ESTIMACIONES Y DECAIMIENTO EN NORMA DE C0-SEMIGRUPOS … · ESTIMACIONES Y DECAIMIENTO EN NORMA DE...

ESTIMACIONES Y DECAIMIENTO EN NORMA DEC0-SEMIGRUPOS EN ECUACIONES EN DERIVADAS

PARCIALES

Luciano Abadias, Pedro J. Miana

Universidad de Zaragoza

IX Encuentro de la Red de Analisis Funcional y AplicacionesZafra (Badajoz), 11–13 abril 2013

L. Abadias (Univ. de Zaragoza) C0-semigrupos en EDP’s 12 de abril de 2013 1 / 42

Indice

1 Introduccion: Estimaciones puntuales para derivadas fraccionarias

2 Resultados clasicos de C0-semigrupos

3 Desigualdades puntuales y potencias fraccionarias

4 Decaimiento en norma de orbitas

5 Ejemplos y aplicaciones

Indice

1. Introduccion: Estimaciones puntuales para derivadasfraccionarias

El punto de partida de este trabajo es el siguiente artıculo:

A. Cordoba, D. Cordoba: A pointwise estimate for fractionary derivativeswith applications to partial differential equations, PNAS. 100, (2003), no.26, 15316-15317.

Muchos de los resultados aparecen con mas detalle en este otro artıculo:

A. Cordoba, D. Cordoba: A Maxium Principle Applied toQuasi-Geostrophic Equations, Communications in Mathematical Physics.249, (2004), 511-528.

Sea θ : Rn × R+ → R con buenas propiedades de suavidad, θ ∈ S(Rn),solucion de

∂t+ u · ∇)θ = −k(−∆)

α2 θ,

donde 0 ≤ α ≤ 2, y el vector u satisface que:

* ∇ · u = 0

* ui = Gi (θ)

junto con las propiedades necesarias de regularidad y decaimiento en elinfinito.

∂t+ u · ∇)θ = −k(−∆)

α2 θ,

* ∇ · u = 0

* ui = Gi (θ)

∂t+ u · ∇)θ = −k(−∆)

α2 θ,

* ∇ · u = 0

* ui = Gi (θ)

∂t+ u · ∇)θ = −k(−∆)

α2 θ,

* ∇ · u = 0

* ui = Gi (θ)

Se define formalmente para α > 0,

(−∆)α2 θ(x) = |x |αθ(x),

y se cumple Λ = (−∆)12 ,

Λαθ(x) = cα P.V

θ(x)− θ(y)

|x − y |n+αdy .

Usando estas representaciones integrales se prueba la siguiente desigualdadpuntual,

2θΛαθ(x) ≥ Λαθ2(x),

y para p = 2j , la desigualdad integral∫Rn

|θ|p−2θΛαθ dx ≥ 1

|Λα2 θ

p2 |2 dx .

(−∆)α2 θ(x) = |x |αθ(x),

Λαθ(x) = cα P.V

θ(x)− θ(y)

|x − y |n+αdy .

|Λα2 θ

p2 |2 dx .

(−∆)α2 θ(x) = |x |αθ(x),

Λαθ(x) = cα P.V

θ(x)− θ(y)

|x − y |n+αdy .

|Λα2 θ

p2 |2 dx .

(−∆)α2 θ(x) = |x |αθ(x),

Λαθ(x) = cα P.V

θ(x)− θ(y)

|x − y |n+αdy .

|Λα2 θ

p2 |2 dx .

(−∆)α2 θ(x) = |x |αθ(x),

Λαθ(x) = cα P.V

θ(x)− θ(y)

|x − y |n+αdy .

|Λα2 θ

p2 |2 dx .

(−∆)α2 θ(x) = |x |αθ(x),

Λαθ(x) = cα P.V

θ(x)− θ(y)

|x − y |n+αdy .

|Λα2 θ

p2 |2 dx .

Las desigualdades anteriores sirven para acotar la derivada de la norma enfuncion del tiempo:

dt‖θ‖pp =

(∫Rn

|θ|p dx

|θ|p−2θ(−u · ∇θ − kΛαθ) dx

= −kp

|θ|p−2θΛαθ dx

≤ −k

|Λα2 θ

p2 |2 dx .

dt‖θ‖pp =

(∫Rn

|θ|p dx

= −kp

≤ −k

|Λα2 θ

p2 |2 dx .

dt‖θ‖pp =

(∫Rn

|θ|p dx

= −kp

≤ −k

|Λα2 θ

p2 |2 dx .

