MATEMÁTICAS II

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

1.- DEFINICIÓN GENERAL

Una  estructura algebraica es un conjunto x dotado de una o varias operaciones (funciones f: x × x → x) que satisfacen ciertas propiedades una estructura es el par de elementos siguientes: 

Un conjunto de elementos.

Una o dos operaciones internas en el conjunto si es una operación interna las más estudiadas son los grupos y los semi-grupos. Se clasifican así a partir de las cualidades de la operación interna dentro del conjunto.

2.- CONJUNTOS Y SUS PROPIEDADES

Conjunto

Un conjunto es una colección de objetos que llamaremos ”elementos”. Un elemento a que está en el conjunto U se dice que pertenece a U y se escribe a∈ U. Si a no está o no pertenece a U se escribe a∉ U. Generalmente, los elementos son denotados con letras minúsculas y los conjuntos con mayúsculas. Un conjunto puede definirse de las siguientes formas:

a) Por extensión, indicando todos los elementos del conjunto. En general, los elementos se representan entre llaves: U= {a1, a2,…,an}.

b) Por comprensión, dando una propiedad que caracterice a los elementos del conjunto: U= {números naturales pares}.

Propiedades

La unión, intersección y el complementario, verifican las siguientes propiedades.

a) Unión e intersección

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Asociativa

Conmutativa

Idempotente

Simplificación

Absorción

Distributiva

3.- DEFINICIÓN DE CORRESPONDENCIA

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Sean A y B dos conjuntos. Se dice que G es una correspondencia de A en B (o relación entre A y B) si G ⊆ A×B. Por lo tanto, una correspondencia es un subconjunto del producto cartesiano de dos conjuntos.

Se denomina correspondencia inversa de G al conjunto: G-1 = {(y,x) ∈ B×A: (x,y) ∈ G}.

Por ejemplo: Sean A = {a, b} y B = {1, 2, 3} A×B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}. F = {(a,1), (a,3), (b,3)} es una correspondencia de A en B. F-1 = {(1,a), (3,a), (3,b)}.

4.- APLICACIÓN Y TIPOS DE APLICACIÓN

Aplicación

Dada una correspondencia matemática entre todos los elementos del conjunto X con los elementos del conjunto Y, diremos que esta correspondencia: f, es una Aplicación entre X e Y, que suele llamarse función matemática si los conjuntos inicial y final son numéricos y se represente:

Cuando:

Todos los elementos de X están relacionados con elementos de Y.

Cada elemento de X, está relacionado con un único elemento de Y.

Vulgarmente: todos los elementos del conjunto origen tienen flecha y sólo una

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Esto es: una correspondencia matemática es una aplicación, si todos los elementos del conjunto inicial tienen una imagen y solo una imagen.

En el diagrama se pueden ver los conjuntos X e Y:

Como se puede ver, a cada uno de los elementos de X le corresponde un único elemento de Y. El elemento a de Y no tiene origen y el elemento b tiene dos orígenes (el 1 y el 4), pero esto no afecta a la definición de aplicación como tipo de correspondencia.

Tipos de Aplicación

Dados dos conjuntos X, Y, y todas las posibles aplicaciones que pueden formarse entre estos dos conjuntos, se pueden diferenciar los siguientes casos:

Si a cada imagen le corresponde un único origen, inyectiva.

Vulgarmente: «a cada elemento del conjunto final que tenga origen, le llega sólo una flecha.»

Si la aplicación es sobre todo el conjunto final, sobreyectiva. Vulgarmente: «si a todos los elementos del conjunto final les llega una flecha, al menos.»

Además de estos dos casos característicos, una aplicación puede ser inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, que se denominan biyectiva, o ninguna de ellas en cuyo caso no tiene un nombre específico. Vulgarmente: "en una aplicación biyectiva todos los elementos origen tienen una flecha y a todos los elementos imagen, les llega una sola flecha"

Vamos a representar los tipos de aplicaciones en un Diagrama de Venn, el conjunto universal U, representado por un rectángulo, es el de todas las posibles aplicaciones, el conjunto A es el de las aplicaciones inyectivas, y el conjunto B el de las sobreyectivas, esto nos permite ver los distintos tipos de aplicaciones de un modo gráfico.

Aplicación inyectiva y no sobreyectiva

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Una aplicación inyectiva cada elemento imagen tendrá un único origen y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen.

En estas aplicaciones la cardinalidad de X es siempre menor que la de Y, esto es el conjunto Y tendrá mayor número de elementos que X cuando tratamos de compararlos.

