Estructuras Apuntes de Catedra

UNIVERSIDAD NACIONAL DE MISIONES

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA CIVIL

Cátedra: ESTRUCTURAS

Jefe de Cátedra: Ing. Fernando Rubén DETKE Profesor Titular.-

Responsable Practica: Ing. Julio Cesar ANSIN ANTILLE Prof. Adjunto.-

Auxiliar: Ing. José Luis GOLEMBA Ayudante de 1ra.-

Departamento de Ingeniería Civil

Programa Analítico

Tema 1: Principios Generales

Principio de superposición de efectos – Energía de deformación – Principio de los

trabajos Virtuales – Teorema de Betti – Teoremas de Maxwell y Clapeyron –

Teoremas de Castigliano y Menabrea – Aplicaciones del principio de los Trabajos

Virtuales a estructuras Rígidas y a estructuras Deformables – Estructuras

isostáticas e hiperestáticas, generalidades, diferencias – Sistemas hiperestáticos,

características. Ejercitaciones.

Tema 2: Método de las Fuerzas

Consideraciones generales – Cálculo de deformaciones – Sistemas

Fundamentales hiperestáticos – Transformación lineal de las ecuaciones de

elasticidad – Centro elástico – Aplicaciones.

Tema 3: Método de las Deformaciones

Consideraciones generales – Ecuaciones fundamentales y de equilibrio –

Aplicaciones a pórticos, Estructuras aporticadas de varios pisos y sistemas

reticulados. Aplicación a pórticos con columnas inclinadas. Análisis de los

desplazamientos. Ejercitaciones.

Tema 4: Cargas y sobrecargas actuantes sobre las construcciones

Generalidades – Reglamento CIRSOC 101: campo de validez – Definiciones:

acciones permanentes, variables y accidentales. – Cargas gravitatorias y

sobrecargas. – Carga de rotura, estados límites. – Cargas estáticas y cargas

dinámicas. – Superposición de las acciones sobre las construcciones. –

Combinaciones de los estados de cargas, según el reglamento CIRSOC 105.

Tema 5: Método de Cross

Generalidades – Constantes y ecuaciones Fundamentales – Vigas continuas –

Estructuras indesplazables – Estructuras desplazables – Estructuras Simétricas –

Estructuras con momentos de inercia variables. Aplicación a estructuras

especiales y emparrillado de vigas. Ejercitaciones.

Tema 6: Análisis Límite o Método Plástico

Generalidades – Hipótesis fundamentales – Momento plástico resistente –

Teoremas fundamentales – Análisis por el método Estático – Análisis por el

método de los Mecanismos – Aplicaciones.

Tema 7: Métodos Matriciales

Método de la Rigidez, Generalidades – Identificación estructural – Matriz de rigidez

de una barra y vector cargas nodales – Matriz de rigidez global y vector de cargas

global – Condiciones de borde – Solución del sistema global de ecuaciones –

Solicitaciones en los extremos de las barras – Cálculo de las reacciones de nudos

– Método de la Rigidez utilizando computadoras – Programas de cálculo

automático para Estructuras. Ejercitaciones.

ESTRUCTURAS Tema I-1: PRINCIPIOS GENERALES PARA EL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS HIPERESTATICAS 1-1) - INTRODUCCIÓN

El diseño de estructuras implica un profundo conocimiento del comportamiento de las mismas. Para ello es

imprescindible partir del análisis y calculo de las solicitaciones. Parte de este análisis y cálculo (sistemas isostáticos) ya fue estudiado en el curso anterior de Estabilidad I y es imprescindible para el desarrollo que aquí se inicia.

En este curso estudiaremos exclusivamente el análisis de las estructuras hiperestáticas y daremos los principios y métodos fundamentales que permiten su resolución. El diseño o dimensionamiento de las mismas, no será objeto de estudio en este curso. Para los estudios necesarios, utilizaremos además de los conocimientos básicos de la estática, un profundo conocimiento de las deformaciones y de algunos teoremas generales que estudiaremos en primera instancia. 1-2) - PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

Dicho principio nos dice, en su expresión más general, que: “la relación entre causa y efecto es lineal”.

Como consecuencia de esto, siendo:

2211

22

11

ECyECNº2 EfectoENº2 CausaCNº1 EfectoENº1 CausaC

⇒⇒

==

==

Y se cumple que a una causa: 21 CβCαC ⋅+⋅= Le corresponde un efecto: 21 EβEαE ⋅+⋅= Tendremos que: EC⇒

Aplicando al caso particular de las estructuras podríamos decir que: si las deformaciones (o esfuerzos) en todos los puntos de una estructura son proporcionales a las cargas que las causan, entonces las deformaciones (o esfuerzos) totales, resultantes de la aplicación de varias cargas, serán la suma de las deformaciones (o esfuerzos) causadas por estas cargas cuando se aplican separadamente.

Este principio implica la linealidad absoluta entre cargas y deformaciones (o esfuerzos). Esta linealidad no se da (y por lo tanto no es de aplicación el principio) en dos casos: a) Cuando no se cumple la ley de Hooke, o sea, cuando no existe proporcionalidad entre tensiones y deformaciones. b) Cuando la geometría de la estructura cambia en forma apreciable, y para el equilibrio es necesario tomar en cuenta la modificación sufrida por el sistema.

En la mayor parte del curso utilizaremos el principio de superposición para la resolución de las estructuras (análisis elástico), y solo al final del curso daremos un método en el que no se cumple la ley de Hooke. Con respecto a lo previsto en b), consideraremos que las deflexiones son pequeñas, por lo que el estudio del equilibrio lo haremos en la geometría original de la estructura. 1-3) - ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

Partiendo de la base que existe una relación lineal entre cargas, tensiones y deformaciones, analizaremos

desde el punto de vista de la energía lo que ocurre cuando se aplica en forma paulatina una fuerza que produce una deformación en un sistema elástico.

Las fuerzas producen un trabajo exterior que se almacena en la estructura en forma de “Energía Interna de la deformación”, si suponemos que no existen pérdidas de energía por desprendimiento de calor o debido a fenómenos plásticos, esta energía es recuperable durante la descarga del sistema. Analicemos ahora cuanto vale esa energía de deformación, o lo que es lo mismo, el trabajo externo para distintos tipos de solicitación. Recordando que: U T Te i= = 1-3-1) - Esfuerzos Normales:

Estructuras Principios Generales Pág. 1/10

Supongamos una barra sometida a una carga P axial. En la hipótesis de que se cumpla la ley de Hooke, la relación entre la carga P y el alargamiento δ será del tipo representado en la figura.

Supongamos que en un instante t existe una carga Pt y el alargamiento es δt, siendo E el módulo de elasticidad longitudinal y Ω la sección de la barra, se cumplirá que:

σ δ ε ε

σ

δ

tt

t t tt

tt

Pl y

E

P lE

= = =

∴ =

Ω

Ω( )1

Al incrementar Pt en un dPt se producirá un incremento dδt, y por lo tanto un trabajo diferencial:

dU P d dP d dU P dt t t t

despreciando eldiferencial de segundoorden

t t= + =δ δ δ123

El trabajo está representado por el área rayada de la figura. Si ahora consideramos el trabajo total que se

realiza al variar Pt desde cero hasta P, tendremos que el trabajo está representado por el área OAB y será:

UP

=δ2

(Trabajo de una fuerza sobre su propio recorrido).

Teniendo en cuenta que por la ecuación (1) PEl

t=δ Ω

Luego:

UP lE

=2

2 Ω o bien U

El

=δ 2

2Ω

A menudo conviene conocer la energía por unidad de volumen μ

μσ

= =P l

E l E

2 2

2 2ΩΩ o bien μ

δ ε= =

2

2

2

2 2El

EΩΩ

También podemos escribir:

μδ σε

= =P

l2 2Ω

Si hubiéramos querido calcular el valor del trabajo para el volumen Ωdx tendríamos:

dUP dx

EE dx

lP dx

l= = =

2 2

22 2 2ΩΩδ δ

U dUP dxE

ll= = ∫∫ 1

2

2

00 Ω Sí P = cte. a lo largo de x ⇒ U

P lE

=2

2 Ω

1-3-2) - Esfuerzos Tangenciales o de Corte:


Dada una viga en la cual existe, en una determinada sección, un esfuerzo de corte Q. Supongamos a los efectos del análisis que la sección es rectangular.

Como las distorsiones son pequeñas podemos considerar que:

γ γ γ= =t sen

De acuerdo con el teorema de Colignón (Jouravski):

τ γτ

= =QSJb

yG

e

El trabajo interno será:

dU dQ dx d dxQSJb

bdyG

dxe= = =12

12

12

γ τ γτ

Ω ( )

dUQ SJ b G

b dy dxe=12

2 2

2 2 . .

Integrando a lo largo del área dl:

dUQ dxJ bG

S dyeh

h=

−∫

2

22

2

2

2 /

/ Siendo S bh

y

hy

yb h

ye = −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟+

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟2

22 2 4

22

dUQ dx

G=

1 22

2,Ω

Definimos ψ : coeficiente de forma, que para la sección rectangular es ψ = 1 2, .

Generalizando:

dUQ dx

G= ≥ψ

ψ2

21

Ω

La energía total será:

UQG

dxl

= ∫ ψ2

0 2Ω

1-3-3) - Torsión:


dU M dx MI G

dU MI G

dx

tt

p

t

p

= =

=

12

12

2

λ λ

La energía total será: U

MI G

dxt

p

l= ∫ 1

2

2

0

1-3-4) - Flexión:

dU M d dMEJ

dx

dUMEJ

dx

ff

f

= =

=

12

12

2

ϕ ϕ

∫=⇒l f dx

EJM

U0

2

21

De acuerdo con el principio de superposición (que es aplicable por haber supuesto que la relación entre tensión y deformación es lineal), si existen solicitaciones combinadas, la energía será igual a la suma de las energías de cada uno de los esfuerzos, o sea:

UMEJ

dxMGI

dxNE

dxQ

Gdxf t

p= + + +∫ ∫∫∫1

212

12

12

2 2 2 2

Ω Ωψ

1-4) - PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES

Dentro del campo de la mecánica existen una serie de principios y teoremas en base a consideraciones de

energía. En general dichos teoremas están íntimamente relacionados entre sí, si bien a veces parecen ser muy distintos, un estudio en profundidad puede hacer ver que dos teoremas representan solamente un enfoque desde puntos de vista distintos de un mismo principio general.

En este curso se enuncian los teoremas con vistas a su posterior aplicación, para el análisis de estructuras, tratando de que no pierdan su generalidad.

Antes de enunciar el principio de los trabajos virtuales, definiremos algunos elementos: Desplazamiento virtual: aquellos desplazamientos ideales, pequeños y compatibles con los vínculos. Pequeños: pueden ser infinitesimales o finitos, pero de manera que no cambien fundamentalmente la geometría del sistema. Ideales: los desplazamientos son ideales y pueden deberse a cualquier causa, ya sea real o ficticia. Dicha causa es independiente de las fuerzas que producen el trabajo. Compatibles con los vínculos: la deformación puede ser cualquiera, pero debe cumplir con las condiciones de vínculos de los apoyos.

El sistema de fuerzas debe ser un sistema en equilibrio. Trataremos ahora el Principio de los Trabajos Virtuales para cuerpos rígidos y cuerpos elásticos. 1-4-1) - Cuerpos Rígidos:


“Si damos un desplazamiento virtual a un cuerpo rígido en equilibrio, la suma de los trabajos que realiza el sistema de cargas exteriores a lo largo de la dicho desplazamiento es cero”.

El desplazamiento de un cuerpo, se puede considerar como la suma de un traslación, más una rotación.

1º) Desplazamiento sin rotación:

El cuerpo está sometido a un conjunto de fuerzas Pi que se encuentran en “equilibrio”, por lo que debe cumplirse que:

P P Mx y= = i =∑∑∑ 0 0 0

Por ser un sólido rígido, todos sus puntos están sometidos a un mismo desplazamiento δ δx y, Evaluando el trabajo virtual tendremos:

T P P P porque P

T P P P porque P

x x xii

n

x x x xi

n

xi

n

i

n

y y yii

n

y y y yi

n

yi

n

i

n

= = = =

= = = =

= ==

= ==

∑ ∑∑

∑ ∑∑

( )

( )

δ δ δ

δ δ δ

1 11

1 11

0 0

0 0

=

=

=

=

∑

∑1

1

T T Tx y= + = 0 2º) Rotación:

δ ωδ δ α ω α ωδ δ α ω α ω

== − = = −= = =

ry rx r

i i

i i

cos cossen sen

xy

xy i

( )T P x P y P y

T P y P x P

T T T P y P x

M P y P x T

x x i x i x i

y y i y i

x y x i y i

i x i y i

= = =

= = − = −

= + = −

= − = ⇒ =

∑∑∑∑ ∑∑∑

∑

δ ω ω

δ ω ω

ω ( )

( ) 0 0

Resumiendo: a lo largo de un corrimiento virtual cualquiera, la suma de los trabajos de un sistema rígido en equilibrio es cero. 1-4-2) - Cuerpos Deformables:


Imaginemos un cuerpo elástico y un sistema de fuerzas Pi en equilibrio.

Supongamos que por una causa ajena al estado de cargas Pi se produce un estado de deformación (virtual) y que deseamos valorar el trabajo de las cargas Pi a lo largo de los desplazamientos virtuales. Debido a Pi el sólido estará sometido a un estado de tensiones internas. Analicemos un elemento del cuerpo, como el de la figura.

El trabajo que realizan las tensiones al producirse la deformación virtual en el elemento separado será:

dT dT dTic idσ = +

siendo: dTic: trabajo interno debido al corrimiento como rígido. dTid: trabajo interno debido a la deformación propia del elemento.

Es evidente que hay dos trabajos: dTic que se efectúa debido al desplazamiento que produce la deformación de todos los otros elementos del

cuerpo. dTid que se produce por causa de la deformación propia del elemento diferencial estudiado. El dTic =0 por los principios ya vistos para cuerpos rígidos, ya que el elemento está sometido a un estado de

cargas en equilibrio. Será entonces dT dTidσ =

Integrando a lo largo de todo el volumen: T Tidσ =

En consecuencia el trabajo interno de las tensiones será igual al trabajo interno de deformación (virtual).

