Estadstica computacional

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

VICERECTORADO DE INVESTIGACIÓN

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

TEXTO DE ESTADÍSTICA

COMPUTACIONAL CON R, EXCEL,

MINITAB Y SPSS

AUTOR:

JUAN FRANCISCO BAZÁN BACA

(Resolución Rectoral 1351-2008-R del 22-12-08)

01-12-08 al 30-11-10

CALLAO – PERÚ

2010

2

ÍNDICE

Pág.

INDICE 2

INTRODUCCIÓN 10

Capítulo 1. CONSTRUCCIÓN DE UNA BASE DE DATOS 11

1.1 Introducción 11

1.2 Definición de variables 13

1.3 Introducción de datos 27

1.4 Archivo de datos 30

1.5 Transformación de datos 39

1.6 Recodificación de datos 43

1.7 Manipulación de archivos 49

Capítulo 2. PRESENTACIÓN DE DATOS 50


2.2 Cuadros estadísticos 50

2.3 Distribución de frecuencias 72

2.4 Gráficos estadísticos 87

2.5 Gráficos de variables cualitativas 89

2.6 Gráficos de frecuencias 98

2.7 Diagrama de tallos y hojas 112

Capitulo 3. MEDIDAS DE POSICIÓN 115


3.2 Mediaaritmética 116

3.3 Mediana 120

3.4 Moda 124

3.5 Media geométrica 133

3.6 Media armónica 137

3.7 Los cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles 140

Capítulo 4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y FORMA 155


3

4.2 Rango. Rango intercuartílico 156

4.3 Desviación media 158

4.4 La varianza 160

4.5 La desviación típica 166

4.6 El coeficiente de variación 167

4.7 El diagrama de cajas o boxplot 174

4.8 Medidas de forma de la distribución 182

Capítulo 5. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN SIMPLE 190


5.2 Diagrama de dispersión 191

5.3 Covarianza y coeficiente de correlación 196

5.4 Regresión lineal simple 200

5.5 Coeficiente de determinación 202

Capítulo 6. MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD 210


6.2 Distribución binomial 211

6.3 Distribución Poisson 224

6.4 Distribución hipergeométrica 236

6.5 Distribución geométrica 246

Capítulo 7. MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD 258


7.2 Distribución uniforme o rectangular 259

7.3 Distribución exponencial 269

7.4 Distribución normal 278

7.5 Distribución chi-cuadrado 288

7.6 Distribución T de student 295

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 303

Anexo 304

4

ÍNDICE DE CUADROS Y FIGURAS

CUADROS Pág.

1.1 Tabla de la masa corporal ideal 39

2.1 PBI por rama de la actividad económica, según año: 2000-07 55

2.2 Alumnos de estadística básica 09-A de la FCE-UNAC, por sexo, según hobby 58

2.3 Alumnos de estadística básica 09-A de la FCE-UNAC, por sexo, según

especialización y hobby 63

2.4 Alumnos de estadística básica 2009-A, de la FCE-UNAC, según hobby 73

2.5 Alumnos de estadística básica 2009-A, de la FCE-UNAC, según el número de

miembros en la familia 75

2.6 Pesos (Kg.) de los 60 alumnos de estadística básica 09-A UNAC 78

2.7 Distribución de frecuencias de los pesos de los alumnos de estadística básica

09-A FCE-UNAC 80

3.1 Resumen de los cuantiles calculados para los pesos (Kg.) de los alumnos de

estadística básica 09-A, FCE-UNAC, por la forma en que están los datos 150

3.2 Resumen de los percentiles calculados para los pesos (Kg.) de los alumnos de

estadística básica 09-A, de la FCE-UNAC, por programa usado 154

4.1 Resumen de las medidas de dispersión calculadas para los pesos (Kg.) de los

alumnos de estadística básica 09-A, de la FCE-UNAC, por programa usado 174

FIGURAS

1.1 Variables definidas en Excel 15

1.2 Variables definidas en Minitab 16

1.3 Editor de datos en SPSS 16

1.4 Definición del Tipo de variable 18

1.5 Cuadro de diálogo para definir Etiquetas de Valor 20

1.6 Cuadro de diálogo para Definir Valores Perdidos 21

1.7 Vista de Variables definidas en SPSS 23

1.8 Variables definidas en SPSS 24

1.9 Abriendo base de datos en R desde un block de notas 26

1.10 Base de datos en Excel 28

1.11 Base de Datos en MINITAB 28

1.12 Base de datos en SPSS 29

FIGURAS Pág.

5

1.13 Base de datos en R 29

1.14 Ventana de archivamiento en Excel 30

1.15 Cuadro de diálogo para Guardar como, en Excel 31

1.16 Ventana de File (archivo), en Minitab 32

1.17 Cuadro de diálogo para Save Project As, en Minitab 33

1.18 Cuadro de diálogo para Guardar como, en SPSS 34

1.19 Cuadro de diálogo para Guardar área de trabajo, en R 35

1.20 Cálculo del imc en Excel 40

1.21 Cálculo de la talla_m en Minitab 41

1.22 Cálculo de la variable talla_m en SPSS 42

1.23 Tipos de recodificación en Minitab 43

1.24 Obtención de la Condición, recodificando el IMC en Minitab 44

1.25 Resultado de la Condición recodificando el IMC en Minitab 45

1.26 Obtención de la Condición, recodificando el IMC en SPSS 46

1.27 Recodificar Valores antiguos del IMC y nuevos de Condición en SPSS 47

1.28 Resultado de la Condición recodificando el IMC en SPSS 47

1.29 Resultado de la Condición recodificando el IMC en R 48

2.1 Estructura de un cuadro estadístico 51

2.2 Obtención de un cuadro bidimensional con SPSS 56

2.3 Mostrar en las casillas 57

2.4 Obtención de un cuadro bidimensional con Minitab 60

2.5 Escoger qué mostrar en las casillas con el Minitab 61

2.6 Cuadro tridimensional en SPSS 64

2.7 Creando tabla dinámica en Excel 65

2.8 Tabla dinámica para Sexo y Hobby en Excel 66

2.9 Tabla dinámica para Sexo y Hobby con porcentajes en Excel 67

2.10 Tabla dinámica para Sexo, Especialización y Hobby en Excel 67

2.11 Obtención de tablas de frecuencias en SPSS 73

2.12 Obtención de tabla de frecuencias en Excel 79

2.13 Argumentos de la función Frecuencia 80

2.14 Recodificación de la variable peso en Minitab 81

2.15 Variable peso recodificada en pesos (intervalos) con Minitab 82

2.16 Obtención de tabla de frecuencias en Minitab (variable pesos) 83

FIGURAS Pág.

6

2.17 Recodificando la variable peso en SPSS 83

2.18 Recodificar Valores antiguos del peso y nuevos de pesos en SPSS 84

2.19 Resultado de la variable pesos, recodificando el peso en SPSS 85

2.20 Resultado de la variable pesos, recodificando el peso en R 86

2.21 Gráfico de sectores en Excel 90

2.22 Gráfico de sectores en SPSS 91

2.23 Gráfico de sectores en Minitab 91

2.24 Gráfico de sectores en R 92

2.25 Gráfico de barras de la variable hobby en Minitab 94

2.26 Datos de la variable hobby y clase en Excel 95

2.27 Herramientas del Análisis de datos en Excel 95

2.28 Obteniendo gráfico de Pareto en Excel 95

2.29 Gráfico de Pareto de la variable hobby en Excel 96

2.30 Gráfico de Pareto de la variable hobby en Minitab 97

2.31 Gráfico de barras de los miembros de la familia en Excel 98

2.32 Gráfico de barras de los miembros de la familia en SPSS 99

2.33 Gráfico de barras de los miembros de la familia en Minitab 100

2.34 Obteniendo el Histograma de peso en Excel 101

2.35 Histograma de frecuencia del peso en Excel 102

2.36 Obteniendo el histograma de peso en Minitab 103

2.37 Edición (en Binning) del histograma de peso en Minitab 104

2.38 Histograma de frecuencia del peso en Minitab 104

2.39 Histograma de frecuencia del peso en SPSS 105

2.40 Histograma de frecuencia del peso en R 106

2.41 Edición del histograma de densidad de peso en Minitab 108

2.42 Histograma de densidad de peso en Minitab 108

2.43 Datos para el Polígono de frecuencias y Ojiva del peso en Minitab 109

2.44 Scatterplot para el Polígono de frecuencias del peso en Minitab 110

2.45 Polígono de frecuencias del peso en Minitab 110

2.46 Scatterplot para la Ojiva del peso en Minitab 111

2.47 Ojiva del peso en Minitab 112

3.1 Cálculo de la media para datos agrupados en Excel 117

3.2 Cálculo de la media aritmética (PROMEDIO) en Excel 129

FIGURAS Pág.

7

3.3 Resultados de la media aritmética, mediana y moda en Excel 129

3.4 Selección de la variable peso para calcular estadígrafos en Minitab 130

3.5 Selección de estadígrafos de posición a calcular en Minitab 130

3.6 Cálculo de estadígrafos de Tendencia central en SPSS 131

3.7 Cálculo de cuartiles en Excel 151

3.8 Resultado de cuartiles y percentiles en Excel 152

3.9 Cálculo de cuartiles y percentiles en SPSS 153

4.1 Medidas de dispersión obtenidas con Excel 169

4.2 Selección de estadígrafos de dispersión en Minitab 170

4.3 Cálculo de estadígrafos de dispersión en SPSS 171

4.4 Estructura del diagrama de cajas y bigotes (boxplot) 175

4.5 Ventana de diálogo para definir el boxplot de peso en Minitab 176

4.6 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en Minitab 176

4.7 Efectuando Gráfico Múltiple de Boxplot para peso, por sexo 177

4.8 Boxplot del peso para hombres y mujeres en Minitab 178

4.9 Ventana de diálogo Explorar para definir el boxplot de peso en SPSS 179

4.10 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en SPSS 179

4.11 Boxplot del peso para hombres y mujeres en SPSS 180

4.12 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en R 181

4.13 Boxplot del peso para hombres y mujeres en R 182

4.14 Cálculo de la asimetría y curtosis en Excel 187

5.1 Definiendo el diagrama de dispersión en Excel 192

5.2 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en Excel 192

5.3 Definiendo el diagrama de dispersión en Minitab 193

5.4 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en Minitab 193

5.5 Creando el diagrama de dispersión en SPSS 194

5.6 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en SPSS 195

5.7 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en R 196

5.8 Aplicando Regresión en Excel 204

5.9 Resultado de la Regresión de cantidad y precio de muñecas en Excel 205

5.10 Aplicando Regresión en Minitab 205

5.11 Aplicando Regresión en SPSS 207

6.1 Cálculo de probabilidades para la distribución binomial en Excel 214

FIGURAS Pág.

8

6.2 Solución del Ejemplo 6.2 en Excel 215

6.3 Probabilidad con la distribución binomial en Minitab 216

6.4 Probabilidad acumulada con la distribución binomial en Minitab 217

6.5 Probabilidad para varios valores con distribución binomial en Minitab 218

6.6 Cálculo de probabilidades con la distribución binomial en SPSS 220

6.7 Probabilidades acumuladas con la distribución binomial en SPSS 221

6.8 Cálculo de probabilidades para la distribución Poisson en Excel 227


6.10 Probabilidad con la distribución Poisson en Minitab 229

6.11 Probabilidad para varios valores con distribución Poisson en Minitab 230

6.12 Cálculo de probabilidades con la distribución Poisson en SPSS 231

6.13 Probabilidades acumuladas con la distribución Poisson en SPSS 232

6.14 Distribución de probabilidades Poisson del ejemplo 6.3 en SPSS 233

6.15 Cálculo de distribución hipergeométrica en Excel 238


6.17 Probabilidad con la distribución hipergeométrica en Minitab 240

6.18 Probabilidades con distribución hipergeométrica en Minitab 241

6.19 Cálculo de probabilidades con la distrib. hipergeométrica en SPSS 242

6.20 Probabilidades acumuladas con la distrib. hipergeométrica en SPSS 243

6.21 Distrib. de probabilidades hipergeométrica del ejemplo 6.4 en SPSS 243


6.23 Probabilidad con la distribución geométrica en Minitab 249

6.24 Probabilidades con distribución geométrica en Minitab 251

6.25 Cálculo de probabilidades con la distribución geométrica en SPSS 252

6.26 Probabilidades acumuladas con la distribución geométrica en SPSS 253

6.27 Distrib. de probabilidades geométrica del ejemplo 6.5 en SPSS 254

7.1 Probabilidad con la distribución uniforme en Minitab 261

7.2 Graficando probabilidades acumuladas para la uniforme en Minitab 263

7.3 Definiendo el área a sombrear para probabilidades acumuladas con la distri-

bución uniforme en Minitab 263

7.4 Cálculo y gráfico de P(22 ≤ X ≤ 24) con la dist. uniforme en Minitab 264

7.5 Gráfico del inverso de probab. acum. Con la dist. uniforme en Minitab 265

7.6 Cálculo de las densidades f(x) con la distribución uniforme en SPSS 266

FIGURAS Pág.

9

7.7 Probabilidades acumuladas con la distribución uniforme en SPSS 267

7.8 Densidades y probab. acumuladas con la distrib. uniforme en SPSS 267

7.9 Cálculo de probabilidades acumuladas con exponencial en Excel 271

7.10 Probabilidad acumulada con la distribución exponencial en Minitab 272

7.11 Graficando probabilidades acum. para la exponencial en Minitab 274

7.12 Cálculo de probab. acum. con la distribución exponencial en SPSS 276

7.13 Probabilidades acumuladas con la distrib. exponencial en SPSS 276

7.14 Cálculo de probabilidades acumuladas con la normal en Excel 281

7.15 Probabilidad acumulada con la distribución normal en Minitab 283

7.16 Graficando probabilidades acumuladas con la normal en Minitab 284

7.17 Cálculo de probab. acumuladas con la distribución normal en SPSS 286

7.18 Probabilidades acumuladas con la distribución normal en SPSS 287

7.19 Cálculo de probabilidades acumuladas con la chi-cuadrado en Excel 291

7.20 Gráfico de P(14.6 ≤ X ≤ 37.7) con la chi-cuadrado en Minitab 292

7.21 Cálculo de probab. acumuladas con la chi-cuadrado en SPSS 294

7.22 Cálculo de probabilidades acumuladas con la t en Excel 298

7.23 Gráfico de P(-1.316 ≤ X ≤ 2.060) con la t en Minitab 300

7.24 Cálculo de probab. acumuladas con la t en SPSS 301

10

INTRODUCCIÓN

La estadística ha desarrollado una serie de técnicas y procedimientos cuyas

aplicaciones procedimentales requieren de algunas herramientas de cálculo como

son las calculadoras programadas o los programas estadísticos desarrollados en

diferentes plataformas computacionales.

A fin de contribuir al proceso de enseñanza aprendizaje del instrumental

estadístico, hemos creído conveniente elaborar un “Texto de Estadística

computacional con R, Excel, Minitab y SPSS” que de manera sencilla y práctica

ayude a los estudiantes de la estadística a efectuar sus aplicaciones.

Las aplicaciones se desarrollan tanto en las versiones comerciales del Excel

2007, Minitab 15.0 English y SPSS 15.0 en español; como en la versión de uso

libre del programa R-2.11.1 cuya instalación se explica en la pág. 24.

El texto consta de siete capítulos. En el primero, se explica la Construcción

de una base de datos muy necesaria para procesar encuestas y otros cálculos. En el

capítulo 2, se describe la Presentación de datos a través de cuadros y gráficos.

En los capítulos tres, cuatro y cinco se presentan los indicadores de resumen

de los datos mediante las medidas de posición, dispersión y forma, así como el

análisis de correlación y regresión simple acompañadas del concepto, formas de

cálculo (con datos sin agrupar y agrupados), interpretación de resultados y

aplicaciones computacionales con cada uno de los programas.

En los capítulos seis y siete, se desarrollan los modelos discretos y continuos

de probabilidad, partiendo de una presentación sencilla de sus características,

acompañada de aplicaciones manuales y computacionales en cada programa.

Agradezco a nuestra querida UNAC por el continuo apoyo ofrecido para

alcanzar estos logros que permiten sistematizar conocimientos e incorporar temas

para la discusión en clases. El reconocimiento especial a los estudiantes de

economía de la FCE-UNAC, ya que gracias a su esfuerzo y comprensión en los

últimos años se han puesto en práctica los resultados de este modesto trabajo.

11

Capítulo 1. CONSTRUCCIÓN DE UNA BASE DE DATOS

“El hombre más feliz del mundo es aquel que sepa reconocer los méritos

de los demás y pueda alegrarse del bien ajeno como si fuera propio”

Johann Wolfgang von Goethe

CONTENIDO

1.1 Introducción.

1.2 Definición de variables.

1.3 Introducción de datos.

1.4 Archivo de datos.

1.5 Transformación de datos.

1.6 Recodificación de datos.

1.7 Manipulación de archivos.

1.1 INTRODUCCIÓN

Durante la fase de Elaboración de datos de una Encuesta, es necesario construir una

Base de Datos (BD) que facilite procesamiento electrónico de los mismos mediante la

obtención de cuadros, gráficos, indicadores estadísticos y relaciones entre variables en

las que esta interesado el investigador a partir de los propósitos de su investigación.

Una Base de Datos es un arreglo matricial cuyas columnas contienen los Campos (las

variables o preguntas del estudio) y las filas los Registros de datos (casos para el

SPSS correspondientes a cada unidad de investigación estudiada.

Para efectos de procesamiento en cualquiera de los programas que estamos trabajando

(R, Excel, Minitab y SPSS) es necesario que el programa reconozca las variables

consideradas y algunos detalles que se deben tomar en cuenta. Para abreviar esta parte

diseñaremos la base de datos inicialmente en Excel y de aquí veremos como se exporta

a R, Minitab y SPSS con sus particularidades especiales en el SPSS.

Para el presente trabajo, se usa el Cuestionario de “Características del Alumno” que se

muestra en la página siguiente, el mismo que fue aplicado a 60 alumnos del curso de

Estadística Básica, el semestre 2009-A, en la FCE-UNAC.

12

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO

FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS

Asignatura: Estadística Básica

Profesor : Ingº Juan Francisco Bazán Baca

CARACTERÍSTICAS DEL ALUMNO

Nº……......... Apellidos y Nombres: …………………………………………………………………….

1. Sexo: Masculino 1 Femenino 2 2. Edad: ….......

3. Peso (Kg.) …....... 4. Talla (cm.) …....... 5. Ingreso familiar mensual: S/.

……….

6. Nº de miembros en la familia: …… 7. Gastos de estudio medio mensual: S/. ……..

8. Créditos aprobados acumulados: …… 9. Promedio ponderado acumulado: ……..

10. ¿En que tipo de vivienda reside?

Casa independiente 1 Departamento en edificio 2

Quinta …………. 3 Otro …............................. 4 (Especifique)

11. Nº de dormitorios: ……….. 12. Horas semanales de TV: ……..

13. Horas de estudio semanal fuera de clase: ……… 14. Nº de libros leídos el 2008: …..

15. ¿Cuál es tu principal HOBBY?

Deportes 1 Música 2 Baile 3

TV/Cine 4 Otro …............................ 5 (Especifique

16. Importancia de tus estudios: Muy poca 1 Poca 2

Media 3 Mucha 4 Muchísima 5

17. Importancia de tu físico: Muy poca 1 Poca 2

Media 3 Mucha 4 Muchísima 5

18. Colegio de procedencia: Estatal 1 No Estatal 2

19. ¿En que desea especializarse? Teor. Económica 1 Gestión Empresarial 2

Callao, Abril de 2009 MUCHAS GRACIAS

13

1.2 DEFINICIÓN DE VARIABLES

Variable.- es una característica de interés observada en la población y que esta sujeta a

diferentes resultados o valores. Ejemplo: sexo, edad, peso, talla, ingreso, hobby, etc.

Tipos de Variables.- las variables pueden ser cualitativas o cuantitativas.

Variables cualitativas.- son aquellas que responden a una categoría, cualidad o

atributo observado en la unidad de investigación. Ejemplo: tipo de vivienda,

importancia de sus estudios, colegio de procedencia, especialización, etc.

La medición de las variables cualitativas puede ser Nominal (las cualidades

observadas no implican un orden particular. Ejemplo: Sexo, hobby, distrito de

residencia, etc.) y Ordinal (las cualidades observadas responden a un orden

determinado. Ejemplo: nivel educativo, calidad del servicio, etc.

Variables cuantitativas.- son aquellas cuyo resultado de la observación es un valor

numérico. Ejemplo: número de miembros en la familia, número de dormitorios, gastos

de estudio mensual, créditos aprobados, horas de estudio semanal, etc. Las variables

cuantitativas pueden ser discretas o continuas.

Variable cuantitativa discreta.- son aquellas que son el resultado del conteo y

asumen valores enteros. Ejemplo: edad (años cumplidos), número de libros leídos

el año anterior, número de perceptores de ingreso en el hogar, etc.

Variable cuantitativa continua.- son aquellas que son resultado de la medición y

pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo. Ejemplo: ingreso familiar,

gastos de estudio, promedio ponderado del alumno, etc.

La medición de variables cuantitativas puede ser Intervalo (cuando el cero y la escala

de medida son arbitrarios. Ejemplo: la temperatura, las notas o calificaciones en alguna

escala, etc.) y Razón (el valor cero indica la nulidad del estudio y el cociente de dos

valores tiene significado. Son la mayoría de variables cuantitativas. Ejemplo: peso,

talla, ingreso, etc.)

14

Para definir las Variables en una BD, se tiene que indicar en cada campo (columna) las

preguntas consideradas en el Cuestionario del estudio de manera abreviada.

a) En EXCEL

En una primera línea de la hoja de cálculo de Excel se específica el nombre de la

variable utilizando el menor número posible de caracteres, de modo que recoja el

sentido de la pregunta. Se recomienda empezar con el número de cuestionario

(nº_cuest) para identificar la unidad de análisis a la que corresponden los datos y

corregir los mismos ante cualquier error.

A continuación se definen las siguientes variables, en el mismo orden en que se han

formulado las preguntas en el Cuestionario, para facilitar posteriormente el ingreso de

los datos. Así tenemos las variables:

sexo (pregunta 1)

edad (pregunta 2)

peso (pregunta 3)

talla (pregunta 4)

ing.fam (pregunta 5: Ingreso familiar mensual: S/.)

mie.fam (pregunta 6: Nº de miembros en la familia)

g.estud (pregunta 7: Gastos de estudio medio mensual S/.)

cr.aprob (pregunta 8: Créditos aprobados acumulados)

prom.acum (pregunta 9: Promedio ponderado acumulado)

t.viv (pregunta 10: ¿En que tipo de vivienda reside?)

nº.dormit (pregunta 11: Nº de dormitorios)

horas.tv (pregunta 12: Horas semanales de TV)

hrs.estu (pregunta 13: Horas de estudio semanal fuera de clase)

lib.leidos (pregunta 14: Nº de libros leídos el 2008)

hobby (pregunta 15: ¿Cuál es tu principal hobby?)

imp.estudio (pregunta 16: Importancia de tus estudios)

imp.físico (pregunta 17: Importancia de tu físico)

15

col.proc (pregunta 18: Colegio de procedencia) y

especial (pregunta 19: ¿En que desea especializarse?)

Las variables han sido definidas en la línea 6, tal como se muestra en la Figura 1.1

Figura 1.1 Variables definidas en Excel

b) En MINITAB

Al iniciar el programa Minitab 15, aparecen dos hojas: una de Session (Sesión: donde

se muestran los resultados de tareas resueltas con el programa) y otra Worksheet

(Hoja de Trabajo: similar a la de Excel y SPSS donde se definen las variables y se

ingresa los datos). Las columnas aparecen definidas por la letra C y un dígito (que

indica la columna. Debajo de C1 hemos definido el nº_cuest (número de cuestionario),

debajo de C2 sexo y así sucesivamente hasta C20 especial (ver figura 1.2)

16

Figura 1.2 Variables definidas en Minitab

c) En SPSS

Al abrir el programa SPSS 15, aparecen dos hojas: una de Resultados 1 [Dokument

1] – Visor SPSS (donde aparecen los resultados de las tareas efectuadas con SPSS) y

otra Sin título [Conjunto_de_datos0] – Editor de datos SPSS (donde se definen las

variables y se ingresan los datos del estudio) donde vamos a definir la base de datos.

Figura 1.3 Editor de datos en SPSS

17

En la parte inferior del Editor de datos SPSS (ver figura 1.3) se observan dos vistas:

una Vista de datos (donde se ingresan los datos para cada una de las variables en

estudio) y otra Vista de variables (donde se definen las variables en estudio).

Justamente la fig. 1.3 muestra la Vista de variables, en cada fila se van definiendo las

variables en el mismo orden como aparecen en el cuestionario (o como el investigador

quiera definirlas para cálculos estadísticos particulares).

Para cada Variable (o característica en estudio) debemos indicar: nombre, tipo,

anchura, decimales, etiqueta, valores, perdidos, columnas, alineación y medida;

tomando en cuenta algunas de las recomendaciones que a continuación señalamos.

Nombre

El nombre de la variable debe comenzar con una letra del alfabeto español y luego

utilizar las combinaciones de letras, dígitos o símbolos que se estimen necesarias

de modo que con a lo más 64 caracteres juntos (sin espacio en blanco) resuman el

significado de la variable o toda una pregunta del cuestionario.

Si el cuestionario contiene un número grande de preguntas se recomienda definir

cada una de las variables (preguntas) de la siguiente manera: pgta_01, pgta_02,

…. , pgta_150 y en el momento de definir la etiqueta de la variable indicar la

pregunta formulada.

En general, al especificar del nombre de las variables se debe tener en cuenta:

Debe comenzar por una letra y los demás caracteres pueden ser letras, dígitos,

puntos o los símbolos #, @, _ o $.

El nombre de variable no puede terminar en punto.

El nombre de la variable debe ser único; no se aceptan duplicados.

No utilizar caracteres especiales (por ejemplo: !, ?, ' y *).

Hay palabras reservadas que no se pueden utilizar como nombres de variable;

estas son: ALL, AND, BY, EQ, GE, GT, LE, LT, NE, NOT, OR, TO, WITH.

Establecido el nombre de la variable, presionar Enter, inmediatamente el cursor se

ubica en Tipo (donde aparece automáticamente Numérico), con el que se

comienza indicar algunas especificaciones de la variable.

18

Tipo

Seleccionar el tipo de datos que se espera para la variable. En función del tipo

escogido se visualizan los valores de la variable y éstos estarán disponibles sólo

para aquellas operaciones que son esperables para los mismos.

Figura 1.4 Definición del Tipo de variable

Para definir, ubíquese en la casilla de Tipo, pulse el botón con los puntos

suspensivos después de la palabra Numérico y aparece el cuadro de diálogo

mostrado en la Figura 1.4, en el que se observa los tipos de variables siguientes:

Numérico.- define una variable cuyos valores son números, los mismos que

aparecen sin separadores cada tres posiciones.

Coma.- define una variable numérica cuyos valores se muestran con comas de

separación cada tres posiciones y con un punto como separador de la parte

decimal.

Punto.- define una variable numérica cuyos valores se muestran con puntos de

separación cada tres posiciones y con una coma como separador de la parte

decimal. El editor de datos acepta valores numéricos para este tipo de variables,

con o sin puntos, o en notación científica.

Notación científica.- define una variable numérica cuyos valores se muestran

con una E intercalada y un exponente con signo que representa una potencia de

base diez. El editor de datos acepta valores numéricos con o sin el exponente

para estas variables. El exponente puede ir precedido de E o D con un signo

19

opcional, o por el signo solamente. Por ejemplo, 123, 1,23E2, 1,23D2, 1,23E+2,

o incluso 1,23+2.

Fecha.- define una variable numérica cuyos valores se muestran en uno de los

diferentes formatos de fecha-calendario u hora-reloj. Seleccionar una plantilla de

la lista desplegable. Se puede introducir las fechas utilizando como

delimitadores: barras, guiones, puntos, comas o espacios en blanco. El rango de

siglo para los años de dos dígitos se toma de las opciones de configuración

(Menú Edición, Opciones, pestaña Datos)

Dólar.- define una variable numérica cuyos valores contienen un signo de dólar,

una coma para la separación de los decimales y múltiples puntos.

Moneda personalizada.- define una variable numérica cuyos valores se muestran

en uno de los formatos de moneda personalizados que se hayan definido

previamente en la pestaña Moneda del cuadro de diálogo Opciones del menú

Edición. Los caracteres definidos en la moneda personalizada no pueden

emplearse para la introducción de datos pero sí los mostrará el editor de datos.

Cadena.- define una variable cuyos valores no son numéricos; por lo tanto, no se

utilizan en los cálculos. También son conocidas como variables alfanuméricas.

Pueden contener diferentes caracteres hasta la longitud definida. Las letras

mayúsculas y las minúsculas son consideradas diferentes.

Anchura

Establecer el número máximo de caracteres que contienen los valores de la

variable. Automáticamente aparecen 8 caracteres.

Decimales

Determina el número de decimales para los valores de la variable. Si la variable es

tipo fecha o cadena, automáticamente aparecen 0 decimales y si es tipo numérica,

aparecen por defecto, 2 decimales.

Etiqueta

En este recuadro se indica el nombre completo de la variable o la pregunta

correspondiente formulada en el cuestionario hasta un máximo de 255 caracteres y

espacios en blanco. Se recomienda escribirla toda con mayúsculas, ya que esta

20

etiqueta es la que aparece en los cuadros de salida cuando se procesan algunos

resultados de interés y buscaremos de diferenciarlas de las etiquetas de valor.

Valores

En este recuadro por defecto, aparece Ninguno y sirve para asignar valores a los

resultados de variables de tipo cualitativo (Etiquetas de valor) o para definir los

rangos de variables cuantitativas transformadas con fines de procesamiento. Es

decir, que si una variable cualitativa responde a varias cualidades (categorías o

atributos) a cada una de ellas se le asigna un valor por lo general numérico,

pudiendo ser también alfabético.

Los valores los definimos así: estando ubicado en la casilla de Valores, pulsar el

botón con los puntos suspensivos después de la palabra Ninguno y aparece el

cuadro de diálogo mostrado en la Figura 1.5.

Para describir los valores de una variable de tipo cualitativo habrá que situar el

cursor en el recuadro Valor e introducir el número o letra correspondiente. A

continuación se pulsa el tabulador y el cursor se sitúa en el recuadro Etiqueta

donde se introduce la palabra o palabras que describen ese valor, luego pulsamos

Añadir; inmediatamente el cursos se ubica nuevamente en Valor y se repite el

proceso hasta que se define la etiqueta del último valor y se sale con Aceptar.

Figura 1.5 Cuadro de diálogo para definir Etiquetas de Valor

21

Se recomienda escribir las etiquetas de valor con mayúsculas y minúsculas (en el

ejemplo Hombre y Mujer) para que cuando se obtenga un cuadro con la variable

SEXO (con mayúsculas), se diferencie el nombre de la variable y sus categorías

componentes.

Perdidos

Son aquellos valores que no son considerados para realizar determinados cálculos

estadísticos. Existen dos tipos de valores perdidos:

Del sistema.- cualquier casilla en blanco de la matriz de datos.

Del usuario.- son aquellos que define el usuario por diferentes motivos, entre

los que podemos destacar aquellos que distorsionan los análisis estadísticos,

como por ejemplo cuando se han definido dos categorías de Sexo (1 = hombre

y 2 = mujer) pero por error de digitación se puede colocar cualquier otro valor.

Los valores perdidos los definimos así: estando ubicado en la casilla de

Perdidos, pulsar el botón con los puntos suspensivos después de la palabra

Ninguno y aparece el cuadro de diálogo mostrado en la Figura 1.6.

Figura 1.6 Cuadro de diálogo para Definir Valores Perdidos

Como se puede observar en la Figura 1.6, por defecto aparece No hay valores

perdidos; además existe la posibilidad que el usuario defina tres Valores

Perdidos Discretos o defina un Rango más un valor perdido discreto opcional

22

(un rango de valores perdidos definido por sus dos extremos junto con un solo

valor discreto individual). Se debe tener presente que sólo se pueden definir

rangos para variables de tipo numérico y que no se pueden definir valores

perdidos para variables de cadena larga (con más de 8 dígitos).

Columnas

Al igual que Anchura por defecto define un ancho de 8 para las Columnas de la

base de datos. De requerirse otro ancho, hay que definirlo ubicándose en la casilla

de Columnas y veremos que al extremo opuesto del 8 aparece un botón con un

triángulo hacia arriba para aumentar el ancho y otro triángulo hacia abajo para

disminuir dicho ancho de columna. También lo puede cambiar haciendo doble clic

en la correspondiente casilla de Columnas para la variable que esta definiendo y

digitar el ancho de columna deseado.

Alineación

Se tiene que escoger como van a estar alineados los valores en la base de datos,

por defecto aparece Derecha. Si quiere modificar la Alineación de valores para la

variable que esta definiendo, ubíquese en la correspondiente casilla de alineación

y haga clic en el botón que aparece al costado de Derecha e inmediatamente se

despliegan las tres posibles opciones de alineación Izquierda, Derecha y Centrado,

debiendo escoger la opción deseada haciendo clic sobre la palabra.

Medida

Indica el tipo de medición que le corresponde a la variable que estamos

definiendo, por defecto aparece Escala. Si quiere modificar la Medida para la

variable que esta definiendo, ubíquese en la correspondiente casilla de medida y

haga clic en el botón que aparece al costado de Escala e inmediatamente se

despliegan las tres posibles opciones de medida: Escala, Ordinal y Nominal,

debiendo escoger la opción deseada haciendo clic sobre la palabra.

Escala.- es utilizada para variables numéricas, como por ejemplo, las variables

edad, peso, talla, etc.

Nominal.- es utilizada para representar los valores de cualidades, atributos o

categorías sin un orden particular (por ejemplo, sexo; hobby, etc.). Las medidas

23

nominales pueden ser valores de cadena (alfanuméricos) o numéricos que

representen diferentes atributos (por ejemplo, 1 = Hombre, 2 = Mujer).

Ordinal.- es utilizada para establecer un determinado orden entre los valores de

la variable, por ejemplo, la variable Importancia de tus estudios con los valores

Muy poca, Poca, Media, Mucha y Muchísima. Las variables ordinales pueden

ser valores numéricos o de cadena (alfanuméricos) que representen diferentes

categorías (por ejemplo, 1 = Muy poca, 2 = Poca, 3 = Media, 4 = Mucha y 5 =

Muchísima).

Se recomienda utilizar valores numéricos para representar datos ordinales.

La Vista de variables para la base de datos Estadística Básica 09A, se presenta

en la Figura 1.7.

Figura 1.7. Vista de Variables definidas en SPSS

El encabezamiento para las variables definidas en la base de datos Estadística

Básica 09A, se observan en la Vista de datos y se presenta en la Figura 1.8.

Recordar que estas son las variables definidas a partir del cuestionario de

“Características del alumno” de Estadística Básica, del 09A, de la FCE-UNAC.

24

Figura 1.8. Variables definidas en SPSS

d) En R

El programa R es un paquete estadístico de libre uso, para cuya instalación se requiere

ingresar por internet a la página web:

http://www.r-project.org/

En el margen izquierdo escoger la opción CRAN, luego un país cuya web facilite la

instalación, por ejemplo Australia (http://cran.ms.unimelb.edu.au/ ).

En la página escogida, dentro de Download and Install R escoger Windows, luego

base, escoger la versión en la que se encuentra (que es única), por ejemplo Download

R 2.11.1 for Windows, a continuación en Abriendo R-2.11.1-win32.exe, escoger

Guardar archivo.

Una vez guardado el archivo, ejecutar la Instalación del programa la que al finalizar,

por defecto, deja en el escritorio para su ejecución el ícono:

Dando doble clic sobre el icono anterior, se inicia el programa R, el cursor por defecto

es el símbolo “ > ” indica que R esta listo para recibir y ejecutar un comando.

http://www.r-project.org/

http://cran.ms.unimelb.edu.au/

25

Según Paradis (2002) “R es un lenguaje orientado a objetos, …, lo cual significa que

los comandos escritos en el teclado son ejecutados directamente sin necesidad de

construir ejecutables. ….. La sintaxis de R es muy simple e intuitiva. Por ejemplo, una

regresión lineal se puede ejecutar con el comando lm(y~x). Para que una función sea

ejecutada en R debe estar siempre acompañada de paréntesis, inclusive en el caso que

no haya nada dentro de los mismos.”

Paradis, et.al., señala también que “Orientado a Objetos significa que las variables,

datos, funciones, resultados, etc., se guardan en la memoria activa del computador en

forma de objetos con un nombre específico. El usuario puede modificar o manipular

estos objetos con operadores (aritméticos, lógicos y comparativos) y funciones (que a

su vez son objetos)”.

Para tener una base de datos en una hoja de R, se tiene que hacer la lectura de la

misma por cualquiera de las siguientes maneras: desde un archivo con extensión *.txt,

desde un archivo de Excel con extensión csv, o mediante un copy/paste “clipboard”.

Caso 1.- Desde un archivo con extensión *.txt, como puede ser la base de datos

(Estadística básica 09-A.xls) trabajada en Excel y grabada con extensión *.txt o

copiar dicha base de datos de Excel, incluyendo los encabezados con el nombre de la

variable, a un block de notas y grabarla como Estadística básica 09-A.txt. Se procede

copiando en R la siguiente sintaxis:

> caso1=read.table(file.choose(),header=T)

Se esta pidiendo que cree el objeto caso1, como resultado de leer una tabla (read.table)

o base de datos. Al hacer enter, inmediatamente aparece la ventana de diálogo de la

Figura 1.9, solicitando la ruta correspondiente para escoger el archivo = file.choose()

con la base de datos (Estadística básica 09-A.txt) que se desea abrir. En la sintaxis,

header=T esta indicando que es verdadero (en inglés true = T) que la tabla a escoger

tiene encabezado (header) con el nombre de las variables (si no tiene encabezado,

header=F, de false = falso en inglés). Una vez escogida la base de datos, hacer clic en

Abrir y la base de datos queda almacenada en la hoja de R con la denominación del

objeto: caso1, el mismo que contiene 20 campos y 60 registros.

26

Figura 1.9 Abriendo base de datos en R desde un block de notas

Ha leído las variables de la base de datos de Estadística Básica 09A como un todo,

no reconoce a ninguna variable de manera independiente, para que ello ocurra

usamos el comando attach para unir las variables y reconozca a cada una de ellas

por el nombre que aparece en el encabezado. Escribir en R: > attach(caso1)

Si queremos editar los datos escribir: > fix(caso1)

También se puede leer la base de datos, en forma parecida a la anterior, sólo que

en vez de file.choose se debe colocar entre comillas la ruta que contiene el

archivo, así:

> caso1=read.table("D:/Beatriz/UNAC/Investigación/Proyecto 8 Estadística

computacional/Base de datos/ Estadística básica 09-A.txt ", header=T)

> attach(caso1)

27

Caso 2.- Desde un archivo en Excel con extensión csv, en la que se ha definido los 20

campos (incluyendo los encabezados con el nombre de la variable) y los 60 registros,

se ha grabado como libro de Excel y como tipo CSV (delimitado por comas). La base

de datos se denomina Estadística Básica 09A-copia.csv. Se procede copiando en R la

siguiente sintaxis: > caso2=read.table(file.choose(),header=T,sep=",")

Al hacer enter, inmediatamente aparece una ventana de diálogo idéntica a la de la

Figura 1.9, solicitando la ruta correspondiente para escoger el archivo con separador

de comas (sep=”,”) aquí la base de datos (Estadística Básica 09A-copia.csv) que se

desea abrir. Una vez escogida la base de datos, hacer clic en Abrir y la base de datos

queda almacenada en R con la denominación del objeto: caso2, el mismo que contiene

20 campos y 60 registros idénticos a los del caso1. Es decir, que lo que cambia es la

forma de efectuar la lectura.

Para que el R junte y reconozca las variables escribir: > attach(caso2)

También se puede leer la base de datos, en forma parecida a la anterior, sólo que

en vez de file.choose se debe colocar entre comillas la ruta que contiene el

archivo, así:

> caso2=read.csv("D:/Beatriz/UNAC/Investigación/Proyecto 8 Estadística

computacional/Base de datos/ Estadística Básica 09A-copia.csv ", header=T)

> attach(caso2)

Caso 3.- Mediante un copy/paste “clipboard” de un archivo en Excel, es la forma

más sencilla. En Excel sombrear el encabezado y los datos de la base de datos que

deseamos leer en R, escoger copiar (o Ctrl + C) y en R escribir:

> caso3=read.table("clipboard")

> attach(caso3)

1.3 INTRODUCCIÓN DE DATOS

Una vez que se ha aplicado la encuesta y se ha efectuado la crítica-codificación de

los cuestionarios, en la base de datos definida en el programa correspondiente, se

efectúa el ingreso de datos cuestionario por cuestionario, desde el número 1 (registro

1) hasta el último.

28

En el registro 1, se colocan los datos del alumno que aparecen en el cuestionario

número 1, en el mismo orden que se ha respondido, es decir: sexo = 1(hombre),

edad = 20 años, peso = 68 kg., talla = 169 cm., ingreso familiar = 3900, miembros

en la familia = 5, etc. Y del mismo modo todos los cuestionarios.

Figura 1.10 Base de datos en Excel

Figura 1.11 Base de Datos en MINITAB

29

Figura 1.12 Base de datos en SPSS

Para ver y corregir datos en R escribir: >fix(caso2). Al efectuar enter aparecen

los datos de la Figura 1.13. También con: > caso2 . Muestra los datos en la consola.

Figura 1.13 Base de datos en R

Las 20 variables trabajadas en los cuatro programas aparecen en las columnas y los

60 registros en filas. Es decir que la base de datos definida es una matriz de 60 x 20.

El Minitab, el SPSS y el R reconocen las variables por su nombre.

30

1.4 ARCHIVO DE DATOS

El archivamiento de datos se efectúa a través de los clásicos guardar, guardar como

y cerrar cuando se esta trabajando con una base de datos. Además de nuevo y abrir.

Figura 1.14 Ventana de archivamiento en Excel

a) Guardar y Guardar como.-

Guardar como: es el proceso inicial de almacenamiento en una unidad de disco

de una base de datos creada para volver a trabajar con ella en otro momento.

Guardar: es el archivamiento continuo que se hace sobre una base de datos ya

guardada y en la que se han efectuado cambios que se deben guardar antes de

cerrarla.

Para Guardar en EXCEL:

- Hacer clic en el Botón de Office (el superior izquierdo, en la Figura 1.14) y

elegir Guardar como y aparece el cuadro de diálogo de la Figura 1.15.

- Hacer clic sobre la flecha de la derecha en el recuadro Guardar en: y

seleccionar la unidad de disco y la carpeta donde se va a archivar la base de

datos (en este caso en el disco D y en la carpeta Base de datos).

- En el recuadro Nombre de archivo, escribir el nombre que se desea poner a

la base de datos (en este caso Estadística Básica 09-A).

- En el recuadro Guardar como tipo:, automáticamente aparece Libro de

Excel, si se desea cambiar el tipo, hacer clic sobre la flecha de la derecha y

seleccionar el tipo de guardado (en este caso CSV (delimitado por comas)

para usarlo al abrir la base de datos en R).

31

- Por último, hacer clic sobre el botón Guardar.

Figura 1.15 Cuadro de diálogo para Guardar como, en Excel

Si se esta trabajando un archivo ya guardado y se hacen modificaciones, para

guardarlo con el mismo nombre, seleccionar la opción Guardar del Botón

Office (ver figura 1.14) que es la misma que aparece al lado derecho de este

Botón. También se puede utilizar la combinación de las teclas Ctrl + G.

Para Guardar en MINITAB:

- Al hacer clic en el botón File (archivo) de la barra de menú se despliega la

ventana de la Figura 1.16, en la que se puede apreciar las opciones para un

Proyecto (Project) que es un conjunto de tareas que contiene hojas de trabajo

(worksheet), sesión (sesión), gráficos, etc. Y las opciones para una hoja de

trabajo (worksheet) que se pueden incorporar en un proyecto determinado.

Se observa entre otras las opciones New (nuevo), Open Project (abrir

proyecto), Save Project (guardar proyecto), Save Project As (guardar

proyecto como), Open Worksheet (abrir hoja de trabajo), Save Current

Woksheet (guardar hoja de trabajo corriente), Save Current Worksheet As

(guardar hoja de trabajo corriente como), etc.

32

Figura 1.16 Ventana de File (archivo), en Minitab

- Hacer clic sobre la opción Save Project As (guardar proyecto como) y

aparece el cuadro de diálogo de la Figura 1.17.




- En el recuadro Nombre:, escribir el nombre que se desea poner a la base de

datos (en este caso Estadística Básica 09-A).

- En el recuadro Tipo: automáticamente aparece Minitab Project (*.MPJ) con

extensión MPJ, si se hubiese guardado como Worksheet (hoja de trabajo)

guarda con la extensión MTW.


33

Figura 1.17 Cuadro de diálogo para Save Project As, en Minitab

Si se esta trabajando un archivo ya guardado y se hacen modificaciones, para

guardarlo con el mismo nombre, seleccionar la opción Save Project o Save

Current Worksheet (ver figura 1.16) que es idéntica al diskette que aparece en

la banda de opciones. También se puede guardar un proyecto utilizando la

combinación de las teclas Ctrl + S.

