Estudio de la estabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.
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Estudio de la estabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Referencia bibliográfica: “BIOFISICA- Procesos de autoorganización en Biología” de Francisco Montero y Federico Morán Presentación a cargo de Victoria Gradin
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Estudio de la estabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias. Referencia bibliográfica:. “BIOFISICA- Procesos de autoorganización en Biología” de Francisco Montero y Federico Morán. Presentación a cargo de Victoria Gradin. Ejemplo: Proceso cinético. k i : ctes. cinéticas - PowerPoint PPT Presentation
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Estudio de la estabilidad de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Referencia bibliográfica: “BIOFISICA- Procesos de autoorganización en Biología” de Francisco Montero y Federico Morán
Presentación a cargo de Victoria Gradin
Ejemplo: Proceso cinético
XA kk 11
YX kk 22
BY kk 33
ki : ctes. cinéticas
A, B se mantienen fijas
X, Y son variablesºº
XkAkdt
dXv 11
11
YkBkdtdY
v 333
3
222
22
dt
dXYkXk
dtdY
v
YkXkkAkdtdX
2211 )(
BkYkkXkdtdY
3322 )(
2121
vvdtdX
dtdX
dtdX
Definiciones y conceptos básicos
* Ecuación diferencial (ED): Ecuación que relaciona una función y sus derivadas
...,, 21xtfdtdx
t: variable dependiente
x: variable dependiente
i: parámetros que afectan a la función f
La solución de una ED es una función x(t)
Orden de una ED:
Es el orden de la derivada de mayor orden
kxdtdx
kxdtdx
dtxd 2
2
Orden 1
Orden 2
Ecuación diferencial lineal
Es una ED donde la función f es lineal en la variable x
kxdtdx Lineal
No lineal2kxdt
dx
Ecuación diferencial autónoma
Se da cuando la variable dependiente, t, no aparece de modo explícito en la función f.
kxdtdx
)(tsenkxdtdx
Autónoma
No Autónoma
Sistemas de ecuaciones diferenciales
YkXkkAkdtdX
2211 )(
BkYkkXkdtdY
3322 )( Dimensión = 2
Dimensión de un sistema de ED.: Número de variables dependientes
Cualquier ED de orden mayor a 1 se puede transformar en un sistema equivalente de EDs de primer orden
Cykdtdy
kdtyd
k 012
2
2
)(21 txdtdx
2
21102 )()(k
txktxkCdtdx
ytx )(1
dtdy
tx )(2
Cambio de variables
Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO)
ED o sistemas de ED de primer orden cuyas variables y parámetros son números reales
...,,...,,,
...,,...,,,
...,,...,,,
2121
212122
212111
nnn
n
n
xxxtfdtdx
xxxtfdtdx
xxxtfdtdx
Resolver el sistema de ED implica que a partir de ciertas condiciones iniciales podamos conocer el valor de las variables para cualquier valor del tiempo.
X(t=0)
Y(t=0)
X(t)
Y(t)
Teorema de existencia
Si las funciones fi son continuas, dadas ciertas condiciones iniciales el sistema de EDO tiene solución
...,,...,,,
...,,...,,,
...,,...,,,
2121
212122
212111
nnn
n
n
xxxtfdtdx
xxxtfdtdx
xxxtfdtdx
Teorema de unicidad
Por cualquier punto solo pasa una solución o trayectoria.
Orbitas, espacio o plano de faseplano de fase
órbita
Estabilidad de las soluciones de un sistema de EDO
Estabilidad según Liapunov
Una solución es estable según Liapunov si las soluciones que pasan por puntos cercanos permanecen en los alrededores de la misma incluso a tiempo infinito.
Inestabilidad
Una solución es inestable si cualquier otra que pasa por un punto muy próximo a ella se aleja de la misma.
Estabilidad asintóticaUna solución es asintóticamente estable si cualquier otra que pase por un punto cercano se le aproxima en el infinito.
Estabilidad orbital (Válida para las soluciones periódicas)
Una solución es orbitalmente asintóticamente estable sí y sólo sí su órbita es asintóticamente estable.
Ciclo límiteEs una órbita periódica que ha de ser asintóticamente estable, inestable o semiestable.
Estable Inestable Semiestable
SOLUCIONES
ESTACIONARIAS
...,,...,,,
...,,...,,,
...,,...,,,
2121
212122
212111
nnn
n
n
xxxtfdtdx
xxxtfdtdx
xxxtfdtdx
Resolver estos sistemas y hallar sus soluciones explícitamente en general es MUY DIFICIL!!!!
