estadistica para la toma decisiones.pdf
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1 ESTADISTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES. Porcentaje 40 30 20 10 0 Hábito de estudio Alto Intermedio Bajo Dr. CLETO DE LA TORRE DUEÑAS [email protected] 2011
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ESTADISTICA PARA LA TOMA DE DECISIONES.
Po
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40
30
20
10
0
Hábito de estudio
AltoIntermedioBajo
Dr. CLETO DE LA TORRE DUEÑAS
2011
2
1RA EDICION
Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú REGISTRO Nº : 2009-09684
Todos los derechos reservados.
Prohibida la reproducción total o parcial de este libro en forma idéntica o
modificada por cualquier medio mecánico o electrónico, incluyendo fotocopia,
grabación o cualquier sistema de almacenamiento y recuperación de
información no autorizada por el autor.
Impreso en Perú, 2009.
3
CAPITULO I
INVESTIGACION CIENTIFICA.
1.1 INVESTIGACIÓN CIENTÍFICA
La investigación científica, se puede entender como un conjunto de actividades
que realizamos para obtener conocimientos nuevos, sobre problemas nuevos
que afectan la realidad, pero que sean nuevos, respecto a la ciencia, es decir,
respecto al conjunto de conocimientos ya provisionalmente establecidos y
sistematizados por la humanidad, conocimientos nuevos que, como aportes, se
sumarán a la Ciencia.
¿Qué es investigar?
Investigar viene del latín investigare.
Es la forma más adecuada de aproximarse al conocimiento de la verdad
mediante verdades parciales.
Desarrollar actividades con el objetivo de registrar, indagar o descubrir
la verdad.
En términos generales, es agregar algo nuevo a los conocimientos
humanos.
Es un proceso que, mediante la aplicación del método científico, procura
obtener información relevante y fidedigna. De entender, verificar,
corregir o aplicar el conocimiento
4
EELL PPRROOCCEESSOO DDEE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN
IINNTTEERRRROOGGAANNTTEESS PPAARRAA EELL PPRROOCCEESSOO:: DDIISSEEÑÑOO
¿¿QQuuéé eessttuuddiiaarr?? SSeelleecccciióónn ddeell tteemmaa..
CCuuááll eess llaa ssiittuuaacciióónn aaccttuuaall?? PPllaanntteeaammiieennttoo ddeell pprroobblleemmaa
¿¿CCuuáálleess ssoonn llaass pprreegguunnttaass ddee
iinnvveessttiiggaacciióónn qquuee ddeebbeenn sseerr
rreessppoonnddiiddaass??
FFoorrmmuullaacciióónn ddeell pprroobblleemmaa
¿¿QQuuéé pprrooppóóssiittooss ttiieennee llaa
iinnvveessttiiggaacciióónn qquuee ssee ppllaanntteeaa??
OObbjjeettiivvooss..
¿¿CCuuáálleess ssoonn llooss mmoottiivvooss ppaarraa
hhaacceerr eell eessttuuddiioo pprrooppuueessttoo??
JJuussttiiffiiccaacciióónn..
¿¿QQuuiiéénneess hhaann iinnvveessttiiggaaddoo
aanntteerriioorrmmeennttee ssoobbrree eell tteemmaa
ppllaanntteeaaddoo??
MMaarrccoo HHiissttóórriiccoo
¿¿QQuuéé hhaayy eessccrriittoo aall rreessppeeccttoo?? MMaarrccoo TTeeóórriiccoo..
¿¿QQuuéé ssee pprreetteennddeerr pprroobbaarr?? HHiippóótteessiiss..
¿¿CCóómmoo ssee vvaa aa rreeaalliizzaarr llaa
iinnvveessttiiggaacciióónn??
MMeettooddoollooggííaa..
¿¿CCuuáánnttoo ttiieemmppoo ssee rreeqquuiieerree ppaarraa eell
eessttuuddiioo pprrooppuueessttoo??
PPrrooggrraammaacciióónn
¿¿QQuuéé rreeccuurrssooss ssee nneecceessiittaann?? PPrreessuuppuueessttoo..
¿¿AA qquuee ffuueenntteess eessccrriittaass ssee vvaa aa
rreeffeerriirr eell iinnvveessttiiggaaddoorr??
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IINNTTEERRRROOGGAANNTTEESS PPAARRAA EELL PPRROOCCEESSOO:: DDEESSAARRRROOLLLLOO
¿¿QQuuéé ttiippoo ddee iinnffoorrmmaacciióónn ssee
nneecceessiittaa ppaarraa ccuummpplliirr llooss oobbjjeettiivvooss,,
rreessppoonnddeerr llaa pprreegguunnttaa ((ss)) ddee
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5
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llaa iinnvveessttiiggaacciióónn..
1.2 PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
Es un hecho, fenómeno o situación que incita a la reflexión o al estudio y es
importante puesto que permite conocer la situación que se va a estudiar
mostrando sus principales rasgos.
CRITERIOS BASICOS PARA IDENTIFICAR PROBLEMAS.
De manera general se considera que hay un problema cuando lo que
DEBERÍA SER, difiere de lo que ES.
El DEBERÍA SER, es el marco referencial, el patrón comparativo, el
ideal, el modelo, el paradigma.
Lo que ES, representa la realidad, es la práctica.
DEBERÍA SER diferente a ES, entonces existe Problema
6
Determinación de Necesidades Educativas
DISCREPANCIA
COMPORTAMIENTO
REAL
COMPORTAMIENTO
DESEADO
LO QUE DEBE
SERLO QUE ES
NECESIDAD EDUCATIVA
SITUACIÓN
PROBLEMÁTICA
7
PROBLEMA DE INVESTIGACION.
Para la presentación del POI, es necesario considerar cuatro momentos: el
diagnóstico, el pronóstico, el control del pronóstico y la formulación de la
pregunta o preguntas o la redacción de un texto a manera de pregunta.
El diagnóstico es la descripción de los síntomas o problemas.
El pronóstico es la serie consecuencias de los problemas.
El control del pronóstico es la serie de acciones para superar las
consecuencias de los problemas.
Formulación del problema
Aspectos a integrar en la conceptualización y en la definición de un
problema de investigación.
Pensar en: Elementos del enunciado:
Qué se investigará? Variable/s
Quiénes participarán Sujetos a estudiar
8
Qué estrategia se seguirá? Diseño
Dónde se realizará? Ámbito de estudio
Cuándo se realizará? Período de Tiempo.
ELEMENTOS DE DEL TITULO DE UN PROBLEMA
Especificidad Situación
problemática
Unidad de
estudio
Espacio Tiempo
Situación problemática
Responde a la pregunta ¿Qué investigar?
Por ejemplo: Rendimiento académico, gestión educativa, desempeño
profesional,..
La especificidad
Es el aspecto o los aspectos concretos que se quiere investigar acerca
del hecho o situación problemática.
Por ejemplo: causas, consecuencias, características, importancia,
influencia, tendencia, modalidades, incidencia, prevalencia, implicancias,
estructura, función, nivel, relación, evolución, etc.
Unidades de estudio.
Son aquella en las se ponen de manifiesto los hechos o situaciones
problemáticas y constituyen, desde el punto de vista estadístico, la
población o muestra a la que se refiere la investigación. Son: Personas,
grupos sociales, seres, acontecimientos, instituciones, objetos,
procesos.
Espacio
Esta referido al lugar en el que ocurre el hecho o situación problemática.
Puede ser geográfico o administrativo. ¿Dónde?; Perú, Ciudad del
Cusco, Zona Franca, Aceros Arequipa, etc.
Tiempo
Está referido al momento en que ocurre el hecho o situación
problemática. ¿Cuándo?
9
1.3 FORMULACION DE OBJETIVOS
Son los propósitos o fines que se pretenden lograr al realizar la
investigación.
Los objetivos son de dos tipos:
El objetivo general (singular). Es un enunciado proposicional integral y
un Logro terminal a alcanzar en la investigación.
Los objetivos específicos (plural). Los Objetivos Específicos, Son
enunciados desagregados del objetivo general orientados al logro de
propósitos concretos y están en relación a lo que aspira alcanzar con el
estudio.
Los objetivos deben ser verificables
Al definir los objetivos, debemos pensar inmediatamente en la manera
de verificar si éstos se han cumplido o no (pensar en métodos o
herramientas para ello)
Lo anterior nos permitirá ir dibujando el perfil metodológico de nuestra
investigación
Los objetivos se convierten así en la carta de navegación de la
investigación a realizar
Los objetivos deben ser precisos y no muy ambiciosos: deben ser
acordes con los recursos disponibles (tiempo) y ello delimitará el nivel de
detalle esperable.
Estar expresados en verbos en infinitivo (determinar, analizar,
identificar, evaluar, diagnosticar, conocer, explicar, refutar,
comprobar, etc.)
Elementos a tomar en cuenta para redactar un objetivo
Sujeto Elemento de estudio.
Contenido Expresa el cambio requerido
Acción Conjunto de actividades que se desarrollan.
Ejemplo 1: Reforzar la capacidad de gestión en los centros de educación inicial
del país para la atención de los dominios del aprendizaje de los niños de 4 y 5
años de edad.
10
Acción : Reforzar la capacidad de gestión en los centros de
educación inicial del país.
Contenido: La atención de los dominios del aprendizaje.
Sujeto : Niños de 4 a 5 años de edad
1.4 JUSTIFICACION Y DELIMITACION DE LA INVESTIGACIÓN
Criterios de justificación.
Originalidad
Relevancia
Interés
Factibilidad
Criterios para delimitar
Espacial - Geográfica
Cronológica
VVIIAABBIILLIIDDAADD::
EEss nneecceessaarriioo ppllaanntteeaarrssee llaass ssiigguuiieenntteess pprreegguunnttaass::
¿¿SSee ddiissppoonnee ddee RReeccuurrssooss??
¿¿EEss ffaaccttiibbllee rreeaalliizzaarr eenn eell ttiieemmppoo pprreevviissttoo??
¿¿EEss ffaaccttiibbllee llooggrraarr llaa ppaarrttiicciippaacciióónn ddee llooss ssuujjeettooss uu oobbjjeettooss nneecceessaarriiooss??
¿¿EEss ffaaccttiibbllee ccoonndduucciirr eell eessttuuddiioo ccoonn llaa mmeettooddoollooggííaa nneecceessaarriiaa??
¿¿LLaa mmeettooddoollooggííaa aa sseegguuiirr,, ccoonndduuccee aa ddaarr rreessppuueessttaa aall pprroobblleemmaa??
¿¿SSee ccoonnooccee yy ssee ddoommiinnaa llaa mmeettooddoollooggííaa sseelleecccciioonnaaddaa??
¿¿HHaayy pprroobblleemmaass ééttiiccoo mmoorraalleess eenn eell ddeessaarrrroolllloo??
1.5 MARCO TEORICO
En el marco teórico se integra con las teorías, enfoque teóricos, estudios y
antecedentes en general que se refieran al problema de investigación.
Para elaborar el marco teórico es necesario detectar, obtener y consultar la
literatura y otros documentos pertinentes para el problema de investigación,
así como extraer y recopilar de ellos la información de interés.
11
La revisión de la literatura puede iniciarse manualmente o
acudiendo a un banco de datos al que se tenga acceso por
computadora.
La construcción del marco teórico depende de lo que
encontremos en la revisión de la literatura:
Marco Teórico: Fundamentación teórica dentro de la cual se
enmarca la investigación
Marco Conceptual: Definición de conceptos relevantes utilizados en
el estudio
Marco Normativo: Normas, leyes referentes al estudio
¿Qué funciones cumple el marco teórico?
Sirve de guía al Investigador
Provee un marco para la interpretación de resultados
Prevenir errores.
Orientar el estudio,
Ampliar el horizonte del estudio y guiar al investigador,
Delimitar el área de investigación,
Establecer los antecedentes del problema,
Fundamentar el contenido del problema,
Facilitar la formulación de las hipótesis,
Implicar nuevas líneas y áreas de investigación,
Proveer un marco de referencia para interpretar los resultados de
estudio.
1.6 HIPOTESIS DE INVESTIGACION
Afirmaciones o suposiciones que hace el investigador respecto al
problema de investigación.
Es una suposición que permite establecer relaciones entre hechos. El
valor de una hipótesis reside en su capacidad de establecer esas
relaciones entre los hechos y de esa manera, explicarnos por qué se
produce el fenómeno de estudio.
12
¿Qué Funciones cumple?
Direccionar el problema objeto de investigación
Identificar variables objeto de análisis
Orientar el uso de métodos y técnicas de obtención de información
Elementos estructurales de la hipótesis
1. Las unidades de análisis, que puedan ser los individuos, grupos,
viviendas, instituciones, etc.
2. Variables, las características o propiedades cualitativas o
cuantitativas que presentan las unidades de análisis.
3. Los elementos lógicos, son los que relacionan las unidades de
análisis con las variables y estas entre sí.
Requisitos para estructurar las hipótesis
Las hipótesis deben referirse sólo a un ámbito determinado de la
realidad social. Las hipótesis en las ciencias sociales sólo pueden
someterse a prueba en un universo y contexto bien definidos.
Los conceptos de las hipótesis deben ser claros y precisos. En las
hipótesis, los conceptos son las variables y las unidades de
análisis.
Los conceptos de las hipótesis deben contar con realidades o
referencias empíricas observables (verificables).
El planteamiento de las hipótesis deben prever las técnicas para
probarlas. Se deben formular hipótesis que están relacionadas
con técnicas disponibles para su verificación.
RREEQQUUIISSIITTOOSS PPAARRAA FFOORRMMUULLAARR LLAA HHIIPPÓÓTTEESSIISS
Debe referirse a hechos reales.
Debe ser formulada en términos de relación o causalidad.
Las variables y su relación, tienen que ser comprensibles,
precisos y concretos.
Tener fundamentación teórica.
Deben ser de poder predictivo y explicativo.
13
CCARACTERÍSTICAS
Ser específicas (E):
Debe indicar un asunto concreto por investigar.
Ser lógica (L):
- La relación de las variables debe ser racionalmente pertinentes
- Debe tener poder explicativo, debe ser respuesta a su problema.
- Debe ser compatible con los conocimientos actuales (Teoría)
Ser Contrastable (C) :
Es decir, ser comprobable
- Necesita tener referencia empírica, capacidad de ser probada y
verificada en los hechos.
- Debe ser operacional.
- Fundamentarse en un cuerpo teórico.
Estar de acuerdo con las técnicas y recursos disponibles para probarlas.
ELEMENTOS ESTRUCTURALES DE LA HIPÓTESIS
Las unidades de análisis:, que pueden ser individuos, familias,
grupos, instituciones y otros.
Las Variables: Independiente y dependiente.
Los elementos lógicos, que relacionan las unidades de análisis
con las variables y a estas entre sí.
1.7 NIVELES DE INVESTIGACIÓN.
El nivel de una investigación viene dado por el grado de profundidad y alcance
que se pretende con la misma
14
INVESTIGACIÓN DESCRIPTIVA
Orientada al descubrimiento de las propiedades particulares del hecho o
situación problemática y también a la determinación de la frecuencia con que
ocurre el hecho o situación problemática.
Responde a las preguntas ¿Cómo son? ¿Cuántos son? ¿Dónde están? Se
refiere a las características cualidades internas y externas, propiedades y
rasgos de la población de estudio
Problema
Pregunta ¿Cuál es grado de .....? ¿Qué nivel…?
Ejemplo 2:
Nivel de conocimiento de las estrategias cognitivas por los profesores, de la
población de la ciudad de Cusco, 2011.
INVESTIGACIÓN EXPLICATIVA
Orientada al descubrimiento de las causas o consecuencias o
condicionantes de la situación problemática
Está dirigida a responder a las causas de los eventos físicos o sociales y
su interés se centra en explicar por qué y en qué condiciones ocurre un
fenómeno, o por qué dos o más variables se relacionan.
¿Por qué? La finalidad es determinar por qué un hecho o fenómeno de
la realidad tiene tales y cuales características.
Problema Pregunta ¿En que medida .....? ¿Cómo influye..?
Ejemplo 3:
Principales causas de la deserción escolar en la región andina del Perú, 2010.
INVESTIGACIÓN COMPARATIVA
Orientada al estudio de las semejanzas o diferencias de un hecho o situación
problemática en dos circunstancias diferentes.
Ejemplo 4:
Nivel de aplicación de metodologías de enseñanza por los profesores de las
instituciones educativas A y B de Cusco, 2010.
15
INVESTIGACIÓN RELACIONAL
Orientada al descubrimiento de la influencia de un hecho o situación
problemática en otro hecho o situación problemática.
Ejemplo 5:
Influencia de la internet en la lectura de los estudiantes de secundaria de la
Ciudad del Cusco, 2011.
INVESTIGACIÓN CORRELACIONAL
Orientada a descubrir la covariación o correspondencia entre los valores de dos
hechos o situaciones problemáticas.
Ejemplo 6:
Correlación entre hábitos de estudio y aprendizaje en los estudiantes de la
Universidad de Nacional San Antonio Abad del Cusco, 2011.
INVESTIGACIÓN EXPERIMENTAL
Orientada a descubrir la validez de un hecho para la modificación de una
situación problemática.
¿Qué cambios y modificaciones se han producido? ¿Qué mejoras se
han logrado?.
Problema Pregunta ¿Es más eficaz …..….que……....?
Ejemplo 7:
Evaluación del efecto del uso de tres tipos de materiales didácticos en el
rendimiento académico, en las I.E de la ciudad de Cusco, 2011.
1.8 TIPOS DE INVESTIGACION
Los Tipos de investigación se determinan mediante la aplicación de distintos
criterios, a continuación se refieren algunos de ellos.
INVESTIGACION BASICA. Solo busca aplicar y profundizar el conocimiento
científico existente acerca de la realidad.
16
INVESTIGACION APLICADA. Se investiga para transformar, modificar o
producir cambios en un determinado sector de la realidad.
INVESTIGACION SUSTANTIVA. Se orienta a resolver problemas facticos, su
propósito es dar respuesta objetiva a interrogantes que se plantea en un
determinado fragmento de la realidad y del conocimiento con el objeto de
contribuir en la estructuración de las teorías científicas.
INVESTIGACION TECNOLOGICA. Se relaciona esencial, objetiva y
metodológicamente con el nivel experimental, se busca cambios mediante la
aplicación de nuevos sistemas.
1.9 DISEÑOS DE INVESTIGACION.
Conjunto de estrategias procedimentales y metodológicas definidas
y elaboradas para el desarrollo del proceso de investigación.
El diseño de investigación puede ser pensado como la estructura
de la Investigación.
El investigador debe seleccionar un diseño de investigación. Esto
se refiere a la manera práctica y precisa que el investigador adopta
para cumplir con los objetivos de su estudio, ya que el diseño de
investigación indica los pasos a seguir para alcanzar dichos
objetivos. Es necesario por tanto que previo a la selección del
diseño de investigación se tengan claros los objetivos de la
investigación.
Las maneras de cómo conseguir respuesta a las interrogantes o
hipótesis planteadas dependen de la investigación. Por esto,
existen diferentes tipos de diseños de investigación, de los cuales
debe elegirse uno o varios para llevar a cabo una investigación
particular (Hernández, Fernández y Baptista, 2000; Castillo, 2005).
La precisión, la profundidad así como también el éxito de los
resultados de la investigación dependen de la elección adecuada
del diseño de investigación. He aquí un esquema donde se
resumen los diferentes tipos de investigación según Hernández,
Fernández y Baptista (2000).
17
Diseños experimentales
Son aquellos en los que se cumple que:
Los grupos a ser investigados han sido asignados al azar, por
procedimientos aleatorios y los grupos resultantes son equivalentes, de
tal manera que se tiene un grupo control equivalente a los grupos
experimentales.
Diseños cuasi-experimentales.
Entendemos por diseños cuasi-experimentales cuando se cumplen las
siguientes condiciones:
Los grupos sobre los que se lleva a cabo la investigación no han
podido establecerse como equivalentes en las características
fundamentales. Los grupos no han sido asignados al azar, sino
que han sido establecidos por algún otro procedimiento de
muestreo.
Como dice Hernández et al.“En los diseños cuasi-experimentales
los sujetos no son asignados al azar a los grupos no
emparejados; sino que dichos grupos ya estaban formados antes
18
del experimento, son grupos intacto (la razón por la que surgen y
la manera como se formaron fueron independientes o aparte del
experimento.”
También algunos autores denominan CUASI-EXPERIMENTAL,
cuando el investigador aplica un tratamiento a un solo grupo de
sujetos, sin grupo de control, observándolo antes y después de
aplicar el tratamiento.
Diseños no-experimentales.
Se establece que un diseño no-experimental es: “la que se realiza sin
manipular deliberadamente variables. Es decir, se trata de investigación donde
no hacemos variar intencionadamente las variables independientes. Lo que
hacemos en la investigación no experimental es observar fenómenos tal y
como se dan en su contexto natural, para después analizarlos.” (Hernández,
184)
La diferencia con los diseños experimentales y cuasi- experimentales se ve con
claridad, porque en estos dos siempre hay algún tipo de intervención del
investigador, que manipula las variables independientes para averiguar su
influencia en las variables dependientes.
Método transversal: Es el diseño de investigación que recolecta datos de un
solo momento y en un tiempo único. El propósito de este método es describir
variables y analizar su incidencia e interrelación en un momento dado.
Diseños transversales descriptivos: son aquellos que tienen como objetivo
indagar la incidencia y los valores en que se manifiesta una o más variables.
Diseños transversales correlacionales: Se encargan de describir relaciones
entre dos o más variables en un momento determinado.
Diseños transversales explicativos: Son aquellos en los cuales las
causas y efectos ya ocurrieron en la realidad (estaban dados y manifestados)
y el investigador los observa y explica.
19
Diseños longitudinales: Son aquellos que analizan cambios a través del
tiempo (en variables o sus relaciones), dentro de alguna población en general.
1.10 VARIABLES
A las características objeto de estudio en la población se les llama variables, ya
que pueden variar de un individuo a otro y se representara por letras
mayúsculas: X, Y, Z,. . ., debemos distinguir los distintos tipos de variables que
hay, lo cual nos va a permitir utilizar las herramientas estadísticas apropiadas.
TIPOS DE VARIABLES.
Las variables estadísticas pueden ser de dos tipos:
Variables cualitativas o atributos: describen cualidades y no toman
valores numéricos, estas a su vez pueden ser:
Nominales.- Las cualidades no presentan ningún orden. Ejemplo Sexo
del estudiante (Femenino, Masculino), Procedencia, I.E.
Ordinales.- Este tipo de variables presentan orden Ejemplo: Grado de
estudios (Analfabeto, primaria, secundaria, superior), Nivel de
conocimiento de Docentes.
Variables cuantitativas: toman valores numéricos. A su vez pueden ser:
Discretas.- Solo toman un número finito o infinito numerable de valores
distintos (generalmente números naturales o enteros). Ejemplos:
número de estudiantes por secciones, número de profesores, número
de aulas, etc.
Continuas.- Toman valores en un intervalo. Generalmente
corresponden a medir magnitudes continuas. Ejemplo, Rendimiento
académico, altura, ingreso del docente, etc.
Una característica esencial de este tipo de variables es que sus valores nunca
son observables con exactitud, sino que dependen (las observaciones) de la
precisión del instrumento de medida.
20
Ejemplo 7
Un especialista estudia, el nivel de introversión en niños menores de 4 años en
las instituciones educativas de la ciudad de Cusco. Defina los conceptos
previos para este estudio.
Solución:
Población: Niños menores de 4 años de las I.E de la ciudad de Cusco.
Muestra: Niños de 3 años de las I.E de la ciudad de Cusco.
Variable: Nivel de Introversión.
Tipo de variable: Cuantitativa
Unidad de estudio: Niño menor de 4 años.
1.11 ESCALAS DE MEDICION
Se llama medición al proceso de atribuir números a las características.
Tenemos las siguientes escalas de medición: nominales, ordinales,
cuantitativas de intervalo y cuantitativas de razón.
Escala nominal. La clave de estas escalas de medida es que sólo
informan de la igualdad o desigualdad de los individuos en una
característica, pero no de posibles ordenaciones, puesto que la
característica a la que se refieren no se tiene en mayor o menor medida,
sino que simplemente adopta formas cualitativamente distintas. Los
números solo sirven para distinguir valores o categorías diferentes de la
variable.
Esta escala se emplea para variables cualitativas nominales.
Ejemplo 8: El sexo 1=Masculino y 2=Femenino esto simplemente es un
proceso de codificación pero no significa que la mujer sea mayor que el
hombre, ni el doble, ni que existe sexo intermedio.
Escala Ordinal. Los números además de servir para distinguir reflejan un
orden existente sobre los valores de la variable.
21
Se obtiene clasificando objetos o arreglándolos en un orden con respecto
a alguna variable común. La pregunta es simplemente, si el objeto tiene
más o menos de esta variable que algún otro objeto.
Esta escala se emplea para variables cualitativas ordinales.
Ejemplo 9: Nivel de conocimientos de estrategias cognitivas por parte de
los docentes. Excelente=5, bueno =4, regular =3 y malo = 2.” es cierto la
relación de orden 2<3<4<5.
Escala de Intervalo: La ubicación del punto origen no es fija, puesto que
0 no denota la ausencia del atributo. Aquí los números para clasificar los
objetos representan también incrementos iguales del atributo que se esta
midiendo. Esto significa que los números pueden ser comparados. La
diferencia en 1 y 2 es la misma que entre 2 y 3, pero es solo la mitad de
la diferencia entre 2 y 4.
Las temperaturas Fahrenheit y Centígrados son medidas que tiene
diferentes escalas de intervalo y diferentes puntos de 0.
Escala de Razón: Medida numéricas en las cuales cero es un valor fijo
en cualquier escala y la diferencia entre valores es diferente
Además de la distancia de orden e intervalo, se añade un origen absoluto
de forma que no solo cabe hallar distancias (ya en la escala de intervalo),
si no también múltiplos exactos. En este caso, el valor representado por 4
tiene doble cantidad medida que él representado por un 2.
Ejemplo 10: Edad del profesor expresada en años.
40 años y 20 años son edades distintas y 40 años es superior a 20
años
Entre 40 y 20 hay una diferencia de 20, la misma que entre 50 y 30.
El 0 tiene sentido. Una persona con 0 años, realmente no tiene edad
todavía no ha nacido.
En el siguiente cuadro se muestra un resumen de las características de
las escalas de medición.
22
Resumen de escalas de medición
Tipo Información
deducible
Transform.
admisibles
Significa
orden
Significa
distancia
Significa
Origen Ejemplos
Nominal
Relaciones
“igual que” o
“distinto que”
Aplicaciones
inyectivas
No No No Procedencia
del Profesor,
tipo de
metodologia
Ordinal
Relaciones
“mayor que”
o “igual que”
Funciones
crecientes
Si No No Grado de
planificación,
Nivel de
utilización de
materiales
educativos.
Intervalo
Igualdad o
desigualdad
de
diferencias
A + b.x
(b 0)
Si Si No
Temperatura,
inteligencia
Razón
Igualdad o
desigualdad
de razones
B .x
(b 0)
Si Si Si Rendimiento
académico,
Número de
estudiantes.
ESCALAS PARA LA MEDICION DE ACTITUDES
La escala de clasificación por categorías es la que usan ampliamente los
investigadores de ciencias de la salud y sociales.
Escala de clasificación por categorías:
Existen cuatro categorías a partir de las cuales los entrevistados pueden
elegir para señalar su nivel general de satisfacción.
- Muy satisfecho (+2)
- Satisfecho (+1 )
- Algo satisfecho (0)
- No del todo satisfecho (-1)
Escala De Comparación:
Es una versión de la escala de categorías, califica a estas categorías
como: “excelente”, “muy bueno”, “bueno”, “regular” y “deficiente”,
23
eliminando de esta forma la comparación implícita. El problema con tal
escala es que el punto de referencia es poco claro y diferentes
entrevistados pueden usar diferentes puntos de referencia o estándares.
Escala de Likert:
La escala de Likert requiere que un entrevistado indique un grado de
acuerdo o desacuerdo con respecto a una variedad de afirmaciones
(reactivos) relacionadas con el objeto de las actitudes.
Es un tipo de instrumento de medición o de recolección de datos que
disponemos en la investigación social.
Es una escala para medir las actitudes.
Consiste en un conjunto de ítems bajo la forma de afirmaciones o juicios
ante los cuales se solicita la reacción (favorable o desfavorable, positiva
o negativa) de los individuos.
Alternativas o puntos en la escala de Likert
Asignación
Numérica
I
Asignación
Numérica
II
Alternativa
A
Alternativa
B
Alternativa
C
Alternativa
D
2 5 Muy de
acuerdo
Totalmente
de acuerdo
Definitivamen
te sí
Completame
nte
verdadero
1 4 De acuerdo De acuerdo Probablemen
te sí
Verdadero
0 3 Ni de
acuerdo, ni
en
desacuerdo
Neutral o
indiferente
Indeciso Ni falso, ni
verdadero
-1 2 En
desacuerdo
En
desacuerdo
Probablemen
te no
Falso
-2 1 Muy en
desacuerdo
Totalmente
en
desacuerdo
Definitivamen
te no
Completame
nte falso
24
Para obtener las puntuaciones de la escala de Likert, se suman los valores
obtenidos respecto de cada items. El puntaje mínimo resulta de la
multiplicación del número de ítems por 1. Una puntuación alta está dada por el
número de ítems o afirmaciones multiplicado por 5.
PM--------------------I----------------------I----------------------I------------------
PA
Donde: PM: Puntaje mínimo y PA: Puntaje Máximo.
Ejemplo 11: Ha encontrado en la institución educativa el apoyo y las
facilidades necesarias para que usted desarrolle de modo óptimo su trabajo.
( ) Definitivamente sí
( ) Probablemente sí
( ) Indeciso
( ) Probablemente no
( ) Definitivamente no
Ejemplo 12: El Director de la UGEL se preocupa por el bienestar del recurso
humano.
Categorías de Respuesta Frecuencia Porcentaje Asignación de
puntajes
Totalmente de acuerdo (5) 2 4.4% 2(5)
De acuerdo (4) 4 9% 4(4)
Indeciso (3) 7 15.6% 7(3)
En desacuerdo (2) 9 20% 9(2)
Totalmente en desacuerdo (1) 23 51% 23(1)
n=45 100% Total=88
Para interpretar el puntaje se ubica en los tramos de la escala de likert.
25
Totalmente
En desacuerdo
(1)
En
desacuerdo
(2)
Indeciso
(3)
De acuerdo
(4)
Totalmente de
Acuerdo (5)
45*1=45 45*2=90 45*3=135 45*4=180 45*5=225
La puntuación 88 se aproxima a 90, por lo tanto se ubica en la parte que indica
en desacuerdo.
1.12 TIPOS DE VARIABLES UTILIZADAS EN LA INVESTIGACION
CIENTIFICA.
Toda característica de estudio se conoce como variable.
Variable independiente
Es aquella que juega un rol determinante, causal o de influencia en
otra u otras variables, supone cierta autonomía con relación a las
demás variables, pero es necesario, señalar que las variables
independientes en determinados problemas, pueden cambiar, según
sea la posición que ocupen en el enunciado, debido a que la realidad
está en movimiento y que todos los hechos están concatenados.
Este tipo de variable se encuentra en las siguientes investigaciones:
1. Explicativa,
2. Relacional
3. Experimental ( en la experimental se le conoce como estímulo)
4. Correlacional
Variable dependiente
Es aquella que juega un rol de consecuencia, al ser determinada,
originada o influida por la variable independiente. Esto significa que
no pueden existir variables dependientes sin las independientes.
Considerando el tiempo, las independientes son más antiguas que
las dependientes. Se encuentran en las siguientes investigaciones:
1. Explicativa
26
2. Relacional
3. Correlacinal
4. Experimental (La variable dependiente en una investigación
experimental se le conoce como respuesta)
Ejemplo 13:
En el problema influencia del uso de mapas mentales en el rendimiento
académico de los estudiantes de las I.E de la región de Cusco, 2011.
Variable independiente: Rendimiento Académico
Variable dependiente: Uso de mapas mentales
Variable Intermedia
Es aquella que juega un rol de factor condicionante, pues su
presencia entre la variable independiente y variable dependiente
hace que sin tener el carácter de factor causal o determinante,
modifique le resultado más complejas y de mayor profundidad.
Ejemplo 14:
En el estudio de formación académica y rol de la experiencia en el
desempeño profesional, Quillabamba. 2011.
Variable independiente: formación académica.
Variable Dependiente: Desempeño profesional
Variable Intermedia : Experiencia
Variable interviniente
Es aquella que en ciertas medida juega un rol pasivo en el problema,
pues permite medir las características, atributos, estructuras,
incidencia, elementos o aspectos que se son inherentes.
La variable interviniente, la encontramos en investigaciones:
1. Descriptiva
2. Comparativa.
27
Ejemplo 15:
En el problema: Niveles de desnutrición de los estudiantes de las
instituciones educativas de la ciudad de Sicuani, 2011.
Variable interviniente : Nivel de desnutrición.
Variables Asociadas
Son aquellas que no guardan mayor nivel de dependencia, no hay
relación causal entre ellas y considerando el criterio tiempo vienen a
ser más o menos contemporáneas, pues para que aparezca el
problema surgen de manera simultánea.
Este tipo de variables, se encuentra en la investigación descriptiva
multivariable, se trata de dos o más variables intervinientes, por lo
que nunca van acompañadas de algún otro tipo de variables.
Ejemplo 16:
En el problema: Rasgos sociales y culturales de los profesores de la
ciudad de Cusco , 2011.
Las variables asociadas son rasgos sociales y rasgos culturales
Variables Interdependientes
Son aquellas que indistintamente pueden ser consideradas como
causa o como consecuencia una de otra. Corresponden a la
investigación correlacional.
Ejemplo 17:
En el problema: Correlación entre tipo de alimentación y obesidad
de los estudiantes de la ciudad de Cusco, 2010.
Las variables interdependientes, son tipo de alimentación y obesidad
28
Resumen del tipo de variables según tipo de investigación.
Descriptiva
Interviniente
Asociada
Comparativa
Interviniente
Explicativa
Independiente(s)
Dependiente(s)
Relacional
Independiente
Dependiente
Correlacional
Interdependiente
Interdependiente
Experimental
Estimulo (Factor)
Respuesta
Observaciones:
1. Las variables según su naturaleza se clasifican en cuantitativas y
cualitativas.
2. Las variables según su relación casual se clasifican en:
independiente, dependiente, interviniente.
En el área de las ciencias de la salud, se tiene los siguientes tipos de
investigación biomédica.
1.13 RECOPILACIÓN DE DATOS.
Dentro de un proceso de investigación una de las actividades que se realizan
es la recopilación de datos, la cual es el acopio de información y se incluye
desde elaborar fichas bibliográficas hasta la aplicación de cuestionarios con el
empleo de técnicas de muestreo.
Para Hernández et.al. (2006) un instrumento de medición es un recurso que
utiliza el investigador para registrar información o datos sobre las variables que
tiene en mente.
La construcción de instrumento consiste en generar un número suficiente de
ítems para medir todas las variables con todas sus dimensiones.
La recopilación de datos, se puede realizar mediante:
Investigación documental
Investigación de campo
29
La investigación documental. Consiste en el estudio de documentos
escritos sobre un objeto determinado, es decir son todos aquellos
documentos registrados en diferentes dispositivos físicos a los que
podemos tener acceso en forma directa o indirecta para su consulta y se
puede clasificar en:
1.- Documental bibliográfica 4.- Documental audiográfica
2.- Documental hemerográfica 5.- Documental videográfica
3.- Documental escrita 6.- Documental iconográfica
La investigación de campo. Consiste en obtener información directa
mediante diferentes actividades por contacto directo con el hecho que se
quiere investigar así como las personas relacionadas y se puede
realizar:
a) Por observación directa
b) Por interrogación
La observación. Es el procedimiento empírico básico, el cual consiste
en realizar la percepción intencionada de una actividad determinada
mediante la experimentación la cual consiste en la obtención de datos
cuantitativos por medio de la medición del fenómeno que se este
observando. Para realizar la observación se utilizan diversos
instrumentos auxiliares los cuales son:
1.- La ficha de campo 3.- La entrevista
2.- Estudio de Actividades 4.- La encuesta
La Entrevista. Es una de las técnicas más comunes y es considerada
como la relación directa entre el investigador y el objeto de estudio a
través de individuos o grupos con el fin de obtener testimonios reales.
a) Entrevistas formales
b) Entrevistas informales
La Encuesta. Consiste en recopilar información sobre una parte de la
población.
30
La información recopilada puede emplearse para un análisis cuantitativo
con el fin de identificar las magnitudes del problema.
El Cuestionario. Es un eficaz auxiliar en la observación científica que
contiene aspectos del fenómeno esenciales, las cuales son preguntas
formuladas por escrito y no es necesaria la presencia del investigador.
- Cuestionarios por correo
- Cuestionario administrado por el entrevistado
- Cuestionario administrado por el entrevistador
La Cedula. Tiene carácter de anónimo, donde el encuestador es quien
llena la cedula de entrevista, además de que es posible aclara la
información sobre las preguntas y es utilizada cuando una persona tiene
un bajo nivel cultural.
1.14 VALIDACIÓN DEL INSTRUMENTO
La validación de los instrumentos se realiza con el fin de conseguir una mayor
objetividad al seleccionar los ítems en los respectivos cuestionarios.
VALIDEZ DE CONTENIDO
El proceso de validación de contenido es eminentemente lógico, si bien pueden
utilizarse jueces expertos en el tema para valorar la congruencia entre los
diversos items y los diversos objetivos.
Existen procedimientos cuantitativos diversos para que cada experto valore el
grado en que un ítem sirve para evaluar el objetivo al que corresponde. El
procedimiento cuantitativo más sencillo sería el siguiente:
Especificar los diversos objetivos (v.gr. áreas diferentes de contenidos)
que se Pretenden evaluar.
Elaborar varios ítems para cada objetivo.
Seleccionar una muestra de expertos en el contenido del test.
Pedirles que, según su opinión, asignen cada ítem al objetivo que
pretende medir.
31
Seleccionar los ítems en los que los expertos manifiestan mayor acuerdo
en sus clasificaciones.
CRITERIO DE EXPERTOS
Método 1:HOJA DE PREGUNTAS PARA LA VALIDACIÓN
PREGUNTAS ESCALA DE VALORACION
1. ¿Considera usted que los ítems del instrumento
miden lo que se pretende medir?
1 2 3 4 5
2. ¿Considera usted que la cantidad de ítems
registrados en esta versión son suficientes para
tener una comprensión de la materia de estudio?
1 2 3 4 5
3, ¿Considera usted que los ítems contenidos
en este instrumento, son una muestra representativa del
universo materia del estudio?
1 2 3 4 5
4. ¿Considera usted que si aplicamos en reiteradas
oportunidades este instrumento a muestras similares,
obtendríamos también datos similares?
1 2 3 4 5
5. ¿Considera usted que los conceptos utilizados en
este instrumento, son todos y cada uno de ellos, propios
de las variables del estudio?
1 2 3 4 5
6. ¿Considera usted que todos y cada uno de los ítems
contenidos en este instrumento tienen los mismos
objetivos?
1 2 3 4 5
7. ¿Considera usted que el lenguaje utilizado en
el presente instrumento es claro, sencillo y no da lugar
a diversas interpretaciones?
1 2 3 4 5
8. ¿Considera usted que la estructura del presente
instrumento es adecuada al tipo de usuario a quien se
dirige el instrumento?
1 2 3 4 5
9. ¿Estima usted que las escalas de medición
utilizadas son pertinentes a los objetos materia de
estudio?
1 2 3 4 5
10. ¿Que aspectos habría que modificar, que aspectos tendrían que incrementarse o que aspectos
habría que suprimirse?…………
32
PROCEDIMIENTO
El método DPP mide la adecuación de los instrumentos, para medir la variable
de interés, en función a la valoración de los expertos.
Ejemplo 18.
En el presente estudio la valoración de los expertos es:
Item
EXPERTOS
1 2 3 4 Promedio
1 5 4 5 5 4.75
2 5 5 5 5 5
3 5 4 5 4 4.5
4 5 5 4 4 4.5
5 5 5 5 5 5
6 5 5 5 5 5
7 4 5 3 4 4
8 4 4 5 4 4.25
9 4 4 5 5 4.5
2. Con los promedios hallados, se determina la distancia de punto múltiple
(DPP), mediante la siguiente ecuación:
2 2 2
1 1 2 2 9 9................DPP = (X Y ) +(X Y ) + (X Y )
Donde:
Xi = Valor máximo en la escala para el ítem i.
Yi = El promedio del ítem i.
2 2 25 4.75 5 5 ................ 5 4.5 1.541DPP = ( ) +( ) + ( )
Determinar la distancia máxima (Dmax) del valor obtenido respecto al punto de
referencia Cero (0), con la ecuación:
2 2 2
1 2(1)(1)...................(1)Max nDx x x
Donde:
Xi = Valor máximo en la escala concedido para el ítem i.
1 = Valor mínimo de la escala para cada ítem.
33
2 2 2(5 1) (5 1) ...................(5 1) 12MaxD
La Dmax hallada fue de 12
La Dmax se divide entre el valor máximo de la escala, lo que nos da un valor
de 12/5=2.4
5. Con el valor hallado anteriormente (apartado 4) se construye una nueva
escala valorativa a partir de cero, hasta llegar a Dmax. Dividiéndose en
intervalos Iguales entre si, llamándose con las letras A, B, C, D, y E.
Siendo:
Escala Valoración Valoración de
Expertos
0-2.4 A = Adecuación Total DPP=1.541
2.4-4.8 B = Adecuación en gran medida
4.8-7.2 C = Adecuación Promedio
7.2-9.6 D = Escasa Adecuación
9.6-12 E = inadecuación
6. El punto DPP debe caer en las zonas A o B; en caso contrario, la encuesta
requiere reestructuración y/o modificación, luego de las cuales se somete
nuevamente a juicio de expertos. El valor hallado del DPP fue de 1.541
cayendo en la zona A, lo que indica la Adecuación del instrumento y que
puede ser aplicado.
34
Método 2
Cuadro 1. Formato para validar instrumentos a incluir en el instrumento de
validación.
ÍTEM Criterios a evaluar observaciones
( si debe
eliminarse o
modificarse un
favor indique)
Claridad
En la
redacció
n
Coherencia
interna
Inducción
a la
respuesta
(sesgo)
Lenguaje
Adecuado
Con el nivel
Del
informante
Mide lo
que
pretend
e medir
Si No Si No Si No Si No Si No
1
..
n
Aspectos generales Si No *************
El instrumento contiene instrucciones claras y precisas
para responder el cuestionario
Los ítems permiten el logro del objetivo de la investigación
Los ítems están distribuidos en forma lógica y secuencial
El número de ítems es suficiente para recoger la
información. En caso de ser negativa su respuesta, sugiera
los ítems a añadir
Validez
Aplicable ( ) No aplicable ( )
Validado por:
Firma:
35
1.5.10 CONFIABILIDAD del INSTRUMENTO
Antes de iniciar el trabajo de campo, es imprescindible probar el cuestionario
sobre un pequeño grupo de población. Esta prueba piloto ha de garantizar las
mismas condiciones de realización que el trabajo de campo real. Se
recomienda un pequeño grupo de sujetos que no pertenezcan a la muestra
seleccionada pero sí a la población o un grupo con características similares a la
de la muestra del estudio, aproximadamente entre 14 y 30 personas. De esta
manera se estimará la confiabilidad del cuestionario.
La confiabilidad responde a la pregunta ¿con cuánta exactitud los ítems,
reactivos o tareas representan al universo de donde fueron seleccionados?. El
término confiabilidad “…designa la exactitud con que un conjunto de puntajes
de pruebas miden lo que tendrían que medir” (Ebel, 1977, citado por Fuentes,
op. cit., p. 103).
Entre los métodos para estimar la confiabilidad, se tienen:
Método Test-Retest: una forma de estimar la confiabilidad de un test o
cuestionario es administrarlo dos veces al mismo grupo y correlacionar las
puntuaciones obtenidas.
El coeficiente que se obtiene recibe el nombre de coeficiente de estabilidad
porque denota la coherencia de las puntuaciones en el tiempo
Para un desarrollo adecuado y sean confiables deben variar entre 0,80 y 0,95
(Popham, 1980, citado por Fuentes, op. cit.).
Se usa la correlación por el método de los puntajes directos (Correlación r de
Pearson):
2 22 2*
i i i i
xy
i i i i
n x y x yr
n x x n y y
Donde:
xyr : es el coeficiente de correlación
n: número de sujetos
X: valores de X (1ª aplicación)
36
Y: valores de Y (2ª aplicación)
Método común de división por mitades o Hemitest: este método computa el
coeficiente de correlación entre los puntajes de las dos mitades del test o
cuestionario aplicado. Esto supone que las dos test mitades son paralelos,
tienen igual longitud y varianza entre sí. Se estima a través del coeficiente de
confiabilidad de Spearman-Brown:
Se establece la correlación entre los dos puntajes de las dos mitades del test a
través del método de los puntajes directos, Correlación r de Pearson:
1 2 1 2
122 22 2
1 1 2 2*
n x x x xr
n x x n x x
Estimación del test completo (Spearman-Brown) con la fórmula:
12
12
2
1tt
rr
r
Se interpreta la prueba de hemitest como coeficiente de consistencia
interna, ya que una sola prueba contiene las dos formas equivalentes y su
énfasis lo pone en las puntuaciones de los sujetos, no en los ítemes.
El método de división por mitades de Rulon: utiliza la división del test en
mitades, pero su método no supone necesariamente varianzas iguales en los
sub-tests. coeficiente de consistencia interna.
2
21 d
tt
t
sr
s
Donde:
ttr : coeficiente de confiabilidad
2
ds : varianza de la diferencia entre las puntuaciones de las mitades
2
ts : varianza de las puntuaciones del test total
El método de división por mitades de Guttman: también se denomina
coeficiente de consistencia interna. Su fórmula es:
37
2 2
22 1 a b
tt
t
s sr
s
Donde:
ttr : coeficiente de confiabilidad
2
as : varianza de las puntuaciones de los ítemes pares
2
bs : varianza de las puntuaciones de los ítemes impares
2
ts :varianza de las puntuaciones del test total
ALFA DE CRONBACH
Para evaluar la confiabilidad o la homogeneidad de las preguntas o ítems es
común emplear el coeficiente alfa de Cronbach cuando se trata de alternativas
de respuestas policotómicas, como las escalas tipo Likert; la cual puede tomar
valores entre 0 y 1, donde: 0 significa confiabilidad nula y 1 representa
confiabilidad total. El coeficiente α de Cronbach puede ser calculado por medio
de la varianza de los ítems y la varianza del puntaje total (Hernández Sampieri
et al, 2003). Para calcular el coeficiente de confiabilidad se usó el
”COEFICIENTE ALFA DE CROMBACH ( )” Córdova (2009), cuya ecuación
es:
donde:
: coeficiente de confiabilidad de la prueba o cuestionario
número de ítems del instrumento
: Varianza total del instrumento.
: Sumatoria de las varianzas de los ítems.
Método de Kuder-Richarson 21: permite obtener la confiabilidad a partir de
los datos obtenidos en una sola aplicación del test. La suposición básica es
considerar que todos los ítemes presentan igual varianza. Coeficiente de
consistencia interna.
38
21 21
1 t
M n MnKR
n ns
Donde:
n: número total de ítems
M: media aritmética de las puntuaciones obtenidas por los individuos
2
ts : varianza de las puntuaciones totales
Para la interpretación de la confiabilidad se utiliza el siguiente cuadro:
TABLA DE CATEGORÍAS
ESCALA CONFIABILIDAD
r>0.89
Muy alta
Alta
Aceptable
Moderada
Baja
Muy baja
Despreciable
39
Ejemplo 19.
Determine la confiabilidad, utilizando alfa de cronbach, para la siguiente
información
Encuestados
Preguntas (Ítems) Puntos
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 3
2 0 1 1 1 2 1 1 1 2 2 12
3 0 1 0 2 1 1 0 0 0 0 5
4 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 3
5 0 0 1 1 1 1 2 1 0 0 7
6 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 4
7 0 0 0 2 1 2 2 1 0 2 10
8 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
9 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 3
10 0 1 0 2 2 2 0 2 2 2 13
11 0 0 1 1 1 1 0 1 2 2 9
12 0 1 0 1 2 2 0 2 0 1 9
13 0 0 0 1 2 2 0 0 0 0 5
14 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 6
15 1 1 0 0 0 0 1 0 0 3
Total 3 5 3 17 18 15 5 12 6 9 93
0.17 0.24 0.17 0.42 0.45 0.57 0.53 0.46 0.69 0.83
varianza del instrumento
40
Varianza de cada pregunta
El índice de confiabilidad es alto de conformidad con la tabla de categorías.
BAREMACIÓN DEL INSTRUMENTO, UTILIZANDO ESCALA DE LIKERT.
Para medir la variable de estudio se aplico una encuesta utilizando la escala de
likert, la misma que presenta en cada ítems cinco alternativas, a partir de las
cuales los entrevistados pueden elegir, con la finalidad de señalar su nivel de
acuerdo.
Alternativa Asignación
numérica
a 5
b 4
c 3
d 2
e 1
Para obtener las puntuaciones de la variable de estudio, se suman los valores obtenidos
respecto de cada ítem. El puntaje mínimo (PM) resulta de la multiplicación del número de ítems
(x) por 1. Una puntuación alta (PA) está dada por el número de ítems o afirmaciones
multiplicado por 5.
PM--------------------I----------------------I----------------------I------------------PA
El promedio del puntaje del instrumento se obtiene mediante:
41
PrPuntaje
omedion
Para facilitar la interpretar las puntuaciones de la variable de estudio se transforman a una
escala cualitativa, según el siguiente criterio.
Puntaje Obtenido Categoría
Pr 1.49omedio Deficiente
1.5 Pr 2.5omedio Malo
1.5 Pr 2.5omedio Regular
1.5 Pr 2.5omedio Bueno
Pr 4.5omedio Muy
bueno
BAREMACIÓN DEL INSTRUMENTO, UTILIZANDO ESCALA DE INTENSIDAD.
Para medir las variables de estudio se aplica encuestas, las mismas que
presentan en cada ítem cuatro alternativas, a partir de las cuales los entrevistados
pueden elegir, con la finalidad de señalar su nivel de acuerdo.
El tipo de escala que se utiliza es ordinal (Escala de intensidad), asignación un
valor a cada alternativa como se muestra en el siguiente cuadro:
Alternativa Asignación
numérica
a 4
b 3
c 2
d 1
Con la finalidad de realizar un análisis estadístico de las variables con sus respectivas
dimensiones previamente se realizo la baremación del instrumento (Medición de la
variable)
42
Para medir la variable de estudio (Puntuación), se suman los valores obtenidos respecto de
cada ítem. El puntaje mínimo (PM) resulta de la multiplicación del número de ítems (x) por 1. El
puntaje máximo (PA) está dada por el número de ítems multiplicado por 4.
PM--------------------I----------------------I----------------------I------------------PA
En el cuadro siguiente se muestra el resumen de la puntuación:
Características Puntuación original
Puntuación transformada A escala vigesimal
Nro. de preguntas (Ítems)
m m
Mínimo m 1
Máximo 4m 20
Puntaje Obtenido T x
La puntuación original se transformación a una escala vigesimal utilizando la siguiente relación
11
4m-1 19
xT
Despejando el valor de x, se obtiene la puntuación del individuo en escala vigesimal.
19 11
4 1
Tx
m
Finalmente la escala vigesimal es transformada a una escala cualitativa:
Puntaje
Obtenido
Categoría
0-8 Deficiente
9-10 Malo
11-13 Regular
14-17 Bueno
18-20 Muy
bueno
43
5.11 MATRIZ DE CONSISTENCIA.
Esta referido a la estructura del proyecto de Investigación y que para fines didácticos se presenta en el siguiente esquema:
TITULO:………
PROBLEMA OBJETIVO HIPOTESIS VARIABLES
General
¿…………………….?
Formulación de problemas
específicos.
1. ¿………………….?
2. ¿………………
General
……………
Objetivo específico
..
General
………….
Formulación de hipótesis
operativas.
…
Variable independiente
……………
Variable Dependiente
TIPO DE ESTUDIO POBLACIÓN Y
MUESTRA
RECOLECCIÓN DE DATOS PRUEBAS
ESTADISTICAS
Nivel de investigación….
Tipo de investigación………….
Diseño de investigación………
Población….
Muestra…………
Guía de observación
Cuestionario encuestas
Entrevistas
…………….
VARIABLES DIMENSIONES INDICADORES Ubicación de ítems
…. …….. ………….. ………
44
MODELO DE TESIS
TÍTULO DE LA TESIS:
CAPITULO I: PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
OBJETIVOS
JUSTIFICACIÓN
ORIGINALIDAD:
PERTINENCIA:
RELEVANCIA:
OPORTUNIDAD:
FACTIBILIDAD:
IMPORTANCIA
LIMITACIÓN
ÁREA DE ESTUDIO
DELIMITACIÓN
DELIMITACIÓN ESPACIAL
DELIMITACIÓN TEMPORAL
CAPITULO II: MARCO TEÓRICO
ANTECEDENTES DE ESTUDIO
MARCO CONCEPTUAL
MARCO NORMATIVO
MARCO TEÓRICO
CONCEPTUALIZACIÓN EN TÉRMINOS
HIPÓTESIS DE INVESTIGACION.
CAPITULO III: DISEÑO METODOLÓGICO
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
45
NIVEL DE INVESTIGACIÓN
TIPO DE NVESTIGACION.
DISEÑO DE INVESTIGACIÓN
POBLACIÓN Y MUESTRA
VARIABLES
OPERACIONALIZACIÓN DE VARIABLES
TÉCNICAS E INSTRUMENTOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS
TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE DATOS.
CAPITULO IV: PRESENTACION DE RESULTADOS
CONCLUSIONES
RECOMENDACIONES
BIBLIOGRAFIA
ANEXOS
46
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. Influencia del uso de materiales didácticos en el rendimiento académico de
los estudiantes de la ciudad de Cusco. Especifique.
a. La(s) variable(s) de estudio y el tipo de variable.
b. La escala de medición a emplear.
c. Nivel de investigación.
d. Tipo de investigación
e. Diseño de investigación
2. Se realizo el estudio de la calidad de vida y servicio educativo de los
profesores de las I.E de la UGEL Cusco. Especifique
a. Proponer un titulo para esta investigación.
b. La(s) variable(s) de estudio y el tipo de variable.
c. La escala de medición a emplear.
d. Nivel, tipo y diseño de investigación.
3. Se hizo una encuesta a una muestra representativa de profesores de la
UGEL La Convención sobre el nivel de acuerdo con la carrera pública
magisterial propuesta por el gobierno.
Carrera publica magisterial. Frecuencia
Totalmente de acuerdo 15
De acuerdo 40
Indeciso 25
En desacuerdo 10
Totalmente en desacuerdo 6
En base a la información, realice el análisis correspondiente.
4. Clasificar cada una de las siguientes variables :
a. Rendimiento Académico (Bajo, Medio, Alto).
b. Sexo.
c. Edad.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
47
d. Nivel educativo (primario secundario, superior).
e. Años de estudios completados.
f. Tipo de enseñanza (privada o pública).
g. Estrato social (bajo, medio o alto).
h. Numero Telefónico
i. Numero de DNI de un profesor.
j. Método de enseñanza.
k. Nivel de congruencia entre la sumilla y el silabo.
5. En los siguientes temas de investigación
Causas de la deserción escolar en la Región Cusco, 2011.
Influencia del Uso de TIC en el rendimiento académico de los
estudiantes de la carrera Profesional de Educación, Universidad A,
2011.
Calidad de vida y desempeño pedagógico de los profesores de la
UGEL Cusco, 2011.
Elabore la matriz de consistencia para cada uno de los casos.
6. Se aplico un test para medir la competitividad del magisterio a una
muestra piloto de 5 profesores, obteniendo los siguientes resultados.
Profesor Ítems
1 2 3 4 5 6
1 1 0 1 0 0 0
2 0 0 1 1 0 1
3 1 0 0 1 1 1
4 1 0 1 1 0 0
5 0 0 1 0 1 1
Determine la confiabilidad y validez del instrumento.
48
CAPITULO II
ORGANIZACIÓN Y PRESENTACIÓN
La presentación de datos a través de tablas estadísticas es una actividad
importante dentro de los sistemas de información, estas se fortalecen
significativamente cuando se la acompañan con gráficos descriptivos ilustrativos.
En el contexto de los sistemas de información, en más de una oportunidad se
encontrara que un buen grafico resume y expresa mucho más que párrafos
completos de comentarios e interpretaciones literales.
Resumir los datos es un procedimiento útil para conseguirlo y puede hacerse
mediante tablas, gráficos o valores numéricos. A lo largo de este tema veremos las
principales técnicas numéricas y gráficas que nos permiten describir una
característica de interés observada en una población, poniendo en relieve sus
rasgos más importantes.
2.1 TABLA DE FRECUENCIAS.
Un primer resumen de la información contenida en un conjunto de datos
observado se obtiene al organizarlos en lo que se llama una tabla de
frecuencias. En ésta se recogen los distintos valores (números o categorías)
que toma la variable junto con sus correspondientes frecuencias de aparición.
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49
2.1.1 TABLA DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUALITATIVAS
Si en una muestra de n elementos, se observa k categorías diferentes C1,
C2,…, Ck de una variable cualitativa X.
Para resumir la información, previamente definimos algunos conceptos:
La frecuencia absoluta de un valor Ci es el número de veces que dicho valor
aparece en la muestra. Se representa por fi y cumple
1 2
1
......k
ki
i
f f f f n
La frecuencia relativa de un valor Ci es el cociente de la frecuencia absoluta
(fi) entre el tamaño de la muestra (n), se representa por hi
ii
fh
n, se cumple
1
1k
i
i
h
La frecuencia absoluta acumulada del valor i-ésimo es la suma de las
frecuencias absolutas hasta dicho valor, se denota por Fi
1 2 ...... iiF f f f
La frecuencia relativa acumulada del valor i-ésimo es la suma de las
frecuencias relativas hasta dicho valor, se denota por Fi
1 2 ...... iiH h h h , ii
FH
n
Una tabla de frecuencias tiene la siguiente estructura:
50
Categoría
de la
variable X
Frecuencias
absolutas
fi
Frecuencias
relativas
hi
Frecuencias
Porcentuales
pi
frecuencias
absolutas
acumuladas
Fi
frecuencias
relativas
acumuladas
Hi
C1 f1 h1 p1 F1 H1
C2 f2 h2 pi F2 H2
…. … … … … …
Ck fk hk pk Fk=n Hk=1
Total n 1.00 100.00
GRAFICAS.
Las representaciones gráficas prácticamente están orientadas de acuerdo con
las necesidades del investigador o estadístico, de todas formas se tienen
algunas normas de trabajo y representación, que tienen por objeto facilitar la
lectura de los datos e información que se maneja estadísticamente.
La calidad de un gráfico estadístico consiste en comunicar ideas complejas
con precisión, claridad y eficiencia, de tal manera que:
• Induzca a pensar en el contenido más que en la apariencia
• No distorsione la información proporcionada por los datos
• Presente mucha información (números) en poco espacio
• Favorezca la comparación de diferentes grupos de datos o de relaciones
entre los mismos (por ejemplo una secuencia temporal)
La finalidad de los gráficos estadísticos es:
– Organizar los datos.
– Observar patrones.
– Observar agrupamientos.
– Observar relaciones.
– Comparar distribuciones.
– Visualizar rápidamente la distribución de los datos.
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51
– Visualizar, obtener y comparar medidas estadísticas.
El cuadro anterior se puede representar utilizando los siguientes gráficos.
Diagrama de barras o rectangulos
Es la representación gráfica usual para variables cuantitativas sin agrupar o
para variables cualitativas.
Para el caso de variables cualitativas se construye dibujando sobre la
categoría correspondiente un rectángulo con altura igual a la frecuencia
(absoluta o relativa). También es válido para variables cuantitativas discretas,
considerando en el eje de abscisas los valores de la variable en orden
creciente en lugar de las categorías, sobre cada valor levantamos una barra
de altura igual a la frecuencia (absoluta o relativa).
Diagrama de Pareto.
Se ordenan las categorías de mayor a menor importancia y se dibujan los
rectángulos correspondientes.
Diagrama de sectores.
Es el más usual en variables cualitativas. Se representan mediante
círculos. A cada valor de la variable se le asocia el sector circular
proporcional a su frecuencia.
Para hallar el ángulo usamos la siguiente proporción: al tener una
circunferencia 360º, el cociente entre la frecuencia absoluta (o relativa) total y
la frecuencia absoluta (o relativa) que queramos representar será igual al
cociente entre los 360º de la circunferencia y el ángulo a determinar, así :
360º 1 360º
i i
n
f h
Donde es el ángulo a determinar.
Pictogramas.
Expresan con dibujos alusivos al tema de estudio las frecuencias de las
modalidades de la variable. La escala de los dibujos debe ser tal que el área
52
de cada uno de ellos sea proporcional a la frecuencia de la modalidad que
representa.
2.1.2 TABLA DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS
DISCRETAS
Una vez obtenida una muestra de cualquier población y observados los
valores que toma la variable en los individuos de la muestra, estos valores se
suelen ordenar. Si la variable es cuantitativa la ordenación será de menor a
mayor.
Dada una variable X, consideramos una muestra de tamaño n que toma k
valores distintos, x1, . . . , xk (x1 < x2 < . . . < xk).
La organización es en forma similar al caso cualitativo.
Categoría
de la
variable
X
Frecuencias
absolutas fi
Frecuencias
relativas hi
Frecuencias
Porcentuales
pi
frecuencias
absolutas
acumuladas
Fi
frecuencias
relativas
acumuladas
Hi
x1 f1 h1 p1 F1 H1
x2 f2 h2 pi F2 H2
…. … … … … …
xk fk hk pk Fk=n Hk=1
Total n 1.00 100.00
La grafica para representar esta información es Bastones.
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53
Observaciones
Los datos iniciales se pueden representar utilizando los gráficos.
Diagrama de cajas(box-plot)
Presentación visual que describe al mismo tiempo varias características
importantes de un conjunto de datos, tales como el centro, la dispersión, el
alejamiento de la simetría, y la identificación de valores extremos (puntos
atípicos), es decir, de valores que se alejan de una manera poco usual del
resto de los datos. Presenta los tres cuartiles, (y los valores mínimos y
máximos) alineados sobre una caja vertical u horizontalmente. El
procedimiento Para el diagrama de cajas y bigotes es:
1. Dibujar un segmento con extremos en los valores menor y mayor que
aparecen en la muestra paralelo a uno de los ejes .
2. Dibujamos una caja con extremos en el primer y tercer cuartil y marcamos
en ella la mediana.
3. Se hallan los límites interiores (Q1 – 1.5 IQR y Q3 + 1.5 IQR) y los límites
exteriores (Q1 – 3 IQR y Q3 + 3 IQR).
Donde Qi : Cuarteles que seran desarrollados más adelante.
4. Se unen, con unos segmentos (bigotes), Q1 y Q3 con los valores adyacentes
de la muestra.
5. Por último se indican los valores atípicos
Tallos y Hojas (stem & leaf)
Procedimiento semigráfico para el que se preparan los datos resumiéndolos
en dos o tres cifras (expresándolos en las unidades adecuadas). A
continuación se disponen en una tabla de dos columnas del siguiente modo:
1. Si los datos son de dos dígitos, a la izquierda (en el tallo) aparece la cifra
de las decenas, a la derecha separada por una línea aparecen las hojas y se
escriben ordenadas y todas seguidas.
2. Si hay tres dígitos el tallo está formado por los dos primeros. Las hojas son
las unidades.
54
2.1.3 TABLA DE FRECUENCIAS PARA VARIABLES CUANTITATIVAS
CONTINUAS.
A veces se hace necesario trabajar con datos agrupados. Definimos entonces
como clase a cada uno de los intervalos en que se agrupan los datos. Las
frecuencias harán ahora referencia al número de datos que hay en cada
intervalo.
Para construir distribución de frecuencias por intervalos, se tiene los
siguientes pasos:
Elegir un numero de intervalos de clase (K)
Puede utilizar la regla de Sturges, 1 3.3log( )k n
Donde k: Numero de intervalos.
n: Numero de datos.
Determinar el rango , max minR x x
Determinar la amplitud de las clases /A R k
Determinación de los intervalos:
1 min min 1 1, ,I x x A LI LS
2 min min 2 2, 2 ,I x A x A LI LS
………………………..
min min( 1) , ,k k kI x k A x kA LI LS
Determinación de las marcas de clase, 2
i ii
LI LSm
Donde LI : Limite inferior
LS : Limite superior.
Realizar la clasificación y el conteo de datos en cada clase construida.
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55
Intervalos
Ii
Marcas
de clase
mi
Frecuencia
s absolutas
fi
Frecuencia
s relativas
hi
Frecuencias
relativas
hi
Frecuencias
Porcentuales
pi
frecuencias
absolutas
acumuladas
Fi
frecuencias
relativas
acumuladas
Hi
I1 m1 f1 h1 h1 p1 F1 H1
I2 m2 f2 h2 h2 pi F2 H2
…. … … … … … … …
Ik mk fk hk hk pk Fk=n Hk=1
Total n 1.00 1.00 100.00
Cuando las variables son continuas, utilizamos como diagramas diferenciales
los histogramas y los polígonos de frecuencias.
Este cuadro se representa mediante los siguientes gráficos:
Histograma de frecuencias
Un histograma es la representación más frecuente con datos agrupados, se
construye a partir de la tabla estadística, representando sobre cada intervalo,
un rectángulo que tiene a este segmento como base. El criterio para calcular
la altura de cada rectángulo es el de mantener la proporcionalidad entre las
frecuencias absolutas (o relativas) de cada intervalo y el área de los mismos.
Polígono de frecuencias
El polígono se construye fácilmente si tenemos representado previamente el
histograma, ya que consiste en unir mediante líneas rectas los puntos del
histograma que corresponden a las marcas de clase. Para representar el
polígono de frecuencias en el primer y último intervalo, suponemos que
adyacentes a ellos existen otros intervalos de la misma amplitud y frecuencia
nula, y se unen por una línea recta los puntos del histograma que
corresponden a sus marcas de clase.
Curva de frecuencias.
Resulta de suavizar el polígono de frecuencias, en sus puntos angulosos.
Ojivas
56
EJERCICIOS RESUELTOS
1) En un estudio realizado sobre el impacto que presenta aplicar una estrategia
comercial en las ventas , se obtuvo siguiente información en el incremento
mensual de utilidades en miles de soles de 90 sucursales de la empresa.
12.2 16.4 17.8 18.4 19 19.5 20 20.9 23
13.1 16.8 17.8 18.4 19.1 19.5 20 20.9 23
14.3 16.9 17.8 18.4 19.1 19.7 20.2 21 23.2
15.5 17.1 17.8 18.4 19.2 19.7 20.3 21.1 23.3
15.5 17.2 18 18.5 19.2 19.7 20.3 21.4 23.5
15.6 17.3 18.1 18.5 19.3 19.7 20.5 21.6 23.5
15.9 17.4 18.2 18.5 19.3 19.7 20.6 21.7 24.1
16.1 17.6 18.3 18.5 19.4 19.8 20.6 22 24.2
16.2 17.8 18.3 18.8 19.4 19.9 20.8 22.4 24.8
16.2 17.8 18.3 19 19.5 19.9 20.8 22.7 26.2
a) Construya la tabla de distribución de frecuencias
b) Represente la información obtenida, mediante un grafico.
Solución.
a) Para construir una tabla de frecuencia se tiene los siguientes pasos.
Elegir el número de clases.
Usando la relación de sturges se tiene:
1 3.3log( ) 1 3.3log(90) 7.44 7k n
Determinar la amplitud de los intervalos
max min 26.2 12.2 14R x x
Determinar el tamaño del intervalo de clases (c),
14
A 27
R
k
Establecimiento de los límites y construcción de la tabla:
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57
LI - LS mi fi Fi hi= fi/n pi Hi
[12.2 – 14.2) 13.2 2 2 0.02 2.22 0.02
[14.2 – 16.2) 15.2 6 8 0.07 6.67 0.09
[16.2 – 18.2) 17.2 18 26 0.2 20 0.29
[18.2 – 20.2) 19.2 36 62 0.4 40 0.69
[20.2 – 22.2) 21.2 16 78 0.18 17.8 0.87
[22. 2– 24.2) 23.2 9 87 0.1 10 0.97
[24.2 – 26.2) 25.2 3 90 0.03 3.33 1
TOTAL n=90 1 100
b) Histograma de frecuencias relativas.
Histograma
12 15 18 21 24 27
0
10
20
30
40
fre
cu
en
cia
2.- SUNAT pone a disposición de sus clientes cuatro nuevos planes de
tributación. La gerencia desea saber si se nota alguna preferencia por uno u
otro tipo de tributación. A continuación se presenta los resultados de la
encuesta aplicada a 37 usuarios.
D, A, D, B, C, D, D, A, D, D, A, D, B, D, D, C, A, B, A, D, D, D A, C, B, A, A, B,
D, C, B, A, B, B, D, A, D.
Represente la información mediante un gráfico apropiado.
58
Solución.
Tipo de capital. fi hi Pi
A 10 0.2703 27.03
C 4 0.1081 10.81
B 8 0.2162 21.62
D 15 0.4054 40.54
Total n=37 1 100
0
3
6
9
12
15
fre
cu
en
cia
{[}
{\}
{]}
{^}
{_}
{`}
A B C D
T ributación
A
B
C
D
27.03%
21.62%
10.81%
40.54%
3.- Se realizo un estudio sobre el tipo de error en la facturación en la ciudad de
Cusco, registrándose los siguientes resultados.
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59
Tipo de Error en la facturación
45 22.4
70 34.8
86 42.8
201 100.0
Calculo
Concepto
Otros
Total
Frecuencia Porcentaje
Represente gráficamente la información.
Po
rcen
taje
50
40
30
20
10
0
Tipo de error en la facturación
OtrosConceptoCalculo
4.- En una ciudad, se realizo un estudio sobre el conocimiento que presentan los 41
administradores de empresa, respecto a planes de marketing. Los resultados
se muestran a continuación.
Conocimiento
26 63.4
8 19.5
7 17.1
41 100.0
Deficiente
Regular
Bueno
Total
Frecuencia Porcentaje
60
Represente la información mediante un grafico.
Po
rcen
taje
60,0%
40,0%
20,0%
0,0%
Conocimiento
BuenoRegularDeficiente
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Los datos del Cuadro siguiente corresponden a saldos en cuenta corriente de 48
empresas en miles de soles.
87 106 114 120 129 140 155 183
93 107 116 122 133 141 155 194
101 107 117 122 133 146 162 197
104 109 118 125 134 146 167 204
105 110 118 125 135 148 173 212
105 114 119 128 138 152 176 230
a) Construya la tabla de frecuencias.
b) Grafique el histograma.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
61
c) Establezca si los datos siguen una distribución simétrica.
2. En una muestra aleatoria de 35 pequeños empresarios, se determino la
inversión que estos realizan en la bolsa de valores , obteniéndose los siguientes
resultados en miles de soles :
34,35,36,36,38,38,38,39,39,39,39,40,40,40,40,40,41,41,41,41,42,42,42,
42,44,44,44,44,44,45,45,47,47,48,50.
a) Identifique los siguientes conceptos:
i) Población analizada. iii) Variable en estudio.
ii) Elementos de la población. iv) Tipo de dato analizado.
b) Construya una tabla de frecuencias completa e interprete: 3 4 5 4, , ,n f N F
c) Construya un gráfico estadístico adecuado para la tabla construida en la parte a)
e interprételo.
d) Se desea determinar el porcentaje de empresarios cuya inversión, pertenece al
intervalo 2 , 2X XX S X S .
e) Determine el porcentaje exacto de empresarios con una inversión que fluctue
entre 39.5 y 42.5 miles de soles.
3.- Se llevó a cabo un estudio de mercado con el fin de describir el nivel de
consumo mensual en unidades, de los compradores de cierto producto de
venta masiva. Para ello se realizó una encuesta a un grupo de individuos
elegidos al azar y los datos reunidos se muestran a continuación: 4, 8, 4, 6, 8, 6,
7, 7, 7, 8, 10, 9, 7, 6, 10, 8, 5, 9, 6, 3, 7, 6, 4, 7, 6, 9, 7, 4, 7, 6, 8, 8, 9, 11, 8, 7, 10, 8, 5,
7, 7, 6, 5, 10, 8, 9, 7, 5, 6, 5.
a).- Construir una distribución de frecuencias de estos pesos.
b).- Encontrar las frecuencias relativas.
c).- Encontrar las frecuencias acumuladas.
d).- Encontrar las frecuencias relativas acumuladas.
f).- Dibujar un histograma con los datos de la parte a).
g).- ¿Por qué se ha utilizado un histograma para representar estos datos, en lugar
de una gráfica de barras
62
5.- SUNAT esta realizando un estudio sobre la evasión de impuestos por parte de
una empresa, con tal fin se realiza una auditoria respecto al volumen mensual
de las ventas de los últimos 50 meses.
110 110 126 112 117 113 135 107 122
113 98 122 105 103 119 100 117 113
124 118 132 108 115 120 107 123 109
117 111 112 101 112 111 119 103 100
108 120 99 102 129 115 121 130 134
118 106 128 94 114
a).- ¿Cuál es la amplitud total de la distribución de los datos?
b).- Obtenga la distribución de frecuencias absolutas y relativas.
c).- Obtenga la distribución de frecuencias acumuladas, absolutas y relativas, con
los intervalos anteriores.
d).- Calcular la media y la varianza con los intervalos del apartado b y después
calcúlense las mismas magnitudes sin ordenar los datos en una tabla
estadística. ¿Con qué método se obtiene mayor precisión?
e).- Dibuje el polígono de frecuencias relativas.
f).- Dibuje el polígono de frecuencias relativas acumuladas.
9.- El gerente de ventas de una empresa a registrado los siguientes montos de sus
ventas diarias en cientos de soles:
24.1 21.0 26.6 26.0 25.7 21.8 20.9 20.4 20.0
28.8 20.2 25.9 21.2 26.2 22.0 24.2 24.7 20.7
25.9 26.7 30.0 24.0 21.3 26.6 21.0 22.1 21.8
21.8 22.9 21.6 25.3 24.9 25.9 26.5 25.4 22.4
a) Construya una distribución de frecuencia con 5 clases. Incluya los limites
dados, la frecuencia absoluta y la frecuencia relativa acumulada "a menos
de".
b) Dibuje el polígono de frecuencias.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
63
10.- Suponga que usted es el estadístico oficial de líneas aéreas KLM y que el
presidente del consejo de administración le ha pedido que recoja y organice datos
relativos a las operaciones de vuelo. Su interés principal a partir de los valores
diarios se centra en la variable de número de pasajeros.
Ha obtenido estos datos de los diarios de vuelo de los últimos 50 días y ha
reflejado esta información:
68 72 50 70 65 83 77 78 80 93 71 74 60 84 72 84 73 81 84 92 77 57 70 59 85 74 78 79 91
102 83 67 66 75 79 82 93 90 101 80 79 69 76 94 71 97 95 83 86 69
a. Construir la tabla de distribución de frecuencias.
b. Construir un histograma y un polígono de frecuencias.
c. Construir una ojiva.
11.- U asesor de una pequeña empresa de corretaje, intenta diseñar programas de
inversión que fuesen atractivos para jubilados. El asesor sabe que si un
inversionista potencial pudiera obtener un cierto nivel de intereses, estaría
dispuesto a invertir su capital, pero debajo de un cierto nivel de intereses, no
estaría dispuesto a hacerlo. De un grupo de 50 sujetos, el asesor obtuvo los datos
siguientes con respecto a los diferentes niveles de réditos requeridos por cada
individuo para que pueda invertir 1000 dólares:
Punto de diferencia ($) fi
70 – 75)
75 – 80)
80 – 85)
85 – 90)
90 – 95)
95 – 100)
100 – 105)
105 – 110)
2
5
10
14
11
3
3
2
a. Construya la distribución de frecuencia acumulativa.
b. Grafique la distribución de la parte (a) convirtiéndola en ojiva de
frecuencia relativa.
64
c.
CAPITULO III
MEDIDAS DESCRIPTIVAS DE UNA DISTRIBUCIÓN DE
DATOS
Las técnicas estudiadas anteriormente permiten una descripción visual de la
distribución de una variable. En muchos casos, el resumen puede hacerse
eficazmente de una forma más sencilla y precisa: utilizando valores numéricos que
den idea de la ubicación o del centro de los datos -medidas de posición- usando
cantidades que informen de la concentración de las observaciones alrededor de
dicho centro -medidas de dispersión- y mediante números que reflejen la forma
(asimetría y apuntamiento) de la distribución -medidas de forma.
La conjunción de técnicas numéricas y gráficas permite una buena descripción de
la variable.
Los estadísticos resúmenes tratan de reflejar numéricamente distintos aspectos de
la variable en estudio. Podemos distinguir 4 aspectos o características principales
que pueden resumirse en una distribución. (Ver cuadro siguiente)
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
65
Medidas
descriptivas
Centralización
Media Nos dan un centro de
la distribución de
frecuencias
Mediana
Moda
Posición
Percentiles Son valores de la
distribución que
dividen en partes
iguales
Cuartiles
Deciles
Dispersión
Varianza Las medidas de
dispersión cuantifican
la separación, la
dispersión, la
variabilidad de los
valores de la
distribución respecto al
valor central
Desviación típica
Coeficiente de variación
Rango
Recorrido Intercuartilico
Forma
Coeficiente de Asimetría Comparan la forma
que tiene la
representación gráfica
Coeficiente de Apuntamiento
o Curtosis
3.1 Medidas de tendencia central
Los promedios o medidas de tendencia central son valores representativos de
un conjunto de datos. Pretenden resumir todos los datos en un único valor.
Las medidas de tendencia central son fundamentales ya que permiten
localizar cuantitativamente la zona central o de mayor acumulación de
información de un conjunto de datos correspondientes a una variable,
obtenidos de una muestra seleccionada de una población específica o de un
conjunto de resultados del espacio muestral de un experimento aleatorio.
Definimos tres medidas de tendencia central: media, mediana y moda.
66
Media, ( x )
Media para datos sin agrupar:
Dado un conjunto de observaciones x1, . . . , xn, la media se representa
mediante x , se obtiene mediante:
1 2 1.....
n
i
n i
xx x x
xn n
Media para datos agrupados
Consideremos el caso en que tenemos una distribución de frecuencia para
variables cuantitativas discretas, en este caso la media es:
1 1 2 2
1
..... kk k
i i
i
f x f x f xx x h
n
Si los datos están agrupados por intervalos, para hallar la media tomamos la
marca de las clases,
1 1 2 2
1
..... kk k
ii
i
f m f m f mx h m
n
La media se mide en las mismas unidades que la variable, y tiene el
inconveniente de verse muy afectada por la presencia de datos que sean
extremadamente grandes o pequeños (datos atípicos).
Mediana, (Me)
Se calcula para variables cuantitativas; es el valor de la serie de datos que se
sitúa justamente en el centro de la muestra una vez se ha ordenado ésta,
corresponde a un 50% de valores son inferiores y otro 50% son superiores.
Mediana para datos sin agrupar
La mediana es el valor del dato central y depende del tamaño de la muestra.
1
2
nMe x , para n impar
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
67
12 2
2
n nx x
Me , Si n es par.
Mediana para datos agrupados
Cuando trabajamos con variables agrupadas por intervalos es imposible
determinar con precisión los valores que toman los datos, ya que esa
información se ha perdido en privilegio del agrupamiento intervalo. Por lo
tanto, en este caso, debemos buscar otro método para determinar el valor de la
mediana.
110.52
ii
i i
nF
HMe LI A LI A
f h
La mediana sólo tiene en cuenta la posición de los valores en la muestra y por
lo tanto tiene mejor comportamiento que la media cuando hay observaciones
anómalas.
Moda, (Mo)
Es el valor con mayor frecuencia. Si hay más de una moda, la variable se dice
multimodal y puede calcularse para cualquier tipo de variable (Cuantitativas o
cualitativas).
Si los datos están agrupados hablamos de clase modal y será aquella para la
que la frecuencia absoluta sea mayor.
11
1 2 1 1
i i
i i i i
f fMo LI A LI A
f f f f
Donde:
1 1i if f
1 1i if f
68
¿Cómo elegir entre las medidas de tendencia central?- En general, la media
es la medida de tendencia central más útil y más empleada. El uso de la media
es el más apropiado cuando y la distribución de los datos es unimodal y
aproximadamente simétrica. Cuando valores extremos distorsionan la
distribución de los datos, el uso de la mediana es más apropiado pues se ve
menos afectada, pero en la práctica esta medida de tendencia central no se
utiliza demasiado. Si se trata de una variable ordinal, o sólo necesitas una
descripción rápida y aproximada de la tendencia central, puedes utilizar la
moda, que también es útil cuando la distribución está distorsionada por
valores extremos o la distribución es bimodal.
Clases de Distribuciones
Distribución Simétrica se presenta si todas las observaciones están
concentradas en un solo valor de la variable, en este caso la media, mediana y
moda coincidirían en el mismo.
x Me Mo
Distribución asimétrica sesgada a la izquierda
Supongamos ahora que las observaciones de la parte izquierda se alejan del
valor central más que las observaciones de la parte derecha, generando una
distribución asimétrica hacia la izquierda; en este caso como la media es la
suma de los valores de las observaciones dividido por la cantidad total de
observaciones, su valor se correrá a la izquierda también y por el mismo
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
69
motivo, la media será menor que la mediana y ambas menor que la moda, es
decir:
x Me Mo
Distribución asimétrica sesgada a la derecha.
En este caso la media, es mayor que la mediana y que la moda.
Mo Me x
.
3.2 Medidas de Posición.
Cuartiles
Dividen la muestra, ordenada de menor a mayor, en 4 partes iguales, y se
denotan por Qi , i=1,2,3
1
.
4k
i i
k
i nF
Q LI Af
- Q1, primer cuartil, al menos el 25% de los datos son menores o iguales
que él y al menos el 75% de los datos son mayores o iguales que él.
- Q2, segundo cuartil, es la mediana, Q2 = Me.
- Q3, tercer cuartil, al menos el 75% de los datos son menores o iguales
que él y al menos el 25% de los datos son mayores o iguales que él.
Percentiles
Dividen la muestra ordenada en 100 partes iguales.
70
1
.
100k
i i
k
i nF
P LI Af
El i-ésimo percentil, Pi (1 99i ) es un valor tal que al menos el i% de los
datos son menores o iguales que él y al menos el (100-i) % de los datos son
mayores o iguales que él.
A partir de las definiciones de los cuartiles y percentiles, es claro que Q1 =
P25, Q2 = P50 =Me y que Q3 = P75.
Deciles
Dividen el conjunto de datos en 10 partes iguales y se denota con Di , i=1,…9
1
.
10k
i i
k
i nF
D LI Af
3.3 Medidas de dispersión
Mientras los estadísticos de tendencia central nos indican los valores
alrededor de los cuales se sitúan un grupo de observaciones, los estadísticos
de variabilidad o dispersión muestran si los valores de las observaciones
están próximos entre sí o están muy separados. Dos conjuntos de datos
pueden tener la misma localización central y no obstante, ser muy distintos si
uno se halla más disperso que el otro.
La dispersión es el grado en que los datos numéricos tienden a extenderse
alrededor de un valor medio. La dispersión de la distribución suministra
información complementaria que permite juzgar la confiabilidad de nuestra
medida de tendencia central. Si los datos están ampliamente dispersos, la
localización central será menos representativa de los datos en su conjunto de
lo que sería en el caso de datos que se acumulasen más alrededor de la
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
71
media. Además, si no conviene tener una amplia dispersión de valores
respecto al centro o si esa dispersión implica un riesgo inaceptable,
deberemos ser capaces de reconocerlo y no escoger las distribuciones que
presentan la máxima dispersión.
Por ejemplo, a los analistas financieros les interesa la dispersión de las
ganancias de una empresa, las utilidades con una fuerte dispersión indican
un riesgo mayor parar los accionistas que las utilidades que permanecen
relativamente estables.
Varianza.
Sólo tienen sentido para variables cuantitativas y se define:
2 2
2 21 1
n n
i i
i i
x x x
S xn n
, Para datos no tabulados.
2 2
2 21 1
n n
i i i i
i i
x x f f x
S xn n
, Para datos tabulados de variable discreta
2 2
2 21 1
n n
i i i i
i i
m x f f m
S xn n
, Para datos tabulados por intervalos, para
variables continuas.
Observaciones sobre la varianza:
Las unidades de la varianza son los cuadrados de las unidades de los datos
y en muchas ocasiones no son fáciles de interpretar.
Puede sufrir un cambio desproporcionado por la existencia de valores
extremos en el conjunto.
Desviación típica (S)
Es la raíz cuadrada positiva de la varianza
2s s
72
La desviación típica poblacional suele denotarse por .
Observaciones sobre la desviación típica:
Nos permite determinar con mayor grado de precisión dónde se sitúan los
valores de una distribución de frecuencia en relación con la media.
Las unidades de la desviación típica se expresan en las mismas unidades de
los datos.
Puede sufrir un cambio desproporcionado por la existencia de valores
extremos en el conjunto.
Variables tipificadas
Los distintos conjuntos de datos están asociados por lo general a diferentes
medias, ya sea porque son de naturaleza diferente (escalas de medidas
diferentes). Con el propósito de reducir los datos a un mismo punto de
referencia y a una escala común, se realiza entre ellos una transformación
llamada tipificación.
Se conoce por tipificación de una variable “x” a efectuar el cambio de origen
y de escala de la variable.
Fórmulas:
población para -x
z
muestras para s
xxz
Esta nueva variable (z), carece de unidades de medida y permite comparar
dos o más cantidades que en un principio no son comparables porque aluden
a conceptos diferentes. También es aplicable a casos en que se quieran
comparar individuos semejantes de poblaciones diferentes. Por ejemplo, si
deseamos comparar el nivel académico de dos estudiantes de diferentes
universidades, nos indica cuántas desviaciones estándar está un valor por
arriba o por debajo de la media del conjunto de datos al cual pertenece.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
73
Ejemplo:
Un Docente de la Universidad A obtuvo 84 puntos en sistemas de tributación
, en el que la nota media fue 76, y la desviación típica 10; Otro Docente de la
Universidad B obtuvo 90 puntos, siendo la media 82 y la desviación típica 16.
¿ Cual de los Docentes presenta mejor nivel de conocimientos de sistemas de
tributación?.
Docente de la
Universidad A
Docente de la
Universidad B
x = 76
s = 10
x = 84
z = 8,010
7684
x = 82
s = 16
x = 90
z = 5,016
8290
Sobresalió más el Docente de la Universidad A.
Coeficiente de variación Muestral de Pearson
Las medidas de dispersión anteriores dependen de las unidades de medida,
el coeficiente de variación es, en cambio, una medida de dispersión relativa y
adimensional.
|| X
SCV
CV es apropiado en poblaciones donde los datos son positivos.
Si 0<CV<1.5, los datos provienen de una población homogénea
Si CV>1.5, los datos provienen de una población heterogénea.
El coeficiente de variación es útil, en razón de su carácter adimensional, para
comparar muestras con medias desiguales, donde las unidades de medida de
las observaciones son diferentes. También para decidir cual muestra es más
homogénea o menos variable
74
Recorrido o rango
Es la diferencia entre el mayor y menor valor de una muestra.
max minR x x
Rango semiintercuartílico y amplitud intercuartil
El rango semiintercuartílico es la mitad de la diferencia entre el tercer y
primer cuartil, Q = (Q3 – Q1)/2.
La amplitud intercuartil es el doble del valor anterior,
2Q = IQR = (Q3 – Q1).
¿Cómo elegir entre las medidas de dispersión?- La medida de dispersión
más útil es la desviación típica. Sólo debes usar el rango cuando dispones de
pocas medidas o cuando todo lo que necesitas conocer es la dispersión
general de las medidas. Utiliza el coeficiente de variación cuando quieras
tener una idea de la variabilidad relativa de dos o más variables cuyas
medias son muy diferentes en magnitud. Esto se ve facilitado por su carácter
adimensional, es decir, no depende de las unidades en que se mida la media
3.4 MEDIDAS DE FORMA
Miden la mayor o menor cantidad de datos que se agrupan en torno a la
moda y Hacen referencia a la forma de la distribución, simétrica, asimetría a
la derecha o a la izquierda. En general la mejor manera de verlo es por la
representación gráfica, pero si no la tenemos existen coeficientes que nos
indican la forma de la distribución. Los más utilizados son:
Coeficiente de asimetría de Pearson,
El coeficiente de asimetría de una variable mide el grado de asimetría de la
distribución de sus datos en torno a su media, es adimensional y se define
como sigue:
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
75
op
x MA
S
Este coeficiente puede ser:
0pA , entonces la media igual que la moda, distribución simétrica
0pA , entonces la media mayor que la moda, asimetría a la derecha
positiva
0pA , entonces la media menor que la moda, asimetría a la izquierda
negativa.
Curtosis.
hace referencia al mayor o menor apuntamiento que tiene una distribución
de frecuencias respecto a una distribución Normal, por lo tanto sólo se
estudia en comparación con la campana de Gauss, se determina mediante:
75 25
90 10
0.5P P
KP P
Este coeficiente puede ser:
0K , la curva es igual que la normal, se llama Mesocúrtica
0K , la curva es más puntiaguda que la normal se llama Leptocúrtica
0K , la curva es más aplastada que la normal, se llama Platicúrtica
76
EJERCICIOS RESUELTOS.
1) La siguiente tabla muestra los coeficientes de inteligencia de 480 trabajadores de
una empresa.
C.I 70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110 114 118 122 126
fi 4 9 16 28 45 66 85 72 54 38 27 18 11 5 2
Calcule:
a) El C.I. medio de los trabajadores.
b) Su desviación típica.
c) Si el gerente de la empresa afirma que exactamente la mitad de los
trabajadores de la empresa tienen un C.I. superior al del trabajador Juan,
¿qué C.I. tiene Juan?
d) Supongamos que se desea realizar un estudios sobre mercadotecnia , para
ello se debe seleccionar a un grupo de trabajadores con mayor C.I., pero la
empresa solo puede utilizar al 15% de los trabajadores. ¿Qué C.I. deberá
tener un trabajador como mínimo para ser considerado dentro de ese grupo
de elegidos?
e) Se van a preparar unas clases de apoyo en gestión empresarial , para un 25%
de los trabajadores de la empresa , precisamente para aquellos que tengan
menor C.I. ¿Hasta que trabajador de qué C.I. deberemos considerar en estas
clases?
SOLUCION:
La variable de estudio es el cociente intelectual (X)
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
77
xi fi fixi fixi2 Fi Hi
70 4 280 19600 4 0.0083
74 9 666 49284 13 0.0271
78 16 1248 97344 29 0.0604
82 28 2296 188272 57 0.1188
86 45 3870 332820 102 0.2125
90 66 5940 534600 168 0.35
94 85 7990 751060 253 0.5271
98 72 7056 691488 325 0.6771
102 54 5508 561816 379 0.7896
106 38 4028 426968 417 0.8688
110 27 2970 326700 444 0.925
114 18 2052 233928 462 0.9625
118 11 1298 153164 473 0.9854
122 5 610 74420 478 0.9958
126 2 252 31752 480 1
1470 n=480 46064 4473216
a) Media
1 21 2 ..... 46064
95.96480
kkf x f x f x
xn
b) Varianza y desviación.
2 2
22 21 1 447321695.96 110.88
480
n n
i i i i
i i
x x f f x
S xn n
110.88 10.52s
c) Mediana.
n=480 ( Par)
480 4801 1
240 2412 2 2 2 94 9494
2 2 2 2
n nx x x x
x xMe
78
d) Percentil 85
85 106P
e) Percentil 25
25 90P
2) Una empresa contrata los servicios de un corredor de bolsa, para decidir su
inversión en una de las dos acciones A y B. Los resultados de las utilidades de
estas acciones en los últimos 7 meses en miles de dólares esta dado en el
cuadro siguiente.
Acción Utilidades en miles de dólares.
1 2 3 4 5 6 7
A 57 55 54 52 62 55 59
B 80 40 62 72 46 80 40
a) Halle e interprete la media, mediana y moda de las utilidades.
b) Estadísticamente ¿Cuál de las acciones es más recomendable para la
empresa que esta interesado en una mayor utilidad? ¿Cuál de las acciones
es más recomendable para la empresa que esta interesado en un menor
riesgo de inversión? Fundamente su respuesta.
SOLUCION:
XA XB XA2 xB2
57 80 3249 6400
55 40 3025 1600
54 62 2916 3844
52 72 2704 5184
62 46 3844 2116
55 80 3025 6400
59 40 3481 1600
394 420 22244 27144
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
79
a) Estadísticos de A.
1 2 1..... 39456.28
7
n
i
n iA
xx x x
xn n
1
2
A nMe x , para n impar n=7
1 7 1 4
2 2
55A nMe x x x
55AMo
Estadísticos de B.
1 2 1..... 42060
7
n
i
n iB
xx x x
xn n
1
2
B nMe x , para n impar n=7
1 7 1 4
2 2
62B nMe x x x
1 40BMo
2 80BMo
b) Calcular la varianza
2 2
2 2 21 1 22244(56.28) 10.27
7
n n
i i
i iA A
x x x
S xn n
10.27
0.05756.28| |
A
A
SCV
X
2 2
2 2 21 1 2714460 277.7
7
n n
i i
i iB B
x x x
S xn n
277.70.277
60| |B
B
SCV
X
La información se ilustra en el grafico siguiente.
80
Acción
BA
Util
idad
80,00
70,00
60,00
50,00
40,00
3.- Con el fin de realizar un estudio sobre las retenciones económicas de quinta
categoría a los trabajadores de una empresa, se selecciono aleatoriamente a 24
trabajadores, obteniéndose las siguientes cantidades de retención económica en
cientos de soles.
Retención
Económica.
Número de
trabajadores
[0, 1> 2
[1, 2> 2
[2, 3> 3
[3, 4> 6
[4, 5> 7
[5, 6> 1
[6, 7> 1
[7, 8> 1
[8, 9> 1
a) Halla la media, varianza, la desviación típica y coeficiente de variación.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
81
b) Mediana
c) Moda.
SOLUCION:
I fi mi mifi mi2fi Fi
[0, 1> 2 0.5 1 0.5 2
[1, 2> 2 1.5 3 4.5 4
[2, 3> 3 2.5 7.5 18.75 7
[3, 4> 6 3.5 21 73.5 13
[4, 5> 7 4.5 31.5 141.75 20
[5, 6> 1 5.5 5.5 30.25 21
[6, 7> 1 6.5 6.5 42.25 22
[7, 8> 1 7.5 7.5 56.25 23
[8, 9> 1 8.5 8.5 72.25 24
Total 24 40.5 92 440
a) Media, varianza, desviación y coeficiente de variación.
Media.
923.83
24
i if m
xn
Varianza.
2
2 2 4403.83 3.66
24
i im f
S xn
Desviación.
3.66 1.91s
Coeficiente de Variación.
1.910.498
3.83| |
SCV
X
Mediana
12 73 *1 3.833
6Me
82
Moda
1
1 2
Mo Li A
1 7 6 1
1 7 1 6
14 *1 4.14
1 6Mo
a. El colegio de administradores aplico un test de conocimientos en una escala
de 0 a 20 a 60 profesionales del área, respecto a riesgo de inversión ,
obteniendo los siguientes resultados.
Nivel de
conocimientos de
riesgo de inversion.
Nro de
administradores
0-5 10
5-10 15
10-13 25
13-18 8
18-20 2
a) Calcule la media, varianza y la desviación.
b) Determine la mediana y la moda
c) Determine e interprete Q1, Q3, P10 y P90
d) Coeficiente de curtosis y de asimetría.
SOLUCION:
Intervalo fi. Fi mi mifi mi2fi
0-5 10 10 2.5 25 62.5
5 -10 15 25 7.5 112.5 843.75
10-13 25 50 11.5 287.5 3306.25
13-18 8 58 15.5 124 1922
18-20 2 60 19 38 722
60 56 587 6856.5
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
83
a) Media y varianza
Media.
5879.78
60
i if m
xn
Varianza.
2
2 2 26856.59.78 18.63
60
i im f
S xn
Desviación:
18.63 4.31s
b) Mediana y moda
Mediana
12
k
K
nF
Me Li Af
Determinamos 60
302 2
n
1 30 252 10 3 10.625
k
K
nF
Me Li Af
Moda
1
1 2
Mo Li A
1 25 15 10
1 25 8 17
1
1 2
1010 3 11.11
10 17Mo Li A
c) Determine e interprete Q1, Q3, P10 y P90
84
Para obtener los cuarteles se tiene la relación.
1
.
4k
i
K
i nF
Q Li Af
Cuartil 1
1
1
1.15 104 5 5 6.67
15
k
K
nF
Q Li Af
El 25% de los administradores presentan nivel de conocimientos de riesgo de
inversión a 6.67
Cuartil 3
1
3
3.45 254 10 3 12.4
25
k
K
nF
Q Li Af
El nivel de conocimientos máximo de riesgo de inversión del 75% de los
administradores es de 12.4.
Para obtener los percentiles se tiene la relación.
1
.
100k
i
K
i nF
P Li Af
Percentil 10
1
10
10.
6 0100 0 5 310
k
K
nF
P Li Af
El 10% de los administradores tienen nivel de conocimientos de riesgo de
inversión entre 0 a 3
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
85
Percentil 90
1
90
90.
54 50100 13 5 15.58
k
K
nF
P Li Af
d) Coeficiente de Asimetría.
9.78 11.11-0.308
4.31
ox MAp
s
Puesto que Ap < 0 la distribución es asimétrica negativa o a izquierdas
(desplazada hacia la izquierda).
Coeficiente de curtosis de fisher.
3 1
90 10
12.4 6.670.5 0.5 -0.0416
15.5 3
Q QK
P P
Si 0k , entonces la distribución es platicúrtica.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Las utilidades de empresas dedicadas al rubro de alimentos, en una región del
país presenta el siguiente comportamiento:
Utilidades en miles
de soles.
[0, 40[ [40,70[ [70, 90[ [90,110[ [110,120]
Número de empresas 7 8 10 20 5
Calcule e interprete:
La media aritmética, mediana y moda.
Varianza, coeficiente de variación.
Cuartel 1, Decil 6 y Percentil 85.
86
2.- Una muestra de pequeñas empresas se clasifica en función de su antigüedad en
el mercado y del porcentaje de deudas sobre el capital que presentan, con los
siguientes resultados:
Deudas Empresas antiguas Empresas Nuevas
0-15 19 29
15-30 13 10
30-50 7 11
50-70 4 32
En base a los resultados, ¿ Puede admitirse que el porcentaje de deudas de las
empresas es independiente de su antigüedad?. Fundamente su respuesta.
3. En una empresa donde los salarios tienen una media de 700 dólares y una
desviación estándar de 150 dólares, el sindicato solicita un reajuste de 25%
más un incentivo de 10 dólares. El Directorio acoge parcialmente la petición
rebajando los salarios solicitados en un 10%.
a) El Sindicato se declara satisfecho en sus negociaciones si el sueldo
promedio final aumenta por lo menos en un 20% respecto de su valor
actual. ¿Se logra esto aceptando la proposición del Directorio? Justifique
su respuesta.
b) El Sindicato pretende con su proposición aumentar la homogeneidad de
los sueldos de sus afiliados ¿Se logra este objetivo aceptando la
proposición del Directorio? Fundamente su respuesta.
c) Si en la Empresa laboran 500 funcionarios ¿En qué porcentaje aumentó la
planilla de sueldos respecto a la planilla inicial?.
4. Una empresa constructora tiene 2 secciones A y B. Las distribuciones de
ingresos diarios de sus empleados son los siguientes:
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
87
Sección A
Ingresos ($) Frecuencia
80-100) 30
100-120) 80
120-140) 40
140-160) 10
160-180) 4
180-200) 1
Sección B
Ingresos ($) Frecuencia
60-90) 10
90-120) 20
120-150) 50
150-180) 20
180-210) 15
210-240) 10
240-270) 4
Calcular la media aritmética y varianza de la sección A y B.
Compare los ingresos.
5. Un consultor de una empresa de planificación financiera que asesora a quienes
quieren establecer sus carteras de inversión personales. Hace poco el consultor
estaba interesado en las tasas de rendimiento que habían ofrecido dos fondos de
inversión diferentes a lo largo de los 5 últimos años. FIVENEZ presentaba tasas de
retorno a lo largo de ese período de 12, 10, 13,9 y 11%; mientras que Corporación
Dinámica había producido 13, 12, 14, 10, y 6%. Un cliente se puso en contacto con
el consultor expresó su interés por uno de estos fondos de inversión. ¿Cuál de
ellos deberá elegir el consultor para su cliente?
88
6.- En las siguientes tablas se registran los sueldos quincenales (en dolares) de 50
obreros de dos fábricas.
Fábrica A
Fábrica B
Sueldo fi sueldo fi
45 – 55) 18 45 – 55) 12
55 – 65) 24 55 – 65) 28
65 – 75) 26 65 – 75) 30
75 – 85) 20 75 – 85) 22
85 – 95) 12 85 – 95) 8
a) ¿En cuál fábrica hay mayor dispersión relativa?
b) Un obrero que gana 140 mensuales. ¿Dónde estaría mejor remunerado con
respecto a sus compañeros?
c) ¿Cuál de las dos distribuciones es más simétrica?
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
89
CAPITULO IV
DISTRIBUCIONES BIDIMENSIONALES
Si resumir la información de una variable es de por si interesante, en investigación
lo es mucho más el poner de manifiesto la posible relación entre dos de ellas.
El análisis de la relación de dos variables, X e Y, depende del tipo de variables y
Según sean los tipos de cada una de ellas se usa técnicas estadísticas diferentes.
4.1 CUALITATIVA-CUALITATIVA.
Cuando las variables de estudio son cualitativas (categóricas) o cuantitativas
discretas con poca modalidades, se suele presentar las observaciones de las
variables X e Y, mediante pares ordenados (xi, yi), esta forma de presentaciones
se denomina tablas de contingencia. Las tablas de contingencia son de doble
entrada organizada por filas y columnas y donde se presenta la distribución de
frecuencias conjuntas de las dos variables.
Dada una variable bidimensional ( X, Y ), consideramos una muestra de
tamaño n en la que X toma k valores distintos, x1, . . . , xk, e Y toma l valores
distintos, y1, . . , yl, obtenemos, por tanto, observaciones del tipo (xi, yj).
La frecuencia absoluta de un valor (xi, yj) es el número de veces que dicho
valor aparece en la muestra. Se representa por fij , se cumple
1 1
k l
ij
i j
f n
90
La frecuencia relativa de un valor (xi, yj) es el cociente de la frecuencia
absoluta fij entre el tamaño de la muestra n, se representa por hij
ij
ij
fh
n, se cumple:
1 1
1k l
ij
i j
h
Distribuciones marginales Nos indican el comportamiento aislado de cada
una de las variables X e Y que dan lugar a una variable bidimensional.
