ESTADÍSTICA PARA LA EDUCACION SUPERIOR 2
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Probabilidad
PROBABILIDADES
Experimentos Aleatorios
Espacio Muestral,Eventos y Sucesos
Tipos de Experimentos Aleatorios
Relaciones entre Eventos
Enfoques de Probabilidad/TeoremasBsicos de Probabilidad
Eventos Dependientes/Independientes
Probabilidad Total/Teorema de Bayes
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Experimentos
Determinsticos
No Determinsticos
Se conocen su resultadosantes de realizarlo
No son de inters para laEstadstica
Sus resultados se conocenuna vez que el experimento haconcluido
Se pueden describir losposibles resultados sin poderdecir, cul de ellos va aocurrir
PROBABILIDADES
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Experimentos
Determinsticos
No Determinsticos
Sus resultados se conocen conanticipacin sin necesidad derealizar el experimento
Sus resultados se conocen unavez que el experimento hafinalizado
Es un proceso planificado a
travs del cual se obtieneuna observacin (o unamedicin) de un fenmeno
Se pueden describir losposibles resultados pero no sepuede decir cul de ellosocurrir
Experimentos AleatoriosSon experimentos nodeterminsticos cuyos resultados
estn regidos por el azar
PROBABILIDADES
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Supngase que se lanzan dos monedas legales al mismotiempo y que a una cara de cada moneda se la llamaCara a la otra Sol entonces:
={CC, CS, SC, SS}
Supngase ahora que se lanza undado legal. Entonces:
={1, 2, 3, 4, 5, 6,}
ExperimentosAleatorios
Son aquellos experimentos no determinsticoscuyos resultados estn regidos por la
casualidad (azar)
PROBABILIDADES
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M = {CC, CS, SC, SS}
O bien en el caso del lanzamiento
del dado
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
Espacio Muestral
Retomando el caso del lanzamiento de las dosmonedas, hay otro posible resultado en esteexperimento?.
Son todos los resultadosque estn asociados a un
experimento aleatorioSupngase que el lanzamiento deldado se est interesado en laocurrencia de una cara impar
A = {1,3,5} Evento
Es subconjunto del espaciomuestral, es decir, susresultados pertenecen alespacio muestral
PROBABILIDADES
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Espacio Muestral
Evento
2
1
3
4
5
6
M
A
Suceso (wi)
LetrasMaysculas delAlfabeto
A= (wiA /wi M
PROBABILIDADES
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Experimentos
Aleatorios
Simples
Compuestos
Un solo experimento aleatorio
Cuando ocurren dos o msexperimentos simples al mismo
tiempo o bien uno despus delotro
Unidos por lapartcula (v)
Unidos por lapartcula y ( )
Los experimentos simples quelo componen ocurren deforma sucesiva
Los experimentos simples quelo componen ocurren al mismotiempo
M = {M1 M2Mi}M = {M1UM2UMi}
PROBABILIDADESTipos de Experimentos Aleatorios
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Experimentos
Aleatorios
Simples
Compuestos
Un solo experimento aleatorio
Cuando ocurren dos o msexperimentos simples al mismotiempo o bien uno despus delotro
M = {1, 2, 3, 4, 5, 6,}
M = {CC, CS, SC, SS}
PROBABILIDADES
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M2M1 C S
C CC CSS SC SS
Experimentos compuestosunidos por la partcula y
M3
M1*M2 C S
CC CCC CCS
CS CSC CSS
SC SCC SCS
SS SSC SSS
El espacio muestral es elproducto cartesiano de losespacios muestrales simplesque lo conforman
PROBABILIDADES
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Experimentos compuestosunidos por la partcula y
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
C
S
M
CCC
CCS
CSC
CSS
SCCSCS
SSC
SSS
Diagrama del rbol
Diagrama de Senderos1ra Moneda
2da Moneda
3era Moneda
PROBABILIDADES
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De acuerdo a cmo ocurren los eventos se pueden estableceralgunas relaciones entre ellos tales como:
AUB AUB
AB
A
PROBABILIDADES
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Enfoques de
Probabilidades
Clsico
FrecuenciaRelativa
Probabilidad A priori. LlamadaTambin Probabilidad deLaplace
