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  • 8/17/2019 Estudio Mercado Costos

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      ACULTAD DE CIENCIAS Y

    ACULTAD DE CIENCIAS Y

    TECNOLOGIA

    ECNOLOGIA

    INGENIERÍA CIVIL

    NGENIERÍA CIVIL

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    CAPITULO 2ESTUDIO DE MERCADO Y

    ESTIMACIONDE COSTOS DEL PROYECTO

    OBJETIVOS:

    • Conocer conceptos de Mercado, Elasticidades, las diferentes Técnicas ymétodos de Proyección para determinar valores comparativos como el Preciode un bien, la cantidad de Producción, etc.

    • Clasificar y Estimar los costos directos e indirectos, o también los costos fijos

    y variables.

    • Con la ayuda de una Herramienta computacional, se podr ma!imi"ar lautilidad, como también minimi"ar los costos.

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      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $#o $ Capitulo % Capitulo %

    Introducción al Estudio de MercadoMercado no es necesariamente un lu&ar, sino es una institución a través de lacual operan la 'emanda y la (ferta,

    En el mercado intervienen circunstancias concretas y variadas )ue influyen enla demanda y oferta del producto las &eo&rficas * rea del mercado+ -asta lassociales * Hbitos de consumo+ desde las económicas * Presión de lacompetencia+-asta las jurdicas* /eyes vi&entes+.

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    Estudio de Mercado

    Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %#o %Capitulo %Capitulo %

    Para obtener información destinada a la elaboración de un estudio de mercadose aplican los si&uientes métodos0

    Método Estadstico

    Los datos requeridos para un estudio de mercado se

    obtienen de organizaciones económicas publicas y privadas. También se encuentran en el propio mercado y enpublicaciones especializadas ( revistas, periódicos,memorias estadísticos, libros y estudios.)

    Cuando no e!iste información se aplica los métodos0

    Método de las Encuestas

    Es una técnica destinada a obtener inormaciónsobre la preerencia del consumidor en relación a undeterminado producto no tradicional (nuevo) o de unproducto que e!iste en el mercado, pero del cual nose tiene inormación estadística alguna.

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    Método de las Encuestas

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o 1#o 1 Capitulo % Capitulo %

    Partiendo de la relación si&uiente para determinar la muestra, elaborada por laespecialista en 2nvesti&ación de mercados /aura 3isc-er .

    q*p*K*N

    q*p*K*N

    2

    2

    2

    2

    α

    α

    +∈=η

    'onde0

      Muestra o numero de encuestas.  Población.  4alor de la tabla #ormal para un nivel de si&nificanca * si +

    p 0 Probabilidad é!ito * p 5 6.76 +) 0 Probabilidad fracaso * ) 5 6.76 +  Error absoluto de la muestra del %8 al 98

    :η:N:K

    2

    α

    :∈

    96.1K%5

    2

    =⇒=α   α

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    ¿Que es un Estudio de Mercado?

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o :#o :  Capitulo %  Capitulo %

    Consiste en un anlisis minucioso y sistemtico de los factores )ue intervienenen el mercado y )ue ejercen influencia sobre el producto del proyecto.

    Todo estudio de mercado incluye aspectos precisos de los proveedores internosy;o e!ternos, de los competidores, de los consumidores y de la distribución delproducto, toda ve" )ue estos elementos influyen sobre el proyecto

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    Objetivo del Estudio de Mercado

    Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o 7#o 7Capitulo %Capitulo %

    /os objetivos )ue persi&ue todo estudio de mercado son0

      < Encontrar mercados rentables.

      < Ele&ir productos )ue se puedan vender 

      < 2dentificar a los consumidores

      < Conocer los cambios )ue se van produciendo en relación a los &ustos.

      < Cambios tecnoló&icos de la empresa.

      < =e)uerimiento de insumos.

      < Establecer el precio de venta del producto de estudio.

      < Estudiar el comportamiento de la competencia.

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    Conocimientos de Microeconomía

     Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o 9#o 9 Capitulo %Capitulo %

    Elasticidad de la emanda!

