Estadística Descriptiva. Medidas de forma y concentracion

MEDIDAS DE FORMA Y CONCENTRACIÓN

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Departamento Métodos CuantitativosUniversidad Pablo de Olavide

Profesor: Juan Antonio González Díaz

Medidas de Posición, Dispersión y Forma


Cuando disponemos de una distribución de frecuencias asociada a cierta variable estadística, ésta puede resumirse por unas medidas que dan una idea general de cómo es la distribución sin tener que tratar todos los datos con frecuencias absolutas o relativas. Dichas medidas se pueden dividir en:

Medidas de posición; estas medidas dan una idea de en qué valores se distribuye la variable estadística: medias aritmética, geométrica y armónica, mediana, moda y cuantiles.

Medidas de dispersión; estas medidas tratan de medir el grado de esparcimiento de la variable estadística en torno a una medida de posición, indicándonos lo representativa que es ésta. A mayor dispersión, menor representatividad de la medida de posición y viceversa. Veremos como ejemplos, entre otros, la varianza, el recorrido y el coeficiente de variación de Pearson.

Medidas de forma; se distinguen principalmente dos medidas que estudian la simetría de una distribución (coeficiente de asimetría de Fisher) y el grado de semejanza de la misma a la distribución campaniforme de Gauss o también llamada normal (coeficiente de curtosis de Fisher).


Medidas de Forma


Medidas de Asimetría de Fisher

Una distribución es simétrica si y sólo si el diagrama de barras que la representa es simétrico respecto a la recta x que represente la media aritmética.

La simetría se puede medir mediante el coeficiente de asimetría de Fisher:33

1 smg

Si g1>0 → Asimétrica positiva o a la derecha

Si g1<0 → Asimétrica negativa o a la izquierda

Si g1=0 → Simetría

Si es simétrica → g1=0

Si la distribución es simétrica y unimodal entonces se verifica que: xMeMo

Nnxxi

msiendo i

3

3

)(


Medidas de Forma


Medidas de Curtosis

La curtosis o apuntamiento surge al comparar la forma de una variable estadística con respecto a la distribución denominada normal. Se mide por el coeficiente de curtosis de Fisher, cuya expresión es:

42 4 3mg

s

Si g2<0 → PlaticúrticaSi g2>0 → Leptocúrtica Si g2=0 → Mesocúrtica

Nnxxi

msiendo i

4

4

)(


Medidas de Forma


Ejemplo


xi ni ii nx ii nxx 2)(Intervalo

[10,20)[20,40)[40,60)

[60,100]

15305080

251041

N=40

37530020080

955

Nnx

x ii

875,2340

955x

8.224,38

1.969,14375,16

2.730,063.150,02

61,20540

38,224.8)( 22

Nnxx

s ii

339,1461,2052 ss

ii nxx 3)(-17.476,122.297,83

71.322,88176.794,63

232.939,22

97523,1339,14

48,283.533

31

smg

48,823.540

22,939.232)( 3

3

N

nxxim i

derechalaaasimétricaesX

ii nxx 4)(155.100,5914.074,22

1.863.310,319.922.598,44

11.955.083,56

09,877.29840

56,083.955.11)( 4

4

N

nxxim i

069,43339,14

09,877.2983 444

2 smg

icaleptocúritesX

Medidas de Concentración


Medidas de Asimetría

Sirven para analizar la mayor o menor concentración de datos de una distribución. Dos instrumentos que se utilizan son el índice de Gini y la curva de Lorentz. Suelen aplicarse a variables económicas como rentas, salarios, etc.

Índice de Gini

- Variable estadística: X- Renta de los individuos: xi- Nº de individuos que perciben la renta xi: ni

iii nxu1 2

Es la renta total percibida por los primeros rentistas, supuesto el orden de rentas:

i

r

Nx x x




Índice de Gini

Denotamos:

100

NNp i

i

100ii

r

uq

u

101

1

1

1

Gr

ii

r

iii

G Ip

qpI

Proporción de personas sobre el total de personas, que perciben la renta u i

Proporción de renta sobre el total de la renta, que perciben los primeros individuos.

iN

A partir de aquí se construye el índice de Gini como:

- Si IG=0 → la renta está equidistribuida

- Si IG=1 → la concentración de la renta es máxima




Curva de Lorenz

La Curva de Lorenz es la representación gráfica para analizar la concentración de la renta a través del índice de Gini.

(0,0)

(100,100)

(100,0)

(0,100)

pi

qi



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xi niiN

N=40

Ejemplo. En una empresa existen cuatro categorías profesionales y cada una de ellas tiene unos ingresos mensuales. Determinar el grado de concentración de la renta que perciben los individuos.

600800

10002000

251041

25353940

ii nx 15000800040002000

iii nxu15000230002700029000

62,587,597,5100

100

NNp i

i100

r

ii u

uq

51,779,393,1

100,0

1

11

1

62,5 51,72 87,5 79,31 97,5 93,100,09

62,5 87,5 97,5

r

i ii

G r

ii

p qI

p

Existe una fuerte equidistribución en los ingresos.

Lorentz's Curve

0

25

50

75

100

0 25 50 75 100p i

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