Aplicación no inyectiva y sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tiene al menos un elemento imagen que tiene dos o más orígenes y una sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen al menos un elemento origen.

En el diagrama de Venn corresponden a las aplicaciones que no pertenecen a A y si pertenecen a B, esto es las que pertenecen a la diferencia de B y A: B-A.

Para esta aplicación el conjunto X ha de tener mayor número de elementos que Y, la cardinalidad de X ha de ser mayor que la de Y.

Aplicación inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

Si una aplicación es inyectiva y sobreyectiva simultáneamente, se denomina biyectiva. Por ser inyectiva los elementos que tienen origen tienen un único origen y por ser sobreyectiva todos los elementos del conjunto final tienen origen.

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En el diagrama de Venn el conjunto A es el de las aplicaciones inyectiva y el conjunto B el de las aplicaciones sobreyectiva, las aplicaciones biyectiva, que son inyectiva y sobreyectiva, será la intersección de A y B.

Estas dos circunstancias dan lugar a que el conjunto X e Y tengan el mismo número de elementos, la cardinalidad de X es la misma que la de Y, esto tiene una gran importancia cuando se pretende comparar dos conjuntos:

Si dados dos conjuntos podemos encontrar una aplicación biyectiva entre ellos, podemos afirmar, que los dos conjuntos tienen el mismo número de elementos. La cardinalidad de X es igual a la de Y.

Aplicación no inyectiva y no sobreyectiva

Una aplicación no inyectiva tendrá al menos un elemento imagen que tenga dos o más orígenes y una no sobreyectiva tendrá al menos un elemento del conjunto final que no tenga elemento origen. Este tipo de aplicaciones no tiene un nombre específico y quizá sean las que presenten, desde el punto de vista matemático, un menor interés.

Para esta aplicación los conjuntos X e Y no son comparables, y no podemos plantear ningún supuesto sobre su cardinalidad, partiendo de su comparación, ni sobre su número de elementos.

5.- LEY DE LA COMPOSICIÓN INTERNA Y EXTERNA

Ley de Composición Interna

Dado un conjunto A, una ley de composición interna en A (l.c.i.) es una aplicación

, esto es, dado un par de elementos de A le asocia A

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Utilizaremos la siguiente simbología para referirnos a una ley de composición

interna: (si es ley aditiva), ⋅ (si es ley multiplicativa).

Al resultado de aplicar la l.c.i. al par (a, b) se le denota por a*b

Propiedades

Las propiedades que puede cumplir una ley de composición interna son:

Asociativa:

Conmutativa:

Existencia de elemento neutro:

El elemento neutro, si existe, es único. Si la ley es aditiva, el elemento neutro lo

denotaremos por 0; si es multiplicativa, 1

Existencia de elemento simétrico. Un elemento a∈ A admite simétrico a′ si se

tiene que Si la ley es aditiva, el simétrico se denomina opuesto y

si es multiplicativa recíproco o inverso.

Tenemos que

Ley de Composición Externa

Dados dos conjuntos A y K, una ley de composición externa (l.c.e) es una

aplicación K x A ———— A, es decir, a un elemento de K y a otro elemento de A

les hace corresponder uno de A.

6.- ELEMENTO NEUTRO Y SIMÉTRICO

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Elemento neutro

En matemáticas, y particularmente en álgebra abstracta, el elemento neutro o elemento identidad de un conjunto A, dotado de una operación binaria interna.

Es un elemento e del conjunto, tal que para cualquier otro elemento a del conjunto se cumple:

Es decir, un elemento neutro tiene un efecto neutro al ser utilizado en la operación. Al operar cualquier elemento del conjunto con el elemento neutro el resultado es el elemento original.

Un elemento e que cumpla solamente e*a = a se llama elemento neutro por la izquierda. Análogamente un elemento que cumple solamente a*e = a se llama elemento neutro por la derecha.

Elemento simétrico

en álgebra abstracta, si tenemos conjunto   en el que se ha definido

una operación matemática  , que anotamos:  , siendo la operación , interna en  :

con elemento neutro  ,

se dice que un elemento   tiene: elemento simétrico por la izquierda respecto de la operación   si:

elemento simétrico por la derecha respecto de la operación   si:

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elemento simétrico respecto de la operación   si existe un elemento simétrico por la izquierda y por la derecha, esto es:

un elemento simétrico   de   es simétrico por la derecha del elemento   y simétrico por la izquierda del elemento

El elemento simétrico de una operación es un número que operado con cualquier otro número da el elemento neutro de la operación.