Usando la desigualdad de Hardy-Littlewood-Sobolev,

C‖f ‖q ≤ ‖Λα2 f ‖2, con q =

n − α

y otra de tipo Holder,∫Rn

|θ|p dx ≤(∫

|θ|(p−1q′ )q dx

) 1q(∫

|θ| dx

) 1q′

(∫Rn

|θ|np

n−α dx

) (p−1)(n−α)n(p−1)+α

(∫Rn

|θ| dx

) αpn(p−1)+α

q =n(p − 1) + α

(p − 1)(n − α)y q′ =

n(p − 1) + α

ambos mayores que 1, se tiene

C‖f ‖q ≤ ‖Λα2 f ‖2, con q =

n − α

|θ|p dx ≤(∫

) 1q(∫

|θ| dx

) 1q′

(∫Rn

|θ|np

n−α dx

) (p−1)(n−α)n(p−1)+α

(∫Rn

|θ| dx

) αpn(p−1)+α

q =n(p − 1) + α

(p − 1)(n − α)y q′ =

n(p − 1) + α

ambos mayores que 1, se tiene

C‖f ‖q ≤ ‖Λα2 f ‖2, con q =

n − α

|θ|p dx ≤(∫

) 1q(∫

|θ| dx

) 1q′

(∫Rn

|θ|np

n−α dx

) (p−1)(n−α)n(p−1)+α

(∫Rn

|θ| dx

) αpn(p−1)+α

q =n(p − 1) + α

(p − 1)(n − α)y q′ =

n(p − 1) + α

ambos mayores que 1, se tieneL. Abadias (Univ. de Zaragoza) C0-semigrupos en EDP’s 12 de abril de 2013 7 / 42

dt‖θ‖pp ≤ −C (‖θ‖pp)

p−1+αnp−1 .

Con esta cota de la derivada de la norma se obtiene

‖θ(·, t)‖pp ≤‖θ0‖pp

(1 + εCt‖θ0‖pεp )1ε

con ε = αn(p−1) .

El decaimiento para otro 1 < p <∞ se obtiene por interpolacion.

p−1+αnp−1 .

‖θ(·, t)‖pp ≤‖θ0‖pp

p−1+αnp−1 .

‖θ(·, t)‖pp ≤‖θ0‖pp

p−1+αnp−1 .

‖θ(·, t)‖pp ≤‖θ0‖pp

El operador de Laplace ∆ =n∑

∂x2i

es el generador infinitesimal del

semigrupo de Gauss en Lp(Rn):

T (t)f (x) =1

(4πt)n2

e−|x−r|2

4t f (r) dr .

¿QUE OCURRIRA CON OTROS GENERADORES?

∂x2i

T (t)f (x) =1

(4πt)n2

e−|x−r|2

4t f (r) dr .

∂x2i

T (t)f (x) =1

(4πt)n2

e−|x−r|2

4t f (r) dr .

2. Resultados clasicos de C0-semigrupos

La teorıa de semigrupos nace sobre los anos ’40 con el estudio delProblema Abstracto de Cauchy. En el caso escalar, la funcion u(t) = eat

resuelve el problema {u′(t) = au(t), t ≥ 0,u(0) = 1

con a ∈ C. Observar que ddt u(t)|t=0 = a.

En el caso vectorial, sea (A,D(A)) un operador lineal y cerrado (nonecesariamente acotado) en un espacio de Banach X . El Teorema deHille-Yosida (1948) caracteriza aquellos operadores A para los cuales elProblema Abstracto de Cauchy,{

u′(t) = Au(t) , t ≥ 0,u(0) = x , x ∈ D(A),

admite solucion unica.

u′(t) = Au(t) , t ≥ 0,u(0) = x , x ∈ D(A),

admite solucion unica.

u′(t) = Au(t) , t ≥ 0,u(0) = x , x ∈ D(A),

admite solucion unica.L. Abadias (Univ. de Zaragoza) C0-semigrupos en EDP’s 12 de abril de 2013 10 / 42

Una familia (T (t))t≥0 ⊆ L(X ) es un C0-semigrupo si:

i) T (t + s) = T (t)T (s) para todo t, s ≥ 0.

ii) T (0) = I .

iii) lımt→0+

T (t)x = x , para todo x ∈ X .

Se llama generador del semigrupo al operador A : D(A)→ X que actua:

Ax = lımh→0+

h(T (h)x − x),

para los vectores x ∈ X donde exista el lımite, es decir, x ∈ D(A).

ii) T (0) = I .

iii) lımt→0+

Ax = lımh→0+

h(T (h)x − x),

ii) T (0) = I .

iii) lımt→0+

Ax = lımh→0+

h(T (h)x − x),

ii) T (0) = I .

iii) lımt→0+

Ax = lımh→0+

h(T (h)x − x),

ii) T (0) = I .

iii) lımt→0+

Ax = lımh→0+

h(T (h)x − x),

ii) T (0) = I .

iii) lımt→0+

Ax = lımh→0+

h(T (h)x − x),

Si A ∈ L(X ), entonces

T (t) = etA :=∞∑n=0

es un semigrupo con dicho generador.

Para todo C0-semigrupo existen constantes w ≥ 0, M ≥ 1 tales que

‖T (t)‖ ≤ Mewt .

Si Reλ > w , entonces λ ∈ ρ(A) y

R(λ,A) := (λ− A)−1 =

∫ ∞0

e−λtT (t) dt.

T (t) = etA :=∞∑n=0

‖T (t)‖ ≤ Mewt .

R(λ,A) := (λ− A)−1 =

∫ ∞0

e−λtT (t) dt.

T (t) = etA :=∞∑n=0

‖T (t)‖ ≤ Mewt .

R(λ,A) := (λ− A)−1 =

∫ ∞0

e−λtT (t) dt.

T (t) = etA :=∞∑n=0

‖T (t)‖ ≤ Mewt .

R(λ,A) := (λ− A)−1 =

∫ ∞0

e−λtT (t) dt.

El generador A determina unıvocamente el semigrupo.

