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ESTALMAT-Andalucía Actividades 11/12

Sesión:15 Fecha: 10/03/12 Un paseo por la Literatura Matemática ____________________________________________________________________________

Cinta Nogueiro y Paloma Pascual - 1 -

EL DIABLO

DE LOS

NÚMEROS

LA QUINTA NOCHE

-Hacía mucho que no te veía -dijo Robert-. ¿Dónde te has metido en todo

este tiempo?

-Ya lo ves, estoy de vacaciones.

-¿Y qué vamos a hacer hoy?

-Estarás agotado después de tu caminata por el desierto.

Siguió trastabillando hasta

alcanzar la primera palmera.

Entonces oyó una voz: «¡Hola,

Robert!». En mitad de la

palmera estaba el diablo de los

números, abanicándose con las

hojas.

-No es para tanto -dijo Robert-

. Ya me encuentro mejor. ¿Qué

pasa? ¿Es que ya no se te

ocurre nada?

-A mí siempre se me ocurre

algo -respondió el anciano.

-Números, nada más que números.

-¿Y qué si no? No hay nada que sea más emocionante. ¡Mira! Cógelo.

Puso el coco vacío en la mano de Robert.

-¡Tíralo!

-¿Dónde?

-Simplemente abajo.




Robert tiró el coco a la arena. Desde arriba, se veía pequeño como un

puntito.

-Otro más. Y luego otro. Y otro -ordenó el diablo de los números.

-¿Y qué hacemos con ellos?

-Ahora lo verás.

Robert cogió tres cocos frescos y los tiró al suelo. Esto fue lo que vio en la

arena:

-¡Sigue! -exclamó el anciano. Robert tiró y tiró y tiró.

-¿Qué ves ahora?

-Triángulos -dijo Robert.

-¿Quieres que te ayude? -preguntó el diablo de los números.

Cogieron y arrojaron, cogieron y arrojaron, hasta que abajo no se veían más

que triángulos, así:

-Es curioso que los cocos caigan tan ordenados -se asombró Robert-. Yo no

apunté, y aunque lo hubiera hecho no soy capaz de acertar así.

-Sí -dijo el anciano sonriendo-, con tanta precisión sólo se apunta en los

sueños... y en las Matemáticas. En la vida normal nada cuadra, pero en las

Matemáticas cuadra todo. Por lo demás, también hubiéramos podido hacerlo

sin cocos. Hubiéramos podido tirar pelotas de tenis, botones o trufas de

chocolate. Pero ahora, cuenta cuántos cocos tienen los triángulos de ahí

abajo.

-En realidad, el primer triángulo no es un triángulo. Es un punto.

-O un triángulo -dijo el diablo de los números- que se ha encogido hasta ser

tan diminuto que sólo se ve un punto. ¿Entonces?

-Entonces hemos vuelto al uno -dijo Robert-. El segundo triángulo tiene tres

cocos, el tercero seis, el cuarto diez, y el quinto... no sé, tendría que

contarlos.

-No te hace falta. Puedes adivinarlo por ti mismo.

-No puedo -dijo Robert.

-Sí puedes -afirmó el diablo de los números-. El primer triángulo, que no es

un verdadero triángulo, tiene un coco. El segundo tiene dos cocos más, los

dos de abajo, así que:




»El tercero tiene exactamente tres más, la fila de abajo, así que:

»El cuarto tiene una fila más con otros cuatro cocos, así que:

» ¿Cuántos tiene entonces el quinto? Robert volvía a saber de qué iba.

Gritó:

-Ya no necesitamos tirar más cocos -dijo-. Ya sé cómo sigue. El siguiente

triángulo tendría veintiún cocos: los quince del triángulo número cinco y

otros seis suman veintiuno.

-Bien -dijo el diablo de los números-. Entonces podemos bajar y ponernos

cómodos.

El descenso fue sorprendentemente fácil, y cuando llegaron abajo Robert no

daba crédito a sus ojos: les esperaban dos tumbonas a rayas blancas y

azules, chapoteaba una fuente, y en una mesita junto a una gran piscina

estaban preparados dos vasos con zumo de naranja heladito. No me extraña

que el viejo haya elegido este oasis, pensó Robert. Aquí se pueden pasar

unas vacaciones de fábula.

