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CAPÍTULO VI.-NÚMEROS ÍNDICES

ESTADÍSTICA (GRUPO 12)

TEMA 13.- NÚMEROS ÍNDICES.

DIPLOMATURA EN CIENCIAS EMPRESARIALES

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

2© Antonio Pajares Ruiz

1. CONCEPTO DE NÚMERO ÍNDICE.PLANTEAMIENTO DEL ANÁLISIS.-

Comparación de una serie de observaciones de una magnitud, ya sea en el tiempo o en el espacio, respecto a una situación inicial, que nos sirva de referencia.

Evolución temporal de la magnitud X entre 0 y t

X

0

t

x0

xt

COMPARACIÓN

d = xt- x0

c = xt/x0


1. CONCEPTO DE NÚMERO ÍNDICE.

Evolución temporal de la magnitud X entre 0 y t

d = xt- x0

xt = x0⇒ d=0

xt < x0⇒ d<0

xt > x0⇒ d>0

La magnitud no ha variado

La magnitud ha disminuido

La magnitud ha aumentado

Problema

Comparación por diferencias

Expresada en las unidades de medida de la magnitud

c = xt/x0

xt = x0⇒ c=1

xt < x0⇒ c<1

xt > x0⇒ c>1

La magnitud no ha variado

La magnitud ha disminuido

La magnitud ha aumentado

Comparación por cocientes


1. CONCEPTO DE NÚMERO ÍNDICE.Definición

Razón entre cada valor de la magnitud objeto de análisis y un determinado valor de ésta, que tomamos como referencia.

Tipos de magnitudes:

Simple: Susceptible de ser medida y observada en la realidad.Compuesta: No tiene una definición precisa o no es observable en la práctica con facilidad.

Situación inicial (base o de referencia):

Espacio o momento temporal que se va a tomar como término de comparación.Esta situación no debe ser anómala.


2. NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES:CONCEPTO Y PROPIEDADES. ÍNDICES EN CADENA.

NÚMERO ÍNDICE SIMPLE

Concepto

Estadístico que mide la evolución en el tiempo o/y en el espacio de una determinada magnitud simple.

Para la magnitud X en 0 sobre t:

Estadístico que mide la evolución entre 0 y t de la magnitud X.

Resultado del cociente entre el valor que toma X en t y el valor de tal magnitud en 0.

X tt /0

0

xI

x=



NÚMERO ÍNDICE SIMPLE

Ej.: Estudiar la evolución del número de turistas (en miles) que entraron en España provenientes de Francia y Canadá entre los años 1992 y1997, determinando los correspondientes índices.

15325541997116175019968512301995651351199456123019934410351992

TuristasCanadienses

TuristasFrancesesAños

3,47722,467619972,63631,690819961,93181,188419951,47721,305319941,27271,18841993

111992It/92

CIt/92FAños



NÚMERO ÍNDICE SIMPLEPropiedades

1. Existencia.-El número índice está determinado, tomando un valor finito y distinto de cero.

2. Identidad.-Cuando coinciden el período o espacio base y el período o espacio de análisis, el índice es igual a la unidad.

I0/0=It/t=13. Inversión temporal.-

El índice para una determinada magnitud en t sobre 0 coincide con el inverso del índice de esa misma magnitud en 0 sobre t.

Xt /0 X

0 / t

1I

I=




4. Circularidad.-El número índice para una determinada magnitud en t sobre 0 se puede expresar como el producto del índice para esa magnitud en t sobre s y del índice para tal magnitud en s sobre 0, siendo s unmomento o espacio distinto de t y de 0.

X X Xt /0 t / s s /0I I I= ⋅

5. Homogeneidad.-Si el valor de la magnitud objeto de análisis lo multiplicamo por una constante c cualquiera, distinta de cero, el índice correspondiente a la magnitud transformada en t sobre 0 no varía respecto del mismo para la magnitud original.

Y c X= ⋅ Y Xt /0 t /0I I=




6. Proporcionalidad.-Si el valor de una determinada magnitud varía en una determinadaproporción respecto a la situación de partida, el índice definido sobre la misma para la magnitud transformada variaría en igual medida.

( )t ty 1 k x= + ⋅ ( )Y Xt /0 t /0I 1 k I= + ⋅

NÚMEROS ÍNDICES EN CADENASon aquellos que toman como referencia siempre el período anterior al período de análisis.Se determinan matemáticamente como el cociente entre el valor que toma la magnitud en los dos períodos sucesivos.

X X tt t / t 1

t 1

xC I

x−−

= =



NÚMEROS ÍNDICES EN CADENA

Ft / t 1

Ft / 92

Ft 1 / 92

I

II

−

−

=

=

Ej.: Para los datos sobre del número de turistas franceses (en miles) que entraron en España entre 1992 y 1997, calcular la serie de índices en cadena.

255497

175096

123095

135194

123093

103592

FrancesesAños

1,459497

1,422796

0,910495

1,098394

1,188493

-92

It/t-1FAños

2,467697

1,690896

1,188495

1,305394

1,188493

192

It/92FAños



CAMBIOS DE BASE PARA SERIES DE NÚMEROS ÍNDICESPlanteamiento.-

Se trata de modificar el período base o de referencia de una serie de números índices definida sobre una determinada magnitud, en la que aquella es un período de la serie primitiva, generando una nueva serie para ésta con una base distinta.

