estadistica semana 7

ESTE DOCUMENTO CONTIENE LA SEMANA 7 2

ÍNDICE TEORÍA DE PROBABILIDADES ........................................................................................................ 3 APRENDIZAJES ESPERADOS ........................................................................................................... 3 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................. 3 CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIÓN DE PROBABILIDADES ........................................................... 4

PROBABILIDADES ................................................................................................................... 5 AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS ............................................................................................... 5 PROPIEDADES BÁSICAS DE LA FUNCIÓN PROBABILIDAD ...................................................... 6 ESPACIO EQUIPROBABLE ....................................................................................................... 7

ESTADÍSTICA

SEMANA 7


TEORÍA DE PROBABILIDADES

APRENDIZAJES ESPERADOS Durante esta semana se presentarán las diferentes aplicaciones que puede tener un análisis de

probabilidades, además esto se complementará con ejemplos didácticos fáciles de entender y

replicar.

INTRODUCCIÓN

Durante las últimas semanas hemos podido comprobar que se puede resumir la información

correspondiente a los datos de un estudio usando gráficos, tablas de frecuencias, medidas

descriptivas. Estos análisis llevan a conocer el comportamiento de la información muestral, por lo

tanto, es sumamente importante cuantificar la cantidad de elementos del espacio muestral, ya

que con esta información se obtiene el porcentaje de casos que representa la condición

seleccionada para el estudio.

Ejemplo: Un profesor debe decidir si modifica o no el nivel de un curso, basándose en las

calificaciones obtenidas por dos de cuatro de los alumnos del curso. Si las calificaciones de los

cuatro alumnos fueron 2,5; 3,5; 4,5; 5,5 y suponiendo que el profesor ocupará el promedio de dos

de estos para decidir.

Las preguntas que surgen son:

¿Cuántas muestras son posibles?

¿A qué conclusión puede llegar el profesor si decide con los resultados de dos de estos cuatro

alumnos?

La respuesta a la primera interrogante es por el momento 6 posibilidades, que son las siguientes:


Supóngase que un alumno, critica al profesor, diciendo: “su decisión favorecerá a los alumnos de

mejor rendimiento”, entonces: ¿cuál será su respuesta?

Mirando las posibles decisiones del profesor, está claro que cada una de estas (básico, medio o

avanzado) tiene dos de seis posibilidades y, por lo tanto, la crítica del alumno no se fundamenta.

A este número “2 de 6” se le define como “la probabilidad de que el profesor decida por un curso

de nivel avanzado”.

De otra forma: Si a “p” se le define como esta probabilidad, entonces: p es 2/6 o p es 1/3.

La parte de la estadística que toma estas decisiones o que cuantifica los posibles errores que se

pueden cometer, sin conocer el valor poblacional, es llamada inferencia estadística y para

abordarla es imprescindible poseer conocimientos de Teoría de Probabilidades.

Por otro lado, al observar los errores, se plantea la siguiente interrogante: ¿Cuál es la probabilidad

de que el profesor cometa un error al decir que “lo encontrado en la muestra es lo que pasa en la

población”?

Mirando los errores absolutos, se tiene cuatro casos en los cuales estos se presentan, es decir, 4

de 6. La probabilidad de que el profesor cometa error es de 4/6 o 2/3. En resumen, si es el

promedio muestral y es el promedio poblacional, la inferencia estadística, ocupando

probabilidades, busca cuantificar:

CONCEPTOS BÁSICOS Y DEFINICIÓN DE PROBABILIDADES El concepto de probabilidades se enmarca frente a un problema o experimento, es así como en el

caso del profesor, el experimento consiste en seleccionar a dos alumnos entre cuatro. Se define el

conjunto de resultados posibles como el espacio muestral del experimento y se denota a través

de la letra omega, Ω (Pagano, 2011).

Ejemplos:

Experimento 1: Lanzar una moneda Ω = (cara, sello).

Experimento 2: Lanzar un dado Ω = (1, 2, 3, 4, 5, 6).

Experimento 3: Seleccionar a dos alumnos entre cuatro Ω = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,3); (2,4); (3,4)}


Se define como evento o suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral Ω. A continuación

se tienen algunos eventos o sucesos (A, B, C), entre otros.