7.- EXPLICACIÓN DE LAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS BÁSICAS

El álgebra es la rama de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética en el álgebra moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.

8.- GRUPOIDES

En matemática, especialmente en categorías y en homotopía, un grupoide es un concepto que, simultáneamente, generaliza grupos, relaciones de equivalencia en conjuntos, y acciones de grupos en conjuntos. Frecuentemente son usados para capturar información acerca de objetos geométricos tales como variedades.

El término "grupoide" también es usado para un magma: un conjunto con cualquier tipo de operación binaria en él.

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9.- SEMIGRUPOIDES

En matemáticas, un semigrupoide es un álgebra parcial que satisface los axiomas para una categoría pequeña, excepto posiblemente por el requisito que haya una identidad para cada objeto. Los semigrupoides generalizan los semigrupos de la misma manera que las categorías pequeñas generalizan los monoides y los grupoides generalizan los grupos, y tienen usos en la teoría estructural de semigrupos.

10.- CONCEPTO DE GRUPO

En álgebra, un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad y elemento inverso. mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas, como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento. esto permite, en álgebra abstracta y otros campos, manejar entidades de orígenes matemáticos muy diferentes de una manera flexible, mientras se conservan aspectos estructurales esenciales de muchos objetos. la ubicuidad de los grupos en numerosas áreas (tanto dentro como fuera de las matemáticas) los convierte en un principio central en torno al cual se organizan las matemáticas contemporáneas.

los grupos comparten un parentesco fundamental con la noción de simetría. un grupo de simetría codifica las características de simetría de un objeto geométrico: consiste en el conjunto de transformaciones que dejan inalterado el objeto, y la operación de combinar dos de estas transformaciones realizando una tras la otra. tales grupos de simetría, especialmente los grupos de lie continuos, tienen un papel importante en muchas disciplinas académicas. los grupos de matrices, por ejemplo, se pueden utilizar para entender las leyes físicas fundamentales en que se basan la relatividad y los fenómenos de simetría en la química molecular.

11.- CONCEPTO DE SUBGRUPO

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en álgebra, dado un grupo (g) con una operación binaria , se dice que un subconjunto no vacío h de g es un subgrupo de (g)  si (h) también forma un grupo bajo la operación. o de otro modo, h es un subgrupo de g si la restricción de * (a h) satisface los axiomas de grupo.

un subgrupo propio de un grupo g es un subgrupo h que es un subconjunto propio de g (es decir h ≠ g). el subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo {e} que consiste solamente en el elemento identidad.

el grupo (g) (a) veces se denota por el par ordenado (g, *), generalmente para acentuar la operación * cuando g lleva varias estructuras algebraicas o de otro tipo. en lo siguiente, se sigue la convención usual y se escribe el producto a*b como simplemente ab.

12.- QUE ES ANILLO Y CUERPO

en álgebra abstracta, un anillo es una estructura algebraica formada por un conjunto (a) y dos operaciones, llamadas usualmente suma y producto (a,+,*), de modo que (a,+) es un grupo conmutativo con elemento neutro (que designamos 0), y el producto * es asociativo y tiene la propiedad distributiva respecto de la suma. si el producto es conmutativo hablaremos de un anillo conmutativo y si el anillo posee un elemento neutro para el producto, lo llamaremos anillo con unidad (a la que designaremos 1).

en álgebra abstracta, un cuerpo o campo es una estructura algebraica en la cual las operaciones llamadas adición y multiplicación se pueden realizar y cumplen las propiedades: asociativa,conmutativa y distributiva de la multiplicación respecto de la adición 1 , además de la existencia de inverso aditivo, de inverso multiplicativo y de un elemento neutro para la adición y otro para la multiplicación, los cuales permiten efectuar las operaciones de sustracción y división (excepto la división por cero); estas propiedades ya son familiares de la aritmética de números ordinarios.

los cuerpos son estructuras algebraicas importantes de estudio en diversas ramas de la matemática: álgebra, análisis matemático, teoría de los números, puesto que proporcionan la generalización apropiada de dominios de números tales como los conjuntos de números racionales, de los números reales, o de los números complejos. los cuerpos eran llamados dominios racionales.

el concepto de un cuerpo se usa, por ejemplo, al definir el concepto de espacio vectorial y las transformaciones en estos objetos, dadas por matrices, dos objetos en el álgebra lineal cuyos componentes pueden ser elementos de un cuerpo arbitrario. la teoría de galois estudia las relaciones de simetría en las ecuaciones algebraicas, desde la observación del comportamiento de sus raíces y las

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extensiones de cuerpos correspondientes y su relación con los automorfismos de cuerpos correspondientes.

