ETSETB - GRAU D’ENGINYERIA ELECTRONICA

CALCUL - PROBLEMES

Tardor 2019

1 Nombres reals

1. Les seguents equivalencies son certes per a i b no negatius (es a dir, a, b ≥ 0):

a = b ⇔ a2 = b2, a > b ⇔ a2 > b2.

(a) Determineu si son certes a tot R.

(b) Trobeu els nombres reals x tals que x2 > 9.

(c) Trobeu els nombres reals x tals que x2 ≤ 2.

2. Si r, r′ denoten nombres racionals i i, i′ denoten nombres irracionals, digueu si podem assegu-rar el caracter racional o irracional del resultat de les seguents operacions (si es pot assegurar,

demostreu-ho. Si no, doneu exemples on s’obtinguin diferent tipus de resultat):

(a) r + r′.

(b) i + i′.

(c) r + i.

(d) r · r′.(e) i · i′.(f) r · i.(g) 1/r (r 6= 0).

(h) 1/i.

3. Utilitzant el resultat basic que diu que tot enter k > 1 factoritza de manera unica com aproducte de nombres primers, demostreu:

Si n es un enter positiu,√

n es irracional si i nomes si n no es de la forma m2 amb m enter.

4. Donats els subconjunts de R A = (−5,−2] ∪ [1, 3) i B = [−3,−1) ∪ [2, 5), trobeu A ∪ B i

A ∩ B.

5. Ordeneu els elements del conjunt A = {√

2,−e, 32 ,−4, 1

2 ,−√

10}. Trobeu el maxim i el mınimde A ∪ B on B = {x2 | x ∈ A}. Demostreu que tot conjunt finit no buit te maxim i mınim.

6. Trobeu, si existeixen, el maxim, mınim, suprem i ınfim dels seguents subconjunts de R.

(a) (−3, 2]∪ (3, 4].

(b) B = {x2 | x ∈ A} on A es el conjunt de l’apartat anterior.

(c) { 1n | n = 1, 2, . . .}.

1

(d) Z.

(e) N.

(f) {x ∈ Q | 4 ≤ x2 ≤ 5}.(g) {x ∈ Q | x > 0, 4 ≤ x2 ≤ 5}.(h) {2n | n ∈ Z}.

7. Demostreu que en qualsevol anell commutatiu:

(a) (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy.

(b) (x − y)2 = x2 + y2 − 2xy.

(c) (x + y)(x − y) = x2 − y2.

8. Utilitzant les propietats del problema anterior:

(a) Demostreu que 21000 − 1 no es un nombre primer.

(b) Racionalitzeu1√

2 +√

3.

(c) Simplifiqueux − 1

x4 − 1.

(d) Demostreu que tot polinomi de segon grau x2 + ax + b es pot escriure (x + α)2 + β.Feu-ho amb els polinomis x2 + 3x i x2 − 6x + 11.

9. Com podrıem racionalitzar1

3√

2 − 1?

10. Resoleu les equacions (verifiqueu la validesa de les solucions):

(a) x3 = x.

(b)√

x + x = 20.

(c)1

x2 − 1=

x

x3 − x2 + 2x − 2.

11. Resoleu les inequacions:

(a) x2 + 2x ≥ 3.

(b) x3 + 2 ≤ 2x2 + x.

(c) x2 > x.

(d)1

x≥ x2.

(e)1

x≤ 1.

(f)1

x> x.

(g)1

x + 1<

1

x + 2.

12. (a) Resoleu l’equacio |x + 3| = 2. Interpreteu la solucio a partir del significat de |x− y| coma distancia entre x i y.

(b) Resoleu l’equacio√

x = |x − 3|, fent abans una grafica de les funcions de cada costat.

(c) Resoleu la inequacio |x + 3| ≥ 1.

(d) Resoleu la inequacio |x − 7| ≤ 3.

2

13. (a) Resoleu la inequacio |x2 − 2x− 3| < 2 +x

2(dibuixeu abans les funcions dels dos costats

per a tenir una referencia).

(b) Expresseu la funcio f(x) = |x2 − 2x − 3| − 2 − x

2com a funcio definida a trossos per

polinomis. Com es resoldria el primer apartat a partir d’aquesta expressio?

14. Donat a ∈ R, un entorn de a es un interval de la forma Bε(a) = (a − ε, a + ε), on ε > 0.

Donat un subconjunt A de R diem que a ∈ R es un punt d’acumulacio de A si tot entorn de

a conte algun punt x ∈ A, x 6= a. (Es a dir, per a tot ε > 0 hi ha punts de A, diferents de a,a distancia de a menor que ε).

El conjunt de punts d’acumulacio d’un conjunt A s’anomena conjunt derivat de A i es denota

A′. Trobeu A′ pels seguents conjunts:

(a) A = (0, 1)∪ [2, 3).

(b) A = Z.

(c) A = Q.

(d) A = [−√

2,√

2].

(e) A = {0, 1} ∪ (2, 3].

(f) A = { (−1)n

n | n = 1, 2, . . .}.

Nota: Els punts de A que no pertanyen a A′ s’anomenen punts aıllats. S’anomenen punts

adherents a A els x que son punts de A o punts d’acumulacio de A El conjunt de puntsadherents d’un conjunt A s’anomena adherencia de A i es denota A. Aixı, A = A ∪ A′:

3

Solucions

1. (a) Son falses, excepte el cas a = b ⇒ a2 = b2. (b) x ∈ (−∞,−3)∪ (3,∞). (c) x ∈ [−√

2,√

2].

2. (a) Racional. (b) No definit. (c) Irracional. (d) Racional. (e) No definit. (f) Irracional, sir 6= 0. (g) Racional. (h) Irracional.

3. Suposem√

n = pq amb p, q ∈ Z. Llavors n = p2

q2 d’on nq2 = p2. Descomponent els dos costats

en factors primers, n ha de tenir necessariament tots els seus factors amb multiplicitat parell:n = p2k1

1 p2k22 · · · = (pk1

1 pk22 · · · )2 que es un quadrat perfecte.

4. A ∪ B = (−5,−1) ∪ [1, 5), A ∩ B = [−3,−2] ∪ [2, 3).

5. −4 < −√

10 < −e < 12 <

√2 < 3

2 . max(A∪ B) = 16, min(A ∪ B) = −4.

6. (Infim: I , mınim: m, suprem: S, maxim: M . Si no es mencionen, no existeixen.)

(a) I = −3, S = M = 4. (b) I = m = 0, S = M = 16. (c) I = 0, S = M = 1. (d) No es fitat.

(e) I = m = 0. (f) I = −√

5, S =√

5. (g) I = m = 2, S =√

5. (h) I = 0.

7. Utilitzem les propietats distributiva, commutatives, associatives: (x + y)2 = (x + y)(x+ y) =

x(x + y) + y(x + y) = x · x + x · y + y · x + y · y = x2 + 2xy + y2. Etc.

8. (a) 21000 − 1 = (2500)2 − 12 = (2500 − 1)(2500 + 1), factoritza i, per tant, no es primer.

(b)√

3 −√

2. (c)1

(x + 1)(x2 + 1). (d) α = a

2 , β = b − a2

4 . x2 + 3x = (x + 32 )2 − 9

4 i

x2 − 6x + 11 = (x− 3)2 + 2.

9. x3 − y3 es divisible per x − y. Llavors, x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2). 3√

4 + 3√

2 + 1.

10. (a) x = 0, x = 1, x = −1. (b) x = 16. (c) x = 2.

11. (a) x ∈ (−∞,−3]∪ [1,∞). (b) x ∈ (−∞,−1]∪ [1, 2]. (c) x ∈ (−∞, 0)∪ (1,∞). (d) x ∈ (0, 1].

(e) x ∈ (−∞, 0) ∪ [1,∞). (f) x ∈ (−∞,−1) ∪ (0, 1). (g) x ∈ (−2,−1).

12. (a) x = −1, x = −5, punts a distancia 2 de −3. (b) x = 7±√

132 . (c) x ∈ (−∞,−4] ∪ [−2,∞).

(d) x ∈ [4, 10].

13. (a) x ∈ ( 5−√

1054 ,−1

2) ∪ (2, 5+√

1054 ). (b) f(x) =

x2 − 52x − 5 si x < −1

−x2 + 32x + 1 si −1 ≤ x ≤ 3

x2 − 52x − 5 si x > 3

14. (a) A′ = [0, 1] ∪ [2, 3]. (b) A′ = ∅. (c) A′ = R. (d) A′ = [−√

2,√

2]. (e) A′ = [2, 3]. (f)A′ = {0}.

4

2 Funcions

1. Trobeu el domini (D) i el recorregut (J) de les seguents funcions:

(a) f(x) = x2 − x.

(b) f(x) = x3.

(c) f(x) =x + 1

x + 2.

(d) f(x) =1

1 −√

x + 5.

(e) f(x) = tg x.

(f) f(x) = tg x + cotg x.

(g) f(x) = ln1 + x

1− x.

2. Estudieu si les funcions del problema anterior son injectives. Trobeu les seves funcions inverses(considerant f : D → J) quan aquestes existeixin.

3. Donada la funcio f(x) =√

2x − |x − 1|:

(a) Trobeu el seu domini.

(b) Expresseu-la a trossos, per a fer desapareixer el valor absolut.

(c) Dibuixeu-ne la grafica aproximada.

4. Donades les funcions f(x) = ex, g(x) = x2 i h(x) =1

x, calculeu les funcions:

(a) ϕ1 = f ◦ g + g ◦ f .

(b) ϕ2 = g·hf .

(c) ϕ3 = h ◦ g ◦ f .

(d) ϕ4 = h ◦ (f + g).

Expresseu la funcio ϕ5(x) = e−x2fent operacions amb les funcions f, g i h.

5. (a) Demostreu la seguent propietat dels logaritmes (canvi de base):

logb x =loga x

loga b.

(b) Calculeu en aproximacio decimal log7 11 utilitzant el ln de la calculadora.

(c) Resoleu l’equacio:

log2 x + log4 x + log8 x = 11.

6. Donada la funcio f(x) = 3

√

(x + 2)2

(x2 − 1)5, desenvolupeu lnf(x) com a combinacio lineal de loga-

ritmes de polinomis de primer grau.

