Estadistica i (1)

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLGICO

2 Manual del Alumno

INSTITUTO SUPERIOR TECNOLGICO

NORBERT WIENER

Manual del Alumno

ASIGNATURA: Estadstica I

Lima-Per

Los hombres dudan muchas veces antes de dar el primer paso, porque piensan que no podrn alcanzar la meta que se han propuesto. Esta actitud es el principal obstculo que se opone a su progreso, y que cada uno de nosotros con un pequeo esfuerzo de voluntad puede vencer.

Mahatma Gandhi

ESTADISTICA I

ndice General

Pag N

1. Estadstica General ............................................................ 5

2. Estadstica Descriptiva....................................................... 7

3. Las Variables Estadsticas..................................................10

4. La Organizacin de los Datos.....................................11

5. Prctica Calificada..........................................................

6. Presentacin de los Datos...................................................24

7. Estadgrafos de Tendencia Central.................................... 25

8. Estadgrafos de Tendencia Central .................................. 29

9. Estadgrafos de Tendencia No Central...35

11 Estadgrafos de Dispersin.........41

12. Distribucin Bidimensional ............................................. .34

14. Regresin Lineal.................................................45

15. Regresin Lineal - Anlisis de Correlacin ...............49

16. Anlisis de Regresin Lineal .............................................65

17. Nmeros Indices ................................................................75

Problemas resueltos..... ...................................83

10. Problemas propuestos....90

SESION #1

CAPITULO I ESTADISTICA GENERAL

DEFINICION Y CLASIFICACION DE LA ESTADISITICA

ESTADISTICA:Es una ciencia aplicada a cualquier tema del saber humano y se encarga de recopilar, ordenar, clasificar y presentar una informacin llamada Muestra, con el fin de inferir acerca del comportamiento de una poblacin.

La Estadstica se clasifica en:

1. Estadstica Descriptiva; es la que se encarga de recopilar, ordenar, clasificar y presenta una informacin, llamada muestra aleatoria.

2. Estadstica Inferencial; es la parte de la Estadstica que se encarga de inferir sobre el comportamiento de una poblacin a partir de una muestra, bajo un margen de error o incertidumbre que es cuantificado por la teora de probabilidades.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES EN ESTADISTICA

POBLACION:Es un conjunto de observaciones que tienen una caracterstica en comn la cual se desea estudiar, la poblacin representa la totalidad de elementos de un determinado estudio y puede ser finita o infinita.

Ejemplos:

1. Habitantes de Lima (aptos para el sufragio).Poblacin

Infinita

2. Alumnos de WIENER (altura en mts.)

Poblacin Finita

Una poblacin si es infinita no se puede estudiar en forma completa; an si es finita es muy engorroso estudiarla en forma completa por que involucra prdida de tiempo, dinero, etc., por esta razn nos basamos en una muestra aleatoria.

MUESTRA

Es un subconjunto de la poblacin y para que la muestra sea representativa debe ser aleatoria o no sesgada.

Una muestra es aleatoria cuando cada elemento de la poblacin tiene la misma posibilidad de ser seleccionado en la muestra.

La demostraremos por: n= tamao de la muestra nmero total de observaciones en la muestra.

Ejemplos:

1. Encuesta a 900 personas de Lima aptos para el sufragio.

n = 900

2. Altura (mts) de 45 alumnos de WIENER

n = 45.

PARAMETRO

Nmero que representa a la poblacin. Este valor generalmente es estimado a partir de una muestra, porque para que sea calculado exactamente se requiere de la informacin completa de una poblacin lo cual es muy difcil (los procesos de estimacin de parmetros ser tema de estudio en Estadstica Inferencial).

ESTADIGRAFO

Llamado tambin estadstico o estimador. Nmero que representa a la muestra y que puede ser calculado teniendo la informacin de una muestra. Los Estadgrafos se dividen en:

1. Estadgrafos de Posicin o Tendencia Central: Son aquellos nmeros que tienden al centro de las observaciones.

2. Estadgrafos de Dispersin: Son aquellos nmeros que cuantifican la variabilidad de las observaciones de una muestra.

DATO:

Es la recopilacin o anotacin de cada caracterstica de las observaciones de una muestra.

Ejemplo:

Altura (mts) de n=5 alumnos de WIENER: 1.65, 1.59, 1.68, 1.63, 1.69.

SESION # 2

CAPITULO II ESTADISTICA DESCRIPTIVA

La Estadstica Descriptiva, se encarga de recopilar la informacin de una muestra aleatoria, esta informacin tiene que ser ordenada para una buena presentacin; Esta ordenacin se basa en las llamadas Tablas de Frecuencias y tambin en los Grficos Estadsticos.

RECOPILACION DE DATOS

Es el momento en el cual el investigador se pone en contacto con los objetos o elementos sometidos a estudio, con el propsito de obtener datos o respuestas de las variables consideradas; a partir de estos datos o respuestas se calculan los Estadgrafos o indicadores estadsticos.

FUENTES DE DATOS

La fuente de datos, es el lugar, la institucin, las personas o elementos donde estn o que poseen los datos que se necesitan para cada uno de las variables o aspectos de la investigacin o estudio.

En general, se puede disponer de cinco tipos de fuentes de datos:

1. Las Oficinas de Estadstica.- Como instituciones responsables de recopilar, procesar y publicar las estadsticas sociales o nacionales.

2. Archivos o Registros Administrativos.- Como el Registro Civil, Electoral, Escalafn o Personal, Padrn de Contribuyentes, etc.. Estos registros no tienen fines Estadsticos, su funcin es de tipo legal y administrativo, sin embargo pueden utilizarse como fuentes de datos estadsticos.

3. Documentos.- Boletines, e informes estadsticos que son las publicaciones o estudios que preparan los organismos especializados.

4. Encuestas y Censos.- Son fuentes directas y especiales, que se construyen en un momento determinado, recopilando datos de una parte o de la totalidad de una poblacin.

5. Los Elementos o Sujetos.- Son aquellos que estn sometidos a un estudio, pueden ser personas, instituciones, animales u objetos.

TECNICAS DE RECOPILACION O RECOLECCION DE DATOS

Es el conjunto de mtodos y procedimientos que se llevan a cabo para recolectar los datos.

Las ms frecuentes tcnicas utilizadas son:

1. La Observacin.- Es la accin de mirar de mirar en forma sistemtica y profunda, con el inters de descubrir la importancia de aquello que se observa.

2. La Tcnica Documental.- Es aquella que busca datos a travs de documentos, fuentes escritas o grficas de todo tipo. Ejm.: Libros, Informes, Autobiografas, fotografas, planos, videos, etc.

3. La Entrevista.- Es la interrelacin o dilogo entre personas, donde una de ellas se llama Entrevistador o Encuestador quien solicita a otra persona llamada Entrevistado o Encuestado le proporcione algunos datos o informacin.

4. El Cuestionario.- Es un instrumento constituido por un conjunto de preguntas sistemticamente elaboradas, que se formulan al Entrevistado o Encuestado, con el propsito de obtener los datos de las variables consideradas en el estudio. El Cuestionario se desarrolla en el Formulario o Cdula, en donde las preguntas estn debidamente organizadas.

5. La Encuesta.- Es la tcnica por la cual se obtiene la informacin tal como se necesita, preparada exprofesamente y con objetivo estadstico. Permite observar y registrar caractersticas en las unidades de anlisis de una determinada poblacin o muestra, delimitada en el tiempo y en el espacio. El Entrevistado da respuesta a las preguntas en el formulario o Cdula..

SESION # 3

CAPITULO III LAS VARIABLES ESTADISTICAS

LA VARIABLE:

Es la representacin simblica de los datos.

Ejemplo:

Sea X: altura de 5 alumnos de WIENER Donde: Xi, i= 1 a 5

X1= 1.65 mts., X4 = 1.63 mts.

Las variables se clasifican en:

I. Variable Cualitativa: Es aquella variable que representa a datos que indican cualidades, caractersticas, propiedades, etc., no son numricas (no medibles).

Ejemplos:

X = Control de calidad de productos de una industria. Bueno, Malo, Regular, Muy Bueno.

Y =Estado Civil de una muestra de 200 personas. Soltero, Casado, Viudo, Divorciado.

II. Variable Cuantitativa: Es aquella variable que representa a datos que indican valores numricos (son medibles), y se clasifican en:

Variable Discreta: Es aquella que representa a datos numricos que no se pueden fraccionar, sirven para contar o enumerar (pertenecen a los reales).

Variable Continua: Es aquella variable que representa a datos que pueden ser fraccionados (pertenecen a los reales).

Ejemplo: El Peso (Kg.) de 6 personas.

65, 56, 59, 70, 63.

La variable continua es la que ms utilizamos, especialmente para los estudios correspondientes en Ingeniera (Volumen, Temperatura, Pesos, Mediciones, etc.).

SESION # 4

CAPITULO IV LA ORGANIZACIN DE LOS DATOS

Distribucin o Tablas de Frecuencias: Es la condensacin, simplificacin, ordenacin, del conjunto de observaciones que forman la muestra; la caracterstica principal es no perder ningn dato de la muestra.

