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Estrategias didcticas para desarrollar procesos de

enseanza aprendizaje de la matemtica asistidos por computadora

M.B.A. Luis Gerardo Meza Cascante1

Escuela de Matemtica

Instituto Tecnolgico de Costa Rica

Resumen: para desarrollar procesos de enseanza aprendizaje de la matemtica asistidos por computadora debemos encauzar los esfuerzos, realizar las actividades y utilizar los recursos de manera

apropiada para asegurar el logro de los objetivos educativos propuestos. Para lograrlo debemos

conocer y aplicar las estrategias didcticas apropiadas, mismas que se describen en este trabajo.

En un trabajo anterior, en coautora con Garita y Villalobos (1997), planteamos que en los

procesos de enseanza aprendizaje de la matemtica asistidos por computadora, se deben

considerar los siguientes principios:

El uso de la computadora en el proceso de enseanza aprendizaje de la

matemtica debe enmarcarse en un planeamiento educativo.

La computadora debe incorporarse en el proceso de enseanza aprendizaje

de la matemtica slo cuando sea ms eficaz o ms eficiente que otros

medios.

La incorporacin de la computadora en el proceso de enseanza aprendizaje

de la matemtica permite aumentar la eficacia o la eficiencia de algunas

estrategias que el docente utilizaba antes de incorporar la computadora.

El empleo de la computadora en el proceso de enseanza aprendizaje de la

matemtica permite disear algunas estrategias didcticas que no es posible

desarrollar con otros medios.

De acuerdo con lo anterior debemos concluir que las computadoras tendrn un impacto

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positivo en el proceso de enseanza aprendizaje de la matemtica, solamente si tenemos la

capacidad de utilizarlas apropiadamente.

El equipo y el software ms sofisticado pueden resultar ineficaces si no determinamos

correctamente como aprovecharlos en la enseanza y el aprendizaje de la matemtica. Por

el contrario, un equipo o un programa computacional modesto, utilizado apropiadamente,

puede resultar de gran utilidad.

En un lenguaje cargado de irona podemos decir que la computadora no tendr, por si

misma, ningn impacto positivo en la enseanza de la matemtica ni siquiera estando

encendida.

Consideremos, por tanto, que la computadora no es un aparato mgico que resuelve

milagrosamente los problemas asociados con la enseanza y el aprendizaje de la

matemtica. Lo que logremos con su empleo en el campo educativo depender directamente

de lo que hagamos, pero principalmente, de lo que hagan nuestros estudiantes, con ellas.

Relacionada directamente con esta temtica y como complemento de los principios

indicados anteriormente, surge la cuestin de las estrategias didcticas que puede emplear

el docente cuando decide apoyar el proceso de enseanza aprendizaje de la matemtica con

computadoras o calculadoras.

En este trabajo presentamos algunas de tales estrategias, sin la pretensin de exhaustividad

en este importante tema.

Como el trmino estrategia significa el arte de dirigir los esfuerzos con miras a la obtencin

de un fin, asegurando su debida coordinacin, entenderemos por estrategias didcticas la

forma en que el docente encauza los esfuerzos, realiza las actividades y utiliza los

1 Ex Director Escuela de Matemtica del Instituto Tecnolgico. Profesor en la carrera Enseanza de la

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recursos para lograr los objetivos educativos propuestos.

Estrategia uno: explorar para verificar

En la estrategia de verificacin el docente planifica procesos de enseanza-aprendizaje

de la matemtica en los que permite a las y los estudiantes, con apoyo de la computadora

y del software apropiado, verificar que determinados resultados matemticos (teoremas)

son vlidos.

Se emplea esta estrategia, entre otras, en las actividades denominadas de exploracin

guiada.

Los actos educativos en los que se utiliza este tipo de estrategia didctica requieren, por

parte de los estudiantes, capacidad para seguir instrucciones y de observacin.

