Estimacin Puntual En el presente informe se dar a conocer las propiedades de la estimacin puntual. Esteban Gonzlez, Marta Guevara. 27/09/2012

Estimador Puntual

Definicin

La inferencia estadstica se relaciona con los mtodos para obtener informacin general de una poblacin a travs de una muestra, la cual

debe ser lo ms representativa posible. La inferencia estadstica se divide en dos: la estimacin de los

parmetros y la prueba de hiptesis. En la estimacin se trata de elegir el valor de un parmetro de la poblacin. La estimacin a su vez se

subdivide en dos reas: la estimacin puntual y por intervalos de confianza.

En prueba de hiptesis se trata de aceptar o rechazar un valor especfico. Al igual que en estimacin la prueba de hiptesis se divide en

dos reas: prueba de hiptesis sobre parmetros y prueba de bondad de ajuste.

En el presente informe solo se definir estimacin en especfico estimador puntual y sus propiedades.

Se trata de utilizar un valor estadstico para estimar el parmetro de

una poblacin. Un estimador puntual para un parmetro es una funcin de variables aleatorias que forman la muestra, cuyos valores son vlidos como valores para ese parmetro.

Propiedades

Estimador Insesgado.

Se dice que un estimador es Insesgado o centrado si la media o esperanza matemtica del estimador coincide con el verdadero valor del parmetro. Es decir:

E(^) = .

Por el contrario a modo de contra definicin, Sesgo estadstico es un error

que se detecta en los resultados de un estudio y que se debe a factores

en la recoleccin, anlisis, interpretacin o revisin de los datos. Ejemplo:

Los siguientes datos corresponden a la longitud (en milmetros) de

piezas fabricadas por una mquina

104 109 111 109 87

86 80 119 88 122

91 103 99 108 96

104 98 98 83 107

79 87 94 92 97

a) Calcular un estimador insesgado para la media de la poblacin.

b) Calcular un estimador insesgado para la varianza de la poblacin.

Eficiencia

Sea 1, 2 estimadores insesgados de un parmetro desconocido . Decimos que 1 es ms eficiente que 2 es decir, un estimador es

ms eficiente o ms preciso que otro estimador, si la varianza del primero es menor que la del segundo.

Un estimador es ms eficiente (ms preciso), por tanto, cuanto menor es su varianza.

La eficiencia de los estimadores est limitada por las caractersticas de

la distribucin de probabilidad de la muestra de la que proceden.

El teorema de Cramr-Rao determina que la varianza de un estimador

insesgado de un parmetro es, como mnimo, donde es la funcin de densidad de probabilidad de la

muestra en funcin del parmetro , (denominada funcin de verosimilitud). Si un estimador alcanza esta

cota mnima, entonces se dice que el estimador es de mnima varianza.

Var 2 > Var 1 1 y 2 misma medida si es insesgado y de mnima varianza.

Consistencia

Cuando el tamao de una muestra es muy grande los estimadores por lo

general, valores muy prximos a los parmetros respectivos. Por lo

tanto un estimador es consistente se cumple que a medida que el tamaos de la muestra crece, el valor estimado se aproxima al

parmetro desconocido. Un estimador asintticamente insesgado, cuya varianza tiene a cero al

aumentar el tamao muestral es consistente.

Aplicaciones: La media muestral es un estimador consistente de la

media poblacional.

Suficiencia

El estimador debera aprovechar toda la informacin existente en la

muestra. Un estimador T es suficiente si se utiliza toda la informacin relevante de la muestra para estimar el parmetro de la poblacin. Es decir, un estimador T es suficiente si todo el conocimiento que se obtiene acerca del parmetro es mediante la especificacin real de todos los valores de la muestra.