Estructuras-Clasificacion

ConjuntosOperaciones con conjuntos

Relaciones y aplicacionesDidactica de la estructura de clasificacion

Estructuras Logico-Matematicas, 1aparte.La Estructura logica de Clasificacion

Profesorado de la asignatura

Asignatura: Didactica de la Matematica

3er Curso de Graduado/a en Educacion Infantil

Departamento de Didactica de la Matematica

21 de septiembre de 2015

Profesorado de la asignatura Estructuras Logico-Matematicas, 1aparte. La Estructura logica de Clasificacion



Contenidos

1 ConjuntosSubconjuntosDeterminacion de conjuntosDiagramas de Venn

2 Operaciones con conjuntosEjercicios

3 Relaciones y aplicacionesRelaciones

Relaciones de equivalenciaRelaciones de orden

AplicacionesAplicaciones inyectivasAplicaciones sobreyectivasAplicaciones biyectivas

4 Didactica de la estructura de clasificacion




Introduccion –3–

Para comunicarnos con los demas es de vital importancia la adquisicion deconceptos. Un concepto requiere para su formacion un cierto numero de experienciasque tengan algo en comun, y lo definiremos como una abstraccion producto de dichasexperiencias.

El proceso de abstraccion por el cual llegamos al concepto, consiste en la movilizacionmental de la estructura operatoria de clasificacion. Un concepto se adquierediscriminando propiedades que lo identifican. Propiedades que le son propias y ajenasa otros conceptos. En sıntesis conceptualizar es clasificar.

El objeto de la asignatura es el desarrollo del pensamiento matematico en losescolares de Educacion Infantil, por ello hemos de explicar como se considera laclasificacion en matematicas. Por el momento, diremos que la clasificacion es unarelacion definida entre los elementos de un conjunto o coleccion (Referencial oUniverso) determinando una particion del mismo en subconjuntos o subcoleccionesdisjuntas (Interseccion vacıa). A los subconjuntos que se obtienen se les denominanclases de equivalencia. En matematicas a las relaciones que determinan unaclasificacion o particion en clases disjuntas se las denomina relaciones de equivalencia.

Ası, con este proposito y para acercarnos a la consecucion de dicho objetivo, esnecesario estudiar, a su vez, las bases de la teorıa de conjuntos, sus operaciones,relaciones, correspondencias y representaciones. Este estudio, como veremos, esfundamental tambien para establecer las bases sobre las que se construyen las ideas denumero, operaciones aritmeticas, espacio–tiempo y geometrıa, medida, . . . , y, endefinitiva, toda la matematica.




SubconjuntosDeterminacion de conjuntosDiagramas de Venn

Concepto de conjunto –4–

La idea de conjunto nace de la consideracion de listas o colecciones deobjetos en general.

Definicion 1.1

Admitiremos que un conjunto esta formado por objetos materiales o abstractos,todos distintos, a los que llamaremos elementos o elementos pertenecientes alconjunto.

Ejemplos de conjuntos son los siguientes:

Ejemplo 1.1

El formado por todos las alumnas y alumnos de la clase, el de los numeros pares, el delos impares menores que 100, el formado por todos los zapatos de los alumnos de laclase, el de los numeros cardinales, el de los ninos y ninas menores de siete anos de laciudad de Malaga, el de las rosas negras, etc. . . .

Se acostumbra a nombrar los conjuntos con letras mayusculas: A, B, C,X, Y, U, V , . . . .





Concepto de conjunto. Pertenencia –5–Para indicar que un conjunto A esta formado por los elementos a, b, c, d,

. . . , se escribeA = {a,b, c,d, . . .}

Para expresar que un elemento x pertenece a un conjunto A se escribex ∈ A y se lee “x pertenece a A”. El signo ∈ se llama signo de pertenencia.

Si, por el contrario, el elemento x no pertenece al conjunto A se indicamediante el signo <, es decir, x < A.

A los conjuntos con un solo elemento se los llama unitarios. No hay queconfundir el elemento x con el conjunto unitario {x}, ya que el segundo es unconjunto y el primero no lo es. (Escribe tres ejemplos para distinguirlos).

Incluso se admite la existencia de un conjunto sin elementos, llamadoconjunto vacıo, que se representa con el signo ∅.Ejemplo 1.2

Son vacıos los siguientes conjuntos:1 El conjunto de las rosas negras como objetos materiales.2 El conjunto de los elefantes azules de carne y hueso que vuelan con sus orejas.3 El conjunto de la numeros pares estrıctamente comprendidos entre 2 y 4. Etc,

etc.Profesorado de la asignatura Estructuras Logico-Matematicas, 1aparte. La Estructura logica de Clasificacion




La inclusion I –6–

Definicion 1.2

Dados dos conjuntos A y B, diremos que A esta contenido o incluido en B, o quees una parte o subconjunto de B, si todos los elementos de A pertenecen tambien alconjunto B.

Para expresar que A esta contenido o incluido en B se escribe A ⊂ B y el signo⊂ sellama signo de inclusion. Si, por el contrario, A no esta contenido en B se escribeA 1 B.

Cuando un conjunto A esta contenido en otro B, se dice tambien que B contiene a A

y se expresa por B ⊃A. El signo⊃ se lee “contiene a”.

Ejemplo 1.3

1 El conjunto de las rosas rojas (A) esta incluido o es subconjunto del de todas lasrosas (B), por tanto, A ⊂ B.

2 El conjunto P = {2, 4, 6, 8, . . .} de los numeros pares esta incluido o essubconjunto del conjuntoN = {0, 1, 2, 3, . . .} de los numeros naturales, esdecir, P ⊂N.

3 Es claro que: P 1 A, B 1N,N 1 A yN 1 P.4 Tambien es claro que B ⊃ A yN ⊃ P.





La inclusion II –7–

La relacion de inclusion permite determinar cuando dos conjuntos son o noiguales.

Definicion 1.3

Dos conjuntos A y B son iguales (A = B) cuando a la vez se cumple que A ⊂ B yB ⊂ A, es decir, que dos conjuntos son iguales cuando tienen los mismoselementos.