Un ejemplo de este caso consiste en pedir a los estudiantes (en forma oral o escrita) que,

con apoyo del programa Geometers Sketchpad, construyan un tringulo arbitrario y

tracen las tres medianas, para que verifiquen que las medianas concurren.

Los estudiantes pueden realizar la construccin solicitada y manipular la figura

obtenida arrastrando alguno de los vrtices, verificando que lo propuesto por el

profesor es verdadero en una cantidad abundante de casos.

En este tipo de procesos es importante que los estudiantes anoten sus observaciones y

que las compartan posteriormente con sus compaeros. Se recomienda realizar primero

trabajos en pequeos grupos para favorecer el intercambio de experiencias y luego

realizar una sesin general (plenarios) en la cual los estudiantes presenten sus

observaciones. De esta manera el profesor puede realizar un proceso de evaluacin

formativa, que le permita determinar el grado de logro de los estudiantes.

matemtica asistida por computadora impartida en esa unidad acadmica.

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Con este tipo de estrategias el estudiante puede acceder a muchos conceptos

matemticos, dentro de un ambiente de aprendizaje caracterizado por la observacin, la

conjetura, el error como fuente de aprendizaje, la bsqueda de la precisin y la

comunicacin de resultados.

Estrategia dos: explorar para descubrir

Existen argumentos para apoyar el desarrollo de procesos de enseanza-aprendizaje de la

matemtica por descubrimiento.

Sin duda alguna, uno de los mritos principales de la computadora como recurso

didctico en los procesos de enseanza-aprendizaje de la matemtica es que favorece y

potencia la planificacin de procesos de aprendizaje por descubrimiento.

En los actos educativos que se desarrollan con la estrategia de exploracin para descubrir

el profesor acta como facilitador, y es quien, en general, planifica el proceso. La

pretensin principal en este tipo de sesiones de aprendizaje es que el estudiante llegue a

sus propias conclusiones; no se le gua a ciertos resultados de manera directa, se espera

que interactuando con la computadora, y mediante la exploracin, la observacin

cuidadosa y el intercambio de ideas con sus compaeros, descubra los resultados.

El profesor es quien, generalmente, aporta las situaciones problema con las que el

estudiante, en forma individual o grupal, trabaja. No debemos dejar de resaltar la

importancia de esta tarea del educador y las dificultades que conlleva.

Advertimos tambin que en este tipo de procesos el profesor tiene que estar preparado

para lo inesperado. Puede suceder que los estudiantes, aun cuando han trabajado

correctamente en casi todo el proceso, lleguen a conclusiones incorrectas o a

conclusiones correctas pero de menor importancia que las que el profesor esperaba. O tal

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vez descubran hechos ms relevantes.

La sutileza y el buen tino con los que el docente logra que el estudiante (o un grupo de

estudiantes), que ha llegado a conclusiones inadecuadas, contine con su trabajo en

bsqueda de otras conclusiones (o que descubra que las alcanzadas anteriormente son

incorrectas), son dos elementos que deben adornar al profesor que desarrolla este tipo de

procesos, y no exageramos cuando afirmamos que estas caractersticas del educador son

factores crticos de xito.

En esta seccin nos interesa resaltar el hecho de que un proceso en el que se utiliza la

estrategia de verificacin puede ser convertido, algunas veces, en uno en el que se utiliza

la estrategia de descubrimiento.

Como ejemplo consideremos el enunciado del siguiente problema, que constituye una

modificacin de uno similar presentado por Radford (1994):

Un tringulo ABC inscrito en un crculo de centro O. La tangente en el punto C

interseca a la prolongacin del lado AB en el punto P. Sea CM la bisectriz del

ngulo ACB. Tal lnea corta el lado AB en el punto D. Verifique que el tringulo

PCD es issceles.

Presentado con esta redaccin constituye un problema para desarrollar un proceso de

enseanza-aprendizaje de la matemtica segn la estrategia de verificacin.

