Estadistica Escuela Preparatoria

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL

ESTADO DE MÉXICO uaem

ESTADÍSTICA, ESCUELA PREPARATORIA

ELABORARON

LORENZO CONTRERAS GARDUÑO

JOEL NÚÑEZ SALAZAR

OCTAVIO RODRÍGUEZ MORENO

Juan manuel gómez tagle f.

Juan laredo santín

1998

ÍNDICE

1 CONCEPTOS BÁSICOS 11

1.1 CONCEPTO DE ESTADÍSTICA 13

1.2 CLASIFICACIÓN Y CAMPO DE APLICACIÓN DE LA ESTADÍSTICA 14

1.3 DATO ESTADÍSTICO 15

1.4 POBLACIÓN Y MUESTRA 16

1.5 VARIABLES Y SU CLASIFICACIÓN 17

1.6 FUENTES DE ADQUISICIÓN DE DATOS 19

1.7 SELECCIÓN DE LA MUESTRA DE UNA POBLACIÓN 20

1.8 NIVELES O ESCALAS DE MEDICIÓN 22

2 REPRESENTACIÓN DE DATOS 31

2.1 REPRESENTACIÓN TABULAR DE DATOS 33

2.2 DISTRIBUCIÓN O TABLA DE FRECUENCIA SIMPLE 33

2.3 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA 44

FRECUENCIA ACUMULADA 44

FRECUENCIA RELATIVA 45

FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA 46

2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA 47

GRÁFICA DE BARRAS 48

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS 50

POLÍGONO DE FRECUENCIA 53

OJIVA 56

CIRCULOGRAMA 58

3 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 83

3.2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 90

MEDIA ARITMÉTICA 90

MODA 98

MEDIANA 102

4 MEDIDAS DE DISPERSIÓN 133

4.1 RANGO 136

4.2 DESVIACIÓN MEDIA 137

4.3 VARIANZA 144

4.4 DESVIACIÓN ESTÁNDAR O TÍPICA 150

4.5 COEFICIENTE DE VARIACIÓN 158

4.6 MEDIDAS DE SESGO 160

5 COVARIANZA Y CORRELACIÓN LINEAL 183

5.1 DATOS BIVARIADOS 186

5.2 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN 187

5.3 CENTRO DE GRAVEDAD O CENTROIDE 188

5.4 COVARIANZA 191

5.5 CORRELACIÓN LINEAL 197

6 RECTA DE REGRESIÓN 211

6.1 RECTA DE REGRESIÓN 213

6.2 APLICACIONES DE LA RECTA DE REGRESIÓN A SERIES DE TIEMPO 223

CONCEPTOS BÁSICOS 13

CONCEPTOS BÁSICOS

La estadística, tuvo sus inicios en los grandes imperios de la antigüedad, los primeros antecedentes que se conocen para llevar un registro de sus pertenencias, son las tablillas de arcilla utilizadas por lo babilonios 5000 a.c. Más tarde las culturas realizaron registros de bienes, soldados esclavos etc., y más tarde implementaron los censos de población, Una de las primeras obras que se conocieron, fue donde se aplicaron las técnicas estadísticas descriptivas que explican la importancia de los censos.

A mediados del siglo XVII la estadística tuvo un gran desarrollo cuantitativo, ya que en esa época, los imperios del viejo continente tenían la necesidad de llevar un buen control administrativo de sus actividades comerciales y bélicas, entre otras donde sus registros y operaciones consistían en números.

Posteriormente se inicia el estudio de la probabilidad, que junto con la estadística permite estudiar problemas donde intervienen fenómenos aleatorios que no se pueden predecir.

En la actualidad la estadística junto con el cálculo de probabilidades tienen una gran aplicación en todas las actividades que realiza el hombre, tales como: predicciones, censos, control de calidad, etc.

1.1 CONCEPTO DE ESTADÍSTICA:

La Estadística, es un conjunto de técnicas que tienen por objeto recopilar, organizar, interpretar, analizar y representar datos para establecer conclusiones o para tomar decisiones en algunos problemas que se plantean.


1.2 CLASIFICACIÓN Y CAMPOS DE APLICACIÓN DE LA

ESTADÍSTICA. La estadística para su estudio se divide en dos ramas: Estadística Descriptiva--------------------Estadística Inferencial ESTADISTICA DESCRIPTIVA O DEDUCTIVA

La estadística deductiva o descriptiva, se ocupa de la recolección, clasificación y descripción de datos. Por ejemplo las estadísticas de un partido de futbol, el promedio de calificaciones del 5o semestre de los alumnos de esta preparatoria, el nivel de escolaridad de los empleados de una fábrica. etc. Los resultados que se obtienen en la estadística descriptiva, se presentan en cualquiera de las tres formas siguientes: a) tabular. Mediante una tabla, en la cual se encuentran los datos organizados y clasificados del objeto que se estudia. b) Gráfica. Mediante un diagrama en el cual se presentan de una manera objetiva los datos organizados en una figura ilustrativa. c) Medidas Estadísticas. Mediante números, los cuales se obtienen al aplicar un método o procedimiento de un conjunto de datos, por ejemplo; el promedio, la desviación estándar, etc. los cuales permiten comparar varios conjuntos de datos de diferentes poblaciones. ESTADÍSTICA INFERENCIAL O INDUCTIVA.

La estadística Inferencial o Inductiva, se ocupa de interpretar los resultados obtenidos con las técnicas descriptivas, para tomar decisiones en base a estos resultados. Por ejemplo: en base a las estadísticas de inflación registradas en los últimos meses en México, se espera que para este mes de marzo se vuelva a tener una inflación de un solo dígito.


APLICACIONES DE LA ESTADÍSTICA.

La Estadística se utiliza en todas las áreas del conocimiento, ya sean humanísticas, técnicas, científicas, laborales, deportivas, etc. Esto es, actualmente resulta difícil indicar alguna área o ciencia que no utilice la Estadística.

Para aplicar las técnicas estadísticas con eficiencia, se requiere por parte del investigador conocer ampliamente el área de estudio.

Siendo más específicos, la estadística se aplica en la ingeniería, Medicina, Psicología, Economía, Geografía, Física, Química, Agronomía, Administración, Biología, Ecología, Antropología, Historia, Contaduría, Planeación, Política, etc., y aunque los problemas de cada área o ciencia son diferentes, las técnicas que se utilizan para el análisis estadístico son las mismas debidos a que se trabaja con datos numéricos.

Al realizar un estudio estadístico sobre un determinado fenómeno, se inicia con la recopilación de información, la cual consiste en un conjunto de datos que generalmente se obtiene en forma desorganizada, y corresponde a la estadística organizarla y posteriormente su análisis para posteriormente interpretar los resultados. Antes de continuar con el estudio de la estadística descriptiva, se presentan algunos conceptos estadísticos que serán utilizados en este texto.

1.3 DATO ESTADÍSTICO.

Un dato estadístico, es la característica medible o descrita mediante un valor o atributo de u elemento en estudio.

Por ejemplo: Si se están estudiando las características de una persona, los datos que se pueden obtener son: su peso, edad, estatura, estado civil, escolaridad, etc. Si se realiza un estudio estadístico de la edad de un grupo de personas, los datos pueden ser 19, 35, 11, 18, 23, 15, etc. Si el estudio se realiza sobre el color de los carros que circulan en la ciudad de Toluca, algunos datos serían: verde, azul, negro, amarillo, rojo, negro, etc., si el estudio se realiza sobre el ingreso mensual de una familia, los datos obtenidos pueden ser: 1500, 1000, 1200, 4500, 3250, etc.


1.4 POBLACIÓN Y MUESTRA.

Al realizar un estudio estadístico de un fenómeno determinado dependiendo del número de datos que se pretenden analizar resulta en ocasiones imposible o incosteable recolectar los datos de todos los elementos del grupo.

Al conjunto formado por el total de los elementos en estudio se le llama población.

A un subconjunto de una población estadística se le llama muestra.

Una población puede ser finita o infinita.

La población finita está formada por un número determinado de elementos. Por ejemplo: Una población formada por todos los motores fabricados en un mes en una industria automotriz. En la población infinita no se tiene determinado el número de elementos en estudio. Por ejemplo: los posibles sucesos (águila o sol) obtenidos al azar una moneda al aire.

La información que se obtiene de una población es exacta, debido a que se consideran todos los elementos en estudio, mientras que en una muestra, la información recopilada puede resultar no muy exacta debido a que la muestra que se elige puede no ser representativa de la población. Para eficientar las medidas estadísticas que se pretenden obtener, es necesario aplicar técnicas estadísticas adecuadas para poder elegir muestras que sean representativas de la población.

Existen varias razones por las cuales en la mayoría de los casos en que se realiza un estudio estadístico, este se aplica sobre una muestra y no sobre una población, las principales son:

a) En ciertos casos, el estudio consiste en pruebas destructivas de laboratorio como por ejemplo: el probar en ciertos objetos o materiales su resistencia a la ruptura, al calor, a la humedad, etc.

b) Resulta más económico estudiar los elementos de una muestra que sea

representativa de la población, que toda la población, puesto que se tiene un ahorro en tiempo y dinero.


1.5 VARIABLES Y SU CLASIFICACIÓN

Para la aplicación de los métodos estadísticos, es necesario representar los diversos tipos de datos que se tienen de una forma general utilizando variables.

Una variable es la representación general de un conjunto de datos que tienen una misa característica.

Las variables se asignan mediante una letra, las más comunes son x,y,z: Por ejemplo cuando se están estudiando varias características de un conjunto formado por varias personas, como son, su peso, estatura y sexo. Las variables se asignan de la siguiente manera: x representa el peso del conjunto de elementos y representa la estatura del conjunto de elementos z representa el sexo del conjunto de elementos

Para identificar los diferentes valores de los elementos sobre una misma característica, a la variable se le asigna un subíndice que por lo común es la letra i, la cual va tomando o adquiriendo valores enteros positivos y consecutivos a partir de uno.

Por ejemplo: si a cada persona del conjunto en el que se estudia el peso, la estatura y el sexo, se les asigna un número de identificación, se tiene: x1 representa el peso de la persona asignada con el número 1 y1 representa la estatura de la persona asignada con el número 10 z23 representa el sexo de la persona asignada con el número 23 x30, y30, z30representan el peso, estatura y sexo de la persona asignada con el número 30.

Y en forma General, xi, yi, zi, representan el peso, estatura y sexo de la i-ésima persona.


CLASIFICACIÓN DE LAS VARIABLES

Para el estudio de un proceso estadístico, las variables se clasifican en: |cualitativas | Variables | |discretas |cuantitativas |continuas

LAS VARIABLES CUALITATIVAS: Son aquellas que describen cualidades o atributos del objeto de estudio. Por ejemplo; se puede asignar una variable cualitativa al color de automóviles, sexo de las personas, estado civil de las personas, escolaridad en personas mayores de 20 años, etc.

LAS VARIABLES CUANTITATIVAS: Son las que se representan a través de un valor numérico, que en una recopilación de datos se obtiene mediante conteo o medición de la característica en estudio. Se clasifican en Discretas y continuas.

LAS VARIABLES DISCRETAS: Son las que están asociadas a un proceso de conteo, es decir que sólo pueden tomar algunos valores de una escala de medición, por ejemplo en un salón de clases puede haber 32 o 33 alumnos, pero nunca 32.4 alumnos

LAS VARIABLES CONTINUAS: Están asociadas a un proceso de medición y pueden adquirir cualquier valor en una escala de medición, esto es, que si se tienen dos valores dados, siempre puede existir otro valor intermedio, por ejemplo: un hombre puede medir 1.71 m y otro 1.72 m y un tercero un valor comprendido entre estos, tal como 1.714 m.


1.6 FUENTES DE ADQUISICIÓN DE DATOS.

La adquisición de datos estadísticos, es el procedimiento empleado para recopilar la información que se va a analizar.

Existen varias formas para obtener la información deseada, las más comunes son:

a) Observación.- Consiste en recopilar información mediante la simple observación. Por ejemplo: Si se desea conocer cuál es el color de ropa más usual en el mes de diciembre en tu escuela preparatoria, una forma de adquirir la información es precisamente, observar el color de ropa que se utiliza durante varios días en ese mes de diciembre.

b) Encuesta.- Consiste en recopilar información mediante cuestionarios y entrevistas. Por ejemplo: Al levantar un censo de población se utiliza la encuesta.

c) Experimento.- Consiste en recopilar información mediante pruebas de laboratorio. Por ejemplo: Si se desea conocer el comportamiento de la resistencia a la ruptura de una mezcla de concreto, se prueban especímenes elaborados con esa mezcla y se anota su resistencia al momento de romperse.

d) Investigación.- Consiste en recopilar información que ya se tiene concentrada o escrita, la cual se puede recopilar en bibliotecas, hemerotecas, mapotecas, videotecas, centros de cómputo, etc.


