UNIDAD III

ESTIMACIN PUNTUAL E INTERVLICA

ESCUELA DE INGENIERIA AGROINDUSTRIALPROFESORA: Dra. MARA T. ROJAS GARCA

Estimacin: puntual y por intervalosComo ya hemos visto, a partir de los estadsticos que hemos obtenido en la/s muestra/s queremos obtener una idea de los valores de los parmetros en la poblacin.Se trata de emplear los estadsticos para estimar los parmetros.Veremos DOS tipos de estimadores:Estimacin puntual. Aqu obtendremos un punto, un valor, como estimacin del parmetro.Estimacin por intervalos. Aqu obtendremos un intervalo dentro del cual estimamos (bajo cierta probabilidad) estar el parmetro.

*

Estimacin puntual de parmetrosUn estimador puntual es simplemente un estadstico (media aritmtica, varianza, etc.) que se emplea para estimar parmetros (media poblacional, varianza poblacional, etc.).

Es decir, cuando obtenemos una media aritmtica a partir de una muestra, tal valor puede ser empleado como un estimador para el valor de la media poblacional.

(Algunos autores comparan los estimadores con los lanzamientos en una diana; el crculo central sera el valor real del parmetro.)

Propiedades deseables en los estimadoresVeremos CUATRO propiedades:

Ausencia de sesgoConsistenciaEficienciaSuficiencia

1. Ser insesgado. Diremos que es un estimador insesgado de si la esperanza de es . Es decir, La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional.Pero la varianza muestral NO es un estimador insesgado de la varianza poblacional, pero s lo es en cambio la cuasivarianza.

2. Consistencia. Se dice que un estimador es consistente si se cumple que:Esta expresin indica que a medida que se incrementa el tamao muestral, la diferencia entre el estimador y el parmetro ser menos que cualquier nmero (e).A diferencia de la ausencia de sesgo que se define para valores finitos de n, la consistencia es una propiedad asinttica.Tanto la media muestral como la cuasivarianza son estimadores consistentes. Nota: la varianza muestral ES un estimador consistente de la varianza poblacional, dado que a medida que el tamao muestral se incrementa, el sesgo disminuye y disminuye.

3. Eficiencia. Se emplea para COMPARAR estimadores.

Si tenemos dos estimadores y de un mismo parmetro q, diremos que es ms eficiente que si tenemos que var( ) < var( )

Se puede comprobar que la varianza muestral es ms eficiente que la cuasivarianza muestral a la hora de estimar la varianza poblacional. (An as, se prefiere la cuasivarianza muestral como estimador de la varianza poblacional por ser un estimador insesgado.)

4. Suficiencia. Diremos que es un estimador suficiente del parmetro si dicho estimador basta por s solo para estimar

ESTIMACIN DE LA MEDIA POBLACIONALESTIMACIN PUNTUAL :

EL MEJOR ESTIMADOR PUNTUAL DE AL MEDIA POBLACIONAL ES LA MEDIA MUESTRAL. = Ejm. Se tiene una muestra de tiempos en minutos de experimentos en un laboratorio con elementos 2, 6 , 4 , 3 , 5 . Estime la media poblacional. = = ( 2+6+4+3+5)/ 5 = 4 = 4

-Intervalo de confianza: Es el intervalo de las estimaciones (probables) sobre el parmetro.-Lmites de los intervalos de confianza: Son los dos valores extremos del intervalo de confianza.

Intervalos de confianza para los principales parmetros: El caso de la media (3)Pero, cmo calculamos estos dos lmites?Sabemos que la distribucin subyacente es normal, lo cual nos ayuda enormemente.En una distribucin normal tipificada, es muy fcil saber qu puntuacin tpica (z) deja a la izquierda el 2.5% de los datos (yendo a las tablas es -1.96) y cul deja a la izquierda el 97.5% de los datos (o a la derecha el 2.5% de los datos: 1.96).Ahora habr que pasar esos datos a puntuaciones directas....

