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ESTRUCTURAS II

Cátedra Ing. José María Canciani

UNIDAD 3

Integrantes:

Ing. Carlos Salomone (Prof. Adjunto) Ing. Salvador Napoli (Prof. Adjunto) Arq. María Angélica D’Antone (Jefe de T.P.) Arq. Miguel Bruno (Jefe de T.P.) Arq. Marcelo Alancay (Ayudante) Arq. Natalia Bucossi (Ayudante) Arq. Gisela Amor (Ayudante)

1 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS HIPERESTÁTICOS 1.1 PLANTEO DEL PROBLEMA La forma de resolver cualquier tipo de estructuras es determinar un modelo que es necesariamente una simplificación la más aproximada a la realidad. En efecto las vigas y las columnas no son líneas ya que tienen no sólo longitud sino alto y ancho, las losas no son superficies planas sin espesor y así. Lo que se trata de hacer es una abstracción que permita predecir lo más aproximadamente el comportamiento de la estructura y que al mismo tiempo permita dimensionar con suficiente seguridad las secciones de hormigón y de acero necesarias para garantizar la estabilidad con buenas condiciones de servicio y durabilidad. En este sentido es necesario resaltar que el modelo se debe aproximar a la realidad y no a la inversa. La estructura real no tiene por qué recibir órdenes del proyectista, sino que es éste quien debe tratar de encontrar un modelo que se acerque a la realidad de la mejor manera posible. En forma general se puede aceptar que un edificio de departamentos cuyo cálculo es el objeto de nuestro curso, desde el punto de vista estructural, se compone de un conjunto de barras y de placas interconectadas entre sí con vínculos inferiores que corresponden a los apoyos sobre el terreno natural, modelo al cual podemos denominar como pórtico espacial con el agregado de placas. Una imagen de este tipo de estructura elaborada con un programa que procesa este tipo de sistemas, se agrega a continuación.

Ahora bien, hasta la invención de las computadoras y los programas de cálculo estructural, la resolución de este sistema implicaba un nivel de dificultad y de trabajo material desde el punto de vista matemático que, en la práctica, hacían imposible su resolución. Sin embargo, aún hoy, cuando se dispone de estas poderosas herramientas de cálculo, sigue siendo dificultosa la resolución estática y el dimensionamiento de la estructura de un edificio de pocos pisos en forma completa. En efecto, si se adopta este camino los resultados pueden llevarnos a una serie de problemas. En primer lugar, las salidas pueden ser monstruosas, en especial en cuanto a los resultados de las losas ya que, para hacer una representación fiel de la estructura, se necesita particionar las losas en un gran número de pequeñas lositas y, consiguientemente las vigas en una gran cantidad de tramos de vigas, como se advierte en el gráfico siguiente donde se ha representado una planta del modelo anterior.

Por ello, aún en los casos en que se decida realizar el cálculo por computadora muchas veces resulta conveniente calcular las losas de cada planta por separado obteniendo las reacciones sobre las vigas. Ahora bien, si se eliminan las losas de la estructura queda un pórtico espacial que si bien es resoluble en forma completa, procedimiento que cada vez tiene mayor aceptación, tampoco está exento de dificultades. Entre otros aspectos porque aparecen esfuerzos de poca importancia como son las flexiones oblicuas y torsiones, esfuerzos que no se toman en cuenta pero que amplían las salidas. Por ello es que tradicionalmente se realizó una ulterior simplificación que consiste en subdividir el pórtico espacial en un conjunto de pórticos planos independientes

ya que se considera que los esfuerzos provocados por cargas gravitatorias sólo en forma muy leve se transmiten a los elementos transversales.1 A continuación y sobre el mismo modelo anterior se grafican un pórtico de fachada y otro longitudinal: Pórtico de fachada:

1 Incluso cuando se trata de esfuerzos de viento o de sismo que se verán en el curso posterior, se acepta, a los fines del cálculo, que tales acciones pueden absorberse por pórticos planos y no espacialmente.

Pórtico transversal:

Un pórtico plano es un tipo estructural más familiar con el cual se han encontrado en el curso anterior y de los cuales obtenían las reacciones para un estado de cargas dado y confecciones diagramas de característica. Claro que se trataba de pórticos isostáticos y en realidad un pórtico de edificio como lo indicados precedentemente que no es de muchos pisos ya sea de dos pisos es un sistema hiperestático.

Por todo lo expuesto, haremos un repaso acerca de la resolución de sistemas hiperestáticos de barras y sus métodos de resolución, en particular, nos ocuparemos de las vigas continuas, que se ilustra a continuación.

Nos ocupamos de las vigas continuas porque estos pórticos planos permiten una última simplificación parcial que consiste en estudiar cada planta por separado, tomando en cuenta que los esfuerzos que absorben las columnas centrales es de escasa significación y pueden reemplazarse aproximadamente por apoyos fijos del tipo “cuchilla”. Es cierto que esto no ocurre con las vigas extremas y con las columnas de borde y, de hecho no se realiza tal simplificación. Pero dicha explicación queda pospuesta para el momento en que se aborde el análisis de los elementos flexocomprimidos. 2. SISTEMAS HIPERESTÁTICOS En primer lugar, haremos un recordatorio de una serie de ideas y conceptos que se han estudiado en el curso anterior. Un sistema estático es una cadena de barras con un cierto número de vínculos externos y una barra es un elemento estructural en el cual una dimensión predomina sobre las otras dos. Es decir, posee una longitud y una sección determinada.

Sistema Estático

Ahora bien, un sistema estático puede ser hipostático (también llamado mecanismo) cuando el número de vínculos no es suficiente para garantizar el equilibrio y cuando se aplica una fuerza se produce una aceleración del sistema o de una fracción del sistema. Es necesario señalar que en algunos casos existe “vínculo aparente”, es decir el sistema posee la cantidad de vínculos necesarios para garantizar el equilibrio pero, su disposición permite ciertos movimientos.

Sistema Hipostático

Vínculo aparente

Sistema Hipostático

El segundo caso, es el de los sistemas isostáticos cuya resolución ha sido vista en el curso anterior. En este caso, se pueden obtener las reacciones y determinar los esfuerzos característicos en cualquier punto del sistema a partir de las ecuaciones de la estática.

Sistema Isostático

Si en cambio, las reacciones de vínculo o la determinación de los esfuerzos característicos no pueden obtenerse a partir de ecuaciones estáticas, entonces se trata de sistemas hiperestáticos.

Sistema Hiperestático

Cuando se intenta una resolución matemática en el primero de los casos (“hipostáticos”) el sistema de ecuaciones resultante no tiene solución, por lo cual es imposible alcanzar el equilibrio. En el caso de los hiprestàticos, el sistema tiene infinitas soluciones que cumplen con la estática por lo cual es necesario idear procedimientos para poder obtener el resultado, que siempre es único. Como ejemplo indicaremos una serie de posibles resoluciones, todas ellas falsas, pero que permiten garantizar el equilibrio.

1.00 1.00 1.00 1.00

P=2 t P=2 t

Sol 1:

A B C D E

RA = 0t RB = 0t RC =4t RD = 0t RE = 0t

Sol 2:RA = 0t RB = 1t RC =2t RD = 1t RE = 0t

Sol 3:RA = 1t RB = 1t RC =0t RD = 1t RE = 1t

Sol 4:RA = 0.5t RB = 1t RC =1t RD = 1t RE = 0.5t

En todos los casos, la suma de las proyecciones verticales de las acciones y las reacciones es nula, lo mismo ocurre cuando se toman momentos para cualquier punto del plano y no hay acciones horizontales. Sin embargo, ninguna de estas soluciones es correcta ya que no cumplen con otras condiciones, por ejemplo, condiciones de deformación. En efecto, con estas reacciones los apoyos no tendrían descenso nulo que es su propia definición. Clasificación de los sistemas hiperestáticos Antes de analizar la forma en que se resuelven los sistemas hiperestáticos, es necesario tener presente algunos conceptos que ya fueron definidos en cursos anteriores y que ahora recordamos.

Para clasificar los sistemas hiperestáticos es necesario recordar previamente el concepto de grados de libertad. Los grados de libertad de un sistema es el número de movimientos independientes que admite. Y entendemos por movimiento independiente a aquel que no viene ligado a ningún otro. La cantidad de grados de libertad de una cadena abierta de chapas o de barras surge de la siguiente expresión:

Grados de Libertad = nº de chapas + 2

A partir de aquí directamente abandonaremos las chapas para centrarnos en los sistemas de barras. Cuando se aplica una restricción de vínculo se restringen grados de libertad. Como recordamos los vínculos se clasifican según el número de grados de libertad que restringen, como se indica a continuación. Si el número de Grados de Libertad de una cadena de chapas o barras es mayor que a cantidad de vínculos, tenemos un sistema isostático. Si es igual tenemos un sistema isostático, recordando que estos vínculos no deben formar un “vínculo aparente”. Si el sistema posee mayor cantidad de restricciones de vínculo que grados de libertad, tenemos un sistema hiperestático. Ahora bien, estos sistemas se por según la cantidad de vínculos superabundantes que poseen y cuyo número se conoce como grado de hiperestaticidad. Grado de Hiperestaticidad 1

Nº de chapas = 2Vìnculos externos = 5Grados de Libertad = 4

Grado de Hiprestaticidad = 5 - 4 = 1



Grado de Hiperestaticidad 2





Se señala que en el caso de las vigas continuas, el grado de hiperestaticidad corresponde con el número de incógnitas que se necesitarían conocer para resolver el sistema como isostáticos. Ahora bien, también existen otros casos donde las barras se interconectan internamente entre sí. Incluso, en algunos casos, es posible determinar las reacciones de vínculo para un sistema de cargas dado. Pero no ocurre lo mismo con los esfuerzos característicos de todas las secciones. El ejemplo que se agrega a continuación es ilustrativo al respecto.

P = 2t

RA = 1t RB = 1t

BA

X

En este caso resulta muy sencillo obtener las reacciones de vínculo del sistema ya que se trata de una única chapa conformada por un número dado de barras de una configuración especial, por eso, desde el punto de vista exterior es isostático de resolución sencilla. Pero obtener M, N y Q para el punto X ya no resulta nada sencillo porque, en realidad, el sistema es hiperestático aunque no porque no se puedan obtener las reacciones sino porque lo que no se pueden obtener son los esfuerzos carácterísticos a partir de ecuaciones estáticas. Por lo tanto, cuando se trata de cadenas de barras que poseen excesiva cantidad de vínculos, hablamos de “hiperestaticidad externa”, en cambio cuando se trata de cadenas cerradas de barras, hablamos de “hiperestaticidad interna”. Resolución de Sistemas Hiperestáticos. A partir de aquí nos centraremos en un caso particular de los sistemas hiperestáticos que son las vigas continuas, dada su importancia para el cálculo de una estructura de hormigón armado y que la resolución de pórticos hiperestáticos presenta mayores dificultades. Las vigas continuas, por lo general consisten en una barra con una serie de apoyos ya sean empotramientos, apoyos fijos o móviles. Tal como se puede apreciar a continuación.

Como ya hemos señalado para la resolución de sistemas hiperestáticos no bastan las ecuaciones estáticas y es preciso considerar otras condiciones, como son las condiciones de deformación. De aquí surgió el primer método para resolver sistemas hiperestáticos que se basaban en el siguiente razonamiento: que pasa si se retiran todos los vínculos sobrantes, manteniendo exclusivamente aquellos necesarios para mantener el equilibrio y reemplazo los vínculos por fuerzas incógnitas. Bastaría con que determinara qué fuerzas debo aplicar en cada uno de los puntos donde antes hubo vínculos para que se cumpla la condición que impone el vínculo: que el descenso en esos puntos sea nulo. A continuación se ilustra gráficamente el problema. Por razones de simplicidad analizaremos el caso de una viga continua de dos tramos con un apoyo fijo y dos móviles con una carga distribuida uniforme.

De acuerdo a lo planteado anteriormente, retiramos en primer lugar el apoyo central y los reemplazamos por una fuerza X de dirección vertical.

Seguidamente determinamos la flecha que produce dicha fuerza X que se puede resolver por cualquier método de obtención de flecha y que resulta:

fX X 2 l3⋅( )48 E⋅ J⋅⋅:=

Donde, fX es la flecha en el punto medio, l la luz de cada tramo de viga, E es el módulo de elasticidad del material (hormigón, acero, etc.) y J es el momento de inercia de la sección. A continuación determinamos la flecha para una viga sin el apoyo central y una carga distribuida uniforme en toda la luz. También hay muchos métodos para resolver esta flecha cuyo resultado es:

Para que se cumpla la condición de equilibrio nulo, se debe cumplir la siguiente condición:

fX– fq = 0

Que gráficamente significa lo siguiente:

Si resolvemos la ecuación, se obtiene que la fuerza X resulta: Con este valor intermedio se obtienen las reacciones:

fq 5384

q⋅ 2 l⋅( )4

E J⋅⋅:=

X 5 q⋅ 2 l⋅( )⋅8

:=

Ra 3 q⋅ l⋅8

:=

Rb 3 q⋅ l⋅8

:=

Y el momento en el apoyo resulta: Con estos valores se pueden obtener los momentos máximos de los tramos.

