Estados Ligados de potenciales centrales
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Estados ligados de potenciales
centrales
P. H. Rivera*
Facultad de Ciencias Físicas
Universidad Nacional Mayor de San Marcos, Lima, Perú
Ciudad Universitaria, 2 de setiembre del 2015
1
![Page 2: Estados Ligados de potenciales centrales](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022081908/5695d2d41a28ab9b029bde0d/html5/thumbnails/2.jpg)
1. El comportamineto de la autofunción ra-
dial próximo al origen
Las autofunciones de energía proyectadas en el espacio de posición en coor-
denadas esféricas está definido como
〈r|E, l, m〉 = RE,l(r)Yl,m(θ, φ) . (1)
La ecuación de Schrödinger para las autofunciones radiales está dado por
−ℏ
2
2µ
d2
dr2+
2
r
d
dr
+l(l + 1)ℏ2
2µr2+ V (r)
RE,l(r) = ERE,l(r) (2)
la dependencia de R(r) de los subíndices E y l es porque esta autofunción
depende de los valores discretos que toma la energía y del número cuántico
de momento angular orbital. La pérdida de la dependencia de m implica que
el problema tiene una simetría asociada a los posibles valores de l y que se
encuentra 2l + 1 degenerado.
2
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Como ya se ha realizado anteriormente consideramos que
RE,l(r) =uE,l
r(3)
obteniendo
−ℏ
2
2µ
d2
dr2+
l(l + 1)ℏ2
2µr2+ V (r)
uE,l(r) = EuE,l(r) , (4)
obviamente se demuestra que la métrica del espacio de Hilbert implica que la
condición de normalización de estas autofunciones se cumple, osea,∫ ∞
0r2drR∗
E,lRE,l =∫ ∞
0dru∗
E,luE,l = 1 . (5)
Aquí se levanta la siguiente pregunta, ¿qué ocurre con las autofunciones
uE,l(r) en regiones próximas a r → 0 y cuando alcanza el origen?
Independiente de la forma de V (r) y debido a la dependencia 1/r2, la
ecuación diferencial, Ec.(4), posee una singularidad conocida en el origen, en
3
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r = 0. Para garantizar una solución próximos a este punto debemos añadir una
serie de potencias como solución, supongamos que uE,l(r) = rs, reemplazando
en la Ec.(4), obtenemos que
−ℏ
2
2µs(s − 1)rs−2 +
l(l + 1)ℏ2
2µrs−2 + V (r)rs = Ers (6)
aquí se aprecia que el término rs−2 domina para valores pequeños de r si V (r)
es menos singular que 1/r2, esto significa que,
r2V (r) −→r→0
0 . (7)
Satisfaciendo la Ec.(6) para valores pequeños de r se requiere que los coeficien-
tes de rs−2 obedecen a
−s(s − 1) + l(l + 1) = 0 (8)
del cual se obtienen que s = l + 1 o s = −l. Aquí descartamos la solución
que se comporta como r−l para r pequeño. Para l ≥ 1, estas soluciones no
4
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satisfacen la condición de normalización, Ec.(5), debido a que la integral diverge
en los límites bajos. Para l = 0, el comportamiento de u para r pequeño es
una constante y la integral de normalización, Ec.(5), es finita. Pero al ser
finita la función R se comporta como 1/r próximo al origen diverge, lo cual es
inaceptable. Este tipo de funciones no son soluciones de
∇21
r= −4πδ3(r) , (9)
el comportamiento 1/r para una autofunción R(r) no puede satisfacer la ecua-
ción de Schrödinger puesto que la energía potencial no tiene una singularidad
tipo delta de Dirac en el origen. Por ello, descartamos las soluciones tipo r−l
para todos los valores de l. De aquí, solo queda la solución rl+1 luego conside-
ramos que
uE,l −→r→0
rl+1 (10)
5
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que satisface
uE,l(0) = 0 . (11)
Conforme l se incrementa, la probabilidad de que la partícula se encuentra en
lugares próximos al origen disminuye.
6
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La Ec.(4) posee una energía potencial efectiva dado por
Vef =l(l + 1)ℏ2
2µr2+ V (r) . (12)
donde el primer sumando indica la barrera centrífuga que se incrementa
cuando l se incrementa y tiende a mantener a la partícula lejos del origen, pro-
duciendo el comportamiento de valores pequeños de r para las autofunciones.
El comportamiento descrito en la Ec.(10) implica para la autofunción radial
que
RE,l −→r→0
rl (13)
de modo que la autofunción se anula en el origen para todos los posibles valores
de l, excepto para l = 0, osea los autoestados tipo s.
Este comportamiento se convalida en la observación del aniquilamiento de
un electrón-positrón, pues para aniquilarse ambos deben sobrelaparse espacial-
mente, lo cual ocurre cuando se encuentran en autoestados tipo s.