Tambin se puede decir que la Distribucin de Frecuencia es la representacin estructurada, en forma de tabla, de toda la informacin que se ha recogido sobre la variable que se estudia.

Categoras o Clases.- Son los datos que estn agrupados por sus caractersticas comunes.

Frecuencia de Clases.- Es el nmero o cantidad de datos que componen una Categora o Clase. Las Frecuencias se clasifican en :

1. Frecuencia Absoluta (Simple).- Representa a la cantidad de datos de cada Clase.

2. Frecuencia Absoluta Acumulada.- Representa a la suma en forma acumulativa de Clase en Clase de sus respectivas Frecuencias Absolutas.

3. Frecuencia Relativa (Simple) .- Es el % que representa a la cantidad de datos de una Clase con respecto al total de datos.

4. Frecuencia Relativa Acumulada.- Representa a la suma en forma acumulativa de Clase en Clase de sus respectivas Frecuencias Relativas.

Veamos un ejemplo (4.1) :

Medimos la altura de los nios de una clase y obtenemos los siguientes resultados (cm):

AlumnoEstaturaAlumnoEstaturaAlumnoEstatura

xxXxxx

Alumno 11,25Alumno 111,23Alumno 211,21










Si presentamos esta informacin estructurada obtendramos la siguiente Tabla de Frecuencias:

VariableFrecuencias AbsolutasFrecuencias Relativas

(Valor)SimpleAcumuladaSimpleAcumulada

XXXXx

1,20113,3%3,3%

1,214513,3%16,6%

1,224913,3%30,0%

1,232116,6%36,6%

1,241123,3%40,0%

1,252146,6%46,6%

1,2631710,0%56,6%

1,2732010,0%66,6%

1,2842413,3%80,0%

1,2932710,0%90,0%

1,3033010,0%100,0%

Si los valores que toma la variable son muy diversos y cada uno de ellos se repite muy pocas veces, entonces conviene agruparlos por intervalos, ya que de otra manera obtendramos una tabla de frecuencia muy extensa que aportara muy poco valor a efectos de sntesis.Segn los tipos de variables y formas de la tabla de frecuencias, tendremos las siguientes Tablas de frecuencias

1ER. CASO: Tablas de Frecuencias para la variable Cualitativa:

En este caso como la variable cualitativa indica cualidades, propiedades, etc., y no son medibles; entonces se agrupa de acuerdo a cada categora que se diferencia en la variable cualitativa. (Sin un orden establecido).

Ejemplo: (4.2).

Se tiene la siguiente informacin que representa el Estado Civil de 50 personas encuestadas (edad; 20-30 aos).

Estado CivilNo. de personas%

Soltero2550%

Casado1020%

Viudo12%

Divorciado612%

Conviviente816%

Los grficos que se presentan en este caso son los siguientes:

1). Diagrama de barra:

2. Grfico por Sectores Circulares.

2DO. CASO: Tabla de frecuencia para la variable discreta y n < 30 :

En este caso la variable es discreta y la muestra pequea, adems hay que considerar que no haya muchos datos diferentes. La Tabla de frecuencias es por CLASES, donde cada clase representa el valor numrico de la variable.

La tdf es de la sgte. forma general:

Clase XiFiFihiHi

x1f1F1h1H1

x2f2F2h2H2

.....

.....

.....

XmFmFm=nhm.Hm=1

Donde:

n = numero de clases o intervalos de clase.

fi = frecuencia absoluta: es el nmero de observaciones que hay en cada clase o intervalo de clase. Adems:

fi+f2+f3+. ...+ fm =n

Fi = frecuencia absoluta acumulada: es el numero de observaciones acumuladas hasta la clase i, es decir:

F1=f1

F2=f1+f2

.

.

Fm=f1+f2+f3...+fm =

hi = frecuencia relativa: representa la relacin que existe entre la frecuencia absoluta y el nmero total de observaciones:

Generalmente la frecuencia relativa se expresa en forma porcentual: hi % = 100%.

Hi = frecuencia relativa acumulada: frecuencias relativas acumuladas hasta la clase i.

Hi=h1

H2=h1+h2

.

.

Hm=h1+h2+....hm=1

Tambin :

Se expresa en forma porcentual. Hi x 100%

Ejemplo:

Los siguientes datos representan el numero de defectos en 15 diskettes: 5, 10, 5, 11,6,6,3,3,3,5,5,5,10,6,3.

Agrupar en tabla de frecuencias:

Solucin:

Como la muestra es pequea y la variable representa a datos discretos, entonces agrupamos en clases:

No de Defectos

XiNo. diskettes

fiFihi%Hi%

34 426.723.7

55 933.360.0

631220.080.0

1021413.393.3

11115 6.7 100.0

Los grficos que se presentan en este 2do. Caso son:

1. Histograma de frecuencias: En el sistema de coordenadas rectangulares comparamos Xi vs. fi (o hi%).

3ER. CASO: Tabla de frecuencias por intervalos de clase:

En este caso generalmente la variable es continua, tambin puede ser usado para la variable discreta siendo la muestra grande (generalmente n >= 30).

La tdf tiene la siguiente forma:

Intervalos

(Li - Ls)XiFiFihiHi

[Xo - X1>X1f1F1h1H1

[X1 - X2>X2f2F2h2H2

......

......

......

......

......

[Xm-1- Xm]XmFmFmhmHm

Donde:

X i= marca de clase o punto medio de cada intervalo de clase, se obtiene mediante la semisuma de los limites de cada intervalo.

X i =Ls + Li

2

fi , Fi, hi, Hi ; representan las frecuencias definidas en el caso anterior.

Procedimiento para construir una tdf por intervalos de clase:

1er. Paso:

Calcular el nmero de intervalos de clase (K):

Para calcular el valor de K, tenemos dos criterios:

a) Criterio personal; de acuerdo a la experiencia del investigador se puede asumir un valor de m para un tamao de muestra determinado.

b) Mediante la Regla de Sturges:K =1 +3.3 log. n

2do. Paso:

Calcular la amplitud o tamao del intervalo de clase:(A)

Para calcular la amplitud del intervalo (A) nos basaremos en la siguiente expresin:

A = Rango de la muestra

K

donde: Rango de la muestra = Valor Mayor Valor Menor

Con este procedimiento calculamos una amplitud que ser constante para cada intervalo, y lo mismo ocurrir entre cada marca de clase.

Los intervalos sern de la forma: [Li Ls], pudiendo ser considerado cerrado en el ltimo intervalo.

La amplitud A es preferible que sea redondeada considerando la misma cantidad de decimales que tengan los dato de la muestra.

3er. Paso: TabulacionesTabular y presentar los datos agrupados en la tdf.,

Ejemplos: (2.3)

Los siguientes datos representan el peso (gr.) de 35 sobrecitos de unas sustancias: 68, 73, 61, 46, 49, 96, 68, 90, 97, 53, 75, 93, 72, 60, 71, 75, 74, 75, 71, 77, 83, 68, 85, 76, 88, 59, 78, 62, 55, 48, 43, 47, 60, 84, 80. Agrupar en tdf.

Solucin:

1) Calculamos K = 1 +3,3 Log 35 = 6.095 = 6

2) Calcula la amplitud del intervalo A:

3) Tabular en tdf:

Peso (grs)XifiFihi%Hi%

[43 52>47.55514.314.3

[52 61>56.551014.328.6

[61 70>65.551514.342.9

[70 79>74.5112631.474.3

[79 88>83.543011.485.7

[88 97]92.553514.3100.0

Se observa por ejemplo que: 11 sobrecitos tienen un peso comprendido en el intervalo [70-79> grs. y representan el 31.4% del total.

Tambin vemos que 15 sobrecitos pesan menos de 70 grs. y representan el 42.9% del total.

SESION # 5

PRIMERA PRACTICA CALIFICADA

SESION # 6

PRESENTACION DE DATOSLOS GRAFICOS

Los grficos son representaciones en forma de figuras geomtricas, de superficie o volumen con el objeto de ilustrar los cambios o dimensin de una variable, para comparar visualmente dos o ms variables similares o relacionadas. Para una rpida comprensin de situaciones o variaciones en cantidades, es muy til traducir los nmeros en grficos o imgenes. Por su naturaleza, un grfico no toma en cuenta los detalles y no tiene la misma precisin que una tabla estadstica.

Veamos algunos tipos de Grficos :

1. Histograma de frecuencias: Representa un conjunto de rectngulos levantados desde cada intervalo de clase hasta la frecuencia correspondiente (absoluta relativa).

2. Polgono de frecuencias: Consiste en unir los puntos medios marcas de clase levantadas hasta cada frecuencia correspondientes, generalmente para su construccin nos podemos basar del Histograma de frecuencias.

Propiedad: Area del Histograma = Area del Polgono de frecuencia.

3. Ojiva: Se construye basndose en un diagrama escalonado, es decir considerando las frecuencias acumuladas (absoluta relativa), y uniendo los lmites de cada intervalo.