7. Demostreu les seguents identitats trigonometriques:

(a) cos4 x − sin4 x = cos 2x.

(b) cos4 x + sin4 x = 1 − 12 sin2 2x.

(c) tg x + cotg x =2

sin 2x.

(d) cos 3x = 4 cos3 x − 3 cosx.

5

(e) cos2 x =1 + cos 2x

2.

(f) cos4 x =3

8+

1

2cos 2x +

1

8cos 4x.

8. Resoleu les seguents equacions:

(a) 3 + 3 3√

x − 1 = x.

(b) ex + e−x = 4.

(c) ln(x + 1) = 2 + ln x.

(d) 4 lnx − 2 ln(x +√

e) = 1.

(e) cosx + sinx =√

2.

(f) cos2 x + sinx = 1.

(g) sinx + sin2x = 0.

9. Resoleu l’equacio:coshx = 2 sinhx.

10. Deduıu l’expressio de la funcio inversa de la tangent hiperbolica. Utilitzeu el resultat per

resoldre el problema anterior de manera directa.

11. En un recipient conic d’obertura 45◦ (un con invertit, com una copa de xampany) s’aboca un

volum x de lıquid. Trobeu la funcio y = f(x) que dona el nivell y del lıquid en funcio de x.

6

Solucions

1. (a) D = R, J = [−14 ,∞). (b) D = R, J = R. (c) D = R − {−2}, J = R − {1}. (d)

D = [−5,∞) − {−4}, J = (−∞, 0) ∪ [1,∞). (e) D = R − {(2k + 1)π2 |k ∈ Z}, J = R. (f)

D = R − {k π2 |k ∈ Z}, J = (−∞,−2] ∪ [2,∞). (g) D = (−1, 1), J = R.

2. Son injectives les dels apartats (b),(c),(d),(g). Les inverses (f−1 : J → D) son: (b) f−1(x) =3√

x, (c) f−1(x) = 1−2xx−1 , (d) f−1(x) = (1− 1

x)2 − 5, (g) f−1(x) = ex−1ex+1 .

3. (a) D = [ 13 ,∞). (b) f(x) =

{ √3x − 1 si 1

3 ≤ x < 1√x + 1 si 1 ≤ x < ∞

Figura 1: Problema 3 (c).

4. ϕ1(x) = ex2+ e2x, ϕ2(x) = xe−x, ϕ3(x) = e−2x, ϕ1(x) = 1

x2+ex , ϕ5 = h ◦ f ◦ g.

5. (a) A partir de blogb x = x, prenent loga als dos costats.

(b) 1.23227. (c) x = 64.

6. ln f(x) = 23 ln(x + 2)− 5

3 ln(x − 1) − 53 ln(x + 1).

7. Utilitzar les relacions basiques sin2 x+cos2 x = 1, cos 2x = cos2 x−sin2 x, sin 2x = 2 sinx cosx,

etc.

8. (a) x = 0 i x = 9. (b) x = ln(2 +√

3) i x = ln(2 −√

3). (c) x = 1e2−1

. (d) x =√

e1+√

52 .

(e) x = π4 + 2kπ, k ∈ Z. (f) x = kπ, x = π

2 + 2kπ, k ∈ Z. (g) x = kπ, x = 2π3 + 2kπ,

x = −2π3 + 2kπ, k ∈ Z.

9. x = 12 ln 3.

10. arg tanh x = 12 ln 1+x

1−x . Al problema anterior es x = arg tanh 12 .

11. f(x) =3

√

9+6√

2π x.

7

3 Lımits de funcions

1. Demostreu, aplicant la definicio de lımit:

(a) limx→1

(2x− 3) = −1.

(b) limx→∞

1

x= 0.

(c) limx→∞

x = ∞.

(d) limx→0

1

x2= ∞.

(e) limx→−∞

ex = 0.

(f) limx→∞

x

x + 1= 1.

2. Calculeu:

(a) limx→∞

3x3 + 5x

x − 4x3.

(b) limx→−∞

x4 − 2x + 1

1 − 2x − x3.

(c) limx→∞

x2 + x + 1

2x4 + 3.

(d) limx→∞

3√

1 + x3 + 2x√

x − 23√

x2 −√

1 + x2.

(e) limx→∞

√x +

√x + 1√

x − 1 +√

4x + 1.

(f) limx→∞

1 +√

x

1 + 3√

x.

3. Calculeu limx→∞

xα + 2

xβ + 1en funcio dels parametres α, β ∈ R.

4. Calculeu limx→2

x2 − x − 2

x2 − 5x + 6.

5. Calculeu:

(a) limx→∞

(√

x2 + x −√

x2 − 2x).

(b) limx→∞

(x −√

x2 + 1).

(c) limx→∞

(√

x4 + 4x3 + 6x2 − x + 1 − x2 − 2x).

6. Calculeu en funcio dels parametres a, b ∈ R:

(a) limx→∞

(√

x + a −√

x + b).

(b) limx→∞

(√

ax + 1−√

bx + 1), (on a, b ≥ 0).

(c) limx→∞

(√

x2 + ax −√

x2 + bx).

7. Calculeu:

(a) limx→∞

(ln(2x3 + 1)− ln(4x3 + 3x)).

8

(b) limx→∞

(3 ln(2x2 + 1)− 2 ln(x3 + 2)).

(c) limx→1

(ln(x − 1)− ln(x2 − 1)).

(d) limx→∞

(

1

2ln(x + 4x2) − 1

3ln(x + xn)

)

, en funcio de n ∈ N.

8. Calculeu:

(a) limx→∞

(

x2 + x

x2 + 1

)x

.

(b) limx→2

(3− x)x

x−2 .

(c) limx→0

(x2 + 1)1x .

(d) limx→∞

(

x + a

x + b

)x+c

, en funcio de a, b, c ∈ R.

9. Estudieu a partir dels lımits laterals:

(a) limx→−1

x + 3

x + 1.

(b) limx→2

1

(x − 2)2.

(c) limx→0

e1x .

(d) limx→0

e1

x2 .

(e) limx→0

(x + 1)1

x2 .

(f) limx→0

|x|x

.

(g) limx→1

[x] + 2

[x] + 5.

(h) limx→π

2

tgx.

(i) limx→0

1

sin x.

10. (a) Demostreu que si limx→0

f(x) = l i λ ∈ R, λ 6= 0 llavors limx→0

f(λx) = l.

(b) Sabent que limx→0

sin x

x= 1, utilitzeu l’apartat anterior per demostrar que ∀a ∈ R:

limx→0

sin ax

x= a.

(c) Amb les formules de l’angle meitat i el resultat anterior, calculeu limx→0

1 − cosx

x2.

11. (a) Demostreu limx→0

tg axf(x) = limx→0

sinaxf(x).

(b) Demostreu limx→0

sinaxf(x) = limx→0

axf(x).

(c) Calculeu limx→0

tg3 2x

2x3 + x4.

12. (a) Demostreu que limx→∞

sin x no existeix.

9

(b) Que podem dir de limx→0

sin1

x.

13. Calculeu:

(a) limx→0

x sin1

x.

(b) limx→∞

x sinx.

(c) limx→∞

sinx

x.

(d) limx→0

x − 2 sinx

2x + sin x.

14. Calculeu:

(a) limx→∞

e2x.

(b) limx→−∞

e3x.

(c) limx→∞

e−5x.

(d) limx→−∞

e−x.

(e) limx→∞

(1 + 2e−x)ex

.

(f) limx→∞

√ex + 1− 1

eax, en funcio de a ∈ R.

15. Calculeu els lımits en ±∞ de les funcions coshx, sinh x i tanhx.

10

Solucions

1. (a) δ = ε2 . (b) K = 1

ε . (c) K = M . (d)δ = 1√M

. (e) K = ln ε (f) K = 1ε − 1 (per ε prou

petit).

2. (a) −34 . (b) ∞. (c) 0. (d) −3. (e) 2

3 . (f) ∞.

3.

α < 0 α = 0 α > 0

β < 0 2 3 ∞β = 0 1 3/2 ∞β > 0 0 0 *

(*) ∞ per α > β, 1 per α = β, 0 per α < β.

4. −3.

5. (a) 32 . (b) 0. (c) 1.

6. (a) 0. (b) 0 per a = b, ∞ per a > b i −∞ per a < b. (c) a−b2 .

7. (a) − ln 2. (b) ln 8. (c) − ln 2. (d) ∞ per n < 3, − ln 2 per n = 3, −∞ per n > 3

8. (a) e. (b) e−2. (c) 1. (d) ea−b.

9. (a) Dreta: ∞, esquerra: −∞. (b) Dreta i esquerra: ∞. (c) Dreta: ∞, esquerra: 0. (d) Dreta

i esquerra: ∞. (e) Dreta: ∞, esquerra: 0. (f) Dreta: 1, esquerra: −1. (g) Dreta: 12 , esquerra:

25 . (a) Dreta: −∞, esquerra: ∞. (i) Dreta: ∞, esquerra: −∞.

10. (a) Si |x| < δ1 ⇒ |f(x)− l| < ε llavors |x| < δ ⇒ |f(λx)− l| < ε fent δ = δ1|λ| .

(b) Per a = 0, sinaxx = 0 i el lımit es, per tant, 0. Per a 6= 0:

Si f(x) = sinxx , sinax

x = af(ax) → a ja que f(ax) te el mateix lımit que f(x), es a dir 1.

(c) Amb la identitat trigonometrica 1 − cosx = 2 sin2 x2 i el resultat de l’apartat anterior, el

lımit val 12 .

11. (a) Ja que cos ax → 1. (b) Multiplicant i dividint per x. (c) 4.

12. (a) Per gran que sigui x podem trobar punts on sin x = 1 i punts on sinx = 0 de manera que

es impossible assegurar | sinx − l| < ε quan ε < 12 .

(b) Es equivalent al lımit anterior aixı que tampoc existeix.

13. (a) 0. (b) 6 ∃. (c) 0. (d) −13 .

14. (a) ∞. (b) 0. (c) 0. (d) ∞. (e) e2. (f) ∞ per a < 12 , 1 per a = 1

2 , 0 per a > 12 .

