Estado actual y perspectivas del Método deElementos Finitos

MÉTODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS APLICADO AMECÁNICA DE SÓLIDOS Y ESTRUCTURAS

José M.a Goicolea

Grupo de Mecánica Computacional

Escuela de Ingenieros de Caminos,

Universidad Politécnica de Madrid

19 de febrero del 2009

Índice

1 Estado de la TécnicaMotivaciónHistoriaPrestaciones

2 Concepto y características del MEFSistemas discretosSistemas continuosConcepto e ingredientes del MEF

3 Aplicaciones representativasEstructuras de hormigónBiomecánica Cardiovascular

4 Perspectivas y conclusionesPerspectivasConclusión

Índice

1 Estado de la TécnicaMotivaciónHistoriaPrestaciones

2 Concepto y características del MEFSistemas discretosSistemas continuosConcepto e ingredientes del MEF

3 Aplicaciones representativasEstructuras de hormigónBiomecánica Cardiovascular

4 Perspectivas y conclusionesPerspectivasConclusión

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Motivación

Objetivos de los modelos de elementos �nitos

♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos

♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones

♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.

In�uencia de los métodos de simulación por ordenador

♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW

♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):

Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Motivación

Objetivos de los modelos de elementos �nitos

♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos

♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones

♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.

In�uencia de los métodos de simulación por ordenador

♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW

♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):

Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Motivación

Objetivos de los modelos de elementos �nitos

♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos

♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones

♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.

In�uencia de los métodos de simulación por ordenador

♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW

♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):

Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Motivación

Objetivos de los modelos de elementos �nitos

♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos

♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones

♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.

In�uencia de los métodos de simulación por ordenador

♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW

♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):

Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Motivación

Objetivos de los modelos de elementos �nitos

♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos

♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones

♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.

In�uencia de los métodos de simulación por ordenador

♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW

♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):

Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Motivación

Objetivos de los modelos de elementos �nitos

♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos

♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones

♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.

In�uencia de los métodos de simulación por ordenador

♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW

♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):

Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Motivación

Objetivos de los modelos de elementos �nitos

♦ Acortamiento ciclos de desarrollo productos

♦ Mayores requisitos calidad, seguridad, prestaciones

♦ Aplicaciones: Ing. civil, mecánica, aeronáutica, naval, etc.

In�uencia de los métodos de simulación por ordenador

♦ Potencia de cálculo:Ordenadores y HWProgramas de cálculo y SW

♦ Internet♦ Adaptación del conocimiento del ingeniero (superior):

Menor énfasis en procedimientos manuales de cálculo;Mayor énfasis en modelos complejos, no lineales;Conceptos y métodos orientados a resolución por ordenador,numérica o simbólica.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Evolución Método Elementos Finitos (I)

Primer artículo (�paper�):

Turner, M.J., Clough, R.W., Martin, H.C. y Topp,

L.J. (1956): Sti�ness and de�ection analysis of

complex structures, J. Aeronautical Science, 23.

Década 1960: problemas linealesTecnología de elementos isoparamétricosCálculo estáticoIndustria aeronáutica y nuclearIndependencia diseño � cálculo

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Evolución Método Elementos Finitos (I)

Primer artículo (�paper�):

Turner, M.J., Clough, R.W., Martin, H.C. y Topp,

L.J. (1956): Sti�ness and de�ection analysis of

complex structures, J. Aeronautical Science, 23.

Década 1960: problemas linealesTecnología de elementos isoparamétricosCálculo estáticoIndustria aeronáutica y nuclearIndependencia diseño � cálculo

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Evolución Método Elementos Finitos (II)

Década 1970: problemas dinámicosIngeniería sísmicaMateriales no lineales: metales, suelos, hormigón

Década 1980: maduración cálculo linealProblemas lineales: integración diseño (CAD) � cálculo → CAEUso extensivo en industria, sectores no tradicionalesCálculo no lineal: Geometría, plasticidad, condiciones contorno,modelos acoplados, . . .Métodos explícitos en aplicaciones civiles (no militares)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Evolución Método Elementos Finitos (II)

Década 1970: problemas dinámicosIngeniería sísmicaMateriales no lineales: metales, suelos, hormigón

