Estudio del sistema mediante análisis...
Transcript of Estudio del sistema mediante análisis...
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
42
Capitulo 4
Estudio del sistema
mediante análisis numérico
Hasta el momento hemos realizado un estudio analítico del sistema linealizado
para valores pequeños de los desplazamientos respecto de la posición vertical,
obteniendo a partir de aquí la función que describe la curva que delimita las primeras
regiones de estabilidad e inestabilidad para el comportamiento de nuestro sistema.
En este capítulo, nuestro objetivo será obtener la forma real de dicha curva para
cualquier valor de los parámetros que gobiernan la ecuación de movimiento
adimensionalizada, determinando nuevamente las primeras zonas de estabilidad y
analizando el comportamiento del sistema conforme variamos sus parámetros.
Para ello, realizaremos un estudio del sistema mediante análisis numérico, que es
la rama de las matemáticas que se encarga de diseñar algoritmos para, a través de
números y reglas matemáticas simples simular procesos matemáticos más complejos
aplicados a procesos del mundo real, y del cual hablaremos más detenidamente en
apartados posteriores.
Tal y como hemos mencionado en otra ocasión, para llevar a cabo esta tarea,
haremos uso del programa Matlab, el cual nos facilitará el proceso de análisis numérico,
proporcionándonos así una gran precisión y una buena presentación en los resultados
obtenidos, y acerca del cual, también nos extenderemos mas profundamente sobre su
funcionamiento y bases matemáticas, procedimientos, formulaciones,… a continuación.
Por último, una vez hayamos determinado los resultados del estudio del sistema
mediante el análisis numérico, procederemos a una discusión de los mismos, analizando
los cambios en el comportamiento del sistema conforme realizamos variaciones en los
parámetros que gobiernan la ecuación de movimiento, así como una comparación de
estos resultados con los obtenidos mediante el calculo analítico.
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
43
4.1 Introducción al análisis numérico
El Análisis numérico es una rama de las matemáticas cuyos límites no son del
todo precisos. De una forma rigurosa, se puede definir como la disciplina ocupada de
describir, analizar y crear algoritmos numéricos que nos permitan resolver problemas
matemáticos, en los que estén involucradas cantidades numéricas, con una precisión
determinada.
En el contexto del cálculo numérico, un algoritmo es un procedimiento que nos
puede llevar a una solución aproximada de un problema mediante un número finito de
pasos que pueden ejecutarse de manera lógica. En algunos casos, se les da el nombre de
métodos constructivos a estos algoritmos numéricos.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los
ordenadores. Los ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente
complejos, pero en última instancia operan con números binarios y operaciones
matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje
necesario para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de
expresarse algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o
cálculo en procesos más sencillos empleando números.
4.1.1 Aplicaciones
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como
solución a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos"
(manipulaciones algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración,
etc...) son incapaces de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso
frecuente por físicos e ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la
necesidad de éstos de obtener soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe
recordarse que la física experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino
intervalos que engloban la gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que
no es habitual que dos medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente
iguales.
Otro motivo que ha propiciado el auge del análisis numérico ha sido el
desarrollo de los ordenadores. El aumento brutal de la potencia de cálculo ha convertido
en posibles y en eficientes a algoritmos poco dados a su realización a mano.
4.1.2 Tipos de problemas que abarca
Podemos clasificar los problemas que abarca según dos disciplinas: atendiendo a
su dimensión y atendiendo a su naturaleza o motivación.
Clasificación atendiendo a su dimensión
Los problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos grupos fundamentales:
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
44
Problemas de dimensión finita: aquellos cuya respuesta son un conjunto finito
de números, como las ecuaciones algebraicas, los determinantes, los problemas
de valores propios, etc...
Problemas de dimensión infinita: problemas en cuya solución o planteamiento
intervienen elementos descritos por una cantidad infinita de números, como
integración y derivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales,
interpolación, etc...
