Estadistica I GaonaZambranoReimundo

7/26/2019 Estadistica I GaonaZambranoReimundo

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CUADERNO VIRTUAL ESTADSTICA I

Estadstica I conceptos, definiciones, ejercicios resueltos

DOCENTE:

Ing. Oswaldo Latorre .

Sangolqu

FEBRERO/2016

Tabla de contenidoS


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2

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMASESPE

ESTADSTICA IEstadstica I conceptos, definiciones, ejercicios resueltos

CONCEPTOS BSICOS.............................................................................5

Estadstica:.................................................................................................5

Poblacin:...................................................................................................5Muestra:......................................................................................................5

an!o:.........................................................................................................5

Par"#etro:..................................................................................................5

Estadstico:.................................................................................................5

$ariable:...................................................................................................... 5

EST%&'STIC% &ESCIPTI$%.....................................................................5

Medidas de tendencia central:.................................................................... 5

Medidas de dis(ersin:...............................................................................)Medidas de *or#a:...................................................................................... )

Medidas de Posicin:...................................................................................)

E+ercicios:................................................................................................,

COMBIN%CIONES - PEMT%CIONES..................................................../0

Per#utaciones con re(eticin.................................................................../0

E+ercicios:............................................................................................../0

Per#utaciones sin re(eticin..................................................................../2

E+ercicios:............................................................................................../2

E+ercicios de Per#utaciones....................................................................../2

Co#binacin sin re(eticin.......................................................................15

E+ercicios:..............................................................................................15

Co#binacin con re(eticin......................................................................1)

E+ercicios:..............................................................................................1)

E+ercicios:..............................................................................................1)

POB%BII&%&......................................................................................),

Es(acio #uestral (s ) :...........................................................................),

E3ento:......................................................................................................),

Probabilidad Mar!inal:.............................................................................. )4

E+ercicios:..............................................................................................)4

Probabilidad Con+unta:..............................................................................)

ei#undo6 7aona6 8a#brano


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1



E+ercicios:..............................................................................................)

e!la de adicin:...................................................................................... ,/

E+ercicios...............................................................................................,/Probabilidad Condicional:..........................................................................,2

E+ercicios:..............................................................................................,1

&I%7%M% &E BO........................................................................./0,

$%I%BES %E%TOI%S....................................................................../90

&istribucin de (robabilidad de una 3ariable aleatoria.........................../9/

E+ercicios:............................................................................................/92

&ISTIBCIONES &E POB%BII&%& &ISCET%................................../50

&istribucin Bino#ial............................................................................../50esolucin.........................................................................................../55

&istribucin i(er!eo#;trica................................................................./)

E+ercicios:............................................................................................/,0

&istribucin de Poisson.........................................................................../0

E+ercicios:............................................................................................/0

&istribucin Multino#ial......................................................................... 2/0

E+ercicios:............................................................................................2//

$%I%BE %E%TOI% CONTIN%........................................................2/1E+ercicios:............................................................................................2/9

&ISTIBCIONES &E POB%BII&%& CONTIN%.................................29

&istribucin Nor#al................................................................................ 29

E+ercicios:............................................................................................25

%(roa...........................................................................1/1

E+ercicios:............................................................................................1/9

&istribucin ni*or#e............................................................................. 1/

E+ercicios:............................................................................................12/

E+ercicios de &istribucin ni*or#e.........................................................121

&istribucin E


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9



E+ercicios:............................................................................................111

E+ercicios de &istribucin de Probabilidades...........................................195

e!resiones........................................................................................1,5e!resin ineal......................................................................................1,5

Mni#os Cuadrados.................................................................................1,5

E+ercicios:............................................................................................1,4

e!resin (olino#ial...............................................................................145

E+ercicios:............................................................................................144

e!resin lineal #?lti(le.........................................................................11

E+ercicios:............................................................................................11

%(licaciones de la re!resin lineal @*uncin e


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5



Estadstica ICONCEPTOS BSICOS

Estadstica: a estadstica es una disci(lina ue utili>a recursos#ate#"ticos (ara or!ani>ar resu#ir una !ran cantidad de datosobtenidos de la realidad (oder in*erir ciertas caractersticas sobreellos.

Poblacin: Se deno#ina (oblacin estadstica a todo el con+unto deele#entos sobre los cuales se 3a a reali>ar las obser3aciones.

M!st"a: Es un subcon+unto de los ele#entos de la (oblacin. Seto#a o se aduiere una #uestra cuando es di*cil la obser3acin detodos los ele#entos de la (oblacin.Ran#o: Es la di*erencia entre el #aor #enor 3alor del con+unto de

datos.

Pa"$%!t"o:Son los datos descri(tores de la (oblacin.

Estadstico:Son los datos descri(tores de la #uestra.

Va"iabl!: Es un con+unto de 3alores nu#;ricos ue ado(tan uncar"cter cuantitati3o (ueden ser:

Va"iabl! Disc"!ta: Es auella ue est" relacionada con los

n?#eros enteros6 es decir ue no Da un n?#ero inter#edioentre dos consecuti3os.E+e#(lo: N?#ero de Di+os

Va"iabl! Contina: Es auella ue to#a un in=nito n?#ero de3alores est" relacionada con la recta real.E+e#(lo: cali=caciones.

ESTADSTICA DESCRIPTIVA

Es auella ue utili>a los datos nu#;ricos6 obtenidos de la #uestra(or #edio de las #edidas descri(ti3as6 resu#en la in*or#acincontenida en la #uestra.

as #edidas descri(ti3as se clasi=can en:

M!didas d! t!nd!ncia c!nt"al:Son los 3alores nu#;ricos uese consideran co#o los #"s re(resentati3os dentro de un con+untoordenado de datos son:

M!dia A"it%&tica ' x (:Es el cociente entre la su#a de los

datos con el n?#ero de datos.



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)



x= xi

n sin : n?#ero de datos.

Moda ' Mo (: Es el 3alor de la 3ariable ue #"s 3eces sere(ite dentro de un con+unto de datos.

M!diana ' Me (: Es el 3alor nu#;rico ue di3ide a los

obser3ados ordenados de #enor a #aor en la #itad. Si eln?#ero de obser3ados ordenados es i#(ar6 la #ediana es el3alor central6 caso contrario si el n?#ero es (ar la #ediana esla #edia arit#;tica entre los dos 3alores centrales.

M!didas d! dis)!"sin: Sir3en (ara indicar ue tanre(resentati3as son las #edidas de tendencia central se clasi=can en

absolutas relati3as. Absoltas

Va"ian*a ' 2

(: Es el cociente entre la su#a de los

cuadrados de la di*erencia de la #edia arit#;tica concada uno de os datos el n?#ero de datos.

2=i=0

i

(xx i)2

n

D!s+iacin !st$nda" ' (: Es el 3alor (ositi3o de la

ra> de la 3arian>a=2

R!lati+as: Es el coe=ciente de 3ariacin de Pearson6 es elcociente de la des3iacin el 3alor absoluto

CVP=

|x|

M!didas d! ,o"%a: Se consideran ue una distribucin essi#;trica si su #edia arit#;tica su #oda coinciden6 se dice ue es

asi#;trica (or la derecDa si sus *recuencias descienden lenta#ente (ordicDo lado6 caso contrario se consideran asi#;trica (or la i>uierda.Para deter#inar a *or#a de distribucin se Dace uso del coe=ciente deasi#etra de Pearson.

AS=xMo



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,



AS=0 trico

AS>0Derecha

AS


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4



/)1/ / ) 0./)),

/)

T2TAL )

x=52.8333

Mo=50

Me=50

2=i=0

i

( xx i )2

n =

4 (52.83350 )2+(52.83357 )

2+(52.83360 )

2

6 =20.1664

=2=20.1664=4.4907

CVP=

|x|=4.4907

52.8333=0.08499>0 Asimetra por laderecha

2. allar las #edidas de tendencia central6 #edidas de dis(ersin6#edidas de *or#a #edidas de (osicin (ara la 3ariable (esosde Do#bres

$alores:

,06 56 )06 )/6 56 ,06 )0P!sos

d!3o%b"!s

F"!c!ncia

F"!c!nciaabsolta

F"!c!ncia"!lati+a

.4 2 2 0.245,24.5

1/ 2 9 0.245,24.5

15 / 5 0./924/9.2

0/ 2 , 0.245,24.5

T2TAL ,x=62.714



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Mo=60,59,70

Me=60

2=i=0

i

( xx i )2

n =

2 (62.71459 )2+2 (62.71460 )

2+(62.71461 )

2+ (62.71470 )

2

7 =25.2376

=2=25.2376=5.0237

CVP=

|x|=

5.0237

62.714=0.08011>0 Asimetra porla derecha

1. Se!?n la asociacin de lucDa contra la Buli#ia la %nore seasinni#o de ;o del 200)6 en el cole!io FEMESG dela ciudad de Huito6 des(u;s de las 3acaciones de 3erano6 seobser3 con (recaucin a 2, alu#nos con snto#as deanore


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/0



c!nci

a

absolta "!lati+a

Di!ta s!+!"a 0.111111.00

Mi!do a!n#o"da"

1 /2 0.//// /.00

6i)!"acti+idad 9 /) 0./94//9.4/

Uso d! la7ant!s 5 2/ 0./45//4.5/

Uso d! "o)a3ol#ada

) 2, 0.222222.22

T2TAL 2,

Mo=Dieta Seera

Inter(retacin: a ue las 3ariables usadas (ara estee+ercicio no son cuanti=cables la #edida descri(ti3a uese (uede obtener del #is#o es ?nica#ente la #odaarro+ando el dato ue la dieta se3eras es el si!no #"sidenti=cable en los +3enes del cole!io FEMESG (ara el

desorden ali#enticio.