    Es la medida del &rado al cual los consumidores responden ante los cambios delprecio del bien o servicio. >umentando o disminuyendo las cantidades )ue compran

    Cuando la demanda es relativamente elstica con el precio del bien , convienebajar el precio, en tanto )ue, si la demanda es relativamente inelstica, entonces-abr )ue subir el precio del bien o servicio.

    Elasticidad " precio punto de la demanda.#

    precioelen%

    demandadacantidadlaen%EP

    Δ

    Δ=

    ?na elasticidad @ precio alto enseAa )ue la cantidad demandada varia si&nificativamentecuando cambia el precio. Por el contrario, una elasticidad @ precio bajo indica )ue la cantidaddemandada varia muy poco cuando cambia el precio.

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    Elasticidad de la emanda

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o B#o B Capitulo % Capitulo %

    E"emplo#$uando se conoce las variaciones, se tiene un aumento del %&' en el precio de unbien produce una disminución del &' en la cantidad demandada, entonces laelasticidad * precio+unto ser -

    2%10

    %20EP   =−=

    /ora, cuando /ablamos de un cambio porcentual en el precio nos reerimos alcambio absoluto en el precio dividido por el precio original y precio nuevo. 0 delcambio porcentual de las cantidades

    2

    PP

    P

    P% 21+=

      Δ

    Δ

    2

    QQ

    Q

    Q% 21+=

      Δ

    Δ

    1i no se conoce la variación porcentual en la cantidad demandada y en el precioentonces, la elasticidad precio2punto de la demanda se puede encontrar con lasiguiente ormula#

    1

    1

    12

    12P

    Q

    P*

    PP

    QQE

    −=

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    Ejemplo Elasticidad $recio

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o #o  Capitulo % Capitulo %

    E"emplo#1i se tiene los siguientes resultados de la cantidad demandad a cada precioestablecido

    %&o ' ( )

    Precio ?nitario $66 $$6 $%6

    Cantidad 'emandada $666 66 966

    −∞=−−

    =−=−−

    =−=−

    −=

    120

    120*

    1200.0

    6000.0E;75.2

    800

    110*

    110120

    800600E;2

    1000

    100*

    100110

    1000800E PPP

    Entonces la elasticidad *precio punto de la demandaseria#

    Para facilitar la comparación de las elasticidades, se suprime el si&no ne&ativodemostrando el valor absoluto de la elasticidad. Esta relación nos permiteconocer el &rado y el tipo de elasticidad de la demanda

    ¡¡ Ejemplo Elasticidades en

     ACETATO !!

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    *ipos de Elasticidades

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o D#o D  Capitulo %  Capitulo %

    /a 'emanda se clasifica en elstica, inelstica y unitaria, dependiendo de si laelasticidad

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    *ipos de Elasticidades

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $6#o $6  Capitulo %  Capitulo %

    EL1T3$344$L1353$$367E 6

    E F 6

    E 5 6

    IustitutoComplementario

    2ndependiente

    Elasticidad Ingreso de la emanda

    Es a)uella elasticidad )ue mide la sensibilidad del consumidor ante cambios ensu in&reso, es decir la cantidad demandada de un bien como resultado de

    modificaciones en el in&reso del cliente

    ingresoelen%

    demandadacantidadlaen%E y

    Δ

    Δ=

    Cuando se conoce la variación y Cuando no se conoce la variación

    1

    1

    12

    12 y

    Q

     Y*

     Y Y

    QQE

    −=

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    *écnicas de $ro,ección de Mercado

     Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $$#o $$ Capitulo %Capitulo %

    emanda -istórica.#

    El objetivo de la demanda -istórica es conocer el comportamiento del consumoen el tiempo pasado, es decir, la demanda del producto o servicio )ue -ubo enloa aAos anteriores.

    Ii no -ay información -istórica, entonces, considerar para el anlisis la demandaactual utili"ando para ello el método del consumo aparente

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    Consumo %parente

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $%#o $%  Capitulo %Capitulo %

    Ie refiere a la demanda estimada para un periodo establecido y se elaboracuando no e!isten datos de la 'emanda Histórica, la estimación se basa endatos anuales de producción, e!portación, importación y stocJ del bien enestudio.