X X X X X0 /0 1 /0 2 /0 h /0 t /0I ; I ; I ; ...; I ; ...; I

X X X X X0 /h 1 /h 2 /h h /h t /hI ; I ; I ; ...; I ; ...; I

Xh /hI 1=

Para conseguirlo, basta con aplicar las propiedades analizadas para los índices simples:

Identidad:

X0 /h X

h /0

1I

I=

X X X1 /h 1 /0 0 /hI I I= ⋅

Invertibilidad:

Circularidad:

X1/0X X

1/h 1 /0 X Xh /0 h /0

I1I I

I I= ⋅ =



CAMBIOS DE BASE PARA SERIES DE NÚMEROS ÍNDICES

¿Cómo se realiza el cambio de base?

Si se cumplen estas propiedades genéricas, para calcular el índice de la magnitud para cada período con la nueva base, bastará con dividir el índice para ese período con base antigua entre el índice para el período que representa la nueva base con base en la anterior.

Xk /0X

k /h Xh /0

II

I= k 0,1,2,....., t∀ =



CAMBIOS DE BASE PARA SERIES DE NÚMEROS ÍNDICESEj.: Determinación de los índices de entradas en España de turistas franceses (en miles) entre los años 1992 a 1997 con base en 1997.

255497

175096

123095

135194

123093

103592

FrancesesAños

2,467697

1,690896

1,188495

1,305394

1,188493

192

It/92FAños

197

0,685296

0,481695

0,529094

0,481693

0,405292

It/97FAños

Fk /97I

Fk / 92F97 /92

II



ENLACES DE SERIES DE NÚMEROS ÍNDICESPlanteamiento.-

Tenemos 2 ó más series de índices sobre una determinada magnitud.Cada una de las series tiene una base distinta.Todas las series tienen, al menos, un período en común.Pretendemos definir todas las series con la misma base.

X X X X0 /0 1 /0 2 /0 h /0I ; I ; I ; ...; I

X X X Xh /h h 1 /h h 2 /h t /hI ; I ; I ; ...; I+ +

X X Xk /0 k /h h /0I I I= ⋅

k h 1,h 2,....., t∀ = + +

¿Cómo se realiza el enlace?

Considerando la propiedad de la circularidad, bastará con cambiar la base de la/s serie/s que no presenta/n la base común al período (común) que se determine.

X X X X X0 /0 1 /0 h /0 h 1 /0 t /0I ; I ; ...; I ; I ; ...; I+



ENLACES DE SERIES DE NÚMEROS ÍNDICESEj.: Estudiar la evolución de la entrada en España de turistas franceses (en miles) entre 1987 y 1997, a partir de la serie de números índices simples de los años 1987 a 1992, con base en 1987; y la de los años 1992 a 1997, con base en 1992.Para ello, determinamos una serie única con base en 1992.

1,1692

1,14491

1,1490

1,0889

1,0588

187It/87

FAños

2,467697

1,690896

1,188495

1,305494

1,188493

192It/92

FAñosFk /92I

Fk /87F92 /87

II

1920,9862910,9827900,9310890,9051880,862087It/92

FAños

2,4676971,6908961,1884951,3054941,188493

192It/92

FAños



TASAS DE VARIACIÓNVariación absoluta

Es la diferencia entre los valores que alcanza dicha magnitud en el intervalo temporal considerado.En términos de la magnitud:

t sx x−

t s t s

0 0 0

x x x xx x x−

= −

En términos del índice:

X X Xt /0 s /0 t / sI I I− = Δ

Variación relativa

Es la diferencia entre los valores que alcanza dicha magnitud en el intervalo considerado, expresada en función del valor de origen.En términos de la magnitud:

t s

s

x xt / s xTV −=

t s

t s 0 0

s s

0

x xx x x x

x xx

−− =

En términos del índice (TVt/s):

X X Xt /0 s /0 t / s

X Xs /0 s /0

I I II I− Δ

=



TASAS DE VARIACIÓNVariación relativa (Propiedades)

La variación relativa de una magnitud es la variación absoluta de dicha magnitud en el intervalo de s a t con referencia al valor inicial.Para los índices simples, la tasa de variación de la magnitud coincide con la tasa de variación del índice.Cuando el período inicial es el período 0 y los índices tienen como base dicho período, la variación relativa coincide con la variación absoluta.

Dados dos períodos de tiempo consecutivos t y t-1, existe una relación entre la tasa de variación de la magnitud X entre dichos períodos y el índice en cadena correspondiente.

t t 1

t t 1 t 1 t 1

t 1 t 1

t 1

x xx x x x

t / t 1 x xx

TV−

− − −

− −

−

−−

− = =

Xt / t 1 t / t 1TV I 1− −= −

Xt / t 1 t / t 1I TV 1− −= +



TASAS DE VARIACIÓNEj.: Cuantificar la evolución de la entrada en España de turistas franceses (en miles) entre los años 1992 a 1997, a partir de la correspondiente serie de índices con base en 1992.