Clasificación atendiendo a su naturaleza o motivación
Asimismo, existe una subclasificación de estos dos grandes apartados en tres
categorías de problemas, atendiendo a su naturaleza o motivación para el empleo del
cálculo numérico:
1) Problemas de tal complejidad que no poseen solución analítica.
2) Problemas en los cuales existe una solución analítica, pero ésta, por
complejidad u otros motivos, no puede explotarse de forma sencilla en la
práctica.
3) Problemas para los cuales existen métodos sencillos pero que, para elementos
que se emplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos excesiva;
mayor que la necesaria para un método numérico.
4.1.3 Integración numérica
En análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de
algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el
término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones
diferenciales.
El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución
aproximada a la integral definida:
Este problema también puede ser enunciado como un problema de valor inicial para una
ecuación diferencial ordinaria, como sigue:
Encontrar y(b) es equivalente a calcular la integral. Los métodos desarrollados para
ecuaciones diferenciales ordinarias, como el método de Runge-Kutta, pueden ser
aplicados al problema reformulado.
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
45
Razones para la integración numérica
Hay varias razones para llevar a cabo la integración numérica.
El integrando f puede ser conocido sólo en ciertos puntos, como se obtiene al
hacer un muestreo. Algunos sistemas empotrados y otras aplicaciones
informáticas pueden necesitar de la integración numérica por esta razón.
Puede que se conozca una fórmula para el integrando, pero ser difícil o
imposible encontrar su primitiva. Un ejemplo de un tal integrando es .
Puede ser posible encontrar una primitiva analíticamente, pero puede ser más
sencillo calcular una aproximación numérica que hallar su primitiva. Este puede
ser el caso si la primitiva es dada como una serie infinita o un producto infinito,
o si su evaluación requiere de alguna función especial que no está disponible.
Existen numerosos métodos para la integración numérica como son regla del
punto medio o del rectángulo, la regla del trapecio, método de Euler, método de Runge-
Kutta,…pero no es el objeto de este proyecto profundizar en ellos y estudiarlos a todos,
tan solo haremos una breve explicación, en el siguiente apartado del método que
usaremos para la resolución de nuestra ecuación diferencial del sistema mediante el
programa Matlab.
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
46
4.2 Bases matemáticas del análisis numérico en Matlab
Como venimos diciendo, para el estudio del sistema mediante análisis numérico
haremos uso de una aplicación informática, en nuestro caso hemos optado por el uso de
Matlab puesto que se adapta a todas nuestras exigencias de cálculo, nos proporcionará
resultados de precisión y buena representación de los mismos.
En este apartado trataremos de aclarar las bases matemáticas en las que se apoya
el programa para realizar las funciones de análisis numérico que le solicitaremos para el
estudio mencionado, en concreto para la resolución de ecuaciones diferenciales, como
viene a ser el caso de la ecuación de movimiento del sistema.
Como dedujimos en el capítulo 2 mediante las ecuaciones de Lagrange, la
ecuación de movimiento del sistema era
0))·(3
2)((
2
3 2 gtsenAsenL
y una vez procedíamos a su adimensionalización obteníamos
0)()·)(·( sensena
siendo una ecuación diferencial no lineal de segundo orden. Para trabajar con ella en
Matlab y con los comandos que utilizaremos y que a continuación mencionaremos con
mas detalle, ya vimos también en el capítulo 2 que era necesario reescribir la ecuación
de segundo orden como un sistema de primer orden que quedaba de la forma:
)()(),(
1
2
2
1
ysentsena
y
y
yytYY
donde habíamos hecho el cambio de variable
2
1
y
yY
Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales Matlab nos proporciona
diversos comandos, pero el más recomendado para este caso puede ser ode45 o bien
ode23 que a continuación pasaremos a detallar su base matemática para su
funcionamiento.
En líneas generales, la base de estos comandos reside en la aproximación
mediante diferentes métodos que también señalaremos, a una solución considerando una
partición del intervalo total en el que se representa la función mediante una recurrencia,
de manera que tomando cada vez particiones mas finas del intervalo nos aproximaremos
cada vez mas a la gráfica de la solución.