15. cosh∞ = ∞, cosh(−∞) = ∞, sinh∞ = ∞, sinh(−∞) = −∞, tanh∞ = 1, tanh(−∞) = −1.

11

4 Continuıtat

1. Es poden definir les funcions seguents en els punts donats, de manera que siguin contınues?

Si no, digueu el tipus de discontinuıtat que tindrıem (donant un valor qualsevol a la funcioen el punt).

(a) f(x) =x7 − 1

x5 − 1, en x = 1.

(b) g(x) = e−1x , en x = 0.

(c) h(x) = [x]− [x]2, en x = −1, x = 0, x = 1 i x = 2.

(d) j(x) = sin1

x, en x = 0.

(e) k(x) = x sin1

x, en x = 0.

(f) l(x) =sin x

x2, en x = 0.

2. Trobeu els valors del parametre a tals que la funcio f es contınua a R.

f(x) =

{

aex + a2 si x < 1x + ae−x si x ≥ 1

3. Considereu funcions de la forma:

f(x) =

cos x si x < −πp(x) si −π ≤ x ≤ π

sinx si x > π

on p(x) es un polinomi.

(a) Trobeu p(x) de grau mınim tal que f es contınua a R.

(b) Trobeu p(x) de grau mınim tal que f es contınua a R i f(0) = 1.

4. Donada una funcio amb domini D, si a 6∈ D pero a es punt d’acumulacio de D podem estendreel domini de la funcio definint f(a) = lim

x→af(x). D’aquesta manera la funcio passa a estar

definida en a i, a mes, es contınua en aquest punt. En aquest i en la resta de problemes,l’estudi de la continuıtat s’enten d’aquesta manera.

Estudieu la continuıtat de les seguents funcions:

(a) f(x) =sinx

x.

(b) g(x) = e−1

x2 + e− 1

(x−1)2 .

5. Estudieu el domini i la continuıtat de f(x) =1

ln x. Dibuixeu la grafica de f a partir dels seus

comportaments lımit.

6. Estudieu el domini i la continuıtat de f(x) =x

[x] + 1. Dibuixeu la grafica de f .

7. Estudieu la continuıtat de f(x) =x − π

4

sinx − cosx.

Indicacio: Tenir en compte el desenvolupament de sin(x− π4 ).

8. Estudieu la continuıtat de la funcio de Dirichlet :

f(x) =

{

1 si x ∈ Q

0 si x 6∈ Q

12

9. Considerem funcions f , g contınues en un interval D. Demostreu que si f i g coincideixen enels racionals (f(x) = g(x) per a tot x ∈ Q ∩ D) llavors son la mateixa funcio (f(x) = g(x)

per a tot x ∈ D).

Indicacio: Considerar la funcio h = f − g.

10. Demostreu que una funcio definida en un interval obert, contınua i no fitada no pot tenirlımit en els dos extrems de l’interval.

11. Estudieu l’existencia de maxim i mınim de les seguents funcions en els intervals donats:

(a) f(x) =1√x

+ sin 6x en [1, 2].

(b) g(x) =√

1 − x2 en[

−12 , 1

2

]

.

(c) h(x) =1

sin x + cosxen [0, π].

12. Demostreu que f : [0, 1] → [0, 1], contınua, ha de tenir algun punt fix (es a dir, existeix algunx ∈ [0, 1] tal que f(x) = x).

Indicacio: Considerar la funcio g(x) = f(x) − x.

13. Comproveu que la funcio f(x) = 1− x

2− x2

4verifica les condicions del teorema del problema

anterior. Trobeu els seus punts fixos en l’interval [0, 1].

14. Demostreu que les seguents equacions tenen alguna solucio. Per a cadascuna doneu un interval

de longitud menor o igual que 0.5 que contingui solucions.

(a) x = e−x.

(b) 2x3 + 7x + 15 = 0.

(c) x + tanhx = 3.

15. Demostreu que el polinomi x4 + 3x3 − 14x2 − 15x + 20 te quatre arrels reals.

13

Solucions

1. (a) f(1) = 75 . (b) Asımptota (esquerra). (c) h(1) = 0, salt en els altres. (d) Discontinuıtat

essencial. (e) k(0) = 0. (f) Asımptota (∞ a la dreta i −∞ a l’esquerra).

2. a = e−1 i a = −e.

3. (a) p(x) = x2π − 1

2 . (b) p(x) = − 32π2 x2 − x

2π + 1.

4. (a) Contınua a R, fent f(0) = 1. (b) Contınua a R, fent g(0) = g(1) = e−1.

5. D = (0,∞)− {1}. Contınua en [0,∞)− {1}, fent f(0) = 0. En x = 1, asımptota. f(∞) = 0.

Figura 2: Problema 5.

6. D = (−∞,−1)∪ [0,∞). Discontinuıtats de salt en tots els enters diferents de 0 i de −1 (fent

f(−1) = 1).

Figura 3: Problema 6.

7. Te asımptotes verticals en x = π4 + kπ, k ∈ Z, k 6= 0. Contınua en x = π

4 , fent f(π4 ) =

√2

2 .

8. Discontınua en tot R. Tot interval obert, per petit que sigui conte punts on f val 0 i puntson f val 1, aixı que el lımit no existeix en cap punt.

9. Definim la funcio h = f − g. Es contınua i val 0 en els racionals. Llavors ha de ser h(x) = 0per a tot x, amb el que f(x) = g(x).

10. Si l’interval es (a, b) i existeixen els lımits en a i en b, podem definir la funcio en [a, b] de

manera contınua. Segons el teorema de Weierstrass seria fitada, en contradiccio amb el queens diuen de la funcio.

14

11. (a) Te maxim i mınim (funcio contınua en un interval tancat). (b) Te maxim i mınim (funciocontınua en un interval tancat). (c) No es fitada (asımptota en 3π

4 ).

12. g(x) = f(x)− x es contınua en [0, 1]. Notem que g(0) = f(0) ≥ 0 i g(1) = f(1)− 1 ≤ 0. Ara,

si g(0) = 0 llavors f(0) = 0 i 0 es punt fix de f . Si g(1) = 0 llavors f(1) = 1 i 1 es punt fixde f . En la resta de casos es g(0) > 0 i g(1) < 0 amb el que, pel teorema de Bolzano, hi ha

algun punt a tal que g(a) = 0, d’on f(a) = a: a es punt fix de f .

13. f es contınua. f(0) = 1 i f(1) = 14 . Com f es decreixent per x ≥ 0, tenim que f va de [0, 1]

a [0, 1].

El punt fix es x =√

13 − 3 = 0.6055...

14. Apliquem el teorema de Bolzano, expressant les equacions com f(x) = 0 i veient que f escontınua i canvia de signe en els extrems de l’interval. (a) f(x) = x − e−x te algun zero en

(0.5, 1). (b) f(x) = 2x3 + 7x + 15 te algun zero en (−1.5,−1). (b) f(x) = x + tanhx − 3 tealgun zero en (2, 2.5).

15. Es continu a R i te canvis de signe en els intervals (−6,−5), (−2,−1), (0, 1), (2, 3). Per tant,

te quatre arrels reals diferents.

15

5 Derivabilitat

1. Utilitzant la definicio de derivada d’una funcio en un punt:

(a) Demostreu que 3√

x no es derivable en x = 0.

(b) Calculeu la derivada de√

x en x = 4.

(c) Son derivables en x = 0 f(x) = cos |x| o g(x) = sin |x|?

2. Considereu les funcions f(x) = sin1

x, g(x) = x sin

1

xi h(x) = x2 sin

1

x(prenem f(0) = g(0) =

h(0) = 0).

(a) Demostreu que son infinitament derivables en R − {0}.(b) Calculeu la seva primera derivada, per x 6= 0.

(c) Estudieu si son derivables en x = 0.

(d) Demostreu que h′ no es contınua en x = 0.

3. Calculeu la derivada, f ′(x), de les seguents funcions:

(a) f(x) = x cosx + x2 sinx.

(b) f(x) = (x2 + x)e−x.

(c) f(x) = ln(1 +√

x).

(d) f(x) =

√

1− x

1 + x.

(e) f(x) = x2ex2.

(f) f(x) = lncosx − sinx

cosx + sinx.

(g) f(x) = ln

(

lnx

x

)

.

4. Calculeu la segona derivada, f ′′(x), de les seguents funcions:

(a) f(x) =1

sinx.

(b) f(x) =x + 1

x2 − 2.

(c) f(x) = xn ln x.

(d) f(x) =ln x

x(feu-la directament i comproveu-la utilitzant l’apartat anterior).

5. Calculeu les derivades de les funcions hiperboliques, cosh x, sinh x i tanhx.

6. (a) Demostreu la seguent formula per la derivada del producte de varies funcions:

(f1(x)f2(x) · · ·fn(x))′ = f ′1(x)f2(x) · · ·fn(x)+f1(x)f ′

2(x) · · ·fn(x)+· · ·+f1(x)f2(x) · · ·f ′n(x).

(b) Calculeu la derivada de f(x) = xex sinx.

(c) Calculeu la derivada de f(x) = x2e−x ln x.

7. Calculeu la derivada n-esima, f (n)(x) de les seguents funcions:

(a) f(x) = eax.

(b) f(x) =1

x.

16

(c) f(x) = sinx.

8. La formula de Leibniz per a derivar el producte de dues funcions es generalitza per a calcularla seva derivada n-esima de la seguent manera (estructura segons el binomi de Newton):

(f(x)g(x))(n) =

n∑

k=0

(

n

k

)

f (k)(x)g(n−k)(x).

(a) Calculeu la derivada n-esima de f(x) = x3ex.

(b) Calculeu la derivada quinzena de f(x) = x cosx.

9. Trobeu la recta tangent a la grafica de les seguents funcions en el punt que s’indica:

(a) f(x) =√

x + x2, en x = 1.

(b) f(x) =2 − ex

2 + ex, en x = 0.

(c) f(x) = sinx + sin2x, en x = π3 .

10. Donada la funcio f(x) = 2x3 + 3x2 + x + 1, trobeu les rectes tangents a la seva grafica quetinguin pendent 1.

11. Trobeu el punt x > 0 on les rectes tangents a les corbes y = x2 i y = x4 son paral.leles. Doneu

tambe aquestes rectes.

