Euler - Matemáticas I Tema: 14 1 Funciones elementales Final Funciones lineales Las funciones...

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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 1 Funciones elementales Final Funciones lineales Las funciones de la forma y = ax + b, donde a, b R se llaman funciones lineales. (0, b): ordenada en el origen (0, b): ordenada en el origen f(x) = ax + b, a > 0 f(x) = ax + b, a < 0 Dominio: R Recorrido: R Una funcin lineal queda determinada cuando se conocen las imgenes de dos valores distintos de la variable independiente Recorrido: R
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 2 Funciones elementales Final Funciones cuadrticas Son funciones de la forma y = ax 2 + bx + c, donde a 0, b, c R Funciones y = ax 2 para diferentes valores de a Son parbolas Dominio: R Si a > 0: Recorrido = [0, ) Si a < 0: Recorrido = (, 0] a =2 a =1 a = 0,5 a = 2 a = 1 a = 0,5
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 3 Funciones elementales Final Representacin grfica de funciones cuadrticas f(x) = ax 2 + bx + c, a 0 es una parbola V V a > 0 a < 0
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 4 Funciones elementales Se llama funcin polinmica a las funciones f(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +... + a 1 x + a o donde a n, a n-1,..., a o son nmeros reales, n es un nmero natural, y a n 0. En este caso se dice que tenemos una funcin polinmica de grado n Funciones polinmicas Las funciones f(x) = x n para n = 1, 2, 3,..... f(x) = x 4 f(x) = x 2 f(x) = x 5 f(x) = x 3 Dominio Recorrido Final
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 5 Funciones elementales Final Representacin grfica de algunas funciones polinmicas Grado 3 Grado 4 Grado 5 Grado 6
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 6 Funciones elementales 1 1 Final Funciones racionales Una funcin racional es una funcin cociente de dos funciones polinmicas; es decir, f(x) = P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son dos polinomios Dominio: conjunto de todos los nmeros reales excepto los que anulan al denominador. Por tanto para hallar el dominio hay que resolver la ecuacin Q(x) = 0 Continuidad: son funciones continuas en su dominio Asntotas: pueden tener asntotas verticales, horizontales u oblicuas x + 1 ++ f(x) + + + Las asntotas de la funcin f(x) = 1/(x 2 - 1) y los cambios de signo en su dominio
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 7 Funciones elementales Final Funciones con radicales (I) Si m es impar y n es par Si m es impar y n es impar
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 8 Funciones elementales Final Funciones con radicales (II) Si m es par y n es par Si m es impar y n es impar
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 9 Funciones elementales Final Funciones potenciales Una funcin potencial es una funcin de la forma f(x) = x a, siendo x la variable y a un nmero real Dominio: en general definidas slo en [0, ). En algunos casos tambin est definidas para los reales negativos Continuidad: son funciones continuas en su dominio a < 0 0 < a < 1a > 1
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 10 Funciones elementales Final Funciones exponenciales Una funcin exponencial es una funcin de la forma f(x) = a x, siendo x la variable y a un nmero real Dominio: R. Recorrido: (0, ) Continuidad: son funciones continuas en su dominio Las grficas de todas las funciones exponenciales pasan por el punto (0, 1) 0 < a < 1a > 1 f(x) = 2 x f(x) = e x = (1/e) x f(x) = e x f(x) = 2 x = (1/2) x
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 11 Funciones elementales Final Funciones exponenciales: algunas propiedades f(x) = a x para 0 < a < 1f(x) = a x para a > 1 Asntota horizontal por la derecha Decreciente Asntota horizontal por la izquierda Creciente
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 12 Funciones elementales Final Comparacin entre funciones exponenciales y potenciales
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 13 Funciones elementales Final Funciones logartmicas Una funcin logartmica es una funcin de la forma f(x) = log a x, siendo x la variable y a un nmero real mayor que 0 y distinto de 1 Dominio: (0, ). Recorrido: R Continuidad: son funciones continuas en su dominio (0, ) Las grficas de todas las funciones logartmicas pasan por el punto (1, 0) Es inversa de la exponencial: sus grficas son simtrica respecto y = x 0 < a < 1a > 1 f(x) = a x f(x) = log a x
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 Funciones elementales Final Funciones logartmicas: algunas propiedades f(x) = log a x para 0 < a < 1 f(x) = log a x para a > 1 Decreciente en su dominio log a x 1 log a x > 0 si 0 < x < 1 Creciente en su dominio log a x > 0 si x > 1 log a x < 0 si 0 < x < 1
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 15 Funciones elementales Final Comparacin entre funciones logartmicas y potenciales
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 16 Funciones elementales Final Funcin peridica 0 1 2 3 10,1510,3010,451111,1510,3511,45 perodo = T x x + T Una funcin f(x) es peridica de perodo T si existe un nmero real T 0, llamado perodo, tal que f(x) = f(x + T), para todo x de su dominio
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 17 Funciones elementales Final Funcin seno y = 1 y = -1 3 Propiedades de la funcin seno En continua en su dominio que es R. Su recorrido es el intervalo [-1, 1]. Es peridica de perodo 2. No existe el lmite de sen x cuando x tiende a . Es una funcin impar: sen ( x ) = sen x
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 18 Funciones elementales Final Funcin coseno y = 1 y = -1 3 Propiedades de la funcin coseno En continua en su dominio que es R. Su recorrido es el intervalo [-1, 1]. Es peridica de perodo 2. No existe el lmite de cos x cuando x tiende a . Es una funcin par: cos ( x ) = cos x y = cos x y = sen x
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 19 Funciones elementales Funcin tangente Propiedades de la funcin tangente En continua en su dominio que es R - k k Z Su recorrido es toda la recta real. Es peridica de perodo. Las recta x = k k Z son asntotas verticales No existe el lmite de cos x cuando x tiende a . Es una funcin impar: tan ( x ) = tan x Final
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  • Euler - Matemticas I Tema: 14 20 Funciones elementales Final Funcin arco seno Propiedades de la funcin arco seno En continua en su dominio: [-1, 1]. Su recorrido es el intervalo ]. Es creciente. La funcin sen x es inyectiva en /2, /2 En ese intervalo tendr inversa: f(x) = arcsen x. Las grficas de ambas funciones son simtricas respecto a la recta y =x y = sen x y = arcsen x 1 y = x 1 0 1
  • Diapositiva 21
  • Euler - Matemticas I Tema: 14 21 Funciones elementales Final Funcin arco coseno Propiedades de la funcin arco coseno En continua en su dominio: [-1, 1]. Su recorrido es el intervalo ]. Es decreciente. La funcin cos x es inyectiva en, En ese intervalo tendr inversa: f(x) = arccos x. Las grficas de ambas funciones son simtricas respecto a la recta y =x y = cos x y = arccos x y = x 0 1 1
  • Diapositiva 22
  • Euler - Matemticas I Tema: 14 22 Funciones elementales Final Funcin arco tangente Propiedades de la funcin arco tangente En continua en su dominio: R. Su recorrido es el intervalo ]. Es creciente. Tiene asntota horizontal hacia l derecha en y hacia la izquierda en - La funcin tan x es inyectiva en, En ese intervalo tendr inversa: f(x) = arctan x. Las grficas de ambas funciones son simtricas respecto a la recta y =x y = tan x y = arctan x y = x 0
  • Diapositiva 23
  • Euler - Matemticas I Tema: 14 23 Funciones elementales Final Grficas de funciones trigonomtricas mediante traslaciones y dilataciones Grfica de la funcin y = 3 + 2 cos(2x + )