Para Guardar en SPSS:

- Es similar al de los otros programas, cuyo guardado ya hemos visto. Estando

en el Editor de datos SPSS (Figura 1.13), hacer clic en el botón Archivo, se

despliega una ventana en la que se puede apreciar las opciones Nuevo, Abrir,

…., Cerrar, Guardar, Guardar como, etc.

- Hacer clic sobre la opción Guardar como y aparece el cuadro de diálogo de

la Figura 1.18.

34

Figura 1.18 Cuadro de diálogo para Guardar como, en SPSS





datos (en este caso Estadística Básica 09-A).

- En el recuadro Tipo: automáticamente aparece SPSS (*.sav) con extensión

sav para guardar datos en SPSS.

Nota.- cuando se archiva textos: como la hoja de Resultados 1 [Dokument

1] – Visor SPSS, donde aparecen los resultados de las tareas ejecutadas con

SPSS, se guarda con la extensión .spo; y si es sintaxis se guarda con la

extensión .sps.


35

Para Guardar en R:

- Hacer clic en el botón Archivo, se despliega una ventana en la que se puede

apreciar las opciones Interpretar código fuente R, Nuevo script, Abrir script,

etc.

- Hacer clic sobre la opción Guardar área de trabajo (imagen) y aparece el

cuadro de diálogo de la Figura 1.19.

Figura 1.19 Cuadro de diálogo para Guardar área de trabajo en R





datos (en este caso Estadística Básica-09A).

- En el recuadro Tipo: automáticamente aparece R images (*.RData) con

extensión Rdata para guardar datos en R.


36

El archivo guardado en R contiene la base de datos como un objeto (aquí se

llama caso2) y otros objetos que se definan, los que al Abrir con Cargar área

de trabajo, se pueden visualizar desde la ventana Misc / Listar objetos y se

puede seguir trabajando con todos ellos y crear nuevos objetos. Las

modificaciones efectuadas se vuelven a guardar del modo descrito. Si desea

saber el contenido de la base de datos guardada escriba: > str(caso2)

b) Cerrar.-

Una vez que se termina de trabajar con un archivo, se guarda y se procede a salir

de éste así:

- En Excel:

Elija el Botón de Office y luego la opción Cerrar. Cierra el libro y puede

seguir trabajando con el programa Excel.

Otra manera es utilizar el botón Cerrar ventana x

de la barra de menú (no

el de la barra de título del libro, ya que cierra el programa Excel).

También se cierra el libro con la combinación de teclas: Ctrl + F4.

- En MINITAB:

Elija el botón File (Archivo) de la barra de menú y luego la opción Close

Worksheet (Cerrar hoja de trabajo). Cierra la hoja de trabajo y puede seguir

usando el programa Minitab.

Otra manera es utilizar el botón Cerrar x

de la barra de menú (no el de la

barra de título, ya que cierra el programa).

También se cierra la hoja de trabajo con la combinación de teclas: Ctrl + F4,

sale un cuadro de diálogo preguntando si queremos guardarla y escogemos

Si o No.

- En SPSS:

Elija el botón Archivo de la barra de menú y luego la opción Salir,

inmediatamente sale la pregunta ¿Desea guardar el contenido del Visor de

resultados en resultados 1 [Dokument 1]? Al escoger Sí, indique la carpeta

37

correspondiente y al terminar de guardar, sale automáticamente del

programa. Si escoge No, sale del programa.


de la barra de título, sale la misma

pregunta del párrafo anterior y procede del modo allí indicado.

- En R:

Se recomienda previamente Guardar área de trabajo, luego elija el botón

Archivo de la barra de menú y luego la opción Salir, inmediatamente sale la

pregunta Guardar imagen de área de trabajo? Escoger No y sale del

programa.


de la barra de título, sale la misma

pregunta del párrafo anterior. Escoger No y sale del programa.

c) Nuevo.- para crear un nuevo archivo de trabajo, se debe proceder así:

En Excel:

Si ha ingresado al programa, automáticamente tiene un nuevo libro de trabajo; si

no, elija el Botón de Office y luego la opción Nuevo. Otra manera es utilizar la

combinación de teclas: Ctrl + U.

En MINITAB:

Si ha ingresado al programa, automáticamente tiene un Worksheet 1 (hoja de

trabajo 1) o si no, elija el botón File y luego la opción Nuevo. Otra manera es

utilizar la combinación de teclas: Ctrl + N.

En SPSS:

Si ha ingresado al programa, automáticamente tiene una hoja Sin título

[Conjunto_de_datos0] – Editor de datos SPSS (donde se definen las variables

y se ingresan los datos del estudio) donde vamos a definir la base de datos.

Si esta trabajando en SPSS, elija el botón File, luego la opción Nuevo y escoja

Datos, apareciendo una hoja Sin título 1 [Conjunto_de_datos1] – Editor de datos

SPSS.

38

En R:

Proceder conforme se ha indicado en el acápite 1.2 Definición de variables en R.

d) Abrir.- si tenemos un archivo de datos ya guardado y se desea abrir para trabajar

con él, se procede así:

En Excel:

Elija el Botón de Office y luego la opción Abrir o la combinación de teclas:

Ctrl + A. En el cuadro de diálogo, seleccione la carpeta donde esta guardado el

archivo, ubique el nombre y tipo, luego haga clic en el botón Abrir.

En MINITAB:

Elija el botón File y luego la opción Open Project (o la combinación de

teclas: Ctrl + O) u Open Worksheet. En el cuadro de diálogo, seleccione la

carpeta donde esta guardado el archivo, ubique el nombre y tipo, luego haga clic

en el botón Abrir.

En SPSS:

Elija el botón File, luego la opción Abrir y escoja Datos. En el cuadro de

diálogo, seleccione la carpeta donde esta guardado el archivo, ubique el nombre

y tipo, luego haga clic en el botón Abrir.

En R:

Proceder conforme se ha indicado en el acápite 1.2 Definición de variables en R.

Nota.- en R también se puede definir una variable por separado como un objeto,

presentado como un vector, de tal manera que cada vez que se especifique el

programa reconoce sus valores. Por ejemplo, la variable peso de la base de datos

caso2, se ingresa así:

>peso=c(68,69, 63, 55, 57, 48, 50, …. , 67, 77, 53)

El programa R reconoce en el objeto peso, los pesos de los 60 alumnos.

39

1.5 TRANSFORMACIÓN DE DATOS

Muchas veces interesa crear nuevas variables a partir de una base de datos

determinada, para ello es necesario efectuar algunos cálculos utilizando las variables

de esa base de datos.

Por ejemplo, con la base de datos Estadística básica 09-A (EB-09A), en cualquiera

de los programas, se puede crear la variable IMC = Índice de Masa Corporal

(Kg./m2), con las variables peso (en kilos) y talla (en metros).

Para la Organización Mundial de la Salud (1995): “El IMC es una manera sencilla y

universalmente acordada para determinar si una persona tiene peso adecuado”. La

fórmula de cálculo propuesta por el estadístico belga L.A.J. Quetelet es:

2

pesoimc

talla

La OMS clasifica a las personas en función de su correspondiente IMC de la

siguiente manera:

Cuadro 1.1 Tabla de la masa corporal ideal

CONDICIÓN IMC (Kg./m2)

1 Delgado (bajo peso) Menos de 18.5

2 Normal (peso saludable) 18.5 – 25

3 Sobrepeso 25 – 30

4 Obeso 30 - 40

5 Obesidad morbida 40 y más

En la base de datos EB-09A el peso esta en Kg. y la talla está en cm. La talla debe

transformarse en una nueva variable, por ejemplo: talla_m = talla en metros, para

poder calcular la variable imc con los datos transformados de la siguiente manera:

En Excel:

Los resultados aparecen en la Figura 1.20, en la que aparece la base de datos EB-

09A con los datos de peso (columna D); talla en cm. (columna E); talla_m en

metros (columna U) obtenidos dividiendo cada dato de la columna E entre 100; imc

40

(columna V) calculado en la barra de formulas , estando en V2 =D2/(U^2)

y copiado en todas las celdas de la columna V; y condición (columna W) que en el

siguiente acápite se ve como se ha determinado.

Figura 1.20 Cálculo del imc en Excel

En MINITAB:

Para transformar la talla en centímetros a metros (talla_m) se tiene que escoger de la

barra de menú la opción Calc, luego Calculator (calculadora) y aparece la ventana

de diálogo de la Figura 1.21. Definida en la hoja de cálculo la variable talla_m, en

Store result in variable (almacenar resultado en variable) escribir talla_m y en

Expression (expresión) escribir talla / 100, para terminar clic en OK y

automáticamente aparece el cálculo en la columna talla_m en la base de datos

Current data window (ver la Figura 1.21).

Para calcular el IMC, escoger nuevamente de la barra de menú Calc, Calculator y

se abre una ventana de diálogo similar a la de la Figura 1.20. En Store result in

variable seleccionar o escribir imc y en Expression escribir la fórmula de cálculo

peso / talla**2, para terminar clic en OK y automáticamente en la base de datos

(Current data window) aparecen los datos del IMC calculados (ver la Figura 1.24).

41

Figura 1.21 Cálculo de la talla_m en Minitab

En SPSS:

Para transformar la talla en centímetros, a metros (talla_m) se tiene que escoger de

la barra de menú la opción Transformar, Calcular variable y aparece la ventana

de diálogo Calcular variable de la Figura 1.22. En Variable de destino: escribir

talla_m. Haciendo clic en Tipo y etiqueta definir etiqueta (el nombre de la variable)

TALLA (m.) y el Tipo: numérica. En Expresión numérica: escribir talla / 100. Para

terminar el cálculo hacer clic en Aceptar y aparece la variable talla_m con sus

valores en la Vista de datos, del Editor de datos SPSS, ver la Figura 1.28.

Para calcular la variable IMC, nuevamente se escoge de la barra de menú la opción

Transformar, Calcular variable y aparece la ventana de diálogo Calcular variable,

similar a la de la Figura 1.22. En Variable de destino: escribir imc. Haciendo clic

en Tipo y etiqueta definir etiqueta INDICE DE MASA CORPORAL (Kg./m2) y el

Tipo: numérica. En Expresión numérica: escribir peso / talla**2. Para terminar el

cálculo hacer clic en Aceptar y aparece la variable imc con sus valores, en la Vista

de datos del Editor de datos SPSS, ver la Figura 1.28.

42

Figura 1.22 Cálculo de la variable talla_m en SPSS

En R:

Para transformar la talla en centímetros, a metros (talla_m) se tiene que escribir:

> talla_m=talla/100

> talla_m

[1] 1.69 1.72 1.70 1.73 1.67 1.52 1.52 1.56 1.54 1.71 1.60 1.76 1.64 1.71 1.54

[16] 1.77 1.69 1.71 1.70 1.79 1.77 1.65 1.71 1.58 1.55 1.60 1.59 1.52 1.75 1.65

[31] 1.75 1.57 1.77 1.65 1.49 1.64 1.64 1.60 1.61 1.69 1.50 1.68 1.72 1.50 1.56

[46] 1.74 1.75 1.68 1.65 1.52 1.72 1.73 1.56 1.55 1.50 1.60 1.68 1.72 1.78 1.57

Para calcular el IMC escribir la fórmula así:

> imc=peso/talla_m^2

> imc

Los objetos talla_m e imc creados no se almacenan en la hoja de R, si queremos que

ello ocurra y guardarlos, debemos hacer transformaciones dentro de caso2, así:

> caso2=transform(caso2, talla_m=talla/100)

> caso2=transform(caso2, imc=peso/talla_m^2)

Para unir las nuevas variables en caso 2, escribir: > attach(caso2)

43

1.6 RECODIFICACIÓN DE DATOS

En el acápite anterior se han efectuado algunos cálculos con los datos, creando

nuevas variables y se esta interesado en recodificar los mismos. Por ejemplo, para

definir la Condición del peso del alumno con la variable IMC obtenida, usando la

propuesta del Cuadro 1, se procede de la siguiente manera:

En Excel:

Estando en W2, la condición (columna W) se calcula en la barra de fórmulas con la

expresión lógica siguiente:

=SI(V2<18.5,"Delgado",SI(V2<25,"Normal",SI(V2<30,"Sobrepeso",SI(V2<40,"Ob

eso","Obesidad morbida")))).

Luego se hace una copia para los demás datos de la columna W, los resultados se

observan en la Figura 1.20.

En MINITAB:

De la barra de menú escoger la opción Data, luego Code (código) y Numeric to

text (numérico a texto) porque se desea recodificar valores numéricos en texto, ver

la Figura 1.23, también se puede apreciar otros tipos de recodificación.

Figura 1.23 Tipos de recodificación en Minitab

Haciendo clic en Numeric to Text aparece la ventana de diálogo de la Figura 1.24

(Code – Numeric to Text) para recodificar los datos numéricos en texto.

44

Figura 1.24 Obtención de la Condición, recodificando el IMC en Minitab

En Code data from columns: (código de datos desde las columnas) seleccionar de

las variables a la izquierda imc o escribirla. En Store couded data in columns:

(almacenar datos codificados en la columna) seleccionar de las variables de la

izquierda condición o escribirla.

A continuación en Original values (valores originales) se va definiendo uno a uno

los intervalos definidos en el Cuadro 1.1, separándolos por dos puntos (:) y en New

los nuevos valores en texto.

Observar que el primer intervalo es para imc menor de 18.5, en Original values: se

coloca desde un valor muy bajo, que aquí se ha tomado el 0, por eso se escribe 0 :

18.49 (de ser necesario se agregan más nueves en los decimales, para estar más

cerca a 18.5) y en New: Delgado. El siguiente intervalo va de 18.5 hasta antes de 25,

en Original values: se escribe 18.5 : 24.99 y en New: Normal. Así sucesivamente,

para el último intervalo de 40 a más, en Original values: se escribe 40 : 100 (o un

valor más alto para que no queden datos sin recodificar) y en New: Obesidad

mórbida. Para finalizar la recodificación hacer clic en OK y en la base de datos

(Current data window) aparecen los datos de condición (ver Figura 1.25).

45

Figura 1.25 Resultado de la Condición recodificando el IMC en Minitab

En SPSS:

De la barra de menú escoger la opción Transformar, luego hacer clic sobre

Recodificar en distintas variables (si se escoge Recodificar en las mismas

variables, se pierden los valores originales ya que son reemplazados por los

recodificados). Aparece la ventana de diálogo Recodificar en distintas variables de

la Figura 1.26.

Escogiendo de la lista de variables que aparecen al lado izquierdo, en Var.

numérica → Var. de resultado: ingresar la variable imc, inmediatamente aparece

imc→ ? En Variable de resultado, en Nombre: escribir condición, en Etiqueta:

escribir CONDICIÓN (del peso) y luego hacer clic en el botón Cambiar (si no hace

esto, la recodificación no se realiza después, asegurarse de ello), inmediatamente en

Var. numérica → Var. de resultado: se modifica por imc→ condición.

46

Figura 1.26 Obtención de la Condición, recodificando el IMC en SPSS

Luego, hacer clic en Valores antiguos y nuevos y aparece la ventana de diálogo

Recodificar en distintas variables: Valores antiguos y nuevos de la Figura 1.27.

A continuación, en Valor antiguo se va definiendo uno a uno los intervalos

definidos en el Cuadro 1.1, y en Valor nuevo los nuevos valores del intervalo.

Observar que el primer intervalo es para imc menor de 18.5, en Valor antiguo, en

Rango, MENOR hasta valor se escribe 18.49 (de ser necesario se agregan más

nueves en los decimales, para estar más cerca a 18.5) y en Valor nuevo, en Valor

escribir 1, luego hacer clic en añadir. El siguiente intervalo va de 18.5 hasta antes de

25, en Valor antiguo, en Rango: se escribe 18.5 hasta 24.99 y en Valor nuevo

escribir 2, luego hacer clic en añadir. Así sucesivamente, para el último intervalo de

40 a más, en Valor antiguo, RANGO, valor hasta MAYOR se escribe 40 y en Valor

nuevo, en Valor escribir 5, luego clic en añadir.

Para finalizar la recodificación, al hacer clic en Continuar regresa a la ventana de la

Figura 1.26.

Luego hacer clic en Aceptar y aparece la variable condición con sus valores del 1 al

5 en la Vista de datos del Editor de datos SPSS.

47

Figura 1.27 Recodificar Valores antiguos del IMC y nuevos de Condición en SPSS

A continuación, en la Vista de variables, del Editor de datos SPSS, a la variable

condición se le definen las Etiquetas de valor, en un cuadro de diálogo similar al de

la Figura 1.5. Para ello asignar los valores y etiquetas siguientes: 1, Delgado; 2,

Normal; 3, Sobrepeso; 4, Obeso; y 5, Obesidad mórbida.

Una vez que termina de añadir los valores y etiquetas hacer clic en Aceptar, en la

Vista de datos, del Editor de datos SPSS aparecen las etiquetas de condición que se

muestran en la Figura 1.28.

Figura 1.28 Resultado de la Condición recodificando el IMC en SPSS

48

En R:

Antes de crear la Condición, debemos crear los intervalos del Cuadro 1.1, así:

> caso2=transform(caso2,condi=cut(imc,breaks=c(0,18.4999, 24.9999,29.9999,

39.9999,max(imc))))

> table(condi)

condi

(0,18.5] (18.5,25] (25,28.7] (28.7,30] (30,40]

4 49 7 0 0

En el resultado anterior, hay 4 alumnos con imc menor de 18.5 (delgados), 49

alumnos con imc entre 18.5 y 25 (normales) y 7 alumnos con imc entre 25 y 30 (con

sobrepeso); no hay alumnos obesos, ni con obesidad mórbida, por lo que vamos a

colocar las etiquetas correspondientes a Condición, de la siguiente manera:

> caso2=transform(caso2, Condición=factor(condi, labels=c("Delgado", "Normal",

"Sobrepeso")))

Luego escribimos: > attach(caso2) y después: > table(Condición)

Condición

Delgado Normal Sobrepeso

4 49 7

Con la sintaxis: > fix(caso2) obtenemos la hoja del R, donde aparecen las etiquetas

de Condición que se muestran en la Figura 1.29.

Figura 1.29 Resultado de la Condición recodificando el IMC en R

49

1.7 MANIPULACIÓN DE ARCHIVOS

Para los programas Excel, Minitab y SPSS el proceso de agregar o quitar variables

(en columnas) y registros o casos (en filas) es similar, simplemente hay que insertar

filas o columnas si es necesario o copiar las variables y/o casos. Así mismo, la

selección de variables para generar nuevos archivos se puede efectuar abriendo

nuevas hojas de datos para trabajar con ellas situaciones particulares.

Veamos la selección de variables en R y la obtención de casos.. Estando en caso2, la

forma más sencilla es escribir en R: >attach(caso2) y al hacer enter quedan

reconocidas todas las variable con el nombre del encabezado. Otra forma es, como

las variables aparecen dentro del objeto caso2 en columna: el n_cuest (columna 1),

sexo (columna 2), edad (col. 3), peso (col. 4), hasta col.proc (col. 19) y especial (col.

20). Cada una de las variables es trabajada como un objeto y se definen así:

> peso=caso2[,4]

Se pide crear el objeto peso y que lo obtenga de la columna 4, del objeto caso2 (la

base de datos trabajada). Dentro del corchete de caso2, la primera componente

indica fila (registro) y la segunda columna (variable). Al dejar vacía la primera

componente reconoce sólo los valores de la variable. Si se quiere visualizar el

contenido del objeto creado, escribimos peso y al hacer enter aparecen los pesos.

> peso

[1] 68.0 69.0 63.0 55.0 57.0 48.0 50.0 50.0 44.0 60.0 52.6 80.0 52.0 67.0 46.0

[16] 80.0 64.0 64.0 63.0 72.0 65.0 47.0 70.0 50.0 53.0 66.0 57.0 50.5 80.0 55.0

[31] 88.0 55.0 75.0 64.5 50.0 49.0 54.0 46.5 49.0 70.0 48.0 60.0 75.0 55.0 51.0

[46] 72.0 68.0 68.0 55.0 59.0 65.0 66.0 51.0 53.0 45.0 52.0 53.0 67.0 77.0 53.0

También se puede crear varios objetos a la vez separándolos con punto y coma, así:

> talla=caso2[,5] ; ing.fam=caso2[,6] ; mie.fam=caso2[,7]

Si desea visualizar los 20 datos del alumno 4 (registrados en la fila 4) escribir:

> reg.4=caso2[4,] enter y luego > reg.4 al hacer enter obtenemos:

nº_cuest sexo edad peso talla ing.fam mie.fam g.estud cr.aprob prom.acum

4 4 1 20 55 173 1200 5 60 42 12.4

t.viviend nº.dormit horas.tv hrs.estu lib.leídos hobby imp.estudio

4 1 3 3 4 4 4 4

imp.físico col.proc especial

4 4 2 2

50

Capítulo 2. PRESENTACIÓN DE DATOS

“El propósito de la estadística es descubrir métodos para condensar la

información relativa a un gran número de hechos relacionados, en cortas y

compendiosas expresiones adecuadas para su discusión”

Francis Galton

CONTENIDO

2.1 Introducción.

2.2 Cuadros estadísticos.

2.3 Distribución de frecuencias.

2.4 Gráficos estadísticos.

2.5 Gráficos de variables cualitativas.

2.6 Gráficos de frecuencias.

2.7 Diagrama de tallos y hojas.

2.1 INTRODUCCIÓN

Uno de los propósitos fundamentales de la estadística es la “reducción de datos”,

la misma que se puede efectuar mediante la presentación de datos de tres maneras:

cuadros o tablas estadísticas, gráficos y texto.

Se recomienda la aplicación de todas ellas; siendo primordial la construcción del

cuadro estadístico con los datos, para poder realizar la presentación gráfica y/o

textual que permita describir, establecer relaciones y/o explicar las variables en

estudio, contribuyendo así a la aplicación del método científico.

En este capítulo se desarrollan los temas relacionados a cuadros estadísticos,

tablas de frecuencias y algunas formas de presentación gráfica tanto para variables

cualitativas como cuantitativas.

2.2 CUADROS ESTADÍSTICOS

En la estadística, como ciencia de la observación, se emplean las tablas o cuadros

estadísticos para resumir la información estadística (datos) obtenida mediante

encuestas, experimentos, registros administrativos, etc.

a) Definición.- un cuadro estadístico es un arreglo matricial que contiene las

variables con sus correspondientes categorías y los datos observados de

51

manera concisa, reflejando la relación o comparación fácil entre las variables

en un estudio determinado.

b) Estructura.- las partes de un cuadro estadístico son: número, título,

encabezamiento, columna matriz, cuerpo y pie (notas, llamadas y fuente). La

ubicación de cada uno de ellos se puede apreciar en la Figura 2.1.

NÚMERO

CUERPO

NOTAS

LLAMADAS

FUENTE

TÍTULO

COLUMNA ENCABEZAMIENTO

MATRIZ

PIE

Figura 2.1 Estructura de un cuadro estadístico

Número.- si en un estudio o investigación se presenta más de un cuadro hay

que enumerarlos para diferenciarlos. Si el cuadro es único, no es necesario

enumerar. El número se ubica en la parte superior izquierda o central.

Se recomienda anteponer la palabra Cuadro o Tabla y a continuación

colocar el número (sin la abreviatura Nº previa) que puede ser arábigo o

alfanumérico, seguido de un punto, para luego indicar el título.

Ejemplo: Cuadro 5. ; Cuadro B10. ; etc.

Título.- el título indica de manera clara y precisa el contenido del cuadro.

Se coloca en la parte superior a continuación del número. Para su

construcción debe responder a las cuatro preguntas siguientes:

- ¿Qué? Estamos observando (unidad de análisis, objeto, característica

principal, valores, elementos, etc.)

- ¿Cómo? Están clasificados los datos (variables en el Encabezamiento

precedidas de la palabra POR y variables en la columna matriz

precedidas de la palabra SEGÚN)

52

- ¿Cuándo? Se realizó la observación de los datos (período al que se

refieren los datos)

- ¿Dónde? Se realizó la observación de los datos (lugar geográfico)

Ejemplo.-

¿Qué? Producto Bruto Interno.

¿Cómo? Por Años, Según Rama de la Actividad Económica.

¿Cuándo? Del 2000 al 2007.

¿Dónde? Perú.

Ya se puede indicar el número y el título del cuadro de la siguiente manera:

CUADRO 2.1 PRODUCTO BRUTO INTERNO, POR RAMA DE LA

ACTIVIDAD ECONÓMICA, SEGÚN AÑO: 2000-07.

Observación:

- Hay una reciprocidad entre el título y lo que aparece después de él, pues

el ¿cómo? del título permite ubicar las variables en el encabezamiento y

en la columna matriz; y viceversa, observando las variables en el

encabezamiento y en la columna matriz se puede poner el título.

- Cuando en el título del cuadro no se indica el lugar de observación,

significa que corresponde al país.

- La ubicación de variables en el encabezamiento y en la columna matriz

es indistinto, depende del criterio del investigador, pudiendo ser éstas de

cualquiera de los tipos definidos.

- Si los años observados son consecutivos, se recomienda colocar 2000-07

y si sólo son dos años, indicar 2000 y 2007.

Encabezamiento.- es la parte del cuadro que contiene las variables que

aparecen en el título después de la preposición “POR” y sus

correspondientes categorías o rangos, generando las columnas del mismo.

Recomendaciones:

- Colocar en la primera línea qué se va observar y el POR, preferentemente

cuando se esta diseñando cuadros preliminares para un estudio.

- Indicar en forma breve y precisa las variables (con mayúsculas) y sus

categorías o rangos (con mayúscula y minúsculas).

53

- Escribir preferentemente en forma horizontal o en forma vertical letra por

letra de arriba hacia abajo.

- Según sea el caso, ordenar las columnas tomando en cuenta un

ordenamiento: natural, geográfico, importancia o alfabético.

- Si hay que indicar unidad de medida, colocarla con mayúsculas y

minúsculas encima del encabezamiento después del título o en su primera

línea (si todos los valores del cuerpo del cuadro van a representar lo

mismo) y/o en cada columna (si las unidades de medida son distintas).

Ejemplo.-

Para el Cuadro 2.1, antes indicado, el encabezamiento es:

Agricultura Pesca Minería Industria Electicidad Construcción Comercio Servicios Total

P.B.I., POR RAMA DE LA ACTIVIDAD ECONÓMICA (Millones de nuevos soles)

Columna Matriz.- es la parte del cuadro que contiene las variables que

aparecen en el título después de la palabra “SEGÚN” y sus correspondientes

categorías o rangos, generando las filas del mismo.

Recomendaciones:

- Indicar en forma breve y precisa las variables a la altura del

encabezamiento (con mayúsculas) y debajo sus categorías o rangos al

lado del cuerpo del cuadro (con mayúscula y minúsculas).

- Escribir preferentemente en forma horizontal. Si hay más de una

variable, diferenciar las categorías con subrayado y/o negrita.

- Según sea el caso, ordenar las columnas tomando en cuenta un

ordenamiento: natural, geográfico, importancia o alfabético.

- Si hay que indicar unidad de medida, colocarla en la fila correspondiente.

- Cada cierto número de filas dejar espacio en blanco para no cansar al

lector.

Cuerpo.- es la parte del cuadro formada por casillas o celdas (resultado de

la intersección de filas y columnas) donde aparecen los resultados de los

conteos efectuados con los datos recogidos.

Recomendaciones:

- Ninguna casilla debe quedar vacía, debe contener un valor o indicación.

54

- Usar algunos signos convencionales:

Resultado nulo o no existe el fenómeno (-).

Cifra aún no disponible (…).

Cantidad inferior a la mitad de la unidad adoptada: 0, 0.0, 0.00, etc.

Dato provisional (P).

Cifra estimada (E).

Cifra revisada (R).

Pie.- es la parte inferior del cuadro, donde se colocan las notas, llamadas y

la fuente de los datos. Es recomendable, no abusar en el uso de notas y

llamadas; así mismo ordenarlas alfabética y numéricamente.

Notas.- Son aclaraciones breves referidas a algún aspecto general del título

del cuadro o definición de alguna variable. Se efectúa colocando en el

margen izquierdo, de la primera línea del pie, la palabra Nota: detallando lo

que se desea aclarar.

Llamadas.- son aclaraciones específicas referidas a una fila o columna.

Según el INEI (2006) “La llamada se indica con una barra oblicua “/”

siendo antecedida por una letra o un número. Se ubica a la derecha de lo que

se desea aclarar”. Si la aclaración esta referida a una categoría textual, usar

un número; y si la aclaración se refiere a un rango o número, usar una letra.

Según el INEI (2006) “Las llamadas deben ubicarse al pie del cuadro,

inmediatamente después de la nota, si hubiera. Se ubica primero las

“llamadas-números” de menor a mayor y luego las “llamadas-letras” en

orden alfabético”.

Fuente.- cuando los datos son obtenidos de una fuente secundaria se

recomienda indicar al “dueño” de la información (principio de cortesía y

respeto al autor) bajo la forma de una ficha bibliográfica (autor o entidad,

año, título de la publicación, edición, editorial, páginas y lugar). Es

recomendable aun cuando se haya efectuado algunas elaboraciones, ya que

el usuario puede recurrir a la fuente primigenia para cualquier consulta.

55

Igualmente, si la información se ha obtenido de alguna página web y para

que el lector pueda recurrir a esa fuente, indicar los elementos centrales de

una referencia web (autor o entidad, año, título de la publicación, país,

fecha de consulta y la página web donde está disponible).

Si no se indica fuente, se asume que los datos son del autor (persona o

entidad) que los publica. En el caso de pertenecer a una entidad grande, se

indica el área de Elaboración (gerencia o dirección) para poder acudir

directamente a ellos de requerirse.

En caso de haber efectuado algunas modificaciones o reagrupamientos a la

información presentada por algún productor de información, se recomienda

indicar la Fuente y Elaboración.

El diseño del cuadro 2.1 propuesto en el ejemplo queda así:

Agricultura Pesca Minería Industria Electicidad Construcción Comercio Servicios Total

2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

Fuente: Instituto Nacional de Estadística e Informática.

CUADRO 2.1 P.B.I., POR RAMAS DE LA ACTIVIDAD ECONÓMICA, SEGÚN AÑOS: 2000 - 08

P.B.I., POR RAMAS DE LA ACTIVIDAD ECONÓMICA (MILLONES DE NUEVOS SOLES)AÑOS

Aspectos complementarios.-

Si el cuadro se extiende es recomendable hacerlo verticalmente y se debe

poner en la parte inferior derecha de la primera página la indicación

(Continúa …. . En la página siguiente se debe indicar el título del cuadro y

luego escribir a la izquierda …. Continuación), repetir el encabezamiento y

en la columna matriz continuar con las categorías o intervalos que siguen

hasta que se concluya el cuadro, en cuyo caso en la parte superior izquierda

se coloca …. Conclusión).

56

c) Tipos de cuadro.- según el número de variables que se presentan, los cuadros

pueden ser unidimensionales (se presenta una sola variable), bidimensionales

(se presentan dos variables) y multidimensionales (se presentan más de dos

variables).

d) Formas de obtención.-

Habiendo definido una base de datos, la forma más sencilla de obtener cuadros

estadísticos es con el SPSS, ya que tiene la ventaja de reconocer las etiquetas

(texto) para variables categóricas (codificadas numéricamente). Con los otros

programas también se obtiene cuadros, sólo que hay que efectuar previamente

recodificaciones de valores numéricos a texto.

Veamos la obtención de un cuadro bidimensional con las variables hobby (en

las filas) y sexo (en las columnas) con SPSS y luego con Minitab.

En SPSS:

De la barra de menú escoger Analizar → Estadísticos descriptivos → Tabla

de contingencia, aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.2.

Figura 2.2 Obtención de un cuadro bidimensional con SPSS

57

Entre las variables que aparecen al lado izquierdo, hacer clic sobre la variable

HOBBY e ingresarla debajo del recuadro Filas haciendo clic en el botón ,

luego hacer clic sobre la variable SEXO e ingresarla debajo del recuadro

Columnas haciendo clic en el botón .

Si hacemos clic en el botón Casillas se abre la ventana de diálogo de la Figura

2.3, en la que se escoge que debe aparecer en las casillas.

Figura 2.3 Mostrar en las casillas

Por defecto, en Frecuencias aparece un check en el recuadro Observadas y

la tabla va mostrar en las Casillas, los resultados del conteo (número de casos).

En Porcentajes, los recuadros al costado de Fila, Columna y Total aparecen

sin check.

Si hacemos clic al costado de Fila, el programa saca porcentaje sobre el total

de casos en cada fila, de modo tal que en el cuadro los totales de fila van a

sumar 100%. Del mismo modo, si hacemos clic al costado de Columna, el

programa saca porcentaje sobre el total de casos en cada columna, de modo tal

que en el cuadro los totales de columna van a sumar 100%. Finalmente si

hacemos clic al costado de Total, el programa saca porcentaje sobre el total

de casos, de modo tal que en el cuadro la suma de los porcentajes de todas las

casillas es el 100%.

58

Queda a criterio del investigador escoger lo que desea: sólo frecuencias

observadas (número de casos), sólo alguno de los porcentajes, o cualquier

combinación de frecuencias observadas y/o porcentajes (incluyendo los cuatro

a la vez, sólo que para el análisis hay que tener mucho cuidado).

Escogido lo que va aparecer en las casillas, hacer clic en Continuar, regresa a

la Figura 2.2, para terminar el cuadro hacer clic en Aceptar.

Veamos algunos resultados:

Si para las casillas escogemos sólo frecuencias Observadas, el cuadro de

salida es el siguiente:

Tabla de contingencia HOBBY * SEXO

Recuento

14 1 15

14 13 27

1 3 4

4 8 12

0 2 2

33 27 60

Deportes

Musica

Baile

TV / Cine

Otros

HOBBY

Total

Hombre Mujer

SEXO

Total

Haciendo doble clic sobre el cuadro de salida anterior se pueden hacer

algunos arreglos de presentación y copiarlo en Excel o Word. Pudiendo

presentarse así:

CUADRO 2.2 ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA, DE LA FCE-

UNAC, POR SEXO, SEGÚN HOBBY: 09-A

HOBBY SEXO

Total Hombre Mujer

Deportes 14 1 15

Música 14 13 27

Baile 1 3 4

TV / Cine 4 8 12

Otros 0 2 2

Total 33 27 60

Fuente: Base de datos del curso de Estadística Básica

59

Si para las casillas escogemos frecuencias Observadas y en porcentajes

hacemos clic en Fila, el cuadro de salida es el siguiente:


14 1 15

93.3% 6.7% 100.0%

14 13 27

51.9% 48.1% 100.0%

1 3 4

25.0% 75.0% 100.0%

4 8 12

33.3% 66.7% 100.0%

0 2 2

.0% 100.0% 100.0%

33 27 60

55.0% 45.0% 100.0%

Recuento

% de HOBBY

Recuento

% de HOBBY

Recuento

% de HOBBY

Recuento

% de HOBBY

Recuento

% de HOBBY

Recuento

% de HOBBY

Deportes

Musica

Baile

TV / Cine

Otros

HOBBY

Total

Hombre Mujer

SEXO

Total

Cuadro que también se puede editar. En cada casilla se aprecia el mismo

número de casos anterior, ahora acompañado del porcentaje sobre el total de

cada fila. Así, en la segunda fila hay 27 alumnos (100%) cuyo hobby es la

música, de los cuales 14 (51.9%) son hombres y 13 (48.1%) son mujeres.

Si para las casillas sólo se escoge en porcentajes Columna, el cuadro de



% de SEXO

42.4% 3.7% 25.0%

42.4% 48.1% 45.0%

3.0% 11.1% 6.7%

12.1% 29.6% 20.0%

7.4% 3.3%

100.0% 100.0% 100.0%

Deportes

Musica

Baile

TV / Cine

Otros

HOBBY

Total

Hombre Mujer

SEXO

Total

Sobre los mismos 60 alumnos, se puede apreciar que del total de hombres

(33 alumnos = 100.0%) el 42.4% gustan de los Deportes, otro 42.4%

Música, el 3.0% Baile y el 12.1% TV/Cine. Análisis similar se hace para

mujeres y para el total de alumnos.

60

Si para las casillas sólo se escoge en porcentajes Total, el cuadro de



% del total

23.3% 1.7% 25.0%

23.3% 21.7% 45.0%

1.7% 5.0% 6.7%

6.7% 13.3% 20.0%

3.3% 3.3%

55.0% 45.0% 100.0%

Deportes

Musica

Baile

TV / Cine

Otros

HOBBY

Total

Hombre Mujer

SEXO

Total

Aquí los porcentajes en cada Casilla, se obtienen haciendo a los 60 alumnos

como el 100%.

En Minitab:

De la barra de menú escoger Stat → Tables → Descriptive Statistics aparece

la ventana de diálogo de la Figura 2.4.

Figura 2.4 Obtención de un cuadro bidimensional con Minitab

De las variables que aparecen al lado izquierdo, hacer clic sobre la variable

hobby que va ir en las filas (rows) e ingresarla en el recuadro en blanco al

61

costado de For rows: haciendo clic en el botón Select, luego hacer clic sobre

la variable sexo que va ir en las columnas (columns) e ingresarla al costado de

For columns: haciendo clic en el botón Select.

Si hacemos clic en el botón Categorical variables… se abre la ventana de

diálogo de la Figura 2.5, en la que se escoge que debe aparecer en las casillas,

de manera similar al SPSS.

Figura 2.5 Escoger qué mostrar en las casillas con el Minitab

Por defecto, en Display aparece un check en el recuadro Count y la tabla va

mostrar en las Casillas, los resultados del conteo (número de casos).

Si hacemos clic al costado de Row percents, el programa saca porcentajes

sobre el total de casos en cada fila, de modo tal que en el cuadro los totales de

fila van a sumar 100%. Del mismo modo, si hacemos clic al costado de

Column percents, el programa saca porcentajes sobre el total de casos en cada

columna, de modo tal que en el cuadro los totales de columna van a sumar

100%. Finalmente si hacemos clic al costado de Total percents, el programa

saca porcentaje sobre el total de casos, de modo tal que en el cuadro la suma de

los porcentajes de todas las casillas es el 100%.

Al igual que en el SPSS se tiene que escoger lo que se desea mostrar en las

casillas, escogido lo que va aparecer en las casillas, hacer clic en el botón OK,

regresa a la Figura 2.4, para terminar el cuadro hacer clic en OK.

Veamos algunos resultados:

Si para las casillas escogemos sólo frecuencias Count, el cuadro de salida

es el siguiente:

62

Tabulated statistics: hobby, sexo

Rows: hobby Columns: sexo

1 2 All

1 14 1 15

2 14 13 27

3 1 3 4

4 4 8 12

5 0 2 2

All 33 27 60

La tabla obtenida no presenta las etiquetas de las categorías de hobby, ni las

de sexo, por lo que es necesario tenerlas definidas (Ver acápite 1.6

Recodificación de datos en Minitab, Data → Code → Numeric to Text)

antes de sacar el cuadro, algo que no necesita el SPSS ya que las reconoce

automáticamente al definir las variables y sus valores.

Realizada la recodificación de datos para las variables sexo y hobby,

efectuando el proceso anterior obtenemos la siguiente tabla:

Tabulated statistics: hoby, sex

Rows: hoby Columns: sex

Hombre Mujer All

Baile 1 3 4

Deportes 14 1 15

Música 14 13 27

Otros 0 2 2

TV/Cine 4 8 12

All 33 27 60

En la tabla anterior ya aparecen las etiquetas de hobby y sexo recodificadas,

pero la presentación no es muy estética, requiere de un trabajo previo en

Excel, lo que no es necesario para las tablas en SPSS (es mejor trabajarlas

con este programa).

Si para las casillas escogemos Count y hacemos clic en Row percents,

el cuadro de salida es el siguiente:

63

Tabulated statistics: hoby, sex Rows: hoby Columns: sex

Hombre Mujer All

Baile 1 3 4

25.00 75.00 100.00

Deportes 14 1 15

93.33 6.67 100.00

Música 14 13 27

51.85 48.15 100.00

Otros 0 2 2

0.00 100.00 100.00

TV/Cine 4 8 12

33.33 66.67 100.00

All 33 27 60

Cuadro que también se puede editar. En cada casilla se aprecia el mismo

número de casos anterior, ahora acompañado del porcentaje sobre el total de

cada fila. Así, en la tercera fila hay 27 alumnos (100%) cuyo hobby es la

música, de los cuales 14 (51.85%) son hombres y 13 (48.15%) son mujeres.

Veamos ahora rápidamente la obtención de un cuadro tridimensional con las

variables especial(ización) y hobby (en las filas) y sexo (en las columnas) con

SPSS y luego con Minitab.

En SPSS:

De la barra de menú escoger Analizar → Estadísticos descriptivos → Tabla

de contingencia, aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.2.

Se ingresa la variable hobby en Filas, sexo en Columnas y especial en Capa

1 de 1. Si desea escoge Casillas para indicar que va aparecer en las mismas,

veamos sólo valores observados. La tabla es la que muestra la Figura 2.5.

La tabla se puede editar haciendo doble clic sobre ella en SPSS o copiarla en

Word y efectuar las modificaciones necesarias. El número y título son:

CUADRO 2.3 ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA, DE LA FCE-

UNAC, POR SEXO, SEGÚN ESPECIALIZACIÓN Y HOBBY: 09-A

64

Tabla de contingencia HOBBY * SEXO * ESPECIALIZACIÓN

Recuento

5 0 5

3 3 6

0 2 2

8 5 13

9 1 10

11 10 21

1 3 4

4 6 10

0 2 2

25 22 47

Deportes

Musica

TV / Cine

HOBBY

Total

Deportes

Musica

Baile

TV / Cine

Otros

HOBBY

Total

ESPECIALIZACIÓN

Teoría Económica

Gestión Empresarial

Hombre Mujer

SEXO

Total

Figura 2.6 Cuadro tridimensional en SPSS

En Minitab:

De la barra de menú escoger Stat → Tables → Descriptive Statistics aparece

la ventana de diálogo de la Figura 2.4.

Con las variables recodificadas previamente, se ingresa la variable hoby en

For rows, sexo en For columns y especialización en For layers. Si desea

escoge Categorical variables para indicar que va aparecer en las casillas,

veamos sólo Counts (conteos), OK, OK y los resultados son los siguientes:

Tabulated statistics: hoby, sex, especialización

Results for especialización = Gestión Empresarial


Hombre Mujer All

Baile 1 3 4

Deportes 9 1 10

Música 11 10 21

Otros 0 2 2

TV/Cine 4 6 10

All 25 22 47

Cell Contents: Count

Results for especialización = Teoría Económica


65

Hombre Mujer All

Baile 0 0 0

Deportes 5 0 5

Música 3 3 6

Otros 0 0 0

TV/Cine 0 2 2

All 8 5 13

Para obtener tablas en Excel es necesario recurrir a Tabla dinámica que se

encuentran el menú Insertar. Veamos el procedimiento para una tabla

bidimensional con las variables hobby en filas y sexo en columnas.

En las columnas A, B y C se ha copiado las variables sexo, hobby y especial

con las etiquetas de sus categorías, entre las filas 1 y 61, las mismas que están

en la base de datos de los alumnos de Estadística Básica 09-A del Anexo. Al

hacer clic en Tabla dinámica aparece la ventana de diálogo Crear tabla

dinámica que aparece en la Figura 2.7.

Figura 2.7 Creando tabla dinámica en Excel

En Seleccione los datos que desea analizar, marcar Seleccione una tabla o

rango e indicar en Tabla o rango: los valores a analizar sombreando los

datos de la hoja de cálculo desde A1 hastaC61 y automáticamente aparece lo

indicado en la Figura 2.7. En elija dónde desea colocar el informe de la tabla

dinámica, elegir Hoja de cálculo existente e indicar Ubicación: aquí celda E2.

Luego hacer clic en Aceptar y aparece una estructura de tabla.

66

A continuación, arrastrar la variable HOBBY, que aparece en el lado

derecho, sobre el mensaje Coloque campos de fila aquí; del mismo modo

arrastrar la variable SEXO sobre el mensaje Coloque campos de columna

aquí. Al volver a arrastrar la variable SEXO sobre el Cuerpo del cuadro en

el mensaje Coloque datos aquí, se obtiene la tabla dinámica requerida con el

resultado de los conteos visto en las tablas anteriores (ver Figura 2.8).

Figura 2.8 Tabla dinámica para Sexo y Hobby en Excel

Para obtener porcentajes sobre las filas, las columnas o el total como en SPSS

y Minitab, se debe arrastrar nuevamente la variable de conteo (SEXO) en

el Cuerpo del cuadro, sobre el área de lo que fue el mensaje Coloque datos

aquí. En las filas aparece Cuenta de SEXO y Cuenta de SEXO2. Al hacer

doble clic sobre Cuenta de SEXO2, aparece la ventana de diálogo

Configuración de campo de valor, hacer clic en el botón Mostrar valores

como aparece Normal, hacer clic en la flecha de selección y se puede

escoger el porcentajes sobre las filas, las columnas o el total, al escoger el %

de la columna y Aceptar, aparece el cuadro de la Figura 2.9.

67

Figura 2.9 Tabla dinámica para Sexo y Hobby con porcentajes en Excel

Si se quiere obtener un cuadro tridimensional arrastrar la variable

ESPECIALIZACIÓN en las filas sobre HOBBY y aparece la tabla dinámica de

la Figura 2.10, donde haciendo doble clic sobre Cuenta de SEXO2 se ha

escogido mostrar valores como % de la fila.

Figura 2.10 Tabla dinámica para Sexo, Especialización y Hobby en Excel

68

Se reafirma nuevamente que el SPSS arroja una mejor presentación.

