I.E.S “Fernando III”

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ESTUDIO GRÁFICO DE FUNCIONES

DOMINIO Y RECORRIDO:

Se llama DOMINIO de una función al conjunto de valores que toma la variable

independiente. Es decir, “donde hay dibujo en el eje horizontal”.

Se llama RECORRIDO de una función al conjunto de valores que toma la variable

dependiente. Es decir, “ donde hay dibujo en el eje vertical”.

Ejemplos:

Dom f(x)= Dom f(x)= Dom f(x)=

Rec f(x)= Rec f(x)= Rec f(x)=

Dom f(x)= Dom f(x)= Dom f(x)=

Rec f(x)= Rec f(x)= Rec f(x)=

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PAR Cuando se dobla la gráfica por

el eje de ordenadas las dos

ramas coinciden.

SIMETRÍAS Una función es simétrica respecto al eje OY, si f(-x) = f(x).

En este caso la función se dice PAR.

Una función es simétrica respecto al origen de coordenadas cuando f(-x) = -f(x).

En este caso la función se dice IMPAR.

Ejemplos:

Simetría: Simetría: Simetría:

Simetría: Simetría:

IMPAR Cuando se dobla la gráfica por

ambos ejes las dos ramas

coinciden

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PERIODICIDAD:

Una función es periódica cuando los valores que toma se van repitiendo cada cierto

intervalo, que se llama período.

Es decir “T” es el periodo de una función si para cualquier valor “x” del dominio se

cumple que f(x) = f( x + T)

Periodo:

Periodo:

Periodo:

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CONTINUIDAD:

Gráfica e intuitivamente una función es CONTINUA si se puede dibujar sin levantar el

lápiz del papel.

Cuando una función no es continua se llama DISCONTINUA.

Continua Discontinua

Tipos de discontinuidad:

D. Evitable D. de salto finito D. de salto infinito

Ejemplos:

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MONOTONÍA:

Una característica de las funciones que se puede visualizar fácilmente en las gráficas es

la monotonía.

Cuando al aumentar el valor de x aumenta el valor de y=f(x), la gráfica "asciende" y se

dice que la función es CRECIENTE.

Si por el contrario al aumentar x disminuye y, la gráfica "desciende", y la función

DECRECE.

Precisando un poco más:

Una función es creciente en un intervalo, cuando dados dos puntos cualesquiera del

mismo

• Si a < b entonces f(a ) < f(b)

Y será decreciente:

• Si a < b entonces f(a ) > f(b)

Ejemplos:

Creciente: Creciente: Creciente:

Decreciente: Decreciente: Decreciente:

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EXTREMOS:

Dada una función continua en un punto x=a, se dice que presenta un máximo relativo,

si a la izquierda de dicho punto la función es creciente y la derecha la función es

decreciente.

Si, por el contrario, la función es creciente a la izquierda y decreciente a la izquierda

hay un mínimo relativo.

Si se verifica que f(a)>f(x) para cualquier valor x del dominio, y no sólo para los valores

de "alrededor", se habla de máximo absoluto en x=a.

Y análogamente se dice que en a hay un mínimo absoluto si f(a)<(f(x) para cualquier x

del dominio.

Los máximos y mínimos de una función son puntos de su gráfica, por lo que tienen

dos coordenadas, es decir si en x=a se alcanza un máximo o un mínimo este será el

punto (a, f(a)).

Ejemplos:

Máximo Relativo: Máximo Relativo: Máximo Relativo:

Mínimo Relativo: Mínimo Relativo: Mínimo Relativo:

Máximo Absoluto: Máximo Absoluto: Máximo Absoluto:

Mínimo Absoluto: Mínimo Absoluto: Mínimo Absoluto:

Máximo Relativo:

Mínimo Relativo:

Máximo Absoluto:

Mínimo Absoluto:

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CURVATURA:

Otra característica de interés en las gráficas de las funciones es la curvatura, con ella

vamos a estudiar los intervalos en los que la gráfica se curva hacia abajo o hacia arriba.

Una función es CÓNCAVA en un intervalo si el segmento que une dos puntos

cualesquiera de la curva queda debajo de ella, y CONVEXA si queda por encima.

Los puntos del dominio en los que la función pasa de cóncava a convexa o viceversa, se

llaman PUNTOS DE INFLEXIÓN.

Ejemplos:

Cóncava: Cóncava:

Convexa: Convexa:

Puntos de inflexión: Puntos de inflexión:

Cóncava: Cóncava:

Convexa: Convexa:

Puntos de inflexión: Puntos de inflexión:

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ASÍNTOTAS:

Una asíntota es una recta a la que la gráfica “se aproxima infinitamente”.

Las asíntotas pueden ser verticales, horizontales u oblicuas.

Una función también puede presentar asíntotas oblicuas, pero su ecuación no la veremos

este curso.

Ejemplos: