FACULTAD DE INGENIERÍA MARÍTIMA Y CIENCIAS DEL MAR

Estructuras navales 1

CAPITULO 2, Primera parte

Conceptos elementales del análisis estructural

PROFESOR: ING.Raul Coello

REALIZADO POR: JUAN CARLOS PINTO LOOR

25 DE OCTUBRE del 2011

Conceptos elementales del análisis estructural

1.-Introducción. Los métodos de la flexibilidad y de la rigidez para el análisis estructural son el tema principal de este libro. Son los métodos fundamentales disponibles para el analista estructural y son aplicables a estructuras de todo tipo. Sin embargo solo discutiremos en este libro las estructuras reticulares.

Estructuras reticulares: Se componen por barras rectas o curvas entrecruzadas y conectadas entre sí por medio de nudos rígidos (pasadores o soldadura), encargadas de transmitir las cargas aplicadas.aquellas cuyos elementos tienen una de sus dimensiones mucho más grande que las otras dos. El modelado de este tipo de estructuras se hace por medio de líneas que representan el eje centroidal de la sección de los elementos.

2.-Tipos de estructuras reticulares. Todas las estructuras que se estudiaran en capítulos posteriores se llaman estructuras reticulares y pueden dividirse en seis categorías; vigas, armaduras planas, armaduras en el espacio, marco plano, parrillas y marco en el espacio. Estas categorías fueron escogidas debido a que cada una presenta una clase de estructura con características especiales. Aun más, como los principios básicos de la flexibilidad y de la rigidez son los mismos para todos los tipos de estructuras, los análisis de estas seis categorías son los suficientemente diferentes en detalles que garantizan las discusiones separadas de ellas.

Vigas En ingeniería y arquitectura se denomina viga a un elemento constructivo lineal que trabaja principalmente a flexión. En las vigas, la longitud predomina sobre las otras dos dimensiones y suele ser horizontal Estas características geométricas y de carga hacen que el elemento principalmente esté sometido a esfuerzos internos de flexión y de cortante. Es un elemento que debe tener la suficiente I (inercia transversal) y A (área transversal) para soportar estos tipos de esfuerzos. Recordemos que los esfuerzos de flexión dependen

directamente de la inercia de la sección ( I

cM .

) y los de cortante

indirectamente del área ( tI

QV

.

.

donde Q, es el primer momento del área y t, es el espesor de la viga).

figura 1

Armadura plana es un sistema formado por barras rectas articuladas en sus extremos y arregladas de manera que formen triángulos cuya alta rigidez para fuerzas en su plano hace que las cargas exteriores se resistan exclusivamente por fuerzas axiales en los elementos. El sistema sirve, igual que la viga, para transmitir a los apoyos cargas transversales y puede visualizarse de hecho como una viga de alma abierta en que el momento flexionante en cada sección se equilibra, no a través de variación continua de esfuerzos normales, las cuerdas superior e inferior

La fuerza cortante se equilibra por fuerzas axiales en los elementos diagonales y verticales. El material se aprovecha de manera sumamente eficiente en las armaduras, debido a que todos los elementos están sujetos a cargas axiales que son, además uniformes en toda su longitud, Esto aunado a sus claros grandes. En los arreglos triangulares tipo armadura lo más recomendable es que las barras que estén sujetas a compresión deben ser lo más corto posible para evitar de esta manera los esfuerzos de pandeo y pandeo local, involucrados con la compresión, no sucediendo lo mismo para los elementos en tensión, donde la longitud relativamente no es importante.

figura 2

Armadura en el espacio es similar a una armadura plana, excepto que los miembros pueden tener cualquier dirección en el espacio. Las fuerzas que actúan en una armadura en el espacio pueden tener direcciones arbitrarias, pero cualquier par que actúa en un miembro debe tener su vector de momento perpendicular al eje del miembro. La razón de este requerimiento es que un miembro de una armadura es incapaz de soportar un momento torsionante.

figura 3

Marcos en el plano Este sistema conjuga elementos tipo viga y columna. Su estabilidad está determinada por la capacidad de soportar momentos en sus uniones. Aquí se consideran las estructuras planas con miembros conectados rígidamente. Esos miembros serán similares a las vigas excepto que se tendrán presentes cargas axiales y deformaciones axiales. Son estructuras compuestas por elementos prismáticos, unidos rígidamente entre sí, y dispuestos formando una retícula plana, con las fuerzas actuantes situadas en su plano.Estas estructuras se deforman dentro de su plano y sus elementos trabajan a flexión, cortadura y esfuerzo axial.

figura 4

Parrillas Los elementos estructurales considerados hasta ahora tienen en común la propiedad de transferir cargas en una sola dirección, desde el punto de vista estructural sería más eficiente tener una "transferencia bidireccional de carga". Esta dispersión se obtiene mediante entramados (parrillas o retículas de vigas) y placas, que actúan en un plano. Una retícula de vigas es un sistema de vigas que se extiende en dos direcciones con las vigas en cada dirección unidas unas con otras. Las retículas están normalmente apoyadas en los cuatro lados de un bastidor aproximadamente cuadrado. En la retícula, las vigas individuales son parcialmente soportadas por vigas perpendiculares que se intersectan, las cuales están a su vez parcialmente soportadas en otras vigas que también se intersectan. Cuando un punto de carga se aplica en la intersección de dos vigas en una retícula, ambas vigas se flexionan junto con las otras vigas cercanas. Además de la flexión, esta interacción produce la torsión de vigas adyacentes como resultado de las conexiones fijas en las intersecciones de las vigas. Estas dos vigas perpendiculares entre sí deben sufrir en su intersección igual deformación aunque tengan distintas longitudes o distintas secciones. Las cargas tienden a moverse hacia el soporte a lo largo de los senderos de acción más cortos, determinando la relación de los lados del rectángulo, llamada relación de aspecto, que debe ser menor de 1,5 para mantener la acción bidimensional.

figura 5

Marcos en el espacio forma una retícula espacial. Sus elementos pueden trabajar a esfuerzo axial, torsión y flexión en dos planos. Cada nodo de pórtico tridimensional se compone de seis grados delibertad, en lugar de tres que componen los nodos de los marcos en dos dimensiones.

Se supone a lo largo de la mayoría de las discusiones subsecuentes que las estructuras consideradas tienen miembros prismáticos, esto es, cada miembro tiene un eje recto y una sección transversal en toda su longitud. Los miembros no prismáticos se tratan posteriormente mediante una modificación del acercamiento básico.

figura 6

3.-Deformaciones y desplazamientos cuando una estructura esta bajo la acción de fuerzas, los miembros de ella sufren deformaciones (o pequeños cambios en su forma) y, como consecuencia, puntos dentro de la estructura se desplazan hacia nuevas posiciones. En general, todos los puntos de la estructura, excepto puntos e apoyo inmóviles, sufrirán dichos desplazamientos.

Para comenzar la discusión, consideremos un segmento de longitud arbitraria cortado de un miembro de una estructura reticular, como se muestra en la figura 7a. Por simplicidad se considera que la barra tiene una sección transversal circular. En cualquier sección transversal, tal como el extremo de la derecha del segmento, habrá resultantes de esfuerzo que en el caso general están formadas por tres pares y tres fuerzas. Las fuerzas son la fuerza axial Nx y las fuerzas cortantes Vy, Vz; los pares son el par torsionante T, y los pares flexionantes My, Mz. Nótese que los vectores de momentos se muestran en la figura con flecha con cabeza doble, para distinguirlos de los vectores de fuerza. Las deformaciones de la barra pueden analizarse tomando separadamente cada resultante de esfuerzo y determinando su efecto sobre un elemento de la barra. El elemento se obtiene aislando una porción de la barra entre dos secciones transversales separándolas una pequeña distancia dx. (Véase la figura 7a)