Década 1980: maduración cálculo linealProblemas lineales: integración diseño (CAD) � cálculo → CAEUso extensivo en industria, sectores no tradicionalesCálculo no lineal: Geometría, plasticidad, condiciones contorno,modelos acoplados, . . .Métodos explícitos en aplicaciones civiles (no militares)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Evolución Método Elementos Finitos (III)

Década 1990: maduración cálculo no linealPrototipos virtualesUso extensivo en todos los ámbitos industrialesGeneralización modelos de materialesSimulación de procesosDiscontinuidades: localización, fractura, ondas choque.Dinámica de FluidosBiomecánicaGeneralización métodos explícitos

Década 2000:Robustez modelos no lineales; e�cacia �solvers� linealesMétodos sin malla (EFG, SPH, PU), X-FEM,. . .Métodos multiescala: continuo+atomístico, etc.Aplicaciones: Biomecánica, Fluidos, Multifísica,. . .

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Evolución Método Elementos Finitos (III)

Década 1990: maduración cálculo no linealPrototipos virtualesUso extensivo en todos los ámbitos industrialesGeneralización modelos de materialesSimulación de procesosDiscontinuidades: localización, fractura, ondas choque.Dinámica de FluidosBiomecánicaGeneralización métodos explícitos

Década 2000:Robustez modelos no lineales; e�cacia �solvers� linealesMétodos sin malla (EFG, SPH, PU), X-FEM,. . .Métodos multiescala: continuo+atomístico, etc.Aplicaciones: Biomecánica, Fluidos, Multifísica,. . .

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Prestaciones de los Elementos Finitos

ElementosDe�nen realmente la formulación MEF, tanto por la técnica deaproximación, como por los aspectos del modelo matemáticorepresentado. Librerías de elementos.

Modelos de materialLibrerías modulares, combinables con distintos elementos.

Procedimientos de cálculoProblemas lineales o no lineales.Problemas estáticos → Ecuaciones Algebraicas (EA).Problemas dinámicos → EA + Ecuaciones DiferencialesOrdinarias.Procesos acoplados.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Prestaciones de los Elementos Finitos

ElementosDe�nen realmente la formulación MEF, tanto por la técnica deaproximación, como por los aspectos del modelo matemáticorepresentado. Librerías de elementos.

Modelos de materialLibrerías modulares, combinables con distintos elementos.

Procedimientos de cálculoProblemas lineales o no lineales.Problemas estáticos → Ecuaciones Algebraicas (EA).Problemas dinámicos → EA + Ecuaciones DiferencialesOrdinarias.Procesos acoplados.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Prestaciones de los Elementos Finitos

ElementosDe�nen realmente la formulación MEF, tanto por la técnica deaproximación, como por los aspectos del modelo matemáticorepresentado. Librerías de elementos.

Modelos de materialLibrerías modulares, combinables con distintos elementos.

Procedimientos de cálculoProblemas lineales o no lineales.Problemas estáticos → Ecuaciones Algebraicas (EA).Problemas dinámicos → EA + Ecuaciones DiferencialesOrdinarias.Procesos acoplados.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Comportamiento no Lineal

No linealidad geométrica:Grandes Desplazamientos, RotacionesGrandes DeformacionesCondiciones de contorno:

ContactosCargas: dependencia velocidad, cargas seguidorasMontaje, procesos constructivos

No linealidad materialPlasticidad: metales, suelos, termoplásticosHiperelasticidad: elastómeros, materiales biológicosDaño, degradación: hormigón, cerámica, compuestos

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Comportamiento no Lineal

No linealidad geométrica:Grandes Desplazamientos, RotacionesGrandes DeformacionesCondiciones de contorno:

ContactosCargas: dependencia velocidad, cargas seguidorasMontaje, procesos constructivos

No linealidad materialPlasticidad: metales, suelos, termoplásticosHiperelasticidad: elastómeros, materiales biológicosDaño, degradación: hormigón, cerámica, compuestos

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Procedimientos de cálculo estático

Mediante el MEF se obtiene (y resuelve) un sistema deecuaciones algebraicas

Pequeñas deformaciones y material lineal: ecuacionesalgebraicas lineales

Grandes deformaciones o material no lineal: ecuacionesalgebraicas no lineales

Problemas cuasi-estáticos: sucesión de cálculos estáticos,considerando la evolución del modelo (geometría, material,. . . ), pero sin efectos de inercia.