9. El trata#iento de los nios con desrdenes de la conducta(uede ser co#(le+o. El trata#iento se (uede (ro3eer en una3ariedad de escenarios de(endiendo de la se3eridad de losco#(orta#ientos. %de#"s del reto ue o*rece el trata#iento6se encuentran la *alta de coo(eracin del nioJnia el #iedo la *alta de con=an>a de los adultos. Para (oder disear un (laninte!ral de trata#iento6 el siuiatra de nios adolescentes(uede utili>ar la in*or#acin del nio6 la *a#ilia6 los (ro*esores de otros es(ecialistas #;dicos (ara entender las causas del

desorden. Para ello6 un siuiatra local Da considerado una#uestra aleatoria de 20 nios6 anotando el tie#(o necesarioue reuiere en cada nio (ara lo!rar un (lan inte!ral deltrata#iento6 obteni;ndose lo si!uiente @en DorasA:

)6 ,6 ,6 46 46 46 46 6 6

6 6 6 6 /06 /06 /06 /06 /06 //



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12/473

Motor Princi(al

Siste#a Pro(ulsin Ser3icio

Mdulo de Ser3icio

Mdulo de E


13/473


14/473

/9



272

$ (1+27+272 )=729 $(28+729)=551853

Permutaciones sin repeticin

P (n !r )=nPr= n %

(nr )%

E+ercicios:/ En una acti3idad Da 1 nios 2 nias. &e cuantas #aneras:

dA os nios las nias (ueden sentarse en una =la.P5=5 %=120

eA Pueden sentarse en =la si las nias deben estar +untas los nios ta#bi;n

P2$ P3$ P2=2% $3 % $2 %=24

*A Pueden sentarse en =la si solo las nias se sientan +untas.P3$ P3=3 % $3 %=36

!A Pueden sentarse en =la alternados.P3$ P2=3 % $2 %=12

). En una clase de /0 alu#nos 3an a distribuirse 1 (re#ios.%3eri!uar de cuantos #odos se (uede Dacer si los (re#ios sondi*erentes.

P (10 ! 3 )= 10 %

(103 )%=10 %

7 % =720

,. Cuantos n?#eros de ) ci*ras di*erentes se (uede *or#ar con losd!itos: /626169656)

P6=6 %=720



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/5



4. Se reali>an (ruebas con , recubri#ientos usados en la(roteccin de cables de =bra (tica contra el *rio e


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/)



colocar estos /4 libros @os libros del #is#o ti(o se consideranindistin!uibles entre sA.

es. 29051,)0

4. Con las ci*ras 26 26 26 16 16 16 16 96 9 cu"ntos n?#eros de nue3eci*ras se (ueden *or#ar

es. /2)0

. &e cu"ntas *or#as (ueden colocarse los // +u!adores de uneui(o de *?tbol teniendo en cuenta ue el (ortero no (uedeocu(ar otra (osicin distinta ue la (ortera

es./0Q

/0. Cu"ntas #aneras di*erentes Da de

asi!nar las (osiciones de salida de 4 autos ue (artici(an en unacarrera de *r#ula uno @Considere ue las (osiciones de salida delos autos (artici(antes en la carrera son dadas total#ente al a>arAb. Cu"ntas #aneras di*erentes Da de asi!nar los (ri#eros tres(re#ios de esta carrera de *r#ula uno

es.a9 906120 #anerasb9 11) #anerasc9

//. n 3endedor uiere 3isitar 5 ciudades@(or e+e#(lo %lbacete6 Barcelona6 Crdoba6 &enia Este(onaA. Si

no uiere re(etir ciudades6 cu"ntas rutas distintas (uede elaborarsi (uede e#(e>ar acabar en cualuiera de las ciudades

es. /20

/2. Cu"ntos n?#eros de 1 ci*ras @donde la(ri#era (or la i>uierda no es un ceroA e


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/,



/5. &e cu"ntas *or#as (ode#os contestarun e


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/4



22. Cu"ntos n?#eros de 1 ci*ras @donde la(ri#era (or la i>uierda no es un ceroA e


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/



1/. &e cu"ntas *or#as distintas (ueden sentarse ocDo (ersonasen una =la de butacas

es. 90120

12. Cu"ntos n?#eros de 5 ci*ras di*erentes se (uede *or#arcon los d!itos: /6 26 16 96 5.

es. /20

11. Cu"ntos n?#eros de tres ci*ras se (uede *or#ar con losd!itos: 06 /6 26 16 96 5

es. /40

19. &e cu"ntas *or#as distintas (ueden sentarse ocDo (ersonasalrededor de una #esa redonda

es. 5090

15. Cu"ntas uinielas de una colu#na Dan de rellenarse (araase!urarse el acierto de los /5 resultados

es. /91940,

1). Con las letras de la (alabra libro6 Cu"ntas ordenacionesdistintas se (ueden Dacer ue e#(iecen (or 3ocal

es. 94

1,. Cu"ntos n?#eros de cinco ci*ras distintas se (ueden *or#ar

con las ci*ras i#(areses. /20

14. En el (alo de seales de un barco se (ueden i>ar tresbanderas ro+as6 dos a>ules cuatro 3erdes. Cu"ntas sealesdistintas (ueden indicarse con la colocacin de las nue3ebanderas

es. /2)0

1. na #esa (residencial est" *or#ada (or ocDo (ersonas6 decuantas *or#as distintas se (ueden sentar6 si el (residente elsecretario sie#(re 3an +untos

es. /0040

90. Se ordenan en una =la 5 bolas ro+as6 2 bolas blancas 1bolas a>ules. Si las bolas de i!ual color no se distin!uen entre s6de cuantas *or#as (osibles (ueden ordenarse

es. 2520



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20



9/. &e cuantas *or#as di*erentes se (ueden cubrir los (uestosde (residente6 3ice(residente tesorero de un club de *utbolsabiendo ue Da /2 (osibles candidatos

es. /120

92. Cuatro libros distintos de #ate#"ticas6 seis di*erentes de*sica dos di*erentes de u#ica se colocan en un estante. &ecuantas *or#as distintas es (osible ordenarlos si:

a9 os libros de cada asi!natura deben estar todos +untos.b9 Sola#ente los libros de #ate#"ticas deben estar +untos.

es. a. 20,1)0 b. 4,0/20

91. na Deladera tiene /) sabores dis(onibles. &e cuantas*or#as se (ueden (edir ) Delados si:

a9 No se eli!e el #is#o sabor #"s de una sola 3e>b9 Se (uede (edir un #is#o sabor Dasta ) 3ecesc9 n sabor no se (uede (edir #"s de 5 3ecesd9 a #itad debe ser de *resa

es. a. 4004 b. /),,,2/) c. /5,24)9 d. 11,5

99. En un len!ua+e de co#(utacin un identi=cador consta deuna letra o de una letra se!uida de Dasta siete s#bolos ue(ueden ser letra o d!itos. @En este len!ua+e son indistin!uibles lasletras #a?sculas #in?sculas. a 2) letras /0 d!itos.Cu"ntos identi=cadores di*erentes se (ueden utili>ar en el

len!ua+e de la co#(utacines. 2.095710

12

95. En cualuier set de un (artido de tenis el o(onente R (uede3encer al o(onente - de siete #aneras. @Con el #arcador ) ) se+ue!a un dese#(ate: tie breaerA. El (ri#er tenista ue !ane tressets obtiene la 3ictoria. &e cuantas #aneras se (ueden re!istrarlos resultados si:

a9 R !ana en 5 setsb9 Para !anar el (artido se necesita +u!ar co#o #ni#o tres

setses. a. ),224 b. ,9,,9

9). Con las letras de la (alabra UMOSEU Cu"ntas (alabrasdistintas se (ueden *or#ar

es. /20



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2/



9,. Con los d!itos i#(ares6 Cuantos nueros de 9 ci*ras distintas(uede *or#ar

es. 29

94. Huere#os ordenar los , libros ue tene#os: 9 son deMate#"ticas6 2 de e!ua / de *sica@los de una #is#a #ateriason i!ualesA &e cuantas *or#as (ode#os ordenarlos en elestante

es. /2)0

9. &e cu"ntos (artidos consta una li!uilla *or#ada (or cuatroeui(os

es. /2

50. &e cu"ntas *or#as (ueden colocarse los // +u!adores de uneui(o de *?tbol teniendo en cuenta ue el (ortero no (uedeocu(ar otra (osicin distinta ue la (ortera &is(one#os de /0+u!adores ue (ueden ocu(ar /0 (osiciones distintas.

es. 91)24400

5/. Se busca las di*erentes ternas @ V 1A ue se (ueden *or#arcon los /0 atletas @n V /0A

es. ,20

52. &e cu"ntas #aneras di*erentes se (odr"n ubicar las ci*ras

del / al , en la si!uiente =!ura

es. 490

51. a #esa de in3itados en una boda est" *or#ada (or ocDoser3icios6 &e cu"ntas *or#as distintas se (ueden sentar los

in3itadoses. 5090

59. En una asa#blea de accionistas6 Da ) (ersonas ue Dansolicitado Dacer uso de la (alabra En cu"ntas rdenes di*erentes(ueden Dablar6 si es ue no se Da establecido un orden de(rioridades

es. ,20



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22



55. En un (roceso de #anu*actura Da seis o(eracionesdistintas6 ue se indican con %6 B6 C6 &6 E W. En !eneral no ea en otra O#ar una

es. 5090

54. Obten!a todas las seales (osibles ue se (ueden disearcon seis banderines6 dos de los cuales son ro+os6 tres son 3erdes uno #orado.

es. )0

5. El n?#ero uno inicial nos indica ue e


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21



es. ,20

)/. aA Cu"ntas cla3es de acceso a una co#(utadora ser"

(osible disear con los n?#eros /6 /6 /6 26 16 16 1616 bA cu"ntasde las cla3es anteriores e#(ie>an (or un n?#ero uno se!uido deun dos6 cA cu"ntas de las cla3es del inciso a e#(ie>an (or eln?#ero dos ter#inan (or el n?#ero tres

es. a. 240 b. /5 c. 20

R!solcin

/. &e cu"ntas #aneras (ueden Dacer cola , a#i!os ue est"nes(erando (ara entrar al cine Tene#os ue *or#ar !ru(os con los, a#i!os.

Se 3eri=ca ue en cada !ru(o:S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.No se re(iten los ele#entos.El n?#ero de (er#utaciones sin re(eticin de , ele#entos es:

2. Tene#os ue *or#ar !ru(os de 5 ele#entos donde el (ri#ero sere(ite 2 3eces el se!undo 1 3eces.

Tene#os ue *or#ar !ru(os de 5 ele#entos donde el (ri#ero sere(ite 2 3eces el se!undo 1 3eces. Tene#os ue *or#ar !ru(osde 5 ele#entos donde el (ri#ero se re(ite 2 3eces el se!undo 13eces.