Frecuencia absoluta marginal de xi, . 1 2
1
l
i i i il ij
j
f f f f f
Frecuencia relativa marginal de xi, .
.i
if
hn
Frecuencia absoluta marginal de yj, 1 2.
1
j j kj
k
ijj
i
f f f f f
Frecuencia relativa marginal de yj, .
.j
j
fh
n
Una tabla de doble entrada de una variable bidimensional sigue la estructura
que se presenta a continuación, en la que tienen cabida las frecuencias
marginales (representadas en la última fila y última columna). Puede ser de
frecuencias absolutas o relativas.
Y
X
y1 y2 . . . . . yl ni.
x1 f11 f12 . . . . . f1l f1.
x2 f21 f22 . . . . . f2l f2.
. . . . . . . . . . . . . . .
xk fk1 fk2 . . . . . fkl fk.
n.j f.1 f.2 . . . . . f.l n
Ejemplos.
1.- El gerente de ventas de la firma A desea determinar el comportamiento de las
ventas de cuatro productos (I, II, III y IV), en función de la clase de clientes
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
91
clasificados en cuatro grupos. Una muestra aleatoria de las ventas suministro la
siguiente información.
Grupo de
clientes
Producto
I II III IV
Profesionales 30 35 55 40
Comerciantes 155 50 125 80
Obreros 130 30 105 50
Amas de casa 35 15 20 45
¿Las ventas de los cuatro grupos son homogéneas?
Solución
30 35 55 40 160
18.8% 21.9% 34.4% 25.0% 100.0%
155 50 125 80 410
37.8% 12.2% 30.5% 19.5% 100.0%
130 30 105 50 315
41.3% 9.5% 33.3% 15.9% 100.0%
35 15 20 45 115
30.4% 13.0% 17.4% 39.1% 100.0%
350 130 305 215 1000
35.0% 13.0% 30.5% 21.5% 100.0%
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
Grupo de clientes
Profesionales
Comerciantes
Obreros
Ama de casa
Total
I II III IV
Producto
Total
92
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Profesionales Comerciantes Obreros Amas de casa
I
II
III
IV
4.2 CUALITATIVA-CUANTITATIVA.
Supongamos que tenemos datos numéricos para varias categorías, por
ejemplo en un experimento donde hacemos mediciones numéricas en dos o
más grupos. En estos casos, lo que se realiza es un estudio descriptivo de la
variable numérica en cada una de las muestras y se comparamos los
resultados.
Ejemplo
La estructura financiera de una firma se refiere a la forma en que se dividen
los activos de la empresa por debe y haber, y el apalancamiento financiero se
refiere al porcentaje de activos financiados por deuda. En un estudio
financiero se afirma que el apalancamiento financiero puede utilizarse para
aumentar la tasa de rendimiento sobre la inversión, es decir que, los
accionistas pueden recibir rendimientos más altos con la misma cantidad de
inversión gracias a su uso. Los siguientes datos muestran las tasas de
rendimiento utilizando 3 diferentes niveles de apalancamiento financiero y
un nivel de control (deuda cero) de empresas seleccionadas al azar:
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
93
Tasas de Rendimiento
Control Bajo Medio Alto
4.6 2 7 7.9
2 7.4 4.5 6.8
6.8 1.8 11.6 5.8
4.2 3.2 6 9.2
1.6 4 6.8 11
¿Son las tasas medias de rendimiento en los niveles de apalancamiento
financiero bajo, medio, alto y control diferentes?
Solución.
Nivel de
Apalancamiento Mean Variance CoefVar Median
Alto 8.140 4.158 25.05 7.900
Bajo 3.68 5.13 61.56 3.20
Control 3.840 4.468 55.05 4.200
Medio 7.18 7.07 37.04 6.80
MedioControlBajoAlto
12
10
8
6
4
2
Nivel de apalancamiento
Ta
sas d
e r
en
dim
ien
to
94
4.3 CUANTITATIVA-CUANTITATIVA.
Análisis de dos variables cuantitativas y establecimiento de una relación
entre ellas. La forma mas sencilla de estudiar la posible asociación entre estas
variables es el diagrama de dispersión (Nube de puntos). Si reconocemos
una tendencia, entonces el interés ahora será el análisis de regresión.
Media y varianza
La información de las dos variables X e Y se puede resumir usando la media
y la varianza como se muestra a continuación:
Media de la variable X: i if xx
n
Media de la variable Y: i if yy
n
Varianza de la variable X: 2
22 i i
x
f xs x
n
Varianza de la variable Y: 2
22 i i
y
f ys y
n
La covarianza
Es una medida de la asociación lineal existente entre dos variables. Resume la
información contenida en el diagrama de dispersión. Presenta la siguiente
expresión:
cov( , ) .i i i
xy
f x yx y s x y
n
Si la covarianza está muy próxima a cero, no existe relación entre las
variables o si existe es marcadamente no lineal, si es positiva, hay asociación
lineal positiva, y si es negativa, hay asociación lineal negativa. Sin embargo,
como la covarianza depende de las unidades de medida de las variables, no
nos permite cuantificar el grado de asociación lineal ni comparar la
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
95
asociación existente entre distintos pares de variables. Para dar solución a
este problema se obtiene el coeficiente de correlación.
Correlación.
Estudia la relación o dependencia que existe entre dos variables que
intervienen en una distribución bidimensional.
Coeficiente de correlación lineal.
Es un número que mide el grado de dependencia entre las variables X e Y.
Se mide mediante la siguiente fórmula: yx
xy
ss
sr
.
Su valor está comprendido entre – 1 y 1.
Si r = -1 ó r = 1 todos los valores de la variable bidimensional se
encuentran situados sobre una recta.
Si – 1< r < 0 se dice que las variables X e Y están también en
dependencia aleatoria. La correlación es negativa.
Si 0 < r < 1 la correlación es positiva. Las variables X e Y están también
en dependencia aleatoria.
La correlación es tanto más fuerte a medida que r se aproxima a –1 ó 1 y es
tanto más débil a medida que se aproxima a 0.
Análisis de Regresión.
Regresión: conjunto de técnicas que son usadas para establecer una relación
entre una variable cuantitativa llamada variable dependiente y una o más
variables independientes, llamadas predictoras. Estas también deberían ser
cuantitativas, sin embargo algunas de ellas podrían ser cualitativas.
Modelo de regresión. Ecuación que representa la relación entre las variables
Y X
Estimación de la línea de regresión usando Mínimos Cuadrados
96
Se debe Minimizar el error cuadrático medio:
2 2
1 1
, ( )n n
i i i
i i
Q e y x
1 1 1
2 2
1 1
ˆ
( )
n n n
i i i ixyi i i
n n
xxi i
i i
n x y x yS
Sn x x
ˆˆ y x
La pendiente ˆ , indica el cambio promedio en la variable de respuesta
cuando la variable predictora aumenta en una unidad adicional.
El intercepto ˆ , indica el valor promedio de la variable de respuesta cuando
la variable predictora vale 0. Sin embargo carece de interpretación práctica si
es irrazonable pensar que el rango de valores de x incluye a cero.
A partir de la recta ˆˆ ˆY X podemos calcular los valores de y conocidos
los de x. La fiabilidad que podemos conceder a los cálculos obtenidos viene
dada por el coeficiente de correlación: si r es muy pequeño no tiene sentido
realizar ningún tipo de estimaciones.
Si r es próximo a – 1 ó 1, las estimaciones realizadas estarán cerca de los
valores reales.
Si r = 1 o r = -1, las estimaciones realizadas coincidirán con los valores reales.
Ejemplos
1. Se realizo un estudio sobre el conocimiento(X) y aplicación (Y) del software
para la toma de decisiones. La información se muestra a continuación.
X 14.8 15.2 14.4 15.2 13.2 14 14.4 12.4 14.8 14 14.4 14.8 13.2 16.4 12.4
Y 14 14.7 12 16 12.67 15.3 13.3 12.7 16 12.7 15.3 16 13.3 13.33 12
a) Trace un diagrama de dispersión.
b) Ajuste una recta de regresión.
c) Calcule la correlación lineal e interprete dicho valor.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
97
Solución:
X
Y
171615141312
16
15
14
13
12
Scatterplot of Y vs X
Resumen de calculos.
X Y X.Y X2 Y2
14.8 14 207.2 219.04 196
15.2 14.67 222.984 231.04 215.2089
14.4 12 172.8 207.36 144
15.2 16 243.2 231.04 256
13.2 12.67 167.244 174.24 160.5289
14 15.33 214.62 196 235.0089
14.4 13.33 191.952 207.36 177.6889
12.4 12.67 157.108 153.76 160.5289
14.8 16 236.8 219.04 256
14 12.67 177.38 196 160.5289
14.4 15.33 220.752 207.36 235.0089
14.8 16 236.8 219.04 256
13.2 13.33 175.956 174.24 177.6889
16.4 13.33 218.612 268.96 177.6889
12.4 12 148.8 153.76 144
213.6 209.33 2992.208 3058.24 2951.8801
98
213.614.24
15
ixx
N;
209.3313.96
15
iyy
N;
22
2 23058.2414.24 1.11
15
i
x
xs x
N
22
2 22951.8813.96 1.91
15
i
y
ys y
N;
2992.208. (14.24).(13.96) 0.69
15
i i
xy
x ys x y
N
Recta de regresión
1 1 1
22 2
1 1
0.69ˆ 0.621.11
( )
n n n
i i i ixyi i i
n n
xi i
i i
n x y x yS
Sn x x
ˆˆ 13.96 0.62(14.24) 5.13y x
ˆˆ ˆ 5.13 0.62Y X X
0.690.47
. 1.11. 1.91
xy
x y
sr
s s
Ejercicios propuestos.
1. Un asesor financiero quiere conocer las diferencias en la estructura de capital
de varios tamaños de empresas en cierta industria. Hace una encuesta en un
grupo de firmas que tienen distintas cantidades de activos y las divide en tres
grupos. Clasifica cada una según, que su deuda sea mayor o menor que el
capital contable de los accionistas. A continuación se dan los resultados de una
encuesta.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
99
Deuda Tamaño de activos de la firma (En miles de
dólares)
<500 500-2000 >2000 Total
< que el capital
social
7 10 8 25
> que el capital
social
10 18 9 37
Total 17 28 17 62
¿Se puede concluir que las empresas tienen idéntica estructura de capital?
2. Un especialista trabaja como corredor de bolsa para una empresa. Sus registros
muestran que las tasas de rendimiento ( en porcentajes) de dos acciones para 8
meses seleccionados fueron de :
Acciones A 15.5 3.6 21.7 27.2 7.8 2.2 5.0 12.2
Acciones B 4.5 6.2 5.5 7.2 3.5 4.2 4.1 12
a) En que acción invertiría la empresa, si el interés es tener un rendimiento
mas alto.
b) Que acción debería aconsejar el especialista a la empresa que prefieren
menos riesgo.
3. En la contabilidad de costos, con frecuencia se trata de estimar los gastos
indirectos basándose en el número de unidades producidas. La gerencia de la
empresa ha reunido información sobre esos gastos y las unidades producidas
en diferentes plantas.
Gastos
indirectos
191 170 272 155 280 173 234 116 153 178
Unidades 40 42 53 35 56 39 48 30 37 40
a. Estimar la ecuación.
b. Prediga el gasto general cuando se produce 50 unidades.
4. Sea Y el índice de precios al consumidor, tomado como base el año 1990, es
decir 2000 el índice es 100.
100
Año 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
Y 106 111.1 117.2 121.3 125.2 128 132.6
Predecir el índice de precios para el año 2008 ¿En que año podemos esperar
que el índice de precios sea de 150.57?
5. Una gran compañía llevó a cabo un estudio para ubicar las variables que
pudieran determinar el sueldo de un egresado universitario dos años después
de haberse graduado como Técnico Superior Universitario en un área
Administrativa. Los datos recogidos se presentan en la siguiente tabla:
(La columna del sueldo es en cientos de miles).
Edad Sexo E. Civil Inglés Sueldo
1 24 F C A 6,75
2 25 M C M 6,90
3 26 M S B 6,90
4 27 F C B 6,80
5 27 M D A 7,10
6 27 F C M 6,50
7 27 M S A 7,25
8 25 F C B 6,80
9 23 M S B 6,75
10 24 M S B 6,80
11 26 F C M 6,75
12 29 F D M 7,00
13 25 M C A 7,15
14 31 F D A 7,50
15 26 M S B 6,20
16 24 F D M 7,40
17 26 F C B 6,70
18 28 F S M 6,95
19 25 M C B 6,95
20 29 M C M 7,10
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
101
- Utilice la técnica de estadística descriptiva más apropiada para
analizar cada variable individualmente. Interprete lo obtenido.
- Realice diagramas de cajas que le ayuden a visualizar como influye
cada una de las variables en el sueldo que gana el individuo.
- Como futuro Técnico Superior en el área Administrativa, ¿cuál seria
la(s) características que usted debería tomar en consideración para
obtener el sueldo al que usted aspiraría al egresar?
6. Se desea estudiar la relación entre los aumentos de precios y los salarios en 8
empresas tomadas al azar, tal que se define “x: % de aumento de salarios” e
“y: % de aumento de precios”
2 2169.3, 3630.89, 2731.82, 126.9, 2498.01x x xy y y
a) Calcular la recta de ajuste e interpretar las componentes en función del
problema
b) ¿Qué porcentaje del análisis queda explicado por la recta de regresión?
Que podría Ud. Decir al respecto?
c) Estimar el porcentaje de aumento en los precios, si se produce un aumento
del 20% en los salarios, es lógico estimar dado el resultado obtenido en b)
?
7. Una aplicación importante del análisis de regresión en contabilidad es para
estimar costos. Al reunir datos sobre volumen y costo y aplicar el método de
mínimos cuadrados para determinar la ecuación de regresión donde se
relacionan estas variables, un contador puede estimar el costo asociado con
determinada operación de manufactura.
Se obtuvo la siguiente muestra de volúmenes de producción y costo total
para una operación de manufactura.
Volumen de producción (unidades) : 400 450 550 600 700 750
Costo total (en miles de $) : 4 5.0 5.4 5.9 6.4 7.0
102
a) Estimar la ecuación de regresión con la que se pueda predecir el costo total
para determinado volumen de producción. Interprete el significado de las
componentes de la recta, en función del problema.
b) Calcular el coeficiente de determinación. Comentar su resultado en función
de las variables en estudio.
c) El programa de producción de la empresa indica que el mes próximo se
deben producir 500 unidades. ¿Cual será el costo total estimado para esta
operación?
8. Suponga que usted tiene a su cargo el dinero de la región de Piedmont, se le
dan los siguientes datos de antecedentes sobre el suministro de dinero y el
producto nacional bruto (ambos en millones de dólares):
Suministro de
dinero
Producto Nacional
Bruto
2 5
2.5 5.5
3.2 6
3.6 7
3.3 7.2
4 7.7
4.2 8.4
4.6 9
4.8 9.7
5 10
(a) Desarrolle la ecuación de estimación para predecir el PNB del suministro de
dinero.
(b) ¿Cómo interpreta la pendiente de la línea de regresión?.
(c) Calcule e interprete el error estándar de la estimación.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
103
CAPITULO V
PROBABILIDADES
El Cálculo de Probabilidades se ocupa de estudiar ciertos experimentos que se
denominan aleatorios, cuya característica fundamental es la incertidumbre del
resultado, esto significa que es imposible predecir los resultados porque hay más
de uno posible.
En nuestra vida cotidiana asociamos usualmente el concepto de probabilidad a su
calificativo probable, considerando probable a aquellos eventos en los que
tenemos alto grado de creencia en su ocurrencia. En esta línea probabilidad es un
concepto asociado a una medida del azar.
El objetivo de la probabilidad es cuantificar las posibilidades que tengan ciertos
eventos inciertos.
5.1 EXPERIMENTO ALEATORIO.
Es una acción que da lugar a resultados identificables y se caracteriza por:
Todos los posibles resultados son conocidos previamente.
Repeticiones en situaciones análogas pueden dar resultados diferentes.
104
No se puede predecir el resultado del mismo antes de realizarlo, es decir,
no se sabe cuál de los posibles resultados aparecerá al final.
Los experimentos pueden ser aleatorios o deterministas. Aleatorio significa
relativo a todo acontecimiento incierto, por depender de la suerte o del azar,
mientras que los deterministas son aquellos que se caracterizan por el hecho
de que las mismas causas producen los mismos efectos.
Espacio muestral.
Es el conjunto de todos los resultados posibles del experimento y se denota
por . A cada elemento de se denomina punto muestral w , es decir:
/ es un punto muestralw w .
Evento o Suceso Aleatorio.
Un evento aleatorio es un subconjunto del espacio muestral y se denota con
letras mayúsculas.
El evento seguro , es aquel que ocurre siempre al realizar el experimento.
El evento imposible , es aquel que no ocurre nunca.
Lo s eventos elementales solo tienen un punto muestral.
El evento complementario cA , esta dado por todo los puntos muestrales
que no están en A
5.2 OPERACIONES DE EVENTOS.
Unión de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio muestral
su unión se representa por A B y es el evento que contiene los elementos
que están en A o en B o en ambos. El evento A B ocurre si al menos uno de
los dos eventos ocurre.
Intersección de eventos: Dados dos eventos A y B de un mismo espacio
muestral su intersección se representa por A B y es el evento que contiene
los elementos que están en A y B al mismo tiempo.
El evento A B ocurre cuando ambos eventos ocurren simultáneamente.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
105
Evento Complemento: El complemento de un evento A se representa por cA
y es el evento que contiene todos los elementos que no están en A. El evento
cA ocurre si A no ocurre.
5.3 DEFINICIÓN CLÁSICA DE PROBABILIDAD:
La probabilidad de un suceso A se calcula como el número de casos
favorables al suceso A, partido por el número de casos posibles del
experimento aleatorio.
( )casos favorables
p Acasos posibles
5.4 DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD.
La probabilidad es una función que asigna a cada suceso A un número
real que varia entre 0 a 1.
P : y que verifica:
A p(A)
i) 0 ( ) 1p A A
ii) 1p
iii) Si A y B son sucesos incompatibles,
p A B p A p B
Como consecuencia de estos tres axiomas, se verifican además las siguientes
propiedades:
iv) ( ) 1cp A p A
v) ( ) 0p
vi) Si A B , ( ) ( )p A p B
vii) )()()\( BAPAPBAP , A,B
viii) Si A 1 , A 2 , ...... , A n son incompatibles dos a dos, entonces
1 2 1 2... ...n np A A A p A p A p A
ix) Si A, B son dos sucesos cualesquiera, entonces
106
p A B p A p B p A B
x) Si A, B son dos sucesos cualesquiera, entonces
( ) cp A p A B p A B
5.5 PROBABILIDAD CONDICIONADA.
Queremos estudiar como cambia la probabilidad de ocurrencia de A cuando se
conoce que otro evento B ha ocurrido. En este caso habria que referirse a la
probabilidad de A condicionada a B como la probabilidad de que ocurra A
sabiendo que ha ocurrido B, la denotamos por P(A|B)
)(
)()|(
BP
BAPBAP , P(B) 0.
En consecuencia,
p(A B) = ( ) ( )Bp A pA
Independencia.
Dos sucesos A, B se dicen independientes si:
( ) ( | )p A p A B , o bien ( ) ( | )p B p B A
Es decir, se cumplirá que:
( ) ( ). ( )p A B p B p A
Si A y B son independientes, entonces A y B C son independientes, A C y B
son independientes, y A C y B C son independientes.
Observación. Decimos que n sucesos 1 2, , nA A A son independientes si para
cada par (Ai, Aj), )()()( jiji APAPAAP si ji , si para cada trío (Ai, Aj, Ak)
)()()()( kjikji APAPAPAAAP si kji y así sucesivamente. En general,
)()()()( 2121 nn APAPAPAAAP
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
107
Teorema de la probabilidad compuesta.
Dados n sucesos A 1 , A 2 , ......., A se verifica:
)|()|()|()()( 12121312121 nnn AAAAPAAAPAAPAPAAAP
Teorema de la probabilidad total.
Si suponemos que los eventos A1, A2, A3, ...., An, forman una partición de un
espacio muestral ; esto es, que los eventos Ai son mutuamente excluyentes
y su unión es .
Si A 1 , A 2 , ......., A n son un sistema completo de sucesos tal que :
i) 1 2A A i j ( disjuntos dos a dos)
ii) 1
n
ii
A
iii) ( ) 0ip A , ni ,....1 .
La probabilidad de un suceso B cualquiera es:
1
( ) ( ) ( | )n
i i
i
p B p A p B A
1 21 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( )nn
B B Bp B p A p p A p p A pA A A
Teorema de Bayes.
El procedimiento que se utiliza para encontrar probabilidades posteriores, a
partir de probabilidades previas, se llama regla Bayesiana. Las
probabilidades apriori o previas se conocen antes de obtener información
A1 A2 An …
108
alguna del experimento en cuestión. Las probabilidades aposteriori se
determinan después de conocer los resultados del experimento.
El teorema de Bayes consiste en un método para encontrar la probabilidad de
una causa específica cuando se observa un efecto particular. Esto es, si el
evento B ha ocurrido, ¿Cuál es la probabilidad de que fue generado por el
evento A1 (que es una causa posible ) o por el A2 (otra causa posible)?.
Si A 1 , A 2 , ......., A n son un sistema completo de sucesos tal que ( ) 0ip A ,
ni ,....1 , entonces para un suceso B cualquiera se verifica:
1
( ) ( ) ( | )( | )
( ) ( ) ( | )
i i ii
ni i
i
p A B p A p B Ap A B
p B p A p B A, i = 1, ...., n.
1 21 2
( ) ( | )( | )
( ) ( ) ( ) ( ) ....... ( ) ( )
i ii
nn
p A p B Ap A B
B B Bp A p p A p p A pA A A
Problemas Resueltos.
1) SUNAT realiza un estudio respecto a tres cuentas de una empresa para
confirmar o descartar la presencia de irregularidades en el sistema de cobro de
impuestos.
a) Cual es el espacio muestral.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
109
b) ¿Cual es la probabilidad de que dos de las cuentas presente
irregularidades.
c) Cual es la probabilidad de que la primera cuenta presente irregularidades
y la ultima no presente irregularidades.
d) Cual es la probabilidad de que por lo menos una cuenta presente
irregularidades
Solución.
Denotemos con P, si la cuenta presenta irregularidades y con N, si la cuenta no
presente irregulardades.
a) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , , ,PP N PP P PN N PN P N P P N P N N N P N N N
b) Sea el evento A: Se presenta dos irregularidades
1 2 3 1 2 3 1 2 3, ,A PP N PN P N P P
( ) 3( )
( ) 8
n Ap A
n
c) Sea el evento B: Primera cuenta presenta irregularidades y el último no
presenta.
1 2 3 1 2 3,C PP N PN N
( ) 2( )
( ) 8
n Cp C
n
d) Sea el evento D: Por lo menos una cuenta presenta irregularidades.
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3, , , , , ,D PP N PP P PN N PN P N P P N P N N N P
( ) 7( )
( ) 8
n Dp D
n
2) Un administrador de empresas con el propósito de incrementar sus utilidades,
diseña tres estrategias de marketing A, B y C. En el 40% de las sucursales, se
aplica la estrategia A , de estas en el 1% de los casos no se presentan
incrementos en las utilidades, en el 30% de las sucursales se aplica la estrategia
B y en el 2% no se presentan incrementos en las utilidades. En el resto de las
110
filiales se utiliza la estrategia C, observándose que en el 3% de las mismas no se
presentan incrementos en las utilidades. Si se selecciona aleatoriamente una
filial de la empresa. Cual es la probabilidad de que :
a) No presente incrementos en las utilidades.
b) No presente incrementos en la utilidad y se haya aplicada la estrategia B.
c) La filial haya empleado la estrategia C, dado que no se presento
incremento en su utilidad.
Solución
Sean los eventos.
A: La filial de la empresa, aplica la estrategia A
B: La filial de la empresa , aplica la estrategia B
C: La filial de la empresa , aplica la estrategia C
D: No se presenta incrementos en la utilidad.
a) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D D Dp D p A p p B p p C pA B C
( ) 0.4*(0.01) 0.3*(0.02) 0.3*(0.03) 0.019 1.9%p D
b) p(B D) = ( ) ( )Dp B pB
p(B D) =0.3*(0.02) 0.006 0.6%
Estrategia
A
B
C
No incrementa
No incrementa
No incrementa
Incrementa
Incrementa
40%
30%
30%
1%
2%
3%
99%
98%
97% Incrementa
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
111
c) ( ) ( ) ( | )
( | )( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
p C D p C p D Cp C D
p D p A p D A p B p D B p C p D C
0.3*(0.03)
( | ) 0.473 47.3%0.4*(0.01) 0.3*(0.02) 0.3*(0.03)
p C D
3) Los siguientes datos pertenecen a 50 comercios de la ciudad de Cusco
divididos en 3 categorías y clasificados según el pago de deudas bancarias.
Pago de deudas
bancarias
CATEGORIAS
A B C
Al día 7 6 12
En mora 9 8 8
Si se elige un comercio al azar ¿cuál es la probabilidad de que:
a) esté en mora?
b) pertenezca a la categoría A o B?
c) pertenezca a la categoría C o esté en mora?
d) pertenezca a la categoría A y esté en mora?
e) Dado que el pago de sus deudas bancarias esta al día. ¿ Cual es la
probabilidad de que la empresa pertenezca a la categoría B?.
Solucion.
Sean los eventos:
A: Comercio pertenece a la categoría A.
B: Comercio pertenece a la categoría B.
C: Comercio pertenece a la categoría C.
D: Pago deudas bancarias en mora. E: Pago de deudas al día.
a) ( ) 25
( ) 0.5( ) 50
n Dp D
n
b) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
n A n B n A Bp A B p A p B p A B
n n n
16 14 0 30( ) 0.6
50 50 50 50p A B
112
c) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
n C n D n C Dp C D p C p D p C D
n n n
20 25 8 37( ) 0.74
50 50 50 50p C D
d) ( ) 9
( ) 0.18( ) 50
n A Dp A D
n
e)
( )
( ) ( ) 8( )( | )
( )( ) ( ) 25
( )
n B E
P B E n B EnP B E
n EP E n E
n
4) Se hizo una auditoria a tres empresas A, B, y C, para tal efecto se analiza 3
cuentas de la empresa A, 2 cuentas de la empresa B y 5 cuentas de la empresa C.
La probabilidad de que se presenten irregularidades en las cuentas de la
empresa A es de 1/3, que se presente en B es de 2/3 y que se presente en C es
de 1/7. Se analiza una cuenta aleatoriamente y se encuentra que hay
irregularidades. ¿Cuál es la probabilidad de que se trate de la empresa C?
Solución
Sean los eventos
A: Cuentas de la s empresa A.
B: Cuentas de la s empresa B.
C: Cuentas de la s empresa C.
E: La cuenta presenta irregularidades.
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
113
( ) ( ) ( | )( | )
( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )
p C E p C p E Cp C E
p E p A p E A p B p E B p C p E C
3 1*
2110 3( | ) 32.8%3 1 2 2 5 1 64
* * *10 3 10 3 10 7
p C E
Problemas Propuestos.
1.-Un auditor tiene sobre su mesa dos grupos de 20 facturas cada uno. En el
primer lote hay dos facturas con errores de cálculo y en el segundo tres. Una
corriente de aire hace que las facturas caigan de la mesa y, al recogerlas, una del
primer grupo se confunde en el segundo. ¿Cuál es la probabilidad de que, al
revisar una factura del segundo grupo tenga un error?
2.- María Campos, gerente del departamento de crédito de un banco, sabe que la
compañía utiliza 3 métodos para conminar a pagar a las personas con cuentas
morosas. De los datos que se tiene registrados, ella sabe que 70% de los
deudores son visitados personalmente, 20% se le sugiere que paguen vía
telefónica y al restante 10% se le envía una carta. Las probabilidades de recibir
alguna cantidad de dinero debido a los pagos de una cuenta con estos 3
métodos son 0,75 0,60; y 0,65 respectivamente. La señorita Campos acaba de
D
3/10
2/10
5/10
1/3
2/3
1/7
A
B
C
E
D
D
E
E
114
recibir el pago de una de las cuentas vencidas. Calcular la probabilidad de que
la petición de pago se haya hecho:
a. Personalmente
b. Por teléfono
c. Por correo
3.- Una empresa compra cierto tipo de pieza que es suministrada por 3
proveedores: el 45% de las piezas son compradas al 1er proveedor resultando
defectuoso el 1%, el 2do proveedor suministra 30% de las piezas y de ellas es
defectuoso el 2%. Las restantes piezas provienen del 3er proveedor, siendo
defectuoso el 3% de las mismas.
En un control de recepción de artículos se selecciona una pieza al azar y es
defectuosa. Calcular la probabilidad de que la haya suministrado el 2do
proveedor.
4.- Una compañía de ventas por correo tiene tres empleados de almacén
denominados U, V y W quienes toman productos de la bodega y los ensamblan
para la subsiguiente verificación y empaquetado. U comete un error en un
pedido (toma un producto equivocado o la cantidad equivocada del producto)
una de cada 100 veces, V comete un error en un pedido 5 veces de cada 100 y W
se equivoca tres de cada 100. Si U, V y W cubren respectivamente el 30%, el
40% y el 30% de todos los pedidos. ¿Cuál es la probabilidad de que si se
encuentra un error en un pedido, éste haya sido cometido por V?
5. En una encuesta entre alumnos de maestría en administración se obtuvieron los
datos siguientes acerca de “el principal motivo del alumno para solicitar su
ingreso a la escuela donde está matriculado”.
Motivo
Tipo est.
Calidad de la
escuela
Costo o
comodidad
Otros
Totales
Tiempo 421 393 76 890
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
115
completo
Tiempo parcial 400 593 46 1039
Totales 821 986 122 1929
a. Si un alumno es de tiempo completo. ¿Cuál es la probabilidad de que la
calidad de la institución sea el principal motivo para elegir su escuela?.
b. Si un alumno es de tiempo parcial. ¿Cuál es la probabilidad de que la
calidad de la escuela sea el motivo para elegirla?
c. Sea A el evento en que el alumno es de tiempo completo y sea B el evento
que el alumno menciona que la calidad de la escuela es el 1er motivo de su
solicitud. ¿Son independientes los eventos A y B?. Justifique su respuesta.
6. Antes de que un libro sea lanzado al mercado se recogen las reacciones de un
grupo de personas a las que se les permite leer el libro previamente.
Posteriormente a las ventas del libro se les asigna el calificativo de altas,
moderadas o bajas de acuerdo a las noemas del mercado. Los resultados se
muestran en la siguiente tabla:
Reacciones
Ventas
Favorables Neutral Desfavorables
Altas 173 101 61
Moderadas 88 211 70
Bajas 42 113 141
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean altas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las reacciones sean favorables?
c) Si la reacción del grupo es favorable?. ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas
sean altas?
d) Si las ventas son bajas ¿Cual es la probabilidad de que las opiniones hayan sido
desfavorables?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que las opiniones sean favorables y las ventas sean
altas?
116
f) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas sean favorables o desfavorables?.
¿Son esos sucesos mutuamente excluyentes? Justifique
g) ¿Son los sucesos “Opiniones desfavorables” y “Ventas Bajas” independientes?
Justifique.
7. En un estudio realizado para un supermercado se clasifican los clientes en
aquellos que visitan el establecimiento de una manera frecuente u ocasional y
de acuerdo a la frecuencia en que adquieren cierto alimento. En la siguiente
tabla se presentan las proporciones correspondientes a cada uno de los grupos.
Compra de
productos
Frecuencia
en las visitas
Regular
Ocasional
Nunca
Frecuentes 0,12 0,48 0,19
No Frecuentes 0,07 0,06 0,08
a) ¿Cual es la probabilidad de que un cliente visite frecuentemente el
supermercado y compre regularmente el producto alimenticio?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente que nunca compra el producto visite
el supermercado frecuentemente?
c) ¿Son los sucesos “Nunca compra productos alimenticios” y “Visita el mercado
frecuentemente” independientes?. Justifique.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente realice compras ocasionales?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente no realice nunca compras del
producto?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente visite el establecimiento
frecuentemente o compre el producto regularmente?
8. Un proceso se puede ejecutar con uno de tres algoritmos posibles, digamos A, B
y C. En el 20% de los casos se emplea el algoritmo A, mientras que los
algoritmos B y C son usados el mismo número de veces. En algunas ocasiones
Estadística para la toma de decisiones Dr. Cleto De La Torre Dueñas
117
en que se realiza el proceso se producen atrasos. Esto ocurre el 10% de las
ocasiones en que se usa el algoritmo A, siendo estos porcentajes del 15% en el
caso en que se aplica el algoritmo B y el 5% en el caso en que se usa el
algoritmo C.
a) ¿En qué porcentaje de las ejecuciones del proceso no se producen atrasos?
b) ¿Qué porcentaje de los atrasos de las ejecuciones del proceso son atribuibles
al algoritmo B?
c) Elegida, al azar, una ejecución ¿Qué probabilidad hay que no tenga retraso
en su ejecución y corresponda al uso del algoritmo A o C?
Entre las ejecuciones que no han sufrido retraso en su ejecución, ¿Cuál es el
porcentaje de las que corresponden al uso de los algoritmos A o C
9.- Las previsiones sobre la inflación de un determinado país para el próximo año
la sitúan por debajo del 2% con probabilidad 0,65, entre el 2% y el 3% con
probabilidad 0,25 y por encima del 3% con probabilidad 0,1. Si la probabilidad
de crear más de 700.000 empleos es de 0,7 con inflación baja, de 0,4 cuando
ésta se sitúa entre el 2% y el 3% y nula en otro caso, calcule:
a) La probabilidad de que se creen más de 700.000 empleos.
b) Si antes de conocer el dato de inflación anual, se sabe que se han creado más
de 700.000 empleos, ¿cuál es la probabilidad de cada uno de los tres niveles de
inflación considerados?
10.- Una fábrica produce tres productos, 1, 2 y 3, cada uno de ellos en calidad extra
y comercial. La probabilidad de producir una unidad de calidad extra en cada
uno de esos productos es: 0,75, 0,5 y 0,8, respectivamente. A su vez esos
productos se fabrican en las siguientes proporciones: 45%, 35% y 20%,
respectivamente. Con esa información responda a las siguientes cuestiones:
a) Si se selecciona al azar una unidad producida, ¿cuál es la probabilidad de
que sea de calidad comercial?
b) Si se selecciona al azar una unidad producida y es de calidad comercial, ¿de
qué producto es más probable que sea?
