ESTUDIO DEL PROCESO DE INICIACIN DEL CRAZING EN EL

POLICARBONATO

Autor : Marcos Romero de la Osa Vadon.

Tutor : Federico Pars Carballo.

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AGRADECIMIENTOS : Este proyecto de fin de carrera no habra sido posible sin un cierto nmero de personas

que durante todo el desarrollo del trabajo me han prestado su apoyo y colaboracin y a las que aprovecho para agradecer su dedicacin.

Para empezar debo agradecer a Rafael Estvez y Christian Olagnon por todo el tiempo que me han consagrado, la documentacin y consejos recibidos y por toda la ayuda recibida sin la cual este proyecto no habra visto la luz.

Debo agradecer tambin a Nesrine Saad su atencin y ayuda prestadas en la realizacin de los ensayos mecnicos de caracterizacin ; en los cuales su experiencia se ha mostrado crucial para la obtencin de los resultados que aqu se presentan.

Igualmente, agradezco a Guy Massal por la calidad y la precisin de su trabajo y por el tiempo dedicado en la preparacin de las probetas utilizadas.

Este proyecto no habra sido posible tampoco sin la ayuda de Federico Paris Carballo y de Alberto Barroso Caro, cuya ayuda, consejos y dedicacin han permitido que este proyecto sea presentado.

Finalmente agradezco a todas las personas que, aunque no hayan sido mencionadas explcitamente, han aportado su granito de arena en la realizacin de este proyecto.

Marcos Romero de la Osa Vadon.

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INDICE:

Pgina

PORTADA. 1

AGRADECIMIENTOS. 2

INDICE. 3

RESMEN. 5

1) INTRODUCCION GENERAL. 8

2) ANLISIS PRELIMINAR. 15

2.1) Anlisis del estado tensional por elementos finitos con una 18 descripcin simplificada del comportamiento.

2.2) Presentacin de la solucin analtica de Hill. 29 2.3) Discusin sobre la aplicabilidad de la solucin analtica para 32

calcular las tensiones crticas que provocan la iniciacin.

3) ANLISIS EXPERIMENTAL. 42

3.1) Ensayos sobre probetas tipo DENT. 42 3.2) Ensayos sobre probetas tipo SENT. 46 3.3) Anlisis del facies de ruptura. 47

4) ANALISIS NUMRICO. LEY DE COMPORTAMIENTO 51

CARACTERSTICA DE LOS POLIMEROS AMORFOS.

4.1) Simulacin de los ensayos sobre probetas tipo DENT. 52 4.2) Simulacin de los ensayos sobre probetas tipo SENT. 55 4.3) Comparacin de los resultados obtenidos en la simulacin con la 59

solucin analtica de Hill.

5) SIMULACIN DEL PROCESO COMPLETO DE CRAZING. 64

5.1) Breve introduccin al mtodo de cohesive zone. 64

5.2) Mallado de las probetas utilizadas en los ensayos mecnicos. 67

5.3) Resultados de la simulacin con la tcnica de cohesive zone. 71

ANEXO 1 : Modificacin del cdigo FORTRAN. 76

4

ANEXO 2 : detalle del programa en MATLAB para la realizacin del 81

mallado de las probetas tipo SENT y DENT.

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS. 92

5

RESMEN : El comportamiento a ruptura de los polmeros amorfos se centra en el anlisis

experimental del fenmeno de crazing. Los crazes son geomtricamente similares a unas microfisuras cuyos labios se encuentran unidos por fibrillas de material ; se desarrolla siguiendo tres procesos : llegados a un valor crtico de tensin se produce la iniciacin, posteriormente se suceden los procesos de alargamiento y rotura de las fibrillas, con la consecuente aparicin de una fisura.

En este proyecto, realizaremos un estudio del proceso de iniciacin del crazing en el policarbonato. Su elevada ductilidad nos obliga a realizar en paralelo un anlisis experimental y otro numrico para poder obtener el valor crtico de la tensin que provoca la iniciacin.

La observacin del fenmeno de crazing en el policarbonato slo es posible en presencia de un elevado gradiente de tensiones en el material, lo que evita una plastificacin generalizada de la seccin. La eleccin de la geometra ms apropiada para la realizacin de los ensayos mecnicos se basa en los resultados obtenidos a partir de un clculo preliminar realizado mediante la tcnica de los elementos finitos (ABAQUS) y bajo la suposicin de un comportamiento elasto-plstico perfecto del material. Las configuraciones elegidas se corresponden con probetas de tipo DENT o SENT, presentando unas entallas con radios de 0.25y 0.5 mm. La eleccin del criterio adecuado para predecir la iniciacin del crazing tambin es tratada en este clculo preliminar ; el criterio propuesto por Ishikawa y al., que prev la aparicin de crazes cuando la componente hidrosttica del tensor de tensiones alcanza un valor crtico es escogido de entre las diferentes propuestas existentes.

El anlisis experimental del crazing se lleva a cabo mediante la realizacin de ensayos de traccin sobre probetas entalladas; en estos ensayos se persigue la localizacin del lugar en que el proceso de iniciacin tiene lugar. Los ensayos muestran la aparicin de crazes para una distancia a partir del fondo de la entalla de x/ 1.4 ( radio de la entalla)

La tensin crtica necesaria para la iniciacin se obtiene a partir de un clculo por elementos finitos haciendo uso de la ley de comportamiento visco-elasto-plstica del policarbonato, que presenta una relajacin de tensiones una vez el lmite elstico del material ha sido superado y un endurecimiento posterior. Dados los valores de x/ obtenidos en los ensayos mecnicos, el criterio de iniciacin elegido prev la aparicin de crazes para un valor de hcr 95 MPa. La comparacin de las dos soluciones propuestas para el clculo de la tensin crtica (analtica a partir de la teora de Hill y numrica mediante el uso de la verdadera ley de comportamiento), pone de manifiesto que una primera aproximacin al valor de la misma es posible a partir de la aplicacin de la teora de las bandas de deslizamiento.

Finalmente, una verificacin del valor de la tensin crtica calculado es realizada haciendo uso de la tcnica de cohesive zone, mediante comparacin de las fuerzas a rotura de la probeta obtenidas en ensayos experimentales y simulaciones numricas.

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INTRODUCTION GENERALE :

Le comportement en rupture des polymres amorphes est abord au travers de lanalyse exprimentale du craquelage. Les craquelures sont gomtriquement semblables des micro-fissures pontes par des fibrilles de matire. Il procde selon trois tapes : amorage pour un tat de contrainte local critique, largissement et rupture des fibrilles avec la cration dune fissure localement.

Dans ce PFE, une tude du craquelage dans le polycarbonate est mene. Son

comportement ductile (le craquelage est prcd dune dformation plastique importante) ncessite un travail exprimental et numrique en parallle. Lanalyse du craquelage dans le polycarbonate ncessite un gradient de contrainte lev pour favoriser le dveloppement dune plasticit non tendue.

Une tude prliminaire par E.F. avec ABAQUS en considrant un comportement

simplifi de type lastique-plastique parfait pour le polycarbonate est ralise pour dfinir la gomtrie plus approprie pour lanalyse du craquelage. La configuration propose correspond une gomtrie type DENT avec des rayons dentaille de 0.25 et 0.5 mm. Le choix du critre pertinent pour dfinir lamorage est galement trait dans cette analyse ; une condition en contrainte critique telle que prvoit lapparition des craquelures lorsque la contrainte hydrostatique atteint une valeur maximum est choisie par mis les diffrents critres proposs dans la littrature (Ishikawa 1977).

Lanalyse exprimentale du craquelage est mene partir de la ralisation des essais de

traction sur des chantillons entaills. Les essais montrent lapparition du craquelage pour une distance en avant du fond dentaille de x/ 1.4 ( rayon dentaille).

Ltat de contrainte local critique pour lamorage est obtenu partir dun calcul par

E.F. en utilisant une loi de comportement lasto-visco-plastique avec adoucissement et durcissement mesure que la dformation augmente reprsentant effectivement la rponse du polycarbonate. Pour des valeurs de x/ 1.4 le critre damorage choisi prvoit lapparition des craquelures pour une valeur de hcr 95 MPa temprature ambiante. Une comparaison entre les rsultats numriques provenant de la simulation et la solution propose par la thorie de Hill montre comme lutilisation de cette solution analytique est valable en premire approximation pour estimer la valeur de la contrainte critique, bien que le comportement rigide plastique parfait utilis pour le calcul analytique de Hill soit notablement diffrent de celui des polymres amorphes.

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ABSTRACT :

Fracture mechanism on polymers is experimentally studied by crazing analysis. Crazes are geometrically similar to micro-cracks linked by material fibrils. Crazing can therefore be divided into three phases : initiation for a critical stress level, widening and fibril breakdown with the consequent creation of a crack.

In this project, crazing phenomena in polycarbonate will be characterized. Its ductile behaviour requires developing the numerical and experimental studies together.

A F.E. preliminary study with ABAQUS is done with an perfect elastic-plastic material to choose, between the possible options, the geometry the more adequate to our mechanical tests. The final geometry for the test tubes is a DENT configuration, with the next notch radios : 0.25 and 0.5 mm. The better criteria to predict crazing is also dealed here; the Ishikawa et al. criteria (1977), which predicts crazing for a maximum hydrostatic stress level is chosen by the different criteria proposed by the consulted publications.

Experimental analysis consists in traction tests in notched specimens and craze initiation site localisation. Tests show that crazing takes place for a distance of x/ 1.4 ( notch radio) behind the notch ending.

Critical stress releasing crazing phenomena is obtained by a finite elements calculus with the true viscous-elastic-plastic behaviour on polycarbonate, characterized by softening immediately after yielding followed by progressive strain hardening at large deformations. For a distance of x/ 1.4, the crazing initiation criterion gives a stress of 95 MPa at a room temperature. The comparison between Hill stress prediction and the numerical results show that an initial approach to the critical stress value by the analytic solution is possible.

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1) INTRODUCCIN GENERAL :

Los materiales polimricos, en gran parte derivados del petrleo, constituyen un grupo de materiales cuyas propiedades particulares : reducido peso especfico, resistencia a los agentes corrosivos, reducido coste, han propiciado su uso intensivo en las ms diversas aplicaciones. Su utilizacin, sin embargo, se encuentra sometida a la resolucin de ciertas problemticas relativas al diseo y concepcin de piezas realizadas con este tipo de materiales ; siendo motivo de un gran nmero de estudios recientes y futuros los aspectos relacionados con la correcta determinacin de la ley de comportamiento (visco-elasto-plstica y anistropa) y el conocimiento de los mecanismos de fallo tanto a bajas como a elevadas velocidades de solicitacin. En este proyecto nos centraremos en el estudio de los mecanismos de fallo que podemos encontrar en los polmeros amorfos ; ms concretamente, nuestro proyecto persigue la determinacin de un criterio adecuado que permita la previsin del fenmeno conocido como crazing en el policarbonato.

