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en el espac io. Y puesto que estas aspas tienen la movil idad propia de las agrupaciones de barras atravesadas por un pasador,los conjuntos formados con e llas tendrn la misma mov il idadsiempre que se garantice la compatibi lidad geomtr ica del movimiento de unas con respecto a las otras.Esta movil idad las hace inservibles como estructuras en eseestado puesto que actuarn como mecanismos cambiando de forma ante la actuacin de cargas exter io res o peso propio. Peropara obtener rigidez pueden inmovilizarse en posiciones determi-nadas, por ejemplo, f ijando la dis tanc ia ent re dos nudos conti guos o ale jados no unidos por bar ras comunes. Se pueden fijarsimultneamene varias parejas de nudos hasta conseguir rigidi-zar el conjunto. Los elementos r igidizadores pueden ser barrasque actan solo cuando un motor las acciona o un dispositivomecnico las l iga al conjunto.Para comprender fc ilmente la generac in de un sistemaplegable de barras imaginemos un prisma triangular regular enque sus lados y sus vrtices son elementos f icticios que nos ayudan a definir una estructura constituida por barras que unen losvrtices opuestos de cada una de las caras rectangulares. (Fig.1). Obtendremos as un conjunto de tres aspas planas dispuestasespacialmente y formadas por dos barras cada una cruzndoseen el centro de los rectngulos. Los vrtices del prisma sern lasuniones entre las distintas aspas.Si se efecta una presin sobre una base de este prismatriangular contra la otra, las aspas tendern a abrirse de modoque las diagonales de las caras rectangulares tengan la mismalongi tud, la de las bar ras que forman las aspas; pero estos rectngulos cambiarn de proporcin hacindose ms anchos y msbajos (Fig. 2). De esta forma obtenemos un prisma tr iangular regular diferente al anterior y caracterizado por una menor altura yunas bases triangulares de mayor dimensin. Si seguimos com-

INTRODUCCION A LAGEOMETRIA DE LASESTRUCTURAS ESPACIALESDESPLEGABLES DE BARRASPor FELIX ESCRIG. DR. ARQUITECTO*y JUAN B. PEREZ VALCARCEL DR. ARQUITECTO***Jefe del Departamento de Estructuras de la E.T.S.A.de Sevil la**Jefe del Departamento de Estructuras de la E.T.S.A.de La Corua

Las estructuras espaciales de barras han sido enormementeuti lizadas en distintos campos de la tecnologa desde principiosde siglo. Su primer uso fue en tcnicas aeroespaciales para obtener estructuras l igeras y fue a partir de 1930 cuando comenz suuti lizacin en estructuras de edificacin, sobre todo para cubiertas de grandes luces. La complejidadde su clculo las confin enprincipio a diseos experimentales y solo con el advenimiento delcomputador electrnico se han convert ido en tipologa habitualde uso en el diseo. Las cubiertas planas de barras metl icas convarias capas de ellas y las cpulas con una o ms capas debarras, son bien conocidas y numerosas investigaciones hanaportado soluciones particulares en la configuracin de las bar ras y soluc iones de nudos para definir unas estructuras con caractersticas bien precisas: MODULACION, RIGIDEZ y FORMA DEFINITIVA.La modulacin hace referencia al establecimiento de un reducido nmero de elementos que genera el conjunto por acumulac in de ellos. La r ig idez se ref iere a la estabil idad geomtr icaque hace a la estructura capaz de resistir su propio peso y lascargas apl icadas sin otras deformaciones que las elst icas Y laforma definitiva implica la def inic in formal y la constancia de lasdimensiones que solo podr variarse desmontando los mdulos oelementos y emplazndolos con otra configuracin. Esas e ~ t r u c -turas reciben el nombre de Espaciales de barras con nudos art iculados y en ellas todas las barras empiezan y terminan en unaart iculacin y no admiten nudos intermedios.