Para obtener tablas con el programa R, primero se definen las variables como

objetos. Tal como se plantea en el acápite 1.7 Manipulación de archivos, leída

la base de datos como caso2, al escribir >attach(caso2) y efectuar enter, se

identifican las variables con el nombre en el encabezado. También se pueden

crear las variables como objetos, separándolos con punto y coma, así:

> hobby=caso2[,16] ; sexo=caso2[,2] ; especialización=caso2[,20]

La tabla bidimensional con la variable hobby en las filas y sexo en las

columnas, se obtiene así:

> table(hobby,sexo)

sexo

hobby 1 2

1 14 1

2 14 13

3 1 3

4 4 8

5 0 2

Resultado idéntico al del Minitab, es necesario definir las etiquetas de hoby

y sexo.

La tabla tridimensional con la variable especial (especialización) y hobby en

las filas y sexo en las columnas, se obtiene así:

> table(hobby,sexo,especial)

, , especial = 1

sexo

hobby 1 2

1 5 0

2 3 3

3 0 0

4 0 2

5 0 0

69

, , especial = 2

sexo

hobby 1 2

1 9 1

2 11 10

3 1 3

4 4 6

5 0 2

Vamos a definir en R las etiquetas de las categorías correspondientes a las

variables sexo, hobby y especialización de la siguiente manera:

> caso2=transform(caso2, sexo=factor(sexo, labels=c("Hombres","Mujeres")))

> caso2=transform(caso2, hobby=factor(hobby, labels=c("Deporte","Música",

"Baile", "TV/Cine","Otro")))

> caso2=transform(caso2, especial=factor(especial, labels=c("Teoría Económica",

"Gestión Empresarial")))

Para que se reconozcan las nuevas variables con sus etiquetas escribir:

> attach(caso2)

Obtenemos las tablas anteriores de la siguiente manera:

> t1=table(hobby,sexo)

> t1

sexo

hobby Hombres Mujeres

Deporte 14 1

Música 14 13

Baile 1 3

TV/Cine 4 8

Otro 0 2

> prop.table(t1)

sexo


Deporte 0.23333333 0.01666667

Música 0.23333333 0.21666667

70

Baile 0.01666667 0.05000000

TV/Cine 0.06666667 0.13333333

Otro 0.00000000 0.03333333

Sea t2 la tabla tridimensional:

> t2=table(hobby,sexo,especial)

> t2

, , especial = Teoría Económica

sexo


Deporte 5 0

Música 3 3

Baile 0 0

TV/Cine 0 2

Otro 0 0

, , especial = Gestión Empresarial

sexo


Deporte 9 1

Música 11 10

Baile 1 3

TV/Cine 4 6

Otro 0 2

> prop.table(t2)

, , especial = Teoría Económica

sexo


71

Deporte 0.08333333 0.00000000

Música 0.05000000 0.05000000

Baile 0.00000000 0.00000000

TV/Cine 0.00000000 0.03333333

Otro 0.00000000 0.00000000

, , especial = Gestión Empresarial

sexo


Deporte 0.15000000 0.01666667

Música 0.18333333 0.16666667

Baile 0.01666667 0.05000000

TV/Cine 0.06666667 0.10000000

Otro 0.00000000 0.03333333

Para conservar los valores originales en la base de datos caso2 y poner etiquetas,

se debe cambiar el nombre de la variable.

> caso2=transform(caso2, colegio.proc=factor(col.proc, labels=c("Estatal", "No

Estatal")))

> attach(caso2)

NOTA.- Un caso particular de los cuadros estadísticos son las denominadas

Tablas de Frecuencias (que veremos en el acápite siguiente) que son cuadros

unidimensionales, es decir, con una sola variable acompañada por lo general de

los resultados del conteo y porcentajes.

72

2.3 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS

La información obtenida puede provenir de un censo o de una muestra. Los

resultados observados los podemos representar de la siguiente manera:

Las variables, con las últimas letras mayúsculas del alfabeto: X, Y, Z, etc. o

con algunas siglas que las abrevia el investigador o propias de algunas

disciplinas como en la economía: PBI (Producto Bruto Interno), M

(importaciones), etc.; en salud: IMC (Índice de Masa Corporal), etc.

Los subíndices, con las letras minúsculas: i, j, k, l, m, t, etc. representan

números enteros y sirven para diferenciar las unidades de análisis (U.A.) a

quienes corresponde el valor que toma la variable.

Con Xi representamos el valor de la variable X observado en laU.A. i-ésima.

Por ejemplo, si en la base de datos de los alumnos de Estadística Básica 09-A,

ver en el Anexo, X = Peso de los alumnos, entonces:

Xi = Peso del alumno i-ésimo de Estadística Básica 09-A; i = 1, 2, 3, …., 60.

X40 = 70 Kg., es el peso del alumno 40 o valor observado 40 de la variable.

Veamos las diferentes formas de presentación de datos.

DATOS SIN AGRUPAR:

Población: X1, X2, X3, …. , XN (N = tamaño de la población)

Muestra: X1, X2, X3, …. , Xn (n = tamaño de la muestra)

En la base de datos de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, se tiene

información de 19 variables estudiadas, tanto cualitativas como cuantitativas.

DATOS AGRUPADOS:

a) Tabla de Frecuencia para Datos Cualitativos.- en este tipo de tablas se

indican los atributos o categorías de la variable, acompañadas del número (ni),

la proporción (hi), y/o el porcentaje (100 hi), de unidades de análisis (U.A.).

Su estructura es:

1 Atributo 1 n1 h1 p1

2 Atributo 2 n2 h2 p2

…. …. …. …. ….

k Atributo k nk hk pk

Total n 1 100%

% de U.A.

(100 hi)

Nº de Clase

(i)

Categoría de

la variable

Nº de U.A.

(ni)

Proporción

de U.A (hi)

U.A. = unidades de análisis.

73

Tal como se presenta en el acápite anterior, veamos la obtención de una tabla

de frecuencias por ejemplo, para la variable hobby en SPSS: Analizar →

Estadísticos descriptivos → Frecuencias. Inmediatamente se abre la ventana

de diálogo de la Figura 2.11.

Figura 2.11 Obtención de tablas de frecuencias en SPSS

De las variables al lado izquierdo escogemos hobby, haciendo doble clic o clic

en el botón la ingresamos en Variables, luego Aceptar y se obtiene los

resultados del Cuadro 2.4 editado en spss haciendo doble clic.

CUADRO 2.4 ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 2009-A, DE LA

FCE-UNAC, SEGÚN HOBBY

15 25.0

27 45.0

4 6.7

12 20.0

2 3.3

60 100.0

HOBBY

Deportes

Musica

Baile

TV / Cine

Otros

Total

ALUMNOS

% DE

ALUMNOS

Un cuadro similar se puede obtener con el Minitab si se tiene previamente

etiquetadas las categorías de la variable hobby, de la siguiente manera: Stat →

Tables → Tally Individual Variables … Escoger la variable hobby y Select

74

para que ingrese en Variables. En display, por defecto aparece Counts,

marcar también Percents, luego OK y aparecen los resultados del Cuadro 2.4.

Tally for Discrete Variables: hoby

hoby Count Percent

Baile 4 6.67

Deportes 15 25.00

Música 27 45.00

Otros 2 3.33

TV/Cine 12 20.00

N= 60

También en R, estando etiquetadas las categorías de la variable hobby,

attachada la base de datos y usando table obtenemos lo mismo, así:

> caso2=transform(caso2, hoby=factor(hobby, labels=c("Deporte", "Música",

"Baile", "TV/Cine","Otro")))

> attach(caso2)

> table(hoby)

hoby

Deporte Música Baile TV/Cine Otro

15 27 4 12 2

b) Tabla de Frecuencias para Datos Cuantitativos Discretos.- la variable

discreta toma valores en un rango pequeño (por ejemplo: número de hijos,

número de dormitorios en la vivienda, etc.). Para su resumen en la presentación

se indican esos pocos valores de la variable (Xi) acompañados de las

siguientes frecuencias en las columnas:

Frecuencias absolutas o repeticiones = ni = Nº de unidades de análisis

(U.A.) que toman el valor Xi (resultado del conteo).

Frecuencia relativa = (hi) = Proporción de U.A. que toman el valor Xi .

pi = 100 hi = Porcentaje de U.A. que toman el valor Xi .

Frecuencia absoluta acumulada o repeticiones acumuladas = Ni = Número

acumulado de U.A. que toman el valor Xi o menos.

Frecuencia relativa acumulada = Hi = la proporción acumulada de U.A. que

toman el valor Xi o menos.

Pi = 100 Hi = porcentaje acumulado U.A. que toman el valor Xi o menos.

75

La estructura general de este tipo de tablas es la que se muestra a continuación,

cuando se efectúan presentaciones reales de datos sólo se muestran algunos

elementos de esta estructura.

Clase

(i)

Valores

(X i)

Nº de

U.A.

(n i)

Proporc.

U.A.

(h i)

% U.A.

pi = 100 h i

Nº

Acum

U.A.

(N i)

Prop.

Acum.

U.A.

(H i)

% Acum.

U.A.

P i =100H i

1 X1 n1 h1 p1 N1 H1 P1 2 X2 n2 h2 p2 N2 H2 P2

…. …. …. …. …. …. …. …. k Xk nk hk pk Nk =

n

Hk = 1 Pk =

100%

Total n 1 100%

Donde: Ni = Ni - 1 + ni , hi = ni / n = Hi - Hi - 1 , Hi = Ni / n = Hi - 1 + hi

Tal como se presenta en el acápite anterior, veamos la obtención de una tabla

de frecuencias por ejemplo, para la variable número de miembros en la familia

mie.fam en SPSS: Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias.

Inmediatamente se abre la ventana de diálogo de la Figura 2.11.

De las variables al lado izquierdo escogemos mie.fam, haciendo doble clic o

clic en el botón la ingresamos en Variables, luego Aceptar y se obtiene

los resultados del Cuadro 2.5 editado en spss haciendo doble clic.

CUADRO 2.5 ALUMNOS DE ESTADISTICA BASICA 2009-A, DE LA

FCE-UNAC, SEGÚN EL NÚMERO DE MIEMBROS EN LA FAMILIA

2 3.3 3.3

5 8.3 11.7

11 18.3 30.0

27 45.0 75.0

8 13.3 88.3

5 8.3 96.7

1 1.7 98.3

1 1.7 100.0

60 100.0

MIEMBROS EN

LA FAMILIA

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

Alumnos

% de

Alumnos

Porcentaje

acumulado

76

Tabla que trabajada en Excel, queda con las frecuencias indicadas a

continuación:

Miembros en la Familia (X i)

Alumnos (ni)

Proporción alumnos

(hi)

Porcentaje alumnos

(p i = 100 h i)

Nº acum. alumnos

(Ni)

Prop. acum. alumnos

(Hi)

2 2 0.033 3.3% 2 0.033 3 5 0.083 8.3% 7 0.117 4 11 0.183 18.3% 18 0.300

5 27 0.450 45.0% 45 0.750 6 8 0.133 13.3% 53 0.883 7 5 0.083 8.3% 58 0.967 8 1 0.017 1.7% 59 0.983 9 1 0.017 1.7% 60 1.000 Total 60 1.000 100.0

En esta tabla se puede interpretar que:

n4 = 27, hay 27 alumnos con 5 miembros en su familia cada uno.

h3 = 0.183, 18.3% de los alumnos tienen 4 miembros en su familia cada uno.

N5 = 53, hay 53 alumnos con 6 o menos miembros en su familia cada uno.

H4 = 0.75, 75% de los alumnos tienen 5 o menos miembros en su familia cada

uno.

Un cuadro similar se puede obtener con el Minitab de la siguiente manera:

Staat → Tables → Tally Individual Variables … Escoger la variable

mie.fam y Select para que ingrese en Variables. En display, por defecto

aparece Counts, marcar también Percents, Cumulative counts y

Cumulative percents, luego OK y aparecen los resultados del Cuadro 2.5, tal

como se aprecia a continuación:

Tally for Discrete Variables: mie.fam

mie.fam Count CumCnt Percent CumPct

2 2 2 3.33 3.33

3 5 7 8.33 11.67

4 11 18 18.33 30.00

5 27 45 45.00 75.00

6 8 53 13.33 88.33

7 5 58 8.33 96.67

8 1 59 1.67 98.33

9 1 60 1.67 100.00

N= 60

También en R, estando attachada la base de datos y usando table obtenemos lo

mismo, así:

77

> attach(caso2)

> table(mie.fam)

mie.fam

2 3 4 5 6 7 8 9

2 5 11 27 8 5 1 1

c) Tabla de Frecuencias con intervalos para Datos Cuantitativos.- en este

caso tanto la variable discreta como la continua toma valores en un rango

relativamente grande y para su resumen hay que construir intervalos de clase,

para lo cual se debe seguir los siguientes pasos:

Determinar el Rango (R) de la variable: como la diferencia entre el valor

máximo y mínimo de la variable.

R = Xmáx – Xmín = X / Xmín ≤ X ≤ Xmáx

Determinar el número de intervalos (k) con algún criterio del investigador

o usando fórmulas como la de Sturges: k = 1 + 3.32 log10 N = 1 + log 2 N

Tomar el valor de k redondeado (donde N es el número de observaciones

en la población y si es n número de observaciones en la muestra).

Hallar el ancho o amplitud (C) del intervalo: C = R/k,

Tomar el valor de C redondeado con un determinado número de decimales,

en función de las unidades de la variable.

Construir los k intervalos de clase, desde un límite inferior (LI) hasta un

límite superior (LS): LIi - LSi

Intervalo 1 : [Xmín - Xmín + C)

Intervalo 2 : [Xmín + C - Xmín + 2C)

Intervalo 3 : [Xmín + 2C - Xmín + 3C)

…………..

Intervalo k – 1 : [Xmín + (k – 2)C - Xmín + (k – 1)C)

Intervalo k : [Xmín + (k – 1)C - Xmín + kC]

Obtener las marcas de clase (Xi) como los valores representativos de la

clase, mediante la semisuma de los límites superior e inferior de la clase

correspondiente: 2

i ii

LI LSX , i = 1, 2, …., k

78

En la presentación de la distribución de frecuencias de la variable X, se indican

los intervalos de clase [LIi - LSi), las marcas de clase (Xi) acompañadas de las

siguientes frecuencias en las columnas:

Frecuencias absolutas o repeticiones = ni = Nº de unidades de análisis

(U.A.) en el intervalo i (resultado del conteo).

Frecuencia relativa = (hi) = Proporción de U.A. en el intervalo i.

pi = 100 hi = Porcentaje de U.A. en el intervalo i.

Frecuencia absoluta acumulada o repeticiones acumuladas = Ni = Número

acumulado de U.A. hasta el límite superior i (LSi).

Frecuencia relativa acumulada = Hi = la proporción acumulada de U.A.

hasta el límite superior i (LSi).

Pi = 100 Hi = porcentaje acumulado U.A. hasta el límite superior i (LSi).

Su estructura es:

Clase

(i)

Intervalo

LIi - LSi

Marca

clase

(X i)

Nº de

U.A.

(n i)

Proporc.

U.A.

(h i)

% U.A.

pi =

100 h i

#

Acum

U.A.

(N i)

Prop.

Acum.U.A.

(H i)

% Acu.

P i =

100 H i

1 LI1 -LS1 X1 n1 h1 p1 N1 H1 P1 2 LI2 –LS2 X2 n2 h2 p2 N2 H2 P2

…. …. …. …. …. …. …. …. …. k LIk –LSk Xk nk hk pk Nk = n Hk = 1 Pk =

100%

Total n 1 100%

Donde: N1 = n1, Ni = Ni - 1 + ni , hi = ni / n , H1 = h1 , Hi = Ni / n = Hi - 1 + hi

Vamos a obtener una tabla de frecuencias, con k = 5 intervalos, para los pesos

de los alumnos de Estadística Básica 2009-A, cuyos datos aparecen en el

Anexo y de manera ordenada se muestran en el Cuadro 2.6 siguiente:

44 45 46 46.5 47 48 48 49 49 50

50 50 50 50.5 51 51 52 52 52.6 53

53 53 53 54 55 55 55 55 55 57

57 59 60 60 63 63 64 64 64.5 65

65 66 66 67 67 68 68 68 69 70

70 72 72 75 75 77 80 80 80 88

CUADRO 2.6. PESOS (Kg.) DE LOS 60 ALUMNOS DE ESTADISTICA BÁSICA 09-A UNAC

El rango de los pesos es R = Xmáx – Xmín = 88 – 44 = 44 Kg.

= X / 44 ≤ X ≤ 88

79

Por interés particular, se desean construir k = 5 intervalos.

Los intervalos son de igual amplitud, donde C = R/k = 44 / 5 = 8.8 Kg.

Los intervalos son cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha: [44 –

52.8), [52.8 – 61.6), [61.6 – 70.4), [70.4 - 79.2) y [79.2 – 88.0]. El Excel toma

los intervalos abiertos por la izquierda y cerrados por la derecha: (LI - LS].

La tabla completa se ha obtenido en Excel, de la siguiente manera:

En la figura 2.12 se puede apreciar que en la hoja de cálculo de Excel, en la

columna A, se ha copiado los pesos de los 60 alumnos, ocupando las celdas

desde A3 hasta A62. Así mismo, en las columnas D y E se han definido los

límites inferior y superior de clase, ocupando desde la fila 12 a la 16.

Figura 2.12 Obtención de Tabla de Frecuencias en Excel

Para obtener las frecuencias absolutas (ni) en Excel, es necesario sombrear las

celdas donde se deposita el resultado automático de los conteos, que en este

caso es en la columna G, de la celda G12 a la G16, tal como se muestra en la

Figura 2.12. A continuación, con la opción de funciones del Excel, escoger

dentro de Seleccionar una categoría →Estadísticas → Frecuencia y aparece

la ventana de diálogo de la Figura 2.13 solicitando los Argumentos de la

función Frecuencia: Datos (de la variable peso, que están ubicados de la celda

A3 hasta la A62) sombrear los datos o escribir A3:A62 y en Grupos (indicar

80

los límites superiores de los intervalos, que están en las celdas de E12 hasta

E16).

Figura 2.13 Argumentos de la función Frecuencia

Para terminar no usar Aceptar, sino la combinación de las teclas

MAYUSCULA + Ctrl + Enter, automáticamente aparece el resultado de los

conteos en las celdas de la columna de los ni con los valores 19, 15, 17, 5 y 4.

El resto de columnas se han obtenido usando las fórmulas indicadas en la

estructura general. Los resultados de este proceso se muestran en el cuadro

siguiente:

CUADRO 2.7 DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIAS DE LOS PESOS DE

LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A FCE-UNAC

i LIi LSi Xi ni hi 100hi Ni Hi 100 Hi

1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 31.7% 19 0.317 31.7%

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 25.0% 34 0.567 56.7%

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 28.3% 51 0.850 85.0%

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083 8.3% 56 0.933 93.3%

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067 6.7% 60 1.000 100.0%

60 1.000 100.0%

Acum.

alumnos

Prop.Ac.

alumnos

% Acum.

alumnosClase PESOS (Kg.)

Marca

claseAlum-nos

Prop.

alumnos

% de

alumnos

En esta tabla se puede interpretar que:

n3 = 17, hay 17 alumnos que pesan entre 61.6 y 70.4 Kg. cada uno.

h2 = 0.250, el 25.0% de los alumnos pesan entre 52.8 y 61.6 Kg. cada uno.

81

N4 = 56, hay 56 alumnos que pesan menos de 79.2 Kg. cada uno.

H3 = 0.85, 85% de los alumnos pesan menos de 70.4Kg. cada uno.

Para obtener Tablas de frecuencias con el Minitab, el SPSS y el R, se tiene que

proceder con la recodificación de datos planteada en el acápite 1.6. Veamos:

En Minitab.-

De la barra de menú escoger la opción Data, luego Code (código) y Numeric

to text (numérico a texto) porque se desea recodificar valores numéricos en

texto (la denominación de los intervalos). Aparece la ventana de diálogo de la

Figura 2.14.

Figura 2.14 Recodificación de la variable peso en Minitab

En Code data from columns: (código de datos desde las columnas)

seleccionar de las variables a la izquierda peso o escribirla. En Store couded

data in columns: (almacenar datos codificados en la columna) seleccionar de

las variables de la izquierda pesos o escribirla.

A continuación en Original values (valores originales) se va definiendo uno a

uno los intervalos definidos en el Cuadro 2.7, separándolos por dos puntos (:) y

82

en New los nuevos valores en texto para representar los intervalos, tal como se

muestra en la Figura 2.14.

Para finalizar la recodificación hacer clic en OK y en la base de datos (Current

data window) aparecen los datos de pesos (ver Figura 2.15).

Figura 2.15 Variable peso recodificada en pesos (intervalos) con Minitab

Para obtener la tabla de frecuencias proceder de la siguiente manera: Stat →

Tables → Tally Individual Variables … Aparece la ventana de diálogo de la

Figura 2.16. Escoger la variable pesos y Select para que ingrese en Variables.

En display, por defecto aparece Counts, marcar también Percents,

Cumulative Counts y Cumulative percents, luego OK y aparecen los

resultados siguientes (similares a los del Cuadro 2.7):

Tally for Discrete Variables: pesos

pesos Count CumCnt Percent CumPct

44.0 - 52.8 19 19 31.67 31.67

52.8 - 61.6 15 34 25.00 56.67

61.6 - 70.4 17 51 28.33 85.00

83

70.4 - 79.2 5 56 8.33 93.33

79.2 - 88.0 4 60 6.67 100.00

N= 60

Figura 2.16 Obtención de Tabla de Frecuencias en Minitab (variable pesos)

En SPSS.-

De la barra de menú escoger la opción Transformar, luego hacer clic sobre

Recodificar en distintas variables. Aparece la ventana de diálogo Recodificar

en distintas variables de la Figura 2.17.

Figura 2.17 Recodificando la variable peso en SPSS

84

Escogiendo de la lista de variables que aparecen al lado izquierdo, en Var.

numérica → Var. de resultado: ingresar la variable peso, inmediatamente

aparece peso → ? En Variable de resultado, en Nombre: escribir pesos, en

Etiqueta: escribir PESO (Kg.) y luego hacer clic en el botón Cambiar (si no

hace esto, la recodificación no se realiza después), inmediatamente en Var.

numérica → Var. de resultado: se modifica por peso→ pesos.

Luego, hacer clic en Valores antiguos y nuevos y aparece la ventana de diálogo

Recodificar en distintas variables: Valores antiguos y nuevos de la Figura 2.18.

Figura 2.18 Recodificar Valores antiguos del peso y nuevos de pesos en SPSS

A continuación, en Valor antiguo se va definiendo uno a uno los intervalos

definidos en el Cuadro 2.7, y en Valor nuevo los nuevos valores del intervalo.

Observar que el primer intervalo es para peso entre 44.0 hasta antes de 52.8,

en Valor antiguo, en Rango: se escribe 44.0 hasta 52.79 (de ser necesario se

agregan más nueves en los decimales, para estar más cerca a 52.8) y en Valor

nuevo, en Valor escribir 1, luego hacer clic en añadir. El siguiente intervalo va

de 52.8 hasta antes de 61.6, en Valor antiguo, en Rango: se escribe 52.8 hasta

61.59 y en Valor nuevo escribir 2, luego hacer clic en añadir. Así

sucesivamente, el último intervalo va de 79.8 hasta 88.0, en Valor antiguo, en

85

Rango: se escribe 79.8 hasta 88.0 y en Valor nuevo, en Valor escribir 5, luego

clic en añadir.

Para finalizar la recodificación, al hacer clic en Continuar regresa a la ventana

de la Figura 2.17.

Luego hacer clic en Aceptar y aparece la variable pesos con sus valores del 1 al

5 en la Vista de datos del Editor de datos SPSS.

A continuación, en la Vista de variables, del Editor de datos SPSS, a la variable

pesos se le definen las Etiquetas de valor, en un cuadro de diálogo similar al

de la Figura 1.5. Para ello asignar los valores y etiquetas siguientes: 1, 44.0 –

52.8; 2, 52.8 – 61.6; 3, 61.6 – 70.4; 4, 70.4 – 79.2; y 5, 79.2 – 88.0.

Una vez que termina de añadir los valores y etiquetas hacer clic en Aceptar, en

la Vista de datos, del Editor de datos SPSS aparecen las etiquetas de condición

que se muestran en la Figura 2.14.

Figura 2.19 Resultado de la variable pesos, recodificando el peso en SPSS

Para obtener la tabla de frecuencias ejecutar: Analizar → Estadísticos

descriptivos → Frecuencias. Inmediatamente se abre la ventana de diálogo de

la Figura 2.11.

De las variables al lado izquierdo escogemos pesos, haciendo doble clic o clic

en el botón la ingresamos en Variables, luego Aceptar y se obtiene los

mismos resultados del Cuadro 2.7 que se muestran a continuación:

86

PESO (Kg.)

19 31.7 31.7

15 25.0 56.7

17 28.3 85.0

5 8.3 93.3

4 6.7 100.0

60 100.0

PESO (Kg.)

44.0 - 52.8

52.8 - 61.6

61.6 - 70.4

70.4 - 79.2

79.2 - 88.0

Total

Frecuencia Porcentaje

Porcentaje

acumulado

En R.-

Para crear los intervalos del Cuadro 2.7, estando en la base de datos caso 2, se

procede así:

> caso2=transform(caso2,pesos=cut(peso,breaks=c(43.99, 52.79, 61.59, 70.39,

79.19, 88.0)))

> attach(caso2)

Para visualizar la base de datos caso2 con los intervalos escribir:

> fix(caso2)

En el R Editor de datos aparece la variable pesos con los intervalos definidos,

tal como se muestra en la Figura 2.20.

Figura 2.20 Resultado de la variable pesos, recodificando el peso en R

87

Para obtener la tabla de frecuencias ejecutar:

> table(pesos)

pesos

(44,52.8] (52.8,61.6] (61.6,70.4] (70.4,79.2] (79.2,88]

19 15 17 5 4

Los resultados obtenidos son idénticos a los del Cuadro 2.7.

2.4 GRÁFICOS ESTADÍSTICOS

Es una forma de presentación de datos, cuya elaboración requiere necesariamente de

una tabla o cuadro estadístico y mediante el cual se busca que el lector de un golpe de

vista pueda destacar aspectos importantes de la(s) variable(s) en estudio, ya que como

dice el adagio popular “una imagen vale más que mil palabras”.

En esta parte vamos a desarrollar algunas formas de presentación gráfica básica, de tal

manera que permita descripciones importantes de las variables en estudio. En capítulos

posteriores se verá algunas otras formas gráficas propias de los tópicos tratados.

a) Definición.- para Correa y González (2002) “Un gráfico estadístico es una

representación visual de datos estadísticos.” o las distribuciones estadísticas

mediante figuras geométricas, reflejando la relación o comparación fácil entre

las variables en un estudio determinado.

b) Estructura.- las partes de un gráfico estadístico son: número, título, cuerpo,

leyenda y fuente.

Número.- si en un estudio se presenta más de un gráfico hay que

enumerarlos para diferenciarlos. Si el gráfico es único, no es necesario

enumerar. El número se ubica en la parte superior izquierda o central.

Se recomienda anteponer la palabra Gráfico y a continuación colocar el

número (sin la abreviatura Nº previa) que puede ser arábigo o alfanumérico,

seguido de un punto, para luego indicar el título.

Ejemplo: Gráfico 4. ; Gráfico A13. ; etc.

Título.- el título indica de manera clara y precisa el contenido del gráfico.

Se coloca en la parte superior a continuación del número. Su elaboración es

88

similar a la del cuadro a partir del que se construye, por ello ambos títulos

(del cuadro y del gráfico) son idénticos.

Ejemplo: Alumnos de Estadística básica 09-A, según su Hobby.

Cuerpo.- es la parte central del gráfico, representada por lo general en

forma rectangular (en una relación de 1.5 para el largo y como 1 para el

ancho) en la que con algunas representaciones geométricas, acompañadas de

datos y símbolos se busca establecer contrastes de las variables y sus

categorías a través de escalas apropiadas a las magnitudes en estudio.

Se recomienda colocar el título de los ejes, con el nombre de la variable o

sus categorías, indicando la unidad de medida si hubiera. Así mismo, se

debe buscar efectuar diferenciaciones entre los componentes del gráfico

bien mediante colores, tramas, sombreados, etc.

Leyenda.- son aclaraciones respecto a las partes componentes de un gráfico

expresadas a través de lo que representan ciertos colores, tramas, etc. y van

colocados por lo general al costado de gráfico con su indicación de lo que

representan.

Fuente.- al igual que los cuadros, es necesario indicar los elementos

esenciales que permitan identificar a los “dueños” de los gráficos e

información para cualquier consulta mediante una breve Ficha Bibliográfica

o Referencia Web, tal como se indica en la fuente de cuadros estadísticos.

En el caso de ser propio el gráfico, se recomienda indicar la Elaboración.

c) Tipos de gráficos.- al igual que los cuadros estadísticos, los gráficos pueden

ser unidimensionales, bidimensionales o pluridimensionales, según el número

de variables que se presenten.

d) Formas de obtención.- se va a presentar la obtención de estos gráficos

utilizando los programas Excel, Minitab, SPSS y R, los mismos que veremos

para variables cualitativas y cuantitativas, tal como se pase a detallar.

89

2.5 GRÁFICOS DE VARIABLES CUALITATIVAS

Entre los principales gráficos de variables cualitativas tenemos los gráficos de sectores,

el gráfico de barras y el gráfico de Pareto.

a) Gráfico de sectores.- llamado también pie o pastel, es muy apropiado para

representar las categorías de una variable cualitativa en una circunferencia con

particiones proporcionales al número de casos en cada categoría que se busca

representar.

Para efectuar las particiones en la circunferencia se establece la proporcionalidad

tomando en cuenta que los 360º de la circunferencia equivale al total de

observaciones realizadas o el 100% y se efectúa las equivalencias a cada categoría

en grados sexagesimales según el número de observaciones o porcentaje que le

corresponde mediante una regla de tres simple.

Tomemos como referencia la distribución de la variable hobby de los alumnos de

estadística básica 09-A, obtenida en el Cuadro 2.4 siguiente:

HOBBY Nº DE

ALUMNOS

% DE

ALUMNOS

GRADOS

SEXAGESIMALES

Deportes 15 25.0 90

Música 27 45.0 162

Baile 4 6.7 24

TV/Cine 12 20.0 72

Otros 2 3.3 12

Total 60 100.0 360

Si a los 60 alumnos les corresponde una circunferencia de 360º, la

proporcionalidad que se guarda aquí es de 6º por cada alumno y de este modo a los

15 alumnos que les gusta el deporte les corresponde 15 x 6 = 90º, a los 27 que les

90

gusta la música 27 x 6 = 162º, a los 4 alumnos que les gusta el baile 4 x 6 = 24º, a

los 12 que les gusta TV/Cine 12 x 6 = 72º y a los 2 que les gusta Otros 2 x 6 = 12º.

Con estos datos es que los programas efectúan de modo automático la

representación del pie correspondiente. Veamos.

En Excel:

Seguir la secuencia siguiente: Insertar → Gráficos → Circular → Gráfico 2D,

escoger en Diseños de gráfico (diseño 1) → Seleccionar datos → Rango de datos

del gráfico: indicar las celdas donde se encuentran los datos → en Etiquetas del

eje horizontal (categoría) escoger Editar, en Rango de rótulos de eje: indicar las

celdas donde están los hobbies, Aceptar y para finalizar Aceptar y aparece título

del Gráfico, ponerle el número y el título, tal como se muestra a continuación:

Figura 2.21 Gráfico de sectores en Excel

En SPSS:

Siguiendo el procedimiento para obtener el cuadro 2.4 (Analizar → Estadísticos

descriptivos → Frecuencias) aparece la ventana de la Figura 2.11. Con la

variable hobby ya ingresada, escoger dentro de la opción Tipo de

gráfico: Gráficos de sectores, en Valores del gráfico: marcar Porcentajes, luego

Continuar, para finalizar Aceptar y en la Ventana de resultados aparece el

gráfico de sectores, con doble clic se ha editado (Ver Figura 2.22).

91

3,3%

20,0%

6,7%

45,0%

25,0%

Otros

TV / Cine

Baile

Musica

Deportes

Gráfico 2.1 % DE ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A, SEGÚN HOBBY

Figura 2.22 Gráfico de Sectores en SPSS

En Minitab:

En el menú escoger Graph → Pie Chart… Aparece la ventana de diálogo Pie

Chart, en Categorial variables: ingresar hoby de la lista de variables a la izquierda,

en Labels… poner número y título del gráfico, OK, y aparece el gráfico de

sectores que se muestra en la Figura 2.23.

Baile

Deportes

Música

Otros

TV/Cine

Category

20.0%

3.3%

45.0%

25.0%

6.7%

Gráfico 2.1 % DE ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A, SEGÚN HOBBY

Figura 2.23 Gráfico de Sectores en Minitab

92

En R:

Estando attachada la base de datos obtenemos lo mismo, así:

> attach(caso2)

> pie(table(hoby))

Aparece el gráfico siguiente:

Figura 2.24 Gráfico de Sectores en R

Como se puede apreciar, con sus propios matices, cada uno de los gráficos de

sectores es parecido, por lo que para los otros tipos de gráficos se explicará como

obtenerlos y presentaremos alguno de ellos.

b) Gráfico de barras.- es una representación rectangular en el plano cartesiano,

indicando en el eje de las abscisas (X) la variable con sus categorías y en el eje de

las ordenadas (Y) el número y/o el porcentaje de unidades de análisis que se

presenta.

Veamos la presentación de la variable hobby en gráfico de barras, tomando como

referencia los resultados del Cuadro 2.4.

93

En Excel:

Seguir la secuencia siguiente: Insertar → Gráficos → Columna → Columna en

2D, Columna agrupada, escoger (Estilo 2) → Seleccionar datos → en Rango de

datos del gráfico: indicar las celdas donde se encuentran los datos → en Etiquetas

del eje horizontal (categoría) escoger Editar, en Rango de rótulos de eje: indicar las

celdas donde están los hobbies, Aceptar y para finalizar Aceptar y aparece el

gráfico sin título; no olvidar ponerle el número y el título.

En Minitab:

En el menú escoger Graph → Bar Chart… → escoger Simple. Aparece la

ventana de diálogo Bar Chart – Counts of unique values, Simple. En Categorial

variables: ingresar hoby de la lista de variables a la izquierda, en Labels… poner

número y título del gráfico, OK, y aparece el gráfico de sectores que se muestra en

la Figura 2.25. Este gráfico ha sido editado poniendo la variable con mayúsculas,

colores, etc.

En SPSS:

Siguiendo el procedimiento para obtener el cuadro 2.4 (Analizar → Estadísticos

descriptivos → Frecuencias) aparece la ventana de la Figura 2.7. Con la variable

hobby ya ingresada, escoger dentro de la opción Tipo de gráfico:

Gráficos de barras, en Valores del gráfico: marcar Porcentajes, luego

Continuar, para finalizar Aceptar y en la Ventana de resultados aparece el gráfico

de sectores, que se puede editar con doble clic.

En R:

Estando attachada la base de datos, se usa la función barplot así:

> attach(caso2)

> barplot(table(hoby), col=c(3,4,5,6,7), main="GRÁFICO 2.2 ALUMNOS E.B.-

09-A, SEGÚN HOBBY", xlab="HOBBY", ylab="Alumnos")

A continuación se muestra el gráfico de barra obtenido en Minitab, donde la

presentación parece ser “más representativa”.

94

TV/CineOtrosMúsicaDeportesBaile

30

25

20

15

10

5

0

HOBBY

Alu

mn

os

12

2

27

15

4

Gráfico 2.2 ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A, SEGÚN HOBBY

Figura 2.25 Gráfico de Barras de la variable Hobby en Minitab

c) Gráfico de Pareto.- es un gráfico muy utilizado cuando se quiere mostrar las

categorías más representativas de una variable cualitativa en forma de frecuencia

descendente, a fin de tomar algunas decisiones, como sucede en los controles de

calidad en los que por ejemplo se busca controlar los defectos más importantes (en

un 90 o 95%). Su elaboración se puede obtener con herramientas para el análisis

en Excel y de control de calidad que poseen el Minitab y el SPSS.

En Excel:

Procede sólo si los valores de la variable son numéricos, por lo que utilizaremos

las etiquetas numéricas para hobby (1, 2, 3, 4 y 5). Consideremos que los datos

para los 60 alumnos están en la columna A, entre A2 y A61; y las clases de hobby

(1, 2, 3, 4 y 5) en la columna D, entre D3 y D7, ver Figura 2.26.

Para obtener el gráfico de Pareto, se necesita herramientas para el Análisis

(versiones anteriores de Excel en el menú tenían la opción Herramientas), proceder

así: en la barra de menú Datos → Análisis de datos (ubicado en el extremo

superior derecho) y aparece la ventana de diálogo Análisis de datos de la Figura

2.27.

95

Figura 2.26 Datos de la variable hobby y clase en Excel

Figura 2.27 Herramientas del Análisis de datos en Excel

En la Figura 2.27, de Funciones para análisis escoger Histograma, luego Aceptar

y aparece la ventana de diálogo Histograma de la Figura 2.28.

Figura 2.28 Obteniendo gráfico de Pareto en Excel

96

En la parte de Entrada, de la Figura 2.28, en Rango de entrada: sombrear el área

de los datos de hobby de la Figura 2.26 (desde A3 hasta A62); en Rango de

clases: sombrear el área de CLASE de la Figura 2.26 (desde D3 hasta D7) y se

marca Rótulos si se utilizaran para los dos rangos anteriores.

En Opciones de salida, de la Figura 2.28, indicar donde queremos que salga el

resultado, si es en la misma hoja, marcar Rango de salida: y en el recuadro indicar

la celda a partir de donde queremos que salgan los resultados (H2 aquí); si es En

una hoja nueva: marcar y en el recuadro ponerle nombre; y por último si queremos

En un libro nuevo, marcarlo. Luego marcar Pareto (Histograma ordenado),

marcar Porcentaje acumulado y Crear gráfico. Para finalizar hacer clic en

Aceptar y aparecen los resultados de la Figura 2.29.

Figura 2.29 Gráfico de Pareto de la variable hobby en Excel

97

En Minitab:

En el menú escoger Stat → Quality Tools → Pareto Charts…. Aparece la

ventana de diálogo Pareto Chart . En Chart defects data in: ingresar hoby de la

lista de variables a la izquierda y para finalizar OK y muestra el gráfico.

En SPSS:

En el menú escoger Analizar → Control de calidad → Gráficos de Pareto →

escoger Simple, luego Definir. Aparece la ventana de diálogo Gráfico de Pareto

simple: Recuentos o sumas para grupos de casos.

En eje de categorías: ingresar la variable hobby que aparece en la lista de variables

a la izquierda, en Títulos… indicar el número y título del gráfico, luego

Continuar y finalmente Aceptar, aparece el gráfico de Pareto.

En la Figura 2.30, se muestra el gráfico de Pareto obtenido en Minitab y editado

en sus ejes y colores para las barras de las categorías de hobby.

Count 27 15 12 4 2

Percent 45.0 25.0 20.0 6.7 3.3

Cum % 45.0 70.0 90.0 96.7 100.0

Hobby OtherBaileTV/CineDeportesMúsica

60

50

40

30

20

10

0

100

80

60

40

20

0

Alu

mn

os

Po

rce

nta

je

Gráfico 2.3 Gráfico de Pareto de los alumnos de Estadística Básica 09-A, según Hobby

Figura 2.30 Gráfico de Pareto de la variable Hobby en Minitab

98

2.6 GRÁFICOS DE FRECUENCIAS

Entre los principales gráficos de variables cuantitativas tenemos los gráficos de barras,

histograma de frecuencias, polígono de frecuencia y la ojiva.

a) Gráfico de barras para Datos Cuantitativos Discretos.- se usa si la variable

discreta toma valores en un rango pequeño como el número de hijos. Es una

representación rectangular en el plano cartesiano, indicando en el eje de las

abscisas (X) la variable con sus pocos valores y en el eje de las ordenadas (Y) el

número y/o el porcentaje de unidades de análisis que se presenta. La gráfica de

barras se obtiene de manera similar al de la variable cualitativa. Veamos

como queda la presentación de la variable número de miembros en la familia en

gráfico de barras, tomando como referencia los resultados del Cuadro 2.5.

2 3.3 3.3

5 8.3 11.7

11 18.3 30.0

27 45.0 75.0

8 13.3 88.3

5 8.3 96.7

1 1.7 98.3

1 1.7 100.0

60 100.0

MIEMBROS EN

LA FAMILIA

2

3

4

5

6

7

8

9

Total

Alumnos

% de

Alumnos

Porcentaje

acumulado

Figura 2.31 Gráfico de barras de los Miembros de la familia en Excel

99

MIEMBROS EN LA FAMILIA

98765432

Alu

mn

os

30

20

10

01,7%1,7%

8,3%

13,3%

45,0%

18,3%

8,3%

3,3%

Gráfico 2.4 % DE ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A, SEGÚN MIEMBROS EN LA FAMILIA

Figura 2.32 Gráfico de barras de los Miembros de la familia en SPSS

En términos estrictos, la variable número de miembros toma valores enteros y por

lo tanto su gráfico no debería ser una barra sino más bien una línea (“gráfico de

líneas”), el mismo que se puede obtener con el Minitab de la siguiente manera:

En el menú escoger Graph → Bar Chart… → escoger Simple. Aparece la

ventana de diálogo Bar Chart – Counts of unique values, Simple. En Categorial

variables: seleccionar mie.fam de la lista de variables a la izquierda.

A continuación escoja Chart Options… y marcar Show Y as Percent, OK. En

Labels… poner número y título del gráfico; luego seleccionar Data Labels y

marcar la opción Use y-value labels, OK. En Data View… deshabilitar Bars y

marcar Project lines, OK. Para finalizar hacer clic en OK y aparece el gráfico de

de la Figura 2.33 ya editado en el tipo de letra, tamaño de letra, disminución del

número de decimales, color de las líneas, etc.

100

98765432

50

40

30

20

10

0

Miembros en la familia

Pe

rce

nt

1.71.7

8.3

13.3

45.0

18.3

8.3

3.3

Percent within all data.

Gráfico 2.4 % de Alumnos de Estadística Básica 09-A, según el Número de miembros en su familia

Figura 2.33 Gráfico de barras de los Miembros de la familia en Minitab

b) Histograma de Frecuencias para Datos Cuantitativos en intervalos.- se usa si

la variable cuantitativa discreta o continua se presenta en intervalos. El Histograma

de Frecuencias es un conjunto de rectángulos (barras) en el plano cartesiano,

indicando en el eje de las abscisas (X) la variable con sus intervalos y en el eje de

las ordenadas (Y) las frecuencias absolutas, relativas o la densidad. La base de los

rectángulos es la amplitud del intervalo (pueden ser de igual o diferente amplitud)

y la altura la frecuencia (absoluta o relativa) o la densidad que alcanza en cada

intervalo.

Para intervalos de igual amplitud, veamos la presentación de la variable peso de

los alumnos de Estadística Básica mediante histograma de frecuencias, tomando

como referencia los resultados del Cuadro 2.7 siguientes:

Clase LIi LSi Xi ni hi

1 44.0 52.8 48.4 19 0.317

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067

60 1.000

101

En Excel:

El proceso es similar a la construcción del gráfico de Pareto antes visto, es decir,

que se requiere de herramientas para el análisis de datos.

Escoger en la barra de menú Datos → Análisis de datos (ubicado en el extremo

superior derecho) y aparece la ventana de diálogo Análisis de datos. De Funciones

para análisis escoger Histograma, luego Aceptar y aparece la ventana de diálogo

Histograma de la Figura 2.34.

Figura 2.34 Obteniendo el Histograma de peso en Excel

En la parte de Entrada, de la Figura 2.34, en Rango de entrada: sombrear el área

de los datos de peso de la Figura 2.12 (desde A3 hasta A62); en Rango de clases:

sombrear el área de LSi de la Figura 2.12 (desde E12 hasta E16) y se marca

Rótulos si se utilizaran para los dos rangos anteriores.

En Opciones de salida, de la Figura 2.34, indicar donde queremos que salga el

resultado, si es en la misma hoja, marcar Rango de salida: y en el recuadro indicar

la celda a partir de donde queremos que salgan los resultados (N2 aquí); si es En

una hoja nueva: marcar y en el recuadro ponerle nombre; y por último si queremos

En un libro nuevo, marcarlo. Luego marcar Crear gráfico. Para finalizar hacer

clic en Aceptar y aparecen los resultados del histograma.

102

En Excel se obtiene los resultados para los límites superiores de clase indicados y

los rectángulos del histograma separados, por lo que se tiene que editar haciendo

clic sobre los rectángulos y con botón derecho seleccionar Formato de serie de

datos y en la ventana de diálogo del mismo nombre escoger Opciones de series y

en Ancho del intervalo poner 0%. Al hacer clic en el botón Cerrar, los

rectángulos del histograma aparecen juntos. Se pone número y título del gráfico,

así como colores, etc. y se tiene los resultados del la Figura 2.35.

Figura 2.35 Histograma de frecuencia del peso en Excel

En Minitab:

Estando en la base de datos Estadística Básica 09-A.MPJ, seguir la secuencia

Graph → Histogram… → Simple → OK y aparece la ventana de diálogo

Histogram – Simple de la Figura2.36. En Graph variables: ingrese la variable peso

seleccionándola de las variables del lado izquierdo.

