Eugenio Miranda Palacios - Apuntes de Álgebra de Galois

7/24/2019 Eugenio Miranda Palacios - Apuntes de lgebra de Galois

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Captulo 4

Cuerpos de descomposicin

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48 CAPTULO 4. CUERPOS DE DESCOMPOSICIN

El estudio de las extensiones de cuerpos se origina en la ne-

cesidad de construir cuerpos que contengan al cuerpo base K endonde existan races de polinomios dados de K[X]. El ejemplo cl-sico es la construccinC = R(i) = R[X]/(X2 + 1). Vamos a ver que elmismo mtodo es vlido para cualquier polinomio.

4.1. Cuerpo de descomposicin

Teorema 4.1.1 (Kronecker). Seaf un polinomio de grado positivosobre un cuerpoK. Entonces existe una extensinF/K y unu Ftal quef(u) = 0.Demostracin. Descomponemos fen factores ireducibles sobre K:f=f1. . . f m. El cuerpo buscado es F =K[X]/(f1) y una raz de f esu= X+ (f1) F.

Sean Fi/Ki (i = 1, 2) dos extensiones de cuerpos y sean : F1F2 y : K1 K2 dos homomorfismos tales que para todo a K1 se

verifica(a) =(a).

Definicin 4.1.2. En las condiciones anteriores decimos que esuna extensin de.

Cuando = 1K : K K decimos que es un homomorfismosobreK

Proposicin 4.1.3. Sea : K1 K2 un isomorfismo de cuerpos.Existe una nica extensin a un isomorfismo :K1[X] K2[X] defi-nido por(X) =X

Demostracin. Es una aplicacin directa de la propiedad universaldel anillo de polinomios K1[X]. Obsrvese que gr(f) =gr((f)) paratodo polinomiof K1[X].Lema 4.1.4. En las condiciones de la proposicin 4.1.3 sea f1K1[X] irreducible sobreK1. El polinomiof2 = (f1) es irreducible so-breK2.

Demostracin. Sea f1 = gh una descomposicin del polinomio f1.Entoncesf2=(g)(h)es una descomposicin de f2 y los grados delos factores correspondientes son iguales. Como es un isomorfis-mo, aplicando el mismo argumento para1 obtenemos que f1 escompuesto si y slo sif2 es compuesto.


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4.1. CUERPO DE DESCOMPOSICIN 49

Proposicin 4.1.5. En las condiciones de la proposicin 4.1.3 sean

Fi/Ki coni = 1, 2 dos extensiones algebraicas, : F1 F2 un homo-morfismo sobre yuF1 una raz def1. Entonces(u) es una razdef2=(f1).

Demostracin. Un clculo sencillo: Seaf1 = anXn + +a1X+a0.

Entonces

f2((u)) =(an)(u)n + +(a1)(u) +(a0)

=(an)(u)n + +(a1)(u)

=(anun + +a1u+a0)

=(0) = 0

Corolario 4.1.6. SeaF /Kuna extensin algebraica y :F F unhomomorfismo sobreK. Entonces es un automorfismo.

Demostracin. Sea u F arbitrario. Sea f = Irr(u, K) y sean u =u1, . . . , uk todas las races de f que hay en F (k gr(f)). SeaF1 =K(u1, . . . , uk) el subcuerpo de Fgenerado por todas ellas. La exten-sin F1/K es finita, y para cualquier homomorfismo : F F elelemento (ui) es una raz de f, por tanto (ui) = uj. Luego se

restringe a un homomorfismo 1: F1 F1. Pero este es una aplica-cinK-lineal inyectiva. Como F1 es de dimensin finita sobre K, laaplicacin1es sobre y existe unv F1 Ftal queu = 1(v) =(v).Luego es sobre.

Proposicin 4.1.7. Con la notacin de la proposicin 4.1.5 seaf1irreducible y sea ui una raz de fi en alguna extensin Fi de Ki(i=1,2). Entonces existe un nico isomorfismo : K1(u1) K2(u2)sobre tal que(u1) =u2.

Demostracin. El isomorfismo =21

1 buscado es el compuesto

de los tres isomorfismos siguientes:

K1(u) K2(u)

K1[X]

(f1)

1

K2[X]

(f2)

2


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Los isomorfismos i : Ki[X]/(fi)= Ki(ui) (i = 1, 2) son los esta-blecidos en la definicin de elemento algebraico y vienen dados porX+ (fi) ui. El isomorfismo es el inducido entre los cocientespor el dado en la proposicin 4.1.3.

Proposicin 4.1.8. Con la notacin de la proposicin 4.1.7 el nme-ro de extensiones :K1[u1] F2 sobre es igual al nmero de racesdistintas def2 enF2.