Si recapitulamos vemos que para resolver el hiperestático utilizamos un sistema isostático geométricamente afín al cual se le han modificado las condiciones de vínculo. A este sistema se lo denomina fundamental. Los sistemas fundamentales pueden ser de diferente tipo según sea qué tipo de vínculo eliminan y qué incógnita ponen en evidencia. En este sentido hay que señalar que pueden ser vínculos internos, agregando articulaciones lo que permite colocar, por ejemplo, momentos flexores como incógnitas. A continuación se agregan un ejemplo de sistema fundamental de este tipo:

X1 X2 X3

Este método de resolución que hemos utilizado casi intuitivamente fue el primero en desarrollarse y se denomina método de las incógnitas estáticas o vulgarmente

Map q− l2

8⋅:=

Mtr q l2

14.22⋅:=

método de las fuerzas. En este caso hay que aclarar que se denomina fuerzas a lo que son en realidad fuerzas y momentos, de ahí que el primero de los nombres sea el más correcto. Ahora bien, este método de resolución de hiperestáticos es conveniente cuando se trata de hiperestáticos de pequeño grado de hiperestaticidad. Por ejemplo, el caso que hemos visto posee un grado de hiperestaticidad igual a 1. Cuando tenemos casos de mayor hiperestaticidad la dificultad matemática es creciente por lo cual se idearon otros métodos para resolver hiperestáticos. MÉTODO DE LAS DEFORMACIONES Este método que tomaremos como base para la resolución de vigas continuas, es en cierta, manera especular con respecto al anterior. Pero tiene algunas diferencias que es necesario recalcar. En primer lugar, es necesario conocer los resultados de sistemas hiperestáticos de un tramo que fueron obtenidos por el método anterior y que se han tabulado. En particular, la magnitud que nos interesa son los momentos en los apoyos. En forma anexa a la resolución del trabajo práctico incluiremos una tabla con muchos casos ya resueltos. Este método de resolución trabaja también con un sistema fundamental. Es decir, con un sistema geométricamente afín con diferentes condiciones de vínculo. Sólo que en este caso no se trata de un sistema isostático sino un sistema con mayor grado de hiperestaticidad, por ello es importante conocer los resultados de los sistemas hiperestáticos de una barra. Tomemos un hiperestático de grado 2, es decir que posee dos incógnitas para resolver.

En efecto, el sistema fundamental se obtiene adicionando un empotramiento en cada nudo interno del sistema hiperestático como se puede apreciar a continuación.

En primer lugar se procede a cargar este sistema con el estado de cargas del sistema hiperestático y se obtienen los momentos a ambos lados de los nudos internos. La ventaja de haber colocado empotramientos en cada nudo permite que trabajar con un conjunto de barras aisladas de un único tramo.

A continuación se obtienen los momentos de apoyo de cada tramo para lo cual se deben conocer los resultados de los momentos de apoyo para el caso de vigas de un tramo. Estos son sistemas hiperestáticos por lo cual se deben haber resuelto previamente por otro método como puede ser el método de las fuerzas. Con el enunciado del trabajo práctico se incluye una tabla con la resolución de los casos más usuales. Como ejemplo se agregan los casos correspondientes a este ejercicio.

Con estos datos se obtienen los momentos en los nudos. Para diferenciar los momentos agregaremos un primer subíndice que indica el nudo en el cual se encuentran y un segundo que indica el otro extremo de la barra y el mismo criterio utilizaremos con los momentos generados por las cargas en el sistema fundamental. Por último, agregaremos un superíndice que indica que se trata de los momentos en el sistema fundamental.

Dado que las cargas, las luces y las condiciones de vínculo (un borde empotrado, otro articulado o ambos empotrados) son diferentes los momentos en los nudos no suelen coincidir, tal como se puede apreciar en el gráfico siguiente donde se encuentran volcados, no sólo los momentos extremos sino los momentos en todo el tramo. ¿Adonde va la diferencia de momentos? Pues bien, la absorbe el empotramiento.

En forma amplificada se grafica el apoyo C.

Con respecto al signo de los momentos en el apoyo hay que tomar en cuenta que en el apoyo los momentos son negativos y que en el empotramiento tenemos reacciones por lo cual a la izquierda del apoyo existe un momento positivo y a la izquierda un momento negativo. Ahora hay que tener en cuenta una idea conceptual más compleja porque escapa a nuestra experiencia práctica. Ciertamente, nos resulta claro que si aplico una fuerza o un momento a un elemento estructural, éste se desplaza o gira. Ahora vamos a tener que aceptar la operación inversa. Si yo tengo un elemento estructural y le aplico una deformación o un giro, aparecerán fuerzas o momentos, sin importarme cuál fue el origen de la deformación impuesta. En general, cuando le impongo un giro a una barra, aparecen momentos. Ahora bien, si le aplico un giro unitario y positivo (igual a +1, medido en radianes) aparecerán momentos a los cuales se denomina rigideces, Dicho de otra forma se denomina rigidez angular en el extremo de una barra al momento que aparece en la misma cuando se le impone un giro unitario y positivo.

Las rigideces angulares para los casos sencillos han sido calculadas y tabuladas, denominándose rigideces directas (µ) a aquellas inducidas en el nudo donde se impone el giro y rigideces cruzadas (m) a aquellas que aparecen en un nudo cuando el giro no se impone en dicho nudo.

El objetivo del método es obtener qué giros hay que imponerle a cada empotramiento para que se generen esfuerzos que se equilibren las diferencias de momentos que se produjeron en el sistema fundamental al recibir las cargas del hiperestático. Para ello, se sigue este camino: Se le impone a cada nudo un giro unitario y positivo manteniendo el resto de los nudos empotrados, lo que generará la aparición de estos momentos inducidos por un giro unitario, llamados rigideces. Para diferenciar las rigideces En el punto B:

En el punto C:

Para mejor aclaración se indicará los momentos en el fundamental bajo la acción de las cargas.

Posteriormente se plantean ecuaciones de equilibrio en cada nudo, tomando en cuenta que los giros en los nudos (θB; θC, etc..) son las incógnitas que debemos obtener. En el nudo B queda la siguiente ecuación:

MºBA – MºBC + (µBA + µBC) θB + mBC θC = 0 En el nudo C queda la siguiente ecuación:

MºCB – MºCD + mCB θB + (µCB + µCD) θC = 0 Una vez resuelto el sistema de ecuaciones se obtienen los giros en cada nudo que hacen que el sistema fundamental se asemeje a lo que ocurre en el hiperestático original. Ahora bien, cómo se pasa de giros a momentos. Para ello tenemos que recordar la definición de momento flexor que no era un par sino un par de pares. Es decir, había un momento a izquierda y otro a derecha. Pues bien se obtienen los momentos a partir de los momentos denominados términos de carga sumados a las rigideces multiplicados por los respectivos giros o bien a la izquierda o bien a la derecha pero no sumados todos porque darían cero.

MhBA = MºBA+ µBA θB → Momento flexor en B

Mh

Bc = -MºBC+ µBA θB + mBC θC → - (Momento flexor en B)

MhCB = MºCB+ µCB θB + mBC θC → Momento flexor en C

Mh

CD = -MºCD+ µCD θB → - (Momento flexor en C) Más aún, es conveniente resolver el sistema a izquierda y a derecha por separado ya que tienen que tener igual valor con signos opuestos y de esta forma se puede verificar la corrección del resultado. En este punto, el hiperestático está resuelto pero les indicaremos una forma de obtener los esfuerzos característicos de cada barra, en forma separada. En primer lugar, se obtienen los diagramas de corte. Para ellos se resuelven barras simplemente apoyadas con las cargas y los momentos en los extremos. Esto nos permite utilizar el principio de superposición y resolver la viga dos veces. La primera, como viga simplemente apoyada con las cargas. La segunda, con los momentos en los extremos.

Mizq Mder

q

q

Mizq Mder

+

=

Para el caso de los momentos se puede aplicar la siguiente fórmula

Qizq = (Mder-Mizq) / l

Qder = (Mizq-Mder) / l

Finalmente el momento de tramo puede obtener a partir del corte izquierdo y el momento. Para determinar el momento máximo de tramo se debe encontrar el punto en el cual se produce cuando el cambio de signo del diagrama de corte. El punto de momento máximo tiene dos posibilidades: a) El cambio de signo del diagrama de corte se puede producir por efecto de una carga concentrada lo que genera un punto de quiebre en el diagrama de momento flexor. b) El cambio de signo se produce porque el diagrama de corte corta al eje de la viga, lo que genera una tangente horizontal del diagrama de momentos. a)

a)

En el primer caso, se toman momentos a izquierda desde el punto de cambio de signo del diagrama de corte. En el segundo caso, hay que determinar la coordenada de corte nulo.

Qizq– q . x = 0

x = Qizq / q Finalmente

Mtr = Qizq . x – q . x² / 2 - Mizq

OTROS MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE HIPERESTÁTICOS El Método de las Fuerzas o de las Deformaciones son los métodos troncales y tradicionales, pero existen un gran número de métodos de resolución de hiperestáticos. Entre los más populares podemos nombrar al Método de Cross que en realidad es un derivado del método de las deformaciones y permite resolverlo en forma iterativa. También existen tablas para la resolución de hiperestáticos. Estas tablas brindan divisores que permiten obtener momentos y cortes. En el primer caso estos valores dividen a la carga multiplicada por la luz al cuadrado y en el segundo, la carga multiplicada por la luz. Lo que es necesario advertir es que su alcance está

limitado al caso de cargas iguales y luces iguales aceptando muy leves variaciones. Incluso la llamada adaptación del 15% corresponde a una reducción de los momentos de apoyo y el consiguiente aumento de los momentos de tramo. La ventaja que tienen es que en realidad son diagramas envolventes ya que si bien las cargas permanentes se aplican en todos los casos, las sobrecargas sólo se aplican alternadamente a fin de obtener los casos más desfavorables. Por eso se ingresa como dato la relación entre cargas permanentes y cargas totales, el esquema de cortes y momentos aparece quebrado. A ese diagrama que toma los casos más desfavorables de esfuerzos característicos, se los denomina diagramas envolventes. Por último hay que hablar de la resolución de sistemas hiperestáticos por computadoras. En la actualidad existen gran número de programas de resolución de pórticos no sólo planos sino también espaciales, que presentan muchas posibilidades de combinación de barras y también permiten intercalar articulaciones, etc. Incluso la generación ha mejorado sensiblemente ya que se puede dibujar la estructura y el programa la interpreta, reduciendo engorrosos ingresos de datos. También permiten obtener los diagramas de esfuerzos característicos. En realidad, la utilización de estas poderosas herramientas de cálculo ha desplazado el problema de la resolución de estos sistemas. Anteriormente la dificultad se centraba en la resolución, hoy día, el problema es analizar la validez de las hipótesis y la interpretación de los resultados obtenidos.

1/28

TRABAJO PRÁCTICO Nº 5 - RESOLUCIÓN ESTÁTICA DEVIGAS

Efectuar la resolución estática de las vigas de la de la planta tipo (s/PB ys/1º).

Como ejemplo se realizará la resolución estática de vigas de la planta s/2º(de azotea) y s/azotea.

Planta s/2º y s/ azotea

Previamente se llevó a cabo el análisis de cargas de las vigas. Dichoanálisis de cargas consiste en determinar el valor de las cargas distribuidasy solamente indicar la presencia de cargas concentradas provocadas por lasdescargas de otras vigas sobre la viga analizada.

Como para la determinación de las descargas de las vigas es necesarioresolver previamente otras vigas, el orden de resolución no es el que se llevóadelante, por ejemplo, en la resoluciónd e losas. En efecto, no se comienzaresolviendo la viga 1, luego la viga 2 y así sucesivamente. Es necesariocomenzar por las vigas de resolución inmediata, es decir aquellas que noreciben descargas de otras vigas. Esta inevitable falta de orden, por otraparte, brinda mayor libertad para elegir con qué viga comenzar y, por talmotivo, comenzaremos resolviendo las vigas isostática para resolver lasvigas hiperestáticas en segundo término.

