4/9/14 1

PROBABILIDADES

2

Experimento o fenmeno aleatorio

Experimento que da lugar a varios resultados

posibles, sin que se pueda predecir con certeza

cul de stos va a ocurrir o va a ser observado

en cada realizacin del mismo.

3

Ejemplos

! Nmero de accidentes de trnsito ocasionados por exceso de velocidad en un da, en la ciudad de Lima.

" Nmero de personas que acuden a un supermercado entre las 2 pm y las 4 pm.

" La inflacin mensual en Lima.

" Tipo de cambio bancario (para compra de dlares).

" Ingreso mensual por venta de refrigeradoras.

" Tiempo, en horas, que tarda un vuelo Lima Pars.

4

Espacio muestral:

Es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplos:

1. Lanzar un dado: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

2. Extraer al azar un naipe: ={1T, 2T, 3T, ..., 13D} (52 posibles resultados)

5

Espacio muestral:

3. Plantar dos tipos de semillas y observar si cada una germina o no: = {GG, NG, GN, NN}

4. Evaluar artculos en una lnea de produccin hasta encontrar el primer defectuoso: = {D, BD, BBD, BBBD, ...}

5. Observar tiempo de corrosin de una pieza (en horas): =[0, T]

6. El tiempo, con relacin a la lluvia, que har durante tres das consecutivos : ={LLL, LLN, LNL, NLL, LNN, NLN, NNL, NNN}

4/9/14 6

Los espacios muestrales pueden ser:

# Discretos finitos: Ejemplos: 1, 2, 3, 6

# Discretos infinitos: Ejemplo 4

# Continuos: Ejemplo 5

Tipos de espacio muestral

4/9/14 7

Eventos

# Un evento es cualquier subconjunto del espacio muestral .

# Al realizar un experimento, diremos que el evento A ocurre si el resultado obtenido es un elemento del evento.

# es el evento imposible y es el evento siempre cierto.

# Ac ocurre si A no ocurre

8

Ejemplo

Experimento aleatorio: Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos:

" Espacio muestral ={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}

" En se definen los siguientes eventos:""A = La suma de puntos es mltiplo de 5 = {5, 10, 15} B = La suma de puntos es mayor o igual que 12 = {12, 13, 14, 15, 16, 17, 18}

9

Tipos de eventos

! Evento elemental o simple: Formado por solo uno de los elementos del espacio muestral

! Evento conjunto: Formado por dos o ms elementos del espacio muestral

! Evento contrario o complemento del evento A: Ac Ac est formado por todos los elementos del espacio muestral que no pertenecen a A

! Evento imposible: ! Evento seguro o siempre cierto:

4/9/14 10

Operaciones con eventos

# Unin : AB = {w / wA w B}

La unin se lee: Al menos uno de los dos eventos A o B ocurre

4/9/14 11

Operaciones con eventos

Interseccin : AB = {w / wA w B}

La interseccin se lee: Ambos eventos, A y B ocurren. Si AB = , decimos que A y B son disjuntos o

mutuamente excluyentes

4/9/14 12

Operaciones con eventos

La diferencia se lee: Ocurre A y no ocurre B

Diferencia: A - B = {w / wA wB} A B = ABc

A B

4/9/14 13

Algebra de Eventos

c c

1) 2) 3) 4) 5) 6)

c c

A A A A A AA B B A A B B AA A A AA A AA A A

= =

= =

= =

= =

= =

= = ( )7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )8) ( ) ( )

c c

c c c c c c

A AA B C A B A CA B C A B A CA B A B A B A B

=

=

=

= =

4/9/14 14

Ejemplo " Dados los n eventos A1, A2, ,An se define: " A = al menos uno de los eventos Ai ocurre

" B = todos los eventos Ai ocurren a la vez

n

iiAA

1=

=

n

iiAB

1=

=

4/9/14 15

Ejemplo " Dados los n eventos A1, A2, ,An se define: " A = al menos uno de los eventos Ai ocurre