Ejemplo 1.4

1 Los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {2, 3, 1} son iguales.2 Los elementos de un conjunto son todos distintos, esto es, un mismo elemento

no puede figurar mas de una vez en un conjunto o, lo que es lo mismo, en unconjunto no puede haber elementos repetidos. Ası pues, las cifras 1, 1, 2, 2, 3, 4,forman el conjunto A = {1, 2, 3, 4}.

3 El conjunto de las letras que forman la palabra patata es B = {p,a, t}, es decir,que si A = {p,a, t,a, t,a} entonces A = B.

4 Determina el conjunto de letras que forman la frase “didactica de la matematicaen educacion infantil”, prescinde de los acentos.





Determinacion de un conjunto I –8–

Hay dos modos o metodos para determinar o definir conjuntos:

Definicion 1.41 Por extension: consiste en enunciar todos sus elementos.2 Por comprension: consiste en enunciar una propiedad p que cumplen o

poseen todos sus elementos y solo ellos.

Ejemplo 1.5

Los siguientes conjuntos estan definidos por extension:1 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}.2 Al pasar lista a todos los alumnos/as de una clase, se define dicho conjunto por

extension.3 Cuando se lanza una moneda el conjunto A = {c,+} es el de los resultados

posibles.4 Al hacer una quiniela los resultados de los encuentros son elementos del

conjunto A = {1, x, 2}.





Determinacion de un conjunto II –9–

Si p es la propiedad que caracteriza a los elementos de un conjunto A, pararepresentar dicho conjunto se escribe A = {x | x : p}, que se lee “conjunto A

cuyos elementos cumplen la propiedad p ”.

Ejemplo 1.6

Los siguientes conjuntos estan definidos por comprension:1 A = {x | x ∈N y x es par} es el conjunto de los numero pares (positivos).2 El conjunto de los alumnos/as de la clase cuyo primer apellido comience por F.3 El conjunto de los elefantes azules de carne y hueso que vuelan con sus orejas.4 B = {x | x es un nino o una nina menor de siete anos de la ciudad de Malaga}.

Los conjuntos que tienen infinitos elementos solo pueden definirse porcomprension, pues es imposible nombrar o enumerar uno a uno todos suselementos.





Diagramas de Venn –10–

Se acostumbra a representar un conjunto mediante una porcion del planolimitada por una curva cerrada. Esta representacion grafica se llamadiagrama de Venn y ayuda a visualizar y comprender facilmente algunasrelaciones importantes entre conjuntos.

Figura 1.1 : Diagramas de Venn

El diagrama (a) representa dosconjuntos A y B que cumplen larelacion A ⊂ B.

El diagrama (b) representa dosconjuntos A y B sin elementoscomunes. Se dice que Ay B sondisjuntos.

El diagrama (c) representa dosconjuntos A y B que tienenelementos comunes (los de laparte coloreada) y otros que noson comunes.




Ejercicios

La union y la interseccion –11–Definicion 2.1

Se llama union de los conjuntos A y B alconjunto formado por todos los elementos quepertenecen a A o a B o a ambos.

Se representa por A∪B y se lee “A unionB ”. El signo ∪ se llama signo de la union.

Figura 2.2 : La parte coloreada representa launion de los conjuntos A y B.

Si B ⊂A evidentemente se tiene queA∪B = A.

Definicion 2.2

Se llama interseccion de los conjuntos A yB al conjunto formado por todos los elementosque pertenecen a ambos conjuntos.

Se representa por A∩B y se lee “Ainterseccion B ”. El signo ∩ se llama signode la interseccion.

Figura 2.3 : La parte coloreada representa lainterseccion de los conjuntos A y B.

Si B ⊂A se tiene que A∩B = B y si A yB son disjuntos es A∩B = ∅.




Ejercicios

El complementario I –12–

Sea U un conjunto al que llamaremos universo y sea A un subconjunto de U.

Definicion 2.3

Se llama complementario de A, con respecto al universo U, al conjunto formado por todoslos elementos de U que no pertenecen a A.

Figura 2.4 : La parte coloreada representa el complementario A de A respecto de U.

El complementario del conjunto A se representa por A y es tambien subconjunto deU. El paso al complementario es una operacion involutiva, es decir, que elcomplementario de A es el propio A: (A) = A.




Ejercicios

El complementario II –13–

Evidentemente, el complementario del universo U es el conjunto vacıo ∅. Por ello, elconjunto vacio se considera como subconjunto de cualquier conjunto y elcomplementario del conjunto vacıo respecto de U es el propio U.

Ejemplo 2.1

1 El complementario del conjunto de las rosas rojas (A), en el universo de todas las rosas(U), es el conjunto de todas las rosas que no son rojas (A).

2 Es importante entender que el complementario de un conjunto A depende del universo Uen el que se le considere. Ası, el complementario del conjunto de las rosas rojas, en eluniverso de todas las flores, no es el conjunto de todas las rosas que no son rojas sino el detodas las flores que no son rosas rojas; y en el universo de todas las plantas, es el conjuntode todas las plantas que no son rosas rojas. ¿Cual es el complementario de dicho conjuntoen el universo de todos los seres vivos?

3 El complementario del conjunto de los numeros pares (P), en el universo de los numerosnaturales (N), es el conjunto de los impares: P = I.

4 El complemantario del conjunto de las letras vocales (A) del alfabeto latino (U) es elconjunto de las consonantes (A).

5 Comprueba con los ejemplos anteriores que el paso al complementario, respecto de unniverso dado, es una operacion involutiva.




Ejercicios

Ejercicios I –14–

Ejercicio 2.1

Dados los conjuntos A = {1,a, 3,b}, B = {a,b, 3}, C = {x, 1,a,b}, formar lossiguientes conjuntos:A∪B; A∪C; B∪C; A∪B∪C; A∩B; A∩C; B∩C; A∩B∩C;A∪ (B∩C); (A∪B)∩C; (A∩B)∪ (B∩C); (A∪B)∩ (B∪C).

Ejercicio 2.2

Siendo A, B y C los tres conjuntos anteriores en el universo U = A∪B∪C, formar lossiguientes conjuntos:A; B; C; A∪B; A∪C; B∪C; A∩B; A∩C; B∩C; A∩B∩C;A∪ (B∩C); (A∪B)∩C; (A∩B)∪ (B∩C); (A∪B)∩ (B∪C).

