Estadistica inferencial basica

7/23/2019 Estadistica inferencial basica

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CONCEPTOS BÁSICOS DE LA ESTADÍSTICA

Antes de comenzar a estudiar la teoría y expresiones involucradas en la estadística inferencial que

es el tema a desarrollar en el módulo de estadística II, analizaremos los conceptos mencionados en

ella. Con éstos podremos poco a poco ir abordando los temas principales del módulo a saber

probabilidad, estimación e inferencia.

Nuestro fin en el trascurso del módulo es considerar poblaciones y muestras de ellas a partir de las

cuales determinaremos probabilidades (que son medidas numéricas) con las cuales estableceremos

numéricamente qué tan posible es que un suceso o fenómeno en la población ocurra o no. Luego,

trataremos de estimar medidas difíciles de calcular de forma práctica, por ejemplo la media, la

varianza y la proporción poblacional. Finalmente buscaremos intervalos en dónde podamos intuir

que las medidas mencionadas se encuentran, según el tamaño de la población.

!"#!$%&"' )$#$*+,$'

E j e m p l o 1

j e m p l o 1

Una empresa tiene 4 máquinas que empacan agua en bolsa de 125 mililitros. Diariamente se

empacan 2000 bolsas de estas y para controlar que el peso sea correcto, cada 4 horas se toman

muestras de 50 bolsas cuyo peso promedio debe ser como mínimo 124 mililitros y como máximo

126 mililitros; para que la empresa no incurra en pleitos por engaño al consumidor o en pérdidas

por excesos en la producción.

La población en este contexto son las 2000 bolsas diarias, ¿se imaginan que tuviesen que pesar

todas las bolsas? !Se estaría perdiendo tiempo valioso para la empresa, sin hablar del costo¡ Por

ello, es mejor tomar una muestra, 50 bolsas (cada 4 horas), y controlar la producción con base en

dichas muestras.

Población: es un conjunto de datos que caracteriza un fenómeno.

Muestra: subconjunto representativo de una población.

Estadística: cantidad que estima características de una población.

Parámetro: característica desconocida de una población.



E j e m p l o 2

j e m p l o 2

Continuando con el ejemplo de la empresa empacadora de bolsas de agua, un parámetro sería la

media poblacional (el peso promedio de las 2000 bolsas con agua) y la estadística sería la media

muestral (el peso promedio de las 50 bolsas de agua, determinado cada 4 horas).

Reiterando en la observación dada en el ejemplo 1, al sacar el peso promedio de las 2000 bolsas se

incurrirá en pérdida de tiempo y de dinero.

E j e m p l o 3

j e m p l o 3

Supongamos que en el ejemplo 1 el peso promedio de la muestra (media muestral) es 124.7

mililitros entonces se dice que el peso promedio de la población en esas 4 horas es de

aproximadamente 124.7 mililitros.

Se estimó la media poblacional por medio de la media muestral .

E j e m p l o 4

j e m p l o 4

Supongamos que deseamos conocer el peso promedio necesario para no incurrir en pleitos legales

con los consumidores, porque el peso de las bolsas con agua no es de 125 mililitros exactamente.

El gerente de producción decide que si el peso promedio es de 124.5 mililitros la unidad, entonces

se continuará con el proceso de empacado. Con base en esto lo que se desea determinar es si es

cierto que el valor de la media muestral, cuando esta se tome, es de 124.5 mililitros. Si no llega a

serlo, entonces se detendrá el proceso de empaque y se efectuarán los ajustes necesarios.

Estimación: es un método por medio del cual se aproxima el valor del parámetro de una

población a partir de los datos u observaciones de una muestra.

Estimación puntual: proceso mediante el cual con las observaciones de una muestra se

estima el parámetro de la población, con un valor numérico.

Estimación por intervalo: proceso con el cual se determina un intervalo en el que

posiblemente se encuentra el valor real del parámetro.

Pruebas de hipótesis: procesos que conllevan a establecer el rechazo o no de una afirmación

respecto a una característica desconocida de una población.



Ahora que distinguimos los conceptos generales veamos los conceptos requeridos en cada tema

(probabilidad, estimación e inferencia). Comencemos con probabilidad:

Distinguir el concepto de conjunto, elemento y las operaciones con conjuntos nos permitirá abordar

y comprender con mayor facilidad los conceptos de probabilidad. Por ello, concentrémonos en el

tema e interioricemos todo lo que en él aparece.

Los conjuntos pueden nombrarse de dos formas por comprensión o por extensión:

E j e m p l o 5

j e m p l o 5

El conjunto A formado por todos los números del 1 al 5 puede describirse de la siguiente manera:

A={ x: x es un número de 1 a 5}

Dicho cojunto se lee como el conjunto de los números (representados con la letra x) tales que éstos

se encuentran entre 1 y 5. A esta forma de nombrar un conjunto se le conoce como nombramiento

por comprensión. Si por otra parte, escribimos explícitamente los elementos del conjunto A:

A:{1, 2, 3, 4, 5}

Se dice que el nombramiento es por extensión.

Conjuntos y sus operaciones

Conjunto: es una colección de objetos bien definidos; se refiere a la coherencia por ejemplo

si voy a formar un conjunto de frutas debo tener claro que no voy a considerar verduras.

Todo conjunto se denotan con una letra mayúscula, como cuando vimos matemática I que

utilizábamos letras para denotar simbólicamente un dato.

Elemento: es un objeto de un conjunto. Se denotan con letras minúsculas cuando se

desconocen.

Diagrama de Venn: es una representación gráfica de los conjuntos en la cual cada conjunto

se encierra en un círculo o óvalo y aquel que los contiene a todos se encierra por un cuadrado

o rectángulo .



En el anterior ejemplo el conjunto es A, los elementos son 1, 2, 3, 4 y 5, y el diagrama de Venn es:

Para indicar que un elemento pertenece o no a un conjunto usamos la siguiente notación.

1 8

1 pertenece a 8 no pertenece a

A A

A A

! "# #

Denotamos que B es subconjunto de A con la expresión B A! y para indicar que A no está

contenido en B escribimos B A! .

E j e m p l o

j e m p l o

6

Sean A={1, 2, 3, 4, 5} y B={1, 2} veamos algunos ejemplos de contenencia y no contenencia.

B A! porque 1 A! y 2 A! , es decir todo elemento de B se encuentra en A.

A B! porque 3 B! , 4 B! y 5 B! , es decir no todo elemento de A se encuentra en B.

Subconjunto: sean A y B dos conjuntos, decimos que B es subconjunto de A si todo elemento

de B también pertenece a A.

1

2" #

$

%



E j e m p l o 7

j e m p l o 7

Sean A={1, 2, 3, 4, 5} y B={1, 2} y C ={1, 3, 4, 8, 9}

observemos su representación en diagramas

de Venn.

Con los conjuntos podemos establecer otros conjuntos por medio de operaciones; éstas son la unión,

intersección y el complemento. Existen otras operaciones pero nosotros nos concentraremos en

estas ya que son las que utilizaremos para determinar probabilidades.

E j e m p l o 8

j e m p l o 8

Sean A={1, 2, 3, 4, 5}, B={3, 4, 8, 9} y C ={0, 2} determinemos la unión con cada pareja de ellos.

A B! = {1, 2, 3, 4, 5, 8, 9} A C ! = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B C ! = {0, 2, 3, 4, 8, 9}

Unión de conjuntos: sean A y B conjuntos, notamos con A B! al conjunto de los elementos

que pertenecen a A, a B o a ambos conjuntos.

Intersección de conjuntos: sean A y B conjuntos, notamos con A B! al conjunto de los

elementos que pertenecen tanto a A como a B, en otras palabras es el conjunto que contienen

los elementos comunes a ambos conjuntos.



E j e m p l o 9

j e m p l o 9

Sean A={1, 2, 3, 4, 5}, B={3, 4, 8, 9} y C ={0, 2} determinemos la intersección de A con B, de A

con C y de B con C.

A B! = {3, 4} A C ! = {2} B C ! ="

E j e m p l o 1

j e m p l o 1

Sean U ={1, 2, 3, 4, 5} y A={1, 2} determinemos C A .

Como C A está constituido por todos los elementos que están en el universal y no están en A

entoncesC

A = {3, 4, 5}.

Téngase en cuenta que para hallar el complemento de un conjunto debe existir un conjunto

universal que lo contenga.

Existen diversos contextos tanto matemáticos como de la vida cotidiana en los se requiere

determinar el número de elementos de un conjunto, por ello es necesario buscar métodos prácticos

que nos permitan establecerlos.

Existen conjuntos infinitos como el conjunto de los números reales y finitos como los que hemos

trabajado en los ejemplos anteriores: U ={1, 2, 3, 4, 5}.

Para determinar el número de elementos de un conjunto existen técnicas llamadas de conteo, pero

estas serán estudiadas más adelante. Por ahora vamos a determinar el número de elementos de

conjuntos finitos pequeños y en particular de la unión e intersección de los mismos, para luego

utilizar las técnicas de conteo que facilitan dicho cálculo.

Para denotar el número de elementos de un conjunto A usaremos la expresión ( )n A .

Complemento de un conjunto: sea A un subconjunto de un conjunto universal U , decimos que

el complemento de A, que notamos c A , es el conjunto que contiene los elementos de U que no

están en A.

Número de elementos de un conjunto



E j e m p l o 1 1

j e m p l o 1 1

Determinar el número de elementos de los conjuntos A={1, 2, 3, 4, 5}, B={3, 4, 8, 9} y C ={0, 2}.

Como en A hay 5 elementos entonces ( ) 5n A = ; de igual manera ( ) 4n B = y ( ) 2n C = .

E j e m p l o 1 2

j e m p l o 1 2

Determinemos el número de elementos de la unión de los conjuntos A y B.

Veamos el diagrama de Venn para estos conjuntos y con su ayuda determinemos el número de

elementos en A B! .

A B! = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y el número de elementos es ( ) 8n A B! = ; este número también puede

determinarse conociendo el número de elementos en A, en B y en la intersección de ellos.

Observemos.

Como ( ) 5n A = , ( ) 6n B = y ( ) 3n A B! = entonces

( ) ( ) ( ) ( )

Número Número Número Número

de elementos

n A B n A n B n A B! = + " #

$ $ $ $

de elementos de elementos de elementos

en la unión en A en B en la intersección

Obsérvese que como los conjuntos tienen elementos en común debemos quitárselos porque de locontrario estaríamos contando dos veces el mismo elemento. Así, ( ) 5 6 3 8n A B! = + " = valor que

coincide con el obtenido por medio del diagrama de Venn.



Experimento determinístico: acción cuyo resultado es completamente predecible.

Experimento aleatorio: acción cuyo resultado no es predecible, también suele llamarse

experimento no determinístico.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.

Evento o suceso: es un subconjunto del espacio muestral cuyos elementos tienen una

característica común.

Ejemplo 13

Sea A = {1, b, c} y el universal U = {1,2,3, , ,a b c } determine el número de elementos que hay enc

A .

Existen dos formas de determinar el número de elementos enc

A contando directamente loselementos de éste o utilizando el número de elemento de U y de A; ésta última opción nos será muy

útil cuando necesitemos determinar la probabilidad de que no ocurra un determinado suceso.

