26-06-2003 Junio - (1er Parcial) Lógica

SOLUCIONES

1.- En la construcción de un coche de fórmula 1 se ha instalado un sistema que permite detectar el estado

de los neumáticos. El sistema incluye 4 sensores (A,B,C y D) en cada uno de los neumáticos según la

figura. Los sensores se activan si detectan algún problema en un neumático. El conductor disponde de

dos dispositivos luminosos L1 y L2 que se activan según las siguientes condiciones:

- L1 se activa si las 2 ruedas delanteras tienen problemas o si las dos ruedas traseras tienen problemas o

si las 2 ruedas delantera y trasera del mismo lado tienen problemas. En los demás casos no se

activa.

- L2 se activa si una rueda delantera de un lado tiene problemas y la trasera del lado opuesto tiene

problemas. Está apagado cuando ninguna de las ruedas tiene problemas. En los demás casos,

la activación depende de causas externas y no está especificada.

Se pide diseñar el circuito correspondiente a L1 y L2 en forma de producto de sumas.

A B

C D

A B C D L1 L2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 X 0 0 1 0 0 X 0 0 1 1 1 X 0 1 0 0 0 X 0 1 0 1 1 X 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 X 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 X 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 X 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1

Las tablas de verdad serían:

Resultado L2 (producto de sumas):

L2 =

++++

cabadbdc

Simplificar L1 en producto de sumas:

0 0

0 0 0

0 0 Resultado L1 (producto de sumas):

L1 = (a + d)(b+d)

Simplificar L2 en producto de sumas:

X X

X

X X X

X X

0

26-06-2003 Junio - (1er Parcial) Lógica

2.-Demostrar los siguientes razonamientos mediante deducción natural (dibujar las cajas que sean necesarias) { p ∨ q → r, s → ¬r} ⇒ p → ¬s

1.- p∨ q → r Premisa 2.- s → ¬r Premisa 3.- p Supuesto 4.- p∨q ∨I3 5.- r →E1,4 6.- s Supuesto 7.- ¬r →E2,7 8.- r ∧ ¬r ∧I5,7 9.- ¬s ¬I6-8 10.- p → ¬s →I3-9

{ p → (q ∨ r), ¬(¬q → r) } ⇒ p → s 1.- p → q ∨ r Premisa 2.- ¬(¬q→r) Premisa 3.- p Supuesto 4.- q ∨ r →E1,3 5.- ¬q Supuesto 6.- q Supuesto 7.- q ∧ ¬q ∧I5,6 8.- F FI7 9.- r FE8 10.- q → r →I6-9 11.- r Supuesto 12.- r→r →I11 13.- r ∨E4,10,12 14.- ¬q → r →I5-13 15.- ¬q → r ∧ ¬(¬q→r) ∧I14,2 16.- F FI15 17.- s FE16 18.- p → s →I3-17

3.-Formalizar e indicar si son correctos por método de resolución los razonamientos (asignar las letras p,q,r... por orden de aparición). “Llueve sólo cuando hace frío. Además, es suficiente que haya nubes y viento para que llueva. Por tanto hace frío cuando hay nubes o viento.”

Premisa1: p → q

Premisa2: (r ∧ s) → p

Conclusión: (r ∨ s) → q

Cláusulas a utilizar en resolución: { ¬p ∨ q, ¬r ∨ ¬s ∨ p, r ∨ s, ¬q }

¿Se alcanza la cláusula vacía? (SI/NO) NO ¿Es correcto? (SI/NO) NO

“Es responsable siempre que le dan oportunidades. Basta que le den oportunidades para que desaparezca. Por tanto, no es responsable a menos que desaparezca”

Premisa1: q → p

Premisa2: q → r

Conclusión: p → r

Cláusulas a utilizar en resolución: { ¬q ∨ p, ¬q ∨ r, p, ¬r }

¿Se alcanza la cláusula vacía? (SI/NO) NO ¿Es correcto? (SI/NO) NO

Puntuación

Pregunta 1 2 3 Puntos 4 3 3

26-06-2003 Junio - (2º Parcial) Lógica

NOMBRE: DNI: APELLIDOS:

1.-Demostrar que los siguientes razonamientos son correctos mediante deducción natural (deben dibujarse las cajas que sean necesarias) { ∀x(P(x)→¬∃yQ(x,y)), ∃xQ(x,x) } ⇒ ∃x¬P(x)