Probabilidad A posteriore
Subjetivo
PROBABILIDADES
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Probabilidad
Clsica
Supuesto
Frecuencia
Relativa Probabilidad A posteriore
Subjetivo
Todos los sucesos de unexperimento aleatorio tienenla misma posibilidad deocurrir, entonces:
[ ] Mna
AP =
[ ] 10 AP
Si en la realizacin deexperimento aleatorio apareceun evento A n veces N,entonces:
[ ]N
nAP =
PROBABILIDADESEnfoques de Probabilidad
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Teoremas Bsicos deProbabilidades
P[AUB] = P [A] + P [B]
P[AUB] = P [A] + P [B] P[AB]
P[] = 0
P[M] = 1
[ ] [ ] %1000/10 APAP
[ ]APAP c =1
PROBABILIDADESPrincipales Teoremas de Probabilidad
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Cuando la ocurrencia de un evento est en dependencia de otroevento, se dice que ste es dependiente.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral M, se dice que Aes un evento dependiente de B s;
o bien:[ ] [ ] 0; = BPB
APAP [ ] [ ] 0; = APA
BPBP
Estas probabilidades se pueden calcular de dos formas:
Respecto al espacio muestral original
Respecto al espacio muestral del evento condicionante
[ ][ ]
[ ] [ ] [ ] 0; =
= BPAPBP
BAP
BAP [ ][ ]
[ ] [ ] [ ] 0; =
= APBPAP
ABP
ABP
PROBABILIDADESEventos Dependientes
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En una institucin de Educacin Superior se tiene 300 docentes,de los cuales 100 son casados y 30 divorciados. En dichainstitucin hay 200 hombres, 85 de los cuales son casados y 95son solteros. Determinar cual es la probabilidad de seleccionar undocente al azar:a. Que sea mujerb. Que sea soltero (a)c. Que sea un hombre y est casado (a)d. Que sea una mujer divorciadae. Dado que el docente es casado (a), cul es la probabilidad
que sea hombre?f. Si el docente seleccionado es hombre, cul es la probabilidadque sea casado?
PROBABILIDADES
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En una universidad el 70% de los estudiantes son de Ciencias,30% de Letras. De los estudiantes de Ciencias el 60% sonvarones y los de Letras son varones el 40%. Si se elige al azarun estudiante, calcule la probabilidad que:a. Sea mujerb. Se estudiante varn dado si es de Cienciasc. Sea estudiante de Ciencias dado que es varnd. Sea estudiante de Ciencias y varn.
PROBABILIDADES
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Cuando la ocurrencia de un evento no est en dependencia de laocurrencia de otro evento, se dice que stos son independientes.
Sea A y B dos eventos en el espacio muestral M, se dice que Aes un evento independiente de B s se cumple con cualquiera delas siguientes condiciones:
[ ] [ ] [ ]BPAPBAP *=
[ ] [ ][ ] [ ] [ ] 0; == APBPAP
ABPA
BP
[ ] [ ][ ]
[ ] [ ] 0; =
= BPAPBP
BAP
BAP
PROBABILIDADESEventos Independientes
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Sea A1, A2, , Ak, eventos que forman una particin del espaciomuestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1],P[A2], P[A3], P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3], P[B/Ak]son probabilidades conocidas entonces:
[ ] [ ] [ ] ]/[][...]2/[]2[1/1 AkBPAkPABPAPABPAPBP ++=
Probabilidad Total [ ] [ ] [ ]AkBPAkPBPk
i/
1==
PROBABILIDADESProbabilidad Total
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Sea A1, A2, , Ak, eventos que forman una particin del espaciomuestral M y sea B, un evento en M. Si las probabilidades P[A1],P[A2], P[A3], P[Ak], si P[B/A1], P[B/A2], P[B/A3], P[B/Ak].Si B ya ha ocurrido y se est interesado en saber a cual de los
eventos que forman la particin muestral se ha debido suocurrencia, entonces se usa el denominado Teorema de Bayes
[ ][ ]
[ ] [ ]=
=k
i Ak
BPAkP
AkBPAkP
BAkP
1
PROBABILIDADESTeorema de Bayes
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VARIABLE ALEATORIASuponga que el siguiente experimento consiste enel lanzamiento de tres monedas al mismo tiempo ysuponga que se define la variable X como nmerode soles en el experimento
M = {CCC, CCS, CSC, SCC, SSC, SCS, CSS, SSS}
0 1 2 3
X = Nmerode soles
Es X una variable? S
{ 0, 1, 2, 3}