Se 3eri=ca ue en cada !ru(o:S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.S se re(iten los ele#entos.El n?#ero de (er#utaciones con re(eticin de 5 ele#entos

donde uno se re(ite dos 3eces otras tres 3eces es:

1. &e cu"ntas #aneras se (ueden sentar /0 (ersonas en una #esacircular

Co#o las (ersonas est"n colocadas alrededor de unacircun*erencia6 si traslada#os a todas las (ersonas un asiento6obtene#os una (osicin ue es e


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29



9. Cu"ntos n?#eros distintos se (ueden *or#ar con las ci*ras2//95994

Tene#os ue *or#ar !ru(os de /0 ele#entos donde el (ri#erose re(ite dos 3eces6 el se!undo una 3e>6 el tercero tres 3eces6 elcuarto una 3e>6 el uinto una 3e> el se6 dos de ellos se re(iten dos3eces uno tres 3eces es:

5. En una (arada de autob?s est"n es(erando tres a#i!as dos(ersonas #aores. &e cu"ntas #aneras (ueden sentarse estascinco (ersonas si las tres a#i!as uieren estar sie#(re +untas(ara (oder Dablar entre ellas

as tres a#i!as 3an sie#(re +untas6 as ue tene#os ue *or#ar!ru(os con estas tres a#i!as.

Se 3eri=ca ue en cada !ru(o:S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.No se re(iten los ele#entos.El n?#ero de (er#utaciones sin re(eticin de 1 ele#entos es:

%Dora Da ue tener en cuenta la #anera en la ue se sientanlas tres a#i!as las dos (ersonas #aores. Si considera#os al!ru(o de las a#i!as co#o una unidad6 tene#os el !ru(o de lasa#i!as6 una (ersona #aor otra (ersona #aor6 es decir6 1ele#entos. %s ue tene#os ue 3ol3er a Dallar el n?#ero de

(er#utaciones sin re(eticin de 1 ele#entos.

). &e cu"ntas *or#as distintas se (ueden sentar tres cDicos doscDicas en una =la de butacas de cine si no (ueden estar +untos nidos cDicos ni dos cDicas

Considere#os la si!uiente notacin:



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25



a. O: cDicob. %: cDica

Co#o no (ueden sentarse ni dos cDicos ni dos cDicas +untos6 la#anera en la ue se sentar"n es:O%O%OEs decir6 la =la tiene ue e#(e>ar acabar (or cDico

necesaria#ente.n cDico (uede ocu(ar entonces las (osiciones /6 1 5. Entonces

(ara saber de cuantas #aneras se (ueden sentar los cDicostene#os ue *or#ar !ru(os con los 1 cDicos.

Se 3eri=ca ue en cada !ru(o:S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.

No se re(iten los ele#entos.El n?#ero de (er#utaciones sin re(eticin de 1 ele#entos es:

&e #anera an"lo!a6 las cDicas (ueden ocu(ar las (osiciones 2 9. Entonces (ara saber de cu"ntas #aneras se (ueden sentar lascDicas tene#os ue *or#ar !ru(os con las dos cDicas.

%s ue el n?#ero de (er#utaciones sin re(eticin de 2ele#entos es:

,. En una estantera caben /4 libros. a , libros de "l!ebra6 1 dec"lculo ) de (robabilidad. &e cu"ntas #aneras se (uedencolocar estos /4 libros @os libros del #is#o ti(o se consideranindistin!uibles entre sA.

Tene#os ue *or#ar !ru(os de /4 ele#entos donde uno sere(ite , 3eces6 otras 1 3eces otras ) 3eces. Co#o no nos dicennada acerca de los dos restantes6 su(one#os ue Da uno de cadati(o distintos a los ti(os anteriores.

Se 3eri=ca ue en cada !ru(o:

S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.S se re(iten los ele#entos.El n?#ero de (er#utaciones con re(eticin de /4 ele#entos

donde uno se re(ite , 3eces6 otro 16 otras ) 3eces6 los dos?lti#os una 3e> es:



26/473

2)



4. Con las ci*ras 26 26 26 16 16 16 16 96 9 cu"ntos n?#eros de nue3eci*ras se (ueden *or#ar

# V a V 1 b V 9 c V 2 a Y b Y c V S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.S se re(iten los ele#entos.

. &e cu"ntas *or#as (ueden colocarse los // +u!adores de uneui(o de *?tbol teniendo en cuenta ue el (ortero no (uedeocu(ar otra (osicin distinta ue la (ortera

&is(one#os de /0 +u!adores ue (ueden ocu(ar /0 (osicionesdistintas.S entran todos los ele#entos.S i#(orta el orden.No se re(iten los ele#entos.

/0. Cu"ntas #aneras di*erentes Da deasi!nar las (osiciones de salida de 4 autos ue (artici(an en unacarrera de *r#ula uno @Considere ue las (osiciones de salida delos autos (artici(antes en la carrera son dadas total#ente al a>arA

b. Cu"ntas #aneras di*erentes Da de asi!nar los (ri#eros tres(re#ios de esta carrera de *r#ula uno

aA n V 46 r V 44P4V 4Q V 4 < , < ) < 5 < 9


27/473

2,



restantes. Para la tercera ciudad tiene 1 o(ciones. Para la cuarta62. - (ara la ?lti#a6 /.

%s ue (uede elaborar 5 Z 9 Z 1 Z 2 Z / V /20 rutas distintas.

Pode#os utili>ar ta#bi;n la *r#ula de las (er#utaciones decirue:

/2. Cu"ntos n?#eros de 1 ci*ras @donde la(ri#era (or la i>uierda no es un ceroA ear cualuiera de los /2 corredores.El se!undo est" al alcance de // corredores6 el tercero (uede ser(ara cualuiera de los /0 restantes.

%s ue ear la *r#ula de las 3ariaciones sin

re(eticin

/9. Cu"ntos n?#eros de 5 ci*ras son di3isibles (or 5

Para ue un n?#ero sea di3isible (or cinco debe acabar en 0 o 56as ue:

Pode#os ele!ir la (ri#era ci*ra de entre @/6 26 16 96 56 )6 ,6 46 6si la (ri#era ci*ra es 0 no cuenta co#o n?#ero de 5 ci*rasA.Pode#os ele!ir la se!unda ci*ra de entre /0 @nos 3ale cualuier!uaris#oA. Ta#bi;n (ode#os ele!ir de entre /0 la tercera la



28/473

24



cuarta ci*ra. a ?lti#a ci*ra solo (uede ser 0 56 lo ue nos da solo2 (osibilidades.

%s ue e


29/473

2



(ode#os ser3ir de los /0 sabores6 (or lo ue es una (er#utacinre(etida.

/. En una urna Da bolas6 1 blancas6 2ro+as 9 ne!ras. &e cuantas *or#as distintas se (ueden ear ta#bi;n la *r#ula de las (er#utaciones decir

ue:

22. Cu"ntos n?#eros de 1 ci*ras @donde la(ri#era (or la i>uierda no es un ceroA e


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10



Pode#os ele!ir la (ri#era ci*ra de entre (osibilidades @/6 26 1696 56 )6 ,6 46 A. as si!uientes dos ci*ras (ode#os ele!irlas deentre /0 (osibilidades cada una @los /0 !uaris#osA.

%s ue e


31/473

1/



P @969AV @9.1.2./A V 1)

2). &e cuantos *or#as distintas se (ueden

colocar 4 (ersonas en una =la (ara to#ar una *oto

P @46/AV4

2,. Se tiene 5 banderas de di*erentescolores Cuantas seales di*erentes se (ueden en3iar usando lasal #is#o tie#(o

P @565AV @5.9.1.2./AV/2024. &e cuantas #aneras se (ueden

re(artirse 1 (re#ios a un con+unto de 4 (ersonas6 su(oniendo ue

cada una no (uede recibir #"s de un (re#io

n@%A[n@BA[n@CA

4R,R)V11)

2. Cuantos #ensa+es (ueden en3iar con /2banderas utili>adas todas si son 9 a#arillas 1 3erdes 2 ro+as

P @/26 96 16 2A V @/2.//./0..4.,.).5.9.1.2./[email protected]./.1.2./.2./AV/))1200

10. &e un !ru(o de ) econo#istas in!enieros se 3a a *or#ar una co#isin. En cuantas *or#asdistintas (ueden seleccionarse si la co#isin debe estar *or#ada(or 9 (ersonas deben ser econo#istas 2 in!enieros

P @)62A[ P@62AV @@).5.9.1.2./AJ@2./AA[@@.4.,.).5.9.1.2./AJ@2./AAV 2/)0

1/. &e cu"ntas *or#as distintas (ueden sentarse ocDo (ersonasen una =la de butacas

P8=8 %=40320

12. Cu"ntos n?#eros de 5 ci*ras di*erentes se (uede *or#arcon los d!itos: /6 26 16 96 5.



32/473

12



P5=5 %=120

11. Cu"ntos n?#eros de tres ci*ras se (uede *or#ar con los

d!itos: 06 /6 26 16 96 5P(5,1)&P(6,2)=5 &62=180

19. &e cu"ntas *or#as distintas (ueden sentarse ocDo (ersonasalrededor de una #esa redonda

PC8=P(81)=(81)%=7 %=5040

15. Cu"ntas uinielas de una colu#na Dan de rellenarse (araase!urarse el acierto de los /5 resultados

P @@16/5AAV1\/5V/91940,

1). Con las letras de la (alabra libro6 Cu"ntas ordenacionesdistintas se (ueden Dacer ue e#(iecen (or 3ocal Si e#(ie>a (oruna 3ocal seran: i o.

P2P4=2 %4 %=24321=48

1,. Cu"ntos n?#eros de cinco ci*ras distintas se (ueden *or#arcon las ci*ras i#(ares

P5=5 %=120

14. En el (alo de seales de un barco se (ueden i>ar tres

banderas ro+as6 dos a>ules cuatro 3erdes. Cu"ntas sealesdistintas (ueden indicarse con la colocacin de las nue3ebanderasn=9'o(as=3 azules=2 erdes=2 )ro(as+azules+erdes=9

deopciones= 9%

3%4 %2%=1260 @Per#utacin con re(eticinA

1. na #esa (residencial est" *or#ada (or ocDo (ersonas6 decuantas *or#as distintas se (ueden sentar6 si el (residente el

secretario sie#(re 3an +untosPresidente secretario sie#(re +untosPS] ] ] ] ] ] ]

P2P7=2%4 %=27654321=10080

90. Se ordenan en una =la 5 bolas ro+as6 2 bolas blancas 1bolas a>ules. Si las bolas de i!ual color no se distin!uen entre s6de cuantas *or#as (osibles (ueden ordenarse



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11



n=10'o(as=5*lancas=2azules=3 )ro(as+azules+erdes=9

deopciones= 10 %

5 %2 %3 %=2520

@Per#utacin con re(eticinA

9/. &e cuantas *or#as di*erentes se (ueden cubrir los (uestosde (residente6 3ice(residente tesorero de un club de *utbolsabiendo ue Da /2 (osibles candidatos

V(12,3 )=12 %

9 %=121110=1320

92. Cuatro libros distintos de #ate#"ticas6 seis di*erentes de*sica dos di*erentes de u#ica se colocan en un estante. &ecuantas *or#as distintas es (osible ordenarlos si:

a. os libros de cada asi!natura deben estar todos +untos.