Demostracin. Cualquiera de tales est totalmente determinadapor la imagen de u. Como f2((u)) = (f1(u)) = 0, necesariamente(u) es una raz de f2. Por la proposicin 4.1.7, para cadav raz de

f2 en F2 existe un homomorfismotal que(u) =v. En total existentantos homomorfismos como races de f2 hay en F2.

Definicin 4.1.9. Un cuerpo extensin F K se llamacuerpo dedescomposicindef sobreKsi y slo si existen u1, . . . , un F talesquef= (X u1) (X un) yF =K(u1, . . . , un).Proposicin 4.1.10. SeaE F Kuna torre de cuerpos tal queEes un cuerpo de descomposicin de un polinomiofsobreK. EntoncesEes tambin un cuerpo de descomposicin def sobreF.

Demostracin. Los elementosu1, . . . , un races de f verifican

E=K(u1, . . . , un) F(u1, . . . , u n) EluegoE=F(u1, . . . , un).

Teorema 4.1.11. Para todo polinomio f K[X] de grado n > 0existe un cuerpo de descomposicinF defsobreKy se verifica que[F :K] n!.Demostracin. Induccin sobre el grado de f. Si gr(f) = 1, el po-linomio es f = a1X+a0 y su nica raz es u1 =

a0/a1

K. Lue-

go F = Kes el cuerpo de descomposicin de f sobre K. Adems[F :K] = 1 =n! donde 1 =n = gr(f).

Sea ahoragr(f)> 1. Por el teorema de Kronecker existe un cuer-po K1 = K(u1) K con f(u) = 0. Descomponemos f = (X u1)f1

y gr(f1) = gr(f)1 < gr(f). Por la hiptesis de induccin exis-te F = K1(u2, . . . , un) cuerpo de descomposicin de f1 sobre K1.Luego f = (X u1)(X u2) . . . (X un) y F = K(u1, u2, . . . , un) esun cuerpo de descomposicin de f sobre K. Calculemos el grado:[F :K] = [F :K1][K1: K] (n 1)! n= n!.


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4.1. CUERPO DE DESCOMPOSICIN 51

Sea : K1 = K2 un isomorfismo de cuerpos, sea f1

K1[X]

arbitrario y seaf2=(f1).

Teorema 4.1.12. SeaFi un cuerpo de descomposicin defi sobreKi. Entonces existe un isomorfismo :F1 F2 que es una extensinde.

Demostracin. Por induccin sobre el grado de f1. Si gr(f1) =gr(f2) =1 se verifica queFi=Ki (i= 1, 2) y=.

Sea ahoragr(fi) > 1 y supongamos el teorema cierto para poli-nomios de grado menor. Sean ui Fi races respectivas de fi talesque Irr(u2, K2) = (Irr(u1, K1)). Por la proposicin 4.1.7 existe un

isomorfismo 1 : K1(u1)= K2(u2) extensin de tal que 1(u1) = u2.Descomponemos fi = (X ui)gi (i = 1, 2). Cada Fi es el cuerpo dedescomposicin de gi sobre Ki(ui). Por la hiptesis de induccinexiste una extensin :F1=F2 del isomorfismo1, que es tambinuna extensin de.

Corolario 4.1.13. Dos cuerpos de descomposicin def K[X] so-breKson isomorfos.

Demostracin. Aplicar la proposicin anterior al isomorfismo iden-tidad= 1K.

Ejemplo4.1.14. Seaf=X2 + aX+ b K[X]con Karbitrario. Sif esreducible sobreKel cuerpo de descomposicin de fes el mismoK.Sifes irreducible llamamosF=K[X]/(f) =K(u)dondeu = X+(f).Entoncesf = (X u)(X+ (u+a)), el cuerpo de descomposicin def sobre K es F y[F :K] = 2.

Ejemplo 4.1.15. Seaf = (X2 2)(X2 3)Q[X]. El cuerpo de des-composicin serF = Q(

2,

3) y su grado sobre Q es 4.

Ejemplo4.1.16. Seaf = X3 +X+ 1Z2[X]. Como f(0)= 0= f(1),el polinomio f no tiene races en Z2 y por tanto es irreducible en

Z2[X]. Seau= X+ (f) Z2[X]/(f) =F. Un poco de clculo muestraque u2 yu4 =u2 +u tambin son races de fy que f = (X u)(Xu2)(X (u+ u2)). Luego f descompone en factores lineales en F ypor tantoF = Z2(u) es el cuerpo de descomposicin de f sobreZ2.

Ejemplo 4.1.17. Sea f = X4 + 1 Q[X]. Sea u una raz de f. Lasotras races sonu, u1 yu1 que son todas distintas. As queQ(u, u, u1, u1) = Q(u)es el cuerpo de descomposicin defsobreQ. Igual sucede sobreZp cuando p = 2. SobreZ2 tenemos f = (X+1)4.