ESPACIOS VECTORIALES

1.- PROPIEDADES

en álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ), con 8 propiedades fundamentales.

a los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

supongamos que el neutro no es único, es decir, sean   y   dos vectores

neutros, entonces:

     

2.- SUBESPACIOS VECTORIALES

en álgebra lineal, un subespacio vectorial es el subconjunto de un espacio vectorial, que satisface por sí mismo la definición de espacio vectorial con las mismas operaciones que v

sea   un espacio vectorial sobre   y   no vacío,   es un subespacio vectorial de   si:

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3.- COMBINACIÓN LINEAL

Es combinación lineal de un conjunto de

vectores   si se puede expresar como suma de los vectores de   multiplicados cada uno de ellos por un

coeficiente escalar  , es decir:

.

Así,   es combinación lineal de vectores de   si podemos expresar   como una suma de productos por escalar de una cantidad finita de elementos de  .

Ejemplo:

El vector (20, 12, 37) es una combinación lineal de los vectores (1, 3, 5) y (6, 2, 9):

4.- SISTEMA GENERADOR

Se llama sistema de generador s al conjunto de vectores, pertenecientes a v, a partir del cual se puede generar el espacio vectorial v completo.

No confundir este concepto con el de base, ya que si bien toda base es un sistema generador, la implicación inversa no es cierta. Mientras que una base ha de ser obligatoriamente un sistema libre, es decir, todos sus elementos han de ser linealmente independientes, un sistema generador puede ser ligado, es decir, linealmente dependiente.

Cabe concluir pues, que para cualquier sistema generador v formado por n elementos, siempre podremos hallar una base b comprendida en v con un número de elementos estrictamente menor que n (de ser igual obtendríamos la base en sí y no hablaríamos de sistema generador).

Generalmente se emplea la siguiente notación:

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Donde v es el espacio vectorial generado por el sistema s, el cual está compuesto por n vector, siendo n mayor o igual a la dimensión del espacio v.

5.- DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL

En álgebra lineal, un conjunto de vectores es linealmente independiente si ninguno

de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. por

ejemplo, en r3, el conjunto de vectores (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) es linealmente

independiente, mientras que (2, −1, 1), (1, 0, 1) y (3, −1, 2) no lo es, ya que el

tercero es la suma de los dos primeros

6.- BASE Y DIMENSIÓN

En álgebra lineal, se dice que un conjunto ordenado b es base de un espacio vectorial v si se cumplen las siguientes condiciones:

todos los elementos de b pertenecen al espacio vectorial v.

los elementos de b forman un sistema linealmente independiente.

todo elemento de v se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base b (es decir, b es un sistema generador de v)

7.- COORDENADAS DE UN VECTOR

Las coordenadas cartesianas o coordenadas rectangulares son un tipo de coordenadas ortogonales usadas en espacios euclídeos, para la representación gráfica de una función, en geometría analítica , o del movimiento o posición en física, caracterizadas porque usa como referencia ejes ortogonales entre sí que se cortan en un punto origen. Las coordenadas cartesianas se definen así como la distancia al origen de las proyecciones de un punto dado sobre cada uno de los ejes. La denominación de 'cartesiano' se introdujo en honor de René descartes, quien lo utilizó de manera formal por primera vez.

Si el sistema en si es un sistema bidimensional, se denomina plano cartesiano. el punto de corte de las rectas se hace coincidir con el punto cero de las rectas y se conoce como origen del sistema. al eje horizontal o de las abscisas se le asigna los números enteros de las equis ("x"); y al eje vertical o de las ordenadas se le

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asignan los números enteros de las yes ("y"). al cortarse las dos rectas dividen al plano en cuatro regiones, estas zonas se conocen como cuadrantes:

primer cuadrante "i": región superior derecha

segundo cuadrante "ii": región superior izquierda

tercer cuadrante "iii": región inferior izquierda

cuarto cuadrante "iv": región inferior

8.- CAMBIO DE BASE

En R2 se expresaron vectores en términos de la base canónica . En Rn se

definió la base canónica  . En Pn se definió la base estándar como

. Estas bases se usan ampliamente por la sencillez que ofrecen a la hora de trabajar con ellas. Pero en ocasiones ocurre que es más conveniente alguna otra base. Existe un número infinito de bases para elegir, ya que en un espacio vectorial de dimensión n, cualquier n vector, linealmente independiente, forman una base. En esta sección se vera como cambiar de una base a otra mediante el cálculo de cierta matriz.

