PROBABILIDAD

CONCEPTO Y DEFINICIÓNPROPIEDADESPROBABILIDAD CONDICIONADAINDEPENDENCIA DE SUCESOS

DAGOBERTO SALGADO HORTA

CONCEPTOSExperiencia aleatoria: aquella experiencia afectada por las leyes del azar:

impredecibilidadregularidad estadística.

Resultado elemental de una experiencia aleatoria.Suceso: conjunto de resultados elementales de una experiencia aleatoria. A veces se le llama también resultado.Espacio muestral: conjunto de sucesos asociados a una experiencia aleatoria.P

RO

BA

BIL

IDA

D: C

ON

CE

PTO

S

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

DEFINICIÓN DE LAPLACE:

LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ASOCIADO A UNA EXPERIENCIA ALEATORIA ES EL COCIENTE ENTRE EL NÚMERO DE RESULTADOS ELEMENTALES FAVORABLES Y EL NÚMERO DE RESULTADOS ELEMENTALES POSIBLES QUE PUEDEN DARSE

PR

OB

AB

ILID

AD

: CO

NC

EP

TO

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

DEFINICIÓN FRECUENCIALISTA:

PROBABILIDAD DE UN SUCESO ASOCIADO A UNA EXPERIENCIA ALEATORIA ES EL COCIENTE ENTRE EL NÚMERO DE VECES QUE SE PRESENTA ESE SUCESO Y EL NÚMERO DE ENSAYOS REALIZADOS CUANDO EL NÚMERO DE ENSAYOS CRECE INDEFINIDAMENTE

PR

OB

AB

ILID

AD

: CO

NC

EP

TO

CONCEPTO DE PROBABILIDAD

DEFINICIÓN SUBJETIVA:

LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO ES EL GRADO DE CREENCIA QUE SE TIENE EN QUE ESE SUCESO ES CIERTO.

PR

OB

AB

ILID

AD

: CO

NC

EP

TO

DEFINICIÓN

Un número P asociado a un resultado de una experiencia aleatoria es una probabilidad si cumple los siguientes axiomas:

Todo suceso tiene una probabilidad no negativa.P(A)≥0

La probabilidad del suceso seguro es 1P(E)=1

La probabilidad de la unión de cualquier grupo de sucesos disjuntos es la suma de las probabilidades de cada uno de esos sucesos.

P(∪Ai)=∑P(Ai) con Ai∩Aj=∅PR

OB

AB

ILID

AD

: DE

FIN

ICIÓ

N

PROPIEDADESLa probabilidad del suceso imposible es 0: P(∅)=0Una probabilidad nunca puede ser menor que 0 ni mayorque 1: 0≤P(A)≤1Si un suceso A incluye a un suceso B, la probabilidad de Asiempre es mayor o igual que la de B: Si B⊂A ⇒ P(B)≤P(A)La probabilidad del suceso complementario es:

P( )=1-P(A)La probabilidad de la unión de dos sucesos es:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)Y en general podemos decir que:

i=1,2,...,nPR

OB

AB

ILID

AD

: PR

OP

IED

AD

ES

A

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅⋅⋅+∩+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −∑∑∑ ∩∪i

i1n

i jji

ii

iI AP)1()AA(P)A(PAP

PROBABILIDAD CONDICIONADA

CON ELLA SE PRETENDE VALORAR EL EFECTO QUE TIENE SOBRE LA PROBABILIDAD DE UN SUCESO EL HECHO DE DISPONER DE INFORMACIONES PARCIALES SOBRE EL MISMO

SE DEFINE COMO “PROBABILIDAD DEL SUCESO B CONDICIONADA A QUE HA OCURRIDO EL SUCESO A” A LA SIGUIENTE

P(B/A) = P(A∩B) / P(A)

PR

OB

AB

ILID

AD

CO

ND

ICIO

NA

DA

SUCESOS INDEPENDIENTES

DOS SUCESOS SE DICEN INDEPENDIENTES SI EL CONOCIMIENTO DE QUE HA OCURRIDO UNO DE ELLOS NO MODIFICA LA PROBABILIDAD DEL OTRO:

P(B/A) = P(B)P(A/B) = P(A)

P(A∩B) = P(A) P(B)

IND

EP

EN

DE

NC

IA D

E S

UC

ES

OS

TEOREMA DE BAYESTE

OR

EM

A D

E B

AYE

S

))P(B/AP(A )P(B/A )P(A /B)P(Aii

iii Σ

=

Si los Ai son una partición del espacio muestral y el suceso B es de probabilidad no nula, se cumple:

LOS Ai SUELEN INTERPRETARSE COMO LAS CAUSAS U ORÍGENES DE B, QUE A SU VEZ ES EL RESULTADO O CONSECUENCIA DE ALGUNO(S) DE LOS Ai

EL TEOREMA DE BAYES PERMITE EVALUAR LA PROBABILIDAD DE LAS CAUSAS VISTO EL EFECTO

OTROS COMENTARIOS SOBRE PROBABILIDAD

Sucesos independiente y sucesos excluyentes no es lo mismo.La reunión de sucesos equivale al “o” lógico, la disyunción no exclusiva:

A ∪ B = A o B = [o A, o B, o ambos]La intersección de sucesos equivale al “y” lógico, la conjunción:

A ∩ B = A y B = [A y B simultáneamente]Método del árbol para la solución de problemas de probabilidad:Es una representación gráfica de la secuencia de acontecimientos que definen el problema estudiado

VAR

IOS

VARIABLES ALEATORIAS

CONCEPTO Y TIPOSCARACTERIZACIÓNPRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADAPROXIMACIONES

VARIABLE ALEATORIA

LLAMAREMOS ALEATORIA A AQUELLA VARIABLE QUE TOMA

VALORES INFLUIDA POR EL AZAR

PODRÍAMOS CONTRAPONER VARIABLES Y FENOMENOS

DETERMINISTAS CON VARIABLES Y FENÓMENOS ALEATORIOS

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

TIPOS DE VARIABLE ALEATORIA

DISCRETA:Toma valores de un conjunto discreto y cada

valor posible xi tiene asignada una probabilidad p(xi)

CONTINUA:Toma valores en un conjunto continuo y la distribución de la probabilidad a lo largo del

mismo viene dada por una función f(x)

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

FUNCIONES:

p(xi) se llama función de probabilidad

f(x) se llama función de densidad

F(x) se llama función de distribución:F(x) = P(X ≤ x)

existe para variables discretas (F(xi)) o continuas

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

FUNCION DE PROBABLIDAD

Asignar probabilidades en una variable discreta significa definir P(xi) en cada punto de la variable cumpliéndose:

P(xi) ≥ 0 ∀i

ΣP(xi) = 1

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

¿Qué probabilidad hay de que aparezcan X uds defectuosas en una muestra de 10, cuando la producción tiene un 30% de defectuosas?

Event prob.,Tria0.3,10

Binomial Distribution

x0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

FUNCIÓN DE DENSIDADEn el caso continuo la caracterización de la variable se realiza mediante la FUNCIÓN DE DENSIDAD f(x)

Para comprender su significado puede ser útil recurrir a la analogía mecánica:

La distribución de probabilidad es similar a una distribución de masa, y en el caso unidimensional la distribución de la masa a lo largo del eje es imagen de la distribución de la probabilidad. Al igual que la masa en un punto es nula, también lo es la probabilidad en un punto: ambas requieren intervalos para tomar valores no nulos

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

¿Cómo se distribuye la longitud de las barras de una pata de mesa de tubo metálico cortado? El valor objetivo es 850 mm.

Mean,Std. dev.850,4

Normal Distribution

x

dens

ity

820 830 840 850 860 870 8800

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

¿Qué porcentaje de las unidades producidas está entre 848 y 855 mm?

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

FUNCIÓN DE DENSIDAD

Entre otros requisitos, una función de densidad f(x) de una variable aleatoria continua debe cumplir:

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

∫+∞

∞−=1)( dxxf

f(x) ≥ 0 ∀x

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓNEn variables discretas se cumple que:

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

∑≤

=Xx

ii

)x(P)X(F

En variables continuas se cumple que:

dxxFdxf

dxxfxFx

)()(

)()(

=

= ∫ ∞−

Función de distribución en variable discreta.

Event prob.,Trial0.3,10

Binomial Distribution

x

cum

ulat

ive

prob

abili

ty

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Mean,Std. dev.850,4

Normal Distribution

x

cum

ulat

ive

prob

abili

ty

830 840 850 860 8700

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Función de distribución en variable continua.