118
11.- Los siguientes datos pertenecen a 50 comercios de la ciudad de Cusco
divididos en 3 categorías y clasificados según tengan o no deudas impositivas:
Impuestos Categoría A Categoría B Categoría C
Al día 7 6 12
En mora 9 8 8
Si se elige un comercio al azar ¿cuál es la probabilidad de que: a) esté en mora?
b) pertenezca a la categoría A o B? c) pertenezca a la categoría C o esté en mora?
d) Suponga que ahora se eligen 3 comercios al azar. ¿Cuál es la probabilidad de
que todos estén al día con los impuestos?
12.- El personal del Bco. A atiende distintos tipos de consultas, de las cuales una
parte corresponde a autorizaciones de giros en descubierto. Se observa que sólo
30% de los clientes aceptan las condiciones del banco: el 35 % a la tasa normal y
el resto a una tasa mayor. La mitad de los clientes que no aceptan indica que la
tasa ofrecida es mayor a la normal.
a) Calcular la probabilidad de que si se recibe una consulta, ésta corresponda a
operaciones en descubierto a tasa mayor.
b) Si la última consulta sobre descubierto se ofreció a tasa mayor, ¿cual es la
probabilidad de que el cliente la acepte?
119
CAPITULO VI
VARIABLE ALEATORIA Y DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD.
6.1 Definiciónes
Una variable aleatoria (v.a) X es cualquier función, que transforma cada elemento
del espacio muestral , en un numero real.
:X
X
Al conjunto de posibles valores de X se le llama rango de X (Rx)
Si Rx es finito o enumerable (rango discreto), entonces X es una v.a Discreta.
Si Rx no es enumerable (rango continuo), entonces X es una v.a Continua.
Función de Probabilidad.
Si X es una v.a discreta, la función de probabilidad de X viene dada por:
/XP x P X x P X x , tal que ( ) 1X
x Rx
P x
Función de densidad
ESTADISTICA
120
Si X es una v.a continua, la función de densidad de X es una aplicación
: 0,Xf tal que ( )
b
X
a
P a X b f x dx ,tal que ( ) 1Xf x dx
Función de distribución
La función de distribución de una v.a X esta dada por:
( ) ( ) ( / ( ) )XF x P X x P X x
Propiedades.
F es continua por la derecha y es creciente
Si X es una v.a discreta , entonces P a X b F b F a P X a
Si X es una v.a continua , entonces P a X b F b F a
Si X es una v.a continua , entonces ' ( )( ) ( )
dF xF x f x
dx
lim ( ) 0x XF x y lim ( ) 1x XF x
Definición.-
La esperanza o media de una variable aleatoria X, denotada por ( )E X o X
se
define según sea la variable discreta o continua, mediante:
. ,
. ( ) ,
x Rx
x Rx
x P X x si X es discreta
E Xx f x dx si X es continua
Propiedades:
El valor esperado de una constante es dicha constante
E a bX a bE X
Definición.-
La varianza de una variable aleatoria X cuya media o esperanza es X
, se define
como
22 22 2
X XV X E X E X E X E X E X
Propiedades.
CLETO DE LA TORRE
121
La raíz cuadrada de la varianza se llama desviación estándar.
22 2
X XE X
2 ( )V aX b a V X
Desigualdad de Chebyshev.
Si X es una variable aleatoria, entonces para cualquier k se cumple
2
11X XP X k
k
Ejercicio resuelto.
1. Sea X la variable aleatoria definida como la suma de los valores que aparecen al
lanzar dos dados.
a) Determine la distribución de probabilidad.
b) Calcule la probabilidad P(5<X<8)
c) La media y su varianza.
Solución.
a)
Resultados en
los dos dados
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
X: Suma de los valores de los dos dados
Rx 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
P(X) 1/36 2/36 3/16 4/16 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36
ESTADISTICA
122
b) (5 8) (6) (7) 5/36 6/36 11/36p X p p
c) Media
. ,x Rx
E X x P X x si X es discreta
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36E X
252
36E X
Varianza.
22 2
X E X E X
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 5 4 3 2 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36E X
2 1974
36E X
222 2 1974 252
36 36X E X E X
6.2 DISTRIBUCIONES IMPORTANTES.
Existen, como en el caso de la última variable ejemplificada, otras variables cuyas
funciones de probabilidad o densidad resultan ser modelos de mucha utilidad
para una serie de aplicaciones. Nosotros citaremos brevemente algunos de los
modelos de mayor importancia.
DISTRIBUCIONES DISCRETAS.
Un experimento de Bernoulli, es un experimento aleatorio con solo dos posibles
resultados: Éxito y Fracaso. Sea p = P (Éxito).
Distribución Binomial.
La distribución binomial aparece cuando se dan las condiciones siguientes:
-Tenemos un experimento aleatorio simple, con una situación dicotómica, es decir
Éxito y Fracaso.
- Repetimos este experimento simple n veces de manera independiente.
CLETO DE LA TORRE
123
X = Número de Éxitos en n experimentos independientes de Bernoulli.
Función de Probabilidad:
.,0
,...,2,1,0,1
casootroen
nxsippCxP
xnxnx
X
Valor esperado: .npX Varianza: .12 pnpX
Notación: X B(n, p).
Distribución de Pascal o Binomial Negativa. Notación: X BN(r, p).
X = Número de ensayos (experimentos independientes de Bernoulli) hasta
conseguir el r-ésimo Éxito.
Función de Probabilidad:
.,0
,...2,1,,111
casootroen
rrrxsippCxP
rrxxr
X
Valor esperado: .p
rX Varianza: .
12
2
p
prX
Nota: Si r = 1, X se dice que es una variable aleatoria con distribución geométrica
de parámetro p, y se le denota por X G(p).
Distribución Hipergeométrica. Notación: X H(N, M, n).
Considérese una población de N elementos, M de los cuales son de un tipo A, y
supongamos se extraen sin reemplazo una muestra de n elementos de esta
población. Entonces:
X = Número de elementos de tipo A en la muestra.
Función de Probabilidad:
.,0
,...,2,1,0,
casootroen
nxsiC
CC
xP Nn
MNxn
Mx
X
Valor esperado: .N
MnX Varianza: .
112
N
nN
N
M
N
MnX
ESTADISTICA
124
Notas:
1. En PX se esta usando la convención que ,0baC si a > b.
2. Si la elección de la muestra fuera con reemplazamiento, entonces X
.,N
MpnB
Distribución de Poisson.
La distribución de Poisson aparece en situaciones en las que se cuenta el número
de apariciones de un determinado suceso o bien en un intervalo de tiempo dado
(como el número de partículas emitidas en un segundo por un material
radioactivo, o el número de pacientes que llegan a un servicio en un intervalo de
tiempo dado) o bien en un recinto físico (como el número de fallos en un metro
de alambre de hierro producido.
X = Número de eventos en t,0 .
Función de Probabilidad:
.,0
,...2,1,0,!
casootroen
xsix
e
xP
x
X
Valor esperado: .X Varianza: .2X
DISTRIBUCIONES CONTINUAS.
Distribución Uniforme. Notación: X U .,ba
Esta distribución se da cuando la variable aleatoria X puede tomar
indistintamente cualquier valor en el intervalo a, b .
Función de densidad:
.,0
,,1
casootroen
baxsiabxf X
Valor esperado: .2
baX Varianza: .
12
22 abX
CLETO DE LA TORRE
125
Distribución Normal. Notación: X N( , 2).
Función de densidad:
2
22
1
2
1 x
X exf
Valor esperado: .X Varianza: .22X
Nota: Cuando = 0 y 2 = 1, a X se le denota por Z y se le llama una variable
aleatoria con distribución normal estándar; vale decir, Z N (0, 1). Toda v.a.
normal X N ( , 2) puede convertirse con una v.a. normal estándar
(estandarizarse) a través de la transformación:
XZ
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- Un auditor analiza 10 facturas, se sabe que por estudios anteriores que el 25% de las
facturas presentan algún tipo de error. Calcular la probabilidad de que:
a) Exactamente 4 facturas presenten error.
b) Ninguno de las facturas presenten error.
c) Todos presenten error.
d) Por lo menos 8 presenten error.
e) A lo sumo 3 presenten error.
f) Calcular la Media y varianza
Solución
Consideremos los sucesos
A = La factura presenta error, P (A) = 0.25
A = La factura no presenta error, P ( A ) = 0.75
Se trata de una distribución Binomial de parámetros B (10, 0.25 )
Sea X la variable aleatoria que representa el número de facturas presenta error
ESTADISTICA
126
a) P(Exactamente 4 facturas presenten errores) =
1460.0)75.0()25.0(4
104 64XP
b ) P (Ninguno presenten errores) = 0563.0)75.0()25.0(0
100 100XP
c) P(Todo presenten errores) = 0)75.0()25.0(10
1010 010XP
d) P(Por lo menos 8 presenten error) = 10988 XPXPXPXP
005.00)75.0()25.0(9
10)75.0()25.0(
8
10928
e) P( A lo sumo 3 presenten error ) =
P 32103 XPXPXPXPX
7759.0)75.0()25.0(3
10)75.0()25.0(
2
10)75.0()25.0(
1
10)75.0()25.0(
0
10738291100
f) Media y Varianza
5.2)25.0(10np
875.1)75.0)(25.0(10)1(2 pnp
2.- El treinta por ciento de los administradores de supermercados utilizan estrategias
de marketing. Si se selecciona siete administradores, determinar la probabilidad
de que.
a) Ninguno de los 7 utiliza estrategias de marketing.
b) Todos utilizan estrategias
c) Al menos 2 utilizan marketing
Solución
Consideremos los sucesos:
A = Utilizan software, P(A) = 0.3
CLETO DE LA TORRE
127
A = No utilizan software, P ( A ) = 0.7
Por tanto se trata de una distribución Binomial de parámetros B (7, 0.3)
Sea X la variable aleatoria que representa el número de administradores que
utilizan estrategias de marketing.
a) 0824.0)7.0()3.0(0
70 70XP
b) 0002.0)7.0()3.0(7
77 07XP
c) 6705.0)7.0()3.0(1
7)7.0()3.0(
0
71101112 6170XPXPXPXP
3.- El Ingreso medio diario de los gerentes de empresas en una ciudad es 60 dólares y la
desviación típica es $6 . Suponiendo que los ingresos están distribuidos
normalmente.
a) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos menores a $ 64
b) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos de $57 a más ?
c) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos mayores de $63?
d) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos entre $57 a $65 ?
e) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos menores de $50?
f) Cual es la probabilidad de que un gerente tenga ingresos entre $64 a $70 ?
g) Si en total hay 200 gerentes en esa ciudad, .Cuantos cabe esperar que presenten
ingresos mayores a $57 y menores de $64?
Solución.
X: Ingreso de los gerentes.
60 (Media poblacional)
6 (Desviación)
a) 64 64 60
( 64) ( ) ( ) ( 0.67)6
XP X P P Z P Z
ESTADISTICA
128
0 z=0.67
(0.67)
0.5 (0.67) 0.5 0.24857=0.74857=74.857%
b) 57 57 60
( 57) ( ) ( ) ( 0.5) (0.5) 0.56
XP X P P Z P Z
0z= 0.5
(0.5)
0.19146+0.5=0.69146=69.146%
c) 63 63 60
( 63) ( ) ( ) ( 0.5) 0.5 (0.5)6
XP X P P Z P Z
0 z=0.5
(0.5)
0.5 0.19146=0.30854=30.854%
d) 57 65 57 60 65 60
(57 65) ( ) ( )6 6
XP X P P Z
( 0.50 0.83) (0.50) (0.83) 0.19146+0.29373=0.48519=48.519%X
P
CLETO DE LA TORRE
129
0
z=0.83z= 0.50
(0.5) (0.83)
e) 50 50 60
( 50) ( ) ( ) ( 0.167)6
XP X P P Z P Z
0z= 0.167
(0.167)
0.5 (0.167) 0.5 0.0675=0.4325=43.25%
f) 64 70 64 60 70 60
(64 70) ( ) ( )6 6
XP X P P Z
(0.67 1.67) (1.67) (0.67) 0.45254-0.24857=0.20397=20.397%X
P
0 z=1.67z=0.67
(1.67)
(0.67)
g) 57 64 57 60 64 60
(57 64) ( ) ( )6 6
XP X P P Z
ESTADISTICA
130
( 0.5 0.67) (0.5) (0.67) 0.19146+0.24857=0.44003=44.003%X
P
Cabe esperar el 44.003% de los gerentes, es decir 0.44003*200 88
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- La empresa de asuntos financieros Tax Service se especializa en las devoluciones de
importes de impuestos federales. Una reciente auditoría de las declaraciones indicó
que se cometió un error en el 10% de las que manifestó el año pasado. Suponiendo
que tal tasa continúe en este periodo anual y elabore 60 declaraciones. ¿Cuál es la
probabilidad de que realice:
a) Más de 9 errores?
b) Por lo menos 9 errores?
2.- Los salarios de los trabajadores en cierta industria son en promedio $11,9 por hora y
la desviación estándar de $0,4. Si los salarios tienen una distribución normal. ¿Cuál
es la probabilidad de que un trabajador seleccionado al azar:
a) Reciba salarios entre $10,9 y $11,9?
b) Reciba salarios inferiores a $11?
c) Reciba salarios superiores a $12,95?
d) ¿Cuál debe ser el salario menor que gana un trabajador que se encuentra entre el
10% de los trabajadores que más ganan?
e) Si el dueño de la industria va a aumentarle el salario al 15% de los trabajadores que
menos ganan. ¿Cuál será el salario máximo que deberá ganar un trabajador para ser
beneficiado con el aumento?
3.- El volumen de acciones negociadas en la Bolsa es normal con una media de 646
millones de acciones y una desviación de 100 millones de acciones.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado sea menor de 400 millones?
CLETO DE LA TORRE
131
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado de acciones oscile entre las
400 y las 600 acciones?
c) Si la Bolsa quiere emitir un boletín de prensa sobre el 5% de los días más activos
¿Qué volumen publicará la prensa?
4.- Se toma una muestra de 12 trabajadores de una gran empresa para estudiar su
actitud frente a un cambio en el método de trabajo. Si el 60% de todos los trabajadores
de la empresa están a favor del cambio. ¿Cuál es la probabilidad de que menos de 5 de
los miembros de la muestra estén a favor?
5.- La tasa real de desempleo es de 15%. Suponga que se seleccionan al azar 15 personas
en posibilidad de trabajar.
a) ¿Cuál es la cantidad esperada de desempleados?
b) ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar de los desempleados?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 estén desempleados?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que haya entre 3 y 5 desempleados?
6.- Se sabe que el 30% de los clientes de una tarjeta de crédito a nivel nacional dejan en
cero sus saldos para no incurrir en intereses morosos. En una muestra de 8
poseedores de esa tarjeta:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que de 4 a 6 clientes paguen sus cuentas antes de incurrir
en el pago de intereses?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que 3 clientes o menos paguen sus cuentas antes de
incurrir en pago de intereses?
7.- Sabiendo que la recaudación diaria de cierto comercio minorista se distribuye
normalmente con un monto promedio de $830 y un desvío estándar de $125:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que mañana se recaude menos de $885?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que mañana se recaude más de $600?
c) ¿En qué porcentaje de los días se recauda entre $700 y $800?
d) ¿En qué porcentaje de los días se recauda entre $900 y $1500?
ESTADISTICA
132
e) ¿Cuál es el monto no superado en el 20% de los días?
f) ¿Cuál es el monto sólo superado en el 30% de los días?
8.-Las ventas mensuales de un producto tienen distribución normal. Se sabe que el 15%
de los meses se venden menos de 1.500 unidades , mientras que el 7% de los meses
las ventas superan las 1800 unidades.
a) Definir la variable aleatoria e identificar sus parámetros.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas mensuales sean de 1600 unidades?
c) ¿Cuál es la venta garantizada el 90% de los meses?
9.- La creciente recesión económica lleva a las empresas a modificar, entre otras cosas,
sus condiciones de pago. En cierta industria se determinó que en el último año las
cobranzas se realizaron a los 120 días fecha factura en promedio, con un desvío típico
de 20 días (sin considerar los incobrables y clientes en gestión judicial) y que la
variable “días de cobranza” se distribuye normalmente.
a) Si no varían las condiciones económicas ni comerciales para el año próximo ¿cree que
es muy probable que en la industria estudiada lleguen a cobrar a más de 150 días?
b) ¿En cuántos días como máximo se espera cobrar el 85 % de las operaciones ?
c) Si la última cobranza se efectivizó en un plazo inferior al promedio de días, ¿cuál es
la probabilidad de que la empresa haya cobrado después de los 100 días ?
10.- El costo de un producto que se procesa en forma automática está formado por el
costo de los materiales del envase (0,07 m2/unidad) y el costo del producto en sí mismo
(5 gramos/unidad), tomándose como unidad el envase de presentación.
Debido a ciertas fluctuaciones, dichos costos son variables aleatorias independientes
que pueden considerarse normalmente distribuidas:
- el costo de materiales (x) con media 180$/m2
y desvío estándar de 2$/m2.
- el costo del producto (y) con media 20$/gramo, y desvío estándar de 1,5 $/gramo.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo del producto de una unidad supere los $ 122?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el costo de un pack de 25 unidades supere los 2950$?
CLETO DE LA TORRE
133
CAPITULO VII
INTRODUCCION AL MUESTREO
7.1 INTRODUCCION.
El objetivo de la estadística es hacer inferencias acerca de una población con base
en la información contenida en una muestra. Este mismo objetivo motiva el
estudio del problema de muestreo. Consideraremos el problema particular del
muestreo de una población finita (colección finita de mediciones).
En lo referente al muestreo, la inferencia consiste en la estimación de un parámetro
de población, tal como una medida, un total o una proporción con un límite para
el error de estimación (precisión).
Para un buen entendimiento del problema de muestreo, introduciremos
enseguida, ciertos aspectos técnicos comunes a las encuestas de muestreo.
7.2 DEFINICION DE TÉRMINOS, REVISIÓN DE CONCEPTOS.
Población (UNIVERSO): Es una colección finita o infinita de individuos o
elementos. No necesariamente se refiere a una colección de organismos vivientes.
En el muestreo, usualmente se distingue el significado de los términos universo y
población, indicando con el primero un conjunto de elementos, individuos,
unidades, seres y objetos, y con el segundo un conjunto de mediciones de los
mismos.
ESTADISTICA
134
Una tarea importante para el investigador es definir cuidadosa y completamente
la población antes de recolectar la muestra. La definición debe contener una
descripción de los elementos que serán incluidos y una especificación de las
mediciones que se van a considerar, ya que estas dos componentes están
interrelacionadas.
Muestra: Es un subconjunto de la población. Una muestra puede ser
probabilística (aleatoria) o no probabilística.
Unidad de Muestreo: Es una colección de uno o más elementos de la población.
Las unidades de muestreo cubren toda la población. Una unidad de muestreo
debe ser claramente definida, identificable y observable.
Unidad Reportante: Es la que suministra la información estadística requerida o de
la cual la información la información puede ser convenientemente averiguada.
Marco de Muestreo: Se presenta en forma de lista o mapa de las unidades de
muestreo que conforman la población. Forma el material básico para la selección
de la muestra.
El marco muestral debe contener todas las unidades de muestreo que conforman
la población bajo estudio, y debe excluir unidades de cualquier otra población.
Parámetro: Es un valor numérico de la población usualmente desconocido que
representa cierta característica de la población.
Estadístico: Es una función real de la muestra aleatoria, usado para estimar un
parámetro, si un parámetro se denota con , el estimador se denotará con ˆ .
Estimación: Es el valor que toma el estimador en los datos de la muestra.
Error de Estimación: Es la diferencia absoluta entre el parámetro y su estimador,
es decir || . Como se puede apreciar, es imposible conocer con exactitud el
CLETO DE LA TORRE
135
error de estimación, pero podemos, al menos aproximadamente encontrar un
límite E tal que:
)|ˆ(| EP
Para cualquier entre 0 y 1.
Si ˆ tiene distribución aproximadamente normal, entonces para
)ˆ(96.1 VE se cumple:
95.0)|ˆ(| EP
Limite para el error de estimación: Denotado por E es dado por )ˆ(96.1 VE . El
factor E es llamado también precisión. Si E esta expresado en las mismas unidades
de la medida de la variable, se le llama precisión absoluta. Si E está expresado
como un porcentaje del parámetro que se está estimando, se le llama precisión
relativa.
Una ves estimado el límite E, podemos afirmar que el parámetro se encuentra en
el intervalo EE ˆ,ˆ con una confianza del 95%. El intervalo anterior es
llamado intervalo de confianza.
Error de Muestreo: Este error se debe a que una muestra no produce información
completa sobre una población. Puede ser controlado por un diseño cuidadoso de
la muestra y es estimado en gran parte por el factor E. Por esta razón, algunos
autores denominan al factor E, error de muestreo.
Error de no Muestreo: Son los errores que se introducen imperceptiblemente a la
encuesta y estos son más difíciles de controlar, infortunadamente estos errores no
se pueden medir fácilmente, y aumentan a medida que aumenta el tamaño de la
muestra. Los tipos errores no muestrales que suelen presentarse son:
- Definición equivocada del problema.
- Definición defectuosa de la población.
- Marco imperfecto o desactualizado.
ESTADISTICA
136
- La no respuesta.
- El sesgo de respuesta.
- Diseño pobre del instrumento de medición.
Sin embargo, los errores de no muestreo pueden ser controlados mediante una
atención cuidadosa en todas las etapas de la encuesta.
7.3 ENCUESTA.
La función de la encuesta es la medición del comportamiento, actitudes o
características del encuestado, que es un individuo de la población en estudio
seleccionado para la muestra.
Diseño de la encuesta
Pasos a seguir:
Definir los objetivos
Determinar el marco
Diseñar el procedimiento de muestreo
Diseñar el cuestionario
Diseñar y realizar el trabajo de campo
Codificar, depurar y analizar las respuestas
Redactar el informe
Diseño de la muestra
El diseño de la muestra incluye:
La elección del procedimiento de muestreo
La determinación del tamaño de la muestra
Existen varios procedimientos de muestreo, entre las principales se tiene
muestreo: aleatorio simple, estratificado y sistemático.
CLETO DE LA TORRE
137
7.4 MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
Definición. Si una muestra de tamaño n, es seleccionado de una población de
tamaño N de tal manera que cada muestra posible tiene la misma probabilidad de
ser seleccionada, el procedimiento de muestreo se llama Muestreo Aleatorio
Simple (M. A. S.)
El M. A. S. puede ser de 2 formas, sin preposición (muestreo irrestricto aleatorio)
y con reposición.
Procedimiento de selección.
El procedimiento de selección de una Muestra Aleatoria Simple (M.A.S.) consiste
en:
i) Enumerar las unidades de la población, desde 1 hasta N.
ii) Usando la tabla de números aleatorios seleccionar la primera unidad para la
muestra.
iii) Continuar la selección excluyendo las unidades repetidas (si es sin
reposición) o incluyendo las unidades repetidas (si es con reposición) hasta
completar el tamaño de muestra n.
Tamaño de la muestra
Una parte fundamental para realizar un estudio estadístico de cualquier tipo es
obtener unos resultados confiables y que puedan ser aplicables. Como ya se
comentó anteriormente, resulta casi imposible o impráctico llevar a cabo algunos
estudios sobre toda una población, por lo que la solución es llevar a cabo el
estudio basándose en un subconjunto de ésta denominada muestra. Sin embargo,
para que los estudios tengan la validez y confiabilidad buscada es necesario que
tal subconjunto de datos, o muestra, posea algunas características específicas que
permitan, al final, generalizar los resultados hacia la población en total.
Esas características tienen que ver principalmente con el tamaño de la muestra y
con la manera de obtenerla. El muestro, implica algo de incertidumbre que debe
ESTADISTICA
138
ser aceptada para poder realizar el trabajo, pues aparte de que estudiar una
población resulta ser un trabajo en ocasiones demasiado grande.
Para calcular el tamaño de una muestra hay que tomar en cuenta tres factores:
- El porcentaje de confianza con el cual se quiere generalizar los datos desde la
muestra hacia la población total.
- El porcentaje de error que se pretende aceptar al momento de hacer la
generalización.
- El nivel de variabilidad que se calcula para comprobar la hipótesis.
1. Tamaño de muestra para Estimar
Si se desea estimar , con precisión fijada por el investigador, el tamaño de
muestra necesario es dado por:
2 2
(1 / 2)
22 2
(1 / 2)
*
* ( 1)
Z Nn
Z N Población finita.
2 2
(1 / 2)
2
*Zn , Población infinita.
Donde
2 Es la varianza poblacional
En la practica el valor de 2 estimado por S2 a partir de una encuesta anterior o
de una muestra piloto.
2. Tamaño de la muestra para estimar P.
De manera simular, la fórmula del tamaño de muestra n para la estimación de p
con error máximo de estimación de y un nivel de confianza del
100(1 - )%:
2
(1 / 2)
22
(1 / 2)
* * (1 )
* (1 ) ( 1)
Z N p pn
Z p p N, Población finita.
y si N :
CLETO DE LA TORRE
139
2
(1 / 2)
2
* (1 )Z p pn , Población infinita.
En este caso el valor de esta entre 0 y 1, el valor de P es desconocido, por lo que
debe ser estimado preliminarmente a partir de una encuesta anterior, o de una
muestra piloto. En última instancia el valor de P se puede sustituir por 0.5 y se
obtendrá un tamaño de muestra mayor que el requerido.
Recomendaciones para el uso del M. A. S.
Generalmente el M. A. S. Esta orientada a encuestas de pequeña escala y raras
veces a encuestas de gran escala, debido a que otros diseños proporcionan mayor
o igual precisión a menor costo.
En las encuestas por muestreo a gran escala, el M. A. S. es usado como
parte de un diseño de muestreo mucho más complejo.
El M. A. S. es muy eficiente cuando la población es homogénea.
7.5 MUESTREO ESTRATIFICADO.
Una muestra estratificada es la obtenida mediante la separación de los elementos
de la población en grupos heterogéneos disjuntos, llamados estratos y la selección
posterior de una muestra aleatoria simple en cada estrato.
Consideremos una población de tamaño N, la cual es dividida en k estratos (sub
poblaciones) de tamaños Ni, i=1,2…., k, tal que 1 2 ... kN N N N
El tamaño de muestra se estima mediante:
N1 N2 NK …
ESTADISTICA
140
2 2
(1 / 2)
1
2 2 2
(1 / 2)
1
* (1 ) /
* (1 )
k
i i i i
i
k
i i i
i
Z N p p w
n
N Z N p p,
es iw el % de observaciones asignados al estrato i
El tamaño de muestra necesario de cada estrato, se puede obtener por afijación
proporcional al tamaño de cada estrato, es decir:
* * , 1,...,ii i
Nn n n w i k
N
Cuando se realiza un muestreo estratificado, los tamaños muestrales en cada uno
de los estratos, ni, los elige quien hace el muestreo, Así en un estrato dado, se
tiende a tomar una muestra más grande cuando:
- El estrato es más grande;
- El estrato posee mayor variabilidad interna (varianza);
- El muestreo es más barato en ese estrato.
7.6 MUESTREO SISTEMATICO
Definición.- Una muestra obtenida al seleccionar aleatoriamente un elemento de
los primeros k elementos en el marco y después cada k-ésimo elemento, se
denomina muestra sistemática de intervalo de selección k.
El muestreo sistemático puede ser de dos formas, muestreo sistemático simple y
muestreo sistemático circular.
Procedimiento de selección del muestreo sistemático simple.
Una muestre sistemática simple se obtiene cuando el intervalo de selección k es
exactamente un numero entero.
El procedimiento de selección de una muestra sistemática simple consiste:
i) Las unidades del marco deben ser ordenados en magnitud de acuerdo con
algún esquema de ordenación (población ordenada) es base al orden se establece
la numeración desde 1 hasta N
ii) Determinar el intervalo de selección N
kn
(k exactamente un numero entero)
CLETO DE LA TORRE
141
iii) Seleccionar un numero aleatorio entre 1 y k (arranque aleatorio) sea “a” el
arranque aleatorio elegido, entonces los elementos de la muestra sistemática, son
los que ocupan las posiciones en el marco:
a, k+a, 2k+a, 3k+a,......(n-1)k+a
ESTADISTICA
142
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Un empresario dedicado al rubro de pizzería, desea hacer una estimación del gasto
que realizan las personas en pizza por semana, con 99% de confianza, suponiendo
que el máximo error permitido es de un soles, además de una muestra piloto se
obtuvo una varianza de 25. También se sabe la ciudad tiene 2500 ciudadanos ¿Que
tamaño de muestra necesitara para investigar?
Solución.
2
(1 /2)2500, 1, 25, 2.58N Z
2 2 2(1 / 2)
2 22 2 2
(1 / 2)
* 2.58 *2500*25156.08 157
* ( 1) 2.58 *25 (2500 1) 1
Z Nn
Z N
2. Las compañías de auditoría generalmente seleccionan una muestra aleatoria de los
clientes de una banco y verifican los balances contables reportados por el banco. Si
una compañía de este tipo se encuentra interesada en estimar la proporción de
cuentas para las cuales existe una discrepancia entre el cliente y el banco, ¿cuántas
cuentas deberán seleccionarse del banco si esta tiene 25000 clientes, de manera tal
que con una confianza del 95% la proporción muestral se encuentre a no más de
5% unidades de la proporción real?.
Solución.
Consideremos que no se tiene ningún estudio de este tipo, por tanto 0.5P , del
problema: (1 /2)25000, 0.05, 1.96N z
2
(1 / 2)
22
(1 / 2)
* (1 )
* (1 ) ( 1)
Z NP Pn
Z P P N
2
22
1.96 *25000*0.5(1 0.5)378.361 379
1.96 *0.5(1 0.5) (25000 1) 0.05n
CLETO DE LA TORRE
143
3. El administrador de una empresa A desea hacer un estudio de investigación de
mercado en cierta región, respecto al posicionamiento que tiene su marca, con un
nivel de confianza del 95% y un error del 5%. Suponiendo que en estudio realizado
hace 10 años, el nivel de posicionamiento de su marca es de 15% ¿Cual debe ser el
tamaño de muestra para este estudio?
Solución.
La población materia de estudio, no es finita, por tanto la relación para estimar el
tamaño de muestra es:
2
(1 / 2)
2
* (1 )Z P Pn
Del problema se tiene los siguientes datos
(1 /2)0.15, 0.05, 1.96P z
2
2
1.96 *0.15(1 0.15)195.92 196
0.05n
4. Se desea lanzar un nuevo producto al mercado, para ello usted tiene que realizar
un estudio de la demanda de este producto. Suponiendo que esta ciudad se divide
en tres distritos, cuyo tamaño poblacional se muestra en el cuadro siguiente:
Distrito Tamaño de población.
A 2000
B 1200
C 5000
Total 8200
Considere que el tamaño de muestra es 245, calcule el tamaño de muestra por cada
ciudad, necesario para este estudio.
Solución.
En este ejemplo, los distritos forman los estratos:
ESTADISTICA
144
Ciudad Ni wi
A 2000 =2000/8200=0.24
B 1200 =1200/8200=0.15
C 5000 =5000/8200=0.61
Total N=8200 1
n=245.
Usando la relación,
* * , 1,...,ii i
Nn n n w i k
N, Se determina el tamaño de muestra para cada
distritos.
* * 0.24*245 59.76 60AA A
Nn n n w
N
* * 0.15*245 35.85 36BB B
Nn n n w
N
* * 0.61*245 149.39 149CC C
Nn n n w
N
EJERCICIOS PROPUESTOS.
1. SUNAT tiene previsto realizar una auditoria a cuentas de un grupo de
empresas con la finalidad de estimar la proporción de empresas que presentan
desbalance financiero ¿cuántas cuentas empresas deberán seleccionarse de
manera tal que con una confianza del 99% la proporción muestral se encuentre a
no más de 0.02 unidades de la proporción real?.
2. Unos grandes almacenes tienen 1000 empleados en uno de sus centros. Calcular
el tamaño muestral necesario para estimar su salario anual medio con un error
máximo de 80 soles para un nivel de confianza del 95%. (Por estudios anteriores
se sabe que el salario anual sigue una distribución normal con desviación típica
de 70 soles).
3. Una tienda se interesa en estimar su volumen de ventas diarias. Supóngase que
el valor de la desviación típica es de 50 soles. Si el volumen de ventas se puede
modelizar por una distribución normal, ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra
CLETO DE LA TORRE
145
para que con una confianza del 95% la media muestral se encuentre a no más de
20 soles del verdadero volumen medio de ventas?
4. Se esta realizando una auditoria respecto al incumplimiento de entrega de
facturas en un región que tiene 4 provincias (A, B, C y D). Se sabe también que
la provincia A tiene el 45% de la poblacional regional, la provincia B 10%, la
provincia C el 22% y la provincia D el resto de la población regional.
Determine el tamaño de muestra para este estudio, suponiendo que la región
tiene 12000 centros comerciales.
5. Para un mercado de prueba, encuentre el tamaño de muestra necesario para
estimar proporción real de consumidores satisfechos con un cierto producto
nuevo, dentro de ± 0,04 nivel de confianza de 90%. Suponga que no tiene una
buena idea del valor de la proporción.
6. Una tienda local vende bolsas de plástico para basura y ha recibido unas cuantas
quejas con respecto a la resistencia de tales bolsas. Parece ser que las bolsas que
se venden en la tienda son menos resistentes que las que vende su competidor y,
en consecuencia, se rompen más a menudo. Gustavo, gerente encargado de
adquisición, está interesado en determinar el peso máximo promedio que puede
resistir una de las bolsas para basura sin que se rompa. Si la desviación estándar
del peso límite que puede aguantar una bolsa es de 1,2 Kg., determine el número
de bolsas que deben ser probadas con el fin de que Gustavo tenga una certeza de
95% de que el peso límite promedio está dentro de 0,5 Kg., del promedio real.
7. Elena acaba de adquirir un programa de computación que afirma escoger
acciones que aumentarán su precio durante la semana siguiente con un índice de
precisión de 85%. ¿En cuántas acciones deberá Elena probar el programa con el
fin de estar 98% segura de que el porcentaje de acciones que realmente subirán
de precio durante la semana próxima estará dentro de ±0,05 de la muestra de la
población?.
8. Se planea una investigación para determinar los gastos médicos familiares
promedios por año. La administración de la compañía desea tener 95% de
confianza de que el promedio muestral es correcto dentro de ± $50 del promedio
ESTADISTICA
146
real familiar. Un estudio piloto indica que la desviación estándar se puede
estimar como $400. ¿Qué tamaño de muestra se requiere?