VIGAS SOBRE 2°

VIGA 203

Esquema :

q203bq203a

la lb

q203a 1.59t

m:=

q203b 0.89t

m:=

la 0.95m:=

lb 0.95m:=

2/28

Qa203

q203a la⋅la

2lb+

⋅ q203blb

2

2⋅+

la lb+:=

Qa203 1.344 t=

Qb203 q203a− la⋅ q203b lb⋅− Qa203+:=

Qb203 1.012− t=

Para determinar el momento máximo de tramo es preciso determinar el puntoen que se anula el corte:

Qa203 q203a x⋅− 0=

x 0.90m:=

Mtr Qa203 x⋅ q203ax2

2⋅−:=

Mtr 0.566 t m⋅=

A continuación, se agregan a tìtulo ilustrativo los diagramas de corte ymomento flexor.

3/28

VIGA 216

Esquema :

q216bq216a

la lb

P=Qa203 q216a 1.727t

m:=

q216b 1.335t

m:=

P 1.344t:=

la 1.20m:=

lb 3.60m:=

Qa216

q216a la⋅la

2lb+

⋅ P lb⋅+ q216blb

2

2⋅+

la lb+:=

Qa216 4.624 t=

Qb216 q216a− la⋅ q216b lb⋅− P− Qa216+:=

Qb216 3.599− t=

Hay que buscar el punto en que se anula el corte pero combiene venir desdela derecha cambiando el signo de los esfuerzos.

xQb216−

q216b:= x 2.70 m=

Mtr Qb216− x⋅ q216bx2

2⋅−:=

Mtr 4.851 t m⋅=

4/28


VE (Viga de escalera)

Se trata de la viga de escalera que se encuentra a mitad de la altura sostenidapor la columna C3 y el tensor TE.

Esquema :

qE

qE 1.98t

m:=

lE 1.95m:=

Se trata de una viga simplemente apoyada con una carga distribuida por laresolución surge de la siguiente fórmula:

QaE qElE

2⋅:=

QbE QaE−:=

QaE 1.930 t= QbE 1.930− t=

Mtr qElE

2

8⋅:=

Mtr 0.941 t m⋅=

5/28


VIGA 201-202

En este caso se trata de dos vigas con luces iguales pero las cargas sondistintas por lo cual no puede resolverse por tablas, es necesario resolverlaspor el método de las deformaciones.

Esquema :

q201 q202a q202b

P

l201 l202a l202b

l201 3.90m:=

q201 1.74t

m:=

l202a 1.95m:=q202a 0.98

t

m:=

l202b 1.95m:=q202b 1.41

t

m:=

l202 l202a l202b+:=

6/28

La carga del tensor es igual a la reacción a de la viga de escalera más el pesopropio del tensor que posee una sección rectangular de 20x12 cm y una alturade 1.40m

peha 2.400t

m3

:= b 0.12m:= d 0.20m:= h 1.40m:=

TE QaE peha b⋅ d⋅ h⋅+:= TE 2011kgf=

P202 Qb216− TE+:=

P202 5.61t=

Para resolver el hiperestático mediante el método de las deformaciones elprimer paso determinar el fundamental que se obtiene empotrando cada unode los nudos intermedios.

q201 q202a q202b

P

M21

1 3

2

o

M23

o

l201 l202a l202b

A continuación se obtienen los momentos en los empotramientos delfundamental afectado con las cargas del sistema hiperestático. Las fórmulasque permiten calcular estos momentos se encuentran en tabla anexa.

M021q201 l201

2⋅

8:=

M0239−

128q202a⋅ l202

2⋅

7

128q202b⋅ l202

2⋅−

3 P202⋅ l202⋅

16−:=

M021 3.31t m⋅= M023 6.32− t m⋅=

A continuación se obtienen las rigideces angulares para lo cual se impone ungiro unitario y positivo al nudo intermedio y se utilizan las fórmulas que seagregan en la parte teórica y que dependen del material (E), el momento deinercia de la sección (J) y las condiciones de sustentación (articuladoempotrado).

7/28

Dado que en el presente los materiales y las secciones son iguales, se puedea los fines de la resolución considerar que J y E son iguales a 1. Esto facilitalos cálculos, pero hay que tomar en cuenta que los giros que se van a obtenerno son los reales.

E 1t

m2

:= J 1m4

:=

µ213 E⋅ J⋅

l201:= µ23

3 E⋅ J⋅

l202:=

µ21 0.77t m⋅= µ23 0.77t m⋅=

A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo 2.

M021 M023+ µ21 µ23+( ) θ⋅+ 0=

θM021 M023+( )−

µ21 µ23+:= θ 1.96=

Con el valor del giro que como señalamos, no corresponde al giro real, sepueden obtener los valores de los momentos hiperestáticos. Para ello cual hayque sumar a izquierda y a derecha los valores de los momentos en el sistemafundamental más el giro multiplicado por el valor de las rigideces. Se calculanambos momentos que deben resultar similares en módulo aunque con signoopuesto y esto verifica la corrección del resultado.

Mh21 M021 µ21 θ⋅+:=Mh21 4.82t m⋅=

Mh23 M023 µ23 θ⋅+:=Mh23 4.82− t m⋅= momento flexor( )

Con la obtención del momento flexor, se ha resuelto el sistema hiperestático,ahora hay que obtener los diagramas de corte. Para ello se considera cadabarra en forma aislada y se aplica superposición de esfuerzos.

Viga 201

8/28

q201

M21

1

2

h

l201

q201

1

2l201

M21

1

2

h

l201

=

+

Q12q201 l201⋅

2

Mh21

l201−:= Q12 2.16t=

Q21q201− l201⋅

2

Mh21

l201−:= Q21 4.63− t=

Viga 202

9/28

q202a q202b

P202

3

2M23

h

l202a l202b

l202

q202a q202b

P202

3

2l202a l202b

l202

+

3

2M23

h

l202

=

Q23

q202a l202a⋅l202a

2l202b+

⋅

l202

q202b l202b2

⋅

2 l202⋅+

P202 l202b⋅

l202+

Mh23−

l202+:=

Q23 6.16t=

Q32q202a− l202a

2⋅

2 l202⋅

q202b l202b⋅l202b

2l202a+

⋅

l202−

P202 l202a⋅

l202−

Mh23−

l202+:=

Q32 4.11− t=

Por último, se obtienen los momentos de tramo de cada viga.

10/28

Viga 201

En este caso, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el máximomomento flexor en el tramo.

x201Q12

q201:= x201 1.24 m=

M201 Q12 x201⋅q201 x201

2⋅

2−:= M201 1.34t m⋅=

Viga 202

Para este tramo donde no existe corte nulo, se obtiene el momento flexor,tomando momentos en la coordenada donde se encuentra la cargaconcentrada.

M202 Q23 l202a⋅q202a l202a

2⋅

2− Mh23+:=

M202 5.33t m⋅=

A continuación se representan los diagramas de esfuerzos de corte y momentoflexor.

VIGA 206-207

11/28

En este caso se trata de dos vigas con luces iguales pero las cargas sondistintas por lo cual no puede resolverse por tablas, es necesario resolverlaspor el método de las deformaciones.

Esquema :

q206 q207

l206 l207

l206 3.90m:=

q206 2.06t

m:=

l207 3.90m:=q207 2.06

t

m:=

Obtención de momentos iniciales

q206 q207

M21

1 3

2

o

M23

o

l206 l207

M021q206 l206

2⋅

8:=

M023q207− l207

2⋅

8:=

M021 3.92t m⋅= M023 3.92− t m⋅=

12/28

Como en este caso los momentos flexores son iguales la resolución sedetiene adoptando este valor como momento flexor.

Con la obtención del momento flexor, se ha resuelto el sistema hiperestático,ahora hay que obtener los diagramas de corte. Para ello se considera cadabarra en forma aislada y se aplica superposición de esfuerzos.

Viga 206

q206

M21

1

2

h

l206

q206

1

2l206

M21

1

2

h

l206

=

+

Q12q206 l206⋅

2

Mh21

l206−:= Q12 2.78t=

Q21q206− l206⋅

2

Mh21

l206−:= Q21 5.25− t=

Viga 207

13/28

q207

3

2M23

h

l207

+

3

2M23

h

l207

=

q207

3

2M23

h

l207

Q23q207 l207⋅

2

Mh23−

l207+:=

Q23 5.25t=

Q32q207− l207⋅

2

Mh23−

l207+:=

Q32 2.78− t=

Por último, se obtienen los momentos de tramo de cada viga.

14/28

Viga 206

En cada tramo, se obtiene la coordenada de corte nulo para obtener el máximomomento flexor en el tramo.

x206Q12

q206:= x206 1.35 m=

M206 Q12 x206⋅q206 x206

2⋅

2−:= M206 1.88t m⋅=

Viga 207

x207Q23

q207:=

x207 2.55m=

M207 Q23 x207⋅q207 x207

2⋅

2− Mh23+:=

M207 1.88t m⋅=

A continuación se representan los diagramas de esfuerzos de corte y momentoflexor.

VIGA 210-211-212

15/28

En este caso se trata de tres vigas continuas con cargas distribuidas.Solamente hay una mayor complejidad matemática porque se debe resolver unsistema de dos ecuaciones con dos incógnitas.

Esquema :

q210 2.47t

m:= l210 3.80m:=

q211 0.86t

m:= l211 3.90m:=

q212 1.13t

m:= l212 3.80m:=

Obtención de momentos iniciales

M021q210 l210

2⋅

8:= M032

q211 l2112

⋅

12:=

M023q211− l211

2⋅

12:=

M034q212− l212

2⋅

8:=

M021 4.46tm= M032 1.09tm=

M034 2.04− tm=M023 1.09− tm=

Obtención de Rigideces Angulares

Por lo indicado anteriormente se adoptará un valor de E y de J igual a 1, porlo cual los giros no serán los reales sino valores que facilitan los cálculos.Para obtener las rigideces se impone un giro unitario a los nudos 2 y 3

16/28

Para obtener las rigideces se impone un giro unitario a los nudos 2 y 3manteniendo el resto en las mismas condiciones (empotrado). Hay que tomaren cuenta que en este caso aparecerán rigideces cruzadas inducidas por elgiro en un nuro diferente al cual se aplican y se indican con la letra m.

E 1t

m2

:=J 1m

4:=

Se impone un giro unitario en el nudo 2, manteniendo el empotramiento en elnudo 3.

µ213.E J⋅

l210:= µ21 0.79tm=

µ234E J⋅

l211:= µ23 1.03tm=

m322E J⋅

l211:= m32 0.51tm=

Se impone un giro unitario en el nudo 3, manteniendo el empotramiento en elnudo 2.

µ324E J⋅

l211:= µ32 1.03tm=

µ343E J⋅

l212:= µ34 0.79tm=

m232E J⋅

l211:= m23 0.51tm=

17/28

A continuación se plantea una ecuación de equilibrio en el nudo 2 y otradiferente en el nudo 3.

Nudo 2

M021 + M023 + (µ21 + µ23).θ2 + m23.θ3 = 0

Nudo 3

M032 + M034 + m32.θ2 + (µ32 + µ34).θ3 = 0

Operamos, reemplazamos los lugares por números y pasamos los términosindependientes al segundo miembro de la igualdad. En este caso tenemos unsistema de dos ecuaciones con dos incógnitas por lo cual hay que buscar algúmétodo de resolución. Por su simplicidad, utilizaremos la regla de Cramerconsistente en la resolución mediante el cociente de dos determinantes.

Nudo 2

1.82.θ2 + 0.51.θ3 = -3.37 tm

Nudo 3

0.51.θ2 + 1.82.θ3 = 0.95 tm

Para la resolución del sistema de ecuaciones según el método propuesto sedebe obtener el determinante de los coeficientes ∆ que es aquel cuyos lugaresen la tabla son los valores que multiplican a las incógnitas (θ2 y θ3):

∆ :=1.82

0.51

0.51

1.82

cuya resolución es:

∆ 1.82 1.82⋅ 0.51 0.51⋅−:=

∆ 3.05=

Seguidamente se obtienen los valores de los determinantes ∆1 y ∆2. Estosdeterminantes se obtienen reeemplazando los valores de la columna decada incógnita por los términos que aparecen en el segundo miembro de laecuación

∆1 :=3.37−

0.95

0.51

1.82

18/28


∆1 3.37− 1.82⋅ 0.95 0.51⋅−:=

∆1 6.62−=

∆2 :=1.82

0.51

3.37−

0.95


∆2 1.82 0.95⋅ 0.51 3.37⋅+:=

∆2 3.45=

Finalmente los giros se obtienen por los siguientes cocientes:

θ2∆1

∆:= θ3

∆2

∆:=

θ3 1.13=θ2 2.17−=

Con el valor de los giros que, como señalamos, no corresponden a los girosreales, se pueden obtener los valores de los momentos hiperestáticos. Para elhay que sumar a izquierda y a derecha los valores de los momentos en elsistema fundamental más el giro multiplicado por el valor de las rigideces. Secalculan ambos momentos que deben resultar similares en módulo aunque cosigno opuesto y esto verifica la corrección del resultado.