El Teorema de Hille-Yosida nos dice que el generador A de unC0-semigrupo esta caracterizado por ser lineal y cerrado, densamentedefinido y para todo λ ∈ C con Reλ > w se tiene que λ ∈ ρ(A) con

‖R(λ,A)‖ ≤ M

Reλ− w.

‖R(λ,A)‖ ≤ M

Reλ− w.

‖R(λ,A)‖ ≤ M

Reλ− w.

Ejemplo

En Lp(R), T (t)f (x) := f (x − t) es un C0-semigrupo con generadorA = − d

dx . Notar que

2f (x)f ′(x) =d

dx(f 2)(x),

para toda funcion derivable, luego podrıa ser un candidato a generalizar.Este semigrupo se puede expresar formalmente

T (t)f (x) = f (x − t) ≡∫R

f (x − u)δt(u) du,

donde δt es la distribucion Delta de Dirac.

Ejemplo

En Lp(R), T (t)f (x) := f (x − t) es un C0-semigrupo con generadorA = − d

dx . Notar que

2f (x)f ′(x) =d

dx(f 2)(x),

para toda funcion derivable, luego podrıa ser un candidato a generalizar.Este semigrupo se puede expresar formalmente

T (t)f (x) = f (x − t) ≡∫R

f (x − u)δt(u) du,

donde δt es la distribucion Delta de Dirac.

Blakrishnan introdujo en 1960 la potencia fraccionaria (−A)α, para0 < α < 1, de un operador lineal cerrado A, cumpliendo que para todoλ > 0, λ ∈ ρ(A) y

supReλ>0

|Reλ|‖R(λ,A)‖ <∞,

(−A)αx =sin(απ)

∫ ∞0

λα−1(λI − A)−1(−Ax) dλ, para x ∈ D(A).

Ademas se cumple:

1 para x ∈ D(A2) y 0 < α, β < 1 con α + β < 1,

(−A)α(−A)βx = (−A)α+βx .

2 para x ∈ D(A),lımα→1−

(−A)αx = −Ax .

3 para x ∈ D(A) y lımλ→0+

λR(λ,A)x = 0,

lımα→0+

(−A)αx = x .

supReλ>0

|Reλ|‖R(λ,A)‖ <∞,

∫ ∞0

Ademas se cumple:

(−A)α(−A)βx = (−A)α+βx .

(−A)αx = −Ax .

λR(λ,A)x = 0,

lımα→0+

(−A)αx = x .

supReλ>0

|Reλ|‖R(λ,A)‖ <∞,

∫ ∞0

Ademas se cumple:

(−A)α(−A)βx = (−A)α+βx .

(−A)αx = −Ax .

λR(λ,A)x = 0,

lımα→0+

(−A)αx = x .

supReλ>0

|Reλ|‖R(λ,A)‖ <∞,

∫ ∞0

Ademas se cumple:

(−A)α(−A)βx = (−A)α+βx .

(−A)αx = −Ax .

λR(λ,A)x = 0,

lımα→0+

(−A)αx = x .

supReλ>0

|Reλ|‖R(λ,A)‖ <∞,

∫ ∞0

Ademas se cumple:

(−A)α(−A)βx = (−A)α+βx .

(−A)αx = −Ax .

λR(λ,A)x = 0,

lımα→0+

(−A)αx = x .

supReλ>0

|Reλ|‖R(λ,A)‖ <∞,

∫ ∞0

Ademas se cumple:

(−A)α(−A)βx = (−A)α+βx .

(−A)αx = −Ax .

λR(λ,A)x = 0,

lımα→0+

(−A)αx = x .

supReλ>0

|Reλ|‖R(λ,A)‖ <∞,

∫ ∞0

Ademas se cumple:

(−A)α(−A)βx = (−A)α+βx .

(−A)αx = −Ax .

λR(λ,A)x = 0,

lımα→0+

(−A)αx = x .

Si A es el generador de un semigrupo uniformemente acotado,‖T (t)‖ ≤ M, se cumple que para todo x ∈ D(A):

(−A)αx = Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1(T (λ)− I )x dλ.

Esta representacion integral es fundamental para la prueba de lossiguientes resultados.

(−A)αx = Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1(T (λ)− I )x dλ.

(−A)αx = Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1(T (λ)− I )x dλ.

3. Desigualdades puntuales y potencias fraccionarias

Una familia de funciones (kt)t>0 ⊂ L1(Rn), se llama nucleo desumabilidad en Rn si verifica:

i) para todo t > 0,∫Rn kt(x) dx = 1.

ii) supt>0

|kt(x)| dx < C .

iii) para todo δ > 0, lımt→0+

∫|x |>δ

|kt(x)| dx = 0.

Si f ∈ Lp(Rn),lımt→0+‖f − f ∗ kt‖p = 0.

ii) supt>0

|kt(x)| dx < C .

∫|x |>δ

|kt(x)| dx = 0.

ii) supt>0

|kt(x)| dx < C .

∫|x |>δ

|kt(x)| dx = 0.

ii) supt>0

|kt(x)| dx < C .

∫|x |>δ

|kt(x)| dx = 0.

ii) supt>0

|kt(x)| dx < C .

∫|x |>δ

|kt(x)| dx = 0.

ii) supt>0

|kt(x)| dx < C .

∫|x |>δ

|kt(x)| dx = 0.

