REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION

UNIVERSITARIAFUNDACION MISION SUCRE

ALDEA “ILDEFONZO NUÑEZ MARES”MATURÍN – ESTADO - MONAGAS.

Columnas como

Elementos

Estructurales

Profesor: Integrantes:

Franklin Cova Rosnelys Malave

Esthefany Medrano

Leide Pizarro

Alexis Álvarez

Maturín, Abril 2014

Introducción

En el análisis lineal de estructuras a un aumento de las cargas exteriores

corresponde un aumento proporcional de las deformaciones y de los

esfuerzos internos, con lo que es posible ir aumentando las cargas, y todas

las soluciones obtenidas son válidas (hasta alcanzar los límites del material)

Sin embargo, la experiencia demuestra que existen unos valores de las

cargas para los cuales la estructura se deforma de una manera excesiva,

mucho mayor que lo que correspondería para dichas cargas en el rango

lineal, y al producirse estas deformaciones excesivas se anula la capacidad

de la estructura para soportar las fuerzas exteriores, provocando su colapso,

todo ello sin que se supere el limite elástico del material Estos valores de las

cargas que provocan el colapso de la estructura se denominan cargas

criticas de pandeo o de colapso. Se dice también que la estructura es

inestable para dicho valor de las cargas, pues experimenta un crecimiento

sin límite de las deformaciones, aún sin un aumento de las cargas exteriores.

El estudio de la estabilidad estructural trata por lo tanto de determinar los

valores de las cargas críticas que provocan el colapso por grandes

deformaciones. Para este estudio es necesario suponer que las

deformaciones no son pequeñas, y en consecuencia la posición deformada

de la estructura no puede confundirse con la posición sin deformar. Por lo

tanto las ecuaciones de equilibrio se deben plantear ahora en la posición

deformada, y no en la inicial

1. Evaluación de columna como elementos estructurales

La columna es el elemento estructural vertical empleado para sostener la

carga de la edificación. Es utilizado ampliamente en arquitectura por la

libertad que proporciona para distribuir espacios al tiempo que cumple con la

función de soportar el peso de la construcción; es un elemento fundamental

en el esquema de una estructura y la adecuada selección de su tamaño,

forma, espaciamiento y composición influyen de manera directa en su

capacidad de carga.

Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no

necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la

compresión es el principal factor que determina el comportamiento del

elemento. Hay que destacar que la columna es un elemento estructural de

gran importancia en una construcción civil ya que estas son las que trasmiten

las cargas de la estructura al suelo, y son el soporte de dicha estructura ante

fuerzas sísmicas, atmosféricas, etc. y por eso no se debe tomar la

construcción de este elemento a la ligera ya que si esta mal diseñada o mal

construida, fallara y ocasionando el colapso total de edificación, tales como

una casa y edificio.

En materia de construcción existen dos tipos de columnas las de acero y las

de concreto armado, las de acero la construcción de una edificación se

hacen más rápido ya que estas vienen prefabricadas de fábricas, por lo

contrario las de concreto armado son mas lentas de construir pero son mas

económicas y por eso son las mas comunes a la hora de construir.

Columna de concreto armado

Las columnas de concreto tienen como tarea fundamental transmitir las

cargas de las losas hacia los cimientos, la principal carga que recibe es la de

compresión, pero en conjunto estructural la columna soporta esfuerzos

flexionantes también, por lo que estos elementos deberán contar con un

refuerzo de acero que le ayuden a soportar estos esfuerzos de tal forma que

la combinación así generada se denomina flexocompresión.

Según el uso actual de la columna como elemento de un pórtico, no

necesariamente es un elemento recto vertical, sino es el elemento donde la

compresión es el principal factor que determina el comportamiento del

elemento. Es por ello que el predimensionado de columnas consiste en

determinar las dimensiones que sean capaces de resistir la compresión que

se aplica sobre el elemento así como una flexión que aparece en el diseño

debido a diversos factores1. Cabe destacar que la resistencia de la columna

disminuye debido a efectos de geometría, lo cuales influyen en el tipo de

falla.

2. Cargas Críticas

La deformación de la columna varía según ciertas magnitudes de cargas.