Mh21 M021 µ21 θ2⋅+:=Mh21 2.75tm=

Mh23 M023 µ23 θ2⋅+ m23 θ3⋅+:=Mh23 2.73− tm= (momentoflexor)

Mh32 M032 m23 θ2⋅+ µ32 θ3⋅+:=Mh32 1.14tm=

Mh34 M034 µ34 θ3⋅+:=Mh34 1.15− tm= (momentoflexor)

Las diferencias existentes responden a errores de redondeo. Con la obtencióndel momento flexor, se ha resuelto el sistema hiperestático, ahora hay queobtener los diagramas de corte.

19/28

Viga 210

Q12q210 l210⋅

2

Mh21

l210−:= Q12 3.97t=

Q12q210 l210⋅

2

Mh21

l210+:= Q12 5.42t=

Viga 211

20/28

Q23q211 l211⋅

2

Mh32 Mh23+

l210−:= Q23 2.10t=

Q32q211 l211⋅

2

Mh32 Mh23+

l210+:= Q32 1.26t=

Viga 212

21/28

Q34q212 l212⋅

2

Mh34

l210−:= Q34 2.45t=

Q43q212 l212⋅

2

Mh34

l210+:= Q43 1.84t=

Momentos de Tramo

V210

Para obtener los momentos de tramo, al no haber cargas concentradas, espreciso determinar la distancia a la cual se anula el corte.

x210Q12

q210:= x210 2.19 m=

M210 Q12 x210⋅q210 x210

2⋅

2−:=

M210 5.94tm=

V211

En forma similar se obtienen los momentos del segundo tramo.

22/28

x211Q23

q211:=

x211 2.44 m=

M211 Q23 x211⋅q211 x211

2⋅

2− Mh23+:=

M211 0.18− tm=

Como este valor es negativo, se compara con el momento de tramo de unaviga bi-empotrada que es el valor mínimo a adoptar para el dimensionamientodel tramo.

M211minq211 l211

2⋅

24:= M211min 0.55 tm=

V212

En forma similar se obtienen los momentos del tercer tramo.

x212Q34

q212:= x212 2.17 m=

M212 Q34 x212⋅q212 x212

2⋅

2−:=

M212 2.65tm=

A continuación se agrega el diagrama de esfuerzos de corte y momentosflexores.

ANEXO MATEMÁTICO Para la resolución de los sistemas de ecuaciones que suelen aparecer en el método de las deformaciones, se puede aplicar cualquier método, tales como sustituciones, sumas y restas y muchos más. Sin embargo, por su simplicidad, se utilizó el llamado Método de Cramer consistente en el cociente de dos determinantes y, por tal motivo, se hará una breve reseña de este método, no en cuanto a su fundamentación, sino a su procedimiento. En primer lugar, se recordará que los determinantes son números que se obtienen a partir de tablas o matrices cuadradas que asignan un valor numérico en cada posición. El determinante se obtiene de la suma de un número de factores iguales al grado del determinante. Por ejemplo, si la matriz posee dos filas y dos columnas, los términos de cada determinante poseen dos factores, si consta de tres filas y tres columnas, se sumarán tres factores. En particular, se indicará como se obtienen los valores de los determinantes de 2x2 que son los necesarios para la resolución del hiperestático

∆ = a11xa22 –a21xa12

Ahora bien, dado un sistema de ecuaciones del tipo siguiente:

La regla de Cramer establece que la solución del sistema se obtiene del cociente de los siguientes determinantes.

Donde:

a11

a21

a12

a22

∆

a11 x + a12 y = b1 a21 x + a22 y = b2

x∆1∆

:= y∆2∆

:=

∆ a11

a21

a12

a22

b1

b2

a12

a22

∆1

∆2 a11

a21

b1

b2

DIMENSIONAMIENTO A FLEXIÓN EN VIGAS Ya se ha visto cómo se dimensionan y eventualmente cómo se verifican secciones rectangulares de hormigón armado y, en particular, aplicamos este procedimiento a un caso en el cual siempre hay secciones rectangulares como son las losas macizas. Sin embargo, también aclaramos que en hormigón armado la sección rectangular tenía gran versatilidad ya que, aunque las secciones adoptaran formas diferentes como la forma T o la forma de un cajón podían utilizarse las mismas tablas de cálculo debido a que en definitiva existía una gran zona traccionada por debajo del eje neutro de la sección que no colaboraba con la resistencia a la flexión y cuya única función era mantener suficientemente alejada a las armaduras que se concentraban a la altura h de la sección. De esta forma, salvo las vigas triangulares, circulares o de formas muy irregulares que quedarían por afuera de este procedimiento, un gran número de vigas pueden ser resueltas como secciones rectangulares. En esta clase vamos a ocuparnos en particular del dimensionamiento de vigas en los cuales se da un fenómeno particular. En efecto, en los casos más comunes las vigas delimitan las losas sin que exista alguna solución de continuidad entre un elemento y otro. En efecto, el carácter monolítico del hormigón implica que no haya ninguna separación entre vistas y losas, salvo, por supuesto, el aumento de altura. Ahora bien, como sabemos en el caso de un elemento estructural flexado con momento flexor de signo positivo se produce una zona superior comprimida que llega hasta el eje neutro y una zona inferior traccionada en la cual se alojan en forma concentrada armaduras de acero para absorber los esfuerzos de tracción y alcanzar el equilibrio. Sin embargo, esta zona de compresión superior no se circunscribe al rectángulo de la viga sino que en la realidad se produce una colaboración de las losas adyacentes a la viga, de manera que la viga adquiere forma de “T” o de “L”.

Esto no quiere decir que las losas funcionan exactamente igual que las vigas ya que tienen deformaciones diferentes por lo cual se generan esfuerzos de resbalamiento entre una zona y la otra. Además existen otros fenómenos relativos a la diferencia de ubicación del eje neutro en una zona y en la otra.

Por último hay que tomar en cuenta que los esfuerzos de compresión en la losa van disminuyendo paulatinamente hasta desaparecer hacia el tramo de la losa.

Sin embargo, a los fines prácticos, la norma considera que se considera una repartición ideal de tensiones repartida uniformemente dentro de un “ancho activo”. Por lo cual el problema se reduce a la determinación del mencionado ancho de colaboración en la zona de momento máximo positivo de la viga. ¿Por qué digo en la zona de momento máximo positivo de la viga? Porque en realidad, si lo vemos en planta, las tensiones de compresión van creciendo paulatinamente generando trayectorias de compresión desde la zona de momento negativo donde la colaboración de la losa no existe hasta la zona más exigida de flexión positiva en la cual la colaboración de las placas adyacentes es máxima. Y digo zona de momento negativo y no apoyos porque como hemos visto el fenómeno de colaboración de la placa ocurre cuando hay compresión superior y esto sólo ocurre cuando hay momento positivo.

Como toda conclusión sobre comportamiento estructural del hormigón armado, y esta no es la excepción, surgen de la experimentación. Así también se ha comprobado empíricamente que cuando se introduce una carga concentrada en la viga, se produce una reducción del ancho de colaboración que proveen las placas adyacentes a la misma.

Adicionalmente señalamos que existen diferentes posibilidades de anchos de placa. Una para el caso de vigas con dos losas adyacentes y aquellas vigas que sólo poseen placa sobre uno de sus laterales. En el primero de los casos se habla de vigas “T” y, en el segundo de vigas “L”. En estas condiciones detallaremos los dos métodos que existen, según esta norma, para la determinación del ancho de colaboración. En primer lugar existe un método aproximado pero válido que toma en cuenta el ancho en función de la longitud de la zona comprimida. La fórmula de aplicación es la siguiente: Para el caso de vigas T: b = 1/3 x lo Para el caso de vigas L: b = 1/6 x lo Ahora bien, qué es lo, la distancia entre puntos de momento nulo que varía en función de las condiciones de vínculo de las vigas. Así para vigas simplemente apoyadas:

lo = l

Así para tramos extremos de vigas continuas:

lo = 0.80 l

Y para tramos internos de vigas continuas:

lo = 0.60 l

También hay una fórmula para voladizos, pero recordemos que, en los voladizos la placa tiene que estar abajo para colaborar, es decir tiene que ser una viga invertida, lo cual puede dar lugar a confusiones, razón por la cual la hemos omitido en este apunte. Si echamos un vistazo a las fórmulas precedentes, llegaremos a la conclusión que este método no tiene en cuenta el ancho de la losa en la dirección perpendicular a la viga, parámetro a tener en cuenta ya que hacia allí se extienden las tensiones de compresión de la viga. Por eso, hay una limitación en este método aproximado: no se pueden superponer anchos de colaboración. Es decir cada mitad de ancho no debe ser superior a la mitad de la luz de la losa en la dirección normal a la traza de la viga. También existe un método más preciso que consiste en determinar el ancho de colaboración a partir del mayor ancho disponible. Por ejemplo, en el caso de una losa entre vigas b sería igual a la mitad del ancho de los deduciendo el ancho de viga.

La tabla que se utiliza es la siguiente:

Se ingresa con la relación entre altura total de placa (no olvidemos que en las zonas comprimidas cuenta toda la sección de hormigón) y la relación entre el bi lo. Esto última longitud la distancia entre puntos de momento nulo de la viga. Con estos dos parámetros se obtiene un valor que relaciona con bi. Además hay que verificar que no haya una carga concentrada porque en ese caso, sólo se puede tomar el 60% del ancho. Pero con esta determinación no termina el problema ya que es importante determinar la ubicación del eje neutro. En efecto, todo este análisis parte del hecho de que no existe diferencia entre una sección rectangular cuyo ancho es el de colaboración de placa y una sección de forma “T” con ese mismo ancho. Sin embargo, esto sólo ocurre si el eje neutro se encuentra dentro de la placa, sino ya no tendremos una zona comprimida de ese ancho sino una zona comprimida de forma de “T”.

La ubicación del eje neutro se obtiene de la tabla del ms o del kh. En efecto, entre los datos que da la mencionada tabla existe uno denominado kx. Si se multiplica este parámetro por la altura h, se obtiene la altura de la zona comprimida. x = kx x h Cuando el eje neutro se encuentra cortando al nervio de la viga “T”, la situación es más compleja ya que no se puede considerar una viga del ancho de la placa al existir secciones de vacío que no colaboran en la compresión y que evidentemente provocarán una mayor exigencia de la viga lo que a su vez, bajará la posición del eje neutro dentro de la viga.

Por tal motivo, la norma ha ideado métodos para poder seguir resolviendo este tipo de vigas como secciones rectangulares, luego de realizar algunas correcciones. Lo primero que establece la norma es una distinción entre vigas “T” o “L”: Aquellas vigas en las cuales el ancho del alma de la viga es relativamente pequeño con respecto al ancho de la placa de la colaboración lo que se conoce como “alma delgada”. El otro caso, es el de la llamada “alma gruesa”. La diferencia entre ambos casos se define por la relación b/bo < 5, En el primero de los casos, se considera que la incidencia del ancho de alma es parcamente despreciable. Por ello, se puede realizar la siguiente simplificación: se considera una carga constante sobre la placa y se establece que el brazo elástico z es aproximadamente h – d/2, siendo d el ancho de placa. En este caso se debe en primer lugar verificar la placa a compresión mediante la siguiente fórmula: Dbu = ν x M / z = ν x M / (h – d/2) σb,m = Dbu / (d x b) < βr Para el dimensionamiento de las armaduras se puede aplicar un procedimiento similar determinando el esfuerzo total de tracción. Zu = Dbu Fe = Zu / βs En el caso de las viga de “alma gruesa”, cuando no se puede descartar lo que ocurre en el alma de la viga, se podría realizar un procedimiento exacto integrando diferenciadamente el esfuerzo de la placa y del alma. Sin embargo, es matemáticamente muy engorroso, razón por la cual existe un procedimiento simplificado que es el que se utiliza en la práctica. Este método consiste en determinar un ancho que con la misma ubicación del eje neutro conduzca a la misma resultante Dbu que la que tendría el conjunto de placa y alma. Por qué es aproximado, porque no sólo varía el valor de la

compresión sino también la ubicación de la resultante, pero a los fines del cálculo esta variación es de poca importancia. La tabla mencionada es la siguiente