Otros problemas: Inestabilidad (pandeo linealizado o no lineal;régimen post-crítico)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Procedimientos de cálculo estático

Mediante el MEF se obtiene (y resuelve) un sistema deecuaciones algebraicas

Pequeñas deformaciones y material lineal: ecuacionesalgebraicas lineales

Grandes deformaciones o material no lineal: ecuacionesalgebraicas no lineales

Problemas cuasi-estáticos: sucesión de cálculos estáticos,considerando la evolución del modelo (geometría, material,. . . ), pero sin efectos de inercia.

Otros problemas: Inestabilidad (pandeo linealizado o no lineal;régimen post-crítico)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Procedimientos de cálculo estático

Mediante el MEF se obtiene (y resuelve) un sistema deecuaciones algebraicas

Pequeñas deformaciones y material lineal: ecuacionesalgebraicas lineales

Grandes deformaciones o material no lineal: ecuacionesalgebraicas no lineales

Problemas cuasi-estáticos: sucesión de cálculos estáticos,considerando la evolución del modelo (geometría, material,. . . ), pero sin efectos de inercia.

Otros problemas: Inestabilidad (pandeo linealizado o no lineal;régimen post-crítico)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Procedimientos de cálculo dinámico

Considera fuerzas de inercia, (−Md).

Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF)

Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Resolución directa, incremental:

lineal: una sola resolución en cada incrementono lineal: varias iteraciones en cada incrementoFormulación implícita / explícita

Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Procedimientos de cálculo dinámico

Considera fuerzas de inercia, (−Md).

Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF)

Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Resolución directa, incremental:

lineal: una sola resolución en cada incrementono lineal: varias iteraciones en cada incrementoFormulación implícita / explícita

Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Procedimientos de cálculo dinámico

Considera fuerzas de inercia, (−Md).

Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF)

Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Resolución directa, incremental:

lineal: una sola resolución en cada incrementono lineal: varias iteraciones en cada incrementoFormulación implícita / explícita

Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Procedimientos de cálculo dinámico

Considera fuerzas de inercia, (−Md).

Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF)

Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Resolución directa, incremental:

lineal: una sola resolución en cada incrementono lineal: varias iteraciones en cada incrementoFormulación implícita / explícita

Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Procedimientos de cálculo dinámico

Considera fuerzas de inercia, (−Md).

Semidiscretización: Espacio (MEF) + Tiempo (MDF)

Mediante la aproximación MEF se obtiene un sistema deEcuaciones Diferenciales Ordinarias (EDO)Resolución directa, incremental:

lineal: una sola resolución en cada incrementono lineal: varias iteraciones en cada incrementoFormulación implícita / explícita

Descomposición modal (frecuencia): sólo régimen lineal

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Procedimientos de cálculo acoplado

Problemas:Térmico�mecánicoPoro�elástico (�uido+esqueleto, consolidación)Mecánico�acústico

Métodos:Esquemas monolíticosEsquemas particionados

Índice

1 Estado de la TécnicaMotivaciónHistoriaPrestaciones

2 Concepto y características del MEFSistemas discretosSistemas continuosConcepto e ingredientes del MEF

3 Aplicaciones representativasEstructuras de hormigónBiomecánica Cardiovascular

4 Perspectivas y conclusionesPerspectivasConclusión

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas discretos1D: Fibra elástica extensión homogénea: 1 gdl

L

ℓA

a

P P

P P

=⇒ fk

x

f

σ = Eε

σdef=

P

a; ε

def=

L− `L

P =Ea

L∆`

f = kx

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas discretos1D: Fibra elástica extensión homogénea: 1 gdl

L

ℓA

a

P P

P P

=⇒ fk

x

f

σ = Eε

σdef=

P

a; ε

def=

L− `L

P =Ea

L∆`

f = kx

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas discretos1D: Fibra elástica extensión homogénea: 1 gdl

L

ℓA

a

P P

P P

=⇒ fk

x

f

σ = Eε

σdef=

P

a; ε

def=

L− `L

P =Ea

L∆`

f = kx

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas discretos1D: Fibra elástica extensión homogénea: 1 gdl

L

ℓA

a

P P

P P

=⇒ fk

x

f

σ = Eε

σdef=

P

a; ε

def=

L− `L

P =Ea

L∆`

f = kx

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas discretosCercha de barras articuladas: N gdl