    I XIPC A  Δ

    +−+=

    'onde0

    sinventariooStockde Variacion:I

    nesExportacio: X

    sportacioneIm:I

    NacionaloduccionPr:P

     AparenteConsumo:C A

    Δ

    P A   CC   ≠

    Consumo Potencial0

    N*CC PCP =PoblaciondeCantidad:N

    capitaperConsumo:C

    PotencialConsumo:C

    PC

    P'onde0

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    emanda %parente

     Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $1#o $1 Capitulo %Capitulo %

    'onde0

    I A A   DCD   +=

    haInsatisfecDemanda:D

     AparenteConsumo:C AparenteDemanda:D

    I

     A

     A

     

    PC

     AD

    ID

    801

    4E974

     AC

     D: D9 D 66 6% 6: 69

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    emanda $ro,ectada

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $:#o $: Capitulo % Capitulo %

    /a demanda proyectada se refiere fundamentalmente al comportamiento )ueesta variable pueda tener en el tiempo, suponiendo )ue los factores )uecondicionaron el consumo -istórico del bien KL actuaran de i&ual manera en elfuturo

    /a proyección de la demanda abarca la vida operacional del proyecto, es decirel periodo de funcionamiento. Con la finalidad de tener mayor certe"a en losresultados, la proyección para productos )ue ya e!isten en el mercado seefectNa tomando el mismo periodo -istórico de la oferta.

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    Métodos de $ro,ección

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $7#o $7  Capitulo %  Capitulo %

    Método de $ro,ección por *a+as.#

    n

    )1(i

    )in1(

    on

    on

    −ηη=

    +η=η

    Ie puede proyectar de dos formas0 Por Ta"as Por =e&resión

    Ie reali"a por medio de la ta"a aritmética o interés simple, de lasi&uiente manera0

    !! Ejemplo Proyección por Tazas en ACETATO ¡¡

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    ierentes $ro,ección por /egresión

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $9#o $9  Capitulo %  Capitulo %

     Tipos de

     Proyección

     EC?>C2O#  3

    *tiempo+

     rafico

     

    Proy. /ineal

     

    Proy.E!ponencial

     

    Proy. Potencial

     

    Proy./o&artmica

     

    BX A Y   +=

     bxae Y=

     bax Y=

     xln ba Y   +=

     Tipos de

      Proyección

      EC?>C2O#  3*tiempo+

    rafico

     

    Proy. >sintótica

     

    Proy.omport"

     

     x

     ba Y   +=

     x

     ba Y   −=

    ) x

     ba(

    e Y−

    =

    a

    a

    a

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    /egresión 0ineal

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $B#o $B  Capitulo %  Capitulo %

    Ie basa en la si&uiente e!presión matemtica, )ue relaciona dos variables, sea, la variable dependiente y G, la variable independiente, de la si&uiente manera0

             B         X A Y        + =

    Esta relación se resuelve a través de la solución de las si&uientes ecuacionesnormales, donde la incó&nitas son la K> y KQ.

    ∑ ∑∑

    ∑ ∑+=

    +=

     XB X A XY

     XBnA Y

    ( )   ∑∑∑ ∑ ∑∑∑

    −=

    +=

    22  Xn X

     Y X XYB;

    n

     XB Y A

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    /egresión $otencial

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $#o $ Capitulo % Capitulo %

    Ii la nube de puntos de los datos Históricos de la demanda y la distribución delos mismos se apro!ima a una función e!ponencial se puede recurrir a lasi&uiente relación0

    B AX Y=

    Para lineali"ar esta función se aplica lo&aritmos a ambos miembros,mediante este procedimiento se obtiene una ecuación lo&artmica lineal0

     XLogB ALog YLog   +=

     XLog X ALog A YLog Y   ===

    ∑ ∑+=   LogXBnLogALogY ∑ ∑ ∑+=   2LogXBLogXLogALogXLogY

    !! Ejemplo de Regresión Potencial en ACETATO ¡¡

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    /egresión E1ponencial

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o $D#o $D  Capitulo %  Capitulo %