MMMM WWWWWW HH

1P4P6P2P 3=4 %6 %2%3 %=207360

b. Sola#ente los libros de #ate#"ticas deben estar +untos.MMMM W W W W W W H H

9 P4P9=4 %9 %=8709120

91. na Deladera tiene /) sabores dis(onibles. &e cuantas*or#as se (ueden (edir ) Delados si:a( No se eli!e el #is#o sabor #"s de una sola 3e>b( Se (uede (edir un #is#o sabor Dasta ) 3ecesc( n sabor no se (uede (edir #"s de 5 3ecesd( a #itad debe ser de *resa

aA /) sabores ) Delados

(16,6 )= 16 %6 % (166 ) %

=8008

bA /) sabores ) Delados+ (16,6 )=16 6=16777216

cA /5 sabores en un Delado /) sabores en 5 Delados



34/473

19



deopciones=151165=15728649

dA1 Delados solo de *resa

+ (15,3 )=153

=3375

99. En un len!ua+e de co#(utacin un identi=cador consta deuna letra o de una letra se!uida de Dasta siete s#bolos ue(ueden ser letra o d!itos. @En este len!ua+e son indistin!uibles lasletras #a?sculas #in?sculas. a 2) letras /0 d!itos.Cu"ntos identi=cadores di*erentes se (ueden utili>ar en ellen!ua+e de la co#(utacin

Es(acio #uestral V 1) Dasta , s#bolos.

26 x=0

7

(36x )=2.09571012

95. En cualuier set de un (artido de tenis el o(onente R (uede3encer al o(onente - de siete #aneras. @Con el #arcador ) ) se+ue!a un dese#(ate: tie breaerA. El (ri#er tenista ue !ane tressets obtiene la 3ictoria. &e cuantas #aneras se (ueden re!istrarlos resultados si:

a. R !ana en 5 setsb. Para !anar el (artido se necesita +u!ar co#o #ni#o tres

setsaA^, #aneras de 3encerdeopciones=475=67228

bA^!ana en tres sets. deopciones=73+(374 )+( 475 )=74774

9). Con las letras de la (alabra FMOSEG Cu"ntas (alabrasdistintas se (ueden *or#ar

P5=5 %=54321

P5=120palar*rasdistintas

9,. Con los d!itos i#(ares6 Cuantos nueros de 9 ci*ras distintas(uede *or#ar

Vmm=Pn=n %



35/473

15



V44=P4=4 %

P4=4 %=24 numerosdistintos,

94. Huere#os ordenar los , libros ue tene#os: 9 son deMate#"ticas6 2 de e!ua / de *sica @los de una #is#a #ateriason i!ualesA

&e cuantas *or#as (ode#os ordenarlos en el estante

Pna!* !c=

n%

a %* %c %

P94,3,2= 7 %4 %2%1 %

7654 %4 %3 %2 %

210

2 =1260 formasde ordenar

9. &e cu"ntos (artidos consta una l i!ui lla *or#ada (orcuatro eui(os

P42=43

P42=12

50. &e cu"ntas *or#as (ueden colocarse los // +u!adores deun eui(o de *?tbol teniendo en cuenta ue el (ortero no (uede

ocu(ar otra (osicin distinta ue la (ortera &is(one#os de /0+u!adores ue (ueden ocu(ar /0 (osiciones distintas.

P10=10 %



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1)



P10=43628800

5/. Se busca las di*erentes ternas @ V 1A ue se (ueden *or#arcon los /0 atletas @n V /0A

P310=

10 %

7 %

P310=

7 %

7 %8910

P310=720

52. &e cu"ntas #aneras di*erentes se (odr"n ubicar las ci*rasdel / al , en la si!uiente =!ura

demaneras=75 %=720=840

51. a #esa de in3itados en una boda est" *or#ada (or ocDoser3icios6 &e cu"ntas *or#as distintas se (ueden sentar losin3itados

PC8=(81 ) %

PC8=7 %

PC8=5040

59. En una asa#blea de accionistas6 Da ) (ersonas ue Dansolicitado Dacer uso de la (alabra En cu"ntas rdenes di*erentes(ueden Dablar6 si es ue no se Da establecido un orden de(rioridades



37/473

1,



P6=6 %

P6=654321

P5=720

55. En un (roceso de #anu*actura Da seis o(eracionesdistintas6 ue se indican con %6 B6 C6 &6 E W. En !eneral no e


38/473

14



Es(ar>a6 c. Cu"ntas #aneras Da de ue se ocu(en las(osiciones de +ue!o si es necesario ue en una de ellas este rielXos; Es(ar>a en otra O#ar una

P512=

12%

(125)%

P512=

12 %

7 %

P512=

121110897 %7 %

P512=95040

54. Obten!a todas las seales (osibles ue se (ueden disearcon seis banderines6 dos de los cuales son ro+os6 tres son 3erdes uno #orado.

n V ) banderines


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1



n V "rbolesan (or un n?#ero uno se!uido de undos6 cA cu"ntas de las cla3es del inciso a e#(ie>an (or eln?#ero dos ter#inan (or el n?#ero tres

aA n V 4 n?#eros


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90



Combinacin sin repeticin

C(n ! r )=nCr= n%r % (nr ) %

E+ercicios:

/ % (artir de un !ru(o de 5 estadsticos ) econo#istas se 3as a*or#ar un co#it; de 1 estadsticos 2 econo#istas Cu"ntosdi*erentes se (ueden *or#ar si

bA No se i#(onen restricciones.

C(5 !3 )$ C(6 !2 )= 5 %

3 % (53 )%$

6 %

2% (62 ) %=10$15=150

cA 2 estadsticos en (articular deben estar en el co#it;.

C(5 ! 1 )$C(6 ! 2 )= 5 %1 % (51 )%

$ 6 %

2% (62 ) %=5 $15=75

dA / econo#ista en (articular no (uede estar en el co#it;.

C(5 ! 3 )$ C(5 ! 2 )= 5 %

3% (53 ) %$

5 %

2 % (52 )%=10$ 10=100

. Cu"ntos co#it;s de / (residente 1 3ocales se (ueden *or#ara (artir de un !ru(o de 4 (ersonas6 las cuales (ueden ocu(artodas cualuier (uesto

C(8 ! 1 )$ C(7 ! 3 )= 8 %

1% (81 ) %

$ 7 %

3 % (73 ) %

=8 $35=280

/0. n !ru(o escolar consta de /) alu#nos. Es necesario *or#arsi#ult"nea#ente 1 eui(os con ellos6 uno de 5 alu#nos (ara ira la Cru> o+a6 otro de 1 alu#nos (ara 3isitar el os(ital eltercero de 2 alu#nos (ara ir al Banco. &e cuantas #aneras se(ueden distribuir



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9/



C(16 !5 )$ C(11!3 ) $C(8 !2 )=

16 %

5 % (165 ) %$

11%

3 % (113 )%$

8 %

2 % (82 )%

4368 $165 $28=20180160

//. Se tiene siete n?#eros (ositi3os cinco ne!ati3os. &ecuantas #aneras se (ueden #ulti(licar tres de ellos (ara ue elresultado sea (ositi3o

C(7 !3 )+C(5 !2 )$ C(7 !1 )= 7 %

3% (73 ) %+

5 %

2% (52 )%$

7 %

1% (71 ) %

35+10 $7=105

Combinacin con repeticin

C(n ! r )=nCr=Crn=

(n+r1 ) %r % (n1 )%

E+ercicios:

/ Cu"ntas =cDas tiene el +ue!o de do#ino

C(7 ! 2 )=(7+21 )%

2 % (71 ) %

= (8 )%

2 % (6 ) %

=40320

1440

=28

/2. En una (astelera Da ) ti(os distintos de (asteles. &ecuantas *or#as se (ueden ele!ir 9 (asteles

C(6 !4 )=(6+41 )%4 % (61 )%

= (9 ) %4 % (5 ) %

=362880

2880 =126

/1. En una bode!a Da cinco ti(os di*erentes de botellas. &ecuantas *or#as se (ueden ele!ir cuatro botellas

C(5 ! 4 )=(5+41 ) %4 % (51 ) % =

(8 )%4 % (5 )%=

40320

2880 =14

/9. Calcular las co#binaciones con re(eticin de los ele#entos@a6 b6 c6 dA to#ados de dos en dos.

C(4 !2 )=(4+21 )%2% (41 )%

= (5 )%2 % (3 ) %

=120

12=10



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92



NOT%: SI dentro del con+unto de n ele#entos ue se tiene (araesco!er e


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91



9 %

3 % $4 % $2%=362880

288 =1260

/,. En el (alo de seales de un barco se (ueden i>ar cuatrobanderas ro+as6 dos a>ules cinco 3erdes. Cu"ntas sealesdistintas (ueden indicarse con la colocacin de las oncebanderas

11%

4 % $2 % $5 %=

39916800

5760 =6930

E-!"cicios d! Co%binacion!s

Ennciados

/. Cu"ntas dia!onales tiene un (ent"!ono cu"ntos tri"n!ulos se(uede in*or#ar con sus 3;rtices

'es ,10(2ran1ulos)

2. Cu"ntos eui(os de 3oleibol se (ueden *or#ar a (artir de +u!adores dis(onibles

Se reuieren ) +u!adores (ara *or#ar un eui(o de 3oleibol6 (orlo ue6 en este caso se tiene ue: n V r V )

'es ,84

1. Cu"ntas co#it;s de / (residente 1 3ocales se (ueden *or#ar a(artir de un !ru(o de 4 (ersonas6 las cuales (ueden ocu(ar todascualuier (uesto

Se reuiere una sola (ersona6 de entre las 4 dis(onibles6 (araocu(ar el car!o de (residente6 1 de entre las siete ue restan(ara ocu(ar el (uesto de 3ocal. Se trata de un (roble#a deco#(osicin6 a ue la co#binacin total @el co#it;A se co#(one asu 3e> de 3arias subco#binaciones. Si n( es el n?#ero dis(onible

de (ersonas (ara (residente6 r( es el n?#ero de (ersonas ue seseleccionar"n (ara (residente6 n3 es el n?#ero dis(onible de(ersonas (ara 3ocales r3 es el n?#ero de (ersonas ue seseleccionar"n (ara 3ocales6 en este caso se tiene ue:

Presidente: n(V4 r(V/

$ocales: n3V, r3V1



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99



'es ,280

9. n estudiante debe res(onder /0 (re!untas de un cuestionarioue consta de /5 reacti3os. &e cu"ntas #aneras (uede Dacerlo sidebe contestar e restantes6 ue son C@/06,A *or#as.