12. (a) Trobeu el punt a > 0 tal que les rectes tangents a la parabola y = x2 en els punts x = ai x = −a siguin perpendiculars.

(b) Trobeu el punt b tal que les rectes tangents a la parabola y = x2 + x en els punts x = 1

i x = b siguin perpendiculars.

13. Mitjancant la derivada logarıtmica:

(a) Calculeu la derivada de la funcio f(x) = xx.

(b) Trobeu els punts on la derivada de f(x) =4

√

(1 − x)3

x3 + x2val zero.

14. Utilitzeu el teorema de la funcio inversa per a:

(a) Deduir la derivada de ln x sabent que (ex)′ = ex.

(b) Deduir la derivada de ex sabent que (ln x)′ = 1x .

15. (a) Donats a, b nombres reals positius, comproveu que la funcio f(x) = xa(1 − xb) verificales condicions del teorema de Rolle en l’interval [0, 1]. Calculeu el corresponent punt on

la derivada de f val zero.

(b) Quin es el maxim valor que pren la funcio x2(1 −√x) en el seu domini?

16. Donada la funcio f : R → R, f(x) = x5 − 2x3 + 2x + 1:

(a) Demostreu que es injectiva mitjancant el teorema de Rolle.

Indicacio: Que passaria si dos punts diferents tinguessin la mateixa imatge?

(b) Demostreu que es exhaustiva a partir dels seus lımits en ±∞. Indicacio: Teorema de

Bolzano.

(c) Trobeu la recta tangent a la grafica de la seva funcio inversa, f−1(x) en el punt d’abscisax = 1.

17

17. Utilitzeu el teorema del valor mitja per a demostrar que per a x ≥ 0:

ln(1 + x) ≤ x, ex ≥ 1 + x.

18. Calculeu per l’Hopital:

(a) limx→1

3√

x − 14√

x − 1.

(b) limx→π

2

cos3 x

sin3 x − 1.

(c) limx→0

ex − x − 1

e2x − 2ex + 1.

(d) limx→0

sin2 x

1 − cosx.

(e) limx→0

sin x2

sin2 x.

(f) limx→∞

ex

x.

(g) limx→∞

lnx√x

.

(h) limx→0

x lnx.

(i) limx→0

x(lnx)2.

19. Calculeu els seguents lımits, tenint en compte que f(x) = eln f(x):

(a) limx→0

xx.

(b) limx→∞

x1x .

(c) limx→0

(1− cosx)sinx.

20. Si p(x) es un polinomi i a > 0 un nombre real, demostreu que limx→∞

p(x)e−ax = 0.

Que passa amb funcions del tipus p(x)e−ax(A cosωx + B sinωx) (A, B, ω constants)?

21. Calculeu, mitjancant infinitesims equivalents:

(a) limx→0

x√

4 + x(ex − 1)

sinx ln(1 + x).

(b) limx→0

x(√

1 − x3 − 1)

sin2 2x2.

(c) limx→0

(x4 + 2x5) sin2x sin 3x

(1− cosx)3.

22. Trobeu un infinitesim equivalent a f(x) =√

a + x − √a (amb a > 0) de la forma kx, per

x → 0.

23. Calculeu el valor de λ que fa que tgx iλ

x − π2

siguin infinits equivalents per x → π2 .

24. Calculeu, per comparacio d’infinits:

(a) limx→∞

√x + ln x

3√

x + cosx.

18

(b) limx→∞

x3 + 2ex

x5 − ex.

(c) limx→∞

lnx + e2x

x5 + xex.

(d) limx→∞

xx

ex2 .

25. Un globus esferic s’infla amb una entrada uniforme de gas de 0.3 litres per segon. A quina

velocitat (en mm per segon) es mou un punt de la superfıcie del globus quan el volum d’aquestval 5 litres?

26. Un punt es mou en lınia recta de manera que la seva posicio en l’instant t ≥ 0 es x(t) =t2

100+ cos t. Hi ha algun instant a partir del qual el punt no es mogui mai cap a l’esquerra?

19

Solucions

1. (a) El lımit val ∞. (b) Derivada val 14 . (c) Estudiant

cos |x|−1x i

sin |x|x mitjancant lımits laterals

veiem que f ′(0) = 0 i g no es derivable en 0.

2. (a) Producte quocient i composicio de funcions infinitament derivables (x, sin x). (b) Per

x 6= 0, f ′(x) = − 1x2 cos 1

x , g′(x) = sin 1x − 1

x cos 1x , h′(x) = 2x sin 1

x − cos 1x . (c) f no derivable

en 0 (no es contınua), g no es derivable en 0 (el lımit no existeix), h′(0) = 0. (d) limx→0

h′(x) no

existeix.

3. (a) f ′(x) = (x2 + 1) cosx − x sinx. (b) f ′(x) = (−x2 + x + 1)e−x. (c) f ′(x) = 12(√

x+x). (d)

f ′(x) = − 1√(1−x)(1+x)3

. (e) f ′(x) = 2(x3 + x)ex2. (f) f ′(x) = − 2

cos 2x . (g) f ′(x) = 1−ln xx lnx .

4. (a) f ′′(x) = 1+cos2 xsin3 x

. (b) f ′′(x) = 2x3+6x2+12x+4(x2−2)3

. (c) f ′′(x) = xn−2(2n − 1 + n(n − 1) lnx).

(d) f ′′(x) = −3+2 lnxx3 .

5. (coshx)′ = sinh x, (sinhx)′ = cosh x, (tanh x)′ = 1cosh2 x

.

6. (a) Inductivament, (f1f2 . . . fn)′ = f ′1(f2 . . . fn)+f1(f2 . . . fn)′, etc. (b) f ′(x) = ((x+1) sinx+

x cosx)ex. (c) f ′(x) = (x + (2x − x2) lnx)e−x.

7. (a) f (n)(x) = aneax. (b) f (n)(x) = (−1)n n!xn+1 . (c) Val sin x si n = 4k, val cos x si n = 4k + 1,

val − sin x si n = 4k + 2 i val − cosx si n = 4k + 3 (es a dir, es repeteixen cıclicament cada 4

derivacions).

8. (a) f (n)(x) = (x3 + 3nx2 + 3n(n− 1)x + n(n − 1)(n− 2))ex. (b) f (15)(x) = x sinx− 15 cosx.

9. (a) y = 52x − 1

2 . (b) y = −49x + 1

3 . (c) y = −x2 +

√3 + π

6 .

10. y = x + 1 (pel punt (0, 1), y = x + 2 (pel punt (−1, 1).

11. x = 1√2. y =

√2x − 1

2 , y =√

2x − 34 .

12. (a) a = 12 . (b) b = −2

3 .

13. (a) f ′(x) = xx(1 + lnx). (b) x = −12 .

14. (a) y = lnx, x = ey, (lnx)′ = 1ey = 1

x . (b) y = ex, x = ln y, (ex)′ = 11/y = y = ex.

15. (a) f(0) = f(1) = 0 i f es derivable en (0, 1) (no necessariament en 0, segons els valors dea). c = ( a

a+b)1/b. (b) Ha de correspondre a x ∈ [0, 1] ja que per x < 0 no esta definida i per

x > 1 es negativa. max = 2563125 .

16. (a) Hi hauria punts amb derivada 0 pero f ′ no te zeros. (b) Donat y, com f(∞) = ∞ hiha punts amb imatge y1 > y i com f(−∞) = −∞ hi ha punts amb imatge y0 < y. Percontinuıtat f pren tots els valors intermedis entre y0 i y1, en particular y. (c) y = x

2 − 12 .

17. Hi ha punts c i d en l’interval [0, x] tals que ln(1+x)−0x−0 = 1

1+c ≤ 1 i ex−1x−0 = ed ≥ 1.

18. (a) 43 . (b) 0. (c) 1

2 . (d) 2. (e) 1. (f) ∞. (g) 0. (h) 0. (i) 0.

19. (a) 1. (b) 1. (c) 1.

20. Aplicar repetidament l’Hopital a p(x)eax fins arribar a constant

eax que tendeix a 0. per l’altrafuncio tenim 0 · fitat = 0.

21. (a) 2. (b) −18 . (c) 48.

20

22. k = 12√

a.

23. λ = −1.

24. (a) ∞. (b) −2. (c) ∞. (d) 0.

25. 2.1215 mms .

26. Per exemple, a partir de t = 50 (exactament, a partir de t = 39.9).

21

6 Polinomis de Taylor

1. Calculeu els polinomis de Taylor que es demanen, fent servir la definicio de polinomi de

Taylor:

(a) f(x) =x + 1

x2 + 1en a = −1, ordre 3.

(b) f(x) = xex en a = 2, ordre 3.

(c) f(x) =1

x +√

xen a = 1, ordre 2.

(d) f(x) = tg x en a = 0, ordre 3.

(e) f(x) =√

x + x2 en a = 1, ordre 3.

2. Calculeu els polinomis de Taylor que es demanen, fent servir els polinomis de Taylor de les

funcions elementals:

(a) f(x) = x sinx + cosx en a = 0, ordre 4.

(b) f(x) = e2x + sin 3x en a = 0, ordre 3.

(c) f(x) =√

1 + x +√

1 − x en a = 0, ordre 4.

(d) f(x) = cos x ln(1 + x) en a = 0, ordre 5.

(e) f(x) =sinx

1 + xen a = 0, ordre 5.

(f) f(x) = sin2 x en a = 0, ordre 7.

(g) f(x) = tg x en a = 0, ordre 3.

3. Calculeu els polinomis de Taylor que es demanen, fent servir els polinomis de Taylor de les

funcions elementals i la propietat de composicio de polinomis de Taylor:

(a) f(x) =1

1 + sin xen a = 0, ordre 4.

(b) f(x) = ln cosx en a = 0, ordre 4.

(c) f(x) = ex√

1+x en a = 0, ordre 3.

4. La propietat de composicio de polinomis de Taylor en el punt 0 per una funcio de la formaf(g(x)) requereix que g(0) = 0. Si no es aixı, es mira de sostreure la constant g(0) d’alguna

forma. Apliqueu-ho al polinomis de Taylor:

(a) f(x) =√

1 + cos x en a = 0, ordre 2.