Ejercicio 2.3

Partiendo de los resultados anteriores, comprueba si son o no ciertas las igualdades siguientes:

A∪B = A∩B.

A∩B = A∪B.




Ejercicios

Ejercicios II. Los BLOQUES LOGICOS de Dienes. –15–

Son 48 piezas solidas, generalmente de madera o plastico, y de facil manipulacion.Cada pieza se define por cuatro variables: color, forma, tamano y grosor. Con valores:

El color: rojo, azul y amarillo.

La forma: cuadrado, cırculo, triangulo y rectangulo.

Tamano: grande y pequeno.

Grosor: grueso y delgado.

Cada bloque se diferencia de los demas en una, dos, tres o en las cuatro caracterısticas.

Ejercicio 2.4

Define:

a) Por extension el conjunto de las piezas amarillas y triangulares.

b) Por comprension el conjunto de las piezas rojas y delgadas.

c) Por comprension el conjunto de las piezas azules o pequenas.

d) Por extension el conjunto de las piezas azules, pequenas y triangulares.




Ejercicios

Ejercicios III. Los BLOQUES LOGICOS de Dienes. –16–

Ejercicio 2.5

Construye los siguientes conjuntos:

a) La union de todas las piezas que sean rojas o grandes. ¿Cuantos elementos tiene este conjunto?

b) La union de todas las piezas que sean cuadradas o pequenas. ¿Cuantos cuadrados pertenecen a estaunion?

c) La union de todas las piezas que sean grandes o delgadas. ¿Cuantas piezas pequenas hay en esteconjunto?

d) Define y describe las intersecciones de los conjuntos citados en las actividades anteriores. ¿Cuantoselementos tiene cada uno?

Ejercicio 2.6

Construye los siguientes conjuntos:

a) En el universo de todas las piezas. ¿Cual es el complementario de las de color verde? ¿Y elde las de color amarillo?

b) En el universo de las piezas azules. ¿Cual es el complementario de las delgadas?

c) En el universo de todas las piezas. ¿Cual es el complementario de cırculos gruesos? ¿Y enel universo de las piezas rojas?

d) Cuantifica los conjuntos anteriores.




RelacionesAplicaciones

Relaciones I –17–

Definicion 3.1

Una relacion R en un conjunto A es una correspondencia entre sus elementos, definida poralguna afirmacion referida a parejas de elementos a,b del conjunto, sobre la que se puede decirde modo inequıvoco y para siempre si es verdadera o falsa. En el caso en que sea verdadera,diremos que los dos elementos estan relacionados y se escrira aRb.

Ejemplo 3.1

En el conjunto A de los alumnos/as de la asignatura, se hace la siguienteafirmacion: “dos alumnos/as estan relacionados cuando hayan nacido en elmismo mes”. ¿Es esta afirmacion una relacion en el conjunto A?En el mismo conjunto se hace la siguiente afirmacion: “dos alumnos/as estanrelacionados cuando haya luna llena”. ¿Es esta afirmacion una relacion en elconjunto A?Siguiendo en el mismo conjunto, la afirmacion: “dos alumnos/as estanrelacionados cuando hayan nacido en distinto ano”, ¿es una relacion?Aun en el mismo conjunto, la afirmacion: “dos alumnos/as estan relacionadoscuando llueve”, ¿Es una relacion?





Relaciones II –18–Entre las relaciones que pueden definirse en un conjunto hay dos tipos de especial

importancia: las relaciones de equivalencia, o clasificaciones, y las relaciones de ordenu ordenaciones.

Definicion 3.2

Una relacion R definida en un conjunto A es una relacion de equivalencia, cuando cumplalas propiedades siguientes:

Reflexiva: aRa, para todo elemento a ∈A.

Simetrica: si aRb tambien bRa, siendo a,b ∈A.

Transitiva: si aRb y bRc tambien aRc, siendo a,b,c ∈A.

Cuando una relacion es de equivalencia se la denota con el signo≡ en lugar de R.

Ejemplo 3.2

En el conjunto A de los alumnos/as de la asignatura, la relacion: “dosalumnos/as estan relacionados cuando hayan nacido en el mismo mes”, es unarelacion de equivalencia.En el mismo conjunto, la relacion: “dos alumnos/as estan relacionados cuandohayan nacido en distinto ano”, no es una relacion de equivalencia.





Relaciones III –19–Cuando en un conjunto A se define una relacion de equivalencia≡ se produce una

particion del conjunto en clases, llamadas clases de equivalencia. Es decir, que seproduce en el conjunto una clasificacion.

Definicion 3.3

Sea A un conjunto y≡ una relacion de equivalencia definida en el mismo. Al conjuntoformado por todas las clases de equivalencia se le llama conjunto cociente y se le denota porA/≡.

Ejemplo 3.3

Si en el conjunto A de los alumnos/as de un aula de infantil se define la relacion: “dosalumnos/as estan relacionados cuando tengan el mismo color de ojos”, es inmediato comprobarque es una relacion de equivalencia.Con ello, estarıamos clasificando a los sujetos por su color de ojos. Supongamos que seencuentran sujetos con ojos negros, castanos, azules y verdes, habrıa por tanto cuatro clases deequivalencia: n, c, a, v; cada una formada por los sujetos con el color de ojos correspondiente.El conjunto cociente estarıa formado por los distintos colores de ojos que se han encontrado:A/≡= {n,c,a,v}.

Pon diversos ejemplos de relaciones de equivalencia relacionadas con las clasificaciones quepuede realizar un alumno/a de la segunda etapa de Educacion Infantil y determina el conjuntocociente correspondiente.