HISTOGRAMA Y POLIGONO DE FRECUENCIAS

SESION # 7

LOS ESTADIGRAFOS DE TENDENCIA CENTRALSe llaman as, porque tienden a ubicar el centro de las observaciones; Estos estadgrafos de posicin son: media, mediana, moda, media geomtrica, media armnica, etc. Estudiaremos los ms importantes:

1. La Media AritmticaLlamada tambin promedio, es el estadigrafo de posicin ms simple y fcil de calcular, por eso es el ms comn.

Se calcula teniendo en cuenta los siguientes casos:

1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencias:

Sean X1, X2............, Xn variables que representan los n datos de una muestra, la media aritmtica se calcula:

2do. Caso: Datos Agrupados en tabla de frecuencias:

En este caso se calcula mediante la siguiente frmula:

.

O tambin:

hi = frec. Relativa

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMETICA

1. La media de los datos todos iguales a una misma constante es igual a la constante:

Sea K = cte. y cada Xi = k -----------------

2. Si a cada dato e le suma o resta una constante k, la media queda sumada o restada por dicha constante:

Si Xi = Xi + K -------------------- X(Y) = X(X+k) = X (X) + k

3. Si a cada dato se le multiplica o divide por una constante k, la media queda multiplicada o dividida por dicha constante.

4. S Yi = Xi* k ------------------------- X(Y) = X(X* k) = X (X) * k

NOTA. Todas las propiedades cumplen para datos agrupados y no agrupados

5. La suma de las desviaciones respecto a la mediaes igual a cero.

SESION # 8

ESTADIGRAFOS DE TENDENCIA CENTRAL2. Media Geomtrica: se eleva cada valor al nmero de veces que se ha repetido. Se multiplican todo estos resultados y al producto final se le calcula la raz "n" (siendo "n" el total de datos de la muestra).

Segn el tipo de datos que se analice ser ms apropiado utilizar la media aritmtica o la media geomtrica.

La media geomtrica se suele utilizar en series de datos como tipos de inters anuales, inflacin, etc., donde el valor de cada ao tiene un efecto multiplicador sobre el de los aos anteriores. En todo caso, la media aritmtica es la medida de posicin central ms utilizada.

Lo ms positivo de la media es que en su clculo se utilizan todos los valores de la serie, por lo que no se pierde ninguna informacin.

Sin embargo, presenta el problema de que su valor (tanto en el caso de la media aritmtica como geomtrica) se puede ver muy influido por valores extremos, que se aparten en exceso del resto de la serie. Estos valores anmalos podran condicionar en gran medida el valor de la media, perdiendo sta representatividad.

3. La Mediana (Me) :

Es aquel estadgrafo de posicin que divide en dos partes iguales al conjunto de observaciones; es decir la mediana representa el valor central de una distribucin de datos ordenados en forma creciente o decreciente.

1er. Caso: Datos No agrupados en TDF:

Primero se ordena los datos en forma creciente o decreciente y luego se tiene en cuenta s:

a) n es impar. La mediana es el valor central.

Ejemplo: Calcular la Me de los siguientes valores:

32, 34, 31, 42, 36, 41, 32, 45, 37, n=9

Ordenando: 31, 32, 32, 34, 34, 36, 37, 41, 42, 45.

Observamos el valor central:

Me=36 (representa el 5to. dato)

b) n es par.La mediana es igual al promedio o la semisuma de los valores centrales.

Ejemplo: la Me de 12,21,16,18,20,19,16,15,16,17.

Ordenando: 12,15,16,16,16,17,18,19,20,21,

2do. Caso: Datos Agrupados en TD:

En este caso la Se me calcula mediante la siguiente frmula:

Donde:

Li=limite inferior de la clase mediana.

Ame:=tamao del intervalo de la clase mediana.

Fme-1=Frec. Abs. Acumulada anterior a la clase mediana.

fme=Frecuencia absoluta de la clase mediana.

Clase Mediana: Es aquel intervalo que contiene el valor que ocupa la posicin media, es decir contiene a la mediana. Se calcula mediante:

El primer valor Fi mayor o igual que n/24. LA MODA (Mo)

Representa al valor que ms se repite en un conjunto de observaciones:

Si la distribucin de frecuencias tiene un solo valor mximo, entonces: UNIMODAL.

Si la distribucin presenta ms de un valor mximo: , entonces: POLIMODAL.

Si no hay algn valor que se repita con ms frecuencia: DISTRIBUCION UNIFORME

1er. Caso: Datos no agrupadas

Sealar el valor que ms se repite.

Ej. 4,5,6,7,4,5,4,6,5,5,4,5,5

Mo = 5 UNIMODAL

Ej.7,7,6,8,8,6,8,7,7,9,12,11,10,8Mo = 8 BIMODAL

2do. Caso: Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias_

Donde:

Li=limite inferior de la clase modal.

Amo=Amplitud de la clase modal.

D1=Diferencia ente la Frec. Absoluta de la clase

modal menos la frecuencia absoluta anterior.D2=Diferencia ente la Frec. Absoluta de

la clase modal menos la siguiente.

Clase Modal: Representa el intervalo con la mayor frecuencia absoluta.

Ejemplos. (3.1)

Calcular la Media Aritmtica, Mediana y Moda de la Tabla de frecuencias del ejemplo (2.3).

Para calcular la mediana, la clase mediana es el 4to. intervalo:

Para calcular la Moda, la clase modal es el 4to. intervalo, por que presenta la mayor frecuencia absoluta.

D1=11 - 5 = 6

D2=11 4 =7

Nota: La media =mediana = moda, si la distribucin es simtrica.

SESION # 9

ESTADIGRAFOS DE TENDENCIA NO CENTRALLas medidas de Posicin o de Tendencia no centrales permiten conocer otros puntos caractersticos de la distribucin que no son los valores centrales. Entre otros indicadores, se suelen utilizar una serie de valores que dividen la muestra en tramos iguales:

Cuartiles: son 3 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cuatro tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 25% de los resultados.

Deciles: son 9 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en diez tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 10% de los resultados.

Percentiles: son 99 valores que distribuyen la serie de datos, ordenada de forma creciente o decreciente, en cien tramos iguales, en los que cada uno de ellos concentra el 1% de los resultados.

Ejemplo: Vamos a calcular los cuartiles de la serie de datos referidos a la estatura de un grupo de alumnos). Los deciles y percentiles se calculan de igual manera, aunque hara falta distribuciones con mayor nmero de datos.

VariableFrecuencias absolutasFrecuencias relativas

(Valor)SimpleAcumuladaSimpleAcumulada

XxxxX

1,20113,3%3,3%

1,214513,3%16,6%

1,224913,3%30,0%

1,232116,6%36,6%

1,241123,3%40,0%

1,252146,6%46,6%

1,2631710,0%56,6%

1,2732010,0%66,6%

1,2842413,3%80,0%

1,2932710,0%90,0%

1,3033010,0%100,0%

1 cuartil: es el valor 1,22 cm, ya que por debajo suya se situa el 25% de la frecuencia (tal como se puede ver en la columna de la frecuencia relativa acumulada).

2 cuartil: es el valor 1,26 cm, ya que entre este valor y el 1 cuartil se situa otro 25% de la frecuencia.

3 cuartil: es el valor 1,28 cm, ya que entre este valor y el 2 cuartil se sita otro 25% de la frecuencia. Adems, por encima suya queda el restante 25% de la frecuencia.

Atencin: cuando un cuartil recae en un valor que se ha repetido ms de una vez (como ocurre en el ejemplo en los tres cuartiles) la medida de posicin no central sera realmente una de las repeticionesFrmulas para calcular los Cuartiles

Para calcular el Primer Cuartil

Para calcular el Segundo Cuartil

Para calcular el Tercer Cuartil

DONDE:

Q1 = Primer Cuartil

Q2 = Segundo Cuartil

Q3 = Tercer Cuartil

Li = Lmite Real inferior de la Clase que contiene el Cuartil

n = Nmero de datos

F1 = Frec. Acumulada de la clase anterior a la clase del Cuartil

F2 = Frecuencia absoluta de la Clase del Cuartil

i = Intervalo de ClaseEjemplo: Calcular el Primer Cuartil de la siguiente distribucin de frecuencias, referente al consumo de energa elctrica de un grupo de usuarios Consumo Kw HoraNmero de

ConsumidorFrecuencia

AcumuladaLmites Reales

05 - 24 4 4 4.5 - 24.5

25 - 44 6 10 24.5 - 44.5

45 - 64 14 24 44.5 - 64.5

65 - 84 22 46 64.5 - 84.5

85 - 104 14 60 84.5 - 104.5

105 - 124 5 65104.5 - 124.5

125 - 144 7 72124.5 - 144.5

145 - 164 3 75144.5 - 164.5

75

Como cada Cuartil representa el 25%, entonces el Primer Percerntil ser el 25%.