Una vez que ambos hubieron vaciado sus vasos, el anciano dijo:

-Bueno, podemos olvidarnos de los cocos. Lo que importa son los números.

Se trata de unos números especialmente buenos. Se les llama números

triangulares, y hay más de ellos de los que te puedas imaginar.

-Lo sabía -dijo Robert-. Contigo todo llega siempre al infinito.

-Oh, bueno -dijo el anciano-, de momento tenemos bastante con los diez

primeros. Espera, te los escribiré.

Se levantó de su tumbona, cogió el bastón, se inclinó sobre el borde de la

piscina y empezó a escribir en el agua:

Realmente no se detiene ante nada, pensó Robert para sus adentros. Ya sea

el cielo o la arena, el anciano lo escribe todo con sus números. Ni siquiera el

agua está segura ante su bastón.

-No creas que con estos números triangulares se puede hacer cualquier cosa

-le susurró al oído el diablo de los números-. Por poner un ejemplo:

¡averigua la diferencia!

-¿La diferencia entre qué? -preguntó Robert.




-Entre dos números triangulares consecutivos. Robert miró las cifras que

nadaban en el agua, y reflexionó.

-Tres menos uno son dos. Seis menos tres son tres. Diez menos seis son

cuatro. Te salen todas las cifras del uno al diez, una tras otra. ¡Estupendo! Y

probablemente siempre sigue así.

-Exactamente así -dijo el diablo de los números, reclinándose satisfecho-.

¡No te creas que eso sea todo! Ahora me dirás el número que prefieras, y te

demostraré que puedo confeccionarlo con un máximo de tres números

triangulares.

-Bien -dijo Robert-. El 51.

-Eso es fácil, incluso sólo necesito dos:

-¡83!

-Encantado:

-¡12!

-Muy fácil:

» ¿Lo ves?, sale siempre. Y ahora una cosa más, un verdadero puntazo, mi

querido Robert. Si sumas dos de los números triangulares sucesivos, verás

un auténtico milagro.

Robert miró con más atención las cifras que nadaban:

Las sumó por parejas:

-¡Son números saltados: 22, 32, 42, 52! -No está mal, ¿eh? -dijo el anciano-.

Puedes seguir el tiempo que quieras.

-No hace falta -dijo Robert-. Prefiero darme un baño.

-Pero antes te enseñaré, si quieres, otro número de circo.

-Es que empiezo a tener calor -refunfuñó Robert.

-Está bien. Entonces no. Entonces puedo irme -dijo el diablo de los números.

Ya se ha vuelto a ofender, pensó Robert. Si dejo que se vaya,

probablemente soñaré con hormigas rojas, o algo por el estilo. Así que dijo:




-No, quédate.

-¿Sientes curiosidad?

-Naturalmente que siento curiosidad.

-Entonces presta atención. Si sumas todos los números normales del uno al

doce, ¿qué te sale?

-Ufff -dijo Robert-. ¡Qué tarea tan aburrida!

No parece tuya. Podría ser del señor Bockel. -No te preocupes. Con los

números triangulares es coser y cantar. Simplemente busca el

decimosegundo de ellos y tendrás la suma de todos los números del uno al

doce.

Robert miró al agua y contó:

-Setenta y ocho -dijo.

-Correcto.

-Pero ¿por qué?

El diablo de los números echó mano a su bastón y escribió en el agua:

-Sólo tienes que escribir, unas debajo de otras, las cifras del uno al doce, las

seis primeras de izquierda a derecha y las otras seis de derecha a izquierda,

y verás por qué:

»Ahora una raya debajo:

»Y sumas:

» ¿Y salen?

-Seis treces -dijo Robert.

-Confío en que no necesitarás calculadora para eso.

-Seis por trece -dijo Robert- son setenta y ocho. El decimosegundo número

triangular. ¡Concuerda perfectamente!