Por ejemplo, para el problema de Cauchy dado
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
47
ftttyty
tytfty,,
)(
)),(,()(0
00
consideramos una partición del intervalo [t0,tf] tal que t0< t1<…< tN=tf y se obtiene las
aproximaciones
),( nn tyy Nn ,...,2,1
mediante la recurrencia
),(1 nnnnn ytfhyy 1,...,2,1,0 Nn
donde
nnn tth 1 1,...,2,1,0 Nn
que en concreto este método es conocido como el método de Euler.
Métodos basados en estas características pueden ser el método de Euler, método
de Euler mejorado, Runge-Kutta clásico, Heun, la regla de los 3/8, …, o en general
métodos de Runge-Kutta explícitos de s etapas que concretamente son los “cimientos”
de los comandos ode45 y ode23.
Los métodos de Runge-Kutta explícitos de s etapas vienen expresados de manera
genérica por la recurrencia:
)),...(,(
:
:
)),(,(
),,(
),,(
)...(
11,11
23213133
12122
1
111
ssssnnnsns
nnnn
nnnn
nn
ssnnn
kakahyhctfk
kakahyhctfk
kahyhctfk
ytfk
kbkbhyy
Se puede demostrar, que al tomar particiones cada vez mas finas del intervalo
[t0,tf], las aproximaciones yn distan cada vez menos de los verdaderos valores y(tn) que
queremos aproximar. De esta forma podemos observar, que cuando mayor sea el
número de etapas del método de Runge-Kutta para s etapas mayor será el orden de
convergencia del método y por tanto más se aproximarán las soluciones a la solución
exacta.
Es claro y demostrable, que es poco práctico tomar todos los incrementos hn
iguales, hn=(tf - to)/N, puesto que el error local es mucho mayor en unos intervalos que
en otros, y podría optimizarse el método equilibrando con valor de hn mas pequeño para
aquellos intervalos mas desfavorables. El procedimiento que se ha probado como más
eficaz es el de los pares encajados de Runge-Kutta.
El comando ode45 integra un problema de valor inicial utilizando el par
encajado DOPRI(4) de Dorman y Price, esto es, obtiene las aproximaciones yn con un
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
48
método de orden 5, mientras que el comando ode23 lo hace con un método de segundo
orden debido a Bogacki y Shampine.
Conclusiones
Mediante el comando ode45 , debido a tener un orden de convergencia mayor
que ode23 podremos obtener mejores aproximaciones a la solución real o exacta. Pero
no todo son ventajas. Al tener un numero de etapas s mayor, también conlleva a tener
un mayor coste computacional, por ello en este aspecto ode23 es mas económico
computacionalmente hablando.
En definitiva, a la hora de usar estos comandos, deberemos elegir y dar prioriad
a la exactitud de la solución, o bien, a la facilidad y rapidez de cálculo en el proceso.
Por ello para nuestro proyecto, utilizaremos ambos comandos, cada uno de ellos , en el
caso más conveniente, dependiendo de nuestros intereses en las circunstancias del
momento.
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
49
4.3 Determinación de las regiones de estabilidad mediante
análisis numérico
En este aparatado vamos a determinar las regiones de estabilidad e inestabilidad
mediante un análisis numérico del sistema. Para ello trabajaremos con Matlab y
haremos uso de los comandos ode45 y/o ode 23 anteriormente mencionados y explicada
su funcionamiento y su base matemática. También será necesario para llevar a cabo
nuestro objetivo, crear ciertos archivos .m que nos facilitaran el trabajo a la hora de usar
ciertas funciones, bien de la librería del programa, o bien creadas por nosotros mismos.
Para este apartado, es decir, para la determinación de las regiones de estabilidad,
nuestra prioridad no va a ser la velocidad de cálculo y la facilidad de ejecución de los
comandos, sino la precisión y obtención de la solución con el error mínimo posible, por
tanto, para esta función utilizaremos el comando ode45 que es el que mas se adapta a
nuestras prioridades en este caso.