2,4676971,6908961,1884951,3054941,188493

192It/92

FAños

Los turistas franceses entre los años 92 y 97 aumentaron un 146,76%, en tanto que la cifra ente los años 1996 y 1997 se incrementó en 77, 68 puntos, lo que supone una variación positiva del 45,94%.

F F F97/92 97/92 92/92ΔI I I

2,4676 1 1,4676

= − =

= − =

F F97/92 92/92

F92/92

I I97/92 I

2,4676 11

TV

1,4676

−

−

= =

= =F F F97/96 97/92 96/92ΔI I I

2,4676 1,69080,7768

= − =

= − ==

F F97/92 96/92

F96/92

I I97/96 I

2,4676 1,69081,6908

TV

0,4594

−

−

= =

= =



TASAS DE VARIACIÓNTasa media de variación acumulativa por período

ConceptoEs aquella de tasa de variación constante en que hemos de incrementar (o disminuir) de forma acumulada la cantidad xs durante todos los períodos para obtener al final la cantidad xt.

t st sx x (1 k) −= ⋅ + Xt t st s t/s

s

xk 1 I 1

x−−= − = −

X tt st / ss

xTMA 1

x−= −

PropiedadLas tasas medias acumulativas correspondientes a la magnitud X y al número índice simple siempre coinciden.

XXt /0I t 0t s t st / s Xs /0 s 0

I x / xTMA 1 1

I x / x− −= − = −



TASAS DE VARIACIÓNTasa media de variación acumulativa por período

Ej.: Calcular la tasa media acumulativa de crecimiento anual de la entrada en España de turistas franceses entre los años 1992 a 1997.

255417501230135112301035Franc.

2,4676971,6908961,1884951,3054941,188493

192It/92

FAños

El nº de turistas franceses entre los años 1992 y 1997 se incrementó anualmente, por término medio, a un ritmo constante del 19,8%.

97

92

xX 597 /92 xTMA 1= −

XX97 /92X92 /92

II 597 / 92 I

TMA 1= −

X 597 /92

2554TMA 1 0,198

1035= − =

XI 597 / 92

2,4676TMA 1 0,198

1= − =



NÚMEROS ÍNDICES SIMPLES DE PRECIOS, DE CANTIDADES Y DE VALOR

P tt /0

0

pI

p=

Q tt /0

0

qI

q=

V t tt /0

0 0

p qI

p q⋅

=⋅

Índice de precios:

Índice de cantidades:

Índice de valor:

Valor de un bien, artículo o servicio: V=P·Q

Propiedad de la inversión de los factores

Al multiplicar, para un conjunto de bienes, sus índices de precios y cantidades, se obtiene el índice de valor referido a tal grupo.Los índices simples de valor cumplen esta propiedad.

V t tt /0

0 0

p qI

p q⋅

=⋅

V t tt /0

0 0

p qI

p q= ⋅

V P Qt /0 t /0 t /0I I I= ⋅


3. NÚMEROS ÍNDICES AGREGADOS: FORMULACIONES MÁS USADAS Y PROPIEDADES.

Concepto de número índice agregado

Es un estadístico que mide, mediante sus variaciones, las variaciones en el tiempo o/y en el espacio de una magnitud que no tiene una definición precisa o no es susceptible de observación directa en la práctica.Por ello, se concreta desde los valores observados, en los distintos componentes en que se concreta la magnitud (X1, X2, ..., Xn).

X

0

t

x10, x20, ..., xio, ..., xnoX1X2..Xi..

Xnx1t, x2t, ..., xit, ..., xnt

x0

xt


3. NÚMEROS ÍNDICES AGREGADOS: FORMULACIONES MÁS USADAS Y PROPIEDADES.ÍNDICES COMPLEJOS SIMPLES

Media agregativa simple

Inconvenientes:Las magnitudes simples a agregar vienen dadas en distintas unidades.No es invariante ante un cambio en las unidades de medida de 1 ó más componentes de la magnitud global (yi=ci·xi), salvo que el cambio sea el mismo para todos los componentes.

n

itX i 1t /0 n

i0i 1

xI

x

=

=

=∑

∑

n n

it i it1 1t 2 2t n nti 1 i 1

n n1 10 2 20 n n0

i0 i i0i 1 i 1

y c xc x c x .... c xY

t /0 c x c x ..... c xy c x

I = =

= =

⋅⋅ + ⋅ + + ⋅⋅ + ⋅ + + ⋅

⋅

∑ ∑= = =∑ ∑

n

iti 1n

i0i 1

xXt /0

xI =

=

∑=∑


3. NÚMEROS ÍNDICES AGREGADOS: FORMULACIONES MÁS USADAS Y PROPIEDADES.ÍNDICES COMPLEJOS SIMPLES

i

nXX

t /0 t /0i 1

1I I

n =

= ∑

Media aritmética simple

i

nn

itnXX i 1n

t /0 t /0 ni 1

ni0

i 1

XI I

X

=

=

=

= =Π

ΠΠ

Media geométrica simple

Puede considerarse como un índice simple.

i

Xt /0 n

Xi 1 t /0

nI

1I=

=

∑

Media armónica simple



ÍNDICES COMPLEJOS PONDERADOS

Su razón de serDar una importancia diversa a cada uno de los componentes de la magnitud compleja analizada, otorgando a éstos una ponderación.

n

ii 1

Si w 0=

≠∑

Ponderaciones (wi).-Peso otorgado a la modalidad i-ésima de la magnitud, que refleja la importancia de ésta respecto de la magnitud global.