(b) f(x) = sin ex en a = 0, ordre 2.

5. Donada la funcio f(x) = x3 − 2x2 + 5x + 1, calculeu els seus polinomis de Taylor, pn(x) ena = 1 d’ordres n = 0, 1, 2, 3 (calculeu tambe la forma desenvolupada d’aquests polinomis.

Quina propietat particular te p3(x)?

6. Expresseu el polinomi p(x) = 5+ 4x + 3x2 + 2x3 + x4 com a combinacio lineal dels polinomis

(x + 1)k, k = 0, 1, 2, 3, 4.

7. Aproximeu sin 1◦ fent servir el polinomi de Taylor d’ordre 3 de la funcio sinus. Quantsdecimals correctes s’obtenen?

8. (a) Utilitzant que (arctgx)′ =1

1 + x2i els polinomis de Taylor de

1

1 + x, obteniu els poli-

nomis de Taylor de la funcio arctg x en a = 0.

22

(b) Amb els polinomis anteriors aconseguim aproximacions al nombre π ja queπ

4= arctg 1.

Programeu una funcio (en Python, per exemple) per calcular aquestes aproximacions.

Quin valor aproximat de π resulta amb el polinomi d’ordre 500? Es aquest un metodeadequat per aproximar π?

9. Calculeu els seguents lımits, substituint funcions per infinitesims equivalents obtinguts ambpolinomis de Taylor:

(a) limx→0

(ex − 1)(1− cosx)

sin x − x.

(b) limx→0

(ex − 1 − x)(tgx − x)

sin3 2x(1− e−x2)

.

(c) limx→0

(1− cos√

x)(1− ex√

x)√sin x(

√1 + 2x − 1 − x − x2)

.

10. Considereu la funcio que dona el volum V d’un cub a partir del seu costat x. Trobeu el seu

polinomi de Taylor en el punt a d’ordre 1. Deduıu a partir d’aquest la relacio que hi ha entreel tant per cent de variacio del volum i el tant per cent de variacio del costat (quan passem

de costat a a costat x).

Quan varia el volum d’un cub de 1 m3 si el seu costat augmenta 2 cm? Compareu amb elresultat exacte.

11. Una corda dona la volta a l’equador terrestre de manera ajustada. Si allarguem una micaaquesta corda i l’estirem en un punt per tensar-la, aquest punt quedara a una certa altura.

Calculeu aquesta altura quan la corda s’allarga 1 m.

Indicacio: anomeneu h a l’increment de longitud de la corda, x a l’altura del punt estirat

sobre la superfıcies terrestre, alpha a l’angle entre les lınies del centre de la Terra al punt

tensat i a l’ultim punt de contacte entre la corda i la Terra, i RT = 6371 km al radi terrestre.

Trobeu les relacions entre x i α i entre h i α. Aproximeu per Taylor tenint en compte que h,

x i α seran petits, i finalment trobeu la dependencia entre x i h.

23

Solucions

1. (a) 12 (x + 1) + 1

2(x + 1)2 + 14(x + 1)3. (b) e2(2 + 3(x − 2) + 2(x − 2)2 + 5

6 (x − 2)3). (c)12 − 3

8 (x − 1) + 516(x − 1)2. (d) x + x3

3 . (e)√

2(1 + 34(x − 1)− 1

32(x − 1)2 + 3128(x− 1)3).

2. (a) 1 + x2

2 − x4

8 . (b) 1 + 5x + 2x2 − 196 x3. (c) 2 − x2

4 − 564x4. (d) x − x2

2 − x3

6 + 340x5. (e)

x − x2 + 56x3 − 5

6x4 + 101120x5. (f) x2 − x4

3 + 245x6. (g) x + x3

3 .

3. (a) 1 − x + x2 − 56x3 + 2

3x4. (b) −x2

2 − x4

12 . (c) 1 + x + x2 + 1324x3.

4. (a)√

2(1− x2

8 ). (b) sin 1 + cos 1x + cos 1−sin 12 x2.

5. p0(x) = 5, p1(x) = 5 + 4(x − 1) = 4x + 1, p2(x) = 5 + 4(x − 1) + (x − 1)2 = x2 + 2x + 2,

p3(x) = 5 + 4(x− 1) + (x− 1)2 + (x− 1)3 = x3 − 2x2 + 5x + 1.

p3 = f ja que el polinomi de Taylor d’ordre n d’un polinomi de grau n es el propi polinomi.

6. Fent Taylor en a = −1 a ordre 4: p(x) = 3 + 3(x + 1)2 − 2(x + 1)3 + (x + 1)4.

7. Dona 0.01745240642, correcte fins al dese decimal.

8. (a) p2n(x) = x− x3

3 + x5

5 − · · ·+ (−1)n−1 x2n−1

2n−1 . (b) π ≈ 4(1− 13 + 1

5 − · · ·+ (−1)n−1

2n−1 ). A ordre

500, π ≈ 4(1− 13 + 1

5 − · · ·− 1499) = 3.137593. Com es veu, la convergencia es molt lenta aixı

que no seria un metode adequat.

9. (a) −3. (b) 148 . (c) 1

3 .

10. V (x) = x3, V (x) ≈ a3 + 3a2(x − a), ∆VV = 3∆x

x . Segons aquesta aproximacio el volumaugmenta 0.06 m3. El resultat exacte es 0.061208 m3.

11. h = 2RT (tgα − α), x = RT ( 1cosα − 1). Aproximant la tg α a ordre 3 i el cosα a ordre 2,

arribem a x = 3

√

932RTh2. Quan h = 1 m, x = 121.5 m (resultat poc intuıtiu! noteu que x

com a funcio de h no es derivable en el zero).

24

7 Analisi de la variacio de funcions

1. Sense fer calculs: digueu quin tipus de punt hi ha en x = 0 (maxim, mınim, punt d’inflexio, cap

d’aquests) per a les seguents funcions. Quan no hi hagi punt crıtic determineu el creixementen aquest punt. Quan no hi hagi inflexio determineu la concavitat en aquest punt.

(a) f(x) = x4 − 2x3 − 5.

(b) f(x) = 3x − x4.

(c) f(x) = x8 + x5 − 2x + 1.

(d) f(x) = 3 + x4 − x6.

(e) f(x) = x5 − 3x2 + 4.

(f) f(x) = x5 + 3x2 − x + 4.

2. Donada la funcio f(x) =1

xa+

√x on a > 0 es un parametre:

(a) Trobeu, en funcio de a, en quins valors de x tenim maxims, mınims i punts d’inflexio.

(b) Particularitzeu els resultats anteriors als casos a = 12 i a = 1.

(c) Feu una grafica generica d’aquestes funcions.

(d) Estudieu el lımit quan a → ∞ dels valors de x trobats en el primer apartat.

(e) Vegeu com es comporta la grafica de f per a → ∞ i interpreteu a partir d’aixo l’apartat

anterior.

3. Feu l’estudi complet de les seguents funcions. Feu-ne la grafica a partir de la informacioobtinguda.

(a) f(x) = 3x4 − 16x3 + 6x2 + 72x.

(b) f(x) = e−x2.

(c) f(x) = (lnx)2.

(d) f(x) =x2

1 − x3.

(e) f(x) =x3

x2 − 1.

(f) f(x) = (x2 − x)ex.

4. Estudieu la funcio f(x) = 4x − tg x.

5. Trobeu el maxim i mınim absoluts de la funcio f(x) = x3 − 12x2 + 36x + 5 quan x ∈ I si:

(a) I = [1, 7].

(b) I = [1, 5].

(c) I = [−3, 10].

(d) I = [1, 9].

6. Trobeu els punts de la corba y = x2 que es troben a distancia mınima del punt (0, a), on

a > 0.

7. (a) De tots els rectangles de perımetre P trobeu el d’area maxima.

(b) Amb una longitud P de tanca volem delimitar un hort rectangular tocant a una paret dela casa (la tanca es disposa en tres costats de l’hort). Quina forma dona area maxima?

25

8. D’una lamina rectangular es retallen quatre trossos quadrats en els vertex per formar unacaixa sense tapa. Quin es el costat x del quadrat retallat que dona el maxim volum per la

caixa obtinguda?

(a) Lamina quadrada de costat a.

(b) Lamina rectangular de costats a i b.

9. En les seguents figures es fixa la superfıcie, S0, i es vol obtenir el maxim volum. Determineu-ne les dimensions i la proporcio entre els dos parametres lineals (per exemple, H/R en el

cilindre).

(a) Prisma de base quadrada de costat L i altura H .

(b) Cilindre de radi R i altura H .

(c) Con de radi R i altura H .

10. Repetiu el problema anterior fixant el volum, V0, i minimitzant la superfıcie. Compareu les

proporcions obtingudes.

11. Amb n gotes esferiques de radi R d’aigua tenim un volum total VT i una superfıcie total ST .Fixat VT trobeu el valor de n que minimitza la superfıcie.

12. Una lınia recta, ρ, separa dos medis on la velocitat amb que ens movem es diferent (v1 iv2. Volem anar d’un punt A en el medi 1 a un punt B en el medi 2 amb el mınim temps.

Anomenem P el punt de ρ on fem la transicio d’un medi a l’altre. Demostreu que si α esl’angle entre la lınia AP i ρ i β l’angle entre la lınia PB i ρ, el temps es mınim si

cos α

cosβ=

v1

v2.

13. (a) Trobar el punt entre la Terra i la Lluna on l’energia potencial gravitatoria d’un cos demassa m es maxima o mınima.

(b) Podrıem utilitzar aquest punt per situar satel.lits de manera estacionaria?

(c) Trobar el punt entre dues carregues electriques, Q1 i Q2 on l’energia potencial elec-

trostatica d’una carrega q es maxima o mınima (tingueu en compte els possibles signesde les carregues. Quines diferencies hi ha amb el cas gravitatori?

Indicacio: L’energia potencial gravitatoria d’una massa m en el camp creat per la massa

M , a distancia r, te la forma −GMmr . En el cas electrostatic es K Qq

r . ML = 0.0123MT .