1.7 SELECCIÓN DE LA MUESTRA DE UNA POBLACIÓN.

Se ha mencionado que al realizar un estudio estadístico sobre un problema determinado, los datos, en la mayoría de las veces se recopilan de una muestra y no de una población; los resultados obtenidos de una muestra sirven para estimar el comportamiento de una población. Para garantizar que una muestra sea representativa de la población, es necesario que la muestra se elija adecuadamente.

No existe una forma general para seleccionar una muestra y que esta sea representativa de la población en un 100% por lo que se debe utilizar el método que más se apegue y que garantice la selección adecuada al problema que se está analizando. En este texto se presentan solo algunas formas que existen para seleccionar una muestra, corresponde al lector elegir cual es la que usará.

a) Selección de una muestra mediante números aleatorios.

Se llama muestra aleatoria, a la obtenida cuando todos los elementos que forman la población, tienen la misma probabilidad de ser elegidos para formar la muestra.

Un procedimiento empleado para elegir los elementos de la población que formaran la muestra, es a través de una tabla de números aleatorios.

Una tabla de números aleatorios, es un conjunto de números acomodados en renglones y columnas, los cuales se han seleccionado al azar o mediante algún procedimiento (estas tablas se encuentran al final de cualquier texto de probabilidad o estadística). Actualmente se puede construir una tabla de números aleatorios o bien obtenerlos directamente con la calculadora mediante la tecla RAN # que maneja la mayoría de las calculadoras. Si su calculadora no tiene esta tecla, consulte su manual y busque que tecla le proporciona los números aleatorios.

Para seleccionar los elementos de la población primero se les asigna un número consecutivo a todos los elementos de la población.

Por ejemplo: Si se desea seleccionar una muestra de 50 elementos, de una población de 500, se consideran de la tabla de números aleatorios, de una población de 500, se consideran de la tabla de números aleatorios o con la calculadora los primeros 50 números comprendidos entre 1 y 500, obteniéndose la muestra, la cual se forma por los elementos de la población que tengan el


mismo número que los seleccionados en la tabla o con la calculadora; los números que aparecen en la tabla o en la calculadora mayores de 500 se omiten.

b) Selección de una muestra mediante fórmulas.

El número de elementos que contiene una muestra se obtiene mediante fórmulas, algunas de las utilizadas son las siguientes.

1) � ��

��

Dónde:

n es el tamaño de la muestra que desea obtener. N el número de elementos de la población.

e es el error máximo que se tiene con un intervalo de confianza del 95.44%

Por ejemplo, si se desea realizar un estudio para estimar la proporción de familias aficionadas a ver el futbol por televisión de una comunidad formada por aproximadamente 3000 familias y se desea tener un error de más menos 5%, la muestra se formará por:

� ��

��

� ��

��

n= 352.94

Es decir se debe considerar una muestra formada por 353 familias.

Existen otras fórmulas para obtener el tamaño de la muestra, enseguida

se mencionan dos.

2) � ��

��

3) � ��

��


c) Otros criterios:

Existen otros criterios para seleccionar una muestra, como son: la estratificada, la no estratificada, por conglomerado, sistemática, etc.

1.8 NIVELES O ESCALAS DE MEDICIÓN En estadística cuando se realiza un estudio, se recopila información de

una o más características de un elemento, mediante números, cualidades o atributos. Se categorizan en escalas o niveles de medición. Los valores obtenidos, dependiendo del tipo de dato que corresponda, pueden caer en alguna de las cuatro escalas de medición que existen, las cuales son:

a) NOMINAL. Es cuando se asignan números a las cualidades o atributos

del objeto de estudio, los cuales carecen de significado aritmético. Es decir, no se pueden sumar o restar. Como por ejemplo: Los números que portan los jugadores de futbol en sus camisetas, los números telefónicos, el valor obtenido al lanzar un dado, el número de licencia de manejo, el sexo de una persona puede ser hombre o mujer, el número de cuenta de los alumnos de la UAEM, etc.

b) ORDINAL. Es cuando las categorías pueden ser ordenadas mediante

algún criterio previamente establecido, por ejemplo un vaso puede ser grande, mediano o chico, un alumno en estadística puede ser bueno regular o malo, la edad de las personas se puede clasificar de 0-10, de 10-20, de 20-30, de 30-40 y más de 40.

c) INTERVALAR. Es cuando se utiliza el cero como un valor arbitrario, por

ejemplo, se desea comparar la estatura de Hugo, Paco y Luis, se procede de la siguiente manera: Se coloca Paco que es el más bajo recargado a la Pared y se pone una marca que coincide con su altura, aquí se asigna el cero como punto de referencia, se coloca Luis y se marca su estatura, luego se mide la diferencia entre marcas, suponiendo esta de 10 cm, lo cual significa que Luis es más alto que Paco con 10 cm y por último de coloca Hugo y resulta 30 cm más alto que Paco. Si se analizan las 2 diferencias que son 10 y 30 cm no significa que Luis mide la tercera parte de Hugo, sino que mide 20cm. menos.

d) DE RAZÓN. Es la que utiliza el cero real, es decir cómo se trabaja en una

recta numérica. Las escalas de razón al medirse establecen proporcionalidades, por ejemplo en el caso anterior si Paco mide 1.50 m. entonces Luis mide 1.60 m y Hugo 1.80 y se puede decir que Paco mide 1.50/1.80 = 5/6 de lo que mide Hugo.

Taro Yamane Estadística pag 379 Harla Zuwaylif Estadística General Aplicada pag 232 FEISA Johnson Robert. Estadística Elemental pag 17 GE Iberoamérica

REPRESENTACIÓN DE DATOS 33

2.1 REPRESENTACIÓN TABULAR DE DATOS.

Cuando se efectúa un estudio estadístico en un determinado problema, por lo general los datos obtenidos en la recopilación ya sea de una muestra o de una población, no se pueden analizar o interpretar en su primera presentación, por lo común son un conjunto de datos escritos en una o más paginas sin presentar ningún orden.

Al conjunto de datos obtenidos en la recopilación, se les conoce como datos no agrupados, una vez que se han recopilado los datos, el siguiente paso consiste en organizarlos, por ejemplo: los datos que aparecen en la fig 37 son un conjunto de datos no agrupados.

Al conjunto de datos que se han organizado en vacías clases o categorías, se les llama datos agrupados. Por ejemplo: la tabla que aparece en la fig 38 corresponde a los datos ya agrupados, que se presentaron en el ejemplo anterior.

2.2 DISTRIBUCIÓN O TABLA DE FRECUENCIA SIMPLE

Para agrupar u organizar un conjunto de datos, se construye una tabla llamada tabla de frecuencia o distribución de frecuencia simple.

El primer paso para organizar los datos, consiste en identificar el tipo de datos que se tienen, los cuales pueden ser cualitativos o cuantitativos.

Cuando los datos corresponden a valores cualitativos, se clasifican en varias clases o categorías, que corresponden a las cualidades, valores o atributos obtenidos de cada elemento, después se efectúa una tabulación, es decir se realiza un conteo de los elementos que pertenecen a cada clase o categoría. Para llevar un orden y no omitir algún valor, se asigna una columna para la tabulación y se coloca una marca para cada elemento de la muestra o población, donde corresponda a su categoría.

Una vez terminada la tabulación se cuentan los elementos que contiene cada clase o categoría y se anota el valor en otra columna que se denomina frecuencia.

Así, la frecuencia es el número de elementos que contiene cada clase o categoría en un conjunto de datos.


Ejemplo 1

Con los siguientes datos que corresponden al color de automóvil que se encuentran hoy en el estacionamiento de la escuela preparatoria, se construye una tabla de frecuencia simple.

verde azul verde rojo gris café gris rojo negro negro azul azul rojo verde rosa blanco verde beige azul gris verde negro verde verde

rosa rojo vino azul verde vino café verde anaranjado rojo rojo beige azul azul blanco negro negro azul negro rosa rojo rosa rojo beige azul gris anaranjado gris beige blanco beige azul gris rojo

rosa anaranjado negro rojo rojo verde azul café verde rojo rojo café gris beige café gris negro anaranjado negro café negro rosa

Con cada uno de estos atributos, se construye una clase y se coloca en una

columna que corresponde a los colores.

COLOR Verde Azul Rojo Gris Café Negro Rosa Blanco Beige Vino Anaranjado

A continuación se realiza la tabulación, asignando cada uno de los colores a su

clase correspondiente.

COLOR TABULACIÓN Verde ||||| ||||| | Azul ||||| ||||| | Rojo ||||| ||||| ||| Gris ||||| ||| Café ||||| | Negro ||||| ||||| Rosa ||||| | Blanco |||


Beige ||||| | Vino || Anaranjado ||||

Se obtiene la frecuencia de cada clase, contando el número de elementos que contiene cada clase, lo cual se muestra en la siguiente tabla de frecuencias simple. COLOR TABULACIÓN FRECUENCIA Verde ||||| ||||| | 11 Azul ||||| ||||| | 11 Rojo ||||| ||||| ||| 13 Gris ||||| ||| 8 Café ||||| | 6 Negro ||||| ||||| 10 Rosa ||||| | 6 Blanco ||| 3 Beige ||||| | 6 Vino || 2 Anaranjado |||| 4

Cuando los datos que se tienen, corresponden a valores cuantitativos, estos se agrupan de la misma forma en varias clases o grupos, llamados intervalos, o también intervalos de clase, se tabula y se obtiene la frecuencia de cada intervalo.

Cada intervalo contiene todos los elementos comprendidos entre sus extremos, incluyendo estos. A los extremos de un intervalo se les llama límites de clase. Cada intervalo tiene dos límites de clase llamados límite inferior y límite superior, los cuales corresponden a su extremo inicial y final de cada intervalo respectivamente.

No existe un método general para determinar el número de intervalos que contiene una distribución de frecuencia, los expertos recomiendan que deben ser 6 ó más intervalos, pero menos que 16, esto es, la tabla debe contener de 6 a 15 intervalos

Para construir una tabla, o distribución de frecuencias siempre se emplea el siguiente procedimiento: 1. Se determina el rango del conjunto de datos, mediante: Rango = Dato mayor - Dato menor


2. Se determina la variación que se presenta en los datos, esto es, la diferencia entre los datos diferentes más cercanos, por ejemplo; sí se tienen los datos 3, 8, 6, 5, 7, 7, 4, su variación es igual a uno.

Para los datos 100, 110, 125, 135, 130, 120, 125 su variación es 5. Para los datos 10, 90, 80, 60, 30, 40, 60, 50, 20 su variación es 10. Para los datos 5.7, 8.1, 6.4, 7.6, 6.5, 9.2, 7.7, 5.6 su variación es 0.1

3. Toca al estudiante elegir el número de intervalos con los cuales desea trabajar o el tamaño que deben tener los intervalos que se van a formar, se puede optar cualquiera de los siguiente criterios.

a) Cuando se asigna el número de intervalos, se obtiene el tamaño que tendrán los intervalos con la formula. Rango + variación

Tamaño del intervalo = --------------------------

Número de intervalos

El tamaño obtenido, cuando no resulta entero, se puede aproximar a un

número mayor que no cambie el número de intervalos y que su manejo sea más sencillo.

b) Si se asigna el tamaño del intervalo, se obtiene el número de intervalos que va a contener la tabla, mediante la fórmula: Rango + variación

Número de intervalos = ---------------------------

Tamaño del intervalo

Si el resultado no es un número entero, se considera el entero siguiente para

el número de intervalos. 4. Se construyen los intervalos con su respectivo tamaño.

a) Si al obtener el número de intervalos o el tamaño de los siguientes los intervalos, resulto exacta la división, el límite inferior del primer intervalo coincide con el valor menor del conjunto de datos y el límite superior del último, debe coincidir con el dato mayor del conjunto de datos.


b) Si el tamaño o el número de intervalos, se aproximó a un valor mayor, el límite inferior del primer intervalo o el límite superior del último no necesariamente deben coincidir con el valor menor y mayor del conjunto de datos. 5. Una vez establecidos los intervalos se efectúa la tabulación. 6. Por último, se obtiene la frecuencia de cada intervalo de clase. Se ha utilizado el término, tamaño de un intervalo, el cual cuando se tienen los límites de clase, este se obtienen mediante:

Tamaño del intervalo = límite superior - límite superior + variación

La estadística, es un conjunto de técnicas que se aplican en todas las ciencias,

áreas o actividades humanas, aunque los problemas que se resuelven en cada una son totalmente diferentes, las técnicas que se aplican son las mismas. Corresponde al lector asociar cada conjunto de datos con un problema en particular de un área determinada. Ejemplo 2. Para el conjunto de datos siguiente, construya la tabla de frecuencia, considere 10 intervalos.