Ponderaciones normalizadas (αi: ).-Peso otorgado a la modalidad i-ésima de la magnitud, que refleja la importancia relativa de ésta respecto de la magnitud global.

in

ii 1

wi

w=

α =∑

n

ii 1

1=

α =∑




n

i iti 1n

i i0i 1

xXt /0

xI =

=

α ⋅

α ⋅

∑=∑

Media agregativa ponderada

i

nXX

t /0 i t /0i 1

I I=

= α ⋅∑

Media aritmética ponderada

( ) ii

nXX

t /0 t /0i 1

I Iα

=

= Π

Media geométrica ponderada

i

Xt /0 n

iX

i 1 t /0

1I

I=

=α∑

Media armónica ponderada

No es invariante ante cambios de escala en uno o más componentes de la magnitud.

Puede considerarse como un índicesimple.




Algunas consideraciones generales sobre su uso:

Los índices complejos ponderados son siempre preferibles a los no ponderados.

Los índices media aritmética ponderada y media armónica ponderada no cumplen ni la propiedad de la inversión ni la propiedad de lacircularidad.

A nivel práctico, se suele utilizar casi siempre la media aritmética ponderada, dada su sencillez de manejo y propiedades algebraicas.



Ej.: Queremos analizar la evolución durante el trienio 1994-96 del volumen de producción (en miles de unidades fabricadas) de una empresa automovilística que fabrica tres tipos diferentes de vehículos (A, B y C). Para ello, vamos a determinar los índices media agreagativay media aritmética, tanto en su versión simple como ponderada.

3772471996

3871481995

4070501994

Tipo C

Tipo B

Tipo AAños X: Volumen de producción de la empresa

X1: Produccióndel vehículo A(103 udes.)

X2: Produccióndel vehículo B(103 udes.)

X3: Produccióndel vehículo C(103 udes.)



Ej.: Análisis de la evolución durante el trienio 1994-96 del volumen de producción de una empresa automovilística.

3772471996

3871481995

4070501994

Tipo C

Tipo B

Tipo AAños

n

iti 1n

i94i 1

xXt / 94

xI =

=

∑=∑

Índice media agregativa simple3

i94i 13

i94i 1

xX94 / 94

xI 1=

=

∑= =∑

3

i95i 13

i94i 1

xX95 / 94

x

48 71 38I 0,9813

50 70 40=

=

∑ + += = =

+ +∑3

i96i 13

i94i 1

xX96 / 94

x

47 72 37I 0,975

50 70 40=

=

∑ + += = =

+ +∑



Ej.: Análisis de la evolución durante el trienio 1994-96 del volumen de producción de una empresa automovilística.

Índice media aritmética simple

3Xi94 / 94

i 1

IX94 / 94 3I 1=

∑= =

3Xi95 / 94

i 1

IX 0,96 1,014 0,9595 / 94 3 3I 0,9746= + +

∑= = =

3Xi95 / 94

i 1

IX 0,94 1,028 0,92596 / 94 3 3I 0,9643= + +

∑= = =

3772471996

3871481995

4070501994

Tipo CTipo BTipo AAños

0,9251,0280,941996

0,951,0140,961995

1111994

I3t/94I2

t/94I1t/94Años



Ej.: Evolución durante el trienio 1994-96 del volumen de producción de una empresa automovilística, suponiendo que la facturación global de ésta se distribuye entre las de los vehículos A, B y C a razón de un 30, 40 y 30% respectivamente..

377247199638714819954070501994

Tipo C

Tipo B

Tipo AAños Índice media agregativa ponderada

3

i94 ii 13

i94 ii 1

xX94 / 94

xI 1=

=

⋅α

⋅α

∑= =∑

3

i95 ii 13

i94 ii 1

xX95 / 94

x

48 0,30 71 0,40 38 0,3050 0,30 70 0,40 40 0,30

I

0,9855

=

=

⋅α

⋅α

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅

∑= =∑

= =

3

i96 ii 13

i94 ii 1

xX96 / 94

x

47 0,30 72 0,40 37 0,3050 0,30 70 0,40 40 0,30

I

0,9818

=

=

⋅α

⋅α

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅

∑= =∑

= =



Ej.: Evolución durante el trienio 1994-96 del volumen de producción de una empresa automovilística, suponiendo que la facturación global de ésta se distribuye entre las de los vehículos A, B y C a razón de un 30, 40 y 30% respectivamente..