Los polmeros amorfos presentan en su comportamiento mecnico dos modos de fallo : la deformacin plstica mediante bandas de deslizamiento y el fenmeno de crazing.

La deformacin plstica en dichos polmeros se produce mediante las denominadas bandas de deslizamiento : zonas alargadas y de pequeo espesor en las cuales se concentra la deformacin plstica sufrida por el material. Este modo particular de deformarse el material encuentra su explicacin en la singularidad de su ley de comportamiento, en la cual puede observarse un fenmeno de reblandecimiento tras plastificacin seguido de un endurecimiento posterior del material (fig.1).

0

50

100

150

200

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

(MPa)

fig. 1 : ley de comportamiento visco-elasto-plstica del policarbonato. (Saad-1). Observamos la dependencia de

la ley de comportamiento con la velocidad de deformacin, as como el reblandecimiento y endurecimiento posterior una vez el lmite elstico del material ha sido superado.

9

Esta ley de comportamiento caracterstica suscita en los polmeros amorfos una tendencia a deformarse mediante bandas de deslizamiento, como ha sido demostrado en un estudio publicado por E. Van der Giessen y J. Lai (VdG-1) ; en el cual, mediante el uso de la tcnica de los elementos finitos, los autores muestran como la intensidad del reblandecimiento y el endurecimiento posterior son dos parmetros que controlan el desarrollo de la regin plstica en los polmeros amorfos.

El crazing es el mecanismo responsable de la fisuracin en los polmeros amorfos.

Los crazes son geomtricamente similares a microfisuras cuyos labios se encuentran unidos por pequeas fibrillas estiradas de material, orientadas siguiendo la direccin de la carga aplicada; la presencia de estas fibrillas les confiere una cierta resistencia mecnica y diferencia el comportamiento mecnico del craze del que podemos observar en una fisura. El crazing se desarrolla siguiendo tres procesos (fig. 2) : iniciacin, alargamiento de las fibras y rotura de las mismas con la consecuente creacin de una microfisura localmente. En este proyecto nos centraremos en el estudio del proceso de iniciacin ; para que este fenmeno tenga lugar, se necesita de un estado de tensiones hidrosttico de traccin (I1 > 0, I1 primer invariante del tensor de tensiones).

fig. 2 : etapas del crazing en un polmero (Introduction la mcanique des polymres).

Podemos distinguir tres etapas bien diferenciadas en el proceso de iniciacin :

Creacin de micro-vacos en el material : en esta etapa el rol de la tensin hidrosttica es fundamental, dado que la aparicin de dichos micro-vacos es consecuencia de un estado triaxial de tensiones de traccin.

Coalescencia de los micro-vacos. Formacin de las fibrillas, las cuales se orientan siguiendo la direccin de la carga

externa aplicada (direccin perpendicular al craze).

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Estudios publicados por R. Estvez y E. Van der Giessen (Est-1) muestran como el fallo en el material se producir mediante deformacin plstica o mediante crazing en funcin de la competicin entre las dos cinticas asociadas a cada uno de los procesos para unas condiciones de solicitacin dadas, siendo ambos mecanismos de naturaleza viscoplstica.

En los polmeros amorfos podemos distinguir dos tipos de comportamiento : dctil y frgil.

En los polmeros con comportamiento frgil (PMMA, PS), los crazes aparecen y se desarrollan en una matriz con comportamiento elstico o viscoelstico. Ensayos realizados sobre estos materiales han llevado a la proposicin de diversos criterios, los cuales predicen el proceso de iniciacin del fenmeno de crazing cuando un valor crtico de tensin o deformacin es alcanzado :

Criterio de Sternstein, Myers y Ongchin (Ste-1) :

1

0

210

IB

Ae += ; (1)

A0 y B0 parmetros del material, eventualmente dependientes de la temperatura.

I1 primer invariante del tensor de tensiones. Cuantifica la triaxialidad del tensor de tensiones (I1 = 1 + 2 + 3 ; i tensiones principales del tensor de tensiones).

Hay que indicar que los autores no definen 2, pudiendo tratarse de la tensin principal intermedia si seguimos una notacin en tensiones principales (1 > 2 > 3 ; i tensiones principales del tensor de tensiones) o la tensin mnima en el plano considerado para una situacin en tensiones o deformaciones planas (1 > 2 ; i tensiones principales en el plano considerado).

Criterio de Oxborough y Bowden (Oxb-1) :

( )1

00

321 IY

Xc ++= ; (2)

X0 et Y0 parmetros del material, eventualmente dependientes de la temperatura.

coeficiente de Poisson.

I1 primer invariante del tensor de tensiones.

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Criterio muy similar en forma (pero ms general) al propuesto por Sternstein y al. (1), presenta la ventaja con respecto al anterior que las tensiones a utilizar se encuentran perfectamente definidas.

Criterio de Argon y Hannoosh (Arg-1) :

QIC

A

y

e

21

21+

== ; (3)

A, C y Q parmetros del material, eventualmente dependientes de la temperatura.

y lmite elstico del material.

I1 primer invariante del tensor de tensiones.

Criterio en tensiones crticas muy similar en forma a los presentados con anterioridad. A diferencia del criterio de Sternstein (1), no presenta ambigedad en su definicin, pues la tensin 2 se corresponde con la tensin principal mnima en el plano considerado.

Los ensayos mecnicos de caracterizacin que Sternstein (1969) ha realizado en este tipo de materiales se han llevado a cabo en probetas consistentes en una placa rectangular sometida a traccin con un orificio en su interior (fig. 3) :

fig. 3 : probeta para un ensayo de iniciacin sobre polmeros amorfos con comportamiento frgil.

La aplicacin de la solucin analtica (elstica) existente para este problema permite, una vez delimitado el contorno entre las zonas con y sin crazes, definir un estado de tensin/deformacin crtico.

En la totalidad de los ensayos de caracterizacin realizados para determinar dichos criterios la temperatura de ensayo ha sido superior a T (temperatura de relajacin, a partir de

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la cual se producen movimientos locales de las cadenas libres, no interconectadas) ; sin embargo, ningn estudio acerca de su aplicabilidad por debajo de esta temperatura ha sido todava publicado. En este proyecto, los ensayos mecnicos se llevarn a cabo a la temperatura ambiente (Tamb >> T = -100C); la aplicabilidad de estos criterios ser, por tanto, considerada en nuestro estudio de la iniciacin del crazing en el policarbonato.

En los polmeros amorfos dctiles (policarbonato), la iniciacin se produce despus de que haya tenido lugar una cierta deformacin plstica, apareciendo el craze en el lmite entre las zonas plstica y elstica. Ms concretamente en el lugar en que las bandas de deslizamiento se cruzan (fig. 4).

fig. 4 : Fotografa de un craze en el policarbonato (ensayo sobre una probeta tipo DENT).

Si la geometra presentada anteriormente para los polmeros amorfos con comportamiento frgil es utilizada en un ensayo sobre un polmero amorfo con comportamiento dctil, el fallo de la probeta se producir por plastificacin generalizada de la seccin y el fenmeno de crazing no tendr lugar (fig. 5) :

fig. 5 : plastificacin generalizada sin aparicin de crazes sobre una probeta con orificio.

Para evitar la deformacin plstica generalizada, buscamos una configuracin en la que se generen gradientes de tensiones ms importantes. La geometra propuesta se corresponde con una probeta de tipo DENT (double edge notched tension) (fig. 6):

craze

zona deformada plsticamente

0.5 mm

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fig. 6 : probeta tipo DENT (double edge notched tension) (The stress analysis of cracks handbook).

Con la eleccin de esta probeta la regin plstica queda confinada en la regin que rodea la entalla y tiene lugar el fenmeno de crazing (fig. 3).

La teora de las bandas de deslizamiento de Hill prev un valor mximo de la tensin hidrosttica en el lugar en que las bandas de deslizamiento se cruzan; valor que viene dado por la siguiente expresin analtica :

++=

xI 1ln2131 ; (4)

x distancia entre el lugar de iniciacin y el extremo de la entalla.

radio de la entalla.

lmite elstico a cizalladura (2 = y2/3).

I1 primer invariante del tensor de tensiones.

De entre los criterios propuestos a partir de ensayos realizados sobre los polmeros amorfos con comportamiento dctil podemos citar :

Criterio de Ishikawa, Narisawa y Ogawa (Ish-1) :

Prev la aparicin de los crazes una vez la tensin hidrosttica ha alcanzado un valor crtico. Como hemos visto anteriormente, la microcavitacin precede la iniciacin de los crazes y este fenmeno necesita de un estado de tensiones global de traccin con una importante componente triaxial. Este hecho ha llevado a los autores a considerar la tensin hidrosttica como un parmetro adecuado para prever la aparicin del proceso de iniciacin del crazing, definiendo un valor crtico de I1 (en este documento nos referiremos

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indistintamente a la tensin hidrosttica y al primer invariante del tensor de tensiones, siendo ambos proporcionales : I1/3 = h).

La zona plastificada en el fondo de la entalla presenta un comportamiento similar al predicho por Hill en su teora de las bandas de deslizamiento : las lneas que se observan en la zona plastificada se adaptan bien a la forma logartmica de las bandas de deslizamiento previstas en la teora de Hill. La aplicacin de esta teora permite la obtencin de una solucin analtica al problema analizado a partir de la cual podemos definir un valor de la tensin crtica una vez conocida la distancia entre el fondo de la entalla y el lugar de iniciacin del crazing (4).

La teora de las bandas de deslizamiento se basa en la hiptesis de un comportamiento plstico perfecto del material. Se aplica con resultados satisfactorios en materiales que no presentan endurecimiento, reblandecimiento ni dependencia del lmite elstico con respecto al primer invariante del tensor de tensiones [y(I1)] ; estas razones hacen que su aplicacin a nuestro caso de estudio sea, por lo menos, cuestionable.

Trabajos realizados por M. Ishikawa y I. Narisawa (Ish-2) ponen en evidencia la importancia de la tensin hidrosttica en la iniciacin del crazing en el policarbonato. En esta publicacin los autores muestran, tras la realizacin de ensayos de flexin sobre probetas entalladas en una cmara bajo presin, la existencia de una fuerte dependencia del comportamiento a ruptura del policarbonato con respecto a la tensin hidrosttica. Si la iniciacin del crazing tiene lugar cuando un valor crtico de la tensin hidrosttica es alcanzado, la imposicin de una presin externa suficientemente grande debe inhibir el proceso de iniciacin, producindose el fallo del material por plastificacin generalizada de la probeta sin aparicin de crazes.