F3F2 F4

F1

K · u = f

K =

k11 k12 . . . k1N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kN1 kN2 . . . kNN

; u =

u1...uN

; f =

F1...FN

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas discretosCercha de barras articuladas: N gdl

F3F2 F4

F1

K · u = f

K =

k11 k12 . . . k1N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kN1 kN2 . . . kNN

; u =

u1...uN

; f =

F1...FN

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas discretosCercha de barras articuladas: N gdl

F3F2 F4

F1

K · u = f

K =

k11 k12 . . . k1N. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .kN1 kN2 . . . kNN

; u =

u1...uN

; f =

F1...FN

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)

a

P P

x

τ(x)

dσ(x)

dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) =

du

dx

σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2

= 0

Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)

a

P P

x

τ(x)

τ(x)dx

σ σ + dσ

dx

dσ(x)

dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) =

du

dx

σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2

= 0

Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)

a

P P

x

τ(x)

τ(x)dx

σ σ + dσ

dx

dσ(x)

dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x);

ε(x) =du

dx

σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2

= 0

Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)

a

P P

x

τ(x)

τ(x)dx

σ σ + dσ

dx

dσ(x)

dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) =

du

dx

σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2

= 0

Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)

a

P P

x

τ(x)

τ(x)dx

σ σ + dσ

dx

dσ(x)

dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) =

du

dx

σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2

= 0

Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos1D: Fibra elástica con carga no homogénea (∞ gdl)

a

P P

x

τ(x)

τ(x)dx

σ σ + dσ

dx

dσ(x)

dx+ τ(x) = 0 ⇒ σ(x); ε(x) =

du

dx

σ(x) = Eε(x) ⇒ τ(x) + E d2u(x)dx2

= 0

Ecuación diferencial,Incógnitas u(x) : [0, L]→ R (∞ gdl)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos3D: Tensiones

t(n, x): vector tensión (por unidadde área)

Tensor de tensiones de Cauchy

σ·n = t; σipnp = ti

en el contorno ∂B = ∂tB ∪ ∂uB

σ·n = t∗ in ∂tB; u = u

∗ in ∂uB

Componentes de t:Tensión normal (σ) ytensión tangencial (τ) (cizalladura)

nBdS

∂uB

∂tBtdS

u∗

t∗

tσ

τ

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos3D: Tensiones

t(n, x): vector tensión (por unidadde área)

Tensor de tensiones de Cauchy

σ·n = t; σipnp = ti

en el contorno ∂B = ∂tB ∪ ∂uB

σ·n = t∗ in ∂tB; u = u

∗ in ∂uB

Componentes de t:Tensión normal (σ) ytensión tangencial (τ) (cizalladura)

nBdS

∂uB

∂tBtdS

u∗

t∗

tσ

τ

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos3D: Tensiones

t(n, x): vector tensión (por unidadde área)

Tensor de tensiones de Cauchy

σ·n = t; σipnp = ti

en el contorno ∂B = ∂tB ∪ ∂uB

σ·n = t∗ in ∂tB; u = u

∗ in ∂uB

Componentes de t:Tensión normal (σ) ytensión tangencial (τ) (cizalladura)

nBdS

∂uB

∂tBtdS

u∗

t∗

tσ

τ

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos3D: Tensiones

t(n, x): vector tensión (por unidadde área)

Tensor de tensiones de Cauchy

σ·n = t; σipnp = ti

en el contorno ∂B = ∂tB ∪ ∂uB

σ·n = t∗ in ∂tB; u = u

∗ in ∂uB

Componentes de t:Tensión normal (σ) ytensión tangencial (τ) (cizalladura)

nBdS

∂uB

∂tBtdS

u∗

t∗

tσ

τ

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos3D: Deformaciones (lineales)

Desplazamientos (pequeños):

u = xt − x

0; ⇔ ui = x ti − x0i

Tensor de deformaciones (lineal):

ε =12

(∇u +∇Tu); ⇔ εij = u(i ,j) =

12

(ui ,j + uj ,i )

ui ,jdef=

∂ui∂xj

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos3D: Deformaciones (lineales)

Desplazamientos (pequeños):

u = xt − x

0; ⇔ ui = x ti − x0i

Tensor de deformaciones (lineal):