377247199638714819954070501994

Tipo C

Tipo B

Tipo AAños

Índice media aritmética ponderada

i

X94 / 94

3X

i 94 / 94i 1

I

I 1=

=

= α ⋅ =∑

i

3XX

95 / 94 i 95 / 94i 1

I I

0,96 0,30 1,014 0,400,95 0,30 0,9786

=

= α ⋅ =

= ⋅ + ⋅ ++ ⋅ =

∑ i

3XX

96 / 94 i 96 / 94i 1

I I

0,30 0,94 0,40 1,0280,30 0,925 0,9707

=

= α ⋅ =

= ⋅ + ⋅ ++ ⋅ =

∑

0,9251,0280,941996

0,951,0140,9619951111994

I3t/94I2

t/94I1t/94Años


4. ÍNDICES AGREGADOS DE PRECIOS Y CANTIDADES: FORMULACIONES MÁS USADAS Y PROPIEDADES.

PQ

0

t

p10, p20, ..., pio, ..., pnop1, q1P2, q2

.

.Pi, qi

.

.Pn, qn

q10, q20, ..., qio, ..., qno

p1t, p2t, ..., pit, ..., pnt

q1t, q2t, ..., qit, ..., qnt

p0

q0

pt

qt

Conjunto de n bienesVariables a considerar: Precio (P) y Cantidad (Q)Valor de un bien: V = P · Q



Diferentes agregados de valor

Valor de las cantidades del año base a precios de ese mismo año

Valor de las cantidades del año corriente a precios del año base

Valor de las cantidades del año base a precios del año corriente

Valor de las cantidades del año actual o corriente a precios de dicho año

n

i0 i0i 1

p q=

⋅∑n

i0 iti 1

p q=

⋅∑n

it i0i 1

p q=

⋅∑n

it iti 1

p q=

⋅∑



ÍNDICE DE VALOR EN t SOBRE 0

ConceptoEstadístico que muestra las variaciones experimentadas por el valor monetario de un conjunto de n bienes desde el período 0 hasta el período t

n

it itV i 1t /0 n

i0 i0i 1

p qI

p q

=

=

⋅=

⋅

∑

∑ÍNDICES AGREGADOS DE PRECIOS Y CANTIDADES

Formulaciones más usadasn

it iP i 1t /0 n

i0 ii 1

p qI

p q

=

=

⋅=

⋅

∑

∑

n

it iQ i 1t /0 n

i0 ii 1

q pI

q p

=

=

⋅=

⋅

∑

∑Formulaciones genéricas:



ÍNDICES AGREGADOS DE PRECIOS Y CANTIDADESFormulaciones más usadas

Índice de Laspeyresn

it i0P i 1t /0 n

i0 i0i 1

p qIL

p q

=

=

⋅=

⋅

∑

∑

n

it i0Q i 1t /0 n

i0 i0i 1

q pIL

q p

=

=

⋅=

⋅

∑

∑

Las ponderaciones hacen referencia a la importancia en el período base.Pérdida de vigencia de las ponderaciones a medida que nos alejamos del período de referencia.

Índice de Paaschen

it i0P i 1t /0 n

i0 i0i 1

p qIL

p q

=

=

⋅=

⋅

∑

∑

n

it i0Q i 1t /0 n

i0 i0i 1

q pIL

q p

=

=

⋅=

⋅

∑

∑

CaracterísticasLas ponderaciones hacen referencia a la importancia en el período base.Pérdida de vigencia de las ponderaciones a medida que nos alejamos del período de referencia.




n

it i0i 1n

i0 i0i 1

p qPt /0

p qIL =

=

⋅

⋅

∑=∑

n

it i0i 1n

i0 i0i 1

q pQt /0

q pIL =

=

⋅

⋅

∑=∑

Índice de Laspeyres

Las ponderaciones hacen referencia a la importancia en el período base.Inconveniente: Pérdida de vigencia de las ponderaciones a medida que nos alejamos del período de referencia.

n

it iti 1n

i0 iti 1

p qPt /0

p qIP =

=

⋅

⋅

∑=∑

n

it iti 1n

i0 iti 1

q pQt /0

q pIP =

=

⋅

⋅

∑=∑

Índice de Paasche

Las ponderaciones hacen referencia a la importancia en el período de análisis.Inconveniente: La obtención de los datos para su elaboración es mucho más costosa.




( )n n

itit i0 io i0

ioi 1 i 1n n

i0 i0 i0 i0i 1 i 1

pp q p q

pPt /0

p q p qIL = =

= =

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

∑ ∑= =∑ ∑

Índice de Laspeyres y Paasche: Propiedad

Ambos índices pueden expresarse como una media aritmética ponderada de los correspondientes índices simples.

i

nPP

t /0 i t /0i 1

IL I=

= α ⋅∑io i0

n

i0 i0i 1

p qi

p q=

⋅

⋅α =

∑

Índice de Laspeyres de precios:

i

nQQ

t /0 i t /0i 1

IL I=

= α ⋅∑io i0

n

i0 i0i 1

q pi

q p=

⋅

⋅α =

∑

Índ. Laspeyres de cantidades:

i

nPP

t /0 i t /0i 1

IP I=

= α ⋅∑io it

n

i0 iti 1

p qi

p q=

⋅

⋅α =

∑

Índices de Paasche:

i

nQQ

t /0 i t /0i 1

IP I=

= α ⋅∑it i0

n

it i0i 1

p qi

p q=

⋅

⋅α =

∑




( )( )

( )

n

it i0 iti 1n

i0 i0 iti 1

p q qP

t /0p q q

I MEB =

=

⋅ +

⋅ +

∑=∑

( )( )

( )

n

it i0 iti 1n

i0 i0 iti 1

q p pQ

t /0q p p

I MEB =

=

⋅ +

⋅ +

∑=∑

Índice de Marshall-Edgeworth-Bowley

Las ponderaciones hacen referencia a la importancia tanto en el período base, como en el período de análisis.Inconveniente: La obtención de los datos para su elaboración es mucho más costosa.