Si kt ∗ ks = kt+s para todo t, s > 0, se llama C0-semigrupo de convolucionen Lp(Rn) (1 ≤ p <∞) con nucleo (kt)t>0 a (K (t))t≥0, siendo

K (t)f (x) = kt ∗ f (x) si t > 0= f (x) si t = 0

para todo f ∈ Lp(Rn).

Definicion:

Un C0-semigrupo de convolucion en Lp(Rn), (K (t))t≥0, es de nucleopositivo cuando las funciones que forman el nucleo, (kt)t>0, son positivas.

Definicion:

Ejemplos:

El nucleo de Gauss, gt(x) = (4πt)−n2 e−|x|2

4t , que es el nucleo delsemigrupo de convolucion gaussiano, cuyo generador infinitesimal esel operador de Laplace , es decir,

dt(gt ∗ f )(x) =

n∑i=1

(gt ∗ f )(x).

El nucleo de Poisson, pt(x) =Γ( n+1

(t2+|x |2)n+1

2, que es el nucleo del

semigrupo de convolucion de Poisson, cuyo generador infinitesimal es

−(−∆)12 .

Ejemplos:

dt(gt ∗ f )(x) =

n∑i=1

(gt ∗ f )(x).

(t2+|x |2)n+1

−(−∆)12 .

Ejemplos:

dt(gt ∗ f )(x) =

n∑i=1

(gt ∗ f )(x).

(t2+|x |2)n+1

−(−∆)12 .

Ejemplos:

dt(gt ∗ f )(x) =

n∑i=1

(gt ∗ f )(x).

(t2+|x |2)n+1

−(−∆)12 .

Ejemplos:

En el artıculo de J. S. Campos-Orozco, J. E. Gale: Special functionsas subordinated semigroups on the real line, Semigroup Forum. 84,(2012), 284-300, se usa el homomorfismo entre algebrasΘa : L1(R+)→ L1(R), con

Θa(f ) =

∫ ∞0

f (t)at dt,

para obtener nuevos semigrupos en Lp(R) a partir de los clasicos gt ypt . Tomando el semigrupo fraccionario en L1(R+),

Is(x) :=x s−1

Γ(s)e−x ,

Ejemplos:

En el artıculo de J. S. Campos-Orozco, J. E. Gale: Special functionsas subordinated semigroups on the real line, Semigroup Forum. 84,(2012), 284-300, se usa el homomorfismo entre algebrasΘa : L1(R+)→ L1(R), con

Θa(f ) =

∫ ∞0

f (t)at dt,

para obtener nuevos semigrupos en Lp(R) a partir de los clasicos gt ypt . Tomando el semigrupo fraccionario en L1(R+),

Is(x) :=x s−1

Γ(s)e−x ,

Ejemplos:

se tienen nucleos de la forma

Θa(Is)(x) =

∫ ∞0

Is(t)at(x) dt =

∫ ∞0

ts−1

Γ(s)e−tat(x) dt.

Sea gt el nucleo de Gauss, entonces

Θg (Is)(x) =1√πΓ(s)

(|x |2

)s− 12

K−s+ 12(|x |),

para x 6= 0, donde Kν es la funcion de McDonald.

Ejemplos:

Θa(Is)(x) =

∫ ∞0

Is(t)at(x) dt =

∫ ∞0

ts−1

Γ(s)e−tat(x) dt.

(|x |2

)s− 12

K−s+ 12(|x |),

Ejemplos:

Θa(Is)(x) =

∫ ∞0

Is(t)at(x) dt =

∫ ∞0

ts−1

Γ(s)e−tat(x) dt.

(|x |2

)s− 12

K−s+ 12(|x |),

Teorema 1:

Sea K = (K (t))t≥0 un C0-semigrupo de convolucion de nucleo positivo enLp(Rn), 1 ≤ p <∞, con nucleo (kt)t>0. Entonces el generadorinfinitesimal A verifica que para toda f ∈ D(A) real con f 2 ∈ D(A), y0 ≤ α ≤ 1,

f (x)(−A)αf (x) ≥ 1

2(−A)αf 2(x) a.e. (1)

Prueba

f (x)(−A)αf (x) = f (x)Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1(kλ ∗ f (x)− f (x)) dλ

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)f (r)f (x) dr − f 2(x)

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)(f (r)f (x)− f 2(x)) dr

Teorema 1:

f (x)(−A)αf (x) ≥ 1

2(−A)αf 2(x) a.e. (1)

Prueba

f (x)(−A)αf (x) = f (x)Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1(kλ ∗ f (x)− f (x)) dλ

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)f (r)f (x) dr − f 2(x)

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)(f (r)f (x)− f 2(x)) dr

Teorema 1:

f (x)(−A)αf (x) ≥ 1

2(−A)αf 2(x) a.e. (1)

Prueba

f (x)(−A)αf (x) = f (x)Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1(kλ ∗ f (x)− f (x)) dλ

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)f (r)f (x) dr − f 2(x)

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)(f (r)f (x)− f 2(x)) dr

−(f 2(x)− f (r)f (x)) = −(

2(f (x)− f (r))2 +

2(f 2(x)− f 2(r))

)≤ −1

2(f 2(x)− f 2(r)),

entonces

f (x)(−A)αf (x) ≥ Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)(f 2(r)− f 2(x)) dr

=Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)f 2(r) dr − f 2(x)

2(−A)αf 2(x) a.e.