Relaciones. Ejercicio sobre Los BLOQUES LOGICOS de Dienes. –20–

Ejercicio 3.1

En el conjunto de los bloques logicos, comprueba si son o no equivalencias las relaciones siguientes. En casoafirmativo define las clases de equivalencia y el conjunto cociente. Finalmente, cuantifica las clases y elconjunto cociente que se obtienen.

a) Dos piezas estan relacionadas cuando son rojas.

b) Dos piezas estan relacionadas cuando son del mismo color.

c) Dos piezas estan relacionadas cuando son de colores distintos.

d) Dos piezas estan relacionadas cuando tienen la misma forma.

e) Dos piezas estan relacionadas cuando tienen la misma forma y el mismo color.

f) Dos piezas estan relacionadas cuando son tienen el mismo tamano.

g) Dos piezas estan relacionadas cuando tienen la misma forma, el mismo tamano y el mismo color.

h) Escribe otras relaciones que den lugar a clasificaciones.

Todas las cuantificaciones anteriores, ¿a que aspecto del numero se refieren?

Las actividades anteriores no agotan todas las posibles con los bloques logicos.

Describe una nueva actividad .





Relaciones IV –21–Definicion 3.4

Una relacion R definida en un conjunto A es una relacion de orden, cuando cumpla laspropiedades:

Reflexiva: aRa, para todo elemento a ∈A.

Antisimetrica: si aRb y bRa, entonces a = b siendo a,b ∈A.

Transitiva: si aRb y bRc tambien aRc, siendo a,b,c ∈A.

Las relaciones de orden se denotan con el signo 6 en lugar de R. Cuando en unconjunto se ha definido una relacion de orden, al par (A,6) se le llama conjuntoordenado y se dice que en el conjunto se ha definido una ordenacion.

Definicion 3.5

Una relacion de orden 6 en un conjunto A es total cuando a 6 b o b 6 a, para todo para,b ∈A. En este caso diremos que el conjunto A esta totalmente ordenado por la relacion.

Diremos que un elemento a de un conjunto ordenado (A,6) es el primer elementode A si a 6 b para todo b ∈A y diremos que es el ultimo elemento si b 6 a

para todo b ∈A. Diremos que (A,6) es un conjunto bien ordenado cuandotodo subconjunto no vacıo de A, con la ordenacion inducida por 6, tenga primerelemento.





Relaciones V –22–

Ejemplo 3.4

En el conjunto A de los alumnos/as de un aula de infantil se define la relacion:“dos alumnos/as estan relacionados cuando uno de ellos tenga menor o igualaltura que el otro”, ¿es esta una relacion de orden?, ¿que tendrıa que sucederpara que lo fuera? En ese caso, ¿el orden serıa total?, ¿habrıa primer y ultimoelemento?, ¿serıa un buen orden?En conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, la relacion: “dos elementos estanrelacionados cuando su diferencia es un numero positivo”, no es una relacion deorden ya que no es reflexiva. La relacion es, sin embrargo, antisimetrica ytransitiva, estos ordenes no reflexivos se llaman ordenes estrictos.En el mismo conjunto anterior se modifica la relacion de la siguiente forma: “doselementos estan relacionados cuando su diferencia es un numero positivo onulo”. ¿Es esta una relacion de orden?, ¿el orden serıa total?, ¿habrıa primer yultimo elemento?, ¿serıa un buen orden?En el mismo conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, se define la relacion:“dos elementos estan relacionados cuando uno es un divisor del otro”.Comprueba que es un orden, que no es un orden total, que hay primer elementopero no ultimo elemento y que no es un buen orden.





Aplicaciones I –23–Definicion 3.6

Una aplicacion f de conjunto A en otro B es una correspondencia que asigna a cada elementoa ∈A un unico elemento b ∈ B, llamado imagen de a.

A las aplicaciones f de A en B se las denota mediante f: A −→ B, a la imagenb ∈ B de un elemento a ∈A por la aplicacion f se la denomina b = f(a) y se diceque b = f(a) es la imagen de a. Por tanto, una aplicacion de A en B es unacorrespondencia que asigna a cada elemento de A una imagen unica en B. A lasaplicaciones, de forma resumida, se las suele nombrar con las letras f, g, h, . . .

Ejemplo 3.5

La correspondencia que asigna a cada sujeto humano sus hermanos, no es una aplicacionya que hay sujetos sin hermanos (los hijos unicos) y los hay que tienen dos o mas.

En un supermercado, la correspondencia que asigna a cada artıculo a la venta su precio esuna aplicacion, ya que cada artıculo tiene un precio y solo uno (si alguno apareciera sinprecio o con mas de uno, en la caja o en algun departamento nos lo aclararıan).

La correspondencia que asigna a cada sujeto humano su altura es una aplicacion, ya quetodo sujeto tiene una altura y solo una.

La correspondencia que asigna a cada sujeto humano sus progenitores no es unaaplicacion, ya que cada sujeto tiene dos progenitores.





Aplicaciones II –24–

Definicion 3.7

Una aplicacion f: A −→ B se dice que es inyectiva cuando a elementos distintos x , y,x,y ∈A, asigna imagenes distintas f(x) , f(y), f(x), f(y) ∈ B. Es decir, cuando nohaya elementos distintos de A con la misma imagen en B.

Ejemplo 3.6

En el supermercado, la aplicacion que asigna a cada artıculo a la venta su precio no esinyectiva en general, ya que puede haber artıculos distintos con el mismo precio.

La aplicacion que asigna a cada sujeto humano su altura, ¿es inyectiva?.

La correspondencia, f: P −→N, que asigna a cada numero natural par el resultado dedividirlo por 2, es una aplicacion inyectiva, ya que todo numero par es divisible por 2 y nohay dos numeros pares distintos que divididos por 2 den el mismo resultado.

La correspondencia g:N −→N que asigna a cada numero natural su cuadrado es unaaplicacion inyectiva, ¿por que?

La inclusion A ⊂ B puede considerarse como una aplicacion inyectiva IA: A −→ B,sin mas que asignar como imagen a cada elemento x ∈A el propio IA(x) = x ∈ B,considerado ahora como elemento de B. A la aplicacion IA se la llama identidad en elsubconjunto A.





Aplicaciones III –25–Definicion 3.8

Una aplicacion f: A −→ B se dice que es epiyectiva o sobreyectiva cuando todo elementob ∈ B es imagen de algun elemento a ∈A, es decir, cuando ningun elemento de B se quedesin ser imagen de algun elemento de A.