Para valores de P bajos se acorta la columna al aumentar la magnitud cesa

el acortamiento y aparece la deflexión lateral. Existe una carga límite que

separa estos dos tipos, de configuraciones y se conoce como carga critica P„

(véase Figura 2 y 3).

Coloquemos verticalmente una viga muy esbelta, articulémosla en sus

extremos mediante rótulas que permitan la flexión en todas sus direcciones.

Apliquemos una fuerza horizontal H en sus puntos medios, de manera que

produzca flexión según la dirección de máxima flexibilidad. Como los

esfuerzos de flexión son proporcionales a la deflexión, no experimentarán

variación alguna si se añade una fuerza axial P en cada extremo, y haciendo

que H disminuya simultáneamente con el aumento de P de manera que la

deflexión en el centro no varíe. Es estas condiciones, el momento flexionarte

en el centro es:

M = H/2*(L/2) + P

y, en el límite, cuando H ha disminuido hasta anularse,

M = (Pcr)*

Entonces, Pcr es la carga crítica necesaria para mantener la columna

deformada sin empuje lateral alguno. Un pequeño incremento de P sobre

este valor crítico hará que aumente la deflexión , lo que incrementará M, con

lo cual volverá aumentar y así sucesivamente hasta que la columna se

rompa por pandeo. Por el contrario, si P disminuye ligeramente por debajo de

su valor crítico, disminuye la deflexión, lo que a su vez hace disminuir M,

vuelve a disminuir , etc., y la columna termina por enderezarse por completo.

Así, pues, la carga crítica puede interpretarse como la carga axial máxima a

la que puede someterse una columna permaneciendo recta, aunque en

equilibrio inestable, de manera que un pequeño empuje lateral haga que se

deforme y quede pandeada.

Formula de Euler

En el año 1757, el gran matemático suizo Leonardo Euler realizó un análisis

teórico de la carga crítica para columnas esbeltas basado en la ecuación

diferencial de la elástica:

M = EI(d2y/dx2)

Ahora se sabe que este análisis es valido hasta que los esfuerzos alcanzan

el límite de proporcionalidad. En tiempo de Euler no se habían establecido

los conceptos de esfuerzo, ni de límite de proporcionalidad, por lo que él no

tubo en cuenta la existencia de una límite superior de la carga crítica.

Cuando una columna está sometida a una carga P. Se supone que la

columna tiene los extremos articulados (mediante rótulas o pasadores) de

manera que no pueden tener desplazamientos laterales. La deflexión

máxima es lo suficientemente pequeña para que no exista diferencia

apreciable entre la longitud inicial de la columna y su proyección sobre el eje

vertical. En estas condiciones, la pendiente dy/dx es pequeña y se puede

aplicar la ecuación diferencial aproximada de la elástica de una viga:

EI(d2y/dx2) = M = P(-y) = -Py

El momento M es positivo al pandear la columna en el sentido contrario al del

reloj, por lo que al ser la y negativa, ha de ir precedida del signo menos. Si la

columna se pandara en sentido contrario, es decir, en la dirección de y

positiva, el momento sería negativo, de acuerdo con el criterio de signos

adoptado.

La ecuación anterior no se puede integrar directamente, como se hacía

anteriormente ya que allí M solamente era función de x. Sin embargo,

presentamos dos métodos para resolverla. Conociendo algo de dinámica nos

damos cuenta que la ecuación anterior es semejante a la ecuación de un

cuerpo que vibra simplemente:

M(d2x/dx2) = -kx

para lo cual una solución general es:

x = C1sen(t"(k/m)) + C2cos(t"(k/m))

de aquí, por analogía, la solución de la ecuación viene dada por:

y = C1sen(x"(P/EI)) + C2cos(x"(P/EI))

Limitaciones de la formula de Euler

Una columna tiene a pandearse siempre en la dirección en la cual es mas

flexible. Como la resistencia a la flexión varia con el momento de inercia, el

valor de I en la formula de Euler es siempre el menor momento de inercia de

la sección recta. La tendencia al pandeo tiene lugar, pues, con respecto al

eje principal de momento de inercia mínimo de la sección recta.

