente de Variación de Pearson (cv(x))

Dada una variable estadística X, con N datos, siendo:

- x1, x2, x3, ….., xn los diferentes datos- n1, n2, n3, ….., nn las frecuencias absolutas



Desviación Absoluta respecto a la Media Aritmética

N

nxxd

i

r

ii

a

1

Promedio de la suma de las distancias de cada uno de los datos a la media aritmética en valores absolutos. Mide cómo de separado están cada uno de los datos respecto a la media.

Varianza

Promedio de la distancia de cada uno de los datos respecto a la media, al cuadrado. También mide cómo de separados están los datos respecto a la media.

N

nxxXs

r

iii

1

2

2 )var(



Desviación Típica

Se corresponde con la raíz cuadrada de la Varianza.

Coeficiente de Variación de Pearson

Cociente entre la desviación típica y la media. Permite comparar dispersiones entre variables estadísticas distintas.

N

nxxXss

r

iii

1

2

2 )var(

xsxcv )(



Es interesante repasar las propiedades de la varianza:

a) La varianza es siempre un valor no negativo: 20 s

b) La desviación cuadrática media de una variable estadística respecto a una constante k se hace mínima cuando k coincide con la media aritmética, en cuyo caso se obtiene la varianza:

r

iii nkx

NkS

1

21)(

c) Si a una variable estadística X la sometemos a un cambio de origen y de escala de la forma Y=a+bX, entonces la varianza de la variable Y se puede calcular como:

222xy sbs

d) Cálculo de la varianza a través de los momentos respecto al origen:

r

iii xnx

Naas

1

22212

2 1



El cálculo de estos parámetros se simplifica mucho si nos apoyamos en una Tabla Estadística.

xi ni ii nx xxi ii nxx 2)( xxi ii nxx 2)(

N ii nx ii nxx ii nxx 2)(

Nnx

x ii

N

nxxd

ii

a

N

nxxXs

r

iii

1

2

2 )var(2ss x

sxcv )(



Ejemplo 1. Notas de Examen


8 , 6 , 4 , 4 , 5 , 5 , 0 , 2, 9 , 10 , 4 , 8 , 9 , 2 , 1 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7

0123456789

10

11203341221

N=20

0140

1215247

161810

107

Nnx

x ii

35,520107

x

5,354,353,352,351,350,350,651,652,653,654,65

5,354,356,70

4,051,052,6

1,655,37,3

4,65

43

N

nxxd

ii

a

15,22043

ad



Ejemplo 1. Notas de Examen


8 , 6 , 4 , 4 , 5 , 5 , 0 , 2, 9 , 10 , 4 , 8 , 9 , 2 , 1 , 5 , 6 , 6 , 6 , 7

0123456789

10

11203341221

N=20

0140

1215247

161810

107

5,354,353,352,351,350,350,651,652,653,654,65

5,354,356,70

4,051,052,6

1,655,37,3

4,65

43

28,6218,9211,225,5231,8230,1230,4232,7237,02313,3221,62

28,6218,9222,45

05,4680,3671,69

2,72314,0526,6521,62

142,6

Nnxx

s ii

)(2

128,7206,1422 s

67,2128,72 ss

499,035,567,2)var(

xsxc

La media es muy representativa



Ejemplo 2. Peso de los alumnos


Nnx

x ii

75,81201635

x

N

nxxd

ii

a

4,22048

ad

75,4 85,2 79 87,3 82 84 86,2 80 78,3 81,3 76,2 83,1 82,9 80 80,6 89,8 83,9 82,4 83,9 78,4

Intervalo

[75,78)[78,51)[81.84)[84,87)[87,90]

76,579,582,585,588,5

26831

N=20

153477660

256,588,5

1635

5,252,250,753,756,75

10,513,5

611,256,75

48

27,565,0630,56314,0645,56

55,1330,38

4,542,1945,56

177,8

889,8208,177)(2

Nnxx

s ii9816,2889,82 ss

03647,075,818916,2)var(

xsxc

La media es aún más representativa que la media del ejemplo anterior

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