ESTADÍSTICA Y ESTADÍSTICA Y PROBABILIDADESPROBABILIDADES

UNHEVAL- 2009UNHEVAL- 2009

Mg. VARGAS RONCAL, RosarioMg. VARGAS RONCAL, Rosario

CAPÍTULO III. MEDIDAS DE CAPÍTULO III. MEDIDAS DE POSICIÓN Y DE TENDENCIA POSICIÓN Y DE TENDENCIA

CENTRALCENTRAL

3.1 MEDIA ARITMÉTICA3.1 MEDIA ARITMÉTICA

• La media aritmética de una variable estadística es la suma de todos sus posibles valores dividido por el total de las observaciones.

MEDIAARITMÉTICA

Datos no agrupados

Datos Agrupados

Población

Muestra

Fórmulas para la mediaFórmulas para la media

N

xN

ii∑

== 1µN

nx i

K

ii∑

== 1µ

n

xx

n

ii∑

== 1

n

nxx

i

k

ii∑

== 1

K: número de intervalos

EjemploEjemplo. Calcular la media aritmética de la siguiente . Calcular la media aritmética de la siguiente distribución de frecuencia del número de meses de distribución de frecuencia del número de meses de duración de una muestra de 40 baterías para coche.duración de una muestra de 40 baterías para coche.

duración de las baterías (meses) Número de baterías

15 - 19 2

20 - 24 1

25 - 29 4

30 - 34 15

35 - 39 10

40 - 44 5

45 - 49 3

Li-1 Li x ni xini

15 19 17 2 34

20 24 22 1 22

25 29 27 4 108

30 34 32 15 480

35 39 37 10 370

40 44 42 5 210

45 49 47 3 141

  n =40 1365=∑ iinx

125.3440

13651 ===∑

=

n

nxx

i

k

ii

3.2 MEDIANA.3.2 MEDIANA.

Es el punto medio de los valores de una serie Es el punto medio de los valores de una serie de datos después de haber sido ordenados de de datos después de haber sido ordenados de acuerdo a su magnitud. acuerdo a su magnitud. La mediana divide al total de los datos en dos La mediana divide al total de los datos en dos partes iguales (50% para cada lado).partes iguales (50% para cada lado).

Datos no agrupados Datos Agrupados

MEDIANA

Con datos ordenándosSi n es impar

Si n es par

Con intervalo

Sin intervalo

)2

1

2( +

= nxMe

2

)12

()2

( ++

=nn xx

Me

1−= je LM

jj

j

je an

Nn

LM1

12 −

−

−+=

21 jj

e

LLM

+= −

je yM =

Nj-1: frecuencia acumulada mediana; nj: frecuencia simple medianaaj: amplitud de clase mediana          ; lj-1: limite inferior del intervalo medianon: numero total de observaciones

12 −= jNn

Si

jj Nn

NSi <<− 21

12 −= jNn

Si

jj Nn

NSi <<− 21

Fórmulas de la mediana

Ejemplo.Ejemplo. Calcular la mediana de la siguiente  Calcular la mediana de la siguiente distribución de frecuencia del número de meses de distribución de frecuencia del número de meses de duración de una muestra de 40 baterías para coche. duración de una muestra de 40 baterías para coche. 

Duración de las baterías (meses) Número de baterías

15 - 19 2

20 - 24 1

25 - 29 4

30 - 34 15

35 – 39 10

40 – 44 5

45 – 49 3

Ni

2

3

7

22

32

37

40

 

Li-1- Li ni

15 - 19 2

20 - 24 1

25 - 29 4

30 - 34 15

35 - 39 10

40 - 44 5

45 - 49 3

40

Nj-1

lj-1

jajn

jNn

jleM12

1−−

+−= 47.33)4(15

1330)4(

15

72

40

30 =+=−

+=

30 - 34 15 2220

240

2==n

Nj

nj

3.3 MODA3.3 MODA

La moda se define como aquel valor de la variable al que corresponde máxima frecuencia (absoluta o

relativa). La moda puede no existir, e incluso no ser única en

el caso de existir.