Respuesta.- El 25% de los usuarios consume 57 KW Hora.Frmula para calcular los Deciles D = El Decil

Li = Lmite Real inferior de la Clase que contiene el Decil

D # = El nmero de Decil que se quiere hallar

n = Nmero de datos

F1 = Frec. Acumulada de la clase anterior a la clase del Cuartil

F2 = Frecuencia absoluta de la Clase del Cuartil

i = Intervalo de Clase

Utilizando el ejemplo: Calcular el Cuarto Decil de la distribucin de frecuencias, referente al consumo de energa elctrica del grupo de usuarios

Como cada Decil representa el 10%, entonces el Cuarto Decil ser el 40%..

Respuesta.- El 40% de los usuarios consume 69.95 KW Hora.Frmula para calcular los Percentiles P = El Percentil

Li = Lmite Real inferior de la Clase que contiene el Percentil

P # = El nmero de Percentil que se quiere hallar

n = Nmero de datos

F1 = Frec. Acumulada de la clase anterior a la clase del Percentil

F2 = Frecuencia absoluta de la Clase del Percentil

i = Intervalo de Clase

Utilizando el ejemplo: Calcular el Percentil 79 de la distribucin de frecuencias, referente al consumo de energa elctrica del grupo de usuarios

Como cada Percentil representa el 1%, entonces el Percerntil 79 ser el 79%..

Respuesta.- El 79% de los usuarios consume 103.43 KW Hora.SESION # 10

EXAMEN PARCIAL

SESION # 11

ESTADIGRAFOS DE DISPERSION O VARIABILIDADSon aquellos nmeros que miden o cuantifican la variabilidad de las observaciones, con respecto a un estadgrafo posicin (generalmente la media aritmtica). Los principales estadgrafos de dispersin son los siguientes:

1. LA VARIANZA: V (X)

Se define como el promedio del cuadrado de las desviaciones con respecto a la media.

Cuando la varianza es muestral, entonces V(x) se puede denotar como y si la varianza es poblacional, entonces V(x) se denota como .En este captulo estudiaremos la varianza muestral.

La varianza se calcula, teniendo en cuenta los siguientes casos:

1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencia:

Desarrollando esta sumatoria, obtenemos una forma ms simple para calcular la varianza:

2do. Caso: Datos agrupados en tablas de frecuencias:

O tambin:

Desarrollando esta sumatoria, obtenemos:

O tambin:

Donde:

Xi=marca de clases.

fi=frecuencia absoluta

hi=frecuencia relativa

Propiedades de la Varianza:

1. V(X)>= 0

(siempre la varianza es positiva

igual a cero).

2,V(K) = 0

Esto es si cada Xi = k (constante).

3.V(X+/- K) = V(X)si a cada Xi se le suma (o resta), una constante K entonces la varianza no varia.

4. si a cada dato se multiplica (o por una constante K, entonces la constante sale elevada cuadrado).

5.

2. DESVIACION STANDART O TIPICA : S(X)

Se define como la raz cuadrada positiva de la varianza, y como la varianza esta expresada en unidades cuadradas, la desviacin standart (que esta expresada en las mismas unidades de los datos), representa mejor la variabilidad de las observaciones.

3. COEFICIENTE DE VARIACION: C.V.

Representa la relacin que existe entre la desviacin standart y el promedio de un conjunto de observaciones. El C.V. como no tiene unidades se debe expresar en porcentaje y sirve como medios de comparacin con otras distribuciones de cualquier tipo de unidad.

Se calcula:

Donde:

S(x)=desviacin tpica

X=promedio aritmtico

Ejemplos:

1. Los siguiente datos son temperaturas en grados Fahrenheit

415,500,480,490,476,500,432,479,489,497,496,478,453.

Sin ordenar en tablas de frecuencias:

a) Calcular la varianza.

b) Si a cada dato se le divide entre 5 y luego se suma 10. Hallar la nueva varianza.

Solucin:

a) Primero tenemos que calcular el promedio para datos no agrupados:

Entonces, calculamos la varianza:

b) Es decir:

Esto se resuelve usando propiedades:

2. Dada la siguiente tabla de frecuencias, que representa el peso (grs), de 34 sobres de cartas:

IntervalosXifiFi

[ 7 8>7.511

[ 8 9>8.523

[ 9 10>9.5811

[10 11>10.51122

[11 12>11.5628

[12 13]12.5634

a) Calcular el peso promedio y la mediana.

b) Calcular el Coeficiente de Variacin (C.V.)

Solucin:

a) Calculando el promedio:

Calculando la mediana:

b) Para calcular el C.V. debemos primero calcular la varianza

Calculamos la desviacin standart: S(X)=-1.2708 grs. Entonces:

3. Se tiene dos muestras:

En qu muestra cree Ud. Que halla menos variabilidad?

Solucin:

Primero hay que tener en cuenta que no se puede comparar las desviaciones standares de cada nuestra, porque estn expresadas en diferente unidades, pero si podemos compararlas con sus C.V. respectivos:

Entonces, comprando ambos coeficientes nos damos cuenta que existe menor dispersin en los datos de la primera muestra.

NOTA: Un C.V. ideal debe estar:

SESION # 12

CAPITULO V: DISTRIBUCION BIDIMENSIONAL

ANALISIS DE REGRESION Y CORRELACION LINEAL SIMPLE

Los mtodos estadsticos presentados lo hemos referido hasta Ahora a una sola variable, muchos de los problemas de trabajo estadstico, sin embargo involucran 2 ms variables. En algunos casos las variables se estudian Simultneamente, para ver la forma en que se encuentran interrelacionadas, tambin si se desea estudiar una variable de inters particular. Estos dos casos de problemas se conocen por lo general con los nombres de correlacin y regresin.

Antes de definir estos casos hablaremos sobre aspectos importantes que involucran 2 variables: Distribucin Bidimensional.

5.1. Clculo de la Covarianza: S (XY)

La varianza, es la medida que estudia la dispersin de dos variables, se calcula teniendo en cuenta:

1er. Caso: Datos no agrupados en tablas de frecuencia: En este caso, las variables X Y se toman en forma simultnea; es decir se considera no agrupados porque se toman los valores como puntos cartesianos (pares de valores). (X1,Y2), (X2,Y2)..........(Xm,Ym). Esto es:

XX1X2X3..........XN

YY1Y2Y3..........YN

N: nmero de observaciones total de pares de valores.

De cada observacin se analiza dos variables Simultneamente.

Las Covarianza; S (XY) se define:

............................. ( I )

desarrollando la sumatoria y simplificando:

.........................( II)

Para calcular la covarianza S(XY), es preferible utilizar la ec. (II). Los promedios de X y de Y, as como las desviaciones standares S(X) Y S(Y), se calculan como en los captulos 3 y 4.

2do. Caso: Datos Agrupados en tablas de frecuencias:

En este caso cada variable X e Y, estn agrupados en tablas de frecuencias presentndose lo que se llama: Distribucin Bidimensional o Tabla de Doble Entrada.

En forma tabular:

X:agrupado en K intervalos (y = 1... k)

Y:agrupado en m intervalos (j = 1.. m).

Donde:

Xi:marca de clase (variable X)

Yj:marca de clase (variable Y)

fij :frecuencia absoluta conjunta, corresponde al nmero de observaciones que existe en el I-simo intervalo de X con el j-simo intervalo de Y.

Observaciones:

(1) Segn la definicin de la covarianza (tanto para datos agrupados como no agrupados), la covarianza puede ser negativa.

(2) La covarianza presenta unidades de cada una de las variables involucradas.

(3) La covarianza S(XY), tambin se denota: Cov (X,Y)

Ejemplos:

(5.1) Dada la siguiente tabla, que representa la medida (X) en cm. De 8 barretas de metal y el peso (Y) en libras de cada una de ellas, calcular:

a) S(X) b) S(Y)c) S(XY)

X1346891114

Y12445789

Solucin:

Este ejemplo, corresponde a datos no agrupados en tabla de frecuencias.

a) S2 (X) =

b) S2 (Y)

(5.2) Dada la siguiente tabla en el cual se estudia las alturas (pulg) y los pesos (libras) de 300 estudiantes hombres en una Universidad:

X:altura (pulgadas).

Y:peso (libras).

Y X 58-6262-6666-7070-7474-78Total fy

90-110213

100-120784221

130-140515227150

50-16021263195101

170-180728321279

190-20021020739

210-2201427

Total

Fx16451288427300

Calcular:

S (X) , S(Y),S (XY)

Solucin:

Como la tabla es Bidimensional, podemos formar tablas de frecuencias para cada una de las variables por separado, a este proceso se le conoce como TABLAS MARGINALES.

Tabla marginal para x::

IntervalosXiFi

58 626016

62 666445

66 7068128

70 747284

74 787627

300

Tabla Marginal para Yi:IntervalosYjf.j.