Los ensayos realizados muestran que para una presin externa dbil, el fallo se produce por formacin y posterior propagacin de una fisura generada por crazing ; sin embargo, el momento aplicado y el desplazamiento a ruptura aumentan considerablemente con dicha presin. Llegados a un cierto valor crtico de la presin, el modo de ruptura cambia : ningn craze aparece y el fallo en el material se produce por deformacin plstica generalizada.

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2)ANALISIS PRELIMINAR :

Hemos sealado anteriormente que la geometra escogida para nuestra probeta se corresponde con una geometra de tipo DENT, lo que favorece la generacin de un estado triaxial de tensiones de traccin que aumenta con la carga externa aplicada.

Una vez la geometra adecuada ha sido escogida, procedemos al dimensionado de la probeta; para ello haremos uso del programa comercial ABAQUS (basado en el mtodo de los elementos finitos), habiendo modelizado varias probetas con diferentes dimensiones (fig. 7). La configuracin escogida debe presentar la carga aplicada lo suficientemente lejos de la entalla para evitar los efectos de borde derivados del sistema de sujecin de la probeta a la mquina de traccin y poder entonces utilizar la solucin analtica que resulta de la teora slip line fields (bandas de deslizamiento).

fig. 7 : geometras y dimensiones estudiadas por M.E.F.

Dimensiones de las probetas estudiadas :

Radios de entalla : 0.25 et 0.5 mm.

Ancho : 10 mm (para favorecer un estado de deformaciones planas en la zona central de la probeta con el consiguiente aumento de la tensin hidrosttica).

a/W = .

a = 5 mm.

La ventaja de la utilizacin de las probetas de tipo B con respecto a las probetas de tipo A est en poder llevar el ensayo hasta la ruptura ; lo que nos permite realizar un anlisis del facies de ruptura en las entallas que han provocado el fallo de la probeta y obtener la distancia entre el fondo de la entalla y el craze (parmetro que, segn la solucin propuesta a partir de la aplicacin de la teora de Hill (4), controla el valor de la tensin hidrosttica) en aquellas entallas que no han roto. El uso de probetas tipo A requiere el cese de la carga externa

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aplicada una vez el craze se haya formado, lo que obliga a un control constante de la probeta a lo largo del ensayo.

El material utilizado en la simulacin presenta un comportamiento elasto-plstico perfecto ; sus propiedades son las siguientes :

E = 1300 MPa (mdulo elstico o de Young).

= 0.39 (coeficiente de Poisson).

y MPa= 60 (lmite elstico del material).

Esta ley no es caracterstica del comportamiento del policarbonato (fig.1) y, por consiguiente, los resultados obtenidos con la misma nos permitirn realizar nicamente una estimacin del estado de tensiones en el material. Su utilizacin, sin embargo, nos dar las bases para fijar las dimensiones de nuestras probetas a partir de una simulacin mucho menos costosa en tiempo con respecto a una simulacin con la verdadera ley de comportamiento (fuertemente no linear debido a la presencia del reblandecimiento y el endurecimiento).

La presencia de dos planos de simetra en nuestra geometra nos permitir disminuir la superficie de mallado y, por tanto, una resolucin ms rpida del problema.

Los elementos del mallado son de tipo triangular cuadrtico (6 nodos/elemento).

Con el fin de obtener una representacin adecuada del perfil de tensiones en la zona de estudio (regin que rodea la entalla) (fig. 8), realizaremos un mallado con elementos de pequeo tamao.

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fig. 8 : mallado con elementos triangulares. Probeta tipo A con h = 30 mm y = 0.25 mm.

Las condiciones de contorno impuestas se enumeran a continuacin (fig. 9):

Traccin en el extremo superior : desplazamiento siguiendo la direccin vertical impuesto y desplazamiento siguiendo la direccin horizontal impedido.

Condiciones de simetra en el borde derecho y en el extremo inferior del modelo.

Condicin de borde libre en el resto de caras.

18

fig. 9 : condiciones de contorno impuestas a nuestra probeta.

2.1) Anlisis del estado tensional por elementos finitos con una descripcin simplificada del comportamiento :

A partir de los resultados obtenidos en las simulaciones, conviene escoger una variable que nos permita comparar dos estados de carga equivalentes en probetas de diferentes dimensiones.

Los pasos incrementales de la simulacin vienen dados por la variable step-time :

ct

fu

utimestep

2

2= ;

u2 desplazamiento total en la direccin vertical (parmetro de ABAQUS)

u2f desplazamiento final impuesto siguiendo la direccin vertical.

u2fh=60 = 2 u2fh=30 = 4 u2fh=15.

tc tiempo total de carga (1 seg. en nuestras simulaciones).

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Para poder comparar soluciones procedentes de simulaciones con probetas de diferentes dimensiones debemos obtener los step-time equivalentes.

Para ello, nos hemos servido en primer lugar de la variable deformacin media impuesta :

0

0222 ln h

hu += ;

h0 altura inicial.

u2 desplazamiento vertical impuesto.

22 deformacin media impuesta.

La eleccin de esta variable responde a la facilidad de su obtencin (directa) a partir del conocimiento del step-time correspondiente. Sin embargo, su utilizacin ha sido desechada debido a los resultados obtenidos : dos probetas presentando un mismo valor de esta variable no se encuentran sometidas a un mismo estado de carga externa aplicada y no son, por tanto, comparables.

La comparacin de los resultados obtenidos en las diferentes simulaciones debe de realizarse atendiendo a estados de carga equivalentes (misma carga externa aplicada en el ensayo de traccin) ; la variable escogida para ello ser la tensin media aplicada. La obtencin de esta variable requiere de un postratamiento de los resultados de la simulacin ; ms concretamente de la fuerza aplicada en los nodos del extremo superior del modelo (nodos con desplazamiento vertical impuesto) :

SRF= 222 ;

S rea resistente sobre la cual la carga externa es aplicada (S = W).

RF2 fuerza aplicada sobre los nodos del mallado de la superficie superior del modelo siguiendo la direccin vertical (reaction force).

22 tensin media aplicada.

A partir de 22 podemos comparar las distintas configuraciones de ensayo propuestas.

Los resultados obtenidos muestran la existencia de una diferencia notable en el campo de tensiones global entre probetas de diferente geometra (tipo A o B) a causa de los efectos de borde (fig. 10) :

20

fig. 10 : representacin del campo de tensiones de Von Mises para probetas con = 0.5 mm y h = 15 y 30 mm respectivamente. Tensin media aplicada de 35 MPa.

Sin embargo, estas diferencias apreciables a nivel global no lo son a nivel local. Si nos centramos en la regin que rodea la entalla no se observa ninguna diferencia notable entre las dos geometras presentadas (fig. 11) :

fig. 11 : representacin del campo de tensiones equivalentes de Von Mises en la regin que rodea la entalla.

Probetas con = 0.5 mm y h = 15 y 30 mm respectivamente. Tensin media aplicada de 35 MPa.

0.5 mm 0.5 mm

30 mm 15 mm

0.5 mm 0.5 mm

TIPO B (15 cm) TIPO A (30 cm)

TIPO B (15 cm)

TIPO A (30 cm)

21

En conclusin, ninguna decisin puede ser tomada a partir de la visualizacin directa de los resultados de la simulacin. La observacin de la evolucin de las tensiones en la regin que rodea la entalla es necesaria para estimar la influencia de los efectos de borde en las diferentes geometras propuestas.

2.1.2) Eleccin del criterio de iniciacin :

Los criterios propuestos en las diferentes publicaciones consultadas para prever el proceso de iniciacin del crazing han sido presentados anteriormente (Ishikawa et al., Oxborough et al., ). En este apartado nos centraremos en la eleccin del criterio ms adecuado a nuestro material y a nuestras condiciones de carga y geometra de entre las diferentes posibilidades a partir de los resultados obtenidos en las simulaciones.

Como hemos visto anteriormente, los campos de tensiones en las diferentes geometras propuestas presentan un comportamiento similar en la regin que rodea la entalla. La eleccin del criterio ms adecuado se realizar, por tanto, a travs de un anlisis acerca del comportamiento de los diferentes parmetros propuestos en los criterios de iniciacin sobre una geometra definida aleatoriamente (se ha escogido la correspondiente a una probeta tipo A con h = 30 mm y = 0.25 mm).

Antes de proceder a la presentacin de los resultados obtenidos es necesario realizar ciertas indicaciones para una correcta comprensin de los mismos :

Para evitar las confusiones de notacin, hay que sealar que las direcciones representadas como 1 y 2 no se corresponden con las direcciones principales de tensin tridimensionales (13D 23D 33D) ; sino que, dado que estamos tratando con un problema en deformaciones planas, se corresponden con las direcciones principales de tensin en el plano considerado (1 = 13D ; 2 = 33D). La direccin 3 se corresponde con la tensin en la direccin perpendicular al plano (3 = 23D).

En las grficas que presentaremos a continuacin estudiaremos la variacin de los parmetros utilizados en los criterios de iniciacin en diversos puntos a lo largo del plano de la entalla (plano en el que los crazes aparecen). Cada curva representa la evolucin del parmetro estudiado sobre cada punto durante el proceso de carga de la probeta.

Siguiendo el orden de presentacin de los criterios enunciados anteriormente, el primer parmetro objeto de estudio ser 21 (fig. 12), parmetro que encontramos en los criterios de Sternstein y al. (1) y Argon y al. (3) :

22

fig. 12 : evolucin de 21 en diferentes puntos del plano de la entalla.

En esta figura podemos apreciar como 21 crece de manera continua a lo largo del proceso de solicitacin y, llegados a un cierto valor de la carga aplicada, alcanza un valor lmite dado por 2. Este valor se corresponde con el lmite elstico del material bajo condiciones de deformacin plana, como lo muestra el crculo de Mohr de un material rgido-plstico perfecto solicitado bajo condiciones de deformacin plana (3 = [1 + 2])y que ha alcanzado el valor lmite en su criterio de plastificacin (fig. 13).

fig. 13 : representacin del crculo de Mohr para un estado de deformaciones planas.

23

Una vez el valor de 2 es alcanzado, 21 se estabiliza y cesa en su crecimiento ; esto es debido a la ley de comportamiento del material (elastoplstica perfecta) utilizada en el modelo, que mantiene constante el valor de la tensin equivalente de Von Mises una vez el material ha plastificado.