VAR

IAB

LES

ALE

ATO

RIA

S

PARÁMETROS DE UNA DISTRIBUCIÓN

Son similares a los estudiados en estadística descriptiva.Son de cuatro tipos:

PAR

ÁM

ETR

OS - Parámetros de Posición- Parámetros de Dispersión- Parámetros de Asimetría- Parámetros de Curtosis

VALOR MEDIO (MEDIA)

Describe la posición de la variable aleatoria X (es decir, su orden de magnitud)

si x es variable discreta

si x es variable continua

En la analogía mecánica es el centro de gravedad de la distribución

PAR

ÁM

ETR

OS

E x x P xi ii

( ) ( )= ∑

E x x f x dx( ) ( )= ∫− ∞+ ∞

VARIANZADescribe el grado de dispersión de la variable

si x es variable discreta

si x es variable continua

Su raíz cuadrada es la desviación típica σ

PAR

ÁM

ETR

OS

∑ −=σ )()( 22ii xPmx

∫∞+∞−

−=σ dxxfmx )()( 22

En la analogía mecánica es el momento de inercia de la distribución

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

ALGUNAS VARIABLES ALEATORIAS PRESENTAN COMPORTAMIENTOS CARACTERÍSTICOS QUE SON ESTÁNDARES DE FRECUENTE USOUNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD SE CARACTERIZA POR UNA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DADA

en el caso discreto se caracterizan también por la función de probabilidad, en el caso continuo por la función de densidad

DIS

TRIB

UC

ION

ES

DE

PR

OB

AB

ILID

AD

PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

LAS MÁS IMPORTANTES DENTRO DEL ÁMBITO DE LA CALIDAD SON LAS SIGUIENTES:

VARIABLES DISCRETASDISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICADISTRIBUCIÓN BINOMIALDISTRIBUCIÓN DE POISSON

VARIABLES CONTINUASDISTRIBUCIÓN NORMALDISTRIBUCIÓN χ2

DISTRIBUCIÓN tDISTRIBUCIÓN F

DIS

TRIB

UC

ION

ES

DE

PR

OB

AB

ILID

AD

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICAConsidérese:

Una población formada por N individuos.Una muestra extraída al azar de esa población y formada por n individuos.Una cierta característica A que identifica a D de los individuos de la población, con lo que p=D/N es la proporción de individuos con esa característica.La variable X que representa al número de individuos de la muestra que tienen esa característica A.

DIS

TRIB

UC

ION

ES

DIS

CR

ETA

S

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICAD

ISTR

IBU

CIO

NE

S D

ISC

RE

TAS

nN-DA

AX

X = H(N, n, p)

D

N

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICAEN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE LA VARIABLE X SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA DE PARÁMETROS N, n, p:

X ≡ H (N, n, p) x = {0, 1, 2, … n}SUS CARACTERÍSTICAS SON:

DIS

TRIB

UC

ION

ES

DIS

CR

ETA

S

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=

nN

xnDN

xD

xP )(

)1(1

)(

)(

2 ppnN

nNx

npxE

−−−

=σ

=

DISTRIBUCIÓN BINOMIALConsidérese:

Una población formada por ∞ individuos.Una muestra extraída al azar de esa población y formada por n individuos.Una cierta característica A que identifica a una proporción p de individuos de la población.La variable X que representa al número de individuos de la muestra que tienen esa característica A.

EN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE LA VARIABLE X SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL DE PARÁMETROS n, p:

X ≡ B (n, p) x = {0, 1, 2, … n}

DIS

TRIB

UC

ION

ES

DIS

CR

ETA

S

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

P P P PP

P

P

PP

PP

P

X = Número de defectuosas en la muestra

X ≡ B(n,p)

DIS

TRIB

UC

ION

ES

DIS

CR

ETA

S

DISTRIBUCIÓN BINOMIALX ≡ B (n, p)

x = {0, 1, 2, … n}

SUS CARACTERÍSTICAS SON:

P(x) = px (1-p)n-x

E(x) = n p σ2(x) = n p (1-p)

DIS

TRIB

UC

ION

ES

DIS

CR

ETA

S

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xn

DISTRIBUCIÓN de POISSONConsidérese:

Una muestra de tamaño infinito extraída al azar de una población.Una cierta característica A que se presenta con una probabilidad muy pequeña (→0) en los individuos de la población.Un promedio finito λ de individuos de la muestra con esa característica.La variable X que representa al número de individuos de la muestra que tienen esa característica A.