9. El Gerente de un banco desea 90% de confianza de tener un resultado correcto
dentro de ± 0,05 de la proporción de la población real de ahorradores que tienen
cuantas de ahorros y de cheques en el banco. ¿De cuántos ahorradores debe ser
su cuenta?
10. Un grupo de consumidores desea estimar el monto de facturas de energía
eléctrica para el mes de julio para las viviendas unifamiliares en una ciudad
grande. Con base a estudios realizados en otras ciudades se supone que la
desviación estándar es de 25 dólares. El grupo desea estimar el monto promedio
para le mes de julio de ± 5 dólares del promedio verdadero con 99% de
confianza. ¿Qué tamaño de muestra se necesita?
CLETO DE LA TORRE
147
CAPITULO VIII
ESTIMACION POR INTERVALOS Y PRUEBAS DE
HIPOTESIS
8.1 DISTRIBUCIONES MUESTRALES.
DISTRIBUCION NORMAL.
En este capitulo abordaremos el estudio de la distribución normal y de otras
distribuciones asociadas a funciones de una muestra al azar de esta variable. El
porque de la importancia de la distribución normal se ilustra a través de las
siguientes propiedades y distribuciones.
PROPOSICION
1. Teorema del limite central (TLC). Si nXXX ,...,, 21 son n v.a.’s independientes,
donde cada Xi tiene la misma distribución de valor esperado y varianza 2,
entonces para n suficientemente grande (en la práctica n 30) se cumple que
aproximadamente
n
X
n
nXZ
n
i i
/
1 N (0, 1).
2. Aproximación de la Binomial por la Normal. Si X B (n, p) y n es
suficientemente grande, entonces aproximadamente:
pnp
npXZ
1 N (0, 1).
ESTADISTICA
148
Aquí, para el cálculo de probabilidades, se recomienda utilizar la llamada
corrección por continuidad: Si a b son dos números naturales, entonces
aproximadamente:
.112
1
2
1 21
21
pnp
npaFz
pnp
npbFzbXaPbXaP
LA DISTRIBUCION CHI-CUADRADO.
Una v.a. X tiene distribución chi-cuadrado con n grados de libertad, y se le denota
por X 2 (n).
PROPOSICION.
1. Si Z N (0, 1), entonces Z2 2 (1).
2. Propiedad reproductiva. Si 2 2 2
1 2 k ... son k variables aleatorias
independientes con distribuciones chi-cuadrado de respectivamente knnn ,...,, 21
grados de libertad, entonces
2 2
1
k
i
i
Es también una v.a. con distribución chi-cuadrado de k
i inn1
grados de
libertad.
3. Si nXXX ,...,, 21 es una m.a de X N ( , 2), entonces
2
21 SnW 2 (n -1).
LA DISTRIBUCION T DE STUDENT.
Una v.a. X tiene distribución t de Student con n grados de libertad, y se le denota
por X t(n).
PROPOSICION.
1. Sea X t(n). Si n es grande, entonces aproximadamente X N (0, 1).
2. Si Z N (0, 1) y 2 2 (n) son v.a’s independientes, entonces
CLETO DE LA TORRE
149
2
n
ZT t(n). En particular, dada una m.a. nXXX ,...,, 21 de X N ( , 2), se
cumple que:
nS
XT
/ t (n -1).
LA DISTRIBUCION F DE FISHER.
Una v.a. X tiene distribución F de Fisher con n grados de libertad en el numerador y
m grados de libertad en el denominador, y se le denota por X F (n, m).
PROPOSICION.
1. Si X F (n, m), entonces X1 F (m, n).
2. Si 2
1 2(n) y 2
2 2(m) son v.a’s independientes, entonces
2
1
2
2
/
/
nF
m F (m, n). En particular, si nXXX ,...,, 21 es una v.a. de X N ( 1, 12),
e mYYY ,...,, 21 una m.a de una v.a. Y N ( 2, 22), donde X e Y son independientes,
entonces
21
22
22
21
S
SF F (n -1, m - 1),
Siendo 2
1S y 22S las varianzas muestrales asociadas a las poblaciones estadísticas
determinadas por X e Y, respectivamente.
Nota: La distribución normal estándar, t de Student, chi-cuadrado y F de Fisher
poseen todas tablas en la que se tabulan algunos valores de su función de
distribución.
8.2 INTERVALOS DE CONFIANZA.
Cuando tratamos la estimación puntual, uno de los problemas que se plantearon
es que el valor de la estimación es solo uno de los valores (posiblemente infinitos)
ESTADISTICA
150
del estimador, obtenido al extraer una muestra concreta, de forma que si
extraemos dos muestras distintas, las estimaciones serán distintas.
Al hacer cualquier estimación se está cometiendo un error, y seria deseable
proporcionar una medida de la precisión de la estimación del parámetro. En este
tema vamos a introducir el concepto de intervalo de confianza como un intervalo
cuyos extremos son variables que dependen de la muestra, y en el cual se confía
que esté el valor de parámetro. El intervalo se obtendrá a partir de un estadístico
generalmente relacionado con un estimador puntual, cuya distribución no
depende del parámetro desconocido, y una medida de la validez del intervalo es
el nivel de confianza, que indica la proporción de intervalos de todos los que se
podrían construir a partir de muestras distintas, que realmente contienen al
parámetro.
Definición.
Un intervalo de confianza (IC) al 100(1 - )% para un parámetro poblacional de
una v.a. X es un intervalo con estadísticas L1 y L2 en los extremos (IC = L1, L2 ) tal
que .121 LLP
Intervalo de confianza para la media
El IC al 100(1 - )% para , cuando 2 es conocida, se obtiene usando como
pivote a n
XZ
/ N (0, 1) y vienen dado por
2 21 1
X z X zn n
Donde 2
1z denota al valor de la distribución normal estándar, X es el valor de
la media muestral.
CLETO DE LA TORRE
151
Z(1 Z(1
1
/2 /2
El IC al 100(1 - )% para , cuando 2 es desconocida se obtiene usando como
pivote a nS
XT
/ t (n -1) y vienen dado por
2 2(1 , 1) (1 , 1)
,n n
S SX t X t
n n
t(1 t(1
1
/2 /2
Donde 12
1nt denota al valor de la distribución t de Student con n – 1 grados de
libertad y la varianza muestral dado por
2
2 1
1
n
i
i
x x
Sn
Intervalo de confianza para la varianza 2
El IC al 100(1 - )% para 2, se obtiene usando como pivote a 2
21 SnW 2 (n -
1) y vienen dado por :
2 2
2 2
2
2 2
1
1 1
1 1
n S n S
n n
ESTADISTICA
152
1
2
(1 /2)
2
( /2)
Donde 12
2
n y 12
12
n denotan a los valores en la distribución chi-
cuadrado con n – 1 grados de libertad y la varianza muestral dado por:
2
2 1
1
n
i
i
x x
Sn
Intervalo de confianza para la razón de dos varianzas 2 2
1 2/
El IC al 100(1 - )% para 2 2
1 2/ , se obtiene usando como pivote a
2 2
1 11 22 2
2 2
/1, 1
/
SF F n n
S y vienen dado por
2 1 2 1
2 2 2
1 1 1/ 2, 1, 1 1 / 2, 1, 12 2 2
2 2 2
n n n n
S Sf f
S S
Donde 2 1/ 2, 1, 1n nf y
2 11 /2, 1, 1n nf denotan a los valores en la distribución
F. 2
1S y 2
2S son las varianzas de dos muestras aleatorias independientes de tamaños
1n y 2n
Intervalo de confianza para la diferencia entre dos medias. 1 2
El IC al 100(1 - )% para 1 2
, cuando 2
1y 2
2 es conocida se obtiene usando como
pivote a 1 2 1 2
2 2
1 2
1 2
( )X Xz
n n
y vienen dado por:
CLETO DE LA TORRE
153
2 2 2 2
1 2 1 21 2 (1 / 2) 1 2 1 2 (1 / 2)
1 2 1 2
( ) * ( ) *X X z X X zn n n n
Intervalo de confianza para la proporción p
El IC al 100(1 - )% para p , se obtiene usando como pivote a
1p p
n
p pZ N (0, 1),
y vienen dado por:
2 2
1 1
1 1
p p p p
n np z p p z
Intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones 1 2p p
El IC al 100(1 - )% para 1 2p p , se obtiene usando como pivote a
1 1 2 2
1 2
1 2 1 2)
1 1
( ) (
p p p p
n n
p p p pZ
N (0, 1),
y vienen dado por:
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 22 2
1 1 1 1
1 2 1 2 1 21 1( ) * ( ) ( ) *
p p p p p p p p
n n n np p z p p p p z
RESUMEN DE INTERVALO DE CONFIANZA.
ESTADISTICA
154
Intervalos de confianza de: Limite inferior Limite Superior
La Media
Si se asume 2 conocido
-Nota: Si la población no es normal
pero n 30
21
X zn
21
SX z
n
21
X zn
21
SX z
n
La Media
Si se asume que 2 es
desconocido
2(1 , 1)n
SX t
n
2(1 , 1)
,n
SX t
n
La diferencias de Medias
21 y
22 Conocidos
--Nota: Si las poblaciones no son
normales pero n1 30 y n2 30
2 2
1 21 2 (1 / 2)
1 2
( ) *X X zn n
2 2
1 21 2 (1 / 2)
1 2
( ) *S S
X X zn n
2 2
1 21 2 (1 / 2)
1 2
( ) *X X zn n
2 2
1 21 2 (1 / 2)
1 2
( ) *S S
X X zn n
La diferencia de Medias
Asumiendo que: 22
21 y
desconocidos
1 2 0
1 2
1 1( ) * pX X t S
n n
2
11
21
222
211
nn
SnSnpS
1 2 0
1 2
1 1( ) * pX X t S
n n
1 2(1 /2,n + n -2)ot t
La diferencia de Medias
22
21 y desconocidos
2 2
1 21 2 (1 / 2, )
1 2
( ) *v
S SX X t
n n
12
2)2/22
(
11
2)1/21
(
2
1
21
1
21 )(
n
nS
n
nS
n
S
n
S
v
2 2
1 21 2 (1 / 2, )
1 2
( ) *v
S SX X t
n n
La varianza
2
2
2
1
1
1
n S
n
2
2
2
1
1
n S
n
La razón de varianzas.
2 1
2
1/ 2, 1, 12
2
n n
Sf
S 2 1
2
11 / 2, 1, 12
2
n n
Sf
S
La proporción
2
1
1
p p
np z
2
1
1
p p
np z
CLETO DE LA TORRE
155
La diferencia de proporciones
1 1 2 2
1 22
1 1
1 2 1( ) *
p p p p
n np p z
1 1 2 2
1 22
1 1
1 2 1( ) *
p p p p
n np p z
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- En una muestra de 250 empresas se estimo el monto de recaudación en un día,
obteniéndose un monto medio de 5900 soles y una desviación típica de 94 soles.
Obtener un intervalo de confianza (al 95%) para el monto medio de recaudación
diaria.
Solución.
21
250, 5900, 94, 1.96n X z
Reemplazando en la relación
2 21 1
X z X zn n
Z(1 Z(1
1
/2 /2
94 945900 1.96 5900 1.96
250 250
5888.34 5911.65
2. Se realizo un estudio en 30 minimercados sobre el pago por derecho de
impuestos, obteniéndose un pago medio de 256 soles y un desvío de 32 soles.
Encontrar el intervalo de confianza para el 95%.
Solución.
2(1 , 1)
30, 256, 32, 2.045n
n X s t
ESTADISTICA
156
Reemplazando en la relación
2 2(1 , 1) (1 , 1)
,n n
S SX t X t
n n
32 32256 2.045 256 2.045
30 30
244.05 267.9
3. Un investigador entrevisto a 200 profesionales sobre el conocimiento que estas
tienen de la inversión en la bolsa de valores de Lima, de los cuales 140 afirman que
conocen adecuadamente. Construir un intervalo de confianza del 95% para la
proporción de profesionales que conocen aspectos de inversión de BVL.
Solución.
1400.7
200p ,
21
1.96z , n=200
2 2
1 1
1 1
p p p p
n np z p p z
0.7(1 0.7) 0.7(1 0.7)
200 2000.7 1.96 0.7 1.96p
4. SUNAT con el propósito de incrementar la recaudación fiscal, diseña dos sistemas
(A y B) de control para cumplimiento de entrega de facturas o boletas. El sistema
A, se utiliza para controlar a 250 empresas, el sistema B a 200 empresas. Después
de un periodo de vigilancia de los sistemas se observo que 75 empresas vigiladas
con el sistema A no entregan boletas o facturas A y 80 vigiladas con el sistema B
también incumplieron con la entrega de facturas. Utilizando un intervalo de
confianza del 95% ¿ Se puede aceptar que los dos sistemas presentan similar
eficiencia ?
Solución.
Sistema A
1
750.3
250p ,
1 250n
Sistema B
CLETO DE LA TORRE
157
2
800.4
200p ,
1 200n
21
1.96z
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2 1 22 2
1 1 1 1
1 2 1 2 1 21 1( ) * ( ) ( ) *
p p p p p p p p
n n n np p z p p p p z
0.3 1 0.3 0.4 1 0.4 0.3 1 0.3 0.4 1 0.4
1 2250 200 250 200(0.3 0.4) 1.96* ( ) (0.3 0.4) 1.96*p p
1 2-0.18 ( ) -0.011p p
El intervalo contiene solo valores negativos, entonces.
1 2 1 2( ) 0p p p p
De la relación anterior se concluye que el sistema de control A presenta menor
nivel de eficiencia que el sistema B.
5. Se realizo un estudio sobre las utilidades que presenta una empresa en dos
provincias del Perú ,con tal fin se selecciona aleatoriamente un grupo de 50
cuentas de la provincia A y 40 c de cuentas de la provincia B, observándose que en
promedio en la ciudad A se genera una utilidad de 13 miles de soles y 15 miles
de soles en la ciudad B y las desviaciones estándar de la ciudad A y B
respectivamente son 3 y 4 miles de soles. Utilizando un intervalo de confianza del
95% para la diferencia de medias ¿Podemos concluir que las utilidades de la
empresa en la ciudad B es mayor que la de A?
Solución.
Ciudad A
1 1 113, 3, 50x n
Ciudad B
2 2 215, 4, 40x n
21
1.96z
2 2 2 2
1 2 1 21 2 (1 / 2) 1 2 1 2 (1 / 2)
1 2 1 2
( ) * ( ) *X X z X X zn n n n
ESTADISTICA
158
1 2
9 16 9 16(13 15) 1.96* (13 15) 1.96*
50 40 50 40
1 23.49 0.50
Como 1 2 0 , entonces
1 2.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. De una muestra de 134 auditores empleados en grandes empresas de auditorias, 82
de ellos declararon que siempre que recibían un nuevo encargo de auditoria,
preguntaban al auditor anterior cuál había sido la razón del cambio de auditor.
Calcular un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional.
2. En una muestra aleatoria de personas que visitan un famoso centro turístico, 84 de
250 hombres y 156 de 250 mujeres compraron recuerdos de su visita. Construya un
intervalo de confianza con un nivel del 95% para la diferencia entre las proporciones
reales de hombres y mujeres que compran recuerdos.
3. La Cámara de Comercio de una ciudad está interesada en estimar la cantidad media
de dinero que gasta una persona que asiste a convenciones por día. De las distintas
convenciones que se llevan a cabo en la ciudad, se seleccionaron 16 personas y se les
preguntó la cantidad que gastaban por día. Se obtuvo la siguiente información (en
dólares): 150, 175, 163, 148, 142, 189, 135, 174, 168, 152, 158, 184, 134, 146, 155, 163. Si
se supone que la cantidad de dinero gastado en un día es una v.a. normal, obtener
los intervalos de confianza a un nivel de 95 % para la cantidad media real.
4. La Cámara de Comercio de la ciudad A afirma que el ingreso medio de una familia
de esta ciudad es de 500$ más que el ingreso medio de una familia de la ciudad B. La
Cámara de Comercio de B discute esto, y encarga un estudio sobre el tema. Se toman
dos muestras, una en cada ciudad, y se obtienen los resultados siguientes :
Ciudad A: 2
A A514, x 23468, s 29043.221An
Ciudad B: 2
B A627, x 22919, s 41948.337Bn
Calcular el intervalo de confianza para la diferencia de los ingresos medios reales a
un nivel del 99%. Conclusiones. (Suponer que las poblaciones son independientes).
CLETO DE LA TORRE
159
5. Jesús es un corredor de la Bolsa de Valores y tiene curiosidad acerca de la cantidad
de tiempo que existe entre la colocación de una orden de venta y su ejecución. Jesús
hizo un muestreo de 45 órdenes y encontró que el tiempo medio para la ejecución
fue de 24,3 minutos, con una desviación estándar de 3,2 minutos. Ayude a Jesús en
la construcción de un intervalo de confianza de 95% para el tiempo medio para la
ejecución de una orden
6. Una muestra de 70 ejecutivos de una empresa fue investigada con respecto al pobre
desempeño que ésta tuvo en noviembre, 65% de los ejecutivos creía que la
disminución en las ventas se debió al alza inesperada de la temperatura, lo cual trajo
como consecuencia que los consumidores retardaran la adquisición de productos de
invierno. Encuentre el límite de confianza para esta porción, dado un nivel de
confianza igual a 0,95.
7. El dueño de una empresa investigó aleatoriamente 150 de las 3000 cuentas de la
compañía y determinó que 60% de éstas estaban en una posición excelente.
a.- Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la proporción de cuentas que
están en posición excelente.
b.- Basándose en el inciso anterior, ¿Qué tipo de estimación de intervalo podrá usted
dar para dar el número absoluto de cuentas que cumplen con los requisitos de
excelencia, manteniendo el mismo nivel de confianza de 95%?
8. Un investigador de mercado de una compañía de productos electrónicos desea
estudiar los hábitos televisivos de los residentes de una pequeña ciudad. Selecciona
una muestra aleatoria de 40 participantes y les pide que mantengan un registro
detallado de lo que ven en televisión durante una semana. Los resultados son los
siguientes:
Tiempo frente al televisor: x = 15,3 h. s = 3,8 h.
27 participantes ven las noticias al menos 3 noches por semana
a) Establezca un intervalo de confianza de 95% para el promedio semanal de
tiempo que ven televisión en esta ciudad.
b) Establezca un intervalo de confianza de 95% para la proporción de participantes
que ven las noticias al menos 3 noches por semana.
ESTADISTICA
160
c) ¿Qué tamaño de muestra necesita si desea tener 95% de confianza de que su
resultado es correcto dentro de ± 2 horas y supone que la desviación estándar
de la población es igual a 5 horas?
d) ¿Qué tamaño de muestra necesita si desea una confianza de 95% de estar dentro
de ± 0,035 de la proporción real de los que ven las noticias al menos 3 noches
por semana si no disponía de estimaciones anteriores?
e) Con base en (c) y (d), ¿qué tamaño de muestra debe seleccionar si sólo realiza
un estudio?
9. Se toma una muestra de 12 empleados de una planta productora, el número de horas
extra que estos empleados hicieron durante el último mes fueron: 22 ;16 ; 28 ; 12 ; 18
; 36 ; 23 ; 11 ; 41 ; 29 ; 26 ; 31
a) Calcular un estimador puntual para la proporción de empleados que trabajan
más de 20 horas
b) Calcular un estimador puntual para el número medio de horas extras que
trabajan los empleados.
10. Las negociaciones salariales entre su empresa y el sindicato que representa a sus
trabajadores están al borde de la ruptura. Hay un desacuerdo considerable sobre el
nivel salarial medio de los trabajadores de la sucursal A y B. Los salarios fueron
establecidos por el antiguo convenio colectivo firmado hace tres años y se basa en la
estricta antigüedad. Como los salarios están muy controlados por el convenio
colectivo, se supone que la variación salarial es la misma en las dos sucursales y que
los salarios siguen una distribución normal. Pero se piensa que hay diferencia entre
los niveles salariales medios a causa de las diferentes estructuras de antigüedad
entre las dos sucursales. El negociador del convenio colectivo por parte de la
dirección le pide que elabore un intervalo de confianza del 98% para la diferencia
entre los niveles salariales medios. Si existe una diferencia entre las medias, habrá
que hacer ajustes para elevar los salarios más bajos hasta el nivel de los más altos.
Con los datos que se dan a continuación,¿ qué ajustes habrá que hacer, en caso de ser
necesario?.
Sucursal A 2
A A23, x =17.53 $ por hora, s =93.10 An
Sucursal B 2
A A19, x =15.50 $ por hora, s =87.10 An
CLETO DE LA TORRE
161
ESTADISTICA
162
8.4 PRUEBAS DE HIPOTESIS
En muchas situaciones el investigador tiene alguna idea o conjetura sobre el
comportamiento de una o más variables en la población.
El diseño de la investigación debe permitir probar la veracidad de sus ideas sobre
la población en estudio, en base a los datos de la muestra.
La idea o conjetura es una hipótesis y el procedimiento de toma de decisión sobre
la hipótesis se conoce como prueba de hipótesis.
Una hipótesis estadística es una conjetura sobre el comportamiento probabilística
de una población.
Si la hipótesis estadística identifica por completo la distribución, recibe el nombre
de “hipótesis simple”, y si no la especifica recibe el nombre de “hipótesis
compuesta”. El contraste de hipótesis tiene por finalidad decidir si una conjetura
puede considerarse cierta, o debe rechazarse, basándonos en la información
suministrada por una muestra.
Hipótesis nula (denotada como H0). Esta hipótesis nula es la que se somete a
comprobación, y es la que se acepta o rechaza, como la conclusión final de un
contraste.
Hipótesis alternativa (denotada como Ha). Se denomina hipótesis alternativa
aquella hipótesis contra la cual queremos contrastar la hipótesis nula. Esta
hipótesis puede ser simple o compuesta. Podemos cometer dos tipos de error:
rechazar la hipótesis nula siendo ésta cierta (error de tipo I) y aceptar la hipótesis
nula cuando esta es falsa (error de tipo II).
Aceptar Ho Rechazar Ho
Ho verdadera Decisión correcta Error Tipo I
Ho falsa Error Tipo II Decisión correcta
Denominamos nivel de significación ( ) de un contraste a la máxima
probabilidad de cometer un error del tipo I que estamos dispuestos a sumir.
CLETO DE LA TORRE
163
La decisión de rechazar, o no, la hipótesis nula la tomamos a partir de la
información proporcionada por la muestra (estadístico de prueba). Realizamos una
partición del espacio muestral en dos regiones, la región crítica en la que se rechaza
la hipótesis nula (tiene probabilidad si 0H es cierta) y la región de aceptación, en la
que se acepta la hipótesis nula.
A continuación se dan una serie de regiones de aceptación para ciertos contrastes
de hipótesis con nivel de significación .
Antes de definir los pasos de una prueba de hipótesis se define algunos conceptos
básicos.
1. Nivel de significación del contraste es la probabilidad de cometer un error del tipo I,
es decir, de rechazar la hipótesis nula siendo cierta, y se acostumbra a denotar por
2. El contraste de hipótesis, es pues, un mecanismo mediante el cual se rechaza la
hipótesis nula cuando existan diferencias significativas entre los valores
muestrales y los valores teóricos, y se acepte en caso contrario. Estas variables
se medirán mediante una variable denominada estadígrafo de contraste, que
sigue una distribución determinada conocida, y que para cada muestra tomará
un valor particular.
3. La región crítica es el conjunto de valores del estadístico de contraste que nos induce a
rechazar la hipótesis nula
PASOS DE UNA PRUEBA DE HIPOTESIS.
Los pasos que son convenientes seguir para realizar el contraste de hipótesis son:
1. Formulación de hipótesis.
0 0:H Vs
0:aH ó 0:aH ó
0:aH
2. Elegir el nivel de significación, .
3. Estadístico de prueba.
4. Determinar la región crítica. La forma de la región crítica depende de la
hipótesis alterna.
Para 0:aH
ESTADISTICA
164
Z(1
Z(1
R.A. H0R.R. H0
R.R. H0
/2 /2
1
Para 0:aH
Z(1
R.A. H0 R.R. H0
1
Para 0:aH
Z(1
R.A. H0R.R. H0
1
La región de rechazo de la hipótesis nula es la sombreada. Se rechaza H0 cuando el
estadístico de prueba toma un valor comprendido en la zona sombreada y se
acepta Ho cuando el valor del estadístico de prueba cae en la región de aceptación,
región no sombreada.
CLETO DE LA TORRE
165
5. Conclusión. Determinar las conclusiones estadísticas del contraste (aceptar o
rechazar Ho).
A continuación se presentan las pruebas de hipótesis en forma de resumen.
PRUEBAS DE HIPOTESIS EN POBLACIONES NORMALES.
Pruebas de Hipótesis.
Estadística de
Prueba
Criterio de rechazo de H0
Hipótesis Nula Hipótesis
Alternativa
Prueba de Medias
H0: = 0 vs:
Si 2 conocido
-Si la población no es
normal pero n 30
Ha: 0
Ha: > 0
Ha: < 0
0
/
X
c nZ
0
/
X
c s nZ
21cZ z
1cZ z
1cZ z
Prueba de Medias
H0: = 0 vs
Si se asume que :
2 es desconocido
Ha: 0
Ha: > 0
Ha: < 0
0
/
X
c S nT
21
1cT t n
1 1cT t n
1 1cT t n
Prueba de
diferencias de
Medias
H0: 1 = 2 vs:
Asumiendo
21 y 2
2 Conocidos
--Si las poblaciones no
son normales pero
n1 30 y n2 30
Ha: 1 2
Ha: 1 > 2
Ha: 1 < 2
1 2
2 21 2
1 2n n
X X
cZ
1 2
2 21 2
1 2
s s
n n
X X
cZ
21cZ z
1cZ z
1cZ z
Prueba de diferencia
de Medias
H0: 1 = 2 vs
Ha: 1 2
Ha: 1 > 2
1 2
1 1
1 2p n n
X X
c ST
21 21
2cT t n n
1 1 2 2cT t n n
ESTADISTICA
166
Asumiendo que:
22
21 y
desconocidos
Ha: 1 < 2
2
11
21
222
211
nn
SnSnpS
1 1 2 2cT t n n
Prueba de diferencia
de Medias
H0: 1 = 2 vs
Asumiendo que:
22
21 y
desconocidos
Ha: 1 2
Ha: 1 > 2
Ha: 1 < 2
1 2
2 21 2
1 2
S S
n n
X X
cT
12
2)2/22
(
11
2)1/21
(
2
1
21
1
21 )(
n
nS
n
nS
n
S
n
S
v
21cT t v
1cT t v
1cT t v
Prueba de varianzas
H0: 2 = 20 vs
Ha: 20
2
Ha: 20
2
Ha: 20
2
2
20
12 n S
c
2 2
2 2 2 2
11 1c cn ó n
2
1 1c n
2 1c n
Prueba de razón de
varianzas.
H0: 22
21 vs
Ha: 22
21
Ha: 22
21
Ha: 22
21
2max
2min
S
c SF
2 2max min 1
1, 1c cF F n n ó F F
1 1 21, 1cF F n n
1 21, 1cF F n n
Prueba de
proporciones
H0: p =p0 Vs
Ha: p p0
Ha: p > p0
Ha: p < p0
0
(1 ) /
p p
c p p nZ
21cZ z
1cZ z
1cZ z
Prueba de diferencia
de proporciones
H0: p1 =p2 Vs
Ha: p1 p2
Ha: p1 > p2
Ha: p1 < p2
1 2
1 2
(1 ) (1 )c c c c
p p
c p p p p
n n
Z
1 1 2 2
1 2
c
n p n pp
n n
21cZ z
1cZ z
1cZ z
CLETO DE LA TORRE
167
EJERCICIOS RESUELTOS
1.- El pago en promedio por concepto de impuestos de los establecimientos comerciales
en una ciudad es de 355 soles. Se Sospecha que estos establecimientos evaden el pago
de impuestos, pagando menos del debido. Para contrastar esta hipótesis se analiza
las ventas de 60 establecimientos comerciales. Resulto una media muestral de 580
soles por concepto de impuestos. Proporcionan estos datos suficiente evidencia
estadística, al nivel de 95% de confianza, a favor de la hipótesis de que el pago de
impuestos es mayor al contribuido actualmente? . Use 180
Solución
Formulación de hipótesis.
H0: = 355
Ha: > 355
Nivel de significancia, 5%
Estadística de prueba.
0
/
X
c nZ
180 , 1 1.645z ,
160, 580n x
580 355
180/ 609.68cZ
Región critica
Z =1.6450Z =9.68
c
RegiónAceptación
RegiónCrítica
=5%
Conclusión.
Como c oZ Z
Se rechaza la hipótesis nula, por lo tanto se debe pagar más de lo que actualmente
se contribuye.
2- Se aplico una estrategia diferenciadora para colocar un producto en el mercado.
ESTADISTICA
168
En el cuadro siguiente se muestra las utilidades antes y después de aplicar la
estrategia en miles de dólares.
Antes 25 25 27 44 30 67 53 53 52
Después 27 29 37 56 46 82 57 80 61
Diferencia 2 4 10 12 16 15 4 27 9
Hay suficiente evidencia estadística (al nivel de significación 0,05) a favor de que la
estrategia presenta un efecto positivo?.
Solución
Formulación de hipótesis.
H0: d = 0
Ha: d 0
Nivel de significancia, 5%
Estadística de prueba.
0
/
X
c S nT
7.76s , (1 /2, 1) 2.262nt
19, 11n x
11 04.25
7.76 / 9cT
Región critica
t =4.25ct =2.260t =–2.260
R.A. H0R.R. H
0R.R. H
0
Conclusión.
Como 2.262ct se rechaza la hipótesis nula.
CLETO DE LA TORRE
169
3.- Se desea comparar el nivel de posicionamiento de dos empresas A y B en una
ciudad, para tal efecto se recopilo información de las recaudaciones diarias de las
dos empresas. Los resultados del estudio se muestran a continuación.
Empresa A 2
1 1 113 , 138.6 , 29.16n x S
Empresa B 2
2 2 216 , 125.8 , 26.7n x S
En base a la información, cual es su conclusión al 95% de confianza.
Solución.
Formulación de hipótesis.
H0: 1 = 2
Ha: 1 2
Nivel de significancia, 5%
Estadística de prueba.
Supongamos que las varianzas poblacionales son iguales, entonces el estadístico de
prueba es:
1 2
1 1
1 2p n n
X X
c ST t (n1 + n2 -2)
De la información se tiene:
Empresa A 2
1 1 113 , 138.6 , 29.16n x S
Empresa B 2
2 2 216 , 125.8 , 26.7n x S
2 21 1 2 2
1 2
1 1 13 1 *29.16 16 1 *26.7
2 13 16 25.27
n S n S
p n nS
1 2
1 1
1 21 1
13 16
138.6 125.86.50
5.27*p n n
X X
c ST
Región critica
20 1 2 0.975 0.9751
2 13 16 2 27 2.052T t n n t t
ESTADISTICA
170
t =2.0520
t =6.50ct =–2.0520
R.A. H0R.R. H
0R.R. H
0
Conclusión.
Como 0cT T , entonces se rechaza H0.
4- El Ministerio de Economía viene desarrollando programas destinados a la población,
con la finalidad de que exijan la entrega de Boletas o facturas por todo servicio en
dos regiones (A y B) del país. Se selecciona a pobladores de ambas regiones que no
presentaban esta cultura y se observo que de 600 residentes de la Región A, 20% en
la actualidad exige boleta o factura, en cambio de 600 residentes de la Región B , 15
% en la actualidad exige la entrega de boletas. ¿Es posible concluir con 95% de
confianza que el programa a tenido similar resultado en las provincias A y B ?
Solución.
Formulación de hipótesis.
H0: p1 =p2
Ha: p1 p2
Nivel de significancia, 5%
Estadística de prueba.
1 2
1 2
(1 ) (1 )c c c c
p p
c p p p p
n n
Z
Provincia A.
1 0.2p , 1 600n
Provincia B.
2 0.15p , 2 600n
1 1 2 2
1 2
600*0.2 600*0.150.175
600 600c
n p n pp
n n
CLETO DE LA TORRE
171
1 2
1 2
0.20 0.15
(1 ) (1 ) 0.175(1 0.175) 0.175(1 0.175)
600 600
2.279c c c c
p p
c p p p p
n n
Z
Región critica
Z =1.960Z =2.279c
RegiónAceptación
RegiónCrítica
=5%
Conclusión.
Como c oZ Z , se rechaza la hipótesis nula, por tanto p1 p2
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Un especialista trabaja como corredor para una empresa. Sus registros muestran las
tasas de rendimiento ( en porcentajes) para 10 meses en dos tipos de acciones
Acción 1 5.6 7.2 6.3 6.3 7.1 8.2 7.9 5.3 6.2 6.2
Acción 2 7.5 7.3 6.2 8.3 8.2 8.0 8.1 7.3 5.9 5.3
Que tipo de Acción debería recomendar el especialista a sus clientes que prefieren:
a) Menos riesgo de inversión
b) Mayor utilidad.
Justifique adecuadamente sus respuestas.
2) Un grupo de economistas esta realizando un estudio sobre el comercio internacional
del Perú: consideran que en el actual contexto de continuas y profundas
transformaciones, el comercio entre países debería asumir un papel activo con el fin
de ayudar al crecimiento de los países que lo llevan a cabo.
Se esta enfocando en un primer momento el comercio por el lado de las
exportaciones ya que determinan la cantidad de dólares que ingresan al país por vía
ESTADISTICA
172
intercambio comercial y porque la estructura de las mismas mostrara un mayor o
menor ingreso en divisas.
A continuación se presenta la información con la que cuenta el grupo de
economistas sobre las exportaciones (en millones de dólares) para el Perú a lo largo
de 31 años (desde 1960 -1990).
Tradicionales 1 11478 818X y s y No tradicionales
2 2340 357X y s
En base a la información que se tiene se puede concluir que:
a) Las exportaciones tradicionales en promedio anual es de 1500 millones de dólares.
b) La diferencia entre las exportaciones tradicionales en promedio y las no
tradicionales es mayor que 1000 millones de dólares.
Justifique adecuadamente sus respuestas. Usar 1%
3) Un auditor quiere estimar el monto promedio de las cuentas por cobrar de la
compañía A. Una muestra de 10 cuentas por cobrar seleccionadas al azar de un total
de 400 cuentas que tiene esta compañía revela los siguientes datos.