ε =12

(∇u +∇Tu); ⇔ εij = u(i ,j) =

12

(ui ,j + uj ,i )

ui ,jdef=

∂ui∂xj

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos3D: Comportamiento Elástico Lineal

Ley de Hooke generalizada; Elasticidad isótropa:

σ σC

ε

B0

Bt

εσC

σ = C:ε; σij = Cijpqεpq = λδijεpp + 2µεij ;

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos3D: Comportamiento Elástico Lineal

Ley de Hooke generalizada; Elasticidad isótropa:

σ σC

ε

B0

Bt

εσC

σ = C:ε; σij = Cijpqεpq = λδijεpp + 2µεij ;

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Sistemas continuos3D: Planteamiento del problema elástico

Ecuaciones de campo

Comportamiento elásticolineal σ = C : ε

Compatibilidad(deformaciones)ε = 1

2(∇u +∇T

u)

Equilibrio (tensiones):∇·σ + b = 0

Condiciones de Contorno

in ∂tB: σ·n = t∗

in ∂uB: u = u∗

nnn

BdS

�uB

�tB

tttdS

uuu�

ttt�

bbb

Incógnitas

Desplazamientosu(x) : B → R3

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?

Ingredientes del Método

Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.

Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.

Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .

Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.

Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.

Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?

Ingredientes del Método

Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.

Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.

Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .

Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.

Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.

Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?

Ingredientes del Método

Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.

Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.

Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .

Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.

Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.

Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?

Ingredientes del Método

Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.

Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.

Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .

Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.

Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.

Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?

Ingredientes del Método

Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.

Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.

Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .

Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.

Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.

Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?

Ingredientes del Método

Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.

Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.

Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .

Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.

Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.

Lineal: K·u = f

No lineal: Ψ(u) = f

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Método de los Elementos Finitos: ¾qué es?

Ingredientes del Método

Formulación fuerte: ecuaciones de campo y decontorno. Ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ∞incógnitas.

Formulación débil: rebaja requisito de diferenciabilidadde incógnitas. Principio de los Trabajos Virtuales.

Interpolación: Funciones de forma para las incógnitasbásicas (desplazamientos). Galerkin, Petrov-Galerkin, . . .

Elementos: Subdominios, soporte compacto parafunciones de interpolación. Nodos.

Ensamblaje: Obtención de un sistema discreto deecuaciones algebraicas (EA), N incógnitas.

Lineal: K·u = f No lineal: Ψ(u) = f

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Ejemplo de aplicación: fémur estándar

Cargas reales Cargas planocoronal

Resultado

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Ejemplo de aplicación: fémur estándar

Geometría Malla (nodos y elementos)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Ejemplo de aplicación: fémur estándarAnálisis de resultados

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Ejemplo: remodelación de tejido óseo

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Resolución de las Ecuaciones (I)

Resolución de ecuaciones algebraicas lineales (acopladas):

�solver�: Núcleo de los algoritmos de resoluciónSolución del problema en caso lineal;Una iteración para caso no lineal con linealización (Newton)

Métodos Directos (o Matriciales)Eliminación Gaussiana, método de Crout:

K = LU; Ka = LUa = r ⇒{

Ly = r (eliminación);

Ua = y (sustitución).

Almacenamiento en bandaAlmacenamiento de columnas activas (�skyline�)Proceso y/o almacenamiento por bloquesMétodo frontal

Métodos Iterativos (o vectoriales o indirectos)Relajación de Gauss-Seidel [con sobrerrelajación]Relajación viscosa [adaptativa]Gradiente Conjugado (GC) [precondicionado, GCP]

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Resolución de las Ecuaciones (I)

Resolución de ecuaciones algebraicas lineales (acopladas):

�solver�: Núcleo de los algoritmos de resoluciónSolución del problema en caso lineal;Una iteración para caso no lineal con linealización (Newton)

Métodos Directos (o Matriciales)Eliminación Gaussiana, método de Crout:

K = LU; Ka = LUa = r ⇒{

Ly = r (eliminación);

Ua = y (sustitución).