Si ahora consideramos dos elementos adyacentes, podemos apreciar que al producirse el desplazamiento, se anulan los trabajos de las tensiones que actúan en esas caras, quedando solamente al llegar a la superficie o borde el trabajo que realizan las fuerzas exteriores, que denominamos trabajo externo Te.

Luego: T Teσ = El trabajo que realizan las cargas Pi a lo largo de

una deformación virtual es igual al trabajo que realizan las tensiones σ (provocadas por Pi) a lo largo de la deformación de cada elemento.

T Tidσ =

Trabajo virtual externo = Trabajo virtual interno.

Enunciado: Si sobre un sólido actúa un sistema de fuerzas exteriores en equilibrio y éste es sometido a una deformación virtual (pequeña, de manera que el sistema de fuerzas exteriores continúe en equilibrio), el trabajo externo de dicha fuerza a lo largo de la deformación dada es igual al trabajo interno que realizan las tensiones provocadas por el estado de cargas a lo largo de las deformaciones virtuales internas. 1-5) - TEOREMA DE BETTI (LEY DE RECIPROCIDAD)


Sea el sólido elástico sometido al estado de cargas PI que produce un estado de deformaciones δI y el mismo cuerpo bajo el estado de cargas PII y deformaciones δII dentro del campo de la elástica lineal, para un estado de cargas PI +PII corresponderá un estado de deformaciones δI+δII.

Es de hacer notar que la energía de deformación, y por lo tanto el trabajo exterior, depende únicamente, en estos casos del estado final de cargas y deformaciones, no dependiendo de la forma en que se cargue, mientras se haga en forma paulatina.

Supongamos cargar primero el sólido con el estado de cargas PI y luego con el estado PII. La energía

l será: tota

U U U UI I I I II II II= + +, , ,

Entendiéndose por Ui,j al trabajo o energía debida a las cargas Pi a lo largo de las deformaciones δj, debidas estas a las cargas Pj.

Si en cambio cargamos primero con PII y luego con PI será:

U U U UII II II II I I I= + +, , ,

Como los dos estados finales son iguales, las cantidades de trabajo son iguales, en consecuencia:

U U U UI II I II II I= ∴ =, ,

Entonces “el trabajo de un estado de cargas en equilibrio PI a lo largo de los desplazamientos producidos por otro estado de cargas en equilibrio PII es igual al trabajo de las cargas PII a lo largo de los corrimientos producidos por las cargas PI””. Por ejemplo:

Sea el caso de una viga simplemente apoyada con dos cargas concentradas para el estado de cargas I y una carga concentrada para el estado de cargas II.

IIIIIII,IIVIIIIVIII,I

VIIIII,II

IIIIIII,I

PUPPU

PU

PPU

δ=δ+δ=

δ=

δ+

δ=

222

Luego: U U U U

UP P

P PP

I I I I II II II

II I II II

I IV II VIIII V

= + +

= + + + +

, , ,

δ δδ δ

δ2 2 2

U U U U

U P P P PII II II II I I I

II III IIIIII V I I II II

= + +

= + + +

, , ,

δδ δ δ

2 2 2

Igualando:

444 3444 21I,IIII,I UU

IIIIIIVIIIIVI

III

PPPUU

=

δ=δ+δ=

1-6) - TEOREMA DE MAXWELL


Es un caso particular del teorema de Betti para una sola carga unitaria.

Por el teorema de Betti: P P1 1 2 2 2 1δ δ− −=

“El corrimiento del punto 1 según una dirección P1, debido a una carga unitaria aplicada en 2 según la dirección P2, es igual al corrimiento del punto 2 según la dirección P2, provocado por una carga unitaria actuando en 1 según la dirección P1”.

Cuando hablamos de corrimientos, entendemos que el mismo puede ser tanto un desplazamiento lineal como una rotación, dependiendo del tipo de cargas. El corrimiento es aquel a lo largo del cual la carga desarrolla trabajo y se denomina corrimiento correspondiente o corrimiento generalizado. Va siempre asociado a un vector carga y es colineal con el mismo.

1-7) - TEOREMA DE CLAPEYRON

Consideramos ahora en forma más general un sólido elástico, el cual tiene cargas P1, P2,......,Pn (vectores fuerzas y vectores momentos) y en correspondencia con ellos tiene desplazamientos J1, J2,........,Jn. Si las cargas se aplican en forma gradual, el trabajo interno será igual al trabajo externo, y dependerá únicamente del estado final de cargas y deformaciones.

δ n : Desplazamiento real debido al estado de cargas Pi. δn: componente del desplazamiento real en la dirección de la carga Pn.

Supongamos además que existe una relación lineal entre carga y desplazamiento. Si cargamos en forma gradual, llevando las cargas desde 0 a Pk (k=1,2,....,n), lo cual hacemos mediante la variación de un parámetro α que varía entre 0 y 1, tal que en un instante dado el sistema de fuerzas es:

α α αP P Pn1 2; ; ........;

De acuerdo con la Ley de Hooke a estas cargas le corresponderán los desplazamientos:

αδ αδ αδ1 2; ;........; n

Si le damos ahora incrementos de carga mediante dα, la carga genérica se incrementará en Pkdα, mientras que el desplazamiento aumentará δkdα, quedando:

P dd

k

k

( )( )α α

δ α α++

El trabajo realizado por una carga será:

dU P

dP d P

d

dU Pd

d Pd

= + +

= +

ααδ

α ααδ

ααδ

ααδ

2 2

22 2

( )

Despreciando infinitésimos de orden superior: αPi = Carga.

dU P di i= δ α α d iαδ =Camino recorrido, proyección de δi (vector), sobre la dirección de la carga a lo largo del proceso de carga 0 1≤ ≤α

Para la totalidad de cargas será: dU P di ii

n

==∑ δ α α

1


Integrando nos queda:

U P d P d P

U P P P

i ii

n

i ii

n

i ii

n

n n

= = =

∴ = + + +

∫∑ ∫∑ ∑= =

δ α α δ α α δ

δ δ δ

0

1

1 0

1

1 1

1 1 2 2

12

12

( ......... )

=

El teorema de Clapeyron dice: “El trabajo desarrollado durante la carga de un sólido elástico por un sistema de cargas en equilibrio es

independiente del orden de aplicación de las fuerzas y su valor es igual a la mitad de la suma del producto del valor final de las cargas por el valor final del desplazamiento de sus puntos de aplicación en la dirección de las fuerzas”.

Resumiendo:

U P= ∑12

δ P: Vector fuerza o momento. δ: Vector desplazamiento o rotación.

Existiendo proporcionalidad entre cargas y deformación, podemos poner las deformaciones en función de las

cargas mediante coeficientes de influencia δij. δ δ δ δ δi i i j ij nP P P P= + + + + + in1 1 2 2 ........ .......

δij: corrimiento del punto i (en la dirección Pi) debido a la fuerza Pj=1.

El trabajo total estará dado por:

( ) ( ) ([ ])U P P P P P P P P P P P P

U P P

n n n n n n n n nn

ij i jj

n

i

n

= + + + + + + + + + + +

∴ ===∑∑

12

12

1 1 11 2 12 1 2 1 21 2 22 2 1 1 2 2

11

δ δ δ δ δ δ δ δ δ

δ

..... ..... ....... .....

Observamos que esta expresión es una función de segundo grado de las fuerzas. Análogamente podemos expresar el trabajo como función cuadrática de los desplazamientos δi.

1-8) - TEOREMA DE CASTIGLIANO

Consideramos un cuerpo elástico, sometido a un estado de cargas Pi (P1;P2;......;Pn) con desplazamientos correspondientes δi (δ1; δ2;......; δn).

La energía de deformación será función de las cargas P, U=U(P); por lo tanto es posible derivarla respecto a una cualquiera de ellas. Por ejemplo respecto a Pi, mientras que las otras permanecen invariables:

∂∂UPi

Damos un incremento dPi mientras las demás permanecen constantes. Se producirá en consecuencia un incremento dU, que es el trabajo producido por todas las fuerzas P a través del desplazamiento producido por dPi (salvo infinitésimos de orden superior).

De acuerdo con el Teorema de Betti este trabajo es igual al de la carga dPi a través del desplazamiento debido al sistema de cargas P, que vale δi en el punto de aplicación de dPi.

dU dPUPi i i

i= ∴δ δ =

∂∂

En resumen, el Teorema de Castigliano dice que: “La derivada parcial del trabajo de deformación, respecto de una de las fuerzas, es igual al desplazamiento

de su punto de aplicación medido en la dirección de la fuerza”. Otra demostración:

[ ]

( )[ ]

U P P P P P P P P P P P P

UP

P P P

i i i i i i i i ii

ii i i ii

= + + + + + + + + + + +

= + + + +

12

12

1 1 11 2 12 1 2 1 21 2 22 2 1 1 2 2

1 1 2 2

( ........ ) ( ........ ) ..... ( ........ )

...... ....

δ δ δ δ δ δ δ δ δ

∂∂

δ δ δ

1-9) - TEOREMA DE MENABREA


Consideremos una estructura elástica hiperestática sujeta a un sistema de cargas exteriores que produce tensiones, reacciones y deformaciones.

Para ejemplificar, tomemos una viga continua de tres tramos, en la cual aparecen cargas P: P1, P2,..... y reacciones de vínculos que la dividimos en grupos:


( ) ,R R R→ 1 2 ( ) ,X X X→ 1 2 (Vínculos hiperestáticos)

Las X son función de las P y están definidas por las ecuaciones que se refieren a las condiciones de

deformación de los vínculos hiperestáticos (en este caso no pueden descender los puntos de aplicación de las X).

Tomo las X como cargas sobre el siguiente sistema, que ahora es isostático. El estado de cargas es (P,X), se conoce P pero no las reacciones hiperestáticas X.

La energía de deformación será: U=U(P;X). Como en x no hay desplazamientos, por haber un apoyo tendremos:

∂

∂∂

∂U P X

XU P X

X( ; ) ( ; )

1 10 0= =

En un sistema hiperestático con vínculos rígidos cargados con fuerzas exteriores, las reacciones

hiperestáticas toman valores que minimizan el trabajo de deformación; al ser:

∂∂UX

= 0

ESTRUCTURAS Tema I-2: APLICACIONES DE PRINCIPIOS GENERALES 2-1) - CÁLCULO DE CORRIMIENTOS APLICANDO EL PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES 2-1-1) - Trabajo Virtual Interno:

Valoremos el trabajo virtual interno de deformación para un elemento de una estructura sometida a cargas P que producen solicitaciones M, N, Q , Mt y sus correspondientes tensiones.

Supongamos además un estado de deformación virtual producido por solicitaciones tM,N,Q,M que son

debidas a un estado de cargas virtuales P .

Las deformaciones virtuales serán:

dxGIMxddx

GQxddx

EJMddx

ENxd

p

t=λΩψ

=γ=ϕΩ

=δ

A lo largo de estas deformaciones las solicitaciones M, N, Q y Mt producen un trabajo virtual interno:

dT M d N dx Q dx M dx

dTMMEJ

dxNNE

dxQQ

Gdx

M MGI

dx

id t

idt t

p

= + + +

= + + +

( ) ( ) ( ) ( )ϕ δ γ λψ

Ω Ω

Integrando tendremos el trabajo interno de deformación virtual de todo el sistema:

TMMEJ

dxNNE

dxQQG

dxM MGI

dxid

l l lt t

p

l

= + + +∫ ∫ ∫ ∫0 0 0 0Ω Ω

ψ

El trabajo Tid puede ser pensado de acuerdo con el Teorema de Betti, Maxwell como el trabajo de las cargas

P a lo largo de las deformaciones debidas a P . 2-1-2) - Aplicación a Sistemas Rígidos:

En estos casos el trabajo interno de deformación es nulo y por lo tanto también lo será el trabajo de las fuerzas exteriores.

T T Pid e i i= = =∑ δ 0

Estructuras Aplicaciones de Principios Generales Pág. 1/5

Supongamos un arco de tres articulaciones que sufre un corrimiento de un apoyo debido a una falla en la fundación y queremos averiguar cual es el descenso en la clave.

Colocando una carga vertical P en la clave tendremos:

fl

fPPlHPP

fPl

fVlHPV

HHVHVii 44

0

422δ

=δ=δ⇒=δ−δ=δ

===

∑

2-1-3) - Aplicaciones al Cálculo de una Reacción:

Eliminando el apoyo B y dando en ese punto un desplazamiento virtual:

ΔΔ

ΔΔ

lx

lx

l

x

lx

= ⇒ =

= ⇒ =

43

43

43 2

313

23

Evaluamos el trabajo producido:

R P P RB BΔΔ

Δ− − = ⇒ =2

23

076

P

2-1-4) - Aplicación a Sistemas Elásticos de Alma Llena: a) Desplazamientos

El estado de cargas P produce un estado de solicitaciones M, N, Q y una deformación de la estructura cuyo valor δs en un punto genérico i y una dirección cualquiera s-s queremos conocer.

Aplicando una carga virtual P = 1 que produce M, N, Q y valorando los trabajos obtendremos:

T P P tne i i s s= = =∑ δ δ δ1

TMMEJ

dxNNE

dxQQG

dxM MGI

dxit t

p= + + +∫ ∫ ∫ ∫

Ω Ωψ

[ ]T T

tnT

e i

s i

=

=δ1

1

b) Rotaciones

Nos interesa ahora la rotación de la sección i-i bajo el estado de solicitaciones M, Q, N. La carga virtual será en este caso un momento unitario:

T T

T Mtn

MMEJ

dxNNE

dxQQG

dx

e id

e

=

= ⇒ = + +⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

∫∫∫ϕ ϕ ψ1

1 Ω Ω


Es de hacer notar que si el signo de esta

expresión es positivo, la deformación tiene el sentido

de la carga virtual aplicada; en caso de que sea

negativo, el sentido será opuesto al considerado.

c) Giro Relativo de dos Secciones

ϕ ϕ ϕ

ϕ

= −

= +∫i d

tmMM

+EJ

dx1 .... ...

