Estimaciones de los parámetros y la cola de una distribución · 2017-06-05 · •La inflación...

Estimaciones de los

parámetros y la cola de una

distribución

Actuaries Collaborating TogetherColegio Actuarial Mexicano, A.C.

Chicago, Illinois1 Junio 2017

Alejandro Ortega, FCAS, CFA

2

Usos del método

• Para medir Capital Económico, y Capital

Regulatorio (Solvencia II)

• Comparar Planes de Reaseguro

• También para consultoría con: un cliente, una

cartera, o una empresa entera

• Estimar la Distribución de Siniestros para 2016

• Embrechts, Paul – Teoría de valores extremos

3

Datos

• Fecha de Análisis – 13 noviembre 2015

• Primas: 2010 – 2014

• Siniestros: 2010 – 2014

• Fecha de Datos: 30 Sep 2015

• ¿Por qué no usamos los siniestros de 2015?

4

Resumen de Siniestralidad

AñoNúmero de Siniestros Monto Pagado

2010 330 3,057,507

2011 312 3,177,057

2012 256 2,849,844

2013 272 3,571,991

2014 367 4,680,122

5

Resumen de la Información

Supuestos

• Tamaño de la cartera no ha cambiado

• En general, se calcula la frecuencia de siniestros

• La inflación es cero – 0%

• En general, se necesita ajustar los datos históricos

• Con una cartera grande se puede estimar la inflación

(tendencia)

• Información del mercado o inflación general

6

Resumen de Datos

Monto Pagado

1,000

2,000

3,000

4,000

5,000

2010 2011 2012 2013 2014

Amount Paid

7

Resumen de Datos

Número de Siniestros

0

100

200

300

400

Number of Claims

8

AñoNúmero de

SiniestrosMonto Pagado Severidad

2010 330 3,057,507 9,265

2011 312 3,177,057 10,183

2012 256 2,849,844 11,132

2013 272 3,571,991 13,132

2014 367 4,680,122 12,752

• En aparencia la Severidad está aumentando

• Aspectos de Siniestralidad y Suscripción

Resumen de Datos

9

Resumen de Datos

Número de Siniestros (Trimestrales)

Media 77 Mediana 77 Mín. 49 Máx. 114 Desv Est. 15

• No se nota una tendencia

• Hacemos el supuesto que los expuestos no estan cambiando

0

20

40

60

80

100

120

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1

Number of Claims

Claims Mean

10

Resumen de Datos

Número de Siniestros (Trimestrales)

Media 77 Mediana 77 Mín. 49 Máx. 114 Des Est. 15

• Promedios móviles son utiles para buscar tendencias

• Se usa un periodo anuales para minimizar estacionalidad

0

20

40

60

80

100

120

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1

Number of Claims

Claims Mean Rolling 8

11

Pasos

• Estimar la Distribución de Frecuencia

• En general, estimar frecuencia y aplicar a

los expuestos pronosticados

• Estimar la Distribución de Severidad

• Primero la Panza

• Después la Cola

12

Distribuciónes de Frecuencia

• Binomial

• Poisson

• Over Dispersed Poisson

• Binomial Negativa

Parámeteros de Frecuencia

13

Parámeteros elegidos

37

0.68

Datos Actuales

Media 76.9

Desviaciónestándar

15.4

Binomial Negativa

Parámeteros de Frecuencia

14

Parámetros elegidos

37

0.68

Estimado

Media 77.3


15.5

Datos Actuales

Media 76.9


15.4

15

Frecuencia Simulación 1

0

40

80

120

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1

Actual Claims Simulated Negative Binomial

16


0

40

80

120

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1


17


0

40

80

120

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1


18


0

40

80

120

2010Q1 2011Q1 2012Q1 2013Q1 2014Q1


19

Pasos







20

Distribuciones de Severidad

• Normal

• Exponencial

• LogNormal

• Weibull

• Gamma

• Pareto

Datos - Severidad

21

Número de Siniestros Trimestre

Monto Pagado

MontoPagado con Tendencia

1 2010Q1 14,101 14,101 2 2010Q1 1,824 1,824 3 2010Q1 688 688

… … ... …1534 2014Q4 25 25 1535 2014Q4 32,574 32,574 1536 2014Q4 15,380 15,380 1537 2014Q4 1,016 1,016

Datos - Severidad

Siniestros Grandes

22

Número de Siniestros Trimestre

Monto Pagado

1305 2014Q2 126,434

415 2011Q1 135,387

1392 2014Q3 149,925

1055 2013Q3 153,900

1423 2014Q3 166,335

225 2010Q3 181,881

1381 2014Q3 254,864

1310 2014Q2 510,060

23

Parámeteros - Severidad

• Estimación de Parámetros

• Estimación de Máxima Verosimilitud

• Util preparar un gráfico con la

Distribución de los siniestros y la

Distribución estimada

• El gráfico confirma que la

distribución elegida se ajusta los datos

0%

20%

40%

60%

80%

100%

- 100,000 200,000 300,000 400,000 500,000 600,000

Empirical F(y) Fit F(y)

24

Distribución Estimada con Máxima Verosimilitud

Distribución Estimada y

Distribución Empírica

Weibull Fit

𝐹 𝑦 = 1 − 𝑒−

𝑦𝜃

𝜔

𝜃 = 5,600𝜔 = .49

0%

20%

40%

60%

80%

100%

1 8 64 512 4,096 32,768 262,144

Empirical S(y) Fit S(y)

25


Supervivencia vs Log de Siniestros

No es importante que se

ajuste para siniestros

pequeños.