DIS

TRIB

UC

ION

ES

DIS

CR

ETA

S

DISTRIBUCIÓN de POISSON

Poisson

Se aplican mucho en análisis de defectos superficiales, donde la probabilidad de que aparezca un defecto en un punto concreto es muy baja, hay muchos puntos posibles donde aparecer el defecto y tenemos un promedio de defectos determinado.

DIS

TRIB

UC

ION

ES

DIS

CR

ETA

S

DISTRIBUCIÓN de POISSONEN ESTAS CONDICIONES, DIREMOS QUE

LA VARIABLE X SIGUE UNA DISTRIBUCIÓN DE POISSON DE

PARÁMETRO λ:

X ≡ Ps (λ) x = {0, 1, 2, …}

SUS CARACTERÍSTICAS SON:

P(x) = (e-λ λx) / x!

E(x) = λ σ2(x) = λ

DIS

TRIB

UC

ION

ES

DIS

CR

ETA

S

APROXIMACIONES ENTRE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS

H(N,n,p)

B(n,p)

Ps(λ)

N/n ≥ 10 N→∞

n ≥ 50

p < 0.1

np ≤ 5*

n → ∞

p → 0

np = λ

DISTRIBUCIÓN NORMALES LA MÁS IMPORTANTE Y ÚTIL DE LAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS E INCLUSO, BAJO CIERTAS CONDICIONES, DE LAS DISCRETAS.

DIS

TRIB

UC

ION

ES

CO

NTI

NU

AS

FUE DESCRITA POR GAUSS, Y SE DENOMINA TAMBIÉN DISTRIBUCION GAUSSIANA

DISTRIBUCIÓN NORMALUNA VARIABLE NORMAL DE PARÁMETROS m, σSE DEFINE POR SU FUNCIÓN DE DENSIDAD:

DIREMOS ENTONCES QUE X ≡ N (m, σ) con x ∈ ]-∞, +∞[

SUS CARACTERÍSTICAS SON:E(x) = m σ2(x) = σ2

DIS

TRIB

UC

ION

ES

CO

NTI

NU

AS

( )2

2

2

21)( σ

−−

πσ=

mx

exf

DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA

SE LLAMA NORMAL TIPIFICADA N (0, 1) A AQUELLA EN QUE:

m = 0 σ = 1

LA FUNCIÓN DE DENSIDAD QUEDA AHORA:

LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN DE LA NORMAL TIPIFICADA ESTÁ TABULADA, PUES LA INTEGRAL QUE LA DEFINE A PARTIR DE f(x) NO TIENE PRIMITIVA

DIS

TRIB

UC

ION

ES

CO

NTI

NU

AS

2

2

21)(

x

exf−

π=

TABLA DE LA NORMAL TIPIFICADA

LA TABLA DA VALORES DE F(x) ENTRANDO CON EL VALOR DE x

A ESTA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN SE LE LLAMA CON FRECUENCIA φ(x)

DIS

TRIB

UC

ION

ES

CO

NTI

NU

AS

TABLA DE LA NORMAL TIPIFICADA

P(z<1.75) = 0.9599

TABLAS DE LA NORMALEL CÁLCULO DE LA FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN EN UNA NORMAL GENERAL REQUERIRÍA INTEGRAR LA FUNCIÓN

DE DENSIDAD NUMERICAMENTE O DISPONER DE UNA TABLA PARA CADA N(m,σ)

EN LUGAR DE ELLO, SE PREFIERE UN PROCEDIMIENTO LLAMADO TIPIFICACIÓN QUE CONSISTE EN CONVERTIR LA NORMAL N(m,σ) EN UNA NORMAL N(0,1) Y EMPLEAR

LAS TABLAS DE ESTA NORMAL TIPIFICADA:

Si x ≡ N (m, σ)

z = ≡ N (0, 1)

con lo cual sólo es necesaria una tabla para calcular probabilidades en la distribución normal.

DIS

TRIB

UC

ION

ES

CO

NTI

NU

AS

x m−σ

http://www.umd.umich.edu/casl/socsci/econ/StudyAids/JavaStat/CentralLimitTheorem.html

Normal tipificada

X=N(850,4) ¿P(846.5 < X <855)?