2-2) - CALCULO DE DEFORMACIONES APLICANDO EL TEOREMA DE CASTIGLIANO

U PMEI

dxNE

dxQG

dxMGI

dxif t

p= = + + +∫ ∫∫ ∫∑1

212

12

12

12

2 2 2 2

Ω Ωψ

De aquí en adelante trabajaremos con uno de los términos únicamente a fin de no arrastrar fórmulas muy

extensas. Se demuestra en general que la energía de deformación debida a esfuerzos de corte (Q) y a esfuerzos

normales (N) es despreciable frente a la de los momentos flectores (Mf). Además las estructuras planas raramente están sometidas a esfuerzos de torsión (Mt). Aplicando el Teorema de Castigliano tenemos:

∂∂

∂∂

∂∂

δ

δ∂∂

UP

MPEJ

dxMEJ

MP

dx

MEJ

MP

dx

i

f

i

f f

ii

if f

i

= =

=

∫∫

∫

12

12

22( ) ( )=

Donde: δi: desplazamiento o corrimiento del punto i en el

sentido de Pi. E: Módulo de elasticidad. J: Momento de inercia del elemento. Mf: Momento flector debido al estado de cargas que

produce la deformación.

Veamos ahora el significado de ∂∂MP

f

i

en el siguiente caso:

Supongamos un estado de cargas P, q que produce la

deformación δi que estamos buscando. Supongamos además que existe una cierta carga ideal Pi en el punto i.

El estado de cargas P, q y Pi tendrán los siguientes momentos:

M M MM M P M

M P q xM P x

tot f i

tot f i i

f

i i

= +

= + =

⎧⎨⎩

( )

( ; ; )( ; )

1


Derivemos ahora Mtot respecto de Pi teniendo en cuenta que: ∂∂

∂∂

MP

MP

Mf

i

i

ii= = =0 1( )

Resulta entonces: ∂

∂( )

( )

MP

Mtot

ii= =1

Es decir que la derivada del momento respecto a la carga Pi es el diagrama de momentos de la carga Pi = 1 en

el punto i. Vemos que será entonces:

δ∂∂i

f f

i

MEJ

MP

dx= ∫

M f : Momento de las cargas exteriores. ∂∂MP

f

i

: Momento debido a una carga Pi = 1 en el punto donde se quiere evaluar

el corrimiento.

Con el método de los trabajos virtuales tendríamos fórmulas similares:

δ s

MEJ

Mdx= +∫ ..... M: Momento de las cargas externas exteriores. M : Momento para una carga virtual tnP 1= en el punto correspondiente al corrimiento δs.

2-3) - APLICACIÓN DEL TEOREMA DE MENABREA

Recordando que si X es una incógnita hiperestática se cumple: ∂

∂U P X

X( ; )

= 0

Expresión en la que (siempre tomando solamente un término, el correspondiente al momento):

UMEJ

dxf= ∫1

2

2

Trabajando sobre el siguiente sistema hiperestático:

Esta estructura tiene cinco reacciones de vínculos, como las ecuaciones de la estática son tres, tendremos

dos incógnitas hiperestáticas (X1;X2). Este sistema es idéntico a un sistema isostático fundamental al cual se le aplica el verdadero valor de X1, X2 más las cargas exteriores.

Por condiciones de vínculos, no puede haber rotación en el apoyo izquierdo ni desplazamiento horizontal en el apoyo derecho, se cumplirán las siguientes ecuaciones:

)(0),,,(

)(0),,,(

)2()1()3(

2

212

1

211

BenoCorrimientX

XXqPU

AenRotacionX

XXqPU

X

X

==

==

+=

∂

∂δ

∂

∂δ


δ∂∂

δ∂∂

Xf f

Xf f

MEJ

MX

dx

MEJ

MX

dx

11

22

0

0

= =

= =

∫

∫

Llamando: M0: Momento debido a las cargas exteriores. M1: Momento correspondiente a X M X1 11= ⇒ M1 1=⊗ M2: Momento correspondiente a X M X2 21= ⇒ M2 2=⊗

Luego: M M X M X Mf = + +0 1 1 2 2

Donde: ∂

∂∂∂

MX

MMX

Mf f

11

22= =

δ X

M X M X MEJ

M dx

M MEJ

dx XMEJ

dx XM M

EJdx A

10 1 1 2 2

1

0 11

12

22 1

0

0

=+ +

=

∴ + + =

∫

∫∫∫

( )

( )

Análogamente, para δX2:

M MEJ

dx XM M

EJdx X

MEJ

dx B0 21

1 22

22

0+ + =∫∫∫ ( )

Las ecuaciones (A) y (B) nos permiten conocer los valores de las incógnitas hiperestáticas X1 y X2..

Significado de ∂

∂U P X

Xi i

i

( ; )= 0

U es la energía de deformación y pasa por un mínimo

para los valores de las incógnitas hiperestáticas. En efecto, por ser ∂

∂U

X = 0 la función tomará valores máximos o

mínimos. Realizamos la derivada segunda:

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2 2

2

1UX X

MEJ

MX

dxEJ

MX

MMX

dxf f ff

f=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥∫ ∫

Por ser ∂ ∂

MX ctef = (Mf es función lineal de X)

⇒ =∂∂

2

2 0MX

f

Luego:

10

2

EJMX

dx U es minimof∂∂

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⟩ ⇒∫

Cualquiera sea el valor de Mf, su derivada al cuadrado será positiva. En resumen: el valor de las incógnitas hiperestáticas es tal que minimiza el valor de la energía de

deformación.


ESTRUCTURAS Tema II: MÉTODO DE LAS FUERZAS 1) - INTRODUCCIÓN Estructuras Estáticas e Hiperestáticas:

Las estructuras o sistemas isostáticos se caracterizan por el hecho de que sus reacciones de apoyo y sus solicitaciones pueden calcularse por medio de una sola de las condiciones de equilibrio, que pueden ser aplicadas convenientemente según el tipo de estructuras.

Por el contrario, en los sistemas denominados hiperestáticos no es posible calcular todas las solicitaciones sin recurrir a condiciones (ecuaciones) suplementarias de deformación.

Como las deformaciones dependen de las cargas y el dimensionamiento de la estructura, tendremos que las reacciones y solicitaciones, al depender de las deformaciones, dependerán no solamente de las cargas y de la geometría de la estructura sino también de las secciones adoptadas para los elementos constructivos (vigas, columnas, etc.).

Es común referirse a “vínculos sobre–abundantes o Hiperestáticos”, denominándose así a los vínculos externos o internos que podrían eliminarse sin que el sistema se convierta en un sistema inestable.

Estructuras Método de las Fuerzas Pág. 1/3

El numero de vínculos que se deben eliminar para que el “sistema hiperestático” se convierta en un “sistema isostático” se denomina: “Grado de Hiperestaticidad”. Por ejemplo:

Sea un arco doblemente empotrado, sometidos a un estado de cargas dado. Existen seis reacciones de apoyo, las que no podemos calcular con las tres ecuaciones de equilibrio. Si al referido sistema le aplico dos articulaciones en los apoyos y una articulación en el centro (elimino dos reacciones de vínculos en los apoyos y un vínculo interno), el arco primitivo se convierte en un arco de tres articulaciones que como ya sabemos es un sistema isostático. Para llegar a este sistema isostático hemos necesitado introducir tres articulaciones, o lo que es lo mismo eliminar tres vínculos (hiperestáticos o sobre–abundantes); luego, el arco empotrado en los dos extremos es una estructura hiperestática de tercer grado.

Sin embargo este no es el único sistema isostático al que se puede llegar, partiendo de un arco primitivo. En efecto, si se suprimen mediante un corte en la clave los vínculos correspondientes a los esfuerzos normales, de corte y momento flector, obtendríamos dos elementos libres en un extremo y empotrado en el otro, que constituyen un sistema isostático.

Es de hacer notar que al eliminar un vinculo cualquiera, si se desea que la estructura no varíe, se deberá introducir como carga exterior el valor de la solicitación que correspondía al vinculo referido.

Podemos definir como vinculo hiperestático a aquel que no es necesario para la estabilidad del sistema, o dicho en otras palabras: son aquellos vínculos que pueden eliminarse sin que por ello el sistema pierda estabilidad.

2) - EL MÉTODO DE LAS FUERZAS


Veamos con un pórtico doblemente empotrado el fundamento del método. Dado que se dispone únicamente de tres ecuaciones de equilibrio, y ya que existen seis reacciones de vinculo, es posible apreciar que la estructura es hiperestática de tercer grado.

Si introducimos tres articulaciones, el sistema pasa a ser isostático transformándose en un arco de tres articulaciones. El estado de solicitación será en general distinto para el sistema primitivo y para el sistema isostático obtenido a partir de aquel, denominado sistema fundamental (el isostático). Esto no sucederá si en las rotulas introducidas se aplican, como si fueran cargas exteriores, las fuerzas o momentos X1 , X2 y X3, que realmente actuaban en el sistema hiperestático, y que fueron eliminados al eliminar los vínculos para convertir la estructura en isostática.

En este caso el sistema hiperestático bajo la acción de las cargas P se comportara de forma idéntica al isostático fundamental cargado con las cargas: P , X1 , X2 , X3. Las incógnitas hiperestáticas (X1 , X2 , X3) se calculan por la aplicación de las condiciones de deformación.

Denominaremos “corrimiento correspondiente con una incógnita” al corrimiento en la dirección de la incógnita, o sea el

corrimiento sobre el cual la incógnita realiza trabajo. Es inmediato que los corrimientos correspondientes con las incógnitas X1 , X2 , X3 (rotación en el punto 1,

rotación relativa en la sección 2, rotación en el punto 3) bajo la acción de las cargas totales deben ser nulos, ya que por condiciones de vinculo lo son en la estructura original.

Cuando se cumpla en el isostático que las rotaciones en los apoyos y la rotación relativa en el nudo 2 son nulas, podré decir que los dos sistemas son equivalentes. Es inmediato también observar que existen mas de un sistema isostático fundamental, dependiendo la elección del mismo de condiciones que faciliten el calculo numérico. 3) - SISTEMAS DE ALMA LLENA

Estudiaremos el mismo pórtico

anterior, y para el calculo de las deformaciones tengamos en cuenta únicamente las deformaciones debidas a los momentos flectores, que son las que mas influyen. El primer paso es elegir un isostático fundamental que se obtiene, en este caso, introduciendo dos articulaciones y un apoyo móvil. A efectos de que el sistema no varíe, aplicamos como cargas exteriores (además de P) a los momentos X1 y X2, y a la fuerza horizontal X3. Estas serán nuestras incógnitas hiperestáticas.

Las dos estructuras serán entonces estáticamente equivalentes, siempre que carguemos al hiperestático con

las cargas P y al isostático con las cargas P , X1 , X2 , X3.

Estudiaremos ahora la deformación de la estructura

isostática de la figura (b) para las cargas P, denominando con

M0 , Q0 y N0 las solicitaciones que producen, y con δ10 , δ20 y

δ30 los corrimientos correspondientes con las incógnitas Xi.

Sometemos luego el sistema a una carga X1 = 1 tm,

obteniendo las solicitaciones M1 , Q1 y N1 y las deformaciones

δ11 , δ21 y δ31. Haciendo los mismo para X2 = 1 tm, obteniendo

las solicitaciones M2 , Q2 y N2 y las deformaciones δ12 , δ22 y

δ32. Haciendo lo mismo para X3 = 1 t, obteniendo las

solicitaciones M3 , Q3 y N3 y las deformaciones δ13 , δ23 y δ33.

En general designaremos δij al corrimiento correspondiente con la incógnita Xi debido a una carga Xj = 1. El subíndice “0” lo utilizaremos para las cargas exteriores. Si ahora aplicamos en lugar de cargas unitarias los verdaderos valores Xi, además de las cargas P, las

deformaciones totales serán, por aplicación del principio de superposición: Rotación relativa un 1: 0δXδXδXδδ 133122111101 =⋅+⋅+⋅+= Rotación en 2: 0δXδXδXδδ 233222211202 =⋅+⋅+⋅+= Desplazamiento en 3: 0δXδXδXδδ 333322311303 =⋅+⋅+⋅+=

Hemos llegado a un sistema normal de ecuaciones, el cual resuelto nos permite calcular las incógnitas X1 , X2 , X3, donde las solicitaciones finales serán: 3322110 MXMXMXMM ⋅+⋅+⋅+=

3322110 QXQXQXQQ ⋅+⋅+⋅+=

3322110 NXNXNXNN ⋅+⋅+⋅+= Si el numero de incógnitas fueran “n”, tendríamos un sistema de “n” ecuaciones:

0n

1j ijδjXi0δiδ =∑=

⋅+= (i = 1 , 2 , 3 , ....... , n)

4) – RESUMENEl método de las fuerzas puede aplicarse siguiendo el siguiente proceso de calculo: 1º) – Quitese él numero de vínculos igual al grado de hiperestaticidad, reduciendo así el sistema a una estructura estáticamente determinada. 2º) – Calcúlese los diagramas de solicitaciones para las cargas exteriores aplicadas sobre el isostático fundamental (M0; Q0; N0). 3º) – Aplíquense en forma sucesiva cada una de las incógnitas con valor unitario (Xi = 1), y hállese los diagramas de solicitaciones para cada caso (Mi; Qi; Ni). 4º) – Calcúlese los corrimientos correspondientes con las incógnitas (δi0 ; δij) para cada caso. 5º) – Plantéese el sistema de ecuaciones por aplicación de las condiciones de deformación, y obténgase las incógnitas Xi. 6º) – Obténgase los diagramas finales de solicitaciones, por el principio de superposición de efectos.


Estructuras Método de las deformaciones Pág. 1/8

ESTRUCTURAS Tema III: METODO DE LAS DEFORMACIONES 1) - INTRODUCCIÓN

Como consecuencia del estado de cargas, las estructuras se encuentran sometidas a solicitaciones que las deforman de manera diversa. Es así que cada nudo de la estructura se desplaza en el espacio y rota, definiendo por lo tanto que es lo que ocurre con los extremos de cada barra; lo cual acompañado de las cargas que actúan definen perfectamente la elástica de la estructura y de cada una de sus barras.

Como a cada estado de deformación le corresponde un estado de solicitación, a partir de los primeros podemos calcular los segundos.