65 39 32 92 76 54 87 43 54 23 56 34

45 78 65 23 65 34 56 87 54 68 87 56

42 48 54 87 65 51 40 46 65 60 28 55

50 30 75 75 72 35 52 50 40 53 40 30

45 60 40 92 91 41 75 38 42 56 38 54

45 52 65 47 50 50 50 48 51 60 61 58

40 60 46 70 30 60 23 85 85 84 53 80

52 48 75 86 85 82 45 57 57 53 26 58

65 70 60 70 30 25 75 65 65 66 63 60

60 92 38 45 60 78 73 57 57 55 53 60

Primero se obtiene el rango, esto es: Dato mayor 92 Dato menor 23 Rango = 69


Los datos son no agrupados y aumentan de uno en uno, por lo cual la variación es igual a 1. Como se deben distribuir en 10 intervalos, se determina ahora el tamaño que tendrá cada intervalo:

��

�� !�"

�� #$�%

%&

�� ' Por lo cual se tiene 10 intervalos de tamaño 7. El tamaño resulto entero, por lo que el límite inferior del primer intervalo se hace coincidir con el dato menor y a partir de aquí se construyen los 10 intervalos, observe que el límite superior del último intervalo coincide con el valor del mayor que es 92, se realiza la tabulación y se obtiene la frecuencia, (número de elementos que tiene cada intervalo), esto es.

No. INTERVALO TABULACIÓN FRECUENCIA

1 23-29 ||||| |

6

2 30-36 ||||| |||

8

3 37-43 ||||| ||||| |||

13

4 44-50 ||||| ||||| |||||| | 16

5 51-57 ||||| ||||| |||||| ||||| || 22

6 58-64 ||||| ||||| ||||||

15

7 65-71 ||||| ||||| ||||||

15

8 72-78 ||||| |||||

10

9 79-85 ||||| |

6

10 86-92 ||||| ||||

9

Observe que al construir la tabla anterior, el límite superior de un intervalo, se obtuvo mediante. ()��*+,� � � �()��-� � . �� / 0� �1��


Por ejemplo, el límite superior del intervalo uno que es igual a 29, se determinó como 23+7-1=29. El límite inferior del segundo intervalo se obtuvo sumando la variación a el límite superior del primer intervalo 29+1 Ejemplo 3. Construya la tabla de distribución de frecuencia simple, para el siguiente conjunto de datos, considere intervalos de tamaño 11.

5 14 52 86 59 74 71 42 45 43 56 42

47 77 52 56 69 91 14 45 57 78 86 62

4 12 7 9 25 13 81 24 37 45 53 11

8 91 95 86 34 43 45 51 22 27 30 15

14 25 18 35 69 92 85 84 41 52 56 53

14 45 32 38 38 40 57 36 52 53 23 6

94 8 10 60 67 66 65 63 72 51 46 20 Obteniendo el rango, se tiene: Valor mayor 95 –

Valor menor 4 Rango 91

La variación = 1 Se determina enseguida el número de intervalos.

2�� * ��

3�� !�

2�� * �$%�%

%%

2�� * � 4567 Aproximando al siguiente entero, se deben tener 9 intervalos de tamaño 11.


Como se aproximó el número de intervalos, el dato menor y el dato mayor no necesariamente deben coincidir con los límites del primero y del último intervalo. La elección del primer o último valor se debe efectuar de tal manera que los valores que se agreguen tengan sentido para el problema en estudio. Se debe tener cuidado que al construir la tala se tenga el número y tamaño de intervalos elegidos. En los cuales, el dato menor se debe encontrar dentro del primer intervalo y el dato mayor dentro del último intervalo. Para el ejemplo, se construir el primer intervalo con un límite inferior igual a 1 y a partir de aquí se obtiene la tabla de frecuencia simple.

INTERVALO TABULACIÓN FRECUENCIA

1 1-11 ||||||||| 9

2 12-22 |||||||||| 10

3 23-33 ||||||| 7

4 34-44 |||||||||||| 12

5 45-55 |||||||||||||||| 16

6 56-66 ||||||||||| 11

7 67-77 ||||||| 7

8 78-88 ||||||| 7

9 89-99 ||||| 5 Obsérvese que tanto en esta tabla como en la anterior, existen valores que no se consideran en ningún intervalo de clase (como son los valores comprendidos entre el límite superior y el límite inferior del siguiente intervalo) como es el caso de este último ejemplo de los datos 33.9 y 44.1 Si al conjunto de datos dl ejemplo anterior, se le agregan estos valores 33.9 y 44.1 por aproximación se hubiesen tabulado en el intervalo número 4. Pero si se tiene el valor 33.5 existe la duda de tabularlo en el intervalo 3 o en el intervalo 4. Para resolver este problema se construyen los límites reales de clase, límites verdaderos de clase, o fronteras de clase. Los límites reales de clase, son valores que evitan huecos entre un intervalo y el siguiente. Sus valores se obtienen como el punto medio del límite superior y el

No.


límite inferior del siguiente intervalo, resultando que el límite real superior de un intervalo es igual que el límite real inferior del intervalo siguiente. Ahora bien, al tabular un valor tal como el 33.5, se observa que este valor se encuentra en el intervalo 3 y en el intervalo 4, este texto utiliza el criterio de tabularlo en el primer intervalo en que aparece dicho dato, esto es, en el intervalo número 3.

Ejemplo 4. Obtenga los límites reales de clase de la tabla del ejemplo 3.

No. LÍMITES DE CLASE

FRECUENCIA LÍMITES REALES DE CLASE

11 1-11 9 0.5-11.5

22 12-22 10 11.5-22.5

33 23-33 7 22.5-33.5

44 34-44 12 33.5-44.5

55 45-55 16 44.5-55.5

66 56-66 11 55.5-66.5

77 67-77 7 66.5-77.5

88 78-88 7 77.5-88.5

99 89-99 5 88.5-99.5

a) Observe que el límite real inferior del primer intervalo se determinó restando la mitad de la variación (que es |) al límite inferior, esto es:

1 – ½ (1) = 0.5

b) El límite real superior del último intervalo se determinó sumando la mitad de la variación al límite superior, esto es:

99 + ½ (1) = 99.5

En ocasiones, es necesario identificar los límites de clase o límites reales de clase inferior y/o superior, esto se muestra en la siguiente tabla:


.LÍMITES DE CLASE

FREC. LÍMITES

REALES DE CLASE

..LÍMITE INFERIOR

...LÍMITE SUPERIOR

LÍMITE REAL

INFERIOR

LÍMITE REAL

SUPERIOR

1 - 11 9 0.5 - 11.5 1 11 0.5 11.5

12 - 22 10 11.5 - 22.5 12 22 11.5 22.5

23 - 33 7 22.5 - 33.5 23 33 22.5 33.5

34 - 44 12 33.5 - 44.5 34 44 33.5 44.5

45 - 55 16 44.5 - 55.5 45 55 44.5 55.5

56 - 66 11 55.5 - 66.5 56 66 55.5 66.5

67 - 77 7 66.5 - 77.5 67 77 66.5 77.5

78 - 88 7 77.5 - 88.5 78 88 77.5 88.5

89 - 99 5 88.5 - 99.5 89 99 88.5 99.5 Cuando se tiene un conjunto de datos agrupados, dados por sus límites reales de clase, la variación vale cero. El tamaño de un intervalo se obtiene: ��ñ�� (�� *+,� � / (�� -� � Si se considera cualquier intervalo de la tabla anterior, por ejemplo, el tamaño del tercer intervalo es: Tamaño = 33.5 – 22.5 Observe que el tamaño no cambia como era de esperarse. Ejemplo 5. En los siguientes conjuntos de datos se han determinados los límites reales a partir de los límites de clase.

Intervalo Intervalo Real

1 - 10 0.5 - 10.5

11 - 20 10.5 - 20.5

21 - 30 20.5 - 30.5

31 - 40 30.5 - 40.5

41 - 50 40.5 - 50.5

51 - 60 50.5 - 60.5

61 - 70 60.5 - 70.5

71 - 80 70.5 - 80.5

81 - 90 80.5 - 90.5

91 - 100 90.5 - 100.5


100 - 140 95 - 145

150 - 190 145 - 195

200 - 240 195 - 245

250 - 290 245 - 295

300 - 340 295 - 345

350 - 390 345 - 395

400 - 440 395 - 445

450 - 490 445 - 495

500 - 540 495 - 545

550 - 590 545 - 595


MARCA DE CLASE

La marca de clase es el punto medio de un intervalo, se representa por Mi y se obtiene con la expresión: límite interior + límite superior Marca de clase= --------------------------------------- 2

o bien

límite real inferior + límite real superior Marca de clase = -------------------------------------------------- 2 Su valor es igual, debido a que se trata del mismo intervalo.

Ejemplo 6 En los siguientes conjuntos de datos se ha obtenido la marca de clase:

INTERVALO INTERVALO Mi 10-15 12.5 1.00-1.09 1.045 15-20 17.5 1.10-1.19 1.145 20-25 22.5 1.20-1.29 1.245 25-30 27.5 1.30-1.39 1.345 30-35 32.5 1.40-1.49 1.445 35-40 37.5 1.50-1.59 1.545 40-45 42.5 1.60-1.69 1.645 45-50 47.5 1.70-1.79 1.745 50-55 52.2 1.80-1.89 1.845


7.0 - 7.5 6.95 - 7.55

7.6 - 8.1 7.55 - 8.15

8.2 - 8.7 8.15 - 8.75

8.8 - 9.3 8.75 - 9.35

9.4 - 9.9 9.35 - 9.95

10.0 - 10.5 9.95 - 10.55

10.6 - 11.1 10.55 - 11.15

11.2 - 11.7 11.15 - 11.75


40 - 46 39 - 47

48 - 54 47 - 55

56 - 62 55 - 63

64 - 70 63 - 71

72 - 78 71 - 79

80 - 86 79 - 87

88 - 94 87 - 95

96 - 102 95 - 103

Mi a) b)


2.3 DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIA Además de la distribución de frecuencia simple que hasta el momento se ha

estudiado, existen otras distribuciones de frecuencia que se utilizan en estadística, se presentan a continuación solo las más comunes.

FECUENCIA ACUMULADA. La frecuencia acumulada de un intervalo, se obtiene sumando la frecuencia de

ese intervalo con la frecuencia de los intervalos anteriores. La frecuencia acumulada del último intervalo, corresponde al número total de datos. Se representan con la letra F.

Ejemplo 1 En los siguientes conjuntos de datos, se muestra la distribución de frecuencia

acumulada. a) INTERVALO FREC. FRECUENCIA ACUMULADA 1000-2000 4 4 2000-3000 12 16 3000-4000 35 51 4000-5000 17 68 5000-6000 20 88 6000-7000 14 102 7000-8000 8 110 b) INTERVALO FREC. FRECUENCIA ACUMULADA 10-17 15 15 18-25 38 53 26-33 57 110 34-41 41 151 42-49 22 173 50-57 16 189 58-65 11 200


FRECUENCIA RELATIVA.

La frecuencia relativa de un intervalo, se obtiene dividiendo la frecuencia del intervalo entre el número total de datos. La suma de todas las frecuencias relativas de un conjunto de datos es igual a uno.

Si la frecuencia relativa de un intervalo se multiplica por 100 se llama frecuencia porcentual y su valor representa el porcentaje de datos que contiene cada intervalo.

Ejemplo 2

En el siguiente conjunto de datos, se muestra la distribución de frecuencia relativa.

No.INTERVALO FRECUENCIA FRECUENCIA ________________________________RELATIVA___ 1 100-150 7 0.0368 2 150-200 23 0.1210 3 200-250 15 0.0789 4 250-300 38 0.2000 5 300-350 26 0.1368 6 350-400 34 0.1789 7 400-450 14 0.0736 8 450-500 20 0.1052 9 500-550 13 0.0684 ---------------------------------------------------------------------- SUMAS 190 1.000

Como se observa, el intervalo 4 contiene el 20% del total de los datos.


FRECUENCIA RELATIVA ACUMULADA.

Se obtiene dividiendo la frecuencia acumulada de cada intervalo, entre el número total de datos. La frecuencia relativa acumulada de un intervalo multiplicado por 100, se llama frecuencia porcentual acumulada de un intervalo y su valor representa el porcentaje acumulado de datos que se encuentran hasta un cierto intervalo.

Ahora se realiza un ejercicio de repaso en el cual, dado un conjunto de datos, se obtiene su marca de clase, la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada.