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Ejemplo 4.1.18. Seaf = X4 + 4

Q[X]. En este caso el polinomio

fes reducible: f = (X2 + 2X+ 2)(X2 2X+ 2). Las races de f son1 1, as que el cuerpo de descomposicin es Q(i).Ejemplo 4.1.19. Sea f = X3 2 Q[X]. Sea u = 33 R y sea = (1 + 3)/2 C la raz cbica de la unidad. Entonces lasraces de f son u, u y 2u, y el cuerpo de descomposicin de fsobreQ es Q(u, ).

Ejemplo4.1.20. Seaf=Xp1 Q[X]conp primo. Sabemos quef=(X1)p y quep=Xp1+ +X+1es irreducible sobre Q. Seau =X+ (p) Q[X]/(p) =F. Sabemos que los p elementos1, u , . . . , up1forman una base de F sobreQ y por tanto son distintos. Por otrapartef(uk) = (uk)p 1 = (up)k 1 = 0 parak = 0, . . . p 1 y tenemosp races de f en F. Luego f = (X 1)(X u) . . . (X up1) y F esel cuerpo de descomposicin de f sobre Q (luego tambin F es elcuerpo de descomposicin dep sobreQ).

Ejemplo 4.1.21. Sea f = Xp 2 con p primo. Sea u = p2 y sea = e2i/p. Las races de f en C son u , u , . . . , p1u y el cuerpo dedescomposicin de f sobre Q es E = Q(u , u , . . . , up1) = Q(u, ).Como [Q(u) : Q] =p y[Q() : Q] =p 1 son primos relativos, obtene-mos que [E: Q] =p(p 1).

Ejemplo 4.1.22. Sea ahoraf = Xp

t K = Zp(t) donde t es unaindeterminada. Por el criterio de Eisenstein fes irreducible sobreK. Sea F = K(u) el cuerpo obtenido adjuntando a K una raz def. Como car(F) = p el polinomio f descompone como f = (X u)p

y por tanto F es el cuerpo de descomposicin de f sobre K. Igualocurre para el polinomioXp

k t Zp(t).Definicin 4.1.23. SeaF K[X]cualquier conjunto de polinomiosno constantes. Una extensinE/Kse llamacuerpo de descomposi-cindeFsobreKsi para todo polinomiof Fexistenu1, . . . , un Etales que f= (X

u1)

(X

un) y adems E=K(S) donde

S= {u F| f Ff(u) = 0}Teorema 4.1.24. Para todo conjunto de polinomios no constantesF K[X] existe un cuerpo de descomposicin sobreK.Demostracin. Sea F ={f | } el conjunto de polinomiosdados. Si es finito, sea f =

f. Por el teorema 4.1.11 existe

un cuerpo de descomposicin F de f sobre K, que es tambin elcuerpo de descomposicin de FsobreK.


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4.2. CLAUSURA ALGEBRAICA 53

Sea ahora infinito. Para cada subconjunto finito J

seaFJ

un cuerpo de descomposicin de J= {f| J} sobre K. Usandoun argumento de sustitucin de conjuntos podemos tomarlos demanera que si I J se verifique FI FJ. El conjunto S ={EJ |J , Jfinito} est ordenado por inclusin y es dirigido (es decir,para cualquier parFI, FJ S existe una extensin comnFIJ S).Sea F =JSFJ. Definimos una suma y un producto en F de lasiguiente manera: Para cualesquiera u, v F existe un J S talque u, v FJ. Entonces la sumau+v y el producto uv en F son lasuma y el producto enFJ. Es rutina comprobar queFes un cuerpode descomposicin de Fsobre K.

Proposicin 4.1.25. SeanF1, F2dos cuerpos de descomposicin so-breK de la misma familia de polinomiosF. Entonces existe un iso-morfismo :F1=F2 sobreK.Demostracin. Si Fes finito esta proposicin es un caso particulardel corolario 4.1.13.

Sea ahoraFarbitrario. Formamos el conjunto

E= {(E, ) | F1 E K, es una extensin de }Por el corolario 4.1.13 los E K tales que E/K es finita pertene-cen todos a

E. Ordenamos el conjunto

E de la siguiente manera:(E1, 1) (E2, 2) si y slo si E1 E2 y 1 = 2|E1. Es rutina com-

probar que esta es una ordenacin inductiva sobre E. Sea (F, )un elemento maximal. Si F F1, por la proposicin 4.1.7 existeun : F F2 extensin de con F F, en contra del carctermaximal de(F, ).

Finalmente, todo f F descompone en factores lineales en F1y las races de todos estos polinomios se aplican mediante sobrelas races de todos los f F en F2. Pero estas ltimas generan F2sobreK, luego es sobre.