P P Pt /0 t /0 t /0IF IL IP= ⋅

Q Q Qt /0 t /0 t /0IF IL IP= ⋅

Índice de Fisher

Es la media geométrica entre los correspondientes índices de Laspeyres y de Paasche.Es el índice que reúne un mayor número de propiedades.

Propiedades1. Existencia.- La verifican todos.2. Identidad.- La verifican todos.3. Inversión.- La cumplen los

índices de Marshall-Edgeworth-Bowley y Fisher.

4. Circularidad.- No la verifica ninguno.

5. Homogeneidad.- No la verifica ninguno.

6. Proporcionalidad.- La cumplen todas las formulaciones.

7. Inversión de los factores.- Sólo la cumple el índice de Fisher.




Ej.: Para una línea ferroviaria, que vende billetes de tres clases (turista, preferente y club), se tiene información para 1995 y 1996 de precios unitarios de venta (en u. m.) y número de clientes que han usado la línea (en miles). Se quiere analizar la evolución de sus precios.

151100101000Club2560020500Preferente4050050400Turista

Nº clientesPrecioNº clientesPrecioTiposAño 1996Año 1995

Índice de Laspeyres

P95 / 95IL 1=

3

i96 i95i 13

i95 i95i 1

p qP96 / 95

p qIL =

=

⋅

⋅

∑=∑

P 500 50 600 20 1100 1096 / 95 400 50 500 20 1000 10IL

1,20

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅= =

=




Ej.: Evolución de los precios entre 1995 y 1996 de una línea ferroviaria.

40000100001000020000

p95·q95

1Total1100600500

Precio

Año 1996

152540

Nºclientes

0,250,250,5

αi

1,11,21,25

IPi96/95


NºclientesPrecioTipos

Año 1995

Índice de Laspeyres (como m. aritmética ponderada)

P95 / 95IL 1=

i

nPP

96 /95 96 /95 ii 1

IL I=

= ⋅ α∑P96 /95IL 1,25 0,5 1,2 0,25

1,1 0,25 1,20

= ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ =





Índice de Paasche



P95 /95IP 1=

3

i96 i96i 13

i95 i96i 1

p qP96 /95

p qIP =

=

⋅

⋅

∑=∑

P 500 40 600 25 1100 1596 / 95 400 40 500 25 1000 15IP

1,1839

⋅ + ⋅ + ⋅⋅ + ⋅ + ⋅= =

=





Índice de Paasche (como m. aritmética ponderada)

P95 /95IP 1=

i

nPP

96 /95 96 /95 ii 1

IP I=

= ⋅ α∑P96 /95IP 1,25 0,3678 1,2 0,2874

1,1 0,3448 1,1839

= ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ =

43500150001250016000

p95·q96

1Total1100600500

Precio

Año 1996

152540

Nºclientes

0,34480,28740,3678

αi

1,11,21,25

IPi96/95



Año 1995





Índice de Marshall- Edgeworth-Bowley



( )P95 /95I MEB 1=

( )( )

( )

3

i96 i95 i96i 13

i95 i95 i96i 1

p q qP

96 / 95p q q

I MEB =

=

⋅ +

⋅ +

∑=∑

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

P

96 /95

500 50 40 600 20 25 1100 10 15400 50 40 500 20 25 1000 10 15

I MEB

1,1916

⋅ + + ⋅ + + ⋅ +⋅ + + ⋅ + + ⋅ +

=

= =

=


5. LOS CONCEPTOS DE REPERCUSIÓN Y PARTICIPACIÓN.

xs xt

IXs/0 IX

t/0

X X Xt / s t /0 s /0I I IΔ = −

Xt / s 1 2 nI R R ... RΔ = + + +

ii X

t / s

RP

I=Δ

ii

P 1=∑


5. LOS CONCEPTOS DE REPERCUSIÓN Y PARTICIPACIÓN.REPERCUSIÓN DEL COMPONENTE i (Ri).-

Concepto.-Es la parte del incremento del índice agregado debida a dicho componente.Algunas propiedades.-

La suma de las repercusiones coincidirá con la variación del índice.Cada una de las repercusiones puede ser positiva, negativa o nula, no teniendo porqué ser el signo de cada una igual, con independencia de que la variación global del índice sea positiva, negativa o nula.Conforme mayor sea la repercusión en valor absoluto, mayor será la incidencia en la variación del índice de ese componente.Conforme más próxima esté la repercusión en valor absoluto a cero, menor será la incidencia en la variación del índice de esecomponente.