)25.1(4

850855)855(

)875.0(4

8505.846)5.846(

φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤=≤

−φ=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

≤=≤

ZPXP

ZPXPP = 0.8944 – 0.1894

P = 0.705

DISTRIBUCIÓN χ2 de PEARSON

SE DEFINE LA VARIABLE CHI CUADRADO CON n GRADOS DE LIBERTAD () COMO LA SUMA DE

LOS CUADRADOS DE n VARIABLES ALEATORIAS NORMALES TIPIFICADAS

INDEPENDIENTES

DIS

TRIB

UC

ION

ES

CO

NTI

NU

AS

ESTÁ DEFINIDA COMO NO NEGATIVA

SU FUNCIÓN DE DENSIDAD ES ASIMÉTRICA

22

...1)1,0(

ni

i

i

ZXniNZ

χ==

==

∑

DISTRIBUCIÓN χ2

X= χ29 P(X>2.7) = χ2

9,0.10=0.975 14.684

DISTRIBUCIÓN

t de STUDENT

SE DEFINE COMO EL COCIENTE ENTRE UNA NORMAL TIPIFICADA Y LA RAIZ CUADRADA DE

UNA CHI CUADRADO DIVIDIDA POR SUS GRADOS DE LIBERTAD, AMBAS

INDEPENDIENTES :

donde : z = N(0,1), = Chi cuadrado con n g.l.

E(tn) = 0 D2(tn) = n/(n-2)DIS

TRIB

UC

ION

ES

CO

NTI

NU

AS

t zn

nn

=χ2 /

χn2

tn ∈]-∞, + ∞[

DISTRIBUCIÓN t de STUDENT

P(X>1.44)= t6,0.01=0.10 3.143X=t6

Next time you have a beer, thank William Gosset, and next time you perform a t-test, have a Guiness.

DISTRIBUCIÓN

t de STUDENT

(La próxima vez que tomes una cerveza, agradéceselo a William Gosset, y la próxima vez que use la distribución t de Student, tómate una Guiness.)

DIS

TRIB

UC

ION

ES

CO

NTI

NU

AS

DISTRIBUCIÓN F de SNEDECORSE DEFINE COMO EL COCIENTE DE DOS CHI CUADRADOS INDEPENDIENTES DIVIDIDAS POR SUS GRADOS DE LIBERTAD :

DIS

TRIB

UC

ION

ES

CO

NTI

NU

AS

Fnnn n

n

n1 2

12

1

22

2,

/

/=

χ

χ

•Toma valores no negativos

•Su función de densidad es asimétrica

•Su función de distribución se obtiene de tablas

DISTRIBUCIÓN F de SNEDECOR

X ≡ F3,10 P(X>6.6)= 0.01

DISTRIBUCIÓN F de SNEDECOR

X ≡ F3,10 F3,10(0.05)= 3.71

APROXIMACIONES ENTRE VARIABLES

n > 50p < 0.1np < 5

2nχ tn

Fn n1 2,

NORMAL

B (n, p) Ps(np) =

Ps(λ)

H (N, n, p)

(N /n) >10

λ>5*

np > 5*

n>30 n>30n1>30 n2>30

binomial a normal

http://www.ruf.rice.edu/%7Elane/stat_sim/normal_approx/index.html

INFERENCIA ESTADÍSTICA

CONCEPTODISTRIBUCIONES EN EL MUESTREOTIPOS DE INFERENCIA ESTADÍSTICAESTIMACION PUNTUALESTIMACION POR INTERVALOSCONTRASTE DE HIPÓTESIS

INFERENCIA ESTADÍSTICACONJUNTO DE TÉCNICAS

ESTADÍSTICAS QUE NOS PERMITEN EXTRAER CONCLUSIONES A

PARTIR DE DATOS MUESTRALES

INFE

RE

NC

IA E

STA

DÍS

TIC

A

?

INFERENCIA ESTADÍSTICA

TÉCNICAS DE INFERENCIA :

ESTIMACIÓNPUNTUALPOR INTERVALOS

CONTRASTE DE HIPÓTESISSOBRE PARÁMETROSSOBRE DISTRIBUCIONES

INFE

RE

NC

IA E

STA

DÍS

TIC

A

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

Los parámetros de una población no suelen ser conocidos.Su estudio requiere la toma de muestra y su ‘estimación’ a través de métodos estadísticos.Al estar calculados en base a información muestral (sujeta a variaciones aleatorias) estos parámetros muestrales son variables aleatorias.