Podemos afirmar, por tanto, que 21 se mantiene constante una vez el material ha plastificado. Las publicaciones consultadas acerca del fenmeno de crazing en el policarbonato sitan como lugar de iniciacin de los crazes precisamente la interfaz elastoplstica del material, lo que implica 21 = cte. en nuestra zona de inters.

En conclusin, este parmetro no vara a lo largo del proceso de carga y no ser, por tanto, un parmetro adecuado para definir nuestro criterio de iniciacin del fenmeno de crazing.

Este parmetro aparece en los criterios de Argon y al. (3) y de Sternstein y al. (1). La imposicin de un valor constante de 21 en ambos nos lleva a la obtencin de un criterio equivalente en forma al propuesto por Ishikawa y al. (4) : el crazing aparece cuando la tensin hidrosttica alcanza un valor crtico que es funcin del material y de la temperatura.

(1) : 1

0

21

0

IB

Ae += 1

00

IB

Acte + crIActe

BI 10

0

1 =

(2) :

QIC

A

y

e

21

21

+=

QIC

Acte

y21+

crICcte

KI 11 =

El segundo parmetro objeto de estudio es 31 (fig.14), parmetro que puede ser utilizado en el criterio de Sternstein (1) ; recordemos que Sternstein no define explcitamente 2 en su criterio del proceso de iniciacin.

24

fig. 14 : evolucin de 31 en diferentes puntos del plano de la entalla.

En esta figura observamos un comportamiento diferente al presentado anteriormente. En efecto, tiene lugar un aumento del parmetro estudiado con la carga aplicada como ocurra en el caso precedente ; sin embargo, llegados a un cierto valor la curva alcanza un mximo y este crecimiento tiene fin, comenzando entonces una disminucin del parmetro objeto de estudio. Esta disminucin tendr fin una vez 31 alcance un valor constante dado por 31 = , valor que concuerda con las tensiones previstas por los crculos de Mohr (fig. 13) para un material rgido-plstico perfecto que ha plastificado bajo condiciones de deformacin plana.

La diferencia con respecto a la figura anterior se encuentra, por tanto, en la presencia de este mximo. Este valor cspide de la tensin es alcanzada una vez el material ha plastificado ; concretamente, podemos situarlo en la interfaz elasto-plstica (volveremos ms tarde sobre este aspecto) ; siendo por tanto dicho mximo el valor objeto de nuestro estudio, dado que el fenmeno de crazing se inicia precisamente en esta zona. Para determinar la pertinencia de la aplicacin del criterio de Oxborough a nuestro caso de estudio nos interesaremos a la evolucin de dicho mximo a lo largo del proceso de carga.

No olvidemos que, en la definicin de un criterio, perseguimos la obtencin de un parmetro que vare considerablemente con la carga aplicada. En esta figura (fig. 14) podemos apreciar como la diferencia entre los mximos de las distintas curvas representadas permanece pequea. Adems, esta variacin puede ser atribuida al aumento del primer invariante del tensor de tensiones a medida que los puntos ms alejados del borde de la entalla plastifican (I1 = f(x/) segn la teora de Hill ; i = I1/3 + d , d = desviador del tensor de tensiones).

25

En conclusin, el uso de este parmetro no ser pertinente en la definicin de nuestro criterio.

El siguiente parmetro objeto de estudio es |1 (2 + 3)|, propuesto en el criterio de Oxborough (2) (fig. 15):

fig. 15 : evolucin de ( )321 + sobre diferentes puntos del plano de la entalla.

La utilizacin del coeficiente de Poisson correspondiente al comportamiento elstico en nuestro problema, en el cual una plastificacin del material en la zona de estudio tiene lugar, no parece intuitivamente correcta. Sin embargo, su uso es correcto : la zona de aparicin del crazing es la interfaz elasto-plstica y en esta regin el valor del coeficiente de Poisson es el correspondiente al estado elstico dado el valor nulo de la deformacin plstica sufrida por el material ( = f(el,p) ; p = 0 = el).

|1 (2 + 3)| presenta un comportamiento similar al observado en el estudio de

31 , particularmente en lo que se refiere a la presencia de un mximo en las curvas presentadas. En efecto, observamos al igual que en caso precedente un crecimiento continuo del valor del parmetro estudiado, el cual encuentra fin en un mximo de la curva; tras el cual, el parmetro disminuye de valor. Este mximo se sita en la interfaz elasto-plstica, regin en la que el fenmeno de crazing es observado ; la evolucin del valor de dichos mximos a lo

26

largo del proceso de carga ser, entonces, el aspecto a tener en cuenta en nuestro estudio acerca de la evolucin de 31 .

Como en el caso precedente, la variacin entre los mximos permanece reducida y puede ser tambin atribuida a la variacin de I1 : a medida que la zona plstica aumenta en sus dimensiones, el valor de I1 en la interfaz elasto-plstica crece y, con ella, el valor de todas las tensiones principales. 31 no ser, por tanto, un parmetro adecuado en la definicin de nuestro criterio de iniciacin.

Finalmente, el ltimo parmetro propuesto en las publicaciones consultadas es la tensin hidrosttica (h = I1/3) (fig. 16), parmetro propuesto fundamentalmente en el criterio de Ishikawa (4) como nico responsable del proceso de iniciacin pero que tambin aparece en los dems criterios presentados (1, 2 y 3)

fig. 16 : evolucin de h = I1/3 sobre diferentes puntos del plano de la entalla.

En esta figura apreciamos como I1 as como los mximos de los distintos puntos del plano de la entalla considerados varan considerablemente a lo largo del ensayo. Ser, por tanto, una variable adecuada para definir nuestro criterio de iniciacin.

Tras haber estudiado la evolucin de los diferentes parmetros propuestos en los criterios de iniciacin podemos concluir que el criterio ms apropiado para estudiar el fenmeno de iniciacin es el criterio propuesto por Ishikawa y al., el cual prev la aparicin del fenmeno de crazing une vez la tensin hidrosttica ha alcanzado un valor crtico (hcr = I1cr/3).

27

2.1.3) Evolucin del criterio en funcin de las dimensiones de la probeta :

Una vez escogido el parmetro adecuado para definir nuestro criterio, procederemos a estudiar su evolucin en las diferentes geometras propuestas afn de determinar las dimensiones ms adecuadas para la realizacin de nuestros ensayos.

Las dos dimensiones que diferencian las geometras propuestas son la distancia entre el plano de la entalla y el extremo superior de la probeta (h) y el radio de la entalla ().

Efecto de la variacin de h (fig.17) :

fig. 17 : evolucin de I1max en el plano de la entalla.

En esta figura podemos apreciar la evolucin de I1max en el plano de la entalla para las diferentes geometras estudiadas ; se trata, por tanto, de las curvas que engloban todos los mximos de las curvas presentadas en la grfica anterior (fig. 16).

Las curvas con h = 30 mm y h = 60 mm no muestran ninguna diferencia apreciable en su comportamiento a lo largo del proceso de carga. Podemos concluir entonces que los efectos de borde inducidos por las diferentes alturas consideradas son despreciables para la probeta con h = 30 mm, siendo posible su utilizacin en los ensayos experimentales de iniciacin.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x/

I 1max

/3

Probeta = 0.25 mm

h = 15 mm h = 30 mm h = 60 mm

28

La probeta con h = 15 mm, sin embargo, muestra una desviacin en su comportamiento con respecto a las dos geometras anteriores para un valor de x/ 2.5. Dado que es el valor de h el nico parmetro que vara entre las tres probetas estudiadas, podemos concluir que esta desviacin en el comportamiento puede atribuirse a los efectos de borde inducidos por las dimensiones de nuestra probeta. La utilizacin de probetas con geometra tipo B ser entonces posible a condicin de que el valor de x/ 2.5 no sea superado. Los ensayos experimentales realizados muestran que el crazing aparece para relaciones efectivas de x/ inferiores a esta cota superior, por lo que el uso de este tipo de probetas es tambin posible.

Efecto de la variacin del radio de la entalla () (fig.18):

fig. 18 : evolucin de I1max en el plano de la entalla.

La consecuencia del aumento del radio de la entalla ( = 5 mm) se traduce en una desviacin del comportamiento de las probetas de tipo B (h = 15 mm) para una relacin x/ inferior (x/ 2). Este fenmeno puede explicarse acudiendo a que un radio de entalla ms elevado conlleva a un aumento de la relacin adimensional D/ (D = h, W/2), la cual controla la aparicin de los efectos de borde en nuestra probeta.

En conclusin, la utilizacin de probetas con geometra de tipo B (h = 15 mm) es

posible. Sin embargo, la utilizacin de los resultados obtenidos estar sometida a la verificacin de que la relacin x/ sea inferior a un cierto valor que ser igual a 2 para un radio de entalla de = 0.5 mm y de 2.5 para un radio de entalla de = 0.25 mm, valor dado por la desviacin del comportamiento de la probeta tipo B con respecto a las probetas tipo A.

Las ventajas derivadas de la utilizacin de las probetas tipo B enunciadas anteriormente

y los resultados obtenidos en la simulacin por elementos finitos nos llevan a elegir este tipo de probetas en la realizacin de nuestros ensayos experimentales.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

x/

I 1max

/3

Probeta = 0.25 mm

h = 15 mm h = 30 mm h = 60 mm

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3 Probeta = 0.5 mm

x/

! 1max

/3

h = 30 mm h = 15 mm h = 60 mm

29

2.2) Presentacin de la solucin analtica de Hill.

En el apartado anterior hemos sealado a la tensin hidrosttica como la variable ms adecuada para prever el proceso de iniciacin en nuestro material. Ishikawa y al., en cuyas publicaciones se propone la utilizacin de este criterio, calcula la tensin crtica necesaria para que el proceso de iniciacin tenga lugar a partir de la solucin analtica existente para este problema proveniente de la teora de las bandas de deslizamiento de Hill. Resulta, por tanto, de especial inters realizar un anlisis de la solucin que resulta de la aplicacin de esta teora, lo que nos permitir confrontar posteriormente sus resultados con aquellos obtenidos en la simulacin numrica.

La aplicacin de la teora de las bandas de deslizamiento de Hill est sometida a la verificacin de las siguientes condiciones :

Ley de comportamiento correspondiente a un material rgido-plstico perfecto (fig. 19).

fig. 19 : ley de comportamiento de un material rgido-plstico perfecto.