500, 600, 750, 480, 900, 790, 860, 900, 500, 760.
Estime la media de toda las cuentas cobrar utilizando un intervalo de confianza del
98%.Interprete el resultado brevemente.
4) La reacción de un pequeño inversionistas con respecto a un cambio de política que
modifique las reglas de juego de la economía es : retirar su inversión (A) o
continuar con la inversión inicial(B). Un investigador quiere estimar la proporción
de inversionistas que reaccionan de manera A.
a) ¿ Que tan grande debería ser la muestra si se desea que el estimado del
porcentaje de inversionistas de la población que retiran su inversión tenga error de
estimación menor que 0.04 con un nivel de confianza del 95%, además de una
prueba piloto se obtuvo que 90% retiraría su inversión
b) El investigador realiza la encuesta con una m.a de pequeños inversionistas de
tamaño igual al que obtuvo en a) y obtiene que 300 inversionistas reacción de
manera A. Desarrolla el intervalo de confianza del 97% para el porcentaje de
inversionistas que retirarían su inversión.
CLETO DE LA TORRE
173
5) El gerente de una cadena muy conocida de tiendas sospecha que su principal
competidor esta intentando vender los mismos productos a precios más bajos.
Anteriormente las dos tiendas habían mantenido un balance en los precios de forma
tal que la mitad de los artículos de una eran ligeramente más caros que los de la otra
y viceversa, para investigar esta posibilidad, envió un comprador a la otra tienda
para ver los precios de 50 artículos seleccionados al azar, observándose:
1,1,1,0,1,0,1,1,1,0,1,1,0,0,0,1,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,0,0,1,1,1,0,1,1.
Donde 1 indica precios más bajos y 0 indica que los precios se mantienen igual que
antes. ¿Se confirma la sospecha del gerente?
1. Cuando Eastern Airlines se acogió a la protección de las leyes de bancarrota en 1989
en virtud del capítulo 11, se hizo evidente que muchas de las mayores empresas de la
nación estaban en dificultades financieras. Durante una sesión de un subcomité del
Senado, el senador Kennedy estimó que las empresas que buscan liberarse de las
presiones de los acreedores debían, de media, más de 2200 millones de dólares. Una
comprobación de 17 juicios recientes en virtud del capítulo 11 reveló que las
empresas implicadas debían 2430 millones de dólares, con una desviación típica de
900 millones de dólares. ¿Está respaldada la afirmación de Kennedy al nivel del
10%?.
2. De una muestra de 361 propietarios de pequeños comercios que quebraron en un
período determinado, 105 no tuvieron asesoramiento profesional antes de abrir el
negocio. Por experiencia se sabe que lo que ha venido ocurriendo es que a lo sumo el
25% de los comercios que no reciben asesoramiento quiebran. Analice si estos
resultados prueban que ha habido un aumento en el porcentaje de quiebras. Utilice
un nivel del 90%.
3. Un investigador de marketing quiere determinar si existe alguna diferencia en la
proporción de hombres que responden favorablemente a un determinado anuncio y
la proporción de mujeres que lo hacen. De 875 hombres, 412 informan que tienen una
impresión positiva; de las 910 mujeres encuestadas, sólo 309 están a favor. Contrastar
las hipótesis a nivel de significancia del 5%
4. Una corporación bancaria quiere comparar el nivel medio de las cuentas de ahorro
abiertas en bancos comerciales del Lima con las de Cusco. Muestras de 230 agencias
ESTADISTICA
174
bancarias del Lima y 302 en Cusco, tienen medias de 1512 dólares y 1317 dólares,
respectivamente. Se sabe que la desviación típica en las cuentas para cada estado son
517 dólares para el Lima y 485 dólares para Cusco. Contrastar la hipótesis de que no
hay diferencia de ahorros medios al nivel del 5%.
5. Muchos estudios económicos se ocupan de sectores en los cuales una gran parte del
dominio del mercado se concentra en manos de unas pocas empresas. Se teme que
las empresas poderosas en sectores de tan alta concentración dominen el mercado
con fines egoístas. Se emparejaron las empresas de nueve sectores concentrados con
las de un número igual de sectores en los cuales el poder económico estaba más
disperso. Se hicieron coincidir las empresas de cada grupo en cuanto a competencia
extranjera, estructuras de costo y todos los demás factores que pueden afectar a los
precios industriales. A continuación se indican los incrementos medios del precio en
porcentajes de cada sector. Al nivel del 5%, ¿parece que los sectores concentrados
presentan una presión inflacionaria más pronunciada que los sectores menos
concentrados?
Pareados de sectores Sectores concentrados Sectores menos concentrados
1 3.7 3.2
2 4.1 3.7
3 2.1 2.6
4 -0.9 0.1
5 4.6 4.1
6 5.2 4.8
7 6.7 5.2
8 3.8 3.9
9 4.9 4.6
CLETO DE LA TORRE
175
CAPITULO IX
PRUEBA DE CHI-CUADRADO
Las pruebas de hipótesis desarrolladas anteriormente, están basadas en el supuesto de
que la muestra pertenezca a una población con distribución conocida.
Muchas de las investigaciones científicas
Aquí abordaremos dos problemas muy interesantes dentro de lo que se conoce con el
nombre de estadística no paramétrica. La prueba de homogeneidad y la prueba de
independencia.
La justificación de estos problemas es comparar las frecuencias esperadas y las
observadas.
9.1 TABLA DE CONTINGENCIA
Es relativamente frecuente encontrarse con información referida a la observación
de dos características de una población, en las que se establecen modalidades o
categorías, mediante las cuales se clasifican los individuos o elementos que
constituyen una muestra de la misma. Este tipo de distribución bidimensional de
frecuencias suele presentarse en forma de tabla de doble entrada, también llamada
tabla de contingencia.
La información obtenida del estudio generalmente se presenta en una tabla de
contingencias, en esta se tiene un conjunto de n elementos clasificados de acuerdo
a dos criterios, X e Y, cada uno de los cuales tiene una serie de categorías
mutuamente excluyentes:
ESTADISTICA
176
1Y 2Y ...... jY
cY Total
1X 11o
12o 1 jo
1co 1.n
2X 21o
22o 2 jo
2co 2.n
... ... ... ... ... ...
iX 1io
2io ijo
ico .in
... ... ... ... ... ...
rX 1ro
2ro rjo
rco .cn
Total .1n
.2n . jn
.cn n
En esta tabla, ijo representa la frecuencia observada, es decir, el número de
individuos que pertenecen simultáneamente a las categorías iX e jY .
.
1
r
j ij
i
o n y .
1
c
i ij
j
o n
En esta sección se verán las pruebas de homogeneidad y de independencia. Si
bien ambas pruebas presentan el mismo procedimiento de cálculo, las
hipótesis a probar son diferentes y por lo tanto las conclusiones obtenidas
también.
9.2 PRUEBA DE HOMOGENEIDAD.
En ocasiones ocurre que tenemos a varias poblaciones clasificadas de acuerdo con
las categorías definidas para una determinada variable. La pregunta que se
sugiere inmediatamente es si la proporción de individuos pertenecientes a cada
una de las clases es la misma en todas las poblaciones. Si, con la información
suministrada por las muestras obtenidas, se puede aceptar que esto es así, diremos
que las poblaciones son homogéneas con respecto a la variable de clasificación
utilizada.
Existen r poblaciones y una muestra aleatoria es extraída desde cada población.
Sea ni. el tamaño de la muestra extraída de la i-ésima población. Cada
observación de cada muestra puede ser clasificada en una de c categorías
CLETO DE LA TORRE
177
diferentes. Los datos son arreglados en la siguiente tabla de contingencia r c:
Categoría
1
Categoría
2
... Categoría
c
Total
Población 1 O11 O12 .. .
.
O1c n1•.
Población 2 O21 O22 …
..
. .
O2c n2•
Población r Or2 Or2 .... orc nr.
nr- Total n.1 n.2 … n.c n..
En la tabla, oij es el número de observaciones de la muestra i clasificadas en la
categoría j; n.j es el número total de observaciones en la categoría j extraídas
desde las r poblaciones y n.. es el total de observaciones extraídas desde las r
poblaciones.
Hipótesis:
Sea ij la probabilidad de que una observación seleccionada de la población i
sea clasificada en la categoría j. Entonces las hipótesis son:
Ho: 1j =... = rj para todo j = 1, 2,…c
H1: Al menos una igualdad no se cumple.
Las hipótesis pueden expresarse equivalentemente de la siguiente manera:
H0: La variable aleatoria tiene la misma distribución de probabilidades en las r
poblaciones.
H1: La variable aleatoria tiene una distribución de probabilidades diferente en
al menos una de las poblaciones.
La estadística de prueba esta dado por:
)1)(1()(
2
11
2 crxe
eox
ij
ijijc
j
r
j
c donde
..
..
n
nxne
j
iij
Regla de decisión:
La hipótesis nula se rechaza con un nivel de significación a si el 2
cx resulta mayor
que el valor de tabla 2
1 ,( 1)( 1)r cx
ESTADISTICA
178
9.3 PRUEBA DE INDEPENDENCIA
Esta prueba permite analizar si dos variables aleatorias son o no independientes.
Dado una muestra aleatoria de tamaño n.. es extraída, y cada observación de
la muestra es clasificada de acuerdo a dos criterios (variables X y Y).
Usando el primer criterio cada observación es clasificada en una de r filas y
usando el segundo criterio en una de c columnas. Los datos son arreglados en la
siguiente tabla de contingencia rxc:
Columna
1
Columna
2
... Columna c Total
Fila 1 011 012 . . . Oic n i .
Fila 2 021 022 ... 02c n2.
Fila r Or2 Or2 . . . 0rc nro
Total
n .i n .2 . . . n . , n . .
En la tabla, ojj es el número de observaciones clasificadas en la fila i
columna j, ni. es el número total de observaciones en la fila i y n.j es el
número total de observaciones en la columna j.
Hipótesis:
Sea ij
la probabilidad de que una observación sea clasificada en la fila i
columna j, .i la probabilidad de que una observación sea clasificada en la
fila i y . j
la probabilidad de que una observación sea clasificada en la columna
j. Entonces las hipótesis son:
Ho: . .ij i j
para todo i = 1, ... r, j = 1, ... c.
H1: Al menos una igualdad no se cumple.
Las hipótesis pueden expresarse, en forma equivalente de la siguiente manera:
Ho: Las variables X y Y son independientes.
HI: Las variables X y Y no son independientes.
Estadístico de prueba:
CLETO DE LA TORRE
179
)1)(1()(
2
11
2 crxe
eox
ij
ijijc
j
r
j
c donde
..
..
n
nxne
j
iij
Regla de decisión:
Se adopta la siguiente regla de decisión:
Si 2 2
( 1)( 1)c r c entonces se acepta la hipotes
0H
Si 2 2
( 1)( 1)c r c entonces se rechaza la hipotes
0H
Como puede observarse el procedimiento es muy similar al de la prueba de
homogeneidad, y a veces suelen confundirse.
EJERCICIOS RESUELTOS
8.2.1 En una investigación realizada sobre las preferencias de 3 marcas, se obtuvo los
siguientes resultados.
Preferencias
Marcas
A B C Total
Si 70 100 150 320
No 130 100 50 280
Total 200 200 200 600
¿Podemos concluir con 95% de confianza que las preferencias de las marcas es
similar?
Solución.
H0: Las preferencias de las tres marcas son similares.
H1: Las preferencias de los tres marcas no son similares
11
320*200106.67
600e , 12
320*200106.67
600e , 13
320*200106.67
600e
21
280*20093.33
600e , 22
280*20093.33
600e , 23
280*20093.33
600e
2 2 2 2 2 2
270 106.67 100 106.67 150 106.67 130 93.33 100 93.33 50 93.33
106.67 106.67 106.67 93.33 93.33 93.33c
ESTADISTICA
180
2 65.625c
De la tabla de chi-cuadrado , 2
0 5.991
1
R.A. H0 R.R. H0
2=5.99
o
2=65.625
o
Como 2 2
0c, se rechaza la hipótesis nula
Las preferencias de los tres marcas no son similares.
2.- En un estudio sobre el uso de tres técnicas de valorización de empresas de
distinto tamaño, se obtuvo los siguientes resultados.
Técnicas de
valorización
Tamaño de la empresa
Alto Medio Bajo Total
Actualmente 51 22 43 116
En el pasado 92 21 28 141
Nunca 68 9 22 99
Total 211 52 93 356
¿El uso de técnicas de valorización es independiente del tamaño de la empresa?
Solución.
Ho: El uso de técnicas de valorización es independiente del tamaño de
empresa.
HI: El uso de técnicas de valorización es dependiente del tamaño de la
empresa..
Las frecuencias observadas y esperadas (frecuencias esperadas entre
paréntesis) se presentan en la siguiente tabla:
CLETO DE LA TORRE
181
Uso de software
Tamaño de la empresa
Alto Medio Bajo Total
Actualmente 51 (68.75) 22(16.94) 43(30.30) 116
En el pasado 92(83.57) 21(20.60) 28(36.83) 141
Nunca 68(58.68) 9(14.46) 22(25.86) 99
Total 211 52 93 356
Con estos datos el estadístico de prueba es:
23 3
2
1 1
18.510ij ij
c
i j ij
o ex
e
Los grados de libertad para el estadístico de prueba son (3-1)(3-1) = 4. El
valor de tabla para un nivel de significación del 5% es 2
(0.95,4) 9.488x . Como el
valor calculado es mayor que el valor de tabla se rechaza Ho y se concluye que
existe suficiente evidencia estadística para aceptar que el uso de técnicas
de valorización depende del tamaño de la empresa .
3.- Un asesor financiero quiere conocer las diferencias en la estructura de capital de
varios tamaños de empresa en cierta industria. Hace una encuesta en un grupo de
firmas que tienen distintas cantidades de activos y las dividen tres grupos.
Clasifica cada una según que su deuda sea mayor que el capital contable de las
acciones o que su deuda total sea menor. A continuación se dan los resultados de
la encuesta:
Deuda con respecto
al capital social
Tamaño de activos de la firma( en miles) Total
< $ 500 $500-2000 >$2000
Menor 12 13 4 29
Mayor 5 15 13 33
Total 17 28 17 62
ESTADISTICA
182
¿Tienen idéntica estructura de capital los 3 tamaños de empresa?
Solución
Ho: La Estructura de capital es similar en los distintos tipos de empresa.
(Independientes)
HI: La Estructura de capital es similar en los distintos tipos de empresa
(Dependientes)
12 13 4 29
70.6% 46.4% 23.5% 46.8%
5 15 13 33
29.4% 53.6% 76.5% 53.2%
17 28 17 62
100.0% 100.0% 100.0% 100.0%
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
Frecuencia
Porcentaje
Estructura
de capital
Menor
Mayor
Total
< $ 500 $500-2000 >$2000
Tamaño de activos de la firma
Total
Chi-cuadrado=7.563 , P-valor=0.023
EL p-valor, juega un papel muy importante en la decisión de las hipótesis. Si p-
valor < 0.05 se acepta la hipótesis alterna con un nivel de confianza del 95%, en
este caso influye el factor; en el caso que p > 0.05 la decisión es aceptar la hipótesis
nula, no influye el factor.
En nuestro ejemplo p-valor<0.05, se rechaza la hipótesis nula. La estructura de
capital es similar en los distintos tipos de empresa.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Durante la ultima ronda negociaciones del GATT (acuerdo general de tarifas y
comercio), un grupo de investigadores de Latinoamérica evaluó en base a encuestas
la actitud de los representantes de los países desarrollados respecto al
proteccionismo de sus mercados individuales, específicamente su posición frente a
la importación de ciertos bienes manufacturados de piases en vías de desarrollo
como los Latinoamericanos. Se interrogo a representantes de EEUU, Japón y de la
Comunidad Económica Europea (CEE).
CLETO DE LA TORRE
183
Numero de representantes por paises.
EEUU Japon CEE
A favor de la importancia 35 76 37
En contra de la
importancia
65 74 43
En base a los datos ¿puede inferir los investigadores que el GATT ha cumplido su
objetivo de liberalizar el comercio y homogeneizar las tendencias comerciales de sus
países miembros mas importantes. Use 1% . Redacte un informe técnico sobre
este estudio.
2) Un investigador quiere averiguar si hay diferencias significativas en las tasas de
rendimiento de valores, bonos y fondos mutuos. Con tal motivo se ha seleccionado
muestras aleatorias de inversión y ha registrado las tasas de rendimiento en cuatro
entidades financieras.
Entidades Financieras
A B C D
Valores 4.5 6.0 2.0 4.1
Bonos 4.0 3.1 2.2 5.3
Fondos
mutuos
3.5 3.1 2.9 6
¿ Influye en la tasa de rendimiento el tipo de inversión y la entidad financiera?.Use
5% . Redacte Adecuadamente sus conclusiones.
3) El departamento de tarjetas de crédito bancarias del California Bank sabe que por
su larga experiencia, que 5% de los tarjeta habientes han tenido algunos estudios de
bachillerato, 15% han terminado dicho nivel escolar, 25% han tenido ciertos estudios
universitarios, y 55% han concluido la instrucción en universidad. De los 500 tarjeta
habientes que fueron reportados por falta de pago en este mes, 50 tenían estudios de
bachillerato, 100 terminaron tal nivel escolar, 190 tenían cierta preparación
universitaria y 160 concluyeron la instrucción en la universidad. ¿Se puede concluir
ESTADISTICA
184
que la distribución de tarjeta habientes que no han pagado sus cuentas es diferente
de la de los demás?. Aplique el nivel de significancia de 0,01
4) Doscientos hombres de diversos niveles de gerenciales, seleccionados al azar,
fueron entrevistados con respecto a su interés o preocupación acerca de asuntos
ambientales. La respuesta de cada persona se registró en una de tres categorías:
interés nulo, algo de interés y gran preocupación. Los resultados fueron:
Nivel de gerencial Preocupación
Sin interés Algo de interés Gran preocupación
Gerencia alta 15 13 12
Gerencia media 20 19 21
Supervisor 7 7 6
Jefe de grupo 28 21 31
Utilice el nivel de significancia de 0,01 para determinar si existe relación entre el nivel
directivo o gerencial y el interés en asuntos ambientales.
5) Un administrador de marca está preocupado porque su producto puede estar mal
distribuido a lo largo de todo el país. En una encuesta en la que el país fue dividido
en 4 regiones geográficas, se investigó una muestra aleatoria de 100 consumidores de
cada región, obteniéndose los siguientes resultados:
Adquisiciones Región
NE NO SE SO
Adquirieron la
marca
40 55 45 50
No la adquirieron 60 45 55 50
Si el nivel de significancia es de 0,05. ¿Cuál es su conclusión?
6) Se encuestó a varios directores generales de empresas y se les pidió que valoraran
la dependencia entre el rendimiento financiero de su empresa y la estrategia de la
misma, siendo los resultados los siguientes:
CLETO DE LA TORRE
185
Estrategia Rendimiento financiero
Bajo Medio Alto
Baja 15 25 18
Media 30 52 23
Alta 23 49 61
¿A qué conclusión llega usted? Utilice un nivel de confianza del 90% para su prueba.
7) Se clasificó una muestra de agencias inmobiliarias según su número de empleados
y por si tenían o no un plan de marketing, para estudiar si había o no dependencia
entre ambas variables
Número de empleados Con plan de Marketing Sin plan de Marketing
Menos de 100 13 10
Entre 100 y 500 18 12
Más de 500 32 6
Utilizando un nivel de significación del 1% realice la prueba correspondiente.
8) El incluir en las etiquetas de los productos alimenticios el precio unitario del
producto tiene por objeto el facilitar a los compradores la elección. Sin embargo, un
experto en estudios sobre el comportamiento de los consumidores , han encontrado
que aquellos de nivel soioeconómico bajo no están usando la ventaja que representa
el tener exhibido en la etiqueta el precio unitario.
En un estudio posterior, y a manera de corroboración de los resultados reportados,
un economista observó el proceso de selección de 1000 compradores en tres
supermercados. Estos se encontraban ubicados en tres áreas distintas de la ciudad, y
correspondían a clases sociales de nivel bajo, medio y alto respectivamente. Se habían
puesto paquetes de productos de la misma marca pero conprecios unitarios distintos.
Los datos sobre los 1000 compradores, clasificados de acuerdo a su clase
socioeconómica y al hecho de haber comprado con base en los precios unitarios o no,
fueron:
BAJA MEDIA ALTA
Usó pp.uu. 249 494 201
ESTADISTICA
186
No usó pp.uu. 26 26 4
¿Muestran los datos al nivel 0.05 evedencia que respalde los reportes del experto ?
9) Con el objeto de asesorar correctamente a sus clientes, un banco pidió la opinión
de 50 analistas en inversión de cada una de tres firmas consultoras distintas, todas
miembros de la bolsa . A cada uno le fué preguntado específicamente cual de los tres
tipos de inversión, bonos, acciones o bonos convertibles recomendaría. Las
respuestas se presentan en la siguiente tabla:
FIRMAS CONSULTORAS
A B C
Acciones 13 16 7
Bonos 31 24 35
Bonos convertibles 6 10 18
¿Proporcionan éstos datos evidencia al nivel 0.10 de que las tres firmas consultoras
opinan distinto?
10) En un día dado, el gerente de un supermercado observó el número de clientes
que escogieron cada una de las 6 cajas de pago distintas de la salida. Los resultados
fueron:
Caja número 1 2 3 4 5 6
Frecuencia 84 110 146 152 61 47
¿Presentan los datos suficiente evidencia de que hay cajas preferidas al nivel 0.05?
11) Se ha realizado un estudio sobre la utilización de ciertas fuentes de financiación
externas para las pequeñas y medianas empresas (PYMES). Para ello se han
seleccionado aleatoriamente 500 PYMES de una región. Las empresas se clasifican
según su tamaño en tres categorías (micros, pequeñas y medianas) y según hayan
utilizado o no alguna de las fuentes de financiación especificadas en el cuestionario.
Los datos obtenidos son:
Si utiliza financiación No utiliza financiación
Micros 115 325
CLETO DE LA TORRE
187
Pequeñas 20 20
Medianas 15 5
¿Existe alguna relación entre el tamaño de la empresa y el hecho de recurrir o no a las
fuentes de financiación indicadas?. Utilice un nivel de significación del 5%.
ESTADISTICA
188
CAPITULO X
TOMA DE DECISION.
Una decisión es una elección consciente y racional, orientada a conseguir un objetivo,
que se realiza entre diversas posibilidades de actuación (o alternativas). Antes de tomar
una decisión deberemos calcular cual será el resultado de escoger una alternativa. En
función de las consecuencias previsibles para cada alternativa se tomará la decisión.
Así, los elementos que constituyen la estructura de la decisión son: los objetivos de
quién decide y las restricciones para conseguirlos; las alternativas posibles y
potenciales; las consecuencias de cada alternativa; el escenario en el que se toma la
decisión y las preferencias de quien decide.
Los problemas de decisión que vamos a estudiar se plantean cuando una persona
(decisor) tiene que elegir una opción entre un conjunto de posibilidades sabiendo que
las consecuencias que acarrea su decisión no dependen solo de la opción que elija, sino
también de una serie de factores externos que no controla. Trataremos de estudiar
criterios objetivos para tomar una decisión de forma que las consecuencias nos sean
favorables.
10.1 OBSERVACIONES
Se llama espacio de acciones (Aj) al conjunto de todas las posibles alternativas
entre las que el decisor puede elegir.
CLETO DE LA TORRE
189
Se llama espacio de estados o eventos (Ei) de la naturaleza, al conjunto de todos
los posibles valores de los factores externos que no controla el decidor, pero
determinan el nivel de éxito de una acción determinada.
La teoría de decisión consiste en un conjunto de técnicas para elegir la mejor
acción.
10.2 PASOS EN LA TEORIA DE DECISIONES.
En un problema de decisión, lo primero que debemos identificar son las opciones
entre las que debemos elegir.
El segundo paso del planteamiento consiste en identificar los factores externos
que no puede controlar el decisor pero que incluyen en las consecuencias, en este
paso se asigna probabilidades (pi) a los posibles eventos.
En el tercer paso se construye una tabla de pago, la misma que debe contener la
lista de las acciones alternativas, posibles eventos y los pagos.
El cuarto paso es el proceso de la toma de decisiones, para ello existen varios
criterios, la mismas que se desarrollaran posteriormente.
Tablas de pago.
El pago se define como la utilidad neta es decir ventas menos costos.
Los pagos ijX de la tabla de pagos son valores que consisten de pérdidas o
ganancias que dependen del evento Ei y de la acción Aj.
Tabla de pagos.
Eventos Probabilidades Acciones
A1 A2 ... An
E1 P1 11X 12X … 1nX
E2 P1 21X 22X … 2nX
E3 P1 31X 32X … 3nX
…
EK P1 1kX 2kX knX
10.3 TOMA DE DECISIONES.
I. Criterios basados solo en probabilidades.
ESTADISTICA
190
Este criterio consiste en decidir por el evento que tiene la máxima
probabilidad.
II. Criterios Basados solo en las consecuencias económicas.
a. Criterio Maximin.
Consiste en determinar el valor mínimo que resulta de cada acción a
tomar en la tabla de pagos, y elegir como la mejor acción aquella cuya
resultante es mayor.
Este es el criterio más conservador ya que está basado en lograr lo mejor
de las peores condiciones posibles. El criterio maximin, corresponde a un
pensamiento pesimista, pues razona sobre lo peor que le puede ocurrir al
decisor cuando elige una alternativa.
b. Criterio Maximax.
Consiste en determinar el valor máximo que resulta de cada acción a
tomar en la tabla de pagos, y elegir como la mejor acción aquella cuya
resultante es mayor
c. Criterio de pérdida de oportunidad condicional (Arrepentimiento
mínimas).
El arrepentimiento o pérdida de oportunidad condicional se define como
la cantidad de pago perdido al no tomar la acción del pago más alto para
cada evento posible. Este criterio toma como la mejor acción aquella para
la cual el arrepentimiento máximo posible es menor.
III. Criterios basados solo en probabilidades y consecuencias económicas
a. Criterio del pago esperado (PE)
Llamado también Criterio Bayesiano, bajo este criterio la mejor acción es
aquella que tiene el mayor resultado económico esperado (promedio)
b. Criterio de la pérdida de oportunidad esperada(POE)
La mejor acción es aquella que minimiza las perdidas de oportunidad
esperada. Los cálculos son similares de PE excepto que se usa perdidas de
oportunidades en vez de pagos.
Ejemplo 1
CLETO DE LA TORRE
191
Un vendedor al menudeo adquiere cierto producto a 3000 dólares la caja y lo vende
en 5000 dólares. El elevado margen de utilidad refleja que los productos son
perecedores, puesto que se pierde 500 dólares después de cinco días. Con base en
experiencias en productos similares el vendedor confía en que la demanda del
producto esta entre 9 y 12 cajas.
Si los valores de probabilidad estimadas para las demandas de 9 a 12 cajas son: 0.3,
0.4, 0.2, y 0.1 respectivamente.
a. Describa todo los posibles eventos y las posibles acciones a tomar.
b. Construya una tabla de ganancias.
c. Determine las mejores decisiones utilizando el criterio de probabilidad
máxima.
d. Determine las mejores decisiones desde el punto de vista de los criterios:
i) maximin, ii) máximax.
e. Determine la mejore decisión desde el punto de vista del criterio del pago
esperado (PE)
f. Determine la mejore decisión desde el punto de vista del criterio del
perdida de oportunidad condicional (Criterio de arrepentimiento
condicional)
g. Construya una tabla de perdidas de oportunidades esperadas y determine
la mejor decisión utilizando este criterio.
Solución:
a. Posibles eventos:
E1: Vender 9 cajas.
E2: Vender 10 cajas.
E3: Vender 11 cajas.
ESTADISTICA
192
E4: Vender 12 cajas.
Posibles acciones a tomar:
A1: Comprar 9 cajas.
A2: Comprar 10 cajas.
A3: Comprar 11 cajas.
A4: Comprar 12 cajas.
b. Tabla de ganancias.
Demanda de
mercado
Probabilidades Comprar
A1: 9 A2: 10 A3: 11 A4: 12
E1: 9 P1 = 0.3 18000 14500 11000 7500
E2 : 10 P2 = 0.4 18000 20000 16500 13000
E3 : 11 P3 = 0.2 18000 20000 22000 18500
E4 : 12 P4 = 0.1 18000 20000 22000 24000
Si se compra 9 cajas (C = 9), las ganancias (G) para las 4 demandas (D)
respectivas D=9, 10, 11, 12 son iguales a:
G=9x5000-9x3000-0x500=18000.
Si se compra 10 cajas (C = 10), las ganancias (G) para :
D = 9 es G = 9x5000-10x3000- 1x500=14500.
D = 10, 11, 12 es G = 10x5000-10x3000- 0x500=20000.
Si se compra 11 cajas (C = 11), las ganancias (G) para :
D = 9 es G = 9x5000-11x3000 - 2x500=11000.
D = 10 es G = 10x5000-11x3000 - 1x500=16500.
D = 11, 12 es G = 11x5000-11x3000- 0x500=22000.
Si se compra 12 cajas (C = 12), las ganancias (G) para :
D = 9 es G = 9x5000-12x3000 - 3x500=7500.
D = 10 es G = 10x5000-12x3000 - 2x500=13000.
D = 11 es G = 11x5000-12x3000 - 1x500=18500.
D = 12 es G = 12x5000-12x3000 - 0x500=24000.
CLETO DE LA TORRE
193
c. Criterio de probabilidad máxima.
En base a este criterio, la mejor elección es comprar 10 cajas.
d. Criterio maximin:
Demanda de
mercado
Comprar
A1: 9 A2: 10 A3: 11 A4: 12
E1: 9 18000 14500 11000 7500
E2 : 10 18000 20000 16500 13000
E3 : 11 18000 20000 22000 18500
E4 : 12 18000 20000 22000 24000
Mínimos 18000 14500 11000 7500
El mayor de estos cuatro valores mínimos es 18000, por tanto la mejor acción
es comprar 9 cajas.
Criterio maximax:
Demanda de
mercado
Comprar
A1: 9 A2: 10 A3: 11 A4: 12
E1: 9 18000 14500 11000 7500
E2 : 10 18000 20000 16500 13000
E3 : 11 18000 20000 22000 18500
E4 : 12 18000 20000 22000 24000
Máximos 18000 20000 22000 24000
El mayor de estos cuatro valores es 24000, por tanto la mejor acción es
comprar 12 cajas.
e. Criterio de pago esperado (PE)
Demanda de
mercado
Comprar
A1: 9 A2: 10 A3: 11 A4: 12
E1: 9 18000 14500 11000 7500
E2 : 10 18000 20000 16500 13000
E3 : 11 18000 20000 22000 18500
ESTADISTICA
194
E4 : 12 18000 20000 22000 24000
Pago
esperado
18000 18625 17875 15750
Se elige la acción que tiene mayor PE, esto es comprar 10 cajas.
f. Criterio de pérdida de oportunidad condicional.
Si la demanda fuera de 9 unidades (D=9), lo correcto es producir 9 para tener
una ganancia de G = 9x5000-9x3000=18000 no hay pérdida de oportunidad,
sin embargo si se produce 10 unidades, cuando la demanda es 9, la ganancia
es G = 9x5000-10x3000- 1x500=14500, para este caso la pérdida de
oportunidades es: 18000-14500=3500
Tabla de pérdida de oportunidad condicional
Demanda de
mercado
Comprar
A1: 9 A2: 10 A3: 11 A4: 12
E1: 9 18000 – 18000
0
18000 – 14500
3500
18000 – 11000
7000
18000 – 7500
11500
E2 : 10 20000 – 18000
2000
20000 – 20000
0
20000 – 16500
3500
20000 – 13000
7000
E3 : 11 22000 – 18000
4000
22000 – 20000
2000
22000 – 22000
0
22000 – 18500
3500
E4 : 12 24000 – 18000
6000
24000 – 20000
4000
24000 – 22000
2000
24000 – 24000
0
Máximos 6000 4000 7000 11500
El menor de estos máximos es 4000, la acción optima es A2, comprar 10 cajas.
g. Tabla de perdidas de oportunidades esperadas (POE)
Demanda de
mercado
Comprar
A1: 9 A2: 10 A3: 11 A4: 12
E1: 9 0 3500 7000 11500
E2 : 10 2000 0 3500 7000
CLETO DE LA TORRE
195
E3 : 11 4000 2000 0 3500
E4 : 12 6000 4000 2000 0
POE
(Promedios)
3000 2375 3125 5500
La menor de estas perdidas de oportunidades esperadas es de 2375, por el criterio
POE, la mejor acción es comprar 10 cajas.
10.4 ARBOL DE DECISIONES
Es utilizado para estructurar el proceso de Toma de decisiones bajo
Incertidumbre.
Variable de decisión: Son las alternativas disponibles
Variable de estado : Estados de la naturaleza, estados futuros, ocurrencias
probables.
El esquema de un árbol de decisión es la siguiente.
Nodo de Alternativas Nodo Ramas de Decisión de decisión de azar estado Resultados
Los nodos finales representan todos los posibles resultados, asociados con cada
una de las alternativas de decisión
10.5 Toma de decisión Bayesiana.
Mientras que los criterios de decisión analizados anteriormente ignoran las
probabilidades para los estados naturales respectivos, la toma de decisión
ESTADISTICA
196
bayesina la toma en cuenta, específicamente se elige la alternativa con la mejor
retribución esperada.
Retribución esperada=VME=1
i i
i
p m
Donde:
Pi: Probabilidad de que ocurra el estado natural i.
Mi: La retribución si se selecciona esta alternativa y ocurre el estado natural i.
EJEMPLO
Un inversionista debe decidir si realiza una inversión de $ 50000 en la ciudad A o
B para construir un mercado en una área residencial, no se sabe si esta área
residencial crecerá para convertirse en un mercado grande o moderado. Si invierte
en la ciudad A y el mercado es grande la ganancia neta se estima en $75000; si el
mercado es moderado habrá una perdida de $ 30000. Si invierte en la ciudad B y el
mercado es grande, la ganancia neta será de $150000, si el mercado es moderado la
ganancia será de $50000. Si el inversionista estima una probabilidad de 40% de
que el mercado sea grande. Determine si el inversionista debe realizar o no el
deposito.
Solución. Alternativa Probabilidad de Retribución Cada estado natural en dólares
Invertir en la ciudad A
0.4 Mercado es grande
0.6 Mercado es moderado
$ 75000
-$ 30000
VME ciudad A=0.4x75000+0.6x(-30000)=$12000
CLETO DE LA TORRE
197
Al comparar las retribuciones esperadas se deduce que debe invertir en la ciudad
B.