'es ,1200

5. Se tienen siete n?#eros (ositi3os cinco ne!ati3os. &e cu"ntas#aneras se (ueden #ulti(licar tres de ellos (ara ue el resultadosea (ositi3o

Tres n?#eros #ulti(licados dan un (roducto (ositi3o en doscasos:

Si los tres son (ositi3os'es ,10

). Si en el sorteo Melate se tienen 59 n?#eros Da ue atinarle a

seis de ellos cualesuiera (ara sacarse el (ri#er lu!ar6 Cu"ntas#aneras di*erentes es (osible atinarle a seis n?#eros

Si de 59 Da ue atinarle a seis6 entonces la solucinsi#(le#ente es

'es ,25827165

,. na tar+eta de circuito i#(resa se (uede co#(rar de entre 5(ro3eedores. &e cu"ntas #aneras (uede ele!irse 1 (ro3eedores

'es ,10

4. na #ano de Per consta de 5 cartas6 si el #a>o (osee 52 cartas&e cu"ntas *or#as se (uede recibir una #ano



45/473

95



&ado ue es indi*erente el orden de lle!ada de las cartas6entonces:

'es ,2598960

. n co#it; de 9 (ersonas 3a a ser seleccionado de un !ru(o de 1estudiantes de 9to. %o6 9 de 1ro. - 5 de 2do. Si dos estudiantesde tercero no son ele!ibles. &e cu"ntas #aneras (uedeseleccionarse el co#it; con 2 estudiantes de 2do.6 / de 1ro. - / de9to

&ado ue no es i#(ortante el orden de eleccin6 entonces:Para ele!ir dos estudiantes de se!undo ao: C@26 5APara ele!ir un estudiante de tercer ao dado ue dos no son

ele!ibles: @/6 2A

Para ele!ir un estudiante de cuarto: @/6 1AEntonces tene#os ue:

'es ,60

/0. n a#i!o le uiere re!alar a otro 2 libros los (uede ele!irde entre /5 o(ciones di*erentes. &e cu"ntas *or#as (uedeDacerlo

&ado ue no es i#(ortante el orden en el cual los libros sonele!idos6 entonces:

'es ,105

//. na #ano de Per consta de 5 cartas. &e cu"ntas #aneras(osibles se (uede obtener un *ull @un (ar Yun trioA

Tro: &ado ue un tro est" *or#ado (or 1 cartas del #is#o 3alorue son ele!ibles de un total de 9 @un tro de ases se (uede ele!irde un total de 9 ases ue tiene el #a>oA6 entonces:

Pero dado ue Da /1 di*erentes 3alores de cartas6 entonces un

tro se (uede obtener de las si!uientes *or#as:C@/16/A _ C@961A

Par: &ado ue un (ar est" *or#ado de 2 cartas del #is#o 3alorue son ele!ibles de un total de 9 @un (ar de rees se (uede ele!irde un total de 9 rees ue tiene el #a>oA6 entonces:

C@962A



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9)



Pero dado ue Da /2 di*erentes 3alores de cartas @a se eli!iun troA6 entonces un (ar se (uede obtener de las si!uientes*or#as:

C@/262A < C @962AEntonces:

'es ,3744

/2. Xos; tiene a#i!os desea in3itarlos a cenar6 (ero slo(uede in3itar a ) si#ult"nea#ente. Cu"ntos !ru(os distintos dein3itados (uede tener

Huere#os saber cu"ntos !ru(os distintos (ode#os *or#arinde(endiente#ente del orden en ue se eli+a los in3itados.

'es ,84 1rupos distintos de initados

/1. En una Deladera dis(onen de /5 sabores di*erentes deDelados Cu"ntos Delados de 1 sabores di*erentes (ueden o*recer

'es , 455 helados diferentes

/9. El +ue!o de la Pri#iti3a consiste en acertar ) n?#erosnaturales a ele!ir entre el / el 9. Cu"ntas (osiblesco#binaciones Da Si cada co#binacin nos cuesta /` Cu"ntonos tendre#os ue !astar (ara ase!urar ue 3a#os a acertarse!uro los ) n?#eros

Huere#os acertar ) n?#eros de 9 (osibles6inde(endiente#ente del orden en ue los eli+a#os.

'es ,13.983.816

/5. Se Dan reunido 5 a#i!os. Cu"ntos saludos se Daninterca#biado si se Dan saludado todos entre s

Co#o no inue el orden6 se trata de Dallar el n?#ero deco#binaciones de 5 ele#entos to#ados de 2 en 2.

'es ,10 saludos



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9,



/). os alu#nos del ?lti#o curso de un centro escolar desean*or#ar una co#isin con1 alu#nas 2 alu#nos (ara or!ani>ar el3ia+e de =n de curso. El n?#ero total de alu#nas es de 25 el dealu#nos es de 20.

&e cu"ntas *or#as distintas (ueden co#(letar dicDa co#isin

'es , 437000

/,. En un interca#bio cultural6 el #onitor res(onsable deseadistribuir (or (are+as a los 29 alu#nos ue (artici(an (araco#(letar los asientos del autob?s ue 3an a utili>ar en los

des(la>a#ientos.&e cu"ntas *or#as (uede reali>arlo

Si Da 4 alu#nos del #is#o (as6 en cu"ntas dis(osicionesestos 4 alu#nos no est"n e#(are+ados entre ellos

'es , 294 alu#nos

/4. Si Da (ersonas ele!ibles &e cu"ntas #aneras se (uede*or#ar un co#it; de 9 (ersonas6 si una de las (ersonas Da de

*or#ar (arte sie#(re del co#it;'es ,56 formas posi*les

/. na (ersona desea in3itar a 5 de sus a#i!os entre un !ru(ode 4 a#istades. &e cu"ntas #aneras (uede Dacerlo:

aA En total

bA Si las (ersonas % B no deben ir +untas

cA Si las (ersonas % B no (ueden ir (or se(arado

es.

aA 5) *or#as

bA 36 formas



48/473

94



cA 26 formas

20. niendo 5 3;rtices de un De(t"!ono se obtiene un(ent"!ono

Cuantos (ent"!onos distintos se (ueden conse!uir si!uiendoeste (rocedi#iento

'es ,21pent.1onos

2/. n estudiante debe res(onder /0 (re!untas de un

cuestionario ue consta de /) reacti3os. &e cuantas #aneras(uede Dacerlo si debe contestar e


49/473

9



29. Xuan uiere irse de 3ia+e el =n de se#ana dis(one de 5ca#isetas de las cuales desea lle3ar 1. &e cuantas *or#asdistintas (uede reali>ar la eleccin

'es ,10 formasdistintas

25. na e#(resa necesita /9 (ersonas (ara Dacer un traba+o6distribuidas de la si!uiente *or#a: 9 #u+eres6 5 Do#bres losrestantes (ueden ser de uno u otro se


50/473

50



2. En una li!a de 4 clubes de (elota Cu"ntos encuentros see*ectuaran si cada eui(o +ue!a 1 con cada uno de los restantes

'es , 49 encuentros

10. Se desea *or#ar un co#it; de 9 (ersonas de un curso de 21estudiantes. Calcular el n?#ero de co#it;s ue se (ueden *or#ar

'es ,8855 comits

1/. En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir un co#it;*or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;s di*erentes se (ueden*or#ar

'es , )595

12. En una bode!a Da en un cinco ti(os di*erentes de botellas.&e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ir cuatro botellas

'es , 90

11. Cu"ntas dia!onales tiene un (ent"!ono cu"ntos

tri"n!ulos se (uede in*or#ar con sus 3;rtices

'es , /0

19. En una (rueba de atletis#o en la ue (artici(an 4 atletas se(ueden clasi=car slo 1 (ara la =nal. Cuantos !ru(os distintos de=nalistas se (ueden *or#ar

'es , 5)

15. Cu"ntas co#binaciones se (ueden Dacer con dos ele#entosto#ados del con+unto CVKa6b6 c6d6e6 *L Escribe las co#binaciones(osibles.

'es , /5



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5/



1) . &e cu"ntas *o r#as (ueden #e>cla rse l os sie tecolores del arco iris to#"ndolos de tres en tres

'es , 15

En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir unco#it; *or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;sdi*erentes se (ueden *or#ar

'es , )595

1, . Cu"ntas a(ues tas de otera Pr i# iti3a de unacolu#na Dan de rellenarse (ara ase!urarse el aciertode los seis resultados6 de 9

'es ,13983816

14 . En una bode!a Da cinco ti(os d i*e rentes debotellas. &e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ir cuatrobotellas

'es , ,0

1 . n !ru(o6 co#(uesto (or cinco Do#bres sie te#u+eres6 *or#a un co#it; de 2 Do#bres 1 #u+eres. &ecu"ntas *or#as (uede *or#arse6 si:

aA Puede (ertenecer a ;l cualuier Do#bre o #u+er.bA na #u+er deter#inada debe (ertenecer al co#it;.cA &os Do#bres deter#inados no (ueden estar en el

co#it;.es.

aA 150bA /50

cA /05

90. Con nue3e alu#nos de una clase se desea *or#ar treseui(os de tres alu#nos cada uno. &e cuantas #aneras (uedeDacerse

'es , /)40



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52



9/. na (ersona tiene cinco #onedas de distintos 3alores.Cu"ntas su#as di*erentes de dinero (uede *or#ar con las cinco#onedas

'es , 1/

92. Cu"ntos (artidos se +ue!an en un ca#(eonato en el ue(artici(an 20 eui(os en el +ue!an todos contra todos6 uno encasa otro de 3isitante

'es , 140

91. a (roduccin de una #auina consta de 9 *ases. a )

lneas de #onta+e (ara la (ri#era *ase6 1 (ara la se!unda6 5 (arala tercera 5 (ara la cuarta. &eter#ine de cuantas *or#asdistintas se (uede #ontar la #auina en este (roceso de(roduccin.