Esta ley, en extremo simplista, no tiene en cuenta varios fenmenos observables en la verdadera ley de comportamiento del material y que procedemos a enumerar a continuacin :

a) Se considera una rigidez infinita del material : el material no se deforma antes de la plastificacin. En nuestro caso de estudio el mdulo elstico est lejos de poder ser considerado como infinitamente rgido ; los polmeros sufren una deformacin elstica previa a la plastificacin que puede ser superior al 1% (valor muy superior al 0.02% que muestra el acero).

b) El comportamiento rgido-plstico perfecto no incluye el reblandecimiento tras plastificacin.

c) El endurecimiento posterior tampoco es tenido en cuenta.

30

d) El valor del lmite elstico del material es independiente de la velocidad de deformacin impuesta. Nuestro material, por el contrario, presenta un comportamiento visco-elasto-plstico y aspectos tales como la velocidad de carga tienen una influencia que no puede ser despreciada en la respuesta mecnica del mismo.

e) El lmite elstico del material es tambin independiente del valor de la tensin hidrosttica. En el caso de policarbonato este aspecto es menos importante, pues si bien es verdad que existe una dependencia del lmite elstico con el valor de la tensin hidrosttica, tambin es cierto que esta dependencia es dbil :

e = e(h = 0) + kh ; k = -0.008.

Como podemos observar, el policarbonato presenta una ley de comportamiento muy alejada del modelo ideal rgido-plstico perfecto supuesto en esta teora ; no hay que olvidar sin embargo que a pesar de estas diferencias notables, la regin del material que ha plastificado se adapta bastante bien a la forma de la zona plstica predicha por esta teora.

La aplicacin directa de la solucin analtica est sometida a la aceptacin de ciertas condiciones que pueden inducir diferencias notables con respecto a la situacin real.

Estado de deformaciones planas. Es exactamente el estado de tensiones que perseguimos obtener en nuestra probeta.

Suposicin de pequeos desplazamientos. Resolucin del problema a partir de la configuracin inicial (no deformada). Las consecuencias de esta suposicin sern estudiadas con posterioridad.

Suposicin de pequeas deformaciones. Los trminos de segundo orden no son tenidos en cuenta en la obtencin de las deformaciones a partir de los desplazamientos. Esto es cuanto menos cuestionable en nuestro caso de estudio, donde tiene lugar una deformacin plstica importante.

La utilizacin de la teora de las bandas de deslizamiento nos permite calcular el estado tensional en un punto de la regin plastificada :

++= )1ln(121

x ;

212 = ;

31

Nos encontramos en un estado de deformaciones planas y con = p ( = ). La tensin en la direccin perpendicular al plano considerado vendr dada por :

3 = (1 + 2) = (1 + 2) ;

El crculo de Mohr correspondiente a este estado de tensiones es el siguiente (fig. 20) :

fig. 20 : crculo de Mohr correspondiente a la regin plastificada en un material rgido-plstico perfecto.

Obtenemos entonces las relaciones siguientes, vlidas para todo punto plastificado a lo largo del plano de la entalla.

1 = 3 + ;

2 = 3 ;

3h = I1 = 1 + 2 + 3 = 33 ;

La nica diferencia entre los estados tensionales de dos puntos pertenecientes al plano de la entalla reside en el valor del tensor hidrosttico de tensiones ( h ), el cual aumenta a medida que nos alejamos del borde de la entalla.

Por otra parte, hay que indicar que una vez el material ha plastificado, las tensiones en el punto considerado permanecen constantes. Esto es debido a que la solucin analtica es funcin de la geometra de nuestro problema (i = f(x/)) y, como indicamos anteriormente, esta no vara (fig. 21) ( x = cte. i = f(cte.) = cte.).

32

fig. 21 : evolucin de las tensiones en un punto del material tras plastificacin segn la teora de Hill.

2.3) Discusin sobre la aplicabilidad de la solucin analtica para calcular las tensiones crticas que provocan la iniciacin :

Disponemos de dos soluciones (numrica y analtica) para un mismo problema : la obtencin del campo de tensiones en la regin que rodea el fondo de la entalla. La solucin analtica proviene de la aplicacin de la teora de Hill y la numrica de los resultados obtenidos en la simulacin mediante la tcnica de los elementos finitos.

La discusin acerca de las diferencias observables entre las dos soluciones nos permitir estimar el error cometido al calcular el valor de la tensin hidrosttica crtica que provoca la aparicin de los crazes a partir de la solucin analtica.

Si representamos la evolucin de la tensin hidrosttica con respecto a la variable x/ observamos una diferencia notable entre las dos soluciones, encontrndose la solucin analtica por debajo de la numrica ; esto implica que la utilizacin de la solucin de Hill conlleva a una sobreestimacin de la tensin crtica. La diferencia entre las dos soluciones para valores de x/ obtenidos en ensayos experimentales de iniciacin alcanza un valor del 25% (fig. 22).

33

fig. 22 : representacin de I1max en funcin de x/ para las soluciones analtica y numrica

La explicacin a esta diferencia se encuentra en las hiptesis realizadas en la teora de Hill enunciadas anteriormente.

Con respecto a la ley de comportamiento, hay que indicar que en los dos casos analizados hacemos uso de leyes diferentes : elasto-plstica perfecta en el anlisis numrico y rgido-plstica perfecta en la teora de Hill ; esto induce forzosamente diferencias entre las dos soluciones. Un anlisis de las curvas obtenidas en la simulacin numrica y su comparacin con las predicciones de la teora de Hill nos lleva a sealar dos diferencias entre ambas predicciones :

La primera de estas diferencias ya fue observada en la representacin de 31 (fig. 14) ; donde, como indicamos anteriormente, podemos apreciar la existencia de un mximo en la curva una vez el material ha plastificado. Este mximo no aparece en la solucin dada por Hill, que prev un valor constante ( 31 = ) de dicha tensin ; valor constante al que tiende la solucin numrica una vez superado dicho mximo (fig. 23) :

34

fig. 23 : variacin de |1 3| para un punto del plano de la entalla durante el proceso de carga.

La explicacin a este comportamiento se encentra en el valor del coeficiente de Poisson utilizado en ambos casos :

En la teora de Hill utilizamos = 1/2, valor correspondiente al coeficiente de Poisson de la deformacin plstica ( = e + p, pero debido a su comportamiento rgido perfecto e = 0 y = p = ). Para un estado de deformaciones planas :

3 = (1 + 2) = 1/2(1 + 2) ;

1 3 = ;

1 2 = 2 ;

En la simulacin numrica e es distinto de cero, luego :

;2/1

;39.0

;

==

==

+

+=

+

+==

pxp

yp

exe

ye

xpxe

xppxee

xpxe

ypye

x

y

i coeficiente de Poisson asociado a la deformacin plstica/elstica.

ji deformacin plstica/elstica segn la direccin j.

35

En la situacin previa a la plastificacin tenemos p = 0 y = e = 0.39, pero una vez el material ha plastificado, p aumenta progresivamente y se convierte en el trmino dominante en .

Esto explica el comportamiento de la curva 31 :

a) Cuando el material se encuentra en estado elstico y en la interfaz elasto-plstica p = 0 y, por tanto,

3 = (1 + 2) = e(1 + 2) ;

b) Tras plastificacin, p aumenta y con ella hasta alcanzar el valor lmite de aplicado en la solucin de Hill.

3 = (1 + 2) p(1 + 2) ;

Por tanto, en la interfaz elasto-plstica 3 no ha alcanzado an su valor mximo a causa del valor del coeficiente de Poisson, ms reducido en la simulacin. La tensin 3 aumenta entonces tras plastificacin del material y slo una vez que el material haya sufrido una deformacin plstica suficiente el crecimiento de y de 3 tendr fin. (fig. 24).

Podemos verificar esta suposicin trazando la curva que nos dar el valor de 3 en funcin de 1 en la interfaz elasto-plstica, zona donde la relacin 1 2 = 2 es aplicable :

( ) ( ) 2239.0 1213 =+= e ;

Si la suposicin indicada es correcta, las curvas ( ) 2239.0 13 = y 3numrica deben coincidir una vez el material haya plastificado (VM = cte.) ; en efecto, como podemos observar en la siguiente grfica ambas curvas presentan un mismo valor una vez el lmite elstico del material es alcanzado (fig. 24) para el punto considerado :

36

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

/

22/

e(21-2)Von Mises

plastificacin

fig. 24 : evolucin de la tensin 3, la tensin equivalente de Von Mises y la curva 3 = 0.39(21 - 2). Observamos como cuando el material plastifica (valor constante de VM), las dos curvas presentan el mismo valor de 3.

La consecuencia de este hecho es que la tensin hidrosttica, debido al crecimiento de 3, no presenta ya su mximo valor en la interfaz, sino en una zona ya plastificada y cercana a la misma. En efecto, I1 = 1 + 2 + 3 y el crecimiento de 3 tras plastificacin induce a su vez un crecimiento de I1 (fig. 25).

37

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0

0.5

1

1.5

2

2.5

I 1/3

Plastificacin

I1max

I1/3 VM/

22/

VM

/

fig. 25 : evolucin de la tensin hidrosttica y de la tensin de Von Mises en funcin de la carga aplicada. Podemos apreciar como tras la plastificacin del material (valor constante de VM) el primer invariante del tensor de tensiones sigue aumentando hasta alcanzar un valor mximo.

Este aspecto es importante, puesto que en las diferentes publicaciones consultadas el lugar de la iniciacin del crazing ha sido situado en la interfaz elasto-plstica siguiendo la prediccin de la teora de Hill, que prev para esta posicin un valor mximo de la tensin hidrosttica. En esta curva observamos una situacin diferente : o bien la iniciacin no se produce en la interfaz elasto-plstica o bien no se produce para un valor mximo de I1, situacin en la cual un criterio en 1cr podra ser planteado.

Varios razonamientos hacen de 1 una variable pertinente para su utilizacin como criterio de iniciacin : alcanza su valor mximo en la interfaz (fig. 26), si observamos su evolucin podemos observar como este valor mximo crece con x/ gracias al aumento de I1 y, por ltimo, los crazes aparecen en la direccin perpendicular a 1.

38

fig. 26: evolucin de I1, la tensin equivalente de Von Mises y la tensin 1 en funcin de la carga externa aplicada para un punto del plano de la entalla.

Debemos indicar que en la simulacin no hemos utilizado la verdadera ley de comportamiento del material, sino que nos hemos servido de una simplificacin (ley elasto-plstica perfecta) ; por consiguiente esta discusin ser llevada a cabo ms detenidamente una vez los resultados de la simulacin con la verdadera ley de comportamiento del policarbonato hayan sido obtenidos.

