ASPECTOS TERICOS DE LA HEURSTICA

La heurstica se preocupa del estudio del proceso de solucin de problemas en forma general, tratando de desarrollar estrategias descriptivas, nunca prescriptivas, que puedan servir a una persona en su camino a convertirse en un hbil resolutor de problemas.

QU ES UN PROBLEMA?

A travs de los aos la definicin de las matemticas ha ido evolucionando hacia conceptos que implican aspectos psicolgicos y sociales. Durante la historia se le ha dado diferentes definiciones a las matemticas como :

Planteamiento de una situacin cuya respuesta desconocida debe obtenerse a travs de los mtodos cientficos (Real Academia Espaola, 2001).

Proposicin dirigida a averiguar el modo de obtener un resultado cuando ciertos datos son desconocidos (Espasa Calpe, 2001)

Situacin significativa a la que una persona quiere dedicarse, pero para la que no dispone de un modelo conceptual estable (Lesh 1982).

Situacin que difiere de un ejercicio, donde la persona que pretende resolver no tiene un proceso algortmico que le conducir, con certeza, a la solucin. (Kantowki, 1981).

Situacin que supone una meta para ser alcanzada, donde existen obstculos para lograr el objetivo y en la que se requieren deliberacin y desconocimiento del algoritmo til para resolverla. Es usualmente cuantitativa o demanda tcnicas matemticas para su solucin. Debe ser aceptada como problema por alguien, antes de que pueda ser llamada problema (House, Wallace y Jonson, 1983)

Situacin que, individualmente o en grupo, se acepta para desarrollar una tarea para la que el camino que determina la solucin no es obvio inmediatamente, puede ser enfocado de muchas maneras (Brannan y Shaaf, 1983).

Situacin en la que se plantea una tarea o una interrogante para las cuales un individuo o grupo no tiene previamente un procedimiento de solucin (Tapia, 1996).

Actividad en la que el estudiante debe buscar enfrentarse a situaciones nuevas, establecer relaciones, y en la que el profesor trata de suscitar la curiosidad y de motivar al estudiante para que persevere en la investigacin. Es importante notar que el tiempo que se dedica a la resolucin de un problema no puede preverse de antemano y que la inversin de energa de y afectividad es importante en esta tarea (IREM, 1973).

Tarea de contenido matemtico, cuyo enunciado es significativo para el estudiante () que este (lo) desea abordar, y para el cual no ha producido sentido (Puig, 1996).

En general, es una situacin que parte de un estado inicial indeseado y debe llegar a un estado final deseado. Entre ambos existe al menos una barrera que bloquea el paso del uno al otro (K. Duncker).

* Es importante tener en cuenta la actitud del individuo, y el inters que muestra al enfrentarse al problema; por lo tanto utilizaremos la siguiente definicin.

* Un problema es una situacin que plantea una cuestin matemtica, cuyo mtodo de solucin, no es inmediatamente accesible al sujeto que intenta responderla, porque no dispone de un algoritmo que relacione los datos y la incgnita o los datos y la conclusin; por lo tanto debe buscar investigar, establecer relaciones, implicar sus efectos, etc, para hacer frente a una situacin nueva .

* Cuatro connotaciones utilizadas

- Problema es el caso en el que la regla por aplicar salta a la vista, debido a que acaba de ser presentada y estudiada en clase.

- Problema es una situacin en la que se debe elegir la regla que se debe aplicar y que se trabaj en clase recientemente.

- Problema es el caso para cuya solucin hay que elegir una combinacin de reglas previamente estudiadas.

- Problema es una situacin en la que hay que investigar; su tratamiento exige una combinacin original de reglas y el uso de razonamientos admisibles.

Diferencia entre resolucin rutinaria (Ejercicio) y no rutinaria (Problema).

a. El comportamiento que debe seguir el estudiante.

En un ejercicio, basta que aplique en forma algortmica los conocimientos ya adquiridos en cambio, en un problema es necesario que se familiarice con la situacin, que experimente, particularice y busque caminos de solucin, hasta llegar a ella.

b. El objetivo que persigue el profesor

En un ejercicio, se busca que el estudiante aplique conocimientos en forma rutinaria, en un problema, se requiere que investigue.

c. El tiempo a emplear

En un ejercicio, el profesor puede prever el tiempo necesario para resolverlo; es ms, en algunas situaciones educativas se plantea como meta resolver una cantidad determinada de ejercicios en la sesin prevista. En el caso de un problema, su solucin puede llevar mucho ms tiempo, debido a que moviliza la comprensin, el planteamiento y la reflexin de una situacin.

d. La dimensin afectiva

La resolucin de ejercicios no suele generar emociones importantes, su proceso reproductivo genera pasividad y es frecuente confundir carga motivadora con cantidad de ejercicios que el estudiante realiza; mientras que la solucin del problema supone una gran carga motivadora en todo su proceso y predispone a asumir, de forma desafiante, tanto el cuestionamiento como las formas de resolver y enfrentarse a un problema.