90 1101003

110 13012021

130 15014050

150 170160101

170 19018079

190 21020039

210 2302207

300

La variable X presenta 5 intervalos ( i = 1 .....5)

La variable Y presenta 7 intervalos ( j = 1 .....7)

Calculando:

Calculando la Covarianza:

SESION # 14

REGRESION LINEAL

5.2. Diagrama de Puntos y Curvas de Ajuste:

Representan los puntos (X1, Y1), (X2, Y2)..... (XN, YN) en un sistema de coordenadas rectangulares, donde al sistema de puntos resultantes lo llamaremos Diagrama de Dispersin o Diagrama de Puntos: Con el diagrama de dispersin es posible representar una curva que se aproxime a los datos: Curva de Aproximacin.

Entonces, encontrar ecuaciones de curvas de aproximaciones que se ajusten a los datos, es buscar una: Curva de Ajuste.

Tenemos:a) Conjunto de puntos que se ajustan a una lnea recta (ajuste lineal o relacin lineal).

Observamos que el diagrama de puntos gira alrededor de una recta: Y = a+ bX

b) Conjunto de puntos o diagrama de puntos cuya relacin no es lineal.

Algunas de las ecuaciones de curvas de aproximacin:

Entonces, lo que se desea es encontrar una curva de aproximacin que se ajuste mejor a los datos, y as mostrar la ecuacin de la curva respectiva.

El tipo ms sencillo de una curva de aproximacin es la lnea recta cuya ecuacin puede escribirse: Y = a +b*X

5.3 Mtodo de mnimos Cuadrados:

De todas las curvas de aproximacin a una serie de datos puntuales, la curva tiene la propiedad de que:

Se conoce como la mejor curva de ajuste por el mtodo de mnimos cuadrados.

Di= desviacin de cada punto con respecto ala lnea recta.

Este mtodo consiste en minimizar la suma de los cuadrados de las desviaciones Di.

Entonces para ajustar un diagrama de dispersin a la lnea recta, utilizaremos este mtodo de los MINIMOS CUADRADOS. Es decir una recta de aproximacin de mnimos cuadrados del conjunto de puntos (x1, y1), (x2,y2),......,(xn,yn), tiene la ecuacin: Y = a+b*X , donde a y b se determinan mediante el sistema de ecuaciones normales, son las siguientes:

Donde al desarrollar y despejar a y b se obtienen:

Otras ecuaciones ms practicas para calcular los valores de a y b de la ecuacin aproximada Y = a +b*X son las siguientes:

Ejemplo:

Sean los valores:

x3146891114

y21445789

a) Construye el diagrama de puntos

b) Encuentra las ecuaciones normales

c) Encuentra la ecuacin de la curva de ajuste.

Solucin:

a) Llevando los puntos al sistemas de coordenadas rectangulares.

b) Al observar el diagrama de puntos, notamos que se aproxima o ajusta a una lnea recta, cuya ecuacin es: Y = a+b*X

c) Para encontrar las ecuaciones normales:

Entonces las ecuaciones normales son:

40 = 8*a +b* 56

364 = 56*a +b*524

Resolviendo el sistema (Mtodo de Mnimos Cuadrados)

a= 6/11 = 0.545 b=7/11=0.636

d) La ecuacin resultante ser : Y = 0.545 + 0.636X

nota : Si la ecuacin es Y = a +b*X entonces b mide la pendiente de la lnea recta.

SESION # 15

SEGUNDA PRACTICA CALIFICADASESION # 16

5.4 Anlisis de correlacin lineal simple:

Definicin: Estudia el grado de asociacin que existe entre las variables en estudio, el coeficiente que mide la mutua asociacin se denomina: Coeficiente de Correlacin (r).

Las asociaciones que se pueden presentar son:

1) Correlacin o asociacin Positiva (+), es decir a medidas altas de una variable, le corresponden medidas altas de otra variable, cambios en el mismo sentido (Relacin Directamente Proporcional)

X entonces Y

X entonces Y

Ejemplo :

altura y peso

2) Correlacin o Asociacin Negativa (-), En este caso, a valores altos de una variable, corresponden valores bajos de la otra variable y viceversa. (Relacin inversamente proporcional).

3) Medidas no Correlacinales; No existe ninguna asociacin entre las variables.

Caractersticas de Coeficiente de Correlacin Lineal Simple

1) r se calcula mediante la siguiente frmula:

S (XY):covarianza de X e Y

S (X):desviacin standart de X

S (Y):desviacin standart de Y

2) r es un nmero abstracto (sin unidades) y oscila entre 1 y 1, es decir:

3) -Si r es positivo (Correlacin Positiva), entonces las dos caractersticas tienden a variar en el mismo sentido.

Si r es negativo (Correlacin Negativa), las dos caractersticas tienden a variar en sentido contrario.

4) Si r=+1 r=-1, entonces la asociacin es perfecta.

5) Si r = 0, no existe asociacin entre las variables:

6) La asociacin, tiende a ser ms estrecha, cuando r:

Ejemplo:

(5.4) Calcula el coeficiente de correlacin, del ejemplo (5.1); donde: S(X) =4.06;

S(Y) =2.65; S(XY)=10.5

Interpretacin.- Existe una alta asociacin entre las variables estudiadas.

(5.5) del ejemplo (5.2), donde: S(X)=3.929 pulgadas S(Y)=24.202 libras, S(XY)=51.370 pulg/lbs

Interpretacin.- Existe asociacin entre las alturas y pesos de los estudiantes de la Universidad dada, esta asociacin es directamente proporcional.

5.4 Anlisis de Regresin Lineal Simple:

En las relaciones entre las variables se pueden presentar los siguientes casos:

i)X influye en Y : X Y

X:variable independiente

Y:variable dependiente

Ejemplo:

Edad agilidad mental

ii)Y influye en X Y X X = f(Y)

Y: variable independiente

X: Variable dependiente

III) Las dos estn influenciadas entre si:

X Y

X Y

Ejemplo : precio y produccin de un articulo.

Definicin: La regresin permite estudiar la dependencia de una caracterstica respecto a la otra, para establecer como vara el promedio de la primera caracterstica al variar la segunda en una unidad de su medida.

Se dice regresin lineal, porque las variaciones de la variable independiente, pueden provocar variaciones proporcionales en las variables dependientes (ajuste a la lnea recta).

Se dice que la regresin es simple, si una variable independiente influye sobre otra variable dependiente.

Ejemplo:

Protena de harina volumen de pan

Ecuacin de Regresin Lineal Simple.

Es una ecuacin para estimar una variable dependiente a partir de la variable independiente.

Si X : Variable independiente

Y : Variable dependiente

Donde : Y = variable dependiente estimada

: b = coeficiente de R.L.S.

Caractersticas del Coeficiente de R.L.S. (b)

1) b:indica el nmero de unidades en que vara la variable dependiente al variar la independiente en una unidad de su medida.

2) Si b es positivo los cambios son directamente proporcionales.

Si b es negativo entonces los cambios son inversamente proporcional

3) b : mide la pendiente de la lnea de regresin.

4) b, esta dado en unidades de la variable dependiente.

5) b y r siempre tienen el mismo signo.

6) b se calcula:

S Y = f(X), entonces:

Y el valor de la constante a:

Si X= f (Y) (se realiza cambio de X por Y y viceversa)

Lnea de Regresin.- consiste en el trazo o grfica de la ecuacin de regresin lineal simple, es decir el grfico de los puntos si la ecuacin es:

Regresin de Y sobre X; o el grfico de los puntos (X,Y) si la ecuacin es X= a+ bY : Regresin de X sobre Y.

Ejemplo: selecciona al azar cuatro meses de un ao y se registra tanto los ingresos como los gastos, en miles de dlares, de cierta empresa:

Ingreso (miles de dlares)10111213

Egresos (miles de dlares)45910

I. Efectuar un estudio de Regresin Lineal Simple, asumiendo que los egresos estn en funcin de los Ingresos:

1) Calculando el coeficiente de Regresin b e interpretndolo

2) Calculando el coeficiente de interseccin a

3) Encontrando la ecuacin de Regresin Lineal Simple y trazar la lnea de Regresin.

II. Realiza un anlisis de Correlacin Lineal Simple, e interprete el valor de r.

Solucin:

I. Como el egreso est en funcin de los ingresos:

Egresos: variable dependiente: Y

Ingresos: variable independiente: X1) Calculando b

Primero calculamos:

Entonces:

Interpretacin.- Por cada mil dlares adicional en el Ingreso de dicha empresa, habr un aumento en el Egreso de 2.2 miles de dlares en promedio.

2) Para calcular a :

3) Ecuacin de Regresin Lineal Simple:

Como Y es variable dependiente, entonces:

Para el trazo en el sistema de ejes cartesianos se tendr que reemplazar en la ecuacin de Regresin, los diferentes valores de X:

Y=-18.30 +2.2. (10) = 3.7

Y=-18.30 +2.2 (11) = 5.9

Y=-18.30 +2.2 (12) = 8.1

Y=-18.30 +2.2 (13) =10.30

Tambin se puede estimar nuevos valores de los Egresos (Yi) a partir de un valor Xi.