103

Figura 2.36 Obteniendo el Histograma de peso en Minitab

Haciendo clic en el botón Scale… luego en Y-Scale Type aparece marcado

automáticamente Frecuency, también se puede escoger Percent o Density

(densidad para intervalos de diferente amplitud) dejemos Frecuency, OK.

Hacer clic en el botón Labels… en Title: poner el número y título del gráfico, en

Data Labels escoger Use y-value labels, OK. Para finalizar OK y aparece un

histograma que debe ser editado para obtener los intervalos de clase deseados. Para

ello hacer doble clic sobre el histograma y aparece la ventana de diálogo Edit

Bars de la Figura 2.37donde ya se ha escogido Binning.

En la ventana de Binning, en Interval Type aparece automáticamente marcado

Midpoint, escoger Cutpoint.

Luego en Interval Definition escoger Midpoint/Cutpoint positions: en el

recuadro en blanco escribir el valor mínimo (44), dos puntos, el valor máximo

(88), diagonal, y el valor de la amplitud de clase C (8.8). Es decir, 44:88/8.8.

También se puede escribir los 6 puntos de corte (cutpoint) de los 5 intervalos

separados por un espacio en blanco: 44 52.8 61.6 70.4 79.2 88 y para finalizar

OK, e inmediatamente aparece el histograma de frecuencia de la Figura 2.38.

104

Figura 2.37 Edición (en Binning) del Histograma de peso en Minitab

88.079.270.461.652.844.0

20

15

10

5

0

Peso (Kg.)

Fre

qu

en

cy

4

5

17

15

19

GRÁFICO 2.6 HISTOGRAMA DEL PESO DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A

Figura 2.38 Histograma de frecuencias del peso en Minitab

105

En SPSS:

Seguir el procedimiento para obtener el cuadro 2.4 (Analizar → Estadísticos

descriptivos → Frecuencias) aparece la ventana de la Figura 2.11. Con la

variable peso ya ingresada, escoger dentro de la opción Tipo de

gráfico: Histogramas, luego Continuar, para finalizar Aceptar y en la Ventana

de resultados aparece el histograma, que se puede editar haciendo doble clic sobre

el histograma dos veces y aparece la ventana de Propiedades. En intervalos,

dentro de Eje X marcar Personalizado, escoger Número de intervalos (e

indicarlos) o Ancho de intervalo (e indicarlo 8.8), Aplicar y luego Cerrar. Poner

número y título del gráfico, colores, etc. Y se tiene el histograma de la Figura 2.39.

PESO (Kg)

100908070605040

Alu

mn

os

20

15

10

5

0

4

5

17

15

19

Gráfico 2.6 HISTOGRAMA DEL PESO DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A

Media =59,87Desviación típica =10,53

N =60

Figura 2.39 Histograma de frecuencias del peso en SPSS

En R:

Estando attachada la base de datos, para que reconozca la variable peso, se escribe

la sintaxis sencilla siguiente:

106

hist(variable, breaks=seq(mínimo, máximo, by=amplitud, col=”color”,

labels=TRUE, main=”título del gráfico”, xlab=”título eje X”, ylab=”título eje Y”)

Donde: variable (datos para obtener el histograma), mínimo = valor mínimo de los

datos, máximo = valor máximo, amplitud = ancho de los intervalos, color =

colores (blanco = 0, 8, “White”; negro= 1, 9, “black”; rojo = 2, 10, “red”; verde =

3, 11, “green”; azul = 4, 12, “blue”; magenta = 5, 13; violeta =6, 14, “violet”;

amarillo = 7, 15, “yellow”; anaranjado = orange; purpura = purple; rosado =pink;

fucsia=”magenta”; gris=”gray”; etc.)

Para la variable peso en la base de datos caso2, el histograma se obtiene así:

> attach(caso2)

> hist(peso, breaks=seq(44,88,by=8.8), col="13", labels=TRUE, main="Gráfico

2.6 Histograma del Peso de los Alumnos", xlab="Peso(Kg.)", ylab="Alumnos")

Figura 2.40 Histograma de frecuencias del peso en R

107

Histograma de densidad.- se presenta, por lo general, para tablas con intervalos

de clase de diferente amplitud, situación que ocurre para algunas variables

económicas. En las columnas de frecuencias se agrega una de densidad (di) que se

obtiene dividiendo las frecuencias relativas entre la amplitud de clase. Es decir,

di = hi / Ci .

Las barras del histograma de densidad tienen por base la amplitud del intervalo y

por altura la densidad alcanzada. El área debajo del histograma de densidad es

igual a1. 1 1 1

1.00k k k

ii i i i

i i ii

hArea d C C h

C

Si para la variable peso trabajada, se juntan los dos últimos intervalos y se hace los

conteos correspondientes, el Cuadro 2.7 se transforma en:

Clase LIi LSi Xi ni hi di

1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 0.0360

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 0.0284

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 0.0322

4 70.4 88.0 79.2 9 0150 0.0085

60 1.000

El último intervalo, tiene el doble de amplitud que los otros tres y por lo tanto

mayor número de repeticiones (5 +4 = 9). Para contrarrestar el efecto del mayor

ancho del intervalo es que se representa la densidad en vez de la frecuencia.

El Minitab es el programa apropiado para obtener el histograma de densidad.

Vamos a efectuar el mismo procedimiento de la construcción del histograma de

frecuencias. Es decir, Graph → Histogram… → Simple → OK y aparece la

ventana de diálogo Histogram – Simple de la Figura2.36. En Graph variables:

ingresar la variable peso seleccionándola de las variables del lado izquierdo.

Haciendo clic en el botón Scale… luego en Y-Scale Type aparece marcado

automáticamente Frecuency, desactivarla y marcar Density, OK.

Hacer clic en el botón Labels… en Title: poner el número y título del gráfico, en

Data Labels escoger Use y-value labels, OK. Para finalizar OK y aparece un

histograma de densidad que debe ser editado para obtener los intervalos de clase

deseados. Para ello hacer doble clic sobre el histograma y aparece la ventana de

diálogo Edit Bars de la Figura 2.41 donde ya se ha escogido Binning.

108

Figura 2.41 Edición del Histograma de densidad de peso en Minitab

En la ventana de Binning, en Interval Type aparece marcado Midpoint, escoger

Cutpoint. Luego en Interval Definition escoger Midpoint/Cutpoint positions: en

el recuadro en blanco escribir los 5 puntos de corte (cutpoint) de los 4 intervalos

separados por un espacio en blanco: 44 52.8 61.6 70.4 88 y para finalizar OK, e

inmediatamente aparece el histograma de densidad de la Figura 2.42.

88.070.461.652.844.0

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

PESO (Kg.)

De

nsi

ty

0.0085

0.0322

0.0284

0.0360

GRÁFICO 2.7 HISTOGRAMA DE DENSIDAD DEL PESO DE LOS ALUMNOS E.B. 09-A

Figura 2.42 Histograma de densidad de peso en Minitab

109

c) Polígono de frecuencias.- es un gráfico de líneas que une los puntos medios

superiores de las barras del histograma, es decir, une los pares ordenados marcas

de clase y frecuencias absolutas o relativas, (Xi, ni) o (Xi, hi) con el fin de tener una

visión global de la distribución de frecuencias cuando son suavizadas.

Para efectuar la representación del polígono de frecuencias y la ojiva de la variable

peso, las trabajaremos en el Minitab, siendo necesario para ello definir en el

workshet (hoja de trabajo) los datos del Cuadro 2.7, en columnas nuevas: límite

superior (Lím.Sup.), Marca de clase, frecuencia relativa (Frec. relat.) y frecuencia

relativa acumulada (Frec. relat. acum.) en las que, para poder cerrar las gráficas, se

han agregado la primera y última clase con los valores que le corresponderían, tal

como se muestra en la Figura 2.43.

Figura 2.43 Datos para el Polígono de frecuencias y Ojiva del peso en Minitab

El procedimiento para construir el Polígono de frecuencias es el siguiente: Graph

→ Scatterplot → With Connect Line → OK, y aparece la ventana de diálogo de

la Figura 2.44.

De la lista de variables del lado izquierdo seleccionar Frec. relat. e ingresarla en Y

variables y Marca de clase en X variables, como se muestra en la Figura 2.44.

Hacer clic en Data View… y en Data display marcar Connect line, OK. Luego

escoger Labels en Tittle: poner el número y título del gráfico, y en Data Labels

marcar Use y-value labels, OK.

Para finalizar hacer clic en OK y aparece el polígono de frecuencias de la Figura

2.45.

110

Figura 2.44 Scatterplot para el Polígono de frecuencias del peso en Minitab

100908070605040

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

Marca de clase

Fre

c.

rela

t.

0.000

0.051

0.085

0.288

0.254

0.322

0.000

Gráfico 2.8 POLÍGONO DE FRECUENCIA DEL PESO DE LOS ALUMNOS E.B. 09-A

Figura 2.45 Polígono de frecuencias del peso en Minitab

111

d) Ojiva.- sirve para representar las frecuencias (absolutas o relativas) acumuladas

“menor o igual que” para una variable determinada. Su representación se hace con

un gráfico de líneas, no decreciente, que une los pares ordenados formados por los

límites superiores de los intervalos de clase y las frecuencias (absolutas o relativas)

acumuladas, (LSi, Ni) o (LSi, Hi).

Para efectuar la representación de la ojiva de la variable peso, la trabajaremos en el

Minitab con los datos de la Figura 2.43.

El procedimiento para construir la Ojiva es el siguiente: Graph → Scatterplot →

With Connect Line → OK, y aparece la ventana de diálogo de la Figura 2.46.

Figura 2.46 Scatterplot para la Ojiva del peso en Minitab

De la lista de variables del lado izquierdo seleccionar Frec. relat. acum. e

ingresarla en Y variables y Lim. Sup. en X variables, tal como se muestra en la

Figura 2.46.

Hacer clic en Data View… y en Data display marcar Connect line, OK. Luego

escoger Labels en Tittle: poner el número y título del gráfico, y en Data Labels

marcar Use y-value labels, OK.

Para finalizar hacer clic en OK y aparece la Ojiva de la Figura 2.47.

112

100908070605040

1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

Lím. Sup. PESO (Kg.)

Fre

c.

rela

t. A

cu

m.

1.0001.000

0.949

0.864

0.576

0.322

0.000

Gráfico 2.9 OJIVA DEL PESO DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A

Figura 2.47 Ojiva del peso en Minitab

2.7 DIAGRAMA DE TALLOS Y HOJAS

Es un gráfico sencillo de realizar y fue propuesto por Tukey (1977) para ver la

distribución de frecuencias preliminar de una variable cuantitativa con pocas

observaciones. Para su elaboración se toma en cuenta el número de dígitos que poseen

los valores de la variable. El tallo viene dado por los dígitos de mayor orden,

acompañado por las hojas que es la parte complementaria del número representado.

Veamos su obtención para la variable peso.

En Minitab.-

Seguir la secuencia: Graph → Stem-and-Leaf… (Tallos y Hojas) y aparece la ventana

de diálogo Stem-and-Leaf. En Graph variables: ingresar la variable peso de las

variables del lado izquierdo. En Increment: escribir 5 (para que salgan los tallos con

incrementos de 5 en 5 a partir del valor mínimo). Al hacer clic en OK, aparecen los

siguientes resultados.

113

Stem-and-Leaf Display: peso

Stem-and-leaf of peso N = 60

Leaf Unit = 1.0

1 4 4

9 4 56678899

24 5 000001122233334

(8) 5 55555779

28 6 0033444

21 6 5566778889

11 7 0022

7 7 557

4 8 000

1 8 8

En la primera columna aparecen las frecuencias absolutas acumuladas, crecientes

desde la primera línea hasta antes del número entre paréntesis (8) que indica que son 8

observaciones y que en esa línea se ubica el valor central (mediana). Después aparecen

valores decrecientes, ya que la acumulación empieza desde la última línea.

En la columna central se presentan los tallos, representando los pesos en decenas (de

kg.) y en la última columna las hojas con un dígito por cada observación (sus unidades

se dan al comienzo del gráfico como Leaf Unit) aquí = 1.0 Kg. En la primera línea

aparece el peso mínimo (44) y en la última línea el peso máximo (88) Kg.

En SPSS.-

Estando en la base de datos de Estadística Básica 09-A, escoger del menú Analizar →

Estadísticos descriptivos → Explorar y aparece la ventana de diálogo Explorar. En

Dependientes: ingresar la variable peso de las variables del lado izquierdo. Hacer clic en

el botón Gráficos y aparece la ventana de diálogo Explorar: Gráficos, en Descriptivos

aparece activado automáticamente Tallo y hojas. Hacer clic en Continuar, regresa a

Explorar y para finalizar clic en Aceptar. En la ventana de Resultados aparece:

PESO (Kg) Stem-and-Leaf Plot

Frequency Stem & Leaf

1.00 4 . 4

8.00 4 . 56678899

15.00 5 . 000001122233334

114

8.00 5 . 55555779

7.00 6 . 0033444

10.00 6 . 5566778889

4.00 7 . 0022

3.00 7 . 557

3.00 8 . 000

1.00 8 . 8

Stem width: 10

Each leaf: 1 case(s)

El ancho del tallo (Stem width) 10 indica que está en decenas de Kg.

En R.-

Estando attachada la base de datos de los alumnos de Estadística Básica 09-A

representada por caso2, se usa la función stem(variable). Se procede así:

> attach(caso2)

> stem(peso)

Aparece el diagrama de tallos y hojas siguiente:

The decimal point is 1 digit(s) to the right of the |

4 | 4

4 | 56778899

5 | 000011122333334

5 | 55555779

6 | 003344

6 | 55566778889

7 | 0022

7 | 557

8 | 000

8 | 8

Sólo muestra los tallos en la primera columna (en decenas de Kg.) y las hojas (en

Kg.).

115

Capítulo 3. MEDIDAS DE POSICIÓN

“La estadística es una ciencia que demuestra que si mi vecino tiene dos

coches y yo ninguno, los dos tenemos uno” George Bernard Shaw

CONTENIDO

3.1 Introducción.

3.2 Media aritmética.

3.3 Mediana.

3.4 Moda.

3.5 Media Geométrica.

3.6 Media armónica.

3.7 Los cuantiles: cuartiles, deciles y percentiles.

3.1 INTRODUCCIÓN

En este capítulo se da inicio a otras modalidades de descripción de los datos a

través de los denominados estadígrafos que son medidas de resumen del

conjunto de datos obtenidos a partir de una muestra o un censo (enumeración

completa de las unidades de análisis de la población).

Si el estadígrafo es obtenido en la muestra se denomina estimador (estadístico) y

es usado en inferencia estadística como estimación (aproximación) al parámetro

desconocido en la población.

Los estadígrafos puedes ser de: posición, dispersión, forma y concentración. Para

una mejor comprensión de estos estadígrafos presentaremos su definición, cálculo

para datos sin agrupar y para datos agrupados (tabla de frecuencias), así como su

interpretación.

En este capítulo veremos las medidas de posición, llamadas también estadígrafos

de tendencia central, porque al obtenerlos reflejan un valor entre el mínimo y

máximo. Entre estos tenemos: la media aritmética, la mediana, la moda, la media

geométrica, la media armónica y los cuantiles.

Las aplicaciones con los programas se ven al final del capítulo.

116

3.2 MEDIA ARITMÉTICA

Llamada también media o promedio simple, es el centro de gravedad o centroide

de la distribución de frecuencias. Es decir, es el punto en donde están en equilibrio

todas las fuerzas.

En física, centroide es el centro de masa de un objeto con densidad uniforme. Para

un objeto unidimensional uniforme de longitud L, el centroide es el punto medio

del segmento de línea. Entonces, para cada barra (rectángulo) del histograma es su

marca de clase y para todo el histograma de frecuencias es la media aritmética

ponderada por las frecuencias absolutas o relativas o las ponderaciones

consideradas.

Fórmulas de cálculo para datos sin agrupar.-

a) Media o promedio poblacional: 1

N

i

i

X

N

b) Media o promedio muestral: 1

n

i

i

X

Xn

Fórmulas de cálculo para datos agrupados.-

a) Media o promedio poblacional: 1

1

k

i i ki

i i

i

X n

X hN

b) Media o promedio muestral: 1 1

1

1

k k

i i i i ki i

i iki

i

i

X n X n

X X hn

n

Donde:

k = número de intervalos de clase.

Xi = Marca de clase

ni = frecuencias absolutas o repeticiones.

hi = frecuencia relativa.

N = tamaño de la población.

n = tamaño de la muestra.

Ejemplo 3.1

Si trabajamos con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60

alumnos de Estadística Básica 09-A, tenemos que la media aritmética es:

117

60

1 1 44 45 46 .... 80 88 3592.159.868

60 60 60

N

i i

i i

X X

N Kg.

Interpretación.- el peso promedio de los alumnos de Estadística Básica 09-A es

59.868 Kg. También podemos apreciar que el numerador representa el total

poblacional, es decir que la suma de los pesos de los 60 alumnos en la

población es de 3592.1 Kg.

Si trabajamos con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso en Kg. de los 60

alumnos de Estadística Básica 09-A, tenemos que la media aritmética es:

5

1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

60 60

k

i i i i

i i

X n X nX n X n X n X n X n

N

=48.4(19) 57.2(15) 66.0(17) 74.8(5) 83.6(4) 3608.0

60.13360 60

Kg.

Interpretación.- el peso promedio de los alumnos de Estadística Básica 09-A es

60.133 Kg. También podemos apreciar que el numerador sigue representando

el total poblacional, es decir que la suma de los pesos de los 60 alumnos en la

población es de 3608.0 Kg., resultado diferente al anterior (normalmente

difieren ya que se está agrupando datos).

Resultado similar se obtiene usando la fórmula con frecuencias relativas (hi),

así:

5

1

19 15 17 5 4(48.4) (57.2) (66.0) (74.8) (83.6) 60.133

60 60 60 60 60i i

i

X h

Figura 3.1 Cálculo de la media para datos agrupados en Excel

118

En la Figura 3.1 se muestra en Excel como se ha efectuado el cálculo de la

media aritmética para datos agrupados.

Primero hay que ingresar las marcas de clase (Xi), las frecuencias absolutas (ni)

y las frecuencias relativas (hi) en las columnas C, D, y E respectivamente. La

forma más sencilla de efectuar el cálculo es la que aparece en la casilla F10

utilizando la función matemática suma de productos que se indica así:

e inmediatamente aparece el peso

promedio igual a 60.133 Kg. En la celda F9 se muestra el cálculo de la suma de

productos de 5

1

i i

i

X n = 3608.0 Kg. y en la G9 la suma de productos de

5

1

i i

i

X h = 60.133 Kg., que es la media solicitada.

Media Ponderada.-

1

1

n

i i

i

n

i

i

X W

X

W

Donde Xi = valor de la i-ésima observación y Wi = ponderación o peso de la i-

ésima observación.

El cálculo del ejemplo 3.1 es una forma de media ponderada, donde los Xi son las

marcas de clase y las ponderaciones vienen dadas por las frecuencias absolutas

(ni) o las frecuencias relativas (hi). Dicho cálculo también lo podemos resolver

usando el programa R así:

Primero se definen los vectores de Xi, ni y/o hi de la siguiente manera:

> Xi=c(48.4, 57.2, 66.0, 74.8, 83.6)

> ni=c(19, 15, 17, 5, 4)

> hi=ni/60

Luego usar la función weighted.mean, así:

> weighted.mean(X,ni)

[1] 60.13333

> weighted.mean(X,hi)

[1] 60.13333

Con resultados similares a los del acápite anterior.

119

Para el caso de un índice de precios Xi es un relativo de precios (Pti / P0i) y para un

índice de cantidad Xi es un relativo de cantidad (Qti / Q0i).

Para el índice de precios de Laspeyres Wi = P0i Q0i , luego este índice es el

siguiente promedio ponderado:

0 0 01 0 1

00 0 0 0

1 1

( )n n

tii i ti i

i i it n n

i i i i

i i

PP Q P Q

PIPL

P Q P Q

Para el índice de precios de Paasche Wi = P0i Qti , luego este índice es el

siguiente promedio ponderado:

0

1 0 1

00 0

1 1

( )n n

tii ti ti ti

i i it n n

i ti i ti

i i

PP Q P Q

PIPP

P Q P Q

Propiedades de la media aritmética.-

a) “La suma de las desviaciones de los valores observados con respecto a su

media aritmética es cero”. 1 1

( ) 0n n

i i

i i

X X X nX nX nX

b) “La suma de las desviaciones al cuadrado, de los valores observados con

respecto a su media aritmética, es mínima”.

2

1

( )n

i

i

X X es mínima.

c) El cálculo de la media aritmética se ve afectado por los valores extremos

(outliers) muy grandes o muy pequeños.

Ejemplo 3.2.- si los ingresos de 5 trabajadores son: 450, 500, 500, 550 y

2000. Entonces el ingreso promedio es de 800 muy distante del ingreso de la

mayoría de los trabajadores. Se recomienda usar la mediana.

d) Si a y b son números reales e , :i iY aX b entonces Y aX b .

Demostración:

1 1 1 1

( )n n n n

i i i

i i i i

Y aX b a X b

Y aX bn n n n

120

Ejemplo 3.3.- si el ingreso promedio de los trabajadores es X = S/. 1 000.

Hallar los ingresos promedio si se producen los siguientes incrementos:

S/. 100 para cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada

trabajador es: Yi = Xi + 100 .

Luego el nuevo ingreso promedio de los trabajadores es:

Y = X + 100 = S/. 1 100.

10% para cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada trabajador

es Yi = 1.10 Xi .


Y = 1.10 X = 1.10 (1 000) = S/. 1 100.

5% más S/. 50 a cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada

trabajador es Yi = 1.05 Xi + 50 .


Y = 1.05 X + 50 = 1.05 (1 000) + 50 = S/. 1 100.

3.3 MEDIANA (Me)

Es el valor central que divide en dos partes iguales la distribución de frecuencias

(conjunto de observaciones).

Me

50% observaciones 50% observaciones

121

Cálculo para datos sin agrupar.-

a) Ordenar los datos en forma ascendente: X(1) , X(2) , …. , X(n)

b) Calcular la mediana:

Si el número de observaciones n es par: 1

2 2

1

2n n

Me X X

Si el número de observaciones n es impar: 1

2

nMe X

Ejemplo 3.4

Si se calcula la mediana con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de

los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, se tiene que:

a) Los 60 datos ordenados en forma ascendente son:

44 45 46 46.5 47 48 48 49 49 50

50 50 50 50.5 51 51 52 52 52.6 53

53 53 53 54 55 55 55 55 55 57

57 59 60 60 63 63 64 64 64.5 65

65 66 66 67 67 68 68 68 69 70

70 72 72 75 75 77 80 80 80 88

b) Dado que n = 60 es par, se necesitan las observaciones ordenadas 30 y 31

para calcular la mediana, así:

30 31

1 157 57 57

2 2Me X X Kg.

Interpretación.- el 50 % de los alumnos de Estadística Básica 09A tienen un

peso menor o igual a 57 Kg y el otro 50% por encima de 57 Kg.

Cálculo para datos agrupados.-

a) Ubicar la clase j que contiene el valor Me

Como en las tablas de frecuencias los valores de la variable están ordenados

en forma ascendente, se determina n/2 y ayudándonos de las frecuencias

acumuladas se ve que clase j contiene (o donde esta) la Me.

b) Calcular la Me usando cualquiera de las siguientes expresiones:

122

1 1

1

2 2j j

j j j j

j j

nN H

Me LI C LI Cn h

Donde:

j = clase que contiene o donde esta la Me.

LIj = límite inferior de la clase que contiene la Me.

nj = repeticiones en la clase que contiene la Me.

Nj-1 = repeticiones acumuladas hasta la clase anterior a la que contiene Me.

Cj = amplitud de la clase Me = LSj – LIj .

hj = frecuencia relativa en la clase que contiene la Me.

Hj-1 = frec. relativa acumulada hasta la clase anterior a la que contiene Me.

Ejemplo 3.5

Calcular la mediana con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los 60

alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes:

i LIi LSi Xi ni hi Ni Hi

1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 19 0.317

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 34 0.567

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 51 0.850

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083 56 0.933

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067 60 1.000

60 1.000

Acum.

alumnos

Prop.Ac.


Marca

claseAlum-nos

Prop.

alumnos

Solución.-

a) Ubicar la clase j que contiene el valor Me.

6030

2 2

n. ¿En que intervalo de clase se contó la observación o peso del

alumno 30?

Observando los Ni del Cuadro 2.7, se aprecia que en la clase 1, N1 = 19, se

han contado los pesos de los 19 primeros alumnos (recordemos que los pesos

están ordenados de manera ascendente en el cuadro).

Entonces, en el intervalo de clase 2 se cuentan los pesos de los alumnos 20,

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33 y 34.

Luego, la clase en la que se cuenta la talla del alumno 60

302 2

n es la

clase j = 2. La mediana es un peso entre 52.8 y 61.6 Kg.

123

b) Calcular la Me usando la expresión:

12

j

j j

j

nN

Me LI Cn

Donde:

j = 2, n = 60, LIj = LI2 = 52.8 nj = n2 = 15,

Nj-1 = N1 = 19, C3 = LS3 – LI3 = 61.6 – 52.8 = 8.8

Reemplazando valores en la fórmula se tiene:

1

2 2

2

6019

2 252.8 8.8 59.253 .15

nN

Me LI C Kgn

Interpretación.- el 50 % de los alumnos de Estadística Básica 09A tienen un

peso menor o igual a 59.253 Kg y el otro 50% por encima de 59.253 Kg.

Propiedades de la mediana.-

a) La suma de las desviaciones, en valor absoluto, de los valores observados

con respecto a la mediana es mínima; es decir, que es menor que la suma de

las desviaciones, en valor absoluto, con respecto a cualquier otro valor a de

la distribución.

1 1

n n

i i

i i

X Me X a , para datos sin agrupar.

1 1

k k

i i i i

i i

X Me n X a n , para datos agrupados.

b) Robustez: la mediana no se ve afectada por los valores extremos, sólo por

los valores centrales. Es decir, que la mediana es un valor más representativo

de la tendencia central de un conjunto de datos, que la media aritmética,

cuando estos son asimétricos (los valores extremos reflejan desigualdades).

Ejemplo 3.6.- para los ingresos de 5 trabajadores (450, 500, 500, 550 y

2000) del ejemplo 3.2, el promedio es de 800 muy distante del ingreso de la

mayoría de los trabajadores. Se recomienda usar la mediana, que en este caso

es 500, mucho más representativa que la media aritmética 800.

124

c) Si a y b son números reales e , : ( ) ( )i iY a X b entonces Me Y a Me X b .

Propiedad similar a la de la media aritmética.

3.4 MODA

Es el valor observado más común, el que más se repite o el más frecuente. Para una

distribución de frecuencias o probabilidades, la moda es el valor que hace máxima

dicha distribución.

X


Observar en el conjunto de datos el valor o los valores que más se repiten.

Ejemplo 3.7

Si se calcula la moda con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los

60 alumnos de Estadística Básica 09-A, se tiene que los pesos ordenados son:

44 45 46 46.5 47 48 48 49 49 50

50 50 50 50.5 51 51 52 52 52.6 53

53 53 53 54 55 55 55 55 55 57

57 59 60 60 63 63 64 64 64.5 65

65 66 66 67 67 68 68 68 69 70

70 72 72 75 75 77 80 80 80 88

125

Se aprecia que el peso 55 es el que más se repite, luego: Mo = 55 Kg.

Interpretación.- el mayor número (no la mayoría) de alumnos tiene un peso de 55

Kg.


a) Ubicar la clase j que contiene el valor Mo.

Si los intervalos de clase son de igual amplitud, la clase j que contiene (o

donde esta) la Mo es aquella que tiene la mayor repetición ni o la mayor

frecuencia relativa hi. Puede haber más de una clase modal.

Si los intervalos de clase son de diferente amplitud, la clase j que contiene (o

donde esta) la Mo es aquella que tiene la mayor densidad di = hi / Ci . Puede

haber más de una clase modal.

b) Calcular la moda usando la expresión: 1

1 2

j jMo LI C

Donde:

j = clase(s) que contiene(n) o donde esta(n) la(s) Mo.

LIj = límite inferior de la clase que contiene la Mo.

Cj = amplitud de la clase Mo = LSj – LIj .

1 1 1 1j j j j j jn n h h d d

2 1 1 1j j j j j jn n h h d d

Ejemplo 3.8

Calcular la moda con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los 60 alumnos de

Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes:


1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 19 0.317

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 34 0.567

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 51 0.850

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083 56 0.933

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067 60 1.000

60 1.000

Acum.

alumnos

Prop.Ac.


Marca

claseAlum-nos

Prop.

alumnos

Solución.-

a) Ubicar la clase j que contiene el valor Mo.

126

Considerando que los intervalos son de igual amplitud, ¿en que intervalo de clase

se puede haber dado el mayor número de repeticiones ni o h i?

Observando los ni del Cuadro 2.7, se aprecia que el mayor es n1 = 19. Entonces,

en el intervalo de clase j = 1 se encuentra la moda. La moda es un peso entre 44 y

52.8 Kg.

b) Calcular la moda usando la expresión: 1

1 2

j jMo LI C

Donde:

j = 1,

LIj = LI1 = 44.

C1 = LS1 – LI1 = 52.8 – 44 = 8.8.

1 1 1 0 19 0 19j jn n n n

2 1 1 2 19 15 4j jn n n n


11 1

1 2

1944 8.8 51.270

19 4Mo LI C Kg.

Interpretación.- el mayor número (no la mayoría) de alumnos tiene un peso de

51.27 Kg.

Propiedades de la moda.-

a) Es el único estadígrafo que se puede determinar para variables cualitativas.

b) La moda no se ve afectada por los valores extremos, al igual que la mediana.

c) Si a y b son números reales e , : ( ) ( )i iY a X b entonces Mo Y a Mo X b .

Propiedad similar a la de la media aritmética y la mediana.

d) Para una distribución determinada puede haber más de una moda o en su defecto

de no existir moda, puede haber antimoda (valor menos frecuente).

Relación entre la moda, la media y la mediana.-

Si la distribución de frecuencias es simétrica se cumple que las tres medidas son

aproximadamente iguales. Entonces: X Me Mo

127

Distribución simétrica

0

5

10

15

20

25

30

140 145 150 155 160 165 170 175 180

Valores de la variableN

º d

e U

. d

e A

.

Si X Me Mo entonces la distribución de frecuencias tiene asimetría negativa

o asimetría hacia la izquierda.

Distribución asimétrica negativa

0

5

10

15

20

25

30

140 145 150 155 160 165 170 175 180

Valores de la variable

Nº

de U

.A.

Si Mo Me X entonces la distribución de frecuencias tiene asimetría positiva

o asimetría hacia la derecha.

Distribución asimética positiva

0

5

10

15

20

25

30

140 145 150 155 160 165 170 175 180

Valores de la variable

Nº

de U

.A.

Si la distribución de frecuencias es moderadamente asimétrica y unimodal,

según Karl Pearson se cumple la siguiente relación: 3X Mo X Me

128

Para los pesos de los alumnos de Estadística Básica 09-A de la FCE-UNAC se

pueden resumir los estadígrafos calculados así:

Datos: X Me Mo

Sin agrupar 59.868 57.000 55.000

Agrupados 60.133 59.253 51.270

Se puede apreciar que en ambos casos Mo Me X entonces la distribución de los

pesos tiene asimetría positiva.

Cálculo de la media aritmética, la mediana y la moda con los programas

Veamos como se puede obtener rápidamente los estadígrafos anteriores para la

variable peso, desde la base de datos construida y utilizando los programas.

En Excel:

Estando copiados los datos de la variable peso de los 60 alumnos en la columna D,

desde D3 hasta D62, cuando en el programa se pide el rango de valores (como

Número 1), se sombrean estos o se escribe D3:D62.

Para efectuar cualquier cálculo nos ubicamos en una celda posterior. Para calcular la

media aritmética nos ubicaremos en la celda D63.

A continuación, con la opción de funciones del Excel, escoger dentro de

Seleccionar una categoría →Estadísticas → Promedio y aparece la ventana de

diálogo de la Figura 3.2 solicitando los Argumentos de la función PROMEDIO. En

Número 1 (indicar la ubicación de los datos de la variable peso, que están desde la

celda D3 hasta la D62) sombrear los datos o escribir D3:D62. Luego hacer clic en

y aparece el resultado de la media aritmética 59.8683333 Kg. De manera

similar se hace escogiendo las funciones Mediana y Moda.

Conociendo la sintaxis de la función, se hace mucho más sencillo así:

Ubicarse en la celda D63 y al lado de escribir =PROMEDIO(D3:D62). Al hacer

Enter, aparece el resultado 59.8683333 Kg. (ver la Figura 3.3). De manera similar

para calcular la mediana, Ubicarse en la celda D64 y al lado de escribir

=MEDIANA(D3:D62). Al hacer Enter, aparece el resultado 57 Kg. (ver la Figura

3.3); y para calcular la moda, Ubicarse en la celda D65 y al lado de escribir

=MODA(D3:D62). Al hacer Enter, aparece el resultado 55 Kg. (ver la Figura 3.3).

129

Figura 3.2 Cálculo de la media aritmética (PROMEDIO) en Excel

Figura 3.3Resultados de la media aritmética, mediana y moda en Excel

En Minitab:

Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, escoger del menú Stat →Basic

Statistics → Display Descriptive Statistics… aparece la ventana de diálogo de la

Figura 3.4. En variables: seleccionar la variable peso de las variables que están a la

izquierda. Hacer clic en el botón y aparece la ventana de diálogo de la

Figura 3.5. Escoger los estadígrafos a calcular: Mean (media), Median (mediana),

Mode (moda) y hemos agregado Sum (suma), Minimum (mínimo) y Maximum

(máximo). Hacer clic en OK y regresa a la Figura 3.4.

130

Figura 3.4 Selección de la variable peso para calcular estadígrafos en Minitab

Figura 3.5 Selección de estadígrafos de posición a calcular en Minitab

Para terminar hacer clic en OK y en la ventana de Session aparecen los resultados

solicitados (se ha subrayado la media, la mediana y la moda) siguientes:

Descriptive Statistics: peso

N for

Variable Mean Sum Minimum Median Maximum Mode Mode

peso 59.87 3592.10 44.00 57.00 88.00 55 5

131

En SPSS:

Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, seguir la secuencia para obtener

la tabla de frecuencias: Analizar → Estadísticos descriptivos → Frecuencias.

Inmediatamente se abre la ventana de diálogo Frecuencias.

En Variables: ingresar la variable peso, luego hacer clic en el botón y se

muestra la ventana de diálogo Frecuencias: Estadísticos de la Figura 3.6.

Figura 3.6 Cálculo de estadígrafos de Tendencia central en SPSS

En Tendencia central marcar los estadígrafos: media, mediana, moda y suma, luego

hacer clic en Continuar, regresando a la ventana de diálogo Frecuencias y efectuar

clic en Aceptar para terminar. Inmediatamente en el Visor de Resultados aparece:

Estadísticos

PESO (Kg)

60

0

59.87

57.00

55

3592

Válidos

Perdidos

N

Media

Mediana

Moda

Suma

Estadígrafos de tendencia central calculados con el SPSS

132

En R:

Estando en la base de datos Estadística Básica 09A y habiendo attachado la misma,

para que reconozca las variables y sus valores, se escribe en la consola la sintaxis

para el estadígrafo requerido: mean(variable) para la media, median(variable) para la

mediana, min(variable) para el valor mínimo y max(variable) para el valor máximo.

Aplicando a la variable peso se obtiene:

> mean(peso)

[1] 59.86833

> median(peso)

[1] 57

> min(peso)

[1] 44

> max(peso)

[1] 88

El R no permite el cálculo de la moda, aparece lo siguiente.

> mode(peso)

[1] "numeric"

133

3.5 MEDIA GEOMÉTRICA

Es la raíz n-ésima del producto de los valores observados.

Se utiliza para calcular promedios de datos con cierta tendencia geométrica, tasas

medias de crecimiento, etc.


1

1 2 1 2n n

n nG X X X X X X

Considerando que el producto de los valores observados puede ser muy elevado, se

sigue el siguiente procedimiento para hallar G:

a) Determinar el logaritmo decimal de G:

1 2

1

1 1log log log log log

n

n i

i

G X X X Xn n

b) Hallar G, tomando el antilogaritmo de log G:

log10 GG

Ejemplo 3.9

Si se calcula la media geométrica con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en

Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son:

44 45 46 46.5 47 48 48 49 49 50

50 50 50 50.5 51 51 52 52 52.6 53

53 53 53 54 55 55 55 55 55 57

57 59 60 60 63 63 64 64 64.5 65

65 66 66 67 67 68 68 68 69 70

70 72 72 75 75 77 80 80 80 88

a) Determinamos el logaritmo decimal de G:

60

1 2 60

1

1 1log log log log log

60 60i

i

G X X X X

1

log 44 log 45 log8860

1

1.6434526765 1.6532125138 1.944482672260

134

106.2486352942

1.770810588260

b) Hallamos G tomando el antilogaritmo de log G:

log 1.770810588210 10 58.994GG Kg.

Interpretación.- el peso medio de los alumnos es de 58.994 Kg.


1 2 1 2

1

1 2 1 2k kn nn n n nn n

k kG X X X X X X

Considerando que el producto de las potencias de las marcas de clase elevadas a las

repeticiones observados puede ser muy grande, se sigue el siguiente procedimiento

para hallar G:

a) Determinar el logaritmo decimal de G:

1 1 2 2

1 1

1 1log log log log log log

k k

k k i i i i

i i

G n X n X n X n X h Xn n

b) Hallar G, tomando el antilogaritmo de log G:

log10 GG

Ejemplo 3.10

Calcular la media geométrica con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los

60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes:


1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 19 0.317

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 34 0.567

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 51 0.850

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083 56 0.933

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067 60 1.000

60 1.000

Acum.

alumnos

Prop.Ac.


Marca

claseAlum-nos

Prop.

alumnos

Solución.-

a) Determinamos el logaritmo decimal de G:

5

1 1 2 2 3 3 4 4 5 5

1

1 1log log log log log log log

60 60i i

i

G n X n X n X n X n X n X

1

19 log 48.4 15 log57.2 17 log 66.0 5 log 74.8 4 log83.660

135

32.01206187 26.36094043 30.93224690 9.36950799 7.68882511

60

106.363582311.772726.37

60

b) Hallamos G tomando el antilogaritmo de log G:

log 1.7727263710 10 59.255GG Kg.

Interpretación.- el peso medio de los alumnos es de 59.255 Kg.

Aplicación de la media geométrica.-

Una de las aplicaciones importantes de la media geométrica es la referida a la

determinación de tasas medias de crecimiento de la población (r), para lo cual se

cuenta con información de los censos de población en dos períodos de tiempo no

consecutivos (la ONU recomienda la realización de censos de población cada 10

años debiendo realizarse los mismos el 30 de junio de los años terminados en cero).

Asimismo, se hacen proyecciones de población (similar al crecimiento del capital)

con la expresión:

01n

nP r P

Es a partir de esta expresión que se obtiene la fórmula para hallar la tasa media de

crecimiento intercensal (r) de la población siguiente:

0

1nn

Pr

P

Po = Población en el año 0.

Pn = Población en el año n.

n = Períodos (años, meses, etc.) transcurridos desde el período 0 hasta el período n.

Ejemplo 3.11

Según el INEI (2009) la población total del Perú el año 1993 fue de 22‟639,443

habitantes y el 2007 de 28‟220,764 habitantes. Se pide determinar:

a) La tasa media de crecimiento intercensal anual.-

071414

0 93

28'220,7641 1 1

22 '639,443

nn

P Pr

P P = 1.015864843 -1 = 0.015864843

136

Si se hubiera solicitado la tasa media de crecimiento intercensal mensual, se

tendría que haber obtenido la raíz 168 (meses transcurridos del ‟93 al ‟07).

Interpretación.- entre el año 1993 y el 2007 la población del Perú creció a un

1.59% anual. Es decir, que por cada 100 habitantes nacieron 1.59 niñ@s

(también se puede interpretar en tanto por mil o diez mil, etc.).

b) La población del Perú el año 2010.-

Para proyectar la población se usa la expresión: 01n

nP r P

Donde:

Po = P2007 = Población en el año 0 = 2007 (Tomar el año más cercano).

Pn = P2010 = Población en el año n = 2010.

r = Tasa media de crecimiento intercensal anual = 0.015864843.

n = Años transcurridos desde el año 2007 hasta el año 2010 = 3 años.

Asumiendo que la tasa media de crecimiento intercensal anual es la misma para

los años siguientes y reemplazando valores en la fórmula de proyección de

población se tiene:

3

0 2010 20071 1 0.015864843n

nP r P P P

3

2010 1 0.015864843 28220764 1.048353602(28220764)P =

= 29‟585,340 habitantes.

El año 2010 el Perú tiene 29.6 millones de habitantes.

c) ¿En que año el Perú tendrá 40 millones de habitantes?

Despejando n de la fórmula 01n

nP r P se tiene que:

0

log

log 1

nP

Pn

r

n = año buscado.

Pn = 40 millones (Población que tendrá el Perú el año n).

P0 = P2007 = 28‟220,764 habitantes (Tomar como año 0, el más cercano).

r = Tasa media de crecimiento intercensal anual = 0.015864843.

Reemplazando valores en la expresión anterior se tiene:

137

40000000log

28220764 22.2log 1 0.015864843

n años

Entonces: 2007 + 22.2 años = 2029. El año 2029 el Perú tendrá 40 millones de

habitantes (si la tasa de crecimiento de la población es del 1.59%).

Nota.- También se utiliza la media geométrica para determinar la inflación media

mensual y a su vez hacer proyecciones de la inflación anual a partir del promedio

mensual.

3.6 MEDIA ARMÓNICA

Se define como la inversa de la media aritmética de los inversos de los valores

observados.

Es utilizada para hallar determinadas tasas promedio o rendimientos promedio para

una misma actividad.


1

1n

i i

nH

X

Ejemplo 3.12

Si se calcula la media armónica con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en

Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son:

44 45 46 46.5 47 48 48 49 49 50

50 50 50 50.5 51 51 52 52 52.6 53

53 53 53 54 55 55 55 55 55 57

57 59 60 60 63 63 64 64 64.5 65

65 66 66 67 67 68 68 68 69 70

70 72 72 75 75 77 80 80 80 88


138

60

1 1 2 3 59 60

60 60

1 1 1 1 11

i i

H

X X X X XX

60 60

58.161 .1 1 1 1 1 1.0316135533

44 45 46 80 88

Kg

Interpretación.- el peso promedio de los alumnos es de 58.161 Kg.


1 1

1k k

i i

i ii i

nH

n h

X X

Fórmula para trabajar bien con las repeticiones o frecuencias absolutas ni o para

trabajar con las frecuencias relativas hi. Por tratarse de datos agrupados Xi

representa la marca de clase para los intervalos o el valor indicado para los casos

discretos con poca variabilidad de los valores observados.

Ejemplo 3.13

Calcular la media armónica con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de los 60

alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes:


1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 19 0.317

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 34 0.567

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 51 0.850

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083 56 0.933

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067 60 1.000

60 1.000

Acum.

alumnos

Prop.Ac.


Marca

claseAlum-nos

Prop.

alumnos

Solución.-

Desarrollando la fórmula se tiene:

53 51 2 4

1 1 1 2 3 4 5

60 60k

i i

i ii i

nH

n nn n nn n

X X X X XX X

=

139

= 60 60

58.41919 15 17 5 4 1.0270673130

48.4 57.2 66.0 74.8 83.6

Kg.

Interpretación.- el peso promedio de los alumnos es de 58.419 Kg.

RELACIÓN ENTRE LAS MEDIAS ARITMÉTICA, GEOMÉTRICA Y

ARMÓNICA

Si se calcula estas tres medias para los mismos datos se tiene que:

H G X

Para los pesos de los alumnos se han obtenido los siguientes resultados:

Datos: H G X

Sin agrupar 58.161 58.994 59.868

Agrupados 58.419 59.255 60.133

Vemos que se cumple la relación.

140

3.7 CUANTILES

Son particiones de la distribución de frecuencias en un determinado número de

partes iguales.

Entre los cuantiles más conocidos se tiene: mediana (dos partes iguales), cuartiles

(cuatro partes iguales), quintiles (cinco partes iguales), deciles (diez partes iguales),

veintiles (veinte partes iguales) y percentiles (cien partes iguales).

Desarrollaremos los de mayor uso viendo su forma de cálculo e interpretación. Se

calculan de modo similar a la mediana.

a) CUARTILES (Qk )

Son particiones de la distribución de frecuencias en cuatro partes iguales de

modo que cada una de ellas acumula un cuarto de las observaciones (25% de los

datos).

X

Q1 Q2 Q3

Para dividir la distribución de frecuencias en cuatro partes iguales necesitamos 3

puntos, por ello los cuartiles son tres y se denotan de la siguiente manera:

Cuartil 1 = Q1 acumula la cuarta parte de las observaciones (25%).

Cuartil 2 = Q2 acumula las dos cuartas partes de las observaciones (50%).

Cuartil 3 = Q3 acumula las tres cuartas partes de las observaciones (75%).

25% datos 25% datos 25% datos 25% datos

141

El cuartil dos es igual a la mediana (acumula el 50% de los valores observados).