Veamos:

( ) ( ) ( ) 6 3 3cn A n U n A= ! = ! =

En ocasiones escuchamos expresiones como: los métodos anticonceptivos son seguros en un 99% y

el 3% de los equipos salen defectuosos en el control de calidad. Dichos porcentajes representan una

parte del todo que es el 100% y pueden representarse por medio de fracciones. Por ejemplo, decir

que el 3% de los equipos salen defectuosos es equivalente (por fracciones) a3

100, en otras palabras

diríamos que de 100 partes 3 son defectuosas. Dichas fracciones en nuestro módulo serán

asignaciones numéricas que llamaremos probabilidades, luego3

100 que al calcularse corresponde

al número 0.03 indicará que la probabilidad de que un equipo salga defectuoso es de 0.03.

De esta manera, 1 indicará que con toda seguridad el fenómeno estudiado sucederá, 0 indicará quecon toda seguridad el fenómeno estudiado no sucederá y 0.5 indicará que es igualmente posible que

suceda o no el fenómeno estudiado. Y así sucesivamente.

Ahora que tenemos una idea intuitiva de lo que es probabilidad definamos algunos conceptos para

luego formalizar y establecer la expresión numérica que nos permitirá calcular probabilidades.

Acerquémonos al concepto de probabilidad

Introducción a la probabilidad



E j e m p l o 1

j e m p l o 1

4

Si lanzamos una piedra normal al agua con certeza diríamos que la piedra se hundirá, por ende éste

es un experimento determinístico porque sabemos su resultado antes de realizarlo.

Si lanzamos una moneda normal no podemos decir con certeza si caerá cara o sello, entonces este esun experimento aleatorio pues no conocemos su resultado antes de realizarlo.

E j e m p l o

j e m p l o

1 5

5

Si consideramos el experimento aleatorio del lanzamiento de una moneda normal, el espacio

muestral son todos los posibles resultados, es decir, cara y sello.

En adelante escribiremos EM para denotar el conjunto del espacio muestral, observemos:

EM = {cara, sello}

E j e m p l o 1 6

j e m p l o 1 6

Un evento del espacio muestral anterior es que el resultado del lanzamiento de la moneda sea sello.

Si retomamos la definición de evento nos dice que es un subconjunto del espacio muestral y, si

notamos con E el evento entonces, E = {sello} es un subconjunto de EM.

!"#$%&"'$( *+" ,

Si tenemos

A es un subconjunto de U porque todo elemento de A está en U. Por el contrario U no está

contenido en A porque no todos los elementos de U están en A.

%&



E j e m p l o

j e m p l o

1 7

Supongamos que tenemos una bolsa con dos tarjetas verdes, tres azules y cuatro rojas. ¿Qué

fracción representa el número de tarjetas azules en la bolsa?

Como el todo, que es el número de elementosen la bolsa, es 9 y el número de ellos que son

azules es 3, entonces la fracción que

representa el número de tarjetas azules en la

bolsa es3

9 que simplificada corresponde a

1

3 .

Esta fracción es justamente la probabilidad de que al extraer una tarjeta aleatoriamente de la bolsa,

sin ver, el color sea azul; hay 3 opciones o casos favorables de 9 posibilidades.

En un experimento como el mencionado el espacio muestral es el conjunto de resultados posibles al

extraer una tarjeta, sin ver, y el evento es que se extraiga una tarjeta azul.Suele ser conveniente denotar el evento y la probabilidad de que este suceda de la siguiente manera.

E:= el resultado de extraer una tarjeta es que su color sea azul.

P(E) := probabilidad de que el resultado de extraer una tarjeta sea que su color es azul.

Para calcular la probabilidad determinamos el espacio muestral:

Y luego utilizamos la expresión dada para calcular probabilidades:

# de casos favorables 1( )

# de elementos en el espacio muestral

3

9 3 P E = = =

Probabilidad: es un número real que mide la posibilidad de que ocurra un resultado del

espacio muestral, cuando el experimento se lleve a cabo. (George C. Canavos)



Es muy importante que el espacio muestral y el evento o los eventos en un experimento aleatorio

estén bien definidos ya que de ellos depende que el conteo de elementos sea correcto. Si éstos se

definen o determinan erróneamente nuestras probabilidades también lo serán.

Otro aspecto que cabe resaltar es que la parte de un conjunto jamás es mayor que el propio

conjunto, por ende nunca una probabilidad, que representa la parte del todo que satisfacedeterminada característica, puede ser mayor que uno o menor que cero.

E j em p l o

j e m p l o

8

8

Si importa el orden en que salgan los resultados al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que

la suma de los resultados sea 5?

Primero describamos el espacio muestral teniendo en cuenta que importa el orden en que seanlanzados los dados; escribiremos en parejas los resultados de tal manera que la pareja se forma así

(resultado del primer dado, resultado del segundo dado):

Contemos entonces el número de elementos en el espacio muestral: ( ) 36n EM = .

Ahora describamos el evento: E:= la suma de los resultados de lanzar dos dados es 5.

Nótese que el evento está constituido por cada pareja de números que al adicionarlos dan como

resultado 5. Así ( ) 4n E = .

Así concluimos que la probabilidad de que al lanzar dos dados su suma sea 5 es:

.



según la expresión dada para calcular probabilidades.

Obsérvese que también hubiésemos podido escribir

( ) 4 1( )( ) 36 9n E

P E n EM

= = =

E j em p l o

j e m p l o

9

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados, importando el orden de lanzamiento, en una

cara aparezca un 3 y en la otra un número menor o igual que 3?

Establezcamos el espacio muestral:

Definamos el evento E:

Calculemos la probabilidad pedida:

Por otra parte, puesto que el concepto de

probabilidad está asociado al de conjuntos,

cabe preguntarse si es posible calcular la

probabilidad de la unión, la intersección y el

complemento de eventos. Pero… en

probabilidad, ¿qué significa unir o intersecar

eventos?



Como los eventos son subconjuntos del espacio muestral, al unir dos eventos buscamos un evento

en el cual se cumpla uno o ambos eventos, mientras en la intersección buscamos la ocurrencia de

un evento en el cual se cumplen ambos eventos obligatoriamente. Por otra parte, cuando hablamos

del complemento de un evento nos referimos a aquellos elementos que no cumplen la característica

del mismo, es decir, encontraremos o determinaremos la probabilidad de que no suceda un evento.

E j e m p l o

e m p l o

2

Supongamos que se lanza un dado, no cargado, ¿cuál es la probabilidad de que el resultado sea un

número par o múltiplo de 3?

Para responder la pregunta establezcamos el espacio muestral y el o los eventos. Utilizaremos

subíndices para diferenciar un evento de otro.

1 E : el resultado de lanzar el dado es un número par:

2 E : el resultado de lanzar el dado es un múltiplo de 3:

Si observamos, cuando nos dicen que el resultado sea un número par o múltiplo de tres debemos

determinar la unión de los eventos porque éste nos dice que ocurre el ser par o múltiplo de tres o

ambos.

Ahora sí calculemos la probabilidad solicitada:

También podríamos haber escrito:



1 2

1 2

( ) 4 2( )

( ) 6 3

n E E P E E

n EM

!! = = =

E j e m p l o 2 1

e m p l o 2 1

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado el resultado sea un número impar y divisor de 5?

Definamos el espacio muestral:

Determinemos los eventos:

1 E : el resultado al lanzar el dado es un número impar.

2 E : el resultado al lanzar el dado es divisor de 5.

Observemos que el enunciado del ejercicio solicita que el resultado sea un número impar y divisor

de 5, es decir debe cumplir ambas condiciones, y el evento que representa este requisito es la

intersección porque deben cumplirse ambos resultados.

Calculemos entonces la probabilidad de la intersección:

E j e m p l o

j e m p l o

2 2

2



¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado el número resultante no sea 3?

Definamos el espacio muestral y los eventos:

representa el evento el número que resulta al lanzar un dado es tres.

representa el evento el número que resulta al lanzar un dado no es tres.

Nótese que el evento solicitado es el complemento del evento el resultado de lanzar el dado es tres.

Calculemos la probabilidad de que al lanzar un dado el número resultante no sea 3:

Podemos calcular también la anterior probabilidad utilizando el hecho de que la probabilidad del

espacio muestral es 1, luego si a él le quitamos la probabilidad del evento E entonces

Cabe resaltar que el saber cómo determinar la probabilidad de un evento depende completamente de

reconocer en el enunciado si el evento es simple, es la unión o intersección de eventos o el

complemento de un evento. Por ello, leamos cuidadosamente los enunciados para no equivocarnos.

Adicionalmente una ayuda podría ser que cuando se solicita la ocurrencia de un evento en el que

aparece la o por lo general se solicita la unión, cuando aparece la y se solicita la intersección y

cuando se indica la no ocurrencia de cierto evento se habla del complemento.

A continuación abordaremos el concepto de eventos mutuamente excluyentes para establecer la

probabilidad de la unión e intersección de eventos.

Eventos mutuamente excluyentes:

dos o más eventos son mutuamente excluyentes si su

intersección es vacía.



E j e m p l o

j e m p l o

2 3

3

Consideremos el lanzamiento de un dado y calculemos la probabilidad de que el resultado sea un

número impar y par.

Determinemos el espacio muestral:

Determinemos los eventos:

Como el resultado debe ser un número impar y par, nos solicitan la intersección de los eventos:

Como la intersección es vacía los eventos son mutuamente excluyentes. Ahora calculemos la

probabilidad de que el resultado del lanzamiento de un dado sea par e impar:

Lógico no? Ningún número es par e impar a la vez.

A continuación estudiaremos los axiomas y teoremas básicos de la probabilidad que son como

reglas con las cuales podremos decir si nuestros resultados al calcular o establecer una probabilidad

son coherentes y/o adecuados.

Axiomas y teoremas básicos de la probabilidad



Si un espacio muestral está dado de la siguiente manera:

Donde cada i E con 1,2,3,i n=

! números naturales son los eventos o sucesos, entonces cada

Se denomina evento simple.

Una característica importante de los eventos simples en cualquier espacio muestral es que entre

ellos son mutuamente excluyentes.

Los números ( )i

P E con i=1, 2,…, n, y n un número natural cumplen las siguientes propiedades:

1. Toda probabilidad es un número entre cero y uno.

2.

La suma de las probabilidades de los eventos simples en un espacio muestral es 1; o también

la probabilidad del espacio muestral es 1.

Distribución de probabilidad: cuando se asigna a cada evento simple de un espacio muestral

una probabilidad y se organizan en una tabla decimos que formamos una distribución de probabilidad.



3. La probabilidad de la unión de dos eventos del espacio muestral es la suma de las

probabilidades de los eventos simples. Nótese que esto tiene sentido porque en el espacio

muestral los eventos simples son mutuamente excluyentes.

E j e m p l o 2

j e m p l o 2

4

Los resultados de las calificaciones de un examen en cierta institución educativa, se organizaron en

la siguiente tabla de distribución de probabilidad:

Distribución de probabilidad

Calificación x Probabilidad

1 ! x < 3 0.3

3 ! x < 4 0.5

4 ! x ! 5 0.2

Con base en la distribución, si se elige un estudiante al azar determinemos la probabilidad de que:

a. su calificación sea menor que 4.

b.

Su calificación sea superior o igual a 3.