" Ac = Ninguno de los eventos Ai ocurre

n

iiAA

1=

=

n

i

Ci

Cn

ii AA

11

)()(==

=

4/9/14 16

sigue ejemplo " B = todos los eventos Ai ocurren a la vez

" Bc = Al menos uno de los eventos Ai no ocurre

n

i

Ci

n

i

Ci AA

11

)()(==

=

n

iiAB

1=

=

17

Ejemplo

Experimento: Observar el nmero de televisores vendidos por semana en cierta tienda de electrodomsticos

Eventos: A= En una semana se venden menos de 5 televisores B= En una semana se venden 25 televisores C= En una semana se venden mas de 8 televisores

a)Describa los eventos AUB, AUC y AB b)Los eventos A y B son mutuamente excluyentes? c)Describa el evento complementario de A.

4/9/14 18

Ejercicio

Un inspector revisa un proceso de produccin de tres etapas. Cada una de las etapas puede o no haber sido concluida satisfactoriamente.

Sea Ai = la etapa i del proceso concluy satisfactoriamente, i = 1,2,3. Describa los eventos:

a) Las tres etapas concluyeron satisfactoriamente.

b) Por lo menos una de las etapas del proceso concluy satisfactoriamente.

c) Solo dos de las etapas concluyeron satisfactoriamente.

19

Fundamentos de probabilidades

Conceptualmente existen tres maneras de determinar la posibilidad de ocurrencia de un evento:

! Probabilidad clsica

! Probabilidad frecuentista

! Probabilidad subjetiva

20

! Supone que el espacio muestral es finito y que cada uno de sus eventos elementales es igualmente probable.

! La probabilidad del evento A, se denota P(A), y est dada por:

Probabilidad clsica

)()(

)(

=

=

nAn

deelementosdeNAdeelementosdeNAP

4/9/14 21

Ejemplo

" Se lanza un dado, encontrar la

probabilidad de los eventos:

" A = sale un punto

" B = sale un nmero par de puntos

" C = salen menos de cinco puntos

4/9/14 22

Solucin

" El espacio muestral

" Sale un punto

" Sale un nmero par de puntos

" Salen menos de cinco puntos

6)(}6,5,4,3,2,1{ == n

63)(3)(}6,4,2{ === BPBnB

( )611)(}1{ === APAnA

64)(4)(}4,3,2,1{ === CPCnC

23

Ejemplo

! Se sabe que en determinada urbanizacin viven 120 familias, de las cuales 90 son propietarias y el resto inquilinas. Si se escoge una familia al azar, cul es la probabilidad de que sea inquilina?

! Evento A = la familia seleccionada es inquilina !

25,012030

)( ===

familiasdetotalNinquilinasfamiliasdeNAP

24

Ejemplo

Se entrevist a 3500 clientes de una empresa de telefona celular que adquirieron un paquete promocional que permita llamar ilimitadamente a otros dos celulares de la misma empresa durante tres meses. La siguiente tabla muestra la distribucin de los clientes entrevistados por sexo y por su intencin de renovar el paquete promocional.

S renueva

No renueva

Masc.

1000

900

Fem.

1200

400

25

sigue ejemplo

Si se selecciona al azar uno de los clientes entrevistados, calcule la probabilidad de que el cliente seleccionado:

a) A = Sea mujer

b) B = Tenga intencin de renovar el paquete promocional

c) C = Sea hombre y no tenga intencin de renovar el paquete promocional.

S renueva

No renueva

Masc.

1000

900

1900

Fem.

1200

400

1600

2200

1300

3500

26

! La probabilidad de ocurrencia de un evento se determina por observacin de la proporcin de veces que eventos similares ocurrieron en el pasado (frecuencia relativa).