La sintaxis básica para la utilización del comando ode45 en Matlab es la
siguiente:
ode45 ( function, [t0 , tf], y0 )
en donde podemos observar que para llevar a cabo la integración numérica nos hará
falta tener definida la función o ecuaciones a integrar, un intervalo de integración, y la
condición o condiciones iniciales.
Como ya explicamos en su momento, para utilizar este comando en Matlab,
debíamos reescribir las ecuaciones diferenciales de segundo orden como sistemas de
ecuaciones de primer orden, es decir, en nuestro caso, la ecuación de movimiento
adimensionalizada
0)()·)(·( sensena
a un sistema de ecuaciones tal como este:
)()(),(
1
2
2
1
ysentsena
y
y
yytYY
donde se hizo el cambio de variable pertinente ya anteriormente explicado.
Para introducir este sistema en Matlab y poder utilizarlo cada vez que nos sea
necesario, crearemos con el Editor/Debugger un fichero al que llamaremos
ecmovimiento.m y que vendrá definido por las siguientes líneas que podemos ver en el
gráfico de la pantalla , figura 4.3.1.
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
50
Fig. 4.3.1
Una vez tenemos definida la ecuación de movimiento en Matlab, ya podríamos
integrarla mediante ode45 para un intervalo de integración determinado y unas
condiciones iniciales en posición y velocidad dadas siempre y cuando le especifiquemos
unos valores concretos para los parámetros que gobiernan la ecuación, λ y a.
Para el intervalo de integración, [t0, tf] , podemos elegir cualquiera, siempre y
cuando sea suficiente para poder concluir, si para esas condiciones dadas el
comportamiento del sistema es estable o no lo es.
En cuanto a las condiciones iniciales en posición y velocidad, )0(t y
)0(t , o ya expresadas en el sistema de ecuaciones de primer orden, )0(1 ty y
)0(2 ty , tomaremos unos valores en las que la posición inicial será un valor muy
pequeño, próximo a la solución vertical, pero no nulo, tomando por ejemplo 0.01 rad.
Mientras que para la condición inicial en velocidad, se tomará como velocidad inicial
nula. En resumen:
sradty
radty
/0)0(
01.0)0(
2
1
Así por ejemplo, podríamos integrar nuestra ecuación, para un intervalo de integración
de [t0, tf] = [0,1000] segundos, un valor de los parámetros concreto, y representando
gráficamente el resultado. Para ello procedemos escribiendo en la Command Window
las siguientes instrucciones, figura 4.3.2.
lambda=0.001
a=0.001
[t,y]=ode45(@ecmovimiento,[0,1000],[0.01,0],[],lambda,a)
plot(t,y)
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
51
Fig 4.3.2
De aquí obtendremos tres columnas de valores que representan lo siguiente:
- el tiempo, que representa el intervalo de integración;
- la posición y1(t) en cada instante dado por el intervalo [t0, tf] = [0,1000]
- la velocidad y2(t) en cada instante dado por el intervalo [t0, tf] = [0,1000]
y una grafica (Fig. 4.3.3) en la que representamos dichos valores y que presentamos a
continuación.
Fig. 4.3.3 Comportamiento estable
En ella, podemos observar, que para estos valores de los parámetros λ y a, la
posición y1(t) permanece aproximadamente constante rondando valores muy próximos a
cero, es decir, a la posición inicial, y por lo tanto podemos afirmar que el sistema para
esas condiciones permanece estable.
Si repetimos el procedimiento para valores diferentes de los parámetros, por
ejemplo,
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
52
lambda=0.3
a=0.5
vemos que obtenemos una grafica (Fig. 4.3.4) que representa un comportamiento muy
distinto.
Fig. 4.3.4 Comportamiento Inestable
En esta gráfica, podemos observar claramente un comportamiento inestable del
sistema. En ella vemos como la posición va tomando valores muy dispares y cada vez
mas alejados de la posición inicial, a lo largo del intervalo de integración.