Ejemplo:Para un ingreso de 15mil dlares, se espera tener en promedio un Egreso de:

Y =-18.30 + (2.2) (15) = 14.7 miles de dlares

La lnea de Regresin: unin de puntos (Xi,Yi)

II. Anlisis de Correlacin:

Interpretacin.- Existe una alta asociacin entre los ingresos y los egresos, siendo los cambios directamente proporcionales.

SESION #17

CAPITULO VI: NUMEROS INDICES

Definicin.- Un nmero ndice es una medida estadstica diseada para mostrar los cambios en una variable (o en un grupo de variables) con respecto al tiempo, situacin geogrfica, renta, profesin, etc.

Aplicaciones:

1. Comparar el costo de alimentos en otros costos de vida durante un ao o perodo con respecto al ao o perodo anterior.

2. En negocios y Economa.

Tipos de Indice:

(6.1) Indices Simples: Cambios en un solo bien determinado

1) Indices de Precios Relativos.- uno de los ejemplos ms sencillos de nmero ndice es un precio relativo, que representa la razn del precio de un bien determinado en un perodo con respecto a otro perodo llamado base.

Indice de Precio Relativo: IPR

Po : precio de un bien en perodo base

Pn : precio de un bien en perodo dado

SPa: precio de un bien en el perodo a

Pb : precio de un bien en el perodo b

Ejemplo:(6.1) Supngase que los precios de consumo de 1 tarro de leche en junio de 1990 es de 22,000 intis y en junio de 1989 fue de 5,000 intis, tomando 89 como base.

El IPR Simple:

Es decir: en 1990 el precio de leche fue el 440% del que tena en el ao 89, es decir se increment en un 340%

Observacin: IPR Simple es un bien en un perodo a (Pa), con respecto al mismo perodo a (Pa) =12) Indices de Cantidades (o volumen) Relativos.- En lugar de comparar precios de un bien, se puede tambin comparar cantidades de un bien (cantidad de produccin, consumo, exportacin, etc.) calculemos la cantidad o volumen relativo (suponiendo que las cantidades dentro de cualquier otro perodo son constantes).

Indice de Cantidad Relativo: IQR

qn : cantidad de un bien en el perodo n

qo : cantidad de un bien en el perodo base

3) Valor Relativo.- Si p es precio de un bien durante un perodo y la cantidad o volumen producido, vendido, etc., durante ese perodo.

Valor total = p * q

Ejemplo:

Si se han vendido 1000 tarros de leche a $0.75 c/u

Valor total = 0.75 * 1000 = $ 750

Si Po Y qo denotan precio y cantidad de un bien durante un perodo base y pn y qn denotan el precio correspondiente durante un perodo dado, los valores totales durante estos perodos son Vo y Vn respectivamente y el valor relativo (VR) se define:

(6.2) Indices Compuestos:

En la prctica, no se esta tan interesada en comparaciones de precios, cantidades etc., de bienes individualmente considerados, como en comparaciones de grandes grupos de tales bienes, es decir es preferible considerar un grupo de bienes para medir los cambios respectivos.

Los principales Indices compuestos se calculan teniendo en cuenta los siguientes mtodos:

1) Mtodo de Agregacin Simple.- Este mtodo de clculo de un ndice de precio (o cantidad), expresa el total de los precios (o cantidades) de bienes en el perodo dado, como porcentaje del total de los precios (o cantidades de bienes en el perodo base.

Tenemos:

Indice de Precios de Agregacin Simple: IPAS

Donde:

(Pn = suma total de precios de bienes empleados en el periodo dado.

(Po = suma total de precios de bienes empleados en el ao base.

Desventaja: No tiene en cuenta la importancia relativa de las cantidades de los diferentes bienes.

2) mtodo de Media de Relativo Simple. En este mtodo existen varias posibilidades dependiendo del procedimiento empleado para promediar los precios relativos (o cantidades relativas), tal como la media aritmtica, media geomtrica, Mediana, etc.

Tenemos :

Indice de precios de Media de Relativo Simple: IPMRS (Promedio de los precios relativos de cada uno de los bienes empleados):

Donde:

((Pn/Po) = suma de los precios relativos de bienes.

N = nmero total de bienes empleados.

Mtodo de Agregacin Ponderada. Para salvar algn inconveniente del mtodo de agregacin simple, se da un peso al precio de cada bien mediante un factor adecuado, tomando a menudo una cantidad o volumen del bien determinado durante el periodo dado, o algn periodo tpico (que puede ser una media de varios aos). Tales pesos indican la importancia de cada bien particular.

Aparecen as, los tres siguientes ndices para precios:

(I). Indice de Precios de Laspeyres (o mtodo del ao base): IPL

Pondera los precios considerando como factor de ponderacin a las cantidades en el periodo base.

Cuando los bienes empleados corresponden a la canasta familiar, el IPL se denomina ndice de Precios del Consumidor o Indice del Costo de Vida, y se utiliza para medir el nivel de inflacin.

(II) Indice de Precios de Paasche (o mtodo del ao dado): IPP

Pondera los precios de cada bien, considerando como factor de ponderacin a las cantidades del periodo dado.

(III). Indice Ideal de Fisher

Representa la media geomtrica de los ndices de Laspeyres y Paasche (promedio de los ndices ponderados).

Ejemplo:

(6.3) La tabla muestra los precios y cantidades consumidas de cierto pas de distintos productos frreos en los aos 79, 86 y 87.

Precios ($/Lbs)

Ao197919861987

Plata

Cobre

Plomo

Stao

Zinc17.00

19.36

15.18

99.32

12.1526.01

41.88

15.81

101.26

13.4927.52

29.99

14.46

96.17

11.40

Cantidad (Mills de bls)

Ao197919861987

Plata

Cobre

Plomo

Stao

Zinc1357

2144

1916

161

18723707

2734

2420

202

20183698

2478

2276

186

1424

a) Calcular Indice de Precios de Agregacin Simple para el ao 86, considerando como ao base 1979

b) Calcular el IPL para el ao 87, con base en el ao 79

c) Calcular el IPP para el ao 87, con ao 86

Solucin

Esto significa, que los precios del conjunto de productos frreos, en el ao 86, representa el 121.7% de los precios que tenan en el ao 79, es decir se incrementaron en 21%.

Nota:

Las frmulas descritas anteriormente para obtener nmeros ndice de precios se modifican fcilmente para obtener nmeros ndices de cantidad o volumen, con el simple intercambio de p y q.

Ejemplo : Indice de cantidad de Agregacin Simple: IQAS

(6.4) Deflacin

Aunque los ingresos de las personas pueden elevarse tericamente en un perodo de dos aos, su ingreso real puede netamente ser inferior, debido al incremento del costo de vida y por consiguiente su poder de adquisicin.

Ejemplo (5.3)

Si el ingreso de una persona en 1990 es el 150% de su ingreso en 1989 (es decir a aumentado en 50%) mientras que el ICV es el 500% del ao 89, el salario real de la persona ser en 1990

El salario real de la persona en 1990 es el 30% del que tena en 1989, es decir el poder adquisitivo de esta persona ha disminuido en 70%.

ANEXOS

PROBLEMAS RESUELTOS

a) tablas de frecuencia y Estadigrafos de posicin:

1) La siguiente distribucin muestra el peso en gramos de 30 paquetes de un determinado producto:

Gramos[10 14.5>[14.5 19.5>[19.5 24.5>[24.5 29.5>[29.5 35>

hiM/20.172MM0.13

Se pide completar la tabla:

Solucin

Si la sumatoria de las hi = 1

Sabemos que : M/2 + 0.17 +2M +M +0.13 = 1

M/2 +3M = 1-0.30

M/2 +3M = 0.7

7M = 1.4

M = 0.2 sabemos que

Por lo tanto fi = hi * n

Remplazando valores de hi

hihi

M/20.10

0.170.17

2M0.40

M0.20

0.130.13

Completando el cuadro:

IntervalosXifiFihiHi

[10.5 14.5>12.25330.100.10

[14.5 19.5>17550.170.17

[19.5 24.5>2212120.400.67

[24.5 29.5>27660.200.87

[29.5 35>32.25440.131.00

30 1.00

2)Los siguientes datos son los puntajes obtenidos por 50 estudiantes en un examen de Estadstica I:

33, 35, 35, 39, 41, 41, 42, 45, 47, 48,

50, 52, 53, 54, 55, 55, 57, 59, 60, 60,

61, 64, 65, 65, 65, 66, 66, 66, 67, 68,

69, 71, 73, 73, 74, 74, 76, 77, 77, 78,

80, 81, 84, 85, 85, 88, 89, 91, 94, 97.

Clasificar estos datos convenientemente en intervalos de clase de igual amplitud y construir los grficos respectivos.