El efecto de la fuerza axial Nx sobre el elemento se muestra en la figura 7b. Suponiendo que la fuerza actúa en el centroide del área de la sección transversal, se encuentra que el elemento se deforma uniformemente, y las deformaciones significantes del elemento son deformaciones normales de la dirección x. En el caso de una fuerza cortante (figura 7c) una sección transversal de la barra se desplaza lateralmente con respecto a la otra. También pueden existir distorsiones de las secciones transversales, pero estas tienen un efecto despreciable en la determinación de los desplazamientos y se pueden ignorar. Un par flexionante (figura 7d) causa una rotación relativa de las dos secciones transversales provocando que ya no queden paralelas una a la otra. Las deformaciones resultantes en el elemento son la dirección longitudinal de la barra, y consiste de una contracción en el lado de comprensión y una extensión en el lado de tensión. Finalmente, el par torsionante T causa una rotación relativa de las dos secciones transversales alrededor del eje x (Véase la figura 7e) y, por ejemplo, el punto A se desplaza a A”. En el caso de una barra circular, la torsión produce solo deformación de cortante y las secciones transversales permanecen planas. Para otras formas de las seccione transversales si ocurrirán distorsiones en ellas.

Las deformaciones son: Axial. De Corte aquella que tiene la tendencia a cortar o deformar angularmente los elementos. De Flexión: Momento que tiene la tendencia a flexionar o doblar los elementos. De Torsión. Momento que tiene la tendencia a torsional o torcer los elementos. Respectivamente. Su evaluación depende de la forma de la sección transversal de la barra y de las propiedades mecánicas del material Elasticidad Plasticidad Módulo de Elasticidad Fragilidad y Ductilidad Esfuerzos.

z

y My

x Nx

Mz dx

Vz

VyT

NxNx

dx

Vz

dx

VzMz

dx

Mz

T

dx

TA

A”

a)

b) c) d)

e)

figura 7

Los desplazamientos en una estructura están causados por los efectos acumulados de las deformaciones de todos los elementos. Hay varios modos de calcular estos desplazamientos en las estructuras reticulares, dependiendo del tipo de formación en consideración así como el tipo de estructura. Por ejemplo, las deflexiones de las vigas en que se consideren únicamente deformaciones por flexión pueden encontrarse por integración directa de la ecuación diferencial para flexión de una viga. Otro método, que puede utilizarse en todos los tipos de estructuras reticulares incluyendo vigas, armaduras, parrillas y marcos, es el método de la carga unitaria. En ambos de estos métodos, así como otros de uso común, se supone que los desplazamientos de la estructura son pequeños. Para propósitos de repaso y referencia conveniente en el libro a seguir, se da una breve discusión del cálculo de desplazamientos por el método de la carga unitaria.

4.-Acciones y desplazamientos los términos “acción” y “desplazamiento” se utilizan para describir ciertos conceptos fundamentales en el

P P

L/3RA RBL/3 L/3

análisis de estructuras. Una acción (llamada algunas veces una fuerza generalizada) es llamada mas comúnmente fuerza o par. Sin embargo, una acción puede ser una combinación de fuerzas y pares, una carga distribuida o una combinación de estas acciones.

figura 8

En tales casos combinados, sin embargo es necesario, que todas las fuerzas, pares y cargas distribuidas estén relacionados una a otra de alguna manera definida, de modo que la combinación entera puede denotarse por un solo símbolo. Por ejemplo, si la carga en la viga simplemente apoyada AB mostrada en le Fig.9 consiste en dos fuerzas iguales P, posible considerar la combinación de las dos cargas como una acción sola y denotarla por un solo símbolo, tal como F. También es posible pensar en la combinación de las dos cargas más las dos reacciones RA y RB en los apoyos como una sola acción, puesto que las cuatro fuerzas tienen una relación única la una con la otra. En una situación más generalizada, es posible, para un sistema de cargas muy complicado que actúe sobre una estructura, que se le trate como una sola acción si todas las componentes de la carga están relacionadas la una a la otra en una manera definida.