Concluimos entonces, que dada unas condiciones iniciales en posición y
velocidad para nuestro sistema en estudio, el sistema tomará un comportamiento estable
o inestable dependiendo de los valores que tomen los parámetros que gobiernan su
ecuación de movimiento, es decir, λ y a.
Una vez hemos analizado como se modifica el comportamiento del sistema en
función de la variación de sus parámetros, en el siguiente subapartado, vamos a
determinar las regiones de estabilidad del sistema en función de sus parámetros y para
unas condiciones iniciales dadas.
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
53
4.3.1 Determinación de las regiones de estabilidad
Para determinar las regiones en las cuales el comportamiento del sistema se
predice estable, o inestable según sea el caso, procederemos de manera similar a los
ejemplos anteriores de sistema estable o inestable.
Tomaremos un intervalo de integración [t0, tf] acorde a las explicaciones dadas
anteriormente al igual que con las condiciones iniciales en posición y velocidad, es
decir, tomaremos para este estudio unos valores de
[t0, tf] = [0,1000]
sradty
radty
/0)0(
01.0)0(
2
1
Con estos datos, y con la ayuda del comando ode45, trataremos de ir
encontrando una serie de puntos, a los que llamaremos puntos críticos, los cuales sean
aquellos que se encuentren en el límite entre la estabilidad y donde el sistema comienza
a ser inestable.
Para ello, para facilitar y agilizar el trabajo, crearemos un fichero.m al que
llamaremos punto.m, que también llama al fichero ecmovimiento.m, y al cual, tan solo
introduciéndole el par de valores de λ y a que queramos, nos dará como salida una
grafica en la que se nos representará la evolución de la posición del sistema a lo largo
del intervalo de integración, para esos valores de λ y a introducidos, y para las
condiciones iniciales anteriormente mencionadas. De esta forma, podremos analizar en
cada caso, si el sistema se comporta de forma estable o si por el contrario, se
desestabiliza.
El fichero punto.m viene dado por las sentencias que podemos ver en el
Editor/Debugger de la figura siguiente:
Fig. 4.3.1.1
Procederemos por tanto, haciendo uso de punto.m, introduciendo un parámetro y
manteniéndolo constante, mientras que iremos variando el otro hasta que observemos
un cambio de comportamiento en el sistema, de estable a inestable, o viceversa, según
sea la dirección de variación del parámetro.
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
54
Una vez observemos ese cambio de comportamiento, sabremos que ese punto
será un punto crítico que pertenecerá a la curva que delimita dos regiones de estabilidad
e inestabilidad respectivamente.
Repitiendo este proceso repetidas veces (cuantos mas puntos críticos
obtengamos mejor), para valores diferentes del parámetro que permanece constante,
obtendremos numerosos puntos críticos. Todos ellos, mediante una curva que los una,
definirán la frontera entre las dos regiones mencionadas.
A continuación, realizaremos la obtención de algunos puntos críticos a modo de
ejemplo para describir con más claridad el proceso.
Para la elección del rango de valores para los parámetros λ y a, debemos pensar
en un rango acorde para los resultados que estamos buscando. Para ello nada haremos
uso del sentido común, que nos dice, que para que este sistema en estudio se mantenga
en posición vertical mientras se somete a un movimiento vibratorio tal como
)·(· tsenAZ
el movimiento debe ser tal que tenga una amplitud pequeña, y una frecuencia
suficientemente alta. Llevándonos estos argumentos a la definición de los parámetros
adimensionales λ y a
LAa / 2··2
·3
L
g
sabemos que tanto λ como a deberán tener valores bastante pequeños.
Tomemos por ejemplo como parámetro constante a al que le daremos un valor
pequeño por los razonamiento expuestos, de a=0.1. Para los valores de lambda iremos
variándolos desde valores muy pequeños que sabemos que darán un comportamiento
estable, hasta que veamos que exista un cambio. Una vez llegado a ese punto
intentaremos afinar al máximo hasta conseguir nuestro punto crítico. Veámoslo.