Consideraciones generales para el desarrollo del método: a) - Se tomarán como incógnitas las deformaciones (incógnitas geométricas) y a partir de ellas

encontraremos las solicitaciones. b) - En los sistemas de alma llena, no tendremos en cuenta las deformaciones debidas a esfuerzos

normales y de corte. c) - Los nudos son rígidos, esto implica que todas las barras que parten de un mismo nudo tienen el

mismo desplazamiento y rotación que el nudo. d) - Las rotaciones de los nudos se considerarán positivas cuando el sentido es el contrario al

movimiento de las agujas del reloj. Barra sobre Nudo

Nudo sobre Barra

Nudo sobre Barra

Barra sobre Nudo

(+)Momentos Positivos

(-)Momentos Negativos

e) - Los momentos de acción y reacción entre el extremo de la barra y el nudo tendrán signo positivo cuando la acción sobre la barra tienda a girarla en sentido contrario al de las agujas del reloj, o lo que es lo mismo, cuando la acción de la barra tienda a hacer girar al nudo en el sentido de las agujas del reloj, es inmediato que por el principio de acción y reacción los dos efectos están representando el mismo fenómeno.

f) - Es de validez la aplicación del principio de superposición de efectos. 2) - ECUACIONES FUNDAMENTALES

Consideremos una barra recta i-k empotrada elásticamente en dos nudos y veamos de resolverla cuando al someterla a un sistema de cargas exteriores, sus extremos han sufrido desplazamientos y rotaciones.

A efectos de una mayor claridad en la comprensión del fenómeno, realizaremos el estudio suponiendo el efecto de las fuerzas, con las solicitaciones debidas a las deformaciones correspondientes a los nudos.

En una primer parte supondremos que los nudos no se desplazan ni rotan, las cargas actúan sobre las barras (sería el caso de una barra empotrada-empotrada, sometida a cargas exteriores). A los momentos en los nudos los denominaremos ( M y ), sus valores pueden obtenerse de las ecuaciones extraídas de los manuales para los estados de cargas más usuales. A los momentos obtenidos de las rotaciones ω

Mi k k io o

i, ωk y ψik que se aprecian en la figura y que se deben a las rotaciones de los nudos y a la rotación de la cuerda de la barra; producto de los desplazamientos de los nudos de la estructura, los denominaremos ( M y ). Mi k k i

` `


En la figura siguiente se representan las magnitudes que se utilizan, las cuales de acuerdo con las convenciones que estamos utilizando, son positivas.

Pensándolo en forma inversa podemos decir que para producir las deformaciones de la figura, es necesario aplicar en los extremos los momentos

M y Mi k k i` `

Aclaremos además, que los corrimientos de nudos y barra, como si fuera un rígido, no traen aparejadas

solicitaciones y que estas solo se producen por la rotación de los nudos y de la cuerda de la barra.

Estudiaremos entonces el caso de una barra sometida a dos momentos extremos, que rotan en los extremos los ángulos θi y θk, según se indica en la figura.

Calculamos las rotaciones δii , δkk y δik = δki (según el teorema de Maxwell).

Para momentos unitarios en los extremos y por el principio de superposición de efectos es posible obtener:

θ δ δ

θ δi ik ii ki i

δk

k ik ki ki kk

M MM M

= +

= +

` `

` `

Sistema de dos ecuaciones, donde es posible explicitar M y Mi k k i

` `

M

M

iki kk k ik

ii kk ik

kik ii i ik

ii kk ik

`

`

( )

( )

=−−

=−−

θ δ θ δδ δ δθ δ θ δδ δ δ

2

2

1

2

Denominando:

Δ

Δ Δ

ik ii kk ik

ikkk

ikki

ii

ik

ik

ika a b

= −

= = =

δ δ δδ δ

2

Δ−δ

Resulta: c ac a

ik ik

ki ki

= − bb

+= − +

( )( )

Teniendo en cuenta que:

θ ω ψθ ω ψ

i i ik

k k ki

= −= −

Desarrollando en (1) y (2):

M a

M a

iki kk

ik

k ik

ikik i k

kik ii

i

b

bk

i ik

ikki k i

`

`

= − = +

= − = +

θ δ θ δθ θ

θ δ θ δθ θ

Δ Δ

Δ Δ

Finalmente se obtiene:

M a b cM a b c

ik ik i k ik ik

ki ki k i ki ik

`

`

= + +

= + +

⎧⎨⎩

ω ω ψ

ω ω ψ

Con estas expresiones obtenemos los momentos extremos en función de las deformaciones (ωi, ωk y ψik) y unos coeficientes que dependen de las características elásticas de la barra.

Superponiendo ahora el estado de cargas con el estado recién visto:

M M MM M M

ik ik ik

ki ki ki

= +

= +

⎧⎨⎩

o

o

`

` Desarrollando: M M a b c

M M a b cik ik ik i k ik ik

ki ki ki k i ki ik

= + + +

= + + +

⎧⎨⎩

o

o

ω ω ψ

ω ω ψ


Los valores de los coeficientes aik , aki , b , cik , cki de cada barra pueden calcularse u obtenerse de libros o manuales, cuando en las barras el valor de la rigidez EJ no permanece constante como, por ejemplo, ocurre con las vigas acarteladas.

Para el caso particular y más utilizado en la práctica, de elementos cuyo producto EJik se mantiene constante, las expresiones toman la siguiente forma:

20

0

2

6

3

kikkiiik

l

ik

ik

ikkiik

l

ik

ik

ikkkii

ik

ik

EJl

dxEJMM

EJl

dxEJM

δδδ

δδ

δδ

−=Δ

−===

===

∫

∫

Δ

Δ

i ki k

i k

i k

i k

k i i kk k

i k

i k

i k

i k

i k

i k

lE J

lE J

a al

EJlE J

EJl

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

= = = =

19

136 12

312

4

2

2 2

2

2 2

2

2 2

δ

ki

kikiikki

ki

ki

ki

ki

l

EJbacc

l

EJb

6)(

2

−=+−==

=Δ

−=

δ

Reemplazando:

M MEJl

M MEJl

i k i ki k

i ki k i k

k i k ii k

i kk i i k

= + + −

= + + −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

o

o

22 3

22 3

( )

( )

ω ω ψ

ω ω ψ

Expresiones que nos dan los momentos flectores en los extremos de una barra empotrada-empotrada sometida a cargas exteriores y que sufren deformaciones ωi , ωk y ψik. 3) - MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES

A efectos del desarrollo del método, tomaremos una estructura aporticada cualquiera y plantearemos las ecuaciones correspondientes.

Supongamos el pórtico de la figura sometido a un estado de cargas P y H.

Dadas las condiciones de vínculo serán:

ωωψ

1

4

2 3

00

0

===−

Las incógnitas serán: ω ω ψ ψ2 3 1 2 3; ; − 4−y De las cuales podemos eliminar una mediante la siguiente

relación:

Δ = =

= =

− − − −

−−

−− − −

ψ ψ

ψ ψ η

1 2 1 2 3 4 3 4

3 41 2

3 41 2 3 4 1 2

l lll

ψ

El método consiste en poner las solicitaciones en función de las rotaciones (incógnitas) y luego plantear ecuaciones de equilibrio que nos permitan formar un sistema de ecuaciones del cual despejamos las incógnitas (ω , ψ) a partir de las cuales obtendremos el valor de las solicitaciones.

El método de las fuerzas en cambio, ponía los desplazamientos en función de las fuerzas (incógnitas) y planteando ecuaciones de congruencia de deformaciones se llegaba a un sistema de donde era posible calcular las incógnitas hiperestáticas.


Veamos ahora el método de las deformaciones en su aplicación al pórtico ya mencionado. Calculamos los momentos en los extremos de las barras (suponemos constante en cada barra el valor EJik).

[ ]

[ ]Barra

M MEJl

M MEJl

1 2

23

22 3

1 2 1 21 2

1 22 1 2

2 1 2 11 2

1 22 1

−

= + −

= + −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− −−

−−

− −−

−−

o

o

ω ψ

ω ψ 2

[ ]

[ ]Barra

M MEJl

M MEJl

2 3

22

22

2 3 2 32 3

2 32 3

3 2 3 22 3

2 33 2

−

= + +

= + +

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− −−

−

− −−

−

o

o

ω ω

ω ω

[ ]

[ ]Barra

M MEJl

M MEJl

3 4

22 3

23

3 4 3 43 4

3 43 3 4 1

4 3 4 33 4

3 43 3 4 1 2

−

= + −

= + −

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

− −−

−− −

− −−

−− −

o

o

ω η ψ

ω η ψ

2

Planteamos ahora dos ecuaciones de equilibrio de momentos en los nudos 2 y 3:

M M M F

M M M F

( ) ( ; ; ) ( )

( ) ( ; ; ) ( )

2 0 0 0 3

3 0 0 0 42 1 2 3 1 2 3 1 2

3 2 3 4 2 2 3 1 2

= ∴ + = ⇒ =

= ∴ + = ⇒ =− − −

− − −

∑∑

ω ω ψ

ω ω ψ

Estas son dos ecuaciones con tres incógnitas y por lo tanto es necesario plantear una tercera ecuación.

Veamos cómo se haría para plantear y calcular el esfuerzo de corte en una barra cualquiera sometida a cargas y momentos flectores en los extremos.

Adoptamos como signo positivo para el esfuerzo de corte el que se representa en la figura.

Q QM M

l

Q QM M

l

i k i ki k k i

i k

k i k ii k k i

i k

= ++

= ++

o

o

Qi k

o y Q son los esfuerzos de corte debidos a las cargas actuantes en el tramo. k io

Basándose en estas expresiones para el ejemplo anterior será:

( )

( )

Q QM M

lQ

lM M

EJl

Q QM M

lQ

lM M

EJl

2 1 2 11 2 2 1

1 22 1

1 21 2 2 1

1 2

1 23 1 2

3 4 3 43 4 4 3

3 43 4

3 43 4 4 3

3 4

3 43 3 4 3 4

1 23 6

1 23 6

− −− −

−−

−− −

−

−−

− −− −

−−

−− −

−

−− −

= ++

= + + + −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

= ++

= + + + −⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

o o o o

o o o o

ω ψ

ω η ψ

Realizando un corte en el piso superior y planteando la ecuación de equilibrio de fuerzas horizontales:

Fx H Q Q

F= ⇒ − − =

=− −

−

∑ 0 00 5

2 1 3 4

3 2 3 1 2( ; ; ) ( )ω ω ψ


Siendo esta la tercera ecuación buscada.

Tenemos ahora el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas:

FFF

1 2 3 1 2

2 2 3 1 2

3 2 3 1 2

000

( ; ; )( ; ; )( ; ; )

ω ω ψω ω ψω ω ψ

−

−

−

===

⎧

⎨⎪

⎩⎪

De estas ecuaciones obtenemos los valores de ω2, ω3 y ψ1-2; a partir de las cuales obtenemos los Mik

incógnitas hiperestáticas del sistema. 4) - APLICACIÓN AL CASO DE ESTRUCTURAS APORTICADAS DE VARIOS PISOS

Consideremos una estructura correspondiente a un edificio de varios pisos, que tiene las siguientes características: a) Cada barra tiene un valor de Ejik = cte. b) Las columnas de cada piso son verticales y de la misma longitud. c) Las vigas son horizontales. d) Existen cargas debidas al peso propio y sobrecargas en las vigas mientras que en las columnas se supone que las cargas horizontales son aplicadas en los nudos.

Bajo estas hipótesis tendremos, en cuanto a rotaciones de nudos (ωi) tantas incógnitas como nudos y con referencia a las rotaciones de barras (ψik), por el hecho de que todas las rotaciones de columnas de un mismo piso son iguales y que las rotaciones de vigas son nulas, tendremos tantas incógnitas como pisos existan. Finalmente: Nº total de incógnitas = Nº de nudos + Nº de pisos.

Recordando la ecuación:

[ ]M MEJli k i k

i k

i ki k i k= + + −o

22 3ω ω ψ

Llamando Jo: momento de inercia de comparación.

[ ]

α ω ω ψ

αω ω ψ

i ki k

oo o

i k iki k

i ki k i k

JJ

EJ EJ

M Ml

= = =

= + + −o2

2 3

ψ

Planteamos ahora todas las condiciones de equilibrio que nos permitan obtener ecuaciones para determinar

los valores de las incógnitas. Sabiendo que la suma de todos los momentos aplicados a un nudo debe ser igual a cero:

M

Ml l l

ikk

n

i k i k

i kki

i k

i kk

k

i k

i ki k

k

=

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ +

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥−

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

=∑

∑ ∑ ∑ ∑

0

22 3

1

o αω

αω

αψ 0

Tendremos una ecuación similar para cada nudo.


Supongamos analizar ahora un corte por debajo del piso j (entre el piso j y el j+1) y que las cargas que actúan horizontalmente son H1, H2,....,Hj mientras que los esfuerzos de corte en las barras serán Qi

j. Por condición de equilibrio:

∑ ∑

= =

=+j

i

n

i

jii QH

1 1

0

Si designamos con “o” a los pisos superiores y con “u” a los inferiores:

[ ]juioij

i

j

uioijui

joi hh

MMQQ ψωωα 26

2 −+=+

==

Podemos escribir entonces:

[ ]juioi

j

i

h

i j

i

ji hh

H ψωωα 26

1 1

−+=−∑ ∑= =

Siendo hj constante para el piso.

de la ecuación anterior podemos inferir la siguiente:

( )

ji j

iui

i j

ioi

i j

iji

hhh

hHψαωαωα ∑∑∑∑ −+=− 2

6

Teniendo una ecuación similar por cada piso, con lo cual tenemos igual número de ecuaciones que de incógnitas.

Resuelto el sistema obtenemos ω ω ψi k i, , k . Podemos calcular entonces los momentos según la expresión:

[ ]M Mli k ik

i k

i ki k i k= + + −o

22 3

αω ω ψ

5) - APLICACIÓN A SISTEMAS RETICULADOS

No es de aplicación por la gran cantidad de incógnitas que se desea resolver, pero es interesante desde el punto de vista didáctico pues da una idea del potencial del método en la resolución de distintos problemas.

Supongamos una barra de una estructura, que luego de deformada sus nudos tienen los desplazamientos (ui , vii) y (uk , vk).