Almacenamiento en bandaAlmacenamiento de columnas activas (�skyline�)Proceso y/o almacenamiento por bloquesMétodo frontal

Métodos Iterativos (o vectoriales o indirectos)Relajación de Gauss-Seidel [con sobrerrelajación]Relajación viscosa [adaptativa]Gradiente Conjugado (GC) [precondicionado, GCP]

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Resolución de las Ecuaciones (I)

Resolución de ecuaciones algebraicas lineales (acopladas):

�solver�: Núcleo de los algoritmos de resoluciónSolución del problema en caso lineal;Una iteración para caso no lineal con linealización (Newton)

Métodos Directos (o Matriciales)Eliminación Gaussiana, método de Crout:

K = LU; Ka = LUa = r ⇒{

Ly = r (eliminación);

Ua = y (sustitución).

Almacenamiento en bandaAlmacenamiento de columnas activas (�skyline�)Proceso y/o almacenamiento por bloquesMétodo frontal

Métodos Iterativos (o vectoriales o indirectos)Relajación de Gauss-Seidel [con sobrerrelajación]Relajación viscosa [adaptativa]Gradiente Conjugado (GC) [precondicionado, GCP]

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Resolución de las Ecuaciones (II)

Resolución de ecuaciones algebraicas no lineales:

Métodos Matriciales: linealización Newton-Raphson:

residuo: {Ψ(d)} def= −({fext(d)}+ {f int(d)});

Linealización: {∆Ψ} =

[∂Ψ

∂d

]{�d} = [Kt ]{�d}

{Ψi+1} = {0} : ⇒ {di+1} = {di} − [Kt ]−1{Ψi}

([Kt ]: matriz de rigidez tangente)

Métodos vectoriales:

{di+1} = [A(d)]{di}

Esquemas explícitos: i ≤ 1 (no se itera para convergencia)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Resolución de las Ecuaciones (II)

Resolución de ecuaciones algebraicas no lineales:

Métodos Matriciales: linealización Newton-Raphson:

residuo: {Ψ(d)} def= −({fext(d)}+ {f int(d)});

Linealización: {∆Ψ} =

[∂Ψ

∂d

]{�d} = [Kt ]{�d}

{Ψi+1} = {0} : ⇒ {di+1} = {di} − [Kt ]−1{Ψi}

([Kt ]: matriz de rigidez tangente)

Métodos vectoriales:

{di+1} = [A(d)]{di}

Esquemas explícitos: i ≤ 1 (no se itera para convergencia)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Resolución de las Ecuaciones (III)

Métodos MatricialesSe forma matriz de rigidez global, [Kt ].

Cuenta de operaciones: O(n7/3e ).

Almacenamiento: O(n3/2e ).

Incondicionalmente estables

Métodos VectorialesNo se forman matrices globales

Cuenta de operaciones: O(n3/2e ).

Almacenamiento: O(ne).Condicionalmente/Incondicionalmente establesMétodos iterativos (GC): ¾robustez?; precondicionamientoMétodos explícitos: tratamiento sencillo

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Resolución de las Ecuaciones (III)

Métodos MatricialesSe forma matriz de rigidez global, [Kt ].

Cuenta de operaciones: O(n7/3e ).

Almacenamiento: O(n3/2e ).

Incondicionalmente estables

Métodos VectorialesNo se forman matrices globales

Cuenta de operaciones: O(n3/2e ).

Almacenamiento: O(ne).Condicionalmente/Incondicionalmente establesMétodos iterativos (GC): ¾robustez?; precondicionamientoMétodos explícitos: tratamiento sencillo

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Resolución de las Ecuaciones (IV)

DinámicaIntegración explícita (vectorial)Integración implícita:

Newton-Raphson (matricial)Gradiente conjugado (vectorial)

Integradores energía-momento (conservativos)Integradores con disipación controlada

EstáticaNewton-Raphson (matricial)Gradiente conjugado (vectorial)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Resolución de las Ecuaciones (IV)

DinámicaIntegración explícita (vectorial)Integración implícita:

Newton-Raphson (matricial)Gradiente conjugado (vectorial)

Integradores energía-momento (conservativos)Integradores con disipación controlada

EstáticaNewton-Raphson (matricial)Gradiente conjugado (vectorial)

Índice

1 Estado de la TécnicaMotivaciónHistoriaPrestaciones

2 Concepto y características del MEFSistemas discretosSistemas continuosConcepto e ingredientes del MEF

3 Aplicaciones representativasEstructuras de hormigónBiomecánica Cardiovascular

4 Perspectivas y conclusionesPerspectivasConclusión

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estructuras de HormigónTanque de Gas Natural Licuado (GNL)