Datos no agrupados

Datos Agrupados

MODA

Puede ser mono, bi, tri modal

Mo= x (mayor frecuencia)

nj-1: frecuencia pre modal ; nj+1: frecuencia simple post modalnj: frecuencia simple modal ; aj: amplitud de clase modallj-1: limite inferior del intervalo modal ; n: numero de observaciones

jjjjj

jjjO a

nnnn

nnlM

)()( 11

11

+−

−− −+−

−+=

Fórmulas de la moda

Ejemplo. Observados los alquileres de un conjunto de despachos se ha obtenido:

Alquileres enciento de soles

ni

[0,15) 17

[15,30) 130

[30,45) 180

[45,60) 30

[60,75) 10

[75,90) 5

Calcula la moda y la mediana.

Alquileres enciento de soles

ni

[0,15) 17

[15,30) 130

[30,45) 180

[45,60) 30

[60,75) 10

[75,90) 5

[30,45) 180 nj= 180

nj-1= 130

nj+1= 30

jjjjj

jjjO a

nnnn

nnlM

)()( 11

11

+−

−− −+−

−+= 75.33)15(

)30180()130180(

13018030 =

−+−−+=

Lj-1

3.4 CUANTILES: DECILES, CUARTILES Y PERCENTILES

Son medidas de posición, basadas en la ordenación de los datos.

Dividen al conjunto de datos ordenado en partes iguales.

Según el número de partes, hablamos de:

3.4.1 CUARTILES.Dividen al conjunto de datos en 4 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 25% de datos. Hay por tanto 3 cuartiles, Q1, Q2, Q3

3.4.2 DECILES. Dividen al conjunto de datos en 10 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 10% de datos. Hay por tanto 9 deciles, D1, ..., D9.3.4.3 PERCENTILES.Dividen al conjunto de datos en 100 partes iguales, cada una de las cuales engloba un 1% de datos. Hay por tanto 99 percentiles, P1, ..., P99.La mediana, al dejar por debajo a un 50% de los datos, coincide con el D5, Q2 y P50. La forma de cálculo es similar a la de la mediana.Una franja de interés es [P25- P75], que contiene al 50% de los datos centrales.Por debajo del P25 quedan el 25% de los datos más pequeños, y por encima del P75 quedan el 25% de los datos más grandes.

Datos no agrupados

Datos Agrupados

CUANTILES:CuartilesDecilespercentiles

Fórmulas de cuantiles

ii

i

ikr an

Nk

rn

lC1

1/

−

−

−+=

Ni-1: frecuencia acumulada cuantílicani: frecuencia simple cuantílicaai: amplitud de clase cuantílicali-1: limite inferior del intervalo cuantílicon: numero total de observacionesr: número del cuantilk: cuartil k=4; decil k=10, percentil k=100

EjemploEjemplo. . 20 alumnos de la asignatura de Estadística presentan 20 alumnos de la asignatura de Estadística presentan las siguientes edades:18 18 21 19 20 19 19 18 18 22 19 21 21 19 las siguientes edades:18 18 21 19 20 19 19 18 18 22 19 21 21 19 19 19 18 19 19 21, determine los cuartiles 1 y 3, y los percentiles 19 19 18 19 19 21, determine los cuartiles 1 y 3, y los percentiles 25 , 75, 9025 , 75, 90

Ordenamos los datos18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20 21, 21, 21, 21, 22Cuartil 1 (q1)

18, 18, 18, 18, 18 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 20 21, 21, 21, 21, 221 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

q1=18+0.25 (19-18)=18.25 Cuartil 3 (q3)

q3=20+0.75 (21-20)=20.75

25.5)120(4

1)1( =+=+= n

k

rPosición

5.25

75.15)120(4

3)1( =+=+= n

k

rPosición

15.75

15 16