-Ya ves lo buenos que son los números triangulares. La verdad es que los

cuadrados tampoco están mal.

-Pensaba que íbamos a bañarnos.

-Podemos bañarnos luego. Primero los números cuadrados.

Robert miró con ansia hacia la piscina, en la que los números triangulares

nadaban en fila como patitos detrás de su madre.

-Si sigues así -amenazó-, me despertaré y haré desaparecer todos los

números.

-Pero también la piscina -dijo el anciano-. Por otra parte, sabes muy bien

que no se puede dejar de soñar cuando se quiere. Y además, ¿quién es aquí

el jefe? ¿Tú o yo?




Ya se vuelve a excitar, pensó Robert. Quizá empiece también a gritar. Sólo

dentro del sueño, naturalmente. Pero a mí no me gusta que me griten, ni

siquiera en sueños. ¡Sabe el Diablo qué otra cosa se le habrá ocurrido!

El anciano cogió unos cubitos de hielo de la cubitera y los puso encima de la

mesa.

-No es tan grave -consoló a Robert-. Es exactamente lo mismo que pasaba

antes con los cocos, sólo que esta vez no se trata de triángulos, sino de

cuadrados:

-Por favor -dijo Robert-, no hace falta que me expliques nada. Hasta un

ciego vería lo que ocurre aquí. Son lisa y llanamente números saltarines.

Cuento el número de cubitos que hay a cada lado del cuadrado y hago saltar

la cifra:

»Bueno, etcétera, como de costumbre.

-Muy bien -dijo el diablo de los números-. Diabólicamente bien. Eres un

aprendiz de brujo de primera clase, querido, eso hay que reconocértelo.

-Pero yo quiero bañarme -refunfuñó Robert.




-¿Quizá aún quieras saber cómo funcionan los números pentagonales? ¿O los

hexagonales?

-No, gracias, de verdad que no -dijo Robert. Se puso en pie y saltó al agua.

-¡Espera! -exclamó el diablo de los números-. La piscina entera está llena de

números. Espera un momento a que los saque.

Pero Robert ya estaba nadando, y los números se mecían en las olas a su

alrededor, todo números triangulares, y nadó hasta que ya no pudo oír lo que le

gritaba el anciano, más y más lejos. Porque era una gran piscina infinita, infinita

como los números e igual de maravillosa.




ACTIVIDAD Nº1 A la vista del dibujo anterior, completar la siguiente tabla; poniendo el valor del número y como se obtiene del anterior.

NÚMEROS ORDEN

1 2 3 4 5 6 7

TRIA

NG

ULA

RES

CU

AD

RA

DO

S

PEN

TAG

ON

ALE

S

HEX

AG

ON

ALE

S

HEP

TAG

ON

ALE

S

Seguro que habéis encontrado muchas relaciones entre las columnas y las filas de esa tabla de números poligonales. Vamos a fijarnos en primer lugar en las filas de la tabla que acabamos de construir.




Todos los números que aparecen en cada una de las filas, forman una sucesión muy particular, son la suma de los m primeros términos de una progresión aritmética. Una serie de números se dice que están en progresión aritmética si cada uno se obtiene sumando una cantidad fija “d” (que se llama diferencia) al número anterior. Se necesita conocer el primer número que se llama a1 y la diferencia d .

ACTIVIDAD Nº2 Escribe en función de a1 y d como se escribe cualquier número de una progresión aritmética a2= a3= a4= am=

ACTIVIDAD Nº3 Deduce cómo se escribe la suma de los m primeros términos de una progresión aritmética. En función de m a1 y d. (Puede ayudarte pensar en la suma de los 100 primeros números naturales que ya se ha descrito en alguno de los textos leídos)

Sm=a1+a2+a3+…+am=

ACTIVIDAD Nº4 Escribe ahora cada término m-ésimo de la tabla de la actividad número 1 como suma de los m primeros términos de la progresión aritmética que corresponda. Indica para cada caso el valor de a1 y de d.