Solucin

I) Rango = 97-33 = 64

II) K = 1+3.32 * log (10) = 1+ 3.22 (1.699) = 6.47

Redondeando al entero inmediato superior K = 7 (siete intervalos)

III) La amplitud de Clase A = 64 / 7 = 9.14, aproximando al entero mayor

(recuerda que la amplitud debe tener la caracterstica de los datos)

A = 10

Para facilitar el conteo de las frecuencias, tomaremos como lmite inferior de la primera clase 30.

clasesxifiFihIHI

[30, 40>35440.080.08

[40, 50>456100.120.20

[50, 60>558180.160.36

[60, 70 >6513310.260.62

[70, 80>759400.180.80

[80, 90>857470.140.94

[90, 100>953500.061.00

TOTAL501.00

Ntese que en el ultimo intervalo el lmite superior puede ser abierto ya que sobrepasa al valor ms alto de los datos.

GRAFICOS

2) El supervisor de una planta de produccin desea comprobar si los pesos netos de las latas de conserva de durazno tienen el peso reglamentario (18 onzas) para lo cual registra el peso de 36 latas obteniendo los siguientes datos:

17.0, 17.5, 18.5, 18.1, 17.5, 18.0, 17.5, 17.3, 18.0, 18.0, 18.0,

17.6, 18.2, 17.6, 18.4, 17.7, 17.7, 17.9, 18.3, 17.1, 17.8, 17.3,

18.1, 17.6, 17.7, 18.2, 18.4, 18.0, 18.2, 17.1, 18.6, 18.1, 18.5,

18.4, 17.9, 18.2.

Se pide :

a) Presentar los datos en una tabla de frecuencia.

b) Determine el peso promedio.

c) Determine el peso central (la mediana).

d) Determine el peso Modal.

Solucin

i) Rango = 18.6 17.0 =1.6

ii) K = 1+ 3.32 * log (36) = 6.17 redondeamos a 6 intervalos

iii) A = 1.6 / 6 = 0.266 lo aproximamos a 0.3 (recuerden siempre se redondea A hacia el mayor respetando la caracterstica de los datos, en este caso con un digito decimal). A = 0.3a) La tabla queda:

ClasesXifiFihiHiXi*fi

[17.0, 17.3>17.15330.080.0851

[17.3, 17.6>17.45580.140.2287

[17.6, 17.9>17.757150.190.42124

[17.9, 18.2>18.0511260.310.72199

[18.2, 18.5>18.358340.220.94147

[18.5, 18.8>18.652360.061.0037

TOTAL361.00645.6

b)

c)Para la mediana buscar en Fi aquel que sea igual o mayor que n/2, es decir

Fi>= 36/2 =18.

d) Para calcular la moda usamos el intervalo de mayor fi

PROBLEMAS PROPUESTOS:

1) La siguiente tabla muestra las frecuencias relativas de 200 alumnos.

EDADES161922252831

Hi%1015377585100

a) Muestra los lmites de cada intervalo de clase.

b) Que tanto por ciento de los estudiantes tienen edades entre 12 y 26 aos.

2) Los siguientes datos son las velocidades en Km./h. De 30 carros que pasaron por un punto de control de velocidades.

60, 30, 38, 60, 45, 20, 35, 20, 40, 54, 38, 35, 40, 10, 45, 60, 49, 49, 30, 55, 46, 105, 29, 38, 80, 40, 28, 15, 82, 72.

a) Calcular la media de los datos sin clasificar.

b) Agrupa estos datos convenientemente.

c) Calcule la media, mediana y moda.

3)Un grupo de 50 empleados de sistemas de una gran compaa recibe un curso intensivo de Programacin de Ordenadores. De los varios ejercicios distribuidos durante el curso, se muestra el nmero de ejercicios completados satisfactoriamente por los miembros del grupo:

13, 9, 8, 14, 16, 15, 6, 15, 11, 5, 3, 11, 11, 9, 18, 18,

5, 1,15, 12, 16, 12, 14, 9, 6, 10, 5, 12, 17, 11, 12, 13,

8, 19, 12, 11, 18, 15, 13, 9, 10, 9, 10, 7, 21, 16, 12, 9,

2, 13.

a) Agrupar estas cifras en una tabla de distribucin de frecuencias, usando el mtodo de Sturges.

b) Calcula la media, mediana y moda.

c) Estima la desviacin tpica para datos no agrupados.

4) Sean los siguientes datos: f1=3, F2=8, F3=18, f5=2, x4=3, K=6, H4=0.875, A=2, n=24. Completa la tabla de distribucin de frecuencias y calcular la Varianza.

5)

y dada la siguiente tdf:

intervaloshi%

[0.5 2.5>2%

[2.5 4.5>10%

[4.5 6.5>h3%

[6.5 8.5>16%

[8.5 10.5>h5%

[10.5 12.5>10%

[12.5 14.5>2%

a)Calcula h3% y h5%b)Calcula la Varianza.

7) Se tiene una distribucin simtrica de frecuencias con 7 intervalos de igual amplitud A =20 y considerando los siguientes datos:

X3*f3 = 1260, f2 + f5 = 62, H6% = 96%, f1 = 8, h3% = 21%.

a) Calcula la media, mediana y moda

b) Calcula el C.V.

8) Se conocen los siguientes datos del peso de un grupo de estudiantes:

IntervalosfiHi

[20 30>

[30 40>

[40 50>

[50 60>50.96

[60 70>

Determina:

a) La media, mediana y desviacin tpica.

b) Presenta los datos en un Histograma y polgono de frecuencias.

9) Sabiendo que la tabla de frecuencias, es simtrica, completarla con los datos, dados, si adems se sabe que la mediana es igual a 27.5. Luego calcula la media, la moda y la desviacin estndar.

IntervaloXifiFihiHi

L0 L1

L1 L2

L2 L30.20

L3 L40.65

L4 L5

L5 500.95

50 L7

(fi = 60

10) Una fabrica tiene dos departamentos uno de produccin y otro de ventas. Las siguientes tablas de frecuencias presentan los haberes percibidos hasta fines de abril en cada uno de los departamentos.

Haberes semanales en dlaresNde trabajadores dpto. de produccin

[10 15>15

[15 20>25

[20 25>30

[25 30>20

[30 35>5

[35 40(5

[40 45(0

Total100

Haberes mensuales en dlaresN de trabajadores Dpto. de Ventas

[20 60>0

[60 80>5

[80 100>5

[100 120>15

[120 140>20

[140 160>5

total50

Calcule:

a) El haber promedio mensual y la desviacin tpica correspondiente a cada departamento.

b) El haber promedio mensual y la desviacin tpica del conjunto de trabajadores de ambos departamentos.

11) Se ha recibido una muestra compuesta de 100 probetas de concreto con el objetivo de analizarlas. Una de las pruebas consisti en determinar la carga de rotura de dichas probetas, encontrndose los siguientes resultados:

Intervalo de roturaN de probetas

[120 125>10

[125 130>20

[130 135>38

[135 140>25

[140 145>7

Determine :

a) La carga media de rotura.

b) La carga mediana de rotura.

Regresin lineal

1) La tabla muestra alturas con aproximacin de pulgadas y los pesos con aproximacin de libras de una muestra seleccionada al azar:

altura706372606670746562676568

peso155150180135156168178160132145139152

a) Hallar la ecuacin de la recta de ajuste usando mnimos cuadrados.

b) Estimar el peso de un estudiante cuya altura es de 61 pulgadas.

c) Estimar la altura de un estudiante cuyo peso es de 170 libras.

Solucin:XYX*Y

70155490010850

6315039699450

72180518412960

6013536008100

66156435610296

70168490011760

74178547613172

65160422510400

6213238448184

6714544899715

6513942259035

68152462410336

(X = 802(Y=1850( = 53792(X*Y = 124258

Calculando a y b:

a)

b)Y = -60.75 + 3.22(61) = 135.67 libras. Redondeando Y =136 libras.

c) 170 = -60.75 + 3.22 X

2) La produccin de acero en Estados Unidos en millones de toneladas cortas (una tonelada corta = 2000 libras), durante los aos 1946 1956 aparecen en la siguiente tabla:

AosProduccin en

Ton. cortas

194666.6

194784.9

194888.6

194978.0

195096.8

1951105.2

195293.2

1953111.6

195488.3

1955117.0

1956115.2

a) Halla la ecuacin de ajuste (recta de mnimos cuadrados).

b) Estima la produccin de acero durante los aos 1957 y 1958.

c) Estima la produccin de acero durante los aos 1945 y 1944.

Solucin:

Para poder trabajar con los aos se debe colocar una escala paralela que inicie en cero (pues las fechas no sirven para estos clculos).

AosXYX * Y

1946066.600

1947184.9184.9

1948288.64177.2

1949378.09234.0

1950496.816387.2

19515105.225526.0

1952693.236559.2

19537111.649781.2

1954888.364706.4

19559117.0811053

195610115.21001152

( TOTALES551045.43855661.1

a) Hallando la recta de ajuste

b y c) Estimando la produccin:

AosXProduccin

1944-267.40

1945-171.35

195711118.75

195812122.70

PROBLEMAS PROPUESTOS

1) Construir una lnea recta que aproxime los datos de la tabla:

X2357910

Y137111517

2)La produccin de acero en Estados Unidos en millones de toneladas cortas(1 tonelada corta = 2000 libras) durante los aos 1986 1996 aparece en la tabla:

AoProduccin de acero en EE.UU.(millones de

toneladas cortas)

198666.6

198784.9

198888.6

198978.0

199096.2

1991105.2

199293.2

1993111.6

199488.3

1995117.0

1996115.2

3)Se desea encontrar una ecuacin que estime los ingresos anuales en funcin de los salarios mensuales,con este fin se ha recopilado los salarios mensuales e ingresos anuales de 8 trabajadores de una empresa.