Ejecutamos punto.m para a=0.1 y lambda=0.0001 en la Command Window
Fig. 4.3.1.2
y obtenemos como salida, una representación de la posición del sistema tal como
podemos ver en la figura. En ella, según vemos, podemos comprobar que para estos
valores de los parámetros el comportamiento del sistema es estable. Por tanto
repetiremos el procedimiento con un valor de λ mayor. Lo haremos para λ=0.001,
λ=0.003 y λ=0.005, y en las figuras siguientes vemos como se comporta el sistema para
estos valores.
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
55
Fig.4.3.1.3 Sistema estable para a=0.1 y λ=0.0001
Fig. 4.3.1.4 Sistema estable para a=0.1 y λ=0.001
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
56
Fig.4.3.1.5 Sistema estable para a=0.1 y λ=0.003
Fig. 4.3.1.6 Sistema estable para a=0.1 y λ=0.005
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
57
Podemos observar que para tanto λ=0.001 como para λ=0.003 el
comportamiento sigue siendo estable. Pero sin embargo, para λ=0.005 vemos que ha
habido un cambio importante y el sistema ya no es estable, por tanto sabemos que el
punto crítico que delimitará la frontera entre las regiones estables e inestables para
a=0.1 se encuentra entre λ=0.003 y λ=0.005. Así que, mediante este procedimiento,
seguimos interpolando entre estos dos valores, hasta encontrar el punto crítico. Para este
caso en concreto, el punto vendrá dado por el valor de los parámetros
a=0.1 λ=0.004925
Si repetimos todo este procedimiento, para diferentes valores de a hasta obtener
un número de puntos críticos suficiente como para obtener una curva que nos determina
la frontera entre las regiones de estabilidad e inestabilidad obtenemos una tabla como la
siguiente en la que se resumen todos estos valores de los parámetros.
Tabla 4.3.1.1 Relación de puntos críticos obtenidos
Puntos a 1 0.0010 0.00000010000000
2 0.0050 0.00001200000000
3 0.0100 0.00004500000000
4 0.0250 0.00030500000000
5 0.0500 0.00122500000000
6 0.0750 0.00275000000000
7 0.1000 0.00492500000000
8 0.1250 0.00762500000000
9 0.1500 0.01098500000000
10 0.1750 0.01495000000000
11 0.2000 0.01937500000000
12 0.2250 0.02445000000000
13 0.2350 0.02660500000000
14 0.2500 0.03002500000000
15 0.2750 0.03615000000000
16 0.3000 0.04287500000000
17 0.3250 0.04985000000000
18 0.3500 0.05750000000000
19 0.3750 0.06555000000000
20 0.4000 0.07375000000000
21 0.4500 0.09225000000000
22 0.5000 0.11130000000000
23 0.5500 0.13350000000000
24 0.6000 0.15500000000000
25 0.6500 0.17950000000000
26 0.7000 0.20250000000000
27 0.7500 0.23070000000000
28 0.8000 0.25660000000000
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
58
Si tomamos todos estos puntos y mediante Matlab los representamos en una
gráfica donde la abcisas es λ y a es ordenadas, obtenemos una representación tal y como
la de la figura 4.3.1.7.
Fig.4.3.1.7 Representación en λ-a de los puntos críticos obtenidos
Podríamos plantearnos el seguir determinando puntos críticos, pero a partir de
los hallados, es decir, si seguimos aumentando a, la forma que va tomándola curva que
van siguiendo ya no se asemeja a una parábola que es lo que vamos buscando y por
tanto queda fuera del objeto de nuestro proyecto.
Como podemos ver, la situación de los puntos va designando una curva que
sigue una trayectoria parabólica. Si trazamos una curva mediante Matlab que una todos
estos puntos críticos, encontraremos la curva que delimita las regiones de
comportamiento estable e inestable para nuestro sistema. Es lo que hacemos a
continuación y lo que podemos observar en la figura 4.3.1.8, que definitivamente
muestra las regiones donde el comportamiento del sistema es estable o donde deja de
serlo.