Iniciaremos por un ejemplo sencillo. Sean u . entonces,  es la

base canonica en R2. Sean Como v1 y v2 son linealmente independientes

(porque v1 no es un múltiplo de v2),  es una segunda base en R2. Sea

un vector en R2. Esta notación significa que

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Es decir, x esta expresando en términos de los vectores de la base B. para hacer hincapié

en este hecho, se escribe  Como B es otra base en R2, existen escalares c1 y

c2 tales que (1) Una vez que se encuentran estos escalares. Se

puede escribir  para indicar que x esta ahora expresado en términos de los vectores en B. para encontrar los números c1 y c2, se escribe la base anterior en términos de la nueva base. Es sencillo verificar que:

(2)

y  es decir,

 Entonces,

Así, de (1),

o

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Por ejemplo, si

Entonces

APLICACIONES LINEALES

1.- PROPIEDADES

2.- CARACTERIZACIÓN DE APLICACIONES LINEALES

f es lineal f(t x + s y)= t f(x)+ s f(y) para todo x, y perteneciente a V y para todo t y s pertenecientes a K. (trivial)

 

Teorema 1.

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  Sea f una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W. Se tiene:

1) f(0V)= 0W.

2) f(-x)=-f(x).

3) Si x1, x2,..., xp son vectores de V y t1, t2,....,tp pertenecen a K f(t1x1 +t2x2+....+tpxp)=t1f(x1)+t2f(x2)+…..+tpf(xp).

4) Si el conjunto  es linealmente dependiente (l.d. ) entonces

 es l.d.

Corolario.  Si  es un conjunto de vectores de V y  

es linealmente independiente (l.i ) entonces  es l.i. El recíproco no es cierto.

Ejemplo 3. Sea f: R3 -----à R2   tal que  f(x1, x2, x3)= (x1+ x2, -x3)

Sea v1=(1, 0, 0), v2=(1, 1, -1) y v2=(1, 0, 1). Se pide:

a) Probar que f es lineal

b) Probar que es l. d.

Solución

a) Sea x=(x1, x2, x3), y=(y1, y2, y3) , t de k, se verifica:

f (x + y)= f(x1+ y1 , x2 + y2, x3+ y3)=( x1+ y1 + x2 + y2, -( x3+ y3)) =( x1+  x2,  - x3)+ ( y1+  y2, - y3)= f(x)+f(y)

(comprobar que f(tx) = tf(x))

b) Se tiene f(v1)=f(1, 0, 0)=(1, 0),  f(v2)=(2, 1) y  f(v3)=(1,-1) que es ligado (evidente pues en R2 tres vectores son siempre ligados)

Observar que era l.i.

Teorema 2. Sean f y g dos aplicaciones lineales definidas entre los espacios vectoriales V

y W. Sea una base de V. Si f(ui)=g(ui)          i=1, ...., n entonces f= g

Observación 1. Este teorema nos indica que la aplicación lineal está determinada por las imágenes de una base.

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Teorema 3. Sean una base de V y un conjunto arbitrario de W. Entonces existe una única aplicación lineal

f: V-----à W tal que f(ui)=vi, i=1,...,n

Observación 2. Este teorema nos dice que para definir una aplicación lineal basta definir  las imágenes de los vectores de una base del espacio vectorial V.

3.- NÚCLEO E IMAGEN

Núcleo

Imagen

4.- RANGO DE UNA APLICACIÓN LINEAL

El rango de la aplicación f (= dimensión del subespacio imagen) también puede calcularse mediante el rango de m, siendo m la matriz en bases cualesquiera.

5.- TEOREMA DE LA DIMENSIÓN DEL NÚCLEO Y DE LA IMAGEN

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La propiedad fundamental del núcleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales.

6.- DETERMINACIÓN DE UNA APLICACIÓN LINEAL

Una aplicación lineal puede ser inyectiva, suprayectiva, ninguna de las dos cosas

o ambas (y en ese caso es biyectiva). Veremos cómo esto se relaciona con el

cálculo del núcleo e imagen.

7.- EXPRESIÓN MATRICIAL DE UNA APLICACIÓN LINEAL

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Es evidente que hay una relación entre las matrices y las aplicaciones lineales, tanto es así que cada matriz representa una aplicación, y cada aplicación se puede identificar con una matriz. Para introducir esto, partimos del concepto de rango de una aplicación.

Definición: Rango de una aplicación lineal.

Se llama rango de una aplicación lineal por rg(f). Es decir: rg(f) = dim( Im(f)).

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