    (tro tipo de función )ue tiene aplicación en el anlisis de re&resión, es lafunción e!ponencial, )ue esta dada por la e!presión0

     X AB Y=

    /a re&resión e!ponencial puede también ser lineali"ada aplicando lo&aritmos aambos miembros, resultado de ello se tiene la relación si&uiente0

    ) X(LogBLogALogY   +=

    BLogB ALog A YLog Y   ===

    ∑ ∑+=   XBLog AnLogLogY∑ ∑ ∑+=   2 XBLog XLogALogY X

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    /egresión $arabólica o Curva Cuadr2tica

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %6#o %6  Capitulo %  Capitulo %

    Ii la serie tiene una curva parabólica cuyo comportamiento se describematemticamente por una ecuación de se&undo &rado * parbola +. /are&resión se e!presa as0

    2CXBX A Y   ++=

    4onde#

     ; < Estimación de la variable dependiente,=,$ < constantes numéricas> < ?alores de la variable independienteLos valores @A, A=A y A$A se encuentran resolviendo unsistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

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    /egresión $arabólica o Curva Cuadr2tica

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %$#o %$  Capitulo %  Capitulo %

    ∑ ∑ ∑ ∑∑ ∑ ∑∑

    ∑ ∑∑

    =++

    =++

    =++

     Y X XC XB X A

     XY XC XB X A

     Y XC XBnA

    2432

    32

    2

    Pero cuando se recurre a la codificación de la variable independiente, el calculotambién se efectNa con las si&uientes formulas de mnimos cuadrados0

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )∑∑∑

    ∑∑∑∑∑ ∑∑∑

    ∑∑∑∑

    −=

    =

    −=

    224

    22

    2

    224

    224

     X X X

     X Y Y XnC

     X

     XYB

     X X Xn

     Y X X X Y A

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    /a Curva de omport"

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %%#o %%  Capitulo %  Capitulo %

    Tiene la si&uiente e!presión matemtica )ue la representa0

    )

     x

     ba(

    e Y−

    =

    BX A Y

     x

     ba yln

    eln yln)

     x

     ba(

    −=

    ⇓⇓⇓

    −=

    =  −

    Por mnimos cuadrados, se tiene0 

    ∑∑∑ ∑∑∑∑

       

      − 

      

      

    −=

    +=

    22

     x

    1n

     x

    1

     yln x1 yln

     x1n

    B;n

     x1B yln

     A

    !! Ejemplo de Curva de Gomportz en

     ACETATO ¡¡

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    Coeiciente de eterminación

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %1#o %1  Capitulo %  Capitulo %

    =ecordemos )ue la ecuación de mejor ajuste corresponde a)uella )ue presentalos coeficientes de determinación y correlación mas pró!imo a la unidad

    Coeiciente de eterminación 3 4!2Γ

    Este coeficiente sirve para medir la relación entre las variables, medida deajuste de modelo de re&resión y )ue corresponde al cuadrado delcoeficiente de correlación simple, con la relación 0

    ( ) ( ) ( )[ ]

    ( ) ( ) ( ) ( )

    −=

    ∑∑∑∑∑∑∑

    2222

    2

    2

     Y Yn X Xn

     Y X XYnΓ

  • 8/17/2019 Estudio Mercado Costos

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    Coeiciente de Correlación

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %:#o %:  Capitulo %  Capitulo %

    Ie dice )ue e!iste correlación entre dos variables, cuando al variar una de ellasvaria también la otra variable. Para )ue la proyección sea mas acertada es

    necesario )ue el numero de observaciones *n+ sea mas amplio

    ( ) ( ) ( )[ ]

    ( ) ( ) ( ) ( )

    −=

    ∑∑∑∑∑∑∑

    2222  Y Yn X Xn

     Y X XYnΓ

    El &rado de apro!imación entre variables es mayor cuando el coeficientede correlación se acerca al valor m!imo de $. Entonces, en este caso sedice, e!iste una elevada correlación entre G y .