Intervalo Frec. Marca

de clase Frecuencia Acumulada

Frecuencia Relativa

Frecuencia Relativa

Acumulada

100 - 108 34 104 34 0.0756 0.0756

109 - 117 45 113 79 0.1000 0.1756

118 - 126 78 122 157 0.1733 0.3489

127 - 135 112 131 269 0.2489 0.5978

136 - 144 89 140 358 0.1978 0.7956

145 - 153 63 149 421 0.1400 0.9356

154 - 162 29 158 450 0.0644 1.0000


2.4 REPRESENTACIÓN GRÁFICA.

Los datos obtenidos en una investigación estadística, una vez que se han agrupado, se pueden obtener algunas conclusiones directamente de la tabla de distribución de frecuencia, o bien, se puede representar mediante alguna gráfica, ya que su presentación por sí sola, muestra el comportamiento de los datos. Existen varias formas de representar las distribuciones de frecuencia, tales como:

1. Histograma de frecuencia 2. Polígono de frecuencia 3. Gráfica de barras 4. Gráfica de líneas 5. Curvas 6. Cartograma 7. Pictograma 8. Localización gráfica 9. Tabla de valores


GRÁFICA DE BARRAS

La gráfica de barras es un tipo de gráfica utilizado en estadística, consiste en

una serie de rectángulos cuyas bases se encuentran sobre una base horizontal correspondiendo a cada uno de los intervalos o categorías de la distribución de frecuencias y su altura, marcada en un eje vertical, es proporcional a la frecuencia de cada intervalo o categoría. Ejemplo 1 Construye la gráfica de barras para los siguientes conjuntos de datos. a)

Localizando los intervalos en el eje horizontaly marcando una escala para la frecuencia en el eje vertical.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

INTERVALO FRECUENCIA

1-5 15

6-10 12

11-15 13

16-20 8

21-25 11

26-30 7

31-35 6

36-40 10

FRECUENCIA

INTERVALO


Ahora se traza un intervalo para cada intervalo en los cuales su altura depende de la frecuencia.

Las líneas que aparecen en forma horizontal, se incluyeron para visualizar la altura de los rectángulos y de esta manera verificar o ver su frecuencia correspondiente. b) Ubicando cada una de las categorías en el eje horizontal y una escala en el eje vertical que corresponda a la frecuencia, se construye la gráfica de barras.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40

5

1416

4 20

2

4

6

8

10

12

14

16

Excelente Bueno Malo Regular Pésimo

FRECUENCIA

INTERVALO

CALIDAD FRECUENCIA

Excelente 5

Bueno 14

Malo 16

Regular 4

Pésimo 2

FRECUENCIA

INTERVALO


En esta gráfica, se incluyeron los valores de la frecuencia de cada clase dentro de las barras, se recomienda realizar esta acción cuando es difícil identificar las alturas, sobre todo de los últimos rectángulos.

HISTOGRAMA DE FRECUENCIA

El histograma de frecuencia, se emplea para representar mediante una gráfica

similar a la de barras, una distribución de frecuencia. La diferencia que tiene con la gráfica de barras, es que en el histograma de frecuencia, se localizan los límites reales de clase en el eje horizontal (en la gráfica de barras se localizan los límites de clase).

Consiste en una serie de rectángulos que tienen sus bases sobre un eje

horizontal (eje x), de longitud igual al tamaño de los intervalos de clase y su altura es proporcional a las frecuencias de clase.

Ejemplo 2 Trace el histograma de frecuencia para los siguientes conjuntos de datos.

a) Se localizan los intervalos sobre el eje horizontal señalado los límites reales de clase y una escala para la frecuencia sobre el eje vertical.


0-10 9

10-20 11

20-30 7

30-40 14

40-50 16

50-60 12

60-70 8

70-80 8

80-90 6


Ahora se trazan los rectángulos, obteniéndose el histograma de frecuencia.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

FRE

CU

EN

CIA

INTERVALO

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

FRE

CU

EN

CIA

INTERVALO

9

11

7

14

16

12

8 8

6

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

0-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90

FRE

CU

EN

CIA

INTERVALO


100-105 5

106-111 12

112-117 20

118-123 14

En ocasiones la frecuencia de cada intervalo, se escribe en la parte superior de cada intervalo para visualizar mejor la frecuencia de cada inérvalo.

b) En este caso, primero se ob

INTERVAL

100-105

106-111

112-117

118-123

124-129

130-135

136-141

Se localizan los límifrecuencia en el eje vertical

99.

20

10

5

0

15

REPRESENTACIÓN DE DATOS

e obtienen los límites reales de clase para cada intervalo

VALO FRECUENCIA LÍMITES REALES

105 5 99.5-105.5

111 12 105.5-111.5

117 20 111.5-117.5

123 14 117.5-123.4

129 8 123.5-129.5

135 4 129.5-135.5

141 5 135.5-141.5

límites reales de clase en el eje horizontal, una escalatical y se construye el histograma de frecuencia

124-129 8

130-135 4

136-141 5

99.5

5

12

20

14

8

5

4

105.5 111.5 117.5 123.5 129.5 135.5 141.5

52

rvalo.

cala para la

Como se observa intervalo se encuentra muypara que este primer interv Si en el eje verticahistograma de frecuencia re

POLÍGONO

El polígono de frecusobre el histograma de frecconstruida sobre sus marca

1. Se traza el histogram

2. Se agrega el intervmismo tamaño y fre

3. Se localiza en el eproyectan estas a la

4. Se trazan rectas Frecuencia.

1

0

99.


rva en este histograma de frecuencia, cuando el muy alejado del origen, se hace un corte en el eje hortervalo no se encuentre muy alejado del origen

tical se localizan las frecuencias relativas, la gráfica sia relativa.

NO DE FRECUENCIA

frecuencia, es una gráfica de línea que generalmente s frecuencia, representa la distribución de un conjunto darcas de clase. Se obtiene con el siguiente procedimient

grama de frecuencia.

tervalo antes y uno después del conjunto de datos y frecuencia cero.

el eje horizontal las marcas de clase de cada interva a la parte superior de los rectángulos.

as para unir estos puntos, obteniéndose el Polígo

105.5 111.5 117.5 123.5 129.5 135.5 141.5

99.5

53

el primer horizontal,

ca se llama

te se traza to de datos iento.

atos con el

ervalo y se

olígono de

Primero: Se construcon frecuencia cero y se rectángulos. El polígono de frecuencia se En ocasiones, el polígono de O bien la forma de represen

FRECUENCIA


struye el histograma de frecuencia y se agregan dos int se ubican las marcas de clase en la parte superior

ia se obtiene uniendo los puntos:

de frecuencia se representa sin el histograma de frec

esentar el polígono de frecuencia es el siguiente:

INTERVALO

54

s intervalos rior de los

frecuencia.

OJIVA

La ojiva, es una gfrecuencia acumulada o freen los cuales solo se agrega OJIVA “O MAS” Es una gráfica en la cual smayores o iguales que el lím Ejemplo 4

Trazar la ojiva “o má


a gráfica que se obtiene localizando en el eje ver frecuencia relativa acumulada. Se tienen dos tipos

regan un solo intervalo con frecuencia cero en eje horiz

al se tiene las frecuencias acumuladas de todos los l límite real inferior de cada intervalo.

o más” para el siguiente conjunto de datos.

55

vertical la de ojivas

orizontal.

los valores


Primero se obtiene la tabla de frecuencia acumulada “o más” en la cual la frecuencia acumulada se va obteniendo del último el primer intervalo.

INTERVALO FRECUENCIA FREC.

ACUMULADA

20 o más 5 90

30 o mas 12 85

40 o más 17 73

50 o más 21 56

60 o más 16 35

70 o más 13 19

80 o más 6 6

90 o más

0

Ahora traza la ojiva “o más”

0102030405060708090

100

20 o más

30 o mas

40 o más

50 o más

60 o más

70 o más

80 o más

90 o más


20-30 5

30-40 12

40-50 17

50-60 21

60-70 16

70-80 13

80-90 6

FRECUENCIA

ACUMULADA

INTERVALO


OJIVA “MENOR QUE”

La ojiva menor que, es una gráfica que se obtiene localizando el eje vertical de las frecuencias acumuladas hasta el límite real superior de cada intervalo.

Ejemplo 5 Construya la ojiva para el siguiente conjunto de datos.


20-30 5

30-40 12

40-50 17

50-60 21

60-70 16

70-80 13

80-90 6

Primero se obtiene la tabla de frecuencia acumulada “menor que” en la cual la frecuencia acumulada se obtiene a partir del primer intervalo de frecuencia cero que se agregó.

INTERVALO FRECUENCIA FREC. ACUMULADA

Menor que 20 0

Menor que 30 5 5

Menor que 40 12 17

Menor que 50 17 34

Menor que 60 21 55

Menor que 70 16 71

Menor que 80 13 84

Menor que 90 6 90

Ahora se traza la ojiva “menor que”.


CIRCULOGRAMA

El circulograma, también llamada gráfica circular o de pastel, es una gráfica que consiste en un círculo, se utiliza para representar datos, que por lo general son cualitativos, a cada clase, categoría o atributo se le asigna una parte del círculo (Sector Circular) que corresponde al porcentaje que representa del total de los datos. Para construir un circulograma, se determina el porcentaje que representacada clase (frecuencia relativa porcentual) y se obtiene el valor de la magnitud del ángulo en grados de sector circular que le corresponde a cada clase, atributo o categoría en el círculo con la siguiente expresión:

��

�

Dónde: f Es la frecuencia de un intervalo. n Es el número total de datos.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Menor que 20

Menor que 30

Menor que 40

Menor que 50

Menor que 60

Menor que 70

Menor que 80

Menor que 90

FRECUENCIA

ACUMULADA

INTERVALO

Ejemplo 6 Construya el circulo

Determinado el án

circulograma y el porcentaje

COLOR

Rojo

Verde

Azul

Negro

Blanco

TOTAL

Ahora se traza el circulogram


culograma para el siguiente conjunto de datos

COLOR FRECUENCIA

Rojo 21

Verde 12

Azul 35

Negro 3

Blanco 9

l ángulo central que tendrá cada color en su secntaje que representa.

FRECUENCIA ÁNGULO %

21 95° 26.25

12 54° 15.00

35 158° 43.75

3 14° 3.75

9 41° 11.25

80 360° 100.00

grama.

59

sector del

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL 90

3.2 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

Las medidas de tendencia central, también llamadas medidas de posición

o medidas de centralización, indican mediante un valor o atributo la localización

central de la distribución de frecuencia.

Debido a que se pueden dar varias interpretaciones a lo que significa valor

central de una distribución, se estudian tres medidas de tendencia central que son

la media, la mediana y la moda. Cabe aclarar que estas medidas de posición, no

son las únicas que existen.

Las medidas de tendencia central, se estudian primero cuando se tiene un

conjunto de datos no agrupado y después para un conjunto de datos agrupados.

MEDIA ARITMÉTICA La media aritmética, también llamada media o promedio es una de las

medias más utilizadas dentro de la estad,s-ca. Se denota por x.

Media para datos no agrupados. Para un conjunto de n datos no agrupados x1, x2, x3, …………, xn la

media aritmética, se define como la suma de todos los datos dividida entre el

número de todos los datos, esto es:

��

o bien ��

Las unidades de la media aritmética, corresponden a las mismas unidades

de las caracter,sticas de los mismos elementos.

La principal aplicación que se obtiene de la media, es que significa, que

todos los datos tuvieran el mismo valor y esto, lo hace representativo de todo el

conjunto de datos.

��

�

��


Media para datos agrupados. Cuando se tiene un conjunto de n datos, que se encuentran agrupados en

una distribución de frecuencia, una aproximación de la media es:

o bien ��

Dónde:

x. Es el valor de la media.

k Es el número de intervalos.

fi Es la frecuencia del i-ésimo intervalo.

Mi Es la marca de clase del i-ésimo intervalo.

n Es el número de datos

El valor de la media, se obtiene en forma aproximada debido a que se

considera que el valor de todos los datos de un intervalo es igual a la marca de

clase, (la marca de clase es el punto medio de los l,mites de cada intervalo) y esto

casi nunca se cumple.

��

�

��


Observe que en este último caso en la fórmula �� ya no se

incluyen los valores inicial y final del sub,ndicei que deben de ir abajo y arriba del

s,mbolo Σ respectivamente, esta forma de escribir la suma, también es correcta,

en este caso se asume que el valor inicial es el uno y el valor final, el último que

aparece en el conjunto de datos.