Intervalos de confianza para los principales parmetros: El caso de la media (3)Pero, cmo calculamos estos dos lmites?Vamos a ver DOS casos.Primero, veremos el caso de que sepamos la varianza poblacional.Segundo, veremos el caso de que NO sepamos la varianza poblacional

Intervalos de confianza para los principales parmetros: El caso de la media (4)Nuestra distribucin es normal, pero con cierta media y cierta desviacin tpica, las cuales sabemos por el tema anterior:La media de la distribucin muestral de medias es la media poblacional mLa varianza de la distribucin muestral de medias es s2/n

O lo que es lo mismo, la desviacin tpica de la dist.muestral de medias esy n 30

Intervalos de confianza para los principales parmetros: El caso de la media (5)Estimador de es Recordad que

O lo que es anlogoY para pasar directas-tpicas:

z 0975z 0025En definitivaIntervalos de confianza para los principales parmetros: El caso de la media (6)Aplicando la lgica de pasar de puntuaciones tpicas a directasEn Punt.tpicasEn Punt.directas

2) CASO DE DESCONOCER LA VARIANZA POBLACIONAL y n < 30 no es una distribucin normal, sino una distribucin t de Student con n-1 grados de libertad.Recordad, en el caso de varianza conocida tenamos:

En resumen, se tiene:En definitiva, para la media (cuando conocemos la varianza poblacional), tenemos la expresinPero si no conocemos la varianza poblacional (el caso realista), tenemos la expresin:En todo caso, recordad que si "n" es grande, la distribucin t de Student ser virtualmente una distribucin normal N(0,1). En otras palabras, si "n" es grande, ambas frmulas dan unos intervalos virtualmente idntico, y emplear la distribucin normal es correcto.

Intervalos de confianza para los principales parmetros: Tamao muestral y la amplitud del intervalo de confianzaEs claro que a medida que el tamao muestral aumente, la amplitud del intervalo disminuye. (Evidentemente, esto es general, no slo para la media.) Veamos, en todo caso un ejemplo:Caso A1. Media muestral=10, varianza pobl=4, tamao muestral=12

Caso A2. Media muestral=10, varianza pobl=4, tamao muestral=20Para el caso de la media hemos visto que

Intervalos de confianza para los principales parmetros: Amplitud del intervalo de confianza y el valor del ndice de confianzaPero evidentemente es posible emplear intervalos a, digamos, el 99%. En tal caso, tendremos ms seguridad de que el parmetro de inters se halle en los lmites del intervalo. El problema es que incrementar tal ndice aumenta as mismo la amplitud del intervalo.Caso A1. Media muestral=10, varianza pobl.=4, tamao muestral=12. Intervalo al 95%

Caso A2. Media muestral=10, varianza pobl=4, tamao muestral=12. Intervalo al 99%El caso "usual" (por defecto) es emplear intervalos al 95%.

Ejemplo 1 Se desea establecer si la aplicacin de fertilizantes modifica el rendimiento promedio de una variedad de maiz en la zona de la serrana libertea. Se conoce que la desviacin estndar es = 450 kg. A los fines de evaluar el efecto de la fertilizacin, se realiz un ensayo que consisti en elegir 40 hectreas (una de cada chacra de la regin), en forma aleatoria a las que se les aplic el fertilizante, evaluando luego su rendimiento de cosecha la produccin media obtenida es de 2650 kg. . Construya el intervalo de confianza para el verdadero rendimiento promedio de maiz considerando una confianza del 95%.

Ejemplo 2.

Los siguientes datos corresponden a los residuos de un insecticida (en ppm) en plantas de un lote de ESPARRAGO, Los resultados obtenidos son:0.58 0.84 0.52 0.55 0.52 0.70 0.50 0.51

0.95 0.59 0.92 0.40 0.52 0.35 0.41 0.66

Las normas de comercializacin establecen que si el residuo de insecticida es mayor que 0.50 ppm, es peligroso para el consumo humano. El rendimiento promedio obtenido del lote es 0.59 y la desviacin estndar estimada es 0.17. a) Estime puntualmente la media poblacional b) Construya el intervalo de confianza para el 99% de confianza.