Es decir, Q2 = Me ya estudiada.


a) Ordenar las observaciones en forma ascendente: X(1) , X(2) , …. , X(n)

b) Obtención de los cuartiles 1 y 3:

Cuartil 1 (Q1)

Ubicar su posición calculando 1

4

n, si es entero

1 1

4

nQ X .

Si no es entero, el resultado es de la forma E.F, donde E es la parte entera

y F la fracción decimal, entonces hacer una interpolación lineal entre las

observaciones ordenadas E y (E + 1) entre las cuales esta la fracción F.

Dicha interpolación lineal es similar para cualquier cuantil que vamos a

estudiar, se efectúa así: 1E E E

Cuantil X F X X

Aquí el cuartil 1 es: 1 1E E EQ X F X X

Cuartil 3 (Q3)

Ubicar su posición calculando 3( 1)

4

n, si es entero

3 3( 1)

4

nQ X .

Si no es entero, el resultado es de la forma E.F, donde E es la parte entera

y F la fracción decimal, entonces hacer una interpolación lineal antes

indicada entre las observaciones ordenadas E y (E + 1) entre las cuales esta

la fracción F.

Entonces el cuartil 3 es: 3 1E E EQ X F X X

Ejemplo 3.14

Calcular los cuartiles 1 y 3 con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg.

de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son:

44 45 46 46.5 47 48 48 49 49 50

50 50 50 50.5 51 51 52 52 52.6 53

53 53 53 54 55 55 55 55 55 57

57 59 60 60 63 63 64 64 64.5 65

65 66 66 67 67 68 68 68 69 70

70 72 72 75 75 77 80 80 80 88

142

Solución:

Cálculo del cuartil 1 (Q1)

Ubicar su posición con 1 60 1

15.254 4

n. Como no es un valor entero, (E =

15 y F = 0.25), el cuartil 1 esta entre los pesos ordenados 15 y 16 (51 y 51 Kg.).

Aplicando la interpolación lineal recomendada, el cuartil 1 es:

1 15 16 150.25Q X X X = 51 + 0.25 [51 - 51] = 51 Kg.

Interpretación.- El 25 % de los alumnos de Estadística Básica 09-A tiene un peso

menor o igual a 51 Kg. y el 75% restante por encima de 51 Kg.


Ubicar su posición con 3( 1) 3(60 1)

45.754 4

n. Como no es un valor

entero, (E = 45 y F = 0.75), el cuartil 3 esta entre los pesos ordenados 45 y 46

(67 y 68 kg.). Aplicando la interpolación lineal recomendada, el cuartil 3 es:

3 45 46 450.75Q X X X = 67 + 0.75 [68 - 67] = 67.75 Kg.


menor o igual a 67.75 Kg. y el 25% restante por encima de 67.75 Kg.

Cálculo de los cuartiles con datos agrupados.-

a) Ubicar la clase j que contiene el cuartil k


en forma ascendente, se determina 4

k n , k = 1, 2 ó 3. Ayudándonos de las

frecuencias acumuladas se ve que clase j contiene (o donde esta) el cuartil k

(Qk).

b) Calcular el cuartil k (Qk) usando cualquiera de las siguientes expresiones:

1 14 4

j j

k j j j j

j j

kn kN H

Q LI C LI Cn h

, k = 1, 2, 3.

Donde:

143

j = clase que contiene o donde esta el cuartil k (Qk).

LIj = límite inferior de la clase que contiene el cuartil k (Qk).

nj = repeticiones en la clase que contiene el cuartil k (Qk).

Nj-1 = repeticiones acumuladas hasta la clase anterior a la que contiene Qk.

Cj = amplitud de la clase Qk = LSj – LIj .

hj = frecuencia relativa en la clase que contiene el cuartil k (Qk).

Hj-1 = frec. relativa acumulada hasta la clase anterior a la que contiene Qk.

Ejemplo 3.15

Calcule e interprete los cuartiles con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso de

los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes:


1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 19 0.317

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 34 0.567

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 51 0.850

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083 56 0.933

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067 60 1.000

60 1.000

Acum.

alumnos

Prop.Ac.


Marca

claseAlum-nos

Prop.

alumnos

Solución.-


k = 1.

a) Ubicar la clase j que contiene el valor del cuartil k = 1 (Q1):

6015

4 4 4

kn n. ¿En que intervalo de clase se contó la observación o

peso del alumno 15?

Observando los Ni del Cuadro 2.7, vemos que en la clase 1, N1 = 19, se han

contado los pesos de los 19 primeros alumnos (recordemos que los pesos

están ordenadas de manera ascendente en el cuadro).

Luego, la clase en la que se contó la talla del alumno 60

154 4 4

kn n es la

clase j = 1. El cuartil 1 es un peso entre 44.0 y 52.8 Kg.

b) Calcular el cuartil 1 (Q1) usando la expresión:

144

1 1

1

1

4 4j j

j j j j

j j

nN H

Q LI C LI Cn h

Donde:

j = 1, n = 60, LIj = LI1 = 44.0, nj = n1 = 19

Nj-1 = N0 = 0, C1 = LS1 – LI1 = 52.8 – 44.0 = 8.8.


0

1 1 1

1

600

4 444.0 8.8 46.94719

nN

Q LI Cn

Kg.

Interpretación.- El 25 % de los alumnos de Estadística Básica 09-A tiene un

peso menor o igual a 46.947 Kg. y el 75% restante por encima de46.947 Kg.

Cálculo del cuartil 2 (Q2) es la mediana ya fue determinado.


k = 3.

a) Ubicar la clase j que contiene el valor del cuartil k = 3 (Q3):

3 3(60)45

4 4 4

kn n. ¿En que intervalo de clase se contó la observación o

peso del alumno 45?

Observando los Ni del Cuadro 2.7, vemos que hasta la clase 2, N2 = 34, se

han contado los pesos de los 34 primeros alumnos.

Entonces, en el intervalo de clase 3 se cuenta el peso del alumno 45.

Luego, la clase en la que se contó el peso del alumno 3 3(60)

454 4 4

kn n

es la clase j = 3. El cuartil 3 es un peso entre 61.6 y 70.4 Kg.

b) Calcular el cuartil 3 (Q3) usando la expresión:

1 1

3

3 3

4 4j j

j j j j

j j

nN H

Q LI C LI Cn h

Donde:

145

j = 3, n = 60, LIj = LI3 = 616, nj = n3 = 17.

Nj-1 = N2 = 34, C3 = LS3 – LI3 = 70.8 – 61.6 = 8.8.


2

3 3 3

3

3 3(60)34

4 461.6 8.8 66.25917

nN

Q LI Cn

Kg.

Interpretación.- El 75 % de los alumnos de Estadística Básica 09-A tiene un

peso menor o igual a 66.259 Kg. y el 25% restante por encima de 66.259 Kg.

b) DECILES (Dk )

Son particiones de la distribución de frecuencias en diez partes iguales de modo

que cada una de ellas acumula un décimo de las observaciones (10% de los

datos).

D1 D2 ..… D9

Para dividir la distribución de frecuencias en diez partes iguales se necesita 9

puntos, por ello los deciles son nueve y se denotan de la siguiente manera:

Decil 1 = D1 acumula la décima parte de las observaciones (10%).

Decil 2 = D2 acumula las dos décimas partes de las observaciones (20%).

Decil 3 = D3 acumula las tres décimas partes de las observaciones (30%).

Decil 4 = D4 acumula las cuatro décimas partes de las observaciones (40%).

Decil 5 = D5 acumula las cinco décimas partes de las observaciones (50%).

Decil 6 = D6 acumula las seis décimas partes de las observaciones (60%).

Decil 7 = D7 acumula las siete décimas partes de las observaciones (70%).

Decil 8 = D8 acumula las ocho décimas partes de las observaciones (80%).

Decil 9 = D9 acumula las nueve décimas partes de las observaciones (90%).

El decil cinco es igual a la mediana (acumula el 50% de los valores observados).

Es decir, D5 = Me.

El cálculo de los deciles y otros cuantiles se pueden efectuar mediante el cálculo

del percentil correspondiente, que pasamos a desarrollar.

10% 10% 10% 10%

146

c) PERCENTILES (Pk )

Son particiones de la distribución de frecuencias en cien partes iguales de modo

que cada una de ellas acumula un centésimo de las observaciones (1% de los

datos).

Para dividir la distribución de frecuencias en cien partes iguales necesitamos 99

puntos, por ello los percentiles son noventa y nueve y se denotan de la siguiente

manera:

Percentil 1 = P1 acumula una centésima parte de las observaciones (1%).

Percentil 2 = P2 acumula dos centésimas partes de las observaciones (2%).

Percentil 3 = P3 acumula tres centésimas partes de las observaciones (3%).

………….

Percentil k = Pk acumula las k centésimas partes de las observaciones (k%).

………….

Percentil 99 = P99 acumula las 99 centésimas partes de las observaciones (99%).

Nota.-

Todas los cuantiles calculados anteriormente son también percentiles (según el

% de observaciones que acumule cada uno de ellos).

Así tenemos que: la mediana (acumula el 50% de los valores observados) es

igual al percentil 50. Es decir, Me = P50.

También: Q1 = P25, Q2 = P50 = Me, Q3 = P75.

D10 = P10, D5 = P50 = Me, D9 = P90.


a) Ordenar las observaciones en forma ascendente: X(1) , X(2) , …. , X(n)

b) Obtención del k-ésimo percentil (Pk), k = 1, 2, 3, …., 99

Ubicar su posición calculando ( 1)

100

k n, si es entero

( 1)

100

k k nP X .

Si no es entero, el resultado es de la forma E.F, donde E es la parte entera y F

la fracción decimal, entonces hacer la interpolación lineal antes indicada entre

las observaciones ordenadas E y (E + 1) entre las cuales esta la fracción F.

Entonces el percentil k es:

1k E E EP X F X X , k = 1, 2, 3, …., 99

147

Ejemplo 3.16

Calcular los percentiles 10 y 80 con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso

en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados

son:

44 45 46 46.5 47 48 48 49 49 50

50 50 50 50.5 51 51 52 52 52.6 53

53 53 53 54 55 55 55 55 55 57

57 59 60 60 63 63 64 64 64.5 65

65 66 66 67 67 68 68 68 69 70

70 72 72 75 75 77 80 80 80 88

Solución:

Cálculo del percentil 10 (P10)


6.1100 100


entero, (E = 6 y F = 0.10), el percentil 10 está entre los pesos ordenados 6 y 7

(48 y 48 Kg.). Aplicando la interpolación lineal recomendada, el percentil 10 es:

10 6 7 60.10P X X X = 48 + 0.10 [48 - 48] = 48 Kg.


menor o igual a 48 Kg. y el 90% restante por encima de 48 Kg.



48.80100 100


entero, (E = 48 y F = 0.80), el percentil 80 esta entre los pesos ordenados 48 y 49

(68 y 69 kg.). Aplicando interpolación lineal, el percentil 80 es:

80 48 49 480.80P X X X = 68 + 0.80 [69 - 68] = 68.80 Kg.



Cálculo de los percentiles para datos agrupados.-

a) Ubicar la clase j que contiene el decil k

148


en forma ascendente, se determina 100

k n , k = 1, 2, 3, …., 98 ó 99.

Ayudándonos de las frecuencias acumuladas se ve que clase j contiene (o

donde esta) el percentil k (Pk).

b) Calcular el percentil k (Pk) usando cualquiera de las siguientes expresiones:

1 1100 100

j j

k j j j j

j j

kn kN H

P LI C LI Cn h

, k = 1, 2, 3, …., 98, 99.

Donde:

j = clase que contiene o donde esta el percentil k (Pk).

LIj = límite inferior de la clase que contiene el percentil k (Pk).

nj = repeticiones en la clase que contiene el percentil k (Pk).

Nj-1 = repeticiones acumuladas hasta la clase anterior a la que contiene Pk.

Cj = amplitud de la clase Pk = LSj – LIj .

hj = frecuencia relativa en la clase que contiene el percentil k (Pk).

Hj-1 = frec. relativa acumulada hasta la clase anterior a la que contiene Pk.

Ejemplo 3.17.-

Calcule e interprete los percentiles 10 y 80 con los datos agrupados del Cuadro

2.7, peso de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, siguientes:


1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 19 0.317

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 34 0.567

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 51 0.850

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083 56 0.933

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067 60 1.000

60 1.000

Acum.

alumnos

Prop.Ac.


Marca

claseAlum-nos

Prop.

alumnos

Solución.-


k = 10.

a) Ubicar la clase j que contiene el valor del percentil k = 10 (P10):

149

10 10(60)6

100 100 100

kn n. ¿En que intervalo de clase se contó la observación

o peso del alumno 6?

Observando los Ni del Cuadro 2.7, vemos que en la clase 1, N1 = 19, se han

contado los pesos de los 19 primeros alumnos. Luego, la clase en la que se

contó el peso del alumno 10 10(60)

6100 100 100

kn n, es la clase j = 1. El

percentil 10 es una talla entre 44.0 y 52.8 Kg.

b) Calcular el percentil 10 (P10) usando la expresión:

1 1

10

10 10

100 100j j

j j j j

j j

nN H

P LI C LI Cn h

Donde:

j = 1, n = 60, LIj = LI1 = 44.0, nj = n1 = 19.

Nj-1 = N0 = 0, C1 = LS1 – LI1 = 52.8 – 44.0 = 8.8.


0

10 1 2

1

10 10(60)0

100 10044.0 8.8 46.77919

nN

P LI Cn

Kg.




k = 80.

a) Ubicar la clase j que contiene el valor del percentil k = 80 (P80):

80 80(60)48

100 100 100

kn n. ¿En que intervalo de clase se contó la

observación o peso del alumno 48?

Observando los Ni del Cuadro 2.7, vemos que hasta la clase 2, N2 = 34, se

han contado los pesos de los 34 primeros alumnos. Entonces, en el intevalo

de la clase 3 se cuenta los pesos de los alumnos desde el 35 hasta el 51.

Luego, la clase en la que se contó el peso del alumno 48, es la clase j = 3. El

percentil 80 es una talla entre 61.6 y 70.4 Kg.

b) Calcular el percentil 10 (P10) usando la expresión:

150

1 1

80

80 80

100 100j j

j j j j

j j

nN H

P LI C LI Cn h

Donde: j = 3, n = 60, LIj = LI1 = 61.6, nj = n3 = 17.

Nj-1 = N2 = 34, C3 = LS3 – LI3 = 70.4 – 61.6 = 8.8.


2

80 3 3

3

80 80(60)34

100 10061.6 8.8 68.44717

nN

P LI Cn

Kg.



CUADRO 3.1 RESUMEN DE LOS CUANTILES CALCULADOS PARA LOS

PESOS (KG.) DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09A , DE LA

FCE-UNAC, POR LA FORMA EN QUE ESTÁN LOS DATOS

CUANTIL DATOS SIN AGRUPAR DATOS AGRUPADOS

Cuartil 1 51.00 46.947

Cuartil 2 (mediana) 57.00 59.253

Cuartil 3 67.75 66.259

Percentil 10 48.00 46.779

Percentil 80 68.80 68.447

Cálculo de cuartiles y percentiles con los programas

Veamos como se pueden obtener los cuartiles y percentiles para la variable peso,

desde la base de datos construida (datos sin agrupar) utilizando los programas.

En Excel:

Con los datos de la variable peso de los 60 alumnos en la columna D, desde D3 hasta

D62, cuando en el programa se pide Matriz se sombrean estos o se escribe D3:D62.

Para calcular los CUARTILES, por ejemplo el CUARTIL 1, primero ubicarse en la

celda D66.

151

Luego, con la opción de funciones del Excel, escoger dentro de Seleccionar una

categoría →Estadísticas → Cuartil, aparece la ventana de diálogo de la Figura 3.7.

Figura 3.7 Cálculo de cuartiles en Excel

Indicar los Argumentos de la función CUARTIL, en Matriz (dar la ubicación de los

pesos, desde la celda D3 hasta la D62) sombrear los datos o escribir D3:D62.

En Cuartil escribir un número (0 = valor mínimo, 1, 2, o 3 para el cuartil deseado y

4 = valor máximo) aquí 1.

Luego hacer clic en y aparece el resultado del Cuartil 1= 51 Kg.

Similarmente se obtiene los cuartiles 2 y 3 en las celdas 67 y 68.

Conociendo la sintaxis de la función, =CUARTIL(matriz, cuartil) se hace así:

Ubicarse en la celda D66 y al lado de escribir =CUARTIL(D3:D62,1).

Al hacer Enter, aparece el resultado 51 Kg. (ver la Figura 3.8).

Para obtener los PERCENTILES también se puede seleccionar la función

PERCENTIL o utilizar la sintaxis =PERCENTIL(matriz, k).

En matriz indicar la ubicación de los datos y k es un número entre 0 y 1 para indicar

el percentil como una proporción.

Para obtener el percentil 10, con matriz (D3:D62) y k = 0.10, se obtiene así: ubicarse

en la celda D69 y escribir =PERCENTIL(D3:D6, 0.10) al hacer Enter, aparece el

resultado 48 Kg. (ver la Figura 3.8). En dicha figura, se muestra también la sintaxis

de cálculo y el resultado del percentil 80, en la celda D70.

152

Figura 3.8 Resultado de cuartiles y percentiles en Excel

En Minitab:


Statistics → Display Descriptive Statistics… aparece la ventana de diálogo Display

Descriptive Statistics (ver Figura 3.4).

En variables: seleccionar la variable peso de las variables que están a la izquierda.

Hacer clic en el botón y aparece la ventana de diálogo Descriptive

Satatistcs – Statistics (Figura 3.5).

Escoger los CUARTILES a calcular: First quartile (primer cuartil), Median (segundo

cuartil o mediana), Third quartile (tercer cuartil) y hemos agregado Minimum

(mínimo) y Maximum (máximo).

Hacer clic en OK y regresa a la ventana Display Descriptive Statistics.


solicitados siguientes:

Descriptive Statistics: peso Variable Minimum Q1 Median Q3 Maximum

peso 44.00 51.00 57.00 67.75 88.00

En SPSS:




153



Figura 3.9 Cálculo de cuartiles y percentiles en SPSS

En Valores percentiles, seleccionar Cuartiles y Percentiles, debiendo escribir el

número de percentil deseado (10 y 80) por separado y luego hacer clic en Añadir.

Luego hacer clic en Continuar, regresando a la ventana de diálogo Frecuencias y

efectuar clic en Aceptar para terminar. Inmediatamente en el Visor de Resultados

aparece:

Estadísticos

PESO (Kg)

60

0

48.00

51.00

57.00

67.75

68.80

Válidos

Perdidos

N

10

25

50

75

80

Percentiles

Resultado de cuartiles y percentiles en SPSS

En los resultados del SPSS se aprecia que los cuartiles aparecen como los percentiles

25 (primer cuartil), 50 (segundo cuartil o mediana) y 75 (cuartil 3).

154

En R:


para que reconozca las variables y sus valores, se escribe en la consola la sintaxis

para PERCENTILES: quantile(variable, p)

Donde variable es un conjunto de datos cuantitativos (peso aquí) y p es una

proporción para identificar a uno o varios percentiles determinados. Es decir, que

quantile es el valor por abajo del cual se encuentra el p% de las observaciones.

El percentil 10 (p =0.10) para la variable peso se obtiene así:

> quantile(peso,0.10)

10%

48

Si se requiere los percentiles 10 (0.10), 25 (0.25 = cuartil 1), 50 (0.50 = cuartil 2 o

mediana), 75(0.75 = cuartil 3) y 80 (0.80), entonces se define p como un vector con

las proporciones indicadas y luego la función cuantile, así:

> p=c(0.10, 0.25, 0.50, 0.75, 0.80)

> quantile(peso,p)

10% 25% 50% 75% 80%

48.00 51.00 57.00 67.25 68.20

CUADRO 3.2 RESUMEN DE LOS PERCENTILES CALCULADOS PARA

LOS PESOS (KG.) DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09A,

DE LA FCE-UNAC, POR PROGRAMA USADO

PERCENTIL MANUAL EXCEL MINITAB SPSS R

10 48.00 48.00 - 48.00 48.00

25 o cuartil 1 51.00 51.00 51.00 51.00 51.00

50 o cuartil 2 57.00 57.00 57.00 57.00 57.00

75 o cuartil 3 67.75 67.25 67.75 67.75 67.25

80 68.80 68.20 - 68.80 68.20

155

Capítulo 4. MEDIDAS DE DISPERSIÓN Y DE FORMA

“Vivimos en la era de la televisión. Una sola toma de una enfermera

bonita ayudando a un viejo a salir de una sala dice más que todas las

estadísticas sanitarias” Margaret Thatcher

CONTENIDO

4.1 Introducción.

4.2 Rango. Rango intercuartílico.

4.3 Desviación media.

4.4 La varianza

4.5 La desviación típica.

4.6 El coeficiente de variación.

4.7 El diagrama de caja (Box- Plot).

4.8 Medidas de forma de la distribución.

4.1 INTRODUCCIÓN

En el capítulo anterior vimos la caracterización de los datos de una variable mediante

un solo punto, es decir, el resumen de los datos a través de un solo valor, el mismo que

no es suficiente para formarse una idea de la distribución de la variable.

En el presente capítulo se continúa haciendo resúmenes de la información cuantitativa

obtenida, describiendo el mayor o menor alejamiento de los valores observados en

formas absolutas y relativas.

Entre las formas absolutas de medición tenemos el rango, el rango intercuartílico, la

desviación media, la varianza y la desviación estándar; en tanto que como medición

relativa usaremos el coeficiente de variación.

También se presenta una forma gráfica de apreciar la dispersión de los datos, a través

del diagrama de caja y bigotes (box-plot) como herramienta importante para el análisis

exploratorio de datos.

156

4.2 RANGO Y RANGO INTERCUARTÍLICO

RANGO

El Rango (R), Recorrido o Amplitud de la variable es la diferencia entre el valor

máximo y mínimo.

Es el indicador usado para construir tablas de frecuencias.

Cálculo para datos sin agrupar:

R = Xmáx – Xmín = X / Xmín ≤ X ≤ Xmáx

Cálculo para datos agrupados:

R = LSk – LI1 = X / LSk ≤ X ≤ LI1

Ejemplo 4.1

Si trabajamos con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60

alumnos de Estadística Básica 09-A, tenemos que el rango es:

R = Xmáx – Xmín = X / Xmáx ≤ X ≤ Xmín

R= 88 – 44 = 44 Kg. o R = X / 44 ≤ X ≤ 88

Interpretación.- la diferencia entre el peso máximo y mínimo de los alumnos de

Estadística Básica 09-A es de 44 Kg. También podemos decir que los pesos de

los 60 alumnos fluctúan entre 44 y 88 Kg.

Si trabajamos con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso en Kg. de los 60

alumnos de Estadística Básica 09-A, tenemos que el rango es:

R = LS5 – LI1 = X / LSk ≤ X ≤ LI1

= 88 – 44 = 44 Kg. o R = X / 44 ≤ X ≤ 88

Interpretación.- la diferencia entre el peso máximo y mínimo de los alumnos de

Estadística Básica 09-A es de 44 Kg. También podemos decir que los pesos de

los 60 alumnos fluctúan entre 44 y 88 Kg.

Tal como se puede apreciar el Rango es una medida muy gruesa de la dispersión

de los datos ya que nos da una idea de la diferencia o fluctuación de los valores

extremos.

157

RANGO INTERCUARTÍLICO

El rango intercuartílico (RIQ o RIC) es la diferencia entre el cuartil 3 y el cuartil 1

y nos indica entre que valores se encuentra el 50% central de las observaciones.

Q1 Q2 Q3

Tanto para datos sin agrupar, como para datos agrupados la fórmula de cálculo es:

RIQ = Q3 – Q1 = P75 – P25

Ejemplo 4.2

En el ejemplo 3.14 de cuartiles, con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso

en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A, se ha determinado que el

cuartil 1 es Q1 = 51 Kg. y el cuartil 3 es Q3 = 67.75 Kg. Reemplazando valores

en la fórmula del RIQ se tiene: RIQ = 67.75 – 51.00 = 16.75 Kg.

Interpretación.- el 50% central de los pesos se encuentra entre 51 y 67.75 Kg.

En el ejemplo 3.15, con los datos agrupados del Cuadro 2.7, peso en Kg. de los

60 alumnos de Estadística Básica 09-A, se ha determinado que el cuartil 1 es

Q1 = 46.95 Kg. y el cuartil 3 es Q3 = 66.26 Kg. Reemplazando valores en la

fórmula del RIQ se tiene: RIQ = 66.26 – 46.95 = 19.31 Kg.

Interpretación.- el 50% central de los pesos se encuentra entre 46.95 y 66.26

Kg.

25% datos 25% datos 25% datos 25% datos

158

4.3 DESVIACIÓN MEDIA

Mide la desviación absoluta promedio de los valores observados bien con respecto a

la media aritmética o con respecto a la mediana.

Utiliza la idea de distancia como la diferencia en valor absoluto de cada valor

observado con respecto a su media aritmética o su mediana.


1

n

i

i

X

X X

DMn

ó 1

n

i

i

X

X Me

DMn

Primero se calcula la media aritmética o mediana, luego la desviación media.

Ejemplo 4.3

Calcular la desviación media respecto a la media aritmética con los datos sin

agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A,

cuyos pesos ordenados son:

44 45 46 46.5 47 48 48 49 49 50

50 50 50 50.5 51 51 52 52 52.6 53

53 53 53 54 55 55 55 55 55 57

57 59 60 60 63 63 64 64 64.5 65

65 66 66 67 67 68 68 68 69 70

70 72 72 75 75 77 80 80 80 88

Solución.-

En el ejemplo 3.1 se ha determinado que el peso promedio de los 60 alumnos de

Estadística Básica 09-A es X = 59.87 Kg. y en el ejemplo 3.4 la mediana Me = 57

Kg. Para calcular la desviación media respecto a la media aritmética, se tiene que:

60

1 1

59.87

60

n

i i

i i

X

X X X

DMn

44 59.87 45 59.87 46 59.87 80 59.87 88 59.87

60

15.87 14.87 13.87 20.13 28.13 540.38

60 609.006 Kg.

159

Interpretación.- el promedio de las desviaciones absolutas de los pesos de los

alumnos respecto a su media aritmética es de 9.006 Kg.

Nota.- el cálculo y la interpretación de la desviación media respecto a la mediana se

efectúa de modo similar al de la media aritmética, sólo que se trabaja con Me = 57

Kg.


1

1

k

i i ki

i iXi

X X n

DM X X hn

ó 1

1

k

i i ki

Me i i

i

X Men

DM X Mehn

Primero se calcula la media aritmética o mediana, luego la desviación media.

Ejemplo 4.4

Calcular la desviación media respecto a la mediana, con los datos agrupados del

Cuadro 2.7, peso de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC,

siguientes:


1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 19 0.317

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 34 0.567

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 51 0.850

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083 56 0.933

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067 60 1.000

60 1.000

Acum.

alumnos

Prop.Ac.


Marca

claseAlum-nos

Prop.

alumnos

Solución.-

En el ejemplo 3.1 se ha encontrado la media aritmética X = 60.13 kg. y en el

ejemplo 3.5 la mediana Me = 59.25 Kg.,

Usando la fórmula de datos agrupados para la desviación media se tiene que:

5

1 1

59.25

60

k

i i i i

i iMe

X Me n X n

DMn

160

1 1 2 2 3 3 4 4 5 559.25 59.25 59.25 59.25 59.25

60

X n X n X n X n X n

48.4 59.25 19 57.2 59.25 15 66.0 59.25 171

60 74.8 59.25 5 83.6 59.25 4

= [206.15 + 30.75 + 114.75 + 77.75 + 97.4] / 60 = 526.8 / 60 = 8.78 Kg.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones absolutas de los pesos de los

alumnos respecto a su media aritmética es de 8.78 Kg.

Nota.- el cálculo y la interpretación de la desviación media respecto a la media

aritmética se efectúa de modo similar al de la mediana, sólo que se trabaja con X =

60.13 kg.

4.4 VARIANZA

Mide el promedio de las desviaciones al cuadrado de los valores observados con

respecto a la media aritmética.

Se denota por: 2 2( )X V X para la población.

2 2( )Xo S V X S para la muestra.


a) Varianza poblacional:

2 2 2

2 1 1

( )N N

i i

i iX

X X N

N N

b) Varianza muestral:

2 2 2

2 1 1

( )

1 1

n n

i i

i iX

X X X n X

Sn n


a) Varianza poblacional:

2 2 2

2 1 1

( )k k

i i i i

i iX

X n X n N

N N

161

b) Varianza muestral:

2 2 2

2 1 1

( )

1 1

k k

i i i i

i iX

X X n X n n X

Sn n

Primero se calcula la media aritmética para datos agrupados y luego la varianza.

Ejemplo 4.5

Calcular la varianza con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60

alumnos de Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son:

44 45 46 46.5 47 48 48 49 49 50

50 50 50 50.5 51 51 52 52 52.6 53

53 53 53 54 55 55 55 55 55 57

57 59 60 60 63 63 64 64 64.5 65

65 66 66 67 67 68 68 68 69 70

70 72 72 75 75 77 80 80 80 88

Solución.-

En el ejemplo 3.1 se ha determinado que la media aritmética µ = 59.87 Kg.

Primera forma de cálculo:

602 2

2 1 1

( ) ( 59.87)

60

N

i i

i i

X X

N

2 2 2 2 2(44 59.87) (45 59.87) (46 59.87) (80 59.87) (88 59.87)

60

251.8569 221.1169 192.3769 405.2169 791.2969

60

6542.47

109.041260

(Kg.)2.

Otra forma de cálculo es:

602 2 2 2

2 1 1

60

60

N

i i

i i

X N X

N …………. (1)

162

602 2 2 2 2 2

1

44 45 46 80 88i

i

X

= 1 936 + 2 025 + 2 116 + ….+ 6 400 + 7 744 = 221 595.5

Reemplazando este resultado en (1) se tiene:

602 2

22 1

60221,595.5 60(59.87) 6,542.47

109.041260 60 60

i

i

X

Kg.2

Nota.- la mayor precisión en este cálculo se obtiene con µ = 59.8683333.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones al cuadrado de los pesos de los

alumnos respecto a su media aritmética es de 109.0412 (Kg.)2.

Ejemplo 4.6

Calcular la varianza de los pesos de los 60 alumnos de Estadística Básica 09-A

FCE-UNAC, con los datos agrupados del Cuadro 2.7, siguientes:


1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 19 0.317

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 34 0.567

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 51 0.850

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083 56 0.933

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067 60 1.000

60 1.000

Acum.

alumnos

Prop.Ac.


Marca

claseAlum-nos

Prop.

alumnos

Solución.-

En el ejemplo 3.1 se ha encontrado que la media aritmética es µ = 60.133 kg.

Primera forma de cálculo:

52 2

2 1 1

( ) ( 60.133)

60

k

i i i i

i i

X n X n

N

2 2 2

1 1 2 2 3 3

2 2

4 4 5 5

( 60.133) ( 60.133) ( 60.133)1

60 ( 60.133) ( 60.133)

X n X n X n

X n X n

163

2 2 2

2 2

(48.4 60.133) 19 (57.2 60.133) 15 (66.0 60.133) 171

60 (74.8 60.133) 5 (83.6 60.133) 4

= (2615.7511 + 129.0667 + 585.1022 + 1075.5555 + 2202.7378) / 60

= (6608.2133) / 60 = 110.1369 (Kg.)2.

Otra forma de cálculo:

52 2 2 2

2 1 1

60

60

k

i i i i

i i

X n N X n

N …………. (2)

52 2 2 2 2 2

1

(48.4) 19 (57.2) 15 (66.0) 17 (74.8) 5 (83.6) 4i i

i

X n

= 223 569.28


52 2

22 1

60223569.28 60(60.1333333) 6608.2133

60 60 60

i i

i

X n

= 110.1369 (Kg.)2.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones al cuadrado de los pesos de los

alumnos respecto a su media aritmética es de 110.1369 (Kg.)2.

Propiedades de la varianza.-

a) La varianza de un conjunto de datos es mayor o igual que cero, 2

XS ≥ 0.

b) Si a y b son números reales e ,i iY aX b entonces:

2 2 2 2( ) ( )aX b XS V aX b a V X a S

Demostración:

2

2 1

( )

( )1

n

i

iY

Y Y

S V Yn

………. (3)

164

Sabemos que si a y b son números reales e , :i iY aX b entonces Y aX b


2 2 2

2 2 2 21 1

[ ( )] ( )

( ) ( )1 1

n n

i i

i iY X

aX b aX b a X X

S V Y a V X a Sn n

Entonces: 2 2 2 2( ) ( )aX b XS V aX b a V X a S

Si b = 0, entonces: 2 2 2 2( ) ( )aX XS V aX a V X a S

Si a = 0, entonces: 2 ( ) 0bS V b

Si a =1, entonces: 2 2( ) ( )X b XS V X b V X S

Ejemplo 4.7.- si la varianza del ingreso de los trabajadores es 2

XS = 250,000

(S/.)2. Hallar la varianza de los ingresos si se producen los siguientes

incrementos:

S/. 100 para cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada

trabajador es: Yi = Xi + 100. Donde: a = 1 y b = 100.

Luego la varianza del nuevo ingreso de los trabajadores es:

2

YS = V(X + 100) = 2

XS = 250,000 (S/.)2.

10% para cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada trabajador

es Yi = 1.10 Xi. Donde: a = 1.10 y b = 0.


2

YS = V(1.10 X) = (1.10)2 2

XS = (1.10)2 250,000 = 302,500 (S/.)

2.

5% más S/. 50 a cada trabajador, entonces el nuevo ingreso de cada

trabajador es Yi = 1.05 Xi + 50. Donde: a = 1.05 y b = 50.


2

YS = V(1.05 X + 50) = (1.05)2 2

XS = (1.05)2 250,000 = 275,625 (S/.)

2.

c) Si se tiene k subgrupos (submuestras o estratos) de tamaños n1, n2, …., nk, tales

que 1

k

i

i

n n ; con medias aritméticas de los subgrupos: 1 2, , , kx x x y varianzas

165

de los subgrupos: 2 2 2

1 2, , , kS S S , entonces la varianza de la muestra de tamaño n

esta dada por:

2 2

2 1 1

( 1) ( )

1 1

K K

i i i i

i i

n S x x n

Sn n

,

donde 1

k

i i

i

n x

xn

es la media aritmética ponderada de los subgrupos.

Observación.- en el muestreo estratificado la variabilidad (varianza) total S2 se

descompone en la suma de la variabilidad dentro de los estratos (intravarianza

2

wS ) más la variabilidad entre los estratos (intervarianza 2

bS ). Es decir:

2 2 2

w bS S S

La intravarianza esta definida por:

2

2 1

( 1)

1

K

i i

iw

n S

Sn

La intervarianza esta definida por:

2

2 1

( )

1

K

i i

ib

x x n

Sn

Nota.- al construir estratos (clases, grupos o rangos) se busca que la

intravarianza ( 2

wS ) sea pequeña y la intervarianza ( 2

bS ) sea grande.

Ejemplo 4.8.- en una muestra de 400 hombres y 600 mujeres, el estudio de

los ingresos de ambos grupos dio los siguientes resultados:

SEXO Número

ni

Ingreso Medio

ix (S/.)

Varianza

2

iS (S/.)2

1.Hombres 400 1,500 360,000

2.Mujeres 600 1,000 250,000

Hallar la media aritmética y la varianza de los ingresos de ambos grupos

juntos; así como la intravarianza e intervarianza.

La media aritmética de los ingresos de ambos grupos es:

166

2

1 1 1 2 2 400(1,500) 600(1,000) 1'200,000

1,000 1,000

i i

i

n xn x n x

xn n

=

= S/. 1,200

La intravarianza de los ingresos es:

22

2 22 1 1 1 2 2

( 1)( 1) ( 1)

1 1

i i

iw

n Sn S n S

Sn n

= 399(360,000) 599(250,000) 218'390,000

999 999

= 218,608.60 (S/.)2.

La intervarianza de los ingresos es:

22

2 22 1 1 1 2 2

( )( ) ( )

1 1

i i

ib

x x nx x n x x n

Sn n

= 2 2(1,500 1,200) (400) (1,000 1,200) (600) 60'000,000

999 999

= 60,060.06 (S/.)2.

La varianza de los ingresos de ambos grupos es:

2 2 2

w bS S S = 218,608.60 + 60,060.06 = 278,668.66 (S/.)2.

4.5 DESVIACIÓN ESTÁNDAR O DESVIACIÓN TÍPICA

Mide el promedio de las desviaciones de los valores observados con respecto a la

media aritmética.

Se denota por: X Xo S S

Tanto para datos sin agrupar como para datos agrupados se define como la raíz

cuadrada de la varianza (bien poblacional o muestral).

2 2o S S

Nota.- en la teoría del muestreo la desviación estándar recibe la denominación de

error estándar.

167

Ejemplo 4.9.- en el ejemplo 4.5, se ha determinado la varianza (para datos sin

agrupar) de los pesos de los alumnos, siendo la misma σ2 = 109.0412 (Kg..)

2.

Luego la desviación estándar será: 109.0412 = 10.442 Kg.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones de los pesos de los alumnos

respecto a su media aritmética es de 10.442 Kg.

Ejemplo 4.10.- en el ejemplo 4.6, se ha determinado la varianza (para datos

agrupados) de los pesos de los alumnos, siendo la misma σ2 = 110.1369 (Kg..)

2.

Luego la desviación estándar será: 110.1369 = 10.495 Kg.

Interpretación.- el promedio de las desviaciones de los pesos de los alumnos

respecto a su media aritmética es de 10.495 Kg.

4.6 COEFICIENTE DE VARIACIÓN

Mide el promedio de las variaciones porcentuales de los valores observados respecto

a la media aritmética.

Tanto para datos sin agrupar como para datos agrupados se define como:

( ) 100 100X

X

CV X para la población.

( ) 100 100XS Scv X

X X para la muestra.

Nota.- en la teoría del muestreo el coeficiente de variación recibe la denominación

de error relativo.

Ejemplo 4.11

En el ejemplo de los pesos de los 60 alumnos de Estadística Básica 09A-FCE-

UNAC, (para datos sin agrupar) se ha determinado que µ = 59.87 y σ = 10.442 Kg.

Luego el coeficiente de variación de los pesos de los alumnos es:

10.442( ) 100 .100

59.87CV X =17.44 %

Interpretación.- el promedio de las variaciones porcentuales de los pesos de los

alumnos de Estadística Básica 09A-FCE-UNAC, respecto a su media aritmética es

del 17.44 %.

168

Ejemplo 4.12

En el ejemplo de los pesos de los 60 alumnos de Estadística Básica 09A-FCE-

UNAC, (para datos agrupados) se ha determinado que µ = 60.133 y σ = 10.495 Kg.

Luego el coeficiente de variación de las tallas de los alumnos es:

10.495( ) 100 .100

60.133CV X = 17.45 %

Interpretación.- el promedio de las variaciones porcentuales de los pesos de los

alumnos de Estadística Básica 09A-FCE-UNAC, respecto a su media aritmética es

del 17.45 %.

Cálculo de los estadígrafos de dispersión con los programas

Veamos como se pueden obtener los estadígrafos de dispersión para la variable peso,


En Excel:

Con los datos de la variable peso de los 60 alumnos de estadística Básica 09-A en la

columna D, desde D3 hasta D62, cuando en el programa se pide Matriz se sombrean

estos o se escribe D3:D62.

Una primera forma de obtener los estadígrafos es con la opción de funciones del

Excel, escoger dentro de Seleccionar una categoría →Estadísticas → escoger

estadígrafo y aparece ventana de diálogo en la que se indica los argumentos

requeridos y se obtiene el resultado.

Otra forma de obtenerlos es con la sintaxis para cada estadígrafo, que es la que

utilizaremos.

Para calcular el rango necesitamos el valor máximo y el valor mínimo. La sintaxis

correspondiente es: MAX(Matriz) y MIN(Matriz) respectivamente.

Para hallar el máximo de la variable peso, en la celda D71 escribir =MAX(D3:D62)

al hacer enter aparece 88 y para hallar el mínimo, en la celda D72 escribir

=MIN(D3:D62) al hacer enter aparece 44. Para hallar el rango, en la celda D73

escribir =D72-D7, al efectuar enter aparece 44(Ver figura 4.1).

Para hallar el rango intercuartílico (RIQ), se debe utilizar los resultados de los

cuatiles 1 y 3 calculados anteriormente en las celdas D66 y D68 respectivamente (ver

169

figura 3.8). En la celda D74 escribir =D68-D66, al efectuar enter aparece 16.25 (Ver

figura 4.1).

Para calcular la desviación media (Excel obtiene con respecto a la media aritmética)

usar la sintaxis: =DESVPROM(Matriz). Para la variable peso, en la celda D75

escribir =DESVPROM(D3:D62) al hacer enter aparece el resultado 9.006.

Para hallar la varianza de la muestra usar la sintaxis =VAR(Matriz) y para la

varianza de la población usar =VARP(Matriz). Para determinar la varianza de la

variable peso, en la casilla D76 escribir =VARP(D3:D62) al hacer enter aparece el

resultado 109.0412 (ver Figura 4.1).

Para calcular la desviación estándar muestral usar la sintaxis =DESVEST(Matriz)

y para la desviación estándar poblacional usar =DESVESTP(Matriz). Para la

variable peso, en la casilla D77 escribir =DESVESTP(D3:D62) al hacer enter

aparece el resultado 10.442 (ver Figura 4.1).

Para calcular el coeficiente de variación se divide la desviación estándar de la celda

D77 entre la media aritmética de la celda D63 así: en la casilla D78 escribir

=D77/D63 al hacer enter y luego clic en %, aparece 17.44%.

Figura 4.1 Medidas de Dispersión obtenidas con Excel

170

En Minitab:



Descriptive Statistics (vista en la Figura 3.4).



Satatistcs – Statistics (ver la Figura 4.2).

Figura 4.2 Selección de estadígrafos de dispersión en Minitab

Escoger los estadígrafos de dispersión a calcular: Range (rango) Interquartile range

(rango intercuartílico), variance (varianza), Standard deviation (desviación estándar)

y Coefficient of variation (coeficiente de variación).

Adicionalmente se ha solicitado mean (media) y N total (total de observaciones) ya

que el Minitab hace cálculos muestrales para la varianza y se necesita reajustar este y

otros cálculos.

Hacer clic en OK y regresa a la ventana Display Descriptive Statistics.


solicitados siguientes:

Descriptive Statistics: peso

Total

Variable Count Mean StDev Variance CoefVar Range IQR

peso 60 59.87 10.53 110.89 17.59 44.00 16.75

171

Se puede apreciar que los resultados obtenidos corresponden a cálculos muestrales,

por lo que hay que hacer reconversiones a valores poblacionales, así la varianza será:

2

22 1

( )( 1) (50 1) 110.89

109.041260

N

i

i

XN S

N N Kg

2.

Con este valor, ya se puede calcular la desviación estándar 109.0412 = 10.442

Kg. y el coeficiente de variación 17.44% (por ello solicitamos también la media

aritmética).

En SPSS:






Figura 4.3 Cálculo de estadígrafos de dispersión en SPSS

En Dispersión, seleccionar Desviación típica, Varianza, Amplitud (o Rango),

Mínimo y Máximo. Adicionalmente se ha solicitado media ya que, al igual que el

Minitab, el SPSS hace cálculos muestrales para la varianza y se necesita reajustar

este y otros cálculos. También se solicita cuartiles para calcular el RIQ.

172

Luego hacer clic en Continuar, regresando a la ventana de diálogo Frecuencias y

para terminar, efectuar clic en Aceptar. Inmediatamente en el Visor de Resultados

aparece:

Estadísticos

PESO (Kg)

60

0

59.87

10.530

110.889

44

44

88

51.00

57.00

67.75

Válidos

Perdidos

N

Media

Desv. típ.

Varianza

Rango

Mínimo

Máximo

25

50

75

Percentiles

Resultado de estadígrafos de dispersión en SPSS

Al igual que en el Minitab se tiene que reajustar la varianza muestral así:

2

22 1

( )( 1) (50 1) 110.889

109.041260

N

i

i

XN S

N N Kg

2.

Con este valor, ya se puede calcular la desviación estándar 109.0412 = 10.442

Kg. y el coeficiente de variación 17.44% (por ello solicitamos también la media

aritmética). Igualmente el RIQ = P75 – P25 = 67.75 – 51.00 = 16.75 Kg.

En R:


para que reconozca las variables y sus valores, donde variable es un conjunto de

datos cuantitativos (peso aquí).

Para calcular el Rango, escribir en la consola:

> range(variable) al hacer enter se obtiene el valor mínimo y el máximo.

> diff( range(variable)) al hacer enter se obtiene el rango (diferencia entre el valor

máximo y el mínimo).

Para la variable peso, se tiene:

> range(peso)

[1] 44 88

173

> diff(range(peso))

[1] 44

Para calcular el Rango intercuartílico (RIQ) usar la sintaxis IQR(variable), para la

variable peso se calcula así:

> IQR(peso)

[1] 16.25

Para obtener la Desviación media respecto a la media aritmética, escribir en la

consola:

> dm=sum(abs(peso-mean(peso)))/60

> dm

[1] 9.006222

Si se quiere calcular la desviación media respecto a la mediana, escribir en la

consola:

> dm=sum(abs(peso-median(peso)))/60

> dm

[1] 8.881667

Tanto la varianza como la desviación estándar calculadas en R son muestrales,

debiéndose efectuar los mismos ajustes realizados en Minitab y en SPSS.