    Coeiciente de Correlación 3 4!Γ

  • 8/17/2019 Estudio Mercado Costos

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    Estimación de Costos del $ro,ecto

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %7#o %7 Capitulo % Capitulo %

    /os 2n&resos y Costos del Proyecto son clculos anticipados )ue se preparan

    en base a las proformas y;o presupuesto de costos previamente verificados. 

    En la practica, las estimaciones de los costos se reali"a en base a los &astospro&ramados para las diferentes etapas de desarrollo del proyecto0 estudio,ejecución y operación de planta. 

  • 8/17/2019 Estudio Mercado Costos

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    Estimación de Costos del $ro,ecto

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %9#o %9 Capitulo % Capitulo %

    El presupuesto de costos, es un conjunto de clculos anticipados a la ejecucióndel proyecto se elaboran para determinar el costo de una obra fsica o instalaciónde servicios bsicos.

    El anlisis de costos ayuda a determinar los e&resos totales )ue se &enerandurante un periodo económico y como tal responde a la interro&ante deRcunto costara producir el bien o servicio del proyectoS.

    /a presentación del presupuesto de costos del proyecto, es de vital importanciapara la obtención oportuna de capital de las instituciones financieras nacionales ye!tranjeras. Iiendo este documento, concordante con el plan de financiamiento yel crono&rama de inversiones 

  • 8/17/2019 Estudio Mercado Costos

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    Clasiicación de los Costos

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %B#o %B  Capitulo %  Capitulo %

    5eg6n su orma de Imputacion o de 7abricacion!

    C(IT(I '2=ECT(I

    M>TE=2>/EI '2=ECT(I

    M>#( 'E (Q=>'2=ECT(

    C(IT(I 2#'2=ECT(I

    M>#( 'E (Q=>2#'2=ECT>

    M>TE=2>/EI2#'2=ECT(I

    >IT(I2#'2=ECT(I

    Materia Prima 2nsumos

    Iueldos y salarios ratificaciones 2ndemni"aciones Pensiones

    Uefes de Producción Mantenimiento Iupervisores C-óferes uardianes

    /ubricantes Combustibles =epuestos

    >l)uileres >morti"aciones 2ntereses Ie&uros

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    Clasiicación de los Costos

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %#o %  Capitulo %  Capitulo %

    5eg6n su 8ariabilidad!

    C(IT( T(T>/

    C(IT(I 4>=2>Q/EI

    C(IT(I 32U(I

    Materia Prima

    Costo 'istribución

    Materiales 'irectos

    Mano de (bra 'irecta

    Costo >dministración

    Costo 3inanciero

     >morti"ación diferida'epreciación

    2mpuestos y Patentes

    Materiales indirectos

    Mano de (bra 2ndirecta

    astos enerales

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    Costos %nuales $ro,ectados

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o %D#o %D  Capitulo %  Capitulo %

    Conocida la clasificación de costos y con la información obtenida de la in&enieradel proyecto se elabora el cuadro de costos totales anuales proyectados,asumiendo al&una de las formas estudiadas0

    #o 'ET>//E

    $ C(IT( '2=ECT(Materia Prima

    Materiales 'irectos

    Mano de (bra 'irecta

    % C(IT( 2#'2=ECT(

    Materiales 2ndirectos

    Mano de (bra 2ndirecta

    astos enerales

    astos >dministrativosastos de Comerciali"acion

    Costo 3inanciero

     >morti"acion 'iferida

    'epreciacion

    2mpuestos y Patentes

    1 C(IT( T(T>/ *$ V %+

    1EBC7 1D 509 4E39+DT$307

     

    !! Ejemplo de Costos Anuales Proyectados en

    1EBC7 1D ?3=3L344#o 'ET>//E

    $ C(IT( 32U(Costo de >dministracion

    Costo de Comerciali"acion

    Costo 3inanciero

     >morti"acion 'iferida

    'epreciacion

    2mpuestos y Patentes

    Materiales 2ndirectos

    Mano de (bra 2ndirecta

    astos enerales

    % C(IT( 4>=2>Q/E

    Materia Prima

    Costo de Comerciali"acion

    Materiales 'irectos

    Mano de (bra 'irecta

    1 C(IT( T(T>/ *$ V %+

  • 8/17/2019 Estudio Mercado Costos

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    Costos ierenciales

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o 16#o 16  Capitulo %  Capitulo %