NÚMEROS a1 d am Sm=a1+a2+…+am= Término general

TRIANGULARES

CUADRADOS

PENTAGONALES

HEXAGONALES

HEPTAGONALES




ACTIVIDAD Nº5 Llamaremos T(n), C(n), P(n), H(n) al n-ésimo número triangular, cuadrado, pentagonal y hexagonal, respectivamente, Intenta demostrar gráficamente las siguientes afirmaciones:

a) Todo número cuadrado puede expresarse como la suma del número triangular del mismo orden y del anterior, es decir, C(n)=T(n)+T(n-1)

b) Todo número pentagonal se puede expresar como suma del número triangular del mismo orden y dos veces el anterior, en concreto: P(n)=T(n)+2T(n-1)

c) Todo número hexagonal se puede expresar como suma del número triangular del mismo orden y tres veces el anterior, en concreto: H(n)=T(n)+3T(n-1)




ACTIVIDAD Nº6 Vamos a fijarnos ahora en las columnas de la tabla de los números poligonales.

a) Escribe la sucesión de números formados por la segunda columna de números poligonales, la que corresponde al orden 2.

¿Qué números son? ¿Forman alguna progresión?

b) Escribe la sucesión de números formados por la tercera columna de números poligonales, la que corresponde al orden 3.

¿Forman alguna progresión? Escribe su término general

c) Haz lo mismo con el resto de las columnas.




LA FÓRMULA PREFERIDA

DEL PROFESOR

-¿Conoces los números triangulares?- preguntó el profesor, señalando con el

dedo el triángulo que indica peligro de radiación colocado en la puerta de la sala de

radiografías.

-No le contesté.

Aunque el hecho de haber vuelto a los números parecía calmar sus ánimos, me

daba la sensación de que estaba todavía angustiado.

-Son números realmente elegantes.

Dibujó unos circulitos negros, poniéndolos en fila y formando un triángulo en el

dorso de un cuestionario que había cogido en recepción:

•

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-¿Qué te parece?

-Bueno, a ver… es como si una persona metódica amontonara leña… o como si

alineara granos de soja negros…

- Bien, lo esencial es lo de la persona metódica. En la primera línea, hay uno; en

la segunda dos; en la tercera tres….Se crea así un triángulo con una sencillez que

es insuperable.

Eché un vistazo al triángulo. Las manos del profesor estaban temblando

ligeramente. Parecía que los circulitos negros resaltaban en la penumbra.

-Y si contamos la cantidad de circulitos negros que incluyen los triángulos,

obtenemos 1, 3, 6, 10, 15, 21. Si lo representamos con una fórmula, sería:

1

1+2=3

1+2+3=6

1+2+3+4=10

1+2+3+4+5=15

1+2+3+4+5+6=21

Es decir, los números triangulares expresan la suma de los números naturales

desde el 1 hasta cierto número, lo quieran ellos o no. Y si juntamos dos triángulos

iguales, la cosa va más allá. Como me cansa dibujar tantos circulitos negros, ¿por

qué no lo intentamos con el cuarto número triangular el 10?

• •••• •••••

•• ••• •••••

••• •• •••••

•••• • •••••

Aunque no hacía frío, el temblor de las manos era cada vez más intenso, y los

circulitos negros, ligeramente deformes. Él intentaba con todas sus fuerzas

concentrarse en la punta del lápiz. Las notas de la americana estaban manchadas

de sangre y eran casi indescifrables.

-¿De acuerdo? Míralo bien. Al juntar los dos números triangulares como la

cuarta figura, se ha formado un rectángulo con cuatro curculitos verticales y cinco

horizontales. La cantidad de los circulitos negros que están dentro de ese

rectángulo en total es de 4x5=20. ¿Me explico? Y al dividirlo por la mitad sería

20:2=10, es decir son la suma de los números naturales del 1 al 4. O bien, si nos

fijamos en cada línea del rectángulo sería:

1+4=5 2+3=5 3+2=5 4+1=5

Así, puede encontrarse enseguida tanto el décimo número triangular, que es la

suma de los número naturales del 1 al 10, como el que ocupa el lugar 100 de los

números triangulares.