−(f 2(x)− f (r)f (x)) = −(

2(f (x)− f (r))2 +

2(f 2(x)− f 2(r))

)≤ −1

2(f 2(x)− f 2(r)),

entonces

f (x)(−A)αf (x) ≥ Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)(f 2(r)− f 2(x)) dr

=Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)f 2(r) dr − f 2(x)

2(−A)αf 2(x) a.e.

−(f 2(x)− f (r)f (x)) = −(

2(f (x)− f (r))2 +

2(f 2(x)− f 2(r))

)≤ −1

2(f 2(x)− f 2(r)),

entonces

f (x)(−A)αf (x) ≥ Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)(f 2(r)− f 2(x)) dr

=Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

kλ(x − r)f 2(r) dr − f 2(x)

2(−A)αf 2(x) a.e.

Sea K = (K (t))t≥0 un C0-semigrupo de convolucion de nucleo positivo enLp(Rn), con nucleo (kt)t>0. Como kt ∈ L1(Rn) con ‖kt‖1 = 1, entoncesse tiene que kt ∈ C0(Rn) con ‖kt‖∞ ≤ ‖kt‖1 = 1. Ası la familia deoperadores TK = (T (t))t≥0 con

T (t) : C0(Rn) −→ C0(Rn)

g 7−→ ktg , t > 0g 7−→ g , t = 0

es uniformemente acotada, cumple la Ley de semigrupo ya que

kt+s = kt ∗ ks = kt ks , y la continuidad fuerte en el origen se sigue por

F(L1(Rn))‖·‖∞

= C0(Rn).

Sea K = (K (t))t≥0 un C0-semigrupo de convolucion de nucleo positivo enLp(Rn), con nucleo (kt)t>0. Como kt ∈ L1(Rn) con ‖kt‖1 = 1, entoncesse tiene que kt ∈ C0(Rn) con ‖kt‖∞ ≤ ‖kt‖1 = 1. Ası la familia deoperadores TK = (T (t))t≥0 con

T (t) : C0(Rn) −→ C0(Rn)

g 7−→ ktg , t > 0g 7−→ g , t = 0

es uniformemente acotada, cumple la Ley de semigrupo ya que

kt+s = kt ∗ ks = kt ks , y la continuidad fuerte en el origen se sigue por

F(L1(Rn))‖·‖∞

= C0(Rn).

Proposicion [EN,p.28]:

Sea K = (K (t))t≥0 un C0-semigrupo de convolucion de nucleo positivo enLp(Rn), con nucleo (kt)t>0. Entonces existe q : Rn → C continua conRe(q(x)) ≤ 0 para todo x ∈ Rn, y tal que B = qI es el generador infinitesimal deTK, con D(B) = {f ∈ C0(Rn) | qf ∈ C0(Rn)}.

Observacion:

Los generadores del semigrupo TK son q(x) = −4π2|x |2 para el gaussiano,q(x) = −2π|x | para el de Poisson, y para los semigrupos que aparecen en [CG],q(x) = − log(1 + 4π2|x |2) usando el semigrupo gaussiano, yq(x) = − log(1 + 2π|x |) usando el semigrupo de Poisson. Esto motiva la siguentedefinicion.

Definicion:

Un C0-semigrupo de convolucion de nucleo positivo K = (K (t))t≥0 en Lp(Rn) sedice de sımbolo real cuando el generador del semigrupo TK es una funcion real, esdecir, q : Rn → R−.

Observacion:

Definicion:

Observacion:

Definicion:

Observacion:

Definicion:

Teorema 2:

Sea K = (K (t))t≥0 un C0-semigrupo de convolucion de nucleo positivo ysımbolo real en Lp(Rn), con nucleo (kt)t>0 y generador A verificando queS(Rn) ⊂ D(A) y para toda h ∈ S(Rn), qh ∈ L2(Rn). Si f ∈ S(Rn) es unafuncion real, entonces∫

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 1

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx , (2)

para 0 ≤ α ≤ 1 y p = 2j con j ∈ N.

Prueba∫Rn

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 1

|f (x)|p−2(−A)αf 2(x) dx

|f (x)|p−2k

(−A)αf 2k

(x) dx .

Teorema 2:

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 1

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx , (2)

para 0 ≤ α ≤ 1 y p = 2j con j ∈ N.

Prueba∫Rn

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 1

|f (x)|p−2(−A)αf 2(x) dx

|f (x)|p−2k

(−A)αf 2k

(x) dx .

Teorema 2:

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 1

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx , (2)

para 0 ≤ α ≤ 1 y p = 2j con j ∈ N.

Prueba∫Rn

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 1

|f (x)|p−2(−A)αf 2(x) dx

|f (x)|p−2k

(−A)αf 2k

(x) dx .

Tomando k = j − 1, se tiene∫Rn

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 2

|f (x)|p2 (−A)αf

p2 (x) dx .

(−A)αf (η) =

e−2πiη·x(−A)αf (x) dx

e−2πiη·xΓ(−α)−1

(∫ ∞0

λ−α−1(kλ ∗ f (x)− f (x)) dλ

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

e−2πiη·x(kλ ∗ f (x)− f (x)) dx

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(kλ ∗ f (η)− f (η)

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(kλ − I

)f (η) dλ.

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 2

|f (x)|p2 (−A)αf

p2 (x) dx .

(−A)αf (η) =

(∫ ∞0

λ−α−1(kλ ∗ f (x)− f (x)) dλ

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(kλ ∗ f (η)− f (η)

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(kλ − I

)f (η) dλ.