    /a diferencia en los costos de cada alternativa )ue proporcione un retorno obeneficio similar determinar cual de ellas debe seleccionarse

     

    Este concepto puede fcilmente ejemplificarse considerando una producciónespecial e!traordinaria para servir un pedido adicional al pro&rama deproducción normal de una empresa

     

    eneralmente, el costo diferencial estar dado e!clusivamente por el costovariable de producción de esas unidades adicionales, puesto )ue puedesuponerse )ue los costos fijos permanecern constantes 

    !! Ejemplo Costos ierenciales en ACETATO ¡¡

  • 8/17/2019 Estudio Mercado Costos

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    Costos 7uturos

     Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o 1$#o 1$ Capitulo %Capitulo %

    Cual)uier decisión )ue se tome en el presente afectara los resultados

    futuros. /os costos -istóricos, por el -ec-o de -aberse incurrido en ellosen el pasado, son inevitables. Por tanto, cual)uier decisión )ue se tome no-ar variar su efecto como factor del costo total. El caso mas claro de uncosto -istórico irrelevante es la compra de un activo fijo.

    !! Ejemplo Costos "uturos en ACETATO¡¡

  • 8/17/2019 Estudio Mercado Costos

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    Costos Contables

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o 1%#o 1%  Capitulo %  Capitulo %

     >un)ue en la preparación del proyecto deben tenerse en cuanta los costosefectivos y no los contables, estos Nltimos son importantes para determinar lama&nitud de los impuestos a las utilidades.

     

    ?n caso tpico de este tipo de activo es el softWare computacional. Mientras eldis)uete )ue puede contener un sofisticado sistema de información puedecostar muy barato, su contenido intan&ible puede costar muy caro.

    Ii se debe reempla"ar un activo cual)uiera durante el periodo de evaluación

    del proyecto, es muy probable )ue el activo reempla"ado pueda ser vendido. Iiesta venta &enera utilidades, deber considerarse un impuesto por ella.

     

    !! Ejemplo Costos Conta#les en ACETATO ¡¡

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    Estructura de Costos seg6n O9:I

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o 11#o 11  Capitulo %  Capitulo %

     %;O

     <

     '

     (

     )

     =

     $/O>/%M%

     

    0%

     Q=2C>C2O# 

    *V+ astos enerales.de>dministración*V+ Mano de (bra 2ndirectos*V+ Comerciali"ación y 4entas*V+ astos enerales de Iervicio

     

    C(IT( 'E (PE=>C2O#  

    *V+ 2ntereses*V+ 'epreciaciones 

    C(IT( T(T>/ 'E P=('?CC2O#. 

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    Ma1imi+ación de los Ingresos , Minimi+ación de los Costos

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o 1:#o 1:  Capitulo %  Capitulo %

    $rogramación 0ineal 3 Conceptos B2sicos4!

    Es una técnica matemtica para resolver problemas de ma!imi"ación ominimi"ación cuando e!iste mas de una restricción. Iu ventaja principal es decalculo y se basa en la utili"ación de computadoras. 

    0,,.........,

    ..................

    ...

    ...

    ....................

    .....................:.

    ..............:.

    21

    2211

    22222121

    11212111

    2211

    ≥≥=≤+++

    ≥=≤+++

    ≥=≤++++++=

    n

    mnmnmm

    nn

    n

    nn

     X  X  X 

    b X a X a X a

    b X a X a X a

    b Xna X a X aa s

     X C  X C  X C optZ o  f  

    /a pro&ramación /ineal es representada, matemticamente con lassi&uientes relaciones0

    3unción (bjetivo

    =estricciones 3uncionales

    =estricciones de #o ne&atividad

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    $rograma QM or indoDs

      Ingeniería EconómicaIngeniería Económica #o 17#o 17  Capitulo %  Capitulo %