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
59
Fig.4.3.1.8 Regiones de estabilidad e inestabilidad del sistema
Una vez hemos determinado esta gráfica, podemos predecir el comportamiento
del sistema según los valores de los parámetros λ y a que tomemos. Realizaremos una
comprobación para los valores correspondientes a los puntos señalados en azul en la
siguiente figura. Una en zona estable y otro en zona inestable.
Fig. 4.3.1.9 Puntos para comprobación
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
60
Haciendo uso nuevamente del archivo punto.m para los valores de los
parámetros de los puntos señalados en azul en la figura, obtenemos los siguientes
comportamientos:
Fig.4.3.1.10 Comportamiento estable para a=0.4 y λ=0.05
Fig.4.3.1.11 Comportamiento inestable para a=0.2 y λ=0.05
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
61
Efectivamente, se produce el comportamiento esperado para el sistema según la
región de la gráfica donde tomemos el valor para los parámetros. De la zona estable
hemos tomado a=0.4 y λ=0.05 y tal como podemos observar, el sistema responde de
manera estable Sin embargo, para los valores a=0.2 y λ=0.05 obtenidos de la región
inestable, era de prever que el comportamiento del sistema seria como el de la figura,
inestable.
Nueva región de inestabilidad
Después de todo este procedimiento, hemos conseguido determinar una curva
que separa la región de estabilidad de la de inestabilidad. Pero si seguimos analizando
numéricamente el sistema, nos damos cuenta de que la zona de estabilidad señalada no
es infinita conforme aumentamos el parámetro a. La región estable vuelve a estar
acotada por otra curva que vuelve a delimitar otra región de inestabilidad que en este
caso queda por encima de ella.
Esta nueva curva frontera de la nueva región de inestabilidad, no parte del
origen, sino que parte de valores negativos para el parámetro λ y por tanto su estudio
analítico es mucho mas complicado y queda ya fuera del objeto de nuestro proyecto. Por
ello, siguiendo un procedimiento similar al seguido hasta ahora para determinar la
primera curva de separación de regiones, e incluso, utilizando las misma funciones y
ficheros.m creados para su determinación, obtendremos algunos puntos críticos de la
nueva curva, para posteriormente hacer una representación de la misma, para
simplemente tener un idea de su posición y forma, y de la amplitud de la región de
estabilidad.
A continuación presentamos una nueva tabla con los puntos críticos obtenidos
para esta curva, y una nueva gráfica (figura 4.3.1.12) presentando dichos puntos, y otra
mas (figura 4.3.1.13) en la que se representan las regiones de estabilidad e inestabilidad.
Puntos a 1 0.4750 0
2 0.5000 0.0150
3 0.5500 0.0450
4 0.6000 0.0750
5 0.6500 0.1100
6 0.7000 0.1450
7 0.7500 0.1750
8 0.8000 0.2150
Tabla.4.3.1.2
Puntos críticos para la nueva curva
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
62
Fig.4.3.1.12
Fig. 4.3.1.13
Capítulo 4 Estudio del sistema mediante análisis numérico
63
Conclusión
Resumiendo todo el proceso que hemos seguido, hemos realizado un estudio
mediante análisis numérico del comportamiento del sistema, debido a la inexistencia de
solución analítica para la ecuación que define su movimiento.
Este estudio se ha realizado para diferentes valores de los parámetros que
gobiernan la ecuación, llegando a obtener los denominados puntos críticos, que se
encontraban en el umbral entre el comportamiento estable e inestable del sistema, y
mediante la trayectoria o curva dibujada por los mismos en el plano λ-a, hemos
conseguido delimitar las regiones de estabilidad e inestabilidad para el comportamiento
del sistema de nuestro proyecto.
Con estos datos y regiones conocidas, podremos predecir de antemano el
comportamiento que tendrá el sistema para unos valores de los parámetros λ y a dados.