La fórmula de Euler también demuestra que la carga crítica que puede

producir el pandeo no depende de la resistencia del material, sino de sus

dimensiones y del módulo de elástico. Por este motivo, dos barras de

idénticas dimensiones, una de acero de alta resistencia y otra de acero

suave, se pandearán bajo la misma carga crítica ya que aunque sus

resistencias son muy diferentes tienen prácticamente el mismo modulo

elástico. Así pues, para aumenta la resistencia al pandeo, interesa aumentar

lo más posible el momento de inercia de la sección. Para un área dada, el

material debe distribuirse tan lejos como sea posible del centro de gravedad

y de tal manera que los momentos de inercia con respecto a los ejes

principales sean iguales, o lo más parecidos posible ( como en una columna

hueca).

Para que la fórmula de Euler sea aplicable, el esfuerzo que se produzca en el

pandeo no debe exceder al límite de proporcionalidad. Para determinar este

esfuerzo, se sustituye en la fórmula el momento de inercia I por Ar2, donde A

es el área de la sección recta y r es el radio de giro mínimo.

3. Concepto de momento de inercia, rigidez, esbeltez y pandeo

Momento de inercia

El momento de inercia o inercia rotacional es una medida de la inercia

rotacional de un cuerpo. Más concretamente el momento de inercia es una

magnitud escalar que refleja la distribución de masas de un cuerpo o un

sistema de partículas en rotación, respecto al eje de giro. El momento de

inercia sólo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de

giro; pero no depende de las fuerzas que intervienen en el movimiento.

El momento de inercia desempeña un papel análogo al de la masa inercial

en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. Es el valor escalar del

momento angular longitudinal de un sólido rígido.

Rigidez

En ingeniería, la rigidez es la capacidad de un elemento estructural para

soportar esfuerzos sin adquirir grandes deformaciones y/o desplazamientos.

Los coeficientes de rigidez son magnitudes físicas que cuantifican la rigidez

de un elemento resistente bajo diversas configuraciones de carga.

Normalmente las rigideces se calculan como la razón entre una fuerza

aplicada y el desplazamiento obtenido por la aplicación de esa fuerza.

Para barras o vigas se habla así de rigidez axial, rigidez flexional, rigidez

torsional o rigidez frente a esfuerzos cortantes, etc.

Rigidez de prismas mecánicos

El comportamiento elástico de una barra o prisma mecánico sometido a

pequeñas deformaciones está determinado por ocho coeficientes elásticos.

Estos coeficientes elásticos o rigideces depende de:

1. La sección transversal, cuanto más gruesa sea la sección más fuerza

será necesaria para deformarla. Eso se refleja en la necesidad de usar

cables más gruesos para arriostrar debidamente los mástiles de los

barcos que son más largos, o que para hacer vigas más rígidas se

necesiten vigas con mayor sección y más grandes.

2. El material del que esté fabricada la barra, si se frabrican dos barras

de idénticas dimensiones geométricas, pero siendo una de acero y la

otra de plástico la primera es más rígida porque el material tiene

mayor módulo de Young (E).

3. La longitud de la barra elástica (L), fijadas las fuerzas sobre una barra

estas producen deformaciones proporcionales a las fuerzas y a las

dimensiones geométricas. Como los desplazamientos, acortamientos

o alargamientos son proporcionales al producto de deformaciones por

la longitud de la barra entre dos barras de la misma sección

transversal y fabricadas del mismo material, la barra más larga sufrirá

mayores desplazamientos y alargamientos, y por tanto mostrará

menor resistencia absoluta a los cambios en las dimensiones.

Funcionalmente las rigideces tienen la forma genérica:

Donde: Si es una magnitud puramente geométrica dependiente del tamaño y

forma de la sección transversal, E es el módulo de Young, L es la longitud de

la barra y αi y βi son coeficientes adimensionales dependientes del tipo de

rigidez que se está examinando.

Todas estas rigideces intervienen en la matriz de rigidez elemental que

representa el comportamiento elástico dentro de una estructura.

Rigidez axial

La rigidez axial de un prisma o barra recta, como por ejemplo una viga o un

pilar es una medida de su capacidad para resistir intentos de alargamiento o

acortamiento por la aplicación de cargas según su eje. En este caso la

rigidez depende sólo del área de la sección transversal (A), el módulo de

Young del material de la barra (E) y la longitud de la siguiente manera:

Rigidez flexional

La rigidez flexional de una barra recta es la relación entre el momento flector

aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado por ese extremo al

deformarse cuando la barra está empotrada en el otro extremo. Para barras

rectas de sección uniforme existen dos coeficientes de rigidez según el

momento flector esté dirigido según una u otra dirección principal de inercia.