1.- ∀x(P(x)→∃yQ(x,y)) Premisa 2.- ∃xQ(x,x) Premisa 3.- (a) Q(a,a) Supuesto 4.- P(a) → ¬∃yQ(a,y) ∀E1 5.- P(a) Supuesto 6.- ¬∃yQ(a,y) →E4,5 7.- ∃yQ(a,y) ∃I3 8.- ∃yQ(a,y) ∧ ¬∃yQ(a,y) ∧I6,7 9.- ¬P(a) ¬I5-8 10.- ∃x¬P(x) ∃I9 11.- ∃x¬P(x) ∃E2,3-10

{ ¬∀xP(x) } ⇒ ∃x(¬P(x)∨Q(x)) 1.- ¬∀xP(x) Premisa 2.- ¬∃x(¬P(x)∨Q(x)) Supuesto 3.- (a) libre 4.- ¬P(a) Supuesto 5.- ¬P(a)∨Q(a) ∨I4 6.- ∃x(¬P(x)∨Q(x)) ∃I5 7.- ∃x(¬P(x)∨Q(x))∧¬∃x(¬P(x)∨Q(x)) ∧I2,6 8.- P(a) ¬E4-7 9.- ∀xP(x) ∀I3-8 10.-∀xP(x)∧¬∀xP(x) ∧I1,9 11.- ∃x(¬P(x)∨Q(x)) ¬E2-10

5.-Demostrar si son o no correctos los siguientes razonamientos mediante resolución.

{ ∀x((P(x)∨Q(x)) → ∃yR(x,y) ), ∃xP(x), ∃xQ(x) } ⇒ ∃x R(x,x) Cláusulas a utilizar { ¬P(x)∨R(x,f(x)),¬Q(x)∨R(x,f(x)),P(a),Q(b),¬R(x,x) }

{ ∃y∀x P(y,x,x), ∀x∀y∀z (P(x,y,z) → P(f(x), y, f(z))) } ⇒ P(f(f(a)), b, f(f(b)))

Cláusulas a utilizar { P(a,x,x), ¬P(x,y,z)∨P(f(x),y,f(z)), ¬P(f(f(a)),b,f(f(b))) }

Pasos de resolución <<No se alzanca la cláusula vacía>> ¿Se alcanza la cláusula vacía? (SI/NO NO ¿Es correcto? (SI/NO) NO

Pasos de resolución 1. P(a,x,x) 2. ¬P(x,y,z)∨P(f(x),y,f(z)) 3. ¬P(f(f(a)),b,f(f(b))) 4. ¬P(f(a),b,f(b)) R(2,3) { x/f(a), y/b, z/f(b) } 5. ¬P(a,b,b) R(2,4) { x/a, y/b, z/b } 6. o R(1,5) { x/a } ¿Se alcanza la cláusula vacía? (SI/NO) SI ¿Es correcto? (SI/NO) SI

26-06-2003 Junio - (2º Parcial) Lógica

2.-Formalizar las siguientes frases utilizando: N(x)="x es un neumático ", A(x)="x está alineado ", G(x,y) = "x gana y", P(x)=”x es un premio” f="Fernando ".

a.- Para que todos los neumáticos estén alineados es necesario que Fernando gane algún premio

∃x(P(x)∧G(f,x)) → ∀x(N(x)→A(x))

b.- Fernando no gana ningún premio a menos que algún neumático esté alineado

∃x(P(x)∧G(f,x)) → ∃x(N(x)∧A(x))

c.- Fernando gana todos los premios que no están alineados

∀x(P(x)∧¬A(x) → G(f,x))

d.- Sólo están alineados los neumáticos pero Fernando gana algún premio

∀x(A(x)→N(x))∧ ∃x(P(x)∧G(f,x))

3.-Definir los siguientes predicados en Prolog: a.- corta(C,L,M):-M es una lista que contiene todos los elementos de la lista L que son mayores que C Ejemplo: ?- corta(4,[2,5,3,7,8,1],V).

V=[5,7,8] corta(X,[Y|L],M):-Y < X, corta(X,L,M). corta(X,[Y|L],[Y|M]):-Y>=X, corta(X,L,M). corta(X,[],[]).

b.- genera(M,N,L):-L es una lista de la forma [M,M+1,M+2,...N] Ejemplo: ?- genera([2,6,V). V=[2,3,4,5,6] genera(M,M,[]). genera(M,N,[M|L]):-M<N, M1 is M+1, genera(M1,N,L).

c.- listas(L,M):-M es una lista de listas formada a partir de L, donde cada elemento de M se forma como la lista [1,2,...X] donde X es el elemento de la lista L de la misma posición. Ejemplo: ?- listas([3,2,5],V). V=[[1,2,3],[1,2],[1,2,3,4,5]] listas([],[]). listas([X|L],[M|N]):-genera(1,X,M),listas(L,N).