7
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El positronio es formado mediante la captura de positrón lento por un
electrón, generalmente el sistema se encuentra en un estado altamente excitado,
y luego por una secuencia de transiciones radiativas, el sistema finaliza en el
estado fundamental, en el cual l = 0, donde se produce el aniquilamiento del
par partícula-antipartícula.
2. El potencial coulombiano y el átomo de
hidrógeno
El hamiltoniano del átomo hidrogenoide está dado por
H =p
2
2µ−
1
4πǫ0
Ze2
4πǫ0
, (14)
donde Z = 1 para el átomo de hidrógeno. Si consideramos el He+, Li++ y así
sucesivamente, luego Z = 2, 3, respectivamente. La ecuación radial para uE,l
8
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está dado por
−ℏ
2
2µ
d2
dr2+
l(l + 1)ℏ2
2µr2−
Ze2
4πǫ0
1
r
uE,l(r) = EuE,l(r) (15)
aqui la energía potencial coulombiana es negativa porque el cero de la energía
se produce cuando r → ∞. La energía potencial V (r) es el trabajo que se
realiza para llevar las partículas desde el infinito a su actual configuración a
una distancia r sin energía cinética.
En este caso determinamos los estados ligados que se encuentran dentro de
este potencial y que se mueven con una energía cinética dada. Como tratamos
con energía negativas aseguramos que E = −|E| e introducimos una variable
adimensional dada por
ρ =
√
√
√
√
√
8µ|E|
ℏ2r, dρ =
√
√
√
√
√
8µ|E|
ℏ2dr,
d
dρ=
√
√
√
√
√
√
ℏ2
8µ|E|
d
dr,
d2
dρ2=
ℏ2
8µ|E|
d2
dr2(16)
9
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reemplazando en la Ec.(15), tenemos
−4|E|d2
dρ2+
4|E|l(l + 1)
ρ2−
Ze2
4πǫ0
√
√
√
√
√
8µ|E|
ℏ2
1
ρ
uE,l = −|E|uE,l (17)
dividiendo entre −4|E|, se tiene
d2uE,l
dρ2−
l(l + 1)
ρ2uE,l +
Ze2
4πǫ0
1
2
√
√
√
√
√
2µ
ℏ2|E|
1
ρuE,l −
1
4uE,l = 0 (18)
reescribimos como
d2uE,l
dρ2−
l(l + 1)
ρ2uE,l +
λ
ρ−
1
4
uE,l = 0 (19)
10
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donde
λ =Ze2
4πǫ0
1
2
√
√
√
√
√
2µ
ℏ2|E|. (20)
La ecuación diferencial, Ec.(19), la resolvemos primero en el límite en que
ρ → ∞, esto significa que el segundo y tercer término se anulan y queda como
ecuación diferencial la forma
d2uE,l
dρ2−
1
4uE,l = 0 (21)
que tiene las soluciones dadas por
uE,l = A exp[
−ρ
2
]
+ B exp[ρ
2
]
. (22)
La solución que crece exponencialmente no es físicamente una solución para
el problema porque no cumple la condición de normalización, Ec.(5).
11
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Hasta aquí tenemos una solución próxima al origen y una solución para
grandes valores de ρ, luego construímos una solución híbrida de la forma
uE,l(ρ) = ρl+1e−ρ/2F (ρ) (23)
muy similar a la construcción de las soluciones del oscilador armónico usando
la mecánica ondulatoria. Desarrollando las derivadas obtenemos
du
dρ= (l + 1)ρle−ρ/2F (ρ) −
1
2ρl+1e−ρ/2F (ρ) + ρl+1e−ρ/2dF
dρ(24)
d2u
dρ2= l(l + 1)ρl−1e−ρ/2F (ρ) −
1
2(l + 1)ρle−ρ/2F (ρ) + (l + 1)ρle−ρ/2dF
dρ
−1
2(l + 1)ρle−ρ/2F (ρ) +
1
4ρl+1e−ρ/2F (ρ) −
1
2ρl+1e−ρ/2dF
dρ
+ (l + 1)ρle−ρ/2dF
dρ−
1
2ρl+1e−ρ/2dF
dρ+ ρl+1e−ρ/2d2F
dρ2(25)
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d2u
dρ2−
l(l + 1)
ρ2u +
λ
ρ−
1
4
u =
l(l + 1) − (l + 1)ρ +1
4ρ2
ρl−1e−ρ/2F (ρ)+