Experimento 4: Lanzar una moneda A = (Obtener cara)

Experimento 5: Lanzar un dado B = (Obtener número par)

Experimento 6: Seleccionar a dos alumnos entre cuatro C = {Obtener (2,4) o (3,4)}

Nuevamente la pregunta que surge es: ¿cuántos subconjuntos o eventos o sucesos son posibles?

La respuesta se desprende del siguiente teorema:

Respuestas experimentos 4,5 y 6:

PROBABILIDADES

Una función P será una función de probabilidades, si esta cumple con los siguientes tres axiomas

(Pagano, 2011).

AXIOMÁTICA DE CONJUNTOS La axiomática de un conjunto sirve para mostrar herramientas que permitan establecer relaciones

entre resultados de un experimento. Los símbolos utilizados en esta axiomática, sean A, B, C

eventos de Ω, son los siguientes (Pagano, 2011).


i. Probabilidad de que A ocurra

ii. Probabilidad de que A NO ocurra

iii. Probabilidad de que A y B ocurran

iv. Probabilidad de que A o B ocurran

v. Probabilidad de que todos ocurran

vi. Probabilidad de que al menos uno ocurra

vii. Probabilidad de que solo C ocurra

viii. Probabilidad de que NO ocurra ninguno

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA FUNCIÓN PROBABILIDAD

Ejemplo 1: Supóngase que en el mantenimiento de un extenso archivo de expedientes médicos

para efectos de seguro, la probabilidad de que un error de procesamiento ocurra es de 0,10; la

probabilidad de un error de archivo es de 0,09; la probabilidad de un error de recuperación es de

0,12; la probabilidad de un error de procesamiento así como de archivo es de 0,02; la probabilidad

de un error de procesamiento así como de recuperación es de 0,03; la probabilidad de un error de

archivo, así como de recuperación es de 0,03; y la probabilidad de un error de procesamiento,

archivo y recuperación es de 0,01.

Pregunta: ¿Cuál es la probabilidad de que se cometa al menos uno de estos errores?

Se define lo siguiente: P = Error de Procesamiento; A = Error de Archivo; R = Error de

Recuperación.

Por lo tanto, se tiene:


Graficando (diagrama de Venn):

Solución:

La forma de solucionar el problema es a partir de:

Luego ocupar:

Y finalmente:

ESPACIO EQUIPROBABLE Se dirá que (Ω, P) es un espacio equiprobable, si la función de probabilidades P definida en el

espacio Ω, asigna igual probabilidad a todos los resultados del experimento como, por ejemplo, el

espacio muestral del lanzamiento de un dado, tiene asignada una probabilidad de 1/6 a cada uno

de sus eventos y se cumple que la probabilidad de cualquier evento está dada por:

De esta forma, por ahora solo hay que contar el número de elementos que tiene un conjunto, es

decir, saber determinar, las posibles maneras que pueden ocurrir en un experimento y cualquier


subconjunto de él. La teoría que estudia este problema, es llamada Teoría de Conteo (Pagano,

2011).

Ejemplos relacionados con situaciones en las cuales a y b son mutuamente excluyentes. a) De acuerdo a la definición básica de probabilidad:

A = sacar un as o un trébol, (total de cartas naipe inglés: 52).

Eventos favorables de A:

A ,A ,A ,A ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 ,J ,Q ,K b) Por la regla de adición donde A = extraer un as y B = Extraer un trébol:

Eventos favorables de A:

A ,A ,A ,A Eventos favorables de B:

A ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10 , J , Q , K Eventos favorables de A y B:

A

Ejercicios: 1. Una empresa de auditoría internacional reconoce que el 70% de las empresas auditadas en

Chile tiene errores en sus activos financieros, el 60% tiene errores en sus pasivos financieros y

el 40% tiene errores en sus activos y en sus pasivos financieros.

Pregunta 1: Si se quiere obtener el porcentaje de empresas sin errores en sus activos, en sus

pasivos o en ambos, ¿qué ejercicio se debe hacer?

Desarrollo:


A = tener errores en los activos financieros. B = tener errores en los pasivos financieros. Por lo tanto, , y

El suceso “no tener errores en los activos financieros” es , entonces

lo que equivale a un 30%.

El suceso “no tener errores en los pasivos financieros” es , entonces

lo que equivale a un 40%.