Weibull Fit

𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒−

𝑥𝜃

𝜔

𝜃 = 5,600𝜔 = .49

0.01%0.02%0.03%0.06%0.13%0.25%0.50%1.00%2.00%4.00%8.00%

16.00%

10,000 80,000 640,000

Empirical S(y) Fit S(y)

26


Log Supervivencia vs Log de Siniestros

Weibull Fit

𝐹 𝑥 = 1 − 𝑒−

𝑥𝜃

𝜔

𝜃 = 5,600𝜔 = .49

Es dificil encontrar un a distribución

que pueda modelar la panza y la cola

a la vez, en particular para

distribuciones con cola larga

Es Importante la Cola?

No es impartante para:

Sinestralidad Esperada

Eventos de 1-en-5 años

Sí es importante para:

Asignación de Capital

Reaseguro

Estadisticas de la cola - 𝑉𝑎𝑅98%

27

28

Pasos







Esperanza condicional de la

Siniestralidad mayor a la media

Para todos los siniestros más grandes que

𝑢; calculamos la media que sobrepasa a

𝑢.

𝐸 𝑌 − 𝑢 𝑌 > 𝑢

• Por qualquier 𝑢

Cuando esta medida aumenta, con

respeto a 𝑢, tenemos una distribución con

cola larga29


Siniestralidad mayor a la media -

Normal

30

93

-

250

500

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Normal


Siniestralidad mayor a la media-

Exponencial

31

200

-

250

500

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Exponential



Weibull

32

454

-

500

1,000

1,500

2,000

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Weibull



LogNormal

33

622

-

500

1,000

1,500

2,000

- 500 1,000 1,500 2,000u

Excess Mean Lognormal



Pareto

34

832

-

500

1,000

1,500

2,000

0 500 1000 1500 2000u

Excess Mean Pareto

Datos - Severidad

Siniestros Grandes (de 1,537 siniestros)

35

Siniestro TrimestreMonto Pagado

1305 2014Q2 126,434

415 2011Q1 135,387

1392 2014Q3 149,925

1055 2013Q3 153,900

1423 2014Q3 166,335

225 2010Q3 181,881

1381 2014Q3 254,864

1310 2014Q2 510,060

Esperanza condicional de la Siniestralidad

mayor a la media (empírico)

36

-

50

100

150

- 50 100 150

Tho

usa

nd

s

uThousands


Siniestralidad mayor a la media

(empírico)

37

-

100

200

300

400

500

600

- 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600

Tho

usa

nd

s

uThousands

El gráfico tiene escalones, pero

observe los últimos 10-20

siniestros

El décimo

siniestro es de

122,399

Cambio en Precio de ActivosEsperanza condicional de la Siniestralidad mayor a la media

38

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0% 2% 4% 6% 8% 10%

Negative Daily Return

Excess MeanATVI

0%

2%

4%

6%

8%

10%

0% 2% 4% 6% 8% 10%

Negative Daily Return

Excess MeanAIG

Cola Larga

Embrechts:

Una Distribución con Cola Larga

En el Límite es una distribución Pareto

39

El parámetro 𝜉 (Xi) controla el tamaño de la cola

0.5 < 𝜉 Varianza no existe

1 < 𝜉 Media no existe

Cola Larga

40

Puede llegar hastas:

1 < 𝜉 < 2 Seguros

2 < 𝜉 < 5 Financia (activos,

opciones)

Embrechts:

Una Distribución con Cola Larga

En el Límite es una distribución Pareto

Implementación usando Pareto

Elige un percentil 𝑝 donde empieza la cola

Estima el valor de 𝑢 para el percentil 𝑝𝐹 𝑢 = 𝑝

Modelamos el siniestro 𝑦, usando 𝑥 > 0𝑦 = 𝑥 + 𝑢

Modelamos 𝑥, el monto del siniestro que

excede a 𝑢

41

Distribución Pareto

𝐹𝑢 𝑥 = 1 − 1 +𝜉𝑥

𝛽

−1𝜉

𝑆𝑢 𝑥 = 1 +𝜉𝑥

𝛽

−1𝜉

42

Distribución Pareto

𝑆 𝑦 = 𝑆 𝑢 ⋅ 𝑆𝑢(𝑥)