MEDIA PONDERADA

La media ponderada, es un caso particular y especial de la media de un

conjunto de dato. Se aplica cuando un conjunto de datos se divide en varios

subconjuntos, de los cuales cada uno tiene una media diferente. También se

utiliza cuando se asignan varios pesos o ponderaciones a ciertos elementos. Su

valor se obtiene con cualquiera de las siguientes expresiones:

��

�

��

� ��

Dónde:

fi Es el número de datos del subconjunto i.

x.i Es la Media del subconjunto i.

pi Es el peso o factor de ponderación.

xi Es el valor asociado a la ponderación del i-ésimo valor.

n Es el número total de datos (Σ fi )


Ejemplo 5

En un poblado viven 5,000 habitantes, de los cuales 2,823 son mujeres

con un promedio de edad de 18 años y el resto son hombres con un promedio de

edad de 28 años. ¿Cuál es el promedio de edad de los habitantes de esa región?

El conjunto de datos se ha dividido en 2 subconjuntos, en los cuales, la

media se obtiene:

��

��

�� ! "#��!#�� $$#��

�� %%&'(

El promedio de edades de esta región es 22.3 años.

Ejemplo 6

En la asignatura de estad,stica, el curso del año pasado se evaluó de la

siguiente manera:

Primer examen parcial 30%

Segundo examen parcial 30%

Trabajo de investigación estad,stica 20%

Cuaderno de ejercicios 15%

Asistencias 5%

Si al final del curso un alumno obtuvo el siguiente puntaje:

Primer examen parcial 5.5

Segundo examen parcial 8.0

Trabajo de investigación estad,stica 9.5

Cuaderno de ejercicios 9.5

Asistencias Todas (equivale a 10)

¿Cuál es su promedio final?


Se tienen 5 elementos, la media se obtiene:

��

�� "��#�"��!�#� ��)�#��)�#��#"��"��

�� *+*'


MODA

La moda, también llamada modo, Es el valor que aparece con mayor

frecuencia en un conjunto de datos. Se representa por�,

Existen casos en los que se tiene más de una moda, a los cuales se les

llama multimodales y algunos no tiene moda, se les llama amodales.

Moda para datos no agrupados.

Cuando los datos no están agrupados, solo se busca el dato que aparece

más veces y ese corresponde a la moda.

Ejemplo 7

Obtenga la moda en los siguientes conjuntos de datos.

a) 4 3 7 2 5 6 3 2 5 7 3 6 4 3

El número que más se repite es el 3, por lo cual la moda es 3.

b) 10 15 13 14 10 8 13 10 21 13 7 6 1 0 3

En este caso el 13 y 10 se repiten 3 veces, entonces el conjunto de datos

es bimodal, sus modas son 10 y 13.

c) 0.5 0.2 0.7 0.9 0.1 0.6 0.8 0.3 0.4

No se repite ningún valor, el conjunto es amodal

Moda para datos agrupados.

Si el conjunto de datos se presenta en forma agrupada, esto es mediante

una distribución o tabla de frecuencias, una forma aproximada de calcular el valor

de la moda es utilizando la fórmula:

�, � - . / 0�0��0�

1 2 Valor aproximado de la moda

Aqu, se considera que el valor de la moda se encuentra en el intervalo de mayor

frecuencia, puesto que al ser el intervalo que contiene más datos, existe una

mayor probabilidad de que aqu, se repitan más valores.


Dónde:

L Es el l,mite real inferior del intervalo que contiene a la moda.

∆1 Es la diferencia entre la frecuencia del intervalo que contiene a la

moda y la frecuencia del intervalo anterior.

∆2 Es la diferencia entre la frecuencia del intervalo que contiene a la

moda y la frecuencia del intervalo siguiente.

c Es el tamaño del intervalo que contiene a la moda.

M

MEDIANA

Para un conjunto

descendente, la mediana es

Mediana pa

a) Si el número de d

encuentra en el c

ordenado en forma

b) Si el número de da

datos que se encue

se han ordenado en

Ejemplo 9

En los siguientes casos

para un conjunto de da

a) 4 13 12 17

Se tienen 15 datos, (número

4

4 7 7 8

El valor que se en

corresponde al valor de la m

b) 150 28

128 201

Se tienen 22 datos (Número

3 12 26

60 63 75

Los valores que se

60, por lo cual la mediana =

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

unto de datos ordenados en forma ascendente

a es el valor central de los datos, se presenta por .

para datos no agrupados

e datos es impar, la mediana es igual al valor que

el centro de la distribución una vez que estos se

rma ascendente o descendente.

datos es par, la mediana es igual al promedio de los

cuentra en el centro de la distribución una vez que es

o en forma ascendente o descendente.

asos se muestra como se obtiene el valor de la medi

datos no agrupados.

7 4 8 7 17 19 13 14 25 8

ero Impar de datos) al ordenarlos en forma ascendent

8 8 12 13 13 14 17 17 19 23

e encuentra al centro de la distribución es el 13,

la mediana, esto es la mediana = 13

330 42 12 50 63 30 3 60 150

103 37 85 35 26 43 75 50 78

ero par de datos) al ordenarlos en forma ascendente.

26 28 30 35 37 42 43 50 50

75 78 85 103 128 150 150 201 330

se encuentran en el centro de la distribución son el 50

na = 55

97

ente o

que se

se han

los dos

e estos

ediana

23

dente.

25

13, que

te.

l 50 y el


c) Un alumno obtuvo las siguientes calificaciones en una materia

cocurricular:

MB B B R R E B

¿Cuál es la calificación final?

En este caso la calificación final corresponde a la mediana, si se ordenan

los datos, se tiene:

R R B B B MB E

El valor central es B (�3 � B), que correponde a la calificación final del

alumno.

Mediana para datos agrupados Si el conjunto de datos, se presentan en forma agrupada, esto es

mediante una distribución de frecuencias, la mediana se obtiene en forma

aproximada con la siguiente fórmula:

�3 � - . /� 4 567�89

1 2

Dónde:

L Es el l,mite real inferior del intervalo que contiene a la mediana.

n Es el número de datos.

Fa Es la frecuencia acumulada del intervalo anterior al que contiene

la mediana.

f˜ Es la frecuencia del intervalo que contiene a la mediana.

c Es el tamaño del intervalo que contiene a la mediana.

Lo primero que se debe obtener, es el intervalo en el cual se encuentra el

valor de la mediana. Corresponde al dato que se encuentra en medio de la

distribución, es decir, el dato número : %4 .

fx


Existen distribuciones de frecuencia en los cuales al calcular la media, la

mediana y la moda, se obtiene el mismo valor, esto es:

�� 3 � �,

La distribución de frecuencia que cumple con esta caracter,stica se llama

distribución de frecuencia simétrica, y su gráfica (pol,gono de frecuencia

suavizado) se llama curva normal o campana de Gauss, tiene la siguiente forma:

Para una distribución de frecuencia simétrica, la media, la mediana y la

moda están relacionadas mediante:

�, � &�3 � %��

�, � �� 3

MEDIDAS DE DISPERSIÓN 135

MEDIDAS DE DISPERSIÓN

Una vez que se han calculado las medias de tendencia central para un conjunto de datos, es necesario contar con otra medida estadística, que indique un comportamiento adicional del conjunto de datos, puesto que la media, la mediana y la moda, solo indican valores centrales de la distribución.

Las medidas que se estudian son las medidas de dispersión o también

llamadas medidas de variación, las cuales indican que tan alejados o dispersos se encuentran los datos, con respecto a si mismos o con respecto a la media del conjunto de datos.

Para comprender la importancia que tienen las medidas de dispersión, se

muestra el siguiente ejemplo, en la cual se aprecia claramente la necesidad de contar con otra medida diferente a la media, que nos indique como varían los datos. Suponga que lo invitan a una fiesta y le dicen que el promedio de edades de los asistentes será de 19 años, al imaginarse a las personas que se encontrará en la fiesta, por el promedio de edad indicado, seguramente le hará tomar la rápida decisión de asistir a dicha fiesta, pero se lleva a cabo la gran sorpresa de que en la fiesta, se encuentra una abuela de 75 años, el abuelo de 83 años, su hija de 26 y el yerno de 28 años, sus nietos de 2, 3 y 5 años y unos invitados de 2, 3, 4, 4, 5, y 6 años.

En este ejemplo, se ve claramente, que si se hubiera tenido más

información de la variación de datos, la decisión de haber asistido a la fiesta, pudo haber sido diferente.

Las principales medidas de dispersión que se estudian en este texto, son

el rango, la desviación media, la varianza y la desviación estándar o típica. Las principales medidas de dispersión que se estudian en este texto, son

el rango, la desviación, la varianza y la desviación estándar o típica.


4.1 RANGO Es la medida de dispersión más simple y se obtiene como la diferencia entre el valor máximo y mínimo del conjunto de datos, esto es: Ejemplo 1 Determine el rango del siguiente conjunto de datos.

25 25 56 89 87 45 36 24 12 6 9 47

14 45 46 58 96 92 37 58 45 81 9 52

15 47 45 46 36 25 8 36 5 36 58 100

Aplicando la fórmula: Esta medida de dispersión tiene aplicaciones muy limitadas, debido a que solamente considera valores extremos del conjunto de datos y no indica ningún comportamiento de valores intermedios del conjunto. También, el rango de una muestra depende de su tamaño, es decir, una muestra pequeña, el rango de muestra depende de su tamaño, es decir, una muestra pequeña, tiende a tener un rango más pequeño que una muestra grande. Por lo que no es conveniente utilizar el rango para comparar la variación entre dos o más grupos de datos. La principal aplicación del rango se da en el control estadístico, en la calidad de producción.


4.2 DESVIACIÓN MEDIA En el promedio de los valores absolutos de las desviaciones de los datos con respecto a la media. Indica en promedio el número de unidades en que cada dato se encuentra alejado de la media. Desviación media para datos no agrupados Cuando se tiene un conjunto datos no agrupados, la desviación media se obtiene mediante:

Dónde:

xi es el valor del i-ésimo dato x; es la media del conjunto de datos n es el número total de datos

Ejemplo 1 Determine el valor de la desviación media para el siguiente conjunto de datos Primero se determina la media

a) 4 14 12 8 12 6 16 8


La desviación media es:

Este valor significa, que en promedio cada dato se encuentra 3.5 unidades alejado de la media. Se representa en el siguiente diagrama de dispersión

x;


b) 0.3 2.1 7.2 4.3 5.7 8.3 4.4 6.5 3.2 4.0

Determinando el valor de la media.

La desviación media es:

Este valor significa que en promedio cada datos de encuentra 1.86 unidades alejado de la media. Desviación media para datos agrupados Cuando el conjunto de datos se tiene agrupado en una tabla de distribución de frecuencia, la desviación media se obtiene en forma aproximada por:

Dónde: fi Es el valor de la frecuencia del i-ésimo intervalo

Mi Es el valor de la marca de clase del i-ésimo intervalo

Es la media del conjunto de datos

n Es el número total de datos ( n = Σ fi ) Se utiliza la marca de clase Mi , por considerar que su valor es el representativo de los fi , datos que se encuentran en el intervalo i.


Ejemplo 2 Determine la desviación media para el siguiente conjunto de datos. a)


10-20 2

20-30 11

30-40 19

40-50 21

50-60 35

60-70 30

70-80 28

80-90 20

90-100 13

El valor de la media se obtiene con la fórmula:

Agregando la columna Mi, en la tabla, se tiene:

INTERVALO FRECUENCIA Mi

10-20 2 15

20-30 11 25

30-40 19 35

40-50 21 45

50-60 35 55

60-70 30 65

70-80 28 75

80-90 20 85

90-100 13 95

Σ 179

El valor de la media es:

=

60.4749


Se agrega por último la columna fi |Mi –x;|y la suma de esta

INTERVALO FRECUENCIA Mi fi |Mi – x;|

10-20 2 15 90.950

20-30 11 25 390.223

30-40 19 35 484.022

40-50 21 45 324.972

50-60 35 55 191.620

60-70 30 65 135.754

70-80 28 75 406.704

80-90 20 85 490.503

90-100 13 95 448.827

Σ 179

2963.575 El valor de la desviación media es:


b)


1.0-1.9 7

2.0-2.9 15

3.0-3.9 23

4.0-4.9 18

5.0-5.9 20

6.0-6.9 16

7.0-7.9 9

Agregando la columna de marca de clase para obtener el valor de la media.


1.0-1.9 7 1.45

2.0-2.9 15 2.45

3.0-3.9 23 3.45

4.0-4.9 18 4.45

5.0-5.9 20 5.45

6.0-6.9 16 6.45

7.0-7.9 9 7.45


= 4.4963


Ahora se agrega la última columna para obtener la desviación media.