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 2

|f (x)|p2 (−A)αf

p2 (x) dx .

(−A)αf (η) =

(∫ ∞0

λ−α−1(kλ ∗ f (x)− f (x)) dλ

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(∫Rn

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(kλ ∗ f (η)− f (η)

= Γ(−α)−1

∫ ∞0

λ−α−1

(kλ − I

)f (η) dλ.

(−A)αf (η) = (−q(η))α f (η) ∈ L2(Rn) ∩ C0(Rn),

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx =

| (−A)α2 f

p2 (x)|2 dx = 〈 (−A)

p2 , (−A)

p2 〉

= 〈(−q)α2 f

p2 , (−q)

p2 〉 = 〈(−q)α f

p2 , f

p2 〉

= 〈 (−A)αfp2 , f

p2 〉 = 〈(−A)αf

p2 , f

p2 〉

fp2 (x)(−A)αf

p2 (x) dx .

Ası se tiene∫Rn

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 1

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx .

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx =

| (−A)α2 f

p2 (x)|2 dx = 〈 (−A)

p2 , (−A)

p2 〉

= 〈(−q)α2 f

p2 , (−q)

p2 〉 = 〈(−q)α f

p2 , f

p2 〉

= 〈 (−A)αfp2 , f

p2 〉 = 〈(−A)αf

p2 , f

p2 〉

fp2 (x)(−A)αf

p2 (x) dx .

Ası se tiene∫Rn

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 1

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx .

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx =

| (−A)α2 f

p2 (x)|2 dx = 〈 (−A)

p2 , (−A)

p2 〉

= 〈(−q)α2 f

p2 , (−q)

p2 〉 = 〈(−q)α f

p2 , f

p2 〉

= 〈 (−A)αfp2 , f

p2 〉 = 〈(−A)αf

p2 , f

p2 〉

fp2 (x)(−A)αf

p2 (x) dx .

Ası se tiene∫Rn

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 1

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx .

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx =

| (−A)α2 f

p2 (x)|2 dx = 〈 (−A)

p2 , (−A)

p2 〉

= 〈(−q)α2 f

p2 , (−q)

p2 〉 = 〈(−q)α f

p2 , f

p2 〉

= 〈 (−A)αfp2 , f

p2 〉 = 〈(−A)αf

p2 , f

p2 〉

fp2 (x)(−A)αf

p2 (x) dx .

Ası se tiene∫Rn

|f (x)|p−2f (x)(−A)αf (x) dx ≥ 1

|(−A)α2 f

p2 (x)|2 dx .

4. Decaimiento en norma de orbitas

En esta seccion se presenta un principio del maximo y cotas dedecaimiento de la norma en Lp para la siguiente ecuacion:

{( ∂∂t + u · ∇)f = −k(−A)αf , en Rn × (0,+∞)f (x , 0) = f0(x), x ∈ Rn

donde 0 ≤ α ≤ 1, y el vector u satisface que ∇ · u = 0 o ui = Gi (f ) juntocon las propiedades necesarias de regularidad y decaimiento en el infinito.

Teorema 3:

Sea (T (t))t≥0 un semigrupo uniformemente acotado ”suficientementesuave” en Lp(Rn) con generador A. Entonces el problema de valor inicial{

( ∂∂t + u · ∇)f = −k(−A)αf , en Rn × (0,+∞)f (x , 0) = f0(x), x ∈ Rn

admite solucion global para datos f0(x) pequenos y condiciones regularessobre el vector u.

Referencias sobre este teorema son el artıculo de R. De La Llave y E.Valdinoci: Lp-bounds for quasi-geostrophic equations via functionalanalysis, o el de S. Gala:Quasi-geostrophic equations with inictial data inBanach Spaces of local measures.

Teorema 3:

En lo siguiente, supondremos que A es el generador de un semigrupo deconvolucion de nucleo positivo y radial Lp(Rn), con 1 ≤ p <∞. Es facilver que

dt‖f ‖pp = −kp

|f |p−2f (−A)αf dx .

Sea A bajo las condiciones anteriores. Entonces para todo f ∈ D(A) y0 ≤ α ≤ 1 se cumple que∫

|f |p−2f (−A)αf dx ≥ 0. (3)

Prueba

|f |p−2f (−A)αf dx

∫ ∞0

λ−α−1

Γ(−α)(

|f (x)|p−2f (x)kλ(x − r)(f (r)− f (x)) dr dx) dλ

= −∫ ∞

λ−α−1

Γ(−α)(

|f (r)|p−2f (r)kλ(x − r)(f (r)− f (x)) dr dx) dλ.

Entonces,∫Rn

∫ ∞0

λ−α−1

2Γ(−α)(

(|f (x)|p−2f (x)− |f (r)|p−2f (r))kλ(x − r)(f (r)− f (x))drdx)dλ

≥ 0.

Prueba

∫ ∞0

λ−α−1

Γ(−α)(

= −∫ ∞

λ−α−1

Γ(−α)(

Entonces,∫Rn

∫ ∞0

λ−α−1

2Γ(−α)(

≥ 0.

Prueba

∫ ∞0

λ−α−1

Γ(−α)(

= −∫ ∞

λ−α−1

Γ(−α)(

Entonces,∫Rn

∫ ∞0

λ−α−1

2Γ(−α)(

≥ 0.