Si bien es cierto estas consideraciones se dan desde el punto de vista objetivo asumiendo un sujeto ideal, existen otros factores o parmetros inherentes al individuo, tenindose en cuenta lo que para algunos es un problema para otros es un sencillo ejercicio; estos aspectos dependen fundamentalmente de los conocimientos previos, experiencias y habilidades como de la diversidad de pensamiento; se ilustrar con un ejemplo tomado de la realidad referido a la base de conocimientos previos, experiencias y habilidades :

PROBLEMA :

Ana es cinco aos mayor que Estela. Si la suma de sus edades es de 19 aos Cul es la edad de cada una de ellas?

Para un estudiante de tercero o cuarto grado de primaria sin ningn conocimiento de lenguaje algebraico, este es un problema que exige una forma creativa de pensar. Veamos cmo lo resuelven Tania y Julio :

Tania lo resolvi utilizando material concreto (19 fichas de ludo). Primero le dio cinco fichas a Ana y despus reparti el resto alternadamente entre Ana y estela.

Ana

Estela

Julio, lo resolvi por ensayo y error. Primero, solamente tante de forma impulsiva; luego, se dio cuenta que poda sistematizar su tanteo, llegado, finalmente, a la respuesta.

Primer ensayo

Ana = 5

Estela = 14

Segundo ensayo

Ana = 10

Estela = 9

Tercer ensayo

Ana = 12

Estela = 7 (Rpta correcta)

Para un estudiante de 6to grado de primaria este enunciado no es ms que un ejercicio sencillo, pues los conocimientos previos que posee le permiten realizarlo haciendo uso de un planteamiento algebraico.

Esquema de Estela

x

Edad de Ana

x + 5

Ecuacin

x + x + 5 = 19

Solucin

X = 7

Respuesta

Ana tiene 12 aos y estela, 7 aos

Otro parmetro n esta aproximacin, dese el punto de vista del sujeto, es la diversidad del pensamiento. As pese a tener la misma base de conocimientos, habilidades y experiencias, las personas poseen ciertas redes conceptuales y patrones mentales que permitirn a unas simplificar una situacin, mientras que otras no vern la solucin.

Ilustraremos lo dicho utilizando una forma de planteamiento de un examen de admisin.

Problema :

Hallar la medida de AC, sabiendo que ABCD es un rectngulo y D en el centro de la circunferencia mostrada, cuyo radio es 2 m.

B

A

D

C

Situacin A :

Los estudiantes orientados a usar algoritmos y frmulas abordaron el problema utilizando el teorema de Pitgoras, introduciendo variables y resolviendo una ecuacin cuadrtica.

Situacin B :

Otros estudiantes vieron la simplicidad de un nuevo enfoque. Solucin rpida.

B

A

C

D

AC es una de las diagonales del rectnguloABCD, la otra diagonal es el radio. Luego AC = 2m.

Observar un mismo problema desde varios puntos de vista, contextos y perspectivas da lugar a diversas estrategias que son entrenadas revisando ejercicios de pensamiento lateral.

Esta expresin fue acuada por Edward de Bono para poner de manifiesto un modo de pensar distinto del lineal, que es como la mayora de nosotros dirigimos nuestro pensamiento

Supongamos que separados por una malla metlica, colocamos a una gallina hambrienta frente a un plato e maz. La malla permite ver el plato, pero el pico de la gallina no llega a alcanzar el maz, por lo que arremete contra el obstculo, sin darse cuenta de que podra buscar otra solucin. Finalmente, vencida por la dificultad, se quedar mirando el plato, frustrada por no haber logrado su objetivo.

Si hacemos el mismo experimento con un perro, este intentar acercarse al plato de comida, primero enfrentando la malla; pero luego advertir que puede retroceder, evitar el obstculo y encontrar el plato de comida al otro lado.

La accin que realiza la gallina es un ejemplo de pensamiento lineal. A ella le cuesta mucho trabajo retroceder y abandonar su meta, aunque sea momentneamente, por lo que solo intenta resolver su problema atacndola directamente. Por otro lado, el comportamiento del perro ejemplifica el pensamiento lateral, que es ms evolucionado. A l no le importa dejar de ver el plato un momento, porque sabe que luego su recompensa ser conseguirlo.