La sección de la barra es Ωik y su esfuerzo es δik. Llamando Δlik al alargamiento de la barra se

cumplirá: S

ll

Ei k i k i ki k

i ki k= =σ Ω

ΔΩ

Además proyectando tendremos (suponemos que el ángulo de rotación de la barra es pequeño ⇒ cos =1):

[ ]

Δ

Δ

Ω

l u v u v

l u u v v

S u u v vE

l

i k k i k k i k i i k i i k

i k k i i k k i i k

i k k i i k k i i ki k

i k

= − − −

= − − −

= − − −

( cos sen ) ( cos sen )

( ) cos ( ) sen

( ) cos ( ) sen

α α α α

α α

α α

Llamando Xi e Yi a las componentes de las cargas aplicadas en el nudo “i” deberá ser, por condición de equilibrio:

S X

S Yi k i k i

i k i k i

cos

sen

α

α

+ =

+ =

∑∑

0

0Reemplazando los valores de Sik por las expresiones ya halladas:


( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

u u v vE

lX

u u v vE

lY

k i i k k i i k i ki k

i ki

k i i k k i i k i ki k

i ki

− − − +

− − − +

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

∑

∑

cos sen cos

cos sen sen

α α α

α α α

=

=

Ω

Ω

0

0

Por cada nudo tendremos un par de incógnitas (ui, vi) y un par de ecuaciones mediante las cuales se pueden

obtener los desplazamientos (ui, vi) y luego calcular las solicitaciones Sik. 6) - ANÁLISIS DE LOS DESPLAZAMIENTOS ψik 6-1) - Estructuras indesplazables:

Los ψik son todos nulos y no es necesario el planteo de las ecuaciones de piso. 6-2) - Estructuras simétricas con cargas simétricas:

Un rápido análisis puede indicarnos si existen o no desplazamientos laterales. 6-3) - Estructuras de barras verticales y horizontales bajo cargas generales:

Solo tienen ψik≠0 las columnas que en el caso de ser iguales en un piso, tienen el mismo ψik. 7) - RESUMEN


El método de las deformaciones puede aplicarse mediante los siguientes pasos de cálculo: a) - Transformar la estructura en otra rígidamente vinculada empotrándose los nudos y colocando

retenes para evitar desplazamientos (Estructura rígida indeformable). b) - Calcular los momentos de empotramiento perfecto Mi k

o

c) - Por aplicación de las condiciones de equilibrio, plantear el sistema de ecuaciones. d) - Calcular los corrimientos y rotaciones. e) - Calcular las solicitaciones basándose en las deformaciones obtenidas y a las solicitaciones en el

fundamental rígidamente vinculado.

ESTRUCTURAS Tema V: MÉTODO DE CROSS 1) - INTRODUCCIÓN

Entre 1930 y 1940 se desarrollaron algunos métodos de iteración para la resolución de estructuras de un alto grado de hiperestaticidad. Estos métodos son simples y conducen rápidamente a la solución del problema sin la necesidad del planteo de sistemas lineales de ecuaciones.

Uno de estos métodos fue desarrollado por el Ingeniero Norteamericano Hardy Cross y es conocido como “Método de Cross”.

En síntesis, el método se basa en el método de las deformaciones, resuelto en forma iterativa, pero en el cual se han cambiado las incógnitas deformaciones por solicitaciones a las cuales esta más habituado el ingeniero calculista. Precisamente, una de las principales virtudes que tiene el método es que no pierde en ningún momento la visión física del comportamiento de la estructura. 2) - CONSTANTES Y ECUACIONES FUNDAMENTALES

Definiremos en principio algunas constantes características que utilizaremos a partir de un sistema fundamental en el cual todas las barras están empotradas-empotradas o empotradas-articuladas. 2-1) - Rigidez angular “αik”:

Es el momento necesario a aplicar en la sección extrema de una barra para que en la misma se produzca una rotación unitaria. Barra empotrada-empotrada

Cuando:

ω α

ω ω ψ

α

i i k i k

i k i k i k i k i k i k

i k i k i ki k

i k

M

M M a b c

M aEJl

= ⇒ =

= + + +

= = =

1

4

o

(Del método de las deformaciones). Barra empotrada-articulada

M a bi k i k i k= +ω ω

Por ser nulo el momento en el otro extremo.

M a b

ba

k i k i k i

kk i

i

= + =

∴ = −

ω ω

ω ω

0

reemplazando: M abai k i i k

k i= −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ω

2

Cuando: ω αi i k i k i kk i

M aba

= ⇒ = = −12

Para la barra con momento de inercia constante será:

MEJl

MEJl

MEJl

i ki k

i ki k

k ii k

i kk i k

i

i ki k

i ki

= +

= + = ⇒ =

=

2 2

2 2 02

3

( )

( )

ω ω

ω ω ωω

ω

−

Para: ω αi i k i ki k

i kM

EJl

= ⇒ = =1 3

Barra empotrada-libre Estructuras Método de Cross: Constantes; Ecuaciones; Estructuras Indesplazables Pág. 1/20

En este caso: M i k= ∴ =0 0α

2-2) - Coeficiente de transmisión β:

Es el valor del momento que se produce en el extremo de una barra cuando en el otro extremo actúa un momento igual a la unidad. En otras palabras, es un coeficiente que permite calcular que porcentaje de un momento aplicado en un extremo se transmite al otro. Barra empotrada-empotrada

Será:

M aa

M bb

a

i k i k i ii k

k i ii k

= = ∴ =

= = ∴ =

ω ω

β ω β

11

Para barras con momentos de inercia constante:

MEJl

lEJ

EJl

EJl

lEJ

i ki k

i ki i

i k

i k

i k

i ki

i k

i k

i k

i k

= = ⇒ =

= =

=

4 14

2 24

0 5

ω ω

β ω

β ,

Barra empotrada-articulada o empotrada-libre

En ambos casos al aplicar un momento unitario en un extremo, en el otro no aparece ningún momento.

β=0.

2-3) - Coeficiente de distribución γik:

Supongamos una serie de barras que concurren a un nudo y que el nudo es rígido, o sea que al rotar el nudo rotan todas las barras que concurren al mismo.

Cada una de las barras tiene una determinada sección, longitud y forma de vinculación al otro extremo, con lo cual queda definida su rigidez angular (αik).

Supongamos también que exteriormente aplicamos al nudo un momento MI. El nudo comenzará a rotar al igual que las barras. En estas últimas irán apareciendo momentos que tratarán de equilibrar al momento exterior, llegará un instante en que la rotación producirá momentos tales que el nudo se equilibrará con los momentos Mik de reacción en las barras:

M MI i kk

n

+ ==∑ 0

1 Queremos averiguar ahora que parte del momento exterior MI absorberá la barra i-k (Mik).

Por la hipótesis de rigidez de nudo, todas las barras y el nudo rotarán un ángulo ωi , siendo:

Estructuras Método de Cross: Constantes; Ecuaciones; Estructuras Indesplazables Pág. 2/20

M

MM

M M

i k i k i

I i k ik

n

iI

i kk

n

i ki k

i kk

n I

=

∴ + = ⇒ = −

⇒ = −

=

=

=

∑∑

∑

α ω

α ω ωα

α

α

01

1

1

Denominamos coeficiente de distribución:

γα

αγi k

i k

i kk

n i k i k IM M= ⇒ = −

=∑

1

Esta expresión nos dice que para hallar el momento en una barra, se debe cambiar el signo del momento que

estaba actuando sobre el nudo y multiplicarlo por el coeficiente de distribución. Este coeficiente es el valor absoluto del momento que aparece en el extremo de una barra cuando al nudo que

ésta concurre se le aplica un momento unitario. Es inmediato verificar que la suma de todos los γik de un nudo es igual a la unidad.

γα

α

α

αi k

k

ni k

i kk

n

i kk

n

i kk

nk

n

= ==

=

=

=

=∑

∑

∑

∑∑

1

1

1

1

11=

3) - MÉTODO DE CROSS PARA ESTRUCTURAS INDESPLAZABLES

Utilizaremos la misma nomenclatura y convención de signos del método de las deformaciones y prácticamente las mismas hipótesis.

Supongamos una estructura cualquiera, en la cual los nudos pueden rotar pero no desplazarse en el espacio. Con el fin de aclarar ideas desarrollaremos la teoría a través de un ejemplo numérico.

3-1) - Rigideces angulares α:

α α α

α α

1212

120 2 3

2 3

2 30 34

3 4

340

1616

160 2 5

2 5

2 50

43

43

42 4

31 5

4

= = = = = =

= = = =

EJl

EJEJl

EJEJl

EJ

EJl

EJEJl

EJ

,

,


3-2) - Coeficientes de distribución γ:

γα

α αγ

αα α α

γα

α α

γα

α αγ

αα α α

γα

α α

γα

α α α

1 21 2

1 2 1 62 1

1 2

1 2 2 3 2 53 2

2 3

2 3 3 4

1 61 6

1 2 1 62 3

2 3

1 2 2 3 2 53 4

3 4

2 3 3 4

2 52 5

1 2 2 3 2 5

34 5

0 6737

0 433

5 40 56

1 54 5

0 3337

0 432 45 4

0 44

1 117

0 14

1

=+

= = =+ +

= = =+

= =

=+

= = =+ +

= = =+

= =

= =

=+ +

= =

=

∑ ∑

∑

,, ,

,,

,,

, ,,,

,

,

3-3) - Coeficientes de transmisión β:

Los coeficientes de transmisión valen β=0,5 para todas las barras, excepto la 1-6 donde β=0. 3-4) - Momentos de empotramiento perfecto: M

qltm M

qltm

MPl

tm MPl

tm

Mql

tm Mql

tm

12

2

2 1

2

2 3 3 2

3 4

2

4 3

2

125 33

125 33

83

83

124 17

124 17

o o

o o

o o

= = = − = −

= = = − = −

= = = − = −

, ,

, ,

3-5) - Desarrollo del método: Supongamos ahora que tomamos como fundamental una estructura en la cual están rígidamente empotrados

todos los nudos. En nuestro caso, excepto el nudo 6, ya que la barra 1-6 hemos considerado como empotrada articulada. Este empotramiento se realiza mediante chapas de fijación ideales aplicadas en los nudos 1, 2 y 3. Bajo esta condición y con las cargas exteriores actuarán, sobre las chapas de cada nudo, los siguientes momentos de desequilibrio.

Sobre chapa nudo 2: Sobre chapa nudo 1: ΔM M t1 12 5 33= =o , m m

ΔM M M t2 2 1 2 3 5 33 3 2 33= + = − + = −o o , , .

Sobre chapa nudo 3: ΔM M M tm3 3 2 3 4 3 4 17 117= + = − + =o o , , .


Todos los Moik indicamos sobre un dibujo de la

estructura. Supongamos ahora tomar el nudo 1, sobre el cual

actúa un momento ΔM1=5,33 tm; si liberamos el nudo el momento actuante lo obligará a rotar hasta encontrar su posición de equilibrio, apareciendo sobre las barras los siguientes momentos:

M M tm tm

M M tm tm12 12 1

16 16 1

0 67 5 33 3 57

0 33 5 33 1 76

= − = − = −

= − = − = −

γ

γ

Δ

Δ

( , ). ( , ) , . ( , ). ( , ) ,

Anotamos estos valores sobre la estructura.

Al aparecer en la barra 1-2 un momento de (-3,57 tm) parte del mismo se transmite al nudo 2: ∴ = − = −β M tm tm12 0 5 3 57 1 79, ( , ) , Anotamos sobre la estructura.

El nudo 1 ahora está en equilibrio ya que actúan los momentos barra sobre nudo: (-1,76+5,33-3,57)=0.

Colocamos nuevamente la chapa de fijación en la estructura, para indicar que se equilibran los momentos colocamos rayas sobre las barras 1-6 y 1-2.

Pasamos al nudo 2, donde existe un momento de desequilibrio:

ΔM tm2 5 33 3 1 79 4 12= − + − = −, , , . Liberamos el nudo y aparecerán: M M tm tm

M M tm

M M tm tm

21 21 2

2 3 2 3 2

2 5 2 5 2

0 43 4 12 1 77

0 43 4 12 1 77

0 14 4 12 0 58

= −

tm

= − − =

= − = − − =

= − = − − =

γ

γ

γ

Δ

Δ

Δ

( , )( , ) ,

( , )( , ) , .

( , )( , ) , .

.

Valores que anotamos sobre la estructura.

Estos momentos se transmiten a los extremos 1, 3 y 5 mediante el coeficiente β=0,5 como 0,89; 0,89 y 0,29 respectivamente, valores que indicamos sobre la estructura.

El nudo 2 está equilibrado. Colocamos la chapa en la estructura y cerramos el nudo mediante una raya.


Pasamos al nudo 3, donde tendremos: ΔM tm3 3 0 89 4 17 2 06= − + + =( , , ) , .

Al liberar el nudo aparecerán:

M M tm tm

M M tm tm32 32 3

34 34 3

0 56 2 06 115

0 44 2 06 0 91

= − = − = −

= − = − = −

γ

γ

Δ

Δ

( , )( , ) ,

( , )( , ) ,

.

.

Estos momentos a su vez se transmiten como (-0,58 tm) y (-0,46 tm) a los nudos 2 y 4 respectivamente. El

nudo 3 está en equilibrio, podemos volver a empotrarlo y cerrar el nudo.

Volvemos al nudo 1, como hasta el cierre anterior estaba en equilibrio, solo hay en este instante un momento de desequilibrio que se ha transmitido del nudo 2: ΔM tm1 0 89= , .

Liberamos el nudo, distribuimos y transmitimos a los nudos vecinos de la siguiente manera.

Distribución: M tm

M t16

12

0 33 0 89 0 29

0 67 0 89 0 60 m

= − = −

= − = −

( , )( , ) ,

( , )( , ) ,

.

.

Transmisión al nudo 3: ( , )( , ) , .0 5 0 6 0 3− = − tm Cerramos el nudo. Pasamos al nudo 2: ΔM tm2 0 30 0 58 0 88= − − = −, , , . Distribución:

M tm

M t

M t

21

2 3

2 5

0 43 0 88 0 38

0 43 0 88 0 38

0 14 0 88 0 12

m

m

= − − =

= − − =

= − − =

( , )( , ) ,

( , )( , ) ,

.

( , )( , ) , .

.

Transmisión:

a nudo tma nudo tma nudo tm

1 0 5 0 38 0 193 0 5 0 38 0 195 0 5 0 12 0 06

→ =→ =→ =

( , )( , ) , .( , )( , ) , .( , )( , ) , .

Volvemos a cerrar el nudo y así sucesivamente.