Sean

1 E := la calificación es mayor o igual que 1 y menor que 3.

2 E := la calificación es mayor o igual que 3 y menor que 4.

3 E := la calificación es mayor o igual que 4 y menor o igual que 5.

entonces

a. La probabilidad de que la calificación del estudiante sea menor que 4 es:

Recordemos que como la calificación debe ser menor que 4, todos los números de 1 a 3.99999…

cumplen esta condición y son justamente la unión del evento 1 y el 2.



b. La probabilidad de que la calificación del estudiante sea superior o igual a 3 es:

Obsérvese que la característica que hace que la probabilidad de la unión de los anteriores eventossea justamente la suma de ellos, es que son mutuamente excluyentes. Pero… ¿qué sucede cuando

no los son?

E j e m p l o

e m p l o

2 5

5

Una empresa fabrica equipos dvd y en el departamento de control y calidad establecen que un 2%

de los equipos vendidos tienen problemas de video, el 0.5% tienen problemas de audio y un 0.3%

ambos tipos de problemas. Determinemos la probabilidad de que un equipo comprado por un

cliente tenga problemas de video o audio.

SeanE1 :=el equipo dvd tiene problemas de video.

E2 :=el equipo dvd tiene problemas de audio.

Entonces

Luego aplicando la regla de la suma obtenemos

Observemos la anterior regla por medio de diagramas de Venn.

Regla de la suma: para dos eventos cualesquierai

E y j

E con i j! , ,i j N ! ( N el conjunto

de los naturales) se tiene que:



Así la probabilidad de que un equipo dvd presente problemas de audio o video es 0.022. En otras

palabras un 2.2% de los equipos presentan fallas en audio o video.

A continuación abordaremos la regla del la multiplicación para eventos independientes, sin

embargo para ello necesitamos reconocer éste último concepto. Veamos:

E j e m p l o 2 6

j e m p l o 2 6

Supongamos que tenemos una bolsa oscura en la cual hay 2 bolas de color rojo y 2 de color verde y

con esto distingamos cuándo dos eventos son dependientes o independientes.

Caso 1: supongamos que extraemos una bola, anotamos su color, la colocamos nuevamente en la

bolsa y volvemos a extraer una bola.

Si observamos en este caso la extracción de cualquier bola no afecta el experimento porque la bola

se retorna a la bolsa, el espacio muestral y el número de elementos en los eventos siguen siendo los

mismos.

Luego la extracción de una bola no afecta la posibilidad de extracción de la segunda. Los eventos

son independientes.

Caso 2: supongamos que extraemos una bola, anotamos su color, no la devolvemos a la bolsa y

volvemos a extraer una bola.

En este caso el espacio muestral y el número de elementos en los eventos cambia pues al extraer

una bola y no regresarla se disminuye el tamaño de los mencionados.

Por lo tanto los eventos son dependientes ya que en la segunda extracción tendremos menos

elementos y por ende tanto el espacio muestral como los eventos cambian.

Eventos independientes: dos o más eventos son independientes si la ocurrencia del uno no

afecta la del otro. Cuando lo anterior no sucede decimos que los eventos son dependientes.

Regla del producto: para dos o más eventos independientes la probabilidad de que ocurran en

un solo ensayo es el producto de todas sus probabilidades.



E j e m p l o 2 7

j e m p l o 2 7 (Ciro Martínez)

En una fábrica de calzado se manufactura independientemente costura (toda la parte superior del

calzado relacionada con el cuero), suela y tacón, siendo estas partes armadas aleatoriamente en cada

zapato. Se sabe que en este proceso, el 5% de las costuras, el 4% de las suelas y el 1% de los

tacones tienen fallas. ¿Qué porcentaje de pares de zapatos resulta con fallas en sus tres

componentes?

Sean

E1: la costura del calzado tiene fallas.

E2: la suela del calzado tiene fallas.

E3: los tacones del calzado tiene fallas.

Como los eventos son independientes, porque la ocurrencia de uno no afecta la del otro,

determinemos el porcentaje de pares de zapatos con fallas en sus tres componentes utilizando la

regla del producto:

Así, el 0.002% del calzado presenta fallas en sus tres componentes.

Veamos ahora un ejemplo en el cual se observa el cálculo de probabilidades utilizando la regla del

producto.

E j e m p l o 2 8

j e m p l o 2 8

Caso 1 (independencia de eventos): supongamos que extraemos una bola, anotamos su color, la

colocamos nuevamente en la bolsa y volvemos a extraer una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que

una bola sea roja y la otra verde?



Indiquemos las opciones que tenemos para el resultado solicitado:

Determinemos el espacio muestral y el evento:

EM = { ( , ) , ( , ) , ( , ) , ( , )r r r v v r v v }

E = { ( , ), ( , )r v v r }

Observemos que el evento E está formado por los resultados roja, verde y verde, roja; las

probabilidades de cada una puede establecerse con la regla del producto:

Sean

1 E : se escoge una bola roja.

2 E : se escoge una bola verde.

Tenemos que la1

2( )

4 P E = (dos bolas rojas de 4 que hay) y

2

2( )

4 P E = (2 bolas verdes de 4 que

hay) luego



1 2 1 2

2 2( ) ( ) ( )

4 4 P E E P E P E ! = " = "

porque la extracción de la bola roja no afecta la extracción de la bola verde.

Realizando un proceso análogo al anterior obtenemos que la extracción (v,r) tiene probabilidad

1 2( ) P E E ! . Con esto podemos entonces calcular la probabilidad solicitada inicialmente:

Ahora resolvamos el mismo ejercicio pero utilizando el concepto de espacio muestral:

Para finalizar la sección referente a los axiomas de la probabilidad vamos a presentar la regla del

complemento.

E j e m p l o

j e m p l o

2 9

9

Consideremos una pareja que desea tener dos hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que ambos no sean

niñas?

Debemos resaltar que nos están solicitando la probabilidad de que no ocurra cierto evento, por ello

podemos usar la regla del complemento.

Regla del complemento: la probabilidad de que un evento no ocurra es igual a uno menos la

probabilidad de que sí ocurra. (Ciro Martínez).



Determinemos el espacio muestral y el evento de que ambos hijos sean niñas:

Como necesitamos hallar la probabilidad de : ambos hijos no son niñas entonces, según la regla

del complemento tenemos:

Luego existe un 75% de probabilidad de que ambos hijos no sean niñas.

!"#$%&'#"()$

Llego el momento de aplicar los temas tratados anteriormente, para reforzar nuestros conocimientos

es necesario practicar; por ello tal y como se indica en guía de actividades por semana, por favorrealice la o las guías prácticas de la semana y revise el o los libros sugeridos en el mapa conceptual

de la unidad 1 (todo lo referente a probabilidad) sino logra acceder a los libros se sugiere, consulte

un libro físico de estadística y probabilidad, luego realice los ejercicios referentes a los temas

tratados en la semana y si tiene alguna duda consulte al tutor que le corresponda.

Para acceder al libro mencionado debe ingresar a la biblioteca virtual en otra página de internet

distinta a la del módulo. Las instrucciones para ingresar a la biblioteca aparecen a continuación; por

favor sígalas y realice los ejercicios del libro (sólo aquellos que cubran los temas tratados hasta

ahora.), tenga en cuenta que el libro problemario de probabilidad tiene resueltos todos los ejercicios

por ello le sugiero leer el enunciado tratar de resolver el ejercicio y luego comparar sus resultados.

Para acceder al libro…

En la unidad 1, aparece un mapa conceptual; en el espacio que dice consulta de libros e-poligran al

ubicarse en la hojita se despliega la bibliografía y para acceder a dichos libros debe seguir los

siguientes pasos:



1. en la página principal de campus virtual debajo del CAE dice biblioteca virtual, de click en

este link.

2. Allí se abre la página de la biblioteca y debe escribir su usuario y contraseña.

3. Hagan click en libros electrónicos e ingrese el usuario y la contraseña.

4. Ahora de click en e-libro, vuelva a la página del mapa conceptual y de click sobre el libro

que desean consultar.

Si siguió correctamente las instrucciones debe poder visualizar el libro indicado.

Adicionalmente puede revisar el libro Estadística para Administración y Economía de Anderson

que se encuentra en google (libros); busque en el índice los temas tratados: espacio muestral,

eventos, probabilidad y reglas o axiomas de la probabilidad (páginas 132 a 152) y resuelva los

ejercicios allí propuestos.



PRÁCTICA I CONCEPTOS BÁSICOS DE PROBABILIDAD

"#$%&#' "&#()*' (&+,*-' "&#()*'

=$/& .%17)1'1 /%&0& ,21/)# )1'1$ 3 .& %>62%&).1 1 .&)&,41 )&,#7&'#$ -#$ )&$2-/1.#$ .&

-#$ &-&'&0/#$ 62& ,#0*#)'10 &- &$(1,%# '2&$/)1- &0 &- 62& )&()&$&0/1'#$ 1 *15#) ,#0 . 3

&0 ,#0/)1 ,#0 /B

=IB JKK? KG? GK?GGL

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,1$1.1$ $% ( # 0# *

19 G#0 &- .%17)1'1 .&- +)8#- )&()&$&0/& -#$ &-&'&0/#$ .&- &$(1,%# '2&$/)1-9

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10 F#-# 413 201 (&)$#01 ,1$1.19

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19

GN

89 O : G

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.9 Q P G

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*9 ON P QN

'+,-././0 42

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10 &- ,-%&0/& /%&0& ,2&0/1 .& 14#))# $#0 %0.&(&0.%&0/&$^

]=<(-%62& &- (#) 62D^



TÉCNICAS DE CONTEO

Las técnicas de conteo son principios que nos permiten determinar el número de elementos que

cumplen cierta característica en un grupo dado. Puesto que el cálculo de una probabilidad está

asociado al conteo de elementos, vamos a exponer los principios de conteo para luego utilizarlos en

la determinación de probabilidades.

PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACIÓN

E j e m p l o

j e m p l o

3 0

0

Si se lanza una moneda 3 veces, ¿cuál es el número de elementos del espacio muestral?, es decir,

¿cuál es el número de resultados posibles del experimento aleatorio?

Usemos un diagrama de árbol para determinar este número y luego comprobemos el resultado que

arroja el principio fundamental del conteo.

Si un experimento se puede realizar en dos etapas y la primera etapa se consigue de m

formas o maneras diferentes y en seguida la segunda etapa se realiza de n formas o maneras

diferentes, entonces el experimento completo se puede realizar de mn maneras diferentes.

En general Si hay1n formas de que suceda un evento

1 E ,

2n formas de que suceda un

evento2

E , y así sucesivamente hastamn formas de que ocurra el evento

m E ,

entonces

existen1 2 m

n n n! ! formas de que suceda el evento1

E seguido del evento2

E hasta el

eventom

E



Con el principio de conteo tendremos

Es decir, hay 8 elementos en el espacio muestral o hay 8 posibles resultados en el experimento

aleatorio.

E j e m p l o 3 1j e m p l o 3 1

¿De cuántas formas distintas puede terminar una carrera de cinco corredores?