En el caso del 1 al 10 sería:



En el caso del 1 al 10000 sería…

Me di cuenta de que el profesor estaba llorando. Se le cayó el lápiz, que rodó a

sus pies. Era la primera vez que lo veía llorar, y sin embargo tuve la sensación de

que había llorado en muchas ocasiones. Tuve la impresión de que, desde hacía

mucho, yo no había dejado de asistir impotente a sus débiles sollozos. Puse mi

mano sobre la suya.

-¿Comprendes? Es posible encontrar la suma de los números naturales, ¿lo ves?

-Colocando circulitos negros en forma de triángulo. Nada más.

-Si ya veo.

-¿Has comprendido de verdad lo que te he dicho?

-Si. No se preocupe. Pero por favor, no llore. ¿No ve lo hermosos que son los

números triangulares?.-le dije, y entonces Root salió de la sala de consulta.

-Mirad, no es nada. Es lo que yo decía –decía Root, sacudiendo

intencionadamente su mano izquierda vendada.

Debido a todo aquel alboroto inesperado decidimos cenar fuera

……………………………..




A VUELTAS CON

LOS NÚMEROS

Se sentaron alrededor de una mesa armados con papel y lápiz.

Bill: Por ejemplo, cualquier número entero positivo se puede entender como un

número lineal. Este tipo de números se representa sencillamente por una línea de

puntos:

• •• ••• •••• •••••

1 2 3 4 5

José: Algunos números se pueden representar organizando cuadrados de

puntos. De esta forma se obtiene una serie de números cuadrados:

• • • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • •

• • • • •

1 4 9 16 25

Bill: También se pueden formar números con figuras de triángulos, con lo que

se consigue un conjunto de números triangulares:

• • • •

•• •• ••

••• •••

••••

1 3 6 10

José: Esto me parece interesante. Pero querría encontrar otras actividades que

permitan extender los pensamientos.




Bill: seguro que descubrimos más cosas si nos fijamos en lo que hemos hecho

hasta ahora. Por ejemplo, si consideramos pares de números triangulares, se

observa que los puntos forman números rectangulares u oblongos:

• • • • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • • • • •

• • • • • • • • •

• • • • •

2 6 12 20

José: En esas figuras se descubre la siguiente relación:

El primer rectángulo verifica: R1=1x2=1x(1+1)

El segundo rectángulo verifica: R2=2x3=6=2x(2+1)

El tercer rectángulo verifica: R3=

El cuarto rectángulo verifica: R4=

Y así sucesivamente Rn=

Bill: Luego existe una forma sencilla de calcular el número de puntos que tiene

cada uno de esos rectángulos.

José: Ahora bien. Un número triangular es la mitad de un número rectangular.

Por eso

Tn=

Bill: Desde mi punto de vista, se puede y se debe estimular a trabajar de ese

modo. Para ello es importante el papel del profesorado, que debe conseguir que las

preguntas surjan del mismo alumnado. Pero sigamos observando las relaciones

entre otros números. Existen números pentagonales, hexagonales, ….

Los números poligonales han sido uno de los tópicos más atractivos de la Historia de la Aritmética tratado por

matemáticos de la talla de Nicómaco, Diofanto, Mersenne, Euler, Gauss, Lagrange, Legendre y Cauchy. Forman parte

de las raíces históricas de la Teoría de Números, apareciendo en numerosos ámbitos como por ejemplo en el Triángulo de Pascal. Juegan un importante papel en el Análisis combinatorio, intervienen en el Binomio de Newton y en el

Cálculo de Probabilidades y fueron ampliamente utilizados por Fermat, Pascal, Wallis y Roberval para la obtención de

sus resultados sobre cuadraturas. En la actualidad el estudio de los números poligonales ha alcanzado un valor práctico en una incipiente aplicación criptográfica a la seguridad en las comunicaciones, de modo que, como en otros muchos otros aspectos, Pitágoras se sitúa en el umbral del pensamiento matemático.

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Gauss.asp

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Legendre.asp

http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/MateOspetsuak/Fermat.asp

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