La sintaxis para la varianza es var(variable) y para la desviación estándar

sd(variable). Los cálculos para la variable peso son:

> var(peso)

[1] 110.8893

> sd(peso)

[1] 10.5304

Al igual que en Minitab y SPSS se tiene que reajustar la varianza muestral así:

> N=length(peso)

> N

[1] 60

> var=(N-1)*var(peso)/N

> var

[1] 109.0412

174

> sd=var^0.5

> sd

[1] 10.44228

> cv=sd/mean(peso)*100

> cv

[1] 17.44207

En el Cuadro 4.1 se muestra el resumen de los estadígrafos de dispersión calculados.

CUADRO 4.1RESUMEN DE LAS MEDIDAS DE DISPERSIÓN CALCULADAS

PARA LOS PESOS (KG.) DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09A,

DE LA FCE-UNAC, POR PROGRAMA USADO

ESTADÍGRAFO MANUAL EXCEL MINITAB SPSS R

Rango 44.00 44.00 44.00 44 44

RIQ 16.75 16.25 16.75 16.75 16.25

Desviación media 9.006 9.006 - - 9.006

Varianza 109.0412 109.0412 110.89 (a)

110.89 (a)

110.89 (a)

Desviación

estándar

10.442 10.442 10.530 (a)

10.53 (a)

10.53 (a)

Coeficiente de

variación

17.44% 17.44% 17.59 (a)

17.59 (a)

17.59 (a)

(a) Son resultados muestrales, que deben reajustarse.

4.7 DIAGRAMA DE CAJAS O BOXPLOT

El diagrama de cajas y bigotes o boxplot es un gráfico sencillo de realizar y fue

propuesto por Tukey (1977) para hacer el análisis exploratorio de datos de una variable

cuantitativa usando principalmente los cuartiles .

Para su elaboración, en un rectángulo (caja) se representan los cuartiles: en el extremo

inferior el cuartil 1, al extremo superior el cuartil 3 y entre ambos una línea divisoria para

175

representar el cuartil 2. Es decir, que la caja representa el RIQ, pues concentra el 50%

central de los valores observados.

De los extremos centrales de la caja se extienden los “bigotes” en la parte inferior hasta

el máx[Q1 - 1.5RIQ, mín (X1, X2, …., Xn)] y en la parte superior hasta el min[Q3 +

1.5RIQ, máx (X1, X2, …., Xn)]. Así mismo, por debajo de la parte inferior y por encima

de la parte superior de los bigotes se colocan los valores extremos (outliers) con

asteriscos, tal como se indica en la figura 4.4.

Figura 4.4 Estructura del diagrama de cajas y bigotes (boxplot)

Por lo general el boxplot se presenta rotado en 90º. Veamos la obtención del

diagrama de cajas para la variable peso usando los programas Minitab, SPSS y R.

En Minitab:

Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, escoger del menú Graph

→Boxplot → Simple → OK aparece la ventana de diálogo Boxplot – One Y,

Simple (ver la Figura 4.5).

De la lista de variables del lado izquierdo seleccionar la variable peso e ingresarla en

Graph variables:.

Hacer clic en el botón y en Title: poner el número y título del

gráfico. En este caso es:

GRÁFICO 4.1 BOXPLOT DEL PESO DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA

BÁSICA 09-A, DE LA FCE-UNAC.

176

Para continuar hacer clic en OK y regresa a la ventana de Boxplot – One Y, Simple,

hacer clic en OK e inmediatamente aparece el boxplot (ver la figura 4.6).

Figura 4.5 Ventana de diálogo para definir el boxplot de peso en Minitab

Figura 4.6 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en Minitab

177

Ubicándose dentro de la caja con el puntero del mouse, aparecen automáticamente

los cuartiles (ver la parte inferior de la figura 4.6). La lectura de los datos que allí

aparecen, permite describir que son 60 alumnos (N = 60), cuyos pesos fluctúan

entre 44 y 88 Kg. (Whiskers to = bigotes hasta: 44, 88) y que no hay pesos

extremos (outliers). Así mismo, los cuartiles indican que el 25% de los alumnos con

menos peso se encuentran por debajo de los 51 kg. (Q1) y el 25% de los alumnos

con más peso se encuentra por encima de los 67.75 Kg. (Q3). También que el 50%

de los alumnos pesa 57 Kg. o menos (median = mediana = 57 Kg.) y que el 50%

central de los pesos de los alumnos está entre 51 (Q1) y 67.75 Kg. (Q3).

También se puede obtener boxplot para hacer comparaciones entre una variable

cuantitativa, con alguna variable categórica; como puede ser en este caso ver el

comportamiento del peso de los alumnos por sexo (hombres y mujeres).

Para ello, estando en la ventana de diálogo de la figura 4.5 y con las etiquetas de

sexo como texto, hacer clic en el botón y aparece la ventana de

diálogo Boxplot – Multiple Graphs, hacer clic en By variables (ver la figura 4.7).

Figura 4.7 Efectuando Gráfico Múltiple de Boxplot para peso, por sexo

178

Seleccionar la variable sexo (con las etiquetas en texto) en By variables with

groups in separate panels: si se desea en un solo gráfico, pero en paneles

separados, el boxplot para hombres y mujeres (el que se ha escogido aquí); y si se

desea dos gráficos separados de boxplot uno para hombres y otro para mujeres

selecciona la variable sexo en By variables with groups on separate graphs:.

Para continuar hacer clic en OK y regresa a la ventana de la figura 4.5 de Boxplot –

One Y, Simple, hacer clic en OK e inmediatamente aparece el Gráfico 4.2 boxplot

para cada sexo (ver la figura 4.8).

90

80

70

60

50

40

Hombre

Pes

o (

Kg.)

Mujer

GRÁFICO 4.2 BOXPLOT DEL PESO DE LOS ALUMNOS DE ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A FCE-UNAC,

POR SEXO

Panel variable: sexo

Figura 4.8 Boxplot del peso para hombres y mujeres en Minitab

Se puede hacer las comparaciones pertinentes y enriquecer el análisis de la variable

cuantitativa comparada para algunas variables categóricas consideradas en el

estudio.

Aquí se puede apreciar que las mujeres pesan mucho menos que los hombres; no

obstante dentro de ellas hay dos alumnas cuyos pesos sobresalen del resto

(outliers). Haciendo clic con el puntero del mouse en los asteriscos, nos indica que

se trata de las alumnas 19 con 63 Kg. de peso y la alumna 26 con 66 Kg.

179

En SPSS:

Estando en la base de datos Estadística Básica 09A, seguir la secuencia: Analizar →

Estadísticos descriptivos → Explorar y aparece la ventana de la Figura 4.9.

Figura 4.9 Ventana de diálogo Explorar para definir el boxplot de peso en SPSS

En Dependientes: ingresar la variable peso. En Mostrar esta seleccionado Ambos,

ya que saca Estadísticos (descriptivos) y Gráficos (tiene seleccionado el boxplot) por

lo que sólo queda hacer clic en Aceptar y aparece el Boxplot de la figura 4.10.

PESO (Kg)

90

80

70

60

50

40

Figura 4.10 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en SPSS

180

Si se desea un gráfico de boxplot para hombres y mujeres en un solo gráfico;

entonces, en la ventana de diálogo Explorar de la figura 4.9, en Factores: se ingresa

la variable sexo y para finalizar hacer clic en Aceptar e inmediatamente aparece el

resultado de la Figura 4.11.

SEXO

MujerHombre

PE

SO

(K

g)

90

80

70

60

50

40

26

19

Figura 4.11 Boxplot del peso para hombres y mujeres en SPSS

En R:




Para graficar el Boxplot, escribir en la consola: boxplot (variable).

El diagrama de cajas y bigotes para la variable peso se obtiene así:

> boxplot(peso, col="yellow", main="BOXPLOT PESO", ylab="Peso (Kg.)")

La representación del boxplot se muestra en la Figura 4.12.

181

Figura 4.12 Diagrama de cajas y bigotes de la variable peso en R

Para obtener el boxplot de hombres y mujeres en un solo gráfico escribir:

> plot(sex, peso,xlab="Sexo",ylab="Peso (Kg.)", main="BOXPLOT PESO DE LOS

ALUMNOS")

La representación se muestra en la Figura 4.13

En los tres programas se obtienen las representaciones del diagrama de cajas,

debiendo escogerse aquella que este disponible o tenga una mejor presentación,

quedando en potestad del investigador escoger la misma.

182

Figura 4.13 Boxplot del peso para hombres y mujeres en R

4.8 MEDIDAS DE FORMA DE LA DISTRIBUCIÓN

Cuando se quiere caracterizar mejor la distribución de frecuencias, muchas veces se

recurre a la distribución normal de probabilidades, que es una distribución simétrica

respecto a su media aritmética, concentrando por debajo de este valor a la mitad de las

observaciones y la otra mitad por encima de dicho valor.

Para saber si la concentración de observaciones por debajo de la media es menor o

mayor a la mitad de las mismas se usan las medidas de asimetría. Por otro lado, la poca

o fuerte concentración de observaciones entorno a la media se va estudiar con las

medidas de curtosis o apuntamiento.

183

MEDIDAS DE ASIMETRÍA

Según Pérez (2002) “Las medidas de asimetría tienen como finalidad el elaborar un

indicador que permita establecer el grado de simetría (o asimetría) que presenta una

distribución sin necesidad de llevar a cabo su representación gráfica. Supongamos hemos

representado gráficamente una distribución de frecuencias. Si trazamos una

perpendicular al eje de las abscisas por x y tomamos esta perpendicular como eje de

simetría, diremos que una distribución es simétrica si existe el mismo número de valores

a ambos lados de dicho eje, equidistantes de x dos a dos, y tales que cada par de valores

equidistantes de x tengan la misma frecuencia. En caso contrario, las distribuciones

serán asimétricas”

a) Coeficiente de asimetría de Pearson.-

Para distribuciones unimodales y ligeramente asimétricas, Karl Pearson encontró

que la relación empírica entre la media aritmética, la mediana y la moda es:

3X Mo X Me , la misma que es utilizada en su coeficiente:

3X Mo X MeAp

S S

Donde S es la desviación estándar.

Si Ap = 0, la distribución es simétrica.

Si Ap > 0, la distribución es asimétrica positiva o asimétrica a la derecha.

Si Ap < 0, la distribución es asimétrica negativa o asimétrica a la izquierda.

b) Coeficiente de asimetría de Fisher.-

El coeficiente de asimetría propuesto por R.A. Fisher es:

3

1

3

1 n

i

i

X Xn

Af , para datos sin agrupar.

3

1

3

1 k

i i

i

X X nn

Af , para datos agrupados.

Donde σ es la desviación estándar poblacional.

Si Af = 0, la distribución es simétrica.

Si Af > 0, la distribución es asimétrica positiva o asimétrica a la derecha.

Si Af < 0, la distribución es asimétrica negativa o asimétrica a la izquierda.

184

Ejemplo 4.13

Con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6, peso en Kg. de los 60 alumnos de

Estadística Básica 09-A, cuyos pesos ordenados son:

44 45 46 46.5 47 48 48 49 49 50

50 50 50 50.5 51 51 52 52 52.6 53

53 53 53 54 55 55 55 55 55 57

57 59 60 60 63 63 64 64 64.5 65

65 66 66 67 67 68 68 68 69 70

70 72 72 75 75 77 80 80 80 88

Hallar los coeficientes de asimetría de Pearson y el de Fisher.

Solución.-

En ejemplos anteriores se obtuvo µ = 59.868, Me = 57 y σ = 10.442 Kg.

Luego el coeficiente de asimetría de Pearson es:

3 3 59.868 57

10.442

X MeAp

S = 0.82 > 0, los pesos tienen distribución

asimétrica positiva.

El coeficiente de asimetría de Fisher es:

3

1

3 3

1 1(38558.56)

60

(10.442)

n

i

i

X Xn

Af = 0.56 > 0, entonces los pesos tienen

distribución asimétrica positiva.

Ejemplo 4.14

Hallar los coeficientes de asimetría de Pearson y el de Fisher, de los pesos de los 60

alumnos de Estadística Básica 09-A FCE-UNAC, con los datos agrupados del

Cuadro 2.7, siguientes:


1 44.0 52.8 48.4 19 0.317 19 0.317

2 52.8 61.6 57.2 15 0.250 34 0.567

3 61.6 70.4 66.0 17 0.283 51 0.850

4 70.4 79.2 74.8 5 0.083 56 0.933

5 79.2 88.0 83.6 4 0.067 60 1.000

60 1.000

Acum.

alumnos

Prop.Ac.


Marca

claseAlum-nos

Prop.

alumnos

185

Solución.-

En ejemplos anteriores se obtuvo µ = 60.133, Me = 59.253 y σ = 10.495 Kg.

Luego el coeficiente de asimetría de Pearson es:

3 3 60.133 59.253

10.495

X MeAp

S = 0.25 > 0, los pesos tienen distribución

asimétrica positiva.

El coeficiente de asimetría de Fisher es:

3

1

3 3

1 1(39828.25)

60

(10.495)

n

i i

i

X X nn

Af = 0.57 > 0, entonces los pesos tienen


MEDIDAS DE CURTOSIS O APUNTAMIENTO

Según Chue J.y Otros (2007) “La curtosis cuantifica la cantidad de observaciones

que se agrupan alrededor de las medidas de tendencia central de la distribución de los

datos”.

La fórmula de cálculo de la curtosis es:

4

1

4

1

3

n

i

i

X Xn

K , para datos sin agrupar.

4

1

4

1

3

k

i i

i

X X nn

K , para datos agrupados.

Donde σ es la desviación estándar poblacional.

Si K = 0, la distribución es mesocúrtica (apuntamiento normal).

Si K > 0, la distribución es leptocúrtica (puntiaguda).

Si K < 0, la distribución es platicúrtica (achatada).

Ejemplo 4.15

Con los datos sin agrupar del Cuadro 2.6 (ver ejemplo 4.13), peso en Kg. de los 60

alumnos de Estadística Básica 09-A, hallar el coeficiente de curtosis.

Solución.-

En ejemplos anteriores se obtuvo µ = 59.868 y σ = 10.442 Kg.

186

Luego el coeficiente de curotosis es:

604

1

4 4

1 1762855.8159.86860 603 3

(10.442)

i

i

X

K = -0.53 < 0, entonces la distribución

es platicúrtica o achatada.

Ejemplo 4.16

Hallar el coeficiente de curtosis de los pesos de los 60 alumnos de Estadística

Básica 09-A FCE-UNAC, con los datos agrupados del Cuadro 2.7, dados en el

ejemplo 4.14.

Solución.-

En ejemplos anteriores se obtuvo µ = 60.133 y σ = 10.495 Kg.

Luego el coeficiente de curtosis es:

54

1

4 3

1 1825739.2160.13360 603 3

(10.495)

i i

i

X n

K = -0.41 < 0, por lo tanto, la

distribución es platicúrtica o achatada.

Cálculo de las medidas de forma con los programas

Veamos como se pueden obtener los estadígrafos de forma para la variable peso,


En Excel:

Con los datos de la variable peso de los 60 alumnos de estadística Básica 09-A en la

columna D, desde D3 hasta D62, cuando en el programa se pide Matriz se sombrean

estos o se escribe D3:D62.

Una manera de obtener los estadígrafos de forma es con la opción de funciones

del Excel, escoger dentro de Seleccionar una categoría →Estadísticas → escoger

estadígrafo y aparece ventana de diálogo en la que se indica los argumentos

requeridos y se obtiene el resultado. Otra manera de obtenerlos es con la sintaxis para

el estadígrafo, que es la que utilizaremos. Para la asimetría usar la sintaxis

=COEFICIENTE.ASIMETRIA(Matriz) y para calcular la curtosis usar

=CURTOSIS(Matriz).

187

Para el peso, en la casilla D79 escribir =COEFICIENTE.ASIMETRIA(D3:D62) al

hacer enter aparece el resultado 0.58 (ver Figura 4.14). Entonces los pesos tienen


Así mismo, en la casilla D80 escribir =CURTOSIS(D3:62) al hacer enter aparece el

resultado -0.47 (ver Figura 4.14). Entonces los pesos tienen distribución platicúrtica

o achatada.

Figura 4.14 Cálculo de la asimetría y curtosis en Excel

En Minitab:



Descriptive Statistics (vista en la Figura 3.4).



Satatistcs – Statistics (ver la Figura 4.2). Escoger Skewness (asimetría) y Kurtosis.

Al hacer clic en OK, regresa a la ventana Display Descriptive Statistics, hacer

nuevamente clic en OK y aparecen los resultados siguientes:

Descriptive Statistics: peso Total

Variable Count Skewness Kurtosis

peso 60 0.58 -0.47

Resultados idénticos a los obtenidos en Excel.

188

En SPSS:





muestra la ventana de diálogo Frecuencias: Estadísticos (ver la Figura 4.3).

En Distribución, seleccionar Asimetría y Curtosis. Luego hacer clic en Continuar,

regresando a la ventana de diálogo Frecuencias y para terminar, efectuar clic en

Aceptar. Inmediatamente en el Visor de Resultados aparece:

Estadísticos

PESO (Kg)

60

0

.579

.309

-.469

.608

Válidos

Perdidos

N

Asimetría

Error típ. de asimetría

Curtosis

Error típ. de curtosis

Resultado de estadígrafos de forma en SPSS

Al igual que en el Excel y el Minitab se tiene el mismo resultado.

En R:




J. Arriaza y Otros (2008) recomiendan en el Apéndice B “Medidas de forma, con el

paquete fBasics del R”.

Por ello, primero instalar el paquete fBasics. En el menú del R escoger Paquetes,

luego Instalar paquetes, escoger un país (Australia, por ejemplo) aparece una lista

de Packages (paquetes) buscar fBasics y hacer doble clic para que se instale en la

pc. Luego, desde el menú escoger en Paquetes, cargar paquete y aparece una lista,

dar doble clic en fBasics, para calcular los estadígrafos de forma. Si el fBasics esta

instalado, sólo hay que cargarlo.

189

Para calcular la Asimetría, escribir en la consola:

> skewness(variable) al hacer enter se obtiene el resultado.

Para calcular la Curtosis, escribir en la consola:

> kurtosis(variable) al hacer enter se obtiene el resultado.

Las medidas de forma de la variable peso se obtienen así:

> skewness(peso)

[1] 0.550345

attr(,"method")

[1] "moment"

> kurtosis(peso)

[1] -0.6106151

attr(,"method")

[1] "excess"

Cuyos resultados son parecidos a los obtenidos con los otros programas, es decir, que

la distribución de la variable peso es asimétrica positiva y platicúrtica.

190

Capítulo 5. CORRELACIÓN Y REGRESIÓN SIMPLE

“Las cifras no mienten, pero los mentirosos también usan cifras”

Anónimo

CONTENIDO

5.1 Introducción.

5.2 Diagrama de dispersión.

5.3 Covarianza y coeficiente de correlación.

5.4 Regresión lineal simple.

5.5 Coeficiente de determinación.

5.1 INTRODUCCIÓN

Uno de los propósitos de la estadística es efectuar predicciones al futuro, para lo cual

es necesario explicar el comportamiento de una variable dependiente o explicada

(denotada por Y) mediante una o más variables independientes o explicativas

(denotadas por X‟s) basados en fundamentos teóricos del fenómeno que se estudia.

Así, vemos que en economía se busca explicar la demanda de los bienes y servicios en

función de los precios de los mismos.

Igualmente, basados en la información observada sobre la producción de un bien o

servicio a través del tiempo, tratamos de predecir las cantidades a producir en el futuro.

En el presente capítulo se busca establecer algunas formas sencillas de establecer la

relación entre las variables construyendo los diagramas de dispersión delos datos, así

como la medición de la relación entre las variables usando la covarianza y el

coeficiente de correlación.

También se presenta la determinación de algunos modelos de regresión lineal simple

entre dos variables y los de series de tiempo que permitan hacer pronósticos en

situaciones de incertidumbre.

191

5.2 DIAGRAMA DE DISPERSIÓN

Es la representación en el plano cartesiano de los valores que toma la variable

dependiente Y conjuntamente con los valores que toma la variable independiente X,

acompañados por alguna función (recta, hoja de parábola, etc.) a la que se ajustan

dichos datos.

Es decir, que se representan las parejas ordenadas (Xi, Yi) los mismos que aparecen

como puntos en el plano cartesiano y dan una idea del tipo de relación funcional

matemática para las variables.

Es un gráfico recomendado para establecer el tipo de asociación entre las variables (si

es directa o inversa), así como el tipo de relación funcional entre las mismas.

Ejemplo 5.1

Una compañía productora de muñecas quiere establecer la relación entre las variables

X = precio de las muñecas ($) e Y = cantidad de muñecas vendidas. Los datos son:

X 6.5 8.0 10.0 12.5 14.0 16.0 17.5 20.0

Y 276 250 238 212 190 183 156 125

Efectuar el diagrama de dispersión.

Solución.-

Vamos a utilizar los programas Excel, Minitab, SPSS y R para realizar el diagrama de

dispersión.

En Excel:

En una hoja de Excel ingresar los valores de X e Y en las columna A y B

respectivamente. Sombrear la variable y los datos.

En Insertar, Gráficos, escoger XY (Dispersión) y el recuadro Dispersión sólo con

marcadores, tal como se muestra en la Figura 5.1.

Al hacer clic en Aceptar, aparecen los puntos del diagrama de dispersión. Hacer clic

con el botón derecho sobre los puntos del plano y seleccionar agregar línea de

tendencia y aparece una ventana de diálogo. Escoger el tipo (automáticamente aparece

192

lineal, que es la que interesa en este caso). Al hacer clic en Cerrar se muestra el

diagrama de dispersión y la línea de tendencia de la Figura 5.2

Figura 5.1 Definiendo el diagrama de dispersión en Excel

Figura 5.2 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en Excel

En Minitab:

193

Con los datos de la variable precio (X) y cantidad (Y) en el Worksheet, del menú

escoger Graph, Scatterplot, aparece la ventana de diálogo Scatterplots; escoger With

Regression y hacer clic en OK. Se muestra la ventana de diálogo de la Figura 5.3.

Figura 5.3 Definiendo el diagrama de dispersión en Minitab

En Y variables seleccionar Cantidad y en X variables Precio. Al efectuar clic en OK se

muestra el diagrama de dispersión con la línea de regresión de la Figura 5.4.

20.017.515.012.510.07.55.0

280

260

240

220

200

180

160

140

120

X = Precio

Y =

Ca

nti

da

d

Scatterplot of Y = Cantidad vs X = Precio

Figura 5.4 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en Minitab

En SPSS:

194

Con los datos de la variable precio (X) y cantidad (Y) en el Editor de datos SPSS, del

menú escoger Gráficos, Interactivos, Diagrama de dispersión, aparece la ventana de

diálogo Crear diagrama de dispersión de la Figura 5.5.

Figura 5.5 Creando el diagrama de dispersión en SPSS

De la lista de variables arrastrar primero la variable dependiente (Cntidad) en el primer

recuadro y luego la variable independiente (precio) en el siguiente, tal como se muestra

en la Figura 5.5.

Para finalizar hacer clic en Aceptar y aparece el diagrama de dispresión de la Figura

5.6.

195

8.00 12. 00 16. 00 20. 00

PRECIO

120

160

200

240

280

CA

NT

IDA

D

Figura 5.6 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en SPSS

En R:

Definir los valores de las variables Precio y Cantidad, por los vectores X e Y

respectivamente siguientes:

> X=c(6.5, 8.0, 10.0, 12.5, 14.0, 16.0, 17.5, 20.0)

> Y=c(276, 250, 238, 212, 190, 183, 156, 125)

A continuación utilizar la función plot para definir el diagrama de dispersión, así:

> plot(X, Y, xlab="PRECIO", ylab="CANTIDAD", main="Diagrama de dispersión

de Precios y Cantidad")

Donde:

X es la variable independiente e Y la variable dependiente.

xlab es la etiqueta del eje X e ylab la etiqueta del eje Y.

main es para ponerle título al gráfico. El resultado aparece en la Figura 5.7.

196

Figura 5.7 Diagrama de dispersión de la cantidad y precio en R

5.3 COVARIANZA Y COEFICIENTE DE CORRELACIÓN

Los indicadores del grado de asociación lineal entre dos variables son la covarianza y

el coeficiente de correlación.

COVARIANZA.-

La covarianza entre las variables X e Y, denotada por Cov (X, Y), mide el promedio

de las discrepancias conjuntas del producto de las desviaciones de las variables X e

Y con respecto a sus respectivas medias. Se calcula como:

1

1 1( , )

n

i i

i

Cov X Y X X Y Y SPXYn n

197

Donde SPXY representa la Suma de Productos de las desviaciones de X e Y con

respecto a sus medias, calculada así:

1 1

n n

i i i i

i i

SPXY X X Y Y X Y n X Y

La covarianza tiene el inconveniente de las unidades de medida de las variables, por

ello lo fundamental de la covarianza es el signo, ya que proporciona una idea de la

discrepancia conjunta de las variables en estudio. Así, si el signo es positivo indica una

variación directa entre los valores de la variable, es decir, que si X aumenta, entonces

Y también aumenta o si uno disminuye el otro también disminuye; mientras que si el

signo es negativo, indica una variación inversa, es decir, que si X aumenta, entonces Y

disminuye y viceversa, si X disminuye entonces Y aumenta.

Como solución al inconveniente planteado en el párrafo anterior, surge el coeficiente

de correlación lineal de Pearson que a continuación se explica.

COEFICIENTE DE CORRELACIÓN.-

El coeficiente de correlación lineal entre las variables X e Y, denotada por ρ (X, Y),

mide el grado de asociación lineal entre las variables en estudio. Se calcula así:

( , )( , )

X Y

Cov X YX Y , para la población; y

( , )( , )

1X Y

Cov X Y SPXYr X Y r

n SCX SCYS Sn

, para la muestra.

Donde:

2 2 2

1 1

n n

i i

i i

SCX X X X n X y 2 2 2

1 1

n n

i i

i i

SCY Y Y Y nY

El coeficiente de correlación toma valores entre -1 y 1.

Cuanto más cercano a -1 o a 1 se encuentra es más fuerte la asociación lineal entre las

variables X e Y, y cercano a 0 indica que la asociación entre la variable es muy baja o

que no existe relación entre X e Y.

198

Ejemplo 5.2

Para los datos del ejemplo 5.1, calcular e interpretar la covarianza y el coeficiente de

correlación lineal simple entre X e Y.

Solución.-

Las variables X = precio de las muñecas ($) e Y = cantidad vendida. Los datos son:

X 6.5 8.0 10.0 12.5 14.0 16.0 17.5 20.0

Y 276 250 238 212 190 183 156 125

Cálculos necesarios:

n = 8, 8

1

104.5i

i

X , 13.0625X , 8

1

1630i

i

Y , 203.75Y

82 2 2 2 2

1

(6.5) (8.0) .... (17.5) (20.0) 1,520.75i

i

X

2 2 2

1

1520.75 8(13.0625) 155.7188n

i

i

SCX X n X

82 2 2 2 2

1

(276) (250) .... (156) (125) 349,814i

i

Y

2 2 2

1

349,814 8(203.75) 17,701.5n

i

i

SCY Y nY

8

1

(6.5)(276) (8.0)(250) .... (20.0)(125) 19,642i i

i

X Y

1

19,642 8(13.0625)(203.75) 1,649.875n

i i

i

SPXY X Y n X Y

Luego:

a) 1649.875

( , ) 206.23448

SPXYCov X Y

n

199

b) 1,649.875

0.994155.7188 17,701.5

SPXYr

SCX SCY

Interpretación.- La covarianza negativa y el coeficiente de correlación cercano a -1, nos

indican que existe una alta relación inversa entre los precios de las muñecas y las

cantidades vendidas.

A continuación ilustramos los cálculos de la covarianza realizados en Excel y su

gráfico de dispersión correspondiente.

X = Precio Y = Cantidad

6.5 276 -6.6 72.3 -474.14

8.0 250 -5.1 46.3 -234.14

10.0 238 -3.1 34.3 -104.89

12.5 212 -0.6 8.3 -4.64

14.0 190 0.9 -13.8 -12.89

16.0 183 2.9 -20.8 -60.95

17.5 156 4.4 -47.8 -211.89

20.0 125 6.9 -78.8 -546.33

13.1 203.8 SPXY = -1649.88

Media Media COV(X, Y) = -206.2344

( )iY Y( )iX X ( ) ( )i iX X Y Y

En el eje de las X‟s se ha representado ( )iX X y en el eje de las Y‟s ( )iY Y .

200

5.4 REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

Es el proceso que consiste en poner en relación a una variable dependiente (Y) en

función de otra independiente (X), llamada también variable explicativa o predictora,

mediante la ecuación de una recta, basados en una relación de causalidad para el

fenómeno en estudio.

Así, en el ejemplo 5.1 vemos que las cantidad demandada de muñecas (Y), es una

función del precio de las mismas (X). Es decir, que Y = f(X).

La relación funcional a la que se postula es la ecuación de una recta, por lo tanto, se

postula que: Yi = a + bXi.

Donde a y b son los coeficientes de regresión, siendo b la pendiente de la recta y es

negativa porque recoge el efecto de la relación inversa entre el precio de las muñecas y

la cantidad demandada.

En el diagrama de dispersión obtenido antes, se puede apreciar que no todos los puntos

caen sobre la recta postulada, por lo que es necesario agregarle al modelo una

componente de error, así el modelo queda como:

Yi = a + bXi + ei

Ahora el problema se reduce a encontrar los valores de a y de b que permitan hacer

pronósticos de Y asumiendo determinados valores de X,. Para poder determinar los

valores de a y de b, se postula que los errores promedien cero, es decir buscando que

todos los puntos caigan sobre la recta y que la varianza de estos errores sea mínima,

surgiendo así el método de los mínimos cuadrados ordinarios.

Método de los Mínimos Cuadrados Ordinarios

Es un método de aproximación a los valores verdaderos de a y de b, buscando

minimizar la varianza de los errores, la misma que se traduce en:

Minimizar 22

1 1

n n

i i i

i i

e Y a bX

201

Siendo la suma de los errores al cuadrado función de los parámetros a y b, se tiene que

tomar derivadas parciales con respecto a dichos parámetros e igualar a cero, así:

2

1

1

2 ( 1) 0

n

i ni

i i

i

e

Y a bXa

2

1

1

2 ( ) 0

n

i ni

i i i

i

e

Y a bX Xb

Resultado de igualar a cero y aplicar el operador sumatoria, surgen las denominadas

Ecuaciones normales siguientes:

1 1

n n

i i

i i

na b X Y ……………. (1)

2

1 1 1

n n n

i i i i

i i i

a X b X X Y ……... (2)

Cuyas soluciones algebraicas son:

1 1

22 2

1 1

ˆ

n n

i i i i

i i

n n

i i

i i

X Y nXY X X Y YSPXY

bSCX

X nX X X

; y

ˆa Y b X

Fórmulas de cálculo para los valores de a y de b en regresión simple. Cabe resaltar que

el símbolo ˆ sobre a y sobre b indica que son valores estimados obtenidos con la

información muestral y son una buena aproximación hacia a y b en la estadística

inferencial.

Interpretación de a y b

Al ser b la pendiente de la recta, entonces en ˆ ˆ, 1Y

b si X b YX

; quiere

decir que si X se incrementa en una unidad, entonces Y se incrementa en b unidades.´

202

Por otro lado a representa el intercepto con el eje Y, cuando X se aproxima cero y en

algunos casos no tiene mayor sentido.

5.5 COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN (R2

)

El coeficiente de determinación mide el porcentaje de explicación de la variabilidad de

la variable dependiente Y, que es debido a la regresión (explicada por la variable

independiente X) y el resto que se queda sin explicar se atribuye al error.

En la práctica se aproxima (estima) con el coeficiente de correlación al cuadrado

multiplicado por 100, o sea: 100r2 %.

Ejemplo 5.3

Para los datos del ejemplo 5.1, se pide: a) calcular e interpretar los coeficientes de

regresión y el coeficiente de determinación entre X e Y; y b) determinar la cantidad

demandada de muñecas cuando el precio sea de $ 15.

Solución.-

a) Para las variables X = precio de las muñecas ($) e Y = cantidad vendida, en la

solución del ejemplo 5.2 tenemos los cálculos que necesitamos, así:

1

19,642 8(13.0625)(203.75) 1,649.875n

i i

i

SPXY X Y n X Y

2 2 2

1

1520.75 8(13.0625) 155.7188n

i

i

SCX X n X

2 2 2

1

349,814 8(203.75) 17,701.5n

i

i

SCY Y nY

Luego:

1649.875ˆ155.7188

SPXYb

SCX - 10.5952

ˆˆ 203.75 ( 1.085)(13.0625)a Y b X 342.15

r2 = (0.994)

2 = 0.988 ≡ 98.8%

203

La ecuación de regresión simple queda establecido como:

ˆˆ 342.15 10.595i i iY a b X X

Interpretación.-

b = - 10.595 significa que por cada dólar de incremento en el precio de la muñecas,

la cantidad demandada disminuye en casi 11 muñecas y viceversa, por cada dólar

que disminuye el precio de las muñecas, la demanda se incrementa en cerca de 11

muñecas.

a = 342.15, indica que la demanda tope bordeará las 342 muñecas, con el precio de

las mismas alrededor de cero dólares.

r2 = 0.988 ≡ 98.8%, indica que 98.8% de la variabilidad de la demanda de muñecas

es explicado por el precio de estas. Es decir, que el precio de las muñecas ajusta

muy bien la cantidad demandada de éstas.

b) Para determinar la cantidad de muñecas demandadas a un precio X = $15,

reemplazamos en la ecuación de regresión de la parte a), así:

342.15 10.595 342.15 10.595(15)i iY X 183.2 = 183 muñecas.

Entonces, se espera vender 183 muñecas al precio de $15.

Veamos como obtener los indicadores del modelo de regresión usando los programas

Excel, Minitaab, SPSS y R.

En Excel:

En una hoja de Excel ingresar los valores de X e Y en las columna A y B

respectivamente. Sombrear la variable y los datos.

En Datos, escoger Análisis de datos y en Funciones para análisis, seleccionar

Regresión, y aparece la ventana de diálogo Regresión de la Figura 5.8.

204

Figura 5.8 Aplicando Regresión en Excel

En Entrada, indicar el Rango Y de entrada: $B$1:$B$9, Rango X de entrada:

$A41:$A$9 y marcar el recuadro Rótulos (para indicar los nombres de las variabes).

En Opciones de salida, escoger donde queremos que aparezcan los resultados de la

regresión, seleccionamos Rango de salida: indicándole donde queremos que salga,

aquí a partir de la celda A12. También se puede escoger obtener los resultados En una

hoja nueva: (precisar la hoja en el recuadro) o En un libro nuevo (el programa lo crea).

Para terminar hacer clic en Aceptar y se obtiene los resultados de la Figura 5.9.

A partir de la celda A12, aparece el Resumen de los cálculos de regresión, que para el

caso están sombreados y son:

Coeficiente de correlación = r = 0.993746364, Coeficiente de determinación R2 =

0.987531836, Coeficiente de intercepción = a = 342.1501104; y Coeficiente para X =

Precio = b = -10.595223376.

Además, el Resumen muestra una serie de resultados de la estadística inferencial

aplicados a la regresión como es el Análisis de Varianza, intervalos de confianza y

pruebas estadísticas para los coeficientes de regresión.

205

Figura 5.9 Resultado de la Regresión de cantidad y precio de muñecas en Excel

En Minitab:

Con los datos de la variable precio (X) y cantidad (Y) en el Worksheet, del menú

escoger Stat, luego Regression y nuevamente la opción Regression; y aparece la

ventana de diálogo Regression de la Figura 5.10.

Figura 5.10 Aplicando Regresión en Minitab

206

De la lista de variables del lado izquierdo, seleccionar la variable Y = cantidad e

ingresarla en Response: (variable de respuesta o dependiente) y en Predictors:

seleccionar X = Precio.

Para terminar hacer clic en OK. Inmediatamente en la ventana de Session del Minitab

aparecen los resultados siguientes:

Regression Analysis: Y = Cantidad versus X = Precio

The regression equation is

Y = Cantidad = 342 - 10.6 X = Precio

Predictor Coef SE Coef T P

Constant 342.150 6.701 51.06 0.000

X = Precio -10.5952 0.4860 -21.80 0.000

S = 6.06500 R-Sq = 98.8% R-Sq(adj) = 98.5%

Analysis of Variance

Source DF SS MS F P

Regression 1 17481 17481 475.23 0.000

Residual Error 6 221 37

Total 7 17702

Se puede apreciar los mismos resultados obtenidos antes, es decir, la ecuación de

regresión, los coeficientes de regresión y el R-cuadrado obtenidos con el Minitab.

En SPSS:

Con los datos de las variables precio (X) y cantidad (Y) definidos e ingresados en el

editor de datos del SPSS, del menú seleccionar Analizar → Regresión → Lineal e

inmediatamente aparece la ventana de diálogo de la Figura5.11.

De la lista de variables del lado izquierdo, seleccionar la variable CANTIDAD e

ingresarla en el recuadro Dependiente:, del mismo modo seleccionar la variable

PRECIO e ingresarla en el recuadro Independientes:.

Una vez ingresadas las variables, hacer clic en Aceptar y aparecen los resultados

mostrados después de la Figura 5.11.

207

Figura 5.11 Aplicando Regresión en SPSS

La vista de resultados del SPSS muestra en el Resumen del modelo los coeficientes de

correlación y determinación, mientras que en los Coeficientes se presenta la constante

a = 342.150 y b = -10.595.

Resumen del modelo

.994a .988 .985 6.06500

Modelo

1

R R cuadrado

R cuadrado

corregida

Error típ. de la

estimación

Variables predictoras : (Constante), PRECIO ($)a.

Coeficientesa

342.150 6.701 51.059 .000

-10.595 .486 -.994 -21.800 .000

(Constante)

PRECIO ($)

Modelo

1

B Error típ.

Coeficientes no

estandarizados

Beta

Coeficientes

estandarizad

os

t Sig.

Variable dependiente: CANTIDADa.

208

Al igual que el Minitab, también presenta el análisis de varianza para la regresión

siguiente:

ANOVAb

17480.795 1 17480.795 475.226 .000a

220.705 6 36.784

17701.500 7

Regres ión

Residual

Total

Modelo

1

Suma de

cuadrados gl

Media

cuadrática F Sig.

Variables predictoras: (Constante), PRECIO ($)a.

Variable dependiente: CANTIDADb.

En R:

Definidos los valores de las variables Precio y Cantidad, por los vectores X e Y

respectivamente siguientes:

> X=c(6.5, 8.0, 10.0, 12.5, 14.0, 16.0, 17.5, 20.0)

> Y=c(276, 250, 238, 212, 190, 183, 156, 125)

A continuación utilizar la función lm para definir

> modelo=lm(Y~X)

> modelo

Call:

lm(formula = Y ~ X)

Coefficients:

(Intercept) X

342.15 -10.60

> resumen=summary(modelo)

> resumen

209

Call:

lm(formula = Y ~ X)

Residuals:

Min 1Q Median 3Q Max

-7.3883 -4.1741 0.5342 2.3974 10.3735

Coefficients:

Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)

(Intercept) 342.150 6.701 51.06 3.79e-09 ***

X -10.595 0.486 -21.80 6.09e-07 ***

---

Signif. codes: 0 „***‟ 0.001 „**‟ 0.01 „*‟ 0.05 „.‟ 0.1 „ ‟ 1

Residual standard error: 6.065 on 6 degrees of freedom

Multiple R-squared: 0.9875, Adjusted R-squared: 0.9855

F-statistic: 475.2 on 1 and 6 DF, p-value: 6.086e-07

210

Capítulo 6. MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD

“La estadística es como una mujer con bikini, muestra casi todo, pero lo

fundamental lo oculta …. Olvidaba decir que lo fundamental es …. lo

que yo quiera creer” Robert Frost

CONTENIDO

6.1 Introducción.

6.2 Distribución binomial.

6.3 Distribución de Poisson.

6.4 Distribución hipergeométrica.

6.5 Distribución geométrica.

6.1 INTRODUCCIÓN

En el presente capítulo se presentan los modelos de probabilidad discretos cuyo cálculo

ha sido adaptado a los programas que estamos presentando y que permiten dinamizar

el aprendizaje del cálculo de probabilidades por la simplificación de los procesos.

Se presentan los principales modelos de probabilidad para variables aleatorias

discretas, en las que estamos interesados en el número de éxitos en un determinado

número de ensayos o pruebas.

La determinación del éxito o fracaso en este tipo de pruebas esta sujeto al interés

particular de quién realiza una determinada prueba.

Entre los modelos a estudiar tenemos las distribuciones: binomial, Poisson,

hipergeométrica y la Geométrica.

En cada caso se presenta las características principales de cada distribución, es decir, la

función de probabilidad, la esperanza, la varianza, la función de distribución

acumulativa de probabilidades y las respectivas formas de cálculo de probabilidades.

211

6.2 DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Distribución Bernoulli.-

Según Bazán y Corbera (1997) la distribución de Bernoulli “es el modelo más sencillo

de probabilidad y proporciona la base para derivar otras distribuciones de probabilidad

discreta”.

Las pruebas de Bernoulli tienen dos posibles resultados uno de los cuales es fijado

convencionalmente como éxito (E) y el otro como fracaso (F). Por tanto: Ω= F, E.

La variable aleatoria X = número de éxitos en una prueba de Bernoulli toma los

valores: Rx = 0, 1.

La probabilidad de éxito se denota por P (E) = p = P (X = 1) y la probabilidad de

fracaso es el complemento, P (F) = q = 1 – p = P (X = 0); las mismas que se calculan

con la función de probabilidad siguiente:

1( ) ( ) ; 0, 1.x xp x P X x p q x

La distribución de probabilidades Bernoulli es:

x 0 1

p (x) = P (X = x) p q = 1 - p

La media y la varianza de la distribución Bernoulli son: E (X) = p y Var (X) = pq

respectivamente.

Ejemplo 6.1

Son ensayos Bernoulli los siguientes:

El resultado observado en el lado superior al lanzar una moneda (cara o sello).

El estado en que se encuentra un artículo fabricado (bueno o defectuoso).

El ingreso de una familia es menor o igual a S/. 2500 o es mayor de 2500.

212

Características del ensayo binomial

Una prueba binomial se caracteriza por estar constituida por n pruebas de Bernoulli

repetidas o independientes, cada una con la misma probabilidad p de éxito y la variable

aleatoria X = número de éxitos. Rx = 0, 1, 2 , …. , n.

Ley de probabilidad

La distribución de probabilidad binomial esta dada por la siguiente función:

( ) ( ) ; 0, 1,2,3,....,n x n x

xp x P X x C p q x n

Donde: !

! !

n

x

nC

n x x

Los parámetros de la distribución binomial son n y p. Si una variable X tiene

distribución binomial, se le denota así X ~B (n,p) y la ley de probabilidades es la antes

indicada.

Media y varianza de la distribución binomial

La media y la varianza de la distribución binomial son:

µ = E (X) = np y σ2 = Var (X) = npq.

La función de distribución acumulativa de probabilidades

La función de distribución acumulativa de probabilidades de la binomial esta dada por:

( ) ( ) ( ) i i

i

i i

x n xn

i x

x x x x

F x P X x P X x C p q

Todas estas probabilidades son calculadas por los programas estudiados, tal como

veremos a continuación.

Ejemplo 6.2

Se lanza una moneda correcta 5 veces. Sea X = el número de caras obtenidas. Calcule

la probabilidad de obtener: a) 3 caras; b) a lo más 2 caras; c) la distribución de

probabilidades; y d) la función de distribución acumulativa de probabilidades.

213

Solución

Cada lanzamiento de la moneda es una prueba de Bernoulli, ya que estamos

interesados en observar si sale cara (éxito) o no sale (fracaso), con p = q = 0.5.

Así mismo, se trata de n = 5 pruebas independientes, puesto que el resultado de un

lanzamiento no influye en los sucesivos.

Por lo tanto, la variable aleatoria X = número de caras obtenidas ~B (n=5, p = 0.5) y su

función de probabilidad es:

5 5 5 5( ) ( ) (0.5) (0.5) (0.5) ; 0, 1,2,3,4,5.x x

x xp x P X x C C x

a) 5 5

3

1 10(3) ( 3) ( ) 0.3125

2 32p P X C

b) P (X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2) =

= 5 5 5 5 5 5

0 1 2

1 1 1 1 5 10 16( ) ( ) ( ) 0.502 2 2 32 32 32 32

C C C

c) La distribución de probabilidades binomial, calculadas con la función de

probabilidad, se presentan en el cuadro siguiente:

x 0 1 2 3 4 5

p(x) 1/32 =

0.03125

5/32 =

0.15625

10/32 =

0.31250

10/32 =

0.31250

5/32 =

0.15625

1/32 =

0.03125

F(x) 1/32 =

0.03125

6/32 =

0.18750

16/32 =

0.50000

26/32 =

0.81250

31/32 =

0.96875

32/32 =

1.00000

d) La distribución acumulativa de probabilidades se ha determinado con la función

5( ) ( ) ( ) (0.5) i

i

i i

x

i x

x x x x

F x P X x P X x C y se presentan en la tabla

anterior de la pregunta c).

214

Veamos el procedimiento de cálculo de estas probabilidades con los programas, las

mismas que están sintetizadas en la tabla de la pregunta c) y d).

En Excel:

Para hallar la distribución de probabilidades binomial, en la hoja de cálculo definimos

en la columna A los valores de la variable x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En la columna B,

definimos las probabilidades p(x) para cada uno de los valores.