Nudo 3: distribuimos ΔM3=0,19 tm en (-0,11 tm) y (-0,08 tm), transmitiendo (-0,06 tm) y (-0,04 tm). Nudo 1: distribución: ΔM1=0,19 tm en (-0,13 tm) y (-0,06 tm), transmisión (-0,07 tm). Nudo 2: distribución: ΔM2=(-0,07-0,06)=-0,13 tm en (0,06 tm) y (0,06 tm) y (0,01 tm), transmisión (0,03 tm), (0,03 tm) y (0,00). Nudo 3: distribución: ΔM3=0,03 tm en (-0,02 tm) y (-0,01 tm), transmisión (-0,01 tm)y (0,00). Nudo 1: distribución: ΔM1=0,03 tm en (-0,02 tm) y (-0,01 tm), transmisión (-0,01 tm). Nudo 2: distribución: ΔM2=-0,02 tm en (0,01 tm) y (0,01 tm) y no transmitimos nada a los nudos adyacentes.

Hacemos notar que en cada iteración van apareciendo incrementos de momentos en los extremos de barras. En este instante todos los nudos están en equilibrio, podemos eliminar todas las chapas de fijación que la

estructura no se moverá. En el otro extremo de cada barra estará actuando el momento inicial más todos los incrementos que han aparecido en cada iteración. 3-6) - Momentos finales:


.35,0.67,4.17,3

.17,3.71,0.57,4

.28,5.12,2.12,2

253443

235232

122161

tmMtmMtmM

tmMtmMtmM

tmMtmMtmM

MMM kikiki

=−==

−===

−==−=∴

Δ+= ∑o

Donde se verifica que todos los nudos están en equilibrio. Con los momentos en los extremos de cada barra y las cargas podemos hacer los diagramas M, Q, N.

3-7) - Resumen: 1º) - Cálculo de las rigideces angulares α. 2º) - Cálculo de los coeficientes de distribución λ. 3°) - Transmisión β. 4º) - Cálculo de los momentos de empotramiento perfecto Mo. 5º) - Organización del esquema de distribución y realización de las iteraciones. 6º) - Cálculo de los momentos finales y elaboración de los diagramas de solicitaciones.

Aclaramos que no es necesario un orden cíclico en las iteraciones, pero en algunos casos suele ser conveniente. En general, conviene ir realizando iteraciones en los nudos con mayor desequilibrio para obtener mayor convergencia.


ESTRUCTURAS Tema V: MÉTODO DE CROSS 4) - ESTRUCTURAS DESPLAZABLES

En general ocurre que los nudos, además de tener libertad para rotar, pueden desplazarse en el espacio. En estos casos, el planteo realizado no es suficiente para hallar las solicitaciones.

Sea la estructura de la figura sobre la que

actúan las cargas (P, H1 y H2) y tratemos de resolverla.

4-1) - Estado de carga cero “0”, indesplazable: En primer lugar convertimos la estructura

en un sistema indesplazable introduciendo dos retenes o apoyos en los nudos 4 y 5.

La nueva estructura es indesplazable y

puede ser calculada basándose en el proceso iterativo visto anteriormente, mediante la sucesiva distribución de los momentos de desequilibrio que aparecen en los nudos.

Terminado este cálculo tendremos en la estructura un determinado diagrama de momentos flectores que denominamos Mo, a partir de los cuales podemos obtener los esfuerzos de corte y normales.

Recordemos que en esta estructura existen

todavía dos apoyos o retenes ideales, que la han convertido en indesplazable, que tendrán valores de reacciones Ho1 y Ho2, valores que podemos calcular mediante las ecuaciones de piso:

oooo

oo

56215423202

5432101

QQQQHH

QQHH

++−−−=

++−=

4-2) - Estado de carga uno “I”, desplazamiento del piso superior:

Estructuras Método de Cross: Estructuras Desplazables Pág. 8/20

Vamos ahora a dar un desplazamiento Δ1 al primer piso (superior), pero con las chapas que evitan la rotación de los nudos.

Aparecerán los momentos ′ ′ ′ ′M M M M32 23 45 54, , , que si el momento de inercia es cte, valdrán:

′ = + + −M MEJli k i k

i k

i ki k i k

o2

2 3( )ω ω ψ

donde: 0;0;0 === kikiM ωωo

M'3-2

2-3M'

M'4-5

M'5-4

H 11

H 12

Estado I

ψ

Δ1 Δ1

MOMENTOS EN LOS EXTREMOS DE UNA BARRA CON DESPLAZAMIENTO TRANSVERSAL Barra Empotrada-Empotrada


Además: ψ i k

i kl=−Δ 1

′ = ′ = =M MEJl l

EJli k k i

i k

i k i k

i k

i k

6 61 1

2

Δ Δ

En nuestro ejemplo:

′ = ′ =

′ = ′ =

M MEJl

M MEJl

2 3 3223

232 1

45 5445

452 1

6

6

Δ

Δ

∴′

′=

MM

JJ

ll

2 3

45

23

45

452

232

Barra Empotrada-Articulada

[ ]

[ ]

′ = − =−

′ = − = ⇒ = = −

′ = − +⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

MEJl l

MEJl l

MEJl l l

EJl

i ki k

i kk i k i k

i k

k ii k

i kk i k k i k

i k

i ki k

i k i k i k

i k

i k

22

22 3 0

32

32

2 32

33

1

1

1 12 1

ω ψ ψ

ω ψ ω ψ

Δ

Δ

Δ ΔΔ

Volviendo a la estructura, distribuimos los momentos de desequilibrio que han aparecido hasta que el sistema se equilibre en la posición desplazada.

Tendremos entonces un diagrama de momentos M1 con sus correspondientes esfuerzos de corte y normales y sus reacciones H11 y H12, valores que podemos calcular mediante las ecuaciones de piso:

H Q QH Q Q Q Q

11 32 45

12 23 45 21 56

= ′ + ′= − ′ − ′ + ′ + ′

4-3) - Estado de carga dos “II”, desplazamiento del piso inferior:

Damos ahora un nuevo desplazamiento, como el de la figura, al primer nivel (Inferior), apareciendo momentos de desequilibrio en las barras inferiores que pasamos a resolver por un nuevo proceso iterativo obteniendo un diagrama de momentos M2 y las reacciones H21 y H22 mediante el planteo de las ecuaciones de piso correspondientes. 4-4) - Ecuaciones de compatibilidad:

Como en el sistema original no existían retenes, la deformación de la estructura se obtendrá mediante la combinación lineal de los tres estados de deformaciones y solicitaciones, de manera tal que las reacciones sean nulas:

H k H k HH k H k H

01 1 11 2 21

02 1 12 2 22

00

+ + =+ + =

De estas ecuaciones es posible obtener las incógnitas k1 y k2 que son los factores por los que hay que

multiplicar los estados I y II de desplazamientos.

4-5) - Momentos finales:Se obtendrán por superposición de efectos, sumando los momentos de los tres estados de cargas

considerados anteriormente; sin olvidarnos de afectar por los coeficientes k1 y k2 a los valores de los estados I y II correspondientemente ya que los mismos representen el comportamiento real de la estructura.

Las solicitaciones finales serán entonces:

M M k M k Mi k i k i k i k= + +o

11

22


ESTRUCTURAS Tema V: MÉTODO DE CROSS 5) - ESTRUCTURAS SIMÉTRICAS

Existe una gran cantidad de estructuras cuya forma es simétrica, situación que permite hacer algunas simplificaciones en los cálculos. 5-1) - Cargas:

Además, cualquier estado de cargas puede ser transformado en la suma de un estado de cargas simétricas más otro asimétrico, mediante la aplicación del principio de superposición de efectos.

Veamos algunos ejemplos sencillos:

Carga general = Carga simétrica + Carga asimétrica.

El procedimiento no tiene reglas fijas, pero en general es sencillo descomponer un estado de cargas general en un estado simétrico más otro antisimétrico, bastando para ello respetar el siguiente análisis:

Llamando s a un sector de la estructura y s` a la parte simétrica; si sobre los sectores actúan las cargas:

Sector s P qSector s P q

→

′→ ′ ′

⎧⎨⎩

;;

El estado simétrico será:

Sector sq q P P

Sector sq q P P

→+ ′⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′ →+ ′⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2

2 2

;

;

El estado asimétrico será:

Sector sq q P P

Sector sq q P P

→− ′⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟

− ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

′ → −− ′⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ −

− ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2 2

2 2

;

;

La superposición de los dos estados nos dará:

Sector sq q q q

qP P P P

P q

Sector sq q q q

qP P P P

P q

→+ ′⎛

⎝⎜ P

P

⎞⎠⎟ +

− ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

+ ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

− ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ⇒

′→+ ′⎛

⎝⎜

⎞⎠⎟ −

− ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ′

− ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ −

− ′⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = ′ ⇒ ′ ′

2 2 2 2

2 2 2 2

;

;

Observamos que lo obtenido es el estado original de cargas. 5-2) - Elástica y Solicitaciones: Estructuras Método de Cross: Estructuras Simétricas Pág. 11/20

Veamos ahora que pasa con los diagramas de solicitaciones M, Q, N para estos casos de cargas y para las estructuras ya vistas:

ASIMETRICA

SIMETRICA

ASIMETRICA

ASIMETRICA

P/2

H/2

q/2

P/2

H/2

M

Q

N

ELASTICA

q/2P/2 P/2

H/2 H/2

SIMETRICA

SIMETRICA

ASIMETRICA

SIMETRICA

Estructuras Método de Cross: Estructuras Simétricas Pág. 12/20

En conclusión, en estructuras simétricas con cargas simétricas y cargas asimétricas se cumple que:

Carga Elástica Mf Q N Simétrica Simétrica Simétrica Asimétrica Simétrica

Asimétrica Asimétrica Asimétrica Simétrica Asimétrica

Basándose en esto se pueden hacer importantes simplificaciones en los procedimientos de cálculo, ya que por simetría puede eliminarse algunas incógnitas en función de otras iguales, o bien que tienen el mismo valor absoluto. Veamos esto en su aplicación al Método de Cross:

Estructuras Método de Cross: Estructuras Simétricas Pág. 13/20 5-3) - Estructuras simétricas con cargas simétricas:

5-3-1) El eje de simetría corta a un apoyo:

Dada la simetría, el nudo del eje no tendrá rotación. luego se está comportando como un empotramiento y puede ser resuelta la mitad de la estructura a la cual se la considera como empotrada en el apoyo de referencia.

Del otro lado del eje se dibujan los diagramas teniendo en cuenta las conclusiones anteriores.

5-3-2) El eje de simetría corta a una columna:

El nudo A no puede tener rotación ni desplazamiento, luego, se lo considera como empotrado y se resuelve la mitad de la estructura.

Se debe, sin embargo, tener en cuenta que en la columna actúa un esfuerzo normal que es el doble del esfuerzo de corte que actúa en el empotramiento.

5-3-3) El eje de simetría corta a una barra:

Si consideramos la barra AA`, como el momento flector es simétrico, podemos suponer que en un determinado instante sobre la barra actúan dos momentos como los indicados en la figura.

Consideramos que soltamos dos nudos a la vez y analicemos que ocurre con el coeficiente de rigidez angular de la barra, si EJ = cte.

[ ]M

EJl

si

MEJ

l

AA

AAAA

= + =

⇒ = =

′

′

22 1

2

ω ω ω ω

α

` `

`

= −1

Se deberá entonces resolver una estructura que sea la mitad de la estructura original. Con los momentos de

los nudos y las cargas podemos dibujar los diagramas y por condiciones de simetría extender a toda la estructura. 5-4) - Estructuras simétricas con cargas asimétricas:


5-4-1) El eje de simetría corta a un apoyo:

Por condición de carga, en el apoyo A es nulo el momento flector; por lo tanto podemos considerar que existe una articulación y calcular con esta condición la mitad de la viga solamente.

5-4-2) El eje de simetría corta a una columna:

Sobre el nudo A actúan dos momentos de desequilibrio MA.

Denominando αV y αC a los coeficientes de rigidez de viga y columna respectivamente, tendremos:

Δ

Δ

M M

M M

VV

V CA

V

VC

A

CC

V CA

C

VC

A

=−+

= −+

=−+

= −+

M

M

αα α

α

αα

αα α

α

αα

22

2

22 2 2

2

Podremos entonces resolver una

estructura que sea la mitad de la original, en la cual el coeficiente de rigidez de la columna que pasa por el eje de simetría tiene un momento de inercia que vale la mitad del original y por lo tanto su coeficiente de rigidez valdrá la mitad del original.


5-4-3) El eje de simetría corta a una barra: Por condición de simetría el punto A no puede

descender y además en ese punto el momento flector es nulo.

Bajo estas condiciones se puede considerar que

hay un apoyo con una articulación y se resuelve la mitad de la estructura solamente.

MEJ

lsi

MEJ

l

como l lEJ

l

BB B

B BBB B

BB BA BAB A

= = + ′ = ′ =

⇒ = =

= ⇒ =

′

′′

′

22 1

6

23

( )ω ω ω ω

α

α


ESTRUCTURAS Tema V: MÉTODO DE CROSS 6) - ESTRUCTURAS CON BARRAS DE MOMENTO DE INERCIA VARIABLE

Normalmente las variaciones de momentos de inercia que podemos encontrar en las estructuras son las siguientes: a) un acartelamiento:

b) dos acartelamientos:

Si el diseño estructural se realiza en forma conveniente, el empleo de cartelas conduce a un considerable

ahorro económico. Los elevados momentos de inercia de las secciones en las zonas acarteladas dan como resultado mayores momentos en los nudos y menores momentos en los tramos, en comparación con los correspondientes a una estructura formada por barras de momento de inercia constante. En consecuencia, las secciones en los tramos pueden elegirse menores, lo que a su vez influye de manera favorable sobre la carga debida al peso propio.

El presente estudio consistirá en enunciar las expresiones y determinar la mecánica de trabajo para la resolución de estructuras acarteladas, utilizando la nomenclatura correspondiente a las tablas del libro “Cálculos de Estructuras” de C. Prenzlow.

6-1) - Ecuaciones fundamentales: Al estudiar el método de las deformaciones habíamos encontrado que:

M M a b a bM M a b a b

12 12 12 1 2 12 12

21 21 21 2 1 21 12

= + + − +

= + + − +

o

o

ω ω ψ

ω ω ψ

( )( )

Siendo a12; a21 y b coeficientes que dependen del tipo y dimensiones de la cartela. Estos valores se obtienen

de tablas, donde aparecen los valores de a y b reducidos en 1/Ejc para una barra de longitud unitaria.