'es , 950

99. En un (lano Da /5 (untos de los cuales no Da 1 ue seancoloniales. Cu"ntas rectas deter#inan

'es ,

/05

95. Cu"ntos tri"n!ulos deter#inas los 3;rtices de un (ol!onore!ular de lados

'es , 49

9). Calcular el n?#ero de co#binaciones de /0 ele#entosto#ados de 9 en 9.

'es ,

2/0

9,. Cu"ntas =cDas tiene el +ue!o del do#inna =cDa de do#in es un rect"n!ulo en el ue Da dos (artes6

en cada una de ellas Da una serie de (untos ue indican la(untuacin de esa (arte. Estas (untuaciones 3an de blanca @0(untosA a ). Tene#os (ares de (untuaciones de 0 a ).



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51



'es , 24

94. En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir un co#it;*or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;s di*erentes se (ueden*or#ar

No entran todos los ele#entos.No i#(orta el orden: Xuan6 %na.No se re(iten los ele#entos.

'es , )595

9. En una (astelera Da ) ti(os distintos de (asteles. &ecu"ntas *or#as se (ueden ele!ir 9 (asteles

Nota: Si nos !usta un (astel lo (ode#os (edir Dasta cuatro3eces.Esta#os en el caso en el ue no nos i#(orta el orden en ueeli+a#os los (asteles (ode#os re(etir6 son co#binaciones conre(eticin.

'es , /2)

50. En una bode!a Da en una ca+a cinco ti(os di*erentes de

botellas. &e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ir cuatro botellas Noentran todos los ele#entos. Slo eli+e 9.. No i#(orta el orden. &ai!ual ue eli+a 2 botellas de ans 2 de ron6 ue 2 de ron 2 deans. S se re(iten los ele#entos. Puede ele!ir #"s de una botelladel #is#o ti(o.

'es , /2)

5/. &e cuantas #aneras (ueden ordenarse , libros en uninstante

aA Sin nin!una restriccin

bA Tres libros deter#inados deben estar sie#(re +untoscA &os libros deter#inados deben ocu(ar los e


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59



52. Xos; tiene a#i!os desea in3itarlos a cenar6 (ero slo(uede in3itar a ) si#ult"nea#ente. Cu"ntos !ru(os distintos dein3itados (uede tener.


'es , 49

51. n estudiante debe res(onder siete de las die> (re!untas deun e


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55



'es , /20

5. El +ue!o de la Pri#iti3a consiste en acertar ) n?#erosnaturales a ele!ir entre el / el Cu"ntas (osibles co#binacionesDa Si cada co#binacin nos cuesta /` Cu"nto nos tendre#osue !astar (ara ase!urar ue 3a#os a acertar se!uro los )n?#eros

'es , /1.41.4/)

)0. El dueo de un bar desea atraer el n?#ero #"clarlas as tener un n?#ero#"


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5)



n (ro!ra#a de T$ desea (oner 1 (resentadores (ara una !ala

(uedes decir cu"ntos !ru(os de !;neros @Do#bre6 #u+erA distintosse (ueden *or#ar Cu"ntos !ru(os (osibles de se (ueden *or#ar sidis(one#os de , (ersonas

es.

aA 9

bA 15

)1. En una clase Da 25 alu#nos. &e cu"ntas *or#as se (uede

ele!ir un dele!ado un subdele!ado'es , )000

)9. Para a(robar un eosa#ente las dos

(ri#erascA Cuantas #aneras tiene si debe contestar una de las tres

(ri#eras (re!untas

dA &e cuantas #aneras (uede contestar si debe contestar co#o#"


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5,



/. Cu"ntas dia!onales tiene un (ent"!ono cu"ntos tri"n!ulos se

(uede in*or#ar con sus 3;rticesC(5 !2 )5=

5 %

2 % (52 )%5

5(Dia1onales)

C(5 !3 )= 5 %

3 % (53 )%

10(2ran1ulos)

2. Cu"ntos eui(os de 3oleibol se (ueden *or#ar a (artir de +u!adores dis(onibles

Se reuieren ) +u!adores (ara *or#ar un eui(o de 3oleibol6 (orlo ue6 en este caso se tiene ue: n V r V )

C(9,6 )= 9 %

6% (96 )%

84

1. Cu"ntas co#it;s de / (residente 1 3ocales se (ueden *or#ar a(artir de un !ru(o de 4 (ersonas6 las cuales (ueden ocu(ar todascualuier (uesto

Se reuiere una sola (ersona6 de entre las 4 dis(onibles6 (araocu(ar el car!o de (residente6 1 de entre las siete ue restan(ara ocu(ar el (uesto de 3ocal. Se trata de un (roble#a deco#(osicin6 a ue la co#binacin total @el co#it;A se co#(one a

su 3e> de 3arias subco#binaciones. Si n( es el n?#ero dis(oniblede (ersonas (ara (residente6 r( es el n?#ero de (ersonas ue seseleccionar"n (ara (residente6 n3 es el n?#ero dis(onible de(ersonas (ara 3ocales r3 es el n?#ero de (ersonas ue seseleccionar"n (ara 3ocales6 en este caso se tiene ue:

Presidente: n(V4 r(V/

$ocales: n3V, r3V1



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54



C(8,1 )xC(7,3 )= 8 %

1% (81 ) %x

7%

3 % (73 ) %

280

9. n estudiante debe res(onder /0 (re!untas de un cuestionarioue consta de /5 reacti3os. &e cu"ntas #aneras (uede Dacerlo sidebe contestar e restantes6 ue son C@/06,A *or#as.

C(5,3 )xC(10,7 )= 5 %

3 % (53 )%x

10 %

7 % (107 )%

1200

5. Se tienen siete n?#eros (ositi3os cinco ne!ati3os. &e cu"ntas#aneras se (ueden #ulti(licar tres de ellos (ara ue el resultado

sea (ositi3oTres n?#eros #ulti(licados dan un (roducto (ositi3o en dos

casos:

aA Si los tres son (ositi3os bA si dos de ellos son ne!ati3os el otro(ositi3o6 no i#(orta el orden.

C(7,3 )+C(5,2 )x C(7,1 )

C(7,3 )+C(5,2 )x C(7,1 )= 7 %3 % (73 )%

+ 5 %

2 % (52 ) %x

7 %

1 % (71 )%

105


1 (ositi3os 2 ne!ati3os / (ositi3o


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5



). Si en el sorteo Melate se tienen 59 n?#eros Da ue atinarle aseis de ellos cualesuiera (ara sacarse el (ri#er lu!ar6 Cu"ntas#aneras di*erentes es (osible atinarle a seis n?#eros

Si de 59 Da ue atinarle a seis6 entonces la solucinsi#(le#ente es

C(54,6 )= 54 %

6 % (546 )%

25827165

,. na tar+eta de circuito i#(resa se (uede co#(rar de entre 5(ro3eedores. &e cu"ntas #aneras (uede ele!irse 1 (ro3eedores

C(5,3 )= 5 %

3 % (53 )%

10

4. na #ano de Per consta de 5 cartas6 si el #a>o (osee 52 cartas

&e cu"ntas *or#as se (uede recibir una #ano&ado ue es indi*erente el orden de lle!ada de las cartas6

entonces:

C(52,5 )= 52 %

5 % (525 ) %

2598960

. n co#it; de 9 (ersonas 3a a ser seleccionado de un !ru(o de 1estudiantes de 9to. %o6 9 de 1ro. - 5 de 2do. Si dos estudiantesde tercero no son ele!ibles. &e cu"ntas #aneras (uedeseleccionarse el co#it; con 2 estudiantes de 2do.6 / de 1ro. - / de9to

&ado ue no es i#(ortante el orden de eleccin6 entonces:Para ele!ir dos estudiantes de se!undo ao: C@26 5A



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)0



Para ele!ir un estudiante de tercer ao dado ue dos no sonele!ibles: @/6 2A

Para ele!ir un estudiante de cuarto: @/6 1A

Entonces tene#os ue:C(5,2 )xC(2,1 )xC(3,1 )= 5 %

2 % (52 )%x

2%

1% (21 )%x

3 %

1% (31 ) %

60

/0. n a#i!o le uiere re!alar a otro 2 libros los (uede ele!irde entre /5 o(ciones di*erentes. &e cu"ntas *or#as (uedeDacerlo

&ado ue no es i#(ortante el orden en el cual los libros sonele!idos6 entonces:

C(15,2 )= 15 %2% (152 ) %

105

//. na #ano de Per consta de 5 cartas. &e cu"ntas #aneras(osibles se (uede obtener un *ull @un (ar Yun trioA

Tro: &ado ue un tro est" *or#ado (or 1 cartas del #is#o 3alorue son ele!ibles de un total de 9 @un tro de ases se (uede ele!irde un total de 9 ases ue tiene el #a>oA6 entonces:

Pero dado ue Da /1 di*erentes 3alores de cartas6 entonces untro se (uede obtener de las si!uientes *or#as:

C@/16/A _ C@961A

Par: &ado ue un (ar est" *or#ado de 2 cartas del #is#o 3alorue son ele!ibles de un total de 9 @un (ar de rees se (uede ele!irde un total de 9 rees ue tiene el #a>oA6 entonces:

C@962APero dado ue Da /2 di*erentes 3alores de cartas @a se eli!i

un troA6 entonces un (ar se (uede obtener de las si!uientes*or#as:

C@/262A < C @962A

Entonces:



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)/



C(13,1)$C(4,3)x C(12,2)x C(4,2)= 13%

1% (131 )%x

4 %

3 % (43 ) %x

12 %

2 % (122 )%x

4 %

2% (42 )%

3744

/2. Xos; tiene a#i!os desea in3itarlos a cenar6 (ero slo(uede in3itar a ) si#ult"nea#ente. Cu"ntos !ru(os distintos dein3itados (uede tener


C(9,6 )= 9 %

6% (96 )%

84 1ruposdistintos de initados

/1. En una Deladera dis(onen de /5 sabores di*erentes deDelados Cu"ntos Delados de 1 sabores di*erentes (ueden o*recer

C(15,3 )= 15 %3 % (153 )%

455 helados diferentes

/9. El +ue!o de la Pri#iti3a consiste en acertar ) n?#erosnaturales a ele!ir entre el / el 9. Cu"ntas (osiblesco#binaciones Da Si cada co#binacin nos cuesta /` Cu"nto

nos tendre#os ue !astar (ara ase!urar ue 3a#os a acertarse!uro los ) n?#eros

Huere#os acertar ) n?#eros de 9 (osibles6inde(endiente#ente del orden en ue los eli+a#os.