A un elemento a ∈A del cual b = f(a) ∈ B es imagen, se le denomina antiimagende b y se indica por a = f−1(b). Una aplicacion f: A −→ B es, por tanto,sobreyectiva cuando todo elemento b ∈ B tiene al menos una antiimagen.Ejemplo 3.7

Los proyectores cinematograficos o de diapositivas ideales realizarıan aplicacionessobreyectivas de la cinta o pelıcula sobre su imagen en la pantalla de proyeccion.

La correspondencia que asigna a cada punto de objeto material su sombra, cuandoesta iluminado por el sol o por cualquier otra fuente luminosa, ¿es una aplicacionsobreyectiva?

La aplicacion, f: P −→N, que asigna a cada numero natural par el resultado de dividirlopor 2, es tambien sobreyectiva, ya que la antiimagen de cualquier numero natural n ∈Nse obtiene sin mas que multiplicarlo por 2, es decir, que f−1(n) = 2n ∈ P.

Cuando en un conjunto A se ha definido una relacion de equivalencia≡, la aplicacionf: A −→A/≡ que asigna a cada elemento de A su clase de equivalencia, es unaaplicacion sobreyectiva. Pon ejemplos.





Aplicaciones IV –26–Definicion 3.9

Una aplicacion f: A −→ B se dice que es biyectiva, o que es una correspondenciabiunıvoca entre ambos conjuntos, cuando sea a la vez inyectiva y sobreyectiva.

Ejemplo 3.8

Los proyectores cinematograficos o de diapositivas ideales, ¿realizarıan aplicaciones biyectivas de lacinta o pelıcula sobre su imagen en la pantalla de proyeccion?.

La correspondencia entre vehıculos y matrıculas deberıa ser biunıvoca. Al igual que la de sujetosadultos y numeros de identificacion fiscal. ¿Lo son de hecho?

Cualquier conjunto unitario puede ponerse en correspondencia biunıvoca con el primer numeronatural, cualquier conjunto de dos elementos con los dos primeros numeros naturales, etc. En elloconsiste el conteo. De hecho, “contar” los elementos de un conjunto consiste en establecer unacorrespondencia biunıvoca entre los elementos del conjunto y los n primeros o todos los numerosnaturalesa. Los conjuntos para los que esto es posible se llaman finitos, en el primer caso, o numerables(contables), en el segundo. Por supuesto que hay conjuntos no numerables (no contables).

La aplicacion, f: P −→N, que asigna a cada numero natural par el resultado de dividirlo por 2, esbiyectiva ya que, como se ha visto, es inyectiva y sobreyectiva. Por tanto, el conjunto P es numerable(contable): hay tantos numeros pares como numeros naturales. Con ello puede afirmarse que hemoscontado el conjunto de los numeros pares. ¿Puede contarse el de los numeros impares?, ¿como?

aEn el conteo ordinario no se suele considerar el cero como primer numero natural. Ello quiere decir que, en lasafirmaciones anteriores, cuando se habla de numero natural, se considera el conjuntoN∗ =N− {0} = {1, 2, 3, 4, 5, . . .} en lugar de propio conjuntoN = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}





Aplicaciones V –27–

Figura 3.5 : Representaciones

Los diagramas de Venn y lasflechas que a cada elemento de A

le asignan su imagen en B sonutiles para visualizar lascorrespondencias y los distintostipos de aplicaciones tratados.

El diagrama (a) representauna correspondencia que noes aplicacion. ¿Por que?

El diagrama (b) representauna aplicacion inyectiva.¿Por que?

El diagrama (c) representauna aplicacion sobreyectiva.¿Por que?

El diagrama (d) representauna aplicacion biyectiva.¿Por que?




Didactica de la estructura de clasificacion I –28–

Retomamos aquı la estructura de clasificacion y seguimos con el estudio de sudidactica.

En el nino pequeno las clases estan al nivel de las colecciones (concretas) ya quepuede discriminar si un elemento pertenece a la coleccion pero no ve la extension de larelacion a todo el referencial. No establece comparaciones entre las distintascolecciones (clases) que pueden obtenerse en una clasificacion. Por otra parte, comoveremos, resulta que cada numero natural es una clase determinada de cierto tipo. Deello se concluye que el nino pequeno no puede, o presentara dificultades para, asimilarel concepto de numero (cardinal), lo que determina un objetivo prioritario enEducacion Infantil desde la perspectiva cognitiva: el paso de las colecciones(concretas) a las clases logicas (conjuntos). Este objetivo consiste en consequir que losescolares de Educacion Infantil no permanezcan en el nivel de las colecciones.

Estamos diciendo, por ejemplo, que es preciso que dichos escolares desarrollen elconcepto abstracto “dos”, es decir, que cuando se les presenten conjuntos de doscaramelos, dos munecas, dos balones, . . . ; identifiquen que en todos ellos hay “dos” yno solamente dos caramelos, dos munecas, dos balones, . . . . Y, por tanto, que consigandesligar el concepto “dos” de los elementos concretos que forman el conjunto. Para elloes necesario el desarrollo de la estructura operatoria de clasificacion.




Didactica de la estructura de clasificacion II. Tipos importantes declasificaciones –29–

Por su importancia en el tema, destacamos los siguientes tipos:

Dicotomıa.

Tricotomıa.

Clasificacion jerarquizada.

La Dicotomıa tiene lugar cuando en el referencial queda establecida una particioncon solo dos clases o subconjuntos. Es de interes desde el punto de vista de laEducacion Infantil, hacer notar que en una dicotomıa una clase es complementaria dela otra (mediante la negacion) respecto del conjunto cociente (y el subconjunto de loselementos de una lo es del subconjunto de elementos de la otra respecto del referencialo universo de partida), ası como las simplificaciones seriales del tipo grande–pequeno,grueso–delgado, liso–rugoso, etc., de los atributos comparativos. Estas clasificacionesposibilitan los conceptos dicotomicos: par-impar; abierto-cerrado, etc.




Didactica de la estructura de clasificacion III. Tipos importantes declasificaciones –30–

La Tricotomıa tiene lugar cuando en el referencial queda establecida una particioncon tres clases o subconjuntos. Son importantes en Educacion Infantil lassimplificaciones seriales del tipo grande, mediano, pequeno, en los atributoscomparativos. Un ejemplo conceptual es la clasificacion de los animales segun suhabitat: aire, agua y tierra (volar. nadar, andar). Otro ejemplo se presenta cuandoconsideramos las partes de nuestro cuerpo: cabeza, tronco y extremidades, etc.