1

2

31

2

3

GNL

65 m

33 m

1

2

31

2

3

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estructuras de HormigónTanque de GNL: Respuesta Sísmica (Modos de Vibración)

Modo 1 (f1 = 3,65 Hz) Modo 3 (f3 = 6,18 Hz)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estructuras de HormigónTanque de GNL: Pretensado + Operación + Impacto

Animación de impacto sobre cúpula

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estructuras de HormigónHormigonado de cúpula tanque GNL sobre chapa metálica

Chapa metálica, en rojo la zona de

aplicación de las cargas del caso 1.

Detalle: tres anillos de hormi-

gón resistente (conectado�rojo, no

conectado�amarillo) y un anillo con

hormigón fresco (verde).

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estructuras de HormigónHormigonado de cúpula tanque GNL sobre chapa metálica

Detalle carga caso 1: desplazamien-

tos nodales verticales.

Carga caso 2: desplazamientos noda-

les verticales.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Temperatura criogénica: −170 ◦C sobre cara interior de muro dehormigón

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estructuras de HormigónFisuración en muro para fuga mayor

Fase 3: Peso de GNl en operación

Tensión MERIDIONAL Tensión CIRCUNFERENCIAL

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estructuras de HormigónFisuración en muro para fuga mayor

Fase 3: Peso de GNl en operación

-16-14-12-10

-8-6-4-2 0 2 4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

S11

:tens

ion

vert

ical

(M

Pa)

altura (m)

tensiones verticales en muro, operacion con tanque lleno

pto 1 (cara interior)

pto 2 (0.1333 m)

pto 3 (0.2666 m)

pto 4 (0.4000 m)

pto 5 (0.5333 m)

pto 6 (0.6666 m)

pto 7 (cara exterior)

Tensión VERTICAL en el muro

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

S22

: ten

sion

hor

izon

tal (

MP

a)

altura (m)

tensiones horizontales en muro, operacion con tanque lleno

pto 1 (cara interior)

pto 2 (0.1333 m)

pto 3 (0.2666 m)

pto 4 (0.4000 m)

pto 5 (0.5333 m)

pto 6 (0.6666 m)

pto 7 (cara exterior)

Tensión HORIZONTAL en el muro

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estructuras de HormigónFisuración en muro para fuga mayor

Fase 4: Fuga mayor

Tensión MERIDIONAL Tensión CIRCUNFERENCIAL

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estructuras de HormigónFisuración en muro para fuga mayor

Fase 4: Fuga mayor

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

S11

:tens

ion

vert

ical

(M

Pa)

altura (m)

tensiones verticales en muro, fuga mayor (MLK)

pto 1 (cara interior)

pto 2 (0.1333 m)

pto 3 (0.2666 m)

pto 4 (0.4000 m)

pto 5 (0.5333 m)

pto 6 (0.6666 m)

pto 7 (cara exterior)

Tensión VERTICAL en el muro

-20

-15

-10

-5

0

5

10

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

S22

: ten

sion

hor

izon

tal (

MP

a)

altura (m)

tensiones horizontales en muro, fuga mayor (MLK)

pto 1 (cara interior)

pto 2 (0.1333 m)

pto 3 (0.2666 m)

pto 4 (0.4000 m)

pto 5 (0.5333 m)

pto 6 (0.6666 m)

pto 7 (cara exterior)

Tensión HORIZONTAL en el muro

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Colapso de Cimentaciones

F

a

0.8 m

2a

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

F (*

106 N

)

d

Prandtl400 elementos

1600 elementos Time = 1.00E+00Time = 1.00E+00

Time = 1.00E+00Time = 1.00E+00

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Biomecánica Cardiovascular � Corazón

Miocardioy Coronarias Corazón virtual

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Biomecánica Cardiovascular � Aterosclerosis

Causas de la aterosclerosis

Los mecanismos de formación de la aterosclerosis no son bienconocidos, aunque incluyen diversos factores biológicos,bioquímicos y mecánicos.

Según investigaciones recientes, valores bajos e irregulares dela tensión tangencial sobre el endotelio favorecen laacumulación de placa.

Factores biologicos

¿Factores mecanicos?