Caso de muestras grandesEstimacin Intervlical:

ESTIMACIN DE LA PROPORCIN POBLACIONALEstimacin Puntual:

El mejor estimador puntual de la proporcin poblacional es la proporcin muestral: ^ P = p = a /n

Ejemplo 1

Un productor decide probar el funcionamiento de su mquina y para ello, luego de cosechar una parcela de cebada, cuenta en 10 unidades de 1 m la cantidad de semillas que quedan en el suelo. Las normas tcnicas indican que la desviacin estndar del nmero de semillas cadas por m no debera ser superior a 5. Los resultados, en semillas / m fueron: 77 73 82 82 79 81 78 76 76 75 Estime puntualmente la proporcin poblacional, del nmero de semillas cadas por m sea menor a 78 semillas.Construir un intervalo de confianza para la proporcin poblacional del nmero de semillas cadas por m sea menor a 78 semillas, para el 95% de confianza.

Ejemplo 2 Una liga nacional de sindicatos obreros agroindustriales necesita estimar la proporcin de obreros no sindicalizados que estaran a favor de una huelga nacional agraria. Setenta de 200 obreros entrevistados no sindicalizados se encontraron a favor de la huelga nacional. Estime la proporcin de obreros no sindicalizados que estn a favor de la huelga nacional agraria, para el nivel de confianza del 95% Ejemplo 3Una muestra aleatoria de 100 maquinarias agroindustriales de una cuidad se encontr 15 maquinas inoperativas. Construya el intervalo de confianza de la proporcin de maquinas inoperativas en dicha ciudad, para el 90% de confianza.

Caso de muestras grandesEstimacin Intervlica:

ESTIMACIN DE LA VARIANZA POBLACIONALEstimacin Puntual:

El mejor estimador puntual de la proporcin poblacional es la proporcin muestral: 2 = s2 2

Ejemplo 1

Un productor decide probar el funcionamiento de su mquina y para ello, luego de cosechar una parcela de cebada, cuenta en 10 unidades de 1 m la cantidad de semillas que quedan en el suelo. Las normas tcnicas indican que la desviacin estndar del nmero de semillas cadas por m no debera ser superior a 5. Los resultados, en semillas / m fueron: 77 73 82 82 79 81 78 76 76 75 Estime Puntualmente la varianza poblacionalConstruir un intervalo de confianza para la varianza poblacional del 95%Concluir sobre el funcionamiento de la mquina.

Respuesta: varinaza estimada es 9.43

P( 5.02 25.53 ) = 0.95

Ejemplo 2.

Los siguientes datos corresponden a los residuos de un insecticida (en ppm) en plantas de un lote de esparrago, Los resultados obtenidos en una muestra de plantas son:0.58 0.84 0.52 0.55 0.52 0.70 0.50 0.51

0.95 0.59 0.92 0.40 0.52 0.35 0.41 0.66

a) Estime puntualmente la varianza poblacional

b) Construya el intervalo de confianza para el 95% de la variabilidad de residuos en los lotes de esprragos.

Caso de muestras grandes 2. Estimacin Intervlica:

P(( p1 p2) Z(1-/2) P1Q1 /n1 + P2Q2 /n2 P1 P2 (( p1 p2) Z(1-/2) P1Q1 /n1 + P2Q2 /n2 )=1-

4. ESTIMACIN DE LA DIFERENCIA DE PROPORCIONES POBLACIONALES

Estimacin Puntual:

El mejor estimador puntual de la diferencia de proporciones poblacional es la diferencia de las proporciones muestrales:

P1 - P 2 = p1 - p2 = a1/n1 a2/n2 2

Ejemplo 2:

Dos tipos de riego A y B se aplican al riego de parcelas de esparrago, en el tipo de riego A se cree que en el 15% de las parcelas su riego es defectuoso y el tipo de riego B cree que en el 20% de las parcelas su riego es defectuoso, si se toma una muestra al azar de 200 parcelas con riego de tipo A y se encuentra en que 20 el riego es defectuoso y se toma una muestra al azar de 400 parcelas del riego de tipo B y se encuentra que en 30 parcelas el riego es defectuoso.a) Estime puntualmente la diferencia de proporciones poblacionalesb) Construya el intervalo de confianza, para la diferencia de proporciones poblacionales, considere el 95% de seguridad.