26

Solucions

1. (a) Inflexio. (b) Cap. Creixent, concavitat ∩. (c) Inflexio. Decreixent. (d) Mınim, concavitat∪. (e) Maxim, concavitat ∩. (f) Cap. Decreixent, concavitat ∪.

2. (a) Mınim en x = (2a)2

2a+1 , inflexio en x = (4a(a + 1))2

2a+1 . (b) Per a = 12 , mınim en x = 1,

inflexio en x = 3. Per a = 1, mınim en x = 3√

4, inflexio en x = 4.

(c)

Figura 4: Problema 2 (c).

(d) Els dos punts tendeixen a 1. (e) La funcio es fa infinita per 0 < x < 1 i val√

x per x > 1.

Els dos punts convergeixen al punt de transicio en x = 1.

Figura 5: Problema 2 (e).

3. (a) D = R. Mınims en (−1,−47) i (3, 81). Maxim en (2, 88). Inflexions en x = 4±√

133 (punts

(0.13, 9.53) i (2.53, 84.3).

Figura 6: Problema 3 (a) i (b).

(b) D = R. Funcio parella. Maxim en (0, 1). Inflexions en x = ±√

22 (punts (0.71, 0.61) i

(−0.71, 0.61). Asımptota horitzontal y = 0.

(c) D = (0,∞). Mınim en (1, 0). Inflexio en (e, 1). Asımptota vertical en x = 0.

(d) D = R − {1}. Mınim en (0, 0). Maxim en x = − 3√

2, (punt (−1.25, 0.53)). Inflexions en

x =3

√

−7±√

452 (punts (−0.52, 0.24), (−1.9, 0.46)). Asımptota vertical en x = 1. Asımptota

horitzontal y = 0.

27

Figura 7: Problema 3 (c) i (d).

(e) D = R−{−1, 1}. Funcio imparella. Mınim en (√

3, 3√

32 ), maxim en (−

√3,−3

√3

2 ), inflexio

en (0, 0). Asımptotes verticals en x = ±1. Asımptota obliqua y = x.

(f) D = R. Maxim en x = −1+√

52 , (punt (−1.62, 0.84)). Mınim en x = −1+

√5

2 , (punt(0.62,−0.44)). Inflexions en x = 0,−3 (punts (0, 0) i (−3, 0.6). Asımptota horitzontal y = 0

per x → ∞.

Figura 8: Problema 3 (e) i (f).

4. Funcio imparella. Asımptotes verticals en x = (2k + 1)π2 , inflexions en x = kπ, maxims en

x = π3 + kπ, mınims en x = 2π

3 + kπ (k ∈ Z).

A l’esquerra de cada asımptota trobem un maxim i la funcio tendeix a −∞. A la dretatendeix a ∞ i despres ve un mınim.

Figura 9: Problema 4.

5. (a) min = 5, max = 37. (b) min = 10, max = 37. (c) min = −238, max = 165. (d) min = 5,

max = 86.

6. Si 0 < a ≤ 12 , el punt a mınima distancia es (0, 0). Si a > 1

2 , els punts a mınima distancia

son (±√

a − 12 , a− 1

2) (el punt (0, 0) correspon a un maxim local).

7. (a) Quadrat de costat P4 . (b) Rectangle de costats P

4 i P2 (el segon, paral.lel a la paret).

8. (a) x = a6 . (b) x = a+b−

√a2+b2−ab6 .

28

9. (a) L = H =√

S06 . H

L = 1 (cub).

(b) R =√

S06π . H =

√

2S03π . H

R = 2.

(c) R =√

S04π . H =

√

2S0π . H

R = 2√

2.

10. (a) L = H = 3√

V0.HL = 1 (cub).

(b) R = 3

√

V02π . H = 3

√

4V0π . H

R = 2.

(c) R = 3

√

3V0√8π

. H = 3

√

24V0π . H

R = 2√

2.

11. n = 1.

12. Si la recta que separa els medis es l’eix OX , el punt de partida (0,−a) i el punt d’arribada

(d, b), hem de minimitzar T =√

a2+x2

v1+

√b2+(d−x)2

v2. Derivant i igualant a 0 apareixen

x√a2+x2 = cosα i d−x√

b2+(d−x)2= cosβ.

13. (a) Distancia a la Terra x = d

1+

r

MLMT

.

(b) No, al ser un maxim, es un punt d’equilibri inestable. (La discussio es mes complexa si

es te en compte el moviment de rotacio pero el punt segueix sent inestable.)

(c) Si Q1, Q2 tenen diferent signe, no hi ha extrems entre les dues carregues. Si tenen elmateix signe, la distancia a Q1 es x = d

1+q

Q2Q1

(maxim si q te el mateix signe que Q1, Q2,

mınim en cas contrari).

29

8 Primitives

1. Calculeu:

(a)

∫

(3√

x + 4 3√

x + 5 4√

x) dx.

(b)

∫

(cos 2x− 2 sin 4x) dx.

(c)

∫(

1

x− 2

x2+

1

x2 + 1

)

dx.

(d)

∫

(6e2x + 8e−4x) dx.

(e)

∫(

4

2x + 1+

33√

18x − 1

)

dx.

2. Calculeu:

(a)

∫

dx

a2 + x2(a > 0).

(b)

∫

dx

x(lnx)2.

(c)

∫

x2e−x3dx.

(d)

∫

cosx

1 + sin xdx.

(e)

∫

x3

x + 1dx.

(f)

∫

dx

ex + e−x.

(g)

∫

dx√x(1 + x)

.

(h)

∫

x√1 − x4

dx.

3. Calculeu:

(a)

∫

(x2 − x) cos 2x dx.

(b)

∫

e2x sin 3x dx.

(c)

∫

x3e−x dx.

(d)

∫

x2 ln x dx.

(e)

∫

x2 arcsinx dx.

(f)

∫

arcsin2 x dx.

4. Feu les tres ultimes primitives del problema anterior amb els seguents canvis de variable: (d)x = et, (e) i (f) x = sin t.

30

5. Calculeu:

(a)

∫

x + 1

x2 + 4x + 8dx.

(b)

∫

3x

x2 + 4x − 5dx.

(c)

∫

x + 2

x3 + x2 − 2dx.

(d)

∫

x2 + x + 1

x3 + 2xdx.

(e)

∫

x3 + x

x5 + x4 − 2x3 − 2x2 + x + 1dx.

6. Es defineixen:

Im,n =

∫

cosm x sinn x dx, Jn(a) =

∫

sinn x

a + cosxdx.

Calculeu:

(a) I4,1, I−4,3, I5,0.

(b) I4,0, I2,2, I0,−4.

(c) J1(3), J3(2), J0(2).

Demostreu que In,n es 12n+1 I0,n canviant x per 2x. Utilitzeu-ho per calcular I3,3.

Demostreu que Jn(a) = aI0,n−2 − I1,n−2 − (a2 − 1)Jn−2(a). Utilitzeu-ho per calcular J2(2).

7. Calculeu:

(a)

∫

tg5 x dx.

(b)

∫

dx

4 + 3 sinx + 2 cosx.

(c)

∫

(2 cos 2x − cos 3x)2 dx.

8. Calculeu:

(a)

∫√

x

1 + 3√

xdx.

(b)

∫

dx

x +√

x2 − 1(canvi hiperbolic).

(c)

∫

√1 + x2

xdx.

31

Solucions

Nota: S’ha omes la constant aditiva. En una primitiva, la solucio general es F (x) + C encara quedonem nomes F (x).

1. (a) 2√

x3 + 33√

x4 +4√

x5.

(b) 12(sin 2x + cos 4x).

(c) ln |x| + 2x + arctg x.

(d) 3e2x − 2e−4x.

(e) 2 ln |2x + 1| + 14

3√

(18x− 1)2.

2. (a) 1a arctg x

a . (b) − 1lnx . (c) −1

3e−x3. (d) ln(1 + sin x). (e) x3

3 − x2

2 + x − ln |x + 1| (canvit = x + 1). (f) arctg ex. (g) 2 arctg

√x. (h) 1

2 arcsinx2.

3. (a) (x2

2 − x2 − 1

4 ) sin 2x+(x2 − 1

4 ) cos2x. (b) e2x

13 (2 sin3x−3 cos 3x). (c) −(x3+3x2+6x+6)e−x.

(d) x3

3 lnx − x3

9 . (e) x3

3 arcsinx + 19(x2 + 2)

√1 − x2 (despres d’integrar per parts, canvi

t =√

1 − x2). (f) x arcsin2 x + 2√

1 − x2 arcsin x − 2x.

4. (d) Queda∫

te3tdt = ( t3 − 1

9 )e3t = ( 13 lnx − 1

9 )x3.

(e) Queda∫

t sin2 t cos tdt = t3 sin3 t+1

3 cos t−19 cos3 t = x3

3 arcsinx+13

√1 − x2−1

9

√

(1− x2)3 =. . .

(f) Queda∫

t2 cos tdt = (t2 − 2) sin t + 2t cos t = (arcsin2 x − 2)x + 2√

1 − x2 arcsinx.

5. (a) 12 ln(x2 +4x+8)− 1

2 arctg(x2 +1). (b) 1

2 ln |x−1|+ 52 ln |x+5|. (c) 3

5 ln |x−1| − 310 ln(x2 +

2x + 1) − 15 arctg(x + 1). (d) 1

2 ln |x| + 14 ln(x2 + 2) + 1√

2arctg x√

2. (e) 1

8 ln(x − 1) − 18 ln(x +

1) − 14(x−1)

− 12(x+1)

+ 14(x+1)2

= 18 ln |x−1

x+1 | − 14

3x2+xx3+x2−x−1

.

6. (a) I4,1 = −15 cos5 x, I−4,3 = 1

3 cos3 x− 1

cosx , I5,0 = sin x − 23 sin3 x + 1

5 sin5 x.

(b) I4,0 = 38x + 1

4 sin 2x + 132 sin 4x = 3

8x + 18 sinx(2 cos2 x + 3 cosx), I2,2 = x

8 − 132 sin 4x,

I0,−4 = − cotg x − 13 cotg3 x.

(c) J1(3) = − ln(3+cos x), J3(2) = 12 cos2 x−2 cos x+3 ln(2+cos x), J0(2) = 2√

3arctg( 1√

3tg x

2 ).