Además de las acciones externas a la estructura, es necesario también con acciones internas. Estas acciones son las resultantes de las distribuciones de esfuerzos internos, e incluyen momentos flexionantes, fuerzas cortantes, fuerzas axiales y pares torsionantes.

figura 9

Dependiendo del tipo de análisis en particular, tales como una fuerza, un par, dos fuerzas o dos pares. Por ejemplo, al efectuar análisis del equilibrio estático de

las estructuras estas acciones aparecen normalmente como fuerzas y pares solos, como se ilustra en la Fig. 10a. La viga en voladizo mostrada en la figura esta sujeta en el extremo B a cargas en la forma de acciones P1 y M1.En el extremo fijo. A la fuerza reactiva y el par reactivo se denominan RA y MA ,

respectivamente. Para poder distinguir estas reacciones están dibujadas con una línea que corta la flecha. Esta convención para identificar reacciones están dibujadas con una línea que corta la flecha. Para poder distinguir estas reacciones de las cargas sobre la estructura. Las reacciones están dibujadas con una línea que corta la flecha. Esta convención para identificar reacciones será seguida en todo el libro (véase también la figura 9 para el uso de la convención). Al calcular la fuerza axial N, el momento flexionante M, y la fuerza cortante V en cualquier sección de la viga en la figura 10a, tal como el punto medio, es necesario considerar el equilibrio estático de una porción de la viga. Una posibilidad es construir un diagrama de cuerpo libre de la mitad del lado derecho de la viga, como se muestra en la figura 10b. Si así se hace es evidente que cada una de las acciones internas aparece en el diagrama como una fuerza o par.

Existen situaciones, sin embargo, en las que las acciones internas aparecen como dos fuerzas o pares. Este caso ocurre con mucha frecuencia en el análisis estructural cuando se “suelta” algún punto de la estructura, como se muestra en la Fig.11 para una viga continua. Si se suelta el momento flexionante( o se elimina) en el nudo B de la viga, el resultado es el mismo que sí colocásemos una articulación en ese nudo (véase la Fig.11b). Por lo tanto, para tomar en consideración el momento flexionante MB en la viga, este se debe considerar como estar formado por dos pares iguales, de sentido opuesto, MB , que actúan en las porciones del lado derecho así como del lado izquierdo con la articulación como se muestran las fig . 11c, el momento flexibilidad.

Un segundo concepto básico es el de desplazamiento, que generalmente es una traslación a rotación en algún punto de una estructura. Una traslación se refieren a la distancia recorrida por un punto de una estructura, y una rotación significa el ángulo de rotación significa el ángulo de rotaron de la tangente a la curva elástica en un punto. Por ejemplo, en la viga voladiza de la fig 10c la traslación Δ de extremo de la viga y la rotación θ del externo se consideran las dos como desplazamiento también puede considerarse en sentido general como una combinación

P P

BA C

a)

c)

Figura11

De traslaciones y rotaciones. Como ejemplo, consideremos las rotaciones de la articulación en el punto B en la viga de dos claros de la fig. 11 c la rotación del extremo derecho del miembro AB se denomina θ1, en tanto que la rotación del extremo izquierdo del miembro AB se denomina θ2. Cada una de estas

MBBA C

MB

θ1Θ2

θfigura 10

a)

A

P1

RA

L

M1BMA

b)

P P

BA C

b)

P1

V

L/2

M1BM

N

rotaciones está considerada como un desplazamiento. Aún más, la suma de las dos rotaciones, denominadas Θ, es también un desplazamiento. El ángulo Θ puede considerarse como la rotación relativa en el punto B entre los extremos de los miembros AB y BC.

Otro ejemplo de desplazamientos es el mostrado en la Fig.12 en donde un marco plano está sujeto a varias cargas. Las translaciones horizontales ΔA , ΔB y ΔC de los nudos A, B y C, respectivamente, son desplazamientos, como también lo son las rotaciones ΘA, ΘB y ΘC de estos nudos. Los desplazamientos de nudos de estos tipos juegan un papel importante en el análisis de las estructuras reticulares.