Esta rigidez viene dada:

Donde son los segundos momentos de área de la sección transversal

de la barra.

Rigidez frente a cortante

La rigidez frente a cortante es la relación entre los desplazamientos

verticales de un extremo de un viga y el esfuerzo cortante aplicado en los

extremos para provocar dicho desplazamiento. En barras rectas de sección

uniforme existen dos coeficientes de rigidez según cada una de las

direcciones principales:

Rigidez mixta flexión-cortante

En general debido a las características peculiares de la flexión cuando el

momento flector no es constante sobre una barra prismática aparecen

también esfuerzos cortantes, eso hace al aplicar esfuerzos de flexión

aparezcan desplazamientos verticales y viceversa, cuando se fuerzas

desplazamientos verticales aparecen esfuerzos de flexión. Para representar

adecuadamente los desplazamientos lineales inducidos por la flexión, y los

giros angulares inducidos por el cortante, se define la rigidez mixta cortante-

flexión que para una barra recta resulta ser igual a:

Rigidez torsional

La rigidez torsional en una barra recta de sección uniforme es la relación

entre el momento torsor aplicado en uno de sus extremos y el ángulo girado

por este extremo, al mantener fijo el extremo opuesto de la barra:

Donde G el módulo elástico transversal, J es el momento de inercia torsional

y L la longitud de la barra.

Rigidez en placas y láminas

De manera similar a lo que sucede con elementos lineales las rigideces

dependen del material y de la geometría, en este caso el espesor de la placa

o lámina. Las rigideces en este caso tienen la forma genérica:

Donde:

son respectivamente el módulo de Young y el coeficiente de

Poisson.

es el espesor del elemento bidimensional.

es un entero y .

Rigidez de membrana

La rigidez de membrana es el equivalente bidimensional de la rigidez axial en

el caso de elementos lineales viene dada por:

Donde E es el módulo de Young, G es el módulo elástico transversal y ν el

coeficiente de Poisson.

Rigidez flexional

Para una placa delgada (modelo de Love-Kircchoff) de espesor constante la

única rigidez relevante es la que da cuenta de las deformaciones provocadas

por la flexión bajo carga perpendicular a la placa. Esta rigidez se conoce

como rigidez flexional de placas y viene dada por:

Donde: h espesor de la placa, E módulo de Young del material de la placa y

ν coeficiente de Poisson del material de la placa.

Esbeltez

La esbeltez mecánica, también denominada esbeltez, es una característica

mecánica de las barras estructurales o prismas mecánicos que relaciona la

rigidez de la sección transversal de una pieza prismática con su longitud

total. Se caracteriza por un parámetro adimensional que interviene en el

cálculo de las tensiones y predice las inestabilidades elásticas de las barras.

Además se distingue entre los valores de esbeltez natural dependientes sólo

de las propiedades geométricas y mecánicas de la barra y esbeltez efectiva

que contabiliza también las condiciones de enlace o sujeción en los extremos

de la barra.

Se entiende por efecto de esbeltez la reducción de resistencia de un

elemento sujeto a compresión axial o a flexo-comprensión.

Esbeltez flexional

Si sobre una barra esbelta recta se aplica un esfuerzo normal de compresión,

además de acortamiento de la misma aparece una deflexión desde la forma

recta, lo que se conoce como pandeo, la magnitud de cuyo efecto depende

de la llamada esbeltez mecánica flexional, o simplemente esbeltez mecánica

efectiva, que viene dada por:

(1)

Donde:

, es un valor adimensional que relaciona la esbeltez flexional natural

y la esbeltez flexional, depende de las condiciones de enlace en los

extremos (ver más abajo).

, es la longitud real de la barra.

, es el módulo de Young.

, son respectivamente el valor del área de la sección

transversal y del segundo momento de área o momento de inercia

mínimo de la sección transversal.