C(49,6 )= 9 %

6 % (496 ) %



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)2



13.983.816

/5. Se Dan reunido 5 a#i!os. Cu"ntos saludos se Daninterca#biado si se Dan saludado todos entre s

Co#o no inue el orden6 se trata de Dallar el n?#ero deco#binaciones de 5 ele#entos to#ados de 2 en 2.

C(5,2 )= 5 %2% (52 ) %

10 saludos

/). os alu#nos del ?lti#o curso de un centro escolar desean*or#ar una co#isin con1 alu#nas 2 alu#nos (ara or!ani>ar el3ia+e de =n de curso. El n?#ero total de alu#nas es de 25 el dealu#nos es de 20.

&e cu"ntas *or#as distintas (ueden co#(letar dicDa co#isin

C(25,3 )x C(20,2 )= 25 %3 % (253 )%

x 20 %

2 % (202 ) %

437000

/,. En un interca#bio cultural6 el #onitor res(onsable deseadistribuir (or (are+as a los 29 alu#nos ue (artici(an (araco#(letar los asientos del autob?s ue 3an a utili>ar en losdes(la>a#ientos.

&e cu"ntas *or#as (uede reali>arlo

Si Da 4 alu#nos del #is#o (as6 en cu"ntas dis(osicionesestos 4 alu#nos no est"n e#(are+ados entre ellos

C(24,2 )= 24 %2 % (242 )%

276



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)9



na6 ue % no 3aa #ientras B s6 con lo cual es su=ciente (araue a#bos no est;n +untos dos6 ue B no 3aa #ientras % s tres6 ue ni % ni B 3aan.

C(6 ! 4 )+C(6 ! 4 )+C(6 ! 5 )= 6 %4 % (64 )%

+ 6 %

4 % (64 ) %+

6 %

5 % (65 ) %

15+15+6

36 formas

cA a dos o(ciones: na6 ue % B s asistan la otra6 ue ni %ni B 3aan.

C(6 !3 )+C(6 !5 )= 6 %

3 % (63 ) %+

6 %

5 % (65 ) %

20+6

26 formas

20. niendo 5 3;rtices de un De(t"!ono se obtiene un(ent"!ono

Cuantos (ent"!onos distintos se (ueden conse!uir si!uiendo este(rocedi#iento

C(7,5 )= 7 %5 % (75 )%

21pent.1onos

2/. n estudiante debe res(onder /0 (re!untas de uncuestionario ue consta de /) reacti3os. &e cuantas #aneras(uede Dacerlo si debe contestar e


65/473

)5



cA Cuando el reacti3o 5 es contestado

C(4 !1 )x C(2! 1 )x C(9,7)= 4 %

1% ( 41 )%3

2 %

1 % (21 )%3

9 %

7 % (97 ) %

288 formas

dA Cuando el reacti3o 5 no es contestado

C(4 !2 )x C(2!2 )x C(9,6)= 4 %

2% (42 ) %3

2%

2% (22 )%3

9 %

6 % (96 )%

504 formas

Total: 244Y509V,2 #aneras.

22. n estudiante debe res(onder /0 (re!untas de uncuestionario ue consta de /5 reacti3os. &e cuantas #aneras(uede Dacerlo si debe contestar e


66/473

))



29. Xuan uiere irse de 3ia+e el =n de se#ana dis(one de 5ca#isetas de las cuales desea lle3ar 1. &e cuantas *or#asdistintas (uede reali>ar la eleccin

C(5, 3 )= 5 %

3 % (53 ) %

10 formas distintas

25. na e#(resa necesita /9 (ersonas (ara Dacer un traba+o6distribuidas de la si!uiente *or#a: 9 #u+eres6 5 Do#bres losrestantes (ueden ser de uno u otro se


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),



371maneras

2,. Siete a#i!os Dacen cola (ara el cine. %l lle!ar slo uedan 9entradas. &e cu"ntas *or#as (odran re(artirse estas entradas(ara 3er la (elcula

C(7,3 )= 7 %3 % (73 )%

35 formas

24. &e un (auete de 90 nai(es Cu"ntas #anos de 5 cartas(ode#os re(artir

C(40 ! 5 )= 40 %5 % (405 ) %

658008

2. En una li!a de 4 clubes de (elota Cu"ntos encuentros see*ectuaran si cada eui(o +ue!a 1 con cada uno de los restantes

C(8,2 )= 8 %2 % (82 )%

28 encuentros

C(8,3 )=

8%

3 % (83 ) %

56encuentros

Total: 24 Y 5) V 49 encuentros



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)4



10. Se desea *or#ar un co#it; de 9 (ersonas de un curso de 21estudiantes. Calcular el n?#ero de co#it;s ue se (ueden *or#ar

C(23 !4 )= 23 %4 % (234 ) %

8855 comits

1/. En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir un co#it;*or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;s di*erentes se (ueden*or#ar

No entran todos los ele#entos.

No i#(orta el orden: Xuan6 %na.

No se re(iten los ele#entos.

12. En una bode!a Da en un cinco ti(os di*erentes de botellas.&e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ir cuatro botellas

No entran todos los ele#entos. Slo eli+e 9..

No i#(orta el orden. &a i!ual ue eli+a 2 botellas de ans 2 de

ron6 ue 2 de ron 2 de ans.S se re(iten los ele#entos. Puede ele!ir #"s de una botella del

#is#o ti(o.

11. Cu"ntas dia!onales tiene un (ent"!ono cu"ntostri"n!ulos se (uede in*or#ar con sus 3;rtices

$a#os a deter#inar en (ri#er lu!ar las rectas ue se (uedentra>ar entre 2 3;rtices.

No entran todos los ele#entos.No i#(orta el orden.

No se re(iten los ele#entos.

Son 6 a las ue tene#os ue restar los lados ue deter#inan 5rectas ue no son dia!onales.



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)



19. En una (rueba de atletis#o en la ue (artici(an 4 atletas se(ueden clasi=car slo 1 (ara la =nal. Cuantos !ru(os distintos de=nalistas se (ueden *or#ar

El orden no i#(orta. ue!o son co#binaciones. os ele#entos nose (ueden re(etir. Entonces tene#os co#binaciones sinre(eticin6 de 4 ele#entos to#ados de 1 en tres:

C461V8 %

3 % (83 ) %=

8765 %3 %5 %

=56

15. Cu"ntas co#binaciones se (ueden Dacer con dos ele#entosto#ados del con+unto CVKa6b6 c6d6e6 *L Escribe las co#binaciones(osibles.

Tene#os ue Dallar el n?#ero de co#binaciones del con+unto deseis ele#entos to#ados de dos en dos:

C)62V6 %

2 % (62 )%= 6 %

2 %4 %=654321

214321=15

Esas /5 co#binaciones son las si!uientes:

ab6 ac6 ad6 ae6 a*6 bc6 bd6 be6 b*6 cd6 ce6 c*6 de6 d*6 e*.

1) . &e cu"ntas *o r#as (ueden #e>cla rse l os sie tecolores del arco iris to#"ndolos de tres en tres

C(7,3)= 7%

3 %& (73) %=7 &6 & 5

3 &2=35

1, . En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir unco#it; *or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;sdi*erentes se (ueden *or#ar



70/473

,0



C(35,3)= 35 %

3 %& (353)%=35 &34 & 33

3 &2 &1=6545

14 . Cu"ntas a(ues tas de otera Pr i# iti3a de unacolu#na Dan de rellenarse (ara ase!urarse el aciertode los seis resultados6 de 9

C(49,6)= 49 %

6 %& (496)%=13983816

1 . En una bode!a Da en un cinco ti(os di*erentes debotellas. &e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ir cuatrobotellas

C(5,4 )=

(5+41 )%4 %& (51)%

= 8 %4 %& 4 %

=70

90 . n !ru(o6 co#(uesto (or cinco Do#bres sie te#u+eres6 *or#a un co#it; de 2 Do#bres 1 #u+eres. &ecu"ntas *or#as (uede *or#arse6 si:

a. Puede (ertenecer a ;l cualuier Do#bre o #u+er.

C(5,2) &C(7,3 )= 5 %

2% & (52 ) %&

7 %

3% & (73 ) %=10 &35=350

b. na #u+er deter#inada debe (ertenecer al co#it;.

C( 5,2) &C(6,2 )= 5 %

2 % & (52 ) %&

6 %

2% & (62 )%=10& 15=150



71/473

,/



c. &os Do#bres deter#inados no (ueden estar en elco#it;.

C( 3,2) &C(7,3 )= 3 %

2% & (32 ) %&

7 %

3 % & (73 ) %=3 &35=105

9/. Con nue3e alu#nos de una clase se desea *or#ar treseui(os de tres alu#nos cada uno. &e cuantas #aneras (uede

Dacerse

C(9,3 )C(6,3 )C(3,3 )=

9 %

3 %6 %6 %

3 %3 % 3 %

3 %0 % =84201=1680

92. na (ersona tiene cinco #onedas de distintos 3alores.Cu"ntas su#as di*erentes de dinero (uede *or#ar con las cinco

#onedasC(5,1 )+C(5,2 )+C(5,3 )+C(5,4 )+C(5,5 )=

5%

1 %4 %+

5 %

2 %3%+

5 %

3 %2%+

5 %

4 %1%+

5%

5%0%=5+10+10+5+1=31

91. na (ersona tiene cinco #onedas de distintos 3alores.Cu"ntas su#as di*erentes de dinero (uede *or#ar con las cinco#onedas

C(5,1 )+C(5,2 )+C(5,3 )+C(5,4 )+C(5,5 )=

5%

1 %4 %+

5 %

2 %3%+

5 %

3 %2%+

5 %

4 %1%+

5%

5%0%=5+10+10+5+1=31



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,2



99. Cu"ntos (artidos se +ue!an en un ca#(eonato en el ue(artici(an 20 eui(os en el +ue!an todos contra todos6 uno encasa otro de 3isitante

Eui(os ue +ue!an en casa.

