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Segundo Curso. Sesión: 11 Fecha: 21/01/17 Título: NÚMEROS FIGURADOS. Los primeros pitagóricos entendían los números como entes, no como un concepto abstracto, sino que asociaban los números a puntos geométricos o pequeñas esferas, como si fueran átomos con los que estaba formada la materia. Entonces, para los pitagóricos no tendría sentido encontrar las relaciones numéricas fuera de un contexto que no fuera el geométrico. Vamos ahora a proceder a buscar estas relaciones desde el punto de vista geométrico, es decir sin intentar apoyarnos en argumentos algebraicos, sino sólo geométricos. Los pitagóricos no llamaban a los números triangulares, cuadrados o pentagonales de esta forma como una metáfora, sino que veían realmente triángulos, cuadrados,…No hay una diferencia, el número es la figura y la figura es el número. Vamos a empezar haciendo figuras con puntos, primero con los más sencillos, los rectángulos. Un número rectangular es una disposición de puntos de manera que forman un rectángulo, por ejemplo el 12 es rectangular, 12=3x4 o 12=2x6. ¿Hay algún número natural que no sea rectangular?. Un número oblongo es un número rectangular de tal manera que una de sus dimensiones es una unidad más que la otra, por ejemplo 12=3x4, 20=4x5. En lo que sigue notaremos:

tk: El número triangular de orden k, ck: El número cuadrado de orden k, pk: El número pentagonal de orden k, hk: El número hexagonal de orden k,

Necesitamos también la definición de gnomon de una figura, esta es otra figura que añadida a la original provoca una figura semejante a la primera ACTIVIDAD Nº 1 Utilizando fichas de parchís forma el gnomon del triángulo equilátero, del cuadrado, del pentágono. ¿Por cuántas fichas está formado el gnomon de cada polígono en el paso k? . ¿Por cuántas fichas estará formado el gnomon del polígono de n lados (n-gono) en el paso k (k-ésimo)?

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ACTIVIDAD Nº 2 Obtén el número tk a partir del oblongo de orden k ACTIVIDAD Nº 3 Obtén geometricamente el número ck (k2) como suma de los k primeros números impares (Th.Teón) ACTIVIDAD Nº 4 Expresa el número ck como suma de números triangulares (Th. de Teón). ACTIVIDAD Nº 5 Utilizando los cubitos encajables, demuestra que todo cubo es suma de números impares consecutivos

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ACTIVIDAD Nº 6 Utilizando los cubos encajables, demuestra que todo número triangular al cuadrado se puede poner como suma consecutiva de cubos. Es decir: tn2=13+23+…+n3 ACTIVIDAD Nº 7 Utilizando fichas forma el número p4 e intenta descomponer ese número como suma de:

• p3 más su gnomon • números oblongos y triangulares • números triangulares • números cuadrados y triangulares • Generaliza los anteriores resultados para el caso de pk

ACTIVIDAD Nº 8 Utilizando fichas forma el número h4 e intenta descomponer ese número como suma de:

• h3 más su gnomon • números oblongos y triangulares • números triangulares • números pentagonales y triangulares • números cuadrados y triangulares • Generaliza los anteriores resultados para el caso hk

ACTIVIDAD Nº 9 Resume toda esta información en la siguiente tabla que te ayudará en la siguiente actividad: Número Poligonal

gnomon Ley de recurrencia

Descomposición triangular

A partir de su anterior poligonal

Dependiendo sólo del orden

tk

ck

pk

hk

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ACTIVIDAD Nº 10 Encuentra para cualquier número n-gonal el término k-esimo como suma de:

• Su anterior más su gnomon (Ley de recurrencia) • Un poligonal anterior de igual orden más un triangular (Nicómaco. S.I.d.C.) • números triangulares (Descomposición triangular)

ACTIVIDAD Nº 11 Vamos a demostrar que todo número hexagonal es un número triangular. Para ello vamos a visualizarlo con el h4. Forma el h4 con fichas, formálo como números triangulares de distintos colores. Después transforma ese número hexagonal en un número rectangular lo más cuadrado posible. Después forma con ese rectángulo un número triangular. ACTIVIDAD Nº 12 Toma un número cualquiera y comprueba si se puede escribir como suma de a lo máximo cuatro números cuadrados. ACTIVIDAD Nº 13 Toma un número cualquiera y comprueba si se puede escribir como suma de a lo máximo tres números triangulares. ACTIVIDAD Nº 14 Toma un número cualquiera y comprueba si se puede escribir como suma de a lo máximo n números n-gonales.

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Pero, porqué quedarnos en el plano, podríamos saltar al espacio y tendríamos los números piramidales de base triangular, cuadrada, pentagonal, formados de la siguiente manera:

Si observas, un número piramidal de orden k es la suma de sus correspondientes números poligonales hasta el orden k, es decir, el piramidal de base triangular de orden 5 (tetraedro) T5=t1+t2+t3+t4+t5. El P3=p1+p2+p3.

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ACTIVIDAD Nº 15 Vamos a buscar una fórmula general para los números Tetragonales (Pirámides de base triangular). Vamos a hacer uso de los cubitos encajables y vamos a construir el T3=t1+t2+t3 =1+3+6=10. Observa la siguiente secuencia de imágenes e intenta descubrir la fórmula del número Tetragonal de orden n: Con el número T3 podemos construir dos tipos de piezas, tipo A y tipo B, ambas son simétricas. Forma 3 de cada tipo e intenta montar un prisma con las 6 piezas, después generaliza la fórmula que buscamos.

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ACTIVIDAD Nº 16 Vamos a buscar una fórmula para los números piramidales de base cuadrada: Ck. Al igual que en la actividad anterior haremos unos de los cubitos encajables para generalizar una fórmula, para ello vamos a trabajar con el C3=c1+c2+c3=1+4+9=14. Aquí tienes una representación del C3: Utilizando 3 pirámides como esta consigue una pieza con la que puedas generalizar el caso Ck

ACTIVIDAD Nº 17 Vamos a buscar una fórmula para los números piramidales de base pentagonal: Pk. Al igual que en la actividad anterior haremos unos de los cubitos encajables para generalizar una fórmula, para ello vamos a trabajar con el P3=p1+p2+p3=1+5+12=18. Teniendo en cuenta que un pentagonal es la suma de un cuadrado más un triangular, intenta montar una pieza con la que poder generalizar la fórmula para el caso Pk. Encuentra relaciones entre las filas y las columnas de la tabla anterior