Ejemplo 2:

Para evaluar el crecimiento (medido en peso seco) de plantas de repollo sometidos a dos condiciones hdricas, una con riego no restringido (a capacidad de campo) y la otra con riego restringido (una vez cada 15 das), ocho equipos de trabajo obtuvieron datos para ambas condiciones. Cada dato, aportado por un equipo de trabajo corresponde al peso seco de 50 plantas, con los siguientes datos:EquipoRiego NR : 0.487 0.408 0.360 0.431 0.576 0.660 0.400 0.540 Riego R : 0.387 0.820 0.788 0.889 0.578 0.680 0.410 0.550

Estime puntualmente la diferencia de proporciones poblacionales que sean menores a los pesos medios respectivamente.Determine el intervalo de confianza para diferencia de proporciones poblacionales que sean menores a los pesos medios respectivamente, para el 95 % de confianza.

4. ESTIMACIN DE LA DIFERENCIA DE DOS MEDIAS POBLACIONALES1. Estimacin Puntual: El mejor estimador puntual de la diferencia de dos medias poblacionales es la diferencia de las medias muestrales. 1 - 2 = 2. Estimacin Intervlica:Se presentan los siguoientes casos:Son Las varianzas poblacionales 2 1 ; 2 2 son conocidas y n 1 ; n 2 son 30 datos

El intervalo esta dado por :

P(( x1 x2) Z(1-/2) 21 /n1 + 22 /n2 1 - 1 (( x1 x2) Z(1-/2) 21 /n1 + 22 /n2)=1-

2. Las varianzas poblacionales 2 1 ; 2 2 no son conocidas y n 1 ; n 2 son 30 datos a) 2 1 ; 2 2 no son conocidas , pero diferentes

El intervalo esta dado por :

P(( x1 x2) t(/2; n1+n2) s21 /n1 + s22 /n2 1 - 1 (( x1 x2) t(/2); n1+n2) s21 /n1 + s22 /n2)=1-

b) 2 1 ; 2 2 no son conocidas , pero similares ( 2 1 = 2 2 ) El intervalo esta dado por :

P(( x1 x2) t(/2; n1+n2) s2P * (1/n1 +1/ n2) 1 - 1 (( x1 x2) t(/2); n1+n2) s2P * (1/n1 +1/ n2))=1-

Donde s2P es la varianza mancomunada: s2P = s21 (n1 1) + s22 (n2 1)

Ejemplo 1:

Los siguientes resultados se obtuvieron al analizar los registros de las precipitaciones ocurridas en dos zonas de nuestra serrana A y B . Con los siguientes resultados de estudios anteriores:ZONA n media desv. Estndar A 39 547.29 154.07 B 45 614.35 113.9 a) Estime puntualmente la diferencia de medias poblacionales.b) Contruya el intervalo de confianza para la diferencia de medias de las dos zonas, para la confianza del 95% . Interprete.

Ejemplo 2

Se esta experimentando con un herbicida de maz, y para ponerlo a prueba se evalan los rendimientos de 12 parcelas experimentales. En 6 de ellas se utiliz el nuevo herbicida y en las restantes un herbicida tradicional como control. Los resultados del ensayo, expresados en quintales por hectrea, son los siguientes: Nuevo herbicida: 68.1 74.6 64.4 69.2 61.8 57.9 Viejo herbicida : 64.7 62.5 66.8 69.2 53.9 58.5

Suponiendo que las varianzas poblacionales son diferentes, construya el intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales e interprete. Use el 95 % de confianza.

Ejemplo 3

Se tomo muestras de parcelas en dos zonas diferentes de cultivo de esparrago en Chao Vir y se mide la produccin de esparrago en TM/ Hectrea, obtenindose los siguientes resultados: Zona A : 146 98 164 102 116 157 128 Zona B : 123 92 178 101 108 132 135Estime puntualmente la diferencia de medias poblacionales.Suponiendo que las varianzas poblacionales son iguales, construya el intervalo de confianza para la diferencia de medias poblacionales e interprete. Use el 95 % de confianza.

*