" Si un experimento se realiza un nmero n muy grande de veces y si en n(A) de ellos ocurre el evento A, la probabilidad de A es:

Probabilidad frecuentista

nAn

APn

)(lim)(

=

27

Ejemplo

Se lanza un dado. = {1,2,3,4,5,6} A = {1}

)(

1661,0166110000168,0168100015,0151002,0210

/)(

AP

nAnfnn AA

=

28

Ejemplo

" De un almacn donde hay miles de cajas de cereal de avena, se extraen al azar 500 cajas y se observa que 8 de ellas presentan algn defecto. Aproximar la probabilidad de que una caja de cereal de avena del almacn sea defectuosa. A = {caja presenta algn defecto} n = 500, n(A) = 8 fA = 0,016 P(A) 0,016

29

Probabilidad subjetiva

" Es la valoracin que hace un individuo de las posibilidades de obtener un resultado, basado en su experiencia, opinin personal y anlisis que l hace de la situacin particular que se evala (estado de informacin de una persona).

30

Ejemplos

" La probabilidad de que el rendimiento de la BVL en abril sea mayor que el obtenido en el mes de marzo es menor al 10%.

" La probabilidad de que Per clasifique para el Mundial de Ftbol del 2018 es

" La probabilidad que tengo de aprobar el curso de Estadstica para Ingeniera es

4/9/14 31

Definicin axiomtica de probabilidad

Una probabilidad es una funcin P, que asigna a cada evento A de , un nmero real P(A), que satisface las siguientes tres propiedades, llamadas axiomas de probabilidad:

a) P(A) 0, para cualquier evento A de . b) P() = 1 c) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes de ,

entonces: P(AB) = P(A) + P(B)

4/9/14 32

Teoremas de probabilidades

# Si A = P()=0 El recproco de este teorema no siempre es cierto

# P(Ac) = 1 - P(A) # Si A B P(A) P(B)

# P(A) = P(AB) + P(ABc) # P(AB)= P(A) + P(B) P(AB)

4/9/14 33

Ejemplo

" En un lote, la probabilidad de que una pieza cualquiera tenga el defecto A es 0,6 y de que tenga el defecto B es 0,5. Si la probabilidad de que la pieza tenga los dos defectos es 0,2, encontrar la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar de este lote: " tenga instalado alguno de los dos defectos " tenga el defecto A pero no el B " tenga el defecto B pero no el A " tenga slo uno de los dos defectos " no tenga ninguno de los dos defectos.

34

Ejercicio

El anlisis costo-beneficio de la compra de cierta fbrica determin que solo la ocurrencia de alguno de los eventos A o B ocasionara una inversin desfavorable. Se estima que la probabilidad de que ocurra el evento A es 0,1; la probabilidad de que el evento B ocurra es 0,05 y la probabilidad de que ocurran ambos eventos es 0,02. Cul es la probabilidad de que

a) la inversin resulte desfavorable debido nicamente a la ocurrencia del evento A?

b) Cuantifique el riesgo que se corre en esta inversin, es decir, la probabilidad de que la compra ocasione una inversin desfavorable.

4/9/14 35

Clculo de probabilidades Sea A un evento del espacio muestral .

1. Espacio muestral finito y equiprobable

posiblesCasosfavorablesCasos

nAnAP =

=)()()(

2. Espacio muestral discreto infinito

=Aw

ii

wPAP })({)(

3. Espacio muestral continuo equiprobable

)()()(

=Medida

AMedidaAP

4/9/14

Prob. en espacios discretos finitos: Conteo de puntos muestrales

El nmero de elementos del evento A, del espacio muestral , se denota n(A) Se cumple que:

n() = 0 n(A) 0

4/9/14 37

Regla de la multiplicacin

! Si una operacin puede realizarse de n1 formas y por cada una de stas una segunda operacin puede realizarse de n2 formas entonces las dos operaciones se realizan de n1 x n2 formas. ! Si 1, 2,..., k son k conjuntos finitos, entonces, el nmero de elementos del producto cartesiano 1x2x...x k es: )(...)()( 21 kAnAnAn

4/9/14 38

Regla de la adicin

=

=n

iin )A(n)A...AA(n

121

! Si A1, A2,..., An son eventos mutuamente excluyentes:

! Si A , B y C son eventos cualesquiera:

= )CBA(n

)CA(n)BA(n)C(n)B(n)A(n ++)CBA(n)CB(n +

4/9/14 39

Combinaciones " El nmero de subconjuntos de k elementos

que se pueden seleccionar de un conjunto de n elementos se denomina combinaciones de n en k y est dado por:

!)!(!kkn

nCnk =

4/9/14 40

Probabilidad en espacios discretos finitos

Una caja contiene 15 fichas 6 de las cuales son de color rojo y el resto de color azul.