No hemos de perder de vista, sin embargo, que esta diferencia entre los valores de la tensin hidrosttica correspondientes al mximo de la curva y a la interfaz elasto-plstica no explica la diferencia entre los resultados previstos por la teora de Hill y los obtenidos en la simulacin. En efecto, la variable utilizada para dicha representacin era el valor mximo de h y no su valor en la interfaz y el razonamiento anterior desemboca a un mismo valor de dicha tensin (aunque trasladado en el tiempo).

La segunda diferencia observable entre las dos soluciones propuestas est en la prediccin de Hill de un valor constante de las tensiones tras plastificacin del material ; hecho que no es observado en la simulacin numrica donde, una vez el mximo de I1 es alcanzado, podemos apreciar una variacin en la magnitud de las tensiones.

En la grfica siguiente podemos observar como, tras haber alcanzado el valor mximo h, disminuye ; mientras tanto, la carga externa aplicada aumenta y el material se mantiene en estado plstico. Asistimos, por tanto, a una relajacin en el nivel de tensiones en una situacin en que la carga externa aplicada crece continuamente. Este hecho no puede ser atribuido ms que a una variacin de la geometra de nuestro problema, la cual, mediante el aumento del radio de la entalla disminuye el efecto concentrador de tensiones y provoca una relajacin del estado tensional dentro del material (fig. 27).

39

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

I1/3 VM/

22/

I 1/3

VM

/

fig. 27 : disminucin de h durante el periodo de carga de la probeta tras haber alcanzado su valor mximo.

Podemos tambin observar cmo esta disminucin es ms acusada para los puntos ms alejados de la entalla (fig. 28) :

fig. 28 : representacin de h para dos puntos del plano de la entalla con una posicin x diferente. En la primera

figura vemos como el material plastifica ms tarde ; se trata, por tanto, de un punto alejado del fondo de la entalla. Llama la atencin la acusada disminucin del valor de I1 en comparacin a la disminucin ms pausada de la segunda grfica, correspondiente a un punto cercano al fondo de la entalla.

40

Partiendo de la solucin de Hill (4) :

++=

xI 1ln2131 ;

Observamos como, efectivamente, un aumento de induce una disminucin de I1 ms acusada para los puntos ms alejados del borde de la entalla.

La principal razn de la diferencia entre I1HILL y I1num puede ser atribuida, por tanto, a la suposicin de pequeos desplazamientos realizada en la teora de las bandas de deslizamiento, lo cual implica que la geometra de la probeta no vara a lo largo del ensayo.

Como podemos observar, no es lo que observamos en los resultados de la simulacin (fig. 29), donde podemos apreciar como el radio de la entalla vara considerablemente a lo largo del proceso de carga.

22 = 0 MPa 22 = 24.71 MPa 22 = 30.83 MPa

fig. 29 : variacin de la geometra de la probeta con h = 30 mm y = 0.25 mm durante el proceso de carga.

Resumiendo, a lo largo del proceso de carga, en la simulacin numrica (material elasto-plstico perfecto) el radio de la entalla vara considerablemente sus dimensiones : la plastificacin provoca un aumento del radio de la entalla ( > ) y una disminucin de la distancia entre el fondo de la entalla y la interfaz elasto-plstica (x > x) ; estos dos efectos provocan una disminucin de la relacin x/ (x/ > x/) la cual, deacuerdo a la solucin analtica de Hill, controla el valor de h.

En conclusin, la comparacin de los resultados provenientes de las soluciones analtica

(aplicacin de la teora de Hill comportamiento rgido-plstico perfecto) y numrica por E.F. (comportamiento elasto-plstico perfecto) muestra una diferencia notable entre las predicciones de los valores de I1max, obteniendo un valor de la tensin hidrosttica crtica ms importante en el anlisis con la teora de las bandas de deslizamiento de Hill (I1HILL > I1E.F.). Parece ser, por tanto, que la deformacin elstica tiene una influencia importante en la estimacin de I1.

0.25 mm 0.25 mm 0.25 mm

41

El efecto inducido en la evolucin de I1max por una ley de comportamiento visco-elasto-plstica con reblandecimiento y endurecimiento posterior una vez el lmite elstico del material ha sido superado ser estudiado en los anlisis numricos siguientes.

42

3) ANALISIS EXPERIMENTAL :

3.1) Ensayos sobre probetas tipo DENT :

En la realizacin de los ensayos mecnicos hemos utilizado una mquina de traccin INSTRON Standard.

El montaje experimental necesario para proceder al ensayo de iniciacin se muestra en la siguiente fotografa (fig. 30) :

fig. 30 : vista del montaje experimental para la determinacin de la tensin crtica.

Las entallas de las probetas (sean de geometra tipo A o B) se realizarn mediante mecanizado, sometiendo a la probeta a un flujo constante de nitrgeno lquido mientras dura el mecanizado de las entallas con el fin de disminuir al mximo la presencia de tensiones residuales en el fondo de la entalla y evitar as efectos secundarios que pudieran afectar a nuestra medida. El mecanizado bajo nitrgeno lquido presenta la ventaja de mantener durante todo el proceso la temperatura de nuestra probeta por debajo de la temperatura de relajacin (T) del policarbonato, anulando as los movimientos locales de las cadenas de polmero que podran producirse debido al calentamiento inducido por el mecanizado y disminuyendo as significativamente la magnitud de las tensiones residuales presentes en nuestra zona de inters (fig. 31):

Probeta utilizada en los ensayos de iniciacin

43

fig. 31 : campo de tensiones residuales generadas en el fondo de la entalla tras mecanizado de una probeta tipo B

con = 0.5 mm. Observacin realizada en el microscopio ptico con una luz polarizada.

Los ensayos mecnicos pueden suponerse cuasiestticos dado el bajo valor de la velocidad de carga aplicada, que ser de :K& = 10-2 mMPa F& = 0.81 KN/s (0.0007 mm/s aprox.).

La obtencin del parmetro x/ se har mediante medicin de la distancia entre el fondo de la entalla y el lugar de aparicin del craze por medio de un microscopio ptico. Para obtener una medida correcta de x y dado que el craze aparece en el centro de la probeta, la focalizacin debe de hacerse en volumen : nos encontramos en un estado de deformaciones planas para favorecer el desarrollo de un estado triaxial de tensiones importante y el craze aparece en el interior de la probeta ; la medida debe por tanto de realizarse con una focalizacin en volumen y no en superficie (fig. 32).

fig. 32 : fotografas de entallas con focalizacin en superficie (a la derecha) y en volumen (a la izquierda) tras realizacin del ensayo de iniciacin. En la superficie la fisura no se percibe. Probeta tipo SENT con = 0.25 mm y h = 30 mm.

1 mm

0.5 mm 0.5 mm

44

Otro aspecto a tener en cuenta antes de proceder a la medida de x consiste en la correcta eliminacin de los residuos de material provenientes del mecanizado de la entalla, aspecto particularmente importante en el estudio de las probetas con = 0.25 mm. En la siguiente figura podemos observar como una entalla sin presencia de residuos muestra un contorno mucho ms ntido, lo que ayuda considerablemente en la toma de medidas (fig. 33).

fig. 33 : probetas con y sin restos de mecanizado en la entalla. Probetas tipo SENT con = 0.25 mm.

Los primeros ensayos fueron realizados sobre probetas de tipo B, siguiendo las conclusiones expuestas anteriormente (vase 2.1.3); sin embargo, los resultados obtenidos con este tipo de probetas no han sido satisfactorios, por lo que hemos decidido cambiar el tipo de probeta de ensayo inicialmente previsto. La geometra finalmente adoptada se corresponde con una probeta de tipo A con h = 30 mm (fig. 34).

fig. 34 : probeta tipo DENT (double edge notched tension) (The stress analysis of cracks handbook).

Los hechos que nos han llevado a desestimar el uso de las probetas de tipo B se enuncian a continuacin :

0.5 mm 0.5 mm

h = 30 mm.

a = b/2 = 10 mm.

Espesor=10mm

45

Observamos una gran dispersin en los valores de la carga externa aplicada que provocan la aparicin del fenmeno de crazing en cada una de las cuatro entallas de nuestra probeta. A modo de ejemplo citamos el siguiente ensayo realizado, en el cual la fuerza externa aplicada es de 3.8 KN cuando aparece el primer craze y de 4.3 KN para el ltimo (probeta DENT tipo B con = 0.25 mm).

Debemos mencionar tambin que en ciertos ensayos realizados la probeta se fractura antes de que la totalidad de las entallas presenten un craze. En un ensayo realizado sobre una probeta DENT tipo B con = 0.5 mm aparecen solamente dos crazes de entre las cuatro entallas que presenta la probeta.

Indicar tambin que en todos los ensayos realizados la entalla en la cual el primer craze aparece es aquella que provoca la rotura final de la probeta.

Finalmente, las medidas de x/ muestran una gran dispersin en su valor, dispersin que es superior al 12% para las probetas DENT tipo B con = 0.25 mm.

La obtencin de estos resultados sin coherencia puede ser atribuida a la gran sensibilidad que presentan las probetas tipo DENT a la falta de simetra provocada por los defectos que aparecen en el mecanizado de la probeta. La geometra tipo B presenta cuatro entallas en lugar de las dos de la geometra tipo A, por lo que esta ltima ser menos sensible a la eventual presencia de defectos de mecanizado y ser, por tanto, la geometra escogida para la realizacin de nuestros ensayos mecnicos.

Los resultados obtenidos tras la realizacin de los ensayos experimentales sobre probetas de tipo A con h = 30 mm se muestran en la siguiente tabla :

(mm)

xcr/ /x

1.448

1.472

0.25

1.424

1.448

1.568

1.488

0.5

1.52

1.52

El parmetro xcr/ es relativamente independiente del radio de la entalla, como

sealaron las simulaciones precedentes ; observamos sin embargo un valor ligeramente superior de xcr/ (diferencia de un 4%) en las probetas con = 0.5 mm. Esta diferencia puede atribuirse a la dificultad de una medida correcta de xcr en las probetas con un radio de entalla reducido : la presencia de un radio de entalla de pequeas dimensiones concentra la

46

deformacin plstica en una zona reducida, por lo que la imagen es menos ntida a la que se obtiene de un ensayo sobre una probeta con un radio de entalla superior. Adems, la focalizacin en volumen provoca que el borde de la entalla sea tambin ms difcil de situar, lo que a su vez induce errores en la medida del parmetro xcr/. (fig. 35).

fig. 35 : medidas de x en probetas con = 0.25 y 0.5 mm respectivamente. Probetas tipo SENT.