A estos valores los llamamos a y b, resultando:

lEJ

bl

EJa

l

EJa ccc baa === 21 2112

Reemplazando en las expresiones anteriores resulta:

( )[ ]( )[ ]

M MEJ

la b a b

M MEJ

la b a b

c

c

12 12 1 1 2 1 12

21 21 2 2 1 2 12

= + + − +

= + + − +

o

o

ω ω ψ

ω ω ψ

A fin de utilizar las tablas de Prenzlow vamos a

transformar estas ecuaciones en función de la nomenclatura y coeficientes dados por este libro:

aVl

iJJ

c

v= =

Con los valores de a e i vamos a las tablas de doble entrada y obtenemos los coeficientes k1, k2, m12, m21

los cuales presentan las siguientes relaciones con los vistos anteriormente:

a k a kba

m b

ba

m b

1 1 2 2

112 1 12

221 2 21

4 4

4

4

= =

= ⇒ =

= ⇒ =

k m

k m

Estructura Método de Cross: Estructuras Acarteladas Pág. 17/20

Las expresiones de los momentos en los extremos de las barras serán entonces:

( )[ ]( )[ ]

M MEJl

k k m k m

M MEJl

k k m k m

c

c

12 12 1 1 1 12 2 1 12 12

21 21 2 2 2 21 1 2 21 12

41

41

= + + − +

= + + − +

o

o

ω ω ψ

ω ω ψ

6-2) - Aplicación del método de Cross:

Como sabemos, para aplicar este método debemos conocer: a) - Momentos de empotramiento perfecto. b) - Rigideces angulares. c) - Coeficientes de transmisión. d) - Coeficientes de distribución.

6-2-1) Momentos de empotramiento perfecto:

De acuerdo con la barra, si tiene uno o dos acartelamientos, con los valores de a e i, tipos de apoyos, si la carga es distribuida o concentrada (en el caso de esta última en función de la posición de la misma) se entra en la tabla correspondiente y se obtienen los coeficientes que nos permitirán calcular los momentos de empotramiento perfecto. Para cargas uniformemente distribuidas:

M r qlM r ql

ik i

ki k

o

o

=

=

2

2

r: coeficiente de tabla. q: carga por metro lineal. l: longitud de la barra.

Para cargas concentradas:

Dos acartelamientos: M PM P

ik i

ki

Un acartelamiento: M PM P

ik i

ki

llk

o

o

=

=

η

η l

lk

o

o

=

=

ξ

ξ

ξ: coeficiente de tabla. P: carga concentrada. l: longitud de la barra.

η: coeficiente de tabla. P: carga concentrada. l: longitud de la barra.

6-2-2) Rigidez angular:

Recordando que se define como rigidez angular al momento necesario a aplicar en el extremo de una barra para que en el mismo se produzca una rotación unitaria. Barra Empotrada-Empotrada:

MEJl

k

cuando MEJl

k

ikc i k

i ki i

i ik i kc i k

i ki

= + + −

= ⇒ = =

04

0 0

14

( )ω

ω α

Barra Empotrada-Articulada:

MEJl

k K mikci k

i ki ik k= + + −0

400 0( )ω ω

siendo mik = 0 porque no puede transmitir momento el apoyo articulado:

MEJl

kik i kci k

i k= =α

40

6-2-3) Coeficiente de transmisión: Recordando que el coeficiente de transmisión es el valor del momento que se produce en el extremo de una

barra cuando en el otro extremo actúa un momento igual a la unidad: Barra Empotrada - Empotrada:


M MMMk i ik ik ik

ki

ik= ∴β β =

Para el caso que ωi = 1

βα

ω

ikki

ik

kicik

ikk ki i

M

MEJl

k m

=

= + + −04

0 0( )

Siendo:

k m k m

MEJl

k m

k ki i ik

kicik

iki ik

=

=4

( )

Reemplazando en la expresión de βik los valores de Mki y αik:

ikicik

ikiki

ik

cikik m

kEJl

mkl

EJ==

4)(

4β => ikik m=β


Como no es posible transmitir momentos al apoyo articulado resulta:

β ik ikm= = 0 6-2-4) Coeficiente de distribución:

Tal como se ha establecido para el caso de barras con momento de inercia constante, los coeficientes de distribución se calculan mediante la expresión:

γααikik

ik

= ∑ => Para todas las barras que concurren al mismo nudo.

6-3) - Momentos en los extremos de una barra con desplazamiento transversal: Barra Empotrada-Empotrada:

Cuando provocamos un desplazamiento Δ en los tramos o pisos desplazables:

MEJl

k k ml

MEJl

k k m

MEJl

k k m

MM

k mk m

ikcik

iki i ik

ik

ikcik

iki i ik

kicik

ikk k ki

ik

ki

i ik

k ki

= + + + +⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥

= +

= +

=++

04

0 0

4

4

11

2

2

( )

( )

( )

( )( )

Δ

Δ

Δ


M

EJl

k

M

ikcik

ik

ki

=

=

4

0

2 Δ


6-4) - Forma de considerar los acartelamientos en vigas y columnas:

Vigas:

Columnas:


Estructuras Método Plástico Pág. 1/14

ESTRUCTURAS

Tema VI: MÉTODO PLÁSTICO 1) - GENERALIDADES

Es bien conocido el hecho de que los materiales no cumplen perfectamente las ecuaciones lineales en que se

basa la teoría de la elasticidad, pero sin embargo ésta puede utilizarse con suficiente aproximación dentro de ciertos

rangos de carga.

Fuera de dichos límites, y particularmente para cargas cercanas a la rotura de la pieza, los estados de tensión

que solicitan los elementos obedecen a las leyes completamente distintas, las cuales entran dentro del dominio de la

teoría de la plasticidad y de la elasto-plasticidad.

Es así entonces, que para calcular la carga de rotura de un sistema estructural, y por lo tanto su estado de

solicitación en ese instante, el Ingeniero debe estar familiarizado con los elementos básicos de los métodos plásticos

de análisis.

Hacemos notar que es muy importante conocer la carga límite o de rotura para poder así el verdadero

coeficiente de seguridad.

El estudio de estos métodos es relativamente reciente, encontrándose aún en investigación el campo de

aplicación a estructuras de hormigón armado, mientras que varios reglamentos ya lo han adoptado como método de

cálculo de estructuras metálicas.

2) - HIPÓTESIS FUNDAMENTALES

Como ya hemos señalado supondremos que el material llega al campo plástico para un cierto rango de carga.

Si bien cada material tiene una relación tensión-deformación distinta en lo que sigue se trabajará con un

diagrama idealizado elasto-plástico.

En el mismo diagrama y en línea punteada se han dibujado los diagramas reales del hormigón y de aceros, sin

respetar la relación de escalas.

Resumiendo podemos decir que el material presenta en su diagrama una zona perfectamente elástica (A-B) y

una zona perfectamente plástica (B-C).

De más está decir que al no aplicarse la ley de Hooke, el principio de superposición no tiene validez, no

habiendo en general una relación lineal entre cargas y deformaciones.

El ensayo de una viga de dos tramos a la que se le va incrementando la carga, nos daría para la relación entre

flecha y carga, el diagrama de la figura.

Este diagrama se acerca bastante a

la realidad en el caso del acero St 37

(acero común), pero es aplicable con

menor exactitud a otros tipos de aceros y a

otros materiales como por ejemplo el

hormigón.


El hecho de que en ciertos puntos el material se

encuentra en estado de fluencia no implica que la

estructura entre en colapso, sino que se produce, debido a

ese efecto, una redistribución interna de las

solicitaciones.

Otra de las hipótesis a utilizar, que es posible

verificar experimentalmente en forma sencilla, es de que

aún en el campo plástico, las secciones que eran planas

antes de la deformación, siguen permaneciendo planas

después de la deformación.

Supongamos ahora un elemento sometido a esfuerzos de flexión pura, y analicemos que sucede con los

diagramas de tensiones y deformaciones a medida que aumenta el valor del momento:

Sea M1 < M2 < M3 < M4 < M5 y veamos qué sucede en la sección.

Del diagrama idealizado tensión-deformación se obtiene que para todas las fibras en que ε > εf la tensión es

σ > σf. Entonces al llegar la fibra extrema a εf con el momento M2 , la tensión es σ > σf. Para los momentos M3 , M4

, M5 , a partir de una determinada coordenada yi es ε > εf y por lo tanto en esas zonas (cercanas a los bordes) es σ >

σf , estando dentro del campo plástico. Es posible aprecias además, que a medida que M aumenta, existe una zona

plastificada cada vez mayor, a fin de poder seguir equilibrando interiormente el momento aplicado.

Podemos decir que, en límite (y en ese instante ya

la sección no será capaz de absorber nuevos incrementos

de momento) el diagrama de tensiones que resulte será

aquel que equilibrando los momentos exteriores,

plastifique la sección total, como indica la figura.

Este diagrama será el correspondiente al momento

plástico resistente.

Del proceso de carga se obtiene que el verdadero momento resistente es mayor que el tomado como límite en

el método elástico (M2 ) , que es aquel para el cual la primer fibra alcanza la tensión de fluencia.


2.1) - Momento plástico resistente:

Calcularemos el verdadero momento plástico resistente de una sección perteneciente a una pieza compuesta

por un material cuyo diagrama tensión-deformación es el ya visto anteriormente.

Consideremos que la pieza se

encuentra sometida a flexión. A una

distancia genérica “y” del eje neutro el

ancho de la sección es Cy . La Fuerza

que actúa en el elemento Cy . dy es :

dycd yff .. .

Como hemos supuesto que no

existe esfuerzo normal:

0

0

0

0

0

b

yfy

a

f

b

aa

b

dy.c.dy.c.dfdfdf

0

0 b

y

a

y dy.cdy.c

O sea: la sección sobre el eje neutro es igual a la sección por debajo del eje neutro, por lo tanto el eje neutro

divide a la sección en dos partes iguales.

Apliquemos ahora la condición de equilibrio de momentos:

0

0 b

yf

a

yfp dy.y.c.dy.y.c.M

b

y

a

yfp dy.y.cdy.y.cM

00

Denominando al paréntesis como Módulo resistente plástico (Wp):

pfp W.M

De aquí sale que:

f

pp

MW

En el caso de elasticidad teníamos:

f

ff

MW

Donde Mf es el momento que produce fluencia en las fibras extremas.

A la relación:

1f

p

f

p

W

W

M

Mk

Lo denominamos: Factor de Forma, pues depende de la forma de la sección.

Caso de la sección rectangular:

6

2h.cW f

2

0

20

2

222

/h

/hp

y.cdy.y.cW

4

2h.cWp

514

6,

W

Wk

f

p

fp M.,M 51

Vale decir que en este caso el momento límite de la sección en el régimen plástico es un 50% mayor que en

el régimen elástico.

Una forma rápida de obtener un momento resistente sin aplicar la fórmula es para este caso:


2

h.c.ZD f

42

2 c.h.h.DM

fp

4

2h.cMW

f

pp

Valor de “k” para algunas secciones usuales:

FORMA

DE LA

SECCIÓN

f

P

W

Wk 1,00 1,15 a 1,17 1,27 1,50 1,70 2,00

2.2) - Zonas de plastificación:

Consideremos la viga de la figura y supongamos que la carga P alcanza un valor tal que nos da el diagrama

de momentos flectores que se indica.

La zona A-B sufrirá un momento que cumple con:

Pf MMM

O sea que los diagramas de tensiones de las

secciones que están comprendidas en la misma, estarán

entre los diagramas extremos, el de plastificación total y el

de iniciación de la fluencia.

Conocemos el hecho de que la zona plastificada va

aumentando desde los bordes hacia el eje neutro a medida

que aumenta el momento, iniciándose la plastificación en

A y B (por ser en estos puntos M = Mf) y estando

totalmente plastificada en el punto C, mientras que en los

otros puntos la plastificación es intermedia, como se

indica en la figura.

Se considera que una vez alcanzado el Mp, la sección ha agotado su capacidad de absorción de cargas y se

produce la rotura estructural. Incrementando el valor del par sobre Mp continúan aumentando las deformaciones sin

que lo hagan las tensiones. Se producen giros relativos considerables de las secciones y se forma en la pieza

prismática un mecanismo cinemático que se conoce con el nombre de articulación plástica y que constituye uno de

los elementos fundamentales del cálculo plástico de estructuras.

La diferencia entre una articulación real y una articulación plástica es que mientras en la primera el momento

es nulo, la segunda absorbe un momento constante igual a Mp.

Per

fil

Idea

l


2.3) - Tensiones Iniciales:

En muchos casos, debido a diversas causas, los materiales están sometidos a un sistema de tensiones iniciales

que no dependen del estado de carga a aplicar en la estructura.

Si bien este estado inicial influye en las tensiones dentro del campo elástico, cuando llegamos a la carga de

rotura o carga limite, el diagrama final de rotura será independiente de las tensiones iniciales que existía antes de

iniciar la carga, ya que la influencia de estas desaparecen al fluir el material y producirse la redistribución plástica de

tensiones.

2.4) - Tensiones Residuales:

Sea la sección de la figura, solicitada a flexión y supongamos que el par flexor alcance un valor de M que es

un momento de plastificación parcial.

Admitamos para el material de la sección, un diagrama ideal y supongamos que, al alcanzar el par flexor el

valor M, el punto A sea el representativo de las deformaciones de las deformaciones de las fibras más alejadas del

eje neutro, es decir de los bordes de la sección. El diagrama de tensiones originadas por M es el que muestra la

figura (a).

Si alcanzando el punto A, descargamos la sección, el diagrama

representativo de la descarga será la recta AA` , de igual pendiente que la

correspondiente a la zona elástica 0A0 del período de carga. Ello significa que

en la sección la variación de las tensiones de descarga responde a una ley

lineal, figura(b).

En consecuencia, al efectuarse la descarga, se superponen las tensiones

y el diagrama resultante es el diagrama suma, el que aparece en la figura ( c ).

Nos encontramos ante el siguiente hecho: una vez descargada la

sección, ésta se encuentra solicitada por tensiones normales, denominadas

residuales que constituyen de por sí un sistema en equilibrio, pues cumple con

las condiciones de nulidad de proyección y de momento, sin que existan

solicitaciones exteriores (estado de coacción).