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VARIABLE ALEATORIAVariable Aleatoria es una funcin que asignavalores reales a cada uno de los resultados deun experimento aleatorio
Domino de X = Es el espacio muestralRango de X = Los Nmeros Reales
Tipos de Variables Aleatoria
Variables Aleatoria Discretas
Variables Aleatoria Continuas
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VARIABLE ALEATORIA
Variables Aleatoria Discreta
Rango de X x1 x2 x3 xk
P[X = x] p(x1) p(x2) p(x3) p(xk) 1
Funcin de Distribucin de
Probabilidades o Cuanta
Condiciones dela Funcin deDistribucin o
Cuanta
p[X = x] = 1
p(xk) 0
X, p(x) Vx rangoX
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VARIABLE ALEATORIAVariables Aleatoria Continua
No se puede establecer una correspondenciaentre el valor que toma la variable y unaprobabilidad asociada al mismo ya que laVAC, puede tomar cualquier valor dentro delintervalo donde se define
Ecuacin llamada Funcin de Densidad
Condiciones dela Funcin deDensidad
E E
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VARIABLE ALEATORIAEsperanza Matemtica
M son todos losresultados posibles queestn asociados a unexperimento aleatorio
Dom X = M
PoblacinTodos losvalores quepuede tomaruna variable
aleatoriaParmetrosEsperanza Matemtica(x) = xVarianza Var(x) = x
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VARIABLE ALEATORIA
EsperanzaMatemtica
Tipo de V.A
Discreta
Continua
Es el promedio que toma laV.A en el rango donde sedefine
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VARIABLE ALEATORIA
Propiedades de la
Esperanza Matemtica
(x) =
(ax) = a(x)(ax + b) = (ax) + b
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VARIABLE ALEATORIAVarianza
Varianza Tipo de V.A
Discreta
Continua
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VARIABLE ALEATORIA
Propiedades de la
Varianza
Var(X)= XVar(X) = X 0
Var (aX)= aVar(X)Var(aX + b) = aVar(X)
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MODELOS PROBABILISTICOS
Modelos
Probabilstico
Si el comportamiento de una V.Apuede ser simulado ya sea deforma aproximada o total , sedice que se tiene un modeloprobabilstico
Tipo de V. A
ModelosProbabilsticoDiscretos
ModelosProbabilsticoContinuos
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MODELOS PROBABILISTICOSDISCRETOS
ModelosProbabilsticoDiscretos
Dn Binomial Puntualo Bernoulli
Dn Binomial
Dn de PoissonDn Multinomial
Dn Hipergeomtrica
Dn Hipergeomtrica
GeneralizadaOtras
Dn Uniforme Discreta
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MODELOS PROBABILISTICOSDISCRETOS
DnBinomial Puntual oBernoulli
Dn de Poisson
Dn Hipergeomtrica
Dn Binomial
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MODELOS PROBABILISTICOSCONTINUOS
Xa < b
Y
Dn Uniforme Continua
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MODELOS PROBABILISTICOSCONTINUOSDn Normal
Si un experimento Binomial bien definido, se repite ungran nmero de veces, el histograma de probabilidadesforma una curva en forma de campana llamada curva
Normal o Campana de Gauss SimtricaPromedio = Mediana = ModaEs asinttica al eje de las XEs mesocrticaSe le llama ley Normal de losErrores. Errores pequeostienen una alta probabilidad deocurrencia, errores grandesbaja
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MODELOS PROBABILISTICOSCONTINUOS
Dn Normal Estndar o Dn Z
Debido a lo tedioso de la funcin de densidad de laDn Normal, en su lugar se utiliza otra Dn que permiteel uso de tablas previamente determinada evitando
as, el proceso de integracin de la f(x) de la DnNormal. Esta Dn es llamada Dn Normal Estndar oDn Z
Si X~N(, ), entonces X se puede someter a unproceso de estandarizacin dando origen a una
variable Z de la siguiente forma:
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MODELOS PROBABILISTICOSCONTINUOS
Dn Normal Estndar o Dn Z
Uso de Tablas
Las Tablas de Dn Normal Estndarpermiten resolver dos tipos deproblemas:
Determinar el rea bajo la curva una vez obtenido el valor estndar de X
Dada un rea bajo la curva, determinar el valor z a que corresponde