La Clasificacion jerarquizada tiene lugar cuando en el referencial obtenemosdistintas colecciones que a su vez las dividimos en subcolecciones de acuerdo adistintos criterios. Por ejemplo: un continente se organiza en paıses, que a su vez seorganizan en regiones, regiones que se organizan en provincias, etc. Obtenemos unajerarquıa de mas a menos o de mayor a menor. Otro ejemplo: de los alimentos podemospasar a las frutas y de las frutas a las manzanas.




Didactica de la estructura de clasificacion IV. Caracterısticas de lasclases –31–

Piaget sostiene que para reconocer una clase es necesario que en el individuo se produzca:Comprension del genero y de la diferencia especıfica de los elementos de una clase (paraclasificar es necesario saber establecer semejanzas y diferencias).Comprension de la relacion parte-todo (pertenencia a una clase e inclusion de una clase en eluniversal).Comprension y utilizacion correcta de los cuantificadores: todos, alguno, algun, uno, un,ninguno.

La clasificacion matematica da lugar a la formacion de clases las cuales cumplen una serie depropiedades entre ellas las siguientes:

En una clase no existen elementos aislados y no existen clases aisladas.La clase A contiene a todos los elementos de caracter “a”.La clase A solo tiene los elementos de caracter “a”.Dos clases del mismo rango son disjuntas.Toda clase tiene una complementaria.Toda clase A esta contenida en otra de rango superior.Las inclusiones de una clase en otra se producen por el orden del mınimo criterio declasificacion o criterio mas finoSe deben de emplear los mismos criterios para distinguir las clases del mismo rango.Si una clase A se divide en dos clases, una clase B de su mismo rango debe dividirse tambienen dos subclases simetricas entre las subdivisiones.Si una clase A se divide en dos clases, una clase B de su mismo rango debe dividirse tambienen dos subclases simetricas entre las subdivisiones.




Didactica de la estructura de clasificacion V. Representaciones graficas–32–

Las clasificaciones pueden representarse mediante:

Diagramas de Venn.

Diagramas de arbol.

Tablas de distintos tipos.

Figura 4.6 : Representaciones graficas.




Didactica de la estructura de clasificacion VI. Esquemas logicos einfralogicos en la pertenencia –33–

Un nino ante un diagrama de Venn puede distinguir si un elemento pertenece o nopertenece a una clase, pero ello no significa que el nino haya aplicado el concepto ocriterio que la define. Los diagramas de Venn son representaciones graficas y por tantoperceptivas, por ello, y ante un diagrama de este tipo, la decision de pertenencia o node un elemento a una coleccion se basa en una consideracion espacial perceptiva deestar en el interior de una lınea cerrada y no en un concepto.

Cuando el criterio que determina la pertenencia se basa en un aspecto espacialdiremos que hemos aplicado un esquema infralogico a diferencia de un esquemalogico que significa un concepto o relacion matematica. Cuando el nino clasifica losanimales por su habitat (tierra, mar, aire) esta aplicando un criterio infralogico.

Si interpretamos un grafico utilizamos una gran carga de esquemas infralogicos.Existen conceptos totalmente infralogicos como: lado de, borde de, vertice de, etc.,imposibles de separar de los objetos que los contienen. Estos conceptos tiene queestudiarlos al escolar, por lo que no debemos olvidar el papel elaborador que ejercenlos esquemas infralogicos en los aprendizajes que el nino consigue en la escuela.




Didactica de la estructura de clasificacion VII. Lenguaje logicosubyacente –34–

En la etapa 4–7 anos el nino debe conseguir un uso linguıstico y logico–matematico adecuados delos siguientes terminos y conceptos:

a) Partıculas logicas en los atributos que definen un conjunto: conjuncion, disyuncion ynegacion logicas (dame una figura que sea roja y grande). Las mismas partıculas comoconectivos logicos entre proposiciones (dame una figura roja y una figura grande). Interpretarla union e interseccion de conjuntos en situaciones concretas relacionandolos con losconectivos a nivel verbal. Conjunto complementario, con un uso verbal indistinto de lanegacion y la complementariedad de una clase o subconjunto en un conjunto referencial dado.

b) Cuantificacion logica de un conjunto, o clase, a diferencia de una cuantificacion numerica.Una cuantificacion logica supone un dominio de los cuantificadores logicos: todos, algunos,ninguno, uno.

c) Implicacion logica e inclusion de conjuntos: Cuando decimos que todo numero terminadoen cero se puede dividir por cinco, estamos utilizando la implicacion logica entre formasproposicionales (Si p(x) entonces q(x)): si x termina en cero entonces x es divisible por cinco.En definitiva, en el conjunto de los numeros naturales la caracterıstica “terminar en cero”implica la caracterıstica “ser divisible por cinco”. La implicacion recıproca no es verdadera, losnumeros que terminan en cero determinan el conjunto A = {0, 10, 20, 30, . . .} y los numerosque se pueden dividir entre cinco determinan el conjunto B = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, ..}, esclaro que el conjunto A es un subconjunto del conjunto B. Todos los A son B equivale a quela caracterıstica p(A), que define al conjunto A, implica la caracterıstica q(B),que define al conjunto B.




Didactica de la estructura de clasificacion VIII. Lenguaje logico ylenguaje ordinario –35–

Las expresiones del lenguaje logico habra que trabajarlas y utilizarlas de tal manera que lleguen a

ser familiares al nino en su forma correcta. En este sentido, Bertolini y Frabboni recomiendan una

adquisicion natural y espontanea de lenguaje, de un metodo y una mentalidad logica por parte de

los ninos. Esto, indican, puede hacerse a traves de tareas del tipo siguiente:

Reconocimiento de enunciados oportunos en contextos particularmente simples atribuyendoles un valor deverdad.

Hacer uso de conexiones elementales y habituales: Usar espontanea y correctamente las partıculas “y”, “o”,“no”.

Seleccionar objetos atendiendo a uno o mas atributos dados.