ASPECTOS QUE AFECTAN LA SOLUCIN DE PROBLEMAS

ASPECTO COGNITIVO :

Los conocimientos previos pueden afectar una adecuada resolucin de un problema, adicionando a ello el plano de los metaconocimientos; plano no observado hasta el ao 1976 y constituido por los conocimientos acerca de nuestros procesos mentales.

J. Garfalo y F. Lester en 1985, segn sus estudios en este campo propusieron aspectos para la correcta confeccin de un retrato heurstico del sujeto y su posterior mejora, tales como :

Las creencias acerca de los conocimientos

La regulacin y control de la propia cognicin.

El primer aspecto se refiere a conocer las capacidades y tener conciencia de cules son las aptitudes reales, as como de aquellas situaciones construidas por la experiencia del individuo. Aqu se inscriben aquellas personas que manifiestan a priori resolver mejor los problemas algebraicos que los problemas geomtricos.

El segundo aspecto se refiere a una situacin reflexiva y de interiorizacin del conocimiento. Es como nuestra conciencia que nos seala caminos, actitud y grado de perseverancia en tal o cual estrategia resolutiva. La diferencia entre un novato y un hbil en resolucin de problemas suele situarse en el plano metacognitivo; por esta razn, muchos investigadores trabajan en esta rea, a fin de mejorar la habilidad para resolver problemas.

ASPECTO AFECTIVO :

El aspecto afectivo es vital en la resolucin de problemas matemticos. La carga emotiva puede llevarnos a importantes satisfacciones, pero tambin nos puede sumir en frustraciones. Por eso es importante que el profesor seleccione adecuadamente, los problemas que trabajar con sus estudiantes, con el fin de proponer investigaciones que les sea posible abordar.

Las actividades matemticas se resuelven casi siempre en pocos minutos, si uno se queda bloqueado, tendr la impresin de perder el tiempo, se trabaja en una sola direccin sino se sale de ese camino, abandona la tarea.

El problema termina cuando se halla la solucin. Si esta no es correcta, el trabajo y el tiempo invertido fueron en vano.

Los estudiantes con esta creencias van a observar, a la hora del trabajo personal, comportamientos y sentimientos de frustracin cuando :

Se demoren al resolver un problema

El problema no salga por el mtodo enseado en clase y

Consulten la respuesta y no sea la correcta.

Estos sentimientos se transforman en rechazo a la tareas y a la actividad de resolver problemas, con la consiguiente secuela de desnivelacin que esto producir.

Es por eso que una de las consideraciones ms importantes en una clase es que se brinda a travs de la motivacin y la predisposicin que despertemos a nuestros estudiantes. Sin una buena actitud hacia las matemticas, poco podremos conseguir con nuestras lecciones. Para motivarlos presentemos curiosidades, algunas paradojas, un juego lgico, un truco de magia o cualquiera de las mltiples posibilidades que la matemtica recreativa nos puede aportar.

INFLUENCIA DEL CONTEXTO :

Se ha creado un dogma social que la matemtica es el filtro en las universidades y el rea con mayor cantidad de desaprobados en nuestras instituciones educativas. Diversos factores que comprometen a los agentes sociales han condicionado un contexto con una presin cultural y una tradicin no matemtica. Nuestros estudiantes no la valoran y solo buscan estudiarla con un objetivo definido: pasar la evaluaciones.

Las resoluciones de problemas se desarrollan en la vida cotidiana. Es necesaria para comprender, analizar y tomar decisiones frente a la abundante informacin que recibimos de diversos medios. Por ello, estamos convencidos de que el desarrollo de la competencia en resolucin de problemas en matemtica puede ayudar a mejorar los procesos de enseanza y aprendizaje.

EL PLAN DE CUATRO FASES :

En la solucin de problemas, existen varios esquemas que nos presentan el orden ms adecuado para empezar a enfrentarse con situaciones novedosas. A continuacin, citaremos algunos de los que se han desarrollado hasta la fecha, indicando el nombre de su creador y el ao en que se fue publicado.

ESQUEMA DE GORGEPLYA 1945.

Real Academia Espaola, 2001

Espasa Calpe, 2001

Lesh, 1982

Kantowki, 1981

House, Wallace y Jonson, 1983

Brannan y Shaaf, 1983

Tapia, 1996

IREM, 1973

Puig, 1996

J. Garfalo y F. Lester en 1985

K. Duncker