No se han uti lizado hasta el momento de una forma prcticaestructuras que permitan formas cambiantes o plegables y desplegables. Y es sobre ellas que queremos hacer algunas consideraciones y sistematizar muchas de sus posibil idades.Las estructuras espaciales que proponemos t ienen una funcin res is tente y por tanto sern r g idas y con forma geomtrica

def inida. Pero sta podr cambiarse mediante el accionamientode un dispositivo mecnico que, actuando localmente, tenga repercusiones en todo el conjunto.Estas estructuras estn formadas por barras que empiezan yterminan en una art iculacin pero que adems l levan nudos intermedios que no impiden la" continu idad de las piezas y t ienen como misin agrupar las distintas barras que pasan por estos nudos intermedios, permi tindoles unas con respecto a otras sinque puedan separarse.El ejemplo ms simple y conoc ido es el aspa; dos barras conun pasador intermedio que las une y pueden girar una con respecto a otra alinendose o ponindose perpendicularmente. Existen tambin otras posibil idades tales como aspas espaciales conms de dos barras pasando por la articulacin y no contenidas enun plano o aspas complejas en que algunas barras per tenezcan

a la vez a ms de una agrupacin y por tanto con ms de unaarticulacin intermedia.Las estructu ras que proponemos se obtienen a partir deagrupaciones midulares de aspas espaciales simples o complejas que se aaden sucesivamente para formar una malla grande48

Fig I Fig 2

Fig 4

Fig 3

Fig 5

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y lo mismo en todos los conjuntos de barras que pasen enotras direcciones del espacio por el punto A. Todas estas condi-

ma triangular si par tiramos de un ant ipri sma como el de la Fig.12 que tambin es capaz de llenar el espacio y por tanto de"gene-rar grandes estructuras (Fig. 13). . ~

Realmente este proceso de generacin sugiere que p o d r a n ~ ' :uti lizarse otros muchos tipos de mdulos prismticos regularescapaces de llenar el espacio por s solos o con la colaboracin deotros. As, por ejemplo, en las Fig. 14 Y 16 se muestran dos mdulos pentagonales resueltos ambos con barras de igual longitud yart iculadas en su punto medio y en las Fig. 16 Y 17 dos mduloshexagonales tambin con barras de iguales caractersticas aunque no todos ellos son capaces de encadenarse hasta llenar espacio. Pero con ciertas restricciones podran ser.tiles.En el caso de prismas poligonales superiores al tringulo esposible encontrar disposiciones ms complejas con' barras deigual lonti tud y ms de una articulacin intermedia y que tambinpueden util izarse para modular el espacio (figs. 18, 19, 20 y21).Atendiendo a sus posibil idades de encadenamiento y a lacom"patibil idad entre movimientos de barras de distinta longitudpueden construirse conjuntos de elementos similares o diferentes.Todo el p laneamiento anter ior es pos ib le hacer lo tambincon mdulos prismticos irregulares o con otras formas polidricas. Si partimos de prismas obl icuos (Fig. 22) obtendremos estructuras tambin oblicuas (Fig. 23). Si partimos de estructurastroncopiramidales (Fig. 24) obtendremos estructuras que se cur-van en el espacio (Fig. 25). .En todos estos casos las barras pueden ser de longitudesiguales o diferentes y las articulaciones intermedias pueden sernicas o mltiples y centradas o excntr icas. Las posibil idadespara crear estructuras diferentes son muchas.Las l imitaciones se refieren nicamente al establecimiento

de las condiciones de compatibil idad entre la geometra de cadauno de los nudos conectados. En un caso general , con un solonivel (Fig. 26), para que sea posible el plegado y desplegado (Fig.27) las longitudes de las barras que convergen en vrtices opuestos deben cumplir la relacin:1+1';= kl+1+k'i+1

En un caso general con varios niveles (Fig. 28) las longitudesde las barras que convergen en vrtices opuestos (A por ejemplo)deben cumplir la misma condicin en cada uno de los nivelespara que sea desplegable (Fig. 29). Es decir:

Fig 9ig8

Fig 6

primiendo, la cara superior del prisma l I e g ~ r a coinc id ir con lainferior y el lado del tringulo ser igual a la longitud de lasbarras mientras la altura ser nula.Si en lugar de acercar una base hacia la otra se separanentre s, las bases se reducen a cambio de ganar altura el prisma(Fig. 3). E l lmite ser aquel en que el prisma se eleve hasta unalongitud igual a la de las barras y las bases se hagan mnimas,agrupndose en seis barras en forma de haz.Colocando encadenadamente muchos prismas de estas caractersticas (Fig. 4) e iguales ent re s y en los que las barras queconfluyen en cada vrtice se unen con articulaciones espaciales,

al aproximar las dos bases de un prisma se est obl igando a quelo hagan todas las restantes, obtenindose por tanto una estructura grande con capacidad para cambiar de forma (Fig. 5).El sistema modular generado por prismas triangulares regulares est determinado por barras de igual longitud y con unaarticulacin en su punto medio. Por su capacidad para llenar elespacio permite disear estructuras longitudinales, planas o vo-lumtricas. .Si en lugar de un prisma triangular, escogemos uno cuadrado, por el mismo procedimiento, podremos plantear una estructura desplegable (Fig. 6) capaz de encadenarse a otras similarespara dar un conjunto como el de la Fig. 7 Y que, como el anterior,puede crecer longitudinal, superficial o volumtricamente (Fig. 8