Se escogen 3 fichas al azar, cul es la probabilidad de que las 3 sean rojas, si se escogen:

a) una por una sin reposicin ? b) una por una con reposicin ? c) Las tres a la vez ?

4/9/14 41

Probabilidades en espacios discretos y finitos

Una caja contiene 15 fichas 6 de las cuales son de color rojo y el resto de color azul. Se escogen 4 fichas al azar, cul es la probabilidad de que 3 sean rojas, si se escogen:

a) una por una sin reposicin ? b) una por una con reposicin ? c) las cuatro a la vez ?

Rodrigo

4/9/14 42

Ejemplo " En un lote de conservas de atn 12 son de marca

nacional y 8 son de marca extranjera. Se escoge al azar 6 conservas, encontrar la probabilidad de los eventos siguientes:

" Que entre las conservas elegidas: " A = cuatro sean de marca nacional " B = todas sean de marca nacional " C = ninguna sea de marca nacional " D = alguna sea de marca nacional " E = por lo menos cuatro sean de marca nacional " F = a lo ms una sea de marca nacional

Rodrigo

4/9/14 43

Probabilidad en espacios discretos infinitos

Un dado se lanza sucesivamente hasta

obtener el primer 1

a) Describa el espacio muestral .

b) Asigne probabilidades a cada uno de los elementos del espacio muestral.

c) Pruebe que P() = 1

4/9/14 44

Probabilidades en espacios continuos

" Al lanzar un dardo a un blanco circular de 10 cm. de radio, el dardo cae indistintamente en cualquier punto del blanco.

" Encontrar la probabilidad de que al lanzar el dardo este caiga a menos de 5 cm. del centro del blanco.

4/9/14 45

" El espacio muestral es

" El evento A es

" La medida de y A es

" La probabilidad es

}10/),{( 222 += yxyx

}5/),{( 222 += yxyxA

22 5)(10)( == Amm

41

105)( 22

=

=AP

Solucin:

4/9/14 46

Ejemplo

" Al imprimir una grfica en un recuadro, el largo del recuadro vara de manera uniforme entre 0 y 40 cm y el ancho vara de manera uniforme entre 0 y 20 cm.

" Encontrar la probabilidad de que el rea del recuadro sea de ms de 200 cm2.

4/9/14 47

Solucin

" = {(x,y) IRxIR/ 0

4/9/14 48

" La medida de es

" La medida de A es

" La probabilidad de A es

8002040)( ==m

m(A) = (20 200x )dx1040

= 600 Ln(4) = 322, 74

P(A) = m(A)m() =322, 74800 = 0, 4034

. sigue solucin

Ejemplo

" Considere que se ha seleccionado al azar dos nmeros reales x e y tales que 0

Probabilidad Condicional e Independencia

Probabilidad Condicional

Dados A y B dos eventos en el espacio muestral , la probabilidad condicional de B dado A se define por:

P B A( ) = n(AB)n(A) , si n(A)> 0

( ))(

)(APBAPABP = , si 0)( >AP

Si es finito y equiprobable:

Probabilidad condicional

En la probabilidad condicional, P(B/A), el evento condicin A determina el nuevo espacio muestral

A B

La probabilidad condicional P(B/A), es una probabilidad pues cumple con los axiomas de probabilidad y, por lo tanto, tambin cumple con los teoremas de probabilidad.