4.2. Clausura algebraica

Proposicin 4.2.1. SeaKun cuerpo. Los siguientes enunciados sonequivalentes:

1. Todo polinomio no constantef K[X] tiene una raz enK.2. Para todof K[X] de gradon > 1 existenu1, . . . , un K tales

quef=an(X u1) (X un).


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3. Un polinomiof

K[X]es irreducible si y slo sigr(f) = 1.

4. Toda extensin algebraica deKes trivial.

Demostracin. 1 2 Por induccin sobre el grado de f. Sigr(f) = 1tenemos que f = a1X+a0 = a1(X u1) con u1 =a0/a1 K.Sea ahoran= gr(f)> 1. Por la hiptesis existe un K tal quef(un) = 0. Dividimos f porX un y obtenemosf=f1 (X un)dondef1 = anX

n1 +. . . Por la hiptesis de induccin existenu1, . . . , un1 K tales que f1 = an(X u1) . . . (X un1). Luegof=an(X u1) . . . (X un).

2 3 Seaf K[X] irreducible. No es constante, luego f = an(Xu1) . . . (Xun)conui K. ComoK[X]es un dominio factorial,fdivide a uno de los factores de la derecha. Comparando gradosobtenemos quegr(f) = 1.

3 4 SeaE/K algebraica yu E arbitrario. Sea f = Irr(u, K). Elpolinomiofes irreducible, luego gr(f) = 1 yf=X u K[X].Por tantou KyE=K.

4 1 Seaf K[X]no constante. Por el teorema de Kronecker exis-te una extensin algebraicaE/Ky un elemento uE tal quef(u) = 0. Pero la hiptesis dice que E=Ky por tanto u E.

Definicin 4.2.2. Un cuerpo verificando las propiedades de la pro-posicin 4.2.1 se llama algebraicamente cerrado

Proposicin 4.2.3. Todo cuerpo algebraicamente cerrado es infini-to.

Demostracin. SeaK ={a1, . . . , am} un cuerpo finito. Formamos elpolinomio f = (X a1) . . . (X am) + 1. Para todo a K se verificaque f(a) = 1

= 0, luego f no tiene races en K, de donde K no es

algebraicamente cerrado.

Proposicin 4.2.4. SeaE/K una extensin arbitraria conE alge-braicamente cerrado. Entonces el conjunto de elementos deE queson algebraicos sobreKforman un cuerpo algebraicamente cerrado.

Demostracin. SeaF el conjunto de elementos de Eque son alge-braicos sobreK. Ya hemos visto que Fes un cuerpo (que se llamaclausura algebraica (relativa) deK enE). Veamos que es algebrai-camente cerrado: Seaf F[X] E[X] no constante arbitrario. Por


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4.2. CLAUSURA ALGEBRAICA 55

serEalgebraicamente cerrado, existe unu

Etal quef(u) = 0. En-

toncesu es algebraico sobre Fy por tanto tambin sobre K. Luegou F.Definicin 4.2.5. Decimos que un cuerpoEes unaclausura alge-braica (absoluta) de K si E/K es una extensin algebraica yE esalgebraicamente cerrado.

Proposicin 4.2.6. Para una extensinE/K las siguientes propie-dades son equivalentes:

1. Ees una clausura algebraica deK.

2. La extensinE/Kes algebraica y todo polinomio no constantef K[X] descompone en factores lineales enE[X].

3. Ees el cuerpo de descomposicin sobreKdel conjunto de poli-nomiosF= {f K[X] | gr(f)> 0}.

4. La extensinE/Kes algebraica y todo polinomio no constantef K[X] tiene una raz enE.

Demostracin. 1 2 Por la proposicin 4.2.1 para todo polinomiof F E[X] existen u1, . . . , un E tales que f = an(Xu1) . . . (X

un).

2 3 SeaS= {u E| f Ff(u) = 0}. ComoE /Kes algebraica,Ses el conjunto de elementos no nulos de E, yK(S) =E. LuegoEes el cuerpo de descomposicin de FsobreK.

3 1 Seag E[X] no constante y seaF = E(u) un cuerpo exten-sin de F tal que g(u) = 0. El elemento u es algebraico sobreE y E/K es una extensin algebraica, luego u es algebraicosobre K. Seaf= Irr(u, K). Por la hiptesis existen elementosu1, . . . , un Etales que f= (X u1) . . . (X un). Como f(u) = 0existe uni tal que u = ui y por tantou

E.

La equivalencia con la condicin 4 se ver mas adelante.

Proposicin 4.2.7. SeaE F Kuna torre de cuerpos conF/Kalgebraica. EntoncesEes una clausura algebraica deFsi y slo siEes una clausura algebraica deK.

Demostracin. El cuerpo E es una clausura algebraica de F si yslo si es algebraicamente cerrada y la extensin E/Fes algebrai-ca. Esto ltimo ocurre si y slo si E/K es algebraica, de donde elresultado.


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