Con una modificacin en su enunciado, el problema puede ser presentado a los

estudiantes de la siguiente manera:

Trazar un crculo cualquiera. Sea O su centro. Inscribir un tringulo cualquiera

en ese crculo. Sea ABC dicho tringulo. Trazar la tangente al crculo en el

punto C. Sea P el punto de interseccin de esa tangente y de la recta que pasa

por A y B. Trazar la bisectriz del ngulo ACB. Sea D la interseccin del

bisectriz y del segmento AB. Qu puede decirse del tringulo PCD?

Volver a comenzar con otro crculo y otro tringulo ABC. Qu propiedad

parece tener el tringulo PCD. Enunciar una conjetura.

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Como indica Radford (1994), ante un enunciado como el anterior el alumno est

invitado a tomar posesin de la situacin. El estudiante pasa de una situacin de

observador a una etapa de actor.

Si en los actos educativos utilizan la estrategia de verificacin es importante la

evaluacin formativa, en los que emplean la estrategia de descubrimiento es

imprescindible.

El profesor puede hacer uso de varios recursos y procedimientos para realizar la

evaluacin formativa. Por ejemplo, puede recurrir a las exposiciones individuales o

grupales, con una sesin plenaria de presentacin de resultados, o puede optar por los

informes escritos.

Somos partidarios de la opinin de que, en todo caso, siempre es importante la discusin

de las conclusiones con la participacin de todo el grupo (plenarios), con el fin de

corregir los errores que se pueden haber colado.

Con procesos de enseanza aprendizaje de la matemtica desarrollados con esta

estrategia, el estudiante puede acceder a muchos conceptos matemticos, dentro de un

ambiente de aprendizaje caracterizado por la observacin, la conjetura, el error como

fuente de aprendizaje, la bsqueda de la precisin, el trabajo en equipo y la

comunicacin de resultados.

En esta estrategia incluimos tambin los procesos de exploracin abierta, en los cuales

no existe un conjunto especial de propiedades que se espera que los estudiantes

descubran como resultado de la leccin. En estos casos se les plantea un problema o una

pregunta generadora a los estudiantes y se les permite interactuar con la computadora,

con el fin de que puedan descubrir cosas. Las instrucciones en este tipo de procesos

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deben ser mnimas.

El profesor debe crear un ambiente que permita que los estudiantes puedan expresar sus

descubrimientos con sus propias palabras, con mucha libertad, y que favorezca, adems,

el desarrollo de un proceso de evaluacin formativa.

Estrategia tres: jugarle la vuelta al software

Algunos de los programas de computadora que puede utilizar el profesor de matemtica

con fines educativos permiten hacer cosas matemticas de manera sencilla y directa.

Por ejemplo, con el programa Geometers Sketchpad es sencillo y directo construir el

punto medio de un segmento, trazar el rayo bisector de un ngulo, construir rectas

paralelas o perpendiculares, etc. Con el programa Derive es posible factorizar un

polinomio, simplificar una expresin, obtener una derivada, etc., de manera sencilla y

directa.

Un estudiante puede, incluso sin comprender ninguno de estos conceptos, trazar en

instantes puntos medios, rayos bisectores, rectas paralelas, factorizar polinomios, derivar

funciones, etc.

La estrategia de jugarle la vuelta al software propone precisamente aprovechar esta

circunstancia para lograr que el estudiante conceptualice, es decir, adquiera conceptos.

La cosa va ms o menos as. Se le solicita al estudiante que, utilizando un programa

computacional en particular, realice una actividad especfica como construir el punto

medio de un segmento con Geometers Sketchpad, por ejemplo, accin que puede repetir

varias veces con casos diferentes. O factorizar cierto tipo de polinomios utilizando el

programa Derive.

Posteriormente se le pide que, manipulando con el programa si es necesario se

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explique, y luego le explique al resto del grupo, que cosa es lo que construy (u

obtuvo) con la computadora. Es decir, que caracterice lo construido (o los resultados

obtenidos).