Para determinar el número de formas debemos pensar que cada corredor tiene la opción de ganar y

ocupar el primer puesto. Sin embargo, como sólo uno puede ganar el siguiente competidor sólo

tendrá 4 opciones (segundo, tercer, cuarto y quinto lugar), así el siguiente competidor tendrá 3

"#$%&#

'()*(%$&)+,

-&./)0,

'()*(%$&)+,

1&#2&# '()*(%$&)+,

3&4/'+(0,4

"#$%&# '()*(%$&)+,

-&./)0,

'()*(%$&)+, 1&#2&# '()*(%$&)+,



opciones (tercer, cuarto y quinto lugar). Análogamente las opciones para los otros dos competidores

disminuirán.

Si aplicamos el principio fundamental de conteo tendremos:

5 4 3 2 1 120

Opciones: primer

! ! ! ! =

" " " " "

segundo tercer cuarto quinto

lugar lugar lugar lugar lugar

En total hay 120 opciones de terminar una carrera de cinco corredores.

E j e m p l o 3 2

j e m p l o 3 2

Una agencia automotriz ofrece 4 modelos de automóvil particular. Para cada modelo hay 5 colores

distintos, 3 clases de radio y la opción de tener aire acondicionado o no. ¿De cuántas formas

distintas puede un cliente pedir su automóvil?

Para determinar el número de formas vamos a aplicar el principio fundamental de conteo:

5 3 2 30

Opciones: Color Tipo Aire

! ! =

" " "

de radio

En total un cliente tiene 30 opciones de elegir un automóvil.

Una permutación de los elementos de un conjunto es una forma de ordenarlos teniendo en cuenta

sus posiciones (importa la posición que ocupe cada uno de ellos).

Permutaciones



E j e m p l o

j e m p l o

3 3

3

Considerando el orden, ¿de cuántas formas pueden ordenarse 3 elementos en grupos de 2?

Aplicando el concepto de permutación tenemos que en este caso 3n = y 2k = , así

3 2

3! 1 2 3 66

(3 2)! 1 1 P

! !

= = = =

"

y el número de formas en que puede ordenarse 3 elementos en grupos de 2 es 6.

Veamos gráficamente la solución del anterior ejercicio.

Si tenemos n elementos distintos y queremos saber de cuántas maneras pueden ordenarse en

grupos de k elementos, estaremos hallando todas las posibles permutaciones. En adelante

usaremos la notaciónn k

P y se calcula de la siguiente manera:

!

( )!n k

n P

n k =

!

Donde ! 1 2 3n n= ! ! ! !! , ! 1 2 3k k = ! ! ! !! , 0! 1= y 1! 1= . Luego,

! 1 2 3

( )! 1 2 3n k

n n P

n k k

! ! ! !

= =

" ! ! ! !

!

!



E j e m p l o 3

j e m p l o 3

4

¿De cuántas formas pueden ubicarse 4 niños en dos filas, si importa el orden en que se ubiquen?

En este caso 4n = y 2k =

4 2

4! 4! 1 2 3 412

(4 2)! 2! 1 2 P

! ! !

= = = =

" !

Hay 12 formas de ubicar 4 niños en dos filas.

E j e m p l o 3 5

j e m p l o 3 5

¿Cuántos números distintos de tres dígitos pueden formarse con los números 3, 4, 6, 0 y 9?

Existen 60 números diferentes que pueden formarse con 5 dígitos.

E j e m p l o

j e m p l o

3 6

6

Ana, Guillermo y Luis se postularon para ser el Presidente, Vicepresidente o tesorero de una junta.

¿De cuántas formas pueden ocuparse estos cargos?

Hay 6 formas de formar la junta.

5 3

5! 5! 1 2 3 4 560

(5 3)! 2! 1 2 P

! ! ! !

= = = =

" !

3 3

3! 3! 1 2 36

(3 3)! 0! 1 P

! !

= = = =

"



Hemos tratado arreglos de objetos con la característica de ser distintos, pero ¿qué sucede cuando no

lo son? ¿Cómo podemos establecer el número de formas en que pueden ordenarse los elementos de

un conjunto cuando hay varios de la misma clase?

E j e m p l o 3 7

j e m p l o 3 7

S . T . T a n )

S . T . T a n )

Una empresa de asesores financieros ha recibido nueve solicitudes relativas a nuevas cuentas. ¿De

cuántas formas se pueden encauzar estas solicitudes a tres de los ejecutivos de cuenta de la firma si

cada uno debe controlar tres solicitudes?

Hay 1680 formas de encauzar las 9 solicitudes.

Ahora vamos a considerar arreglos de objetos pero en esta ocasión el orden no importará. Por

ejemplo si nos pidieran determinar el número de formas de ordenar los dígitos 1, 2 y 3 en grupos de

2 sin importar el orden, entonces el grupo 1,2 y 2,1 serían el mismo y como consecuencia sólo

tendríamos en cuenta uno de los grupos. A este tipo de arreglos se les denomina combinaciones.

9!1680

3!3!3!=

Si en un conjunto hay n elementos de los cuales1n son de un tipo,

2n de otro y así

sucesivamente hastar

n de otro tipo, entonces el número de permutaciones de los n

elementos considerando n a la vez está dado por

1 2

!

! ! !r

n

n n n!

Combinaciones



E j e m p l o

j e m p l o

3 8

8

Se deben contestar 5 preguntas de un examen con 6 preguntas. ¿Cuántos exámenes de diferente

contenido se podrán corregir?Si observamos el ejercicio notamos que no importa el orden en que un estudiante conteste las

preguntas, da lo mismo que conteste las preguntas 1, 3, 4, 2, 5, a que conteste las preguntas 3, 2, 4,

1,5 en esos órdenes, por ello para calcular el número de exámenes de diferente contenido a corregir

se debe hallar la combinación6 5C :

En total hay 6 exámenes de diferente contenido para corregir.

E j e m p l o

j e m p l o

3 9 S . T . T a n )

S . T . T a n )

Un inversionista desea adquirir acciones en dos compañías aeroespaciales, dos de energía y dos

especializadas en electrónica. ¿De cuántas formas puede elegir invertir si hay 5 posibles empresas

aeroespaciales, 3 de energía y 4 especializadas en electrónica?

6 5

6 6! 6! 6!

5 5!(6 5)! 5!(1)! 5!C

! "= = = =# $

%& '

6 5

6 1 2 3 4 5 6 6 6

5 1 2 3 4 5 1C ! " # # # # #= = = =$ %

# # # #& '

Las combinaciones son arreglos de los elementos de un conjunto sin importar el orden en que

se ubiquen. Para determinar el número de combinaciones posibles de n elementos en grupos

de k elementos usamos la siguiente expresión.

!

!( )!n k

nC

k n k =

!



Determinemos el número de formas en que puede adquirir las acciones de dos compañías

aeroespaciales si tiene 5 empresas opcionales para invertir, observemos que de nuevo el orden en

que desee invertir no importa:

Calculemos el número de formas en que puede adquirir las acciones de dos compañías de energía si

tiene 3 empresas opcionales para invertir:

Hallemos el número de formas en que puede

adquirir las acciones de dos compañías especializadas en

electrónica si tiene 2 empresas opcionales para invertir:

De este modo y utilizando el principio fundamental de conteo concluimos que en total se tienen 180

formas de adquirir las acciones.

E j e m p l o

j e m p l o

4 0

0

Una bolsa contiene 30 pelotas de plástico y de ellas 5 son azules. Si se sacan al azar 3 pelotas de la

bolsa, ¿cuál es la probabilidad de que las tres sean azules?

1. Determinemos el número de elementos en el espacio muestral.

Como hay 30 pelotas y deseamos formar grupos de 3 estamos en el caso de una permutación o una combinación. Dado que no importa el orden en que se saquen las

pelotas ya que el grupo de tres no cambia si primero sacamos 2 azules y otra de otrocolor o primero la de otro color y 2 azules, entonces estamos en una combinación.

Calculémosla:

30 3

30!4060

3!(30 3)!C = =

!

Con lo cual decimos que hay 4060 formas distintas de formar grupos de tres con 30

pelotas, en otras palabras este es el número de elementos en el espacio muestral(sacar tres pelotas).

2. Determinemos el número de casos favorables para nuestro experimento aleatorio.

5 2

5! 5! 1 2 3 4 510

2!(5 2)! 2!3! 1 2 1 2 3

C ! ! ! !

= = = =

" ! ! ! !

3 2

3! 3! 1 2 33

2!(3 2)! 2!1! 1 2 1C

! !

= = = =

" ! !

4 2

4! 4! 1 2 3 46

2!(4 2)! 2!2! 1 2 1 2C

! ! !

= = = =

" ! ! !

5 2 3 2 4 2 10 3 6 180C C C = ! ! =



Como hay 5 pelotas azules y se desean formar grupos de 3 pelotas azules,

necesitamos calcular el número de veces que podría formar dichos grupos. Nuevamente puesto que el orden no importa tenemos:

5 3

5!10

3!(5 3)!

C = =

!

Es decir que hay 10 formas de que salgan 3 pelotas azules de 5 que hay en la bolsa,

lo que significa que hay 10 posibilidades de que el evento se realice.

Tengamos en cuenta que para este experimento aleatorio el evento es

: al extraer tres pelotas de la bolsa éstas son azules. E

3. Ahora sí calculemos la probabilidad de que al sacar 3 de pelotas de 30 todas sean

azules.

03

3

( )( )

( )

10

4060

2.46305418

2.46305418 10

0.00243605418

n E P A

n EM

!

!

=

=

=

= "

=

En ocasiones encontraremos situaciones en las que se está interesado en saber cuál es la

probabilidad de que suceda un evento cuando ha sucedido otro. Es aquí donde aparece la

probabilidad condicional ya que ésta nos permite hallar la probabilidad de que suceda un evento

dado que ya ocurrió otro que puede o no afectarlo.

Probabilidad condicional



.

on e emo el en e ejemplo

Consideremos el siguiente ejemplo:

E j e m p l o 4 1

j e m p l o 4 1

La probabilidad de que una nueva empresa se ubique en Cali es 0,7, de que se ubique en Bogotá es

0,5 y de que se ubique en ambas ciudades es 0,3. Si la empresa se ubica en Cali cuál es la

probabilidad de que también se ubique en Bogotá?

Primero vamos a definir los eventos y sus probabilidades

A: La nueva empresa se ubica en Cali P(A)=0,7

B: La nueva empresa se ubica en Bogotá P(B)=0,5

Cuando se dice que se ubica en ambas ciudades significa que se ubica en Cali y en Bogotá, esto lo

representamos como P (A!B)=0,3

La probabilidad que buscamos la representamos como:

" 56789 : "56789 : ;<=>?@AB=C

D) E,#%( 4$%$'(# F,0#G(%,4 F#&./)+(# F,# '( F#,H(H$'$0(0 0& I/& 4& /H$I/& &) J('$< 4$ 4& /H$2K &)

6,.,+L

Si se tienen dos eventos A y B la probabilidad de que ocurra A dado que ha ocurrido B se

determina de la siguiente forma:

( )( )

( )

P A B P A B

P B

!= siempre que ( ) 0 P B !

También puede suceder que se requiera hallar la probabilidad de que ocurra B dado que ha

ocurrido A:

( )( )

( )

P A B P B A

P A

!= siempre que ( ) 0 P A !



"58769 :

La definición de la probabilidad condicional nos conduce a la propiedad de la multiplicación

cuando los eventos son dependientes.