Para ello, estando en la casilla B2, en funciones del Excel, escogemos Estadísticas

(de seleccionar una categoría) y buscamos la función DISTR.BINOM y aparece la

ventana de diálogo de la Figura 6.1.

Figura 6.1 Cálculo de probabilidades para la distribución binomial en Excel

En Argumentos de función se define: el número de éxitos, Núm_éxito A2 (0) para

poder efectuar una copia para los demás valores de x. Ensayos 5 (número de ensayos

independientes = 5 lanzamientos de la moneda). La probabilida p de éxito Prob_éxito

215

0.5 y en Acumulado escribir FALSO, porque no se desea calcular probabilidad

acumulada. Al hacer enter, aparece la probabilidad p(0) = 0.03125.

Para obtener las probabilidades para los otros valores de x, se efectúa una copia de lo

anterior para las celdas sucesivas en B3, B4, B5, B6 y B7, cuyos resultados se


Para obtener las probabilidades acumuladas, estando en la casilla C2, seleccionamos la

ventana de diálogo de la Figura 6.1, con los mismos Argumentos de función, salvo el

de Acumulado en el que se escribe VERDADERO. Al hacer enter, aparece la

probabilidad F(0) = 0.03125.

Para obtener las probabilidades acumuladas para los otros valores de x, se efectúa una

copia de lo anterior para las celdas sucesivas en C3, C4, C5, C6 y C7, cuyos resultados

se muestran en la Figura 6.2.

Figura 6.2 Solución del Ejemplo 6.2 en Excel

En Minitab:

En este programa se puede hacer cálculos de probabilidades individuales o para el

conjunto de valores que toma la variable, tal como se ha efectuado en Excel.

Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Binomial y aparece la


Esta función permite tres tipos de cálculos: Probabililty (calcular una probabilidad para

un valor de la variable), Cumulative probability (calcular la probabilidad acumulada

hasta un valor determinado) e Inverse cumulative probability (calcular el valor de la

216

variable para una probabilidad acumulada dada). Cálculos que son realizados

indicando previamente los parámetros de la distribución binomial, es decir, n =

Number of trials (número de pruebas) y p = Event probability (probabilidad de éxito).

Figura 6.3 Probabilidad con la distribución binomial en Minitab

Veamos el cálculo de probabilidades individuales.

En el ejemplo 6.2, la variable aleatoria X = número de caras obtenidas ~B (n=5, p =

0.5) parámetros indicados en la Figura 6.3. En la parte a) se solicita p (3) = P (X = 3)

por ello se ha activado Probability e donde se escribe 3.

Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece el resultado siguiente:

Probability Density Function

Binomial with n = 5 and p = 0.5

x P( X = x )

3 0.3125

En la parte b) del ejemplo 6.2 se solicita la probabilidad acumulada F (2) = P (X ≤ 2)

por lo que se hace necesario seleccionar y en

escribir 2, tal como se muestra en la Figura 6.4.

217

Figura 6.4 Probabilidad acumulada con la distribución binomial en Minitab

Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece el resultado siguiente:

Cumulative Distribution Function


x P( X <= x )

2 0.5

Resultados similares a los del ejemplo 6.2.

Veamos el cálculo de probabilidades para un conjunto de valores

Primero definir los valores en una columna de la Worksheet (hoja de trabajo del

Minitab); para el ejemplo 6.2, en la columna C1 con la denominación x se han definido

los valores 0, 1, 2, 3, 4 y 5.

Para calcular las probabilidades para cada uno de los valores de la variable, se procede

de manera similar a lo realizado en la Figura 6.3, sólo que no se selecciona Input

constant:, sino en donde se selecciona la columna C1 o x, tal como se


218

Como son seis probabilidades las que se van a calcular se tiene que indicar donde se

quiere colocar dichos resultados.

Figura 6.5 Probabilidad para varios valores con distribución binomial en Minitab

Si se desea seguir usando estos resultados para hacer otros cálculos, los mismos deben

aparecer en la Worksheet del Minitab, por ello en Optional storage: (deposito

opcional de resultados) escribir C2. Para terminar hacer clic en OK y los resultados se

muestran en la columna C2 de la Worksheet.

Si no se van hacer otros cálculos con los resultados, hacer clic en OK y dichos

resultados se muestran en la hoja de Session así:



x P( X = x )

0 0.03125

1 0.15625

2 0.31250

3 0.31250

4 0.15625

5 0.03125

219

Para calcular las probabilidades acumuladas para los seis valores del ejemplo 6.2 y con

los resultados en la hoja de Session, en la Figura 6.5 seleccionar

y al hacer clic en OK aparecen los resultados siguientes:



x P( X <= x )

0 0.03125

1 0.18750

2 0.50000

3 0.81250

4 0.96875

5 1.00000

Los dos últimos resultados son idénticos a los que aparecen en la Figura 6.2, los que a

continuación se presentan tal como se han obtenido en la Worksheet del Minitab.

El gráfico de la distribución binomial obtenido con el Minitab es el siguiente:

543210

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

x

p(x

)

Gráfico 6.1 Distribución binomial (n = 5, p = 0.5)

220

En SPSS:

Para calcular las probabilidades simples (P) y las acumuladas (F) del ejemplo 6.2, en la

vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (0, 1, 2, 3, 4

y 5). Veamos el cálculo de probabilidades simples (P).

Del menú escoger Transformar → Calcular variable y aparece la ventana de

diálogo de la Figura 6.6. En Variable de destino: escribir P.

Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDP y FDP no centrada; y de

Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Binom y con un clic en

ingresarla en el recuadro Expresión numérica: donde aparece PDF.BINOM(?,?,?).

Figura 6.6 Cálculo de probabilidades con la distribución binomial en SPSS

A continuación, hay que definir cada uno de los argumentos ? indicados en la función

PDF.BINOM(cant,n,prob) que se precisan en el recuadro central de la Figura 6.6. Así

cant representa los valores de la variable x, n el número de ensayos = 5 y prob =

221

probabilidad de éxito = 0.5. Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos

aparece los resultados siguientes:

Para el cálculo de las probabilidades acumuladas (F) del ejemplo 6.2, proceder de

manera similar al cálculo de probabilidades simples, con las variantes indicadas, tal


Figura 6.7 Probabilidades acumuladas con la distribución binomial en SPSS

En la Variable de destino: se escribe F. Del Grupo de funciones: escoger FDA y FDA

no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Binom e

ingresarla en el recuadro Expresión numérica y definir los argumentos cant, n y prob

222

así: CDF.BINOM(x,5,0.5). Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos

aparece los resultados siguientes:

Nota.- para el cálculo de probabilidades simples en SPSS se usa la función FDP y

FDP no centrada y para calcular las probabilidades acumuladas la función FDA y

FDA no centrada.

En R:

Para calcular probabilidades simples con la distribución binomial usar la función

dbinom(x,n,p). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos

previamente, n el número de ensayos y p la probabilidad de éxito.

En el ejemplo 6.2, X = número de caras obtenidas ~B (n=5, p = 0.5). En la parte a) se

solicita p (3) = P (X = 3), esto se calcula así:

> dbinom(3,5,0.5)

[1] 0.3125

Si se desea determinar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria X,

primero se define el vector de valores y luego se calculan las probabilidades así:

> x=c(0,1,2,3,4,5)

> dbinom(x,5,0.5)

[1] 0.03125 0.15625 0.31250 0.31250 0.15625 0.03125

El resultado anterior muestra las probabilidades para cada valor de X, pero la

presentación del resultado no permite una adecuada lectura. Por ello se recomienda

definir las probabilidades anteriores a través del objeto P definido así:

223

> P=dbinom(x,5,0.5)

Para mejorar la presentación de la distribución de probabilidades (x, P) usar la función

cbind que permite presentar los resultados de los objetos definidos en columna, uno a

continuación de otro, así:

> cbind(x,P)

x P

[1,] 0 0.03125

[2,] 1 0.15625

[3,] 2 0.31250

[4,] 3 0.31250

[5,] 4 0.15625

[6,] 5 0.03125

Para calcular probabilidades acumuladas con la distribución binomial usar la función

pbinom(x,n,p). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos

previamente, n el número de ensayos y p la probabilidad de éxito.

En la parte b) del ejemplo 6.2 se solicita F (2) = P (X ≤ 2), esto se calcula así:

> pbinom(2,5,0.5)

[1] 0.5

Para obtener la distribución de probabilidades y las probabilidades acumuladas

efectuamos el siguiente proceso.

> F=pbinom(x,5,0.5)

> cbind(x,P,F)

x P F

[1,] 0 0.03125 0.03125

[2,] 1 0.15625 0.18750

224

[3,] 2 0.31250 0.50000

[4,] 3 0.31250 0.81250

[5,] 4 0.15625 0.96875

[6,] 5 0.03125 1.00000

Resultados idénticos a los obtenidos con los demás programas.

Observación.- para las siguientes distribuciones de probabilidades los cálculos

efectuados con los programas estudiados son similares a los de la distribución

binomial.

6.3 DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución Poisson se deduce como un límite de la distribución binomial y como

un proceso de Poisson.

Como un límite de la distribución binomial, se toma con media igual a λ = np

asumiendo p pequeño (p → 0) y n grande (n → ∞). La distribución de probabilidades

de la variable aleatoria discreta de Poisson X = número de éxitos viene dada por:

( ) ( ) ; 0, 1,2,3,....!

xep x P X x x

x

El parámetro de la distribución Poisson es λ. Si una variable X tiene distribución

Poisson, se le denota así X ~ P (λ) y la ley de probabilidades es la antes indicada.

Media y varianza de la distribución Poisson

La media y la varianza de la distribución Poisson es la misma e igual a λ.

µ = E (X) = σ2 = Var (X) = λ.


La función de distribución acumulativa de probabilidades de la Poisson esta dada por:

( ) ( ) ( )!

i

i i

x

i

x x x x i

eF x P X x P X x

x

225

La deducción como un proceso de Poisson, surge cuando hay eventos discretos que

se generan en un intervalo continuo t (unidad de medida: longitud, área, volumen,

tiempo, etc.) y forman un proceso de Poisson con parámetro λ, si tiene las siguientes

propiedades.

El promedio de éxitos que ocurren en una unidad de medida t es conocido e igual a

λt.

La ocurrencia de los eventos son independientes.

La probabilidad de éxito en una unidad de medida pequeña de longitud h es

proporcional a su longitud: λh.

La probabilidad de ocurrencia de 2 o más éxitos en esta unidad pequeña h es

aproximadamente cero.

Si en un proceso de Poisson de parámetro λ se observa t unidades de medida, se define

X = número de ocurrencias de eventos en las t unidades de medida. Entonces, el

recorrido de la variable es RX = 0, 1, 2, 3, …. .

La variable aleatoria X tiene distribución Poisson definida por:

( )( ) ( ) ; 0, 1,2,3,....

!

x tt ep x P X x x

x

Donde λt es el promedio de ocurrencias de los eventos en las t unidades de medida.

En ambas fórmulas del cálculo de probabilidades con la distribución de Poisson lo

primero que se tiene que determinar es la media, bien λ o λt.

Ejemplo 6.3

El promedio de llamadas recibidas por una central telefónica en un minuto es igual a 2.

Calcule la probabilidad de que en 2 minutos se reciban: a) 3 llamadas; b) a lo más 2

llamadas; c) la distribución de probabilidades; y d) la función de distribución

acumulativa de probabilidades.

226

Solución

Como λ = 2 y t = 2, λt = 4 llamadas promedio en 2 minutos.

Sea X = el número de llamadas recibidas en 2 minutos ~ P (4) y la ley de

probabilidades es:

44( ) ( ) ; 0, 1,2,3,....

!

x ep x P X x x

x Luego:

a) p(3) = P(X = 3) = 3 44

3!

e = 0.195367

b) P (X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 0 4 1 4 2 44 4 4

0! 1! 2!

e e e= 0.23810

c) La distribución de probabilidades Poisson, calculadas con la función de

probabilidad, se presentan en el cuadro siguiente:

x p(x) = P(X = x) F(x) = P(X ≤ x)

0 0.018316 0.018316

1 0.073262 0.091578

2 0.146525 0.238103

3 0.195367 0.433470

4 0.195367 0.628837

5 0.156293 0.785130

6 0.104196 0.889326

7 0.059540 0.948866

8 0.029770 0.978637

9 0.013231 0.991868

10 0.005292 0.997160

11 0.001925 0.999085

12 0.000641 0.999726

227


44( ) ( ) ( )

!

i

i i

x

i

x x x x i

eF x P X x P X x

xy se presentan en la tabla anterior

de la pregunta c).



En Excel:

Para hallar la distribución de probabilidades Poisson, en la hoja de cálculo definimos

en la columna A los valores de la variable x = 0, 1, 2, 3, 4, …., 15, ….. En la columna

B, definimos las probabilidades p(x) para cada uno de los valores.


(de seleccionar una categoría) y buscamos la función POISSON y aparece la ventana


Figura 6.8 Cálculo de probabilidades para la distribución Poisson en Excel

228

En Argumentos de función se define: el número de éxitos, x A2 (0) para poder

efectuar una copia para los demás valores de x. Media 4 y en Acumulado escribir

FALSO, porque no se desea calcular probabilidad acumulada. Al hacer enter, aparece

la probabilidad p(0) = 0.01832.


anterior para las celdas sucesivas en B3, B4, hasta B17, cuyos resultados se muestran

en la Figura 6.9.

Para obtener las probabilidades acumuladas, estando en la casilla C2, seleccionamos la

ventana de diálogo de la Figura 6.8, con los mismos Argumentos de función, salvo el

de Acumulado en el que se escribe VERDADERO. Al hacer enter, aparece la

probabilidad F(0) = 0.01832.


copia de lo anterior para las celdas sucesivas en C3, C4, hasta C17, cuyos resultados

se muestran en la Figura 6.9.


229

En Minitab:

En este programa, al igual que en la distribución binomial, se puede hacer cálculos de

probabilidades individuales o para el conjunto de valores que toma la variable.

Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Poisson y aparece la ventana

de diálogo de la Figura 6.10. En el ejemplo 6.3, la variable aleatoria X = número de

llamadas recibidas ~P (λ=4) parámetro indicado en la Figura 6.10.




variable para una probabilidad acumulada dada). Cálculos que se realizan indicando

previamente el parámetro de la distribución Poisson, es decir, λ = 4 = Mean (media).

Figura 6.10 Probabilidad con la distribución Poisson en Minitab


Para calcular la probabilidad de X = 3, activar , seleccionar

y en el recuadro escribir 3. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session

aparece este resultado:

230


Poisson with mean = 4

x P( X = x )

3 0.195367

Para calcular las probabilidades individuales para todos los valores de x= 0, 1, 2, 3, 4,

…., 15 especificados en la columna C1 de la Worksheet se activa Probability

. Seleccionar y escoger x en el recuadro; y en Optional

storage; se escoge p(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al

hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen los resultados de la Figura 6.11.

Figura 6.11 Probabilidad para varios valores con distribución Poisson en Minitab

Para calcular las probabilidades acumuladas para los valores del ejemplo 6.3 y

con los resultados en la Worksheet, en la Figura 6.10 seleccionar

y en Optional storage: seleccionar F(x). Al hacer clic en OK

en la Worksheet aparecen los resultados de la Figura 6.11.

El gráfico de la distribución Poisson obtenido con el Minitab es el siguiente:

231

1514131211109876543210

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

x

p(x

)

Gráfico 6.2 Distribución de Poisson con λ = 4

En SPSS:

Para calcular las probabilidades simples (P) del ejemplo 6.3, en la vista de variables se

define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (0, 1, 2, 3, 4, …., 15, …).

Figura 6.12 Cálculo de probabilidades con la distribución Poisson en SPSS

232




Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Poison y con un clic en

ingresarla en el recuadro Expresión numérica: donde aparece PDF.POISSON(?,?).


PDF.POISSON(cant,media) que se precisan en el recuadro central de la Figura 6.12.

Así cant representa los valores de la variable x, y media = λ = 4. Para finalizar hacer

clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la Figura 6.14.




Figura 6.13 Probabilidades acumuladas con la distribución Poisson en SPSS

233


no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Poisson e

ingresarla en el recuadro Expresión numérica y definir los argumentos cant y media

así: CDF.POISSON(x,4). Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos

aparece los resultados de la Figura 6.14.

Figura 6.14 Distribución de probabilidades Poisson del ejemplo 6.3 en SPSS

En R:

Para calcular probabilidades simples con la distribución Poisson usar la función

dpois(x,λ). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente

y λ la media.

En el ejemplo 6.3, X = número de llamadas recibidas ~ P (λ = 4). En la parte a) se

solicita p (3) = P (X = 3), esto se calcula así:

> dpois(3,4)

[1] 0.1953668

234



> x=c(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)

> P=dpois(x,4)

Para presentar la distribución de probabilidades (x, P) usar la función cbind que

permite presentar los resultados de los objetos definidos en columna, uno a


> cbind(x,P)

x P

[1,] 0 1.831564e-02

[2,] 1 7.326256e-02

[3,] 2 1.465251e-01

[4,] 3 1.953668e-01

[5,] 4 1.953668e-01

[6,] 5 1.562935e-01

[7,] 6 1.041956e-01

[8,] 7 5.954036e-02

[9,] 8 2.977018e-02

[10,] 9 1.323119e-02

[11,] 10 5.292477e-03

[12,] 11 1.924537e-03

[13,] 12 6.415123e-04

[14,] 13 1.973884e-04

[15,] 14 5.639669e-05

[16,] 15 1.503912e-05

Para calcular probabilidades acumuladas con Poisson usar la función ppois(x,λ).

Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos y λ la media.

235


> ppois(2,4)

[1] 0.2381033



> F=ppois(x,4)

> cbind(x,P,F)

x P F

[1,] 0 1.831564e-02 0.01831564

[2,] 1 7.326256e-02 0.09157819

[3,] 2 1.465251e-01 0.23810331

[4,] 3 1.953668e-01 0.43347012

[5,] 4 1.953668e-01 0.62883694

[6,] 5 1.562935e-01 0.78513039

[7,] 6 1.041956e-01 0.88932602

[8,] 7 5.954036e-02 0.94886638

[9,] 8 2.977018e-02 0.97863657

[10,] 9 1.323119e-02 0.99186776

[11,] 10 5.292477e-03 0.99716023

[12,] 11 1.924537e-03 0.99908477

[13,] 12 6.415123e-04 0.99972628

[14,] 13 1.973884e-04 0.99992367

[15,] 14 5.639669e-05 0.99998007

[16,] 15 1.503912e-05 0.99999511

236

6.4 DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Esta distribución esta asociada a experimentos del siguiente tipo: de un conjunto de N

objetos, de los cuales M poseen cierta característica de interés y el resto N – M no la

poseen, se extrae n objetos al azar y sin reemplazo; y se observa el número x de

objetos en la muestra que poseen la característica de interés.

Dicho experimento tiene asociada una variable aleatoria X que da el número x de

éxitos (objetos en la muestra que poseen la característica de interés) en n ensayos de

Bernoulli cuya distribución de probabilidades esta dada por:

( ) ( )M N M

x n x

N

n

C Cp x P X x

C; máx o, n + M - N ≤ x ≤ mín n, M

Los parámetros de la distribución hipergeométrica son N, M y n. Si una variable X

tiene distribución hipergeométrica, se le denota así X ~ Hiper (N, M, n) y la ley de

probabilidades es la antes indicada.

Media y varianza de la distribución hipergeométrica

La media y la varianza de la distribución hipergeométrica son:

µ = E (X) = np y σ2 = Var (X) = npq(N –n) / (N – 1)

Donde: p = M/N y q = (N – M) / N = 1 - p


La función de distribución acumulativa de probabilidades de la hipergeométrica esta

dada por:

( ) ( ) ( ) i i

i i

M N M

x n x

i Nx x x x n

C CF x P X x P X x

C

Ejemplo 6.4

De la baraja de 52 cartas se reparten 5 naipes sin reposición. Sea X el número de

naipes de color negros repartidos. Calcule la probabilidad de que entre los 5 naipes

237

repartidos hayan: a) 3 naipes negros; b) a lo más 2 naipes negros; c) la distribución de


Solución

En la baraja N = 52 cartas, M = 26 cartas negras, n = 5 cartas repartidas sin reposición.

Sea X = el número de naipes negros repartidos ~ Hiper (52, 26, 5) y la ley de

probabilidades es:

26 26

5

52

5

( ) ( ) ; 0,1,2,3,4,5x xC Cp x P X x x

C Luego:

a) 26 26

3 2

52

5

(3) ( 3)C C

p P XC

= 0.32513

b) P (X ≤ 2) = p(0) + p(1) + p(2) = 26 26 26 2626 26

0 5 2 31 4

52 52 52

5 5 5

C C C CC C

C C C=

= 0.02531 + 0.14956 + 0.32513 = 0.50000

c) La distribución de probabilidades, calculadas con la función de probabilidad

hipergeométrica, se presentan en el cuadro siguiente:

x 0 1 2 3 4 5

p(x) 0.02531 0.14956 0.32513 0.32513 0.14956 0.02531

F(x) 0.02531 0.17487 0.50000 0.82513 0.97469 1.00000


26 26

5

52

5

( ) ( ) ( ) i i

i i

x x

i

x x x x

C CF x P X x P X x

Cy se presentan en la tabla anterior

de la pregunta c).



238

En Excel:

Para hallar la distribución de probabilidades hipergeométrica, en la hoja de cálculo

definimos en la columna A los valores de la variable x = 0, 1, 2, 3, 4 y 5. En la

columna B, definimos las probabilidades p(x) para cada uno de los valores.


(de seleccionar una categoría) y buscamos la función DISTR.HIPERGEOM y

aparece la ventana de diálogo de la Figura 6.15.

Figura 6.15 Cálculo de distribución hipergeométrica en Excel

En Argumentos de función se define: el número de éxitos en la muestra,

Muestra_éxito A2 (0) para poder efectuar una copia para los demás valores de x.

Num_de_muestra 5 (es el tamaño de la muestra n). Población_éxito 26 (es el

número de éxitos en la población = M) y en Num_de_población 52 (el tamaño de la

población N). Al hacer enter, aparece la probabilidad p(0) = 0.02531.


anterior para las celdas sucesivas en B3, B4, B5, B6 y B7, cuyos resultados se


239

Las probabilidades acumuladas F(x) se han determinado haciendo los cálculos en la

columna C usando los de la columna B, estos se muestran en la Figura 6.16.


En Minitab:

En este programa, al igual que en la distribución binomial y Poisson, se puede hacer

cálculos de probabilidades individuales o para el conjunto de valores que toma la

variable.

Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Hipergeometric y aparece

la ventana de diálogo de la Figura 6.17. En el ejemplo 6.4, la variable aleatoria X =

número de naipes negros repartidos ~ Hiper (52, 26, 5) parámetros indicados en la

Figura 6.17.




variable para una probabilidad acumulada dada).

Cálculos que se realizan indicando previamente los parámetros de la distribución

hipergeométrica, es decir:

Population size (N): = el tamaño de la población = 52;

Event count in population (M) = número de éxitos en la población = 26; y

Sample size (n): = tamaño de la muestra = 5.

240

Figura 6.17 Probabilidad con la distribución hipergeométrica en Minitab


Para calcular la probabilidad de X = 3, se activa , seleccionar




Hypergeometric with N = 52, M = 26, and n = 5

x P( X = x )

3 0.325130








241



Figura 6.18 Probabilidades con distribución hipergeométrica en Minitab

El gráfico de la distribución hipergeométrica obtenido con el Minitab es el siguiente:

543210

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

x

p(x

)

Gráfico 6.3 Distribución hipergeométrica con N = 52, M = 26, n = 5

En SPSS:


define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (0, 1, 2, 3, 4, 5).



242

Figura 6.19 Cálculo de probabilidades con la distrib. hipergeométrica en SPSS


Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Hiper y con un clic en

ingresarla en el recuadro Expresión numérica: donde aparece PDF.HIPER(?,?,?,?).


PDF.HIPER(cant,total,muestra,aciertos) que se precisan en el recuadro central de la

Figura 6.19. Así cant representa los valores de la variable x, total = N = 52, muestra =

n = 5 y aciertos = M = 26. Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos

aparece los resultados de la Figura 6.21.





no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Hiper e

243

ingresarla en el recuadro Expresión numérica y definir los argumentos cant, total,

muestra y aciertos, así: CDF.HIPER(x,52,5,26).

Figura 6.20 Probabilidades acumuladas con la distrib. hipergeométrica en SPSS

Para finalizar hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados de la

Figura 6.21.

Figura 6.21 Distrib. de probabilidades hipergeométrica del ejemplo 6.4 en SPSS

244

En R:

Para calcular probabilidades simples con la distribución hipergeométrica usar la

función dhyper(x,M,N-M,n). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores

definidos previamente, M = objetos con la característica de interés, N-M = objetos sin

la característica de interés y n el tamaño de la muestra.

En el ejemplo 6.4, X = número de naipes negros repartidos ~ Hiper (N = 52, M =26, n

= 5). En la parte a) se solicita p (3) = P (X = 3), esto se calcula así:

> dhyper(3,26,26,5)

[1] 0.3251301



> x=c(0,1,2,3,4,5)

> P=dhyper(x,26,26,5)

Para presentar la distribución de probabilidades (x, P) usar la función cbind que



> cbind(x,P)

x P

[1,] 0 0.02531012

[2,] 1 0.14955982

[3,] 2 0.32513005

[4,] 3 0.32513005

[5,] 4 0.14955982

[6,] 5 0.02531012

245

Para calcular probabilidades acumuladas con la hipergeométrica usar la función

phyper(x,M,N-M,n). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos

previamente, M = objetos con la característica de interés, N-M = objetos sin la

característica de interés y n el tamaño de la muestra.


> phyper(2,26,26,5)

[1] 0.5



> F=phyper(x,26,26,5)

> cbind(x,P,F)

x P F

[1,] 0 0.02531012 0.02531012

[2,] 1 0.14955982 0.17486995

[3,] 2 0.32513005 0.50000000

[4,] 3 0.32513005 0.82513005

[5,] 4 0.14955982 0.97468988

[6,] 5 0.02531012 1.00000000

Resultados idénticos para cada uno de los programas empleados. Cabe resaltar que

cualquiera de los cálculos de probabilidades con otras distribuciones son similares,

vemos ahora la distribución geométrica de probabilidades.

246

6.5 DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Es una distribución que se relaciona con el proceso de Bernoulli excepto que el

número de ensayos no es fijo.

La variable aleatoria geométrica se define como X = número de ensayos

independientes requeridos hasta obtener el primer éxito, con probabilidad de éxito p y

probabilidad de fracaso q.

La ley de probabilidades geométrica está dada por:

1( ) ( ) ; 1,2,3,4,5,....xp x P X x pq x

El parámetro de la distribución geométrica es p. Si una variable X tiene distribución

geométrica, se le denota así X ~ Geom (p) y la ley de probabilidades es la antes

indicada.

Media y varianza de la distribución geométrica

La media y la varianza de la distribución geométrica son:

µ = E (X) = 1/p y σ2 = Var (X) = q/p

2


La función de distribución acumulativa de probabilidades de la geométrica esta dada

por:

1( ) ( ) ( ) i

i i

x

i

x x x x

F x P X x P X x p q

Ejemplo 6.5

Se lanza una moneda cargada con probabilidad de cara igual a 1/4. Sea X el número de

lanzamientos de la moneda hasta obtener cara. Calcule la probabilidad de que se

hayan realizado: a) 3 lanzamientos; b) a lo más 2 lanzamientos; c) la distribución de


247

Solución

El éxito es obtener cara, entonces p = P(C) = ¼= 0.25 y q = ¾ = 0.75.

Sea X = el número de lanzamientos de la moneda hasta obtener cara ~ Geom (0.25) y

la ley de probabilidades es:

11 3

( ) ( ) ; 1,2,3,4,....4 4

x

p x P X x x Luego:

a)

3 11 3

(3) ( 3)4 4

p P X = 0.14063

b) P (X ≤ 2) = p(1) + p(2) =

1 1 2 11 3 1 3

4 4 4 4=

= 0.25000 + 0.18750 = 0.4375

c) La distribución de probabilidades, calculadas con la función de probabilidad

geométrica, se presenta en el cuadro siguiente:

x p(x) = P(X = x) F(x) = P(X ≤ x)

1 0.25000 0.25000

2 0.18750 0.43750

3 0.14063 0.57813

4 0.10547 0.68359

5 0.07910 0.76270

6 0.05933 0.82202

7 0.04449 0.86652

8 0.03337 0.89989

9 0.02503 0.92492

10 0.01877 0.94369

11 0.01408 0.95776

248


11 3

( ) ( ) ( )4 4

i

i i

x

i

x x x x

F x P X x P X x y se presentan en la tabla

anterior de la pregunta c).



En Excel:

La distribución de probabilidades geométrica no esta definida en el Excel, pero se

pueden obtener en la hoja de cálculo trabajando con la fórmula. Para ello definir en la

columna A, los valores de la variable x, luego en la columna B definir las

probabilidades p(x) como fórmula de cálculo. Del mismo modo en la columna C,

definir los acumulados, bajo la forma tradicional de acumulación y se obtiene el

resultado mostrado en la Figura 6.22.


249

En Minitab:

En este programa, al igual que para las distribuciones anteriores, se puede hacer

cálculos de probabilidades individuales o para el conjunto de valores que toma la

variable.

Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Geometric y aparece la

ventana de diálogo de la Figura 6.23. En el ejemplo 6.5, la variable aleatoria X = el

número de lanzamientos de la moneda hasta obtener cara ~ Geom (0.25) parámetro

indicado en la Figura 6.23.

Figura 6.23 Probabilidad con la distribución geométrica en Minitab




variable para una probabilidad acumulada dada).

Cálculos que se realizan indicando previamente el parámetro de la distribución

geométrica, es decir: p = 0.25 escrito en Event probability.

250


Para calcular la probabilidad de X = 3, se activa , seleccionar




Geometric with p = 0,25

x P( X = x )

3 0,140625

* NOTE * X = total number of trials.










Las probabilidades acumuladas presentadas en la Figura 6.24, se encuentran

alrededor de 0.987, para X = 15, por lo que existen más valores de X cuyas

probabilidades acumuladas no se han evaluado. Así tenemos que para X = 40: el

Minitab arroja una probabilidad más cerca de uno y es la siguiente:


Geometric with p = 0.25

x P( X <= x )

40 0.999990

* NOTE * X = total number of trials.

251

Figura 6.24 Probabilidades con distribución geométrica en Minitab

El gráfico de la distribución geométrica obtenido con el Minitab es el siguiente:

181716151413121110987654321

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

x

p(x

)

Gráfico 6.4 Distribución geométrica con p = 0.25

252

En SPSS:


define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (0, 1, 2, 3, …, 14, 15, ….).



Figura 6.25 Cálculo de probabilidades con la distribución geométrica en SPSS


Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Geom y con un clic en

ingresarla en el recuadro Expresión numérica: donde aparece PDF.GEOM(?,?).


PDF.GEOM(cant,prob) que se precisan en el recuadro central de la Figura 6.25. Así

cant representa los valores de la variable x, prob = probabilidad de éxito = p = 0.25.

253


Figura 6.27.





no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Geom e

ingresarla en el recuadro Expresión numérica.

Luego definir los argumentos cant, y prob, así: CDF.GEOM(x,0.25).

Figura 6.26 Probabilidades acumuladas con la distribución geométrica en SPSS


Figura 6.27.

254

Figura 6.27 Distrib. de probabilidades geométrica del ejemplo 6.5 en SPSS

En R:

El cálculo de probabilidades para la distribución geométrica en R se realiza con una

variante en los valores de la variable que van desde cero hacia adelante. Para ello se

define una variable Y = X - 1 = número de pruebas (lanzamientos de la moneda)

menos uno hasta obtener el éxito (cara). Es decir que: P(X = x) = P(Y = x – 1).

Por lo tanto, la función de probabilidad y la distribución acumulativa de probabilidades

para el R son:

( ) ( ) ; 0,1,2,3,4,5,....yp y P Y y pq y

( ) ( ) ( ) i

i i

y

i

y y y y

F y P Y y P Y y p q

Para calcular probabilidades simples con la distribución geométrica usar la función

dgeom(y,p). Donde y puede ser un valor o un conjunto de valores definidos

previamente y p = probabilidad de éxito.

En el ejemplo 6.5, se definió X = el número de lanzamientos de la moneda hasta

obtener cara ~ Geom (0.25). En la parte a) se solicita p (3) = P (X = 3) = P(Y = 2), esto

se calcula en R así:

255

> dgeom(2,0.25)

[1] 0.140625

Si se desea determinar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria Y,


> y=c(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15)

> P=dgeom(y,0.25)

Para presentar la distribución de probabilidades (y, P) usar la función cbind que



> cbind(y,P)

y P

[1,] 0 0.250000000

[2,] 1 0.187500000

[3,] 2 0.140625000

[4,] 3 0.105468750

[5,] 4 0.079101563

[6,] 5 0.059326172

[7,] 6 0.044494629

[8,] 7 0.033370972

[9,] 8 0.025028229

[10,] 9 0.018771172

[11,] 10 0.014078379

[12,] 11 0.010558784

256

[13,] 12 0.007919088

[14,] 13 0.005939316

[15,] 14 0.004454487

[16,] 15 0.003340865

Para calcular probabilidades acumuladas con la geométrica usar la función

pgeom(y,p). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos

previamente, p = probabilidad de éxito.

En la parte b) del ejemplo 6.5 se solicita F (2) = P (X ≤ 2) = P(Y ≤ 1), esto se calcula

en R así:

> pgeom(1,0.25)

[1] 0.4375



> F=pgeom(y,0.25)

> cbind(y,P,F)

y P F

[1,] 0 0.250000000 0.2500000

[2,] 1 0.187500000 0.4375000

[3,] 2 0.140625000 0.5781250

[4,] 3 0.105468750 0.6835938

[5,] 4 0.079101563 0.7626953

[6,] 5 0.059326172 0.8220215

[7,] 6 0.044494629 0.8665161

257

[8,] 7 0.033370972 0.8998871

[9,] 8 0.025028229 0.9249153

[10,] 9 0.018771172 0.9436865

[11,] 10 0.014078379 0.9577649

[12,] 11 0.010558784 0.9683236

[13,] 12 0.007919088 0.9762427

[14,] 13 0.005939316 0.9821821

[15,] 14 0.004454487 0.9866365

[16,] 15 0.003340865 0.9899774

Las probabilidades acumuladas presentadas hasta aquí, se encuentran alrededor de

0.98998, para Y = 15, por lo que existen más valores de Y cuyas probabilidades

acumuladas no se han evaluado. Así tenemos que para Y = 40: el R arroja una

probabilidad más cerca de uno y es la siguiente:

> pgeom(40,0.25)

[1] 0.9999925

También para Y = 50:

> pgeom(50,0.25)

[1] 0.9999996

Nota: el cálculo de probabilidades para las distintas distribuciones discretas vistas

y otras, tienen la misma forma de cálculo en cada uno de los programas

estudiados, siendo cuestión de explorar cada uno de ellos.

258

Capítulo 7. MODELOS CONTINUOS DE PROBABILIDAD

“Democracia: es una superstición muy difundida, un abuso de la

estadística”. Jorge Luis Borges

CONTENIDO

7.1 Introducción.

7.2 Distribución uniforme o rectangular.

7.3 Distribución exponencial.

7.4 Distribución normal.

7.5 Distribución chi-cuadrado.

7.6 Distribución T de student.

7.7 Distribución F.

7.1 INTRODUCCIÓN

En el presente capítulo se presentan los modelos de probabilidad continuos cuyo

cálculo basado en integrales, ha sido adaptado a los programas que estamos estudiando

y que facilitan el cálculo de probabilidades por la simplificación de los procesos.

Se presentan los principales modelos de probabilidad para variables aleatorias

continuas, cuyo cálculo de probabilidades esta basado en la distribución acumulativa

de probabilidades F(x) = P(X ≤ x) ( )x

f t dt ; las mismas que permiten calcular

probabilidades como:

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a) o P(X > c) = 1- P(X ≤ c) = 1 – F(c)

Entre los modelos a estudiar tenemos las distribuciones: uniforme, exponencial,

normal, chi-cuadrado, T de student y F.

En cada caso se presenta las características principales de cada distribución, es decir, la

función de probabilidad, la esperanza, la varianza, la función de distribución

acumulativa de probabilidades y las respectivas formas de cálculo de probabilidades.

259

7.2 DISTRIBUCIÓN UNIFORME O RECTANGULAR

Definición.- se dice que una variable aleatoria continua X se distribuye uniformemente

en el intervalo [a, b], si su función de densidad de probabilidades está dada por:

1,

( )

0 ,

a x bf x b a

otros casos

Los parámetros de la distribución uniforme son a y b. Si una variable X tiene

distribución uniforme, se le denota así X ~ Uniforme (a, b) y la ley de probabilidades

es la antes indicada.

Media y varianza de la distribución uniforme

La media y la varianza de la distribución uniforme son:

µ = E (X) = (a + b)/2 y σ2 = Var (X) = (b – a)

2/12


La función de distribución acumulativa de probabilidades de la uniforme esta dada por:

0 ,

( ) ( ) ,

1 ,

x a

x aF x P X x a x b

b a

x b

Ejemplo 7.1

El tiempo en minutos que cierta persona invierte en ir de su casa a la estación del tren

es un fenómeno aleatorio que obedece a una ley de distribución uniforme en el

intervalo de 20 a 25 minutos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que alcance el tren que sale de la estación a las 7:28

a.m. en punto, si sale de su casa exactamente a las 7:05 a.m.?

b) Hallar P(22 ≤ X ≤ 24).

260

Solución

La variable aleatoria X = tiempo que se demora la persona en ir de su casa a la estación

del tren saliendo a las 7:05 a.m. ~ Uniforme (20, 25) y la función de densidad de

probabilidades esta dada por:

1, 20 25

( ) 5

0 ,

xf x

otros casos

Así mismo, su función de distribución acumulativa de probabilidades es:

0 , 20

20( ) ( ) , 20 25

5

1 , 25

x

xF x P X x x

x

a) Si sale de su casa a las 7:05, para que alcance el tren que sale a las 7:28, debe

demorarse a lo más 23 minutos, es decir X ≤ 23, luego la probabilidad solicitada

usando la función de distribución acumulativa de probabilidades es:

23 20 3( 23) (23)

5 5P X F = 0.6.

Significa que el 60% de las veces que sale de su casa a las 7:05 alcanzará el tren.

b) P(22 ≤ X ≤ 24) = F(24) – F(22) = 24 20 22 20 2

5 5 5 = 0.4.

Veamos el procedimiento de cálculo de estas probabilidades con los programas

estudiados, reiterando que en la mayoría de los casos dichos cálculos se realizan

utilizando las probabilidades acumuladas.

En Excel:

La distribución uniforme no ha sido definida en Excel, pero con la función de

distribución acumulativa de probabilidades planteada, se pueden efectuar algunos

cálculos de probabilidades acumulativos definiendo la fórmula correspondiente.

261

En Minitab:

Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Uniform y aparece la


Figura 7.1 Probabilidad con la distribución uniforme en Minitab

La función permite tres tipos de cálculos: Probabililty density (para hallar f(x) para un

valor x de la variable), Cumulative probability (calcular la probabilidad acumulada

hasta un valor x determinado) e Inverse cumulative probability (calcular el valor de la

variable para una probabilidad acumulada dada). Las más usadas son las dos últimos.

En el Ejemplo 7.1, la variable aleatoria X = tiempo que se demora la persona en ir de

su casa a la estación del tren ~ Uniforme (20, 25) parámetros indicados en la Figura

7.1. Para resolver la parte a) y b) se necesita el cálculo de probabilidades acumuladas

F(23), F(24) y F(22) que se explican a continuación.

Para el cálculo de probabilidades acumuladas seleccionar e

indicar los parámetros de la distribución uniforme, es decir: a = 20 escrito en Lower

endpoint (valor más pequeño de X) y b = 25 escrito en Upper endpoint (valor más

grande de X).

262

Para efectuar el cálculo F(23) de la parte a) del Ejemplo 7.1 necesitamos seleccionar




Continuous uniform on 20 to 25

x P( X <= x )

23 0.6

Se procede del mismo modo para hallar F(24) y F(22) de la parte b).

Si de antemano sabemos que se requiere calcular probabilidades acumuladas para

varios valores de X, en una columna de la worksheet definimos dichos valores como x

y en otra columna F(x) para obtener los resultados. Para ello, en la figura 7.1 en vez de

escoger Input constant: se selecciona y escoge x en el recuadro; y en

Optional storage; se escoge F(x) para que los resultados los deposite en la misma

Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen los resultados siguientes:

De la tabla, se obtiene rápidamente P(22 ≤ X ≤ 24) = F(24) – F(22) = 0.8 – 0.4 = 0.4.

Una representación gráfica de la solución anterior en Minitab (cuyo procedimiento es

similar para otras distribuciones continuas), se obtiene seleccionando del menú Graph

→ Probability Distribution Plots, de la ventana mostrada seleccionar View

Probability, luego hacer clic en OK y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.2.

En Distribution: hacer clic en , escoger la distribución uniforme e indicar sus

parámetros. Luego hacer clic en (Área a sombrear) y aparece la ventana de

diálogo de la Figura 7.3. En Define Shaded Area By escoger , luego e

indicar los valores X1 = 22 y X2 = 24 [ya que queremos hallar P(22 ≤ X ≤ 24) y el

gráfico con dicha área sombreada].

Para finalizar hacer clic en OK y aparece el gráfico de la Figura 7.4.

263

Figura 7.2 Graficando probabilidades acumuladas para la uniforme en Minitab

Figura 7.3 Definiendo el área a sombrear para probabilidades acumuladas con la

distribución uniforme en Minitab

264

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

X

De

nsit

y

22

0.4

2420 25

Distribution PlotUniform, Lower=20, Upper=25

Figura 7.4 Cálculo y gráfico de P(22 ≤ X ≤ 24) con la dist. uniforme en Minitab

Para el cálculo del inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil

x, para una probabilidad acumulada dada) seleccionar en la

Figura 7.1 e indicar los parámetros de la distribución uniforme.

Para determinar el valor de x, para una probabilidad acumulada F(x) =0.05 en el

Ejemplo 7.1 necesitamos seleccionar y en el recuadro escribir 0.05. Al

hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado:

Inverse Cumulative Distribution Function

Continuous uniform on 20 to 25

P( X <= x ) x

0.65 20.25

Cuyo gráfico (válido para la distribución uniforme y otras variables continuas) se

obtiene de manera similar al anterior, sólo que en la Figura 7.3 en Define Shaded Area

By se escoge , luego seleccionar (cola del lado izquierdo en

inferencia estadística) y en el recuadro de Probability: escribir 0.05.

Para finalizar hacer clic en OK e inmediatamente aparece el gráfico de la Figura 7.5.

265

0.20

0.15

0.10

0.05

0.00

X

De

nsit

y0.05

20 25 20.3

Distribution PlotUniform, Lower=20, Upper=25

Figura 7.5 Gráfico del inverso de probab. acum. Con la dist. uniforme en Minitab

Nota.- todos los procedimientos vistos aquí con el Minitab son válidos para las otras

distribuciones continuas de probabilidad y que serán abreviados cuando se vea para

esas otras distribuciones.

En SPSS:

Para calcular las densidades f(x) (f) del ejemplo 7.1, sólo para hacer el gráfico de la

función, en la vista de variables se define x y en la vista de datos se ingresan los

mismos (22, 23, 24, ….).


diálogo de la Figura 7.6. En Variable de destino: escribir f.


Funciones y variables especiales: seleccionar Pdf.Uniform y con un clic en

ingresarla al recuadro Expresión numérica: donde aparece PDF.UNIFORM(??,?).


PDF.UNIFORM(cant,mín,máx) que se precisan en el recuadro central de la Figura 7.6.

266

Así cant representa los valores de la variable x, mín = valor mínimo = 20 y máx =

valor máximo = 25.

Figura 7.6 Cálculo de las densidades f(x) con la distribución uniforme en SPSS


Figura 7.8, cuyos resultados no son de mucha trascendencia para variables continuas,

ya que sirven para realizar la gráfica de la distribución [distinto al caso discreto, donde

se obtenía probabilidades p(x) con esta función], por lo que para las siguientes

distribuciones los obviaremos, pero se obtienen de manera similar en el SPSS.

Sin embargo, las probabilidades acumuladas son de interés por lo que serán tratadas en

cada una de las distribuciones continuas que se presentan y cuyo procedimiento es

similar al que se ve a continuación.


manera similar al cálculo de densidades, con las variantes indicadas, tal como se


267

En la Variable de destino: se escribe Fx. Del Grupo de funciones: escoger FDA y

FDA no centrada; y de Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Uniform e

ingresarla en el recuadro Expresión numérica.

Luego definir los argumentos cant representa los valores de la variable x, mín = valor

mínimo = 20 y máx = valor máximo = 25, así: CDF.UNIFORM(x,20,25).

Figura 7.7 Probabilidades acumuladas con la distribución uniforme en SPSS


Figura 7.8.

Figura 7.8 Densidades y probab. acumuladas con la distrib. uniforme en SPSS

Resultados que son idénticos a los obtenidos con el Minitab.

268

En R:

Para calcular las densidades con la distribución uniforme se usa la función

dunif(x,mín,máx). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos

previamente, mín = a = valor más pequeño de X y máx = b = valor más grande de X.