INTERVALO FRECUENCIA Mi fi |Mi – x;|

1.0-1.9 7 1.45 21.32

2.0-2.9 15 2.45 30.69

3.0-3.9 23 3.45 24.06

4.0-4.9 18 4.45 0.83

5.0-5.9 20 5.45 19.07

6.0-6.9 16 6.45 31.26

7.0-7.9 9 7.45 26.58

El valor de la desviación media es:

= 1.42.42


4.3 VARIANZA La varianza se define como el promedio de los cuadrados de las

desviaciones de los datos con respecto a la media. Su valor indica la forma en que están distribuidos los datos con respecto a la media. Se representa mediante σ2

Varianza para datos no agrupados Cuando se tiene un conjunto de datos no agrupados, la varianza se obtiene mediante:

Dónde: Es el conjunto del i-ésimo dato Es la media del conjunto de datos n El número total de datos Ejemplo 1 Determine el valor de la varianza para el siguiente conjunto de datos

a) 12 25 8 15 5 18 26 14 9 10 Primero se determina la media.

La varianza es:

= 44.36

25 8 15 5 18

10 26 14 9 = 443.6


Determinando el valor de la media

7.2 + 4.5 + 12.7 + 54.6 + 25.6 + 32.9 + 19.1 + 47.2 + 36.5 = 240.3

La varianza es:

= = 24.612

273.4666 Varianza para datos agrupados Cuando el conjunto de datos se tiene agrupado en una tabla de distribución de frecuencia, la varianza se obtiene en forma aproximada por:

Dónde: Es el valor de la frecuencia en el i-ésimo intervalo Mi Es el valor de la marca de clase del i-ésimo intervalo Es la media del conjunto de datos

n Es el número total de datos (n = Σ fi) Cuando se utiliza la marca de clase por considerar que su valor es el representativo de los datos que se encuentran en cada intervalo.

b) 7.2 4.5 12.7 54.6 25.6 32.9 19.1 47.2 36.5


Ejemplo 2 Determine la varianza para el siguiente conjunto de datos


0-50 7

50-100 15

100-150 28

150-200 22

200-250 11

250-300 13

300-350 9

350-400 25

400-450 10


Agregando la columna Mi


0-50 7 25

50-100 15 75

100-150 28 125

150-200 22 175

200-250 11 225

250-300 13 275

300-350 9 325

350-400 25 375

400-450 10 425


(7X25)+ (15X75)+ (28X125)+ (22X175)+ (11X225)+ (13X275)+ (9X325)+ (25X375)+ (10X425) = 31250

= 223.2143

a)


Se agrega por último la columnafi (Mi – x ;)2y la suma de esta.

INTERVALO FRECUENCIA Mi fi (Mi – x;)^2

0-50 7 25 275022

50-100 15 75 329512

100-150 28 125 270089

150-200 22 175 51142

200-250 11 225 35

250-300 13 275 34863

300-350 9 325 93243

350-400 25 375 575973

400-450 10 425 407175

140 2037054

El valor de la varianza es:



0-2 12

2-4 35

4-6 43

6-8 31

8-10 22

10-12 17

12-14 11

14-16 4

Σ 175

Agregando las columnas necesarias, el valor de la media es:


0-2 12 1

2-4 35 3

4-6 43 5

6-8 31 7

8-10 22 9

10-12 17 11

12-14 11 13

14-16 4 15

Σ 175


= 6.4971

b)


Ahora se agregan la columna necesaria para obtener el valor de la varianza

INTERVALO FRECUENCIA Mi fi (Mi – x;)^2

0-2 12 1 362.62

2-4 35 3 428.05

4-6 43 5 96.38

6-8 31 7 7.84

8-10 22 9 137.81

10-12 17 11 344.69

12-14 11 13 465.16

14-16 4 15 289.19

Σ 175

2131.75 El valor de la varianza es:

Existen otras fórmulas para obtener el valor de la varianza, las cuales solo se mencionan en el presente texto.

Para datos no agrupados

Para datos agrupados


4.4 DESVIACIÓN ESTANDAR O TÍPICA La desviación estándar de un conjunto de datos, se define como la raíz cuadrada de la varianza, se denota por “σ”. Tiene las mismas unidades que las de los datos originales. El valor de la desviación estándar se obtiene: Para los datos no agrupados

Para datos agrupados

Ejemplo 1 Determina la desviación estándar para los conjuntos de datos utilizados en la varianza del ejemplo 1. Para datos no agrupados

a) En el ejemplo con datos

12 25 8 15 5 18 26 14 9 10 La varianza resultó

44.36 La desviación estándar es:


b) En el ejemplo con datos

7.2 4.5 12.7 54.6 25.6 32.9 19.1 47.2 36.5

La varianza resultó

273.46

La desviación estándar es:

Para datos agrupados, del ejemplo 2.

a) En el ejemplo con datos


0-50 7

50-100 15

100-150 28

150-200 22

200-250 11

250-300 13

300-350 9

350-400 25

400-450 10 La varianza resultó



b) En el ejemplo con datos


0-2 12

2-4 35

4-6 43

6-8 31

8-10 22

10-12 17

12-14 11

14-16 4

La varianza resultó



INTERPRETACIÓN DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR 1. Para distribuciones de frecuencia aproximadamente simétricas, el intervalo

que tiene por límites,- - σ y,- + σ contiene aproximadamente el 68.27% del total de los datos o bien el 0.6827 del área bajo la curva normal, esto es:

2. Para distribuciones de frecuencia aproximadamente simétricas, el intervalo

que tiene por límites ,- - 2σ y ,- +2σcontiene aproximadamente el 95.45% del total de los datos o bien el 0.9545 del área bajo la curva normal, esto es:

68.27%

x; σ σ σ σ σ σ

σ σ

95.45%

x; σ σ σ σ


3. Para distribuciones de frecuencia aproximadamente simétricas, el intervalo que tiene por límites , - - 3σ y ,- +3σ contiene aproximadamenteel 99.73% del total de los datos o bien el 0.9973 del área bajo la curva normal, esto es:

σ σ

99.73%

x; σ σ σ σ


Ejemplo 2 Obtenga el valor de la desviación estándar para el siguiente conjunto de datos, e interprete el resultado:


0-1 1

6-11 4

11-16 12

16-21 20

21-26 31

26-31 22

31-36 14

36-41 7

41-46 2

La desviación estándar se obtiene mediante

Agregando a la tabla las columnas necesarias para determinar la media


0-1 1 3.5

6-11 4 8.5

11-16 12 13.5

16-21 20 18.5

21-26 31 23.5

26-31 22 28.5

31-36 14 33.5

36-41 7 38.5

41-46 2 43.5

Σ 113



= 24.3407

Agregando la última columna se obtiene:

INTERVALO FRECUENCIA Mi VARIANZA

0-1 1 3.5 434.3351

6-11 4 8.5 1003.7121

11-16 12 13.5 1410.2514

16-21 20 18.5 682.2774

21-26 31 23.5 21.9105

26-31 22 28.5 380.5936

31-36 14 33.5 1174.4968

36-41 7 38.5 1403.3989

41-46 2 43.5 734.1569

Σ 113

7245.1327

La desviación estándar se obtiene mediante

Este valor indica que el intervalo ,- - σ y ,- + σo sea, 24.34 – 8.007 y 24.34 + 8.007, esto es en el intervalo (16.333 ; 32.247) se encuentran aproximadamente el 68.27% del total de los datos.


Como ejercicio determine el intervalo que contiene aproximadamente el 95.45% del total de los datos. Ejemplo 3 Si en un conjunto formado por 800 datos, su media es de 14.5 y su desviación estándar es de 6.5. Indique que intervalo contiene aproximadamente el 68.27% del total de los datos, cuantos datos se encuentran aproximadamente en este intervalo. El 68.27% de los datos se encuentran en el intervalo , - - σ y ,- + σ Sustituyendo valores 14.5 – 6.5 y 14.5 + 6.5. Por lo cual el 68.27% del total de los datos se encuentran en el intervalo (8;21) En este intervalo 8-21 se encuentran aproximadamente el 68.27% del total de los datos; esto es, 0.6827 X 800 = 546.16 que en forma aproximada significa 516 datos de los 800 se encuentran en el intervalo 8 – 21.


4.5 COEFICIENTE DE VARIACIÓN El coeficiente de variación, también llamado coeficiente de dispersión, es una medida de variación relativa, se presenta en forma de porcentaje y su valor se obtiene mediante:

Dónde: V Es el coeficiente de variación

σ Es la desviación estándar del conjunto de datos

�� Es la media del conjunto de datos

Su valor es útil y se emplea para comparar la variación que e�iste entre

diferentes distribuciones de frecuencia.

Ejemplo 1

En una fiesta de Halloween, en Villa Jardín, el promedio de edades fue

de 19 años y la desviación estándar de 2.5 años, mientras que en el salón

Continental, el promedio de edades fue de 25 años y la desviación estándar de

4 años. ¿En cuál fiesta hubo menor variación de edades?

El coeficiente de variación para los asistentes a Villa Jardín es:

El coeficiente de variación para los asistentes al salón Continental es:

Comparando los dos valores obtenidos para el coeficiente de variación se concluye que se presentó una menor variación de edades entre los asistentes a Villa Jardín.


Ejemplo 2 Hugo y Paco que son hermanos y están en diferente año en la escuela preparatoria, discutían con su papá sobre quién había salido mejor en matemáticas, ya que les había prometido un auto último modelo al que obtuviera la mejor calificación y los dos sacaron 7.0 ¿A cuál de los dos hermanos le corresponde el automóvil?

Como la discusión se estaba acalorando cada vez más y la mamá se estaba inclinando por uno de ellos, el padre que tenía altos conocimientos en estadística, resolvió este problema familiar utilizando el coeficiente de variación de la siguiente manera: Acudió a la escuela preparatoria donde estaban sus hijos y solicitó una copia de las calificaciones de todo el grupo y calculó el coeficiente de variación de cada uno.. Las calificaciones del grupo de Hugo que cursa Trigonometría fueron:

5 4 8 6 3.5 5.5 8 4 6 6.3 6.2

5.9 5.8 7 8.2 5.8 6.6 7.2 8.2 5.6 9.6 7.1

6.8 9.5 5.6 6.3 3.4 4.5 5.8 8 4.7 7.1 7.2

5.6 5.8 6.3 6.2 6.5 6.8 6.2 5.5 5.8 6.3 6.1 El promedio de calificaciones de este grupo fue de 6.26

La desviación estándar de las calificaciones del grupo fue de 1.36

Por lo tanto el coeficiente de variación para el grupo de Hugo es de 0.2174

Las calificaciones del grupo de Paco que cursa Cálculo Diferencial e Integral fueron:

7 8.5 6.9 8.3 7.6 9.2 8.2 5.6 7.2 8.2 8.3

9.2 4.8 5.7 8.6 9.3 7.5 7 6 9 8.2 5.8

9.7 4.2 7.5 7 8.8 6.6 5.5 6 9.5 8.5 7

9 8.5 8 9.5 7.5 6.5 8 7 9.3

El promedio de calificaciones de este grupo fue de 7.61

La desviación estándar de las calificaciones del grupo fue de 1.38

Por lo tanto el coeficiente de variación para el grupo de Paco es de 0.1814 De acuerdo a los resultados anteriores el auto le corresponde a Hugo.


4.6 MEDIDAS DE SESGO El sesgo es el grado de asimetría de una distribución de frecuencia Las medidas estadísticas más utilizadas para obtener el sesgo son; la media, la mediana y la moda. Aunque existen otras medidas con las cuales se puede determinar qué tan sesgada se encuentra una distribución. En este texto, solo se utiliza la media, la mediana y la moda para calcular el sesgo. Una distribución de frecuencia simétrica, no tiene sesgo, lo cual equivale a decir que su sesgo es igual a cero. Se tiene una distribución simétrica, cuando en el conjunto de datos la media, la mediana y la moda, tiene el mismo valor. En forma gráfica, el conjunto de datos tiene la forma: Una distribución de frecuencia se encuentra sesgada hacia la derecha, cuando tiene un sesgo positivo. En este caso, en el conjunto de datos, la media es mayor que la mediana y la moda. Gráficamente, el conjunto de datos tiene la forma:


Una distribución de frecuencia se encuentra sesgada hacia la izquierda, cuando tiene un sesgo negativo. En este caso, en el conjunto de datos, la media es menor que la mediana y la moda. Gráficamente, el conjunto de datos tiene la forma: En forma numérica, el sesgo se determina mediante dos valores, denominados coeficientes de sesgo de Pearson, siendo estos: Primer coeficiente de sesgo de Pearson

Sesgo =

Segundo coeficiente de sesgo de Pearson

Sesgo =


Ejemplo 1 Utilizando el primer coeficiente de Pearson, indique que tipo de sesgo presenta la siguiente distribución.