202=190

Eui(os ue +ue!an de 3isitantes

202=190

Total se juegan 380 partidos.

95. Cu"ntos tri"n!ulos deter#inas los 3;rtices de un (ol!onore!ular de lados

(9,3 )= 9%

3 % (93 ) %=84

9). Calcular el n?#ero de co#binaciones de /0 ele#entosto#ados de 9 en 9.

C @/0 9A V109874321

= 2/0

C @/0 9A V

10 %

4 %6 %=

109876 %

43216 %=

/0[1[, V 2/0

9,. En un !ru(o de /4 estudiantes Da ue *or#ar un !ru(o de):

aA &e cuantas #aneras (uede DacersebA &e cuantas #aneras (uede Dacerse sabiendo ue un

estudiante en (articular debe *or#ar el !ru(ocA &e cuantas #aneras (uede Dacerse si se e


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,1



cA C @/, )A V17 %

6 % (176 )%=12376

94. En una clase de 15 alu#nos se uiere ele!ir un co#it;*or#ado (or tres alu#nos. Cu"ntos co#it;s di*erentes se (ueden*or#ar

No entran todos los ele#entos.No i#(orta el orden: Xuan6 %na.No se re(iten los ele#entos.

C @15 1A V

353433

321 =

)595

9. En una ciudad % los n?#eros tele*nicos se *or#an con 9d!itos @del 0 al A no (udiendo ser 0 el (ri#ero de ellos en otraciudad B se *or#an con 5 d!itos en las #is#as condicionesanteriores Cuantas co#unicaciones (ueden #antenerse entre losabonados de a#bas ciudades

50. En una bode!a Da en una ca+a cincoti(os di*erentes de botellas. &e cu"ntas *or#as se (ueden ele!ircuatro botellas No entran todos los ele#entos. Slo eli+e 9. Noi#(orta el orden. &a i!ual ue eli+a 2 botellas de ans 2 de ron6ue 2 de ron 2 de ans. S se re(iten los ele#entos. Puede ele!ir#"s de una botella del #is#o ti(o.

C @5 9A V5+41%

4 %(51)%=

19 %

5 %4 %= /2)

5/. &e cuantas #aneras (ueden ordenarse , libros en uninstante

aA Sin nin!una restriccinbA Tres libros deter#inados deben estar sie#(re +untoscA &os libros deter#inados deben ocu(ar los e


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,9



aA P @, ,A V ,Q V 5090

bA P @5 5A ] P @1 1A V 1)0

cA P @5 5A ] P @2 2A V 290

52. n estado tiene un #illn de 3eDculos re!istrados est"nconsiderando a(licar (lacas de ) ci*ras en las ue las 1 (ri#erassean letras el resto n?#eros. a (ri#era letra re(resenta elestado al ue (ertenecen los 3eDculos.

aA Con este esue#a ser" *actible re!istrar todos los 3eDculosbA &e no serlo de una solucin

a ue Dacer (lacas de ,d!itos

51. n estudiante debe res(onder siete de las die> (re!untas deun e


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,5



55. %l (ri#er +u!ador (ode#os darle C @526/1A #anos6 alse!undo C @16/1A6 al tercero C @2)6/1A al ?lti#o /.

C @526/1A. C @16/1A. C @2)6/1A

V

52%

13%(5213)%39 %

13 %(3913)% 26 %

13 %(2613)%=

5.1)


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,)



aA C @/) 2A V *rac/)Q2Q @/) ^ 2AQ V /20

bA C @4 2A Y C @4 2A Y C @4 /A [C @4 /A V /20

)0. El dueo de un bar desea atraer el n?#ero #"clarlas as tener un n?#ero#"


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,,



Si el (residente decide ue de los cinco +ueces tres deben serDo#bres dos #u+eres6 de cu"ntas #aneras (uede lo!rarse

C @/06 1A V /20 casos (osibles de Do#bres

C @96 2A V ) casos (osibles de #u+eres.

Por lo ue el n?#ero total de casos es:

/20Z ) V ,20 casos totales

)1. n (ro!ra#a de T$ desea (oner 1 (resentadores (ara una

!ala (uedes decir cu"ntos !ru(os de !;neros @Do#bre6 #u+erAdistintos se (ueden *or#ar Cu"ntos !ru(os (osibles de se(ueden *or#ar si dis(one#os de , (ersonas

)9.

C @26 1A V 9 !ru(os (osibles distintos

C @,6 1A V 15 !ru(os de (resentadores di*erentes

)5. En una clase Da 25 alu#nos. &e cu"ntas *or#as se (uedeele!ir un dele!ado un subdele!ado

aA EV K/626 1625L6 #V25. &os e+e#(los si!ni=cati3os son 156516

(V2bA Inue el orden6 no entran todos los ele#entos no (uede

Daber re(eticin V 3ariaciones ordinariascA $ @2562A V 25[92 V )000

)). Para a(robar un e


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,4



aA Cuantas #aneras tiene de seleccionar las (re!untasbA Cuantas #aneras tiene si debe contestar *or>osa#ente las

dos (ri#eras

cA Cuantas #aneras tiene si debe contestar una de las tres(ri#eras (re!untasdA &e cuantas #aneras (uede contestar si debe contestar co#o

#"


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,



E+!nto: Es un con+unto ue abarca resultados6 ue (osee ciertascaractersticas en co#?n6 los e3entos son:

S!#"o:%uel ue contiene todos los (osibles resultados de unea un dado car!ado6 ade#"s su(one#os ue las carascon el n?#ero tres cuatro tienen el doble de (robabilidadesde ocurrir ue cualuiera de las de#"s caras. Encontrar la(robabilidad de los si!uientes sucesos:

p+p+2p+2p+p+p=1


5 < = . 1) ( 2

(2

(( (

2

8

2

8

1


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40



p=1

8

aA %(are>ca el n?#ero 9

P (sal1a 4 )=2

8

bA %(are>ca el n?#ero 2

P (sal1a2 )=1

8

/4. &e acuerdo con las estadsticas del de(arta#ento detr"nsito6 durante el ao de 20/2 Dubo /2005 accidentes 3iales6de los cuales )4) se debieron a e


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4/



cA Probabilidad de ue sea un ,

P (7 )=452

20. Se e


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42



P"!#nt

as

/

P"obabilidad

aA Calcule la (robabilidad de ue las (ri#eras 9 res(uestassean correctas las ?lti#as 1 sean incorrectas.

P (4primeras correctas)=( 12 )4

=1

16

P (3ultimasincorrectas )=( 12 )3

=1

8

P (4 correctas 7 3incorrectas )= 1

16$

1

8

22. Con cierto #;todo de un (rocedi#iento ue se lla#a#uestreo de ace(tacin6 se selecciona aleatoria#ente sinree#(la>o una #uestra de artculos6 el lote co#(leto se ace(tasi cada artculo en la #uestra es a(robado. a Nio ElectronicsCo#(an acaba de *abricar 5000 C&6 de los cuales el 1 est"nde*ectuosos. Si se seleccionan al a>ar /2 de estos C& (ara(robarlos6 Cu"l es la (robabilidad de ue se ace(te el loteco#(leto

P (nodefectuoso )= 97100

P (aceptarel lotecompleto )=(97100 )12

=0.694

21. na !erente de (roduccin de FTelettonicsG a=r#a ue sunue3o (roceso de *abricacin de re(roductores de C&6 es #e+or(orue su tasa de de*ectos es #"s ba+a ue el 26 ue la tasade de*ectos (asado. Para *unda#entar su a=r#acin ella *abricaun lote de 5000 re(roductores de C&6 lue!o seleccionaaleatoria#ente /5 de ellos (ara (robarlos6 con el resultado deue no Da de*ecto en los /5 re(roductores de C&



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41



seleccionados. Con base en el resultado6 a su=cientee3idencia (ara *unda#entar la a=r#acin de la !erente de uesu nue3o (roceso es el #e+or

P (nodefectuoso )= 98100

P (nin1unodefectuoso )( 98100 )15

=0.739

SOCIN: E


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49



P (ni-a)= 45

2223

P (mu(er o ni-a)=4222223 + 452223=0.210

29. Pasa+eros del FTitanicG: Si se selecciona al a>ar a uno de los(asa+eros del Titanic6 calcule la (robabilidad de ue sea unDo#bre o una (ersona ue sobre3i3i al Dundi#iento.

P (hom*re)=322

2223P ( so*reiiente )=

706

2223

P(hom*re o so*reiiente)322

2223+706

2223=0.462

25. Pasa+eros del FTitanicG: Si se selecciona al a>ar a uno de los(asa+eros del Titanic6 calcule la (robabilidad de ue sea un nioo un sobre3i3iente.

P (ni-o)= 64

2223

P (so*reiiente )=706

2223

P (ni-oo so*reiiente )= 64

2223+706

2223=0.346

2). Pasa+eros del FTitanicG: Si se selecciona al a>ar a uno de los(asa+eros del Titanic6 calcule la (robabilidad de ue sea una#u+er o al!una (ersona ue no sobre3i3i al Dundi#iento.

P (mu(er )= 422

2223

P (murio)=1517

2223

422

2223+1517

2223=0.872

2,. as e#(resas ue reali>an encuestas se interesan en losni3eles decrecientes de coo(eracin de las (ersonas ue secontactan (ara ue las encuesten. n encuestador contacta a



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49 indi3iduos de entre /4 2/ aos6 descubre ue ,1res(onden // se reD?san a Dacerlo. Cuando se contacta a 2,5(ersonas de entre 22 2 aos6 255 res(onden 20 se.

Su(on!a ue se selecciona al a>ar a / de las 15 (ersonas.Calcule la (robabilidad de ue sea una (ersona en el ran!o deedad de /4 a 2/ aos o al!uien ue recDa>a res(onder.

P (1821 )=84

359

P (rehusan)=31

359

P (18215 rehusan)=84

359+31

359=0.320

24. Sean los d!itos del 0 al 6 calcular la (robabilidad de lossi!uientes sucesos:

06 /6 26 16

Estadistica I GaonaZambranoReimundo

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