En el ejemplo 7.1, X = tiempo que se demora la persona en ir de su casa a la estación

del tren ~ Uniforme (20, 25). Para determinar las densidades correspondientes a los

valores 22, 23 y 24se define un vector x con dichos valores y luego las densidades f se

calculan así:

> x=c(22,23,24)

> f=dunif(x,20,25)

> cbind(x,f)

x f

[1,] 22 0.2

[2,] 23 0.2

[3,] 24 0.2

Para calcular probabilidades acumuladas con la uniforme usar la función

punif(x,mín,máx). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos

previamente, mín = a = valor más pequeño de X y máx = b = valor más grande de X.

Para determinar las probabilidades acumuladas F para los valores x ya definidos y

presentar las densidades f también, se procede así:

> F=punif(x,20,25)

> cbind(x,f,F)

x f F

[1,] 22 0.2 0.4

[2,] 23 0.2 0.6

[3,] 24 0.2 0.8

269


x, para una probabilidad acumulada dada) usar la función qunif(p,mín,máx). Donde p

puede ser una probabilidad acumulada o un conjunto de probabilidades acumuladas

definidas previamente, mín = a = valor más pequeño de X y máx = b = valor más

grande de X.

Para hallar el valor del cuantil x correspondiente a una probabilidad acumulada de

0.05, se procede así:

> qunif(0.05,20,25)

[1] 20.25

Resultados idénticos a los del Minitab y del SPSS. Cabe resaltar que cualquiera de los

cálculos de probabilidades con otras distribuciones es similar.

7.3 DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

Definición.- se dice que una variable aleatoria continua X tiene distribución

exponencial con parámetro λ positivo, si su función de densidad de probabilidades está

dada por:

, 0( )

0 ,

xe xf x

otros casos

El parámetro de la distribución exponencial es λ. Si una variable X tiene distribución

exponencial, se le denota así X ~ Exp (λ) y la ley de probabilidades es la antes

indicada.

Media y varianza de la distribución exponencial

La media y la varianza de la distribución exponencial son:

µ = E (X) = 1/ λ

σ2 = Var (X) = 1/ λ

2

270


La función de distribución acumulativa de probabilidades esta dada por:

0 , 0( ) ( )

1 , 0x

xF x P X x

e x

Ejemplo 7.2

El tiempo de vida de un tipo de focos es una variable aleatoria X, que tiene distribución

exponencial con una vida media de 1000 horas. a) ¿Qué proporción de focos no sirve

antes de las 1000 horas? y b) ¿Qué proporción de focos dura entre 800 y 1200 horas?

Solución

La variable aleatoria X = tiempo de vida de los focos tiene distribución exponencial

con media µ = 1/ λ = 1000 horas. Por lo tanto, λ = 0.001. Luego X ~ Exp (0.001) y la

función de densidad de probabilidades esta dada por:

0.0010.001 , 0( )

0 ,

xe xf x

otros casos

Así mismo, la función de distribución acumulativa de probabilidades esta dada por:

0.001

0 , 0( ) ( )

1 , 0x

xF x P X x

e x

Entonces las probabilidades solicitadas son:

a) P(X < 1000) = F(1000) = 1 – e-0.001(1000)

= 1 – e-1

= 0.6321

Significa que el 63.21% de los focos no sirve antes de las 1000 horas.

b) P(800 ≤ X ≤ 1200) = F(1200) - F(800) = [1 – e-0.001(1200)

] – [1 – e-0.001(800)

] =

= [1 - e-1.2

] – [1 - e- 0.8

= 0.698806 – 0.550671 = 0.148135.

Significa que el 14.81% de los focos dura entre 800 y 1200 horas.

Veamos el cálculo de estas probabilidades acumuladas con los programas en estudio.

271

En Excel:

Para hallar la distribución de probabilidades acumuladas exponenciales, en la hoja de

cálculo definimos en la columna A los valores de la variable x = 800, 1000 y 1200. En

la columna B, definimos las probabilidades acumuladas F(x) para cada uno de los

valores.


(de seleccionar una categoría) y buscamos la función DISTR.EXP y aparece la


Figura 7.9 Cálculo de probabilidades acumuladas con exponencial en Excel

En Argumentos de función se define: el valor de X = A2 (800) para poder efectuar

una copia para los demás valores de x, Lambda = λ = 0.001 (es el valor del parámetro)

y en Acum escribir VERDADERO [para obtener las probabilidades acumuladas, si se

escribe FALSO se obtiene la densidad de probabilidades f(x)]. Al hacer enter, aparece

la probabilidad acumulada F(800) = 0.550671.

272


copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3 y B4, cuyos resultados son:

En Minitab:

Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Exponential y aparece la


Figura 7.10 Probabilidad acumulada con la distribución exponencial en Minitab





En el Ejemplo 7.2, la variable aleatoria X = tiempo de vida de los focos ~ Exp (0.001)

parámetro indicado en la Figura 7.10. Para resolver la parte a) y b) se necesita el

273

cálculo de probabilidades acumuladas F(800), F(1000) y F(1200) que se explican a

continuación.


indicar el parámetro requerido por la distribución exponencial en Scale, es decir: media

µ = 1/ λ = 1000.

Para efectuar el cálculo F(800) de la parte a) del Ejemplo 7.2 necesitamos seleccionar

y en el recuadro escribir 1000. Al hacer clic en OK, en la hoja de

Session aparece este resultado:


Exponential with mean = 1000

x P( X <= x )

1000 0.632121

Se procede del mismo modo para hallar F(800) y F(1200) de la parte b).

También se puede calcular probabilidades acumuladas para varios valores de X, en una

columna de la worksheet definimos dichos valores como x y en otra columna F(x) para

obtener los resultados. Para ello, en la figura 7.10 en vez de escoger Input constant: se

selecciona y escoge x en el recuadro; y en Optional storage; se escoge

F(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK,

en la Worksheet aparecen los resultados siguientes:

De la tabla, se obtiene rápidamente P(800 ≤ X ≤ 1200) = F(1200) – F(800) = 0.698806

– 0.550671 = 0.148135.

La representación gráfica de la solución anterior en Minitab, se obtiene seleccionando

del menú Graph → Probability Distribution Plots, de la ventana mostrada

seleccionar View Probability, luego hacer clic en OK y aparece la ventana de diálogo

de la Figura 7.11.

274

Figura 7.11 Graficando probabilidades acum. para la exponencial en Minitab

En Distribution: hacer clic en , escoger la distribución Exponential e indicar la

media = 1000 en Scale. Luego hacer clic en . En Define Shaded Area By

escoger , luego e indicar los valores X1 = 800 y X2 = 1200 [ya que

queremos hallar P(800 ≤ X ≤ 1200) y el gráfico con dicha área sombreada].

Para finalizar hacer clic en OK y aparece el gráfico siguiente:

0.0010

0.0008

0.0006

0.0004

0.0002

0.0000

X

De

nsit

y

800

0.148

12000

Distribución exponencialScale= µ = 1/ λ = 1000, Thresh=0

275



Figura 7.10 e indicar el parámetro de la distribución exponencial.

Para determinar el valor de x, para una probabilidad acumulada F(x) =0.05 en el

Ejemplo 7.2 necesitamos seleccionar y en el recuadro escribir 0.05. Al

hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado:



P( X <= x ) x

0.05 51.2933

El 5% de los focos tiene un duración menor o igual a 51.29 horas.

El valor de x, para una probabilidad acumulada F(x) =0.95 es:



P( X <= x ) x

0.95 2995.73

El 95% de los focos tiene una duración menor o igual a 2995.73 horas.

En SPSS:

Para calcular las probabilidades acumuladas F(x) (F) del ejemplo 7.2, en la vista de

variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (800, 1000, 1200).


diálogo de la Figura 7.12. En Variable de destino: escribir F.

Del Grupo de funciones: del lado derecho, escoger FDA y FDA no centrada; y de

Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Exp y con un clic en

ingresarla al recuadro Expresión numérica: donde aparece CDF.EXP(?,?).


CDF.EXP(cant,escala) que se precisan en el recuadro central de la Figura 7.12. Así

cant representa los valores de la variable x y escala = λ = 0.001.

276

Figura 7.12 Cálculo de probab. acum. con la distribución exponencial en SPSS


Figura 7.13.

Figura 7.13 Probabilidades acumuladas con la distrib. exponencial en SPSS

En R:

Para calcular probabilidades acumuladas con la exponencial usar la función pexp(x,λ).

Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente y λ =

parámetro de la exponencial.

277

En el ejemplo 7.2, X = tiempo de vida de los focos ~ Exp (0.001). Para determinar las

probabilidades acumuladas correspondientes a los valores 800, 1000 y 1200 se define

un vector x con esos valores y luego las probabilidades acumuladas F se calculan así:

> x=c(800,1000,1200)

> F=pexp(x,0.001)

> cbind(x,F)

x F

[1,] 800 0.5506710

[2,] 1000 0.6321206

[3,] 1200 0.6988058


x o q, para una probabilidad acumulada dada) usar la función qexp(p,λ). Donde p es

una o un conjunto de probabilidades acumuladas definidas previamente y λ =

parámetro de la exponencial.

Para hallar el valor del cuantil q correspondiente a las probabilidades acumulada de

0.05 y 0.95 se procede así:

> p=c(0.05,0.95)

> q=qexp(p,0.001)

> cbind(p,q)

p q

[1,] 0.05 51.29329

[2,] 0.95 2995.73227

278

7.4 DISTRIBUCIÓN NORMAL

Definición.- se dice que una variable aleatoria continua X tiene distribución normal

con parámetros µ y σ2, si su función de densidad de probabilidades está dada por:

2

2

( )

2

2

1( ) ,

2

x

f x e x

La distribución normal es simétrica respecto a µ.

Media y varianza de la distribución normal

La media y la varianza de la distribución normal son:

E (X) = µ y Var (X) = σ2

Si una variable aleatoria X tiene distribución normal con media µ y varianza σ2, se le

denota así X ~ N (µ y σ2) y la ley de probabilidades es la antes indicada. La gráfica de

la distribución normal tiene la siguiente forma:

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

µ

Distribution NormalMean = µ, StDev = σ


La función de distribución acumulativa de probabilidades esta dada por:

279

2

2

( )

2

2

1( ) ( )

2

tx

F x P X x e dt

Calcular estas probabilidades acumuladas es complicado ya que los cálculos varían

para cada media y cada varianza. Problema que es resuelto mediante el proceso de

estandarización (transformación) de la variable X ~ N (µ, σ2) en otra variable

XZ ~ N (0, 1) llamada distribución normal estándar.

La distribución normal estándar

Si una variable aleatoria X ~ N (µ, σ2) y se define la variable

XZ entonces la

variable aleatoria Z tiene distribución normal estándar = N (0, 1) y su función de

densidad de probabilidades esta dada por:

2

21

( ) ,2

z

f z e z

La función de distribución acumulada de la distribución normal estándar se denota y

define así:

Φ(z) =

2

21

( )2

tz

P Z z e dt . Se cumple que Φ(-z) = 1 - Φ(z), para z > 0.

Estas probabilidades han sido calculadas y aparecen en la denominada tabla de la

distribución normal estándar y facilitada por el uso de los programas estadísticos como

los que estamos estudiando.

Estandarización.- es el proceso por el cual una variable aleatoria X ~ N (µ, σ2) se

transforma en otra variable aleatoria X

Z ~ N (0, 1); permitiendo el cálculo de

probabilidades cuando X se encuentra entre dos números reales a y b del siguiente

modo:

P(a ≤ X ≤ b) = P[(a - µ) /σ ≤ (X - µ) /σ ≤ (b - µ) /σ] =

= P[(a - µ) /σ ≤ Z ≤ (b - µ) /σ] = Φ((b - µ) /σ) - Φ((b - µ) /σ)

280

Ejemplo 7.3

Los diámetros de los tubos fabricados por cierta máquina tienen distribución normal

con media de 9.8 mm. y desviación estándar de 0.53 mm. a) ¿Qué proporción de tubos

serán rechazados, si no se aceptan diámetros inferiores a 9 mm?; b) ¿Qué proporción

de tubos tiene un diámetro entre 8.5 y 11.0 mm?; y c) ¿por debajo de que diámetro se

encuentra el 95% de los tubos?

Solución

La variable aleatoria X = diámetro de los tubos en mm. ~ N (9.8, 0.53).

Estandarizando se tiene que 9.8

0.53

XZ ~ N (0, 1)

a) Se rechazan los tubos si X < 9 mm., entonces:

9.8 9 9.8( 9) ( 1.51)

0.53 0.53

XP X P P Z = Φ(-1.51) = 0.06552

Significa que alrededor del 6.55% de los tubos fabricados será rechazado.

b) P(8.5 ≤ X ≤ 11.0) = 8.5 9.8 9.8 9 9.8

( 2.45 3.40)0.53 0.53 0.53

XP P Z

= Φ(3.40) - Φ(-2.45) = 0.99966 - 0.00714 = 0.99252.

Significa que alrededor del 99.25% de los tubos fabricados tienen diámetro entre

8.5 y 11.0 mm.

c) Necesitamos halla el cuantil q0.95 = x, tal que:

0.95 = P(X ≤ x) = 9.8

0.53

xP Z → 0.95

9.81.645

0.53

xZ → x = 10.67 mm.

Significa que el 95% de los tubos fabricados tienen un diámetro de alrededor de los

10.67 mm.

Veamos la solución del ejemplo 7.3 utilizando los programas y basados

fundamentalmente en las probabilidades acumuladas de la normal.

281

En Excel:

Para hallar la distribución de probabilidades acumuladas normales, en la hoja de

cálculo definimos en la columna A los valores de la variable x = 8.5, 9.0 y 11.0. En la

columna B, definimos las probabilidades acumuladas F(x).

Para hallar las probabilidades acumuladas, estando en la casilla B2, en funciones

del Excel, escogemos Estadísticas (de seleccionar una categoría) y buscamos la

función DISTR.NORM y aparece la ventana de diálogo de la Figura 7.14.

Figura 7.14 Cálculo de probabilidades acumuladas con la normal en Excel

En Argumentos de función se define: el valor de X = A2 (8.5) para poder efectuar

una copia para los demás valores de x, Media = µ = 9.8, Desv_estándar = σ = 0.53 y

en Acum escribir VERDADERO [para obtener las probabilidades acumuladas, si se

escribe FALSO se obtiene la densidad de probabilidades f(x)]. Al hacer clic en

Aceptar, aparece la probabilidad acumulada F(8.5) = 0.007087.

282


copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3 y B4, cuyos resultados son:

Nota.- para hallar los resultados iniciales del ejemplo 7.3, se hizo una aproximación de

los valores Z, para poder usar la “vieja” tabla de la distribución normal estándar,

resultados que difieren de los acumulados F(x) encontrados con el programa, ya que

éste internamente hace la estandarización y da una mejor aproximación. Sin embargo,

el Excel también permite obtener los Φ(z) con la función DIST.NORM.ESTAND(z).

Tal como se muestra en los resultados anteriores difieren los F(x) y Φ(z).

Para hallar el inverso de probabilidades acumuladas (calcular el valor del cuantil x ,

para una probabilidad acumulada = p) usar la función DIST.NORM.INV(p, µ, σ) que

para la parte c) del ejemplo 7.3 escribir =DIST.NORM.INV(0.95,9.8,0.53) en el

recuadro al lado de , al hacer enter se obtiene x = 10.67177 mm. similar al

anteriormente hallado.

En Minitab:

Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Normal y aparece la ventana






En el Ejemplo 7.3, la variable aleatoria X = diámetro de los tubos en mm. ~ N (9.8,

0.53) parámetro indicado en la Figura 7.15.

Para resolver la parte a) y b) se necesita el cálculo de probabilidades acumuladas

F(8.5), F(9.0) y F(11.0) que se explican a continuación.

283

Figura 7.15 Probabilidad acumulada con la distribución normal en Minitab


indicar los parámetros requeridos por la distribución normal en Mean = media = µ =

9.8 y en Standard deviation = desviación estándar = σ = 0.53.

Para efectuar el cálculo F(8.5) de la parte b) del Ejemplo 7.3 necesitamos seleccionar

y en el recuadro escribir 8.5. Al hacer clic en OK, en la hoja de

Session aparece este resultado:


Normal with mean = 9.8 and standard deviation = 0.53

x P( X <= x )

8.5 0.0070869

Se procede del mismo modo para hallar F(9.0) y F(11.0).

También se puede calcular probabilidades acumuladas para varios valores de X, en una

columna de la worksheet definimos dichos valores como x y en otra columna F(x) para

obtener los resultados. Para ello, en la figura 7.15 en vez de escoger Input constant: se

selecciona y escoge x en el recuadro; y en Optional storage: se escoge

284

F(x) para que los resultados los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK,

en la Worksheet aparecen los resultados siguientes:

De la tabla, se obtiene rápidamente P(8.5 ≤ X ≤ 11.0) = F(11.0) – F(8.5) = 0.988218 –

0.007087 = 0.981131. Ligeramente diferente al 0.99252 encontrado en b).




de la Figura 7.16.

Figura 7.16 Graficando probabilidades acumuladas con la normal en Minitab

En Distribution: hacer clic en , escoger la distribución Normal e indicar µ = 9.8 y σ

= 0.53. Luego hacer clic en . En Define Shaded Area By escoger ,

luego e indicar los valores X1 = 8.5 y X2 = 11.0 [ya que queremos hallar P(8.5 ≤

X ≤ 11.0) y el gráfico con dicha área sombreada].

285

Para finalizar hacer clic en OK y aparece el gráfico siguiente:

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

8.5 119.8

P(8.5 ≤ X ≤ 11.0) = 0.981

Distribution NormalMean=9.8, StDev=0.53



Figura 7.15 e indicar los parámetros de la distribución normal.

Para determinar el valor de x, para una probabilidad acumulada F(x) =0.95 en la parte

c) del Ejemplo 7.3 necesitamos seleccionar y en el recuadro escribir

0.95. Al hacer clic en OK, en la hoja de Session aparece este resultado:


Normal with mean = 9.8 and standard deviation = 0.53

P( X <= x ) x

0.95 10.6718

El 95% de los tubos tiene un diámetro menor o igual a 10.6718 mm.

En SPSS:


variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (8.5, 9.0, 11.0).

286




Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Normal y con un clic en

ingresarla al recuadro Expresión numérica: donde aparece CDF.NORMAL(?,?,?).


CDF.NORMAL(cant,media,desv_típ) que se precisan en el recuadro central de la

Figura 7.17. Así cant representa los valores de la variable x, media = µ = 9.8 y desv_típ

= σ = 0.53.

Figura 7.17 Cálculo de probab. acumuladas con la distribución normal en SPSS


Figura 7.18.

Los resultados obtenidos son idénticos a los del Excel y Minitab.

287

Figura 7.18 Probabilidades acumuladas con la distribución normal en SPSS

En R:

Para calcular probabilidades acumuladas con la exponencial usar la función

pnorm(x,µ,σ). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos

previamente, µ = media, y σ = desviación estándar.

En el ejemplo 7.3, X = diámetro de los tubos en mm. ~ N (9.8, 0.532). Para determinar

las probabilidades acumuladas correspondientes a los valores 8.5, 9.0 y 11.0 se define

un vector x con esos valores y luego las probabilidades acumuladas F se calculan así:

> x=c(8.5,9.0,11.0)

> F=pnorm(x,9.8,0.53)

> cbind(x,F)

x F

[1,] 8.5 0.007086862

[2,] 9.0 0.065593960

[3,] 11.0 0.988217584


x o q, para una probabilidad acumulada dada) usar la función qnorm(x,µ,σ). Donde p

es una o un conjunto de probabilidades acumuladas definidas previamente.


0.95 se procede así:

> qnorm(0.95,9.8,0.53)

[1] 10.67177

El 95% de los tubos tiene un diámetro menor o igual a 10.6718 mm.

288

7.5 DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO

Definición.- Sean Z1, Z2, ..., Zr, variables aleatorias independientes, cada una con

distribución normal estándar, Zi ~ N(0 , 1) . Entonces, la variable aleatoria

22

2

2

1 ...² rZZZx

tiene una distribución chi-cuadrado con r grados de libertad, si su función de

densidad de probabilidades está dada por:

)(2 xfX

= 2/1

2

2

22

1 x

r

rex

r , 0 < x <

= 0 , en otros casos

Donde:

Γ representa el gamma de un número, 0

1)( dxeXn xn , n > 0. Si n es

entero positivo )(n = (n – 1)! . Además, 2

1 .

r = grados de libertad (GL) representa el número de variable aleatorias

independientes que se suman o el número de variables que pueden variar

libremente. En regresión y econometría es el rango de una matriz (máximo

número de columnas linealmente independientes) asociadas a formas

cuadráticas delas sumas de cuadrados.

Si la variable aleatoria X tiene distribución chi-cuadrado con r grados de libertad,

la denotaremos como X ~ 2

rX .

Media y varianza de la distribución chi-cuadrado

La media y la varianza de la distribución chi-cuadrado son:

= E(x²) = r y ² = Var(x²) = 2r


El cálculo de probabilidades para la variable aleatoria chi-cuadrado, se efectúa

utilizando las Tablas de Chi – Cuadrado, las mismas que han sido elaboradas

289

utilizando la función de distribución acumulativa de probabilidades que en la

mayoría de los casos son del tipo de acumulación menor o igual que.

Así tenemos que, la probabilidad que la variable aleatoria X con distribución

3012 rxr sea menor o igual a un valor constante 2x , representada por:

2XXP , 0 ≤ ≤ 1

Está dada por:

dxexr

dxxfxXP

xrx

r

x

X

21

2

02

0

222

2

22

1

y su gráfica es:

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

X

De

nsit

y

Xα

α

Chi-Square, df=25

Distribution chi-cuadrado

Ejemplo 7.4

Si la variable aleatoria X ~ 2

25X . Hallar: a) ¿Qué proporción de valores de X son

mayores que 40.6?; b) ¿Qué proporción de valores de X se encuentran entre 14.6 y

37.7?; y c) ¿por debajo de que valor se encuentra el 10% de los valores de X?

Solución

La variable aleatoria X ~ 2

25X . Entonces, usando la tabla de chi-cuadrado se tiene que:

290

a) P[X > 40.6] = 1 - P[ 2

25X ≤ 40.6] = 1 – 0.975 = 0.025.

Significa que el 2.5% de los valores de X ~ 2

25X son mayores que 40.6.

b) P(14.6 ≤ X ≤ 37.7) = P[ 2

25X ≤ 37.7] - P[ 2

25X ≤ 14.6] = 0.95 – 0.05 = 0.90

Significa que el 90% de los valores de X ~ 2

25X se encuentran entre 14.6 y 37.7.


0.10 = P( 2

25X ≤ x) → x = 2

25,0.10X = 16.5

Significa que el 10% de los valores de X ~ 2

25X son menores que 16.5.


fundamentalmente en las probabilidades acumuladas de la chi-cuadrado.

En Excel:

Para hallar la distribución de probabilidades acumuladas chi-cuadrado, en la hoja de

cálculo definimos en la columna A los valores de la variable x = 14.6, 37.7 y 40.6. En

la columna B, definimos las probabilidades acumuladas, que en Excel vienen dadas

por F(x) = P(X > x).



función DISTR.CHI y aparece la ventana de Argumentos de función donde se

define: el valor de X = A2 (14.6) para poder efectuar una copia para los otros valores

de x, y en el recuadro de Grados_de libertad escribir 25. Una forma directa de

cálculo es escribir =DISTR.CHI(A2,25) en el recuadro al lado de . Al hacer clic en

Aceptar, aparece la probabilidad acumulada F(14.6) = 0.950239.


copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3 y B4, los resultados se presentan en

la Figura 7.19. Se puede apreciar que se ha calculado una columna de 1 – F(x) cuyos

resultados son parecidos a los usados en la solución manual del Ejemplo 7.4.

291

Figura 7.19 Cálculo de probabilidades acumuladas con la chi-cuadrado en Excel


para una probabilidad acumulada = p) usar la función PRUEBA.CHI.INV(1-p, GL)

que para la parte c) del ejemplo 7.4 es PRUEBA.CHI.INV(0.90, 25) al hacer enter se

obtiene x = 16.4734 similar al 16.5 hallado con la tabla de chi-cuadrado.

En Minitab:

Del menú escoger Calc → Probability Distributions → Chi-Square y aparece la

ventana de diálogo Chi-Square Distribution. El procedimiento de cálculo es similar

al ejecutado con las distribuciones de probabilidades antes vistas. Es decir, el cálculo

para una constante (Input constant, con el resultado en la ventana Session) o para

varios valores definidos previamente en una columna de la Worksheet (Input column,

con los resultados en la worksheeet) que usaremos de aquí en adelante.


indicar el parámetro requerido Degrees of freedom (grados de libertad) escribir 25 en

el recuadro.

Para calcular las probabilidades acumuladas para los valores de X del ejemplo 7.4, en

una columna de la worksheet definimos como x los valores 14.6, 37.7 y 40.6; y en otra

columna F(x) para obtener los resultados. Para ello, seleccionar y

escoge x en el recuadro; y en Optional storage: se escoge F(x) para que los resultados

los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen

los resultados siguientes:

292

Resultados idénticos a los obtenidos con el Excel en la columna 1 – F(x).

De la tabla, se obtiene rápidamente P(14.6 ≤ X ≤ 37.7) = F(37.7) – F(14.6) = 0.950526

– 0.049761 = 0.900765. Ligeramente diferente al 0.90 encontrado en b).




Probability Distribution Plot – Probability.

En Distribution: hacer clic en , escoger la distribución Chi-Square e indicar el

parámetro requerido Degrees of freedom (grados de libertad) escribir 25 en el

recuadro.

Luego hacer clic en . En Define Shaded Area By escoger , luego

e indicar los valores X1 = 14.6 y X2 = 37.7 [ya que queremos hallar P(14.6 ≤ X

≤ 37.7) y el gráfico con dicha área sombreada].


0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

0.01

0.00

X

De

nsit

y

14.6

0.901

37.7

Distribution PlotChi-Square, df=25

Figura 7.20 Gráfico de P(14.6 ≤ X ≤ 37.7) con la chi-cuadrado en Minitab

293



ventana de diálogo Chi-Square Distribution e indicar los grados de libertad 25.





Chi-Square with 25 DF

P( X <= x ) x

0.1 16.4734

El 10% de los valores de X ~ 2


En SPSS:


variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (14.6, 37.7, 40.6).




Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.Chisq y con un clic en

ingresarla al recuadro Expresión numérica: donde aparece CDF.CHISQ(?,?).


CDF.CHISQ(cant,gl) que se precisan en el recuadro central de la Figura 7.21. Así cant

representa los valores de la variable x y gl = grados de libertad = 25. Para finalizar

hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados siguientes:

294

Figura 7.21 Cálculo de probab. acumuladas con la chi-cuadrado en SPSS

En R:

Para calcular probabilidades acumuladas con la chi-cuadrado usar la función

pchisq(x,gl). Donde x puede ser un valor o un conjunto de valores definidos

previamente, gl = grados de libertad.

En el ejemplo 7.4, X ~ 2

25X . Para determinar las probabilidades acumuladas

correspondientes a los valores 14.6, 37.7 y 40.6 se define un vector x con esos valores

y luego las probabilidades acumuladas F se calculan así:

> x=c(14.6,37.7,40.6)

> F=pchisq(x,25)

> cbind(x,F)

x F

[1,] 14.6 0.04976093

295

[2,] 37.7 0.95052629

[3,] 40.6 0.97471962


x o q, para una probabilidad acumulada dada) usar la función qchisq(x,gl). Donde p es

una o un conjunto de probabilidades acumuladas definidas previamente.



> qchisq(0.10,25)

[1] 16.47341

El 10% de los valores de X ~ 2


7.6 DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT

Definición.- Sea Z una variable aleatoria normal estándar N(0, 1). Sea X2 ~ 2

rX una

variable aleatoria que tiene una distribución chi-cuadrado con r grados de libertad, y si

Z y X2 son independientes, entonces la variable aleatoria (v.a.)

Y

rZ

r

X

ZT

2 ~ t r

tiene una distribución t , con r grados de libertad, y su función de densidad de

probabilidades está dada por:

2

1

²1

2

2

1r

r

t

rr

r

tf , - < t <

Notación: decir que la variable aleatoria T tiene distribución t con r grados de

libertad, la denotaremos como T ~ t r .

296

Media y Varianza:

La media y la varianza de la v. a. T con r grados de libertad son:

E(T) = T = 0 , r > 1

Var(T) = 2

2

r

rT , r > 2

Función de Distribución Acumulativa de Probabilidades.-

El cálculo de probabilidades para variable aleatoria t, se efectúa utilizando las

Tablas de t, las mismas que han sido elaboradas utilizando la función de

distribución acumulativa de probabilidades que en la mayoría de los casos son del

tipo de acumulación menor o igual que.

Así tenemos que, la probabilidad que la variable aleatoria T con distribución tr (1

r < 30) sea menor o igual a un valor constante t , representada por:

tTP , 0 < < 1

Está dada por:

dtr

t

rr

r

dttftTP

rt

t 2

1

²1

2

2

1

cuya representación gráfica es la siguiente:

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

Tα

α

0

Distribution tgl = df=25

297

La distribución t es una distribución simétrica como la normal y se cumple que:

F(-a) = P[ T ≤ -a] = 1 - P[ T ≤ a] = 1 - F(a)

Ejemplo 7.5

Si la variable aleatoria X ~ T25. Hallar: a) ¿Qué proporción de valores de X son

mayores que 2.485?; b) ¿Qué proporción de valores de X se encuentran entre -1.316 y

2.060?; y c) ¿por debajo de que valor se encuentra el 5% de los valores de X?

Solución

La variable aleatoria X ~ T25. Entonces, usando la tabla de t se tiene que:

a) P[X > 2.485] = 1 - P[T25 ≤ 2.485] = 1 – 0.99 = 0.01.

Significa que el 1.0% de los valores de X ~ T25 son mayores que 2.485.

b) P(-1.316 ≤ X ≤ 2.060) = P[T25 ≤ 2.060] - P[T25 ≤ -1.316] =

= P[T25 ≤ 2.060] – 1 - P[T25 ≤ 1.316] = 0.975 – 1 - 0.90 = 0.875

Significa que el 87.5% de los valores de X ~ T25 se encuentran entre -1.316 y 2.06.


0.05 = P(T25 ≤ x) → x = T25, 0.05 = -1.708

Significa que el 5% de los valores de X ~ T25 son menores que -1.708.


fundamentalmente en las probabilidades acumuladas de la distribución t.

En Excel:

Para hallar la distribución de probabilidades acumuladas T, en la hoja de cálculo

definimos en la columna A los valores de la variable x = 1.316, 2.060 y 2.485. En la

columna B, definimos las probabilidades acumuladas, que en Excel vienen dadas por

F(x) = P(X > x). Excel considera x > 0 y en el cálculo usar la simetría.

298



función DISTR.T y aparece la ventana de Argumentos de función donde se define:

el valor de X = A2 (1.316) para poder efectuar una copia para los otros valores de x,

en el recuadro de Grados_de libertad escribir 25 y en colas escribir 1. Una forma

directa de cálculo es escribir =DISTR.T(A2,25,1) en el recuadro al lado de . Al

hacer clic en Aceptar, aparece la probabilidad acumulada F(1.316) = 0.100057.


copia de lo anterior para las celdas sucesivas en B3 y B4, los resultados se presentan en

la Figura 7.22. Se puede apreciar que se ha calculado una columna de 1 – F(x) cuyos

resultados son parecidos a los usados en la solución manual del Ejemplo 7.4.

Figura 7.22 Cálculo de probabilidades acumuladas con la t en Excel


para una probabilidad acumulada = p) usar la función DISTR.T.INV(2p, GL) que es

para 2 colas (por eso 2p). Para la parte c) del ejemplo 7.5 es DISTR.T.INV(0.10, 25) al

hacer enter se obtiene x = 1.708141(en valor absoluto) similar al -1.708 hallado con la

tabla de T.

En Minitab:

Del menú escoger Calc → Probability Distributions → t y aparece la ventana de

diálogo t Distribution. El procedimiento de cálculo es similar al ejecutado con las

distribuciones de probabilidades anteriores. Es decir, el cálculo para una constante

(Input constant, con el resultado en la ventana Session) o para varios valores definidos

previamente en una columna de la Worksheet (Input column, con los resultados en la

worksheeet) que se esta usando.

299


indicar el parámetro requerido Degrees of freedom (grados de libertad) escribir 25 en

el recuadro.

Para calcular las probabilidades acumuladas para los valores de X del ejemplo 7.5, en

una columna de la worksheet definimos como x los valores -1.316, 2.060 y 2.485; y en

otra columna F(x) para obtener los resultados. Para ello, seleccionar y

escoge x en el recuadro; y en Optional storage: se escoge F(x) para que los resultados

los deposite en la misma Worksheet. Al hacer clic en OK, en la Worksheet aparecen

los resultados siguientes:

Resultados idénticos a los obtenidos con el Excel en la columna 1 – F(x).

De la tabla, se obtiene rápidamente P(-1.316 ≤ X ≤ 2.060) = F(2.060) – F(-1.316) =

0.975024 – 0.100057 = 0.874967. Aproximadamente el 0.875 encontrado en b).




Probability Distribution Plot – Probability.

En Distribution: hacer clic en , escoger la distribución t e indicar el parámetro

requerido Degrees of freedom (grados de libertad) escribir 25 en el recuadro.

Luego hacer clic en . En Define Shaded Area By escoger , luego

e indicar los valores X1 = -1.316 y X2 = 2.060 [ya que queremos hallar P(-1.316

≤ X ≤ 2.060) y el gráfico con dicha área sombreada].


300

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

X

De

nsit

y

-1.316

0.875

2.060

Distribution Tgl = df=25

Figura 7.23 Gráfico de P(-1.316 ≤ X ≤ 2.060) con la t en Minitab



ventana de diálogo Chi-Square Distribution e indicar los grados de libertad 25.





Student's t distribution with 25 DF

P( X <= x ) x

0.05 -1.70814

El 5% de los valores de X ~ T25 son menores que -1.70814.

En SPSS:


variables se define x y en la vista de datos se ingresan los mismos (-1.316, 2.060 y

2.485).

301




Funciones y variables especiales: seleccionar Cdf.T y con un clic en ingresarla

al recuadro Expresión numérica: donde aparece CDF.T(?,?).


CDF.T(cant,gl) que se precisan en el recuadro central de la Figura 7.24. Así cant

representa los valores de la variable x y gl = grados de libertad = 25. Para finalizar

hacer clic en Aceptar y en la vista de datos aparece los resultados siguientes:

Figura 7.24 Cálculo de probab. acumuladas con la t en SPSS

302

En R:

Para calcular probabilidades acumuladas con la T usar la función pt(x,gl). Donde x

puede ser un valor o un conjunto de valores definidos previamente, gl = grados de

libertad.

En el ejemplo 7.5, X ~ T25. Para determinar las probabilidades acumuladas

correspondientes a los valores (-1.316, 2.060 y 2.485) se define un vector x con esos

valores y luego las probabilidades acumuladas F se calculan así:

> x=c(-1.316,2.060,2.485)

> F=pt(x,25)

> cbind(x,F)

x F

[1,] -1.316 0.1000570

[2,] 2.060 0.9750238

[3,] 2.485 0.9899976


x o q, para una probabilidad acumulada dada) usar la función qt(x,gl). Donde p es una

o un conjunto de probabilidades acumuladas definidas previamente.



> qt(0.05,25)

[1] -1.708141

El 5% de los valores de X ~ T25 son menores que -1.708141.

303

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. Arriaza A.J. y Otros (2008). “Estadística Básica con R y R-Commander”. UCA,

Universidad de Cádiz. Documento HTML.

http://knuth.uca.es/repos/ebrcmdr/pdf/actual/ebrcmdr.apendices.pdf

2. Bazán, Juan y Corbera, José (1997). “Problemas de probabilidad”. Trabajo de

investigación para la Facultad de Ciencias Económicas de la Universidad

Nacional del Callao, Callao, Perú, 156 p.

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pdf. Posgrado en Estadística de la Universidad Nacional de Medellín, Colombia,

299 p.

4. Chué, Jorge y Otros (2007). “Estadística descriptiva y probabilidades”. Lima,

Perú. Fondo Editorial Universidad de Lima, 294 p.

5. Instituto Nacional de Estadística e Informática (2006). “Norma Técnica para la

elaboración de cuadros estadísticos”. Resolución Jefatural Nº 312-2006 INEI,

publicada en la página web:

http://www.inei.gob.pe/documentospublicos/nt_cestadisticos.pdf

6. Instituto Nacional de Estadística e Informática (2009). “Indicadores

Demográficos-Población”. Censos Nacionales de Población y Vivienda,

publicada en la página web: http://www.inei.gob.pe/ . Perú en cifras.

7. Paradis, Emmanuel (2002). “R para principiantes”, Manual pdf del Institut des

Sciences de l‟Évolution Universit Montpellier II, F-34095 Montpellier cdex 05,

Francia, 61 p. Traducido por Jorge A. Ahumada, University of Hawai, 2003.

8. Pérez, César (2002). “Estadística aplicada a través de Excel”. Madrid, España.

Editorial Pearson-Prentice Hall, 596 p.

9. Tukey, John Wilder. 1977. “Exploratory Data Analysis”. Adisson-Wesley

Publishing Company: Reading, Massachusetts.

10. Visauta, Bienvenido. “Análisis estadístico con SPSS para Windows”. Madrid,

España. Editorial Mc Graw-Hill, 1997.

http://knuth.uca.es/repos/ebrcmdr/pdf/actual/ebrcmdr.apendices.pdf

http://www.inei.gob.pe/documentospublicos/nt_cestadisticos.pdf

http://www.inei.gob.pe/

305

ANEXO

306

1 1 21 68 169 3900 5 150 36 11.30 2

2 1 16 69 172 800 5 50 42 13.33 1

3 1 20 63 170 1000 5 250 38 13.49 3

4 1 20 55 173 1200 5 60 42 12.40 1

5 1 21 57 167 800 5 90 34 12.29 1

6 2 19 48 152 1000 5 250 42 13.19 1

7 2 19 50 152 700 5 150 38 12.40 1

8 2 17 50 156 1000 4 400 42 12.60 1

9 2 19 44 154 600 6 20 50 13.96 1

10 1 19 60 171 3000 7 80 39 12.00 1

11 2 22 52.6 160 800 4 180 50 15.92 1

12 1 20 80 176 1800 6 150 38 13.00 1

13 2 19 52 164 1200 4 150 38 12.00 1

14 1 18 67 171 1000 4 250 50 15.92 1

15 2 17 46 154 1600 7 300 30 13.00 1

16 1 20 80 177 750 4 170 47 14.00 1

17 1 18 64 169 3000 6 200 35 12.00 1

18 1 18 64 171 2800 3 240 35 11.99 2

19 2 18 63 170 2000 5 160 35 12.00 1

20 1 23 72 179 4500 5 300 44 12.00 1

21 1 19 65 177 3500 6 200 42 13.00 2

22 2 20 47 165 2200 5 150 39 12.00 2

23 1 20 70 171 4000 5 200 35 11.00 1

24 2 22 50 158 1000 6 120 43 11.00 1

25 2 21 53 155 800 5 250 43 11.00 1

26 2 23 66 160 800 2 120 40 11.00 1

27 2 19 57 159 950 5 180 34 12.00 1

28 2 19 50.5 152 1000 4 150 25 11.00 1

29 1 20 80 175 1500 5 150 31 14.60 4

30 1 19 55 165 1800 7 200 35 12.20 3

31 1 18 88 175 1000 3 80 34 12.00 2

32 2 20 55 157 4000 5 230 37 12.30 1

33 1 20 75 177 800 3 250 34 13.00 1

34 1 21 64.5 165 800 5 70 38 13.50 1

35 2 18 50 149 800 2 250 34 13.00 1

36 2 21 49 164 900 6 300 50 12.00 1

37 1 19 54 164 3000 5 250 34 11.95 1

38 2 19 46.5 160 2000 5 160 38 12.35 1

39 2 19 49 161 1300 5 80 37 12.30 2

40 1 21 70 169 2500 5 100 34 11.35 3

41 2 19 48 150 600 4 100 40 12.63 1

42 1 20 60 168 750 6 120 27 10.00 1

43 1 20 75 172 2100 6 140 30 11.70 1

44 2 19 55 150 2500 5 150 38 11.00 1

45 1 21 51 156 600 5 200 50 13.00 4

46 1 21 72 174 800 5 120 43 11.50 1

BASE DE DATOS: ESTADÍSTICA BÁSICA 09-A

mie.

famg.estud cr.aprob

prom.

acumt.vi viendnº_cuest sexo edad peso talla

ing.

fam

(Continúa ….

307

…. Continuación)

47 1 22 68 175 1500 3 150 34 11.00 2

48 1 21 68 168 2000 4 180 52 11.79 1

49 1 21 55 165 1500 5 100 34 12.00 1

50 2 22 59 152 1300 8 240 48 11.00 1

51 1 22 65 172 1000 9 300 32 12.09 3

52 1 20 66 173 1000 4 250 29 11.70 1

53 2 22 51 156 900 7 100 16 12.00 1

54 2 23 53 155 1250 4 250 40 12.00 1

55 2 19 45 150 650 7 125 34 14.00 1

56 2 20 52 160 900 4 150 44 14.00 2

57 1 19 53 168 1000 5 250 36 15.00 1

58 1 18 67 172 1300 5 180 39 13.00 2

59 1 19 77 178 1200 5 150 30 12.00 1

60 2 22 53 157 600 3 150 35 11.00 1

1 3 8 8 1 2 4 4 2 2

2 7 4 25 15 2 4 3 2 1

3 2 30 35 5 1 5 3 1 2

4 3 3 4 4 4 4 4 2 2

5 4 4 6 3 2 4 4 1 2

6 2 6 30 2 2 5 2 1 2

7 4 8 12 3 2 4 3 1 2

8 3 10 12 4 5 5 3 1 2

9 4 8 30 5 4 5 3 1 1

10 5 15 30 4 1 4 2 2 2

11 3 10 15 10 4 5 3 1 1

12 7 6 16 3 2 5 3 1 2

13 4 26 26 3 4 5 5 2 2

14 4 7 15 3 1 4 3 1 1

15 3 8 10 4 3 5 3 2 2

16 3 12 14 3 3 5 4 1 2

17 4 10 14 2 2 5 5 2 2

18 3 6 18 5 2 4 3 2 1

19 6 12 10 8 5 4 2 2 2

20 4 5 10 3 4 5 4 1 2

21 2 14 20 2 2 4 4 1 2

22 3 6 25 3 2 4 4 2 2

23 4 14 24 2 1 4 4 1 1

24 7 8 8 4 2 3 4 1 2

25 6 7 6 7 2 4 5 1 2

26 3 14 15 4 4 4 3 1 2

27 4 5 8 4 2 5 3 1 2

28 3 3 5 3 2 5 3 1 2

29 3 6 15 3 1 5 3 1 1

30 10 21 9 3 4 5 3 2 2

31 3 16 9 3 1 4 4 1 2

nº_cuest sexo edad peso tallaing.

fam

mie.

fam

imp.

fisicocol. proc espe cial

nº.dor

mit

horas.

tv

hrs.

estud

lib.

leidoshobby

imp.

estudionº_cuest

g.estud cr.aprobprom.

acumt.vi viend

(Continúa ….

308

…. Conclusión)

32 4 3 9 3 2 5 1 1 1

33 3 8 14 4 2 5 4 1 2

34 3 12 16 3 2 4 3 2 2

35 1 12 12 6 4 4 2 1 2

36 4 12 30 8 2 5 3 1 1

37 4 14 14 5 2 4 3 2 2

38 4 10 5 3 3 5 3 1 2

39 3 30 28 5 4 5 4 1 2

40 3 12 28 4 2 5 2 1 2

41 3 16 14 10 1 5 3 1 2

42 2 6 10 0 1 3 3 1 2

43 7 10 7 3 4 4 3 2 2

44 3 14 14 2 4 5 4 1 2

45 3 7 12 1 2 5 3 1 1

46 5 21 35 3 2 4 3 1 2

47 2 10 10 2 1 2 4 1 1

48 3 21 14 3 1 5 4 2 1

49 3 10 18 2 2 5 4 1 2

50 10 8 10 3 2 4 3 1 2

51 4 5 10 7 1 5 5 1 2

52 5 10 14 5 1 5 5 2 2

53 8 10 18 4 2 4 5 1 1

54 3 9 10 2 3 4 4 1 2

55 4 4 10 3 2 4 5 1 2

56 2 8 8 8 4 5 4 1 2

57 3 14 5 2 1 3 3 1 2

58 3 14 14 5 1 4 3 1 2

59 3 14 30 5 1 4 3 1 2

60 2 15 16 3 2 3 4 1 2

Codificación:

SEXO TIPO DE VIVIENDA HOBBY IMPORTANCIA DE ….

1 = Hombre 1 = Casa Independiente 1 = Deporte 1 = Muy Poca

2 = Mujer 2 = Dpto. en Edificio 2 = Música 2 = Poca

3 = Quinta 3 = Baile 3 = Media

4 = Otro 4 = TV/Cine 4 = Mucha

5 = Otro 5 = Muchísima

COLEGIO DE PROCEDENCIA ESPECIALIZACIÓN

1 = Estatal 1 = Teoría Económica

2 = No Estatal 2 = Gestión Empresarial

imp.

estudio

imp.

fisicocol. proc espe cialnº_cuest

nº.dor

mit

horas.

tv

hrs.

estud

lib.

leidoshobby

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