1-8 3

9-16 12

17-24 19

25-32 22

33-40 27

41-48 34

49-56 43

57-64 37

65-72 21

73-80 18

Agregando la columna de marca de clase para obtener la moda y la suma

de la frecuencia para obtener la media se tiene:


1-8 3 4.5

9-16 12 12.5

17-24 19 20.5

25-32 22 28.5

33-40 27 36.5

41-48 34 44.5

49-56 43 52.5

57-64 37 60.5

65-72 21 68.5

73-80 18 76.5

Σ 236


46.7648


El valor de la moda es:

Agregando la columna para obtener la desviación estándar:

INTERVALO FRECUENCIA Mi fi (Mi – ,-)^2

1-8 3 4.5 5309.10

9-16 12 12.5 13927.38

17-24 19 20.5 12911.07

25-32 22 28.5 7181.80

33-40 27 36.5 2736.73

41-48 34 44.5 145.38

49-56 43 52.5 1513.21

57-64 37 60.5 7181.93

65-72 21 68.5 10101.45

73-80 18 76.5 16126.86

Σ 236

77134.92

El primer coeficiente de sesgo de Pearson es:

C.S =

C.S.

C.S = – 0.3724 Como se observa, se tiene un sesgo negativo, por lo tanto la curva se encuentra sesgada a la izquierda.


Ejemplo 2 Utilizando el segundo coeficiente de Pearson, indique que tipo de sesgo presenta la siguiente distribución.


100-96 3

95-91 7

90-86 10

85-81 12

80-76 17

75-71 20

70-66 28

65-61 54

60-56 32

55-51 14

Agregando las columnas para obtener la media y la mediana.

INTERVALO FRECUENCIA Mi Fa

100-96 3 98 197

95-91 7 93 194

90-86 10 88 187

85-81 12 83 177

80-76 17 78 165

75-71 20 73 148

70-66 28 68 128

65-61 54 63 100

60-56 32 58 46

55-51 14 53 14

Σ 197 El valor de la media es:

68.58


El valor de la mediana es:

Agregando la columna para obtener la desviación estándar:

INTERVALO FRECUENCIA Mi fi (Mi – x;)^2 Fa

100-96 3 98 2595.95 197

95-91 7 93 4173.07 194

90-86 10 88 3769.91 187

85-81 12 83 2493.94 177

80-76 17 78 1507.32 165

75-71 20 73 390.06 148

70-66 28 68 9.54 128

65-61 54 63 1683.63 100

60-56 32 58 3584.51 46

55-51 14 53 3399.95 14

Σ 197 23607.87

El primer coeficiente de sesgo de Pearson es:

C.S =

C.S.

C.S =0.8831 Como se observa, se tiene un sesgo positivo, por lo tanto la curva se encuentra sesgada a la derecha.

COVARIANZA Y CORRELACIÓN LINEAL 185

COVARIANZA

Y

CORRELACIÓN LINEAL

Hasta el momento se han estudiado algunas técnicas estadísticas aplicables a una característica de un grupo de elementos que constituyen una muestra o población. Como ejemplo el promedio de edades de los habitantes de una región, el ingreso familiar, nivel de escolaridad de los habitantes de Toluca, etc. Sin embargo, se puede presentar el caso en el cual no sólo se estudió una sola característica de los elementos de la población, sino dos o más.

Al realizar una investigación estadística, resulta que en muchas

ocasiones se obtienen varias características de un solo elemento de la población o muestra. También en ocasiones se hacen consultas en varias tablas previamente elaboradas y en ellas se relacionan algunas características de un mismo elemento, el ejemplo más común es aquél en el cual casi todas las personas han consultado tablas que relacionan el peso y la estatura según el sexo, y de esta forma tratar de ajustarse mediante alguna dieta o deporte al valor o rango deseado. En este ejemplo se están analizando tres características que son: el peso, la estatura y el sexo.

Así en estadística se pueden obtener resultados para una, dos, tres,

cuatro o más características de un mismo elemento. En esta unidad se presenta el análisis de algunas técnicas estadísticas que se utilizan al estudiar dos características de un mismo elemento de la población o muestra.


5.1 DATOS BIVARIADOS

Al conjunto de valores asignados a dos variables distintas obtenidas del mismo elemento de una población o muestra, se les denomina datos bivariados.

Para una muestra o población formada por n elementos, las dos variables se presentan mediante un conjunto de pares ordenados de la forma.

Por ejemplo si la muestraestá formada por n personas, el conjunto de valores x1, x2, x3,…….., xn se pueden asociar a diferentes escolaridades de las n personas y1,y2,y3,…….., yn a las edades correspondientes de las mismas n personas. Más aun el par ordenado (x4, y4) representa la escolaridad y edad de la cuarta persona.

A continuación se muestran algunos ejemplos de datos bivariados, es

decir, el estudio de dos características del mismo elemento de una población o muestra.

1. La relación de edad y presiónsanguínea de personas. 2. Peso y estatura de varias personas. 3. Frecuencia de fumar tabaco y afecciones pulmonares. 4. Modelo de automóviles y su precio. 5. Cociente intelectual y aprovechamiento de estudiantes. 6. Publicidad y venta de algunos artículos. 7. Tasa de criminalidad y desempleo para las ciudades más grandes del país. 8. Lluvia y asistencia a los partidos de futbol de los potros de la UAEM, los

viernes en el estadio de C.U. 9. Escolaridad e ingreso mensual de los jefes de familia. 10. Dureza del acero y su resistencia a la deformación en varias pruebas. 11. Retraso y tiempo empleado en trasladarse a la preparatoria por los

estudiantes. 12. Densidad y contenido de hierro en minerales. 13. Número de revoluciones por minuto y potencia de motores diésel. 14. Número de cilindros de un motor y su consumo de magna sin. 15. Peso de un bebé al nacer y días de embarazo de la madre. 16. Edad y agudeza visual de las personas. Etc.

Como se puede observar existe un gran número de casos en los cuales se tiene un conjunto de datos bivariados- Para todos los casos a la primer característica se le asigna la variable x y la segunda característica la variable y.


5.2 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN Un diagrama de dispersión, es la representación gráfica de todos los pares ordenados que forman los datos bivariados en un sistema coordenado rectangular. Ejemplo 1

En la siguiente tabla se muestra el número de fallas y la calificación obtenida por 15 estudiantes de un plantel de escuela preparatoria. Estudiante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 No. de faltas X 5 11 5 9 8 10 6 1 3 0 4 7 7 9 1 Calificación Y 8 6 7.5 8 8.5 5 8 10 9 9.5 8 6.5 7.5 6 9 Para el cual se constituye su diagrama de dispersión


5.1 CENTRO DE GRAVEDAD O CENTROIDE

El centro de gravedad o centroide, es el punto de equilibrio de un conjunto de datos en un diagrama de dispersión, sus coordenadas son: ( xD, yD), donde:

xD Es la medida aritméEca del conjunto de los primeros elementos de los

pares ordenados de los datos bivariados. Ejemplo 1 Determine el centro de gravedad del siguiente conjunto de datos.

X 82 74 95 86 75 95 90 85 92 84 86 82 83 Y 11 5 80 17 6 50 26 15 30 11 14 11 11 La media de los primeros elementos es:

xD = 85.307 La media de los segundos elementos es:

yD = 22.076


El centro de gravedad tiene coordenadas (85.307, 22.076), el cual se localiza en el diagrama de dispersión, se encuentra marcado como CG.

b) x 5 4 3 9 6 7 2 1 4 6 8 3 4 y 5 -2 4 6 2.1 4.3 -6 1.5 3.2 7.8 4.6 -1.5 2.3 La media de los primeros y segundos elementos es:

xD = 4.769 yD = 2.407


El centro de gravedad, tiene coordenadas ( 4.769, 2.407 ), en el cual se localiza en su diagrama de dispersión, se encuentra marcado como CG.

CG


5.4 COVARIANZA En medida de dispersión conjunta de las dos variables de un conjunto de datos bivariados. Indica si existe o no dependencia entre las dos variables.

Su valor se obtiene con la expresión.

Su valor puede resultar positivo, negativo o cero, debido a que se obtiene

de un producto de dos diferencias. a) La varianza resulta positiva, cuando los dos factores son del mismo

signo, lo cual significa, que mientras el valor de una variable aumenta, el otro también aumenta. Por ejemplo: a mayor edad de una persona, es mayor su grado de conocimientos, representa una dependencia positiva entre variables.

b) La covarianza en negativa, cuando uno de sus factores es negativo, lo

cual significa, que mientras el valor de una variable aumenta, el otro disminuye. Por ejemplo: a mayor uso del vehículo es menor su valor, representa una dependencia negativa entre variables.

c) La covarianza es igual a cero, cuando uno de los factores resulta cero, lo

cual significa que no existe ninguna relación entre las variables. Enseguida se muestran algunos diagramas de dispersión en los cuales se

indica el signo de la covarianza, en ellos se puede apreciar la relación que existe entre las variables.


Ejemplo 1 Obtenga la covarianza para los siguientes conjuntos de datos.

a) x y 2 10 6 3 4 7 5 7 7 4 5 6 9 2 13 1 8 5 3 6 5 8 2 9 La covarianza se obtiene con la expresión:

Primero se determina las dos medias aritméEcas, esto es xD H yD, se van agregando las columnas , , el producto de estas y finalmente se obtiene el valor de la covarianza. Calculando el valor de las medias es:

xD = 5.75 yD = 5.66


Agregando la columna (xi - xD) y obteniendo sus valores correspondientes para cada elemento: x y (xi - xD) 2 10 -3-75 6 3 0.25 4 7 -1.75 5 7 -0.75 7 4 -1.25 5 6 -0.75 9 2 3.25 13 1 7.25 8 5 2.25 3 6 -2.75 5 8 -0.75 2 9 -3.75 SUMAS 69 68 Agregando la columna (yi - yD) y obteniendo sus valores para cada elemento: x y (xi - xD) (yi - yD) 2 10 -3-75 4.334 6 3 0.25 -2.666 4 7 -1.75 1.334 5 7 -0.75 1.334 7 4 -1.25 -1.666 5 6 -0.75 0.334 9 2 3.25 -3.666 13 1 7.25 -4.666 8 5 2.25 -0.666 3 6 -2.75 0.334 5 8 -0.75 2.334 2 9 -3.75 3.334 SUMAS 69 68


Agregando la columna (xi - xD)(yi - yD), obteniendo sus valores para cada elemento y la suma de esta última columna: x y (xi - xD) (yi - yD) (xi - xD)(yi - yD) 2 10 -3-75 4.334 -16.252 6 3 0.25 -2.666 -0.666 4 7 -1.75 1.334 -2.334 5 7 -0.75 1.334 -1.000 7 4 -1.25 -1.666 -2.085 5 6 -0.75 0.334 -0.250 9 2 3.25 -3.666 -11.914 13 1 7.25 -4.666 -33.826 8 5 2.25 -0.666 -1.498 3 6 -2.75 0.334 -0.918 5 8 -0.75 2.334 -1.750 2 9 -3.75 3.334 -12.502 SUMAS 69 68 Finalmente el valor de la covarianza es:

= 1/12 (-80.825) = -6.735 Interpretación: Como la covarianza resulto negativa, entonces cuando (x) crece (y) decrece, esto es, existe una dependencia negativa entre las dos variables.


b)

x Y

2 120

15 1500

12 1000

6 400

8 500

14 1600

9 1000

2 125

5 320

La covarianza se obtiene con la expresión:

Calculando el valor de las medias:

xD = 8.111 yD = 729.444 Se construye la tabla y se determina el valor de la covarianza

x Y (xi- x�) (yi- y�) (xi - x�)(yi- y�)

2 120 -6.111 -609.444 3724.383

15 1500 6.889 770.556 5308.272

12 1000 3.889 270.556 1052.160

6 400 -2.111 -329.444 695.494

8 500 -0.111 -229.444 25.494

14 1600 5.889 870.556 5126.605

9 1000 0.889 270.556 240.494

2 125 -6.111 -604.444 3693.827 5 320 -3.111 -409.444 1273.827

73 6565

21140.556

SUMAS


El valor de la covarianza es:

= 1/9 (21140.556) = -2348.951. Interpretación: Como la covarianza resulto positiva, significa que existe una dependencia positiva entre las dos variables, es decir, cuando (x) crece, (y) también crece. El estudio de la covarianza, tiene la desventaja de que sus unidades carecen de sentido, ya que se obtienen como el producto de las unidades en que

están expresadas las variables, por ejemplo, si las unidades de x son Kg y las de y son litros, las unidades de la covarianza resultan kg por litro lo cual no tiene ningún sentido práctico. Por esta razón es necesario incluir otra medida de dispersión que resuelve este problema, dicha medida se obtiene dividiendo la covarianza entre el producto de las desviaciones estándar de las dos variables. A esta medida de dispersión se le conoce como coeficiente de correlación.