...

Factores quımicos

la placaOrigen de

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estabilidad de la placa vulnerable

Grandes desplazamientos y rotaciones(Lorée, Circ.Res. 1992)

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Estabilidad de la placa vulnerable

Grandesdeformaciones (×1,69)

Viscoelasticidad

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

reconstrucción 3D - luz y pared arterial

Bifurcación LAD � CX

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Biomecánica Cardiovascular � Propiedades del tejido blando

Respuesta geométrica no lineal:

grandes desplazamientos ydeformaciones

Respuesta no lineal del material:

elastina + colágeno, reclutamientoy alineamiento progresivos

Incompresibilidad (fase acuosa) Alargamiento

Pres

ion

Anisotropía, direcciones preferentes de �bras de colágeno

Comportamiento reológico (viscoelástico) y �pseudoelástico�

Adaptación a acciones externas. Remodelación: variación decaracterísticas geométricas o mecánicas

Tensiones iniciales en la con�guración sin cargas

Tono y actividad muscular

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Modelo de bifurcación en arteria coronaria izquierda (I)

�uido:16878 elementos

sólido:16425 elementos

Velocidad Líneasde corriente

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Modelo de bifurcación en arteria coronaria izquierda (II)

Bifurcación LAD-CX:

Trayectorias de partículas

Contornos de presiónen el modelo 3D. Ma-terial de Ogden.

Índice

1 Estado de la TécnicaMotivaciónHistoriaPrestaciones

2 Concepto y características del MEFSistemas discretosSistemas continuosConcepto e ingredientes del MEF

3 Aplicaciones representativasEstructuras de hormigónBiomecánica Cardiovascular

4 Perspectivas y conclusionesPerspectivasConclusión

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Perspectivas

Problemas acoplados: multifísicaFluido-estructura

� Interacción dinámica� Interacción acústica-estructural� Turbulencia, combustión (escala)

Materiales multifásicos

� Consolidación suelos semisaturados, mat. porosos� Materiales biológicos

Problemas termomecánicos

� Soldadura por difusión� Conformado de metales, fundición� Tratamientos térmicos

Problemas electromecánicos: piezoelectricidad

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Perspectivas

Problemas con escalas múltiples:

Delaminación y rotura materiales compuestosDaño, fractura y localización en hormigón y geomaterialesModelos atomísticos + continuo (descripción del materialdirectamente de la estructura atómica)Nanomecánica

Nuevos modelos constitutivos

PolímerosTermoplásticosMateriales biológicos: adaptabilidadNuevas aleaciones: materiales superelásticos

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Perspectivas

Adaptatividad y control de calidad soluciónRemallados y control errorTécnicas ALE, Eulerianas, Lagrangianas, multi-malla

Mecanismos �exibles: sistemas multicuerpo

Ingeniería mecánica � Ingeniería estructuralSimulación Robots, mecanismos espaciales, biomecánica,ergonomía, deportes, automóviles.

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Resumen y Conclusiones

Estado actual Métodos de Elementos FinitosAspectos clave de la formulación

Cinemática de medios continuosEcuaciones (estática y dinámica)Comportamiento no lineal (geométrico, material, . . . )Métodos y algoritmos de resolución

Algunos ejemplos

Perspectivas de desarrolloConclusiones:

Comprensión y planteamiento de problemas complejosMenor di�cultad del cálculo propiamente dicho

Estado de la Técnica Conceptos del MEF Aplicaciones representativas Conclusiones

Elementos Finitos en Internet

(http://members.dencity.com/thefemsite/)http://www.engr.usask.ca/~macphed/finite/fe_

resources/fe_resources.html

http://www.swan.ac.uk/civeng/Research/Software/

flagshyp/

http://www.calculix.de/

http://www.abaqus.com/

http://www.adina.com/

http://www.ansys.com/

http://www.tnodiana.com/

http://www.ls-dyna.com/

http://www.ce.berkeley.edu/~rlt/feap

http://www.ce.berkeley.edu/~sanjay/FEAP/feap.html

http://mse2.ugr.es/indexfem.html

http://titan.Colorado.EDU/Felippa.d/FelippaHome.d/

http://filemon.mecanica.upm.es/~goico/docmefnl/

http://www.mapleapps.com/powertools/fem/fem.shtml