Corolario (Principio del maximo):

Sea f ∈ D(A) una funcion suave solucion de la anterior ecuacion.Entonces para 1 ≤ p <∞, tenemos que

‖f (·, t)‖pp ≤ ‖f (·, 0)‖pp, (4)

para todo t ≥ 0.

Este ultimo corolario nos dice que tenemos decaimiento en norma. Veamosahora como es ese decaimiento.

‖f (·, t)‖pp ≤ ‖f (·, 0)‖pp, (4)

para todo t ≥ 0.

‖f (·, t)‖pp ≤ ‖f (·, 0)‖pp, (4)

para todo t ≥ 0.

Aplicando (2), se tiene que

dt‖f ‖pp ≤ −k

|(−A)α2 f

p2 |2 dx ,

para p = 2j con j ∈ N. Para α = 0 tenemos decaimiento exponencial. Veamosque ocurre para 0 < α ≤ 1.

Teorema 4:

Sea A bajo las condiciones anteriores tal que S(Rn) ⊂ D(A), −q es una funcioncreciente y radial tal que qh ∈ L2(Rn), para toda h ∈ S(Rn). Entonces tenemospara p = 2j con j ∈ N que

dt‖f ‖pp ≤ −k‖f ‖ppD(‖f ‖pp), (5)

para f ∈ S(Rn) real solucion de nuestra ecuacion, con D una funcion continua,no negativa y no decreciente.

|(−A)α2 f

p2 |2 dx ,

Teorema 4:

dt‖f ‖pp ≤ −k‖f ‖ppD(‖f ‖pp), (5)

|(−A)α2 f

p2 |2 dx ,

Teorema 4:

dt‖f ‖pp ≤ −k‖f ‖ppD(‖f ‖pp), (5)

PruebaSea h ∈ S(Rn), ası para t > 0,

‖h‖22 = ‖h‖2

∫{x∈Rn : 1≤t(−q(x))α}

|h|2(x) dx +

∫{x∈Rn : 1>t(−q(x))α}

|h|2(x) dx

(−q(x))α|h|2(x) dx + ‖h‖2∞V ({x ∈ Rn :

> (−q(x))})

Entonces,‖h‖2

2 ≤ t〈(−q)αh, h〉+ ‖h‖21β(t),

donde β(t) for t > 0, es una funcion no negativa y decreciente.

‖h‖22 = ‖h‖2

∫{x∈Rn : 1≤t(−q(x))α}

|h|2(x) dx +

∫{x∈Rn : 1>t(−q(x))α}

|h|2(x) dx

(−q(x))α|h|2(x) dx + ‖h‖2∞V ({x ∈ Rn :

> (−q(x))})

Entonces,‖h‖2

2 ≤ t〈(−q)αh, h〉+ ‖h‖21β(t),

‖h‖22 = ‖h‖2

∫{x∈Rn : 1≤t(−q(x))α}

|h|2(x) dx +

∫{x∈Rn : 1>t(−q(x))α}

|h|2(x) dx

(−q(x))α|h|2(x) dx + ‖h‖2∞V ({x ∈ Rn :

> (−q(x))})

Entonces,‖h‖2

2 ≤ t〈(−q)αh, h〉+ ‖h‖21β(t),

Ası (−A)α verifica una desigualdad de tipo Super-Poincare con funcion β:

‖h‖22 ≤ t〈(−A)αh, h〉+ ‖h‖2

1β(t),

lo que es equivalente a que cumpla una desigualdad de tipo Nash,

‖h‖22D(‖h‖2

2) ≤ 〈(−A)αh, h〉,

D(x) = supt>0

(t −tβ( 1

para x > 0.

Aplicando esto a fp2 obtenemos el resultado.

‖h‖22 ≤ t〈(−A)αh, h〉+ ‖h‖2

1β(t),

‖h‖22D(‖h‖2

2) ≤ 〈(−A)αh, h〉,

D(x) = supt>0

(t −tβ( 1

para x > 0.

‖h‖22 ≤ t〈(−A)αh, h〉+ ‖h‖2

1β(t),

‖h‖22D(‖h‖2

2) ≤ 〈(−A)αh, h〉,

D(x) = supt>0

(t −tβ( 1

para x > 0.

‖h‖22 ≤ t〈(−A)αh, h〉+ ‖h‖2

1β(t),

‖h‖22D(‖h‖2

2) ≤ 〈(−A)αh, h〉,

D(x) = supt>0

(t −tβ( 1

para x > 0.

5. Ejemplos y aplicaciones

1) Para el caso del operador de Laplace, −q(x) = 4π2|x |2, luego

β(t) =wn

(2π)ntn

y D(x) = Cnx2αn .

dt‖f ‖pp ≤ −C‖f

p2 ‖2

2(‖fp2 ‖2

2)2αn = −C‖f ‖p(1+ 2α

y se obtiene

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (0)‖pp

(1 + εCt‖f (0)‖pεp )1ε

con ε = 2αn , y p = 2j .

β(t) =wn

(2π)ntn

y D(x) = Cnx2αn .

p2 ‖2

2(‖fp2 ‖2

2)2αn = −C‖f ‖p(1+ 2α

y se obtiene

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (0)‖pp

(1 + εCt‖f (0)‖pεp )1ε

con ε = 2αn , y p = 2j .