5.5 CORRELACIÓN LINEAL Indica que tan estrecha es la relación entre dos variables. Para analizar la correlación que existe entre dos variables se utiliza el coeficiente de correlación.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

Es el número adimensional (no tiene unidades) que oscila entre -1 y 1; se obtiene con la expresión.

Dónde: Cov (x, y) es la covarianza del conjunto de datos. σx es la desviación estándar de x σy es la desviación estándar de y

El coeficiente de correlación r, al igual que la covarianza, indica la posible correlación lineal que existe entre las variables, además que tan estrecha es esa dependencia o relación; como se muestra en seguida: a) Si r es positivo, indica que la variable y aumenta al aumentar la variable x,

es decir se tiene una correlación positiva.

b) Si r es negativo, indica que la variable y disminuye o decrece al aumentar la variable x, es decir se tiene una correlación negativa.

c) Si r es igual a cero, no existe ninguna relación entre las variables. d) Si r = 1 ór = -1 existe una dependencia lineal entre las dos variables, es decir

en el diagrama de dispersión todos los puntos se encuentran sobre una línea recta.

e) Si r esta próximo a cero se tiene una correlación débil. f) Si r esta próxima a 1 ó -1 se tiene una correlación fuerte.


Lo anterior ejemplifica los siguientes diagramas de dispersión.

Se muestra también en la recta numérica el valor obtenido para r.

Correlación Correlación Fuerte Fuerte

Correlación débil

-1 0 1

No hay correlación

Correlación lineal

r=1 r>0

r<0 r=0

r=-1


Ejemplo 1

Obtenga el coeficiente de correlación para el siguiente conjunto de datos, indique la relación que existe entre las variables.

a)

x y

2 10

6 3

4 7

5 7

7 4

5 6

9 2

13 1

8 5

3 6

5 8

2 9


El coeficiente de correlación se obtiene mediante:

Calculando el valor de las medias:

xD = 5.75 yD = 5.666 Agregando las columnas para obtener la covarianza, la desviación estándar de x y la desviación estándar de y. El valor de la covarianza es:

= 1/12 (-85.000) = -7.083

x y (xi- x�) (yi- y�) (xi - x�)(yi- y�) (xi- x�)2 (yi- y�)

2

2 10 -3.750 4.333 -16.250 14.063 18.778

6 3 0.250 -2.667 -0.667 0.063 7.111

4 7 -1.750 1.333 -2.333 3.063 1.778

5 7 -0.750 1.333 -1.000 0.563 1.778

7 4 1.250 -1.667 -2.083 1.563 2.778

5 6 -0.750 0.333 -0.250 0.563 0.111

9 2 3.250 -3.667 -11.917 10.563 13.444

13 1 7.250 -4.667 -33.833 52.563 21.778

8 5 2.250 -0.667 -1.500 5.063 0.444

3 6 -2.750 0.333 -0.917 7.563 0.111

5 8 -0.750 2.333 -1.750 0.563 5.444

2 9 -3.750 3.333 -12.500 14.063 11.111

69 68

-85.000 110.250 84.667


El valor de la desviación estándar de x es:

σx = 3.031 El valor de la desviación estándar de y es:

σy = 2.656 El coeficiente de correlación es:

r = -0.88 Interpretación: Como el coeficiente de correlación está muy próximo a -1, existe una marcada dependencia lineal entre las variables.

RECTA DE REGRESIÓN 213

6.1 RECTA DE REGRESIÓN

Es un método que se emplea para estimar o predecir el valor de una variable en función de valores dados a la otra variable, teniendo como antecedente el compromiso para un conjunto de datos del mismo tipo. El proceso consiste en ajustar el conjunto de puntos a una curva llamada curva de ajuste, como se muestra en la gráfica.

El diagrama de dispersión, sirve de base para conocer el tipo de curva que mejor se ajusta a los datos, estas curvas se llaman curvas de ajuste, Si la curva de mejor ajuste es una recta, se llama recta de ajuste. Así pues, una recta de ajuste, es una línea que hace mínima la suma de las desviaciones de cada punto con respecto a la línea, esto es:

X

Y


Donde d1, d2, d3, …, dn son las desviaciones de cada punto con respecto a la línea y la suma d1 + d2 + d3 + … + dn resulta mínima. Debido a lo anterior, a la recta de ajuste, también se le conoce como recta de mínimos cuadrados. La recta de mínimos cuadrados pasa por el centro de gravedad en el diagrama de dispersión. En este material solo se considera el caso de ajustar un conjunto de puntos a una línea recta. Al igual que cualquier recta como las estudiadas previamente en el curso de Gerencia Analítica una recta de regresión se puede describir mediante una ecuación de la forma. � � ��

Que se llama ecuación de regresión o recta de mínimos cuadrados donde los valores de las constantes m y b se obtienen mediante:

� ��

��

� � ��

��

m representa la pendiente de la recta b es el punto donde la recta intersecta al eje y, Como se puede ver, para obtener el valor de (b) en un conjunto de datos, resulta muy laborioso, existe otra forma para obtener su valor que es la siguiente: La recta de regresión pasa por el centro de gravedad, �� ),por lo cual este punto satisface la ecuación de la recta. ��

Por lo que una vez conocidos x� , y� � y mmmmse despeja bbbb en la ecuación anterior, lo cual resulta:

� � ��


En el siguiente diagrama de dispersión, se ha trazado la recta de regresión pasa por el punto (x:, y:) e intersecta al eje y en b.

Para estimar el valor de y se sustituye el valor de x en la ecuación de la recta de regresión y se obtiene el valor de y. Este valor resulta una aproximación del valor real, dependiente del valor del coeficiente de correlación. Resulta exacto solo si r = ± 1 y es más inexacto, si el valor de r está cercano a cero. Al proceso de estimar valores de y se llama:

a) Interpolación, si el valor correspondiente de x esta entre los límites inferior y superior de la muestra

b) Extrapolación si el valor correspondiente de x esta fuera de los límites inferior

y superior de la muestra.


Ejemplo 1

Obtener la ecuación de la recta de regresión para el siguiente conjunto de datos y estime un valor para x = 0, 5.5 y 10

x y

2 8

8 10

3 7

1 5

4 9

5 8

6 9

3 7

2 6

4 8

8 10

5 9

Primero se determinan los valores de x: y de y: , esto es. x: = 4.25 y: = 8 Se determina la Cov(x, y) y la Var(x), para lo cual se construye la tabla.

X y ��1 - ��) ��1 - ��) ��i - ��)��1 - ��) ��1 - ��)

2

2 8 -2.25 0 0 5.0625

8 10 3.75 2 7.5 14.0625

3 7 -1.25 -1 1.25 1.5625

1 5 -3.25 -3 9.75 10.5625

4 9 -0.25 1 -0.25 0.0625

5 8 0.75 0 0 0.5625

6 9 1.75 1 1.75 3.0625

3 7 -1.25 -1 1.25 1.5625

2 6 -2.25 -2 4.5 5.0625

4 8 -0.25 0 0 0.0625

8 10 3.75 2 7.5 14.0625

5 9 0.75 1 0.75 0.5625

Σ 51 96 34.00 56.25


La última columna se agregó para determinar la varianza de x , esto es:

��

��! � ��"

��

"#$�%#�

�� &�$'( La covarianza resulta

)*��+ ��

��! � ��! � ��

)*��+ ��

",&�

)*��+ �� %�',,, Ahora se obtiene el valor de m esto es:

� ��

��

� �"�-...

/�0-12

� � 0.6044 El valor de b

� � �� ' � $3&&&�%#� � � #�&,44

Sustituyendo los valores anteriores, en la ecuación.

� � �� Se obtiene la ecuación de la recta de regresión para el conjunto de datos dado: la cual es � � 3�$3&&� �5.4311

En seguía se muestra la gráfica de la recta de regresión lineal, la cual se ha trazado en el diagrama de dispersión. Observe que esta recta pasa por el centro de gravedad.

b) Las estimaciones para x = 0, 5.5 y 10 se obtiene sustituyendo estos ecuación de la recta regresión. Para x = 0

y = 0.6044 x + 5.4311

y = 0.6044 (0) + 5.4311

y = 5.4311 Para x = 5.5

y = 0.6044 x + 5.4311

y = 0.6044 (5.5) + 5.4311

y = 8.7553 Para x = 10

y = 0.6044 x + 5.4311

y = 0.6044 (10) + 5.4311

y = 11.4751

Y

RECTA DE REGRESIÓN

se muestra la gráfica de la recta de regresión lineal, la cual se ha trazado en el diagrama de dispersión. Observe que esta recta pasa por el centro de

b) Las estimaciones para x = 0, 5.5 y 10 se obtiene sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta regresión.

= 0.6044 x + 5.4311

= 0.6044 (0) + 5.4311

= 5.4311

= 0.6044 x + 5.4311

= 0.6044 (5.5) + 5.4311

= 8.7553

= 0.6044 x + 5.4311

= 0.6044 (10) + 5.4311

= 11.4751

X


se muestra la gráfica de la recta de regresión lineal, la cual se ha trazado en el diagrama de dispersión. Observe que esta recta pasa por el centro de

valores en la


6.2 APLICACIÓN DE LA RECTA DE REGRESIÓN A SERIES DE

TIEMPO Otra aplicación del problema estudiado con anterioridad, que corresponde a la REGRESIÓN, es cuando en una variable se maneja un periodo de tiempo, por importancia este tema se estudia aparte llamándosele series de tempo, el método que se aplica para su análisis es el estudiado para la regresión. Una serie de tiempo, es un conjunto de datos bivariados ( x, y) en los cuales los primeros elementos ( x ) corresponden a la variable tiempo, la cual se expresa en periodos que pueden ser: décadas, años, semestres, meses, semanas, días, horas, etc. Al resolver un problema de series de tiempo, a la recta de regresión se le conoce también como recta de tendencia, aquí el objetivo de realizar estimaciones es para realizar estimaciones o pronósticos de lo que puede suceder a futuro en base a datos presentes y pasados conocidos. Ejemplo: En la siguiente tabla se indica el número de automóviles que fueron fabricados por una compañía automotriz durante los últimos años.

AÑO PRODUCCIÓN

1987 1000

1988 950

1989 1400

1990 1350

1991 1500

1992 1975

1993 1950

1994 2010 Obtenga la ecuación de la recta de ajuste, su gráfica y el número de automóviles que se espera que la industria fabrique en los años 2000 y 2005.

Primero se determinan los valores de x: y de y: , esto es. x: = 1990.5 y: = 1517


Se determina la Cov ( x, y ) y la Var (x), para lo cual se construye la siguiente tabla.

x y ��1 - ��) ��1 - ��) ��i - ��)��1 - ��) ��1 - ��)2

1987 1000 -3.5 -517 1809.5 12.25

1988 950 -2.5 -567 1417.5 6.25

1989 1400 -1.5 -117 175.5 2.25

1990 1350 -0.5 -167 83.5 0.25

1991 1500 0.5 -17 -8.5 0.25

1992 1976 1.5 459 688.5 2.25

1993 1950 2.5 433 1082.5 6.25

1994 2010 3.5 493 1725.5 12.25

Σ 15924 12136 6974.0 42.00

La última columna se agregó para determinar la varianza de x , esto es:

��

��! � ��"

��

-&%�

�� #�%# La covarianza resulta

)*��+ ��

��! � ��! � ��

)*��+ ��

-$5(&�

)*��+ �� '(4�(# Ahora se obtiene el valor de m esto es:

� ��

��

� �-1 �12

2�"2

� � 166.6476


El valor de b � � �� 4#4( � 4$$�3&($�4553�#� � � 6,%5333�45

Sustituyendo los valores anteriores, en la ecuación. � � �� Se obtiene la ecuación de la recta de ajuste para el conjunto de datos dado: la cual es � � 4$$�3&($� � -329000.79 La gráfica de ajuste es:

y = 166.0x - 32900R² = 0.910

-330000

-280000

-230000

-180000

-130000

-80000

-30000

20000

-1 499 999 1499 1999 2499


La producción esperada para el año 2000 es: y = 166.0476 x + 329000.79 y = 166.0476 (2000) + 329000.79 y =3094

Esto es, se espera que para el año 2000, se fabriquen 3094 automóviles.

La producción esperada para el año 2005 es: y = 166.0476 x + 329000.79 y = 166.0476 (2005) + 329000.79 y =3925 Esto es se espera que para el año 2005, se fabriquen 3925 automóviles.

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