E j e m p l o 4 2

j e m p l o 4 2

Supongamos que extraemos una bola de una bolsa oscura que contiene 2 bolas rojas y 2 verdes;

anotamos su color, no la devolvemos a la bolsa y volvemos a extraer una bola. ¿Cuál es la

probabilidad de que en la extracción el resultado sea una bola roja y una verde?

Si recordamos el concepto de eventos dependientes, ésta situación presenta justamente una

dependencia ya que no se devuelve la bola extraída y como consecuencia tanto el espacio muestral

como el número de elementos de los eventos cambia. Observemos gráficamente el experimento.

Indiquemos los posibles resultados:

Si se tienen dos eventos A y B entonces la probabilidad de la intersección de ellos puede

calcularse de la siguiente manera, cuando los eventos son dependientes:

( ) ( ) ( ) P A B P B P A B! = o ( ) ( ) ( ) P A B P A P B A! =



Determinemos el espacio muestral y el evento:

EM = { ( , ), ( , ), ( , ), ( , )r r r v v r v v }

E = { ( , ), ( , )r v v r }

Observemos que el evento E está formado por los resultados roja, verde y verde, roja; las

probabilidades de cada resultado puede establecerse con la regla del producto para eventos

dependientes:

Sean

1 E : se escoge una bola roja.

2 E : se escoge una bola verde.

Tenemos que la1

2( )

4 P E = (2 bolas rojas de un total de 4 bolas) en la primera extracción, pero en

la segunda la2

( ) P E depende de la ocurrencia de1

E es decir en la segunda extracción estaríamos

calculando2 1

2( )

3 P E E = (2 bolas verdes de un total de 3 bolas porque no se devolvió la bola roja

de la primera extracción) luego la probabilidad de que se extraiga una bola roja y una verde en ese

orden es:

2 1 1 2 1

2 2 1 2( ) ( ) ( )

4 3 2 3 P E E P E P E E ! = " = " = "

Probabilidad de que salga una bola verde dado que ya se sacó una roja

Realizando un proceso análogo al anterior obtenemos que la extracción (v,r) tiene probabilidad

2 1( ) P E E ! porque

1 2 2 1 2

2 2 1 2( ) ( ) ( )

4 3 2 3 P E E P E P E E ! = = " = " . Con esto podemos entonces

calcular la probabilidad solicitada inicialmente:



Probabilidad de que se extraiga Probabilidad de que se extraigauna bola roja y una verde. una bola verde y una roja.

Luego

E j e m p l o

j e m p l o

4 3

3

Durante un día se entrevistaron personas al salir de una película preguntándoles si la consideraban

violenta o no. La información recolectada se presenta en la siguiente tabla.

Sí NoNo sabe o no

responde

Total

Mujeres 120 34 48 202

Hombres 100 42 56 198

Total 220 76 104 400

Con base en la información dada:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer responda afirmativamente a la pregunta de la

encuesta? b. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer responda negativamente a la pregunta de la encuesta?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre responda afirmativamente a la pregunta de la

encuesta?

d. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre responda negativamente a la pregunta de la

encuesta?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer y responda sí?

f. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea hombre y responda no?



Según la información de la tabla establezcamos los eventos en ella.

M: la persona seleccionada es mujer

H: la persona seleccionada es hombre

S: la persona seleccionada responde si a la encuesta N: la persona seleccionada responde no a la encuesta

NR: la persona seleccionada no sabe o no responde

Para facilitar el proceso de resolución de los literales es conveniente determinar las probabilidades

de los anteriores eventos.

S: Sí N: No NR: No sabe o no responde Total

M: Mujeres 120 34 48 202H: Hombres 100 42 56 198

Total 220 76 104 400

Con base en las anteriores vamos a resolver cada literal:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer responda afirmativamente a la pregunta de la

encuesta?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que una mujer responda negativamente a la pregunta de la encuesta?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre responda afirmativamente a la pregunta de la

encuesta?



=0,25

d. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre responda negativamente a la pregunta de la

encuesta?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer y responda sí?

Nótese que la probabilidad solicitada es la misma del literal a., en otras palabras la pregunta es la

misma.

f. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea hombre y responda no?

En este caso sucede lo mismo que en el anterior y la probabilidad solicitada es

Con las anteriores probabilidades podrían realizarse preguntas como las siguientes.

g.

Si la respuesta proviene de una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que la respuesta seasí?

"#$%&' ()*+,(*+

h. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea hombre sabiendo que respondió no?

P (H/N) = ()**-./

Obsérvese que la probabilidad condicional busca resultados que cumplen características específicas,

en otras palabras, es como si buscáramos la probabilidad de un evento para el cual su espacio

muestral se restringe a los resultados que cumplen la condición dada.



E j e m p l o

e m p l o

4 4 N e w b o l d

N e w b o l d

)

El propietario de una tienda de discos clasifica las personas que entran en su tienda en clientes

muy jóvenes, clientes con edad universitaria y clientes mayores, y sabe que el 30%, 50% y 20%

pertenecen a estas categorías, respectivamente. El propietario comprueba también, que el 20%

de los clientes muy jóvenes, el 60% de los clientes con edad universitaria y el 80% de los

clientes mayores realizan alguna compra.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar haga alguna compra?

b. Si un cliente elegido al azar realiza una compra, ¿cuál es la probabilidad de que sea muy

joven?

Primero definimos los eventos:

J: el cliente es muy joven

U: el cliente tiene edad universitaria

M: el cliente es mayor

C: el cliente realiza alguna compra

Cc: el cliente no compra.

Las probabilidades que plantea el ejemplo son:

P (J)=0.30 P(U)=0.50 P(M)=0.20

P(C/J)=0.20 P(C/U)=0.60 P(C/M)=0.80

a. Para encontrar la probabilidad de que un cliente compre, analizamos todas las posibilidades, esto

es, compra y es un cliente joven o compra y es un cliente con edad universitaria o compra y es un

cliente mayor. Esto, lo expresamos en la siguiente forma:

P(C) = P (C!J) + P(C!U) + P(C!M)

Por la ley de la multiplicación para eventos dependientes la intersección se puede expresar como:

P (C) = P (J)P(C/J) + P(U)P(C/U) + P(M)P(C/M)

P(C) = (0.30)(0.20) + (0.50)(0.60) + (0.20)(0.80)

P(C) = 0.52



La probabilidad de que un cliente elegido al azar realice alguna compra es de 0.52

b. Observe como en esta pregunta ya hay un hecho conocido: el cliente compra, la probabilidad la

expresamos como:

P (J/C) = 0,11538462

Antes de escribir las hipótesis y la forma de calcular una probabilidad condicional utilizando el

teorema de Bayes analizaremos un ejemplo en el cual se observe el uso que le daremos.

Ejemplo 45

La directora de personal de una empresa encuentra que el 68% del personal de apoyo técnico ha

resultado ser ineficiente a causa de sus escasos conocimientos en matemáticas e inglés. Ha

preparado un examen para descubrir a los empleados ineficientes. Al aplicar el examen a todo el

personal de apoyo técnico en 85% del personal eficiente aprueba el examen y el 40% del personal

ineficiente también lo aprueba. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado que apruebe el examen

sea eficiente? (Johnson y Mowry)

Primero identifiquemos los eventos:

1

1

: el empleado es eficiente.

: el empleado es ineficiente.c

E

E

=

=

2

2

: el empleado aprueba el examen.

: el empleado no aprueba el examen.c

E

E

=

=

Ahora establezcamos las probabilidades dadas en el enunciado del ejercicio:

1

1

( ) 0.68

( ) 0.32

c P E

P E

=

=

2 1

2 1

( | ) 0.85

( | ) 0.4c

P E E

P E E

=

=

Teorema de Bayes



Identifiquemos la probabilidad solicitada en el problema:1 2( | ) ? P E E =

Busquemos ahora las expresiones que nos permitirá encontrar la probabilidad solicitada.

2 1 1 2

2 1

1 1

( ) ( )

( | ) ( ) ( )

P E E P E E

P E E P E P E

! !

= =

Despejando tenemos que1 2 2 1 1( ) ( | ) ( ) P E E P E E P E ! = . Por otra parte,

1 21 2

2

( )( | )

( )

P E E P E E

P E

!= y si reemplazamos la intersección se obtiene que

1 2 2 1 11 2

2 2

( ) ( | ) ( )( | )

( ) ( )

P E E P E E P E P E E

P E P E

!= =

Con lo cual sólo nos faltaría calcular2( ) P E :

2 2 1 1 2 1 1( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )c c

P E P E E P E P E E P E = +

Luego

1 2 2 1 11 2

2

2 1 1

2 1 1 2 1

2

1

( ) ( | ) ( )( | )

( ) ( )

( | ) ( )

( | ) ( ) ( | ) ( )c c

P E E P E

P E E P E P

P E E P E E P E P E E

E E P E

P E P E

!= =

+=

Reemplazando cada probabilidad con los valores dados concluimos que

1 2

0.85(0.32) 0.272( | ) 0.5

0.85(0.32) 0.4(0.68) 0.544 P E E = = =

+

Es decir que hay una probabilidad de 0,5 de posibilidades de que un empleado que apruebe el

examen sea eficiente.

Cabe resaltar que para determinar la anterior probabilidad se debían tener o poder calcular tanto los

eventos como sus complementos, esa es una característica del teorema de Bayes los eventos deben

formar cada uno un espacio muestral en el que un evento indica la ocurrencia del suceso y el otro su

complemento o no ocurrencia.



"#$%#&' (# )'*#+

Una observación importante es que éste teorema puede utilizarse siempre que la unión de los

eventos analizados formen el espacio muestral, en otras palabras uno de los eventos es el

complemento del otro y sólo ellos forman a EM.

Revise nuevamente la parte b) del ejemplo 44, observe que se plantea una probabilidad

condicional en la que se aplica el teorema de Bayes.

"#$%&'($#)*%

Llego el momento de aplicar los temas tratados anteriormente, para reforzar nuestros conocimientos

es necesario practicar; por ello tal y como se indica en guía de actividades por semana, por favor

realice la o las guías prácticas de la semana y revise el o los libros sugeridos en el mapa conceptual

de la unidad 1, se recomienda revisar el libro que aparece en el mapa conceptual del autoestudio

(Estadística), sino logra acceder a los libros se sugiere, consulte un libro físico de estadística y

probabilidad, luego realice los ejercicios referentes a los temas tratados en la semana y si tienealguna duda consulte al tutor que le corresponda.

Para acceder al libro mencionado debe ingresar a la biblioteca virtual en otra página de internet

distinta a la del módulo. Las instrucciones para ingresar a la biblioteca aparecen a continuación; por

favor sígalas y realice los ejercicios del libro (sólo aquellos que cubran los temas tratados hasta

ahora.), en particular revise los temas de probabilidad condicional y teorema de Bayes que se

encuentran en las páginas 39, 40 y 41..

Para acceder al libro…

En la unidad 1, aparece un mapa conceptual; en el espacio que dice consulta de libros e-poligran al

ubicarse en la hojita se despliega la bibliografía y para acceder a dichos libros debe seguir los

siguientes pasos:

1. en la página principal de campus virtual debajo del CAE dice biblioteca virtual, de click en

este link.