Salarios

mensuales100150200275300325350375

Ingresos anuales12001800240033003600390042004500

4)La produccin de cigarrillos en Per durante los aos 1985 1992 fue:

Ao19851986198719881989199019911992

Ncigarrillos (millones)98.292.380.089.183.568.969.27.1

a) Representa el diagrama de dispersin con recta de aproximacin.

b) Halla la ecuacin de mnimos cuadrados.

c) Determina e interpretar el coeficiente de Correlacin

d) Estima la produccin de cigarrillos para los aos 1995 y 1998.

Nmeros ndices

Problemas propuestos:

1) La siguiente tabla muestra los precio y cantidades de alguno cereales en los aos 1989 y 1998.

1989

productoPrecioCantidad

Cebada1.39237

Maz1.243238

Avena0.721220

Arroz0.0864077

Centeno1.4218.1

Trigo2.241098

1998

productoPrecioCantidad

Cebada1.24470

Maz1.153800

Avena0.651422

Arroz0.0974702

Centeno1.2732.5

Trigo2.231462

A) Tomando como base a 1989 hallar el ndice de Laspeyres,

El ndice de Paashe, el ndice ideal de Fisher. Para el ao 1998.

B) Tomando como base a 1989 hallar el ndice de Laspeyres,

El ndice de Paashe, el ndice ideal de Fisher. Para el ao 1989.

C) Determine el ndice de agregacin simple para los aos 1989 y 1998.

2) La tabla muestra los precios al por menor y producciones medias de antracita y gasolina en EE.UU. durante los aos 1949 y 1958.

precios

producto19491958

antracita$20.13 por tonelada corta28.20 por tonelada corta

gasolina20.3 cent. Por tonelada corta.21.4 cent. Por tonelada corta

cantidades

producto19491958

antracita3559 millones de toneladas cortas1821 millones de toneladas cortas

gasolina80.2 millones de barriles *118.6 millones de barriles *

Cada barril contiene 42 galones.

a) Determina el ndice de agregacin simple para 1958 con base en 1949.

b) Determina el ndice de agregacin simple para 1949 con base en 1958.

c) Halla el ndice de Laspeyres, Paashe, Fisher para el ao 1958 con respecto a 1949. Interpretar.

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

m

( fi = n

i = 1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Equation.3

A = 9

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

fi = frec. Absoluta

hi = frec. Relativa

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Datos no agrupados

Datos agrupados

EMBED Equation.3

Es el elemento que ocupa la posicin (n+1) /2

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

gramos

EMBED Equation.3

gramos

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Gramos

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Siendo a y b constantes, X e Y variables independientes

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

F

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Gramos

EMBED Equation.3

Gramos

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

S (X) = 4.06 cm.

EMBED Equation.3

S (Y) = 2.65 lbs

EMBED Equation.3

S (XY) = 10.5 cm. lbs

EMBED Equation.3

S (X) = 3.929 pulgadas

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

S (Y) = 24.202 Lbs.

EMBED Equation.3

S(XY) =51.370 pulg/lib.

*

* *

* *

* *

* *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

Relacin lineal

Parbola o curva cadratica

Curva Polinomial

Hiprbola

O log Y= log(a) + X* log(b) Curva Exponencial

EMBED Equation.3

sea mnimo

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Miles de dlares

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Salario Real

EMBED Equation.3

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

Clase mediana

Clase modal

EMBED Equation.3

onzas

EMBED Equation.3

Onzas

EMBED Equation.3

Onzas

EMBED Equation.3

(fi = 50

si se sabe que:

h1=h3 y

h2=h4

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Y = -60.75 + 3.22 X

EMBED Equation.3

a = -60.75

b = 3.22

EMBED Equation.3

Pulgadas, redondeando X = 72 pulgadas

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

a = 75.30

b = 3.95

Y = 75.30 + 3.95 X

estimar los valores de y para:

x= 11, x= 15, x=4, x= 6

estimar los valores de x

para:

y= 2, y=5, y= 18, y= 15

Realiza el diagrama de dispersin.

Determina la ecuacin de la recta de ajuste.

Estima la produccin de acero durante los aos: 1997 y 1998.

Estima la produccin de acero durante los aos: 1985 y1984

Halla r e interpreta.

Crea el diagrama de dispersin respectivo.

Determina la recta de mnimos cuadrados.

Estima los salarios mensuales para aquellos trabajadores cuyo ingreso anual es de 5700.

Calcula el coeficiente de Correlacin (interpretar).

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

CURSO: ESTADISTICA I

CICLO III

_974796107.unknown

_974813105.unknown

_974825878.unknown

_974861902.unknown

_975062298.unknown

_1096863963.unknown

_1096872344.unknown

_1096873070.unknown

_1096873402.unknown

_1096872645.unknown

_1096869784.unknown

_1096870711.unknown

_1096870016.unknown

_1096869551.unknown

_1096788006.unknown

_1096861356.doc

_981107704.xlsGrfico2

4

5

3

2

1

DEFECTOS

N DE DISKETTES

HISTOGRAMA

Hoja1

No de Defectos

XiNo. diskettes

fiFihi%Hi%

34426.723.7

55933.360

63122080

1021413.393.3

111156.7100

Hoja1

DEFECTOS

N DE DISKETTES

HISTOGRAMA

Hoja2

Hoja3

Hoja4

_974869696.unknown

_974870883.unknown

_974875096.unknown

_974876244.unknown

_974878307.unknown

_974874322.unknown

_974869906.unknown


4

6

8

13

9

7

3

MARCAS DE CLASE

FRECUENCIA


Hoja1

clasesxifiFihIHI

[30, 40>35440.080.08

[40, 50>456100.120.2

[50, 60>558180.160.36

[60, 70 >6513310.260.62

[70, 80>759400.180.8

[80, 90>857470.140.94

[90, 100>953500.061

TOTAL501

Hoja1

MARCAS DE CLASE

FRECUENCIA


Hoja2

Hoja3

Hoja4


4

10

18

31

40

47

50

MARCAS DE CLASE (INTERVALOS)

Fi

LA OJIVA

Hoja1

clasesxifiFihIHI

[30, 40>35440.080.08

[40, 50>456100.120.2

[50, 60>558180.160.36

[60, 70 >6513310.260.62

[70, 80>759400.180.8

[80, 90>857470.140.94

[90, 100>953500.061

TOTAL501

Hoja1

MARCAS DE CLASE

FRECUENCIA


Hoja2

MARCAS DE CLASE (INTERVALOS)

Fi

LA OJIVA

Hoja3

Hoja4

_974863540.unknown

_974828553.unknown

_974835341.unknown

_974838078.unknown

_974861794.unknown

_974835897.unknown

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_974813588.unknown

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_974813210.unknown

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_974800494.unknown

_974801566.unknown

_974812725.unknown

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_974801122.unknown

_974801217.unknown

_974801035.unknown

_974797260.unknown

_974800005.unknown

_974800180.unknown

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_974796616.unknown

_974796793.unknown

_974796523.unknown

_974724666.unknown

_974792396.unknown

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_974795040.unknown

_974795867.unknown

_974794816.unknown

_974793549.unknown

_974793641.unknown

_974792923.unknown

_974729726.unknown


5

5

5

11

4

5

Xi

fi

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

Hoja1

Peso (grs)XifiFihi%Hi%

[43 52>.47.55.00514.314.3

[52 61>.56.55.001014.328.6

[61 70>.65.55.001514.342.9

[70 79>.74.511.002631.474.3

[79 88>.83.54.003011.485.7

[88 97].92.55.003514.3100

Hoja1

Xi

fi

HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS

Hoja2

Hoja3

Hoja4

_974790662.unknown

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1

2

4

4

5

7

8

9

X

Y

DISPERSION

Hoja1

x1346891114

y12445789

Hoja1

X

Y

DISPERSION

Hoja2

Hoja3

Hoja4

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25

10

1

6

8

ESTADO CIVIL

N DE PERSONAS

Hoja1

Estado CivilNo. de personasporcentaje

Soltero2550%

Casado1020%

Viudo12%

Divorciado612%

Conviviente816%

Hoja1

0

0

0

0

0

ESTADO CIVIL

N DE PERSONAS

Hoja2

Hoja3

Hoja4

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0.5

0.2

0.02

0.12

0.16

PORCENTAJES

Hoja1

Estado CivilNo. de personasporcentaje

Soltero2550%

Casado1020%

Viudo12%

Divorciado612%

Conviviente816%

Hoja1

PORCENTAJES

Hoja2

Hoja3

Hoja4

Estadistica i (1)

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