Una vez determinado el ancho activo de placa para los tramos con momento positivo de las vigas se está en condiciones de dimensionar las armaduras de vigas. Tanto para los tramos como para los apoyos se utiliza el método ms o kh. La diferencia es el ancho que se utiliza. Para los momentos positivos, salvo que no exista placa o bien, exista parcialmente, las vigas sean invertidas o posean losas bajas adyacentes, es preciso obtener previamente el ancho de colaboración de placa y con este valor se determina la sección necesaria de armaduras. En caso de tratarse de una viga “I”, sin ancho de colaboración, se dimensionan las armaduras con un ancho igual al del alma de la viga (bo). Posteriormente se determinan las secciones necesarias en los apoyos. Como en este caso, el momento es negativo, igual que en los voladizos, no hay que determinar el ancho de colaboración. Una vez que determinamos las secciones, tenemos que disponer las armaduras que en este caso son un cierto número de barras. No hay limitaciones en cuanto a los diámetros de uso pero una regla no escrita que toma en cuenta posibles corrosiones de las armaduras establecen que un diámetro mínimo para armadura principal sería de 10 mm. Cuantas barras conviene disponer. Desde el punto de vista teórico siempre es mejor adoptar muchas barras de diámetros pequeños que pocas barras de diámetros grandes, pero desde el punto de vista práctico, no. En primer lugar,

existen separaciones mínimas1 entre las barras para que el hormigón penetre sin problemas entre las barras y todas las barras tienen que encontrarse contenidas en un ancho que suele ser de 12 cm de espesor. Estos es importante, particularmente en los apoyos donde confluyen armaduras de dos vigas continuas y además las armaduras de las columnas. Por eso se busca que sean pocas barras, del orden de 3 ó 4 si es posible. Siempre hay que colocar barras por exceso, es decir, en total tienen que sumar mayor sección que la necesaria. Es posible combinar barras de diferente diámetro, pero otra ley no escrita dice que las barras tienen que tener diámetros sucesivos. Es decir, con hierros de 10 mm de diámetro, podemos colocar barras de 12 mm pero no de 16 mm. ¿Cómo se arman los apoyos? Por supuesto, que en la zona superior de la viga pero, ¿de donde provienen estas barras? Existen dos posibilidades. En primer lugar, como en las losas se pueden doblar a 45%, incluso a 60% aunque no es usual, las armaduras del tramo que yo no se utilizan porque, como también ocurría en las losas se dimensiona para el máximo momento positivo. Como este valor decrece al acercarse a los apoyos, es posible utilizar estas barras. Pero hay algunas limitaciones al levantamiento de barras. Por razones que veremos en la teórica de corte, sólo es posible reducir en el apoyo el 50% de la sección del tramo y por razones constructivas deben llegar, al menos dos barras al apoyo. En los apoyos intermedios se puede levantar hasta los 2/3 del total de la sección del tramo y también, siempre es necesario dejar dos barras por razones constructivas. En efecto, las vigas rectangulares poseen las armaduras longitudinales que deben estar rodeadas de una suerte de cuadro de barras de acero de pequeño diàmetro que se colocan a una separación dada y que se denominan estribos. De los estribos vamos a hablar en la clase de corte porque su función no es solamente función constructiva, sino también estructural. Cuando superiormente no es necesario colocar armaduras para absorber momentos como en el caso de las vigas simplemente apoyadas, se colocan barras longitudinales constructivas que se denominan “perchas” para cerrar el cuadro con los estribos. Por último quisiera señalarles que se puede prescindir del doblado de barras y esta es una tendencia creciente. En efecto, es posible colocar armaduras superiores rectas que absorban las tracciones generadas por los momentos positivos sin doblar barras. La razón de este temperamento, es reducir costo de mano de obra ya que, no es lo mismo cortar una barra que lo puede hacer una persona que doblar un hierro de 20 ò 25 mm que requiere el trabajo de dos personas.

1 Según la norma, la separación entre barras debe ser el menor valor entre 2 cm, el ancho de diámetro de las barras longitudinales o el tamaño máximo del agregado grueso.

1/29

TRABAJO PRÁCTICO Nº 7 - DIMENSIONAMIENTO A FLEXIONDE VIGAS

Efectuar el dimensionamiento a flexión de las vigas de la de la planta tipo(s/PB y s/1º).

Como ejemplo se realizará el dimensionamiento de vigas de la planta s/2º(de azotea) y s/azotea.

Planta s/2º y s/ azotea

En el trabajo práctico de resolución estática de vigas (TP Nº 5) sedeterminaron los momentos flexores de tramo y apoyo. En este trabajopráctico se verifican las secciones y se determinarán las correspondientesarmaduras.

Se utilizarán, como se hizo para el caso del dimensionamiento de losas aflexion las siguientes calidades de hormigón y acero: H17 (σ'bk = 170Kg/cm²) y acero ADN 420 cuyos valores de cálculo se indican a continuación.

βs 4200kgf

cm2

:= βr 140kgf

cm2

:=

VIGAS SOBRE 2°

VIGA 201-202.

Esquema :

q201 q202a q202b

P

l201 l202a l202b

rec 3cm:= recubrimiento( )

bo201 12cm:=l201 3.90m:=

2/29

d201 40cm:=

l202a 1.95m:=h201 d201 rec−:=

h201 37cm=

bo202 12cm:= l202b 1.95m:=

d202 40cm:=l202 l202a l202b+:=

l202 3.90 m=h202 d202 rec−:=

h202 37cm=

En una viga continua se comienza por el dimensionamiento de lasarmaduras en los tramos de vigas y posteriormente se dimensionan losapoyos tomando en cuenta las armaduras que se leventan en los tramos.

Para verificar las secciones y obtener las armaduras, se debe en primerlugar obtener el ancho de colaboración de la placa adyacente para lo cual eneste caso se utilizará el método simplicado que consiste en determinar estosanchos a partir de las longitudes de tramo con momento positivo en cadauna de las vigas.

Determinación de anchos de colaboración

V201

Se trata de una viga L, empotrada articulada, por lo cual:

lo201 0.80 l201⋅:=

b201lo201

6:= b201 52cm=

Este valor debe ser simpre menor a la mitad del tramo de la losa adyacente queen este caso es:

ly202 3.90m:=ly202

2195cm= Verifica

V202

Como en su tramo central la viga 202 no recibe losa (el descanso de la escalerallega al nivel intermedio, la viga es I y el ancho de colaboración es el ancho del

3/29

llega al nivel intermedio, la viga es I y el ancho de colaboración es el ancho delalma de la viga.:

b202 bo202:= b202 12cm=

Momentos en los tramos:

Del TP5 se obtienen los valores de los momentos:

M201 1.34tm:=

msM201

b201 h2012

⋅ βr⋅

:=ms 0.013= < 0.193

En primer lugar es necesario determinar la profundidad del eje neutro paradeterminar si se encuentra dentro de la placa. De la tabla dedimensionamiento que se encuentra en anexo considerando el caso dems=0.02 ya que siempre se redondea para arriba:

kx 0.12:= x kx h201⋅:=

x 4.44cm= < 9cm, el eje neutro se encuentra dentro de la placa.

A continuación se determinan las armaduras. De la misma tabla, se obtiene:

ωM 0.037:=Fe201nec ωM

b201 h201⋅

βs

βr

⋅:=

Fe201nec 2.37cm2

=

Se adoptan 3φ12

Fe201adopt 3.39cm2

:=

M202 5.33tm:=

msM202

b202 h2022

⋅ βr⋅

:=ms 0.232= > 0.193

4/29

En este caso hay dos posibilidades, redimensionar la sección o utilizararmadura de compresión. Elegiremos esta segunda alternativa con lo cual seutiliza la tabla de armadura doble acompañada en anexo. Se adopta similarrecubrimiento en la armadura de compresión que de tracción:

d1 rec:=d1

h2020.08=

Se toma el caso de d1/h = 0.10

La armadura de compresión resulta:

ω1 0.011:=

Fe1202nec ω1b202 h202⋅

βs

βr

⋅:=

Fe1202nec 0.16cm2

=

Se adoptan 2φ10 como armadura de compresión en el tramo ubicadassuperiormente.

Fe1202adop 1.57cm2

:=

La armadura de tracción resulta:.


b202 h202⋅

βs

βr

⋅:=

Fe202nec 7.50cm2

=

En este caso se adoptan 4φ16.

Fe202adopt 8.04cm2

:=

Dimensionamiento de apoyos:

Como el momento en los apoyos es negativo no hay colaboración de la placay por eso se adopta el menor de los anchos de las vigas que concurren a él.

M201_202 4.82− tm:=

msM201_202−

b202 h2022

⋅ βr⋅

:=ms 0.210= > 0.193

5/29

También en este caso se dispone armadura de compresión sólo que en estecaso va ubicada en el apoyo en el sector inferior:

Se toma el caso de d1/h = 0.10

La armadura de compresión resulta:

ω1 0.032:=

Fe1201_202nec ω1b202 h202⋅

βs

βr

⋅:=

Fe1201_202nec 0.47cm2

=

Para el armado se prolongan dos de las tres barras del tramo de la V202. Estoes 2φ20.

Fe1201_202adop 6.28cm2

:=


ωM 0.468:=Fe201_202nec ωM

b202 h202⋅

βs

βr

⋅:=

Fe201_202nec 6.93cm2

=

De la viga V202, se levanta a 45º 1φ20. Se agregan como adicionales 2φ16.

Fe201_202adopt 2 2.01⋅ 3.14+( )cm2

:=

Fe201_202adopt 7.16cm2

=

VIGA 203

Esquema :

6/29

q203bq203a

la lb

bo203 12cm:= la 1.00m:=

d203 30cm:= lb 1.00m:=

h203 d203 rec−:= l203 la lb+:=

l203 2.00 m=h203 27cm=


V203

Se trata de una viga L, simplemente apoyada, por lo cual:

lo203 l203:=

b203lo203

6:= b203 33cm=


ly204 1.20m:= Verifica

Del TP5 se obtiene el valor del momento:

M203 0.566tm:=

msM203

b203 h2032

⋅ βr⋅

:=ms 0.017= < 0.193

En primer lugar es necesario determinar la profundidad del eje neutro paradeterminar si se encuentra dentro de la placa. De la tabla dedimensionamiento que se encuentra en anexo:

kx 0.12:= x kx h203⋅:=

7/29




b203 h203⋅

βs

βr

⋅:=

Fe203nec 1.11cm2

=

Como para vigas se utilizan como mínimo barras φ10 y es necesario colocarpor lo menos 2 barras, se adoptan 2φ10

Fe201adopt 1.57cm2

:=

VIGA 206-207

Esquema :

q206 q207

l206 l207

rec 3.00cm=

l206 4.00m:=bo206 12cm:=

d206 40cm:= l207 4.00m:=

h206 d206 rec−:=

h206 37cm=

8/29

bo207 12cm:=

d207 40cm:=

h207 d206 rec−:=

h207 37cm=




V206 - V207

Se trata de dos vigas T, empotradas-articuladas. Para ejemplificar, seobtendrá el ancho por el método más preciso que brinda el Reglamento.

Se trata de una viga T, empotrada articulada, por lo cual:

lo206 0.80 l206⋅:=

do 11cm:=

b13.90

2m:= b2

3.80

2m:=

b1

l2060.49=

b2

l2060.48=

do

d2060.28=

bm1206 0.40 b1⋅:= bm1206 78cm=

bm2206 0.92 b2⋅:= bm2206 175cm=

9/29

b206 bo206 bm1206+ bm2206+( ) 0.60⋅:=

b206 159cm=

b207 b206:=

Los valores de los momentos:

M206 1.88tm:=

msM206

b206 h2062

⋅ βr⋅

:=ms 0.006= < 0.193


kx 0.08:= x kx h206⋅:=




b206 h206⋅

βs

βr

⋅:=

Fe206nec 3.53cm2

=

Se adoptan 2φ16.

Fe206adopt 4.01cm2

:=

Como el momento es igual el dimensionamiento es válido para la viga V207.Se resalta el hecho de que al colocarse dos barras en ambos tramos, no esposible levantar armaduras para absorber los esfuerzos de tracción superioresen los apoyos.


10/29


M206_207 3.92− tm:=

msM206_207−

bo206 h2062

⋅ βr⋅

:=ms 0.170= < 0.193

La armadura superior resulta:.

ωM 0.367:=Fe206_207nec ωM

bo206 h206⋅

βs

βr

⋅:=

Fe206_207nec 5.43cm2

=

De las vigas V206 y V206, no se levantan armaduras a 45º . Se agregancomo adicionales 3φ16.