Introducir, al nino, en el uso de palabras que en idioma natural tienen la funcion de cuantificadores. Usocorrecto y espontaneo de los terminos: todos, ninguno, cualquiera, no todos, uno solo, etc.

Introducir, igualmente, en las ideas y el lenguaje base de la combinatoria y terminologıa probabilıstica: Ensituaciones particularmente simples, individualizar todos los posibles casos de combinaciones de objetos(cantidades de objetos mınimas). Usar de manera significativa y coherente las siguientes expresiones: quizas,es posible, es seguro, es imposible, es mas probable.

Hacerles valorar el lenguaje natural en sus componentes sintacticas y semanticas relacionados con laformacion y el reconocimiento de enunciados: A partir de sujetos y predicados componer frases que tengansentido.

Iniciar al nino en la capacidad de expresar actividades tıpicas en ambito matematico, como definiciones,reglas. En situaciones ludicas y de la vida practica, describir oralmente las reglas de un juego es un ejemplode actividad en este sentido.

Iniciarles, ası mismo, en la conciencia de las ideas de causalidad y de tiempo: Organizar secuencias oportunasen funcion del orden temporal. Individualizar un hecho o una situacion como causa de otra.




Didactica de la estructura de clasificacion IX. Aspectos intensivos yextensivos de las clases –36–

Al comparar dos colecciones podemos establecer cual de ellas tiene mayor numero de elementoso si coinciden. En tal caso hemos establecido una relacion cuantitativa entre ambas. Si disponemosde dos colecciones no necesariamente tenemos que contar para determinar en cual de ellas hay maselementos. Por ejemplo sabemos que en dos coches hay mas ruedas que en uno, o que en Europahay mas habitantes que en Espana.

Entendiendo por relacion cuantitativa la igualdad o desigualdad respecto a la extension:

Llamaremos intensivas a las relaciones cuantitativas que comprenden exclusivamente ladesigualdad de la parte respecto del todo, o la identidad, sin consideracion de las relacionescuantitativas entre una parte y las demas partes disjuntas pertenecientes al mismo todo, oentre las partes de un todo y las correspondientes a otra totalidad.

Llamaremos extensivas las relaciones cuantitativas entre clases disjuntas, especialmente lasrelaciones entre una parte y las demas partes de un mismo todo, o entre, una parte y otraspartes cualesquiera pertenecientes a otras totalidades.

Por tanto, al comparar las clases obtenidas en una clasificacion, podemos distinguir unacomparacion intensiva y otra extensiva. Las comparaciones intensivas se basan en la logica declases (inclusion, interseccion y union de conjuntos), mientras que la extensivas corresponden a losinicios psicologicos del numero y la aritmetica. Cuando el nino establece relaciones cuantitativasextensivas se ve en la necesidad de usar el recuento, la cantidad y/o el numero. Previoal uso del numero, puede establecer la relacion cuantitativa extensiva mediante

aplicaciones (inyectivas o biyectivas) tal y como se ha visto.




Didactica de la estructura de clasificacion X. Aspectos intensivos yextensivos de las clases –37–

Ejemplo 4.1

A cada nino de un grupo, se le presento una fila de 10 flores: 7 margaritas y 3 rosas.

Se le formulaban dos preguntas:

Pregunta 1: ¿Que hay mas: Margaritas o rosas?Pregunta 2: ¿Que hay mas: Margaritas o flores?

Esta experiencia se ha repetido con bolas de madera: 7 marrones y 3 blancas.

Pregunta 1: ¿Que hay mas: bolas marrones o bolas blancas?Pregunta 2: ¿Que hay mas: bolas marrones o bolas de madera?

Ante las respuestas obtenidas, Piaget, observo que en los ninos pequenos dominabanlas comparaciones extensivas de las clases respecto de las comparaciones intensivas.




Didactica de la estructura de clasificacion XI. Fases de desarrollo –38–

Piaget, centra la atencion de sus estudios en dos tipos de clasificaciones, las que seperciben por el sentido de la vista y que llama visuales y las que se perciben por eltacto (sin necesidad de la vista) las denomina tactiles.

Tanto para las unas como para las otras distingue tres estadios desde el punto de vistaevolutivo, si bien en lo que se refiere a las clasificaciones de forma tactil se reserva unretraso de un ano respecto a las visuales.

Las clasificaciones tactiles son las que se obtienen mediante el tacto, en ausencia delsentido de la vista. La utilidad de realizar clasificaciones por el tacto con los ninosreside principalmente en el hecho de prescindir de las sensaciones que percibe por lavista, lo que obliga al nino a centrarse en otro tipo de sensaciones y buscar lageneralizacion entre estas.

A continuacion se enumeran los distintos estadios y la edad aproximada de losmismos, para las clasificaciones visuales.




Didactica de la estructura de clasificacion XII. Fases de desarrollo –39–

Primer estadio, de 0 a 4 anos y medio, se caracteriza porque el nino realizacolecciones figurales.Segundo estadio, desde los 4 anos y medio hasta los 6 anos esta caracterizado porlas colecciones no figurales, que realiza atendiendo solamente a unacaracterıstica de los objetos.Tercer estadio, de los 6 a los 7 anos, el nino elabora clases jerarquicas, lo quesupone el reconocimiento de mas de una caracterısticas de los objetos.

La coleccion figural, segun Piaget e Inhelder, constituye una figura en virtud de losenlaces entre sus elementos, como tales elementos. Ası dispone los elementos segunconfiguraciones espaciales que para el nino tienen un significado, por ejemplo colocarunas figuras dadas formando una estrella, o colocar un cuadrado y encima untriangulo por que lo considera una casa.

Realizan colecciones no figurales, cuando hacen pequenas agrupaciones fundadas enla semejanza, aparecen yuxtapuestas y a veces no son exhaustivas. Son del siguientetipo:

Pequenas colecciones yuxtapuestas sin criterio unico y dejando restosheterogeneos.Sin dejar restos o residuos.Con criterio unico, ejemplo: el color.Agregando diferencias interiores.