Y 9) .En el caso de prismas cuadrangulares hay otra forma de unir

vrtices opuestos con barras de igual longitud y que permite tambin crear estructuras modulares desplegables (Fig. 10). De estemodo puede ensamblarse un nuevo conjunto con barras que secruzan espacialmente cuatro a cuatro (Fig. 11).Un t ipo de mdulo similar slo podra ser posible en un pris-49

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EL CALCULO MATRICIAL DE LAS ESTRUCTURASDESPLEGABLES ESPACIALES

Como todas estas estructuras para su uso arquitectnico de-bern acompaarse de una cubierta trabajando en traccin, en suposicin desplegada, el arriostramiento est garantizado. Y cuan-do ello no sea as habr que tomar las disposiciones necesarias.

La formulacin matricial de las estructuras desplegables pre-senta ciertos problemas derivados del hecho de que sus piezasconstituyentes son barras articuladas en sus extremos que tienenun apoyo central sobre otra pieza. Esto hace que los nudos cen-trales deban considerarse como articulados si estudiamos la inte-raccin de una b arra con l a o tra y em pot ra do s si co ns id eram osla barra como continua. Ninguno de los programas de ordenadorhabituales puede resolver este problema.Sin embargo, es posible plantear unas ecuaciones matricia-les que expresen el e qu il ib ri o de esta b ar ra y en consecuenciaformular un nuevo programa de ordenador capaz de calcular estetipo de estructuras. De esto tratar este estudio.Una barra caracterstica de estas estructuras se puede consi-derar articulada en sus extremos y apoyada en un punto interior.La reacc in e xt er io r d eb id a a l a b arra que se a rt ic ula sob re ellapuede descomponerse en tres fuerzas X, Y, Z. De ellas la fuerzaX, actuante segn el eje de la pieza, modif icar los valores de losaxiles en los do s t ra mo s d e la b arra y la s f ue rzas t ra ns ve rs ale sY, Z provocarn flexiones sobre la barra. El equil ibrio total de labarra ser (figura 2).

Fig 11

Fig 13

Fig 10ciones se establecern tambin en los restantes puntos y estable-ceremos el s h : ~ t e m a g lo ba l d e co nd ici on es q ue d eb e c um pl ir elconjunto para que sea desplegable.En cuanto a la rigidez de estas estructuras desplegables yase ha observado que son formalmente inestables y que puedentomar distintas configuraciones geomtricas. La cual facilita pre-cisamente el proceso de plegado y expansin. Para fijar su formaen posiciones determinadas es necesario introducir elementosque mantengan las dimensiones requeridas y ello se conseguirmediante alguno de los siguientes procedimientos:a) Introduccin de un elemento que def ina la separacin dedos nudos opuestos (Fig. 30). Este elemento puede ser una barra,un cable, un torni llo o un gato hidrul ico. Si se situan elementosde este tipo en varios puntos de la estructura, la rigidez aumenta.b) Introduccin de un elemento que una puntos alejados. Eneste caso una estructura como la representada en la Fig. 31abierta, por peso propio, se estabilizar cuando el elemento adi-