Fe206_207adopt 3 2.01⋅( )cm2

:=


=

VIGA 210-211-212

Esquema :

q210 q211

l210 l211

q212

l212

rec 3.00cm=

l210 3.80m:=bo210 12cm:=

d210 40cm:= l211 3.90m:=

11/29

h210 d206 rec−:=l212 3.80m:=

h210 37cm=

bo211 12cm:=

d211 40cm:=

h211 d211 rec−:=

h211 37cm=

bo212 12cm:=

d212 40cm:=

h212 d211 rec−:=

h212 37cm=




V210

Se trata de una viga T, empotrada-articuladas, por lo cual:

lo210 0.80 l210⋅:=

b210lo210

3:= b210 101cm=

Este valor debe ser simpre menor a la mitad de la suma de la mitad del tramoa derecha y de la totalidad del voladizo.que en este caso resulta:

lx207 4.00m:= lx206 1.20m:=

12/29

lx206lx207

2+ 3.20m= Verifica

V211

Se trata de una viga L, empotrada empotrada, por lo cual:

lo211 0.60 l211⋅:=

b211lo211

6:= b211 39cm=

Este valor debe ser simpre menor a la mitad de la suma de los tramos de laslosas adyacentes que en este caso es:

lx205 3.90m:=

lx205

21.95m= Verifica

V212

Se trata de una viga L, empotrada empotrada, por lo cual:

lo212 0.80 l212⋅:=

b212lo212

6:= b212 51cm=

Para la V212 e se verificará si el ancho es menor al disponible:

lx202 3.90m:= lx201 1.20m:=

lx201lx202

2+ 3.15m= Verifica

Los valores de los momentos:

13/29

M210 5.94tm:=

msM210

b210 h2102

⋅ βr⋅

:=ms 0.031= < 0.193


kx 0.17:= x kx h210⋅:=




b210 h210⋅

βs

βr

⋅:=

Fe210nec 4.62cm2

=

Como 5φ12 son muchas barras para colocar en 12 cm de ancho de la viga,se adoptan 3φ16 en el tramo.

Fe210adopt 6.03cm2

:=

M211 0.55tm:=

msM211

b211 h2112

⋅ βr⋅

:=ms 0.007= < 0.193


kx 0.08:= x kx h211⋅:=



14/29


b211 h211⋅

βs

βr

⋅:=

Fe211nec 0.87cm2

=

Se adoptan 2φ10 en el tramo.

Fe211adopt 1.57cm2

:=

M212 2.65tm:=

msM212

b212 h2122

⋅ βr⋅

:=ms 0.027= < 0.193


kx 0.15:= x kx h212⋅:=




b212 h212⋅

βs

βr

⋅:=

Fe212nec 3.44cm2

=

Se adoptan 2φ16 en el tramo.

Fe212adopt 4.01cm2

:=



15/29

M210_211 2.73− tm:=

msM210_211−

bo210 h2102

⋅ βr⋅

:=ms 0.119= < 0.193


ωM 0.264:=Fe210_211nec ωM

bo211 h211⋅

βs

βr

⋅:=

Fe210_211nec 3.91cm2

=

De la viga V210 se levanta a 45º 1φ16. Se agregan como adicionales 2φ12.

Fe210_211adopt 2.01 1.13+ 1.13+( )cm2

:=


=

M211_212 1.15− tm:=

msM211_212−

bo211 h2112

⋅ βr⋅

:=ms 0.050= < 0.193


ωM 0.094:=Fe211_212nec ωM

bo211 h211⋅

βs

βr

⋅:=

Fe211_212nec 1.39cm2

=

Como no se pueden levantar barras a 45° del tramo, se agregan comoadicionales 2φ10.

Fe211_212adopt 2 0.785⋅( )cm2

:=


=

VIGA 216

16/29

Esquema :

q216bq216a

la lb

P=Qa203

bo216 12cm:= la 1.20m:=

d216 40cm:= lb 3.70m:=

h216 d216 rec−:= l216 la lb+:=

l216 4.90 m=h216 37cm=


V216

Se trata de una viga L, simplemente apoyada con una cargaconcentrada, por lo cual:

lo216 l216:=

b216lo216 0.60⋅

6:= b216 49cm=


ly216 1.00m:= Verifica

El valor del momento:

M216 0.941 tm⋅:=

17/29

msM216

b216 h2162

⋅ βr⋅

:=ms 0.010= < 0.193


kx 0.08:= x kx h216⋅:=




b216 h216⋅

βs

βr

⋅:=

Fe216nec 1.09cm2

=

Se adoptan 2φ10

Fe201adopt 1.57cm2

:=

DIMENSIONAMIENTO A ESFUERZO DE CORTE Con la determinación de las armaduras de flexión no concluye el dimensionamiento de las vigas ya que los elementos flexados en las zonas cercanas a los apoyos se produce un comportamiento distinto de las mismas que provoca la aparición de esfuerzos que no son absorbidos por estas armaduras y que pueden provocar la falla de las mismas. A partir de la experiencia de colapso de elementos estructurales, ensayos y pruebas de laboratorio, como los que se observan en las fotografías siguientes, pudo determinarse que podía producirse la falla de una viga por causas deferentes de las analizadas para flexotracción, flexión pura y flexocompresión, volcadas en los diagramas de Dominios.

A ello hay que considerar el hecho de que el hormigón se fisure cuando aparecen tensiones de tracción y traslade sus esfuerzos a las armaduras de acero implicó que no fueran de aplicación las teorías de corte estudiadas para materiales homogéneos y elásticos como el acero como es la llamada teoría de Juravsky o Colignon que se ha estudiado en el curso anterior.

Para ingresar al tema se hará previamente una reseña de otras formas de rotura diferentes de las ya vistas. A continuación se puede apreciar la vista de una viga donde se indican las posibles fallas que aparecen en una viga de hormigón armado:

1) Rotura por flexión. Se incluyen tanto la rotura frágil por estallido de la

cabeza comprimida de flexión como la rotura dúctil por excesiva apertura de fisuras de tracción por flexión.

2) Rotura por tracción por esfuerzo de corte: Se produce por la apertura inadmisible de fisuras de tracción de forma oblicua cuando la armadura transversal es escasa.

3) Rotura por compresión por esfuerzo de corte: Cuando la fisura por tracción de esfuerzos de cortes se eleva demasiado reduce la sección comprimida que estalla por compresión.

4) Rotura por compresión en el alma: Se produce en vigas como almas delgadas como es el caso de las vigas T o en I (son usuales en hormigón premoldeado). Se produce por tensiones de compresión por efecto del corte que no pueden descender hacia el apoyo porque la sección de hormigón es demasiado pequeña.

5) Rotura en el apoyo: Aunque el momento en un apoyo articulado es cero aparecen en las vigas cuyas reacciones son considerables efectos de tracción en los apoyos que pueden provocar el resbalamiento de las armaduras con respecto al hormigón.

Estas formas de rotura aunque parecen de naturaleza diferente, están emparentadas de alguna u otra forma con el esfuerzo de corte, por lo que al realizar el dimensionado de hormigón armado para corte, se engloban toda esta serie de formas de rotura. ESFUERZO DE CORTE El esfuerzo de corte es la proyección de la resultante izquierda y derecha sobre una dirección normal al eje de la pieza y se expresa bajo la forma de un resbalamiento de la sección respecto de las secciones contiguas. Ahora bien, como se trata de un traslado de fuerza por fuera de la sección aparece siempre vinculado a la flexión aunque tiene una especificidad propia. Además, para el análisis del corte es preciso tomar en cuenta al conjunto de la pieza y no a secciones aisladas como se pudo ver en el tema de dominios. El efecto del esfuerzo de corte en una sección de hormigón presenta dos casos diferentes. El primer caso es el que se produce antes de que aparezca la primera fisura en el hormigón. En estas condiciones el hormigón armado se

comporta como un material similar al acero, es decir, que resiste de igual manera tracción y hormigón. Este caso es teórico ya que en realidad es casi imposible evitar que el hormigón se fisure ya que las mismas pueden aparecer en el propio proceso constructivo (discontinuidades en el hormigón, contracción por fragüe o por temperatura, etc.) y no por la aparición de esfuerzos de tracción, pero su análisis es necesario para entender por qué aparecen las fisuras por esfuerzos de corte. El segundo caso es el que corresponde al hormigón fisurado (Estado II). ESFUERZOS DE CORTE EN EL HORMIGÓN SIN FISURAR (ESTADO I) Antes de que aparezca la primera fisura en el hormigón, éste se comporta como un material elástico, similar al acero. Por eso son válidos los estudios realizados sobre materiales homogéneos como puede ser el acero y que fueron vistos en el curso anterior. Para introducir el tema, consideraremos una viga simplemente apoyada con una carga uniforme los momentos flexores de valores nulos en los apoyos crecen hacia el centro del tramo. En forma inversa, los esfuerzos de corte que son máximos en los apoyos, disminuyen hacia el centro de la viga hasta hacerse nulos. Hasta acá En el material se producen tensiones de compresión y de tracción que viajan hacia y respectivamente se alejan los apoyos, según aparece en el diagrama siguiente:

Como puede observarse las trayectorias de las tensiones tracción (inferiores) y de compresión (superiores) se encuentran prácticamente paralelas a la dirección de la viga en el centro de la misma. Esto se explica por la teoría de flexión que ya ha sido estudiada. Ahora bien, también resulta claro que estas direcciones se curvan al atravesar el eje neutro adquiriendo direcciones a 45º y 135º. Esto se explica por la Teoría de Resistencia de Materiales y excede los alcances de este curso, pero la explicación es que cuando no hay tensiones por efecto de la flexión, pero sí hay tensiones tangenciales estas no sólo tienen la dirección vertical sino que también tienen una dirección paralela al del eje neutro (tensiones de resbalamiento). La combinación de ambas tensiones

provoca lo que se llama un estado biaxial de tensiones lo que da origen a la aparición de tensiones oblicuas con los ángulos de inclinación mencionados. La aparición de tensiones tangenciales es producto de nuestra comodidad al elegir un eje de coordenadas X e Y paralelo y normal al eje de la viga. En realidad existen dos direcciones en cada sección denominadas direcciones principales en las cuales las tensiones tangenciales son nulas. A esas direcciones corresponden las llamadas tensiones principales σI y σII. Sin embargo, es muy engorroso trabajar directamente con tensiones principales ya que al cambiar los esfuerzos no sólo cambian de valor sino también de dirección. Por ello se trabaja por separado con tensiones de flexión y de corte y, de ser necesario se combinan para obtener las tensiones principales de acuerdo a las siguientes fórmulas:

Cuando en una viga actúan el momento flexor y el esfuerzo de corte se producen distribuciones de tensiones normales y tangenciales de acuerdo a las siguientes dos leyes: Ahora bien combinando ambas tensiones se obtienen las tensiones principales y de allí el diagrama obtenido anteriormente. Flexión M σ = W Jouravsky - Colignon Q x Sy

τ = J x b Gráficos Una forma simplificada de obtener la tensión cortante en el eje neutro de una viga rectangular resulta de la siguiente deducción. b x h²

Sy = 8

b x h3 J = 12

Q x Sy 3 x Q τ = = J x b 2 x b x h De aquí resulta que cuando el esfuerzo de corte es máximo se producen tensiones de compresión y de tracción que en el eje neutro poseen una inclinación de 45º y 135º. En la ilustración siguiente se observa la diferente inclinación de las tensiones a diferentes alturas de la sección bajo la acción de flexión y corte.

ESFUERZOS DE CORTE EN EL HORMIGÓN FISURADO (ESTADO II) Cuando aparecen fisuras en el hormigón las tensiones cortantes se comportan en forma diferente en la zona comprimida del hormigón que en la zona traccionada. En la primera el hormigón se comporta como un material homogéneo y por lo tanto la fórmula de Collignon sigue siendo válida, pero al sobrepasar el eje neutro el hormigón deja de colaborar y las tensiones cortantes se mantienen constantes hasta llegar a la armadura de tracción como se indica en el gráfico. El hecho de que entre el eje neutro y las armaduras sólo existan tensiones transversales produce que las tensiones principales mantengan su inclinación (45º y 135º) y ello explica por qué en la rotura por corte, cerca de los apoyos (donde el esfuerzo de corte es grande) aparezcan fisuras inclinadas a 45º que nacen en la zona inferior y se prolongan hasta el eje neutro. Asimismo como la tensión cortante desde el eje neutro su valor viene determinado por la fórmula deducida en el punto anterior.