Didactica de la estructura de clasificacion XIII. Capacidades adesarrollar en los ninos y ninas –40–

Segun Piaget, en relacion con las estructuras de clasificacion, los ninos y ninas han dedesarrollar las capacidades siguientes:

Reconocimiento de semejanzas y diferencias entre objetos.

Emparejar objetos identicos y formar pequenos grupos de objetos similares(colecciones).

Escoger criterios para hacer grupos. Enumerar criterios por los que se hizo elagrupamiento.

Seleccionar criterios apropiados para la clasificacion.

Clasificar coherentemente segun un criterio.

Desplazar criterios en la formacion de nuevos grupos: una vez efectuada unaclasificacion inicial, considerar la posibilidad de nuevos criterios que produzcanotras clasificaciones sobre el mismo material.

Construir sistemas jerarquicos de clasificacion y comprender las relaciones entrelos niveles.




Didactica de la estructura de clasificacion XIV. Materiales, recursos yactividades –41–

Todo tipo de material puede servir para trabajar la logica con los ninospequenos.

Material no-estructurado, especialmente aquel que este mas cercano a los ninos.Puede utilizarse en actividades de reconocimiento de caracterısticas, ası en unobjeto cotidiano decir lo que es y lo que no es. Por ejemplo: de un platano sepuede decir que es alargado, es amarillo, es comestible... No es tan largo como mibrazo, no es rojo...

Material estructurado, es el que ha sido ideado para ser utilizarse en elaprendizaje de los conceptos y relaciones logicas que lleva implıcitos. El ejemplomas caracterıstico es el de los bloques logicos de Dienes. A semejanza de losbloques logicos, han aparecido en el mercado otros materiales para trabajar lalogica mediante las variables que presentan las distintas caracterısticas queposeen sus elementos.

Un tipo de actividad que favorece el desarrollo de logica en el nino es la pregunta (eldialogo) tanto del profesor dirigida al alumno como las preguntas formuladas por lospropios alumnos.

La pregunta es un proyecto de accion o de operacion, que contiene unesquema anticipador que centra la atencion en una operacion concreta comose muestra en el cuadro siguiente:




Didactica de la estructura de clasificacion XV. Materiales, recursos yactividades –42–

Tipo de pregunta Accion a la que obliga

¿Que es? Clasificar (objetos o situacion)¿Como es? Describir¿Es mas o menos? Comparar (evidenciar semejanzas,

diferencias)¿Cuanto? Contar¿Donde? Ordenar en el espacio¿Cuando? Ordenar en el tiempo¿Por que? Explicar una situacion¿Para que? Evaluar (fines, medios)

Piaget considera que los ninos han de inventar su propio sistema de pensamientologico. Podemos facilitar que el nino construya su sistema logico observando que tipode sistema utiliza, planteando preguntas que provoquen el establecimiento derelaciones y proporcionen abundantes experiencias fısicas que reflejen la forma en queopera el mundo real.




Didactica de la estructura de clasificacion XVI. Materiales, recursos yactividades –43–

Otras actividades (Tavernier, 1984) indicando los fines que se pretenden conseguir son lassiguientes:

Fines. Distinguir propiedades: Observar los objetos (percibidos con todos los sentidos) parareconocer sus diferencias y semejanzas.

Actividades: Se distinguen actividades realizadas con los distintos sentidos.

Vista. Con materiales que pueden ser cartas, fotos, tarjetas postales, . . . .Juegos de emparajamientos, poner juntas dos imagenes que secomplementan.Reunir cartas identicas.Buscar diferencias entre dos imagenes (progresivamente, una, dos, tres, . . . ).Encontrar gemelos en una serie.Descubrir el intruso.Encontrar lo que se ha quitado o anadido, lo que se ha cambiado de lugaretc, en una coleccion de objetos dispuesta previamente.Reproducir una configuracion de objetos colocada previamente y luegoocultos.

TactoReconocer por el tacto los objetos que hay en una bolsa.Poner juntas las cosas que van juntas con los ojos vendados.

Olfato, Gusto, Oıdo.Con los ojos vendados reconocer objetos o sustancias por el olfato o el gusto, y distintossonidos.




Didactica de la estructura de clasificacion XVII. Materiales, recursos yactividades –44–

Fines. Seleccionar objetos: Sea reuniendolos, sea separandolos, en funcion de suspropiedades, forma, color, longitud, espesor, materia, peso, sabor, olor....

Los objetos a utilizar pueden ser variados.Fichas de distintos colores;

objetos de madera;

bloques logicos;

juegos de cartas;

cartas de animales;

elementos naturales;

objetos usuales de la clase;

material de educacion fısica;

los propios ninos y ninas;

ropa. . . .




Didactica de la estructura de clasificacion XVIII. Materiales, recursos yactividades –45–

Fines. Comparar diversas agrupaciones entre sı: Hacer aparecer en los agrupamientosefectuados la propiedad comun y darles el valor del criterio de clasificacion.

Actividades. Buscar:Lo que se pone en la maleta, en la caja de costura, en el cofre de los disfraces. . . .

Lo que va con: arboles y frutas, madres e hijos. . . .

Lo que se parece a: la ropa, la cartera. . . .

Lo que sirve para limpiar. . . .

Lo que pertenece a. . . . Explicar por que.

Fines: Clasificar elementos de acuerdo con un criterio dado.

Actividades. Disponer:Por color.

Por forma.Representar la situacion:

Por un cuadro de doble entrada.

Por un diagrama.




Didactica de la estructura de clasificacion XIX. Referenciasbibliograficas –46–

CASTRO, E., DEL OLMO, M. A., y CASTRO, E. (2002) Desarrollo del PensamientoMatematico infantil. Departamento de Didactica de la Matematica. Universidad deGranada. I.S.B.N. : 84-932510-3-8

INHELDER B. y PIAGET J. (1985). De la Logica del nino a la Logica del adolescente. Paidos.Barcelona.

M.E.C. (1987). Informe Piagetiano. Proyecto 0-6. Madrid.

PIAGET J. e INHELDER B. (1975). Genesis de las Estructuras Logicas Elementales.Clasificaciones y Seriaciones. Guadalupe, Buenos Aires.

TAVERNIER, R. (1984) La escuela antes de los 5 anos. Martınez Roca. Barcelona.


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