De esta manera el estudiante puede acceder a muchos conceptos matemticos, dentro de

un ambiente de aprendizaje caracterizado por la observacin, la conjetura, el error como

fuente de aprendizaje, la bsqueda de la precisin y la comunicacin de resultados.

Aun cuando esta estrategia puede considerarse como un caso especial de la anterior, es

interesante por ella misma. Con la estrategia de jugarle la vuelta al software se

pretende principalmente que el estudiante descubra conceptos, mientras que con la de

descubrimiento se espera que establezca resultados.

Es importante hacer notar que este tipo de estrategia est muy limitada por las

caractersticas de los programas que los estudiantes pueden utilizar.

Estrategia cuatro: la pizarra electrnica

En este caso el docente utiliza la computadora, con el software apropiado, para

presentar conceptos o resultados matemticos como lo hara en una pizarra tradicional

pero contando con las facilidades que ofrece la tecnologa.

Aprovechando las facilidades de animacin, la variedad de colores, los variados

tamaos de letras, etc., y la posibilidad de combinar textos, grficos, sonidos y clculos

puede presentar ideas matemticas con mayor eficacia que con otros recursos ms

tradicionales.

Estos actos educativos suelen desarrollarse con el mtodo expositivo asistido por

computadora, combinado algunas veces con el mtodo interrogativo.

Por ejemplo, un docente que debe presentar el tema de integrales indefinidas y que

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selecciona el enfoque de aproximar el rea bajo una curva como estrategia didctica,

puede valerse de algn programa de computadora para presentar las ideas, de una manera

mucho ms efectiva que con solo el apoyo de la tiza y la pizarra.

Esta estrategia requiere, sobre todo cuando se trabaja con grupos numerosos, de algn

dispositivo que permita proyectar la imagen del monitor de manera que sea accesible a

todo el grupo.

Estrategia cinco: ejercitacin y prctica

Este caso corresponde al uso de la computadora de modo que los estudiantes puedan

practicar y ejercitarse en destrezas operativas matemticas, segn sus propias

necesidades.

Utilizando programas especialmente diseados (software especfico) o programas de

propsito ms general como Mathematica, MathCad, Derive o Geometers Sketchpad,

entre otros, el estudiante puede realizar prcticas, sin necesidad de contar con la

supervisin permanente del profesor.

En actos educativos orientados con esta estrategia, como indica Sancho (1996), podemos

atender, con propsitos remediales, a estudiantes que presenten necesidades especficas

al estudiar un tema.

Estrategia seis: el libro electrnico

La estrategia del libro electrnico consiste en utilizar algn programa computacional

para generar textos y grficos, cuya lectura la haga el estudiante en la misma

computadora.

Si con el apoyo de la computadora el estudiante no tiene acceso a algo diferente a lo que

ofrece un libro comn, no tiene sentido utilizar la computadora. No se trata simplemente

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de sustituir al libro, ste tiene ciertas ventajas que no tiene la computadora: es ms

portable, se puede rayar, podemos utilizarlo sin equipo adicional, podemos utilizarlo

en variedad de ambientes, etc.

Cuando el profesor utilice la estrategia del libro electrnico debe procurar que esto le

permita al estudiante contar con facilidades para el aprendizaje que superen las que

ofrece un libro tradicional. Por ejemplo, el estudiante debe poder cambiar parmetros en

algunas de las expresiones para ver que efecto producen estos cambios, o debe poder

accesar mediante hipertextos partes complementarias de informacin segn sus

necesidades particulares, etc.

La estrategia del libro electrnico es una de las que debe ser utilizada con mayor

cuidado por el profesor de matemtica.

Estrategia siete: de herramienta

En este tipo de estrategia la computadora aparece como una herramienta a disposicin

del estudiante, que puede utilizar para realizar los clculos o los grficos que necesite en

la solucin de un problema.