La fórmula (1) también puede escribirse como:

(2)

Donde L es la longitud natural de la barra, im el "radio de giro" mínimo (el

menor de los dos posibles), A el área de la sección de la barra, Im el menor

momento de área y α un coeficiente que dependiente del tipo de sujeción de

los extremos de la barra, por ejemplo:

α = 2.00 Empotrada-Libre

α = 1.00 Biarticulada

α = 0.71 Empotrada-Articulada

α = 0.50 Biempotrada

En ocasiones el producto es denominado longitud de pandeo ( ). Si se

prescinde del valor de α en las fórmulas (1) y (2) se obtiene la esbeltez

flexional natural de la barra.

Esbeltez flexional relativa (eurocódigo)

Algunas normas como la norma europea eurocódigo 3 usan la llamada

esbeltez relativa donde que se obtiene de comparar la esbeltez flexional

convencional un factor adimiensional que depende de las características de

la sección y el material dicha esbeltez relativa viene dada por:

(3)

Donde:

, esbeltez flexional convencional.

, longitud de pandeo.

, es el módulo de Young.

, es la tensión de límite elástico del material.

, son respectivamente el valor del área de la sección

transversal y del segundo momento de área o momento de inercia

mínimo de la sección transversal.

Esbeltez torsional

La esbeltez mecánica torsional, o simplemente esbeltez torsional, es un

parámetro adimensional que mide el grado de alabeo que presentará una

sección al ser sometida a esfuerzos de torsión que viene dado por:

Donde:

, es la longitud natural de la barra.

, es un valor adimensional que relaciona la esbeltez torsional natural

y la esbeltez torsional efectiva y toma los mismos valores para la

esbeltez flexional según sean las condiciones de enlace en los

extremos.

, es un parámetro relacionado con el esfuerzo cortante, que para

barras esbeltas es cercano a 1.

, son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el

módulo de elasticidad longitudinal.

, son respectivamente el módulo de torsión y el módulo de

alabeo.

Pandeo

El pandeo es una propiedad matemática que describe el efecto del exceso

de estrés o presión en una estructura. Esto ocurre a medida que el estrés

incrementa y una estructura ya no puede mantener el equilibrio. El resultado

final del pandeo es por lo general el colapso estructural, pero existen varios

tipos diferentes de pandeo que pueden ocurrir.

Pandeo inelástico

El pandeo inelástico ocurre en objetos como una columna de longitud

intermedia hecha de un material rígido. Este tipo de pandeo ocurre cuando la

carga de estrés sobre un objeto excede los límites proporcionales del

material (es decir la resistencia y rigidez). El pandeo inelástico puede ser

identificado cuando los objetos se deforman debido al exceso de fuerza. Por

ejemplo, una columna pasa a través de un proceso llamado arrodillamiento,

en el que la mitad de la columna se arquea hacia el exterior alejándose de la

fuerza normal.

Pandeo elástico

El pandeo elástico ocurre en columnas largas con soporte simple. Es similar

al pandeo inelástico en que las propiedades básicas de la columna, la

resistencia y rigidez, son las mismas pero el resultado final es muy diferente.

El pandeo elástico ocasiona que la columna u objeto cambie a una forma

incorrecta pero de una forma más grave en comparación con el pandeo

inelástico. Si bien el pandeo inelástico parece crear un efecto de

arrodillamiento, el pandeo elástico crea una apariencia completamente

arqueada en el objeto.

Conclusión

Las columnas cortas fallan por aplastamiento del material.

Las columnas largas fallan por pandeo. Las columnas intermedias

fallan por una combinación de pandeo y aplastamiento.

Las columnas cortas pueden analizarse y diseñarse con la formula

elemental a = P/ A.

En las columnas largas e intermedias debe que considerar el

fenómeno de pandeo.

La base de la teoría de las columnas es la formula de Euler, que fue

publicada en 1757 por Leonardo Euler, un matemático suizo.

La formula de Euler es valida solamente para columnas largas.La

carga critica de pandeo es la carga axial máxima que una columna

puede soportar cuando esta a punto de pandearse.

Bibliografía

http://www.buenastareas.com/ensayos/Columna/2086929.html

Resistencia de materiales Editorial, McWraw Hill Series Schaum.

http://es.wikipedia.org/wiki/Esbeltez_mec%C3%A1nica

http://www.ehowenespanol.com/efectos-del-pandeo-info_271431/