𝑆 𝑦 = 𝑆 𝑢 ⋅ 1 +𝜉𝑥

𝛽

−1𝜉

𝑦 = 𝑥 + 𝑢

43

0.031%

0.063%

0.125%

0.250%

0.500%

1.000%

2.000%

4.000%

8.001%

16.001%

10,000 80,000 640,000

Empirical Log Log Scale

Supervivencia – Log Log

44

𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)

Busca el punto de inflexión

La cola de un Pareto es una línea en un gráfico log log

Supervivencia – Log Log Scale

45

0.031%

0.063%

0.125%

0.250%

0.500%

1.000%

2.000%

4.000%

8.001%

40,000 320,000

Empirical Log Log Scale𝑆 𝑥 = 1 − 𝐹(𝑥)



46

0.031%

0.063%

0.125%

0.250%

0.500%

1.000%

2.000%

4.000%

8.001%

40,000 320,000



0.031%

0.063%

0.125%

0.250%

0.500%

1.000%

2.000%

4.000%

8.001%

40,000 320,000



47No se debe elegir la lina nomas mirando a los ultimos puntos


Elegir Parameteros - Severidad

𝑝 = 𝐹 𝑢 = 95.00%

𝑢 = 48,900

𝑆 𝑢 = 5.00%

Se puede elegir otro percentil 𝑝 (o 𝑢) y

revisar si los resultados son similares

𝑢 debe ser apropiada en la cola

También para tener certeza en 𝐹(𝑢), queremos tener varios siniestros más

grande que 𝑢

48

Elegir 𝑢, estimar 𝐹(𝑢)

49

MontoEmpírico

𝐹(𝑥)

47,993 94.928%

48,896 94.993%

48,900 95.000%

49,274 95.059%

49,302 95.124%

𝐹 𝑦 =𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜

𝒏 + 𝟏𝑛 =Número de Siniestros

Selección de Parámetros

Parámetros elegidos

50

𝑢 = 48,900

𝑆 𝑢 = 5.00%

0.00%0.00%0.00%0.01%0.02%0.03%0.06%0.13%0.25%0.50%1.00%2.00%4.00%8.00%

15,000 120,000 960,000

Fit S(y)

Empirical S(y)

0.34

24,600


0.03%

0.06%

0.13%

0.25%

0.50%

1.00%

2.00%

4.00%

8.00%

15,000 120,000 960,000

0.34

24,600


𝜉 más pequeña

La cola es más delgada51

𝑢 = 48,900

𝑆 𝑢 = 5.00%

0.00%0.00%0.00%0.01%0.02%0.03%0.06%0.13%0.25%0.50%1.00%2.00%4.00%8.00%

15,000 120,000 960,000

Fit S(y)

Empirical S(y)

0.34

24,600


0.03%

0.06%

0.13%

0.25%

0.50%

1.00%

2.00%

4.00%

8.00%

15,000 120,000 960,000

0.25

22,800


𝜉 más grande

La cola es más gruesa52

𝑢 = 48,900

𝑆 𝑢 = 5.00%

0.00%0.00%0.00%0.01%0.02%0.03%0.06%0.13%0.25%0.50%1.00%2.00%4.00%8.00%

15,000 120,000 960,000

Fit S(y)

Empirical S(y)

0.34

24,600


0.03%

0.06%

0.13%

0.25%

0.50%

1.00%

2.00%

4.00%

8.00%

15,000 120,000 960,000

0.45

22,800


𝜉 más grande

La cola es más gruesa53

𝑢 = 48,900

𝑆 𝑢 = 5.00%

0.00%0.00%0.00%0.01%0.02%0.03%0.06%0.13%0.25%0.50%1.00%2.00%4.00%8.00%

15,000 120,000 960,000

Fit S(y)

Empirical S(y)

0.34

24,600


0.03%

0.06%

0.13%

0.25%

0.50%

1.00%

2.00%

4.00%

8.00%

15,000 120,000 960,000

0.60

21,000


Selección Final de Parámetros

293,000 es el monto estimado

54

0.03%

0.06%

0.13%

0.25%

0.50%

1.00%

2.00%

4.00%

8.00%

15,000 120,000 960,000

0.34

24,600

Empirical Log Log Scale𝑢 = 48,900

𝑆 𝑢 = 5.00%

Selección de Parametros

Estimamos la distribución de la panza

• Hasta el 95.0%

En la cola usamos Pareto con los siguentes

parámetros:

• 𝑢 = 48,900

• 𝐹 𝑢 = 95.00%

• 𝜉 = 0.34

• 𝛽 = 24,600

55

Beneficios

Fundamentada por la teoria

Forma limpia de juntar las distribuciones

Fácil de implementar

Usos:

– Reaseguro

– Cuentas Grandes

– Capital

56

57

Pasos







Supuestos

Cartera es Homogénea

• Casas, Departamentos

Base de Expuestos

• Autos, Casas, Ventas

Ajuste inflacionario (tendencia)

• Inflación del mercardo

Riesgo del Modelo

• Expuestos, Inflación

58

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