Nos conformamos con hallar ciertas soluciones particulares Estados estacionarios del sistema
Estados estacionarios
Son aquellas soluciones en las cuales las variables del sistema no varían con el tiempo
t
x
y
x(t) = x0
y(t)=y0 0
0
dtdydtdx
...,,,
...,,,
21
21
yxtfdtdy
yxtfdtdx
y
x
0...,,,
0...,,,
21
21
yxtf
yxtf
y
x
yxdtdy
ykxdtdx
2
0
02
yx
ykx
Ejemplo: Modelo de Lotka - Volterra
ykxykdtdy
xykAxkdtdx
32
21
x: población de presas
y: población de predadores
Hallamos los estados estacionarios:
0
0
32
21
ykxyk
xykAxk 1) x0=0 y0=0
2) x0=k3/k2 y0=k1A/k2
¿Qué tan estables son los estados estacionarios?
¿Son estables según Liapunov?
¿Son asintóticamente estables?
¿Son inestables?
Perturbación
x(t)=x0+x(t)
y(t)=y0+ y(t)
...,,,
...,,,
21
21
yxtfdtdy
yxtfdtdx
y
x
...,,,)(
...,,,)(
2100
0
2100
0
yyxxtfdt
yyd
yyxxtfdt
xxd
y
x
yy
fx
x
f
dtyd
yyf
xxf
dtxd
yy
xx
00
00
Haciendo un desarrollo de Taylor de las funciones fx y fy y asumiendo perturbaciones pequeñas:
Sistema que representa la evolución temporal de las perturbaciones en las proximidades del estado estacionario
yy
fx
x
f
dtyd
yyf
xxf
dtxd
yy
xx
00
00
22
0
21
0
12
0
110
ay
fa
x
f
ay
fa
x
f
yy
xx
yaxadtyd
yaxadtxd
2221
1211
Jacobiano del sistema
2221
1211
aa
aaJ
Resolver este sistema es relativamente facil porque es un sistema lineal
twtw
twtw
ededty
ecectx21
21
21
21
)(
)(
c1, c2, d1, d2 son ctes. que dependen de las cond. iniciales
w1 y w2 son los valores propios de la matriz jacobiana
2221
1211
aa
aaJ
Determinación de valores propios
02221
1211
waa
awa
24
0
0)()(
0))((
2
2
21122211
2211
2112221122112
21122211
TTw
Tww
aaaa
aaT
aaaawaaw
aawawa
242 TT
w
twtw
twtw
ededty
ecectx21
21
21
21
)(
)(
1) >0 T<0 T2-4 0
242 TT
ww1 y w2 son reales negativos
twtw
twtw
ededty
ecectx21
21
21
21
)(
)(
El estado estacionario es asintóticamente estable
NODO ESTABLE
2) >0 T<0 T2-4 < 0
242 TT
ww1 y w2 son complejos con parte real negativa
)()( )Im(2
)Im(1
)Re( twitwtw ececetx
El estado estacionario es asintóticamente estable
FOCO ESTABLE
3) >0 T=0 T2-4 < 0
242 TT
ww1 y w2 son imaginarios puros de diferente signo
twitw ecectx )Im(2
)Im(1)(
El estado estacionario es estable según Liapunov
CENTRO
4) >0 T>0 T2-4 0
242 TT
ww1 y w2 son reales positivos
twtw
twtw
ededty
ecectx21
21
21
21
)(
)(
El estado estacionario es inestable
NODO INESTABLE
5) >0 T>0 T2-4 < 0
242 TT
ww1 y w2 son complejos con parte real positiva
El estado estacionario es inestable
FOCO INESTABLE
)()( )Im(2
)Im(1
)Re( twitwtw ececetx
6) <0 T cualquiera T2-4 > 0
242 TT
ww1 y w2 son reales de diferente signo
El estado estacionario es inestable
PUNTO SILLAtwtw
twtw
ededty
ecectx21
21
21
21
)(
)(
CONCLUSION
La condición necesaria y suficiente para que el estado estacionario sea asintóticamente estable es que todas las partes reales de los valores propios sean negativas.
Basta que uno de los valores propios tenga una parte real positiva para que el estado estacionario sea inestable.
Ejemplo: Modelo de Lotka - Volterra
ykxykdtdy
xykAxkdtdx
32
21
x: población de presas
y: población de predadores
Hallamos los estados estacionarios:
0
0
32
21
ykxyk
xykAxk 1) x0=0 y0=0
2) x0=k3/k2 y0=k1A/k2
ykxykdtdy
xykAxkdtdx
32
21
30
2
0
220
2
0
21
02
0
120
210
11
kxky
fayk
x
fa
xky
faykAk
x
fa
yy
xx
1) Estado estacionario x0 = y0 = 0
3
1
0
0
k
AkJ
w1 y w2 son reales y de diferente signo
PUNTO SILLA
2) Estado estacionario x0 = k3/ k2 y0 = k1A/ k2
0
0
1
2
Ak
kJ
w1 y w2 son dos imaginarios puros
CENTRO