Q τ= b x z Fue investigador alemán E. Mörsch una teoría que permite explicar el funcionamiento de una viga de hormigón armado cuando la misma se encuentra fisurada por efectos del esfuerzo de corte. Su la conoce como “TEORÍA DEL RETICULADO ANÁLOGO” o “ANALOGÍA DEL RETICULADO. Consiste en asimilar una viga de hormigón armado a un reticulado ideal en el cual las barras comprimidas representan al hormigón y las barras traccionadas a las armaduras de acero. Considerando un reticulado de igual luz que una viga simplemente apoyada de hormigón armado, los cordones superiores e inferiores representan los esfuerzos de compresión y de tracción respectivamente, característicos de la flexión. El cordón comprimido es de hormigón, en tanto que el cordón traccionado es de acero (las armaduras del dimensionamiento a flexión). En el alma, las fisuras inclinadas que se forman determinan prismas (de ancho igual al ancho de la viga) de hormigón de 45º de inclinación con dirección hacia los apoyos (diagonales comprimidas). A su vez las armaduras que “cosen” las fisuras tienen dirección perpendicular a las anteriores, estas serían las armaduras de corte (diagonales traccionadas a 45º) que descienden del cordón superior hacia el inferior, alejándose de los apoyos. Ahora bien, un reticulado no sólo puede armarse con barras inclinadas, también puede formarse colocando barras verticales que trabajen a tracción. Estas armaduras verticales que cumplen también una función constructiva ya que envuelven las armaduras horizontales y se denominan “estribos”, también se utilizan como armadura para absorber esfuerzos de corte. En la práctica al proyectar la armadura de corte, debe tenerse presente que no basta con considerar reticulados simples, estáticamente determinados ya que debido a la gran separación que se producen entre barras traccionadas una fisura que se origine entre ellas puede llevar a la rotura. En consecuencia se combinan diagonales y estribos que están más juntos conformando reticulados de alta hiperestaticidad. La teoría expuesta por Mörsch tuvo aceptación universal y siempre debe suponerse la inclinación de los elementos comprimidos a 45º y elegir la inclinación de la armadura del alma entre β = 45º y β = 90º. Planteando el reticulado con bielas de compresión a 45º y bielas de tracción con una inclinación entre 45º y 90º, se pueden ir descomponiendo fuerzas a partir de los nudos.

Comenzando por el nudo del apoyo A, lo primero que puede notarse es que existe una componente horizontal de tracción en el apoyo que no existiría de considerarse a la viga como “de alma llena”. Por ejemplo si consideramos una viga de alma llena con una carga concentrada en su eje: Al existir momento nulo en el apoyo tanto los esfuerzos de compresión como de tracción son nulos. Asimismo el momento máximo genera los siguientes esfuerzos de compresión y de tracción. Si se trazan los diagramas de compresión y de tracción obtenidos a partir de M/z y se les superpone los correspondientes al reticulado se obtiene. Comparando los diagramas podemos observar que la formulación de la analogía del reticulado no sólo determina los esfuerzos en el hormigón y en la armadura por efecto del corte. También tiene influencia en los esfuerzos tracción y de compresión producto de la flexión. No en cuanto a su valor máximo por lo que sigue siendo válido el dimensionamiento efectuado por el método Kh y ms, pero sí en cuanto a la extensión de esos esfuerzos. En efecto el diagrama de esfuerzos de tracción de las armaduras sufre un desplazamiento de valor “v”, también llamado decalaje, además de lo ya dicho en cuanto a que en el apoyo existe un esfuerzo de tracción en estas barras.

En realidad desde el tiempo en que Mórsch planteó su teoría mucho tiempo ha pasado y las investigaciones han continuado postulando reformas a esta idea. En particular, se ha postulado que la inclinación de las barras comprimidas puede ser menor lo que tiene como efecto una reducción en las armaduras necesarias para absorber el corte. Este cambio complejiza el reticulado simple considerado por Mörsch, incluso porque si se reduce la armadura necesaria, las diagonales comprimidas se aplanan. Para mantener las ventajas de cálculo de la teoría de Mörsch se utiliza el concepto de grado de cobertura del esfuerzo cortante según la teoría de Mörsch y se cuantifica mediante una factor denominado η (eta del alfabeto griego). Si se considera la combinación de barras dobladas y estribos verticales la descomposición de fuerzas es la siguiente:

Como puede verse, mantener la armadura a 45º junto con los estribos verticales disminuye el esfuerzo en las armaduras, pero aumenta el esfuerzo de compresión en el alma de la viga. En conclusión puede establecerse que: a) Al disminuir la inclinación de las diagonales comprimidas se reduce

sensiblemente el esfuerzo de tracción de las armaduras, lo que implica que se necesita menos cuantía. Sin embargo, el esfuerzo de compresión en el alma aumenta lo que aumenta el riesgo de rotura por compresión de alma (caso c, pág.).

b) Las tensiones de compresión inclinadas en el alma cuando se utilizan solamente estribos es aproximadamente el doble de las mismas tensiones cuando se utilizan barras dobladas.

c) La sección necesaria de armadura de barras inclinadas es menor que la de

estribos. Como contrapartida, el rendimiento del material no es tan grande ya que hay que considerar que las longitudes de anclaje (longitud necesaria para que la barra reciba los esfuerzos que le transmite el hormigón) son mucho mayor. Asimismo, desde el punto de vista de la productividad de la mano de obra la utilización de estribos es mucho más conveniente.

EFECTOS DE LA APLICACIÓN DE FUERZAS Y DE APOYOS Cuando se producen cargas sobre las vigas existen diferentes efectos según la carga se traslade a los apoyos por compresión o tracción. En el primer caso el efecto es favorable en cuanto a los esfuerzos de corte ya que responde a la configuración del reticulado análogo. Las fuerzas comprimen el apoyo viajando por el hormigón sin provocar incrementos en los esfuerzos en las armaduras, lo que permite reducir su valor. Cuando la carga “cuelga” de la estructura es necesario que se tome en cuenta este efecto colocando una armadura vertical o inclinada que traslade la fuerza hacia el cordón superior. El efecto de reducción por apoyo tiene dos casos. El primero, denominado apoyo directo, es aquel en el cual la viga apoya sobre un elemento que trabaja a compresión (columna o tabique). En ese caso la reducción es máxima ya que es caso más favorable. El segundo caso, apoyo indirecto, corresponde a los apoyos de viga sobre otra viga. En este caso la viga apoya sobre un nudo del reticulado correspondiente a la otra viga. En este caso la reducción debe ser menor y hay que prever una armadura en la viga para transmitir los esfuerzos al extremo superior DIMENSIONAMIENTO AL CORTE SEGÚN EL CIRSOC 201 Basándose en la analogía del reticulado con las modificaciones indicadas el Reglamento argentino CIRSOC, inspirado en la norma alemana DIN 1045, establece una secuencia de pasos para dimensionar la armadura por corte, la cual como es rotura dúctil (con fisuración previa) utiliza un coeficiente de seguridad ν = 1.75. El primer paso consiste en realizar la reducción del esfuerzo de corte, producto del efecto de los apoyos. Para ello no toma como valor de corte el máximo sino que desplaza la coordenada mediante un valor r: Este valor depende del tipo de apoyo Apoyo directo: cuando la viga descarga sobre un elemento comprimido como puede ser una columna o un tabique.

c + h

r = 2 + 2 donde: c (ancho de apoyo del elemento comprimido) h (altura útil de la viga) Apoyo indirecto: cuando la viga apoya sobre otra viga. h

r = 2 donde: c (ancho de apoyo del elemento comprimido) h (altura útil de la viga) Con el valor de corte reducido se obtiene la tensión de corte τo. Como hemos visto este valor es también válido para el Estado II (fisurado) El bo es el valor del ancho de alma de la viga (no el del ancho colaborante de la placa) y el valor de z se puede obtener de diferentes maneras: a) z = Kz x h donde Kz es un valor que se obtiene del cálculo de Kh o ms. b) z = 0.85 x h que es un valor más conservador Dado que cuando menor es la cuantía (relación entre sección de acero y de hormigón) mayores son las tensiones de compresión en el hormigón, la posibilidad de reducirlas depende de la capacidad a compresión del hormigón que surge de la resistencia característica. De esta forma para las diferentes calidades de hormigón, las tensiones de corte definen tres zonas, a partir de valores de tensión límite. Hay que tener en cuenta que para cada tipo de hormigón hay un valor máximo para una sección dada que impide el riesgo de rotura por compresión de alma. Una vez establecido este límite el resto del cálculo consiste en determinar la armadura necesaria para absorber los esfuerzos de tracción. A continuación indicaremos que significan estas tres zonas que han quedado definidas.

ZONA 1 τo < τo12 La norma establece que debido a que en esta zona las tensiones de corte son tan bajas que no es necesario realizar una verificación de la armadura para esfuerzos de corte. La inclinación de las bielas comprimidas puede ser muchos menor a 45º por lo que los esfuerzos en las armaduras son de poca magnitud.

Sin embargo, para cualquier zona el CIRSOC 201 establece que tiene que haber un grado de cobertura (η) del 40% de la tensión de corte: τ = η x τo = 0.40 x τo ZONA 2 τo12 < τo < τo2 En esta zona el valor de la tensión e corte es tal que es necesario verificar la armadura para absorber los esfuerzos de corte. Sin embargo, se puede admitir una reducción. En este caso la inclinación de las diagonales comprimidas es menor a 45º pero no inferior a los 14º. Ahora bien como en el límite superior la situación es prácticamente la correspondiente a la teoría de Mörsch el grado de cobertura va decreciendo, con un mínimo de 0.40. Estas es una función cuadrática, sin embargo, a los efectos prácticos se considera una función lineal con la tensión reducida como valor máximo. ZONA 3 τo2 < τo < τo3 En esta zona el valor de la tensión es tan alto que no se admite ningún tipo de reducción del corte para dimensionar las armaduras. Las bielas de compresión tienen una inclinación de 45º por lo que la teoría de Mörsch es válida y por lo tanto el grado de cobertura η = 1. En el caso de superarse el límite superior, existe riesgo de rotura frágil por compresión en el alma y, por tal motivo, hay que redimensionar la sección.

Los valores límite surgen de la tabla siguiente:

DIMENSIONAMIENTO DE ARMADURAS PARA ABSORBER EL ESFUERZO DE CORTE Ya hemos anticipado que las armaduras para absorber esfuerzos de corte deben poseer una inclinación entre 45º y 90º. Los estribos están formados por barras de pequeño diámetro (entre 6 mm y 12 mm) que conforman un cuadro que envuelve las armaduras horizontales y que se colocan a una separación uniforme. Para pequeños anchos de vigas se utiliza un único estribos, pero si el ancho es mayor a 40 cm se pueden colocar estribos dobles, triples, etc. No sólo se utilizan como armadura de corte, también cumplen funciones constructivas y son útiles para limitar la fisuración del alma de la viga por efectos de contracciones de fragüe, acciones térmicas, etc. Por esta razón, las vigas siempre tienen que tener estribos con una separación máxima y deben absorber, al menos un 25% de los esfuerzos de corte. Las separaciones máximas de estribos dependen de la zona de corte en que se encuentre la viga. La tensión que absorben los estribos surge de la siguiente fórmula: 2 x n x βs

τest =

s x bo x ν donde: n (cantidad de estribos) βs (tensión de fluencia del acero, para el acero Tipo III: 4200 Kg/cm²) s (separación de estribos) bo (ancho del alma de la viga)

ν (coeficiente de seguridad que como en este caso es rotura dúctil, es igual a 1,75)

Es posible utilizar estribos como única armadura de corte. Es cierto que producen un aumento del consumo del material, pero, como contrapartida, existe un ahorro sustancial de mano de obra y una reducción del tiempo de armado lo que ha provocado que una tendencia al abandono del doblado de barras. En esta caso, para el cubrimiento de la armadura de flexión en apoyos se utilizan barras rectas adicionales. Además de los estribos se puede absorber el corte con barras dobladas. Estas barras comúnmente se inclinan a 45º, sin embargo, en vigas muy altas pueden levantarse a 60º. En general economizan material no sólo porque la inclinación a 45º es más eficiente sino porque puede utilizarse como armadura de corte las barras que se levantan para cubrir los momentos negativos de los apoyos de flexión. De no disponerse armaduras suficientes para absorber la totalidad del corte pueden colocarse barras inclinadas adicionales sólo para absorber corte. El esfuerzo de tracción que deben absorber las barras dobladas corresponde al volumen de tensiones determinado por el ancho de la viga y la diferencia entre las tensiones de estribos y la tensión de corte (efectuadas las reducciones por zona).