3.2) Ensayos sobre probetas tipo SENT :

Los ensayos realizados sobre probetas tipo DENT han sido satisfactorios ; sin embargo, el fenmeno de crazing tiene lugar nicamente en una sola de las dos entallas de la probeta, lo que puede atribuirse a la gran sensibilidad de esta probeta a la eventual falta de simetra. A la vista de este hecho, hemos decidido realizar nuevos ensayos sobre probetas de tipo SENT, las cuales presentan una sola entalla y sern, por tanto, menos sensibles a este problema. Las dimensiones de las probetas utilizadas en dichos ensayos se muestran a continuacin (fig. 36) :

fig. 36 : probeta tipo SENT (simple edge notched tension) (The stress analysis of cracks handbook).

En estas probetas realizaremos dos tipos de ensayos :

De iniciacin : cuyo objetivo es la determinacin de la tensin crtica ; para ello la carga externa aplicada cesa cuando el fenmeno de crazing tiene lugar.

0.5 mm 1 mm

h = 30 mm

a = b/2 = 10 mm

Espesor = 10 mm

47

De ruptura : que utilizaremos para la realizacin de un anlisis del facies de ruptura ; para ello la carga externa aplicada aumenta hasta el fallo de la probeta.

Los ensayos se realizarn bajo condiciones de velocidad de desplazamiento impuesta : efectuaremos un modo de control en desplazamiento en lugar del modo de control en carga anterior para adaptarnos a las condiciones de contorno que impondremos en la simulacin numrica, en las cuales el extremo superior de la probeta se encuentra sometido a una velocidad de desplazamiento vertical de 0.0007 mm/s.

Los resultados obtenidos en los ensayos experimentales de iniciacin se muestran a continuacin :

(mm)

xcr/ /x

1.4250.25

1.375

1.4

1.3280.5

1.36

1.344

Podemos observar como el valor del parmetro xcr/ a disminuido ligeramente con respecto a los ensayos anteriores, donde encontrbamos valores cercanos a 1.5. Las consecuencias de esta diferencia sern tratadas una vez las curvas de I1max en funcin de x/ hayan sido obtenidas mediante simulacin numrica con la verdadera ley de comportamiento.

3.3) Anlisis del facies de ruptura :

El objetivo perseguido en la realizacin de los ensayos mecnicos hasta ruptura de la probeta es triple : la determinacin de la secuencia de rotura del material, la localizacin del lugar de inicio del crazing y, eventualmente, la medicin de la distancia entre el origen del craze y el fondo de la entalla.

Los facies de ruptura son similares en todas las probetas ensayadas, pudiendo distinguir cuatro zonas claramente diferenciadas (fig. 37):

48

fig. 37 : A) ensayo de iniciacin del crazing en una probeta tipo SENT ; se aprecia claramente el craze/fisura creado, as como la regin plstica (ms opaca al paso de la luz que el slido masivo) situada en la zona que rodea a la entalla. B) Vista lateral del facies de ruptura ; se aprecia la existencia de una zona en el fondo de la entalla inclinada con respecto al plano de simetra. C) Vista de alzado del facies de ruptura en el policarbonato e identificacin de las cuatro zonas generadas a lo largo del proceso de rotura de la probeta.

Zona 1 : plana y rugosa, se corresponde con la zona de mayores dimensiones y la ms alejada del fondo de la entalla. Su morfologa y posicin dentro del plano de la entalla llevan a considerarla como la zona en la que se produce la propagacin inestable de la fisura generada por crazing y la consecuente rotura final de la probeta.

Zona 2 : situada al lado de la zona 1 pero ms cercana que esta ltima al fondo de la entalla, es una zona plana, lisa y brillante. En su superficie pueden observarse tambin en ocasiones ciertas ondulaciones que parecen sealar el lugar de origen y la direccin de propagacin de la fisura (fig. 38). Esta morfologa puede atribuirse a una propagacin lenta y estable de la fisura generada por crazing.

1

23

4

A)

B)

C)

10 mm

Crter lugar de iniciacin del crazing

49

Zona 3 : situada entre las zonas 4 y 2, se corresponde con la regin plana, lisa y brillante que localizamos cerca del fondo de la entalla. El espesor de esta zona es ms importante en la zona central de la probeta y disminuye a medida que nos acercamos a los bordes laterales (forma elptica cuyo dimetro mayor se posiciona paralelamente a la entalla) ; esta geometra particular as como su posicin nos permite identificar esta zona como la correspondiente a la fisura creada mediante el fenmeno de crazing. La visualizacin de las probetas utilizadas en los ensayos de iniciacin (fig. 37-A) muestra como el craze/fisura generado en estos ensayos coincide en forma y localizacin con esta tercera zona.

Merece especial atencin la presencia de un pequeo crter situado en el centro de esta zona, el cual puede ser identificado como el lugar en que el proceso de iniciacin del crazing ha tenido lugar. Este crter tambin ha sido observado en estudios anteriores (Ish-3), en los que es identificado como el origen del fenmeno de crazing.

Zona 4 : situada a la derecha del borde de la entalla, podemos identificar esta zona como la correspondiente al material que se ha deformado plsticamente durante la realizacin del ensayo. A diferencia de las anteriores, esta zona no es plana, sino que forma un cierto ngulo con el plano de la entalla (fig. 37-B).

La tercera zona no aparece claramente definida en estas fotografas (fig. 37), pero la observacin del facies de ruptura con un microscopio ptico permite su visualizacin incluso si utilizamos un pequeo aumento (fig. 38).

La observacin del facies con un microscopio ptico nos permite tambin apreciar el sitio en que el proceso de iniciacin ha tenido lugar, el cual se corresponde con el crter situado en el centro de la zona brillante (zona 3) y en la interfaz entre las zonas tercera y cuarta, como ponen de manifiesto los ensayos de iniciacin.

50

fig. 38 : foto del facies de ruptura de una probeta tipo SENT con = 0.5 mm.

Finalmente, debemos indicar que en las fotografas obtenidas con el microscopio ptico la cuarta zona aparece con un color muy oscuro debido a su orientacin ; en efecto, presenta una inclinacin con respecto al plano de la entalla, lo que provoca que los rayos de luz incidentes sean reflejados lejos de la lente objetivo y, por tanto, esta zona aparezca oscura y se confunda con el fondo de la entalla (fig. 39).

fig. 39 : esquema de funcionamiento de la visualizacin del facies de ruptura en el microscopio ptico en modo

reflector

Podemos concluir, por tanto, que la visualizacin del facies de ruptura nos permite atener los objetivos fijados : obtencin de la secuencia de ruptura del policarbonato causada por crazing y localizacin del lugar de iniciacin del fenmeno de crazing. Sin embargo, la medicin de la distancia entre el lugar de iniciacin y el fondo de la entalla presenta varios inconvenientes, siendo preferible y ms exacta una medida mediante la realizacin de los ensayos de iniciacin.

Luz reflejada

Luz incidente y reflejada

zona 3 zona 2 zona 1

zona 4

Crter

1

2

3

4

fondo de la entalla

Luz incidente

51

4) ANALISIS NUMRICO. LEY DE COMPORTAMIENTO CARACTERSTICA DE LOS POLIMEROS AMORFOS :

Una vez escogidas la geometra y las dimensiones apropiadas de la probeta a utilizar en los ensayos experimentales de iniciacin, procedemos a realizar una simulacin numrica de dichos ensayos haciendo uso de la verdadera ley de comportamiento del material. El objetivo perseguido en estas simulaciones es la obtencin del valor exacto de la tensin hidrosttica crtica a partir de la cual el proceso de iniciacin tiene lugar.

El cdigo de clculo numrico por elementos finitos ha sido desarrollado por E. Van der Giessen y R. Estvez y permite la obtencin del campo de tensiones y de deformaciones en un material con comportamiento visco-elasto-plstico y cuya regin plstica presenta un reblandecimiento y un endurecimiento posterior (VdG-1, Est-1).

La geometra de nuestro problema, por diferir de la utilizada originalmente en el cdigo, hemos realizado ciertas modificaciones en el mismo para adaptarlo a nuestras necesidades (probetas DENT de tipo A y SENT con = 0.25 y 0.5 mm).Concretamente, hemos modificado las partes del cdigo correspondientes al posicionamiento de los nodos y los elementos del mallado, as como aquellas referentes a la definicin de las superficies con condiciones de contorno impuestas.

En el cdigo original, la posicin de los nodos del mallado y su tabla de conectividad (tabla en cuyo interior se encuentran enumerados los cuatro nodos que definen un elemento del mallado) son introducidos mediante una subrutina del programa ; en nuestro caso realizaremos un mallado del problema mediante ABAQUS y crearemos unos ficheros de texto (*.txt) con todos los datos necesarios para el correcto funcionamiento del programa a partir del fichero de salida (*.inp), el cual contiene toda la informacin necesaria.

Posicin de los nodos del mallado (documento XGYG.txt).

Tabla de conectividad, conteniendo los elementos y los nodos asociados (documento conectivity.txt).

Nodos del mallado con una condicin de contorno en desplazamiento o tensin impuesta diferente de T = 0 (borde libre) (documentos bordbas.txt, bordhaut.txt, borddroit.txt).

NOTA : para ms detalles acerca de las modificaciones realizadas en el cdigo original, vase el anexo correspondiente (anexo 1).

Los parmetros caractersticos que definen la ley de comportamiento a utilizar en nuestro material han sido recogidos de la tesis realizada por N. Saad (Saad-1), donde dichos parmetros han sido ajustados para conseguir un acuerdo adecuado entre resultados

52

experimentales y tericos. En la figura siguiente se muestra la respuesta del material (experimental y simulada) ante un mismo estado de carga impuesto (ensayo de compresin) (fig. 40) :

0

50

100

150

200

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

(MPa)

courbes exprimentales

courbe simule

fig. 40 : leyes de comportamiento experimentales y simulada para una velocidad de compresin dada. (Saad-1)

Los ensayos experimentales han sido realizados sobre probetas con una geometra DENT de tipo A o SENT. Las simulaciones numricas con la verdadera ley de comportamiento del policarbonato han sido realizadas utilizando ambas.

4.1) Ensayos sobre probetas tipo DENT :

Hemos realizado una modelizacin para las probetas de tipo DENT con h = 30 mm y = 0.25 y 0.5 mm, utilizadas en los ensayos mecnicos de iniciacin.

Los elementos del mallado son cuadrilteros de cuatro nodos.

El mallado propuesto por ABAQUS para las dos probetas estudiadas ( = 0.25 y = 0.5 mm) es similar. En la figura siguiente se muestra el correspondiente a la probeta con = 0.25 mm (fig. 41) :

53

fig. 41 : mallado con elementos cuadrilteros. Probeta DENT con h = 30 mm y = 0.25 mm.