3) - EJEMPLOS DE APLICACIÓN

3.1) - Caso elemental de las tres barras sometidas a tracción:

Sean tres barras de igual sección (F) , sobre las cuales actúa una carga cuyo valor puede ser incrementado.

El punto A sufrirá un descenso l y por lo

tanto la barra central de longitud l sufrirá un

alargamiento l y las laterales de longitud 1l sufrirán

un alargamiento 1l .

sen

ll 1

sen.ll1

Las deformaciones específicas y tensiones serán: l

l

22

1

11 sen.sen.

l

l

l

l

.E

siendo 1

21 sen.

Por condición de equilibrio vertical:

sen.F..F.P 12 =>

)sen.(F.P 321


)sen.(F

P

321 =>

)sen..(F

sen.P

3

2

121

Si aumentamos la carga P en forma gradual llegará un instante en que la tensión alcanza el valor de

fluencia (carga máxima según el método elástico).

)sen.(F

Pff

321

ff

sen.)sen.(F

P

2

3121

La carga será:

)sen.(F.P ff 321

Dado que el siguiente es hiperestático, esto es que tiene barras superabundantes, la carga adicional después

de alcanzarse la tensión de fluencia en la barra más solicitada, se reparte en las barras laterales no existiendo en éstas

aún estado peligroso alguno.

Por equilibrio:

Psen..F.F.f 12

sen.F

F.P f

21

Siendo fPP

Si se eleva la carga aún más, recién puede alcanzarse después de un cierto aumento, que las dos barras

laterales entren en estado de fluencia; estando recién ahora en estado de rotura todo el sistema.

sen.F.

F.P fPf

21

La carga máxima es:

)sen.(F.P fP 21

La relación entre la verdadera carga máxima PP y la hallada por el método elástico es entonces:

)sen..(F.

)sen..(F.

P

Pk

f

f

f

P

321

21 1

21

213

sen.

sen.k

Algunos valores:

30° 45° 60°

k 1.60 1.41 1.19

Estos valores dan una idea dl mayor aprovechamiento del sistema en el criterio plástico respecto al elástico.

En el caso de = 45° es posible apreciar que existe una reserva plástica superior al 40%.

Trazado de las curvas carga-deformación y carga-tensión, para la estructura que estamos estudiando.


Carga-deformación:

Consideremos que a partir de 0 la carga va aumentando gradualmente.

Primeramente tendremos un comportamiento elástico en las tres barras y la relación entre carga y

deformación será una recta que pasa por el origen.

l

l y .E

E

l.l

Siendo: )sen..(F

P

321

De donde: )sen..(F.E

l.Pl

321

La ecuación de la recta (1) es de la forma: a.YX

Con el aumento de la carga, llegará un momento en que le barra central, más solicitada, alcanzará la tensión

de fluencia del material, mientras que las barras laterales seguirán comportándose elásticamente.

En tal caso, como todavía podemos aplicar la ley de Hooke, será:

E

l.l

f

Si la carga sigue aumentando, este incremento se repartirá en las barras laterales que siguen comportándose

elásticamente:

sen.E

l.

sen

ll 111

Siendo:

sen.F.

F.P f

21 y

sen

ll1

De donde:

22 22 sen.F..E

l.F.P.l

sen.F..E

l).F.P(l

ff

La ecuación de la recta (2) es de la forma: ca.YX

Al continuar aumentando la carga se alcanzará la fluencia en las tres barras:


2

11

sen.E

l.

sen.E

l.

sen

ll

ff

A partir de ese instante, las deformaciones proseguirán en aumento sin aumento alguno de la carga.

Carga-Tensión

Para carga menor que fP :

)sen..(F

P

321

2

3121

sen.)sen..(F

P 2

1 sen.

Para carga mayor que fP :la barra central deja de colaborar y el valor 1 aumenta con mayor velocidad.

sen.F.

F.P f

21

3.2) - Caso de una viga empotrada en sus dos extremos:

Sea la viga de la figura construida con un perfil, que resiste un momento máximo PM .

El diagrama de momentos, dentro del campo

elástico, será el indicado.

Sin embargo, al seguir aumentando la carga los

momentos aumentarán, hasta que en los empotramientos

se alcance el momento límite PM para la carga 1P .

12

1PM p

21

12

l

M.P

p

En el centro de la viga el momento será:

224

1 pMPM

A partir de ese momento los apoyos no pueden absorber nuevos incrementos de momentos y la viga

comienza a trabajar como si fuera simplemente apoyada con dos momentos PM en los extremos, los cuales se han

convertido en articulaciones plásticas.

Se llegará, al seguir incrementando la carga, al momento PM en el centro de la viga y allí estaremos en

presencia de la carga límite.

El p necesario será:

8224

221 l.pM

)l.P

M(M Pp

2

4

l

M.p P


la carga límite será:

Pp PP 1 => 222

16412

l

M.

l

M.

l

M.P Ppp

p

k.P

Pp 331

12

16

1

====== > Se puede aumentar un 33% él valor de la carga 1P

Otra Forma de hallar pP sería teniendo en cuanta el diagrama de rotura:

82

2l.PM

pp

216

l

M.P P

p

4) - TEOREMAS FUNDAMENTALES

Los métodos de cálculo consisten en encontrar diagramas de solicitaciones, que por medio de la formación de

un número suficiente de articulaciones plásticas, hagan que la estructura se convierta en un mecanismo (inestable).

Dicho diagrama debe cumplir con las condiciones de equilibrio y no sobrepasar en ningún punto el momento

plástico resistente de los elementos que componen la estructura.

A veces no es posible hallar la verdadera carga de rotura ( y por lo tanto el verdadero diagrama y mecanismo

de rotura) pero es posible aproximarse a valores que pueden tener interés en la practica.

Por ejemplo si se supone un mecanismo de rotura y su correspondiente diagrama de solicitaciones, aunque el

equilibrio se satisfaga puede ser que en algún se viole la condición plástica y sea PMM . Esto nos daría que la

capacidad de carga supuesta es mayor que la real.

Por otra parte una solución obtenida dibujando un diagrama de momentos que no viole la condición de

plasticidad ( PMM ) será correcta o por lo menos la carga obtenida será menor que la carga de rotura real.

O sea el primer método nos dará un límite o cota superior y el segundo método una cota inferior a la real.

Dos importantes teoremas, en este sentido, fueron demostrados por Greenberg y Prager. Cuando en un

problema se cumplen simultáneamente los dos, la solución es la correcta.

4.1) - Teorema del límite superior:

“Una carga calculada basándose en un mecanismo supuesto será mayor o al menos igual a la verdadera carga

límite”.

Consideremos la viga de la figura y supongamos

un mecanismo con articulaciones plásticas en A, B y C, y

su diagrama de momentos en el cual en los puntos de

articulación el momento es igual a PM . (Línea

punteada)

Como sabemos es este el diagrama real de rotura

y la carga P , es la verdadera carga límite.

Si hubiéramos supuesto articulaciones en A, B y

D, el diagrama de momento sería el dibujado en línea

continua y en el punto C sería PMM . La carga 1P

así calculada es mayor que la verdadera carga límite,

dándonos un límite superior.

Solamente cuando se elige el mecanismo correcto

la carga es la denominada: límite.

4.2) - Teorema del límite inferior:

“Una carga calculada en base a un diagrama supuesto de momentos en equilibrio, en el cual los momentos no

son mayores que PM , será menor o a la suma igual a la verdadera carga de rotura”


La carga 0P da un diagrama de momentos en

equilibrio, pero es menor que la verdadera carga límite

pues no agota la resistencia de la viga, ya que en el

centro del tramo no se ha alcanzado la plasticidad.

5) - MÉTODOS DE ANÁLISIS Y DISEÑO

Basados en los teoremas antes vistos, se han desarrollado varios métodos de análisis y diseño de los cuales

veremos los tres de mayor utilización.

5.1) - Análisis por el método estático:

Está basado en el teorema del límite inferior y su aplicación consiste, en general, en construir en la

estructura un diagrama de momentos plásticos después de haberla hecho isostática con la sustitución de un número

suficiente de momentos hiperestáticos por el momento plástico PM y una articulación plástica.

A veces no es posible ubicar correctamente las articulaciones plásticas, debiéndose proceder entonces por

tanteos.

Si en ningún punto de la estructura se viola la condición de plasticidad, o sea que PMM , estaremos en

presencia de una carga límite.

A fin de una mejor comprensión del método, se realizará un ejemplo sencillo.

Sea la viga de la figura, se suponen en principio momentos plásticos ( PM ) en A y B, poniendo

articulaciones en esos puntos.

Construyo el diagrama de momentos del elemento:

En A PM

En B PM

En D 0

Estudió el elemento en “B C” para obtener el momento en “C” :

BPD MMl

.P.l..R 3

33

2 => )l.PM(

l.R PD

2

3

El momento en A será:

34

3

23

2

3 lPlP)PlM(

l

lM PA

PA MM

Entonces, debido a esta última igualdad, podemos

escribir:

l.

MP P

11

15

Luego obtendremos:

l

MR P

D11

39

PPDC MMl

RM 11

13

3

Suponiendo ahora que las articulaciones se

forman en A y C, se puede comprobar que en el punto B

es:

PPB MMM 5

4

Obteniéndose que:

l

MPP P

P5

6


Otra forma de trabajo por este método (y refiriéndonos al mismo caso) es plantear las ecuaciones de

equilibrio:

lRPllRlPPl

M DDA 3

10

3

23

3

4

lRPl

M DB3

2

3

3

3

lRM DC

De la tercer ecuación: l

MR C

D

3

Reemplazando en las dos primeras:

a) CA MPlM 33

10

b) CB MPlM 2

Despejando en ambas ecuaciones ( Pl ) e igualando :

AC MMPl10

3

10

9 => BC MMPl 2 => BCAC MMMM 2

10

3

10

9 =>

c) CBA MMM3

11

3

10

Supongamos las articulaciones A y C, entonces: ACP MMM

Reemplazando en ( c ) :

BPP MMM3

10

3

11 => PPB MMM

5

4

Reemplazando ahora los valores de BM y CM en la ecuación (b), obtendré la carga crítica.

l

MP P

P5

6

5.2) - Análisis por el método del mecanismo:

Como ya hemos visto la estructura falla cuando por causa de las articulaciones plásticas, se forma un

mecanismo que la transforma en un sistema inestable.

A medida que aumenta el número de elementos y el número de cargas aumenta también el número de

posibles mecanismos de rotura (puede haber más de uno, pero por lo general solo uno es el verdadero mecanismo de

rotura), entre los cuales debemos encontrar el verdadero, ya que los demás me darán límites superiores.

Resumiendo, el objetivo es encontrar un mecanismo que en ningún punto viole la condición plástica.

El proceso a seguir es el siguiente:

1) Determínese los puntos de posibles articulaciones plásticas (puntos de carga, nudos, etc.).

2) Selecciónese los mecanismos posibles.

3) Hállese por el método de los trabajos virtuales la carga para cada mecanismo.

4) La mínima de todas las cargas halladas será la carga límite y verificará la condición de que PMM en todos

los puntos.

Observación: Si al calcular alguna de las cargas vemos que ésta no viola la condición plástica, no es necesario

seguir probando con otros mecanismos ya que sería la carga límite.

Veamos el ejemplo tratado en el tema anterior:


Supongamos articulaciones plásticas en A y C, y

sus correspondientes momentos plásticos.

Doy un desplazamiento virtual el mecanismo

formado y aplico el principio de los trabajos virtuales.

0iiii MP

0)(34 21 DAPAP MMPP

Será además:

3

1

lA

3

22

lA

AD 2

Reemplazando:

)(M)(lP APA 3123

4

Entonces la carga límite será:

l

MPP P

P5

6

Veamos ahora un caso más complicado donde es más difícil encontrar el verdadero mecanismo de rotura.

Análisis de una estructura aporticada por el método del mecanismo.

Antes de iniciar el análisis propiamente dicho se harán algunas consideraciones referentes a :

5.2.a) - Tipos de mecanismos:

Existen varios tipos de mecanismos simples denominados:

MECANISMO DE VIGA

MECANISMO DE PANEL

MECANISMO DE NUDO

Además existen mecanismos compuestos formados por la combinación de dos o más mecanismos simples.

5.2.b) - Número de mecanismos linealmente independientes:


Un mecanismo M se denomina “linealmente independiente” de los mecanismos nxxx ,......,, 21 si no es

posible construir el mecanismo M por medio de la combinación lineal de los ix .

Denominamos con PN el número de posibles articulaciones plásticas (nudos, lugar de aplicación de cargas

puntuales, puntos en discontinuidad de espesor, etc.) y XN al grado de hiperesteticidad del sistema, el número de

mecanismos linealmente independientes se obtiene mediante la expresión: XP NNN

5.2.c) - Geometría del movimiento del mecanismo:

En gran parte de los casos la forma del desplazamiento se halla por una simple inspección del mecanismo en

estudio, sin embargo cuando existen barras inclinadas, o en sistemas complicados suele convenir para el estudio de

los desplazamientos la utilización de los conceptos de centros instantáneos y rotativos de rotación.

Analicemos ahora un pórtico en el cual las columnas resisten PM y la viga resiste un momento PM2 , este

ejercicio esta propuesto en la guía de practica.

Será:

3XN

5PN

235N Número de mecanismos linealmente independientes.

I - Mecanismo de viga:

)(MMl

P PPI 222

22

PI MlP 62

lMP PI

13

II - Mecanismo de panel:

4PII MlP

lMP PII

14


III - Mecanismo compuesto (I + II):

Vemos que los momentos que actúan en el nudo B, giran en sentido contrario, por lo tanto se anulan en el

mecanismo compuesto.

Mecanismo I PPIII MMlP 6

Mecanismo II PPIII MMlP 4

Mecanismo III PPIII MMlP 2103

PIII MlP 83

l

MP P

III3

8

Ahora bien: IIIIII PPP

IIIP es la menor de las cargas halladas y verificará que es la carga límite, ya que no viola en ningún punto la

condición de plasticidad.

02 PED MlHM l

MH P

E 2

EPA HPH l

MH P

A3

2

0 PEEC MlHlVM

l

MV P

E

3

EPA VPV 2

l

MV P

A3

7

Cálculo del momento flector en B:

PPAB MMlHM3

1 ; PB MM ;

l

MP P

P3

8

El diagrama de momentos será:

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