DIS

TRIB

UC

ION

ES

EN

EL

MU

ES

TRE

O

DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO

POBLACION PARÁMETROS POBLACIONALESVALORES EXACATOS PERO DESCONOCIDOSCONSTANTE

DIS

TRIB

UC

ION

ES

EN

EL

MU

ES

TRE

O

MUESTRA PARÁMETROS MUESTRALESVALORES APROXIMADOS PERO CONOCIDOSVARIABLE ALEATORIA

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL

La media muestral se calcula mediante:

media y varianza de la media muestral son:

es decir:la media poblacional de la media muestralcoincide con la media poblacional de X.La varianza de la media muestral decrece conel tamaño de muestra

DIS

TRIB

UC

ION

ES

EN

EL

MU

ES

TRE

O

∑=

=n

1i

i

nXx

μ=)(xEn

xD2

2 )( σ=

DISTRIBUCIÓN DE LA MEDIA MUESTRAL

Si la variable es normal, se cumple:

Aunque X no fuera una distribución Normal, si n es lo suficientemente grande, según el Teorema de Lindenberg-Levy, la media muestral seguiría teniendo una distribución normal.

DIS

TRIB

UC

ION

ES

EN

EL

MU

ES

TRE

O

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ σμ≡⇒σμ≡

nNxNx ,),(

http://www.umd.umich.edu/casl/socsci/econ/StudyAids/JavaStat/CentralLimitTheorem.html

DISTRIBUCIÓN DE LA VARIANZA MUESTRAL

La varianza muestral se determina mediante:

Características en poblaciones normales:

DIS

TRIB

UC

ION

ES

EN

EL

MU

ES

TRE

O

∑=

− −−

=n

1i

2i2

1n 1n)xX(s∑

=

−=

n

1i

2i2

n n)xX(s

[ ] 221 σ=−nsE[ ] 22

n n1nsE σ⋅

−=

21n2

21ns)1n(

−− χ≡

σ⋅−2

1n2

2nsn

−χ≡σ⋅

DISTRIBUCIÓN DE LA DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES

Si tenemos X1=N(μ1,σ1) y X2=N(μ2,σ2)

DIS

TRIB

UC

ION

ES

EN

EL

MU

ES

TRE

O

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +μ−μ=− σσ

2

22

1

21,2121 nnNxx

DISTRIBUCIÓN DEL COCIENTE DE VARIANZAS MUESTRALES

Si tenemos dos variables aleatorias independientes con distribuciones normales X1=N(μ1,σ1) y X2=N(μ2,σ2) la distribución del cociente entre sus varianzas muestrales es:

DIS

TRIB

UC

ION

ES

EN

EL

MU

ES

TRE

O

1n,1n22

22

21

21

21F

/s/s

−−=σσ

DISTRIBUCIÓN DE LA PROPORCIÓN MUESTRAL

Si X=B(n,p), la media y la varianza de laproporción muestral son

Si X=Ps(λ) la media y la varianza de laproporción muestral son

DIS

TRIB

UC

ION

ES

EN

EL

MU

ES

TRE

O

p)p̂(E =n

)p1(p)p̂(D2 −⋅=

np)p̂(D2 =p)p̂(E =

ESTIMACIÓN PUNTUAL

SE PRETENDE AVERIGUAR EL VALOR DE UN PARÁMETRO DE UNA DISTRIBUCIÓN

COMO ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS POBLACIONALES SE USAN LOS CORRESPONDIENTES

ESTADÍSTICOS MUESTRALES

ES

TIM

AC

IÓN

PU

NTU

AL

ESTIMACIÓN PUNTUALCARACTERÍSTICA DESEABLES EN UN ESTIMADOR:

DEBE SER INSESGADODEBE TENER VARIANZA MÍNIMADEBE SER CONSISTENTE

POR EJEMPLO :

MEDIA POBLACIONAL .................. MEDIA MUESTRALVARIANZA POBLACIONAL ........... ID. MUESTRAL (n-1)PROPORCIÓN POBLACIONAL ..... ID MUESTRAL

ES

TIM

AC

IÓN

PU

NTU

AL

ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA

SE PRETENDE ENCONTRAR UN INTERVALO TAL QUE CONTENGA CON UNA PROBABILIDAD DADA AL VALOR VERDADERO DEL PARÁMETRO ESTIMADO:

HALLAR DOS ESTADÍSTICOS L1 Y L2 TALES QUE DEFINEN UN INTERVALO [L1, L2] QUE INCLUYE AL VALOR VERDADERO DEL PARÁMETRO CON

PROBABILIDAD (1- α)

