Estatística Inferencial - 4 Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes

ESTATÍSTICA INFERENCIAL

Ranilson Paiva

Ranilson Paiva [email protected]

Probabilidade CondicionalTeorema de Bayes

Conteúdo Programático• Probabilidade

• Introdução• Teoremas (Regras) Fundamentais da Probabilidade• Teorema de Bayes• Exemplos

• População e Amostra• Introdução• Problemas de Inferência• Amostragem aleatória• Distribuição amostral da média

• Intervalos de Confiança• Introdução• Análise de regressão• Análise de correlação

• Distribuições Discretas de Probabilidade• Introdução• Função de probabilidade• Gráfico da função de probabilidade• Função de distribuição Cumulativa

• Distribuições Contínuas de Probabilidade• Introdução• Distribuição de probabilidade• Função densidade de probabilidade• Gráfico da função de probabilidade• Teorema do limite central

Ranilson Paiva [email protected] Condicional e Teorema de Bayes

Agenda TEORIA

Probabilidade Condicional Eventos Independentes Lei da Multiplicação

Lei da Multiplicação para Eventos Independentes Exemplos

Teorema de Bayes Abordagem Tabular Exemplos

• EXERCÍCIOS• LEITURA RECOMENDADA• PERGUNTAS E RESPOSTAS• REFERÊNCIAS

Ranilson Paiva [email protected] Condicional e Teorema de Bayes

PROBABILIDADE [email protected] Paiva

Probabilidade Condicional e Teorema de Bayes

DEFINIÇÃO É, basicamente, a probabilidade de

ocorrência de um evento (A), dado que sabemos que um outro evento (B) já ocorreu (SWEENEY, 2014).

Representado por: P(A | B) Lido como: ”Probabilidade de A, dado B” Probabilidade de ocorrência do evento A,

dada a condição de o evento B ter ocorrido. Cálculo: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)



EXEMPLO 1 Em um departamento de polícia dos EUA, uma

comissão das oficiais femininas fez uma acusação de discriminação, baseada na diferença de oficiais masculinos e femininos que receberam promoção. Avaliemos se a acusação é procedente.

Homens Mulheres Total

Promovidos 288 36 324

Não Promovidos 672 204 876

Total 960 240 1200



EXEMPLO 1 Sejam:

H = O evento de o oficial ser um homem. M = O evento de o oficial ser uma mulher. A = O evento de o oficial ser um promovido. Ac = O evento de o oficial ser um não ser promovido.

Queremos: Avaliar se há uma probabilidade maior do evento Ac (oficial

ser promovido), dado que o mesmo é um homem (evento H).

Inicialmente: Calculamos as probabilidades conjuntas P(H ∩ A), P(M ∩ A), P(H ∩ Ac) e P(M ∩ Ac)



EXEMPLO 1 Cálculo das probabilidades conjuntas:

P(H ∩ A) = 288/1200 = 0.24 P(H ∩ Ac) = 672/1200 = 0.56 P(M ∩ A) = 36/1200 = 0.03 P(M ∩ Ac) = 204/1200 = 0.17

Tabela de probabilidades conjuntas:Homens (H) Mulheres (M) Total

Promovidos (A) 0.24 0.03 0.27

Não Promovidos (Ac) 0.56 0.17 0.73

Total 0.80 0.20 1.00



EXEMPLO 1 Cálculo da probabilidade condicional

Probabilidade de um oficial ser promovido, dado que é um homem.

P(A | H) = P(A ∩ H) / P(H) = 0.24/0.80 = 0.30 Probabilidade de um oficial ser promovido, dado que é uma

mullher. P(A | M) = P(A ∩ M) / P(M) = 0.03/0.20 = 0.15

Qual a conclusão que as probabilidades condicionais sustentam?

As probabilidades condicionais provam que há discriminação?

Os eventos Promoção e Sexo do Oficial são dependentes? Como avaliar? Próximo Slide



EVENTOS INDEPENDENTES Ocorrem quando a probabilidade de

ocorrência de um evento A não se alterar em função da existência de um evento B. Em caso contrário, os eventos são ditos dependentes (SWEENEY, 2014).

Representado por: P(A | B) = P(A)



EVENTOS INDEPENDENTES – EXEMPLO 2 Lançar uma moeda 2 vezes, e

determinar a probabilidade de se obter um resultado no segundo lançamento depende do resultado do primeiro lançamento.



EVENTOS INDEPENDENTES – EXEMPLO 2 Temos:

Espaço Amostral e Número de Eventos S = {(ca,ca), (ca,co), (co,ca), (co,co)} N(E) = 4

Queremos: Avaliar se a obtenção de qualquer face da moeda, no

primeiro lançamento, influencia o segundo lançamento da mesma moeda.

Consideremos: A face cara para o segundo lançamento.



EVENTOS INDEPENDENTES – EXEMPLO 2 Evento de interesse:

Espaço Amostral, Evento e Número de Eventos S = {(ca,ca), (ca,co), (co,ca), (co,co)} A = {(ca,ca), (co,ca)} N(A) = 2

P(A) = n(A) / n(E) = 2/4 = 0.5



EVENTOS INDEPENDENTES – EXEMPLO 2 Calcular:

A probabilidade de obtermos cara no segundo lançamento, dado que obtivemos cara no primeiro.