Probabilidad condicional

)/()/()/)(()3

1)/()20)/(:)1

:0)(

2121

21

ABPABPABBPBBSiAP

ABPBAPSi

+=

=

=

La probabilidad condicional cumple los axiomas de probabilidad:

Ejemplo

" En el ltimo reporte anual de una gran cadena hotelera se afirma que el 72% de sus

trabajadores habla ingls, el 54% habla francs y

el 37% habla ambos idiomas.

" Si se selecciona al azar un trabajador de esta

cadena hotelera y se sabe que habla ingls, cul es la probabilidad de que hable francs?

Resp: 0,514

4/9/14 55

Ejemplo

Un banco sortea un viaje entre 100 clientes que han abierto una cuenta de ahorros en el ltimo mes; de ellos, 56 son mujeres, 82 estn casados y 43 son mujeres casadas. a) Calcule la probabilidad de que el ganador sea un

hombre casado. b) Si ya se realiz el sorteo y sabe que sali ganador

un hombre, calcule la probabilidad de que el ganador sea casado.

Rodrigo

Regla del producto

" Sean A y B dos eventos

" Sean A1, A2, A3,...., An eventos de

)/()()(:0)(

ABPAPBAPAPSi

=

( ) ( ).......)()()...(

121213121

21

=

nn

n

AAAAPAAAPAAPAPAAAP

Ejemplo " De 50 telfonos celulares, hay 20 que son marca

Apple. Se escoge al azar, uno por uno, dos telfonos celulares. Encontrar la probabilidad de que el primero sea Apple y el segundo no lo sea.

A = El primer telfono celular es marca Apple{ }B = El segundo telfono celular no es marca Apple{ }

( ) ( )4930

5020)( == A

BPAPBAP

( )4930

5020)( == A

BPAP

Ejemplo

" De los adultos de 25 o ms aos empleados en cierto pas, el 90,3% complet la enseanza media y de ellos, el 30,8% complet la universidad.

" Calcular la probabilidad de que un adulto empleado de ese pas, seleccionado al azar, haya completado la enseanza media y tambin la universidad.

" Respuesta: 0,278

Particin del espacio " Los eventos E1, E2,,En son una particin

del espacio , si:

),...,2,1(,0)( niEP i =

)(, jiEE ji =

n

iiE

1=

=

E1 E2

E3 En ...

Teorema de probabilidad total " Si los eventos E1, E2,, En son una

particin del espacio :

( )=

"#$

%&'=

n

i ii E

APEPAP1

)(

Teorema de Bayes

El teorema de Bayes establece una relacin muy importante en la teora de probabilidades y es la base para la revisin de la asignacin de probabilidades a la luz de informacin adicional.

Posibilidades

a priori Informacin

Nueva Teorema de Bayes

Posibilidades posteriores

Teorema de Bayes " Si los eventos E1, E2,,En son una

particin del espacio y P(A) 0:

( )),...,2,1(,

)(nk

APEAPEP

AEP k

kk =

!"#

$%&

=!"#

$%&

Ejemplo

" En una fbrica textil, cada polo es estampado en una de tres mquinas: M1, M2, M3. El nmero de

polos estampados diariamente en cada mquina es 500, 350 y 150 respectivamente.

" El porcentaje de polos devueltos por defectos en el

estampado es de 1%, 3% y 6% para las mquinas M1, M2 y M3 respectivamente.

sigue ejemplo

" Si se escoge al azar un polo estampado cul es la probabilidad de que sea devuelto por defectos en el

estampado?

" Si se selecciona un polo estampado al azar y debe

ser devuelto por defectos en el estampado, cul es

la probabilidad de que haya sido estampado en la mquina 1?