PARTICIPACIÓN DEL COMPONENTE i (Pi).-

Concepto.-Es la repercusión de dicho componente expresada en términos relativos del incremento absoluto del índice.Algunas propiedades.-

La suma de las participaciones es igual a la unidad.Cada una de las participaciones puede ser positiva, negativa o nula, no teniendo porqué ser el signo de cada una igual, y no está acotado su valor.Conforme mayor sea la participación en valor absoluto, mayor será la incidencia en la variación del índice de ese componente.Conforme más próxima esté la participación en valor absoluto a cero, menor será la incidencia en la variación del índice de esecomponente.



X X Xt / s t /0 s /0I I IΔ = −

i iX XXt / s i t /0 i s /0

i i

I I IΔ = α ⋅ − α ⋅ =∑ ∑

( )i i iX X Xi t /0 s /0 i t / s

i i

I I I= α ⋅ − = α ⋅ Δ∑ ∑

Determinación en el índice media aritmética ponderada

a)Ponderaciones constantes:

iXi i t / sR I= α ⋅ Δ

iXi t / s

i Xt / s

IP

Iα ⋅ Δ

=Δ

i iX XXt / s it t / 0 is s /0

i i

I I IΔ = α ⋅ − α ⋅ =∑ ∑

( )i iX Xit t /0 is s /0

i

I I= α ⋅ − α ⋅∑

b)Ponderaciones variables:

i iX Xi it t /0 is s /0R I I= α ⋅ − α ⋅

i iX Xit t /0 is s /0

i Xt / s

I IP

Iα ⋅ − α ⋅

=Δ


5. LOS CONCEPTOS DE REPERCUSIÓN Y PARTICIPACIÓN.Ej.: Analizar la influencia en la variación global de los precios de una línea ferroviaria entre los años 1995 y 1996 (determinada desde el correspondiente índice de Laspeyres), del precio de cada tipo de billete.

0,250,250,5

αi

1,11,21,25

IPi96/95

ClubPreferente

Turista

Billetes P95 /95IL 1= i

nPP

96 / 95 96 / 95 ii 1

IL I 1,20=

= ⋅ α =∑P P P96 / 95 96 / 95 95 /95IL IL IL 1,2 1 0,2Δ = − = − =

( )

i i

i i

P P P96 / 95 96 / 95 95 / 95

n nP P96 /95 i 95 / 95 i

i 1 i 1

nP P

i 96 / 95 95 /95i 1

IL IL IL

I I

I I 0,2

= =

=

Δ = − =

= ⋅ α − ⋅ α =

= α ⋅ − =

∑ ∑

∑

( )1R 0,5 1,25 1 0,125= ⋅ − =

( )2R 0,25 1,2 1 0,05= ⋅ − =

( )3R 0,25 1,1 1 0,025= ⋅ − =

( )i iP Pi i 96 / 95 95 /95R I I= α ⋅ −


5. LOS CONCEPTOS DE REPERCUSIÓN Y PARTICIPACIÓN.Ej.: Analizar la influencia en la variación global de los precios de una línea ferroviaria entre los años 1995 y 1996 (determinada desde el correspondiente índice de Laspeyres), del precio de cada tipo de billete.

0,250,250,5

αi

1,11,21,25

IPi96/95

ClubPreferente

Turista

Billetes P96 / 95IL 0,2Δ =

1R 0,125= 2R 0,05= 3R 0,025=

1

0,125P 0,625

0,2= =

2

0,05P 0,25

0,2= =

3

0,025P 0,125

0,2= =

Consecuentemente, aunque los precios de los tres tipos de billetes tienen una influencia positiva en la variación global, la más significativa es la del billete “turista”.

ii P

96 / 95

RP

IL=Δ


6. LA INFLACIÓN Y LA DEFLACIÓN ESTADÍSTICA.

La inflación es la subida generalizada y persistente en el nivel general de los precios monetarios de los bienes y servicios que se consumen y se producen.La deflación es el fenómeno contrario.Ambos fenómenos alteran el poder adquisitivo o poder de compra del dinero.

Concepto

Problemas a resolverCuantificar la inflación.Detraer el efecto inflacionista de las magnitudes monetarias expresadas en términos corrientes, transformándolas a términos reales, con un poder de compra constante. Se conoce como deflación estadística.

Magnitud entérminos corrientes

Magnitud en términos reales

Índice deflactor


6. LA INFLACIÓN Y LA DEFLACIÓN ESTADÍSTICA.Deflación estadística para agregados de valor

Se trata de transformar el valor agregado, expresado en u. m. corrientes o nominales de cada año, en otro agregado expresado en u. m. constantes del año base.El deflactor más adecuado es el índice de precios de Passche.

it iti

it iti

i0 iti

p qt

i0 itP p qit /0

p q

Vp q

IP

⋅

⋅

⋅

∑= = ⋅∑∑

∑

0 i0 iti

V p q= ⋅∑t it iti

V p q= ⋅∑


6. LA INFLACIÓN Y LA DEFLACIÓN ESTADÍSTICA.Deflación estadística para magnitudes que reflejan

poder adquisitivo

En estas situaciones, habría que determinar el poder adquisitivo que supone la cantidad de dinero que representa la magnitud considerada.

El deflactor más habitual para obtener la magnitud expresada en términos reales, con poder adquisitivo constante, suele ser el IPC (índice de precios de consumo).