cional quede tensado.c) Estabil izacin por anclaje de los apoyos a puntos f ijos delexterior del sistema (Fig. 32) ..d) Uti lizacin de una cubierta texti l o plst ica que estabil iceel c on ju nt o a bie rto , al te nsa rse. Esta cu bi er ta pued e si tu arseuniendo puntos superiores, inferiores o por ambas capas a la vez(Fig. 33).e) Diseo de nudos que permitan un giro l im it ad o de lasbarras que concurren en ellos (Fig. 34).f) Sistemas mixtos de varias de las posibi lidades anteriores.Con estas soluciones y algunas otras, podemos conseguirque las cerchas desplegables tomen una configuracin estable.Sin embargo, habr que estudiar otro tipo de rigidizacin lateral-mente puesto que slo si forman recuadros triangulados (Fig. 1 a5) podr evitarse la deformacin como mecanismo.En un caso como el de la Fig. 35, representacin en plantadel t ipo ref lejado en la Fig. 7, con la distancia entre nudos supe-riores e inferiores fija, pueden obtenerse configuraciones comolas d e la Fig. 36, 37 38 en las que falta estabil idad angular. Estaestabilidad se conseguir en la posicin desplegada con elarriostramiento de algunos recuadros (Fig. 39 Y40) que habr queelegir correctamente.

! En general la estructura estar geomtricamente arriostradasi rigidizamos dos filas perpendiculares de recuadros, aunque aefectos resistentes haya que considerar condicionantes adiciona-les. En un caso como el de la Fig. 42, representacin en plantadel tipo reflejado en la Fig. 10, la nica deformacin posible enplanta, manteniendo las longi tudes proyectadas sobre el planohorizontal de las barras, son las representadas en las Figs. 43 y44. Con arriostrar un solo recuadro toda la estructura queda tam-bin arriostrada.En un caso como el de la Fig. 13 e xisten t re s grad os d el ibertad que corresponden a las deformaciones expresadas enlas Fig. 45 a 48.

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Fig 14

FIg 18

Fig 15

Fig 19

Fig 16

Fig 20

Fig 17

Fig21

z

(1)

y '

51

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eje x.-lIeva la direccin de labarra.eje y.-eje horizontal perpen-d icular al e je x.eje z.-eje perpendicular alos ejes x e y.

Fig 22

MATRIZ DE COMPATIBILIDADPara definirla vamos en principio a definir una orientacin delos ejes locales

Fig 24 Fig 25

3EI2LE igualmente P2= - - - W (1)L,2 L/Y puesto en forma matricial

EA O O O u,N, L,EA O ON2 O U2L2

O O 3EI,L O vP, L,2 L/3EI2L WP2 O O O L/ L/

(1)EA

.v

N=

3.L

v

3.E.I,.L

E.I,

u,

P,=- - L/.L22

v=

L,N=

Es decir, que los cuatro esfuerzos N, N2 P, Y P2 definen total-mente el equil ib rio de la barra.

A efectos de esfuerzos axi les la respuesta de la barra sersimilar a la de una barra de una estructura de nudos art iculados.En consecuencia, llamando u, al alargamiento del primer tramode la barra y U2al del segundo.

En consecuencia

A efectos de las fuerzas transversales en el nudo central ,suponemos la barra articulada en sus extremos y sometido a unacarga trasversal sobre dicho nudo. En este caso

MATRIZ DE RIGIDEZ EN COORDENADAS LOCALES

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Fig 32

Fig 33

Fig 34

Fig 30

e

y las relaciones que existen entre ellos sern'eje x ... (cos cx, cos ~ cos 1)eje y ... (- cos ~ cos cx, O)

sen 1 sen 1eje z ... ( - cos cx cos 1

sen 1cos cos 1 ,sen 1)sen 1

Poniendo los desplazamientos de la barra en funcin de losdesplazamientos de los nudos.y u1= -X1 COS CX I - YI COS P1 - Z1 COS 11 + x2 COS CX., + Y2 COS P 1 + cos 11

u2= - x 2 COS cx 1 - Y2 COS ~ - Z2 COS 11 + )( 3 COS cx1+ y3 COS P 1 + Z2 COS 11Este cri terio es vl ido salvo para barras verticales en cuyocaso los e j ~ s y z son ambos horizontales. Para resolver la ambigedad se toma como eje z al eje horizontal que corta al ejevertical z' y como eje y al perpendicular a los otros dos ejes.Los cosenos directores de los tres ejes sern:

, eje x (cos cx1 cos P1 cos 11)eje y (cos COS P2 COS ~ eje z (cos exa cos P3 cos exa)

y para los desplazamientos trasversales

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Fig 41

Fig 43

Fig 40

Fig 37ig 36ig 35

L

L2 V, L,V3V= --- + V 2 -L LV=-

w = -

+Z2 COS Y2 - ----

Fag48

L L L

Que puesto en forma matricial

u, - cos cx, - cos P, - cos Yr cos cx, cos P, cos y, O O O

u2 O O O - cos cx, - cos P, - cos y, cos cx, c ~ P, cos 1, x2L2 COS L2 COS P2 L2cos Y2 ' L,cos L, COS P2 L, COS Y2 Y2V c o s ~ COS P2 COS Y2 Z2