τest

τ0 - τest

Estr ibos

Barras dobladas

Para determinar la longitud de la base del triángulo (l1) se utiliza el principio de la semejanza de triángulos de lo que resulta: (τo - τest)

l1 = τo

El esfuerzo de tracción que deben absorber las armaduras es: (τo - τest) x l1 x bo

Z = 2 Con este esfuerzo se determina la sección de acero necesaria que debe cubrirse con las barras. Como al inclinarse a 45° la sección de las barras es mayor, la sección necesaria resulta:

τest

τ0 - τest

Est ribos

Barras dobladas

Z x βs

Febd = 2 x ν con ν (1,75, rotura dúctil) DOBLADO DE BARRAS Una vez determinada la armadura de flexión y corte se puede determinar la longitud y la ubicación de las barras. De esta forma se pueden realizar los planos y planillas de armaduras. Los primeros indican la ubicación de las mismas y en las segundas se vuelca la longitud a cortar ya doblar de cada barra. Para determinar la ubicación de las armaduras de corte se debe tener en cuenta que las mismas se dimensionaron con la hipótesis de que la tensión de todas las barras era igual. Al mismo tiempo hay que tener presente que la influencia de una barra para absorber corte tiene una longitud máxima. El esfuerzo que absorbe cada barra viene determinado por el área del diagrama de tensiones en cuyo baricentro se encuentra. Existen métodos para determina las áreas iguales de un triángulo, como por ejemplo el método de Pendarieff, pero su aplicación práctica es restringida. Lo que sí hay que tomar en cuenta es que todo la extensión de la parte del diagrama de tensiones absorbido por barras dobladas debe estar cubierto y que las barras deben estar ubicadas de manera escalonada (no doblar barras muy próximas entre sí). Por

otra parte, hay que tener en cuenta que existen separaciones máximas de las barras de acuerdo a la zona en la que se encuentran. Ahora bien, el armado también incluye a las armaduras de flexión. Las mismas se dimensionan para el máximo de los momentos de tramo y para los momentos de apoyo. Sin embargo, no es necesario que las armaduras superiores e inferiores se continúen a todo lo largo de la viga ya que eso significaría un consumo excesivo de material. Las barras inferiores del tramo pueden levantarse en los apoyos y utilizarse para absorber la flexión en los mismos. Según la norma se pueden levantar hasta la mitad de la armadura en un apoyo final y hasta 2/3 en un apoyo intermedio, siempre dejando dos barras inferiores como mínimo. Asimismo las barras que ya no absorben esfuerzos de tracción (como las armaduras adicionales de apoyo) se pueden cortar. ¿En qué punto puedo doblar las barras o cortarlas? En efecto, es necesario que la armadura absorba el esfuerzo de tracción en cada sección sin exceder la tensión límite. Asimismo hay que considerar que toda barra necesita una longitud de anclaje para alcanzar su tensión de trabajo y otro detalle del cual ya hemos hablado al considerar la analogía del reticulado: el decalaje “v”. El decalaje (ver pág.) surgía de considerar a la viga de hormigón armado como un reticulado, lo que también significaba que en el apoyo se debía cubrir el esfuerzo de tracción que se producía.

El procedimiento para determinar la ubicación, corte y doblado de las armaduras se obtiene dibujando el diagrama de esfuerzos de tracción. Para

ello en primer lugar hay que aplicar la siguiente fórmula:

Z = M / (Kz x h) A continuación se calcula el decalaje según la siguiente tabla: Desplazando el diagrama de Z se obtiene el diagrama de esfuerzos tracción. Posteriormente se obtiene el esfuerzo que absorbe cada barra mediante el siguiente cálculo: Zφ = Fe (cm²) x 2400 Kg/cm² Sumando los esfuerzos de cada barra se obtiene el diagrama de esfuerzos resistentes de las barras que nunca debe cortar al diagrama de esfuerzos de tracción, incluyendo el decalaje.

Combinando la necesidad de cubrir al corte y al diagrama de esfuerzos de tracción se determina la ubicación en que se pueden cortar y doblar las barras. En la práctica este procedimiento es engorroso por lo que sólo se realiza en las vigas importantes de una planta, utilizándose reglas prácticas en la mayor parte de los casos. A continuación se resumen gráficamente diferentes prescripciones relativas al armado de vigas a flexión y corte.

TRABAJO PRÁCTICO Nº 8 - DIMENSIONAMIENTO AL CORTE

Efectuar la verificación de la sección y el dimensionamiento de las armadurasde corte de algunas vigas de la planta tipo (s/PB y s/1º).Como ejemplo se realizará la verificación de la sección y eldimensionamiento de las armaduras de corte de algunas vigas de la plantas/2º (de azotea) y s/azotea.

Planta s/2º

Anteriormente se llevó a cabo la resolución estática de las vigas de estaplanta. Allí no sólo se obtuvieron los momentos flexores delos puntos importantes, sino también los esfuerzos de corte.

En el presente caso, dada la similtud que presentan las mayoría de loscasos, se efectuará la verificación y el dimensionamiento al corte de dosvigas de un tramo y otra de dos.

Como en los restantes casos se utiliza hormigón H17 y acero ADN 420.

σ 170kgf

cm2

:=βs 4200

kgf

cm2

:=

Como se adopta un hormigón H17, los valores de las tensiones límites paracada zona son:

τ012 6.5kgf

cm2

:= τ02 18kgf

cm2

:= τ03 25kgf

cm2

:=

VIGA 201-202

Esquema :

l201 3.90m:= q201 1.74t

m:=

d201 40cm:= bo201 12cm:=

h201 d201 3cm−:= h201 37cm=

l202a 1.95m:= q202a 0.98t

m:=

l202b 1.95m:= q202b 1.41t

m:=

d202 40cm:= bo202 12cm:=

h202 d202 3cm−:= h202 37cm=

Qa201 2.16t:= Qb201 4.63− t:=

Qa202 6.16t:= Qb202 4.11− t:=

Viga 210Apoyo a

Por tratarse de un apoyo de viga sobre columna es un apoyo directo yentonces la reducción considera el ancho de la columna que se suele estimaren 20cm.

rh201 20cm+

2:= r 28.5cm=

Qa201red Qa201 q201 r⋅−:=Qa201red 1.664t=

Con el corte reducido, se obtiene la tensión tangencial τo


z 0.85 h201⋅:=

τoQa201red

bo201 z⋅:= τo 4.409

kgf

cm2

=

Los valores que delimitan las zonas para las diferentes calidades de hormigón,se agregan a continuación.

En este caso nos encontramos en la Zona 1. Solamente es preciso cumplir conel planteo general de que siempre hay que cubrir el 40% de la tensión de corte.

τ 0.40 τo⋅:=τ 1.764

kgf

cm2

=

En primer término, se dimensionan los estribos que deben cubrir, por lo menosel 25% de la tensión de dimensionamiento y cuya separación máxima se indicaen el cuadro siguiente:

Para los estribos es usual utilizar armaduras entre φ6 mm y φ12 mm. En estecaso probamos con φ6 separados 30 cm que es la separación máxima.

n 1:=Fe6 0.28cm

2=

sep 30cm:=ν 1.75:=

τestmin 0.25 τ⋅:=τestmin 0.441

kgf

cm2

=

τest2n Fe6⋅ βs⋅

sep bo201⋅ ν⋅:= τest 3.77

kgf

cm2

= τ>

τestmin>

El análisis prosigue con la zona próxima al apoyo b:

Reducción del corte por apoyo

rh201 20cm+

2:= r 28.5cm=

Qb201red Qb201− q201 r⋅−:=Qb201red 4.134t=


z 0.85 h201⋅:=

τoQb201red

bo201 z⋅:= τo 10.954

kgf

cm2

=

Estamos en Zona 2 por lo cual se puede aplicar la reducción siguiente:

ττo

2

τ02:=

τ 6.666kgf

cm2

=

que siempre debe ser mayor que 0.4 τo.


n 1:=Fe6 0.28cm

2=

sep 25cm:=ν 1.75:=


kgf

cm2

=



kgf

cm2

= τestmin>

Para tomar el resto del corte se utilizarán barras dobladas:

Diagrama de tensiones tangenciales (τ)

Es necesario en primer término determinar la longitud del diagrama de corte:

lqQa201

q201:=

lq 1.24 m=

xτ τest−( ) lq⋅

τ:= x 0.4 m=

Después se obtiene el volumen de tensiones (no hay que olvidar que lastensiones se aplican en todo el ancho de la viga) que es una cuña de fuerzasfuerza de tracción.

Z τ τest−( ) x bo201⋅

2⋅:= Z 0.51t=

FebdZ ν⋅

2 βs⋅:= Febd 0.15cm

2=

Como en el tramo hay 3φ12, se levanta 1φ12 para absorber el esfuerzo decorte.

Viga 202

Apoyo a:

Reducción del Corte por apoyo.

En el presente caso, se trata de un apoyo de viga sobre columna, es decirun apoyo directo.Por tal motivo, la coordenada en que se tomará el corte es la que se obtienea continuación:

rh202 20cm+

2:= r 28.5cm=

Qa202red Qa202 q202a r⋅−:=Qa202red 5.881t=


z 0.85 h202⋅:=

τoQa202red

bo202 z⋅:= τo 15.582

kgf

cm2

=

Estamos en Zona 3 por lo cual se no pueden aplicar reducciones.


n 1:=Fe6 0.28cm

2=

sep 15cm:=ν 1.75:=


kgf

cm2

=



kgf

cm2

= τestmin<


Diagrama de tensiones tangenciales (τ)

Como hay una carga concentrada donde cambia de signo del diagrama decorte es 1.95m:

lq 1.95m:=

En este caso el área no es un triángulo sino un trapecio.

Z

τo τoq202a lq⋅

bo202 z⋅−

+

2 τest⋅−

lq⋅ bo202⋅

2:= Z 12.895t=

Con esta fuerza y tomando en cuenta que la barra está doblada a 45°, seobtiene la sección de acero necesaria.

FebdZ ν⋅


2=

Existen 3φ20 por lo que se levanta 1φ20 y se debe agregar otro φ16 comoarmadura adicional por corte. Como regla general, se agregan armaduras a losumo unrago de diámetro superior o inferior a las existentes.

Feadop 6.28cm2

:=

Apoyo b:

Reducción del Corte por apoyo.

En el presente caso, se trata de un apoyo de viga sobre columna, es decirun apoyo directo.Por tal motivo, la coordenada en que se tomará el corte es la que se obtienea continuación:

rh202 20cm+

2:= r 28.5cm=

Qb202red Qb202− q202b r⋅−:=Qb202red 3.708t=


z 0.85 h202⋅:=

τoQb202red

bo202 z⋅:= τo 9.826

kgf

cm2

=

Estamos en Zona 2 por lo cual se puede aplicar la reducción siguiente:

ττo

2

τ02:=

τ 5.363kgf

cm2

=

que siempre debe ser mayor que 0.4 τo.


n 1:=Fe6 0.28cm

2=

sep 25cm:=

ν 1.75:=


kgf

cm2

=



kgf

cm2

= τestmin>


Por simplicidad, se procederá por partes para obtener el volumen de tensiones.

τaux

τoq202b lq⋅

bo202 z⋅−

2

τo2:=

τaux 0.43kgf

cm2

=

xτ τest− τaux−( ) lq⋅

τ τaux−:= x 0.16 m=

Z τ τest−( ) x bo201⋅

2⋅:= Z 0.08t=

FebdZ ν⋅


2=

Se dobla 1φ20 de la armadura existente inferior.

Febd 3.14cm2

:=

VIGA 203

Esquema :

q203a 1.59t

m:=

q203b 0.59t

m:=

la 0.95m:= lb 0.95m:=

d 30cm:= bo 12cm:=

h d 3cm−:= h 27cm=

Qa203 1.344t:= Qb203 1.012− t:=

Comenzamos con el análisis de la zona próxima al apoyo a:


Por tratarse de un apoyo de viga sobre viga es un apoyo indirecto y entoncesla reducción es menor

rh

2:= r 13.5cm=

Qa203red Qa203 q203a r⋅−:= Qa203red 1.129t=


z 0.85 h⋅:=

τoQa203red

bo z⋅:= τo 4.101

kgf

cm2

=

En este caso nos encontramos en la Zona 1. Solamente es preciso cumplir conel planteo general de que siempre hay que cubrir el 40% de la tensión de corte.

τ 0.40 τo⋅:=τ 1.64

kgf

cm2

=

En primer término, se dimensionan los estribos que deben cubrir, por lo menosel 25% de la tensión de dimensionamiento y cuya separación máxima se indicaen el cuadro siguiente:

n 1:=Fe6 0.28cm

2=

sep 30cm:=ν 1.75:=


kgf

cm2

=

τestn Fe6⋅ βs⋅

sep bo⋅ ν⋅:= τest 1.88

kgf

cm2

= τo>

τestmin>

Para el apoyo b:


Por tratarse de un apoyo de viga sobre viga es un apoyo indirecto y entoncesla reducción es menor

rh

2:= r 13.5cm=

Qb203red Qb203− q203b r⋅−:= Qb203red 0.932t=


z 0.85 h⋅:=

τoQb203red

bo z⋅:= τo 3.385

kgf

cm2

=

τ 0.40 τo⋅:=τ 1.354

kgf

cm2

=

n 1:= cantidad deestribos( )Fe6 0.28cm

2=

sep 30cm:=ν 1.75:= (coeficiente de

seguridad para roturadúctil)


kgf

cm2

=

τestn Fe6⋅ βs⋅

sep bo⋅ ν⋅:= τest 1.88

kgf

cm2

= τo>

τestmin>

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