EJERCICIOS.
1. Una tienda de moda tiene la oportunidad de abrir un local en un centro
comercial muy conocido y con mucho éxito. Alternativamente, puede abrir la
tienda en un nuevo centro comercial a un coste mucho mas bajo, de forma que si
ese nuevo centro tiene gran ausencia calculan que los beneficios anuales serán de
300000 euros, si la ausencia es moderada serán de 135000 euros y si es baja
esperan unas perdidas de 23000 euros. Si abren la tienda en el centro comercial
ya establecido, los beneficios que calculan dependen, también, del grado de éxito
del nuevo centro, ya que son competidores directos. Si la ausencia al nuevo
centro es baja, los beneficios para la tienda instalada en el centro comercial
conocido. Utilice por lo menos tres criterios para la toma de decisión
2. Un vendedor de computadoras adquiere una computadora en 1000 dólares y lo
vende en 1800 dólares, el valor de la computadora se deprecia en seis meses en
600 dólares. En base a la experiencia el vendedor confía en que la demanda del
producto esta entre 10 y 14 unidades en un periodo de seis meses.
Si los valores de probabilidad estimadas para las demandas de 10 a 14 unidades
son: 0.3, 0.25, 0.19, 0.15 y 0.11 respectivamente.
a. Describa todo los posibles eventos y las posibles acciones a tomar.
Invertir en la
ciudad B
0.4 Mercado es grande
0.6 Mercado es moderado
$ 150000
$ 50000
VME Ciudad B=0.4x150000+0.6x(50000)=$90000
ESTADISTICA
198
b. Construya una tabla de ganancias.
c. Determine las mejores decisiones utilizando el criterio de probabilidad
máxima.
d. Determine las mejores decisiones desde el punto de vista de los criterios:
i) maximin, ii) máximax.
e. Determine la mejore decisión desde el punto de vista del criterio del pago
esperado (PE)
f. Determine la mejore decisión desde el punto de vista del criterio del
perdida de oportunidad condicional (Criterio de arrepentimiento
condicional)
g. Construya una tabla de perdidas de oportunidades esperadas y determine
la mejor decisión utilizando este criterio.
3. Cada hotel de cierta cadena debe decidir cual de las tres posibles promociones
que ofrece la compañía matriz lanzara para la próxima campaña de invierno. La
promoción playa depende mucho del tiempo. Si es calido y soleado, calculan
unos beneficios de unos 90000 soles, si es frió y lluvioso de 5000 soles y si es
intermedio de unos 25000 soles. Al contrario para la promoción ski calculan una
perdidas de 6000 soles si el tiempo el calido, unos beneficios de 15000 soles si es
intermedio 70000 soles si es frió y lluvioso. La promoción relax es independiente
del tiempo y con ella esperan unos beneficios de unos 55000 soles.
a) Uno de los hoteles de dicha cadena esta situado en una zona en la el 80% de
los inviernos son calidos y soleados y nunca son fríos y lluviosos, ¿que
promoción deberán lanzar?, ¿con que valor asociado?
b) Otro hotel esta situado en una zona en la que el 40% de las veces el invierno
es frió y lluvioso y el 30% es intermedio, ¿que opción recomendarías para este
otro hotel?
CLETO DE LA TORRE
199
ESTADISTICA
200
CAPITULO XI
DISEÑO EXPERIMENTAL
El diseño de experimentos es en la actualidad una de las herramientas principales
utilizados en la investigación estadística, el objetivo que se tiene es estudiar el efecto de
un factor sobre una variable respuesta.
Diseñar un experimento, simplemente significa planear un experimento de modo que se
reúna la información que sea pertinente al problema bajo investigación. Muy a menudo
se coleccionan datos que pueden tener muy poco o ningún valor, en la solución del
problema.
El diseño de un experimento, es entonces, la secuencia completa de pasos tomados de
antemano para asegurar que los datos apropiados se obtendrán de modo que permitan
un análisis objetivo que conduzca a deducciones válidas con respecto al problema
establecido.
11.1 CONCEPTOS BASICOS
FACTOR.
Son todas aquellas variables cuyo efecto se desea medir, en algunos casos se les
llama tratamiento.
NIVEL
Es el conjunto de valores que tiene la variable independiente o factor en el
experimento.
CLETO DE LA TORRE
201
UNIDAD EXPERIMENTAL
Es la entidad más pequeña a lo que se aplica el tratamiento, es decir; es el
elemento donde se realiza la medición.
ERROR EXPERIMENTAL
Es la medida de la variación, existente entre observaciones de las unidades
experimentales.
En un Diseño Experimental se tiene variabilidad inherente a la unidad
experimental y otra variabilidad debida a los tratamientos.
Para reducir el error experimental se siguen algunos pasos:
Repetir el experimento
Adicionar más tratamientos
Introducir variables o bloques
El proceso o sistema bajo estudio puede representarse por medio del modelo:
Podemos pensar que el proceso es una combinación de maquinarias, personas y otros
recursos que transforman alguna entrada, en una salida que tienen una o más
respuestas observadas
11.2 OBJETIVOS DEL DISEÑO EXPERIMENTAL
Determinar las variables con mayor influencia en la respuesta
ESTADISTICA
202
Determinar el mejor valor de las variables que influyen en la respuesta de
manera que:
La respuesta se aproxime al valor deseado
La variabilidad de la respuesta sea pequeña
Se minimiza el efecto de las variables incontrolables
11.3 DISEÑO UNIFACTORIAL (Diseño completamente aleatorio)
Es el Diseño Experimental más simple.
En este Diseño los tratamientos (niveles) se distribuyen al azar en todas las
unidades experimentales. Este diseño es muy útil cuando las unidades
experimentales tienen variabilidad uniformemente repartidos
(homogeneidad)
VENTAJAS Y DESVENTAJAS
VENTAJAS
Este Diseño es fácil de planear y es flexible en cuanto al número de
repeticiones y unidades experimentales del tratamiento
DESVENTAJAS
Solo es aplicable, cuando el material experimental es homogéneo
Los resultados del experimento se pueden agrupar de la siguiente forma:
factor variedad ijy
niveles
D
C
B
A
A Y C Y B Y D Y
B Y A Y D Y C Y
B Y C Y A Y D Y
A Y D Y C Y B Y
11 31 21 41
22 12 42 32
23 33 13 43
14 44 34 24
Donde ( yij ) es el resultado de la medición del i-ésimo tratamiento en la j-ésima
repetición.
CLETO DE LA TORRE
203
En resumen:
Tratam 1 2 i a
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y Y
Y Y Y Y
i a
i a
j j ij aj
n n in an
11 21 1 1
12 22 2 2
1 2
1 2
TOTAL
TOTALES Y Y Y Yi a1 2. . . . . .Y
Medias ani YYYY ..2.1
..Y
Varianzas s s s si a1
2
2
2 2 2
. . . . 2
..s
Donde:
n
j
iji YY1
. , Total del i-ésimo tratamiento
Y YY
ni ij
j
ni
.
.
1
, Media del i-ésimo tratamiento
a
i
n
j
ij
a
i
i YYY1 11
... , Total
an
YY . .
. . , Media total
En esta parte desarrollaremos el Análisis de Varianza para el modelo de Efectos
fijos del Diseño Completamente al Azar. (DCA).
11.4 ANALISIS DE VARIANZA
Es la técnica mediante el cual se mide los efectos de los tratamientos puesto que
descompone la Varianza Total en diferentes fuentes de variabilidad definida por el
ESTADISTICA
204
modelo.
Para el cual se siguen los siguientes pasos:
H a0 1 2:
H i j1: , para algún par (i,j)
La fórmula asumida para calcular la suma de los cuadrados es la siguiente:
22
....
1 1 1 1
,a n a n
ij ij
i j i j
ySCT y y y N an
N
2 2
. ..
1
ai
i i
y ySCA N an
n N
SCE SCT SCA
Los cuadrados medios son los estimadores de las varianzas y son obtenidos de la
siguiente forma:
1
SCACMA
a
2)()1(
ijVna
SCECME ó varianza del error.
Por otra parte el cociente de 2 variables 2 se distribuye mediante la distribución
de Fisher
1
( 1)
c
SCA
aFSCE
a n
fa a n gl1 1,
1
f(1
R.A. H0 R.R. H
0
CLETO DE LA TORRE
205
Análisis de la varianza.
Fuentes de
Varianza
g.l SC CM FCAL
Tratamiento a-1 SCA CMA CMA
CME
Error a(n-1) SCE CME
Total an-1 STT
Conclusiones:
Si Fc F0 Se rechaza H0
Si Fc F0 Se acepta H0
11.5 DISEÑO EXPERIMENTAL DE DOS FACTORES
El análisis de la varianza de dos factores esta formado como su nombre indica
por dos factores que a su vez tienen la misma importancia en este tipo de análisis
existen “a” niveles del factor A y “b” niveles de factor B.
Este tipo de análisis se determinan según el numero de observaciones; si cada
unidad experimental tiene una observación, el modelo del análisis univariado de
la varianza de dos factores se denomina sin replica, en este caso no existe
interacción entre los dos factores. En este tipo de análisis el control local (unidad
experimental) por el factor A l cual esta constituido por todo los del factor B o
variantes repetidas una sola vez siendo el factor A una repetición con la condición
de que los del factor B están dentro del factor A . de donde se puede afirmar que
cada factor A contiene los elementos del factor B el cual disminuye el error
experimental.
TABLA DE ANALISIS DE VARIANZA
Fuentes de
Varianza
g.l SC CM FCAL
Factor A a-1 SCA CMA
CME
CMA
ESTADISTICA
206
Factor B b-1 SCB CMB
CME
CMB
Interacción
AB
(a-1)(b-1) SCAB CMAB
CME
CMAB
Error ab(n-1) SCE CME
Total abn-1
Donde:
a
i
b
j
n
kijk abn
SCT YY
1 1 1
2
...2,
abnbnSCA YYa
i
i
2
...
1
2
.. , b
j
j
abnanSCB YY
1
2
...
2
.. ,
b
j
ija
i
SCBSCAabnn
SCAB YY1
2
...
2
.
1
SCE = SCT-(SCA+SCB+SCAB)
El cuadrado medio, se obtiene:
Para el factor A : 1a
SCACMA
Para el factor B : 1b
SCBCMB
Para la interacción AB : )1)(1( ba
SCABCMAB
Para el error : )1(nab
SCABCME
INTERACCIÓN. En estadística, la idea de una interacción, es medir el efecto de una
CLETO DE LA TORRE
207
variable (factor), manteniendo constante los demás.
Figura: Interacción de factores.
De la gráfica anterior se concluye que geométricamente existe interacción cuando
las líneas no son paralelas, en cambio no existe interacción, cuando las líneas son
paralelas.
APLICACIONES.
1.- Se desea evaluar la efectividad de tres estrategias de marketing A, B y C en las
ventas. En el cuadro siguiente se observa las ventas semanales de un producto de
miles de unidades.
A B C
35 22,6 16,6
30,6 14,4 12,1
26,8 26,3 7,2
37,9 13,8 6,6
13,7 17,4 12,5
49 18.5 15,1
¿Se puede concluir que el efecto de las tres estrategias es diferente?
Solución
La hipótesis estadística esta dado por:
H a0 1 2:
H i j1:
Estrategia A Estrategia B Estrategia C
35 36 37
30.6 30.7 30.8
26.8 26.9 26.10
37.9 37.10 37.11
13.7 13.8 13.9
ESTADISTICA
208
49 50 51
Totales 1.y 84 2.y 86
3.y 88 ..y 258
N 6 6 6 N=18
Media 1.y =14 2.y =14.3333333
3.y =14.6666667 ..y =14.3333333
2 22 2 2 2..
1 1
25835 30.6 26.8 .... 51 2194.57
18
a n
ij
i j
ySCT y
N2 2 2 2 2
. ..
1
84 86 88 2580.7059
6 18
ai
i i
y ySCA
n N
2193.87SCE SCT SCA
Análisis de la varianza.
Fuentes de
Varianza
g.l SC CM FC
Tratamiento 2 0.7059 0.35295 0.00220775
Error 15 2193.87 146.258
Total 17 2194.57
ffc
0
De la tabla FO=3.68, Se acepta HO, por lo tanto las tres estrategias de ventas presenta
similar efecto.
2.- Un investigador analiza el efecto de 5 tipos de publicidad en cinco áreas geográficas,
los resultados se mide en términos del incremento en las ventas. La información
obtenida del estudio se muestra en el cuadro siguiente.
CLETO DE LA TORRE
209
Area
geográfica Publicidad
Incremento
en las ventas Tiempo Tratamiento
Incremento
en las ventas
R1 E1 85 R3 E3 100
R1 E1 45 R4 E3 200
R2 E1 100 R4 E3 250
R2 E1 20 R5 E3 260
R3 E1 85 R5 E3 340
R3 E1 95 R1 E4 0
R4 E1 73 R1 E4 70
R4 E1 87 R2 E4 30
R5 E1 250 R2 E4 100
R5 E1 170 R3 E4 100
R1 E2 110 R3 E4 180
R1 E2 30 R4 E4 210
R2 E2 100 R4 E4 200
R2 E2 20 R5 E4 350
R3 E2 90 R5 E4 420
R3 E2 80 R1 E5 30
R4 E2 50 R1 E5 60
R4 E2 110 R2 E5 110
R5 E2 120 R2 E5 100
R5 E2 250 R3 E5 170
R1 E3 60 R3 E5 150
R1 E3 0 R4 E5 10
R2 E3 40 R4 E5 20
R2 E3 45 R5 E5 40
R3 E3 50 R5 E5 20
Con 95% cual es su conclusión de este estudio.
ESTADISTICA
210
Análisis de Varianza para Ventas
Fuente de variación Suma de Cuadrados Gl Cuadrado Medio Fc Valor-P
Factores
A:Publicidad 54658.0 4 13664.5 7.92 0.0003
B:Region 182098. 4 45524.5 26.40 0.0000
INTERACCION
AB 170472. 16 10654.5 6.18 0.0000
Error 43110.5 25 1724.42
TOTAL 450339. 49
Del análisis de varianza que se muestra en el cuadro anterior se puede concluir con 95%
de confianza que el factor publicidad influyen en el incremento de las ventas. (P-valor
< 0.05), es decir algunos de estos tipos de publicidad genera mayor incremento en las
ventas.
También del mismo cuadro se puede desprender que el factor región influye (p-valor
< 0.05) es decir que en determinados regiones las ventas son mayores que los otros.
Para determinar que publicidad tiene mejor efecto en las ventas se aplica las pruebas
de comparación de múltiples que se ilustra gráficamente.
E1 E2 E3 E4 E5
Public idad
50
80
110
140
170
200
Ve
nta
s
De este grafico se observa que el tipo de publicidad, E4 estadísticamente tienen mejor
efecto en las ventas en comparación con los otros tipos de publicidad.
Por otra parte los tipos de publicidad E1 y E2 tienen similar efecto y el tipo de
publicidad E5 tiene el menor efecto en las ventas.
CLETO DE LA TORRE
211
En el grafico siguiente se observa el análisis del incremento en las ventas por Región.
R1 R2 R3 R4 R5
Region
0
50
100
150
200
250
Ve
nta
s
Las ventas en las región 5, son mayores en promedio que las otras regiones, en cambio
las ventas en las regiones 3 y 4 son similares y menor a las ventas de la región 5.
Public idad
0
100
200
300
400
Ve
nta
s
E1 E2 E3 E4 E5
Region
R1
R2
R3
R4
R5
El tipo de publicidad E5, no presenta efecto en las regiones 4 y 5.
EJERCICIOS
ESTADISTICA
212
1. Una empresa, con el propósito de mejorar sus ventas diseña 4 tipos de oferta, en
tres regiones del país. En el cuadro siguiente se muestra los resultados del
incremento de ventas en dólares.
Región Tipos de oferta
A B C D
I 109 110 108 110
110 115 109 108
II 110 110 111 114
112 111 109 112
III 116 119 124 120
114 115 119 117
Con 95% de confianza ¿Cual es su conclusión respecto del efecto de la oferta?
2. El propietario de una empresa ha probado tres políticas diferentes de cambio de
cheques para reducir el gran número de cheques sin fondo que recibia su empresa.
El desea saber cual política minimiza el problema. En el cuadro siguiente se muestra
la reducción del número de cheques sin fondos que recibe esta empresa.
Política
A B C
48 42 68
54 59 71
78 62 87
83 80 98
96 92 10
Pruebe si hay diferencia entre los tres tipos de política, usando un nivel de
significación de 5%
3. La tabla siguiente muestra el posicionamiento de un producto de 4 marcas (A, B, C
y D) en una región del país. Contrastar a un nivel de confianza de 95%, la hipótesis
nula de que no existe diferencia en el posicionamiento en le mercado de las 4 marcas.
Posicionamiento (%)
CLETO DE LA TORRE
213
Marca A 10 37 12 31 11 9 23
Marca B 4 35 32 19 33 18 8
Marca C 15 5 10 12 6 6 15
Marca D 7 11 1 8 2 5 3
4.- La estructura financiera de una firma se refiere a la forma en que se dividen los
activos de la empresa por debe y haber, y el apalancamiento financiero se refiere al
porcentaje de activos financiados por deuda. En un estudio financiero se afirma que
el apalancamiento financiero puede utilizarse para aumentar la tasa de rendimiento
sobre la inversión, es decir que, los accionistas pueden recibir rendimientos más altos
con la misma cantidad de inversión gracias a su uso. Los siguientes datos muestran
las tasas de rendimiento utilizando 3 diferentes niveles de apalancamiento financiero
y un nivel de control (deuda cero) de empresas seleccionadas al azar:
Tasas de Rendimiento
Control Bajo Medio Alto
4.6 2 7 7.9
2 7.4 4.5 6.8
6.8 1.8 11.6 5.8
4.2 3.2 6 9.2
1.6 4 6.8 11
En función de la información cual su conclusión de este estudio.
ESTADISTICA
214
Tabla Normal Estándar
Z 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0 0 0.00399 0.00798 0.01197 0.01595 0.01994 0.02392 0.0279 0.03188 0.03586
0.1 0.03983 0.04395 0.04776 0.05172 0.05567 0.05962 0.06356 0.0675 0.07124 0.07534
0.2 0.07926 0.08617 0.08706 0.09095 0.09483 0.09871 0.10257 0.10642 0.11026 0.11409
0.3 0.11781 0.12172 0.12552 0.1293 0.13307 0.13683 0.14058 0.14431 0.14803 0.15173
0.4 0.15542 0.1591 0.16276 0.1664 0.17003 0.17364 0.17724 0.18082 0.18439 0.18793
0.5 0.19146 0.19497 0.19847 0.20194 0.2054 0.20884 0.21226 0.21566 0.21904 0.2224
0.6 0.22575 0.22907 0.23237 0.23565 0.23891 0.24215 0.24537 0.24857 0.25175 0.2549
0.7 0.25804 0.26115 0.26424 0.2673 0.27035 0.27337 0.27637 0.27935 0.2823 0.28524
0.8 0.28814 0.29103 0.29389 0.29373 0.29955 0.30234 0.3051 0.30785 0.31057 0.31327
0.9 0.31594 0.31859 0.32124 0.32381 0.32639 0.32894 0.33147 0.33398 0.33646 0.33891
1 0.34134 0.34375 0.34614 0.34849 0.35083 0.35314 0.35543 0.35769 0.35993 0.36214
1.1 0.36433 0.3665 0.36864 0.37076 0.37286 0.37923 0.37698 0.379 0.381 0.38298
1.2 0.38493 0.38686 0.38877 0.39065 0.39251 0.39435 0.39616 0.39796 0.39973 0.40147
1.3 0.4032 0.4049 0.40658 0.40824 0.40988 0.41149 0.41308 0.41466 0.41621 0.41774
1.4 0.41924 0.42073 0.4222 0.42364 0.42507 0.42647 0.42785 0.42922 0.43056 0.43189
1.5 0.43319 0.43448 0.43574 0.43699 0.43822 0.43943 0.44062 0.44179 0.44295 0.44408
1.6 0.4452 0.4463 0.44738 0.44845 0.4495 0.45053 0.45154 0.45254 0.45352 0.45449
1.7 0.45543 0.45637 0.45728 0.45818 0.45907 0.45994 0.46079 0.46164 0.46246 0.46327
1.8 0.46407 0.46485 0.46562 0.46637 0.46712 0.46784 0.46856 0.46926 0.46995 0.47062
1.9 0.47128 0.47193 0.47257 0.4732 0.47381 0.47441 0.475 0.47558 0.47615 0.4767
2 0.47725 0.47778 0.47831 0.47882 0.47932 0.47982 0.4803 0.48077 0.48124 0.48169
2.1 0.48214 0.48257 0.48299 0.48341 0.48382 0.48422 0.48461 0.485 0.48537 0.48574
2.2 0.4861 0.48645 0.48679 0.48713 0.48745 0.48778 0.48809 0.4884 0.4887 0.48899
2.3 0.48928 0.48956 0.48983 0.49001 0.49036 0.49061 0.49086 0.4911 0.49134 0.49158
2.4 0.4918 0.49202 0.49224 0.49245 0.49266 0.49286 0.49305 0.49324 0.49343 0.49361
2.5 0.49379 0.49396 0.49413 0.4943 0.49446 0.49461 0.49477 0.49491 0.49506 0.4952
2.6 0.49534 0.49547 0.4956 0.49573 0.49585 0.49597 0.49609 0.49621 0.49632 0.49643
2.7 0.49653 0.49664 0.49674 0.49683 0.49693 0.49702 0.49711 0.4972 0.49728 0.49736
2.8 0.49744 0.49752 0.4976 0.49767 0.49774 0.49781 0.49788 0.49795 0.49801 0.49807
2.9 0.49813 0.49819 0.49825 0.4983 0.49836 0.49841 0.49846 0.49851 0.49856 0.4986
3 0.49865 0.49869 0.49874 0.49878 0.49882 0.49886 0.49889 0.49893 0.49897 0.499
3.1 0.49903 0.49906 0.4991 0.49913 0.49916 0.49918 0.49921 0.49924 0.49926 0.49929
3.2 0.49931 0.49934 0.49936 0.49938 0.4994 0.49942 0.49944 0.49946 0.49948 0.4995
3.3 0.49952 0.49953 0.49955 0.49957 0.49958 0.4996 0.49961 0.49962 0.49964 0.49965
3.4 0.49956 0.49968 0.49969 0.4997 0.49971 0.49972 0.49973 0.49974 0.49975 0.49976
3.5 0.49977 0.49978 0.49978 0.49979 0.4998 0.49981 0.49981 0.49982 0.49983 0.49983
3.6 0.49984 0.49985 0.49985 0.49986 0.49986 0.49987 0.49987 0.49988 0.49988 0.49989
3.7 0.49989 0.4999 0.4999 0.4999 0.49991 0.49991 0.49992 0.49992 0.49992 0.49992
3.8 0.49993 0.49993 0.49993 0.49994 0.49994 0.49994 0.49994 0.49995 0.49995 0.49995
3.9 0.49995 0.49995 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49996 0.49997 0.49997
CLETO DE LA TORRE
215
TABLA DE LA DISTRIBUCION T-STUDENT 1p x c
gl 1
0.75 0.80 0.85 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995
1 1 1.376 1.963 3.078 6.314 12.706 31.821 63.657
2 0.816 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925
3 0.765 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841
4 0.741 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604
5 0.727 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032
6 0.718 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707
7 0.711 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499
8 0.706 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355
9 0.703 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250
10 0.7 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169
11 0.697 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106
12 0.695 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055
13 0.694 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012
14 0.692 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977
15 0.691 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947
16 0.69 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921
17 0.689 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898
18 0.688 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878
19 0.688 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861
20 0.687 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845
21 0.686 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831
22 0.686 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819
23 0.685 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807
24 0.685 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797
25 0.684 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787
26 0.684 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779
27 0.684 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771
28 0.683 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763
29 0.683 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756
30 0.683 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750
40 0.681 0.851 1.050 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704
60 0.679 0.848 1.046 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660
120 0.677 0.845 1.041 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617
0.674 0.842 1.036 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576
ESTADISTICA
216
TABLA DE LA DISTRIBUCION CHI CUADRADO ( 1p x c )
gl 0.01 0.01 0.025 0.05 0.1 0.2 0.4 0.6 0.8 0.9 0.95 0.975 0.99 0.995
1 0 0 0 0 0.02 0.06 0.27 0.71 1.64 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88
2 0.01 0.02 0.05 0.1 0.21 0.45 1.02 1.83 3.22 4.61 5.99 7.38 9.21 10.6
3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 1.01 1.87 2.95 4.64 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84
4 0.21 0.3 0.48 0.71 1.06 1.65 2.75 4.04 5.99 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86
5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 2.34 3.66 5.13 7.29 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75
6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.2 3.07 4.57 6.21 8.56 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55
7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 3.82 5.49 7.28 9.8 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 4.59 6.42 8.35 11.03 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95
9 1.73 2.09 2.7 3.33 4.17 5.38 7.36 9.41 12.24 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59
10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.18 8.3 10.47 13.44 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19
11 2.6 3.05 3.82 4.57 5.58 6.99 9.24 11.53 14.63 17.28 19.68 21.92 24.73 26.76
12 3.07 3.57 4.4 5.23 6.3 7.81 10.18 12.58 15.81 18.55 21.03 23.34 26.22 28.3
13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 8.63 11.13 13.64 16.98 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82
14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 9.47 12.08 14.69 18.15 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32
15 4.6 5.23 6.26 7.26 8.55 10.31 13.03 15.73 19.31 22.31 25 27.49 30.58 32.8
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.15 13.98 16.78 20.47 23.54 26.3 28.85 32 34.27
17 5.7 6.41 7.56 8.67 10.09 12 14.94 17.82 21.61 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72
18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 12.86 15.89 18.87 22.76 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16
19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 13.72 16.85 19.91 23.9 27.2 30.14 32.85 36.19 38.58
20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 14.58 17.81 20.95 25.04 28.41 31.41 34.17 37.57 40
21 8.03 8.9 10.28 11.59 13.24 15.44 18.77 21.99 26.17 29.62 32.67 35.48 38.93 41.4
22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 16.31 19.73 23.03 27.3 30.81 33.92 36.78 40.29 42.8
23 9.26 10.2 11.69 13.09 14.85 17.19 20.69 24.07 28.43 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18
24 9.89 10.9 12.4 13.85 15.66 18.06 21.65 25.11 29.55 33.2 36.42 39.36 42.98 45.56
25 10.5 11.5 13.12 14.61 16.47 18.94 22.62 26.14 30.68 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93
30 13.8 15 16.79 18.49 20.6 23.36 27.44 31.32 36.25 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67
35 17.2 18.5 20.57 22.47 24.8 27.84 32.28 36.47 41.78 46.06 49.8 53.2 57.34 60.27
40 20.7 22.2 24.43 26.51 29.05 32.34 37.13 41.62 47.27 51.81 55.76 59.34 63.69 66.77
45 24.3 25.9 28.37 30.61 33.35 36.88 42 46.76 52.73 57.51 61.66 65.41 69.96 73.17
50 28 29.7 32.36 34.76 37.69 41.45 46.86 51.89 58.16 63.17 67.5 71.42 76.15 79.49
55 31.7 33.6 36.4 38.96 42.06 46.04 51.74 57.02 63.58 68.8 73.31 77.38 82.29 85.75
60 35.5 37.5 40.48 43.19 46.46 50.64 56.62 62.13 68.97 74.4 79.08 83.3 88.38 91.95
65 39.4 41.4 44.6 47.45 50.88 55.26 61.51 67.25 74.35 79.97 84.82 89.18 94.42 98.1
70 43.3 45.4 48.76 51.74 55.33 59.9 66.4 72.36 79.71 85.53 90.53 95.02 100.4 104.2
75 47.2 49.5 52.94 56.05 59.79 64.55 71.29 77.46 85.07 91.06 96.22 100.8 106.4 110.3
80 51.2 53.5 57.15 60.39 64.28 69.21 76.19 82.57 90.41 96.58 101.88 106.6 112.3 116.3
85 55.2 57.6 61.39 64.75 68.78 73.88 81.09 87.67 95.73 102.1 107.52 112.4 118.2 122.3
90 59.2 61.8 65.65 69.13 73.29 78.56 85.99 92.76 101.05 107.6 113.15 118.1 124.1 128.3
95 63.3 65.9 69.92 73.52 77.82 83.25 90.9 97.85 106.36 113 118.75 123.9 130 134.3
CLETO DE LA TORRE
217
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Número
de
Grupos
Prueba Z para la media
Prueba T para la media
Prueba del signo para la mediana
Prueba Z para la diferencia de medias
Prueba T para la
diferencia de medias
Prueba T para la diferencia
de medias con ajuste de
grados de libertad.
Distribución
Normal
n≥20
Varianzas
iguales
Prueba de Mann Whintney para
comparación de poblaciones
Distribución
normal
n≥30 i
n
d
e
p
e
n
d
i
e
n
t
e
s
Prueba Z para la media de la diferencia en
datos apareados
Prueba T para la media de la
diferencia en datos apareados
Prueba del signo o de Wilcoxon
para datos apareados
Distribución
normal
Distribución normal
con varianzas
semejantes
n≥30
i
n
d
e
p
e
n
d
i
e
n
t
e
s
ANOVA – comparación de tratamientos
Prueba de Krusskal – Wallis –
comparación de tratamientos.
ANOVA en bloque - comparación de
tratamientos.
Prueba de Friedman - comparación de
tratamientos.
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
SI
Distribución normal
con varianzas
semejantes
SI
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
NO
2
grupos
3 o más
grupos
1
grupo
ESTADISTICA
218
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
SI
Número
de
Grupos
Prueba Z para la proporción poblacional
Muestra grande
nP y n(1-P) > 5
Frecuencias
esperadas
pequeñas
i
n
d
e
p
e
n
d
i
e
n
t
e
s
i
n
d
e
p
e
n
d
i
e
n
t
e
s
SI
SI
SI
NO
NO
NO
2
grupos
3 o más
grupos
1
grupo
Prueba Binomial para la proporción poblacional
Prueba exacta de Fisher – comparación de
proporciones
Prueba Z o Ji-Cuadrado para comparación de
proporciones
Prueba de McNeman
Comparación de proporciones
Frecuencias
esperadas
pequeñas
SI
SI
NO
NO
Prueba Ji - Cuadrado (reunir categorías)
Para comparación de proporciones
Prueba Ji-Cuadrado para comparación de
proporciones
Prueba Q de Cockran
Comparación de proporciones
No
No
CLETO DE LA TORRE
219
PRUEBAS DE HIPÓTESIS
Escala de
medición
para
ambas
variables.
Continua Coeficiente de correlación lineal de pearson
Coeficiente de correlación por rangos de
Spearman
SI
NO
-Prueba de chi-cuadrado (Coeficiente de
contingencia)
-Riesgos relativos( Estudios Cohorte).
-Odds Ratio( Estudios caso-control)
-Coeficiente de correlación
Prueba de chi-cuadrado para
independencia de variables (Coeficiente
de contingencia)
Cada variable
tiene dos
categorías
(Tabla 2x2)
Ordinal y/o
cardinal
Nominal
ESTADISTICA
220
MÉTODOS ESTADÍSTICOS DE ACUERDO AL TIPO DE VARIABLES y NIVEL DE
INVESTIGACION.
Tipo de
Descripción
Tipo de variable Nivel de
investigación
Método o Técnica
Estadística.
Variables
individuales
Cualitativa
(Nominal y
Ordinal)
Escala de actitud
de Likert)
DESCRIPTIVA Tabla de Frecuencias,
proporciones, o
porcentajes.
Representados por
grafico de barras,
sectores o pictogramas.
Intervalo de confianza y
prueba de hipótesis de la
proporción.
Variables
individuales
Cuantitativa
(Intervalo o
razón)
DESCRIPTIVA -Distribución de
frecuencias por
intervalos.
-Medias, desviación , ,
varianza, percentiles.
-Intervalo de confianza y
prueba de hipótesis de la
media.
-Análisis factorial, análisis
de compontes
principales.
Asociación
entre
variables
V. Ind: Cualitativa
con V.Dep:
Cualitativa
EXPLICATIVA -Tablas de contingencia.
-Calculo de riesgos.
-Pruebas de chi-
cuadrado: independencia
-Grafico de barras de
doble entrada.
-Pruebas de Kendall, de
Spearman.
CLETO DE LA TORRE
221
-Análisis de
correspondencias
Asociación
entre
variables
V. Ind: :
Cualitativa(s)
(Grupos)
con V.Dep:
Cuantitativa
(Rpta)
COMPARATIVA,
-Tablas con clasificación
categórica, con
promedios, desviaciones,
etc.
-prueba t-student
Asociación
entre
variables
V. Ind: :
Cualitativa(s)
(factores)
con V.Dep:
Cuantitativa(Rpta)
EXPERIMENTAL,
CUASI
EXPERIMENTAL
Diseño experimental
(ANOVA)
-Prueba de comparación
de medias.
Asociación
entre
variables
V. Ind: :
Cuantitativa(s)
con V.Dep:
Cuantitativa
RELACIONAL,
CORRELACIONAL
-Grafico de dispersión.
- Análisis de regresión.
-coeficiente de
correlación de pearson.
Asociación
entre
variables
V. Ind: :
Cuantitativa(s),
cualitativa(s)
Con V.Dep:
Cualitativa
EXPLICATIVA -Regresión Logística.
-Análisis Discriminante.
ESTADISTICA
222
PRUEBAS ESTADÍSTICAS DE ACUERDO A LA ESCALA DE MEDICIÓN DE LA
VARIABLE.
Tipo de
Descripción
Escala de la
variable
Método o Técnica Estadística.
Variables
individuales
Nominal -Prueba Z para una proporción
poblacional.
-Prueba de chi-cuadrado para varias
proporciones en una sola población.
-Intervalos de confianza para
proporciones.
-Prueba de McNemar,
-Prueba de Mantel Haenzel
Variables
individuales o
más de una
variable
Ordinales
-Prueba de signos o binomial para la
media poblacional.
-Pruebas de wilcoxon para rangos.
Prueba de U Mann Whitney( dos o más
poblaciones)
-Prueba de Kruskal Wallis.
-Prueba de Friedman.
Variables
individuales
Intercalar o de
razón.
-Prueba de t para una media poblacional.
-intervalos de confianza.
Mas de una
variables
Intercalar o de
razón
-Prueba de hipotes e intervalos de
confianza para diferencia de medias.
-Prueba de varianzas