L L L L L LL, cos L, COS P3 x3L2 COS L2 COSP3 L2 COS Y3

L L L cos COS P3 COS Y3 L L L Y3Z3

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MATRIZ DE RIGIDEZ ENCOORDENADAS GLOBALES

Planteando las ecuaciones anteriores en coordenadas globa-lesEcuacin de rigidezEcuacin de compatibilidadEcuacin de equilibrioEn consecuencia

P = K. Z.Z = A. XL = At. PL = At. K. A. X = S . X

Por tanto la matriz de rigidez en coordenadas globales ser

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CALCULO DE ESFUERZOSHemos visto en las ecuac iones (2) y (3) las expresiones de x, = - N, cos aplanos verticales que pasan por el eje z, que suponemos c o n t i ~ n ea los puntos fijos. En estas condiciones es preciso plantear lacondicin de que los desplazamientos se produzcan segn :'unplano vertical que forma un cierto ngulo con los ejes global' rs .

Una vez resuelto el clculo es preciso comprobar que todoslos nudos estn en equilibrio. Por tanto es preciso calcular lasfuerzas que actan en cada nudo en coordendas globales.Hemos v isto que el equilibrio de cada b a r r ~ era

z '

y '

z '

1x ' x '

y

x 'y en consecuencia las fuerzas que actan en cada nudo tras

proyectarlas sobre los e jes globales sern56

La condicin ser que la componente del desplazamiento,ortogonal al p lano de s imetra, sea nulax sen

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px s

se transforma en

s',S'2i

oOOO

s + Sj.tgex ++ (Sj + 2tg ex Sjj) tg ex

-S j j tgex, s' n

O O OO.O

S'ni

OOO

siendoS'ni = Sni + sn . tg exS'in = Sin + Sjn . tg ex

CONSIDERACION DE LOS CABLES TENSORES siendoEste t ipo de estructuras presenta ciertos problemas en cuan

to a sus flechas, que pueden alcanzar grandes valores. Por otraparte su uti lizacin arquitectnica exige un recubrimiento, generalmente textil, que pueda plegarse con las barras de la estructura y que quede tenso t ras el desplegado. La resistencia a traccinde esta lmina textil mejora el comportamiento resistente delconjunto y disminuye las flechas, pero t iene el inconveniente dela escasa f iabi lidad resistente de estas lminas textiles. Es puespreferible incorporar a dicha lmina cables de acero que t raba jencomo tensores.Esta consideracin introduce una complejidad nueva en elclcu lo por dos razones: Es preciso formar y ensamblar las matrices de rigidez correspondiente a los cables y adems hay quecontemplar la pos ib il idad de que los cables pudiesen trabajar acompresin.Para resolver la primera objecin es preciso calcular la matriz de r ig idez correspondiente a los cables. Esto no presentadificultades especiales puesto que es idntica a la matriz de r ig idez de las barras de mallas espaciales normales, problema ampliamente estudiado.

La mat ri z de r ig idez en coordenadas globales es:

c = cos ex cos bf= cos 2 b

b cosex cose= cos cos b

EA

Tras resovler el sistema de ecuaciones se puede obtener elesfuerzo axiI sobre la barra en funcin de los corrimientos de losextremos

L

siendo (cos ex cos cos b los cosenos directores de la barra.

Para resolver la segunda objecin es preciso proceder poriteraciones, puesto que en principio no se conocen los cables quepudiesen trabajar a compresin y que en consecuencia deben sereliminados de la estructura. As pues en la primera iteracin sesupone que todos los cables trabajan a traccin y al calcular losesfuerzos se el iminan de la estructura todos los cables que trabajen a compresin. Se calcu la de nuevo la estructura de la que sehan eliminado dichos cables y se repite el proceso hasta que noquedan cables en compresin. Generalmente basta una iteracinpara conseguir este resultado.c

e

-f

-e

-e

b

d

-b

-d

a

bd

C I -aII

e :III

- - - - - - - ~ - - - - - - - - - - - -I-b -e II

I-d -e:

I-f :

a

-a

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