[2(l + 1) − ρ] ρle−ρ/2dF
dρ+ ρl+1e−ρ/2d2F
dρ2−
l(l + 1)
ρ2ρl+1e−ρ/2F (ρ)+
λ
ρ−
1
4
ρl+1e−ρ/2F (ρ) = 0 , (26)
factorizando ρl+1e−ρ/2, tenemos
l(l + 1)
ρ2−
(l + 1)
ρ+
1
4
F (ρ) +
2(l + 1)
ρ− 1
dF
dρ+
d2F
dρ2−
l(l + 1)
ρ2F (ρ)+
λ
ρ−
1
4
F (ρ) =d2F
dρ2+
2(l + 1)
ρ− 1
dF
dρ+
λ
ρ−
l + 1
ρ
F = 0 (27)
d2F
dρ2+
2(l + 1)
ρ− 1
dF
dρ+
λ
ρ−
l + 1
ρ
F = 0
13
![Page 14: Estados Ligados de potenciales centrales](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022081908/5695d2d41a28ab9b029bde0d/html5/thumbnails/14.jpg)
esta ecuación se resuelve mediante serie de potencias considerando que
F (ρ) =∞∑
k=0ckρk (28)
donde c0 6= 0. Derivando esta función, tenemos que
dF
dρ=
∞∑
k=1kckρk−1 d2F
dρ2=
∞∑
k=2k(k − 1)ckρk−2 . (29)
Sustituyendo las Ecs.(28) y (29) en la Ec.(27), obtenemos
∞∑
k=2k(k − 1)ckρk−2 +
∞∑
k=1kckρk−1
2(l + 1)
ρ− 1
+∞∑
k=0ckρk
λ
ρ−
l + 1
ρ
=
∞∑
k=2k(k−1)ckρ
k−2+∞∑
k=1k2(l+1)ckρk−2−
∞∑
k=1kckρk−1+
∞∑
k=0ck[λ−(l+1)]ρk−1 =
∞∑
k=2k(k − 1)ckρk−2 +
∞∑
k=1k2(l + 1)ckρk−2 +
∞∑
k=0ck[−k + λ − (l + 1)]ρk−1 = 0 .
(30)
14
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Hacemos un cambio de índices k − 1 = k′ en los dos primeros términos,
∑
(k′ + 1)k′ck′+1ρk′−1 +
∑
(k′ + 1)2(l + 1)ck′+1ρk′−1 (31)
ahora reemplazamos k = k′ y reescribimos la Ec.(30),
∞∑
k=0{[k(k + 1) + 2(l + 1)(k + 1)]ck+1 + [−k + λ − (l + 1)]ck}ρk−1 = 0
⇒ [k(k + 1) + 2(l + 1)(k + 1)]ck+1 + [−k + λ − (l + 1)]ck = 0
⇒ [k(k + 1) + 2(l + 1)(k + 1)]ck+1 = [k − λ + (l + 1)]ck
ck+1
ck=
k + l + 1 − λ
(k + 1)[k + 2(l + 1)]. (32)
En la ecuación de los coeficientes notamos que
ck+1
ck−→k→∞
1
k(33)
15
![Page 16: Estados Ligados de potenciales centrales](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022081908/5695d2d41a28ab9b029bde0d/html5/thumbnails/16.jpg)
luego la función
1
kρk diverge. (34)
Para evitar la divergencia se escoge el valor de λ de modo que
λ = 1 + l + nr (35)
donde
nr = 0, 1, 2, . . . (36)
este determina el valor de k para que no diverga la serie de potencias. La
función F es un polinomio de grado nr conocido como los polinomios de
Laguerre.
Regresando a la Ec.(20), tenemos que
λ =Ze2
4πǫ0
1
2
√
√
√
√
√
2µ
ℏ2|E|= 1 + l + nr ⇒ (1 + l + nr)
2 =
Ze2
4πǫ0
21
4
2µ
ℏ2|E|
16
![Page 17: Estados Ligados de potenciales centrales](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022081908/5695d2d41a28ab9b029bde0d/html5/thumbnails/17.jpg)
E = −
Ze2
4πǫ0
2
2µ
ℏ2
1
4(1 + l + nr)2(37)
se define como el número cuántico principal a
n = 1 + l + nr (38)
donde nr y l son enteros positivos.
Luego en términos del número cuántico principal tenemos que los autova-
lores de energía de los átomos hidrogenoides está dado por
En = −
Ze2
4πǫ0
2
2µ
ℏ2
1
4n2. (39)
Existe una forma útil de expresar los autovalores con la inclusión de la ve-
locidad de la luz c mediante una cantidad adimensional denominada la cons-
tante de estructura fina
α =e2
4πǫ0
1
ℏc≈
1
137(40)
17
![Page 18: Estados Ligados de potenciales centrales](https://reader036.fdocuments.es/reader036/viewer/2022081908/5695d2d41a28ab9b029bde0d/html5/thumbnails/18.jpg)
luego
En = −µc2Z2α2
2n2(41)
como µc2 ≈ mec2 = 0.511 MeV, para el hidrógeno Z = 1,
En = −13.61
n2eV (42)
18