2. Allí se abre la página de la biblioteca y debe escribir su usuario y contraseña.

3. Hagan click en libros electrónicos e ingrese el usuario y la contraseña.

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes cuya unión constituye el espacio muestral EM ,

entonces

( | ) ( )( | )

( | ) ( ) ( | ) ( )

P C A P A P A C

P C A P A P C B P B=

+



4. Ahora de click en e-libro, vuelva a la página del mapa conceptual y de click sobre el libro

que desean consultar.

Si siguió correctamente las instrucciones debe poder visualizar el libro indicado.


que se encuentra en google (libros); busque en el índice los temas tratados: técnicas de conteo,

probabilidad condicional y de Bayes (páginas 153 a 165) y resuelva los ejercicios allí propuestos.



PRÁCTICA 2 AXIOMAS DE PROBABILIDAD

AXIOMAS DE PROBABILIDAD

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6'+$23' /60 037H 030:

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+% -2#% #2*)&P

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.& +% -2#% #2*)&P



Resumen unidad 1Sobre los conceptos básicos de la probabilidad



• Una probabilidad es un valor entre 0 y 1 yrepresenta numéricamente la posibilidad de queocurra un evento específico.

• Un experimento aleatorio es una acción de la queno podemos predecir su resultado.

• Un evento es el conjunto de uno o másresultados de un experimento.

• El espacio muestral es el conjunto de todos los

resultados posibles de un experimento aleatorio.• Dos eventos son mutuamente excluyentes si su

intersección es vacía.



• Dos eventos son exhaustivamente colectivos si alunirlos formar en espacio muestral completo.

• La regla general de la adición es

• La regla general del complemento es

• La regla general de la multiplicación es

• j

( ) ( ) ( ) ( ) P A B P A P B P A B

( ) 1 ( )c

P A P A

( ) ( ) ( ) P A B P A B P B



• El teorema de Bayes se utiliza cuando al revisar unaprobabilidad obtenemos ,por influencia de otroseventos, una probabilidad a posteriori.

• j

1 1

1

1 1 2 2

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

P A P B A P A B

P A P B A P A P B A



Las variables aleatorias se clasifican en dos tipos, las discretas y las continuas.

Ejemplo 48

Si consideramos el lanzamiento de 4 monedas entonces el número de veces que aparece cara es unavariable aleatoria. Determinemos la variable aleatoria, establezcamos los valores que toma y luegoaveriguaremos si es discreta o continua.

El experimento aleatorio es el lanzamiento de cuatro monedas, la variable aleatoria es el número

de caras que resultan de lanzar las cuatro monedas. Los posibles resultados del experimento son

0 caras: al lanzar las monedas no cayó ninguna cara.1 cara: al lanzar las monedas cayó sólo una cara.2 caras: al lanzar las monedas cayeron sólo dos caras.3 caras: al lanzar las monedas cayeron tres caras.4 caras: al lanzar las monedas todos los resultados fueron cara.

Nombremos entonces la variable aleatoria y sus valores:

0,1,2,3,4 X =

Como esta variable toma finitos valores, ella es discreta.

Una variable es discreta cuando sus valores se pueden contar y organizar secuencialmente.Estas variables asumen finitos valores.

Una variable es continua cuando toma valores en un intervalo o en la unión de varios deellos. Al estar en un intervalo una variable aleatoria continua puede asumir infinitos valores.

En adelante usaremos la letra X ara indicar una variable aleatoria a sea discreta o

Clases de variables aleatorias



Ejemplo 50

Consideremos el número de caras que resultan al lanzar 4 veces una moneda y determinemos lavariable aleatoria, establezcamos su función de distribución de probabilidad y su función de

distribución acumulada.

: número de caras que resultan al lanzar 4 veces una moneda. X

Para determinar la probabilidad de cada valor de la variable aleatoria estableceremos por medio delas técnicas de conteo el número de elementos en el espacio muestral y el número de casos exitososen que podemos obtener cara.

Como en el primer, segundo, tercer y cuarto lanzamiento tenemos 2 opciones de resultado, cara osello, entonces utilizaremos el principio fundamental de conteo:

2 2 2 2 4 4 16

Lanzamiento: primero segundo

= ! =

" " " "

tercero cuarto

Así decimos que hay 16 posibles resultados en el espacio muestral.

Por otra parte, para determinar el número de casos favorables de cada valor de la variable aleatoriautilizaremos la técnica de conteo de la combinatoria porque en un lanzamiento existen 4 posibilidades de que los resultados sean cara y necesitamos saber cuántos contienen 0, 1, 2, 3 y 4

caras.

• 0 X = : ningún resultado fue cara.

( )4 0

4! 1 2 3 4 241

0! 4 0 ! 1 2 3 4 24C

! ! !

= = = =

" ! ! !

De 4 elementos se formaron grupos que no contenía a ninguno de ellos

Nótese que con esto estamos indicando que sólo un valor puede llenar el resultado de cadalanzamiento (sello) por ende el único grupo que no contiene ninguna cara es (s,s,s,s).

• 1 X = : uno de los resultados fue cara.



( )4 1

4! 1 2 3 4 244

1! 4 1 ! 1 2 3 6C

! ! !

= = = =

" ! !

De 4 elementos se formaron grupos que con un elemento de ellos.

En este caso estamos obligando a que un resultado se llene en algún lanzamiento con un soloelemento: cara.

•

2 X = : dos de los resultados fueron cara.

( ) ( )4 2

4! 4! 1 2 3 4 246

2! 4 2 ! 2! 2 ! (1 2)(1 2) 4C

! ! !

= = = = =

" ! !

En este caso estamos obligando a que dos resultados se llenen en algún lanzamiento con un soloelemento (cara).

• 3 X = : tres de los resultados fueron cara.

( ) ( )4 3

4! 4! 1 2 3 4 244

3! 4 3 ! 3! 1 ! (1 2 3)(1) 6C

! ! !

= = = = =

" ! !

En este caso estamos obligando a que tres resultados se llene en algún lanzamiento con un soloelemento (cara).

• 4 X = : cuatro de los resultados fueron cara.

( ) ( )4 4

4! 4! 1 2 3 4 241

4! 4 4 ! 4! 0 ! (1 2 3 4)(1) 24C

! ! !

= = = = =

" ! ! !

Con la anterior información podemos establecer la función de distribución de probabilidad

número de casos favorables 1(0) ( 0)

número de elemetos en el espacio muestral 16 P P X = = = =

4(1) ( 1)

16 P P X = = =

6(2) ( 2)

16 P P X = = =



4(3) ( 3)

16 P P X = = =

1(4) ( 4)

16 P P X = = =

Formemos ahora la tabla de distribución de probabilidad:

Distribución de probabilidad

Valores de la variable

aleatoria

X x=

Probabilidad del valor que

toma la variable aleatoria

( ) P X x=

"1

16

# 4

16

$6

16

%4

16

&1

16

Con los datos de la anterior tabla podemos determinar algunas probabilidades acumuladas para conellas crear una tabla de distribuciones acumuladas.

1. Probabilidad de que en el resultado de los lanzamientos ninguno sea cara.

1( 0) 0.0625

16 P X = = =

2. Probabilidad que como máximo uno de los resultados sea cara. Esto significa que puedeser que ningún resultado sea cara o que uno sólo de los resultados sea cara.

1 4 5(0 1) (0) (1) 0.3125

16 16 16 P x P P ! ! = + = + = =

3. Probabilidad de que a lo más en los r esultados hallan 2 caras. En este caso pueden salir

o ninguna o una o dos caras.



1 4 6 11(0 2) (0) (1) (2) 0.6875

16 16 16 16 P x P P P ! ! = + + = + + = =

4. Probabilidad de que máximo en los resultados hallan 3 caras. Aquí podemos tener que

en los resultados hay 0, 1, 2 o 3 caras.

1 4 6 4 15(0 3) (0) (1) (2) (3) 0.9375

16 16 16 16 16 P x P P P P ! ! = + + + = + + + = =

5. Probabilidad de a los más en los resultados hallan 4 caras:

1 4 6 4 1 16(0 4) (0) (1) (2) (3) (4) 1

16 16 16 16 16 16 P x P P P P P ! ! = + + + + = + + + + = =

Organizando esta información en una tabla obtenemos:

0 1 x! ! 0 2 x! ! 0 3 x! ! 0 4 x! !

Probabilidad 0.3125 0.6875 0.9375 1

De igual manera nos podrían pedir las probabilidades presentadas a continuación, observe lossignos y recuerde que < significa “ser menor pero no igual a”, ! significa “ser menor e igual a”,> significa “ser mayor pero no igual a” y ! significa “ser mayor e igual a”. Como ejerciciointerprete los enunciados y resultados:

6. 4 6 4 14(1 4) (1) (2) (3) 0.875

16 16 16 16 P x P P P ! < = + + = + + = =

7. 4 6 10

(1 3) (1) (2) 0.62516 16 16

P x P P ! < = + = + = =

8. 4

(2 4) (3) 0.2516

P x P < < = = =

9. 4 6 4 14

(1 4) (2) (3) (4) 0.87516 16 16 16

P x P P P < ! = + + = + + = =

Ejemplo 51

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda 4 veces el número de caras sea menor o igualque 3?



( 3) ( 0) ( 1) ( 2) ( 3)

(0) (1) (2) (3)

1 4 6 4

16 16 16 16

15

16

P X p X p X p X p X

p p p

! = = + = + = + =

= + + +

= + + +

=

La probabilidad de que a lanzar una moneda 4 veces el número de caras sea menor o igual que 3 esde un 0,9375.

Ejemplo 52

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar una moneda 4 veces el número de caras sea mayor que 2?

( 2) ( 3) ( 4)

(3) (4)

4 1

16 16

5

16

P X p X p X

p

> = = + =

= +

= +

=

Es posible resolver el ejercicio utilizando el concepto de complemento. Veámoslo:

( 2) 1 ( 2)

1 ( ( 0) ( 1) ( 2))

1 ( (0) (1) (2))

1 4 6 1

16 16 16

11 5 1

16 16

P X P X

P X P X P X

p p p

> = ! "

= ! = + = + =

= ! + +

# $= ! + +% &

' (

= ! =

Así, la probabilidad de que al lanzar una moneda 4 veces el número de caras sea mayor que 2 es0.3125 aproximadamente.



Cuando la variable aleatoria es continua a la regla que asigna a cada valor de ella su probabilidad sele conoce como función de densidad.

Cabe resaltar que en la definición se indica que los valores de la variable aleatoria están entre !" e! pero en realidad indica que debe estar en un intervalo, no necesariamente el mencionado.

Análogamente al caso de la variable aleatoria discreta, la función de distribución acumulada deuna variable continua X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a algún x específico. En otras palabras,

( ) ( ) ( ) x

P X x F x f t dt !"

# = = $ .

Una función de distribución acumulada de una variable continua satisface las siguientes propiedades.

1. ( ) 0

2. ( ) 13. ( ) ( ) ( )

( )4. ( )

5. ( ) ( ) ( )

F

F P a X b F b F a

dF x f x

dx

P X x P X x F x

!" =

" =

< < = !

=

# = < =

Si X es una variable aleatoria continua y existe una función tal que

1.

2.

3.

Entonces ésta se denomina función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria

Características de las variables aleatorias continuas, su

función de robabilidad de distribución acumulada



Ejemplo 53

Consideremos la concentración, en miligramos, de amoniaco en un acuario.