1 - α = NIVEL DE CONFIANZA

α = NIVEL DE SIGNIFICACIÓN

INTE

RVA

LOS

DE

CO

NFI

AN

ZA

Intervalos de confianza

POBLACIONES NORMALESPara la media de una población normalde varianza conocida:

de varianza desconocida:

INTE

RVA

LOS

DE

CO

NFI

AN

ZA

x zn

± ασ

2

x t snn± −1

2α /

POBLACIONES NORMALESPara la diferencia de medias de dos poblaciones normales de varianzas conocidas:

de varianzas desconocidas, pero iguales:

( )x x zn n1 2

2

12

1

22

2− ± +α

σ σ

( )

( ) ( )

/x x t Sn n

S n s n sn n

n n1 2 1 2 12

1 2

2 1 12

2 22

1 2

1 1

1 12

− ± +

=− + −

+ −

+ −α

INTE

RVA

LOS

DE

CO

NFI

AN

ZA

POBLACIONES NORMALESPara la varianza de una población normal:

Para la razón de varianzas de dos poblaciones normales:

INTE

RVA

LOS

DE

CO

NFI

AN

ZA

( ) , ( )

, ,

n s n s

n n

− −⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥− − −

1 12

1 2

2

2

1 1 2

2χ χα α

s sF

s sFn n n n

12

22

1 1 2 12

12

22

1 1 2 11 2

/ , /

,/

,( / )

− − − −−

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥α α

POBLACIONES BINOMIALES

Con aproximación a la Normal (np>5)

Método exacto:Usar gráfica, entrando con p (estimada) y n y leyendo Li y Ls.

INTE

RVA

LOS

DE

CO

NFI

AN

ZA

nppzp )ˆ1(ˆˆ

2

−± α

TEST DE HIPÓTESISSE PRETENDE COMPROBAR SI SE VERIFICAN DETERMINADAS HIPÓTESIS ESTABLECIDAS SOBRE EL VALOR DE ALGÚN PARÁMETRO DE UNA DISTRIBUCIÓN O SOBRE LA PROPIA DISTRIBUCIÓN DE UNA VARIABLE, Y HACERLO CON UN RIESGO DE ERROR MEDIBLE

LA CERTEZA NO ES POSIBLE DADO EL CARÁCTER ALEATORIO DE LA INFORMACIÓN EMPLEADA

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS: HIPÓTESIS

HIPÓTESIS NULA (H0)ES LA QUE SE DESEA COMPROBAR(Suele ir asociada a lo que e considera situación correcta o normal)

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

HIPÓTESIS NULA (H1)SUELE SER LA CONTRARIA DE LA HIPÓTESIS NULA(Con frecuencia va asociada a la situación incorrecta o no deseada)

ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS: HIPÓTESIS

HIPÓTESIS SIMPLE / COMPUESTALa zona donde es cierta se reduce a un punto o a más de uno:m=120 m>120

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

HIPÓTESIS UNILATERAL / BILATERALLa zona donde es cierta se define a un solo lado o a los dos de un cierto valor:m≠120 m>120

ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS: ERRORES

ERROR TIPO IRECHAZAR LA HIPÓTESIS NULA CUANDO ES CIERTA(falsa alarma)

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

ERROR TIPO IIACEPTAR LA HIPÓTESIS NULA CUANDO ES FALSA(no suena la alarma cuando debiera hacerlo)

ELEMENTOS DE UN TEST DE HIPÓTESIS: RIESGOS

NIVEL DE SIGNIFICACIÓNES LA PROBABILIDAD DE RECHAZAR LA HIPÓTESIS NULA CUANDO ES CIERTAES LA PROBABILIDAD DE ERROR TIPO ISE REPRESENTA POR α Y SE LE LLAMA RIESGO DEL FABRICANTE

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

LA PROBABILIDAD DE ERROR TIPO II SE REPRESENTA POR β Y SE LE LLAMA RIESGO DEL COMPRADOR

TEST SOBRE LA MEDIA

Hipótesis nula simple contra alternativa bilateral (H0 : m=m0 H1 : m ≠ m0), supuesta σ desconocida.

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

nsmxtCalcular

/:.1 0−

=

2/1

α−nt una de valor el con t Comparar2.

0n H rechazará sett si :Decidir3. 2/1

α−>

TEST SOBRE LA MEDIA

Hipótesis nula simple contra alternativa unilateral (H0 : m=m0 H1 : m > m0), supuesta σ desconocida

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

nsmxtCalcular

/:.1 0−

=

α−1nt una de valor el con t Comparar2.