Per a les demostracions, utilitzar:

sinn 2x = 2n cosn x sinn x.

sinn x = (1 − cos2 x) sinn−2 x i cos2 x−1cosx+a = cosx − a − a2−1

cosx+a (divisio de polinomis).

I3,3 = − 116 cos 2x + 1

48 cos3 2x.

J2(2) = 2x− sinx − 2√

3 arctg( 1√3tg x

2 ).

7. (a) 14 tg4 x − 1

2 tg2 x + 12 ln(1 + tg2 x) = 1

4 cos4 x − 1cos2 x − ln | cosx| (canvi t = tg x).

(b) 2√3arctg( 2√

3tg x

2 +√

3) (canvi t = tg x2 ).

(c) 52x − 2 sinx + 1

2 sin 4x− 25 sin 5x + 1

12 sin 6x.

8. (a) 67x

76 − 6

5x56 + 2x

12 − 6x

16 + 6 arctgx

16 (canvi x = t6).

(b) 12 ln(x+

√x2 − 1)+ 1

4(x+√

x2−1)2(canvi x = cosh t i utilitzar arg coshx = ln(x+

√x2 − 1)).

(c)√

1 + x2+ 12 ln(

√1 + x2−1)− 1

2 ln(√

1 + x2+1) =√

1 + x2+ln√

1+x2−1|x| (canvi t =

√1 + x2,

x =√

t2 − 1).

32

9 Integral de Riemann

1. Si f es una funcio integrable Riemann, demostreu que:

Si f es parella,

∫ a

−af(x)dx = 2

∫ a

0f(x)dx.

Si f es imparella,

∫ a

−af(x)dx = 0.

Utilitzeu-ho per a simplificar el calcul de les seguents integrals:

(a)

∫ 1

−1(x4 − 6x2 + 3) dx.

(b)

∫ 1

−1x3 cos x dx.

(c)

∫ 2

−2

(5x7 + 14x6 + 9x5 − 15x4) dx.

(d)

∫ π2

−π2

((x + x2) cosx − x2 sinx) dx.

2. Donada f(x) =x + 1

x2 − 2xcalculeu les seguents integrals quan existeixin:

I1 =

∫ −1

−2f(x) dx, I2 =

∫ 1

−1f(x) dx, I3 =

∫ 3

1f(x) dx, I4 =

∫ 4

3f(x) dx.

3. Calculeu

∫ 2

−1

2x + |x|2 + |x − 1| dx.

4. Calculeu les seguents integrals sense desfer el canvi de variable:

(a)

∫ 1

0

arctg2 x

1 + x2dx.

(b)

∫ 2

1x5ex2

dx.

(c)

∫ 1

12

x

1 +√

1 − x2dx.

(d)

∫ π2

π4

sin3 x cosx dx.

5. Calculeu l’area de les seguents figures planes:

(a) Figura finita delimitada per les corbes y = x2, i y = a2 − x2 (a > 0).

(b) Figura finita delimitada per les corbes y = x, y =√

x i y = 2√

x.

(c) Figura finita delimitada per les corbes y =1

x, i y =

3x − 5

x − 2.

6. Donada la corba y =1

2x

32 :

(a) Calculeu l’area de la regio delimitada per ella, l’eix OX i la recta x = 1.

(b) Calculeu la longitud del segment de corba entre x = 0 i x = 1.

33

7. Considereu el segment de parabola amb equacio y = λx2 que uneix els punts (0, 0) i (a, b)(a, b > 0). Calculeu el volum del cos que s’obte fent girar aquest segment al voltant de l’eix

OX .

8. Deduıu les formules pel volum i l’area lateral d’un con de radi R i altura H .

Indicacio: Utilitzeu la corba y = λx, fent-la girar al voltant de l’eix OX , 0 ≤ x ≤ H .

9. Considerem una antena parabolica de radi R i profunditat H .

(a) La seva seccio es pot descriure amb la corba y = λ√

x amb 0 ≤ x ≤ H . Trobeu λ enfuncio de R i H .

(b) Calculeu l’area de l’antena, a partir de la revolucio de l’anterior corba.

(c) Demostreu que el lımit de l’area anterior quan H → 0 es πR2.

10. Un disc pla de radi R te una carrega electrica Q distribuıda uniformement en la seva superfıcie.

(a) Calculeu l’energia potencial electrica U(x) d’una carrega puntual q situada a distanciax en l’eix perpendicular al disc que passa pel seu centre.

(b) Calculeu la forca F (x) sobre aquesta carrega. Quin comportament te quan x es propera

a zero en cada un dels dos costats del disc?

(c) Calculeu el lımit de F (x) quan R → 0.

11. Un diposit de lıquid es buida per un forat en la base, de seccio s. La seccio del diposit te areaS(x) on x es la coordenada perpendicular a la base. Quan el nivell del lıquid en el diposit esx, la velocitat de sortida del lıquid per la base es v =

√2gx. L’altura inicial del lıquid es H .

(a) Demostreu que el temps que triga el diposit en buidar-se es T =1

s√

2g

∫ H

0

S(x)√x

dx.

(b) Quant temps triga en buidar-se una piscina de costats 5 m i 15 m i profunditat (constant)2 m, per una obertura circular de 10 cm de diametre en la seva base?

(c) Quant temps triga en buidar-se un diposit en forma de con invertit amb radi R i altura

H per un forat d’area s?

Indicacio: En un petit interval de temps, ∆t, s’ha d’igualar el volum d’aigua que surt per

l’orifici de sortida amb la variacio del volum de lıquid al diposit, −S(x)∆x.

12. Si al buidar el diposit del problema 11 una dinamo converteix el moviment de l’aigua enenergia, quanta energia s’obte en total? Trobeu una formula pel cas general d’altura H i

seccio S(x), 0 ≤ x ≤ H i apliqueu-la a la piscina de l’apartat 11(b).

13. La piramide de Kheops te una base quadrada de 230 m de costat i 147 m d’altura. La densitatde la pedra amb que esta feta es 3 g

cm3 . Es va construir en 10 anys. El treball que fa un esclau

en un dia es 35000 Kgm. Quants esclaus van ser necessaris per construir-la (considerant lapedra a peu d’obra)?

Nota: Kgm es la unitat tecnica d’energia. Es passa a Joules multiplicant per l’acceleracio de

la gravetat, 9.8.

14. Calculeu la derivada de les seguents funcions:

(a) f(x) =

∫

√x

0e−t2dt.

(b) f(x) =

∫ x3

x2

t

ln tdt.

34

15. Donada la funcio f(x) =

∫ x

0

sin t

tdt:

(a) En quins valors de x te maxims locals?

(b) Trobeu el seu polinomi de Taylor en el punt 0 d’ordre 7.

(c) A partir d’aquest polinomi trobeu f (7)(0).

(d) Trobeu un valor aproximat de

∫ 1

0

sin t

tdt. Compareu-lo amb el valor exacte, .9460830704 . . ..

35

Solucions

1. Si I =

∫ a

−af(x)dx, I = I1 + I2 amb I2 =

∫ a

0f(x)dx i I1 =

∫ 0

−af(x)dx. Fent el canvi x = −t,

queda I1 =

∫ a

0f(−t)dt. Llavors, si f es parella, I1 = I2 i I = 2I2. Si f es imparella, I1 = −I2

i I = 0.

(a) 125 . (b) 0. (c) 320. (d) π2

2 − 4.

2. I1 = −12 ln 32

27 , I4 = 12 ln 6. I2 i I3 no existeixen ja que la funcio te asımptotes verticals en

x = 0 i x = 2 (funcio no fitada, s’hauria d’estudiar com integral impropia).

3. 3 ln 32 − 1.

4. (a) π3

192 . (b) 5e4 − e2 . (c)

√3

2 − ln(√

32 + 1). (d) 3

16 .

5. (a) 2√

23 a3. (b) 5

2 . (c) 2√

3 + 2 ln(2 −√

3).

6. (a) 15 . (b) 61

54 .

7. V = π5 ab2.

8. V = 13πR2H , S = πR

√H2 + R2.

9. (a) λ = R√H

. (b) S = πR6H2 ((4H2 + R2)

32 − R3). (c) Per l’Hopital.

10. (a) U(x) = 2KQq√

R2+x2−|x|R2 . (b) F (x) = 2KQq

R2 ( x√R2+x2

− sgn(x)). La forca es discontınua

en zero ja que F (0+) = −2KQqR2 i F (0−) = 2KQq

R2 . (c) −KQqx2 .

11. (a) En un petit increments de temps, ∆t, l’altura x del lıquid varia −∆x i per l’orifici desortida surt una longitud ∆l = v∆t. La variacio de volum al diposit es −S(x)∆x i ha de

ser igual al volum que surt s∆l = sv∆t. Aixı ∆t = S(x)sv ∆x. Posant v =

√2gx, en el lımit:

dt =S(x)

s√

2gxdx d’on s’obte la formula integrant els dos costats. (b) 102 min. (c) T = π

5R2

s

√

2Hg .

12. En el cas d’aquesta piramide, U = 2.8 · 1012 J. D’aquı deduım que calen 2237 esclaus.

13. L’energia que s’obte es l’energia potencial del lıquid. Per un cos de densitat ρ i seccio S(x)en funcio de l’altura 0 ≤ x ≤ H l’energia potencial es calcula dividint en talls horitzontals

de volum ∆V = S(x)∆x i massa ∆m = ρ∆V . Llavors, l’energia U s’obte fent el lımit de∑

gx∆m =∑

ρgS(x)x∆x d’on U = ρg∫ H0 S(x)xdx.

Per la piscina s’obte U = 75000 J (0.2 KWh).

14. (a) f ′(x) = e−x

2√

x. (b) f ′(x) = x5−x3

ln x .

15. (a) x = kπ, on k = 1, 3, 5, · · · o k = −2,−4,−6, · · · . (b) p7(x) = x − x3

3·3! + x5

5·5! − x7

7·7! =

x − x3

18 + x5

600 − x7

35280 . (c) f (7)(0) = −17 . (d) Aproximem amb p7(1) = 0.9460827664 . . .,

correcte amb cinc decimals.