: cantidad de amoniaco en miligramos en un acuario. X =

La función de densidad de la variable aleatoria continua X no es tan sencilla de establecer como enel caso de las variables discretas. Sin embargo, existen diversos motivos que llevan a considera esta

función de densidad como una distribución normal, que se estudiará más adelante, con 0 1 X ! ! .

Para darnos una idea del significado de una distribución normal vamos a considerar el siguienteejemplo, para el cual gráficamente observaremos su distribución. Cuando una función de densidadse grafica y tiene forma de campana diremos que su función de probabilidad se distribuyenormal.

Ejemplo 54

Si se miden los tiempos de llegada de 100 000 clientes y se agrupan en 100 intervalos de 5segundos cada uno, entonces la representación gráfica es la siguiente.

Como la gráfica tiene forma de campana entonces podemos pensar que la función de densidad es detipo normal.

Ejemplo 55 (George Canavos)

"

"'""(

"'"#

"'"#(

"'"$

"'"$(

)*+,-. /+ 00+12/2



La variable aleatoria que representa la proporción de accidentes automovilísticos fatales en EstadosUnidos, tiene la siguiente función de densidad:

542 (1 ) 0 1( )

0 en otro caso

x x x f x

! " < #= $

%

¿Cuál es la probabilidad de que no más del 25% de los accidentes automovilísticos sean fatales?

La pregunta que debemos responder es ¿cuál es el valor de ( )0.25 P X ! ?

( )0.25

5

0

0.255

0

0.252 3 4 5 6 7

0

0.25 42 (1 )

42 (1 )

5 10 10 5 422 3 4 5 6 7

0.5551

P X x x dx

x x dx

x x x x x x

! = "

= "

# $= " + " + "% &' (

=

)

)

De esta manera concluimos que la probabilidad de que no más del 25% de los accidentesautomovilísticos sean fatales es de 0.5551.

Antes de dar la definición de valor esperado para variables aleatorias discretas o continuas,observemos el siguiente ejemplo que nos ilustra el significado del valor esperado de una variablealeatoria discreta.

Consideremos un vendedor comisionista. Aunque él no tiene certeza de cuál será su comisiónespera que ésta supere los $500 000 al finalizar el mes. Éste valor es lo que se conoce como elvalor esperado. Para tratar de verificar la obtención de una comisión de $500 000, el comisionistadebería establecer una distribución de probabilidad, multiplicar cada resultado del experimento porsu probabilidad y sumar los resultados. Si esta esperanza coincide o supera los $500 000 podríadecir que con seguridad logrará dicha comisión.

Existen diversos contextos que nos conducen a la toma de decisiones, de forma que éstas nos llevena una situación favorable sin conocer con certeza el resultado del fenómeno o situación estudiada.Estas decisiones se toman con base en la esperanza o valor esperado de la variable aleatoriaanalizada.

Valor esperado de una variable aleatoria

discreta o continua



Ejemplo 56

Analicemos la siguiente distribución de probabilidad del vendedor comisionista.

Comisión $0 $200 000 $400 000 $600 000

Probabilidad 0.02 0.4 0.18 0.4

El valor esperado de la comisión para el vendedor es

( ) ( ) ( ) ( )Comisión esperada 0 0.02 200000 0.4 400000 0.18 600000 0.4

392000

= + + +

=

Con este resultado podemos decir que nuestro vendedor comisionista no podrá obtener la comisiónde $500000 que esperaba a este nivel de venta.

Ejemplo 57

Una empresa petrolera ha elaborado un estudio y tiene dos posibles lugares donde perforar paraencontrar petróleo. Dado que una perforación resulta costosa por la mano de obra y la maquinariautilizada la empresa debe escoger uno de los dos lugares para perforar inicialmente.

Si la posibilidad de extraer petróleo en el sitio A es del 30% y del sitio B del 40%, pero se calculaque A producirá una ganancia $60 000 000 en caso de encontrar petróleo y una pérdida de

$6 000 000 en caso de no encontrar, mientras B producirá una ganancia de $40 000 000 si se halla

petróleo y una pérdida de $6 000 000 en caso contrario. Determinemos dónde deberá perforar primero la compañía.

Sitio A

(sacar petróleo) 0.3 Ganancia $60 000 000

(no sacar petróleo) 0.7 Pérdida $6 000 000

P

P

= ! =

= ! =

( ) ( )Ganancia esperada $60 000 000 0.3 $6 000 000 0.7

$13 800 000

= !

=

Sitio B



(sacar petróleo) 0.4 Ganancia $40 000 000

(no sacar petróleo) 0.6 Pérdida $6 000 000

P

P

= ! =

= ! =

( ) ( )Ganancia esperada $40 000 000 0.4 $6 000 000 0.6

$12 400 000

= !

=

Así concluimos que es mejor perforar inicialmente el sitio A porque se espera que la ganancia seamayor que en el sitio B.

Ejemplo 58 (George Canavos)

Calculemos el valor esperado de la variable aleatoria proporción de accidentes fatales en los

Estados Unidos del ejemplo 10.

Dado que esta variable aleatoria es continua porque sus valores se encuentran en un intervalo,debemos utilizar una integral para calcular su valor esperado. Veamos:

1

0

12 5

0

12 5

0

13 4 5 6 7 8

0

( ) ( )

42 (1 )

42 (1 )

5 10 10 5 42

3 4 5 6 7 8

0.25

E X xf x dx

x x dx

x x dx

x x x x x x

=

= !

=

!

" #= ! + ! + !$ %

& '

=

(

(

(

Luego se espera que un 25% de accidentes sean fatales en los Estados Unidos.

Con base en lo anterior el valor esperado de una variable aleatoria discreta se calcula de lasiguiente manera.

Si una variable aleatoria es continua entonces su valor esperado se calcula así:



La varianza de una variable aleatoria es una medida de dispersión de la distribución de probabilidad de ésta. (George Canavos)

Ejemplo 59

Consideremos el ejemplo 49 y calculemos la varianza de la variable aleatoria comisión:

Comisión $0 $200 000 $400 000 $600 000

Probabilidad 0.02 0.4 0.18 0.4

Dado que ( ) 392 000 E X = sólo necesitamos hallar 2( ) E X para encontrar la varianza.

2 2 2 2 2( ) (0) (0.02) (200000) (0.4) (400000) (0.18) (600000) (0.4)

188800000000000

E X = + + +

=

Aplicando la expresión que permite calcular la varianza obtenemos:

En el caso de una variable aleatoria discreta la varianza se determina así:

Y cuando la variable aleatoria es continua calculamos su varianza de la siguiente manera:

Varianza de una variable aleatoria discreta y continua



Es muy sencillo apreciados estudiantes, la clave está en la característica del problema. Veamos:

Una empresa que realiza ventas por teléfono observa que 10 de cada 30 llamadas que se

realizan confirman una venta. En este ejercicio el evento es vender o comprar, la

característica ¿lo observan? Mientras que el número de llamadas que confirman una

compra es una variable aleatoria porque es un valor numérico que está cambiando todo el

tiempo puede ser 0, 1, 2,…, n llamadas que confirmen la compra.

Como vemos el evento identifica la característica mientras que la variable aleatoria nos identifica

el número de veces que puede ocurrir el evento. Dicho evento y dicha variable se denotan distinto

observemos:

Eventos del problema

E: la persona a quien se llama compra.

Ec: la persona a quien se llama no realiza la compra.

EM={la persona compra, la persona no compra}={E, Ec}.

Variable aleatoria del problema

X: número de personas que compran. ¿Notan que escribo : para identificar el

significado de la variable?

X=0,1,2,3,4,… ¿Notan que escribo = y los valores que

toma la variable aleatoria?

¿Qué significa X=0? Que ninguna persona compró en las llamadas.

¿Qué significa X=1? Que una persona compró en las llamadas.

¿Qué significa X=2? Que dos personas compraron en las llamadas. Y así sucesivamente.

¿Cómo sé cuando un problema habla de

eventos o de variables aleatorias?



La probabilidad del evento es la probabilidad de que se compre en un número determinado de

llamadas, por ejemplo en nuestro ejercicio p es la probabilidad de que se compre y está dada por

el valor 10/30. No lo olviden esta es la probabilidad de que efectúen una compra.

Por otra parte, la probabilidad de la variable aleatoria cambia según el valor que le demos a la

variable aleatoria. Si X=0 la probabilidad toma un valor determinado dependiendo del tipo de

variable aleatoria y es diferente a cuando la variable X vale 1, 2 ,3 o cualquier otro número.

¿Cómo identifico el tipo de variable aleatoria que aparece en un contexto?

Para distinguir las distribuciones de una variable aleatoria es importante identificarlas:

Bernoulli: son variables cuyos resultados sólo pueden ser dos y el uno es el complemento del

otro.

Una empresa que realiza ventas por teléfono observa que 10 de cada 30 llamadas que se

realizan confirman una venta. En este ejercicio el evento es vender o comprar, la

característica ¿lo observan? Mientras que el número de llamadas que confirman unacompra es una variable aleatoria porque es un valor numérico que está cambiando todo el

tiempo puede ser 0, 1, 2,…, n llamadas que confirmen la compra.

En este ejercicio una sola llamada es de tipo Bernoulli porque cada llamada sólo tiene dos posibles

resultados: o compra o no compra y cada evento es el complemento del otro.

Tengan en cuenta que identificamos con Y=0,1 los resultados de la variable Bernoulli.

X=0 significa que la persona no compró en la llamada y X=1 significa que la persona compró en la

llamada. Las probabilidades en cada caso son: P(X=1)=10/30 y P(X=0)=1-P(X=1)=1-10/30=20/30.

Binomial: son variables que se distinguen porque al analizar una sola variable ésta es de tipo

Bernoulli, y la probabilidad de cada Bernoulli es fija no cambia. Además su característica más

importante es que es la repetición de una variable Bernoulli.

¿Cómo identifico cuál es la probabilidad del

evento y cuál la de la variable aleatoria?



Ven? Escribí verdadero al final porque voy a calcular una probabilidad acumulada.

¡Ojo! Las propiedades de la probabilidad se las saben ustedes Excel sólo calcula, si ustedes le dan a

calcular mal, él calculará lo que ustedes le indiquen así que hay que leer bien el enunciado y hacer

lo conveniente según la guía que les di en el párrafo anterior.

Otra cosa no olviden que el valor esperado o el valor promedio o la media de una variable

binomial es np , la varianza npq y la desviación típica es npq . En nuestro ejemplo el número de

llamadas que efectúan una compra se espera sea 10(10 / 30) 100 / 30 3.3333...np . Es

decir se espera que de 10 llamadas 3 realicen una compra aproximadamente.

Poisson: en una variable de este tipo nos deben dar el promedio de ocurrencia de la variable

aleatoria o el tamaño de muestra y su probabilidad de ocurrencia para poder calcular np y el

número de veces que quiero que suceda el evento.

¡Ojo! Esta variable se distingue en contextos como número de personas que llegan a un

determinado lugar en tantos minutos, horas, segundos, etc. También número de veces que pasa

cierto evento en un intervalo de tiempo.