Solucin

" Sean los eventos

" Adems

}{)3,2,1(,}{

estampadoelendefectopordevueltopoloDiMmquinalaenestampadopoloE ii

=

==

06,0)/(03,0)/(01,0)/(

15,0)(35,0)(5,0)(

3

21

321

=

==

===

EDPEDPEDP

EPEPEP

... sigue solucin

" La probabilidad de que el polo escogido sea devuelto por defectos en el estampado es 0,0245 pues:

P(D) = P(Ei )P(D / Ei )

i=1

3

= 0,50,01+ 0,350,03+ 0,150,06 = 0,0245

... sigue solucin

" La probabilidad de que el polo escogido haya sido estampado en la mquina 1 dado que debe ser devuelto por defectos en el estampado es 0,204 pues:

P(E1 /D) = P(E1)P(D / E1) / P(D)= 0,50,01/ 0, 0245= 0,204

Ejemplo Un ingeniero est interesado en determinar si cierta impureza est presente en un producto. Por estudio de los datos histricos, el ingeniero estima que la impureza est presente en 20% de estos productos. Con un experimento de laboratorio se puede evaluar si la impureza est o no presente en el producto; este experimento tiene una probabilidad de 0,86 de detectar la impureza cuando esta est presente y una probabilidad de 0,08 de indicar que la impureza est presente cuando en realidad no lo est. Si acaba de realizarse el experimento y el resultado indica que la impureza est presente en el producto evaluado, determine la probabilidad de que la impureza est realmente presente en este producto.

4/9/14 68

Ejercicio

El dueo de H&T Ingenieros debe decidir si presenta o no una oferta para hacerse cargo de la construccin de un nuevo centro comercial. En el pasado su principal competidor, la empresa Uehara Constructores, ha propuesto ofertas en el 75% de los nuevos proyectos de construccin. Si Uehara Constructores no presenta ofertas para un trabajo, la probabilidad de que H&T Ingenieros obtenga el trabajo es de 0,56. Si Uehara Constructores propone una oferta para el trabajo, la probabilidad de que H&T Ingenieros obtenga el trabajo es de 0,28.

a) Cul es la probabilidad de que H&T Ingenieros obtenga el trabajo? Con base en este resultado, recomendara usted que la empresa presente una oferta?

b) Si la empresa H&T Ingenieros obtiene el trabajo, cul es la probabilidad de que la empresa Uehara Constructores haya propuesto una oferta? Respuestas: a) 35% b) 60%

Independencia

Juego de dados

" En un juego se lanza un dado una vez y se gana si sale el nmero 6.

" Cul es la probabilidad de ganar?

" Si un jugador ha jugado ya dos veces y ha

ganado en ambas, cul es la probabilidad de que gane si juega una vez mas?

Eventos independientes

" Dos eventos A y B son independientes, si y solamente si:

" O equivalentemente, A y B son independientes si y solo si:

)()/( APBAP =

)()()( BPAPBAP =

Rodrigo

Eventos independientes " Los eventos A, B y C son independientes

si y solamente si:

)()()( BPAPBAP =

)()()()( CPBPAPCBAP =

)()()( CPAPCAP =)()()( BPCPBCP =

Propiedades: Eventos independientes

" Sean los eventos A y B tales que: P(A) 0

y P(B) 0. Se cumple que:

" Si A y B son independientes A y B no son

disjuntos.

" Si A y B son disjuntos A y B no son

independientes

Teorema

Si los eventos A y B son independientes, entonces:

a) A y Bc son independientes b) Ac y B son independientes c) Ac y Bc son independientes.

Ejemplo

" Se lanza un dado n veces, encontrar

la probabilidad de que el seis

aparezca por lo menos una vez.

Ejemplo " Un televidente ve de manera independiente los

programas A y B. La probabilidad de que vea el programa A es 0,2 y de que vea el programa B es 0,3, hallar la probabilidad de que: " vea los dos programas

" no vea ninguno de los dos programas

" vea alguno de los dos programas

" vea slo el programa A

" vea slo el programa B

" vea slo uno de los dos programas

Ejemplo " Un equipo electrnico tiene tres componentes que

funcionan de manera independiente, cuyas probabilidades de fallar respectivas son 0,01; 0,015 y 0,08.

" Calcule la probabilidad de que fallen dos de los tres componentes del equipo.

" Si se determina que dos de los tres componentes han fallado, determine la probabilidad de que hayan sido el segundo y tercero. 4/9/14 79