0n H rechazará sett si :Decidir3. α−> 1

TEST DE IGUALDAD DE DOS MEDIAS

Hipótesis nula simple contra alternativa bilateral (H0 : m1=m2 H1 : m1 ≠ m2), supuestas las σdesconocidas pero iguales

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

2)1()1(

21

222

2112

−+−+−=

nnsnsnS:ponderadamediavarianzalaObtener 1.

21

1121

nnSxxt Calcular2.+

−=

2/221

α−+nnt una de valor el con t Comparar3.

0nn H rechazará sett si :Decidir4. 2/221

α−+>

TEST SOBRE LA VARIANZAHipótesis nula simple contra alternativa bilateral (H0 : σ=σ0 H1 : σ ≠ σ0)

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

Se obtendrá un intervalo de confianza en torno a S y se comprobará si σ0queda incluida en el mismo :

0nn

0 H aceptará sesnsn Si⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

χ−

χ−

∈σαα −−−

21,1

2

2,1

2

22

)1(,)1(

TEST SOBRE LA VARIANZA

Hipótesis nula simple contra alternativa unilateral (H0 : σ=σ0 H1 : σ > σ0)

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

2,1 α−χn tablas de Leer 2.

20

22 )1(

σ−

=χsn Obtener1.

0n H aceptará seSi 2,1

2.3 α−χ≤χ

TEST SOBRE LA VARIANZA

Hipótesis nula simple contra alternativa unilateral (H0 : σ=σ0 H1 : σ < σ0)

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

21,1 α−−χn tablas de Leer 2.

20

22 )1(

σ−

=χsn Obtener1.

0n H aceptará seSi 21,1

2.3 α−−χ≥χ

TEST DE IGUALDAD DE VARIANZAS

Hipótesis nula simple contra alternativa unilateral (H0 : σ1=σ2 H1 : σ1>σ2), siendo s1 la desv. típica muestral mayor

TES

T D

E H

IPÓ

TES

IS

22

21.1

ssFCalcular =

α−− 1,1 21

.2 nnF tablas de Leer

0nn H rechazará se FFSiDecidir α−−> 1,1 21

:.3

TEST SOBRE LA PROPORCIÓN

H0(p=p0) vs H1(p≠p0) (Binomial)

H0(p=p0) vs H1(p>p0) (Binomial)

H0(p1=p2) vs H1(p1≠p2) (Binomial)

con

{ }002/0002/0 qnpznpxqnpznpA αα +≤≤−=

{ }000 qnpznpxA α+≤=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤+⋅

−= α 2/

n1

n1

21 zp̂

p̂p̂A21

21

2211

nnp̂np̂np̂

+−

=

TEST SOBRE LA POISSON

H0(p=p0) vs H1(p≠p0) (Poisson)

H0(p=p0) vs H1(p>p0) (Poisson)

{ }02/002/0 npznpxnpznpA αα +≤≤−=

{ }00 npznpxA α+≤=

TAMAÑOS DE MUESTRA

Las muestras necesarias para proceder a estimar los parámetros de una distribución deben ser calculadas de modo que se garantice la adecuada precisión y confiabilidad de las estimaciones.En todo caso, debe garantizarse la aleatoriedad de la muestra.

MUESTREO EN POBLACIONES FINITASEstimación de la media (normal)

Estimación de la proporción (binomial)

Estimación de la media (poisson)

Nz

N)1N(zn 22

2/2

222/

σ⋅+

ε⋅−σ⋅

=α

α

N)qp(z

N)1N(

)qp(zn 22/

2

22/

⋅⋅+

ε⋅−⋅⋅

=α

α

Nz

N)1N(zn 2

2/2

22/

λ⋅+

ε⋅−λ⋅

=α

α

MUESTREO EN POBLACIONES INFINITASEstimación de la media (normal)

Estimación de la proporción (binomial)

Estimación de la media (poisson)

22/zn ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ε⋅σ

≥ α

2

2/zpqn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ε⋅

≥ α

2

2/zpn ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ε⋅

≥ α

TAMAÑO DE MUESTRA EN TEST DE HIPÓTESIS

El más importante de ellos es para el contraste de hipótesis es H0(μ=μ0) vs H1(μ≠μ0). Entonces el tamaño de muestra se calcula mediante:

22/

dzz

n ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +≥ βα