Evento de interesse: A = {(ca,ca), (co,ca)} *Cara no segundo lançamento B = {(ca,ca), (ca,co)} *Cara no primeiro lançamento

P(A|B) = n(A∩B) / n(B) = 1/2 = 0.5 P(A) = P(A|B) *Os eventos são independentes



LEI DA MULTIPLICAÇÃO É utilizada para calcular a probabilidade de uma

intersecção de dois eventos (SWEENEY, 2014). Cálculo:

Para eventos dependentes: P(A∩B) = P(B) * P(A|B) Para eventos independentes: P(A∩B) = P(B) * P(B)

Verificação de Dependência: Se P(A∩B) = P(B) * P(B), A e B são independentes. Se P(A∩B) ≠ P(B) * P(B), A e B são dependentes.



LEI DA MULTIPLICAÇÃO – EXEMPLO 3 Uma editora sabe que 84% dos

moradores de um determinado edifício assinam a revista A. Sabe, também, que a probabilidade de um morador nesse edifício, que já é cliente, assinar a revista B é de 75%. Qual a probabilidade de um morador assinar as duas revistas?



LEI DA MULTIPLICAÇÃO – EXEMPLO 3 Temos:

P(A) = 0.84 e P(B) = 0.75 Queremos:

P(A∩B) Sabemos que há chance de um morador,

já cliente da editora, assinar uma outra revista. Sendo assim, os eventos são dependentes. P(A∩B) = P(A) * P(A|B) 0.84 * 0.75 = 0.63



LEI DA MULTIPLICAÇÃO – EXEMPLO 4 O gerente de uma loja estima, por

experiência, que 2/3 de seus clientes utilizam o cartão de crédito para pagamento de suas compras. Qual a probabilidade de os dois próximos clientes pagarem suas contas com cartão de crédito?



LEI DA MULTIPLICAÇÃO – EXEMPLO 4 Temos:

P(A) = 1º cliente pagar com cartão de crédito = 0.75 P(B) = 2º cliente pagar com cartão de crédito = 0.75

Queremos: P(A∩B) Não sabemos nenhuma outra informação que possa

influenciar na forma de pagamento dos clientes. Sendo assim, devemos considerar os eventos independentes. P(A∩B) = P(A) * P(B)

0.75 * 0.75 ~ 0.56

TEOREMA DE [email protected] Paiva


DEFINIÇÃO É o cálculo de uma probabilidade posterior P(Aj|

B) a partir das probabilidades a priori P(Ai) e condicional P(B|Ai).

Representado por: P(A | B) Cálculo: P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

P(A ∩ B) = P(B|Aj) P(Aj) .: j = 1, …, n P(B) = ∑ P(B|Ai) · P(Ai) Eventos mutuamente exclusivos e exaustivos (A1,

A2, …, An) Conhecemos probabilidades a priori P(Ai)



DEFINIÇÃO Eventos Mutuamente Exclusivos

São eventos que não possuem em comum.

Eventos Exaustivos São eventos cuja união corresponde à

população/espaço amostral. Ou seja: A1 U A2 U A3 U … U An = S



DEFINIÇÃO Ocorrência de um outro evento (B)

Eventos Mutuamente Exclusivos e Exaustivos

Espaço amostral (S) = (A1∩B) U (A2∩B) U … U (An∩B)

Representação Visual



EXEMPLOSApenas 1 em 1000 adultos é afligido com uma doença rara para o qual foi desenvolvido um teste de diagnóstico. O teste é tal que, quando um indivíduo tem, de fato, a doença um resultado positivo irá ocorrer 99%, enquanto que um indivíduo sem a doença irá mostrar um resultado de teste positivo apenas 2%. Se uma pessoa selecionada aleatoriamente é testada e o resultado for positivo, qual a probabilidade de o indivíduo realmente ter a doença?



EXEMPLOS

Exercício (INF01)[email protected] Paiva


Suponha que um indivíduo é selecionado aleatoriamente da população de todos os adultos, do sexo masculino, que vivem nos Estados Unidos. Seja A o evento que o indivíduo selecionado ter mais de 1.80 m de altura, e B ser o evento que o indivíduo selecionado é um jogador de basquete profissional. Qual você acha que é maior do P (A | B) ou P (B | A)? Por quê?

Exercício (INF02)[email protected] Paiva


Há uma grande controvérsia ao longo dos últimos anos sobre quais os tipos de vigilância são apropriadas para prevenir o terrorismo. Suponha que um sistema de vigilância particular tem uma chance de 99% de identificar corretamente um terrorista futuro e uma chance de 99,9% de identificar corretamente alguém que não é um terrorista futuro. Se houverem 1000 futuros terroristas em uma população de 300 milhões, e um indivíduo desses 300 milhões é selecionado aleatoriamente, examinado pelo sistema, e identificado como um terrorista futuro, qual é a probabilidade de que ele/ela na verdade ser um terrorista futuro? O valor desta probabilidade torna desconfortável o uso do sistema de vigilância? Explique.

LINKS RECOMENDADOS https://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&

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Obrigado!Dúvidas?

Ranilson Paiva

REFERÊNCIAS DEVORE, J. L. Probability and Statistics for

Engineering and the Sciences. SWEENEY, D.; WILLIAMS, T.; ANDERSON, D.

Estatística Aplicada à Administração e Economia, 6ª Edição.

SOARES, J. F.; FARIAS, A. A.; CESAR, C. C. Introdução à Estatística Básica.

BUSSAD, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística Básica.

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