Para calcular dichas probabilidades se usa la fórmula de la Poisson que aparece en las lecturas. Un

enunciado asociado a nuestro ejercicio para saber si es Poisson debería decir algo como cuál es la

probabilidad de que en 15 minutos se realicen 5 ventas de 20 llamadas, sabiendo que 10 de 30

llamadas compran en 15 minutos.



ESTADÍSTICA II PRACTICA 4

PRACTICA 4

"#$%&'&'( )*

"#$#%&'(# )' *+) )',-'#($#) .+%'+/*#) +*#+$0%'+) )0( 1')2%#$+) 0 20($'(-+)3

+4 56&#%0 1# 20&#%2'+*#) #&'$'10) #( -( 7%0,%+&+ %+1'+*4

/4 8* )+*10 #( *+) 2-#($+) 1# +90%%0 #( -(+ #($'1+1 :'(+(2'#%+4

24 56&#%0 1# 7#%)0(+) ;-# **#,+( + -(+ #($'1+1 :'(+(2'#%+ + 7+,+% -( )#%.'2'04

14 8* $'#&70 1# +$#(2'<( + *0) 2*'#($#) ;-# 9+2#( :'*+4

#4

56&#%0 1# .#9=2-*0) %0/+10) #( #* 7+=) #( -( +>0

"#$%&'&'( +*

?0( /+)# #( *0) )',-'#($#) 1+$0) 1#$#%&'(# *+ 7%0/+/'*'1+1 )0*'2'$+1+ #( 2+1+ *'$#%+*4

@ A B C D E F G H I J

K L@ A BM C4D C4DH C4CH C4E C4FE C4CN C4CCH C4CCH

+4 K L@ O FM

/4 K LC O @ O HM

24 K L@ P DM

14 K LD Q @ O HM

#4 K L@ R H M

:4 K L@ Q JM

,4 K LE O @ Q IM

94 K L@ O DM

"#$%&'&'( ,*

S' *+ $+/*+ 1# #T#%2'2'0 +($#%'0% '(1'2+%+ #* (6&#%0 1# 9'T0) 1# *0) 90,+%#) #( -(+ 2'-1+13

+4

UV-W '($#%7%#$+2'<( 1+%=+ + 2+1+ -(+ 1# *+) 7%0/+/'*'1+1#) 2+*2-*+1+) #( #*#T#%2'2'0 +($#%'0%X

/4 ?0( *0) 1+$0) 1# *+ $+/*+ 1#* #T#%2'2'0 +($#%'0% 1#$#%&'(# #* .+*0% #)7#%+10 Y *+

.+%'+(Z+ 1# *+ .+%'+/*# +*#+$0%'+ 1+1+[ # '($#%7%#$# 1'290) %#)-*$+10) )#,6( #*

20($#B$04



ESTADÍSTICA II PRACTICA 4

!"#$%&%&' )*

"# $#% &'()*#%+ ,' &(%#-./(&' 0*'(&% ').('-% '-&%1+'0' 2$' '+ #3)'(/ ,' ('&(%-/- '# +% ($&%

4%#&% 5%(&% 6 7/8/&9 '-&9 ,%,/ ,' +% -*8$*'#&' )%#'(%: ;/# 1%-' '# +/- ,%&/- ('-./#,%

0%,% +*&'(%+:

< = > ? @ A B C D E F G

H I< = >J ?:FG ?:?@D ?:??D ?:??@F ?:??@B ?:??F ?:?K ?:?D ?:?D

%:

L'&'()*#' &/,%- +%- .(/1%1*+*,%,'- %0$)$+%,%- ,' +% %#&'(*/( ,*-&(*1$0*M# ,' .(/1%1*+*,%,:

1: N;$9+ '- +% .(/1%1*+*,%, ,' 2$' -' ('&(%-'# '#&(' A O F P$'+/-Q

0:

;%+0$+' +% .(/1%1*+*,%, ,' 2$' ./( +/ )'#/- R%O% E ('&(%-/-:

,: L'&'()*#' '+ P%+/( '-.'(%,/ O +% P%(*%#S% ,' +% P%(*%1+' %+'%&/(*%:

': NT$U &%# +'V/- '-&9# +/- ,%&/- ,'+ .(/)',*/ / )',*% ,'+ 0/#V$#&/ ,' ,%&/-Q

W: X'%+*0' $# ,*%8(%)% '# ,/#,' -' ('.('-'#&'# +/- P%+/('- ,' P%(*%1+' %+'%&/(*% O -$-

.(/1%1*+*,%,'-Y ' *#&'(.('&' ,*0R/ 8(9W*0/ O ('-./#,% +%- -*8$*'#&'- .('8$#&%-:

Z$-&*W*2$' 0%,% 0/#0+$-*M#:

%: NT$U &%# ,*-.'(-/- '-&9# +/- ,%&/-Q

1:

N"+ #*P'+ ,' ('&(%-/- '- %+&/ / 1% V/Q

0:

[% 'W*0*'#0*% '# #/ ('&(%-/- ,' +% ').('-% '# ,*0R% ($&% '- 1$'#% / )%+%:

!"#$%&%&' +*

"# $#% (*W% -' P%# % P'#,'( @?:??? 1/+'&%- % \@?:??? 0%,% $#%: "+ .(')*/ '- $# 0%((/ ,'

\D?]???:???: 4* $-&', 0/).(% A 1/+'&%-Y N0$9+ '- +% 8%#%#0*% '-.'(%,%Q



promedio de los mismos, entonces con ello sabremos si los datos se agrupan o alejan del valor

promedio, mostrando así la dispersión de los mencionados.

E j e m p l o 6

j e m p l o 6

Un político cree que el 32% de los habitantes de cierta región apoyarán su campaña para el consejo.

Determine la media y la varianza de la variable aleatoria que toma el valor 1 si el político esapoyado y 0 sino.

Como 0, 1 X = y 0.32 p = entonces 1 0.68 p! = , luego el valor esperado o media de la variable

aleatoria es

( ) 0(0.68) 1(0.32) 0.32 E X = + =

Lo que significa que se espera que un 32% de los habitantes apoyen la campaña del político.

( ) (1 ) 0.32(0.68) 0.2176Var X p p=

!

= =

Dado que la raíz de la varianza mide qué tan dispersos están los datos de la media, si calculamos

dicho valor obtenemos

( ) 0.2176 0.4664Var X = !

!"#$%"&'(")* ,"*.0"1/

Cuando un experimento aleatorio tiene dos posibles resultados, éxito o fracaso, y se repite un

número finito de veces nos encontramos en un experimento de tipo Binomial. Los criterios que nos

permitirán utilizar esta distribución son:

• Debe existir un número fijo de pruebas repetidas o ensayos independientes, a este

número lo denotamos con la letra n .

• Cada una n de las pruebas debe tener dos resultados, éxito o fracaso (favorable o

desfavorable).

• La probabilidad de éxito de un acontecimiento es fijo y se denota con la letra p .

•

La variable aleatoria X cuenta el número de éxitos obtenidos en los n ensayosindependientes.



E j e m p l o

j e m p l o

6 1

1

De la producción de envases metálicos de una fábrica se sabe que el 3% son defectuosos. ¿Cuál es

la probabilidad de que en una muestra de siete envases:

a.

Por los menos tres sean defectuosos? b. Como máximo tres sean buenos?

Comencemos por clasificar la información dada y distinguir si se cumplen o no los criterios de la

distribución binomial.

Un envase puede clasificarse en defectuoso o no defectuoso, luego ésta es la variable aleatoria para

la cual tenemos éxito o fracaso. Como ser defectuoso representará el éxito tendremos que

0.03 p = . Por otra parte, como se analizarán 7 envases es como si estuviésemos repitiendo el

mismo experimento 7 veces, luego 7n = . De este modo observamos que todos los criterios son losrequeridos para utilizar una distribución binomial.

Respondamos ahora la pregunta de cada literal.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de siete envases por los menos tres sean

defectuosos?

Si una variable aleatoria X se distribuye Binomial entonces su función de probabilidad

establece que la probabilidad de que X tome un valor x es

( ) x n xn P x p q x

!" #= $ %& '

Donde

n

x

! "# $% & es n combinado x o como lo hemos venido trabajando

n xC .

Para esta variable aleatoria el valor esperado o media y varianza son:

( ) ( ) x

E X xP x np= =!

2 2( ) ( ) ( ( )) (1 )Var X E X E X np p=

!

=

!



Primero definimos la variable aleatoria X: Número de envases defectuosos

Como por lo menos significa como mínimo debemos calcular la probabilidad de que como mínimo

haya tres envases defectuosos.

0 7 0 1 7 1 2 7 2

7 6 2 5

7 6 2

( 3) 1 ( 3) 1 ( ( 0) ( 1) ( 2))

7 7 7 1

0 1 2

1 7 21

1 0.97 7(0.03)(0.97) 21(0.03) (0.97

P x P x P x P x P x

p q p q p q

q pq p q

! ! !

" = ! <

= ! = + = + =

# $# $ # $ # $= ! + +% &% & % & % &

' ( ' ( ' (' (

= ! ! !

= ! ! ! 5)

1 0.99913 0.00087) ! =

Con lo cual notamos que es muy poco probable que haya más de tres envases defectuosos.

b. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de siete envases como máximo tres sean

buenos?

Que máximo tres sean buenos significa que como mínimo hay cuatro defectuosos, luego la

probabilidad solicitada es

4 7 4 5 7 5 6 7 6 7 7 7

4 3 5 2 6 1 7 0

( 4) ( 4) ( 5) ( 6) ( 7)

7 7 7 7

4 5 6 7

35(0.03) (0.97) 21(0.03) (0.97) 7(0.03) (0.97) 1(0.03) (0.97)

P x P X P X P X P X

p q p q p q p q! ! ! !

" = = + = + = + =

# $ # $ # $ # $= + + +% & % & % & % &

' ( ' ( ' ( ' (

= + + +

0.0000263593)

Con base en lo anterior tendríamos que es muy poco probable que más de cuatro envases resulten

defectuosos con lo cual es muy poco probable que máximo tres sean buenos.

La distribución binomial de una variable aleatoria puede calcularse en programas con Excel, según

la versión que se tenga; en mi caso tengo office 2007 y según este que es tan solo una versión

mejorada respecto a las anteriores versiones de office les indicaré cómo utilizarla.

Desarrollemos el anterior ejemplo con Excel:

Abrimos una hoja de cálculo de Excel y escribimos los datos en columnas de la siguiente manera.



0

0 3

( 0)0!

3

0!

0.0497

e P x

e

! !

"

"

= =

=

=

Lo que significa que es poco probable que ninguna persona ingrese en un período a la cafetería.

Realizando el ejercicio en Excel tenemos:

E j e m p l o

j e m p l o

6 3

3

En Bogotá sobre la carrera 7° con 53 se presentan en promedio 3 accidentes de tránsito por mes

determine la probabilidad de que:

a. No se presenten accidentes en un mes

b.

Se presenten más de 5 accidentes en un mesc. Se presenten 10 o más accidentes en un semestre

Definimos la variable aleatoria X: Número de accidentes que ocurren en un mes. La función de

probabilidad de la variable es:




que se encuentra en google (libros); busque en el índice los temas tratados: Distribución Binomial,

Poisson, Hipergeométrica (páginas 175-206). Luego resuelva los ejercicios allí propuestos.

Estadistica inferencial basica

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