El suceso “no tener errores en ambos” equivale a “no tener errores en los activos financieros y no

tener errores en los pasivos financieros” es , si se utilizan las leyes de Morgan:

= 1 P(A B) = 1 [P(A) + P(B) P(A B)] = 1 (0,7 + 0,6 0,4) = 1 0,9 =

0,1 lo que significa un 10% de las empresas no tiene errores en los activos financieros y no

tiene errores en los pasivos financieros.

Pregunta 2: Si utiliza una muestra de 500 empresas, ¿cuántas empresas se espera que no tengan

errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros?

Según lo anterior se espera que un 10% de las empresas no tengan errores ni en sus activos ni en

sus pasivos financieros. Si tiene una muestra de 500 empresas se puede esperar que

de ellas no tengan errores ni en sus activos ni en sus pasivos financieros.

2. En una muestra de mil personas hay 300 que saben inglés, 100 que saben alemán y 50 ambos

idiomas. Con esta información necesitamos saber si los sucesos son independientes o no.

Sea A = “saber inglés” y B= “saber alemán”. Desarrollo:

Llamemos A = {saber inglés} y B = {saber alemán}.

Entonces y

Por lo tanto,

Para que los sucesos A y B sean independientes se ha de cumplir que:


P(A B) = P(A) x P(B).

Pero P(A) x P(B) = 0,3 x 0,1 = 0,03 0,05 = P(A B).

Se puede concluir que A y B no son independientes.

3. En un equipo de fútbol, un entrenador tiene las estadísticas de penales lanzados por todos los

jugadores durante la última temporada, el mejor lanzador de penales, convierte cuatro de cada

cinco que lanza. Para los próximos tres penales se consideran los siguientes sucesos:

A = {mete solo uno de ellos}, B = {mete dos de los tres} y C = {mete el primero}. Encontrando la probabilidad de los sucesos:

a. A B

b. A C

c. B C

Desarrollo:

Se define el evento M = {meter un penal}

Entonces y

El suceso A es equivalente a “meter el primero y no meter el segundo y no meter el tercero, o bien

no meter el primero y meter el segundo y no meter el tercero, o bien no meter el primero y no

meter el segundo y meter el tercero”, que simbólicamente se puede escribir así:

Para identificar el orden de los diferentes penales se utilizó un conjunto de subíndices; se observa

también que cada uno de los sucesos encerrados entre paréntesis son incompatibles dos a dos, es

decir, no es posible que ocurra simultáneamente “meter el primer penal y no los dos siguientes” y

“no meter los dos primeros y meter el tercero”, por ejemplo. Esta última observación lleva a:

Se sabe que si A, B y C son sucesos cualesquiera incompatibles dos a dos, entonces:

Entonces

Para terminar esta parte, el hecho de meter o no un penal no influye para nada en lo que ocurra

en el lanzamiento del siguiente, es decir, meter o no meter el primer penal es independiente de


meter o no meter el segundo y de meter o no meter el tercero. Teniendo en cuenta esto se puede

escribir (1) así:

Como se sabe si A, B y C son sucesos independientes dos a dos, entonces

Con todos los cálculos anteriores se ha demostrado que

Ahora se calculará la probabilidad de B, para esto se usará un razonamiento similar al anterior:

El resultado de:

Ahora falta encontrar el resultado para P(C): “Meter el primer penal (con el penal segundo y

tercero puede ocurrir cualquier cosa)” se puede escribir simbólicamente así:

El resultado de:


Ahora se cuenta con cada una de las probabilidades para poder contestar las preguntas planteadas:

a)

Los sucesos A y B son incompatibles.

b)

c)

Observaciones: Para calcular la probabilidad de es necesario calcular P(A) y P(B), pues son

dos sucesos incompatibles y, por tanto, la suma de las probabilidades de los mismos. Sin embargo,

P(C) no hubiera hecho falta, ya que se piden las probabilidades de y de , cuyo cálculo

no requiere como se ha visto de P(C) y se hallan de forma similar a como se puede hallar P(A) o

P(B). Obsérvese, además que A y C no son independientes y, por tanto, no es lícito utilizar la

fórmula . Lo mismo se puede decir de B y C.

Otra forma de resolver el problema es a través de un árbol de decisión, lo que podría resultar mucho más simple.

a)


b)

c)

Después de realizar los cálculos respectivos se pueden comprobar los resultados.

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