β(t) =wn

(2π)ntn

y D(x) = Cnx2αn .

p2 ‖2

2(‖fp2 ‖2

2)2αn = −C‖f ‖p(1+ 2α

y se obtiene

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (0)‖pp

(1 + εCt‖f (0)‖pεp )1ε

con ε = 2αn , y p = 2j .

β(t) =wn

(2π)ntn

y D(x) = Cnx2αn .

p2 ‖2

2(‖fp2 ‖2

2)2αn = −C‖f ‖p(1+ 2α

y se obtiene

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (0)‖pp

(1 + εCt‖f (0)‖pεp )1ε

con ε = 2αn , y p = 2j .

β(t) =wn

(2π)ntn

y D(x) = Cnx2αn .

p2 ‖2

2(‖fp2 ‖2

2)2αn = −C‖f ‖p(1+ 2α

y se obtiene

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (0)‖pp

(1 + εCt‖f (0)‖pεp )1ε

con ε = 2αn , y p = 2j .

2) Para el semigrupo de Poisson, −q(x) = 2π|x |, entonces

β(t) =wn

(2π)ntnα

y D(x) = Cnxαn .

p2 ‖2

2(‖fp2 ‖2

2)2αn = −C‖f ‖p(1+α

y se sigue

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (0)‖pp

(1 + εCt‖f (0)‖pεp )1ε

con ε = αn , y p = 2j .

β(t) =wn

(2π)ntnα

y D(x) = Cnxαn .

p2 ‖2

2(‖fp2 ‖2

2)2αn = −C‖f ‖p(1+α

y se sigue

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (0)‖pp

(1 + εCt‖f (0)‖pεp )1ε

con ε = αn , y p = 2j .

β(t) =wn

(2π)ntnα

y D(x) = Cnxαn .

p2 ‖2

2(‖fp2 ‖2

2)2αn = −C‖f ‖p(1+α

y se sigue

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (0)‖pp

(1 + εCt‖f (0)‖pεp )1ε

con ε = αn , y p = 2j .

β(t) =wn

(2π)ntnα

y D(x) = Cnxαn .

p2 ‖2

2(‖fp2 ‖2

2)2αn = −C‖f ‖p(1+α

y se sigue

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (0)‖pp

(1 + εCt‖f (0)‖pεp )1ε

con ε = αn , y p = 2j .

β(t) =wn

(2π)ntnα

y D(x) = Cnxαn .

p2 ‖2

2(‖fp2 ‖2

2)2αn = −C‖f ‖p(1+α

y se sigue

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (0)‖pp

(1 + εCt‖f (0)‖pεp )1ε

con ε = αn , y p = 2j .

3) Para el caso del semigrupo subordinado a traves del nucleo dePoisson, −q(x) = log(1 + 2π|x |). En este caso no hemos encontradouna representacion explıcita de la funcion D, pero si una acotacionsuya que nos muestra que

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (·, 0)‖pp

(1 + εCn,αt‖f (·, 0)‖pεp )1ε

con ε = α1−α .

En los ejemplos anteriores el decaimiento para otro Lp con 1 < p <∞ seobtiene por interpolacion.

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (·, 0)‖pp

(1 + εCn,αt‖f (·, 0)‖pεp )1ε

con ε = α1−α .

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (·, 0)‖pp

(1 + εCn,αt‖f (·, 0)‖pεp )1ε

con ε = α1−α .

‖f (·, t)‖pp ≤‖f (·, 0)‖pp

(1 + εCn,αt‖f (·, 0)‖pεp )1ε

con ε = α1−α .

Referencias

[AM ] L. Abadias, P. J. Miana: Applications of estimates of C0-semigroupsin partial differential equations, Preprint (2013).

[CG ] J. S. Campos-Orozco, J. E. Gale: Special functions as subordinatedsemigroups on the real line, Semigroup Forum. 84, (2012), 284-300.

[CC ] A. Cordoba, D. Cordoba: A pointwise estimate for fractionaryderivatives with applications to partial differential equations, PNAS.100, (2003), no. 26, 15316-15317.

[CC2 ] A. Cordoba, D. Cordoba: A Maxium Principle Applied toQuasi-Geostrophic Equations, Communications in MathematicalPhysics. 249, (2004), 511-528.

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[CG ] J. S. Campos-Orozco, J. E. Gale: Special functions as subordinatedsemigroups on the real line, Semigroup Forum. 84, (2012), 284-300.

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Referencias

[EN ] K. J. Engel, R. Nagel: One-Parameter Semigroups for LinearEvolution Equations, Graduate texts in Mathematics. 194, Springer.

[GM ] I. Gentil, P. Maheux: Super-Poincare and Nash-type inequalities forSubordinated Semigroups, ArXiv. (2012)

[Si ] A. M. Sinclair: Continuos Semigroups in Banach Algebras, LondonMathematical Society Lecture Note Series. 63, Cambridge UniversityPress.

[Yo ] K. Yosida: Functional Analysis, Fifth edition, A Series ofComprehensive Studies in Mathematics. 123, Springer (1978).

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[Si ] A. M. Sinclair: Continuos Semigroups in Banach Algebras, LondonMathematical Society Lecture Note Series. 63, Cambridge UniversityPress.

[Yo ] K. Yosida: Functional Analysis, Fifth edition, A Series ofComprehensive Studies in Mathematics. 123, Springer (1978).

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