Frecuentemente es necesario en el análisis estructural tratar con acciones y desplazamientos que se corresponden uno a los otros. Se dicen que los desplazamientos se corresponden cuando son de un tipo análogo y están localizados en el mismo punto de una estructura. Por lo tanto, el desplazamiento correspondiente a una fuerza concentrada es una translación de la estructura en el punto donde la fuerza actúa, aunque el desplazamiento no necesariamente es causado por la fuerza. Aún más, el desplazamiento correspondiente debe tomarse a lo largo de la línea de acción de la fuerza y debe tener la misma dirección que ella

figura 12

ΔA

ΔC

ΔB

A

C

B

D E F

En el caso de un par, el desplazamiento correspondiente es una rotación en el punto donde el par está aplicado y se toma positivo cuando tiene el mismo sentido que el par. Como un ejemplo, consideremos de nuevo la viga en voladizo mostrada en la Fig.11a. La acción P1 es una fuerza concentrada que actúa hacia abajo en el extremo de la viga y la translación hacia abajo Δ en el extremo de la viga (véase la Fig.11c) es el desplazamiento que corresponde a esta acción. Similarmente, el par M1 y la rotación Θ son una acción y desplazamiento correspondientes Debe notarse, sin embargo, que el desplazamiento Δ correspondiente a la carga P1 no está causado únicamente por la fuerza P1,ni el desplazamiento Θ correspondiente a M1 está causado únicamente por M1. Por el contrario, en este ejemplo, tanto Δ como Θ son desplazamientos debidos a la acción simultánea de P1 y M1 sobre la viga. En general, si se da una acción particular, el concepto de un desplazamiento correspondiente se refiere únicamente a la definición de desplazamiento, sin tomar en consideración la causa real de éste. Igualmente, si se da un desplazamiento, el concepto de una acción correspondiente describirá una clase particular de acción sobre la estructura, pero no es necesario que el desplazamiento sea causado por dicha acción.

Como otro ejemplo de acciones y desplazamientos correspondientes, refiramos las acciones mostradas en la Fig.12c .La viga de la figura tiene una articulación en el apoyo medio y está bajo la acción de dos pares MB, que se consideran como una sola acción .El desplazamiento correspondiente a la acción MB consiste en general, de la suma de las rotaciones en el sentido opuesto de las manecillas del reloj Θ1 en la viga del lado izquierdo y de la rotación con sentido de las manecillas del reloj Θ2 de la viga del lado derecho. Por lo tanto, el ángulo Θ (igual a la suma de Θ1 y Θ 2) es el desplazamiento correspondiente a la acción MB. Este desplazamiento es la rotación relativa entre las dos vigas en la articulación y tiene el mismo sentido positivo que MB. Este desplazamiento puede encontrarse con la ayuda de la tabla para desplazamientos de viga, dada en el Apéndice A (véase la Tabla A-3, Caso 5), y es igual a

θ=θ1+θ2=MB L

3 EI+MB L

3 EI=2MB L

3 EI

en donde L es la longitud de cada claro y EI es la rigidez a la flexión de la viga.

Existen otras situaciones, sin embargo, en donde es necesario tratar con un desplazamiento que corresponda a una acción particular pero causada por cualquier otra acción. Como un ejemplo consideremos la viga de la Fig.12b que es la misma viga de la Fig.12C, excepto que está sujeta a dos fuerzas P en vez de los pares MB. En esta viga el desplazamiento correspondiente a MB es la rotación relativa en el nudo B entre las dos vigas, positivo en el mismo sentido que MB, Pero debido únicamente a las cargas P .Utilizando de nuevo la tabla de desplazamientos (Tabla A-3,Caso 2),y suponiendo también que las fuerzas P actúan en los centros del claro de los miembros, se encuentran que el desplazamiento Θ correspondiente a MB y causado por las cargas P es

θ=θ1+θ2=P L2

16 EI+ P L

2

16 EI=P L

2

8EI

El concepto de correspondencia entre acciones y desplazamientos se hará más familiar al lector a medida que se encuentran ejemplos adicionales en el resto del libro. También deben notarse que el concepto puede extenderse hasta incluir acciones distribuidas, así como combinaciones de acciones de todos los tipos. Sin embargo, estas ideas más generales no tienen utilidad particular en nuestro trabajo a seguir.