El profesor propone un problema cuya solucin requiere, dependiendo tal vez de la

forma de abordarlo, del apoyo de la computadora. La computadora puede jugar en estos

casos papeles muy diferentes. Por ejemplo, podra ser utilizada por los estudiantes para

procesar textos, graficar informacin, realizar un clculo matemtico particular, hacer

una simulacin, etc.

Por tanto, el empleo de la computadora para apoyar la solucin del problema es una

decisin ms que deben tomar los estudiantes al intentar resolverlo.

Estrategia ocho: para la simulacin de fenmenos

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La estrategia de simulacin de eventos consiste en utilizar la computadora para

representar fenmenos de la realidad. Un enfoque similar ha tenido gran aceptacin y

resultados muy prometedores en el campo de la toma de decisiones.

Se elabora un modelo de simulacin computacional que se comporte de la misma

manera que se esperara se comporte un sistema real. El estudiante puede realizar

diferentes corridas o experimentos en la computadora con el fin de obtener

conclusiones sobre las caractersticas del fenmeno en estudio.

Para el caso particular de la enseanza y el aprendizaje de la matemtica, he simulado en

el programa Geometers Sketchpad el comportamiento de un paracadas, el desage de

un tanque cnico invertido y el movimiento de un resorte vibrante, entre otros.

La simulacin ofrece una serie de ventajas importantes:

el modelo de la computadora ofrece un laboratorio experimental

el estudiante puede estudiar fenmenos sin peligro, a bajo costo, o que de otra

manera podra ser imposible.

Galvis (1991) seala que la simulacin en computadora tiene efectos importantes para

motivar a los estudiantes. Tambin, indica, favorece el aprendizaje experiencial,

conjetural y por descubrimiento, con un potencial tan grande o mayor que las mismas

situaciones reales, pues en ellas no se pueden hacer todas las cosas que se hacen en la

computadora, al menos durante el mismo rango de tiempo.

Estrategia nueve: de presentacin

La estrategia de presentacin consiste en utilizar programas del tipo Power Point, que

permiten presentar la informacin en variedad de formatos, colores, efectos especiales,

etc., recurriendo al mtodo expositivo asistido por computadora.

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Es una estrategia que tiene similitud con la de pizarra electrnica y podra ser

considerada un caso particular de sta. Nos interesa diferenciarlas con el fin de enfatizar

que en los casos de la estrategia de pizarra electrnica debe existir mayores

posibilidades de interaccin con la computadora.

Conclusiones

1. La tecnologa no constituye la solucin de todos los problemas educativos, pero es un

elemento importante para generar cambios en los procesos de enseanza aprendizaje de

la matemtica.

2. Debemos tener muy claro que los resultados positivos que podamos obtener al utilizar

computadoras en la enseanza y el aprendizaje de la matemtica, dependern

directamente del uso que les demos. Esto significa, entre otras cosas, que la

computadora no es un aparato que resolver los problemas educativos por arte de

magia.

3. El empleo de computadoras en los procesos de enseanza aprendizaje debe justificarse

en el marco de un planeamiento educativo completo, lo que supone la seleccin de

objetivos educativos, y la definicin de estrategias didcticas especficas.

4. Existen diversas estrategias didcticas para apoyar procesos de enseanza aprendizaje

de la matemtica. Estas estrategias estn determinadas, tanto por el software disponible,

como por las propias preferencias del docente.

5. Es posible desarrollar procesos de enseanza aprendizaje de la matemtica, con apoyo

de las computadoras, en ambientes de aprendizaje de caractersticas diversas.

Efectivamente, es posible generar desde ambientes de tipo algortmico hasta ambientes

de corte heurstico.

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6. El docente debe conocer diversas estrategias didcticas para apoyar procesos de

enseanza aprendizaje de la matemtica, para que enriquecer de manera sustantiva su

propia actividad y la que desarrollan sus estudiantes.

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