36

10 Integrals impropies

1. Calculeu, quan siguin convergents:

(a)

∫ 1

−1

dx√1 − x2

.

(b)

∫ 1

−1

dx

1 − x2.

(c)

∫ ∞

1e−3x dx.

(d)

∫ 1

0lnx dx.

(e)

∫ ∞

2

dx

x2 − 1.

(f)

∫ 1

−1

dx3√

x.

(g)

∫ 1

−1

dx3√

x5.

(h)

∫ ∞

−∞

dx

x2 + x + 2.

(i)

∫ ∞

−∞

dx

x2 + 3x + 2.

(j)

∫ ∞

0

dx√x(x + 1)

.

(k)

∫ ∞

0e−x cos 2x dx.

2. Estudieu la convergencia de les seguents integrals impropies:

(a)

∫ ∞

0

x2

√x + x7

dx.

(b)

∫ π2

0

dx√tg x

.

(c)

∫ ∞

1

dx

2 + lnx.

(d)

∫ 1

0

1 − cosx

x3dx.

(e)

∫ ∞

π

1 − cosx

x3dx.

(f)

∫ ∞

0

3√

1 + x2

√1 + x3

dx.

(g)

∫ 1

0

(

1

x− 1

sinx

)

dx.

3. Donades les integrals I1(a) =

∫ ∞

1

√x

1 + xadx, I2(x) =

∫ 1

0

sin x

xadx on a > 0 es un parametre,

determineu els valors de a que fan les dues integrals convergents alhora.

37

4. La corba y =1

xλ, 1 ≤ x < ∞ genera un cos de revolucio al fer-la girar al voltant de l’eix OX .

(a) Determineu quins valors de λ fan que aquest cos tingui volum finit i quins fan que tinguinarea lateral finita.

(b) Noteu que hi ha valors de λ pels quals el volum es finit i l’area es infinita (quins?). En

aquest cas raoneu la seguent paradoxa: com l’area es infinita no podem pintar l’interiordel cos. Pero com el volum es finit podem prendre una quantitat de pintura del mateix

volum, posar-la dins i al buidar el cos quedaria l’interior pintat.

5. Donades les funcions f(x) =x√

1 + x3i g(x) =

1√1 + x

, estudieu la convergencia de les

integrals:

∫ ∞

0f(x) dx,

∫ ∞

0g(x) dx i

∫ ∞

0(f(x)− g(x)) dx.

6. Calculeu els seguents valors de la funcio gamma (en forma exacta quan es pugui, en aproxi-macio decimal en cas contari):

(a) Γ(5).

(b) Γ

(

7

2

)

.

(c) Γ(π).

(d) Γ(7).

(e) Γ

(

13

2

)

.

(f) e!.

(g) (√

31)!.

(h)

(

1

3

)

!.

7. Calculeu l’error (en tant per cent) que es comet aproximant per Stirling els seguents factorials:

(a) 5!.

(b) 20!.

(c) 50!.

8. Calculeu les seguents integrals, mitjancant la funcio gamma:

(a)

∫ ∞

0x6e−x dx.

(b)

∫ ∞

0x2√xe−x dx.

(c)

∫ ∞

0

x3e−2x dx.

(d)

∫ ∞

0(x4 − 3x3 + 2x2 + 1)e−3x dx.

(e)

∫ ∞

0

√xe−x2

dx.

(f)

∫ ∞

−∞e−

x2

2 dx.

(g)

∫ ∞

−∞(1 + x + x2)e−x2

dx.

9. Demostreu que

∫ 1

0xa ln x dx = − 1

(a + 1)2i digueu per a quins valors de a es valid el resultat.

38

Solucions

1. (a) π. (b) Divergent. (c) e−3

3 . (d) −1. (e) 12 ln 3. (f) 0. (g) Divergent. (h) 2π√

7. (i) Divergent.

(j) π. (k) 15 .

2. (a) Convergent. (b) Convergent. (c) Divergent. (d) Divergent. (e) Convergent. (f) Divergent.

(g) Convergent.

3. 32 < a < 2.

4. (a) Volum finit per λ > 12 , area finita per λ > 1. (b) 1

2 < λ ≤ 1. La pintura es materia

tridimensional, aixı que quan pintem una superfıcie hem de pensar en termes de volum depintura (la capa de pintura sempre te un gruix).

5. Les integrals de f i de g divergeixen mentre que la de f − g convergeix.

6. (a) 24. (b) 158

√π. (c) 2.2880. (d) 720. (e) 10395

64

√π. (f) 4.2608. (g) 325.1992. (h) 0.8929.

7. (a) 1.6%. (b) 0.4%. (c) 0.17%.

8. (a) 720. (b) 158

√π. (c) 3

8 . (d) 2981 . (e) 1

2Γ( 34) = 0.6127. (f)

√2π. (g) 3

2

√π.

9. Canvi x = e−t. Convergeix si a > −1.

39

11 Series numeriques i de potencies

1. (a) Donada la successio an =1

n2 + 2n, n ≥ 1, calculeu els cinc primers valors de les sumes

parcials de la serie

∞∑

n=1

an.

(b) Per certa serie

∞∑

n=1

an sabem que les sumes parcials valen sn =n

n + 1. Calculeu els cinc

primers termes de la successio an.

2. Una serie

∞∑

n=1

an s’anomena telescopica si la seva successio te la forma an = bn − bn+1.

(a) Calculeu la suma parcial sn i demostreu que la serie es convergent quan la successio bn

ho es.

(b) Calculeu la suma de la serie

∞∑

n=1

1

n2 + n.

Indicacio: Descomposicio en fraccions simples.

3. Digueu si son convergents i calculeu-ne la suma quan ho siguin:

(a)

∞∑

n=0

(

3

4

)n

.

(b)∞∑

n=0

(√5

2

)n

.

(c)

∞∑

n=1

e−n.

(d)

∞∑

n=4

(

1

3

)n

.

(e)∞∑

n=0

1

(1 + a)n(estudiar en funcio del parametre a ∈ R).

(f)

∞∑

n=0

(−1)n

2n/2.

4. Estudiar la convergencia amb els criteris de l’arrel o del quocient:

(a)

∞∑

n=1

(

n

2n + 1

)n

.

(b)

∞∑

n=0

en

n!.

(c)

∞∑

n=1

nn

n!.

(d)

∞∑

n=0

nn

en2 .

(e)

∞∑

n=0

n5e−n.

40

5. Estudiar la convergencia mitjancant el comportament asimptotic o per comparacio:

(a)

∞∑

n=1

1

n√

n.

(b)

∞∑

n=0

en

1 + e2n.

(c)

∞∑

n=2

ln n

n3.

(d)

∞∑

n=1

n2 + n√n7 + 3

.

(e)

∞∑

n=1

n√n3 + 2

.

(f)

∞∑

n=1

sinn

n2 + 1.

(g)

∞∑

n=1

(

1− cos1

n

)

.

6. Estudiar la convergencia amb el criteri integral:

(a)

∞∑

n=2

1

n lnn.

(b)

∞∑

n=2

1

n2 lnn.

(c)

∞∑

n=0

n7e−2n.

(d)

∞∑

n=2

ln n

n2.

7. Estudiar la convergencia:

(a)

∞∑

n=2

(−1)n

ln n.

(b)

∞∑

n=1

cos n

n3.

8. Trobeu el radi de convergencia de les seguents series de potencies. Estudieu la convergencia

en els extrems de l’interval de convergencia:

(a)

∞∑

n=0

e−nxn.

(b)

∞∑

n=0

xn

√n2 + 1

.

(c)

∞∑

n=1

n

2n + 1xn.

41

(d)

∞∑

n=1

xn

n(n + 1).

(e)

∞∑

n=1

xn

nn.

(f)

∞∑

n=0

xn

2n + 3n.

(g)

∞∑

n=2

(lnn)nxn.

9. Trobeu la serie de Taylor (en a = 0) de les seguents funcions. Doneu tambe els seu radi deconvergencia:

(a) f(x) =1

x2 − 3x + 2.

(b) f(x) = sin2 x.

(c) f(x) =

∫ x

0

e−t2dt.

(d) f(x) =

∫ x

0

et − 1

tdt.

Indicacio: Descomposicio en fraccions simples, formules trigonometriques.

10. Sumeu les seguents series numeriques utilitzant series de Taylor:

(a)

∞∑

n=0

2n

n!.

(b)

∞∑

n=1

(−1)n

n!.

(c)

∞∑

n=1

n

4n.

(d)

∞∑

n=1

(−1)n+1

n2n.

42

Solucions

1. (a) 13 , 11

24 , 2140 , 17

30 , 2342 . (b) 1

2 , 16 , 1

12 , 120 , 1

30 .

2. (a) sn = b1 − bn+1. Si bn → b, sn → b1 − b. (b) 1.

3. (a) 4. (b) Divergent. (c) 1e−1 . (d) 1

54 . (e) Convergent per a ∈ (−∞,−2) ∪ (0,∞) amb suma

1 + 1a . (f) 2 −

√2.

4. (a) Convergent (α = 12 ). (b) Convergent (α = 0). (c) Divergent (α = e). (d) Convergent

(α = 0). (e) Convergent (α = e−1).

5. (a) Convergent. (b) Convergent. (c) Convergent. (d) Convergent. (e) Divergent. (f) Diver-

gent. (g) Convergent.

6. (a) Divergent. (b) Convergent. (c) Convergent. (d) Convergent.

7. (a) Convergent. (b) Convergent.

8. (a) R = e, divergent en x = ±e. (b) R = 1, convergent en x = −1, divergent en x = 1. (c)R = 1, divergent en x = ±1. (d) R = 1, convergent en x = ±1. (e) R = ∞. (f) R = 3,

divergent en x = ±3. (g) R = 0.

9. (a)∞∑

n=0

(

1 − 1

2n+1

)

xn, R = 1. (b)∞∑

n=1

(−1)n−1 22n−1

(2n)!x2n, R = ∞. (c)

∞∑

n=1

(−1)n

(2n + 1) · n!x2n+1,

R = ∞. (d)

∞∑

n=1

xn

n · n!, R = ∞.

10. (a) e2. (b) e−1 − 1. (c) 49 . (d) ln 3

2 .

43