Las condiciones de contorno impuestas son las ya utilizadas en las simulaciones con la ley de comportamiento elasto-plstica perfecta (vase 2) (fig. 42) :

Traccin en el extremo superior : desplazamiento siguiendo la direccin 1 impuesto y nulo siguiendo la direccin 2. En esta simulacin, a diferencia de la anterior, no impondremos un desplazamiento vertical final, sino una velocidad de desplazamiento ; la cual, con el fin de acercarnos lo ms posible a las condiciones reales de ensayo, ser de 0.0007 mm/s.

Condiciones de simetra en el borde derecho y el extremo inferior del modelo (el mallado representa un cuarto de la probeta completa).

Condicin de borde libre en el resto de las caras.

54

fig. 42 : condiciones de contorno impuestas para la resolucin del problema. Probeta con h = 30 mm y = 0.25 mm.

A partir de los resultados obtenidos en la simulacin podemos trazar las curvas de hmax en funcin de x/ para los dos radios de entalla considerados (fig. 43 y 44):

I1/3o vs x/ ( = 0.25 mm)Probeta tipo DENT

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5

x/

I1/3

o

fig. 43 : evolucin de la tensin hidrosttica en funcin de la distancia al fondo de la entalla para = 0.25 mm.

(0 = 88 MPa).

55

Para una relacin x/ igual a 1.52 obtenemos el siguiente valor de la tensin hidrosttica crtica :

hcr = 1.110 = 98 MPa.

I1/3o vs x/ ( = 0.50 mm)Probeta tipo DENT

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5

x/

I1/3

o

fig. 44 : evolucin de la tensin hidrosttica en funcin de la distancia al fondo de la entalla para = 0.5 mm. (0

= 88 MPa).

Para una relacin x/ igual a 1.488 obtenemos el siguiente valor de la tensin hidrosttica crtica :

hcr = 1.080 = 95 MPa.

En ambas curvas observamos una pendiente que disminuye con x/. Para un valor de x/ del orden de 1.25 I1max parece alcanzar su valor lmite.

4.2) Ensayos sobre probetas tipo SENT :

La geometra de nuestras probetas y nuestras condiciones de contorno no son las mismas para las probetas tipo DENT y SENT, por lo que los clculos realizados para la obtencin de las curvas de hmax en funcin de x/ debern realizarse tambin para las probetas de tipo SENT.

56

El mallado propuesto por ABAQUS correspondiente a la probeta con = 0.25 mm se muestra a continuacin (fig. 45) :

fig. 45 : mallado con elementos cuadrilteros. Probeta con h = 30 mm y = 0.25 mm.

Las condiciones de contorno impuestas son similares a las aplicadas en las probetas de tipo DENT con la salvedad de que en este tipo de probetas la condicin de simetra en el borde derecho debe ser sustituida por una condicin de borde libre (fig. 46) :

57

fig. 46: condiciones de contorno impuestas para la resolucin del sistema.

A partir de los resultados de la simulacin podemos trazar las curvas hmax en funcin de

x/ para los dos radios de entalla considerados (fig. 47 y 48) :

I1/3o vs x/ ( = 0.25 mm)Probeta tipo SENT

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

x /

fig. 47 : evolucin de la tensin hidrosttica en funcin de la distancia al fondo de la entalla para = 0.25 mm. (0 = 88 MPa).

58

Para una relacin x/ igual a 1.4 obtenemos el siguiente valor de la tensin hidrosttica crtica :

hcr = 1.070 = 94.4 MPa.

I1/3o vs x/ ( = 0.50 mm)probeta tipo SENT

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8 2

x/

fig. 48 : evolucin de la tensin hidrosttica en funcin de la distancia al fondo de la entalla para = 0.5 mm. (0

= 88 MPa).

Para una relacin x/ igual a 1.344 obtenemos el siguiente valor de la tensin hidrosttica crtica :

hcr = 1.090 = 96 MPa.

Podemos observar como los valores de la tensin hidrosttica crtica son similares a los resultados ya obtenidos. En efecto, en la grfica siguiente podemos observar como las curvas para las probetas SENT y DENT presentan el mismo comportamiento (fig. 49).

59

Comparacin de los resultados obtenidos en la simulacin de las probetas tipo SENT y DENT

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 0,5 1 1,5 2 2,5

x/

I1/3

o

SENT 0,5

SENT 0,25

DENT 0,5

DENT 0,25

fig. 49 : curvas de tensin hidrosttica mxima en funcin de x/ para las diferentes geometras propuestas.

Esto est asociado al hecho de que el estudio se realiza en la regin que rodea a la entalla y esta zona se encuentra suficientemente alejada de los bordes con condiciones de contorno aplicadas.

Por otra parte, hay que indicar que los valores obtenidos para la tensin hidrosttica en los ensayos tipo SENT y DENT son similares, encontrando una variacin de entre todos los hcr inferior a 4%.

La reproducibilidad de los resultados obtenidos en los ensayos mecnicos nos permite concluir que la tensin hidrosttica crtica necesaria para la iniciacin del crazing se sita en un valor cercano a los 95 MPa

4.3) Comparacin entre los resultados de la simulacin y la solucin analtica de Hill :

Los valores de la tensin hidrosttica crtica predichos a partir de los resultados de la

simulacin con la verdadera ley de comportamiento son muy cercanos a los obtenidos con la aplicacin de la solucin analtica de Hill. En efecto, si representamos las curvas que nos dan el valor de la tensin hidrosttica para las dos soluciones propuestas encontramos que, para los valores de x/ observados experimentalmente (x/ ~ 1.5)obtenemos una tensin hidrosttica del mismo orden de magnitud (fig. 50).

60

Comparacin de los resultados analticos y numricos

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,5 1 1,5 2 2,5

x/

I1/3

o HillDENT 0,25 mm

fig. 50: comparacin entre las soluciones analtica y numrica.

Para un valor de x/ 1.5 el mximo error cometido por la solucin de Hill es inferior al 10% y para el valor de x/ correspondiente a la iniciacin del crazing la diferencia entre las curvas es despreciable.

La razn a esta similitud entre las curvas no est clara. Anteriormente hemos razonado la diferencia entre las dos soluciones como un efecto del cambio de geometra asociado a la deformacin plstica localizada en la regin que rodea a la entalla. En la siguiente figura podemos ver como en este caso el radio de la entalla vara tambin con la carga debido a las deformaciones plstica y elstica sufridas por el material (fig. 51).

La explicacin a este aumento de la curva de tensiones hidrostticas puede atribuirse al comportamiento viscoso del material, que es uno de los aspectos junto con el endurecimiento y el reblandecimiento que han sido introducidos en la ley de comportamiento utilizada en la simulacin numrica :

La deformacin plstica es una deformacin concentrada en una pequea regin del fondo de la entalla correspondiente a la banda de deslizamiento ; en esta regin la velocidad de deformacin es muy importante (fig. : 51).

61

fig. 51 : velocidad de deformacin plstica equivalente ( 0/ && p ) en la regin que rodea a la entalla. La entalla

original se encontraba centrada en (x, y) = (4.5, 0) y tena un radio = 0.5 mm.

t

I

rSK

00

&& = velocidad de deformacin a rt del fondo de la entalla.

El comportamiento viscoso de nuestro material hace que para grandes velocidades de deformacin el lmite elstico de nuestro material aumente.

Estos dos hechos pueden provocar un aumento de la tensin equivalente necesaria para deformar plsticamente el material y, por tanto, un aumento de la tensin hidrosttica mxima ; aumento en la resistencia a la deformacin de nuestro material que puede compensar la disminucin de I1 en la interfaz elasto-plstica asociada a la variacin de la geometra (aumento del radio de entalla).

Sin embargo, una simulacin con una ley visco-elasto-plstica perfecta nos muestra que este efecto no es tan significativo como se pretenda en un principio (fig. 52). El aumento del valor de la tensin hidrosttica estar, por tanto, asociado principalmente al reblandecimiento y posterior endurecimiento tras plastificacin del material (segundo efecto introducido en la ley de comportamiento con respecto a la ley de comportamiento anterior) o a la combinacin de la viscosidad junto con el reblandecimiento y endurecimiento tras plastificacin. El cdigo utilizado no nos ha permitido profundizar en este estudio.

banda de deslizamiento

62

Influencia del comportamiento viscoso en la curva I1/3SoProbeta DENT con = 0,5 mm

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

0 0,5 1 1,5 2 2,5

x/

I1/3

o

visco-elasto-plstico perfecto

Hill

verdadera ley de comportamiento

fig. 52 : influencia de la viscosidad en la tensin hidrosttica mxima.

Observamos, por tanto, dos zonas en la curva de tensiones hidrostticas :

a) Para una carga aplicada de pequeo valor el radio de la entalla no ha variado significativamente y el aumento de la tensin hidrosttica asociado a la concentracin de la deformacin plstica en las bandas de deslizamiento provoca que la tensin real se site por encima de la predicha a partir de la aplicacin de la teora de Hill.

b) Para una carga externa aplicada ms importante la disminucin de la tensin hidrosttica inducida por la variacin de la geometra de la entalla (aumento del radio) es demasiado grande y la curva numrica se sita por debajo de la analtica.

Un ltimo aspecto a estudiar es la situacin del punto que presenta la tensin hidrosttica mxima. La simulacin anterior (vase 2.3) haba puesto en evidencia que la tensin hidrosttica mxima se situaba en la regin plstica y no en la interfaz elasto-plstica como lo prev la teora de Hill. La simulacin con la verdadera ley de comportamiento nos muestra que el mximo de tensin se sita cerca de la zona elasto-plstica pero en la regin ya plastificada (fig. 53) :

63

fig. 53 : representacin de los campos de velocidad de deformacin y tensin hidrosttica ( 0/ && p y h/0

respectivamente ; 0 = 88 MPa) para una misma carga externa aplicada. El valor mximo de la tensin se produce a una distancia del fondo de la entalla x = 0.75 mm y la regin plstica se sita entre x = 0.58 y x = 0.78.

Sin embargo, siendo esta distancia muy pequea con respecto al tamao de la zona plastificada, el error cometido al considerar la distancia entre el borde de la entalla y el punto de tensin hidrosttica mximo como el tamao de la zona plstica es despreciable.

64

5) SIMULACIN DEL PROCESO COMPLETO DE CRAZING SOBRE PROBETAS TIPO DENT O SENT :

Para la realizacin de las simulaciones del proceso completo de rotura de las probetas utilizadas en nuestros ensayos experimentales (el cual compre