En todo caso, el deflactor debe guardar una estrecha relación con la variable que se pretende deflactar.


6. LA INFLACIÓN Y LA DEFLACIÓN ESTADÍSTICA.Ej.: A partir de los datos recogidos para precios y número de clientes de una determinada línea ferroviaria en 1995 y 1996, queremos analizar la evolución en términos corrientes y reales de su facturación global.

1100600500

Precio

Año 1996

152540

Nºclientes



Año 1995 Facturación global:

96V 500 40 600 25

1100 15 51500

= ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ =

95V 400 50 500 20

1000 10 40000

= ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ =

3

t it iti 1

V p q=

= ⋅∑

Evolución en términos corrientes:

96 9596 /95

95

V VTV

V

51500 400000,2875

40000

−= =

−= =


6. LA INFLACIÓN Y LA DEFLACIÓN ESTADÍSTICA.

Ej.: Evolución en términos corrientes y reales de la facturación global de la línea ferroviaria entre 1995 y 1996.

Evolución en términos reales:

R 9696 P

96 / 95

V 51500V 43500

IP 1,1839= = =

R RR 96 9596 / 95 R

95

V VTV

V

43500 400000,0875

40000

−= =

−= =

R 9595 P

95 / 95

V 40000V 40000

IP 1= = =

Consecuentemente, aunque la facturación global creció un 28,75% en términos corrientes; en términos reales, sólo lo hizo en un 8,75%.


6. LA INFLACIÓN Y LA DEFLACIÓN ESTADÍSTICA.Ej.: Analizar la evolución, en términos corrientes y reales, de los salarios anuales medios percibidos por los trabajadores de una empresa (expresados en miles de u. m.) entre los años 1991 y 1996, sabiendo que el IPC en ese período creció un 54,1%.

154,1146,3134,6123,72112,2100IPCt/91

421504014037170347403216028440Salarios199619951994199319921991Años

En términos corrientes:

En términos reales:

R 9195

91 /91

S 28440S 28440

IPC 1= = = R 96

9696 /91

S 42150S 27352

IPC 1,541= = =

96 9196 /91

91

S S 42150 28440TV 0,4820

S 28440− −

= = =

R RR 96 9196 /91 R

91

S S 27352 28440TV 0,03825

S 28440− −

= = = −


7. ÍNDICE DE PRECIOS DE CONSUMOY OTROS ÍNDICES ELABORADOS.

Concepto

Es un índice que intenta reflejar la evolución del conjunto de los bienes y servicios que consumen los hogares españoles.

ÍNDICE DE PRECIOS DE CONSUMO (IPC)

Cesta de la compra:Representa la muestra de bienes y servicios representativa de los distintos comportamientos de consumo de la población, así como la estructura de ponderaciones de éstos.Actualmente se consideran un total de 484.Se basa en los datos recabados en la Encuesta Continua de Presupuestos Familiares.

Sus características fundamentales





Período base del índice: Año 2001.Período de referencia de las ponderaciones: 2º Trimestre 1999 -1er

Trimestre 2001.Muestra:

Selección de municipios, zonas comerciales y establecimientos y determinación del número de observaciones necesarias al objeto de representa al conjunto de hogares españoles.La muestra de municipios engloba a un total de 141 para los precios de productos alimenticios y 97 para el resto de productos.Se consideran un total aproximado de 200.000 precios por mes.




Sus características fundamentales Estructura funcional:

12 grupos, 37 subgrupos, 80 clases y 117 subclases.57 rúbricas y distintos grupos especiales.

Grupos considerados:1. Alimentos y bebidas no alcohólicas2. Bebidas alcohólicas y tabaco3. Vestido y calzado 4. Vivienda5. Menaje 6. Medicina7. Transporte 8. Comunicaciones9. Ocio y cultura 10. Enseñanza11. Hoteles, cafés y restaurantes12. Otros bienes y servicios.





Método general de cálculo:Se utiliza una formulación de Laspeyres encadenada, lo que representa que los precios del período corriente se refieren a los del anterior.Las ponderaciones de las diversas parcelas se actualizarán con una cadencia no superior a los 2 años.

La recogida de precios se realiza generalmente de forma directa y casi permanentemente en los establecimientos seleccionados (cerca de 30.000).




Sus características fundamentales Se calculan los índices mensualmente para el conjunto de España, las 17 comunidades autónomas, las 50 provincias, Ceuta y Melilla y estas 2 ciudades conjuntamente.Se consideran los cambios de calidad en los distintos bienes y servicios.Se incluyen los precios rebajados.

Cambio de sistema del índiceAdaptación continua del IPC.- Revisión anual de las ponderaciones para determinados niveles de desagregación geográfica y funcional.Revisión estructural del IPC.- Cada 5 años se realizará un cambio completo de base.



OTROS ÍNDICES UTILIZADOS HABITUALMENTE

Índice de precios al productor (IPP) o índice de precios al por mayor.Índices implícitos de precios o deflacionadores implícitos de precios.Índices de producción industrial.Índices de precios industriales.Índices de producción agraria.Índices de volumen de comercio exterior.Índice de salarios.Índices de cotizaciones de valores en bolsa.[...]

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